Çağdaş türk ve dünya tari̇hi̇
DESCRIPTION
laTRANSCRIPT
1
SAYI KÜMELERĠ:
GĠRĠġ:
Nasıl atom maddenin, hücre canlının
temel taĢı ise sayılar da matematiğin
temel taĢlarıdır. Bu bölümde yalnızca
atom veya hücreyi bir bütün olarak değil,
atomun elektronlarını ve çekirdeğini,
hücrenin çekirdeğini ve DNA larını da
inceleyeceğiz.
Sayılar, ana kurallar ile birlikte doğru
kullanıldıklarında matematik seyretmesi
doyumsuz bir sanat eserine dönüĢür.
ÖSS Matematikte baĢarılı olmak isteyen
öğrencinin sayılar ile arasının çok iyi
olması gerekir.
Bu yüzden öncelikle sayı kümelerine kuĢ
bakıĢı bir göz atalım. Önemli
özelliklerinden birkaçını da vurgulayalım.
DOĞAL SAYILAR KÜMESĠ
N = { 0, 1, 2, 3, … , n, n+1, n+2, … }
Kümesine Doğal sayılar kümesi denir.
En küçük doğal sayı 0 dır.
TAMSAYILAR KÜMESĠ
Z={…,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,…, n, n+1, n+2,…}
Kümesine Tamsayılar kümesi denir.
Her doğal sayı, aynı zamanda bir
Tamsayıdır.
N ⊂ Z
Z- = { …, -3, -2, -1 } Negatif tamsayılar.
En büyük Negatif tamsayı -1 dir.
Z+ = { 1, 2, 3, … } Pozitif tamsayılar.
Sayma sayıları.
En küçük Pozitif tamsayı 1 dir.
Z = Z- {0} Z+
UYARI
0 sayısı Negatif bir tamsayı olmadığı gibi
Pozitif bir tamsayı da değildir.
RASYONEL SAYILAR KÜMESĠ
Q = { | a, b tamsayı, b 0 }
Kümesine Rasyonel sayılar kümesi denir.
UYARI
Ondalık sayılar,
0,23 ; 45,67 ; 123,4567 ; …
Devirli ondalık sayılar,
2,333… ; 36,232323… ; 0,125125…
birer Rasyonel sayıdır.
Her Tamsayı, paydası 1 olan bir
Rasyonel sayıdır.
a Tamsayı olmak üzere; 𝑎
1= 𝑎 dır.
N ⊂ Z ⊂ Q
b
a
SAYILAR
2
ĠRRASYONEL SAYILAR KÜMESĠ
( a, b tamsayı, b 0 )
Ģeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel
sayılar denir. Ġrrasyonel sayılar kümesi
Q’ ile gösterilir.
32, 5, 3,14, ... , 2,71 ...e
sayıları birer Ġrrasyonel sayıdır.
Rasyonel ve İrrasyonel sayı
kümelerinin ortak elemanları yoktur.
Q Q’ = Ø
GERÇEK (REEL) SAYILAR KÜMESĠ
Rasyonel sayılarlar kümesi ile Ġrrasyonel
sayılar kümesinin birleĢimine Gerçek
sayılar kümesi denir.
R = Q Q’
Doğal sayılar, Tamsayılar, Rasyonel
ve İrrasyonel sayılar birer Gerçek
sayıdır.
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
DÖRT ĠġLEM:
Matematikte baĢarılı olmanın temel
koĢullarından biri de dört iĢlemi hatasız
ve çabuk yapmaktır.
Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme
iĢlemlerini tüm sayı kümelerinde
sıkılmadan, çok sayıda alıĢtırma yaparak
pekiĢtirmek gerekir.
Biz öncelikle bu iĢlemlerin temel
özelliklerini belirtelim.
Toplama ve çarpma iĢlemlerinin
değiĢme özelliği vardır.
a+b = b+a
a.b = b.a
4+7=7+4=11
4.7=7.4=28
Toplama ve çarpma iĢlemlerinin
birleĢme özelliği vardır.
(a+b)+c = a+(b+c)
(a.b)c = a(b.c)
(2+3)+4=2+(3+4)=2+3+4=9
(2.3)4=2(3.4)=2.3.4=24
Çarpma iĢleminin,toplama iĢlemi üzerine
dağılma özelliği vardır.
(a+b)c = a.c+b.c
a(b+c) = a.b+a.c
(3+4)5=3.5+4.5=15+20=35
3(4+5)=3.4+3.5=12+15=27
Toplama iĢlemine göre;
Etkisiz (Birim) eleman 0 dır.
a+0 = 0+a = a
6+0=0+6=6
4+0=0+4=4
b
a
3
Çarpma iĢlemine göre;
Etkisiz (Birim) eleman 1 dir.
1.a = a.1 = a
1.7=7.1=7
1.12=12.1=12
Toplama iĢlemine göre; a gerçel sayısının
tersi (toplamsal tersi) -a sayısıdır.
a+(-a) = 0
12+(-12)=12-12=0
5+(-5)=5-5=0
Çarpma iĢlemine göre; sıfırdan farklı bir
a sayısının tersi (çarpımsal tersi)
a-1= 1
𝑎 sayısıdır.
a( ) = 1 (a 0)
8. 1
8=1
7. 1
7=1
Ġki sayının farkı; birinci sayı ile ikinci
sayının toplamsal tersinin toplamıdır.
a-b = a+(-b)
14-5=14+(-5)=9
12-8=12+(-8)=4
Ġki sayının bölümü; bölünen sayı ile bölen
sayının çarpımsal tersinin çarpımıdır.
(Bir sayının 0 ile bölümü tanımsızdır)
= a:b=a.( ) (b 0)
12
5= 12: 5 = 12.
1
5
2
3= 2: 3 = 2.
1
3
Sayının -1 ile çarpımı; o sayının toplamsal
tersine eĢittir.
(-1)a = -a
(-1)14=-14
(-1)(-12)=12
Çarpanlardan birinin toplamsal tersi
alındığında; çarpımın toplamsal tersi
bulunur.
(-a)b = a(-b) = -(a.b)
(-3).4=3(-4)=-(3.4)=-12
[-(-2)].3=(-2)(-3)=6
Çarpanların ikisinin de toplamsal tersi
alındığında; çarpım değiĢmez.
(-a)(-b) = a.b
(-4)(-5)=4.5=20
6.(-7)=(-6).7=-42
Sayının 0 ile çarpımı; her zaman 0 dır.
(0 sayısı, çarpma iĢleminde
Yutan elemandır.)
0.a = a.0 = 0
0.2=2.0=0
0.15=15.0=0
Kendinizi sınamak için aĢağıdaki dört
iĢlem sorularını yapıp yanıtlarınızı
kontrol ediniz.
48+12 =? 48-12 =?
48.12 =? 48:12 =?
8+0 =? 8-0 =?
8.0 =? 8:0 =?
0+12 =? 0-12 =?
0.12 =? 0:12 =?
10+20 =? 10-20 =?
10.20 =? 10:20 =?
0+0 =? 0-0 =?
0.0 =? 0:0 =?
a
1
b
a
b
1
4
ÇÖZÜM
48+12 =60 48-12 =36 ,
48.12 =576 48:12 =4
8+0 =8 8-0 =8 ,
8.0 =0 8:0 =TANIMSIZ
0+12 =12 0-12 =-12
0.12 =0 0:12 =0
10+20 =30 10-20 =-10
10.20 =200 10:20 =0,5
0+0 =0 0-0 =0
0.0 =0 0:0 =TANIMSIZ
UYARI
0 sayısı ile iĢlem yaparken çok dikkatli
olunmalıdır. Matematik öğrenmenin en
tatsız taraflarından biri sıfır sayısı ile
geçinmeyi öğrenmektir. Her öğrenilen
iĢlemi bir de 0 sayısı ile denemek insanın
hep aklını kurcalar. Bunların en kötüsü de
sıfırı, sıfıra bölmektir. Bu durumda
‘’Matematik bilen aslana, sıfır bölü sıfır
nedir? diye soran kiĢinin yaptığı ölümcül
hatayı yapmıĢ oluruz’’.
a 0 için :
00
a dır.
0
aTANIMSIZDIR.
0
0 TANIMSIZDIR.
DNA-1 −6 + 14
3 − (−5)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2
ÇÖZÜM
-6+14=8
3-(-5)=3+5=8
değerleri yerlerine yazıldığında;
−6+14
3−(−5)=
8
8= 1 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-1 5− 11
1 − (−5)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2
DNA-2 −2 + 2(−2)
1 + (−3)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-3 B)-2 C)0 D)2 E)3
ÇÖZÜM
-2+2(-2)=-2-4=-6
1+(-3)=1-3=-2
değerleri yerlerine yazıldığında;
−2+2(−2)
1+(−3)=
−6
−2= 3 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
5
GENETĠK KOPYA-2 3− 3(−3)
−4 + (−2)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2
DNA-3
Buna göre, A+B toplamı aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)12 B)13 C)14 D)15 E)16
ÇÖZÜM
EĢitliğin bir tarafında toplam veya fark
durumundaki bir terim, eĢitliğin diğer
tarafına iĢaret değiĢtirerek geçer.
74+AB=132 ⇒ AB=132-74
⇒ AB=58 olacağından,
A=5 ve B=8 dir.
A+B=5+8=13 olmalıdır.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-3
Buna göre, A.B çarpımı aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)6 B)8 C)12 D)15 D)18
DNA-4
Buna göre A+B toplamı kaçtır?
A)5 B)6 C)7 D)8 E)9
ÇÖZÜM
73-AB=48 ⇒ 73-48=AB
⇒ AB=25 bulunur.
A=2 ve B=5 dir.
A+B=2+5=7 olmalıdır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-4
Buna göre A+B toplamı kaçtır?
A)10 B)11 C)12 D)13 E)14
DNA-5
Yukarıdaki çarpma iĢleminde 1. Çarpan
kaçtır?
A)1234 B)1324 C)1243
D)1342 E)1432
6
ÇÖZÜM
Çarpma iĢleminde;
1.satır=(1. Çarpan)x(2. Çarpanın birler
basamağı)
2.satır=(1. Çarpan)x(2. Çarpanın onlar
basamağı)
3.satır=(1. Çarpan)x(2. Çarpanın yüzler
basamağı)
olarak yazıldığından;
(1. Çarpan)x3=3702 verilmiĢ.
EĢitliğin her iki tarafı 3 ile bölündüğünde 1.ç𝑎𝑟𝑝𝑎𝑛 .3
3=
3702
3
(1.Çarpan) = 1234 bulunur.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-5
Yukarıdaki çarpma iĢleminde 1. Çarpan
kaçtır?
A)876 B)867 C)786
D)687 E)678
DNA-6
Buna göre, A+B toplamı kaçtır?
