第 章の問題の略解 問 この問題については標準的な解答例と...

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章の問題の略解 題について をしておく 標準解答例 拡大 に変 する って 解説して あるが ために ステップ しておくこ にしよう および 拡大 に変 する ラン ク ラン ク ラン ク 章 演習問題解答 拡大 に変 していく

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  • 第 �章の問題の略解

    問 �

    ��� この問題については� 標準的な解答例と解説をしておく�

    標準解答例� 拡大係数行列 �A �

    �� � �

    � ��

    �� を行の基本変形で階段行列に変形すると�

    �A ���� � ��� � ��

    �� ��

    �� � � �

    � �

    �� ��

    �� � � �

    � �

    �� ��

    �� � � �

    � � ��

    ��

    従って x � �� y � ��解説)解答としては� 上記で十分であるが� 念のために� 各基本変形のステップの変形の手順を

    解説しておくことにしよう��� � �

    � ��

    �� ��

    �� � ��� � ��

    �� � 行目 � ���� � 行目�

    �� � ��� � ��

    �� ��

    �� � � �

    � �

    �� � 行目 � �����および

    �� 行目 と 行目の交換��� � � �

    � �

    �� ��

    �� � � �

    � �

    �� � 行目 � ����� � 行目�

    �� � � �

    � �

    �� ��

    �� � � �

    � � ��

    �� � 行目 � ���� �

    �� x ��

    � y � �� z � �

    ��� 拡大係数行列を行の基本変形で階段行列に変形すると

    ����

    � � �� � �� � � �

    � � � � �

    ���� となるの

    で� 解は� x � � � t� s� y � �� t� �s� z � t� w � s( t� s は任意の実数)となる�問 � ��� ランク �� �� ランク �� ��� ランク

    問 � ��� x � �� y � � z � �� �� 解なし

    第 �章 演習問題解答

    ��� �題とも拡大係数行列を行の基本変形で階段行列に変形していくはき出し法で解く�

  • � 問題解答

    ��� は,係数行列を次のように変形して,��

    p �

    p � �

    ���

    ��

    p �

    �p �

    ���

    ��

    p �

    �p �

    ���

    �� � �

    � � �p

    最後の階段行列は,第 �列が変数 x の係数�第 列が変数 y の係数なので,x � �� y � �pということを表している�

    �� 同様にして, x ��

    � y �

    �� z � �

    �となる�

    ���は,下記のように階段行列にして,���� � � ��

    � � ��

    � � � �

    ��� ��

    ���� � � ��

    � � � � �

    � � � � �

    ��� ��

    ���� � � � �

    � � � ��

    � � � � �

    ���

    ��

    ���� � � � �

    � � � �

    � � � � �

    ��� ��

    ���� � �� � �� � � �

    � � � � �

    ���

    最後の階段行列から,z � t� w � s という任意の実数値を取る パラメータを用いて,

    x � � � t� s� y � �� t� �s� z � t� w � s と表せることが解る�

    ��� ��� y � t� v � s という パラメータを用いて,x � � � t � �s�y � t� z � � s�u � � � s�v � s と表せる�

    �� 係数行列のランクは� �� 拡大係数行列のランクは� � なので� 定理 �� より �� には,解は

    存在しない�

    ��� ���ランクは,x �� �� y �� �のとき �,x �� �� y � �または x � �� y �� �のとき ,x � y � �のときは,� となる� �� ランクは �

    ��� ランクは,���のとき �� ��のとき �� ���のとき �� ���のとき �となる�

    第 �章の問題の略解

    問 � ��� A�B �

    �� � �

    � � ��

    �� �� A� �B �

    �� �� �

    � �� ��

    ��

    ��� A� �B �

    �� � � ����� �� ���

    ��

    問 � ��� A�B �

    ����

    � ��

    � � � �

    � � �� ��

    ���� �� �A� B �

    ����

    �� �� �

    � � � �

    ��� �� ��� ���

    ����

  • ��� �A� �B �

    ����

    � �� ���� �� �

    � �� �� �

    ����

    問 �

    A� ��� は A�B の 任意の ij 成分 � aij � bij � bij � aij � B �A の ij 成分

    A� ��� は ��� より A� O� � A を言えばよい� A� O� の任意の ij 成分 � aij � � � aij � A

    の ij 成分

    A� ��� は A�AB の 任意の ij 成分 � aij � aij � �� 従って A�A � O�

    A� �� �AB�C �

    �� a��b�� � a��b�� a��b�� � a��b��a��b�� � a��b�� a��b�� � a��b��

    ���� c�� c��c�� c��

    ��

    �� �a��b�� � a��b���c�� � �a��b�� � a��b���c�� �a��b�� � a��b���c�� � �a��b�� � a��b���c���a��b�� � a��b���c�� � �a��b�� � a��b���c�� �a��b�� � a��b���c�� � �a��b�� � a��b���c��

    ��

    �� a��b��c�� � a��b��c�� � a��b��c�� � a��b��c�� a��b��c�� � a��b��c�� � a��b��c�� � a��b��c��a��b��c�� � a��b��c�� � a��b��c�� � a��b��c�� a��b��c�� � a��b��c�� � a��b��c�� � a��b��c��

    ��

    �� a���b��c�� � b��c��� � a���b��c�� � b��c��� a���b��c�� � b��c��� � a���b��c�� � b��c���a���b��c�� � b��c��� � a���b��c�� � b��c��� a���b��c�� � b��c��� � a���b��c�� � b��c���

    ��

    �� a�� a��a�� a��

    ���� b��c�� � b��c�� b��c�� � b��c��b��c�� � b��c�� b��c�� � b��c��

    �� � A�BC�

    A� ��� は実際に計算をすればよい

    A� ��� A�B � C� の任意の ij 成分 � ai��b�j � c�j� � ai��b�j � c�j�

    � ai�b�j � ai�c�j � ai�b�j � ai�c�j

    � �ai�b�j � ai�b�j� � �ai�c�j � ai�c�j� � ABの ij 成分�AC の ij 成分

    A� �� は ���と同様

    問 � 計算すれば明らか

    問 �

    ��� AB �

    ������� � ��

    �� ��� �

    ���� BA �

    ������ �� ��� �� ��� � ��

    ���� �� AB�BA �

    ������ ��

    � � �

    �� ��� �

    ����

    ��� ABC �BAC �

    ����� ��� ��� � �

    � ��� �

    ����

  • � 問題解答

    問 � AB �

    �� � � ��

    �� �

    �� CA �

    ����

    � ���� �� ��

    ���� BC �

    �� � �

    �� CB �

    ����� � �� � �

    � � �

    ����

    問 � まず全ての場合で� 左辺と右辺の行列の型は一致しているので� 両辺の全ての ij 成分が一

    致していることを確かめればよい�

    A� ��� は A�B の ij 成分 � aij � bij � bij � aij � B �A の ij 成分

    A� �� は �A�B� � C の ij 成分 � �aij � bij� � cij � aij � �bij � cij� � A� �B � C� の ij

