cad erno exerci cio s

Elias das Neves Freire

Exerccios Propostos da Disciplina

Princpios da Contagem

400 Exerccios

2013, Versao 1.3

Introducao

Neste caderno estao os exerccios que serao trabalhados na disciplinaPrincpios da Contagem ofertada todo semestre pelo Departamento deMatematica e Estatstica da UERN.

No primeiro captulo estao os exerccios dos conteudos da primeiraatividade avaliativa. Os conteudos sao: progressoes aritmeti-cas e geo-metricas, fatorial e princpio fundamental da contagem.

O segundo captulo traz os exerccios dos conteudos que serao cobra-dos na segunda atividade avaliativa. Sao os seguintes: arranjos simples,permutacoes e combinacoes simples.

Os exerccios do terceiro captulo cobrem os conteudos da terceiraatividade avaliativa. Neste captulo estao os exerccios sobre : equacoeslineares com coeficientes unitarios e binomio de Newton.

Bons estudos!Elias das Neves Freire

DME/FANAT/UERNTelefone: (84) 3315-2238

e-mail: [email protected]

1

Sumario

1 Primeira Lista 5

1.1 Progressoes Aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Progressao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Princpio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . 24

2 Segunda Lista 33

2.1 Arranjos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Permutacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Combinacoes Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Terceira Lista 50

3.1 Equacoes Lineares com Coeficientes Unitarios . . . . . . 50

3.2 Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Respostas dos exerccios 56

4.1 Primeira lista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.1 Progressoes Aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.2 Progressoes Geometricas . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1.3 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1.4 Princpio Fundamental da Contagem . . . . . . . 58

2

4.2 Segunda lista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.1 Arranjos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.2 Permutacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3 Terceira lista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3.1 Equacoes Lineares com Coeficientes Unitarios . . 61

4.3.2 Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3

Captulo 1Primeira Lista

1.1 Progressoes Aritmeticas

1. Determine a de modo que(a2, (a+ 1)2, (a+ 5)2

)seja uma P.A.

2. Obtenha 3 numeros em P.A. , sabendo que sua soma e 18 e a

soma de seus inversos e23

30.

3. Obtenha x, x R, de modo que a sequencia

(2 log2 x, 2 + 3 log2 x, 8 log2 x)

seja P.A.

4. Quatro numeros constituem uma progressao aritmetica. A sua

soma vale 24 e a soma de seus quadrados vale 164. Determine o

maior deles.

5. Determine cinco numeros em progressao aritmetica conhecendo

sua soma 40 e a soma dos inversos dos extremos1

3.

6. Determine quatro numeros em progressao aritmetica conhecendo

sua soma 26 e a soma dos seus quadrados 214.

5

1.1. Progressoes Aritmeticas 6

7. Os tres termos de uma sequencia sao proporcionais aos numeros

2, 5 e 7. Subtraindo 4 do termo do meio, os numeros passam a

formar uma PA. Determine a sequencia original.

8. Os lados de um triangulo retangulo formam uma progressao arit-

metica crescente. Mostre que a razao da progressao e igual ao

raio do crculo inscrito no triangulo e que os lados sao direta-

mente proporcionais aos numeros 3, 4 e 5.

9. (FUVEST-SP) Em uma Progressao Aritmetica de termos posi-

tivos, os tres primeiros termos sao: 1 a,a,11 a. Qual oquarto termo desta P.A..

10. O termo geral de uma progressao aritmetica e calculado pela for-

mula:

an = a1 + (n 1)r.(a) Sabendo que o primeiro termo de uma PA e 5 e a razao e

11, calcule o 13o. termo;

(b) Dados a5 = 100 e r = 10 calcule o primeiro termo;

(c) Sendo a7 = 21 e a9 = 27 calcule o valor da razao;

(d) (UFRGS) Em uma Progressao Aritmetica, em que o pri-

meiro termo e 23 e a razao e 6, qual a posicao ocupadapelo elemento 13;

(e) (UCS) Qual o valor de x para que a sequencia

(2x, x+ 1, 3x)

seja uma PA;

(f) Qual o milesimo numero mpar positivo?;

(g) Qual o numero de termos da PA: (100, 98, 96, . . . , 22)?;

(h) Se numa PA o quinto termo e 30 e o vigesimo termo e 60,

qual a razao?

11. Obtenha o primeiro termo da P.A. de razao 4 e a23 = 86.

12. Determine a P.A. em que se verificam as relacoes:

a12 + a21 = 302 e a23 + a46 = 446.


13. O primeiro termo a de uma progressao aritmetica de razao 13

satisfaz

0 a < 10.Se um dos termos da progressao e 35, determine o valor de a.

14. Quantos numeros inteiros, compreendidos entre 1000 e 10000, nao

admitem 3 ou 7 como fatores primos?

15. O setimo termo de uma progressao aritmetica e 38 e o decimo e

50. Calcule o vigesimo termo.

16. Quantos numeros existem entre 10 e 500 que sao divisveis por 5

ou por 7?

17. (ENEM/2011) O numero mensal de passagens de uma deter-

minada empresa aerea aumentou no ano passado nas seguintes

condicoes: em janeiro foram vendidas 33000 passagens; em feve-

reiro, 34500; em marco, 36000. Esse padrao de crescimento se

mantem para os meses subsequentes. Quantas passagens foram

vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

18. Quantos sao os termos comuns a`s progressoes

(2, 5, 8, . . . , 332) e (7, 12, 17, . . . , 157)?

19. Considere as n retas ri : y = mix + 10, i = 1, 2, .., n; n 5,em que os coeficientes mi, em ordem crescente de i, formam uma

progressao aritmetica de razao q > 0. Se m1 = 0 e a reta r5tangencia a circunferencia de equacao x2 + y2 = 25, determine o

valor de q.

20. Uma propaganda deve ir ao ar de 45 em 45min, comecando a`s

14h. Qual e o numero de apresentacoes diarias dessa propaganda?

21. (UECE) Seja (a1, a2, a3, . . . , ak) uma Progressao Aritmetica de

razao r. Se ak = 7 a1, r = 1ke a1 + a2 + a3 + . . .+ ak = 5, entao

a2 e igual a:

(a)4

5


(b)6

5

(c)4

3

(d)5

3

22. (PROFMAT/2011) Os numeros 5, 356 e 590 sao termos de uma

progressao aritmetica de numeros inteiros positivos, de razao ma-

xima. Qual o termo seguinte ao termo 590?

23. Ao inserir n meios aritmeticos entre 1 e n2, determine a razao da

P.A.:

1, . . . , n2.

24. Determine a razao da progressao aritmetica que se obtem inse-

rindo tres termos entre os numeros 2 e 18.

25. (UTFPR) Se k e o numero de meios aritmeticos que devemos

inserir entre os numeros 5 e 35, a fim de que a nova progressao

aritmetica tenha razao menor que3

103, entao:

(a) k = 500

(b) k < 10000

(c) k = 10000

(d) k > 9999

(e) 500 < k < 9999

26. O smbolo Sn indica a soma dos n primeiros termos da P.A.

(1, 5, 9, . . .). Determine o maior valor de n tal que Sn < 78.

27. Determine n de modo quen

j=1

(2j + 3) = 1085.

28. Calcule o valor da expressao28

j=15

(2 3j).

29. Um jardineiro tem que regar 60 roseiras plantadas ao longo de

uma vereda retilnea e distando 1m uma da outra. Ele enche seu

regador numa fonte situada na mesma vereda, a 15m da primeira


roseira, e a cada viagem rega 3 roseiras. Comecando e terminando

na fonte, qual e o percurso total que ele tera que caminhar ate

regar todas as roseiras?

30. (UNISINOS-RS) Em um determinado jogo, o premio pago ao

acertador e 10 vezes o valor da aposta. Jose resolve, entao, jogar

e aposta R$ 2, 00 na primeira vez, e nas rodadas seguintes aposta

sempre o dobro da aposta anterior. Jose acerta somente na oi-

tava vez e nao joga mais. Considerando-se o montante que Jose

investiu ate a oitava jogada e o que ganhou, qual o seu lucro?

31. (UNIRIO-RJ) Numa caminhada, os participantes A e B desen-

volveram os seguintes ritmos:

Sabendo-se que A e B iniciaram a caminhada juntos e de um

mesmo ponto, e que as sequencias estabelecidas foram mantidas,

por ambos, ate o final do passeio, qual a distancia, em metros,

entre o participante A e o B, no exato momento em que B parou

de caminhar?

32. Calcule S = 12 22 + 32 42 + 52 62 + . . .+ 992 1002.33. (PUC-RJ) Qual a soma de todos os inteiros entre 50 e 350 que

terminam em 1?

34. (UFV-MG) Numa caixa ha 1000 bolinhas de gude, retiram-se 15

bolinhas na primeira vez, 20 na segunda, 25 na terceira e assim,

sucessivamente, na mesma razao. Quantas bolinhas sobrarao na

caixa apos a decima quinta retirada?

35. Calcule a soma dos multiplos de 11 compreendidos entre 1 e 1000.

36. Calcule a soma dos termos da progressao (12, 19, 26, ...) desde o

25o. termo ate o 41o. , inclusive.


