倍数算まとめ①...

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倍数算　まとめ①倍数算とは

倍数算の解法

ある倍数関係(または比)にある２つの数量が,一方もしくは両方が増えたり減ったりして,別の倍数関係(または比)に変化したときにもとの数量や変化後の数量を求める問題を倍数算といいます。

倍数算の問題のタイプには,主に次のように４つのタイプがあります。解法には,線分図を使って解く方法などいくつかありますが,Ⅰ～Ⅲは,「最初と後の関係図」を書いて,数の変わらないものに着目し,比を合わせて解く方法,Ⅳは関係図を書いて消去算を用いて解く方法をおすすめします。

最初に２つの倍数関係(または比)がわかっていて,一方の数が変化したあと,２つの倍数関係(または比)がわかっている問題。

最初に２つの倍数関係(または比)がわかっていて,一方からもう一方へやりとりしたあと,２つの倍数関係(または比)がわかっている問題。

最初と後の関係図を書き,数の変わらない方の比の値をそろえます。

Image

Point !

Point !

●cm

●cm

●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●

●●●

ABCDEF kg‚ km

(２)

(１)

(４)

(３)

●●●解法のポイント

最初と後の関係図を書き,２つの和が変わらないので,和の比の値をそろえます。

最初と後の関係図を書き,２つの差が変わらないので,差の比の値をそろえます。

解法のポイント

▲

STEP3

STEP1

STEP2

●●●

例題１例題１

例題２例題２

例題３例題３

例題４例題４

例題５例題５

…… ①

…… ②

…… ③

…… ④

●●

●●●●●●●●●●

３cm

３cm

３cm

……(答え)

別解別解

２３４５６７８９ 1012 13 14 15 16 17 18 19

22 23 24 25 26 27 28 29

20

30

●●●●

●●●●

●●●●

●●●●

g B C D E F G H I

(m3)

補足補足

① ② ③ ④ ⑤

両はしに木がある場合,「間の数＝木の本数－１」

問題例問題例

最初に２つの倍数関係(または比)がわかっていて,両方が同じ数だけ増えたり,減ったりして,２つの倍数関係(または比)がわかっている問題。

最初と後の関係図を書き,２つの式を作り,消去算を用いて解きます。


最初に２つの倍数関係(または比)がわかっていて,両方の数が異なる数だけ変化して,２つの倍数関係(または比)がわかっている問題。


Ⅰ.一方の数が変わらないタイプ

Ⅱ.２つの数の和が変わらないタイプ

Ⅳ.２つの数が変わるタイプ

Ⅲ.２つの数の差が変わらないタイプ

Ⅰ.一方の数が変わらないタイプ

Ⅱ.２つの数の和が変わらないタイプ

Ⅳ.２つの数が変わるタイプ

Ⅲ.２つの数の差が変わらないタイプ

AとBの２人の所持金の比は９：５です。Aが300円を使うと,AとBの所持金の比は３：２になりました。はじめのAの所持金はいくらですか。※解答は,まとめ②参照。

問題例問題例AとBの２人の所持金の比は５：３でした。その後AがBに35円をあげたので,AとBの所持金の比は３：２になりました。はじめのAの所持金はいくらですか。※解答は,まとめ②参照。

問題例問題例AとBの２人の所持金の比は７：４です。２人とも1100円ずつ使ったので,AとBの所持金の比は８：３になりました。はじめのAの所持金はいくらですか。※解答は,まとめ②参照。

問題例問題例AとBの所持金の比は５：１です。Aは160円,Bは180円もらったので,AとBの所持金の比は３：１になりました。はじめのAの所持金はいくらですか。※解答は,まとめ②参照。

