応用数学 II及び演習 A&B（偏微分方程式） 【演習課題 6】（2017/1/23） ○解答は A4レポート用紙を使用し，この問題用紙を表紙とすること． 通番 [ ] ○解答が複数枚になる場合は，ホッチキスで綴じること． 氏名 [ ] ○他人の答案を写し書きした場合はゼロ点とする． 学籍番号 [ ] 1. ラプラス方程式について，以下の問に答えよ．

02

2

2

2=

∂∂+

∂∂=

yxφφφΔ （1）

(1) 変数分離法を用いて，式（1）を常微分方程式に変換せよ．

(2) 常微分方程式の一般解を求め，一般解 ),( yxφ を導け．

(3) 次の境界条件を満足する解 ),( yxφ を求めよ．

境界条件: 0)0,( =xφ

0),( =Lxφ

φ(0, y) = 2yL

（2）

),( yxφ は ∞→x で有界

ホッチキス

1．ラプラス方程式について，以下の問いに答えよ．

02

2

2

2=

∂∂+

∂∂=

yxφφφΔ （1）

(4) 変数分離法を用いて，式（1）を常微分方程式に変換せよ．

(5) 常微分方程式の一般解を求め，一般解 ),( yxφ を導け．

(6) 次の境界条件を満足する解 ),( yxφ を求めよ．

境界条件: 0)0,( =xφ

0),( =Lxφ

φ(0, y) = 2yL

（2）

),( yxφ は ∞→x で有界

【解法】

（1）解を以下のようにおく．

)()(),( yYxXyx =φ （3）

上式より

)()(),( 2

2

2

2yYx

dxXdyx

x=

∂∂ φ （4）

)()(),( 2

2

2

2y

dyYdxXyx

y=

∂∂ φ （5）

上式を式（1）に代入して

0)()()()(),(),( 2

2

2

2

2

2

2

2=+=

∂∂+

∂∂ y

dyYdxXyYx

dxXdyx

yyx

xφφ

0)()(),( ≠= yYxXyxφ のとき，上式を )()( yYxX で割ると

)(

)(

)(

)( 2

2

2

2

yY

ydyYd

xX

xdxXd

−= （6）

上式において，左辺は xの関数であり，右辺は yの関数である．この式が恒等的に成り立つには，

kyY

ydyYd

xX

xdxXd

=−=)(

)(

)(

)( 2

2

2

2

（kは定数） （7）

これより，以下の二つの常微分方程式が得られる．

02

2=− kX

dxXd

， 02

2=+ kY

dyYd （8）

（2）一般解は，以下の i），ii）で得られる解である．

i） 0=k のとき

式（8）より，

02

2=

dxXd

， 02

2=

dyYd （9）

よって，それぞれ，

BAxxX +=)( ， DCyyY +=)( （10）

したがって，

))((),( DCyBAxyx ++=φ （11）

ここで，A，B，C，Dは任意の定数である．

ii） 0≠k のとき；

式（8）の第 1式に xexX α=)( を代入すると，

0)( 2 =− xek αα

k±=∴ α （12）

よって， xke ， xke− は基本解である．ゆえに，

xkxk BeAexX −+=)( （13）

次に，式（8）の第 2式に yeyY β=)( を代入すると，

0)( 2 =+ yek ββ

k−±=∴ β （14）

であるから， yke − ， yke −− は基本解である．よって，

ykyk DeCeyY −−− +=)( （15）

式（3），（13），（15）より，次の解を得る．

))((),( ykykxkxk DeCeBeAeyx −−−− ++=φ （16）

ゆえに，一般解は

))((),( DCyBAxyx ++=φ （答）

))((),( ykykxkxk DeCeBeAeyx −−−− ++=φ （答）

（3）境界条件の式（2）の第 1式と第 2式より，

0)0()( =YxX ， 0)()( =LYxX （17）

0)( ≠xX であるから，

0)0( =Y ， 0)( =LY （18）

i） 0=k のとき

式（10）に式（18）を適用すると，

0)0( ==DY ， 0)( ==CLLY （19）

よって 0)( =yY となり不適である．

ii） 0≠k のとき

式（15）に式（18）の第 1式を適用して，

0)0( =+= DCY

0)( ≠yY であるためには

0≠−= DC （20）

でなければならない． )(yY 解に式（18）の第 2式を適用すると，

0)()( =−= −−− LkLk eeCLY （21）

上式は 0<k のときには成り立たない．そこで， λ を 0でない実数として以下のようにおく．

2λ=k （22）

上式を式（21）に代入して

0sin2 ==−=− −−−− Lieeee LiLiLkLk λλλ （23）

Ln

nπλ =∴ （ !,2,1=n ） （24）

式（20），（22）を式（15）に代入して，

yiCeeCyY nnyiyi

nnnn λλλ sin2)()( =−= − （25）

また，式（22）を式（13）に代入して，

xn

xnn

nn eBeAxX λλ −+=)( （26）

式（24），（25），（26）を式（3）に代入し，定数をまとめて

Lynebeayx L

xn

nLxn

nnπφ

ππ

sin)(),(−

+= （27）

これらの級数も解となるから

∑∞

=

−+=

1

sin)(),(n

Lxn

nLxn

n Lynebeayx πφ

ππ

（28）

式（2）の第 4式と上式から

∑∞

=

−

∞→∞→+=

1sin)(lim),(lim

n

Lxn

nLxn

nxx Lynebeayx πφ

ππ

（29）

ここで，

∞=∞→

Lxn

xe

π

lim ， 0lim =−

∞→Lxn

xe

π

（30）

より，式（29）が有界であるためには，

0=na （31）

よって，式（31）を式（28）に代入して

∑∞

=

−=

1

sin),(n

Lxn

n Lynebyx πφ

π

（32）

境界条件の式（2）の第 3式と上式から

φ(0, y) = bn sinnπ yLn=1

∞

∑ = 2yL

（33）

上式の両辺にLymπsin を掛けて，yについて 0～Lの範囲で積分して

bn sinnπ yLn=1

∞

∑ sinmπ yL

dy0

L

∫ = 2yLsinmπ y

Ldy

0

L

∫

bn =2L

2yL

− Lnπcosn nπ y

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟'

dy0

L

∫

= 2L

− 2ynπcos nπ y

L⎡⎣⎢

⎤⎦⎥0

L

+ 4Lnπ

cos nπ yL

dy0

L

∫

= − 4nπcosnπ + 4

n2π 2 sinnπ yL

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥0

L

= − 4nπcosnπ

bn = − 4nπ

−1( )n = 4nπ

−1( )n+1 (34)

式(34)を式(32)に代入して，

φ(x, y) = 4nπ(−1)n+1 sin nπ y

Ln=1

∞

∑ e−nπxL （答）

この式は，微分方程式と境界条件の式(2)の 1, 2, 4 番目の条件を明らかに満たす．

式(2) の 3番目の条件について，

4nπ(−1)n+1 sin nπ y

Ln=1

∞

∑ = 2yL

L=10として，n=1〜10と n=1〜100について，左辺を計算し，右辺と比較する（右辺が赤線）．

0 2 4 6 8 10y

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5f

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★期末試験に関する連絡事項

1． テキストの式（1.90）は，公式として解答に使用してよい．

2． 境界値問題で，場合分けの不適な解を示すときは，テキストの式（4.17）の下にあるように，まと

めて記述してよい．

3． 不正行為を行った場合，工学部の該当規則に従って処分する．不正行為をしないこと．