37. Calcule a soma de todos os inteiros, compreendidos entre 20 e

200, que divididos por 7 dao resto 5.

38. Calcule a soma dos termos da progressao (12, 19, 26, ...) desde o

25o. termo ate o 41o. , inclusive.

39. Calcule a soma de todos os inteiros, compreendidos entre 20 e

200, que divididos por 7 dao resto 5.

40. Qual deve ser o numero mnimo de termos da sequencia

(133, 126, 119, 112, ...)para que a soma de seus termos seja positiva?

41. Calcule a soma dos numeros inteiros positivos inferiores a 501 e

que nao sejam divisveis por 7.

42. A soma dos n primeiros termos de uma PA infinita e dada por:

Sn = 4n2 6n para todo n N. Determine o primeiro termo e a

razao.

43. Calcule a soma S = 12 + 22 + 32 + ...+ 102.

44. Determine o valor da soma1

1.4+

1

4.7+ . . .+

1

196.199.

45. As somas dos n primeiros termos de duas PAs estao na razao7n+ 1

4n+ 27. Determine a razao entre seus setimos termos.

46. Ao realizar testes de controle de qualidade, um fabricante veri-

ficou que um de seus relogios atrasa 1 milesimo de segundo no

primeiro dia, 3 milesimos de segundo no segundo dia, 5 milesimos

de segundo no terceiro dia e assim sucessivamente, atrasando, a

cada dia, 2 milesimos de segundos a mais do que no dia anterior.

Depois de quantos dias esse relogio tera atrasado 90 segundos?

47. Um pai resolve depositar todos os meses uma certa quantia na ca-

derneta de poupanca de sua filha. Pretende comecar com R$ 5, 00

e aumentar R$ 5, 00 por mes, ou seja, depositar R$ 10,00 no se-

gundo mes, R$ 15, 00 no terceiro mes e assim por diante. Apos

efetuar o decimo quinto deposito, qual sera a quantia total depo-

sitada?


48. Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de R$ 300

por mes. Riquinho, que e muito esperto, disse a seu pai que, em

vez da mesada de R$ 300, gostaria de receber um pouquinho a

cada dia: R$ 1 no primeiro dia de cada mes e, a cada dia, R$ 1

a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, ao final do

primeiro mes, logo percebeu que havia sado no prejuzo. Calcule

quanto, em um mes com 30 dias, Riquinho recebera a mais do

que receberia com a mesada de R$ 300.

49. Se a soma dos 10 primeiros termos de uma PA e 50 e a soma dos

20 primeiros termos e 50, qual a soma dos 30 primeiros termos?

50. Os numeros inteiros positivos sao agrupados em partes disjuntas,

da seguinte maneira:

{1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9, 10}, {11, 12, 13, 14, 15}, . . .

seja S a soma dos elementos que compoem o 24o. conjunto desta

sequencia. Calcule a soma dos algarismos de S.

1.1.1 Desafios

1. Seja (a1, a2, a3, . . . , a7) uma progressao aritmetica de razao r, com

r 6= 0. Mostre que:

a1 + a7 = a2 + a6 = a3 + a5 = 2a2.

2. Sabendo que (a, b, c) e

(1

b,1

c,1

d

)sao P.A., mostre que

2ad = c(a+ c).

3. Sabendo que (, , , ) e P.A., prove que:

( + 3) ( 3) + (+ 3) ( 3) = 2 ( 9) .

4. Prove que os termos de uma P.A. qualquer em que 0 nao participa

verificam a relacao:

1

a1a2+

1

a2a3+

1

a3a4+ . . .+

1

an1an=

n 1a1an

.


5. Sendo (an) uma PA de termos positivos e de razao r 6= 0, de-monstre que:

1a1 +

a2

+1

a2 +a3

+ . . .+1

an1 +an

=n 1a1 +

an

6. (VUNESP-SP) A area do quadrado ABCD da figura e 1. Nos

lados BC e DC tomam-se, respectivamente, os pontos M e N

de modo que MN seja paralelo a` diagonal DB. Se as areas do

triangulo CMN , do trapezio MNDB e do triangulo ABD for-

mam, nessa ordem, uma progressao aritmetica, calcule a medida

de MC.

A B

M

CND

7. Prove que, se numa PA, Sm = Sn(com m 6= n) entao

Sm+n = 0.

8. Mostre que em toda progressao aritmetica cada termo e media

aritmetica entre o seu antecedente e o seu consequente.

9. Mostre que, em toda progressao aritmetica (an), a sequencia (bn)

definida por bn = (an+1)2 (an)2 e tambem uma progressao

aritmetica.

10. (Fuvest-SP) 500 moedas sao distribudas entre tres pessoas A,B

e C, sentadas em crculo, da seguinte maneira: A recebe uma mo-

eda, B duas, C tres, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e assim

1.2. Progressao Geometrica 13

por diante, ate nao haver mais moedas suficientes para continuar

o processo. A pessoa seguintes, entao, recebera as moedas res-

tantes.

(a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu? Deixe

explcito como voce obteve a resposta.

(b) Quantas moedas recebeu cada uma das tres pessoas?

1.2 Progressao Geometrica

1. Determine tres numeros em progressao geometrica, conhecendo

sua soma 19 e a soma de seus quadrados 133.

2. Existe alguma PG que admita 8, 12 e 27 como termos?

3. Os lados de um triangulo retangulo formam uma PG crescente.

Determine a razao dessa progressao?

4. Determine uma PG de tres termos positivos, sabendo que a soma

dos termos e 21 e a soma dos quadrados dos termos e 189.

5. (FUVEST) Numa progressao geometrica de 4 termos positivos,

a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois ultimos vale

9. Calcule a razao da progressao.

6. Determine x de modo que (2x, 3x, 5x) seja uma PG.

7. Qual o valor de x, se a sequencia 4x, 2x+ 1, x 1 e uma P.G?8. Calcule todos os angulos x, em radianos, de modo que os nu-

merossenx

2, senx e tg x formem nesta ordem uma progressao

geometrica.

9. Obtenha a P.G. cujos elementos verificam as relacoes:

a2 + a4 + a6 = 10 e a3 + a5 + a7 = 30.

10. (UCDB-MT) Determine o comprimento do lado do quadrado

sabendo-se que o lado, a diagonal e a area, nessa ordem, formam

uma progressao geometrica.


11. Numa PG temos a2 =

2 12

e a3 =3 22

6. Calcule a1.

12. Quatro numeros sao tais que os tres primeiros formam uma pro-

gressao aritmetica de razao 6, os tres ultimos uma progressao

geometrica e o primeiro numero e igual ao quarto. Determine-os.

13. Qual o quarto termo da progressao geometrica2, 32, 62.

14. Determine a1993 para a sequencia definida por:

a0 = 1 e an+1 =an

1 + n.an

para todo n natural.

15. Numa PG tem-se a1 = 3 e a6 = 96. Determine sua razao.

16. O numero 384 e um dos termos da PG

(3

8,3

4, . . .

). Determine

sua posicao.

17. Numa PG temos a1 + a2 = 4 e a3 + a4 = 36. Escreva os 5primeiros termos da PG.

18. Calcule o numero de termos da P.G. que tem razao1

2, termo 6144

e ultimo termo 3.

19. (MACK-2000) Qual o setimo termo da P.G. de numeros reais e

positivos dada por

(x 2,x2 + 11, 2x+ 2, . . .).

20. Obtenha o 100o. termo da P.G. (2, 6, 18, . . .).

21. A sequencia (1, a, . . .) e uma progressao geometrica. O nono

termo desta progressao e 256. Encontre um possvel valor para a.

22. Determine o 6o. termo da PG(1,2, 2, ...

)e de a formula do seu

termo geral em funcao de n.

23. Seja a PG {ai}, onde a1 = 2 e a2 = 6. Verifique se

a1/810 = 3 21/8.


24. Qual e o numero maximo de meios geometricos que devem ser

interpolados entre 1458 e 2 para a razao de interpolacao ficar

menor que1

3?

25. Quantos meios devem ser intercalados entre 78125 e 128 para

obter uma P.G. de razao2

5?

26. O produto Pn dos n primeiros termos da sequencia (a1, a2, . . .) e

dado por Pn = 2n3 para todo n, n N>.

(a) Calcule o produto dos dez primeiros termos da sequencia.

(b) Determine o primeiro termo da sequencia.

(c) Determine o sexto termo da sequencia.

27. Calcule o produto dos 101 termos iniciais da P.G. alternante em

que a51 = 1.28. O produto dos nove primeiros termos de uma PG e 512, e a razao

e igual ao setimo termo. Escreva a PG.

29. Uma progressao geometrica tem primeiro termo igual a 1 e razao

igual a2. Se o produto dos termos dessa progressao e 239.

Calcule o numero de termos .

30. Calcule a soma dos multiplos de 11 compreendidos entre 1 e 1000.

31. Calcule a soma S = log2 a+ log2 2a+ log2 4a+ ...+ log2 2na.

32. Calcule a soma dos 7 primeiros termos da PG (2, 6, 18, . . .).

33. Se S3 = 21 e S4 = 45 sao, respectivamente, as somas dos tres

e quatro primeiros termos de uma progressao geometrica cujo

termo inicial e 3, determine a soma dos cinco primeiros termos

da progressao.

