Prof. dr hab. Brunon R. Górecki jest wieloletnim pracownikiem Wy-działu Nauk Ekonomicznych Uniwersytetu Warszawskiego, gdzie od wielu lat prowadzi wykłady i seminaria z zakresu teorii i praktyki eko-nometrii. Kilka lat wykładał ekonometrię na Uniwersytecie w Ibada-nie (Nigeria) i Uniwersytecie w Bogocie (Kolumbia). Obecnie pracuje również w Uczelni Warszawskiej, pełniąc funkcje kierownika Katedry Metod Ilościowych.

Zajmuje się zastosowaniami modeli ekonometrycznych w proble-matyce konsumpcji, szczególnie konsumpcji gospodarstw domowych. Przez długi czas uczestniczył w międzynarodowych badaniach poświę-conych ekonometrycznym zagadnieniom konsumpcji.

Brunon R. Górecki

Ekonometriapodstawy teorii i praktyki

Wydawnictwo Key Text

Brunon R. G

órecki Ekonometria – podstaw

y teorii i praktyki

okładka po AW.indd 1 2010-06-30 13:12:25

Spis treści

Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Klasyczny model Część 1. regresji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Wprowadzenie 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1. Czym jest ekonometria? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. Pojęciemodeluekonometrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3. Dane statystyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Metodologia ekonometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Podstawy k2. lasycznego modelu regresji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1. Zapis macierzowy modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2. Od populacji do próby i od próby do populacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3. Założeniaklasycznegomodeluregresjiliniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Metoda najmniejszych kwadratów 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1. Estymatory metody najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. WłasnościalgebraicznerozwiązaniaMNK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Wnioskowanie o estymatorach metody najmniejszych kwadratów 4. . . . . . . . 454.1. Jeszczeozałożeniunormalnościzaburzeńlosowych . . . . . . . . . . . . . 454.2. Twierdzenie Gaussa-Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3. Estymatorwariancjizaburzenialosowegoibłędystandardowe

estymatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4. Rozkładt-Studenta,weryfikacjaprostychhipoteziprzedziałyufności . . 504.5. Istotnośćrównaniaregresji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6. AsymptotycznewłasnościestymatorówMNK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Interpretacja równania regresji 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.1. Interpretacjawspółczynnikówregresjiizałożenieliniowości. . . . . . . 595.2. Jakościowezmienneobjaśniające–regresoryzerojedynkowe,

oznaczanerównieżjakozmienne0–1lubzmiennebinarne . . . . . . . . 655.3. Restrykcjeimodelezagnieżdżone. Łącznaistotnośćzmiennych

zerojedynkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4. Jakościowazmiennaobjaśniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.5. Wybórregresorówzgodniezzasadą„Odogólnegodoszczegółowego”.

Skutkipominięciawrównaniuregresjiistotnychzmiennych objaśniających;skutkidodaniadorównaniaregresjizmiennych nieistotnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.6. Testowaniełącznejistotnościpodzbioruregresorów . . . . . . . . . . . . . 785.7. Testowaniehipotezzłożonych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6

Problemywynikającezniedoskonałościdanychstatystycznych6. . . . . . . . . . 896.1. Współliniowośćijejkonsekwencje.Wykrywaniewspółliniowości

iśrodki zaradcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2. Obserwacje opuszczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3. Wykrywanie nietypowychwartościzmiennejobjaśnianejinietypowych

wartościzmiennychobjaśniających(obserwacjeznaczące) . . . . . . . . 94Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Prognozowanie na podstawie klasycznej metody regresji liniowej 7. . . . . . . . 997.1. Prognozaibłądstandardowyprognozy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

LiteraturauzupełniającadoczęściI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Złagodzenie założeń modelu klasycznego Część 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.1. Heteroskedastycznośćiautokorelacjazaburzeń

losowych w KMRL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.2. Estymatory uogólnionej metody najmniejszych kwadratów . . . . . . . . 1118.3. Testowanieheteroskedastyczności:testyGoldfelda-Quandta,

…Breuscha-Pagana oraz White’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.4. Estymacja macierzy wariancji-kowariancji zaburzeńlosowych

w przypadku heteroskedastyczności.Stosowalnauogólniona metoda najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.5. Estymator White’a macierzy wariancji-kowariancji dla b wyznaczonegozapomocąMNK–odpornynaheteroskedastyczność 122

8.6. Testowanie autokorelacji: testy Durbina-Watsona i Breuscha-Godfreya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.7. Estymacjamacierzywariancji-kowariancjizaburzeńlosowych wprzypadkuautokorelacjizaburzeńpierwszegorzędu . . . . . . . . . . . 131

8.8. Estymator Neweya -Westa macierzy wariancji -kowariancji dla b oszacowanegozapomocąMNK–odpornynaheteroskedastyczność iodpornynaautokorelację . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Diagnostyka w klasycznej metodzie regresji liniowej9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.1. Test White’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.2. TestRESETbłęduspecyfikacjipostacifunkcyjnejrównaniaregresji

Ramseya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.3. Testniezagnieżdżonychalternatyw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.4. TestystabilnościparametrówChowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429.5. TestJarque-Beranormalnościzaburzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.6. Ocena wyników analizy regresji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

LiteraturauzupełniającadoczęściII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Szczególnie ważne modele ekonometryczne Część 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Ograniczonazmiennaobjaśniana10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.1.Liniowafunkcjaprawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.2. Metody logitowa i probitowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7