A)14 B)15 C)16 D)17 E)18
ÇÖZÜM
Toplamdaki sayıların birler
basamağındaki rakamların toplamı:
A+B=6 veya A+B=16 olmalıdır.
Onlar basamağındaki rakamların toplamı:
B+A=16 olursa, birler basamağındaki
rakamlar toplamından gelen ‘’elde var 1’’
ile birlikte toplamın sonucu 176 olur.
Öyleyse; A+B=16 dır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-6
Buna göre, A+B toplamı kaçtır?
A)14 B)15 C)16 D)17 E)18
DNA-7
Buna göre, A-B farkı kaçtır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
ÇÖZÜM
Birler basamağındaki rakamlar farkı;
B-A=8 olduğu düĢünüldüğünde,
Onlar basamağındaki rakamlar farkı;
A-B bulunamaz.
Öyleyse; birler basamağı için, B’den
A çıkmaz, AB’nin onlar basamağı olan
A’dan bir onluk alıp;
10+B-A=8 ve 10-8=A-B
A-B=2 olmalıdır.
Onlar basamağında iĢlem yapıldığında;
A’dan bir alınmıĢtı,
A-1-B=1 ve A-B=2 olduğu görülür.
Doğru Seçenek B dir.
7
GENETĠK KOPYA-7
Buna göre, A-B farkı kaçtır?
A)1 B)2 C)7 D)8 E)9
DNA-8
Buna göre, D+N+A toplamı kaçtır?
A)11 B)12 C)13 D)14 E)15
ÇÖZÜM
NA iki basamaklı sayısının kendisi ile
çarpımı (karesi), yine NA ile sonlanan
DNA üç basamaklı sayısına eĢit verilmiĢ.
25x25=625 eĢitliği dıĢında bu özelliği
sağlayan sayı yoktur.
25x25=625
NAxNA=DNA
Bu durumda;
N=2, A=5 ve D=6 olup,
D+N+A=6+2+5=13 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-8
Buna göre, A kaçtır?
A)3 B)4 C)6 D)7 E)9
Dört iĢlem yaparken iĢlem önceliğine
dikkat edilmelidir.
Parantezli iĢlemlerde önce parantez
içindeki iĢlem yapılır.
Parantez yoksa; önce çarpma ve bölme,
sonra toplama ve çıkarma iĢlemleri
yapılır.
DNA-9
4+4.4-4:4-4
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) 3 B) 12 C) 15 D) 16 E) 20
ÇÖZÜM
Önce çarpma ve bölme iĢlemlerini
yapalım; sonra toplama ve çıkarma
iĢlemlerini yapacağız
4+4.4-4:4-4 = 4+16-1-4 = 20-5 = 15
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-9
3+3.3+3:3-3
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) 3 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
DNA-10
5-2(5-2)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-1 B)0 C) 1 D)3 E)13
ÇÖZÜM
Önce parantez içindeki iĢlemin sonucunu
bulalım, sonra çarpma ve çıkarma
iĢlemlerini yapacağız.
5-2(5-2) = 5-2(3) = 5-6 = -1
Doğru Seçenek A dır.
8
GENETĠK KOPYA-10
(5-2)5-2
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-1 B)0 C) 1 D)3 E)13
DNA-11
128:(2.4)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)2 B) 8 C)16 D)32 E)256
ÇÖZÜM
Önce parantez içindeki iĢlemi yaparız.
128:(2.4)=128:8=16
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-11
(128:2).4
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)2 B) 8 C)16 D)32 E)256
DNA-12
128:2.4
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)2 B) 8 C)16 D)32 E)256
ÇÖZÜM
Çarpma ve bölme iĢlemlerinin ardı ardına
kullanıldığı parantezsiz iĢlemlerde; önce
soldaki iĢlem yapılır.
128:2.4=64.4=256
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-12
128.2:4
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)2 B) 8 C)32 D)64 E)256
DNA-13
1-2[3-4:(5-6)]
iĢleminin sonucu kaçtır?
A) -13 B) -3 C) 0 D) 3 E) 13
ÇÖZÜM
Ġçteki küçük parantezden baĢlanarak,
adım adım dıĢa doğru iĢlem yapılır.
1-2[3-4:(5-6)] =1-2[3-4:(-1)]
=1-2[3+4]=1-2[7]=1-14
=-13
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-13
6-5:[4-3(2-1)]
iĢleminin sonucu kaçtır?
A) -13 B) -3 C) 0 D) 1 E) 13
Sayı kümelerini biraz daha çeĢitlendirip,
dört iĢlem yapmayı sürdürelim.
ÇĠFT SAYILAR
Ç={...-6,-4,-2,0,2,4,6,...,2n-2,2n,2n+2,...}
2’nin katı olan tamsayılardır.
Birler basamağı 0,2,4,6 veya 8 dir.
TEK SAYILAR
T={ ...-5.-3,-1,1,3,5,...,2n-1,2n+1,2n+3,...}
Birler basamağı 1,3,5,7 veya 9 dur.
IġIK-1
T±T=Ç Ç±Ç=Ç
T.T=T Ç.Ç=Ç
T±Ç=T T.Ç=Ç
n pozitif tamsayısı için;
Tn = T ve Çn = Ç dır.
( Ç0 = 1 )
9
DNA-14
a bir tamsayı olduğuna göre,
aĢağıdakilerden hangisinin sonucu
kesinlikle tek sayıdır?
A)a+1 B)a2-1 C)a2+2a
D)2a-3 E)a2+2a+1
ÇÖZÜM
a bir tek sayı ise;
a+1, a2-1 ve a2+2a+1 ifadeleri birer
çift sayı,
a bir çift sayı ise;
a2+2a çift sayı gösterir.
a ister tek, ister çift sayı olsun;
2a çift sayı,
2a-3 kesinlikle bir tek sayıdır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-14
n bir tamsayı olduğuna göre,
aĢağıdakilerden hangisinin sonucu
kesinlikle çift sayıdır?
A)2n+6 B)n2+4 C)n3
D)3n+4 E)n2-2n+1
DNA-15
x bir çift sayı olduğuna göre,
aĢağıdakilerden hangisinin sonucu
tek sayıdır?
A)3x+2 B)x3+2 C)5x3
D)x2+3x E)4x+3
ÇÖZÜM
x bir çift sayı iken;
3x+2, x3+2, 5x3 ve x2+3x sayıları çift,
4x+3 sayısı tek sayıdır.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-15
n bir tek sayı olduğuna göre,
aĢağıdakilerden hangisinin sonucu
çift sayıdır?
A)n2+3n B)3n+2 C)n2+5n+3
D)3n-4 E)2n-3
DNA-16
ArdıĢık üç çift sayıdan küçüğünün iki
katı, ikinciden 20 fazladır.
Üçüncü sayı kaçtır?
A)22 B)24 C)26 D)28 E)30
ÇÖZÜM
Sayılardan küçüğüne x dersek,
Ġkinci sayı x+2,
üçüncü sayı x+4 olacaktır.
2x = x+2 + 20 verilmiĢ.
x=22 bulunur.
Üçüncü sayı x+4 = 22+4 =26 olur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-16
ArdıĢık dört tek sayıdan en küçüğünün
üç katı, en büyüğüne eĢittir.
Bu sayıların toplamı kaçtır?
A)22 B)24 C)26 D)28 E)30
DNA-17
ArdıĢık üç tek sayının toplamı 249 ise bu
sayılardan en küçüğü kaçtır?
A)79 B)81 C)83 D)85 E)87
10
ÇÖZÜM
Sayılardan küçüğüne x dersek,
Ġkinci sayı x+2, üçüncü sayı x+4
olacaktır.
x + x+2 + x+4 = 249 verilmiĢ.
3x+6=249
3x=243
x=81 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-17
ArdıĢık üç tek sayının toplamı 105 ise en
büyüğü kaçtır?
A) 31 B) 33 C) 35
D) 37 E) 39
DNA-18
a ve b ardıĢık doğal sayılar,
x=ab+1 olduğuna göre, aĢağıdakilerden
hangisi kesinlikle tek sayıdır ?
A) x(a+1) B) a(x+b) C) b(a-1)
D) x(a+b) E) b(x+a)
ÇÖZÜM
ArdıĢık iki doğal sayıdan biri tek,
diğeri çift olduğundan;
a+b Toplamları tek sayı,
ab Çarpımları çift sayıdır.
ab çift sayı, x=ab+1 tek sayıdır.
a tek ise, a+1 çift, x(a+1) çift sayıdır.
a çift ise, a(x+b) çift sayıdır.
b çift ise, b(a-1) çift sayıdır.
b çift ise, b(x+a) çift sayıdır.
x tek sayı, a+b tek sayı olduğundan,
x(a+b) tek sayıdır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-18
x ve y ardıĢık tamsayılar olmak üzere,
aĢağıdakilerden hangisi kesinlikle çift
sayıdır?
A)x+y B)2x+y C)x+2y
D)x+xy+y E)3xy
DNA-19
a,b,c doğal sayılar olmak üzere ;
cba
2
3.
ise aĢağıdakilerden hangisi
her zaman doğrudur?
A) a+b tek sayıdır.
B) a ve b çift sayıdır.
C) a ve b tek sayıdır.
D) c çift sayıdır.
E) a ve b den biri tek sayıdır.
ÇÖZÜM a.b+3
2= c ⇒ a. b + 3 = 2c
EĢitliğinde, c ne olursa olsun 2c bir çift
sayıdır.
a.b+3 sayısının çift sayı olması için,
a.b nin tek sayı olması gerekir.
a.b nin tek sayı olması, a ve b nin tek sayı
olması ile mümkündür.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-19
x, y ve z birer tamsayı ve
2x+1=y.z olduğuna göre,
aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)y ve z tek sayılardır.
B)y ve z çift sayılardır.
C)y+z tek sayıdır.
D)y ve z den biri tek, diğeri çifttir.
E)x tek sayıdır.
11
KONU TESTĠ
1. 3.4+10:5-3=?
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) 9 B)10 C)11 D)12 E)13
2. 72:24+64:16=?
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)6 B)7 C)8 D)9 E)10
3. 3+4.5-6:3=?
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)13 B) 15 C) 28 D)21 E) 24
4. 150:(6+3.8)-5=?
iĢleminin sonucu kaçtır?
A) 0 B) 3 C) 5 D) 8 E) 18
5. 9-5:(8-3).2+6=?
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)10 B)11 C)12 D)13 E)14
6. 3-[5-(5-3)]=?
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-10 B)-4 C)0 D)4 E)10
7. A-B=C
Çıkarma iĢleminde;
A+B+C toplamının eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)2A B)2B C)2C D)AB E)AC
8. a, b, c doğal sayıları için;
a+b tek sayı, c2 çift sayıdır.