34. Um mensageiro chega a uma cidade de tres milhoes de habitantes

trazendo boas novas que, em dez minutos ele conta para duas

pessoas. Se cada pessoa contar para outras duas novas pessoas

(em dez minutos), em quanto tempo toda a cidade sabera das

novidades?


35. (Cespe/Unb) Considere o capital de R$ 5.000, 00 e aplicado a`

taxa de juros compostos de 6% a.m. e sejam M1,M2, . . . ,Mnos montantes gerados por esse capital apos o 1o. mes, 2o. mes,

respectivamente. Entao os montantes M1,M2, . . . ,Mn, formam

uma progressao geometrica de razao igual a 1, 06.

36. (FUVEST) Na figura, A1B1 = 3, B1A2 = 2 e os triangulos

formados sao retangulos.

Calcule a soma dos infinitos segmentos:

A1B1 +B1A2 +A2B2 + B2A3 + . . . .

37. Seja a PG infinita

(8, 2,

1

2,1

8, ...

). Calcule a soma dos seus

termos de ordem mpar.

38. Seja x um numero real nao nulo, tal que 1 < x < 1. Calcule asoma:

x x3+ x2 x

9+ x3 x

27+ x4 x

81+ . . .

39. O lado de um triangulo equilatero mede 3. Unindo os pontos

medios de seus lados, obtem-se um novo triangulo equilatero.

Unindo os pontos medios do novo triangulo, obtem-se outro tri-

angulo equilatero, e assim sucessivamente. Calcule a soma dos

permetros de todos os triangulos citados.

40. Determine o limite da soma 1+ 2x+3x2 +4x3 + ..., 1 < x < 1.


41. (ITA-SP) Se a soma dos termos da progressao geometrica dada

por

0, 3; 0, 03; 0, 003; . . .

e igual ao termo medio de uma progressao aritmetica de tres ter-

mos, entao a soma dos termos da progressao aritmetica vale:

(a) 1/3.

(b) 2/3.

(c) 1.

(d) 2.

(e) 1/2.

42. Determine a geratriz da dzima periodica 0, 141414141....

43. Calcule sen(pi6+

pi

18+

pi

54+ ...

).

44. (Concurso Professor de Matematica do RN/2011)

Em um videogame, toda vez que um pinguim avista um tesouro,

ele se aproxima do mesmo de um modo peculiar. O jogo ocorre

sobre um terreno plano, e a aproximacao ao ponto sobre o qual

esta o tesouro se da de acordo com o seguinte padrao: a partir


de um ponto inicial, que consideraremos ser o ponto de coordena-

das (0, 0), o pinguim anda 60 metros para leste, 30 metros para

norte, 15 metros para oeste, 7, 5 metros para sul e assim por di-

ante, sempre percorrendo, em cada etapa, um comprimento igual

a` metade do comprimento que percorreu na etapa anterior, se-

guindo a sequencia leste, norte, oeste, sul, leste, norte, oeste, sul,

etc. Se, na situacao apresentada, o pinguim mantiver o padrao

de sua caminhada infinitamente, entao, quanto mais ele andar,

mais ficara proximo do tesouro, que esta representado pelo ponto

cujas coordenadas sao?

45. Um qumico tem 12 litros de alcool. Ele retira 3 litros e os subs-

titui por agua. Em seguida, retira 3 litros e os substitui por

agua novamente. Apos efetuar essa operacao 5 vezes, aproxima-

damente quantos litros de alcool sobram na mistura?

46. Um tanque tem 1000 litros de alcool. Retiram-se 200 litros que

sao substitudos por agua. Misturamos bem e em seguida retiram-

se 200 litros dessa mistura que sao substitudos por agua, e assim

sucessivamente. Apos 4 retiradas, quantos litros de alcool restam?

47. Determine, em funcao de n, o valor da soma

S = 1 + 10 + 100 + ...+ 10n1

48. Calcule a soma 1 + 11 + 111 + . . .+ 111...1 n algarismos

.

49. Um jardineiro quer dispor triangularmente as 1830 arvores de um

parque em filas, de sorte que a primeira fila tenha uma arvore, a

segunda 2, a terceira 3 etc. Quantas filas tera a disposicao?

50. Simplifique a expressao1 + x2 + x4 + ..+ x2n

1 + x+ x2 + ...+ xn.

1.2.1 Desafios

1. Uma P.G. finita tem n termos. Sendo S a soma dos termos, S1a soma de seus inversos e P o produto dos elementos, prove que

P 2 =

(S

S1

)n.

1.3. Fatorial 19

2. Prove que, em toda progressao geometrica (an), o produto Pn dos

n primeiros termos e tal que (Pn)2 = (a1.an)

n.

3. Prove que, em toda progressao geometrica, o produto de termos

equidistantes dos extremos e igual ao produto dos extremos.

4. Sejam a = 111...1 (n dgitos iguais a 1) e b = 100...05 (n 1dgitos iguais a 0). Prove que ab + 1 e um quadrado perfeito e

determine sua raiz quadrada.

5. Sabendo que (a, b, c) e uma PG mostre que:

(a+ b+ c)(a b+ c) = a2 + b2 + c2.

1.3 Fatorial

1. Calcule as seguintes expressoes:

(a) (4 + 3)!.

(b)52!

50!2!.

(c)2(3!)

(2 3)! .

2. Calcule o valor de 5 13!3!10!

+ 13 5!3!2!

.

3. Simplifique:

(a)n!

(n 1)! .

(b)(n+ 1)!

(n+ 3)!.

(c)(n+ 1)!(n+ 2)!

(n 1)! .

(d)(n 2)!(n+ 2)!(n+ 3)!(n 1)! .

4. Calcule e simplifique:

(a)n

n! n+ 1

(n+ 1)!.

1.3. Fatorial 20

(b)(n!)2

(n+ 1)!(n 1)! .

5. Expresse cada um dos produtos abaixo como o quociente de dois

fatoriais:

(a) 15 14 13 12.(b) (n+ 1) n (n 1).(c) (n+ 3) (n+ 2) (n+ 1).(d) n (n 1) (n 2) . . . (n 10).(e) n (n 1) (n 2) . . . (n p+ 1).

6. Lembre-se: uma fracao so pode ser simplificada quando o nume-

rador e denominador forem produtos. Observe:

ab+ ac

b2 c2 =a(b+ c)

(a+ b)(b c) =a

b cNestas condicoes, fatore e a seguir simplifique as seguintes fracoes:

(a)4!

3! + 5!

(b)n! + (n+ 1)!

3n+ 6

(c)(n+ 1)! n! (n 1)!

n! (n+ 1)2

7. Simplifique :n!(n+ 1)!(n 1)!

(n+ 3)!(n 2)!(n+ 2)! .

8. Calcule n, sabendo que:

(a)n!

(n 2)! = 30.

(b)(n+ 1)!

(n 1)! = 72.

(c)n! + 3(n 2)!n! 3(n 2)! =

31

29.

(d)(n+ 1)! + 2(n 1)!(n+ 1)! 2(n 1)! =

7

5.

1.3. Fatorial 21

9. (IMEUG) Resolva a equacao :m! + (m 1)!(m+ 1)!m! =

6

25.

10. (IQUFRJ) Resolva a equacao:(n+ 1)! n!(n 1)! = 7n.

11. Resolva as seguintes equacoes na incognita n:

(a) (log3 n)! = 24

(b) log120 1 + log120 2 + log120 3 + . . .+ log120 n = 1

12. Resolver os seguintes sistemas de equacoes:

(a)

{(2a b)! = 6(5a+ b)! = 24

(b)

{2a! 3b! = 43a! + 2b! = 7

13. (MAPOFEI) Seja x um numero real estritamente positivo e di-

ferente da unidade, seja um numero natural maior que a unidade.

Mostre que:

1

log2 x+

1

log3 x+

1

log4 x+ . . .+

1

logn x=

1

logn! x.

14. Considere o numero 700!. Pergunta-se:

(a) Quantos zeros possui a terminacao de seu resultado?

(b) E tal resultado divisvel por 15162

(c) E tal resultado divisvel por 6972

15. Escreva com fatoriais o produto:

(a) dos n primeiros numeros pares;

(b) dos n primeiros numeros mpares;

(c) dos quadrados dos n primeiros numeros naturais.

16. Calcule : 1! 1 + 2! 2 + 3! 3 + . . .+ n! n.(Sugestao: Considere a identidade : (n+ 1)! n! = n! n.)

1.3. Fatorial 22

17. Determine n > 1 para que :

Sn = 1! + 2! + . . .+ n!

seja quadrado perfeito.

18. Resolva a equacao :

(2n!)(2n+ 1)! + (2n+ 1)2n!(2n 1)!(2n+ 1)!(2n 1)(2n 2)! = n

2 14.

19. Mostre que :

1 1 1 1 11 2 3 4 51 4 9 16 251 8 27 64 1251 16 81 256 625

= (1!) (2!) (3!) (4!).