10.3. Wielomianowa metoda logitowa, metoda tobitowa, modele samoselekcji próby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Modele jednowymiarowych szeregów czasowych 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.1. Analiza klasyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.2. Szereg czasowy jako realizacja procesu stochastycznego . . . . . . . . . . 16811.3. Procedura Boxa-Jenkinsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.4.FunkcjaautokorelacjiicząstkowejautokorelacjiszereguDowJones. . . 17611.5. Procesy ARIMA dla danych sezonowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Modele dynamiczne 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18512.1. Problemy ekonometryczne modeli dynamicznych . . . . . . . . . . . . . . . 18512.2.Modeleoopóźnieniachrozłożonych(Distributed Lag Models) . . . . . . . 18612.3.EstymacjamodeliDLiwybórrzęduopóźnienia. . . . . . . . . . . . . . . . . 18712.4.Modeleautoregresyjneimodeleautoregresyjnezopóźnieniami

rozłożonymi(AutoRegressive Distributed Lag Models–ModeleADL lubARDL). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

12.5.Niestacjonarnośćiintegracjaszeregu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19212.6.TestpierwiastkajednostkowegoDickeya-Fullera(testDF) . . . . . . . . 19312.7.Rozszerzonytestpierwiastkajednostkowego(testADF). . . . . . . . . . 19612.8. Kointegracja szeregów czasowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19912.9.Przyczynowośćwekonometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Modelewektorowejautoregresji(VAR)13. imodelekorektybłędem . . . . . . . 20513.1. Modele wielorównaniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20513.2.Modelewektorowejautoregresji(Vector AutoRegressive Models–VAR) 20613.3.Modelkorektybłędem(równowagi)(Error Correction Model–ECM) 219Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Opracowanie projektów badawczych 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

LiteraturauzupełniającadoczęściIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Aneksy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Elementy algebry macierzy A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

WybranezagadnieniarachunkuprawdopodobieństwaB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Bazy danych C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

9LiteraturauzupełniającadoczęściIII 226

Wstęp

Książkazawierapodstawowykurs teorii ipraktyki ekonometrii. Jestprze-znaczonadlastudentówróżnychdyscyplinekonomicznychpozaspecjaliza-cjąekonometrii.Będzierównieżużytecznadlaekonomistówprowadzącychanalizydanychekonomicznych,ajednocześnieniedysponującychsolidnymipodstawami matematycznymi.Wpodręcznikuuwzględnionezostałynajnowszeujęciaekonometrii,któ-

rerozumiemydwojako.Popierwsze–jesttonoweujęcieproblemówtrady-cyjnejekonometrii.Spośródprzykładówodmiennychujęćtejteorii od spoj-rzeniatradycyjnegonależywymienić:podstawowąmyślfilozoficznąwspół-czesnejekonometrii–„Odpopulacjidopróbyiodpróbydopopulacji”(pod-rozdział 2.2), fundamentalny problem wyboru zmiennych objaśniających(podrozdział5.5.),zagadnieniebłędustandardowegoWhite’a,usuwającegokomplikacjewywołaneheteroskedastycznościązaburzeńlosowych(podroz-dział8.5),czyteżnadaniepodstawowegoznaczeniatestomdiagnostycznymprzyoceniepoprawnościszacowanegomodelu(rozdział9).Podrugie–jesttoszerszeujęciemodelidynamicznychwykorzystujących

szeregiczasowe,stanowiącychdominującyzbiórdanychużywanychweko-nomii.Analizowanesąmodele oparte na szeregachstacjonarnych(łączniez testempierwiastkajednostkowego)i na szeregachniestacjonarnych(łącz-nie z problematyką kointegracji). Natomiast modele wielorównaniowe sąrozważanejedyniewkontekściemodeliwektorowejautoregresji(VAR)lubmodelikorektybłędemrównowagi(ECM),aniewkontekściewielkichwie-lorównaniowych modeli gospodarki.Książka,stawiającpytanie„Dlaczegotak,anieinaczejestymujemy mo-

deleekonometryczne?”niezaniedbujeodpowiedzinapytanie:„Jakjeobli-czamy?”.Zawieraliczneprzykłady(dotyczącePolski,UniiEuropejskiejigo-spodarki światowej) zastosowania omawianychmetodw różnychdziedzi-nachnaukekonomicznych.Obliczeniaprzykładówprowadzonoprzyużyciubezpłatnego pakietu ekonometrycznego GRETL. Został on opublikowanyprzez FreeSoftwareFoundationijestdostępnypodadreseminternetowymhttp://gretl.sourceforge.net. Polskojęzycznawersja tego pakietu, opra-cowana przez prof. Tadeusza Kufla, jest udostępniona na stronie interne-towej http://www.kufel.torun.pl. Do stosowania tego pakietu pomocna

10 Wstęp

jestksiążkaT.Kufla,Ekonometria. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem programu GRETL,WNPWN,Warszawa2004.Niechtobędziejednocześnieokazjadlazłożenianajszczerszegopodziękowaniaprof.TadeuszowiKuflowizazgodęnawykorzystaniewniniejszejksiążceniepublikowanychwcześniejzbiorów danych.Istotnymdopełnieniempodręcznika są trzy aneksy. Pierwszy aneks za-

wieraniezbędną,ograniczonąjedyniedowątkówbezpośredniostosowanychwtrakciewykładu,wiedzęzzakresualgebrymacierzy.Drugianeksjestpo-święconycelowowybranymfragmentomstatystykimatematycznej,któresąniezbędnedo swobodnegokorzystania z tekstu.Trzeci aneks jest zbioremdostępnychwinterneciebazdanychekonomicznychstanowiącychmateriałnietylkodosensownegoformułowaniazadańćwiczeniowych,lecztakżedowykorzystywaniawinteresującychekonomistęanalizach.Pragnępodziękowaćmgr.DariuszowiSzymańskiemuzaprzygotowanie

niektórychprzykładówprzedstawionychwniniejszymtekścieorazmgr.To-maszowiRybnikowi zaopracowanie informacji odostępnychw internecieekonomicznychbazachdanych,któreCzytelnikmoże zastosowaćprzy sa-modzielnymformułowaniuirozwiązywaniuzagadnieńekonometrycznych.