    成分

    A� ��� は A�Om�n の ij 成分 � aij � � � aij � A の ij 成分

    A� ��� は A�A の ij 成分 � aij � aij � �� 従って A�A � Om�n

    A� ��は� 積が定義されることから� 行列 A�B�C の行と列はそれぞれ �p���� ���m� � �m�n�と

    いう形になり� この場合� 両辺の積の型は同じ �p� n� 行列になる� あとは両辺 �AB�C,A�BC�

    の hk 成分がP

    ���i���� �

    ��j

    ��m

    ahibijcjk に一致することを確かめればよい�

    A� ��� まず クロネッカーのデルタ記号 �ij を次のように定める� �ij �

    � � i � j� i �� j

    このとき単位行列 Em � ��ij � と表せることを使って� 実際に計算をすればよい

    A� ������� 問 �の ������ と同様にして示すことができる�

    問 � 行列の積の結合法則を使って �AB��B��A��� � A�BB���A�� � A�En�A�� �

    �AEn�A�� � AA�� � En�

    �B��A���AB も同様に計算できる�

    問 A � �aij �� tA � �a�ji�とすると Aが �m�n�行列ならtAは �n�m�行列で a�ji � aij であっ

    たことを使えば容易に示せる�

    問 �

    �� � �

    ����

    ��

    �� � ���

    �������� � �

    � � �

    ������

    ����

    � � �

    �� �� �� � �� ��

    ���������

    � � �

    � � �

    ������

    ����

    � � ��� � �� �

    ����

    問 ��

    �� � �� �

    ����

    �� � ��� �

    �������� � �

    � � �

    � � �

    ������

    ����� �� �� � ��� � �

    ������������

    � � � �

    � � � �

    � � � �

    � � � �

    �������

    ��

    �������

    � �� � �� � �� �� � � ��� � � �

    �������

  • �����������

    � � � � �

    � � � � �

    � � � � �

    � � � � �

    � � � � �

    ����������

    ��

    ����������

    � �� � � �� � �� � �� � � �� �� � � � ��� � � � �

    ����������

    問 �� 左上のブロックについては

    �� c�� c��

    c�� c��

    �� �

    �� a�� a�� a��

    a�� a�� a��

    ������

    b�� b��

    b�� b��

    b�� b��

    ����

    �� a�� a��

    a�� a��

    ���� b�� b��

    b�� b��

    �� �

    �� a��

    a��

    �� h b�� b�� iで確かめられる� 他のブロックも同様

    に確かめることができる

    第 �章 演習問題解答

    ��� AB �

    �� �

    �� � AC �

    �� �� ���� �

    �� � A�B � C� �

    �� �

    �� となる� 計算手順として

    は �B � C� �

    �� � �

    � �

    �� を求めてから積を計算するか� A�B � C� � AB � AC を用いてもよ

    い� 同様に BA �

    �� �

    �� � CA �

    �� � ���� ��

    �� � �B � C�A �

    �� �

    �� となる�

    �� 行列の積 AB は� A の列の数と B の行の数が一致するときに限り定義されるので� 全部で

    �通りの可能性のうち次の � 個の積だけが定義される��� � ��� �

    ���� � �� �

    �� �

    �� � �� ��� � ��

    ����� � �� �

    ������

    � �� ��� � �� � ��

    ���� �

    �� � �� �

    ���

    �� � �

    � �

    ������

    � ���� �� �

    ���� �

    �� �

    �������

    � �� ��� � �� � ��

    ��������

    � ���� �� �

    ���� �

    ����

    � ���� ��� ��

    �����

    ����

    � ���� �� �

    ������ � ��� �

    �� �

    ����

    � ��� �� �

    ���������

    � ���� �� �

    ������ � �

    � �

    �� �

    ����

    � �� ��� � �� �

    ����

  • � 問題解答

    ��� A � �aij � を �l�m� 行列,B � �bjk� を �m�n� 行列とすると,積 AB が定義されて �l� n�

    行列となる� このとき� 転置行列 t�AB� は,�n� l� 行列となる� 一方,tA ��a�ji

    � tB � �b�kj �

    は� それぞれ �m� l�� �n�m� 行列となるので,tB tA も定義され �n� l� 行列で� t�AB� と同じ型

    であることが分かる� 従って t�AB� � tB tA であることを示すには,つの行列の ki 成分

    �� �� k �� n� � �� I �� l�が全て一致していることを確かめればよい� まず

    t�AB� の ki 成分 � AB の ik 成分 �mXj��

    aijbjk

    次に b�kj � bjk � a�ji � aij より,

    tB tA の ki 成分 �mXj��

    b�kja�ji �

    mXj��

    aijbjk

    であることから確かめられた� これを用いて t�A�t�A��� � t�A�� A� � tEn � En およびt�A���tA � t�A A��� � tEn � En から t�A��� � �tA��� が分かる� 他の場合も同様であるが,