20. Determine x R, tal que : 50 < (2x+ 1)! < 500.21. Prove que, n N com n 2, n! (n 2)! = (n2n 1)(n 2)!

22. Prove que1

n! 1

(n+ 1)!=

n

(n+ 1)!.

23. Mostre que:(n+ 2)! + (n+ 1)!(n 1)!

(n+ 1)(n 1)! e um quadrado perfeito.

24. Simplifique:(2n)!

2nn!.

25. (Escola Naval) O valor da soma:1

2!+

2

3!+

3

4!+ + k 1

k!e

igual a:

(a) 1 1k!

(b) 1 +1

k!(c) k! 1(d) k! + 1

(e) 1

1.3. Fatorial 23

26. (EUA) Defina na! para n e a positivos da forma:

na! = n(n a)(n 2a)(n 3a) . . . (n ka)

para todo k inteiro e positivo e n > ka. Entao, o quociente728!

182!e igual a:

(a) 45

(b) 46

(c) 48

(d) 49

(e) 412

27. (EUA) Definimos n! = n.(n 1).(n 2).....3.2.1. Se o m-nimo multiplo comum de (10!).(18!) e (12!).(17!) possui a forma(a!).(b!)

(c!). Entao o valor de a+ b+ c e igual a:

(a) 33

(b) 32

(c) 31

(d) 30

(e) 29

28. Simplifique a expressao1.3.5.....49

2.4.6.....50.

29. (EUA) Sabendo que o valor da soma

1

2!.17!+

1

3!.16!+ + 1

9!.10!

e representada da seguinte forma2a bc!

onde c! e o fatorial de c.

Calcule o valor de a+ b+ c.

30. Determine o valor de m na expressao:

9(2m)! = 2m.m!.1.3.5.7. . . . .(2m+ 1).

1.4. Princpio Fundamental da Contagem 24

31. Calcule n na equacaon!

2!(n 2)! = 21

32. Calcule n na equacao n! = 12.(n 2)!.

33. Resolver a equacao (n 1)! = (n+ 1)!30

34. Se f(n) =(n+ 1)!(n 1)!

n!(n+ 2)!, com n N, calcule f(70).

35. Simplifique a expressao(n r + 1)!(n r 1)! .

1.4 Princpio Fundamental da Contagem

1. Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas

com um alfabeto de 26 letras?

2. Quantos sao os gabaritos possveis de um teste de 10 questoes de

multipla-escolha, com cinco alternativas por questao?

3. Quantos inteiros ha entre 1000 e 9999 cujos algarismos sao dis-

tintos?

4. De quantos modos diferentes podem ser escolhidos um presidente

e um secretario de um conselho que tem 12 membros?

5. Quantos numeros mpares, de 5 algarismos distintos, ha em nosso

sistema de numeracao?

6. Num pas, as placas dos automoveis sao constitudas de duas le-

tras, seguidas de tres algarismos. Zeros podem aparecer em qual-

quer posicao, mas placas com tres zeros sao excludas. Se e usado

um alfabeto de 26 letras, quantas placas diferentes podem ser

formadas?

7. Um salao de baile tem 6 portas. De quantos modos esse salao

pode estar aberto?

8. Em um teste de loteria espotiva, uma aposta simples significa

escolher um unico resultado para cada jogo: coluna um, coluna


do meio ou coluna dois. Sendo assim, quantas apostas simples

diferentes podemos fazer num teste de loteria espotiva com 13

jogos?

9. No exerccio anterior, se fossem so dois jogos, quantas e quais

seriam as apostas simples possveis?

10. Sao dados os conjuntos:

A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4, 5}

Quantas funcoes injetoras de A em B distintas podemos formar?

11. O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B possui 7 elemen-

tos. Quantas sao as funcoes f : A B ? Quantas sao as funcoesinjetoras f : A B ?

12. Quantos divisores naturais possui o numero 360? Quantos sao

pares?

13. Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos?

14. De um baralho comum (52 cartas) sacam-se sucessivamente e sem

reposicao tres cartas. Quantas sao as extracoes nas quais a pri-

meira carta e de copas, a segunda e um rei e a terceira nao e uma

dama?

15. Quantos numeros diferentes podem ser formados multiplicando

alguns (ou todos) dos numeros 1, 5, 6, 7, 7, 9, 9, 9?

16. Em um concurso ha tres candidatos e cinco examinadores, de-

vendo cada examinador votar em um candidato. De quantos mo-

dos os votos podem ser distribudos?

17. Fichas podem ser azuis, vermelhas ou amarelas; circulares, retan-

gulares ou triangulares; finas ou grossas. Quantos tipos de ficham

existem?

18. Quantos sao os numeros naturais pares que se escrevem (na base

10) com tres algarismos distintos?


19. Quantos numeros inteiros de cinco algarismos distintos e maiores

do que 53000 podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

e 7?

20. Quantos numeros de tres algarismos tem pelo menos dois algarisos

repetidos?

21. Com os algarismos 1, 2, 3, . . . , 9 formam-se numeros de quatro al-

garismos distintos. Quantos sao maiores que 4326?

22. n automoveis devem entrar sucessivamente numa rua que da mao

para um unico lado e estacionar em n vagas existentes. Cada

carro deve justapor-se a um carro ja estacionado. Podendo o

primeiro carro ocupar qualquer das vagas, quantas filas distintas

podem ser formadas?

23. Cinco rapazes e cinco mocas devem posar para fotografia, ocu-

pando cinco degraus de uma escadaria, de forma que em cada

degrau fique um rapaz e uma moca. De quantas maneiras dife-

rentes podemos arrumar este grupo?

24. No sistema de base seis, quantos numeros de quatro algarismos

existem?

25. Quantas palavras se pode formar com as quatro letras da palavra

RAMO, sem repetir nenhuma letra?

26. Quantos numeros de tres algarismos, sem repeticao, podem ser

formados a partir dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, de modo que o

algarismo do meio seja 3?

27. Num onibus ha seis lugares vagos. Duas pessoas tomam o onibus.

De quantas maneiras diferentes essas duas pessoas podem sentar-

se?

28. Consideremos o conjunto de todos os numeros de seis algaris-

mos, nos quais o algarismo das unidades e igual ao das cente-

nas e em cuja composicao nao entrem outros algarismos alem de

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Determine o numero de elementos desse

conjunto.


29. Quantos sao os numeros de tres algarismos que podemos formar

com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 e que tenham 2 como um de seus

algarismos?

30. Uma bandeira e formada de sete listas, que devem ser pintadas

de tres cores diferentes. De quantas maneiras distintas sera pos-

svel pinta-la, de modo que duas listas adjacentes nunca estejam

pintadas da mesma cor?

31. Uma sala possui seis portas. De quantas maneiras uma pessoa

pode entrar por uma porta e sair por outra diferente?

32. O grafico da funcao y = ax + b no plano cartesiano e uma reta.

Se a e b sao numeros inteiros, 1 a 9 e 1 b 9, quantasretas podemos desenhar?

33. Uma fabrica de automoveis produz tres modelos de carros. Para

cada um, os clientes podem escolher entre sete cores diferentes;

tres tipos de estofamento, que podem vir, seja cinza, seja verme-

lho; dois modelos distintos de pneus; e entre vidros brancos, ou

vidros tintos. Ademais, opcionalmente, e possvel adquirir os se-

guintes acessorios: um cinzeiro; uma de duas marcas de radio ou

um modelo de toca-fita; um aquecedor; e um cambio hidramatico.

Quantos exemplares de carros distintos entre si a fabrica chega a

produzir?

34. Determine o total de numeros, formados com algarismos distintos,

maiores que 50000 e menores que 90000 e que sao divisveis por

5.

35. Na expressao y = a b c d, cada circunferencia deveraser substituda por um dos sinais: + ou . Quantas expressoesdiferentes podem ser formadas?

36. Uma moeda sera lancada 6 vezes e a cada vez sera anotado o

resultado obtido, cara ou coroa, formando assim uma sequencia de

6 resultados. Quantas sequencias diferentes podem ser formadas?

37. Para escrever todos os numeros naturais de tres algarismos, quan-

tas vezes empregamos o algarismo 1?


38. De quantas maneiras podem se sentar 4 mocas e 4 rapazes num

banco de 8 lugares, de modo que nao fiquem dois rapazes juntos

nem duas mocas juntas?

39. As letras de um certo codigo sao formadas por uma sucessao de

tracos e pontos sendo permitidas repeticoes. Quantas letras exis-

tem formadas por 6 smbolos? Formar uma dessas letras e uma

acao composta de 6 etapas, sendo que cada etapa pode ser reali-

zada de 2 modos: colocar um traco ou um ponto.

40. De quantas maneiras 2 pessoas podem estacionar seus carros

numa garagem de 10 vagas?

41. Em Mossoro-RN entraram em cartaz 4 filmes distintos e 2 pecas

de teatro. Se agora a Maria Luzia tem dinheiro para assistir

exatamente a um filme e a uma peca de teatro, diga quantos sao

os possveis programas que Maria Luzia pode fazer.

42. De quantas maneiras podemos escolher dois inteiros de 1 a 20 de

forma que a soma seja mpar?