11LiteraturauzupełniającadoczęściIII 226

CzęśćIKlasyczny model regresji liniowej

131.1. Czym jest ekonometria?

1 Wprowadzenie

1.1. Czym jest ekonometria?

Ekonometria jestnaukązajmującąsię ilościowym(liczbowym)opisem,napodstawie danychstatystycznych,prawidłowości ekonomicznych,postulo-wanych przez teorięekonomiilubsugerowanychprzezsensownehipotezy ekonomiczne.Hipoteza toprzypuszczeniewymagające sprawdzenia.Naprzykład:Czy

wykształcenieprzysparzatylesamozłotówekmiesięcznejpłacykobietom,comężczyznom?Czywkażdymwiekuawansujesięjednakowoszybko?Czyko-bietywmłodymwiekuawansująszybciejodmężczyzn?Czykrańcowaskłon-nośćdokonsumpcjiwPolscejesttakasamajakwStanachZjednoczonych?

W zbiorze metodilościowych–obokmatematyki,statystykiibadańope-racyjnych–ekonometriajestważnymiużytecznymnarzędziemwspomaga-jącymprowadzenieanalizekonomicznych.Możnapowiedzieć,żeekonome-triapomagapoznaćprzeszłośćiteraźniejszość,atakżeokreślaćprzyszłośćwydarzeńekonomicznych.Ważnym problemem staje się sposób rozpoznawania teraźniejszości

iprzyszłości.Badaniaekonometrycznesąprzeprowadzonenapodstawiesformułowań

teorii ekonomii lub wyraźnie określonych hipotez, dotyczących procesówlub zjawisk ekonomicznych, któremają być przedmiotembadania iwery-fikacjiempirycznej.Teoriajestmodelemopisowymcałejrzeczywistościgo-spodarczejlubjejczęści,zawierarównieżzbiórregułwiążącychpodstawo-wewielkości ekonomiczne.Model ekonometryczny jest liczbowym przed-stawieniemopartymnazaobserwowanychdanych sformułowanejw teoriiprawidłowości.

Jednorównaniowym modelem ekonometrycznym nazywamy równa-nie,wktórymwystępuje:a) zmiennaobjaśniana,b)zmienneobjaśniające–kształtująceprocesyujętewteorii lubwposta-

wionych hipotezach,

252.1. Zapis macierzowy modelu

2Podstawy klasycznego modelu regresji liniowej

2.1. Zapis macierzowy modelu

Przyjmijmy,żewpopulacji(teoretycznienieskończonej)dlakażdejobserwa-cji zachodzi liniowazależnośćmiędzyzmiennąobjaśnianą y oraz K zmienny-miobjaśniającymix1, x2, x3, …, xK.

...y x x xi i i K Ki i1 2 2 3 3= + + + + +b b b b f (2.1)

Dladodaniastałejwrównaniu(2.1),pierwszejzmiennejobjaśniającejx1 nadajesięstalewartość„1”,awięcx1 = 1. Symbolem bk(k–małe)będzie-myoznaczaćparametronumerzek,awięcstojącyprzyk-tej zmiennej obja-śniającej(k = 2, …, K).Poprawejstronierównaniadodanejestzaburzenie losowe fi,któregorolęwyjaśniliśmywpodrozdziale1.2.Równanie(2.1)jestrównaniemregresjiwpopulacji.Wiążeonozmiennąob-

jaśnianązezmiennymiobjaśniającymidlai-tejobserwacji.Jeślizapiszemyrówna-niadla1-szej,2-giejidalszychobserwacji,toutworząoneukładrównań(2.2):

b b+ += + ...

...

...

...

y x x x

y x x x

y x x x

y x x x

i i i K Ki i

K K

K K

n n n K Kn n

1 2 2 3 3

1 1 2 21 3 31 1 1

2 1 2 22 3 32 2 2

1 2 2 3 3

ggggggggggggggggg

b b f

b b b b f

b b b b f

b b b b f

+ +

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

(2.2)

Jeślizdefiniujemywektor parametrów

K

1

2

h=b

b

b

b

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,tomożemywprowadzić

zapis równania dla i-tej obserwacji postaci:

, , ...,y i nx 1 2i i i= + =b fl , (2.3)

gdzie ...x xx 1i i Ki2=l 7 A jest wektorem wierszowym zmiennych objaśniają-cych dla i-tej obserwacji.

353.1. Estymatory metody najmniejszych kwadratów

3Metoda najmniejszych kwadratów

Rozważania zamieszczone w tym rozdziale bazują na teorii sformułowa-nejnapoczątkuXIXwiekuprzezsłynnegomatematykaniemieckiegoCarlaFriedricha Gaussa.DowspółcześniestosowanejpostaciteoriętęrozwinąłwkońcuXIXw.rosyjskimatematykAndriejMarkow.Częsteodwoływaniesiędo sformalizowanej teorii Gaussa i Markowaprzydałometodzie najmniej-szychkwadratównazwęmetody„klasycznej”.Wniniejszymrozdzialewy-prowadzimy estymatorytejmetodyiokreślimyichwłasności.

3.1. Estymatory metody najmniejszych kwadratów

Zrozdziału2wiemy,żeregresjęwpopulacjimożemyopisaćrównaniem:

y E= +y X X= +f b f` j . (3.1)

Odpowiedniktegorównaniawpróbiemapostać:

y y e Xb e.= + = +S (3.2)

Przypomnijmy, żew równaniu (3.2) yS oznaczawektorwartości teore-tycznych(wyliczonych)zregresjiwpróbie,ae jest wektorem reszt.

Klasyczna metodanajmniejszychkwadratów,którąwskróciebędziemyoznaczaćMNK,służywłaśniedowyznaczenianieznanegowektorab, który to wektor traktujemy jako wektor estymatorów dla wektora parametrów b.