K学院高等学校の1年生は音楽と美術のどちらか1科目を選択して学習することになっていま

す。ある日生徒たちに希望をとったところ,音楽と美術の希望者の比が3： 2でした。そこで音

楽を希望する生徒のうち16名を美術に移動させたところ,音楽と美術の比が7：6になりました。

K学院高等学校の1年生は何人いますか。

２つ数の和が変わらないタイプ

姉と妹の所持金の比は5：3でしたが,姉が妹に35円あげたので,姉と妹の所持金の比が3：

2になりました。姉のはじめの所持金は仁二コ円です。

2016 慶臆義塾中等部

AさんがBさんに100円を渡すとAさんとBさんの所持金は同じになり, BさんがAさんに

100円を渡すとAさんの所持金はBさんの所持金の2倍になります。Aさんのもとの所持金は

仁二二コ円です。

2016 東京都市大学等々力中学校

はじめ,兄と弟の所持金の比は8：3でした。兄が500円使ったので,兄と弟の所持金の比

は2： 1になりました。はじめ,弟は仁二二二1円持っていました。

2016 学習院中等科

姉と妹の所持金の比は8：5でしたが, 2人とも1100円の買い物をしたので,姉と妹の所

持金の比は7：3になりました。このとき,最初に姉が持っていたお金は何円ですか。

2016 大妻嵐山中学校(第1回

初めに袋の中に入っていた赤玉と白玉の個数の比は5: 9でした。赤玉を10個増やし，白

玉を3個減らすと，個数の比は10:11になりました。初めに袋の中に入っていた赤玉の個数

は仁二二コ個です。

2016 鎌倉女学院中学校

兄と妹が持っているお金の比は4:3です。兄と妹がそれぞタれ1200円ずつ使ったところ，

残ったお金の比は5:3になりました。兄がはじめに持っていたお金は何円ですか。

2016 吉祥女子中学校

栄君と東君の所持金の比は2:3でしたが，東君が栄君に800円渡したところ，栄君と東君

の所持金の比は2:1となりました。このとき，最初に栄君が持っていたお金は円で

す。

やりとり

2012 栄東中学校

◎それでは,それぞれのタイプについて解説します。

※どちらか一方の比の値をそろえて,線分図から解く方法もあります。　詳しくは過去問解説集を参照。


倍数算　まとめ② ※問題の解法を見比べることで,違いを理解し覚えやすいように１枚に　まとめました。詳しい解説は過去問解説集にあります。

問題例問題例

Ⅰ.一方の数が変わらないタイプ Ⅱ.２つの数の和が変わらないタイプ Ⅳ.２つの数が変わるタイプⅢ.２つの数の差が変わらないタイプⅠ.一方の数が変わらないタイプ Ⅱ.２つの数の和が変わらないタイプ Ⅳ.２つの数が変わるタイプⅢ.２つの数の差が変わらないタイプ

AとBの２人の所持金の比は９：５です。Aが300円を使うと,AとBの所持金の比は３：２になりました。はじめのAの所持金はいくらですか。

問題例問題例

AとBの２人の所持金の比は５：３でした。その後AがBに35円をあげたので,AとBの所持金の比は３：２になりました。はじめのAの所持金はいくらですか。

問題例問題例

AとBの２人の所持金の比は７：４です。２人とも1100円ずつ使ったので,AとBの所持金の比は８：３になりました。はじめのAの所持金はいくらですか。

問題例問題例

AとBの所持金の比は５：１です。Aは160円,Bは180円もらったので,AとBの所持金の比は３：１になりました。はじめのAの所持金はいくらですか。

25

25

24 １

25 15 40

24 16 40

25 ＝－

はじめのAの所持金は, より,

変わらないものに着目すると,二人の所持金の和は変わっていません。そこで,はじめとやりとり後の和の比を合わせると,次のような関係図になります。

A B

はじめ

やりとり後

和

減り,

１

＝35×25＝875円 ……(答え)

Bは 15 １16 ＝－増えていることから,

３２５

A B

はじめ

やりとり後

⑤ ③ ⑧和

－35円＋35円

変わらないものに着目すると,二人の所持金の差は変わっていません。そこで,はじめと買い物後の差の比を合わせると,次のような関係図になります。

８３５

A B

A B

はじめ

買い物後

⑦ ④ ③差

－35円＋35円

これより,Aは

この　　がAがBにあげた35円にあたる

ことがわかります。▲

３２

A B

B

はじめ

買い物後

⑨ ⑤－300円

15 ３18 ＝－

３１＝300 ＝100

18 ＝100×18＝1800円 ……(答え)