43. Dispondo-se de 10 bolas, 7 apitos e 12 camisas, de quantos modos

estes objetos podem ser distribudos entre duas pessoas, de modo

que cada uma receba, ao menos, 3 bolas, 2 apitos e 4 camisas?

44. Quantos embrulhos e possvel formar com cinco livros de Mate-

matica, tres de Fsica e dois de Qumica?

45. De quantas maneiras distintas podemos distribuir cinco premios

de valores diferentes a sete pessoas, de modo que cada uma receba

no maximo um premio?

46. Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modos podemos colorir

os quatro quadrantes de um crculo, cada quadrante com uma so

cor, se quadrantes cuja fronteira e uma linha nao podem receber

a mesma cor?

47. De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em

fila?


48. Cada peca de um domino apresenta um par de numeros de 0 a 6,

nao necessariamente distintos. Quantas sao estas pecas? E se os

numeros forem de 0 a 8?

49. Uma senhora idosa foi retirar dinheiro em um caixa automatico,

mas se esqueceu da senha. Lembrava que nao havia o algarismo

0, que o primeiro algarismo era 8, o segundo era par, o terceiro

era menor que cinco e o quarto e ultimo era mpar. Qual o maior

numero de tentativas que ela pode fazer, no intuito de acertar a

senha?

50. Determine o numero de maneiras diferentes que 4 rapazes e 3

mocas podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente

as mocas fiquem todas juntas.

51. (USP) Cada linha telefonica e formada por sete algarimos dividi-

dos em dois grupos: um, formado pelos primeiros tres algarismos,

que distingue os centros telefonicos, e o outro, com quatro alga-

rismos, que distingue as linhas de um mesmo centro. Suponha

que so os algarismos de cada grupo sao todos distintos. Quan-

tas linhas telefonicas, comecando com o algarismo 2, poderiam se

lancadas?

52. Num triangulo ABC, tomemos 3 pontos sobre o lado AB, 4 sobre

BC e 5 sobre CA, todos esses pontos distintos dois a dois e nao

coincidentes com os vertices do trangulo. Quantos triangulos dis-

tintos podemos formar com esses 12 pontos de modo que tenham

um unico vertice em cada lado do triangulo ABC?

53. (PROFMAT/2012) Quantos multiplos de 5 existem com 4 al-

garismos diferentes?

(A) 448

(B) 504

(C) 546

(D) 952

(E) 1008


54. Observe o padrao a seguir:

1234567891011121314151617181920212223 . . .

Determine o 3005o termo dessa sequencia.

55. (ITA) Determine quantos numeros de 3 algarismos formados com

1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo a` seguinte regra: O numero nao

pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2,

caso em que 7( e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez.

Assinale o resultado obtido.

(A) 204

(B) 206

(C) 208

(D) 210

(E) 212

56. (PROFMAT/2012) Um numero natural e chamado de estranho

se seus algarismos sao todos distintos e nenhum deles e 0 e e

chamado de belo se todos os seus algarismos sao pares. Quantos

sao os numeros de quatro algarismos que sao estranhos ou belos?

(A) 24

(B) 500

(C) 3024

(D) 3500

(E) 3548

57. (PROFMAT) Um numero e capicua quando suas leituras da

esquerda para a` direita e da direita para a` esquerda sao iguais.

Pro exemplo, 12321 e 8709078 sao exemplos de numeros capicuas.

Quantos numeros capicuas de cinco dgitos e tres algarismos dis-

tintos existem?

(a) 648

(b) 720


(c) 729

(d) 810

(e) 900

58. (UEL) Para responder a certo questionario, preenche-se o cartao

apresentado a seguir, colocando-se um x em uma so resposta para

cada questao. De quantas maneiras distintas pode-se responder

a esse questionario?

(a) 3.125

(b) 120

(c) 32

(d) 25

(e) 10

59. (PROFMAT) Cristina e Pedro vao com outros seis amigos, tres

mocas e tres rapazes, para um excursao. No onibus que foi fazer a

viagem sobraram apenas quatro bancos vagos, cada um deles com

dois assentos, todos numerados. Ficou acertado que cada banco

vago sera ocupado por uma moca e um rapaz, e que cristina e

Pedro se sentarao juntos. Respeitando-se esse acerto, de quantas

maneiras o grupo de amigos pode se sentar nos assentos vagos no

onibus? Justifique sua resposta.


60. No quadro abaixo, de quantos modos e possvel formar a palavra

LOGARITMO partindo de um L e indo sempre para a direita ou para

baixo?

Captulo 2Segunda Lista

2.1 Arranjos Simples

1. Calcule:

(a) A10,4.

(b) A6,3.

(c) A6,6.

(d) An,3.

(e) An+2,2.

(f) A10,0.

(g) A7,1.

(h) A15,1.

2. Determine as condicoes de existencia de cada expressao dada,

onde n Z.(a) An,3.

(b) A3,n.

(c) An+2,4.

(d) An+8,3.

33

2.1. Arranjos Simples 34

(e) A2n+10,n+5.

(f) An3,3n.

3. Resolva as equacoes:

(a) An+1,2 = 90.

(b) An1,2 = 110.

4. Resolva as equacoes:

(a) An,3 = 14 An,2.(b) An+3,7 = 63 An+1,5.(c) An+1,6 55 An1,4 = 7 An,5.

5. Determine n nas equacoes abaixo. Em seguida, para esses valores

de n, determine os possveis valores de p.

(a) An,p = 3 An1,p1.(b) An+2,p +An,p2 = 10 An+1,p1.

6. Mostre que:

(n+ 1) An,p1 + An+1,p+1n p+ 1 = 2 An+1,p.

7. (EAUFRRJ) Resolva a equacaoA2n1A2n

=1

2.

8. (IME) Sendo A8n+1 = A7n+y A6n e n > 7, determine y em funcao

de n.

9. (CICE) O numero de arranjos com repeticao de m elementos p

a p e:

(a) m!(p+1)! .

(b) m!p!(mp)! .

(c) m(m 1) . . . (m p+ 1).(d) m!p! .

(e) mp.


10. Quantos sao os arranjos dos n elementos a, b, c, . . . , 1 tomados p

a p, em que o elemento a figure, mas nao em primeiro lugar?

11. O numero de arranjos simples de m objetos distintos,3 a 3, esta

para o numero de arranjos simples m+2 objetos distintos, 3 a 3,

assim como 5 esta para 12. Calcule m.

12. O numero de arranjos simples de m+ n objetos, 2 a 2, e 56, e o

de m n objetos, 2 a 2, e 12. Determine m e n.13. Sao 20 os arranjos simples de m elementos distintos, de ordem 3,

em que um deles fica sempre em 2o lugar. Calcule m.

14. Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos

resultados sao possveis para os tres primeiros lugares?

15. Em um torneio (de dois turnos) do qual participam seis times,

quantos jogos sao disputados?

16. Uma linha ferroviaria tem 16 estacoes. Quantos tipos de bilhetes

devem ser impressos, se cada tipo deve assinalar a estacao de

partida e de chegada respectivamente?

17. Um cofre possui um disco marcado com os dgitos 0, 1, 2, . . . , 9.

O segredo do cofre e formado por uma sequencia de 3 dgitos

distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas

devera fazer (no maximo) para conseguir abr-lo. (Suponha que

a pessoa sabe que o segredo e formado por dgitos distintos).

18. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos numeros com

algarismos distintos existem entre 500 e 1000 ?

19. Formados e dispostos em ordem crescente os numeros que se ob-

tem permutando-se os algarismos 2, 3, 4, 8 e 9, que lugar ocupa o

numero 43892 ?

20. (CICE) Para a selecao brasileira de futebol foram convocados 22

jogadores que jogam em todas as posicoes, exceto 2 deles que so

jogam no gol. De quantas modos se podem selecionar os onze

titulares?


21. De quantos modos diferentes podemos vestir 3 meninos, cada um

com uma calca, uma camisa e um paleto, dispondo-se para isso

de 5 calcas, 6 camisas e 4 paletos?

22. Supondo que escalar um time de futebol seja distribuir as onze

camisas entre os jogadores, determine quantos times e possvel

escalar, dispondo de 20 jogadores?

23. (a) Quantos numeros naturais de 5 algarimos, sem reposicao,

podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, . . . , 9?

(b) Quantos desses sao pares ?

(c) Quantos sao mpares?

24. De quantas maneiras diferentes podem ser efetuadas as provas

de tres materias em 5 dias disponveis, havendo uma prova, no

maximo, em cada dia?

25. Dois clubes de basquetebol dispoem, respectivamente, de 8 e 9

jogadores. De quantos modos diferentes e possvel escalar dois

times de 5 jogadores, para um jogo?

Observacoes:

A escalacao deve indicar a posicao ocupada pelo jogador; Todos os jogadores podem jogar em qualquer posicao.

26. (PROFMAT) Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.Uma funcao f de A em B e injetiva se, ao tomar-se i e j em A,

com i diferente de j, entao f(i) necessariamente e diferente de

f(j). O numero total de funcoes f : A B injetivas e(a) 21

(b) 35

(c) 120

(d) 2520

(e) 75

27. Supondo que escalar um time de futebol seja distribuir as onzes

camisas entre os jogadores, determine quantos times e possvel

escalar, dispondo de 20 jogadores?