MNK polega na wyprowadzeniu b z warunku minimalizacji sumy kwa-dratówresztokreślonychprzez(3.2),awięc:

e = y –Xb. (3.3)

Oznaczmy przez S minimalizowaną sumę kwadratów reszt, która jestskalarem.Możemynapisać:

454.1.Jeszczeozałożeniunormalnościzaburzeńlosowych

4Wnioskowanie o estymatorach metody najmniejszych

kwadratów

4.1. Jeszcze o założeniu normalności zaburzeń losowych

Dladalszychrozważańwróćmydoszóstegozałożeniaklasycznego modelu regresji (podrozdział2.3)o tym,żezaburzenia losowemająn -wymiarowy sferyczny rozkładnormalny, cozapisaliśmyformalniejako:

f ~ N(0, v2I) (4.1)

Jest to założenie o fundamentalnymznaczeniu dla rozważańnadkla-sycznym modelem regresji liniowej. Zauważmy, że zaburzenie losowe ujmuje sumaryczny wpływwszystkich pominiętych w równaniu regresji zmiennych.Uzasadnieniedlaprzyjęciarozkładunormalnegowynikazcen-tralnego twierdzenia granicznego, które luźno formułując określa, że je-śli mamy dużą liczbę niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładacho tej samej średniej iwariancji, to rozkład ich sumyzmierzado rozkładunormalnego.Jeśliliczbatychzmiennychniejestbardzodużainiesąonedokładnieniezależne, to ichsumamożebyćbliskarozkładunormalnego. Konsekwencje tego założenia są dalekosiężne dla rozważańnad własnościami statystycznymi klasycznego modelu regresji liniowej(patrzAneksB).

Po pierwsze, funkcja liniowa zmiennych o rozkładzie normalnym ma również rozkład normalny.Stądwynika,żezmiennaobjaśniana y i estyma-tory bkmająrównieżrozkładynormalne.Podrugie,założenie normalności umożliwia korzystanie z testów statystycznych opartych na rozkładach związanych z rozkładem normalnym takich jak |2, t -Studenta i F.Przyjęciezałożeniaonormalnościzobowiązujenasdosprawdzania,czy

wmałychpróbachzałożenietojestspełnione.Wdalszejczęściksiążkiomó-wimytestysprawdzającezałożenienormalnościwestymowanymmodelu.

595.1.Interpretacjawspółczynnikówregresjiizałożenieliniowości

5Interpretacja równania regresji

5.1. Interpretacja współczynników regresji i założenie liniowości

Modelregresjiliniowejzapisaliśmywpostacimacierzowejjako:

y = Xb + f

lub dla i-tej obserwacji:

... ...

, , ..., ,

y x x x

i n

x

1 2

i i i i k ki K Ki i1 2 2= + = + + + + + +

=

b f b b b b fl

gdziewśródregresorówwyróżniliśmyjedenzelementów,amianowiciebkxki.

Warunkowawartośćoczekiwanazmiennejobjaśnianejprzydanychwar-tościachzmiennychobjaśniającychzgodniezrównaniem(2.9)wynosi

... ...

, , ..., .

y x x x

i n

E x

1 2

i i i k ki K Ki1 2 2= + + + + +

=

b b b bl` j

Weźmypochodnącząstkowąwarunkowejwartościoczekiwanejpoxki:

.xyE x

ki

i ik2

2= b

l` j (5.1)

Awięcbk mierzyoczekiwanązmianęyi jako efekt zmiany xkiojednąjed-nostkę,gdywartości innych zmiennych objaśniających modelu pozosta-ją niezmienione. Warunek ten zwany jest warunkiem ceteris paribus (złac.–w tych samych, niezmienionychwarunkach). W modelu regresji wie-lorakiej pojedynczy współczynnik ma jedynie sensowną interpretację ekonomiczną przy warunku ceteris paribus.

896.1.Współliniowośćijejkonsekwencje.Wykrywaniewspółliniowości…

6Problemy wynikające z niedoskonałości danych

statystycznych

Dotychczasprzyjmowaliśmy,żedanestatystycznesłużącedoestymacji mo-deluniebudząnaszegoniepokoju,żesąpoprawnezewzględunawymogimodelowania.Niniejszyrozdziałukazujejednakistnieniedużychzagrożeńdlabudowymodeli,wynikającychzniedostatkówdanych statystycznych.

6.1. Współliniowość i jej konsekwencje. Wykrywanie współliniowości i środki zaradcze

Współliniowośćoznaczadokładnąlubbardzowysokąkorelacjęmiędzyregreso-rami. Dokładnakorelacjajestbłędemekonometryka,którydozbioruzmiennych objaśniającychwprowadził regresor lub regresory, będące kombinacją liniowąinnych regresorów.Jeślinaprzykładdlawyjaśnieniamechanizmuzakupudóbrtrwałych w gospodarstwie domowym, zgodnie z hipotezą dochodów perma-nentnych Miltona Friedmana, za regresorywstawimytrzywielkości:1)dochody,2)dochodypermanentne(dochodytrwaleuzyskiwane)i3)dochodytranzytyw-ne (przechodnie, okazjonalne), to z definicji sumadochodówpermanentnychitranzytywnychjestrównakategoriidochodów,cospowoduje,żekolumnyob-serwacjinatrzechkategoriachdochodówsądokładnieliniowozależne.