AĢağıdakilerden hangisi kesinlikle
doğrudur?
A)c tek sayıdır. B)a+c tek sayıdır.
C)b+c çift sayıdır. D)a.b.c tek sayıdır.
E)a.b.c çift sayıdır.
9. AĢağıdakilerden hangisi tek sayıdır?
A) 20072+3 B) 20083+4
C) 20072+5 D) 20083+7
E) 20072+9
10. x ve y pozitif tamsayılarından,
x çift , y tek sayıdır.
AĢağıdakilerden hangisi tek sayıdır?
A)x.y B)x+2y C)xy D)yx E)x3.y2
11. ArdıĢık iki tek sayıdan büyüğü
küçüğünün üç katıdır. Bu iki tek
sayının toplamı kaçtır?
A)4 B)8 C)12 D)16 E)20
12
12. Tek sayılar T, çift sayılar Ç ile
gösterildiğinde; aĢağıdakilerden
hangisi yanlıĢtır?
A)DZÇ=Ç B)DZT=T C)T±T=Ç
D)ÇxÇ=Ç E)ÇxT=T
13. x, y, z çift sayılar olduğuna göre,
aĢağıdakilerden hangisi her zaman
çift sayıdır?
A) 𝑥 +𝑦−𝑧
2 B) 𝑥 −
𝑦+𝑧
2 C)
𝑥+𝑦+𝑧
2
D) 𝑥 .𝑦 .𝑧
2 E)
𝑥+𝑦
2− 𝑧
14. ArdıĢık dört tek sayının toplamı
K dır. Buna göre, bu sayılardan en
büyüğünün K türünden eĢiti
aĢağıdakilerden hangisidir?
𝐴) 𝐾
4+ 3 B)
𝐾
4− 3 C)
𝐾
4+ 2
D) 𝐾
4− 2 E)
𝐾
8+ 1
15. a,b ve c sayma sayıları ve a+b=c
olduğuna göre;
a+b+c toplamı aĢağıdakilerden hangisi
olabilir?
A)25 B)37 C)43 D)52 E)69
16. A,B ve C farklı rakamlar olmak
üzere; A2C8 ve C66B dört basamaklı,
A79 üç basamaklı sayılardır.
Çıkarma iĢlemindeki A+B+C toplamı
kaçtır?
A)12 B)14 C)15 D)16 E)18
YANITLAR
1.C 2.B 3.D 4.A 5.D
6.C 7.A 8.E 9.D 10.D
11.A 12.E 13.D 14.A
15.D 16.E
TENEFFÜS !!!
1:2:3:4:5:6:7:8:9:10
Yukarıdaki iĢlemde uygun yerlere,
istenildiği kadar parantez kullanarak
sonucun 7 olmasını sağlayabilirmisiniz?
13
Sayı kümelerini tanıyıp, dört iĢlemi
pekiĢtirdikten sonra artık bu
bilgilerimizi problem çözümlerinde
kullanmaya baĢlayalım.
Sayı kümelerinin varsa en küçük veya en
büyük elemanlarını bilmek, bizi sayı
problemlerinde doğru sonuca götürür.
Soru çözmeye geçmeden, sayılar
arasında biraz daha dolaĢalım.
Ġki basamaklı, en küçük doğal sayı: 10
en büyük doğal sayı: 99
Ġki basamaklı, rakamları farklı en büyük
doğal sayı: 98
Üç basamaklı, en küçük doğal sayı: 100
Üç basamaklı, rakamları farklı en küçük
doğal sayı: 102
Üç basamaklı, en büyük doğal sayı: 999
Üç basamaklı, rakamları farklı en büyük
doğal sayı: 987
En büyük negatif tamsayı: -1
Ġki basamaklı, en büyük
negatif tamsayı: -10
Ġki basamaklı, en küçük
negatif tamsayı: -99
Ġki basamaklı, rakamları farklı en küçük
negatif tamsayı: -98
Üç basamaklı, en büyük
negatif tamsayı: -100
Üç basamaklı, rakamları farklı en büyük
negatif tamsayı: -102
Üç basamaklı, en küçük
negatif tamsayı: -999
Üç basamaklı, rakamları farklı en küçük
negatif tamsayı: -987
DNA-1
Ġki basamaklı, en büyük pozitif tek
tamsayı ile iki basamaklı, en küçük
negatif çift tamsayının toplamı kaçtır?
A)-1 B)0 C)1 D)89 E)90
ÇÖZÜM
Ġki basamaklı, en büyük pozitif tek
tamsayı 99,
Ġki basamaklı, en küçük negatif çift
tamsayı -98 olduğuna göre,
99+(-98)=99-98=1
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-1
Ġki basamaklı en küçük pozitif çift
tamsayı ile iki basamaklı en büyük
negatif tek tamsayının toplamı kaçtır?
A)-1 B)0 C)1 D)9 E)10
IġIK-1
Sonucu bilinen bir toplamda, toplanan
terimlerden birinin en büyük olması
isteniyorsa; diğerlerinin olabildiğince
küçük olması gerekir.
Karşıtı da doğrudur.
DNA-2
a,b Doğal sayıları için;
a+b = 14 ise
b’ nin en büyük değeri kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 7 D) 13 E) 14
14
ÇÖZÜM
Ġki doğal sayının toplamında;
b’nin en büyük değeri istendiğinden,
a en küçük değerini almalıdır.
Doğal sayılar içinde en küçük değer 0
olduğundan a=0 olmalıdır.
Bu durumda;
a+b=14 eĢitliğinde; a=0 alındığında;
0+b=14 ve b=14 olacaktır.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-2
a,b Pozitif tamsayıları için;
a+b = 14 ise
b’ nin en büyük değeri kaçtır?
A)0 B) 1 C) 7 D) 13 E) 14
DNA-3
a,b,c doğal sayıları için;
a+b+c=36 ise
c’nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A)11 B)12 C)13 D)35 E)36
ÇÖZÜM
c’nin en büyük değeri alabilmesi için,
a ve b’nin en küçük değerlerini alması
gerekir.
En küçük doğal sayı 0 olduğundan,
a=b=0 alındığında;
0+0+c=36
c=36 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-3
a,b,c farklı doğal sayılar olmak üzere;
a+b+c=36 ise
c’nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A)11 B)12 C)13 D)35 E)36
UYARI
Sayılar ile ilgili sorularda, kullanılan
sayıların hangi sayı kümesinin elemanı
olduğuna dikkat edilmelidir.
IġIK-2
Bir çıkarma iĢleminde;
Farkın küçük olması isteniyorsa, eksilen
sayı küçük, çıkan sayı büyük olmalıdır.
Farkın büyük olması isteniyorsa, eksilen
sayı büyük, çıkan sayı küçük olmalıdır.
DNA-4
a,b sayma sayıları olmak üzere;
a-b=14 ise
a’nın en küçük değeri kaçtır?
A)0 B)7 C)13 D)14 E)15
ÇÖZÜM
Farkları sabit olduğundan, a’nın en küçük
olması için, b’nin de en küçük olması
gerekir.
En küçük sayma sayısı 1 olduğundan;
b=1 için; a-1=14 ve a=15 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-4
a,b doğal sayılar olmak üzere;
a-b = 14 ise
a’ nin en küçük değeri kaçtır?
A)0 B) 7 C)7 D) 14 E) 15
Yukarıda verilen sorulara dikkat
edildiğinde, soruda kullanılan sayı
kümeleri farklı ise, soruların yanıtları da
farklı olmaktadır.
15
DNA-5
ĠkiĢer basamaklı iki tam sayının farkı
en çok kaç olabilir?
A)89 B)90 C)180 D)198 E)200
ÇÖZÜM
a-b farkının en büyük değeri alabilmesi
için, a’nın en büyük, b’nin en küçük olması
gerekir.
Ġki basamaklı en büyük tamsayı: 99
En küçük tamsayı: -99 olduğundan
a-b=99-(-99)=99+99=198 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-5
ĠkiĢer basamaklı iki tam sayının farkı
en az kaç olabilir?
A)0 B)-89 C)-180 D)-198 E)-200
DNA-6
Sekiz Ģeker kutusunun her birinde farklı
sayıda Ģeker bulunmaktadır.
Bu kutulardan rastgele biri boĢaltılıp
diğer kutulara uygun biçimde dağıtılınca
diğer yedi kutunun her birinde Ģeker
sayısı aynı oluyor.
BaĢlangıçta en çok Ģeker bulunan kutuda
en az kaç Ģeker vardır?
A)14 B)15 C)16 D)21 E)28
ÇÖZÜM
Kutulardaki Ģeker sayılarını; x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5, x+6, x+7
olarak alalım.
Son kutudaki x+7 Ģeker diğer kutulara;
kutularda x+6’Ģar Ģeker bulunacak
Ģekilde 1, 2, 3, 4, 5, 6 tane dağıtılırsa;
x+6, x+1+5, x+2+4, x+3+3, x+4+2, x+5+1
her birinde Ģeker sayısı x+6 olacaktır.
Dağıtılan Ģeker sayısı;
1+2+3+4+5+6 =21=x+7
BaĢlangıçta en çok Ģeker bulunan kutuda;
x+7=21 tane Ģeker vardır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-6
Her çocuğun en az bir kalem aldığı ve
alınan kalem sayılarının farklı olduğu bir
dağıtımda; 15 kalem üç çocuğa
dağıtılıyor. En çok kalem alan çocuk kaç
kalem alabilir?
A)10 B)11 C)12 D)13 E)14
HAZĠNE-1
Toplamları sabit iki Gerçek sayının
çarpımlarının en büyük olması için
sayıların eĢit olması gerekir.
Doğal sayılarda ve Tam sayılarda;
sayılar eşit olamıyorlarsa en yakın
değerleri almalıdır.
DNA-7
a,b Gerçek sayılar olmak üzere;
a+b = 5 ise a.b çarpımının
en büyük değeri kaçtır?
A)2 B)2,5 C)3 D)6 E)6,25
16
ÇÖZÜM
Toplamları 5 olan eĢit iki Gerçel sayı için
a=b=2,5 alınırsa;
a.b=(2,5)(2,5)=6,25 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-7
a,b Gerçek sayılar olmak üzere;
a+b = 8 ise a.b çarpımının
en büyük değeri kaçtır?
A)4 B)8 C)12 D)16 E)20
DNA-8 a = 3-x ve b = x+7 ise,
a.b nin en büyük değeri kaçtır?