2.2. Permutacoes 37

2.2 Permutacoes

1. O horario de uma classe, num certo dia da semana, deve conter 8

aulas, sendo 2 de Historia, 2 de Matematica, 2 de portugues e 2

de Fsica, todas de assuntos diferentes (por exemplo, das duas de

Historia, uma e de Historia Geral e outra de Historia do Brasil).

Determine de quantas maneiras pode ser feito o horario desse dia

em cada uma das seguintes condicoes:

(a) aulas em qualquer ordem;

(b) a primeira e a ultima aula de Matematica;

(c) a primeira e a ultima aula de materias da area de exatas

(Fsica ou Matematica).

2. Com os algarismos de 1 a 9, sem repeti-los, quantos numeros de

3 algarismos pares e 2 algarismos mpares podem ser formados?

3. Em quantos anagramas da palavra COLEGA as consoantes apa-

recem intercaladas com as vogais?

4. Em quantos anagramas da palavra SIDERAL as consoantes estao

em ordem alfabetica?

5. Escrevendo-se em ordem crescente a lista de todos os numeros de

5 algarismos distintos, formados com os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9,

que lugar ocupa o numero 78695?

6. Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6 formam-se todos os numeros de

5 algarismos distintos. Determine a soma de todos eles.

7. Permutam-se de todas as formas possveis os algarismos 1, 2,

4, 6, 7 e escrevem-se os numeros formados em ordem crescente.

Determine:

(a) que lugar ocupa o numero 62417.

(b) que numero ocupa o 66o. .

(c) qual o 166o. algarismo escrito.

(d) a soma dos numeros assim formados.

2.2. Permutacoes 38

8. Quantos anagramas da palavra RENATO se pode formar de modo

que cada palavra comece por vogal?

9. De quantos modos e possvel encacapar cinco bolas, uma seguida

a` outra numa mesa de sinuca com seis cacapas?

10. Um carro de montanha russa e formado de n bancos de dois luga-

res cada um. De quantos modos n casais podem sentar-se nesse

carro?

11. De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma

roda de ciranda de modo que pessoas de mesmo sexo nao fiquem

juntas?

12. De quantos modos 5 mulheres e 6 homens podem formar uma

roda de ciranda de modo que as mulheres permanecam juntas?

13. Quantos dados diferentes existem se a soma das faces opostas

deve ser 7 ?

14. De quantos modos seis criancas podem brincar de roda?

15. De quantos modos sete criancas podem brincar de roda, de modo

que Joao e Maria, duas dessas criancas, fiquem sempre juntos?

16. Uma piramide quadrangular regular deve ser colorida, cada face

com uma cor, com cinco cores diferentes. De quantos modos isso

pode ser feito?

17. Determine o numero de anagramas de:

(a) CARNAVAL

(b) COCORECO

(c) REPRESENTANTE

18. Numa livraria, devem ser colocados numa prateleira 3 exemplares

de Dom Casmurro, 2 de O Guarani e 4 de O crime do Padre

Amaro. De quantos modos podem ser dispostos esses 9 livros?

De quantos modos essa disposicao apresenta todos os exemplares

iguais juntos?

2.2. Permutacoes 39

19. Com n elementos iguais a A e 3 iguais a B forma-se um total de

7n+ 7 permutacoes. Determine n.

20. Em quantos anagramas da palavra COMPETENTE as letras T:

(a) estao juntas?

(b) nao estao juntas?

21. Quantos anagramas existem da palavra AMARILIS?

22. Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano orto-

gonal. Ele so pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou

para leste (L). Partindo da origem e passando pelo ponto A(3, 1),

quantas trajetorias existem ate o ponto B(5, 4)?

23. Uma classe tem a meninas e b meninos. De quantas formas eles

podem ficar em fila se as meninas devem ficar em ordem crescente

de peso, e os meninos tambem? (supor que 2 pessoas quaisquer

nao tenham o mesmo peso).

24. Uma urna contem 3 bolas vermelhas e 2 amarelas. Elas sao ex-

tradas uma a uma sem reposicao. Quantas sequencias de cores

podemos observar?

25. Sete atletas participam de uma prova de atletismo. Nao ocor-

rendo nenhum empate, quantas sao as classificacoes possveis nesta

prova?

26. Considerando os anagramas da palavra ALUNO, quantos come-

cam por vogal e terminam por consoante?

27. Numa mesa de bilhar ha 4 bolas vermelhas, 3 bolas brancas, 2

amarelas e uma verde, encostadas umas nas outras, em linha reta.

De quantas maneiras podemos dispor estas bolas obtendo colori-

dos diferentes?

28. Delegados de 10 pases devem se sentar em 10 cadeiras em fila.

De quantos modos isso pode ser feito se os delegados do Brasil e

de Portugal devem se sentar juntos e o do Iraque e o dos Estados

Unidos nao podem sentar juntos?

2.2. Permutacoes 40

29. Um cubo de madeira tem uma face de cada cor. Quantos dados

diferentes podemos formar gravando numeros de 1 a 6 sobre essas

faces?

30. Num baile ha 20 rapazes e 20 mocas. De quantos modos podem

ser formados 20 pares (moca-rapaz) para uma danca?

31. Quantas disposicoes diferentes podem ser feitas com sete livros na

prateleira de uma estante, se os livros sao de tamanhos diferentes

entre si?

32. Formam-se todos os numeros de seis algarismos sem os repetir,

com os algarismos do numero 786415. Colocando-os em ordem

crescente, qual a posicao do numero dado?

33. Determinar o numero de anagramas da palavra CAPITULO que

nao possuem vogais e nem consoantes juntas.

34. De quantos modos dez pessoas podem sentar-se em dez cadeiras

enfileiradas:

(a) sem restricoes?

(b) ficando A e B sempre juntos?

(c) sem que A e B fiquem juntos?

35. De quantos modos podem ser arrumadas as letras da palavra

VESTIBULAR, de forma que se mantenham juntas, numa ordem

qualquer, as letras VES?

36. De quantos modos dez casais podem sentar-se em uma roda gi-

gante com dez bancos de dois lugares cada um?

37. De quantos modos podemos enfileirar 4 cabos, 3 sargentos e 2

tenentes, de modo que 2 militares de mesma patente sejam con-

siderados indistinguveis?

38. Quantos sao os anagramas da palavra COROLARIO que come-

cam por vogal?

2.2. Permutacoes 41

39. Considere o conjunto de 10 letras {A,B,C, . . . , J}. Quantas pa-lavras de 5 letras podemos formar a partir desse conjunto, que

tenham exatamente duas letras repetidas?

40. Todos os anagramas da palavra SURITI estao escritas em ordem

alfabetica, como em um dicionario. Que posicao ocuparia a pro-

pria palavra SURITI?

41. Quantos sao os anagramas da palavra MISSISSIPI que nao pos-

suem duas letras I juntas?

42. Quantos anagramas da palavra GARRAFA comecam por A?

43. De quantos modos podem 6 criancas se colocarem em roda?

44. Das 8 pessoas que devem sentar-se a` uma mesa, A e B nunca

podem ser vizinhas. Quantas sao as disposicoes possveis?

45. Em quantos dos anagramas da palavra SABUGOL as vogais e as

consoantes estao intercaladas?

46. Em quantos dos anagramas da palavra PASTICHO as consoantes

vem em ordem alfabetica?

47. De quantas formas 6 pessoas podem sentar-se numa fileira de 6

cadeiras de duas delas (Pedro Henrique e Maria Luzia) se recusam

sentar um ao lado da outro?

48. No desenho abaixo, as linhas horizontais e verticais representam

ruas,e os quadrados representam quarteiroes. Qual e a quantidade

de trajetos de comprimento mnimo ligando A a B?

2.2. Permutacoes 42

49. Quantos numeros de 4 dgitos podemos formar a partir dos dgitos

123124?

50. (Olimpada da Espanha ) Quantos ternas ordenadas de nume-

ros naturais (a, b, c) maiores que 1 sao tais que

a b b = 739.

51. (PROFMAT/2012) Considere todos os numeros inteiros posi-

tivos escritos com exatamente cinco algarismos mpares distintos.

Qual e o valor da soma desses numeros?

(A) 6666600

(B) 6666000

(C) 6660000

(D) 6600000

(E) 6000000

52. (UFPE-adaptada) No mapa estao esbocadas as ruas de um

bairro. As ruas verticais sao paralelas entre si e a distancia entre

duas ruas consecutivas e a mesma; o mesmo acontece com as ruas

horizontais. Calcule o numero de formas de sair de A e chegar

ate B percorrendo a menor distancia possvel.

2.3. Combinacoes Simples 43

53. De quantas maneiras distintas podemos colocar 12 moedas iguais

em 5 bolsas de cores diferentes? E se nenhuma das bolsas puder

ficar vazia?

54. (COSER) Sendo possvel somente percorrer as arestas dos cubos

abaixo, quantos caminhos diferentes podemos fazer indo do ponto

A ate o ponto B, percorrendo o mnimo de arestas possvel?