Typowym jednak przypadkiem współliniowości jest wysoka korelacja międzyregresorami,coutrudnia,aniekiedyuniemożliwiawydzielenie in-dywidualnegowpływukażdejzezmiennychobjaśniającychnazmiennąob-jaśnianą.Wsytuacjiwspółliniowościposzczególna zmiennawywiera swójwłasnywpływnazmiennąobjaśnianą,jakrównieżprzenosiwpływwszyst-kich innych zmiennychzniąskorelowanych.Naprzykładprzyszacowaniupłacy jako funkcjiwykształcenia, płci,wieku, stażupracymożemyoczeki-wać,żewiekbadanejosobyijejstażpracywykażąsilnądodatniąkorelację.Współliniowość nie jest więc cechą populacji, a cechą próby, w której

zmiennesązbytsilniezesobąpowiązaneliniowo.Współliniowośćwywieranegatywnywpływnaoszacowaniemodeluidla-

tego jest zjawiskiem niebezpiecznym. Gdy pojawia się współliniowość to

997.1.Prognozaibłądstandardowyprognozy

7Prognozowanie na podstawie klasycznej metody regresji liniowej

7.1. Prognoza i błąd standardowy prognozy

Oszacowany na podstawie szeregówczasowychmodelmożebyćwykorzy-stany dla celów prognozowania(predykcji).

Predykcją ekonometryczną nazywamywnioskowaniewprzyszłośćnapodstawie modelu ekonometrycznego.Niechponiższaliniaoznaczaośczasu,naktórejjestzaznaczonyprzedział

próby dla t = 1, 2, ..., Torazprzyszływstosunkudoprzedziałupróbymomentczasu, na który wyznaczana jest prognoza, zwany okresem prognozy T + S. WielkośćS nazywamy horyzontem prognozy.

Oś czasu t = 1 T T + S

przedział próby okres prognozy

Dlapodkreślenia,żeobserwacjewmodeludotycząkolejnychjednostekczasu, zamiast indeksu i = 1, 2, ..., n wprowadzamy indeks t = 1, 2, ..., T. t-ta obserwacja na zmiennejobjaśnianejjestrówna:

yt = xltb + ft, (7.1)

gdzie xlt jest wektorem wierszowym t-tej obserwacji na kolejnych zmiennych objaśniających,awięcxlt = [1, x2t, x3t, …, xKt].Przyjmijmy,żeprawidłowośćopisana równaniemregresjiwpróbieobowiązujerównieżwokresieprogno-zy,awięc:

T S+ +,y xT S T S b f= +

+l (7.2)

gdzie xlT+S jest wektoremwierszowymwartości, jakie przyjmują zmienne objaśniającewokresie prognozowanym: xlT+S = [1, x2,T+S, x3,T+S, …, xK,T+S]. WielkośćyT + S nazwiemy pojedyncząrealizacjązmiennej prognozowanej.

107LiteraturauzupełniającadoczęściI

CzęśćIIZłagodzenie założeń modelu klasycznego

1098.1.HeteroskedastycznośćiautokorelacjazaburzeńlosowychwKMRL

8Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów

Uogólnionametodanajmniejszychkwadratów(UMNK)zwanajestwjęzy-ku angielskim Generalised Least Squares(GLS).

8.1. Heteroskedastyczność i autokorelacja zaburzeń losowych w KMRL

W licznych praktycznych zastosowaniach modelowania ekonometrycznego niejestspełnionezałożenie5KMRLosferycznościzaburzeń,awięcotym,żewarunkowa macierz wariancji-kowariancji wektorazaburzeńf przy danej macierzy Xmapostać:

_ _f f = =l lf f= =i ivar var EX E X 2ff v I_ _i i . (8.1)

Przypomnijmysobie,żezałożeniesferycznościzaburzeńoznacza:Po pierwsze, wariancjekolejnychzaburzeń(elementystanowiącediago-

nalnąmacierzy jednostkowej I)sątakiesamedlawszystkichobserwacji.Sy-tuacjętęnazywamyhomoskedastycznością zaburzeń lub jednorodnością zaburzeń. Wariancje fimogąsięjednakzmieniaćwrazznumeremobserwa-cjiisytuacjętęnazywamyheteroskedastycznością lub niejednorodnością zaburzeń.

Po drugie, elementy pozadiagonalne, które są kowariancjami zaburzeńdlaróżnychobserwacjisąrównezero,awięczaburzeniasązesobąniesko-relowane.Sytuacjętęnazywamybrakiem autokorelacji zaburzeń. Niespełnienie założenia o homoskedastyczności lub braku autokorel-

cjipowoduje,żeestymatory MNK są nadal nieobciążone i zgodne, ale przestają być estymatorami najbardziej efektywnymi,cooznacza,żeichbłędystandardoweniesąnajmniejszezmożliwych.Zanimpodamyekonomiczneprzykładyilustrującetakiesytuacje,zauważ-

my,żenaogółheteroskedastycznośćwystępujewmodelachszacowanychna

1359.1. Test White’a

9Diagnostyka w klasycznej metodzie

regresji liniowej

Diagnostykąnazywamysprawdzaniepoprawnościspecyfikacjirównania re-gresji.Jesttoważnyetapmodelowania,następującypooszacowaniurówna-niaregresji.Sprawdzeniutemusłużątestyzwanetestami diagnostycznymi lub testami specyfikacji.Niektóreznichomówiliśmyjużpoprzednio,jaknaprzykładtesty t -Studenta weryfikacji istotnościpojedynczychzmiennych objaśniających, test łącznej istotności równania regresji, test pominiętychzmiennych,zaprezentowanywrozdziale5,czyteżwreszcietesty heteroske-dastycznościiautokorelacji przedstawione w rozdziale 8.Na szczególną uwagę zasługują test White’a i test Ramseya zwany te-

stem RESET.

9.1. Test White’a

Testten,jakjużwspomnieliśmywrozdziale8,możnatraktowaćjakoogólnytestniewłaściwejspecyfikacjirównaniaregresji.Sprawdzaonhipotezę:

Czy 1. równanieregresjimapoprawnąspecyfikacjęmatematyczną?Błądnie-poprawnejspecyfikacjioznacza,żeniektórelubwszystkiezmienne y lub X powinnybyćtransformowane,awięcprzedstawionejakofunkcjepotęgowe,logarytmiczne,odwrotnościlubinnefunkcjewyjściowychzmiennych.Czywystępuje2. homoskedastycznośćzaburzeńlosowych?Czy 3. zmienneobjaśniającezezbioruXniesąskorelowane z zaburzeniem losowym f?Występowanietakiejkorelacjiwywołujeobciążoność inie-zgodnośćestymatorów MNK.

