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Ondas Estacionarias
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Ondas Estacionarias
φ(t) = A sen (kx - ωt) + A sen (kx + ωt) pero: senα + senβ = 2sen[(α+β)/2].cos[(α−β)/2]
φ(t) = 2A sen(kx) cos(ωt)
φ(t) = A(x) cos(ωt); con... A(x) = 2A sen(kx)
x
x
A(x)Nodo
Vientre o antinodo
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xA(x) = 2A sen(kx)
Nodo: kx = nπ, n = 0, 1, 2, ...
x = n λ /2
Vientre: kx = nπ + π/2, n = 0, 1, 2, ...
x = (n + ½) λ /2
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Ondas Estacionarias en una Cuerda
L
x
y
φ(t) = A(x) cos(ωt); con... A(x) = 2A sen(kx)
Condiciones de borde (o frontera): A(0) = A(L) = 0
A(x=L) = 2A sen(kL) = 0
kL = nπ λ = 2L/n = 2L, L, 2L/3, ...
fn = n f1; f1 = c/2L =12L
Τµ
Fundamentaly Armónicos
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Características del Sonido
• Intensidad (amplitud)
• Altura o Tono (frecuencia fundamental)
• Timbre (armónicos)
Sonido vs. RuidoLA universal: 440 Hz
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Las Notas Musicales
Las notas se repiten (octavas)
a frecuencias múltiples. Por
ejemplo:
• LA fundamental: 440 Hz
• LA anterior: 220 Hz
• LA posterior: 880 Hz
Hz
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Las Notas Musicalesforman parte de una Escala
Existen varias escalas musicales
LA
Ejemplo: Escala Diatónica
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Pulsación de Ondas
φ(x,t) = A sen (k1x - ω1t) + A sen (k2x - ω2t) pero: senα + senβ = 2sen[(α+β)/2].cos[(α−β)/2]
x
En un punto x0: MAS de f diferentes ω1
ω2x(t) = A(t) sen(ωpt)
con A(t) = 2A.cos(∆ωt/2)
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x(t) = A(t) sen(ωpt)
con A(t) = 2A.cos(∆ωt/2)] ω2 ~ ω1
A(t)x
t
Tp=2π/ωp
T = 2π/∆ω = 1/(f2 – f1) = 1 / fbPulsación o Batido
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Reflexión de Ondas
c = ΤµEn una cuerda:
c1
c1c2
Si µ2 = ∞ (pared)R = -1
c1 > c2
(desfasaje de π)
Coeficiente de Reflexión:
R = Ai/Ar = (v2 – v1)/(v2+v1)
Ai
AtAr
-1 ≤ R ≤ 1
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Reflexión de Ondas
c = ΤµEn una cuerda:
c1
c2c1
Si µ2 = 0 (extremo libre)
c1 < c2
R = 1
Coeficiente de Transmisión:T = Ai/At = 2v2 / (v2+v1)
T = R + 1
0 ≤ T ≤ 2
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v t c t
pA
(p+∆p)ApA
Sonido como Onda de Presión
B = V∆V
-∆P = -∆Pc tv t
= -∆Pcv
∆P(t) = -B cv(t)
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Onda de Presión
Enrarecimientomínimo de presión
vientre de desplazamiento
Compresiónmáximo de presión
nodo de desplazamiento
Fluido
φ = A sen (kx - ωt + δ) ... onda de desplazamiento
v = ∂φ / ∂t = - ω A cos (kx - ωt + δ)
∆P(t) = Bc
ω A cos (kx - ωt + δ)
∆P(t) = AP cos (kx - ωt + δ)
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Tubo sonoro abierto
L
Al igual que con una cuerda, seforman ondas estacionarias y aparecen:
(i) una onda fundamental y(ii) sus correspondientes armónicos.
∂2φ∂t2
∂2φ∂x2 = 1
c2
PresiónAtmosférica
φ(x,t) = P(x) cos(ωt); con... P(x) = 2P0 sen(kx)
P(x=0) = P(x=L) = nodo de presión
kL = nπ λ = 2L/n = 2L, L, 2L/3, ...
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Tubo sonoro cerrado
Nodo de Presión
L
∂2φ∂t2
∂2φ∂x2 = 1
c2
φ(x,t) = P(x) cos(ωt); con... P(x) = 2P0 sen(kx)
kL = (2n+ 1) π/2
λ = 4L / (2n+1) = 4L, 4L/3, 4L/5 ...
Nodo de Desplazamiento
P(x=0) = nodo de presiónP(x=L) = vientre de presión
f1 = c/4L ... frecuencia fundamental
fn = n f1 ... solo hay armónicos impares !
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Teorema de Fourier
)2cos()2sen(2/)()(11
0 nftbnftaaTtftfn
nn
n ππ ∑∑∞
=
∞
=
++=−=
Dominio del Tiempo <===> Dominio de la Frecuencia
sen(2π nft) dttfΤ
0∫= )(2Tan
cos(2π nft) dttfΤ
0∫= )(2Tbn
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Series de Fourier
Función Periódica: fT(t) = fT(t+T)
t
A
1
fT(t) = At ... 0 < t ≤ 1
n
f
fT(t) = A A2 π ∑
n=1
∞sen(πn)
n sen(2 nt)π
T=1 s f =1 Hz
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Transformada de Fourier
V
t
f(t)
dwwFtf ejwt
∫∞
∞−= )()( 2
1π
w = 2πf
dttfwF e jwt−∞
∞−∫= )()(
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OsciloscopioOsciloscopio
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Analizador de EspectroAnalizador de Espectro
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http://www.cetear.com/acustica.htmCapítulo 4
Acústica Arquitectónica
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Eco
Resonancia
Onda reflejada que llega al menos 100 msDespués que la onda primaria.
X = 2d ≥ c t = 340 . 0,1 = 34 m
d ≥ 17 m
Sobreamplificación irregular de algunas frecuencias sonoras, por coincidir con frecuencias naturales de oscilación de una sala.
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ReverberaciónPermanencia del sonido en una sala, aundespués de interrumpida la fuente, debidoa refrexiones múltiples de la onda sonora.
Tiempo de ReverberaciónTiempo que tarda el nivel sonoro de una salaen atenuarse 60 dB respecto al nivel inicial.
El tiempo óptimo de reverberación está entre 1,5 y 2,5 s.Ejemplos:• Boston Symphony Hall: 1,8 s• New York Carnegie Hall: 1,7 s• Viena Musikvereinsaal: 2,05 s
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Coeficientes de Absorción: αα = 0,161
VS T
Fórmula de Sabine
0,30Alfombra0,01Mármol /azulejo0,06Parquet0,04Ladrillo0,02HormigónαMaterial
1,03Poliuretano1,00Ventana abierta0,90Lana de vidrio0,75Cortina fruncida0,17Cortina 338 g/m2
αMaterial
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Fórmula de Sabine para cálculodel tiempo de reverberación
T = 0,161 Vαi SiΣ
Ejemplo:Sea una sala rectangular de 4m x 6m y 3m de alto, conParedes de ladrillo, piso de parquet y techo con poliuretano.Calcular el tiempo de reverberación.
V = 4 x 6 x 3 = 72 m3
αi SiΣ = 0,04 x 3 (4+6+4+6) + 1,03 x 4 x 6 + 0,06 x 4 x 6
T ~ 4,56 s > 2,5 s ... por lo que se deberán usar cortinas