A)16 B)25 C)36 D)49 E)68
ÇÖZÜM
a+b=(3-x)+(x+7)=10
a ve b nin toplamları x’e bağlı olmayıp
sabit olduğundan, çarpımlarının en büyük
değeri alması için sayıların eĢit olması
gerekir.
a+b=10 ⟹ a=b= 10
2 = 5 olmalıdır.
a.b=5.5=25 çarpımın en büyük değeridir
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-8
x=a+9 ve y=5-a ise,
x.y çarpımının en büyük değeri kaçtır?
A)25 B)45 C)49 D)75 E)81
DNA-9 Çevreleri sabit dikdörtgenler içinde alanı
en büyük olan karedir.
Dikdörtgen Ģeklindeki bir bahçe 60m.
uzunluğundaki tel ile çevrilecektir.
Alanının en büyük değeri kaç olabilir?
A)225 B)250 C)360
D)400 E)640
ÇÖZÜM
Çevre = 2a+2b = 60 ⟹ a+b = 30
Alan = a.b
Toplamı 30 olan iki sayının çarpımlarının
en büyük olması istendiğinden, sayılar
eĢit olmalıdır.
a=b=30
2 =15
a.b =15.15 = 225
alanın en büyük değeridir.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-9
Bir tarafı duvarla çevrili dikdörtgen
Ģeklinde bir bahçe 60m uzunluğundaki
tel ile çevrilecektir.
Alanın en büyük değeri kaç olabilir?
A)225 B)250 C)360
D)450 E)640
17
DNA-10 Bir kenarının tümü , diğer kenarının
yarısı duvar örülmüĢ kalan kısmı tel ile
çevrili dikdörtgen bir bahçe yapılacaktır.
60m. uzunluğundaki tel ile çevrilecek
alan en çok kaç m2 olabilir ?
A)225 B)250 C)360
D)450 E)600
ÇÖZÜM
Tel kullanılacak kısmın uzunluğu;
b+a+b
2=
3b
2+ a = 60
toplanan terimlerin eĢit olması
gerektiğinden;
a=30, 3b
2= 30 ⇒ 3b = 60 ⇒ b = 20
olur.
Alan =a.b=30.20=600 m2. dir.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-10
a, b doğal sayılar olmak üzere;
a+b = 6 ise
a2.b nin en büyük değeri kaçtır?
A)18 B)27 C)32 D)34 E)36
HAZĠNE-2
Çarpımları sabit iki doğal sayının
toplamlarının en küçük olması için
sayıların eĢit (veya en yakın) olması
gerekir.
DNA-11 x,y N için x.y = 36 ise
x+x.y+y ifadesinin en küçük değeri
kaçtır?
A)36 B)42 C)48 D)54 E)60
ÇÖZÜM
x ve y doğal sayılarının çarpımları sabit
olduğundan,toplamlarının küçük olması
için sayıların eĢit olması gerekir.
x.y =36 olduğundan ;
x=6 ve y=6 alınır. x+x.y+y = 6+6.6+6 = 48 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-11
Kenar uzunlukları tamsayı ve alanı alanı
25 birim kare olan bir dikdörtgenin
çevresi en az kaç birim olabilir?
A)10 B)12 C)15 D)20 E)25
DNA-12 x,y tamsayıları için:
x.y=36 ise
x+y toplamının en küçük değeri kaçtır?
A)-37 B)-12 C)0 D)12 E)37
ÇÖZÜM
Çarpımları 36 olan tamsayıların
toplamlarını alalım.
(-1).(-36)=36 ⇒ (-1)+(-36)=-37
(-2).(-18)=36 ⇒ -2)+(-18)=-20
(-3).(-12)=36 ⇒ -3)+(-12)=-15 .................... 1.36=36 ⇒ 1+36=37 2.18=36 ⇒ 2+18=20 3.12=36 ⇒ 3+12=15 4.9=36 ⇒ 4+9=13 6.6=36 ⇒ 6+6=12
18
Görüldüğü gibi çarpanlar birbirine
yaklaĢtıkça toplamın mutlak değeri
küçülmektedir.
Çarpanlar negatif olabiliyorsa, toplamın
en küçük değeri bu çarpanların toplamı
ile bulunur.
Soruda çarpanlar -1 ve -36 olarak
alındığında elde edilen toplam en küçük
olur.
(-1).(-36)=36 ⇒ (-1)+(-36)=-37
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-12
x,y∈Z için, x.y=9 ise
x+y toplamının en küçük değeri kaçtır?
A)-10 B)-6 C)0 D)6 E)10
DNA-13 a, b ve c tamsayıları için,
a.b=16
a.c=25 olduğuna göre,
a+b+c toplamının en büyük değeri
kaçtır?
A)13 B)14 C)41 D)42 E)53
ÇÖZÜM
Her iki eĢitliğin ortak çarpanı olan a’yı
en küçük aldığımızda, diğer çarpanlar
büyük olacaktır.
a=1 için; b=16 ve c=25 olur.
a+b+c=1+16+25=42 bulunabilecek en
büyük değerdir.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-13
a, b ve c tamsayıları için,
a.b=20
a.c=24 olduğuna göre,
a+b+c toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A)15 B)-15 C)-30 D)-45 E)-60
DNA-14
a, b ve c pozitif tamsayıları için;
a.b=18
a.c=24 olduğuna göre,
a+b+c toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A)-43 B)-42 C)0 D)13 E)43
ÇÖZÜM
Toplamın küçük olması için,
a, b ve c’nin küçük olması gerekir.
a sayısı her iki çarpımda ortak
olduğundan, a’nın en büyük değeri olan 6
sayısı alınırsa, b ve c sayıları en küçük
değerleri alırlar.
6.b=18 ⇒ b=3
6.c=24 ⇒ c=4 bulunur.
a+b+c=6+3+4=13 olur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-14
x, y ve z doğal sayıları için,
x.y.z=8 olduğuna göre,
x+y+z toplamı en az kaçtır?
A)5 B)6 C)7 D)8 E)9
DNA-15
a, b ve c doğal sayıları için,
a-b=7
a-c=5 olduğuna göre,
a+b+c toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A)8 B)9 C)12 D)13 E)14
19
ÇÖZÜM
a-b=7 ⇒ a=b+7
a-c=5 ⇒ a=c+5 eĢitliklerinde;
a’nın küçük olabilmesi için b ve c’nin de
küçük olması gerekir.
b=0 seçilirse, a=0+7 ve a=7
a=c+5 eĢitliğinden de
7=c+5 ve c=2 bulunur.
a+b+c=7+0+2 olur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-15
a, b ve c pozitif tamsayıları için,
a-b=7
a-c=5 olduğuna göre,
a+b+c toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A)8 B)9 C)12 D)13 E)14
DNA-16
A=8-(x-3)2 ifadesi x’in hangi gerçek
değeri için en büyük olur?
A)0 B)1 C)2 D)3 E)8
ÇÖZÜM
Farkın büyük olması için;
(x-3)2 ifadesi en küçük değerini
almalıdır.
x’in gerçek değerleri için tam karenin
alabileceği en küçük değer 0 dır.
(x-3)2=0
x-3=0
x=3 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-16
T=(x+2)2+5
Ġfadesinin alabileceği en küçük değer
kaçtır?
A)-2 B)2 C)3 D)5 E)7
DNA-17
Toplamları 72 olan üç farklı tamsayının
en büyüğü, en az kaçtır?
A)22 B)23 C)24 D)25 E)26
ÇÖZÜM
Sayıları eĢit düĢündüğümüzde;
72:3=24=a olur.
Dağılım; a-1, a ve a+1 olarak
Yapıldığında, a+1 istenen koĢulu sağlar.
a+1=24+1=25 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-17
Toplamları 47 olan üç tamsayının
en küçüğü , en çok kaçtır?
A)13 B)14 C)15 D)16 E)17
UYARI
En küçük veya en büyük değer bulma
sorularında kullanılan sayıların birbirine
en yakın (eĢit olabiliyorsa eĢit değerleri)
ve birbirinden en farklı değerleri
denenmelidir.
Tamkare ifadelerin her zaman pozitif
değerler aldığı, alabileceği en küçük
değerin sıfır olduğu unutulmamalıdır.
20
KONU TESTĠ
1. a ve b pozitif tamsayıları için;
a+b=11 olduğuna göre 2a+3b
toplamının en büyük değeri kaçtır?
A) 22 B) 23 C) 26 D) 32 E) 33
2. Çarpımları iki basamaklı en büyük çift
sayıya eĢit olan iki doğal sayının
toplamının alabileceği en büyük değer
kaçtır?
A)20 B)21 C)34 D)51 E)99
3. Ġki basamaklı en büyük pozitif çift
tamsayı ile iki basamaklı en büyük
negatif tek tamsayının toplamı
kaçtır?
A)87 B)88 C)97 D)98 E)99
4. a.b = 1200 ve b tek sayıdır.
b’nin en büyük değeri için,
a+b toplamı kaç olur?
A)91 B)243 C)324 D)432 E)1201
5. a, b, c tamsayılar,
a+b+c=12 olduğuna göre
a2+b2+c2 toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A)27 B)48 C)60 D)72 E)144
6. a ve b tam sayılar olmak üzere;
(a-3)2+(b+1)2= 0 ise
a + 2b toplamının değeri kaçtır?
A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
7. 12 tane kalem üç çocuğa
dağıtılacaktır. Her çocuğun en az bir
tane kalem aldığı bu dağıtımda en çok
kalem alan çocuk en az kaç kalem
alabilir?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
8. a,b doğal sayılar olmak üzere;
a+b = 10 ise a.b çarpımının
en büyük değeri kaçtır?
A)5 B)10 C)20 D)25 E)50
9. a,b doğal sayılar olmak üzere;
a+b = 5 ise a.b çarpımının
en büyük değeri kaçtır?
A)2 B)3 C)5 D)6 E)10
10. a ve b doğal sayıları için;
a.b=16 ise, 1
𝑎+
1
𝑏 toplamının
en küçük değeri kaçtır?
A) 1
16 B)
1
8 C)
1
4 D)
1
2 E) 1
21
11. x,y∈Z için, x.y=-16 ise
x+y toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A)-17 B)-15 C)0 D)15 E)17
12. x ve y tamsayıları için,
x+y=9 olduğuna göre
x2+y2 toplamının alabileceği
en küçük değer kaçtır?
A)13 B)25 C)41 D)61 E)81
13. a ve b pozitif tamsayıları için;
a+b=11 olduğuna göre 2a+3b
toplamının en küçük değeri kaçtır?
A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26
14. ĠkiĢer basamaklı iki doğal sayının
farkı en çok kaçtır?
A)100 B)99 C)90 D)89 E)88
15. A ve B ikiĢer basamaklı iki
tamsayı olmak üzere,
A-B farkı en çok kaçtır?
A)198 B)188 C)108 D)100 E)89
16. A ve B ikiĢer basamaklı iki
tamsayı olmak üzere,
A-B farkının en küçük değeri kaçtır?
