1 座標平面内の 2つの曲線

C1 : y = log(2x); C2 : y = 2 logx

の共通接線を `とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1) 直線 `の方程式を求めよ．

(2) C1，C2および `で囲まれる領域の面積を求めよ．

2 座標空間内の 4点A(1; 0; 0)，B(¡1; 0; 0)，C(0; 1;p2)，D(0; ¡1;

p2)を頂点とする四面体ABCD

を考える．このとき以下の問いに答えよ．

(1) 点 P(0; 0; t)を通り z軸に垂直な平面と，辺ACが点Qにおいて交わるとする．Qの座標を tで表せ．

(2) 四面体ABCD（内部を含む）を z軸のまわりに 1回転させてできる立体の体積を求めよ．

3 xy平面上の原点を中心とする単位円を底面とし，点 P(t; 0; 1)を頂点とする円錐をKとする．tが¡1 5

t 5 1の範囲を動くとき，円錐Kの表面および内部が通過する部分の体積は¼+ ナ

ニである．

4 f(x) =pxe¡

x2（ただし，x > 0）に対し，座標平面上の曲線 C : y = f(x)を考える．

(1) f(x)の極値を求めよ．

(2) 曲線 C，2直線 x = t，x = t+ 1（ただし，t > 0）および x軸で囲まれる図形を，x軸の周りに 1回転

して得られる立体の体積Vを tを用いて表せ．

(3) Vの最大値を求めよ．

5 aを正の定数とし，2曲線C1 : y = logx，C2 : y = ax2が点 Pで接しているとする．以下の問に答えよ．

(1) Pの座標と aの値を求めよ．

(2) 2曲線 C1，C2と x軸で囲まれた部分を x軸のまわりに 1回転させてできる立体の体積を求めよ．

6 2つの曲線 y = x+ 2cosx # ¼2

5 x 5 32¼;と y = x¡ 2 cosx # ¼

25 x 5 3

2¼;をつないでできる

曲線を Cとする．

(1) 曲線 Cの概形を図示しなさい．

(2) kを実数とする．曲線 Cと直線 y = kが異なる 2点で交わるための kの値の範囲を求めなさい．

(3) 曲線 Cで囲まれた部分を x軸のまわりに 1回転してできる立体の体積を求めなさい．

7 座標平面上の曲線 C1; C2をそれぞれ

C1 : y = logx (x > 0)

C2 : y = (x¡ 1)(x¡ a)

とする．ただし，aは実数である．nを自然数とするとき，曲線 C1，C2が 2点 P，Qで交わり，P，Qの

x座標はそれぞれ 1; n+1となっている．また，曲線C1と直線 PQで囲まれた領域の面積を Sn，曲線C2

と直線 PQで囲まれた領域の面積を Tnとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) aを nの式で表し，a > 1を示せ．

(2) Snと Tnをそれぞれ nの式で表せ．

(3) 極限値 limn!1

Snn logTn

を求めよ．

8 関数 f(x) = x¡ 1x2 + 1

のグラフを曲線 Cとする．

(1) 関数 f(x)の極値を求めよ．

(2) 曲線 Cの変曲点を求めよ．

(3) 曲線C上の点 (0; f(0))における接線を `とする．曲線Cと接線 `とで囲まれた図形の面積 Sを求めよ．