    その証明中,行列の逆行列は,存在すれば,ただ一つであることを用いるのが普通の方法であ

    る� 自明ではない事実なので,証明を,自分で考えてみてください�

    ���

    �� � x

    � �

    ���� � y

    � �

    �� �

    �� � x� y

    � �

    �� であることから� 全ての整数 m について

    �� � a

    � �

    ��m

    �� � ma

    � �

    �� となる�

    A �

    ����

    � � �

    � � �

    � � �

    ���� とすると A� �

    ����

    � � �

    � � �

    � � �

    ���� � A� � E� となる�

    一般に n 次正方行列 X の � 次のべき X� は� En であるとする� 従って A� � E� となり�

    A�m � �A���m と表すことができる� 任意の整数 m にたいして Am は,m を � で割った余

    りの �� �� に応じて Am は,�種類に分類される� すなわち A�k � E�� A�k�� � A�

    A�k�� � A��k は整数� となる�

    A �

    ����

    � a b

    � � c

    � � �

    ���� とすると A� �

    ����

    � � ac

    � � �

    � � �

    ���� � A� � O� となる� m � � の場合も,

    Am � Am�� A� � Am��O� � O� となる�

  • A �

    ��������

    � � � � � ����

    � � �� � �

    ������

    � � � �� � � � � � � �

    ��������のときは,k �� �について帰納的にA

    k �

    ��������������

    � � � � � � � � � ���� k

    � � �� � �

    ������ 列

    � � � �� � � � 目 � � � ����

    ���

    � � � � � � � �

    ��������������

    であることが示せる� 従って m �� n のとき,Am � Onとなる�

    �� A �

    ����

    � � �

    � � �

    � � �

    ���� のとき,A� � A でべき等行列� A �

    ��������

    � � � � � ����

    � � �� � �

    ������

    � � � �� � � � � � � �

    ��������のときは,

    An � On でべき零行列である�

    �特に n � � の場合として A �

    ����� a b

    � � c

    � � �

    ���� の時も含む��

    ��� X� � �a � d�X ��� a� � bc� �a� d�a ab� bd� �a� d�b

    ac� cd� �a� d�c bc� d� � �a� d�d

    �� � ��ad � bc�E�  となり

    ハミルトン・ケーリーの定理が成立することが分かる�

    ��� X� � a�X� � a�X � a�E� � �A � E���A � E���A � �E�� に X を代入してみると� 与

    式は O� となることが分かる�

    �� A ��

    �X � tX�� B �

    �X � tX� とすれば � Aが求める対称行列� B が求める交代行列で

    ある�

    ��� �� �� �� � �� �� � �� � �

    �� ��

    �� �� �� � �

    �� � �� � �

    �� ��

    �� �� �� � �

    � ��

    �� ��

    ���� � � �� �

    � ��

    �� ��

    �� � � �� �

    � � � �

    �� ��

    �� � � � �

    � � �� �

    ��

    とはき出し法をしてみると

    �� �� ��� �� � ��

    ����

    �� � ��� �

    �� であることが分かる�

  • � 問題解答

    同様に

    ����

    p �p� �

    �p� p �� � �

    ������

    �����p �p� ��p� �p �

    � � �

    ����

    注意)ここで

    �� p �p�p

    �p

    ����

    �� �p �p��p� �p

    �� と ����� � ��� であることに気がつ

    いただろうか� 一般に行列をいくつかのブロック(小行列という)に分けて� ブロックご

    との積と全体の積の関係を整理すると,� ブロックの場合は,

    �� A B

    C D

    ���� X Y

    Z W

    �� �

    �� AX �BZ AY �BW

    CX �DZ CY �DW

    �� が成立した� 従って今の場合は�

    �� A �

    � �

    ����

    �� A�� �

    � �

    ��

    だったのである�

    同様にして,

    ����

    �� �� � �

    �� � ��

    ������

    ������ � ��� �� ��� ��� �

    ���� となる�

    ����

    �� x �

    � x

    ��を階段行列に変形すると

    �� � x

    � �� x�

    �� となる� もとの行列が� 正則になるの

    は,ランクが のときであり,その条件は x �� �� となる�

    次に

    ����

    x � �

    � x �

    � � x

    ���� は,行の基本変形で行列

    ����

    x� x� x�

    � x �

    � � x

    ���� に変形できる� 従って

    x � � のときは,正則でなく,x �� � のときは,

    ����

    � � �

    � x� � �� � x� �

    ���� という階段行列に

    変形できるので,正則になるための条件は,x �� ���であることが分かる�

    同様に

    �������

    x � � �

    � x � �

    � � x �

    � � � x

    ������� は,x �� ���� のとき正則である�

    一般の場合は� これらから容易に推測でき証明できる� すなわち

    ��������

    x � � � � �� x

    � � ����

    ���� � �

    � � � �

    � � � � � x

    ��������は,

  • x �� ���n� � のとき正則である�

    コラム ���は� ���で 次行列に対して示したハミルトン・ケーリーの定理が,�次行列に対

    しても成り立つことを示すことの第一ステップにあたります� 後で行列の標準形として,ま

    ず �角化ということを学びますが,この結果と組み合わせると,次のハミルトン・ケーリー

    の �次行列版が成立することを示すことが出来ます� すなわち,�次の行列 X は,その特

    性(固有)多項式を ��x� � x��a�x��a�x�a� とするとX��a�X��a�X�a�E� � O�

    をみたすことがわかります�

    第 �章の問題の略解

    問 � ���

    �BBBBB�

    ��

    ��

    �CCCCCA ��

    �BB�

    �p

    �pp

    �CCA

    問 � w� � �v���v���v�� w� は表せない� w� � ��x�

    �z�v���y�

    �z�v���x�

    �z�v�

    問 � 条件 W��は共通であり,問 �の条件で a � b � � とした場合が W�� b � � とした場合

    がW��であるので,問 �の条件が「部分空間であること」の十分条件であることはわかる.必

    要条件であることは,W��W��を合わせて用いて示すことができる�

    問 � 問 �を用いて示すことができる

    問 � W� は部分空間� W��W��W� は部分空間ではない�

    問 � 問 �を用いて示すことができる� 例えば � V �W の場合は� 任意の実数 a�,a� とv��v� V�W に対して,v��v� V なので a�v�� a�v� V,また v��v� Wであることから a�v� � a�v� W も同じく成立するので� 結局 a�v� � a�v� V �W が成立する.よって V �W が部分空間であることが確かめられた.問 � w� � v� � v� � v�� w� � xv� � �x � y�v� � �x� y � z�v�� w� は表せない�

    問 �

    ���

    ��� �

    �A

    ��

    �A��� �注: R� と一致するので標準基底 fe�� e�g を答えとしても良

    い)

    ��

    ��

    ���

    �BB�

    �CCA

    �BB�

    �CCA�������� ���

    ��

    ���

    �BB�

    �CCA

    �BB�

    �CCA

    �BB�����

    �CCA������� 注意� R

    � と一致するの

    でこの場合も� 標準基底 fe�� e�� e�g を答えとすることができる�

  • � 問題解答

    問 ��� 次元� �� �次元� ��� 次元

    第 �章 演習問題解答

    ��� 最初のケースは,一次結合

    a

    �BB��

    �CCA � b

    �BB�

    �CCA �

    �BB�

    �CCA

    とおくと,a� b の連立 �次方程式 a�b � �� a� b � �� �a� b � � の解を求めることになる�

    この解は,a � b � �しかないので,つのベクトルは,�次独立であることが分かる�

    次の場合も,一次結合

    a

    �BB��

    �CCA � b

    �BB�

    �CCA � c

    �BB�

    ����

    �CCA �

    �BB��

    �CCA

    を解くために行列

    ����

    � �

    � ��� � ��

    ����を行の基本変形で階段行列 Bにすると� B �

    ����

    � � �

    � � �

    � � �

    ����

    とランクは,であり,定理 ��� より与えられたベクトルの組は,�次従属であることがわか

    る�

    注意)この説明では少しわかり難い点があるので� 補足しておきます.定理 �� では �次独立

    であることの必要十分条件が与えてあります� 従ってその補集合に対してウラ定理 ��� と言う

    べき次の命題が隠れた形で証明されていることに注意しておこう�

    ウラ定理 ��� v�� � � � �vr Rm とし,A � �v�� � � � �vr� とするとき,次の条件は同値である�

    ��� v��v�� � � � �vr が �次従属

    �� 同時連立 �次方程式A x�が,自明でない解 x �� を持つ��� rank A � r

    従って� 今の場合 rankA � � � � 判定のベクトルの数 であるので� 与えられた �つのベク

    トルは� �次従属であることがわかる� なお実際に最後の階段行列から

    �BB��

    �CCA � �

    �BB�

    �CCA �

    �BB�

    ����

    �CCA �

    �BB��

    �CCA

    となって,自明でない �次結合が零ベクトルを表すことを示して� �次従属であることを具体的

  • ��

    に確かめることもできる�

    最後の場合は,与えられた �個のベクトルを列ベクトルとする �次行列 A �

    �������

    � � � �

    � � � �

    � � � �

    � � � �

    �������

    が,行の基本変形で,階段行列A �

    �������

    � � � �

    � � � ��� � � �

    � � � �

    �������に変形できるので,rankA � �で,与

    えられたベクトルは,定理 ��� により �次従属であることが分かる�

    ��� 定理 ��� より,与えられた �つのベクトルを列ベクトルとする �次行列のランクが �である

    ための必要十分条件を求めればよい� これは,第 �章の例題 ���� と同様にして(係数行列が例題

    ���� の転置行列になっていることだけ注意すれば,結果はまったく同様に)a �� b� b �� c� c �� aがランクが �となるための条件となる�

    ��� 与えられた �つのベクトル

    v� �

    �BBBBB�

    �CCCCCA � v� �

    �BBBBB�

    �CCCCCA � v� �

    �BBBBB�

    �CCCCCA � v� �

    �BBBBB�

    x

    �CCCCCA �

    を並べた �次行列は,行に関する基本変形で

    �������

    � � � �

    � � � �

    � � � �

    � � � x� �

    ������� と変形される� x � � なら

    ランクは �,x �� � ならランクは,�となるので,�次独立となる条件は,x �� �� またこのとき,標準基底が

    e� ��

    x� ��v� � v�� V � hv��v��v��v�i� e� � v� � v� � e� V�e� � v� � v� � e� � e� V� e� � v� � e� � e� � e� V

    と V � hv��v��v��v�i に属するので,V � R� であることが確かめられる���� それぞれの場合のベクトルを,列にして並べた行列のランクを確かめると n � �のときは,

    ランク �,n � のときは,ランク で �次独立であることが分かる� 一般に定理 ��� ��� より

    ��� m次元数ベクトル空間 Rm の m 次元部分空間 V は,Rm と一致せざるを得ないことからそれぞれのベクトルの組は,数ベクトル空間の基底であることが分かる�

    注意) ���の証明は,まず V の �組の基底を v��v�� � � � �vm とする� 任意の Rm のベクトルw について,v�� � � � �vm�w は,定理 ��� ��� より �次従属である� このとき,零ベクトルを

  • �� 問題解答

    表す自明でない �次結合 a�v� � a�v� � � � �� amvm � bw � において,b � �という場合は,v��v�� � � � �vm が �次独立であることから起こりえない� 従って b �� � となり,任意のベクトル w Rm は

    w hv��v�� � � � �vmi � Vをみたすことが分かる� すなわちRm V となり,自明な包含関係 V Rm と組み合わせて,V � Rm であることが示せた�

    さらに一般の nの場合は� nが奇数のときは �次独立� nが偶数の場合は �次従属であることが

    示せる� この問題は n � �� のときで奇数の場合の例になっている� ��� の最後の場合は� n � �

    で偶数の場合の例になっている�

    ��� 基底として,次のものがとれることを示せばよい����������������

    ����������������

    �BBBBBBBBBBBBBB�

    ���

    ����

    �CCCCCCCCCCCCCCA

    �BBBBBBBBBBBBBB�

    ���

    ����

    �CCCCCCCCCCCCCCA

    �BBBBBBBBBBBBBB�

    ������

    �CCCCCCCCCCCCCCA

    � � � � �

    �BBBBBBBBBBBBBBB�

    �������

    ���

    �CCCCCCCCCCCCCCCA

    �BBBBBBBBBBBBBBB�

    �������

    ��

    �CCCCCCCCCCCCCCCA

    ���������������������������������

    第 �章の問題の略解

    問 �

    性質 �I� は� a �

    �� a

    c

    �A� b �

    �� b

    d

    �A� b� �

    �� b�

    d�

    �A とすると�

    ������a �b� b��

    c �d� d��

    ������ � a�d� d��� �b� b��c � �ad� bc� � �ad� � b�c� �������a b

    c d

    �������������a b�

    c d�

    ������性質 �II�も同様にして�

    ������a kb

    c kd

    ������ � a�kd���kb�c � k�ad�bc� � k������a b

    c d

    ������性質 �III)は�

    ������b a

    d c

    ������ � bc� ad � ��ad� bc� � �������a b

    c d

    ������性質 �IV)は

    ������a a

    c c

    ������ � ac� ac � �

  • ��

    性質 �V)は������a b� ka

    c d� kc

    ������ � a�d� kc�� �b� ka�c � ad� bc� k�ac� ac� � ad� bc �������a b

    c d

    ������性質 �VI)は�

    ������a c

    b d

    ������ � ad� bc �������a b

    c d

    ������問 � A �

    �� a b

    c d

    �� とするとき� A の列ベクトルが �次従属 �� jAj � � を示せばよい�

    列ベクトルが �次従属��少なくとも片方は � ではない x� y に対して x�� a

    c

    �A�y

    �� b

    d

    �A��

    仮に x �� � とする� この場合は k � �yxとおけば � 条件 x

    �� a

    c

    �A � y

    �� b

    d

    �A � を変更して

    �� a

    c

    �A � k

    �� b

    d

    �A を得る� 従って行列式の性質 �IV�� �V� より jAj � �が言える�

    逆を示すには� Aが零行列の場合は明らかに列ベクトルは �次従属なので�どこかの成分 �仮に

    a �� � とする� jAj � ad� bc � � を使えば � �次従属性 ��b��� a

    c

    �A� a

    �� b

    d

    �A � を得る�

    問 �

    ������ �

    � �

    ������ � ���������

    a �a

    ������ � ��������a a�

    b b�

    ������ � ab�b�a��������a� x a� y

    a� y a� x

    ������ � �x�y��x�y � a�

    問 � v� � �v� � v�� � x�

    ������y� y�

    z� z�

    ������� y�������z� z�

    x� x�

    ������� z�������x� x�

    y� y�

    ������� x��y�z� � y�z�� � y��z�x� � x�z�� � z��x�y� � x�y��� �x�y�z� � x�y�z�� � �x�y�z� � x�y�z�� � �x�y�z� � x�y�z�� � ��v� についても同様に確かめられる�

    問 � 代入して 次行列式を展開すれば確かめられる�

    問 � まず ja b cj � jb c aj � jc a bj を確かめることができる� あとは� 次行列の場合と同様に示すことができる� 例えば �I� の場合� ja b �c � c��j � j�c� c�� a bj � �c� c�� � �a � b� �c � �a� b� � c� � �a� b� � ja b cj� ja b c�j�

    問 � ��� ��� �� �� ��� ��� ��� ��問 �

  • �� 問題解答

    ��� � �

    �� � �

    � �

    �A �� � �

    �� � �

    � �

    �A ��� ��� �

    �� � �

    � �

    �A ��� ��� �

    �� � �

    � �

    �A

    問 例えば� � � ���のときは�転倒数が �なので符号 ���� � ��� このとき a���a���a��� �a��a��a�� の係数は ��で一致する� 他の場合も同様に確かめられる�

    問 � それぞれの符号は� 順に ��������となる�

    問 ��

    ��� i � j とすると � � �ij� の転倒数は� i��� � �j � i� �� � � なので ���� � ����� � Sn が ��n� � n をみたすなら自然な埋め込み Sn�� �� Sn を Sn�� の像 � を� �i� � �i� �� �� i �� n� ��� � �n� � n で定めて� 上の ��� と nについての帰納法を用いて証明できる�

    ��� 転倒数に関して� I��� � I���� I�� が常に偶数であることを示せばよい.��� �Sn Sn および ���Sn Sn は明らかである.後ろの包含関係から前と逆の包含関係Sn �Sn が得られるので,等号が成立することを証明できる.�� 恒等置換 e の転倒数は � なので ��e� � �� 従って� ��� より ���������� � � なので 逆置換

    の符号は元の置換の符号と一致することが分かる�

    後半は� f��� j � Sng Sn は自明であるが� � � ������� であることから逆の包含関係も成り立つ�

    問 �� 偶置換全体を An と表す� An は n 次交代群と呼ばれている� 奇置換全体を仮に Bn で

    表すと� 命題 ��� の ��� より偶置換と奇置換の積は� 奇置換� 奇置換と奇置換の積は� 偶置換と

    なる�

    従って� ���An Bn� ���Bn An から Bn � ���An となる� ここで異なる置換 �� に対して ���� �� ��� であることと� An Bn � Sn より題意が成立する�

    問 �� ��� �� �� �� ��� ��

    第 �章 演習問題解答

    ��� 次の行列式は,

    ������a b

    c d

    ������ � ad� bc� 同じく,次の行列式なので������a� b

    p�� �c� dp��c� dp�� a� bp��

    ������ � �a�bp����a�bp�����c�dp����c�dp��� � a��b��c��d�

  • ��

    同様にして�

    ������ �

    ������ � � � � � �第 列の �� 倍を第 �列に加え,� 倍を第 �列に加えて���������

    � �

    � � �

    ���������

    ��������� � �

    � ��� � ��

    ��������� � � � � � � �

    与えられた行列が上三角行列の場合は,行列式は対角成分の積なので���������� �

    � �� �� � �

    ��������� �� ����� ��� �

    第 �列に関する余因子展開により�

    �������� � �

    � �

    � �

    ���������

    ������ �

    �������������� �

    ������ � � �� � �第 列に第 �列の �� 倍を加え,第 �列に第 �列の �� 倍を加えると第 列と第 �列が一致し

    て,行列式の交代性から�

    �����������

    � � �

    � �

    � � �

    � � �

    ������������

    �����������

    � � � �

    � � �

    � � �

    � � � �

    ������������ �

    第 �列に関する余因子展開により�

    �����������

    � � �

    � � �

    � � �

    � � �

    ������������

    �������� � �

    � �

    � �

    ��������������� �

    ������ � ���� �

    ��� 行列の積を計算して

    ���������� � ��� �

    �� � �

    ��������� �

    注意)次の章で出てくる行列の積の行列式の性質 jAj jBj � jABj を使えば,� � �がすぐに示せる�

    次の行列式

    ��������������

    � � � � � �x� x� � � � xnx�� x

    �� � � � x�n

    ������

    ���

    xn��� xn��� � � � xn��n

    ��������������は,x�� x�� � � � � Xn の多項式なので f � f�x�� x�� � � � � xn�と表しておく� f は�各行から成分を �

    つずつ選んで積を取ることから,各単項式自体が x�� x�� � � � � xn の n� �� � � ��� � n�n� ���

  • �� 問題解答

    次の多項式である� 行列式は,第 j 列に第 i 列の ����倍を加えても変わらないことから f は,

    n�n� ��� 個の �次式 xj � xi �j � i�で割り切れることが分かる� 従って f は,差積 �で割り切れることは分かる� また双方の次数を比較すると f と � は同じ n�n� ��� 次式なので つの多項式は,定数倍の差しかない� ここで f�� の xn��n x

    n��n�� � � �x��x� の係数が共に �である

    ことから f � �が成立する� この問題で与えられた形の行列式を ヴァンデルモンドの行列式

    という�

    ��� n に関する帰納法で証明できる� まず最初の つは,直接 a� � jj � � a� � � � � � � でan � n��をみたすことがわかる� 次に anの第 �列に関する展開から漸化式 an � an���an��を得る� 帰納法の仮定から an � n� �n� �� � n� � となり,帰納法が成立する�

    ��� 左側の行列式は,例えば

    ������� �

    ������ �������� �

    � �

    ������ � � のように,一番右の列から順番に �つ前の列の �� 倍を加えていくと対角成分が �の下三角行列の行列式となり,全て �であることがわかる�

    真ん中の行列式は,上から順に ����� �であることがすぐ分かる�一番右の行列式は,第 �行に他の全ての行を加えて整理してゆくと,次のようになる�������x� a a

    a x� a

    ������ �������x� a x� a

    a x� a

    ������ � �x� a�������� �

    a x� a

    ������ � �x� a�������� �

    � x

    ������ � x�x� a���������x� a a a

    a x� a a

    a a x� a

    ���������

    ��������x� �a x� �a x� �a

    a x� a a

    a a x� a

    ��������� �x � �a�

    ��������� � �

    a x� a a

    a a x� a

    ��������

    � �x� �a�

    ��������� � �

    � x �

    � � x

    ��������� x��x� �a�� 同様にして最後の式は,x��x� �a� となる�

    ��� �����������

    a b � �

    � d c �

    � � a b

    c � � d

    ������������

    �����������

    a b � �

    c d c �

    a b a b

    c d � d

    ������������

    �����������

    a b � �

    c d c �

    � � a b

    � � �c d

    ������������ �ad� bc��ad� bc�

    �����������

    a b c d

    b a d c

    c d a b

    d c b a

    ������������

    �����������

    a� c b� d c d

    b� d a� c d c

    a� c b� d a b

    b� d a� c b a

    ������������

    �����������

    a� c b� d c d

    b� d a� c d c

    � � a� c b� d� � b� d a� c

    ������������ ��a�c����b�d�����a�c����b�d���� � �a�b�c�d��a�b�c�d��a�b�c�d��a�b�c�d�

  • ��

    ��� 一番最初の行列式は,���の低次数の場合と全く同様にして� � である�

    次の行列式も ���から,n � のときは,�� n � � のときは,��で,n �� � の場合は,同じ列が現れるので,� となる�

    次の行列式も ��� から xn���x � na� であることがわかる�

    最後の行列式を an とすると,第 �列に関する展開で漸化式 an � ��� x��an�� � x�an�� を得る� あとは,帰納法で an � x�n � x�n�� � � � �� x� � � を示すことができる�注意)次と �次の行列式は,次のようにサラスの方法という符号の覚え方がある�ただしこの

    やり方で �次の行列式の符号を覚えるのは,難しい� �次以上の行列式は,行列式の性質や余

    因子展開を用いて計算するのが基本であり無難である�

    ��� 次の場合のサラスの方法

    ������a b

    c d

    ������ll

    lll

    ��

    ����

    � ad� bc

    �� �次の場合のサラスの方法��������a�� a�� a��

    a�� a�� a��

    a�� a�� a��

    ��������Q

    QQ

    Q

    Q

    QQ

    QQ

    QQ

    QQQ

    QQ

    Q

    QQ

    QQQQQ

    ��

    �����

    ��

    ��

    ����

    ����

    ��

    ��

    ��� ��

    � a��a��a�� � a��a��a�� � a��a��a�� � a��aa�� � a��a��a�� � a��a��a��

    ��� ��� 行列のサイズを として考える� 行列 A の各縦ベクトル変数を縦単位ベクトルの

    線形結合にばらして関数 f の定義にあてはめる� f�A� � f�a��e� � a��e�� a��e� � a��e��

    � a��a��f�e�� e�� � a��a����f�e�� e��� � jAjf�e�� e�� � f�E�jAj

  • �� 問題解答

    �� ��� より� f�AB� � f�E�jABj�

    一方� f�AB� � f

    ���a� a��

    �� b�� b��

    b�� b��

    ���A � f�a�b�� � a�b���a�b�� � a�b���

    � b��b��f�A� � b��b����f�A�� � jBjf�A� � f�E�jBjjAj� f�E� �� � より� jABj � jAjjBj

    �コラム � 和算でのサラスの公式の図

    関孝和全集 七,「解伏題之法 �ふくだいをとくのほう)」(一六八三,重陽日重訂)の(��p)

    より換二式� 換三式を書き写しておこう� 旧仮名遣いで右から左に書いています�

    式 二 換

    i

    i

    i i

    ������

    式 三 換

    i

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ���

    ��

    ��

    i i����

    剋 剋剋

    生 生

    i ii

    i ii

    注)この図で(生)は� � を表し,(剋)は,� を表す� また縦書きで右から数字を書いているのでページ上の通常のサラスの公式とは,左右が反転した図になっていることに注意

    しておく�

    なお ���年発行の関孝和の記念切手の背景には� 同全集 ��pの �次の展開式の図(換四

    式)が使ってある� ただし換四式および換五式の図の解釈は� 関の弟子たちにとっても難

    しいものだったらしい� これらの事情や解釈は� 下記の小川束氏の文献に詳しい� またこの

    切手の図柄自体は�「数学の切手コレクション(R�J� ウイルソン著(熊原啓作訳))シュプ

    リンガー・フェアラーク東京(���) p���の切手図案」を参照してください�

  • �コラム � 行列式の起源について

    「��� 関孝和全集(平山諦� 下平和夫� 広瀬秀雄 共編)大阪教育図書 ����」および「��

    関孝和�その業績と伝記� �平山諦著� 恒星社厚生閣 ����」を基に行列式と和算との関わりについてここで少しまとめておく� 「代数学講義(高木貞治著)共立出版 �改訂版����」

    の 章に次のような記述がある�

    「行列式の起源は連立 �次方程式の一般的解法にある� 西洋の数学史では行列式は

    Leibniz の書簡 �����a �中の記載を初出とするが� その書簡は後年に発見された

    のである� その後 Cramerが曲線論に関する著書 �����において任意数の未知数

    を含める一次方程式の解法を示してから� ようやく学界の注意をひき起こし � 後に

    Cauchy����� Jacobi�����に至って� 現今の行列式論の基礎が出来たのである」

    このように西洋中心の数学史では� ライプニッツが ���年前後に最初に行列式について言

    及したとされている� 一方同時期に� 鎖国の下の江戸時代の日本で独自に発達した数学が

    あった� 現在ではそれを和算と呼んでいるが� 当時の日本は� 寺子屋制度を通じて世界的に

    も高い教育水準を誇っていた�しかし実用面での「読み書き算盤」という面に留まらず� 和

    算では関孝和とその弟子の建部賢弘による円周率の計算法等世界に通じる研究がなされて

    いたこともわかっているb � 行列式に関しても関孝和(����c ����)が ���年に「解伏

    題之法」(関孝和全集 ���p- �

    p)を著してその中で 次から 次の行列式について述

    べている� 関孝和は� 次と �次の場合に� サラスの手法と本質的に同一の展開式を与えて

    いる�その後余因子展開に当たるものも ����年に井関知辰によって考案されているd � な

    お関の問題意識は� 連立した高次の方程式に共通解があるか無いかの判定条件を求めるこ

    とにあったe

    aこれが平山 ��� では ���� 年となっているb円周率の計算に関する読み物として� 建部賢弘を主人公にした小説「円周率を計算した男 �鳴海風著�」があ

    るc関孝和(せきたかかず)に関する平山諦の上記の �文献によれば生年に関して有力な �説があり現在のとこ

    ろ生年は確定していないdこれらの事情に関する研究成果は�「小川束�「関孝和と行列式」� 数学の楽しみ �

    � 夏「関孝和と建部賢

    弘」p���p� ��

    ��」を参照してみてくださいeこれは� 所謂 終結式の理論であって後にベズーやシルベスターが扱った物と でない定数倍のずれしかない 従って関が得た条件は� 本質的にはシルベスターの終結式と同じ判定条件である 終結式の定義や性質に

