bulanik İlİŞkİ matrİsİ İle atama problemİ Üzerİne
DESCRIPTION
BULANIK İLİŞKİ MATRİSİ İLE ATAMA PROBLEMİ ÜZERİNE. Prof. Efendi NASİBOĞLU DEÜ Fen Fakültesi Bilgisayar Bilimleri Bölümü. BELİRSİZLİK KAVRAMI. Stokhastik belirsizlik Zarın yuvarlanması… Sözel belirsizlik Güzel kitap, düşük fiyat, ağır eşya… Bilgisel belirsizlik - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
BULANIK İLİŞKİ MATRİSİ İLE ATAMA PROBLEMİ ÜZERİNE
Prof. Efendi NASİBOĞLU
DEÜ Fen Fakültesi
Bilgisayar Bilimleri Bölümü
BELİRSİZLİK KAVRAMI
Stokhastik belirsizlik
Zarın yuvarlanması…
Sözel belirsizlik
Güzel kitap, düşük fiyat, ağır eşya…
Bilgisel belirsizlik
Kredi değerliliği, dürüstlük…
2
KLASİK - BULANIK MANTIK
Klasik mantık Önermeler sadece doğru veya yanlış olabilir.
Spor yapmak faydalıdır. (Doğru) Teorik eğitim yeterlidir. (Yanlış)
Doğruluk derecesi 0 ya da 1’dir.
Bulanık mantık Doğruluk derecesi [0,1] aralığında değerler
alabilir. Spor yapmak faydalıdır. (0.9 doğru) Teorik eğitim yeterlidir. (0.5 doğru)
3
KLASİK KÜME
Bir eleman bir kümeye ya aittir ya da değildir.ya da
Klasik kümede üyelik fonksiyonu
4
Ax Ax
Ax
AxxA 1
0 1,0xA
U : insanlar kümesi
G : genç insanlar kümesi
1
x25
KLASİK KÜME
},25)(0{ UxxyaşggGenç
)(xGenç
5
1
x
BULANIK KÜME
)(xGenç
1,0: UG
1,0: UG
L. A. Zadeh, “Fuzzy sets,” Information and Control, vol. 8, pp. 338-353, 1965.
U evrensel kümesinde, G bulanık kümesi üyelik fonksiyonu ile tanımlanır.
Klasik kümede ise şeklindedir.
625
Aa1
a2
a3
a4
B
b1
b2
b3
b4
b5
İKİLİ BAĞLANTILAR (BINARY RELATIONS)
BAR
0
0
1
0
0110
0101
1100
0101
RM7
x, y’ye yakındır.
x ve y sayıları
x, y’ye bağlıdır.
x ve y olayları
x, y’ye benzerdir.
x ve y kişileri veya nesneleri
GERÇEK HAYATTA BAĞLANTILAR
YXyxyxyxR R ,,,,
7.00.05.00.0
5.00.07.02.0
2.00.00.09.0
1.08.02.00.0
RM
8
OPTİMİZASYON NEDİR?
Optimizasyon, bir sistemde yer alan kaynakların
en iyi şekilde kullanılması ile, belirli amaçlara
ulaşmayı sağlayan bir teknoloji olarak
tanımlanmaktadır.
Kaynaklar: İşgücü, zaman, kapital, hammaddeler,
kapasite,…
Amaçlar: Maliyet minimizasyonu, kâr
maksimizasyonu, kapasite kullanımının ve verimliliğin
maksimizasyonu… 9
ATAMA PROBLEMLERİ
Atama problemleri bir çeşit optimizasyon
problemidir.
Kaynakların, görevlere en uygun şekilde
atanmasını sağlamayı amaçlar.
İşçilerin işlere atanması
İşlerin makinelere paylaştırılması
Nesnelerin kutulara paylaştırılması…
10
ATAMA PROBLEMLERİ
11
mjiveyax
mjx
mix
xcMin
ij
m
iij
m
jij
ij
m
i
m
jij
,...,2,1,,10
,...,2,11
,...,2,11
1
1
1 1
Maliyet minimizasyonu için matematiksel gösterim
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
12
Bir önceki problem gösteriminde i. işçinin j. işi
yapma maliyetleri bulanık değişken olabilir.