A)-198 B)-188 C)-108
D)-100 E)-89
1.D 2.E 3.A 4.A 5.B 6.C 7.C
8.D 9.D 10.D 11.B 12.C 13.B
14.D 15.A 16.A
22
TANIM
Sonlu kümelerin bire-bir eĢleme
bağıntısına göre ortaya çıkan denklik
sınıflarından her birine bir
doğal sayı denir.
N = { 0, 1, 2, 3, … , n, n+1, n+2, … }
Kümesinin elemanları birer doğal sayıdır.
Hiç elemanı olmayan kümeler denktir.
Denklik sınıfı 0 doğal sayısı ile gösterilir.
Bir elemanlı kümeler denktir.
Denklik sınıfları 1 doğal sayısı ile
gösterilir.
Ġki elemanlı kümeler denktir.
Denklik sınıfları 2 doğal sayısı ile
gösterilir.
…
n elemanlı kümeler denktir.
Denklik sınıfları n doğal sayısı ile
gösterilir.
Doğal sayılar kümesinin alt kümelerini ve
özelliklerini inceleyelim.
SAYMA SAYILARI :
(Pozitif tamsayılar)
N = { 1, 2, 3, … , n, n+1, n+2, … }
Kümesinin elemanları birer sayma
sayısıdır.
En küçük sayma sayısı 1 dir.
IġIK-1
Herhangi iki veya daha fazla doğal
sayının toplamı her zaman bir doğal
sayıdır.
Herhangi iki veya daha fazla doğal
sayının çarpımı her zaman bir doğal
sayıdır.
ÇĠFT SAYILAR:
NÇ = { 0, 2, 4, 6, … , 2n, 2n+2, 2n+4, … }
En küçük çift Doğal sayı 0 dır.
TEK SAYILAR:
NT = { 1,3,5,7, … , 2n-1, 2n+1, 2n+3, … }
En küçük tek doğal sayı 1 dir.
ARDIġIK SAYILAR
n bir doğal sayı göstermek üzere;
n, n+1, n+2, … Ģeklindeki sayılara
ArdıĢık doğal sayılar denir.
Genel olarak;
n bir tamsayı göstermek üzere;
ardıĢık çift sayılar
2n, 2n+2, 2n+4, …. Ģeklinde,
ardıĢık tek sayılar
2n+1, 2n+3, 2n+5, … Ģeklinde gösterilir.
DOĞAL SAYILAR
23
DNA-1
ArdıĢık üç doğal sayıdan en küçüğü ile en
büyüğünün toplamı 36 iken, bu üç sayının
toplamı kaçtır?
A)18 B) 36 C)45 D)54 E) 63
ÇÖZÜM
ArdıĢık doğal sayıları;
n, n+1, n+2 Ģeklinde gösterdiğimizde
en küçüğü n, en büyüğü n+2 olduğundan
n + n+2 =36 verilmiĢ.
2n+2 = 36
2n = 34
n =17 bulunur.
Sayılar : 17, 18 ve 19 dur.
Toplamları: 17+18+19=54 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-1
ArdıĢık üç çift doğal sayının toplamı 72
ise, en büyüğü kaçtır?
A)22 B)24 C)26 D)28 E)36
ArdıĢık doğal sayıların toplamının
bulunması pek çok soruda karĢımıza
çıkacağından, bunu kısa yoldan bulmanın
yollarını arayalım.
ĠĢe 1 den baĢlayarak ardıĢık sayma
sayılarının toplamı ile baĢlayalım.
1=1
1+2=3= 1,5 .2
1+2+3=6=2.3
1+2+3+4=10=2,5 . 4
1+2+3+4+5=15=3.5
1+2+3+4+5+6=21=3,5 .6
1+2+3+4+5+6+7=28=4.7
…………..
Toplamlara baktığımızda;
Ortadaki sayı ile terim sayısının
çarpımının sonucu verdiğini
görebiliriz.
Ortadaki sayı; en küçük terim ile en
büyük terimin toplamının yarısıdır.
Yeni bir hazine bulunmuĢtur.
HAZĠNE-1
ArdıĢık ilk n tane Sayma sayısının
toplamı; toplamdaki son sayı ile
ardıĢığının çarpımının yarısına eĢittir.
1 + 2 + 3 + …. + n = 𝑛(𝑛+1)
2
DNA-2
1 + 2 + 3 + … +99+ 100
Toplamının sonucu kaçtır?
A) 1000 B) 1050 C)5000
D)5050 E)6000
ÇÖZÜM
HAZĠNE-1 den; son sayı 100, ardıĢığı
100+1=101 olduğundan istenen toplam;
1 + 2 + 3 + … + 100 =
100(100+1)
2=
100.101
2= 5050 dir.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-2
1+2+3+ … +10
Toplamının sonucu kaçtır?
A)50 B)55 C)60 D)75 E)100
24
HAZĠNE-2
a, (a+r), (a+2r), (a+3r), … , (a+nr)
Ģeklindeki dizilere Aritmetik dizi denir.
r: Ortak fark
n+1: Terim sayısı = Son terim −Ġlk terim
Ortak fark+ 1
Ortadaki sayı = İlk terim +Son terim
2
Bir aritmetik dizinin tüm terimlerinin
toplamı:
TOPLAM = 0rtadaki sayı x Terim sayısı
DNA-3 13+16+19+ … +127+130 Toplamının sonucu kaçtır?
A)2500 B)2640 C)2860
D)2900 E)3210
ÇÖZÜM
𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 =𝑖𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 +𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚
2. (𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı)
Ortak fark = r = 3
𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı =𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 −𝑖𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚
𝑜𝑟𝑡𝑎𝑘 𝑓𝑎𝑟𝑘+ 1
𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı =130−13
3+ 1 =
117
3+ 1 = 39 +
1 = 40
𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 =13+130
2. 40 =
143
2. 40 = 2860
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-3
18+22+26+ … +98+102
Toplamının sonucu kaçtır?
A)1230 B)1320 C)1380
D)1440 E)1500
UYARI
Ortadaki sayı, toplanan terimlerden biri
olmayabilir.
DNA-4
10+11+12+ … +19+20
Toplamının sonucu kaçtır?
A)150 B)155 C)165 D)175 E)200
ÇÖZÜM
Ġstenen toplam;
1+2+3+…+9+10+11+12+…+20 =20 20+1
2
= 20.21
2= 210
1+2+3+…+9 = 9(9+1)
2=
9.10
2= 45
10+11+12+…+20 = 210-45 = 165 olur.
Doğru Seçenek C dir.
YADA !!!
Ortadaki sayı= 𝑖𝑙𝑘 𝑠𝑎𝑦 ı+𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑎𝑦 ı
2=
10+20
2 =15
Terim sayısı = 𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 −𝑖𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚
𝑜𝑟𝑡𝑎𝑘 𝑓𝑎𝑟𝑘+ 1
=20−10
1+ 1 = 11
Toplam=Ortadaki sayıxTerim sayısı
=15.11=165
Tercih sizin…
GENETĠK KOPYA-4
25+26+27+ … +74+75
Toplamının sonucu kaçtır?
A)2500 B)2550 C)2600
D)2650 E)2700
25
DNA-5
4+8+12+ … +396+400 Toplamının sonucu nedir?
A)20000 B)20100 C)20200
D)20300 E)20400
ÇÖZÜM
Toplamdaki sayılar 4’ün katı olduğundan
4 parantezine alınabilir.
4+8+12+ … +400 =4(1+2+3+ … +100)
Parantez içindeki toplam DNA-2 de
bulunmuĢtu.
Bu durumda;
4+8+12+ … +400 =4(1+2+3+ … +100)
=4. 100(100+1)
2= 4.
100.101
2= 4.5050
=20200 olacaktır.
Doğru Seçenek C dir.
YADA !!!
Ortadaki sayı = 𝑖𝑙𝑘 𝑠𝑎𝑦 ı+𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑎𝑦 ı
2=
4+400
2
=202
Terim sayısı = 𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 −𝑖𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚
𝑜𝑟𝑡𝑎𝑘 𝑓𝑎𝑟𝑘+ 1
=400−4
4+ 1 = 100
Toplam=Ortadaki sayıxTerim sayısı
=202.100=20200
Tercihini yapamayanlar için…
GENETĠK KOPYA-5
5+10+15+ … +495+500
Toplamının sonucu kaçtır?
A)2525 B)25250 C)252500
D)252600 E)252700
DNA-6
0,12112111211112111112…
irrasyonel sayısında 0 dan sonraki
onikinci 2 den önce yazılan 1 lerin
toplamı kaçtır?
A)12 B)24 C)48 D)78 E)96
ÇÖZÜM
Verilen Ġrrasyonel sayıda;
2 rakamlarının önünde sırasıyla,
1 tane, 2 tane, 3 tane, … , 12 tane
1 bulunmaktadır.
Soruda bizden istenen toplam:
1+2+3+ … +12 toplamıdır.
1+2+3+ … +12 = 12(12+1)
2= 78 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-6
En alt sırasında 15 tane bidon bulunan
Ģekildeki gibi bir istifte, toplam kaç
bidon vardır?
A)120 B)125 C)130 D)145 E)150
26
DNA-7
ArdıĢık ilk n sayma sayısının toplamını
veren sayılara Üçgen sayılar denir.
1+2+3+ …. +n= 𝑛(𝑛+1)
2
n N+ için Ģeklinde yazılabilen
sayılardır. 1, 3, 6, 10, 15, ... gibi.
AĢağıdaki sayılardan hangisi üçgen
sayıdır?
A)16 B)24 C)32 D)36 E)48
ÇÖZÜM
Üçgen sayılar, 𝑛 ∈ 𝑁+ 𝑖ç𝑖𝑛; 𝑛(𝑛+1)
2
Ģeklinde yazılabilen sayılardır.
𝑛 ∈ 𝑁+ 𝑖ç𝑖𝑛; 𝑛(𝑛+1)
2 =36
n(n+1) =2.36=72=8.9
n=8, n+1=9
Seçeneklerde; iki katı, ardıĢık iki doğal
sayının çarpımı olan 36 aranan sayıdır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-7
1+2+3+ … +n=66 ise,
n doğal sayısı kaçtır?
A)10 B)11 C)12 D)13 E)14
DNA-8
{1}, {2,3}, {4,5,6} , … küme dizisindeki
100. kümenin : en büyük elemanı kaçtır?
A)100 B)500 C)5000
D)5050 E)6000
ÇÖZÜM
Kümelerin en büyük elemanlarına dikkat
edildiğinde;
1. Kümede 1
2. Kümede 3
3. Kümede 6
……
birer üçgen sayı olduğu görülür.