Małewartościstatystyki White’awskazują,żeżadenztychtrzechprzy-padkówniejestnaruszony,jednakniespełnieniektóregokolwiekznichpro-wadzidodużejwartościstatystyki. Test White’aniepodpowiada,jaknależyzmodyfikowaćrównanieregresji,abywarunkitebyłyspełnione.Uzyskaniepoprawnegomodeluwymagawtakiejsytuacjidalszychżmudnychzabiegów,popartych dobrym przygotowaniem ekonomicznym w zakresie istoty mode-lowanego zagadnienia.

153Podsumowanie

CzęśćIIISzczególnie ważne

modele ekonometryczne

155Podsumowanie

10Ograniczona zmienna objaśniana

W badaniach ekonometrycznych spotykamy sytuacje, gdy nie tylko zmienne objaśniającemającharakterjakościowyiwzwiązkuztymwrównaniu regre-sjisąprzedstawianezapomocązmiennychzerojedynkowych,coprowadziłodo modeli opisanych w podrozdziale 5.2.Częstorównieżzmiennaobjaśnianajestzmiennątypujakościowegoizda-

rzasię,żeprzyjmujeonatylkodwiewartości.Zsytuacjamitakimimamydoczynieniaprzywyjaśnianiupowodów,dlaktórychniektórzykończą studiawyższe,ainniniekończą,lubniektórekobietypodejmująpracęzawodową,ainneniepodejmują,lubniektórerodzinykorzystajązinternetu,ainnenie,lubmająwłasnydom,ainnegoniemają.

We wszystkich przedstawionych sytuacjach zmienna objaśniana jestzmienną binarną, przyjmującą wartość 1 gdy badane zjawisko występujeoraz 0gdyniewystępuje.Metodamiestymacjitegorodzajumodelisądwierównoważnemetody:metoda logitowa i metoda probitowa.

10.1. Liniowa funkcja prawdopodobieństwa

Wstępemdorozważańnadmetodąlogitowąiprobitowąjestliniowa funkcja prawdopodobieństwa.Dlajejomówieniaposłużmysięprzykłademkorzysta-niaprzezbadanąosobęzinternetu.Oznaczmyzmiennąyi = 1 gdy i-ta osoba (i = 1, 2, …, n)korzystazinternetuorazyi=0,gdyniekorzysta.Załóżmyrozsądnie,żewykorzystywanieinternetuzależyodzarobkówbadanejosoby,jejpłci,wiekuipoziomuwykształcenia.Przyjmijmy,zgodniezkonwencjo-nalnymzapisem,żeliczbatychzmiennychwynosiK.Przyjmijmy, że chcemy zastosować klasyczny model regresji. Wówczas

równanieregresjidlaposługiwaniasięinternetemprzezi-tą osobęprzyjmiepostać:

yi = b1 + b2x2i + b3x3i + … + bKxKi + fi i = 1, 2, 3, …, n; (10.1)

lub krócej yi = xlib + fi,

167Podsumowanie

11Modele jednowymiarowych szeregów czasowych

11.1. Analiza klasyczna

Rozważanedotychczasmodele regresyjnemiałynaceluustaleniestruktu-ryzjawiska,uzależniająctęstrukturęodzbioruzmiennychobjaśniających.Znajomość zmiennych objaśniających była niezbędna dla opisu i progno-zowania.Doświadczenie podpowiada, że nie zawsze znamywartości tychzmiennych dla okresu prognozowanego. Dlawzględnieprostychwswejstrukturzezjawiskbudowamodelu regre-

sjiwielorakiejwydajesięzabiegiemniepotrzebnym.Wtakichsytuacjachmożemykorzystaćzmodeliopartychnaanaliziejed-

nowymiarowego szeregu czasowego.Klasycznaanalizastatystycznasprowadzałasiędodekompozycjiszeregu

naelementyskładowe,jaknaprzykład:

yt = Tt + St + Ct + ft, (11.1)

gdzie:yt–badanezjawiskowczasiet,Tt–składniktrenduwczasiet,St–składniksezonowywczasiet,Ct–składnikcyklicznywczasiet,ft–składniklosowywczasiet.

Niekiedybyłatodekompozycjazelementamimultiplikatywnymi:

yt = Tt # St # Ct # ft. (11.2)

Czasemstosowanesąspecjalnemetodyanalizy,jaknaprzykładwyrów-nywaniewykładnicze(Exponential Smooting).

185Podsumowanie

12Modele dynamiczne

Większość z dotychczas rozważanychmodeli była oparta nadanych prze-krojowych.Oznaczałoto,żezmiennaobjaśnianabyłazależnaodrównocze-snych obserwacji na zmiennychobjaśniających.Relacjeekonomicznebardzoczęstoprzebiegająwczasie,cooznacza,że

w równaniu regresji zmiennaobjaśnianamożezależećnietylkoodrówno-czesnych, ale i od opóźnionych (minionych) obserwacji na zmiennych objaśniających, jak też od opóźnionych obserwacji na zmiennej obja-śnianej. Modele tego rodzaju zwane sąmodelami dynamicznymi, gdyżwyznaczanesąnapodstawieszeregówczasowychdlaobserwacjipochodzą-cychzróżnychokresów.Możnawyróżnićconajmniejtrzypodstawowepowody,dlaktórychwba-

daniachekonomicznychwystępująopóźnieniawreakcjach.Popierwsze–sąonewynikiemopóźnieńreakcjipsychicznychpodmiotów