Veya işçilerin işleri yapma yeteneklerine göre
maksimum kaliteli iş paylaşımı ile ilgilenilebilir.
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KUTU PAKETLEME PROBLEMİ
13
Nesnelerin konteynerlere yerleştirilmesi problemi;
nesneler olsun.
konteynerler olsun.
kiralık konteyner olsun.
Nesneler ve konteynerler arasındaki bulanık ilişkiler;
: ’nin ve ’nin birarada taşınması gerekliliği
: ’nin ve ’nin birarada taşınması
uyumluluğu
: ’nin ’de taşınması gerekliliği
: ’nin ’de taşınması uyumluluğu
nxxxX ,...,, 21
mSSSS ,...,, 21
ix jx
ix jx
ix jS
ixjS
),(11 ji xxRR
),(22 ji xxRR
),(33 ji SxRR
),(44 ji SxRR
1mS
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KUTU PAKETLEME PROBLEMİ
14
Bu notasyona bağlı olarak;
Kalite derecesi;
mjSxSxxxRSK jjj ,...,1,),(max1)( 212111
mjSxSxxxRSK jjj ,...,1,),(min)( 212122
mjSxSxRSK jjj ,...,1,),(max1)( 33
mjSxSxRSK jjj ,...,1),(min)( 44
)}(),(),(),(min{min 4331,...,1
jjjjmj
SKSKSKSKA
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KUTU PAKETLEME PROBLEMİ
Kısıtlar
fonksiyonu,
koşulunu sağlayan herhangi bir doğrusal fonksiyon olsun. konveks bulanık küme olsun.
Kısıtlar toplamsal da olabilir.15
mjkiBSQxxF ijjii ,...,1;,...,1)(
)( jii SQxxF ji SQx
ijB
mjkiBxFji SQx
iji ,...,1;,...,1)(
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KUTU PAKETLEME PROBLEMİ
16
ijjii BSQxxF )(
min)(1
mSx
xF
maxA
mjki ,...,1,,...,1
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.1)-(1.3) problemini çözebilmek için problem şu şekle dönüştürülür;
17
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KUTU PAKETLEME PROBLEMİ
ijgjii BSQxxF )(
min)(1
mSx
xF
gA
mjki ,...,1,,...,1
]1,0(g
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
Lemma 1: Eğer belirli bir için
sağlanıyorsa verilen “g” değeri için (1.4)-(1.7) probleminin
çözümü yoktur.
Teorem 1:
durumunda (1.4)-(1.7) probleminin çözümü yoktur.
Teorem 2: , bağlantı matrisinin transitif kapanması olsun.
durumunda (1.4)-(1.7) probleminin çözümü yoktur.
18
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KUTU PAKETLEME PROBLEMİ
]1,0[g
gSxRSxR jiji )},(),,(1max{ 43
)},(),,(1max{min 43
,...,1,...,1
jiji
mjni
SxRSxRg
)},(),,(ˆ1max{min 21,...,1,
jijinji
xxRxxRg
1R̂ 1R
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ
19
n sayıda iş , m sayıda işçi
olsun.
Kiralık işçi grubu ile gösterilsin.
Bulanık yetenekler matrisi olsun.
İşçilerin işlere atanması
Her bir esas işçinin toplam iş yüklemesi işçinin
kapasitesini aşmamalıdır.