    ついては�「代数学講義」�高木貞治著�を参照してみてください

    第 �章の問題の略解

    問 � ��� x � �� y �p��� �� x � �� y � �� z � ���

  • � 問題解答

    問 � A �

    �� a b

    c d

    �� のとき jAj � ad� bc� さらに各余因子は�

    ��� � jdj � d���� � �����jcj � �c���� � �����jbj � �b���� � jaj � a であるから

    逆行列の公式を適用すると A�� ��

    jAj

    �� ��� ���

    ��� ���

    �� � �

    ad� bc

    �� d �b�c a

    ��

    これが,次行列の逆行列の公式に他ならない�

    問 �

    �� � �

    � �

    ����

    �� � ��

    � �

    ���

    ����

    � � �

    � � �

    � � �

    ������

    ����

    � �� �� � ��� � �

    �����

    ����� �

    � �

    � �

    ������

    ��

    ����

    � � ��� � �� � �

    �����

    ����� �

    p�� ��p�� ��p�� � �p�� �

    � �

    ������

    ��

    ����� � �

    � � ��� �� �p��

    ����

    問 � 番目の条件が

    Aが正則 �� A を係数行列とする連立 �次方程式はどんなベクトル b Cn

    に対しても Ax � b となる解ベクトル x Cn をただ �つ持つとなるだけで,他は同じ �

    問 ��x

    �r� cos ��

    �x

    ��� �r sin �� �y

    �r� sin ��

    �y

    ��� r cos �

    より J�t� �� � r�cos� � � sin� �� � r�

    問 � 問 と同様にして� r� sin � となる�

    第 �章 演習問題解答

    ��� 行列が正則かそうでないかは,行列式が � になるかならないかで判定できるので,まず �

    つの行列の行列式を計算する��������

    � ��

    ������ � �������

    �� ��

    ������ � � ���������� �

    � � �

    ��������� � � � � � �� � � �

    �������� � �

    �� �� �

    � �

    ���������

    ������ �

    �� ��

    ������ � �

    これから ���� ���の行列は,逆行列をもち,��� ���の行列は,逆行列をもたないことが分かる�

  • ��

    ���の場合は,余因子を用いた逆行列の公式は,次行列の逆行列の公式なので�

    �� a b

    c d

    ����

    �ad�bc

    �� d �b�c a

    �� から

    �� �

    � ��

    ����

    � ��

    �� �� ��� �

    �� である�

    ���の行列を A とすると,逆行列の公式は,A�� ��

    jAjt��ij � である� jAj � � なので,逆行

    列は,

    A�� �

    ����

    ��� ��� ���

    ��� ��� ���

    ��� ��� ���

    ���� である�

    各余因子 �ij の ����i�j を付け忘れないように注意して計算すると

    ��� � �������

    ������ �

    � �

    ������ � � ��� � ����������� �

    � �

    ������ � �� ��� � ����������� �

    ������ � �

    ��� � �������

    ������ �

    � �

    ������ � �� ��� � ������������ �

    � �

    ������ � ��� � ������������ �

    ������ � ��

    ��� � �������

    ������

    � �

    ������ � � ��� � ������������

    � �

    ������ � �� ��� � ������������

    ������ �

    従って

    ����

    � �

    � � �

    ������

    ����

    � �� ��� ��� ��

    ����

    注意)元の行列が対称行列であり,得られた逆行列も対称行列であることに気がついたでしょ

    うか?これは,Aが対称行列であれば,余因子が �ij � �ji をみたすことから,一般に成り立

    つ性質です� この事実は,余因子を用いた「逆行列の公式」の観点から見れば容易にわかりま

    す� しかし,逆行列を求める最初に学んだ方法である「はき出し法」の視点では,示すのは容

    易ではない性質です�

    ���

    AB �

    ����

    � � �

    � � �

    � � �

    ��������

    � � �

    � � �

    � � �

    ���� �

    ����

    � �

    � � �

    ����

  • �� 問題解答

    BA �

    ����

    � � �

    � � �

    � � �

    ��������

    � � �

    � � �

    � � �

    ���� �

    ����

    � � �

    � �

    ����

    行列の積の行列式の性質から jABj � jAj jBj � jBj jAj � �� � � � である�

    次に� この章の問 �から� A�� �

    ����

    � �� �� � ��� � �

    ����がわかる�

    次に B �tA および � 一般に転置行列の逆行列は� 逆行列の転置行列であることから�

    B�� � �tA��� �t�A��� �

    t����

    � �� �� � ��� � �

    ���� �

    ����

    � � �

    �� � �� �� �

    ����

    最後に つの正則行列 X�Y の積 XY は� 正則であることと� �XY ��� � Y ��X�� という性質

    から� 次のように求める逆行列が得られる�

    �AB��� � B��A�� �

    ����

    � � �

    �� � �� �� �

    ��������

    � �� �� � ��� � �

    ���� �

    ����

    � �� ��� ��� ��

    ����

    さて� AB は,��� ��� の行列なので� 今やったのは� ��� ��� の逆行列をまた別の考え方で求めた

    ことになっていることに気がついたでしょうか�

    第 �章の問題の略解

    問 �

    ��� A� �

    �� �

    �A � B� �

    ��

    �A � C � �

    �� ��

    �A � A� �

    �� �

    �A であり

    ������ ��� �

    ������ � � なので�求める面積は� ��

    �� A� �

    �� �

    �A � B� �

    �� �

    �A � C � �

    �� �

    �A � A� �

    �� �

    �A であり� 一辺の長さ � の正方形の

    面積なので ��

    問 �

    fX による像は O� �

    �BB�

    �CCA� A� �

    �BB�

    �CCA� B� �

    �BB�

    �CCA� C � �

    �BB�

    ���

    �CCA� D� �

    �BB�

    �CCA�

  • ��

    E� �

    �BB�

    �CCA� F � �

    �BB�

    �CCA� G� �

    �BB�

    ��

    �CCA である�

    �注意)立体 O�A�D�B�C �F �G�E� の体積は �)

    fY による像は O� �

    �BB�

    �CCA� A� �

    �BB�

    ���

    �CCA� B� �

    �BB�

    �CCA� C � �

    �BB�

    ��

    �CCA� D� �

    �BB�

    �CCA�

    E� �

    �BB�

    �CCA� F � �

    �BB�

    �CCA� G� �

    �BB�

    ��

    �CCA である� �注意)O�A�D�B�C �F �G�E� は同じ

    平面 ��x� �y � �z � � 上にある)��� � 本の線分は� 平行な � 本ずつの線分の �組に分かれる� fx� fY のどちらの �次変換でも�

    平行な線分の組 � 本の像はやはり平行な線分となることが分かる�

    第 �章 演習問題解答

    ��� ��� では, �次変換 f

    ���� x

    y

    �A�A �

    �� x� y

    �x� �y

    �A �

    �� �

    �A � および

    �次変換 f

    ���� x�

    y�

    �A�A �

    �� x� � y�

    �x� � �y�

    �A �

    �� �

    �A となるように

    �� x

    y

    �A � および

    �� x�

    y�

    �A

    を求める必要があるが� �次変換 f

    ���� x

    y

    �A�A �

    �� x� y

    �x� �y

    �A �

    �� � �

    � �

    ���� x

    y

    �Aなので�

    結局

    �� � �

    � �

    ���� x x�

    y y�

    �� �

    �� � �

    � �

    �� を解くことになる�

    はき出し法で

    �� � �� �

    �� の逆行列を求めればよいから�

    �� x x�y y�

    �� �

    �� � �� �

    ����

    �� � ���� �

    ��

    となり� 元の図形は,原点と,

    �� ���

    �A �

    �� ��

    �A �

    �� ��

    �A �

    �� ���

    �A�

    �� ��

    �Aを頂点と

    する平行四辺形である�

  • �� 問題解答

    �� まず O�A�B�C�D�E� F�G それぞれの f による像を O�� A�� B�� C �� D�� E�� F �� G� とする�

    O� �

    �� �

    �A � A� �

    �� �

    �A � B� �

    ��

    �A � C � �

    �� ���

    �A �

    D� �

    ��

    �A � E� �

    �� �

    �A � F � �

    �� �

    �A � G� �

    �� �

    �A

  • ��

    であるので,図示すると,次のような �角形に移ることが分かる�

    qO�

    C �

    A�

    G�

    E�

    F �

    q��

    ���

    ����

    ��

    q

    qq q q

    q

    q

    x

    y

    ����

    ����

    ����

    ����

    ��

    ��

    ��

    ��

    q q q

    q

    ��� は,�� と同様に

    �次変換 f

    �BB��BB�

    x

    y

    z

    �CCA�CCA �

    �BB�

    x� y

    y � z

    x� z

    �CCA �

    ����

    � � �

    � � �

    � � �

    �����BB�

    x

    y

    z

    �CCA

    であるので,�次正則行列 A �

    ����

    � � �

    � � �

    � � �

    ���� の逆行列を求めれば良いことが分かる� はき出

    し法で

    A�� ��

    ����

    � �� �� � ���� � �

    ����

    であることから,元の図形は,Aの �つの列ベクトルと原点を隣り合う �辺とするような平行

    �面体であることが分かる� ちなみにこの平行 �面体の 個の頂点の座標は,�BB�

    �CCA �

    �BB�

    ��

    ��

    � ��

    �CCA �

    �BB�

    � ����

    ��

    �CCA �

    �BB�

    ��

    � ����

    �CCA �

    �BB�

    �CCA �

    �BB�

    �CCA �

    �BB�

    �CCA �

    �BB�

    ��

    ��

    ��

    �CCA

    である�

    ��� 本質的には,固有値と固有ベクトルの所でわかるのであるが,f は,直線 y � x の方向に

    直線 y � �x を対象の中心として平面を �倍に引き延ばす写像であることが分かる� f によって,��� の正方形は,菱形に,��は,直角 �角形(これは,��の直角三角形の位置が特殊な