減っていて,この減った分が300円にあたることがわかります。

18はじめのAの所持金は, より,

変わらないものに着目すると,Bの所持金は変わっていません。そこで,Bの比を合わせると,次のような関係図になります。

よって, よって,

これより,Aは

÷３ ▲11 １＝1100 ＝100

÷11よって,

▲

÷２

よって,はじめのAの所持金は,⑤より190×５＝950円 ……(答え)

買い物後

－300円

A

はじめ

15 10

18 10

35 ＝100×35＝3500円 ……(答え)

35最初にAが持っていたお金は, より,

－1100円－1100円

－1100円－1100円

はじめ

買い物後

差

24 ９ 15

35 20 15

24 1135 ＝－

９ 1120 ＝－Bは減っていて,

これより,Aは

この減った分が1100円にあたることがわかります。

３

３

１

A B

はじめ

もらった後

⑤ ①＋160円＋180円

⑤＋160＝

１①＋180＝

(イ)の式を３倍すると

変わらないものがないので,AとBに関する式を２つ作ります。

この２つの式を消去算を用いて解きます。

……(ア)

３⑤＋160＝

３③＋540＝ ……(ウ)

３③＋540＝

②＝380

②＝380 ①＝190

……(イ)

(ア)の式から(ウ)の式を引くと

－

問題文より,関係図は次のようになります。問題文より,関係図は次のようになります。問題文より,関係図は次のようになります。問題文より,関係図は次のようになります。

５と２の最小公倍数は10

８と５の最小公倍数は40

３と５の最小公倍数は15


☆中学受験倍数算 2012年湘南学園中学校難易度★★★☆☆

兄と弟の所持金の比は５：４でしたが，兄が900円使ったので,兄と弟の所持金の比が

１：２になりました。はじめの兄の所持金はいくらでしたか。


☆中学受験倍数算 2015年西武学園文理中学校難易度★★★☆☆

AとBの２人の所持金の比は３：４です。Bが1400円を使うと,所持金の比は４：３になりました。

Aの所持金はいくらですか。


☆中学受験倍数算 2016年学習院中等科難易度★★★☆☆

はじめ,兄と弟の所持金の比は８：３でした。兄が500円使ったので,兄と弟の所持金の比は

２：１になりました。はじめに弟が持っていた所持金はいくらですか。


☆中学受験倍数算 2013年湘南学園中学校難易度★★☆☆☆

はじめに,兄と弟の所持金の比は３：２でした。その後,兄が弟に900円あげたら所持金の比が

3：５になりました。はじめに兄はいくら持っていましたか。

②

ある本を買った日に全ページのを読み,次の日に残りのを読んだら,100ページ

残りました。この本は全部で何ページありますか。

１３

２７

A

B


☆中学受験倍数算 2013年大宮開成中学校難易度★★★☆☆

兄は弟の４倍のお金を持っています。兄が弟に200円渡すと,兄のお金は弟の２倍となります。

兄と弟の持っているお金は合わせて何円ですか。


☆中学受験倍数算 2015年明治大学付属中野中学校難易度★★★☆☆

AとBのはじめの所持金の比は３：２でした。BがAに50円渡したため,所持金の比が２：１に

なりました。Bのはじめの所持金はいくらでしたか。


☆中学受験倍数算 2016年開智中学校難易度★★★☆☆

兄と弟の所持金の比は５：３です。兄が弟に300円渡すと,兄と弟の所持金の比は７：５に

なります。兄と弟の所持金の合計はいくらですか。


☆中学受験倍数算 2013年聖望学園中学校難易度★★★☆☆

望くんは3000円,聖子さんは2100円持っています。明日から,２人とも毎日100円ずつ使って

いきます。望くんの所持金が,聖子さんの所持金の1.5倍になるのは,「　　　」日後です。


☆中学受験倍数算 2015年公文国際学園中等部難易度★★★☆☆

現在,父親の年れいは子どもの年れいの６倍です。28年後に父親の年れいは子どもの年れい

の２倍になります。現在の父親の年れいは「　　　　」才です。


☆中学受験倍数算 2016年大妻嵐山中学校難易度★★★☆☆

姉と妹の所持金の比は８：５でしたが,２人とも1100円の買い物をしたので,姉と妹の所持金の比は

７：３になりました。このとき,最初に姉が持っていたお金は何円ですか。


☆中学受験倍数算 2016年成城中学校難易度★★★★☆

兄と弟の所持金の比は初め５：３でした。その後，親から兄は540円,弟は580円もらったので,

２人の所持金の比は11：７になりました。初めの兄の所持金はいくらですか。


