第4章 社会的選択の理論(ii)1 第4章 社会的選択の理論(ii)...
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第4章社会的選択の理論(II)
ギバード=サタースウェイトの定理
センのリベラル・パラドックス
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1.戦略的操作とギバード=サタースウェイトの定理
個々人の価値判断
↓集計
社会全体の価値判断
戦略的操作可能性
①個人的操作可能性
②集団的操作可能性
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ボルダ・ルール
[定義]ボルダ数β i(x)
任意のx に対し,x より厳密に選好されない選択対象の数から,x より厳密に選好される選択対象の数を引いた数
ボルダ・ルールの下での社会的選択関数
C(X)={x} ⇔ ∑iβ i (x)≧ ∑i β i (y) ,∀y∈ X
[個人的操作可能性の例]
N={1,2,3}:社会
X={x,y,z,w}:選択対象
厳密な選好順序のみ
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真実のプロフィール a
R1a:x, y, z, w
R2a:w, x, y, z
R3a:w, x, y, z
ボルダ数
β 1a(x)=3, β 1
a(y)=1, β 1a(z)=-1, β 1
a(w)=-3
β 2a(x)=1, β 2
a(y)=-1, β 2a(z)=-3, β 2
a(w)=3
β 3a(x)=1, β 3
a(y)=-1, β 3a(z)=-3, β 3
a(w)=3
ボルダ数の集計
∑iβ ia(x)=5, ∑iβ i
a(y)=-1,
∑iβ ia(z)=-7, ∑iβ i
a(w)=3
社会的選択:C a(X)={x}
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虚偽のプロフィール bR1
b:x, y, z, wR2
b:w, x, y, zR3
b:w, y, z, x
ボルダ数β 1
b(x)=3, β 1b(y)=1, β 1
b(z)=-1, β 1b(w)=-3
β 2b(x)=1, β 2
b(y)=-1, β 2b(z)=-3, β 2
b(w)=3 β 3
b(x)=-3, β 3b(y)=1, β 3
b(z)=-1, β 3b(w)=3
ボルダ数の集計∑iβ i
b(x)=1, ∑iβ ib(y)=1,
∑iβ ib(z)=-5, ∑iβ i
b(w)=3
社会的選択:C b(X)={w}
個人3にとってはxより望ましい
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単純多数決による不敗者の選択
社会的意思決定ルール
どんな y に対しても,N(xPy)≧ N(yPx) となる
x∈ X を選ぶ.
[集団的操作可能性の例]
N={1,2,3,4},
X={x,y,z}
無差別の選好を許す
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プロフィール a(真実)
R1a:x f y ~ z
R2a:x ~ y f z
R3a:z f x f y
R4a:y f z f x
このとき
N(xPy) = 2 > 1 = N(yPx)
N(xPz) = 2 = 2 = N(zPx)
N(yPz) = 2 > 1 = N(zPy)
a の下では x が選ばれる
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虚偽のプロフィール b
R1b:x f y ~ z
R2b:x ~ y f z
R3b:z f y f x
R4b:z f y f x
このとき
N(xPy) = 1 < 2 = N(yPx)
N(xPz) = 2 = 2 = N(zPx)
N(yPz) = 1 < 2 = N(zPy)
b の下では z が選ばれる
個人3,4にとってはxより望ましい
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ギバード=サタースウェイトの定理
[公理 NT]非タブー性
∀ x ∈ X: [∃ a ∈ A : x ∈ C(a)]
[公理 NM]戦略的操作不可能性
∀ a, b ∈ A: [∀ j ∈ N-{i}: Rja=Rj
b]
⇒ C(a) Ria C(b)
[公理 ND]非独裁制
¬∃ i ∈ N:[∀ a ∈ A, ∀ x,y ∈ X: x Pia y
⇒ x ∈ C(a)]
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[ギバード=サタースウェイトの定理]
[公理 NT](非タブー性),[公理 NM](戦略的操作不可能性),[公理 ND](非独裁制)を同時に満足する社会的選択ルールは存在しない.