(a) 150

(b) 350

(c) 1.260

(d) 2.520

(e) 7.560

2.3 Combinacoes Simples

1. Em uma reuniao social, cada pessoa cumprimentou todas as ou-

tras, havendo ao todo 45 apertos de mao. Quantas pessoas havia

na reuniao?

2. Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos

escolhidos entre 2, 3, 5, 7 e 11?

3. Um grupo tem 10 pessoas. Quantas comissoes de no mnimo 4

pessoas podem ser formadas, com as disponveis?

4. Sabendo-se queC8, p+2C8, p+1

= 2, determine o valor de p.


5. De quantas formas podemos escolher 4 cartas de um baralho de

52 cartas, sem levar em conta a ordem delas, de modo que em

cada escolha haja pelo menos um rei?

6. Um time de futebol de salao deve ser escalado a partir de um

conjunto de 10 jogadores (entre eles Ari e Arnaldo). De quantas

formas isto pode ser feito, se Ari e Arnaldo devem necessaria-

mente ser escalados?

7. Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas

formas ele pode selecionar 2 meias, sem que elas sejam do mesmo

par?

8. Em uma urna existem 12 bolas das quais 7 sao pretas e 5 brancas.

De quantos modos podemos tirar 6 bolas da urna, das quais 2 sao

brancas?

9. Em um grupo de 15 pessoas existem 5 medicos, 7 engenheiros e

3 advogados. Quantas comissoes de 5 pessoas podemos formar,

cada qual constituda de 2 medicos, 2 engenheiros e 1 advogado?

10. Quantas diagonais, nao das faces, tem:

(a) um cubo?

(b) um octaedro?

11. Sao dadas 2 retas paralelas. Marcam-se 10 pontos distintos so-

bre uma e 8 pontos distintos sobre a outra. Quantos triangulos

podemos formar ligando 3 quaisquer desses 18 pontos?

12. Um qumico possui 10 tipos de substancias. De quantos modos

possveis podera associar 6 dessas substancias se, entre as dez,

duas somente nao podem ser juntadas porque produzem mistura

explosiva?

13. Uma comissao formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser esco-

lhida em um grupo de 8 homens e 5 mulheres.

(a) Quantas comissoes podem ser formadas?

(b) Qual seria a resposta se um dos homens nao aceitasse parti-

cipar da comissao se nela estivesse determinada mulher?


14. Quantas diagonais possui um polgono de n lados?

15. Em um torneio no qual cada participante enfrenta todos os de-

mais uma unica vez, sao jogadas 780 partidas. Quantos sao os

participantes?

16. De quantos modos e possvel dividir 20 pessoas em dois grupos

de 10?

17. Numa urna ha 12 etiquetas numeradas, 6 com numeros positivos e

6 com numeros negativos. De quantos modos podemos escolher 4

etiquetas diferentes tal que o produto dos numeros nelas marcados

seja positivo?

18. Uma urna contem 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos

e possvel tirar 7 bolas das quais pelo menos 4 bolas sejam pretas?

19. Numa congregacao de 20 professores, 6 lecionam Matematica.

Qual o numero de comissoes de 4 professores que podem ser for-

madas de modo que exista no maximo um professor de Matema-

tica na comissao?

20. (PROFMAT/2011) Um campeonato com 25 clubes e dispu-

tado num ano, com um unico turno, pelo sistema de pontos cor-

ridos(cada clube joga uma vez com um dos outros). Em cada

semana ha sempre o mesmo numero de jogos e nao ha jogos na

semana do Natal nem na do Carnaval. O numero de jogos que

devem ser disputados em cada semana e:

(a) 5

(b) 4

(c) 8

(d) 6

(e) 10

21. (PROFMAT/2011) Uma equipe esportiva composta por 6 jo-

gadoras esta disputando uma partida de 2 tempos. No intervalo

do primeiro para o segundo tempo podem ser feitas ate 3 subs-

tituicoes e, para isto, o tecnico dispoe de 4 jogadoras no banco.

Quantas formacoes distintas podem iniciar o segundo tempo?


22. Resolva:Cx+3, 3Cx+1, 2

=10

3.

23. Resolva: Cn, 2 + Cn+1, n1 = 25.

24. Se Cn+2, 5 =28

3n; calcule n.

25. Resolva a equacao: Pn = 12Cn, 2.

26. Calcule p, sabendo que:C8, p+2C8, p+1

= 2.

27. Resolva:C2n, n1C2n2, n1

=133

35

28. Prove que: pCn, pCn, p1

=n p+ 1

1.

29. Use o exerccio anterior para calcular:

Cn, 1Cn, 0

+2Cn, 2Cn, 1

+3Cn, 3Cn, 2

+ ...+nCn, nCn, n1

.

30. Resolva: 2Cn+2, 3 = 7Cn, 3.

31. Dados 12 objetos, qual o numero de combinacoes de taxa 5 que:

(a) contem um determinado objeto?

(b) nao contem o objeto considerado?

32. Uma sociedade possui 5 diretores:

(a) Quantas comissoes de 3 membros podemos formar com esses

diretores?

(b) Em quantas dessas comissoes nao figura o presidente?

(c) Em quantas dessas comissoes figuram juntos o presidente e

o vice-presidente?

33. De quantos modos podemos iluminar uma sala que possui 5 lam-

padas, devendo ficar acesa, pelo menos, uma lampada?

34. Quantas comissoes constitudas de 3 mocas e 2 rapazes podem

ser formadas de um conjunto de 6 mocas e 4 rapazes?


35. Quantos paralelogramos sao determinados por um conjunto de

oito retas paralelas interceptando um outro conjunto de cinco

retas paralelas?

36. Quantos triangulos sao determinados por oito pontos num plano,

se nao ha tres pontos colineares?

37. Quantas permutacoes podemos formar com todas as letras da

palavra ARARA?

38. De quantas maneiras se pode escolher 3 numeros naturais de 1 a

30, de modo que a soma dos numeros escolhidos seja par?

39. Em uma urna ha 4 bolas brancas, 6 bolas pretas, 7 bolas verme-

lhas e 10 bolas azuis, todas numeradas. Sacam-se de uma vez, 8

bolas.

(a) Quantas sacadas distintas sao possveis?

(b) Quantas sao as sacadas em que aparecem 3 bolas brancas, 2

pretas, uma vermelha e as restantes azuis?

(c) Quantas sao as sacadas em que nao aparecem bolas brancas?

40. Sacam-se de uma vez 5 pedras de uma urna, onde se encontram

90 pedras numeradas de 1 a 90. Quantas sao as sacadas:

41. Quantos sao os jogos do turno do campeonato estadual do RN,

que e disputado por doze clubes?

42. Dadas duas retas paralelas, tomam-se 8 pontos sobre uma delas, e

5 sobre a outra. Quantos triangulos existem cujos vertices sejam

3 dos pontos considerados?

43. De quantas maneiras diferentes pode-se colocar os 4 cavalos de um

jogo de xadrez (2 brancos iguais e 2 pretos iguais) no tabuleiro

do mesmo jogo (64 casas)?

44. De quantos modos e possvel colocar em fila h homens e m mu-

lheres, todos de alturas diferentes, de modo que os homens entre

si e as mulheres entre si fiquem em ordem crescente de alturas?


45. De quantos modos se pode iluminar uma sala que possui m lam-

padas?

46. Quantos sao os anagramas da palavra PARAGUAIO que nao pos-

sue consoantes adjacentes?

47. Quantos sao os numeros naturais de 7 dgitos nos quais o dgito

4 figura exatamente 3 vezes e o dgito 8 exatamente 2 vezes?

48. Quer-se criar uma comissao constituda de um presidente e mais

3 membros. Sabendo-se que as escolhas devem ser feitas dentre

um grupo de 8 pessoas, quantas comissoes diferentes podem ser

formadas com essa estrutura?

49. Em um congresso ha 30 professores de Matematica e 12 de F-

sica. Quantas comissoes poderamos organizar compostas de 3

professores de Matematica e 2 de Fsica?

50. Quantas combinacoes se podem formar com 20 letras diferentes

tomadas 6 a 6, de modo que, em cada combinacao, cada letra

figure, no maximo, duas vezes?

51. Para transmitir sinais de uma ilha para a costa, dispoe-se de 6 lu-

zes brancas e 6 vermelhas colocadas nos vertices de um hexagono.

Em cada vertice nao pode estar acesa mais de uma luz(branca ou

vermelha) e o numero mnimo de luzes acesas e tres. Achar o

numero de sinais distintos que se pode fazer.

52. (PROFMAT/2012) De quantas maneiras e possvel escolher

tres numeros inteiros distintos, de 1 a 20, de forma que a soma

seja par?

(A) 1620

(B) 810

(C) 570

(D) 720

(E) 120


53. (PROFMAT/2012) Um engenheiro fara uma passarela de 10

metros de comprimento, ligando a porta da casa ao portao da

rua. A passarela tera 1 metro de largura e ele, para revesti-la,

dispoe de 10 pedras de lado 1 metro e 5 pedras retangulares de

1 metro por 2 metros. Todas as pedras sao da mesma cor, as

pedras de mesmo tamanho sao indistiguveis umas das outras e

o rejunte ficara aparente, embora com espessura desprezvel. De

quantas maneiras ele pode revestir a passarela?