☆中学受験倍数算 2016年大宮開成中学校難易度★★☆☆☆

兄と弟の持っているお金の割合は３：１でしたが，兄は800円の本を買い,弟は母から1000

円もらったので,持っているお金の割合は11：10になりました。弟がはじめに持っていたお金は

何円ですか。

②

ある本を買った日に全ページのを読み,次の日に残りのを読んだら,100ページ

残りました。この本は全部で何ページありますか。

１３

２７

A

B


☆中学受験倍数算 2012年湘南学園中学校

解答解答

A

B

線分図より,⑦＝1400

このとき,①＝200(円)とわかります。

よって，

Aの所持金は⑫＝200×12＝2400(円) ……(答え)

「Bが1400円を使うと,所持金の比は４：３になりました。」ことより

線分図は次のようになります。

「AとBの２人の所持金の比は３：４です。」より

途中で割合の基準が変わるので,○から□にしたよ。注意してね！

▲

③

④３

４

1400円

A

B

③

④①

①

３１

１

④３

４

③ ４

1400円

1400円A

B

⑫

⑯９

12

1400円

＝

＝＋

① １

③ ４

1400円

＝

＝＋

１２

兄弟はじめ

買った後

買った後

⑤ ④－900円

１２

兄弟はじめ

買った後

⑤ ④－900円

－900円

兄弟

はじめ

２４

２３

５４

５＝－

３

１

＝900

＝300

▲

１

５

＝300

＝1500

５＝300×５＝1500(円) ……(答え)

減っていて,この減った分が900円にあたることがわかります。

５はじめの兄の所持金は, より,

変わらないものに着目すると,弟の所持金は変わっていません。

「兄と弟の所持金の比は５：４でしたが,兄が900円使ったので,兄と弟の所持金の比が

１：２になりました。」より,関係図は次のようになります。

４と２の最小公倍数は４なので４に比を合わせるよ！比を合わせたときは,数を囲っている○や□も別の記号(△)に変えるよ。

兄と弟の所持金の比は５：４でしたが，兄が900円使ったので,兄と弟の所持金の比が

１：２になりました。はじめの兄の所持金はいくらでしたか。

2012 湘南学園中学校

そこで,弟の比を合わせると,次のような関係図になります。

よって,

弟の所持金は変わっていないので,弟の比を合わせるよ！

これより,兄は

※両辺を３で割るという意味

×５

÷３


☆中学受験倍数算 2013年聖望学園中学校

解答解答

③ ②

望くん

聖子さん

線分図より,２人の所持金の差は③－②＝①となり,これが900円にあたります。

つまり,①＝900

このとき,望くんの所持金は,③で③＝900×３＝2700(円)とわかります。

よって，

望くんの使った金額は,3000－2700＝300円

となります。

毎日100円ずつ使うので,望くんの所持金が聖子さんの所持金の1.5倍となるのは

300÷100＝３(日後) ……(答え)

望くんの●日後の所持金は,③で,

これより,①＝900円とわかります。

「２人とも毎日100円ずつ使っていき,望くんの所持金が,聖子さんの所持金の1.5倍になる」ことより

2100円 900円

③

② ①

望くん

聖子さん

2100円 900円

3000円

3000円

使ったお金

「望くんは3000円,聖子さんは2100円持っています。」より

使ったお金望くんと聖子さんは同じ金額を使うので,２人の所持金の差900円で変わらないよね。

望くんの所持金が聖子さんの所持金の1.5倍になったときの聖子さんの所持金を②とすると

望くんの所持金は②×1.5＝③となるので,線分図は次のようになります。

「２人とも毎日100円ずつ使っていき,望くんの所持金が,聖子さんの所持金の1.5倍になる」

ことより，

1.5倍になる日を●日後,望くんの所持金が聖子さんの所持金の1.5倍になったときの聖子さんの

所持金を②とすると望くんの所持金は②×1.5＝③となるので,関係図は次のようになります。

望くん聖子さん

はじめ

●日後

3000円 2100円＋100円×● ＋100円×●

③ ② ①

望くん聖子さん

はじめ

●日後

3000円 2100円

差

900円＋100円×● ＋100円×●

変わらないものに着目すると,二人の所持金の差は変わっていません。

そこで,はじめと●日後の差を求めると,次のような関係図になります。

③＝900×３＝2700(円)とわかります。

よって，

望くんの使った金額は,3000－2700＝300(円)