Bu durumda 100. kümenin en büyük
elemanı da 100. Üçgen sayı yani ilk 100
sayma sayısının toplamı olan;
100(100+1)
2=
100.101
2= 5050 dir.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-8
{1}, {2,3}, {4,5,6} , … küme dizisindeki
100. kümenin : en küçük elemanı kaçtır?
A)100 B)4950 C)4951
D)5050 E)6000
IġIK-2
n tane ardıĢık doğal sayının toplamının
n’e bölümü (aritmetik ortası) dizinin
ortasındaki sayıyı verir.
2
)1( nn
27
DNA-9 ArdıĢık beĢ doğal sayının toplamı 400 ise
bu sayılardan en büyüğü kaçtır?
A)79 B)80 C)81 D)82 E)83
ÇÖZÜM
𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑜𝑟𝑡𝑎 =𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚
𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦 ı𝑠ı=
400
5= 80
Aritmetik orta = Ortadaki terim = 80
78, 79, 80, 81, 82
80 + 2 = 82 sayıların en büyüğüdür.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-9
11 tane ardıĢık pozitif tamsayının
toplamı 2002 ise en küçüğü kaçtır?
A)176 B)177 C)178
D)182 E)187
DNA-10
ArdıĢık 17 tane tamsayının toplamı
17 dir.
Bu sayıların çarpımı kaçtır?
A)-170 B)-17 C)0 D)17 E)170
ÇÖZÜM
𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑜𝑟𝑡𝑎 =𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚
𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦 ı𝑠ı=
17
17= 1
Aritmetik orta = Ortadaki sayı = 1
… , -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Ortadaki sayı 1 olduğundan, sayılardan
biri de 0 sayısıdır.
Tüm sayıların çarpımında, çarpanlardan
biri sıfır olduğundan, çarpım sıfır olur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-10
ArdıĢık 9 tane tamsayının toplamı 9 ise,
bu sayılardan en büyüğü kaçtır?
A)4 B)5 C)6 D)7 E)8
DNA-11 n ve m pozitif tamsayılar olmak üzere:
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+ … +(n+m)=1000
ise;
n+m toplamı kaçtır?
A)15 B)45 C)60 D)70 E)85
ÇÖZÜM
Toplamda; m+1 tane n ve 1+2+3+…+m
toplamı olduğundan;
(m+1)n+ 𝑚(𝑚+1)
2 = 1000
2(m+1)n+m(m+1) = 2000
(m+1)(2n+m) = 2000 = 24.53
m+1 çift, 2n+m tek olacağından;
m+1 = 24 = 16 ⟹ m = 15
2n+m = 53 = 125 ⟹ 2n = 110 ⟹ n = 55
n+m = 55+15 = 70 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
UYARI
n ve m pozitif tam sayılar olmak üzere;
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+ …+(n+m)= 𝑚+1 (2𝑛+𝑚)
2
GENETĠK KOPYA-11
n bir doğal sayı olmak üzere, 63 sayısı,
63=n+(n+1)+ … +(n+k)
biçiminde ardıĢık doğal sayıların toplamı
olarak yazıldığında,
n=8 ise, k kaçtır?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
28
DNA-12 49 tane ardıĢık pozitif tamsayının
toplamı 74 olduğuna göre, bu sayılardan
en küçüğü kaçtır?
A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28
ÇÖZÜM
𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑜𝑟𝑡𝑎 =𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚
𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦 ı𝑠ı=
74
49=
49.49
49
= 49
Aritmetik orta = Ortadaki terim = 49
0rtadaki terim 49 olduğundan,
kendisinden küçük 24 teri, kendisinden
büyük 24 terim bulunur.
Sayılardan en küçüğü; 49-24=25 olur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-12
1+2+3+ …. +n = 10n
EĢitliğini geçekleyen n doğal sayısı
kaçtır?
A)15 B)16 C)17 D)18 E)19
DNA-13 2+4+6+ … +100 =2550 olduğuna göre,
1+3+5+ … +99
toplamının sonucu kaçtır?
A)2400 B)2450 C)2500
D)2550 E)2600
ÇÖZÜM
1+2+3+4+5+6+ … +99+100 =n(n+1)
2=
100.101
2
(1+3+5+… +99)+(2+4+6+…+100)=5050
(1+3+5+… +99)+(2550)=5050
1+3+5+… +99 =5050-2550=2500 olur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-13
n bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye
kadar doğal sayıların toplamı A,
5 ten n ye kadar doğal sayıların toplamı
B ile gösteriliyor.
A+B=370 ise A nın değeri kaçtır?
A)176 B)180 C) 184 D)190 E)192
DNA-14
12+22+32+ ... +102=K
olarak veriliyor.
Karesi alınan sayılar birer azaltılırsa
toplamın sonucu kaç olur?
A)K-10 B)K-19 C)K-90
D)K-100 E)K-101
ÇÖZÜM
Karesi alınan sayılardan birer
çıkarıldığında toplam;
(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2+ … +(10-1)2
=02+12+22+ ... +92 Ģekline dönüĢür ki
bu toplam K’dan 102=100 noksandır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-14
12+22+32+ ... +102=A
olarak veriliyor. Karesi alınan sayılar
birer artırılırsa toplamın sonucu kaç
olur?
A)A+121 B)A+120 C)A+11
D)A+10 E)A+1
29
DNA-15
A=1.2+2.3+3.4+ ... +n(n+1)
B=2.3+3.4+4.5+ ... +(n+1)(n+2)
n=10 için B nin A türünden eĢiti
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)A+132 B)A+130 C)A+12
D)A+10 E)12.A
ÇÖZÜM
n=10 için;
A=1.2+2.3+3.4+ … +10.11
B=2.3+3.4+4.5+ … +10.11+11.12 olur.
B sayısı, A’dan; 11.12-1.2 fazladır.
B=A+130 olur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-15
T = 2.5+3.6+4.7+ …. +10.13
Toplamının her bir teriminin birinci
çarpanı 1 azaltılırsa,
T sayısı ne kadar azalır?
A)79 B)80 C)81 D)82 E)83
DNA-16
1-2+3-4+5-6+ …. +19-20
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-11 B)-10 C)-9 D)-8 E)-7
ÇÖZÜM
1-2+3-4+5-6+ …. +19-20
ĠĢleminde gruplandırma yaparsak;
=(1-2)+(3-4)+(5-6)+ …. +(19-20)
=(-1)+(-1)+(-1)+ … +(-1)
20 tane terimde, ikiĢerli 10 grup
olacağından,
=10(-1)=-10 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-16
100-99+98-97+96-95+ … +4-3+2-1
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)100 B)99 C)51 D)50 E)49
DNA-17
102-92+82-72+62-52+42-32+22-12
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)35 B)45 C)55 D)65 E)75
ÇÖZÜM a2-b2=(a-b)(a+b) özdeĢliğinden;
102-92=(10-9)(10+9)=1.19=19
82-72=(8-7)(8+7)=1.15=15
62-52=(6-5)(6+5)=1.11=11
42-32=(4-3)(4+3)=1.7=7
22-12=(2-1)(2+1)=1.3=3 olduğundan
102-92+82-72+62-52+42-32+22-12
=19+15+11+7+3 bulunur.
Ortadaki terim (aritmetik orta)=11
Terim sayısı=5 olduğundan, toplamın
sonucu; 11.5=55 tir.
Doğru Seçenek C dir.
IġIK-3
ArdıĢık iki doğal sayıdan, büyüğünün
karesi ile küçüğünün karelerinin farkı,
sayıların toplamına eĢittir.
212-202=(21-20)(21+20)=1.41=41
752-742=(75-74)(75+74)=1.149=149 gibi
GENETĠK KOPYA-17
12-22+32-42+ … +192-202
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-210 B)-190 C)-180
D)-160 E)-110
30
IġIK-4
ArdıĢık ilk n çift sayma sayısının toplamı:
dir.
IġIK-5
ArdıĢık ilk n tek sayma sayısının toplamı:
dir.
DNA-18
ArdıĢık ilk 40 pozitif çift tamsayının
toplamı A,
ardıĢık ilk 40 pozitif tek tamsayının
toplamı B ise,
A-B farkı kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 40 D) 400 E) 720
ÇÖZÜM
A=2+4+6+ … +80
2n=80 ise n=40 olduğundan;
A=n(n+1)=40(40+1)=40.41=1640
B=1+3+5+ … +79
2n-1=79 ise n=80 olduğundan;
B=n2=402=1600
A-B=1640-1600=40 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
YADA !!!
1+2+3+4+ … +79+80 Toplamında;
40 tane tek, 40 tane çift pozitif tamsayı
vardır.
ĠkiĢerli gruplandırdığımızda;
(1+2)+(3+4)+(5+6)+ … +(79+80)
Her grupta fark 1 olup, 40 grup vardır.
A-B=40.1=40 olur.
GENETĠK KOPYA-18
1+3+5+ … +99
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)250 B)2401 C)2500
D)2601 E)5000
DNA-19
n N için,
n2 Ģeklindeki sayılara Kare sayılar
denir.
0, 1, 4, 9, 16, … gibi.
ArdıĢık ilk 100 doğal sayıdan kaç tanesi
kare sayıdır (tam karedir) ?
A)8 B)9 C)10 D)11 E)12
ÇÖZÜM
02=0, 12=1, 22=4, 32=9, … , 92=81,
102=100 olduğundan,
Ġlk 100 doğal sayı içinde;
0, 1, 4, 9, 16, … , 81 olmak üzere 10 tane
kare sayı vardır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-19
AĢağıdaki sayılardan hangisi ardıĢık iki
üçgen sayının toplamı değildir?
A)4 B)9 C)16 D)25 E)75
12...642 nnn
212...531 nn
31
KONU TESTĠ
1. AĢağıdakilerden hangisi ardıĢık üç
doğal sayının toplamı olamaz?
A)48 B)63 C)75 D)82 E)96
2. ArdıĢık üç doğal sayının en küçüğü ile
en büyüğünün toplamı 88 dir.
Bu üç sayının toplamı kaçtır?
A)130 B)131 C)132 D)134 E)135
3. ArdıĢık 13 tane tamsayının toplamı
13 tür.
Bu sayıların en büyüğü kaçtır?
A)6 B)7 C)8 D)9 E)10
4. 1+2+3+ … +n=A olduğuna göre,
n+(n+1)+(n+2)+ … +2n toplamının
A türünden eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)A B)2A C)3A D)A2 E)A3
5. n bir doğal sayı olmak üzere,
45 sayısı;
n+(n+1)+(n+2)+ … +(n+k)=45
biçiminde ardıĢık doğal sayıların
toplamı olarak yazıldığında, k’nın
alabileceği en büyük değer kaçtır?