54. (UFGO) Sejam:

S = {a1, a2, a3} S1 = {(ai, aj) S S|i 6= j} S2 = {{ai, aj} S|i 6= j} S3 = {(ai, aj, ak) S S S|i 6= j, i 6= k, k 6= j}

O numero de elementos dos conjuntos S1, S2, S3, nessa ordem,e

dado pelo numero de:

(a) arranjos, combinacoes, arranjos.

(b) combinacoes, arranjos, permutacoes.

(c) arranjos, arranjos, permutacoes.

(d) combinacoes, combinacoes, permutacoes.

(e) permutacoes, combinacoes, arranjos.

Captulo 3Terceira Lista

3.1 Equacoes Lineares com Coeficientes Uni-

tarios

1. Quantas solucoes inteiras e positivas possui a equacao:

(a) x+ y + z = 8?

(b) x1 + x2 + . . .+ x10 = 30?

2. Quantas solucoes inteiras nao negativas possui a equacao:

(a) x+ y + z = 8?

(b) x1 + x2 + . . .+ x10 = 30?

3. Quantas sao as solucoes inteiras e maiores que 3 da equacao

x1 + x2 + x3 = 15?

4. Quantas sao as solucoes inteiras e positivas da equacao

x1 + x2 + x3 + x4 = 20

tais que:

(a) x4 > 5?

50

3.1. Equacoes Lineares com Coeficientes Unitarios 51

(b) x3 > 6 e x4 > 5?

5. Ache o numero de solucoes inteiras e maiores que 4 da equacao

x1 + x2 + x3 + x4 = 1.

6. Determine o numero de solucoes inteiras e positivas da equacao

x1 + x2 + x3 + x4 = 20

nos seguintes casos:

(a) com x1 > 6.

(b) com x1 > 6 e x2 > 6.

7. Determine m sabendo que a equacao x1 + x2 + x3 = m possui 28

solucoes inteiras e positivas.

8. Quantas solucoes inteiras e nao negativas possui a inequacao

x1 + x2 + x3 + x4 < 5?

9. De quantos modos podemos repartir 17 lapis entre 4 alunos, de

modo que eles nao recebam fracoes de lapis, e admitindo-se que

alguns fiquem privados deles?

10. De quantos modos podemos repartir 5 laranjas entre 3 meni-

nos, de modo que eles nao recebam senao laranjas inteiras, e

admitindo-se que alguns fiquem privados delas?

11. Podendo escolher entre os sabores hortela, laranja e limao, de

quantos modos uma crianca pode comprar 5 balas?

12. Podendo escolher entre 5 tipos de queijo e 4 marcas de vinho de

quantos modos e possvel comprar 2 formas de queijo e 3 garrafas

de vinho?


x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 13.

3.2. Binomio de Newton 52

14. Determine o numero de solucoes inteiras e nao negativas da equa-

cao

x1 + x2 + x3 + x4 = 10.


x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 15.

3.2 Binomio de Newton

1. Prove, fazendo as contas, a relacao de Stifel:(n+ 1

p+ 1

)=

(n

p

)+

(n

p+ 1

)

2. Prove, fazendo as contas, que(n+ 2

p+ 2

)=

(n

p

)+ 2

(n

p+ 1

)+

(n

p+ 2

),

supondo n um real qualquer e p inteiro nao-negativo.

3. Desenvolver, usando o teorema binomial(m+

1

m

)5(m 1

m

)5.

4. No desenvolvimento de (x + y)100, qual o centesimo termo, se o

desenvolvimento for feito em potencias de expoentes decrescentes

de x?

5. Qual o coeficiente de x2 no desenvolvimento de (1 2x)6?6. No desenvolvimento de

(1 2x2)5, qual o coeficiente de x8?

7. Qual o termo em x3 no desenvolvimento de

(x a

2

x

)15?

8. Qual o termo independente de x no desenvolvimento de(x+

2

x

)8?


9. No desenvolvimento de

(x+

1

x

)2n+1, n N, pela formula do

binomio de Newton, existe um termo que nao depende de x ?

10. Qual o coeficiente de xn+1 no desenvolvimento de (x+ 2)n.x3?

11. Quantos termos racionais tem o desenvolvimento de(2 +

33)100

?

12. Calcule aproximadamente (1, 002)10, usando o Teorema Binomial.

13. Encontrar o termo medio do desenvolvimento de(ax+x

a

)10.

14. Calcular, diretamente, o quarto termo do desenvolvimento (x+ 2y)m,

sabendo que o numero total de termos, e 7.

15. Encontrar a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (a+ b)9.

16. A soma dos coeficientes dos termos de ordem mpar, no desen-

volvimento de (x y)6, e 32. Qual a soma dos coeficientes dostermos de ordem par ?

17. Qual e o maior coeficiente no desenvolvimento de (1 + x)11

?

18. Os coeficientes do quinto, sexto e setimo termos do desenvolvi-

mento de (1 + x)nencontram-se em progressao aritmetica. De-

terminar n.

19. Determinar o maior termo no desenvolvimento de (x+ a)n.

20. Determinar o termo maximo do desenvolvimento de (1 + x)6,

quando x =2

3.

21. Calcule o valor den

k=0

(k + 1)Ckn.

22. Determine o coeficiente de x28 no desenvolvimento de:

(x+ 2)20.(x2 1)5 .


23. Calcule, sem desenvolver, o termo maximo de

(1 +

5

6

)10.

24. Calcule, sem desenvolver, a soma dos coeficientes dos termos de(2x 3x2y2)17.

25. Determine o coeficiente de x3 no desenvolvimento de

(2x 3)4 (x+ 2)5.

26. Determine a ordem do termo que, no desenvolvimento de

(x+ a)6

tem4

3como razao de seu coeficiente para o do termo seguinte.

27. Considerando a potencia de (a+ b)m+7 e sabendo que:

Tm+4Tm+5

=7a

4b.

Calcule m.

28. No desenvolvimento de (1 + x)43 os termos de ordem 2k + 1 e

k + 2 sao iguais. Calcule k.

29. Calcule o 7o termo do desenvolvimento de

(abb

a

)10.

30. Determine o coeficiente de x28no desenvolvimento de:

(x4 + 3x2 4)50(x+ 2)20(x2 + 4)50(x2 1)45 .

31. Determinar o termo de ordem 2n + 1 do desenvolvimento de(x 1

x

)3n.

32. (ITA) Seja n um inteiro e positivo tal que os coeficientes dos 5o, 6o

e 7otermos do desenvolvimento de

(logn

n2

logne logen2

+ x

)nordena-

dos segundo as potencias decrescentes de x, estao em progressao

aritmetica. Determine n.


33. Qual e o coeficiente de x2y3zw5 no desenvolvimento de:

(x+ y + z + w + u)11?

34. Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de:

(2x 3y + 5z2)5.

35. Determine o coeficiente de x17 no desenvolvimento de:

(1 + x5 + x7)20.

36. Qual o numero de monomios nao semelhantes que compoem o

desenvolvimento de

(x1 + x2 + ...+ xn)2 ?

37. Resolver a equacao: (14

x

)=

(14

2x 1).

38. Resolver a equacao: (12

p+ 3

)=

(12

p 1).

39. Demonstre que(n0

)+(n1

)+ . . .+

(nn

)= 2n, n N.

40. Calcule m sabendo-se quemi=1

(mi

)= 1023 .

Captulo 4Respostas dos exerccios

4.1 Primeira lista

4.1.1 Progressoes Aritmeticas

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. (a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

56

4.1. Primeira lista 57

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

4.1.2 Progressoes Geometricas

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

4.1. Primeira lista 58

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

4.1.3 Fatorial

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

4.1.4 Princpio Fundamental da Contagem

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

4.2. Segunda lista 59

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

4.2 Segunda lista

4.2.1 Arranjos Simples

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

4.2. Segunda lista 60

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

4.2.2 Permutacoes

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

4.3. Terceira lista 61

4.3 Terceira lista

4.3.1 Equacoes Lineares com Coeficientes Unitarios

1. (a) C72

(b) C299

2. (a) C102

(b) C399

3. C52 = 10

4. (a) C143

(b) C83

5. C163

6. (a) C133

(b) C73

7. m = 7

8.

9. C203

10. C72

11.

12.

13.

14.

15.

4.3.2 Binomio de Newton

1. Demonstracao

2. Demonstracao

3.

4.

5. 60

6. 80

7. 5005a12x3

8. 280

9. nao

10. 2n(n 1)

11. 17

12. 1, 02

13. 252

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23. (5/6)4

24. 1

25. 32x3

26. 4a ordem

27. m = 3

28. k = 1 ou k = 14

29. 210b/a2

30. 8

4.3. Terceira lista 62

31.

32. n = 7 ou n = 14

33.

34.

35.

36.

37. x = 1 ou x = 5

38. p = 5

39.

40.

cad erno exerci cio s

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