Her bir iş, sadece bir işçiye atanabilir.
nj mi ,cC ij ,...,1;,...,1
nj mi ,xX ij ,...,1;1,...,1
,...,1i ,1
mbxa i
n
jijj
nxm
iij ,...,1j ,1
1
nppp ,..., , 21 msss ,...,, 21
1ms
OPTİMİZASYON KRİTERLERİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ
20
maxmin)(1
ijij
xxcx
ij
max1)(
1
11
1
1 1
n
jj
n
jjmj
n
jj
m
i
n
jijj
a
xa
a
xa
x
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ
21
Örnekteki amaç fonksiyonunda, minimum kaliteyle
iş yapan işçinin atamasının maksimum yapılması
hedeflenmiştir. Ancak bu fonksiyondaki min
operatörü yerine herhangi bir birleştirme
operatörü kullanılabilir.
max)()(maxmin)(1
ijijijij
xxcOWAxxcx
ij
SİRALİ AĞİRLİKLİ ORTALAMA BİRLEŞTİRME OPERATÖRÜ (OWA)
22
n
iii
Tnw bwWBaaF
11 ),...,(
n boyutlu OWA birleştirme fonksiyonu ağırlık vektörüyle aşağıdaki
gibi hesaplanmaktadır.
Sınırlı: Monoton: Eğer ise Simetrik: Idempotent: Eğer ise, .
),...,,( 21 nw aaaF),...,,( 21 nwwwW
),...,max(),...,(),...,min( 111 nnn aaaaFaa ),...,(),...,( 11 nn ggFaaF niga ii ,...,1,
),...,(),...,( )()1(1 nn aaFaaF aaaF n ),...,( 1aai
ÇÖZÜM ŞEMASİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ
23
I. Aşama
II. Aşama
max)( x
max)( x
max )( x
ÇÖZÜM ALGORİTMASİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ
I. Aşama Adım 0. Başlangıç değerler;
n,j ;m,i xij 111,0
n,j ;m,i cij 11,
n,j a j 1, m,i bi 1,
m,i bs ii 1,: 1:DegMin24
Adım 1. İşler, iş miktarlarının büyüklüğüne göre azalan sırada sıralanır.
Adım 2. Her bir iş sırayla ele alınır. Adım 3. İşçiler j. işi yapabilme yeteneklerine
göre, azalan sırada sıralanırlar. Adım 4. Her bir i. işçi için Adım 5 tekrarlanır. Adım 5. Eğer
Sonuç: ve DegMin
ij sa
1:ijx jii ass : },min{: ijcDegMinDegMin
n,j ;m,i ,xij 111 25
ÇÖZÜM ALGORİTMASİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ
II. Aşama
26
27
II. AŞAMA ÇÖZÜM ALGORİTMASİ
28
KAYNAKLAR NASİBOV E.N., (1998), “On The Bin Packing Problem with Fuzzy
Information”,Izv. Akad. Nauk Azerbaidzhana. Ser. Fiz.-Tekh. İ Matem.Nauk, No 6, 23-27.
NASİBOV E.N., (2002), “Certain integral Characteristics of Fuzzy Numbers and visual Interactive Method of Choosing The Strategy of Their Calculation”, J. Comp. And System Sci. Int., 41(4), 584-590.
NASİBOV E.N., NASIBOVA R.A., (2003), “OWA and MIN Aggregation methods in fuzzy bin-packing problem”, Transac.of the National Academy of Sciences of Azerbaijan, phus.-tech. and math. series, No. 2, pp.45-50.
NASİBOV E.N., (2003), “Aggregation of Fuzzy Values in Linear Programming Problems”, Automatic Control and Computer Sciences 37(2), 1-11.
NASİBOV E.N., (2004), “An Algorithm for Constructing an Admissible Solution to the Bin Packing Problem with Fuzzy Constraints”, Journ. of Comp. and Syst. Sci. Int., 43, No.2, 205-212.
NASİBOV E.N., SENOL S., NASIBOVA R.A., (2004), “An Optimal Task-Assignment Problem with a Fuzzy Competence Matrix”, Automatic Control and Computer Science, Volume 37, No.6, 28-40.
NASİBOV, E.N., & KINAY, A.Ö., (2006), “Kaliteli İş Paylaşımı Problemi için Bulanık Mantık Yaklaşımı”, İstanbul Ticaret Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi, 5(10), 13-22.
29