    ことに依存していて,一般には起きない現象である�� また ��� は,楕円,���は,下の右の図

    B のような斜めに引き延ばしたウサギの絵になるはずです� gでは,x 軸を中心として,y 軸

    方向に 倍に引き延ばす写像なので,それぞれ,長方形,�角形(直角でない),楕円になり,

    最後の ��� は下の左の図 A のような縦長のウサギの絵となります�

  • �� 問題解答

    ��A��eps ��B��eps

    図 A 図 B

    ��� ��� 点

    �� �

    �A は対称な点

    �� �

    ��

    �A に移り� 点

    �� �

    �A は動かないので� その変換行列を

    A �

    �� a b

    c d

    �� とおくと� a � b � �� c � d � ��� a � �� c � �� よって b � �� d � ��� 実際�

    A �

    �� a b

    c d

    ���� x

    y

    �A �

    �� x

    �y

    �A となっている�

    �� ��� と同様に� 変換行列を B とおくと� 点

    �� �

    �A は点

    �� ��

    �A に移り� 点

    �� �

    �A は

    動かないので� その変換行列を B �

    �� a b

    c d

    �� とおくと� a� b � ��� c� d � �� b � �� d � ��

    よって a � ��� c � �� 実際� B ��� a b

    c d

    ���� x

    y

    �A �

    �� �x

    y

    �A �

    ���前問同様� �次独立な 点�例えば

    �� �

    �A �

    �� �

    �Aを採れば �その変換行列を C �

    �� a b

    c d

    ��

    とおくと� a � ��� c � �� b � �� d � ��� 実際� C ��� a b

    c d

    ���� x

    y

    �A �

    �� �x

    �y

    �A �

    ��� �次独立な 点� 例えば

    �� �

    �A �

    �� �

    �A をとれば � その変換行列を D �

    �� a bc d

    �� とおく

    と� a � �� c � �� a� b � �� c� d � � より b � �� d � �� 実際� D �

    �� a bc d

    ���� x

    y

    �A �

    �� y

    x

    �A �

  • ��

    �� �次独立な二つのベクトル x��x� の選び方は無数にあるが� 例えば

    x� �

    �� �

    �A � x� �

    �� �

    �A � 相似変換行列を F �

    �� a bc d

    �� とおくと�

    Fxj � �xj �j � �� � より F は

    �� � �

    � �

    �� に決まる�

    ��� 複素数平面 C 上の複素数 x � x � iy� ここに i � exp��i��� �p��� を実軸を x 軸�

    虚軸を y 軸と看做して� ベクトル

    �� x

    y

    �A と同一視する� すなわち� 変換行列 A の複素数

    x � x� iy に対する写像 A�x�はベクトル A

    �� x

    y

    �Aと定める� xは極形式 r exp��i� � x� iy�

    x� y は実数� をもつ� ここに r �px� � y� は x の長さ� � は tan � � y�x ��� � � �� ��

    で決まる x の偏角を表す� すなわち x � r cos���� y � r sin���� ��� 複素数 x � r exp��i� の

    実軸対称は x � r exp���i� となるので� x � x � iy � r cos��� � ir sin��� はその複素共役x � r cos���� � ir sin���� � cos��� � ir sin��� � x � iy へ移る� よってその変換行列 Aは初

    めに解いた

    �� �� �

    � �

    �� と一致する�

    ��� は� 複素数 x � r exp��i� の原点対称は x を原点の周りに回転角 � だけ時計または反

    時計回りに回転させたものと同じなので x � r exp��� � ��i� � r cos�� � �� � ir sin�� � ��

    � �r cos��� � ir sin��� � �x� i��y�� よって� その変換行列 C は初めに解いた�� �� �

    � ��

    ��

    と一致する�

    �� は� 複素数 x � r exp��i� の虚軸対称は �x � �r exp���i� となるので� x � x � iy �r cos����ir sin���はその複素共役x � r cos�����ir sin����の原点対称� ��cos����ir sin����� �x� iy へ移る� あるいは� x を原点の周りに回転角 � � � だけ反時計回りに回転させたものと同じなので� x � r exp��� � ��i� � r cos�� � �� � ir sin�� � �� � r�� cos���� � ir sin���

    � �x� iy� よって� その変換行列 Bは初めに解いた�� �� �

    � �

    �� と一致する�

    ��� は� 複素数 x � r exp��i� の直線 y � x に関する対称変換は x を原点の周りに回転角

    ��� � だけ反時計回りに回転させたものと同じなので x � r exp����� ��i� � r cos������ � ir sin��� � �� � r sin��� � ir cos��� � y � ix� よって� その変換行列 C は初めに解いた�� � �� �

    �� と一致する�

    �� は� 実数 � に対し� 複素数 x � r exp��i� � x � iy の �倍相似変換は x を x � �r exp��i�

  • �� 問題解答

    � �x� i�y に移すので� その変換行列 Cは初めに解いた

    �� � �

    � �

    �� と一致する�

    第 �章の問題の略解

    問 �

    まず自明な包含関係 Im fA Rm が常に成立する� 全射であるための必要十分条件は�Im fA � Rm だったので� 全射であれば Im fA � Rm が成立する� 逆に Im fA � Rm であれば � Im fA � Rm なので� 全射であることは明らかである� また常に fA�� � が成立する�単射であれば � v �� �� fA�v� �� fA�� � � 従って Ker fA � fg�逆に Ker fA � fg であれば � v� �� v� のとき v� � v� �� なので� v� � v� � Ker fA� 従って �� fA�v� � v�� � fA�v��� fA�v��� すなわち fA�v�� �� fA�v��がいえる�

    問 �

    ��� 像の基底として

    �BB�

    �CCA ��BB�

    �CCAが取れる� 核は零空間 fg�

    �� 像の基底として

    �BBBBB�

    ���

    �CCCCCA ��BBBBB�

    ���

    �CCCCCA

    �BBBBB�

    ��

    �CCCCCAが取れる� 核の基底は

    �BBBBB�

    �CCCCCA�

    問 � A �

    ����

    �� � �� � �

    ����� B �

    ����

    � �� ���� �� ��� � ��

    ����

    第 �章 演習問題解答

    ��� f��v� � �a b��v� なので,f� は,行列 A � �a b� によって決まる線形写像である�

    f� は,v� �

    �� �

    �A� v� �

    �� �

    �A� v� �

    �� �

    �A について� f��v�� � f��v�� � � で,

    f��v�� � �である� ところが v� � v� � v� なので,f��v� � v�� �� f��v�� � f��v�� であり,f�は,線形写像の線形性 Lをみ たしていないので,線形写像ではないことが分かる�

    f� も,v� �

    �� �

    �A� v� �

    �� ��

    �A� v� �

    �� �

    �A について f��v� � v�� �� f��v�� � f��v��

    であり,f� についても線形写像がみたす線形性 Lが成り立たないので,線形写像ではないこ

    とが分かる�

  • ��� f�� f�� f� を定める行列をそれぞれ A�� A�� A� とすると,

    A� �

    �� ���� �

    �� � A� �

    ����

    �� ��� � �� � �

    ���� � A� � ��� �� � � � � ��

    であり,ランクはそれぞれ,� � �である� 従って像の次元は,順番に � � �で,核の次元は,

    次元公式から順番に � � � � � � �� � n� � � n� � である�

    ��� 第 �章の演習問題 ��� と ��� から,n � �� �� のときの表現行列 A のランクは,それぞれ

    �� �� であることが分かる� 次元公式から核の次元は,それぞれ �� �� �であることがわかる�

    従って n � �� のときは,像の基底は,A の n 個ベクトルの組で,核は,零空間である�

    n � �のときは,A �

    �������

    � � � �

    � � � �

    � � � �

    � � � �

    �������は,行の基本変形で,階段行列B �

    �������

    � � � �

    � � � ��� � � �

    � � � �

    �������

    に変形できるので,階段行列 B は,��� � �� 型で,像の基底は,A の �,,�列の列ベクトル

    で,核の基底は,同時連立 �次方程式 Av � の解空間は� 次元公式から �次元ベクトル空間

    であることがわかる� よって基底

    �BBBBB�

    ���

    ��

    �CCCCCAがとれる�

    ������ いま�rX

    j��

    ajvj � とする� 両辺を写像 f で移せば � f

    �� rXj��

    ajvj

    �A � rX

    j��

    ajf�vj�

    rXj��

    ajwj � � w��w�� � � �wr は �次独立であるから� �aj � � �� �� j �� r��

    �� ベクトル v� � v �rX

    j��

    cjvj を写像 f で移してみると

    f�v�� � f�v��rX

    j��

    cjf�vj� �

    rXj��

    ajwj �rX

    j��

    ajwj � � よって v� Kerf�

    ���ベクトル v�は Kerf � R�vr���vr��� � � �vr�s�に含まれので� v�は vr���vr��� � � �vr�sの �

    次結合 v� �sX

    k��

    dkvr�k で表される� �� より v � v� �rX

    j��

    cjvj R�v�� � � �vr�vr��� � � �vr�s��

    ��� いま�r�sXj��

    bjvj � とする� 両辺を写像 f で移せば� f

    ��r�sXj��

    bjvj

    �A � rX

    j��

    bjwj � �

    よって b� � � � � br � �� 従って�r�sX

    j�r��

    bjvj � � ��� より br�� � �� � � � � br�s � �� ゆえに

  • � 問題解答

    v��v�� � � �vr�vr��� � � �vr�s は �次独立である�

    第 �章の問題の略解

    問 �

    ��� 固有値は� � と � 固有値 � の固有ベクトルは�

    �� �

    �A� 固有値 の固有ベクトルは�

    �� �

    �A�

    �� 固有値は� ���p� 固有値 � の固有ベクトルは�

    �BB�

    �CCA� 固有値 p の固有ベクトルは�

    �BB�p

    �CCA� 固有値 �p の固有ベクトルは�

    �BB�p

    ��

    �CCA�

    ��� 固有値は� �� � �� 固有値 � の固有ベクトルは�

    �BB�

    ���

    �CCA� 固有値 の固有ベクトルは�

    �BB�

    ��

    �CCA� 固有値 � の固有ベクトルは�

    �BB�

    �CCA�

    問 � A の固有多項式は� �A�x� � �x � ����x� � で固有値は� と � �重複度 �� 各固有値 �の固有空間 V ��� は�

    V ��� �

    ��

    ���

    �BB�

    x

    y

    z

    �CCA������ x� y � z � �

    ������� � h

    �BB�

    ���

    �CCA

    �BB�

    ��

    �CCA i V �� � h

    �BB�

    ���

    �CCAi �

    B の固有多項式は� �B�x� � �x � ����x � � で固有値は� と � �重複度 ��� 固有値 � の固有空間 V ��� は�

    V ��� �

    �����

    ������

    �BBBBB�

    x

    y

    z

    w

    �CCCCCA

    ��������x� y � z � w � �

    �������������

    � h

    �BBBBB�

    ���

    �CCCCCA

    �BBBBB�

    ���

    �CCCCCA

    �BBBBB�

    ��

    �CCCCCA i

  • ��

    固有値 の固有空間 V �� は� V �� � h

    �BBBBB�

    �CCCCCAi �

    C の固有多項式は� �C�x� � �x � ��x� � ��� で固有値は� と �p�� 固有値 � の固有空間

    V ��� は� V �� � h

    �BB�

    �CCAi � V ��p�� � h

    �BB�

    �p�

    �CCAi �

    第 �章 演習問題解答

    ��� ��� では,A �

    �� � �

    �� の固有多項式は�

    �A�x� �

    ������x� � ���� x�

    ������ �������x� � x� ��� x�

    ������ � �x� ��������

    � �

    �� x�

    ������ � �x � ��x� �� なので�

    固有値は� � �� 固有値 の固有ベクトル v � t�x� y� は� A�� � A � E� ��� � �

    � �

    �� より�

    x� y � � をみたす� これにより� 固有値 の固有ベクトルとして� v � t

    �� ��

    �A �t �� ��が

    とれる�

    同様に� 固有値 � の場合は� A��� � A� �E� ��� �� �

    � ��

    �� より� 固有値 � の固有ベクトル

    v として� v � t

    �� �

    �A �t �� ��がとれる�

    B �

    �� � �

    � �

    �� の固有多項式は� �B�x� �

    ������x� � ���� x� �

    ������ ��������x � ��� � ��

    �� �x � ���

    ������� ��x� ��� ���x� ��� �� � �x� ���x� �� なので� 固有値は� �� �である� B��� � B� �E� ��� � �

    � �

    �� より� A の場合と同様に� 固有値 � の固有ベクトルとして� v � t

    �� ��

    �A �t �� ��

    がとれる�

    同様に� 固有値 � の場合は� B��� � B � �E� ��� �� �

    � ��

    �� より� 固有ベクトル� v �

  • �� 問題解答

    t

    �� �

    �A �t �� ��がとれる�

    C �

    �� �� ��

    �� �

    �� の固有多項式は� �C�x� �

    ������x� �� ���

    ��� x� �

    ������ ��������

    �� x� � ��

    �� x�

    ��������

    ��

    ��x����x��� � �x����x���なので�固有値は� �� �である� C��� � C�E� �

    �� �� ��

    �� ��

    ��

    より� A と同様に 固有値 � の固有ベクトルとして� v � t

    �� ��

    �A �t �� ��がとれる�

    同様に� 固有値 � の場合は� C��� � C � �E� ��� ��� ��

    �� ���

    �� より� 固有ベクトル� v �

    t

    �� �

    �A �t �� ��がとれる�

    注意� なぜ � つの行列全てで� 固有ベクトルがまったく同じものが現れたかについての種明か

    しをしておきますが� 自分で考えて見たい人はここの部分は� 読み飛ばしてその理由を自分で考

    えてみてください�

    まず A と B は B � A � E� とスカラー行列分だけずれているのがポイント� 以下 k はスカ

    ラーとする� 一般に B � A� kEn なら Bv � Av � kv より

    Av � �v �� Bv � ��� k�vである� 従って� A の固有値と B の固有値は k だけずれた値を持つ� また A の固有値 � の固

    有空間を V ��� とし� B の固有値 �� k の固有空間をW ��� k� とすると  

    V ��� �W ��� k�

    が成立する �この関係は� 一般の n 次行列で成立する��

    次の関係では A と C は C � ��Aとスカラー倍になっているのがポイント� 一般に C � kA な

    ら Cv � kAv より Av � �v �� Cv � k�v である� 従って� C の固有値は A の固有値の k倍となる� また A の固有値 � の固有空間を V ��� とし � C の固有値 k� の固有空間をW �k��

    とすると

    V ��� �W �k�� が成立する �この関係も� 一般の n 次行列で成立する��

    A �

    �� � ��� ��

    �� の固有多項式は�  �A�x� �

    ������x� � ��� x� �

    ������ � �x� ��� なので� 固有値は� ��

    固有値 � の固有ベクトル v � t�x� y� は� A��� � A�E� ��� ��� �

    �� より� x� y � � を

  • ��

    みたす� これにより� 固有値 � の固有ベクトル v は� v � t

    �� ��

    �A �t �� ��� 注意)この 次

    行列の場合は� 固有値 � の重複度は で� 固有空間の次元 dimV ��� � � � である�

    A �

    �� a a

    a a

    ��

    ����

    a a a

    a a a

    a a a

    ����

    �������

    a a a a

    a a a a

    a a a a

    a a a a

    ������� および n 次のそれぞれのとき� まず

    a � � の場合には� 固有値は� ��重複度は� 次数に応じて � �� �� n�である� また 固有空間

    は� それぞれ R��R��R��Rn と全空間になる� 複素空間で考えている場合は� 固有空間は�

    C��C��C��Cn である� すなわち固有ベクトルは任意の でないベクトルであれば良い�

    次に a �� � の場合には� �次の場合だけ途中経過を書き� � �� n次の場合は結果だけ略記しておく� � 次のときの� 固有多項式 �A�x� は������������

    x� a �a �a �a�a x� a �a �a�a �a x� a �a�a �a �a x� a

    ������������

    �����������

    x� �a �a �a �ax� �a x� a �a �ax� �a �a x� a �ax� �a �a �a x� a

    ������������ �x��a�

    �����������

    � �a �a �a� x� a �a �a� �a x� a �a� �a �a x� a

    �����������

    � �x� �a�

    ���������