CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ

I. Các hệ thức cơ bản và hệ quả:

1/ 2 2sin cos 1a + a =

2/ sintgcos

aa =a

3/ coscot gsin

aa =a

4/ 22

11 tgcos

+ a =a

5/ 22

11 cot gsin

+ a =a

6/ t g . cot g 1a a = II. Công thức cộng - trừ:

1/ ( )sin a b sin a. cos b sin b. cos a+ = +

2/ ( )sin a b sin a. cos b sin b. cos a- = -

3/ ( )cos a b cos a. cos b sin a. sin b+ = -

4/ ( )cos a b cos a. cos b sin a. sin b- = +

5/ ( ) t ga tgbtg a b1 tga.tgb

++ =-

6/ ( ) t ga tgbtg a b1 tga.tgb

-- =+

7/ ( ) cot ga. cot gb 1cot g a bcot ga cot gb

-+ =+

( ) cot ga cot gb 18 / cot g a bcot ga cot gb

+- =-

III. Công thức góc nhân đôi:

1/ ( ) ( )2 2sin 2a 2 sin a. cos a sin a cos a 1 1 sin a cos a= = + - = - -

2/ 2 2 2 2cos 2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2 sin a= - = - = -

3/ 2

2tgatg2a1 tg a

=-

4/ 2cot g a 1cot g2a

2 cot ga-=

IV. Công thức góc nhân ba:

1/ 3sin 3a 3 sin a 4 sin a= - 2/ 3cos3a 4 cos a 3 cos a= -

a sin a { {Cosa

}t ga

}cot ga

sin

cos

tg

cotg t

3/ 3

3

3tga tg atg3a1 3tg a

-=-

4/ 3

2

cot g a 3 cot gacot g3a3 cot g a 1

-=-

V. Công thức hạ bậc hai:

1/ 2

22

1 cos 2a tg asin a2 1 tg a

-= =+

2/

22

2

1 cos 2a cot g acos a2 1 cot g a

+= =+

3/ 2 1 cos 2atg a1 cos 2a

-=+

4/ 1sin a cos a sin 2a2

=

VI. Công thức hạ bậc ba:

1/ ( )3 1sin a 3 sin a s in3a4

= - 2/ ( )3 1cos a 3 cos a cos 3a4

= +

VII. Công thức biểu diễn sin x, cos x, tgx qua t gxt2

= :

1/ 2

2tsin x1 t

=+

2/ 2

2

1 tcos x1 t

-=+

3/ 2

2ttgx1 t

=-

21 tcot gx

2t-=

VIII. Công thức biến đổi tích thành tổng:

1/ ( ) ( )1cos a. cos b cos a b cos a b2

é ù= - + +ê úë û

2/ ( ) ( )1sin a. sin b cos a b cos a b2

é ù= - - +ê úë û

3/ ( ) ( )1sin a. cos b sin a b sin a b2

é ù= + + -ê úë û

IX. Công thức biến đổi tổng thành tích:

1/ a b a bcos a cos b 2 cos . cos

2 2+ -+ =

2/ a b a bcos a cos b 2 sin . sin

2 2+ -- = -

3/ a b a bsin a sin b 2 sin . cos

2 2+ -+ =

4/ a b a bsin a sin b 2 cos . sin

2 2+ -- =

5/ ( )sin a b

tga tgbcos a. cos b

++ = 6/

( )sin a btga tgb

cos a. cos b-

- =

7/ ( )sin a b

cot ga cot gbsin a. sin b

++ = 8/

( )sin a bcot ga cot gb

sin a. sin b

- -- =

9/ ( )sin a b

tga cot gbcos a. sin b

-+ = 9/

2tga cot gasin 2a

+ =

10/ ( )cos a b

cot ga tgbsin a. cos b

+- = 11/ cot ga tga 2 cot g2a- =

X. Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan đặc biệt:

1/ Góc đối:

( )( )

( )( )

sin sincos costg tgcot g cot g

ìï - a = - aïïïï - a = aïíï - a = - aïïï - a = - aïïî

2/ Góc bù:

( )( )

( )( )

sin sincos costg tgcot g cot g

ìï p - a = aïïïï p - a = - aïíï p - a = - aïïï p - a = - aïïî

3/ Góc sai kém p :

( )( )

( )( )

sin sincos costg tgcot g cot g

ìï p + a = - aïïïï p + a = - aïíï p + a = aïïï p + a = aïïî

4/ Góc phụ:

sin cos2

cos sin2

tg cot g2

cot g t g2

ì æ öï p ÷ï ç ÷- a = aï ç ÷çï ÷çè øïïï æ öpï ÷çï ÷- a = açï ÷ç ÷çï è øïí æ öï p ÷çï ÷- a = açï ÷çï ÷çè øïïï æ öpï ÷çï ÷- a = açï ÷ç ÷çï è øïî

XI. Công thức bổ sung:

1/ cos sin 2 cos 2 sin4 4

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷a + a = a - = a +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

2/ cos sin 2 cos 2 sin4 4

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷a - a = a + = - aç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

3/ sin cos 2 sin a 2 cos a4 4

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷a - a = - = +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

4/

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2A sin a B cos a A B sin a A B cos a , A B 0+ = + + a = + - b + >

5/ ( )21 sin cos sin+ a = a + a

XII. Bảng giá trị của hàm số lượng giác của các góc cung đặc biệt: Góc Hàm số

0 00

/ 6p 030

/ 4p 045

/ 3p 060

/ 2p 090

sin 0 1 / 2 2 / 2 3 / 2 1

cos 1 3 / 2 2 / 2 1 / 2 0

tg 0 3 / 3 1 3 ||

cotg || 3 1 3 / 3 0

XIII. Định lý hàm số cosin:

1/ 2 2 2a b c 2bc. cos A= + - 2/ 2 2 2b c a 2ca. cos B= + -

A

B Ca

bc

3/ 2 2 2c a b 2bc. cos C= + - XIV. Định lý hàm số sin:

a b c 2Rsin A sin B sin C

= = =

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCV

Hay a 2R sin Ab 2R sin Bc 2R sin B

ìï =ïïï =íïï =ïïî

XV. Công thức tính diện tích tma giác: Gọi hV là đường cao thuộc cạnh trong ABCV .

a b cp2

+ += là phân nửa chu vi ABCV .

S là diện tích ABCV . R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp ABCV . R là bán kính đường tròn nội tiếp ABCV .

1/ a b c

1 1 1S a.h b.h c.h2 2 2

= = =

2/ 1 1 1S ab. sin C bc. sin A ca. sin B2 2 2

= = =

3/ abcS4R

= ; 4/ S p.r=

5/ ( )( )( )S p p a p b p c= - - - (Công thức Héron)

XVI. Công thức nghiệm:

1/ u a 2k

sin u sin a , k Zu a 2k

é = + pê= Û Îê = p - + pêë

2/ u a 2l

cos u cos a , l Zu a 2l

é = + pê= Û Îê = - + pêë

3/ t gu tga u a m , m Z= Û = + p Î

4/ cot gu cot ga u a n , n Z= Û = + p Î

XVII. Hàm lượng giác và hàm hyperbolic được biểu diễn qua hàm mũ theo các công thức sau:

1/ iz ize esin z

2i

--= 2/ iz ize ecos z

2

-+=

3/ z ze esinh z i sin iz

2

--= = - 4/ z ze ecosh z cos iz

2

-+= =