gospodarczych.Z reguły, ludzkieprzyzwyczajenia i nawykiwywołująpewnąbezwładnośćzachowań,którapowoduje,żezmianynaprzykładdochodówlubcenniewywierająnatychmiastowychreakcjirynkowych.Potrzebnyjestpewienupływczasudlawykształceniasięnowychprzyzwyczajeńpostępowania.Po drugie – przystosowanie się podaży do zmian rynkowychnastępuje

z opóźnieniem,wymuszonymwarunkami technologicznymi uruchamianianowych inwestycji, produkcji, importu itp.Po trzecie–działajączynniki instytucjonalne, takie jakumowydostaw,

warunkidługookresowychkontraktów,terminywchodzeniawżycienowychprzepisów itp.Ztychiwielupodobnychpowodówopóźnieniaodgrywająwprocesach

ekonomicznychważną rolę. Sąonepowodemwprowadzeniado rozważańteoriiekonomiipojęciakrótkiegoidługiegookresu.

12.1. Problemy ekonometryczne modeli dynamicznych

Szacowanie modeli na podstawie szeregów czasowych tworzy nowe, niespo-tykane przy danychprzekrojowychproblemy.Wynikająonezniebezpiecz-

20513.1. Modele wielorównaniowe

13Modele wektorowej autoregresji (VAR)

i modele korekty błędem

13.1. Modele wielorównaniowe

Wzastosowaniach empirycznych częstomodelowany fragment rzeczywi-stościekonomicznej,naskutekswojejzłożoności,wymagadlapełniejszegoopisuniepojedynczegorównania,akilku,kilkunastu,aczasem(jaktomamiejsce w modelachmakroekonomicznych)kilkudziesięciurównań.Lata60.–80.XXwiekuzwane„złotymwiekiemekonometrii”byłyokre-

sem budowy modelimakroekonomicznychocorazwiększejliczbierównań.Pierwszy, bardziej rozbudowany model makroekonomiczny gospodarki USA Kleina-Goldbergeraz1955rokuzawierał20równań,takzwanyBro-okings Modelz1965rokumiałjuż160równań,adrugajegowersjaz1970rokuposiadała aż200 równań.WPolscemodelowaniem wielorównanio-wymgospodarkizajmowałsięprzedewszystkimzespółW. Welfego [Welfe 1992]zUniwersytetuŁódzkiegoiW. Maciejewskiego z Uniwersytetu War-szawskiego.

W badaniach fragmentów gospodarki na szczeblu mezoekonomicznym lubmikroekonomicznymczęstozachodzikoniecznośćkorzystaniazmodeli wielorównaniowych.

Dla potrzeb estymacji modeliwielorównaniowychpowstałyspecjalneme-todyekonometryczne,jaknaprzykładpodwójna metoda najmniejszych kwa-dratów, potrójna metoda najmniejszych kwadratów, metoda zwana metodąpozornieniezależnychregresjiczywreszciedlamodelidynamicznych–meto-daVAR(metodawektorowejautoregresji),czymetodakorektybłędemrów-nowagi.Naprzykładbadaniabudżetówgospodarstwdomowychdostarczająco-

rocznieokoło30 tysięcyobserwacjiodochodach iwydatkach indywidual-nych rodzin. Wielorównaniowemodele popytu, uzależniającewydatki go-

223Podsumowanie

14Opracowanie projektów badawczych

Jużprzypisaniupracydyplomowejlubmagisterskiejpodejmowanyjestwy-siłek samodzielnego opracowania projektu badawczego. Istotnym proble-mem jestwybór tematu.Ważkimpytaniem, które należy sobie zadać jestpytanie: „Comnie interesuje?”.Wybór interesującego tematu istotniepo-prawiasamopoczuciepiszącego iwzmagawysiłekbadawczy,przyczyniającsięodniesieniasukcesu.Jeślijednakzaczynamypracęnadtematem,którymnie jesteśmy zafascynowani, to powinniśmy pamiętać, że zainteresowaniewzrastawrazzpostępamiwstudiowaniuliteratury,formułowaniuhipotezbadawczychiposzukiwaniudanych.Czaspoświęconynatymetapiedocie-kańnapewnoniebędziezmarnowany.Korzystajmyintensywniezpomocyopiekuna naukowego.Badaniaocharakterzenaukowymstająsięcorazpowszechniejszymzaję-

ciemekonomistówuczestniczącychprzypodejmowaniudecyzjiekonomicz-nychnaróżnychszczeblachzarządzaniaiwróżnychdziedzinachdziałalno-ści gospodarczej, społecznej czy politycznej. Zadaniom takim towarzyszykoniecznośćpisaniaraportówzbadań,wykorzystującychdaneempiryczne.Wzależnościodceluopracowaniaiaudytorium,doktóregojestonoadre-sowane,możemiećonoróżnorodneformy.Niezależniejednakodszczegó-łowychuwarunkowańwiększośćsprawozdańbadawczychpowinnozawieraćnastępująceelementy:

Wprowadzenie1. Przeglądliteratury2. Teoria ekonomiczna3. Dane statystyczne4. Model5. Wyniki estymacji6. Wnioski7.

Wprowadzenie.1. Przy pisaniu pracy dyplomowej lub magisterskiej pa-miętajmyonapisaniukrótkiegostreszczeniazamierzonejpracy,wktó-rymokreślonybyłby celpracy,głównehipotezy–będąceprzedmiotem

227LiteraturauzupełniającadoczęściIII

Aneksy

229A. Elementy algebry macierzy

AElementy algebry macierzy

Macierzą nazywamy zbiór liczb rzeczywistych uporządkowanych w wier-szach i kolumnach. Pojedynczą liczbęnazywamy skalarem lub elementemmacierzy.