A)4 B)5 C)8 D)9 E)14
6. On bir tane ardıĢık tamsayının
toplamı 2002 ise en büyüğü kaçtır?
A)176 B)177 C)178 D)182 E)187
7. 1+2+3+ … +n ≤ 125
EĢitsizliğini sağlayan en büyük
n doğal sayısı kaçtır?
A)14 B)15 C)16 D)17 E)18
8. ArdıĢık 2008 tane tamsayının çarpımı
0 dır.
Bu sayılardan en büyüğü en çok
kaçtır?
A)2010 B)2009 C)2008
D)2007 E)2006
9. a, b ve c ardıĢık üç doğal sayı,
a2+b2=c2 ise
a+b+c toplamı kaçtır?
A)7 B)12 C)15 D)18 E)24
10. (33+44+55+66):11
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)7 B)9 C)11 D)18 E)24
32
11. (12+10+8+6+4+2):(6+5+4+3+2+1)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)2 B)4 C)6 D)8 E)12
12. (2009+2008+2007)-
(2006+2005+2004)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)3 B)6 C)9
D)2003 E)2004
13. a,b,c,d ardıĢık dört tek sayı olmak
üzere; a<b<c<d için
(a-b)(c-d)(a-d)(b-c)
iĢleminin sonucu kaçtır?
A)16 B)24 C)32 D)40 E)48
14. ArdıĢık üç pozitif tamsayının
çarpımı, toplamlarının 21 katıdır.
Bu sayıların toplamı kaçtır?
A)23 B)24 C)25 D)26 E)27
15. n doğal sayısının ardıĢığı
( n’den sonra gelen doğal sayı)
n* ile gösterildiğine göre ;
(3.4*)* sayısının ardıĢığı kaçtır?
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17
16. A=1211 ve B=1112 sayıları için
aĢağıdakilerden hangisi çift sayıdır?
A) A-B B) A+B C) (A+1)B
D) (A-1)B E)A.B
YANITLAR
1.D 2.C 3.B 4.C 5.D 6.E
7.B 8.D 9.B 10.D 11.A 12.C
13.E 14.B 15.E 16.E
33
KONU TESTĠ
1. ArdıĢık ilk 100 pozitif tam sayının
karelerinin toplamı A dır.
ArdıĢık ilk 100 pozitif çift tam
sayının karelerinin toplamı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A) 2.A B) 4.A C) 2.A2
D) 4.A2 E) 200.A
2. 1 den 55 e kadar olan tamsayılar
soldan sağa doğru yazılarak
N=1234…9101112…5455
Ģeklinde 101 basamaklı bir N sayısı
oluĢturuluyor.
Buna göre, N nin soldan 55. rakamı
kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 9
3. 1+3+7+9+13+15+19+ …. +61+63+67
Toplamının değeri kaçtır?
A)663 B)695 C)717
D)771 E)779
4. ArdıĢık altı doğal sayıdan son
dördünün toplamı 62 olduğuna göre,
ilk dördünün toplamı kaçtır?
A)54 B)55 C)56 D)57 E)58
5. ArdıĢık dört çift sayının toplamı
aĢağıdakilerden hangisi olamaz?
A)84 B)100 C)116
D)132 E)144
6. ArdıĢık beĢ tek sayının toplamı 165
olduğuna göre,
bu sayılardan en büyüğü kaçtır?
A)33 B)35 C)37 D)39 E)41
7. ArdıĢık üç tek sayının toplamı, üç
basamaklı bir doğal sayıdır.
Bu sayılardan en küçüğü en az kaçtır?
A)33 B)35 C)37 D)39 E)41
8. 1+3+5+ … +99=T ise
2+4+6+ … +100 toplamının
T türünden eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)T B)2.T C)T+25
D)T+50 E)T+100
9. ArdıĢık dokuz tek sayının toplamı
873 olduğuna göre,
bu sayıların en büyüğü kaçtır?
A)87 B)91 C)97 D)107 E)109
34
10. a, b ve c ardıĢık üç çift sayı olup,
a<b<c dir. Buna göre;
(a-b)+(a-c)+(b-c)
toplamı kaçtır?
A)-10 B)-8 C)-6 D)-4 E)-2
11. 1+2+3+4+ … +99+100
Ġfadesinde, tek sayıların her biri
1 artırılır, çift sayıların her biri
2 azaltılırsa toplamdaki değiĢme için
aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)100 azalır. B)50 azalır.
C)değiĢmez. D)50 artar.
E)100 artar.
12. ArdıĢık yedi tamsayının, en
küçüğü ile en büyüğünün toplamı 24
olduğuna göre,
bu yedi sayının toplamı kaçtır?
A)60 B)66 C)72 D)78 E)84
13. ArdıĢık beĢ çift sayının toplamı
100 ise,
bu sayıların en büyüğü ile en
küçüğünün toplamı kaçtır?
A)36 B)38 C)40 D)42 E)44
14. 1+2+3+ … +n = 190 ise,
n kaçtır?
A)18 B)19 C)20 D)21 E)22
15. 11+13+15+ … +41
Toplamının değeri kaçtır?
A)416 B)425 C)432
D)441 E)453
16. 18+22+26+ … +82
Toplamının değeri kaçtır?
A)800 B)820 C)830
D)840 E)850
1.B 2.B 3.D 4.A 5.E 6.C
7.A 8.D 9.D 10.B 11.B 12.E
13.C 14.B 15.A 16.E
35
RAKAMLAR
Doğal sayılar kümesinin alt kümelerinden
biri olan;
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
kümesine Rakamlar kümesi, bu kümenin
elemanlarına da Rakam denir.
Rakamlar, ‘’Onluk sistemde’’ sayıları
yazmak için kullanılan sembollerdir.
UYARI
Rakamlar, birer doğal sayıdır.
Sayılar, rakamların bir arada yazılması
ile oluĢturulur.
304 ; -12 ; 4,5 ; 29 ; 22
7 birer sayıdır.
DNA-1 a ve b birer rakam olmak üzere;
3a+2b=22 ise,
a+b toplamının alabileceği kaç farklı
değer vardır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
ÇÖZÜM
Bu tip sorularda; değiĢkenlerden birine
uygun değerler verilerek diğeri bulunur.
2b ve 22 çift olduğundan, a’ya en küçük
çift sayı değeri vermekle baĢlayalım.
a=0 için; 3.0+2b=22 ve b=11 olur.
b=11 bir rakam değildir, alınmaz.
a=2 için; 3.2+2b=22 ve b=8
a=4 için; 3.4+2b=22 ve b=5
a=6 için; 3.6+2b=22 ve b=2
a=8 için; 3.8+2b=22 ve b=-1
b=-1 bir rakam değildir, alınmaz.
a+b toplamı;
2+8=10, 4+5=9 ve 6+2=8 olmak üzere
3 farklı değer alır.
Doğru Seçenek C dir.
UYARI
Soruda;
a’nın aldığı değerler, b’nin katsayısı olan
2 Ģer, 2 Ģer artarken,
b’nin aldığı değerler, a’nın katsayısı olan
3 er, 3 er azalmaktadır.
GENETĠK KOPYA-1 a ve b birer rakam olmak üzere;
a+b=12 ise,
a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
A)4 B)5 C)6 D)7 E)8
DNA-2 x, y ve z farklı rakamlar olmak üzere;
4x-3y+z ifadesinin alabileceği
en büyük ve en küçük değerlerin toplamı
kaçtır?
A)18 B)26 C)44 D)52 E)80
ÇÖZÜM
x ve z büyük (x’in katsayısı büyük
olduğundan, x en büyük)
y küçük alındığında ifade büyük değer
alacağından;
x=9 , y=0 , z=8 alınırsa
4.9-3.0+8=44 en büyük değerdir.
x ve z küçük (x’in katsayısı büyük
olduğundan, x en küçük)
y büyük alındığında ifade küçük değer
almaktadır.
x=0 , y=9 , z=1 alınırsa
4.0-3.9+1=-26 en küçük değeridir.
En büyük ve en küçük değerlerin toplamı
44+(-26)=44-26=18 dir.
Doğru Seçenek A dır.
BASAMAK ANALĠZĠ
36
GENETĠK KOPYA-2 a, b ve c farklı rakamlar olmak üzere;
a+2b-3c ifadesinin alabileceği en büyük
değer kaçtır?
A)24 B)25 C)26 D)27 E)28
DNA-3 a ve b birer rakam olmak üzere;
2a-3b=0 ise,
Yazılabilecek en büyük ab iki basamaklı
sayısı kaçtır?
A)32 B)64 C)96 D)97 E)98
ÇÖZÜM
Öncelikle; 2a-3b=0 eĢitliğinde,
a’ya verilecek değerler 3 ün katları,
b’nin değerleri de 2 nin katları olacaktır.
ab sayısını en büyük olması için;
a büyük, b büyük olmalıdır.
a’nın alabileceği en büyük değer 9,
a’nın bu değeri için de b=6 olur.
ab=96 yazılabilecek en büyük sayıdır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-3 a ve b birer rakam olmak üzere;
3a=4b eĢitliğini gerçekleyen kaçtane iki
basamaklı ab sayısı yazılabilir?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
Sayıları oluĢturmaya baĢlamıĢ iken, kaçar
tane sayı yazılabileceğine de bir göz
atalım.
Bir basamaklı; 10 tane doğal sayı,
9 tane sayma sayısı,
Ġki basamaklı; 90 tane doğal sayı,
Üç basamaklı; 900 tane doğal sayı,
Dört basamaklı; 9 000 tane doğal sayı…
yazılabilir.
Genel olarak;
Soldaki ilk basamağa; 0 dıĢında 9
rakamdan birini,
yanındaki basamağa; 10 rakamdan birini,
yanındaki basamağa; yine 10 rakamdan
birini yazabiliriz.
Matematiğin en önemli kurallarından biri
olan, çarpmanın temel ilkesi gereği,
yazılabilecek sayıların adedi;
9.10.10… dur.
DNA-4 Üç basamaklı, rakamları farklı kaç tane
abc doğal sayısı yazılabilir?
A)9OO B)800 C)720 D)648 E)600
ÇÖZÜM
Soldaki ilk basamağa; 0 dıĢında 9
rakamdan birini yazabiliriz.
Ortadaki basamağa; a yerine yazılan
rakam dıĢında geriye kalan 9 rakamdan
birini yazabiliriz.
Son basamağa; a ve b yerine yazılan iki
rakam dıĢında kalan 8 rakamdan biri
yazılabilir.
Sonuç olarak:
9.9.8=648 tane üç basamaklı, rakamları
farklı doğal sayı vardır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-4 Ġki basamaklı kaç tane çift doğal sayı
yazılabilir?