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2.自由主義的権利とリベラル・パラドックス
個人の私的領域における決定
個人の権利・自由の尊重
↓↑
パレート原理との対立
↓↓
リベラル・パラドックス
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『チャタレー夫人の恋人』の例
N={A,B}:社会
『チャタレー夫人の恋人』という一冊の本
X={ rA, rB, r0}:社会状態の集合
rA(Aがその本を読む)
rB(Bがその本を読む)
r0(両者ともその本を読まない)
選好順序(強い意味の選好)は,
RA : r0, rA, rB
RB : rA, rB, r0
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Aの権利→r0と rAの間の選択
→ r0はrAより社会的に選好
Bの権利→r0と rBの間の選択
→rBはr0より社会的に選好
パレート原理→rAは rBより社会的に選好
社会的選好関係に循環
『チャタレー夫人の恋人』を誰が読むかについての社会的決定は不可能
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ア ン ジ ェ リ ー ナ と エ ド ウ ィ ン の結婚の例 N={E,A,J}
X={ WE, WJ, W0}
WE:エドウィンとアンジェリーナが結婚,
WJ:アンジェリーナは判事と結婚,エドウィンは独身のまま
W0:エドウィンもアンジェリーナも独身のまま
3人の選好は,
RE : W0, WE, WJ
RA : WE, WJ, W0
RJ : WE, WJ, W0
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エドウィン: W0と WEの間で権利
→W0は WEより社会的に選好
アンジェリーナ: WJと W0の間で権利
→WJは W0より社会的に選好
パレート原理: WEは WJより社会的に選好
↓↓
社会的選好関係は循環を含む
→2人の結婚問題を社会的に解決す
ることはできない
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労働時間選択の例
N={1, 2}
X={(1, 1/2), (0, 1/2), (1/2, 1), (1/2, 0)}
(個人1の労働時間,個人2の労働時間)
パートタイムの仕事に就いている2人の個人1,2にフルタイムの可能性
個人1,2の選好は R1 : (1/2, 0), (1, 1/2), (0, 1/2), (1/2, 1)
R2 : (0, 1/2), (1/2, 1), (1/2, 0), (1, 1/2)
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個人1: (1, 1/2) と (0, 1/2) の間で権利
→(1,1/2) は (0, 1/2) より社会的に選好
個人2: (1/2, 1) と (1/2, 0) の間で権利
→(1/2, 1) は (1/2, 0) より社会的に選好
パレート原理:
(1/2, 0) は (1, 1/2) より社会的に選好
(0, 1/2) は (1/2, 1) より社会的に選好
↓↓
社会的選好に循環,社会的決定は不能
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リベラル・パラドックス
N={1, 2, ..., n} : 個人の集合
X : 論理的に可能なすべての社会状態の集合
Ri : 個人 i のX上の選好順序 a=(R1
a, R2a, ... , Rn
a) : プロフィール
A : 論理的に可能なすべてのプロフィールの集合
F : 集団的選択ルール 各プロフィールをX上の社会的選択関数Cに移す関数
[公理 UD](定義域の非限定性)
集団的選択ルールFの定義域はすべての論理的に可能なプロフィールから成る
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[公理 P ](パレート原理)
全員一致である状態を他よりも選好するならば,社会的選択も一致した選好に従わなければならない
[定義]
各個人に対して社会状態の順序対,すなわち X×X の部分集合 Di を指定するD=(D1, D2, ... , Dn)を権利システムという
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集団的選択ルールが任意のa∈A,i∈N,x, y∈X に対して
(x, y)∈Di∩Pia ⇒ [x∈S→y∉C a (S)]
のとき,権利は社会的に承認されるという
[公理 SL](センの自由主義的権利要求)
少なくとも2人の個人は権利をもち,その権利は社会的に承認されなければならない
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[センの定理](リベラル・パラドックス)
[公理 UD](定義域の非限定性),[公理 P ](パレート原理),[公理 SL](センの自由主義的権利要求)を同時に満足する集団的選択ルールは存在しない
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厚生主義(パレート原理)批判
厚生主義 社会状態の善さは究極的にはその状態における個人的効
用の組に依存
個人的効用の増加関数とみなしうる
そこで生み出される個人的効用以外に,いかなる情報も用いない一般的な評価原理(方法)
個人的効用が同一ならば,非効用の側面で異なっていても,同等に善いと判断される
リベラル・パラドックス 広範性の条件の下で,自由主義的権利の要求とパレート
原理(厚生主義)とが対立