となります。

毎日100円ずつ使うので,望くんの所持金が聖子さんの所持金の1.5倍となるのは

300÷100＝３(日後) ……(答え)

▲×３

①＝900

③＝2700

望くんと聖子さんは同じ金額を使うので,２人の所持金の差は900円で変わらないよね。


☆中学受験倍数算 2016年成城中学校①

解答解答

線分図による解法線分図による解法

540円

580円

11

11

11

７

兄

兄

弟

弟

はじめ

もらった後

⑤ ③

「兄と弟の所持金の比は初め５：３でした。その後，親から兄は540円,弟は580円もらったので,

２人の所持金の比は11：７になりました。」より,関係図は次のようになります。


２人の所持金の比は11：７になりました。」より,線分は次のようになります。

ここで,どちらか一方の比の大きさを最小公倍数でそろえて,

線分図を書き直すと次のようになります。

線分図より,


２人の所持金の比は11：７になりました。」より,関係図は次のようになります。

＋540円＋580円

⑤＋540＝

７③＋580＝

(ア)の式を３倍すると

(イ)の式を５倍すると

変わらないものがないので,兄と弟に関する式を２つ作ります。

……(ア)

33⑮＋1620＝２1280＝

２

35 33 ２

1280＝

１640＝

640×11－540＝6500(円) ……(答え)

33⑮＋1620＝ ……(ウ)

35⑮＋2900＝ ……(エ)

35⑮＋2900＝

……(イ)

(エ)の式から(ウ)の式を引くと

－

初めの兄の所持金は,　－540 (円)より

２つの数量を求めるときにその関係を式に表し,どちらか一方の数量を消して１つの数量として答えを求める問題を消去算というよ。

消去算の解法は,〇か□を同じ数にそろえて,加減(かげん)法か代入(だいにゅう)法で解きます。加減法は,〇か□のどちらかを同じ数にそろえて,式どうしを引いて,消す方法だよ。本問では加減法で解くよ！

⑤と③の最小公倍数の⑮にそろえたよ。

▲

※両辺を２で割るという意味

÷２

５と３の最小公倍数は15なので15に合わせたよ！

⑤

③７

11

③ ③ ③ ③ ③

⑤

1740

⑤

③７

11

580円

540円

11 33

⑤

③７

11

580円

540円

③30

3000円

1119③

800円

⑤

③７

11

580円

540円⑮

⑮

33２

35 1620円

2900円

1280円

×３

×５

×３＝ ,540×３＝1620(円)

７ 35×５＝ ,580×５＝2900(円)

になるよ！

－＝が,2900－1620＝1280(円)とわかります。

11

２＝1280

１＝640

640×11－540＝6500円 ……(答え)

初めの兄の所持金は,　－540 より

▲


÷２

よって,

より,

より,

より


☆中学受験倍数算 2016年成城中学校②

線分図による解法線分図による解法


２人の所持金の比は11：７になりました。」より,線分図は次のようになります。

ここで,どちらか一方の比の大きさを最小公倍数でそろえて,

線分図を書き直すと次のようになります。

線分図より,

35 33 ２

⑤と③の最小公倍数の⑮にそろえたよ。

11 33

⑤

③７

11

580円

540円

⑮

⑮

33２

35

2900円

1280円

×３

×５

×３＝ ,540×３＝1620(円)

７ 35×５＝ ,580×５＝2900(円)

になるよ！

－＝が,2900－1620＝1280(円)とわかります。

11

２＝1280

１＝640

640×11－540＝6500(円) ……(答え)

初めの兄の所持金は,　－540(円)より

▲


÷２

よって,

より,

1620円

兄

弟

兄

弟

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倍数算 まとめ①...

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