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

A

m m m

n

n

n

mn

11

21

31

1

12

22

32

2

13

23

33

3

1

2

3

h h h

g

g

g

g

h

=

R

T

SSSSSSSS

V

X

WWWWWWWW

. (A.1)

A jestmacierzązłożonązm wierszy i nkolumn.Każdyelementmacie-rzyjestliczbąrzeczywistą.Liczbym oraz n nazywamy wymiarami macierzy, a macierz AzapisujemyczęstojakoAm

# n.

Zapomocąmacierzybędziemyzapisywaćzbiorydanych statystycznych, użytychprzybudowiemodeliekonometrycznych.Każdywierszmacierzyjestwówczasjednąobserwacjąnazmiennychmodelu,akażdakolumnatworzyzbiórwszystkichobserwacjinawybranejzmiennej.Oznaczającprzezxik i-tąobserwacjęnak-tej zmiennejobjaśniającejmacierz obserwacji na zmiennych objaśniającychzapiszemy:

X

xxx

x

xxx

x

xxx

x

111

1 n n

K

K

K

nK

12

22

32

2

13

23

33

3

1

2

3

h h h

g

g

g

g

h

=

R

T

SSSSSSSS

V

X

WWWWWWWW

. (A.2)

Wmacierzytejpierwszakolumnajestkolumnąjedynek.Potrzebętakie-gozapisuwyjaśniaklasyczny model regresji liniowej.

243A.Wybranezagadnieniarachunkuprawdopodobieństwa

BWybrane zagadnienia rachunku

prawdopodobieństwa

Wartość oczekiwana zmiennej losowejŚredniąlubwartościąoczekiwanązmiennej losowej jest

x

x f x

x f x dxE

x

x

=_

_

_

i

i

i

Z

[

\

]]]

]]

/

y

,

,

gdy x zmienna dyskretna,

gdy xzmiennaciągła,(B.1)

gdzie f(x)jestfunkcjągęstościzmiennejx.

Średniączęstooznaczamyprzezn.Jeśliy = a + bx, to

E(y)=E(a + bx)=a + bE(x). (B.2)

Wariancja zmiennej losowej

var x x

x f x

x f x dxE

x

x

2

2

2n

n

n= - =

-

-_ _

_ _

_ _

i i

i i

i i

9 C

Z

[

\

]]]

]]

/

y

,

,

gdy x zmienna dyskretna,

gdy xzmiennaciągła.(B.3)

Jeśliy = a + bx, to

var(y)=var(a + bx)+b2var(x). (B.4)

Oczekiwaną wartością wektora lub macierzy jest wektor lub macierzwartości oczekiwanych. Zapiszmy n-wymiarowy wektor zmiennych loso-

253A. Bazy danych

CBazy danychopracowałTomaszRybnik

BazaCIA–1. The World Factbook 2000–2006(https://www.cia.gov/library/ publications/the-world-factbook/index.html)Bogateźródłoinformacjiokrajachcałegoświata(geografia,demogra-

fia,ustrój,gospodarka,komunikacja,transport,wojsko).Danewformieraportów–należyjekonwertowaćdobardziejużytecz-

nych postaci.Baza jest oprócz tego darmowa.

Bazy 2. OECDa)OECD Patent Database (http://www.oecd.org/document/41/0,3343,

en_2649_34451_40813225_1_1_1_1,00.html#rawdata) –danepatento-we(równieżdane„surowe”).Dostępnedlaanalitykówibadaczy(spo-sóbwnioskowaniapodanynastronie).

b)OECD Factbook 2009 Economic, Environmental and Social Statistics (http://www.oecdbookshop.org/oecd/display.asp?CID=&LANG=en &SF1=DI&ST1=5KZC21TB940R) – bardzo wiele informacji (ponad 100wskaźników)okrajachOECD i wybranych innych krajach. Informacje te można zobaczyć na stronie: http://www.oecdbookshop.org/oecd/ display.asp?CID=&LANG=en&SF1=DI&ST1=5KZC21TB940R#TableOfCon-tentsBazadla roku2009,płatna (35euro),możliwośćkonwertowania

danych do formatu Excela.Darmowy Factbook na wykresach: http://stats.oecd.org/nawwe/

factbook09/default.htmlBaza c) OECDdoporównańmiędzypaństwowych:http://stats.oecd.org/index.aspxBazy danych d) PISA (Programme for International Student Asses-sment) – „jakość studentów” (oceniana za pomocą różnych kry-teriów) w wielu różnych krajach (43 w roku 2000, 41 w roku2003 i 57w roku 2006, niebawem również dane dla 2009). 4500– –10000studentówwkażdymkraju.Bazadarmowa–danewformacieSPSS-a bądź SAS-a. Dostępna na http://www.pisa.oecd.org/pages/ 0,3417,en_32252351_32236130_1_1_1_1_1,00.html

Prof. dr hab. Brunon R. Górecki jest wieloletnim pracownikiem Wy-działu Nauk Ekonomicznych Uniwersytetu Warszawskiego, gdzie od wielu lat prowadzi wykłady i seminaria z zakresu teorii i praktyki eko-nometrii. Kilka lat wykładał ekonometrię na Uniwersytecie w Ibada-nie (Nigeria) i Uniwersytecie w Bogocie (Kolumbia). Obecnie pracuje również w Uczelni Warszawskiej, pełniąc funkcje kierownika Katedry Metod Ilościowych.

Zajmuje się zastosowaniami modeli ekonometrycznych w proble-matyce konsumpcji, szczególnie konsumpcji gospodarstw domowych. Przez długi czas uczestniczył w międzynarodowych badaniach poświę-conych ekonometrycznym zagadnieniom konsumpcji.

Brunon R. Górecki

Ekonometriapodstawy teorii i praktyki

Wydawnictwo Key Text

Brunon R. G

órecki Ekonometria – podstaw

y teorii i praktyki

okładka po AW.indd 1 2010-06-30 13:12:25