A)50 B)45 C)40 D)36 E)35
37
DNA-5 543 sayfalık bir kitabın sayfalarını
numaralandırmak için kaç tane rakam
kullanılır?
A)15512 B)1521 C)1543
D)1598 E)1629
ÇÖZÜM
Bir basamaklı 9 tane sayma sayısı,
Ġki basamaklı 90 tane sayma sayısı
olduğundan;
9+90=99 sayfa bir ve iki basamaklı
sayılar ile numaralandırılır.
543-99=444 sayfa üç basamaklı sayılar
ile numaralandırılmıĢtır.
Bir basamaklı sayılarda: 9.1=9
Ġki basamaklı sayılarda: 90.2=180
Üç basamaklı sayılarda: 444.3=1332
tane rakam kullanılır.
Toplam: 9+180+1332=1521 rakam
kullanılır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-5 100 sayfalık bir kitabın sayfalarını
numaralandırırken 4 rakamı kaç kez
kullanılır?
A)10 B)18 C)19 D)20 E)21
HAZĠNE-1
ai ler birer rakam, n sayma sayısı
göstermek üzere; her A doğal sayısı
A = a 10 +a 10 + … +a 10+a
biçiminde gösterilebilir.
Bu gösterime A doğal sayısının
çözümlenmiĢ Ģekli denir.
A = anan-1…a1a0 doğal sayısı
n+1 basamaklı bir doğal sayıdır.
IġIK-1
a, b, c, d birer rakam, a≠ 0 olmak üzere;
Ġki basamaklı doğal sayılar;
ab = 10.a+b
a onlar , b birler basamağıdır.
Üç basamaklı doğal sayılar;
abc = 100.a+10.b+c
a yüzler , b onlar , c birler basamağıdır.
Dört basamaklı doğal sayılar;
abcd = 1000.a+100.b+10.c+d
a binler, b yüzler, c onlar, d birler
basamağı olarak adlandırılır ve
çözümlenir.
ab0 üç basamaklı sayısı; ab.10
abc üç basamaklı sayısı;
abc = ab0 + c =ab.10 + c veya
abc = a00 + bc = a.100 +bc
biçimlerinde de gruplandırılabilir.
Örneğin;
abcd = ab00 + cd = 100.ab + cd gibi.
SAYI DEĞERĠ
Bir doğal sayının yazılıĢında; rakamın
bulunduğu basamağa bağlı olmadan tek
baĢına gösterdiği değere, bu rakamın
sayı değeri denir.
BASAMAK DEĞERĠ
Rakamların bulundukları basamaklara
göre aldığı değere, bu rakamın basamak
değeri denir.
678 = 6.102+7.10+8
= 600+70+8 sayısında;
6, 7 ve 8 rakamların sayı değerleri,
600, 70 ve 8 rakamların basamak
değerleridir.
n
n
1n
1n
1 0
38
IġIK-2
Bir sayıyı oluĢturan rakamların basamak
değerleri toplamı, sayının kendisini verir.
2 345 = 2.103+3.102+4.10+5
= 2000+300+40+5
2, 3, 4 ve 5 rakamların sayı değerleri,
2000, 300, 40 ve 5 rakamların basamak
değerleridir.
2 345 = 2.103+3.102+4.10+5
=234.10+5 = 2340+5
=23.102+45 = 2300+45
=2.103+345 = 2000+345
biçimlerinde de gruplara ayrılabilir.
DNA-6 Kendisini oluĢturan rakamların, sayı
değerlerinin çarpımı 40 olan dört
basamaklı en küçük doğal sayının birler
basamağı kaçtır?
A)O B)1 C)2 D)5 E)8
ÇÖZÜM
abcd dört basamaklı doğal sayısında;
a.b.c.d=40 verilmiĢtir.
Sayının küçük olması istendiğinden;
soldaki basamaktaki rakamların sayı
değerlerinin küçük olması gerekir.
40=2.2.2.5=1.2.4.5=1.1.5.8
yazılımlarından;
a=b=1 , c = 5 , d = 8 alınırsa ;
abcd = 1158 olacaktır.
Birler basamağındaki rakam 8 dir.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-6
Kendisini oluĢturan rakamların, sayı
değerlerinin toplamı 20 olan dört
basamaklı en büyük doğal sayının onlar
basamağında hangi rakam kullanılır?
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
DNA-7 3,4,5,6,7 rakamları birer kez kullanılarak
yazılan abcde beĢ basamaklı sayısında;
a+b=d+e dir.
Bu koĢullara uyan kaç tane abcde sayısı
yazılabilir?
A)4 B)12 C)18 D)24 E)28
ÇÖZÜM
KoĢula uygun rakam gruplarını bulalım.
4+7=5+6
3+7=4+6
3+6=4+5
Ģeklinde üç ana grup oluĢturulabilir.
Ġlk grup için;
c yerine kullanılmayan 3’ü yazar,
soluna 47 veya 74, sağına 56 veya 65
olmak üzere 4 farklı sayı,
soluna 56 veya 65, sağına 47 veya 74
olmak üzere 4 farklı sayı
yazılabileceğinden toplam 8 sayı vardır.
Diğer iki grup için de benzer iĢlemlerle
8 er sayı yazılabileceğinden,
8+8+8=24 sayı yazılabilir?
Doğru Seçenek D dir
39
GENETĠK KOPYA-7
1,2,3,4 rakamları birer kez kullanılarak
yazılan abcd dört basamaklı sayısında;
a+b=c+d dir.
Bu koĢulara uygun yazılabilecek en küçük
abcd sayısında b+c toplamı kaçtır?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
DNA-8 abc üç basamaklı sayısında;
a’nın sayı değeri 1 artırılır,
b’nin sayı değeri 1 azaltılır ve
c’nin sayı değeri 2 artırıldığında;
abc sayısının değeri kaç artar?
A)112 B)108 C)102 D)92 E)88
ÇÖZÜM
abc=100.a+10.b+c dir.
(a+1).100+(b-1).10+c+2
=100.a+100+10.b-10+c+2
=100.a+10.b+c+100-10+2
=abc+92
Sayının değeri 92 artmıĢtır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-8 abc üç basamaklı sayısında;
a, b ve c’nin sayı değerleri 2 Ģer
artırıldığında,
abc sayısının değeri kaç artar?
A)2 B)22 C)188 D)200 E)222
DNA-9 abab dört basamaklı sayısı, ab iki
basamaklı sayısının kaç katıdır?
A)10 B)11 C)100 D)101 E)110
ÇÖZÜM
abab=1000.a+100.b+10.a+b
=1010.a+101.b
=101(10.a+b)
=101.ab
abab sayısı, ab sayısının 101 katıdır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-9 aaa üç basamaklı sayısı, a’nın kaç katıdır?
A)11 B)100 C)110 D)111 E)121
DNA-10 ab ve ba iki basamaklı doğal sayıları için;
ab+ba=132 olduğuna göre,
ab sayısının en büyük değeri için
a.b çarpımı kaçtır?
A)81 B)72 C)54 D)36 E)27
ÇÖZÜM
Sayıları çözümlediğimizde;
ab+ba=132
10.a+b+10.b+a=132
11.a+11.b=132
11(a+b)=132
a+b=12 bulunur.
a=9 ve b=3 için aranan koĢullar sağlanır
ab=93 yazılabilecek en büyük sayıdır.
a.b=9.3=27 olur.
Doğru Seçenek E dir.
40
GENETĠK KOPYA-10 ab ve ba iki basamaklı doğal sayıların
toplamı aĢağıdakilerden hangisi olamaz?
A)11 B)22 C)33 D)44 E)55
DNA-11 xy ve yx iki basamaklı doğal sayılar,
xy+yx = 66 ise
xy-yx farkı en çok kaçtır?
A)12 B)18 C)24 D)36 E)44
ÇÖZÜM
xy = 10.x+y
yx = 10.y+x olarak çözümlendiğinde;
xy+yx=(10.x+y)+(10.y+x)=11(x+y)=66
x+y=6 bulunur.
xy-yx=(10.x+y)-(10.y+x)=9(x-y)
farkının büyük olması istenmektedir.
x’in büyük, y’nin küçük olması gerekir.
Toplamları 6 olan iki rakamdan
x =5 ve y =1 için
aranan koĢullar sağlanır.
xy=51 ve yx=15 olmalıdır.
xy-yx=51-15=36 aranan
en büyük farktır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-11 ab ve ba iki basamaklı doğal sayılar
arasındaki fark aĢağıdakilerden hangisi
olamaz?
A)9 B)18 C)27 D)36 E)46
DNA-12 ab iki basamaklı bir doğal sayı,
x bir gerçel sayı olmak üzere:
a.x = 94 ve b.x = 141 ise
ab.x çarpımı kaçtır?
A)1024 B) 1081 C)1212
D)1425 E)1437
ÇÖZÜM
ab=10.a+b çözümlemesi kullanıldığında;
ab.x = (10.a+b)x = 10.a.x+b.x bulunur.
a.x = 94 ve b.x = 141 yazılırsa
ab.x = 10.94+141 = 940+141 = 1081 olur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-12 ab iki basamaklı bir doğal sayı,
x bir gerçel sayı olmak üzere:
a.x = 52 ve b.x = 91 ise
ab.x çarpımı kaçtır?
A)143 B)438 C)611
D)4732 E)5291
DNA-13 ab iki basamaklı sayısının rakamları yer
değiĢtirildiğinde, elde edilen iki
basamaklı sayının değeri, verilen sayıdan
27 fazla olmaktadır.
b-a farkı kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
ÇÖZÜM
Önce sözlü ifadeyi eĢitlik halinde
yazalım;
ba sayısı, ab sayısından 27 fazla ise
ba=ab+27 yazılabilir.
Çözümleme yapıldığında;
10.b+a=10.a+b+27
9.b-9.a=27
9(b-a)=27
b-a=3 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
41
GENETĠK KOPYA-13 ab iki basamaklı sayısının rakamları yer
değiĢtirildiğinde, elde edilen iki
basamaklı sayının değeri, verilen sayıdan
36 noksan olmaktadır.
a-b farkı kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
DNA-14 aa ve bb iki basamaklı sayıları için;
aa.bb = 2178 olduğuna göre
a+b toplamının en büyük değeri kaçtır?
A)9 B)10 C)11 D)12 E)13
ÇÖZÜM
aa=10.a+a=11.a
bb=10.b+b=11.b
çözümlemeleri kullanılırsa
aa.bb=11.a.11.b=121.a.b=2178
a.b=18 bulunur.
Çarpımları 18 olan iki sayının
çarpımlarının büyük olması için, sayıların
bir birinden uzak olması gerektiğinden;
a=2 ve b=9 alınmalıdır.
a+b=11 en büyük değerdir.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-14 aa ve bb iki basamaklı sayıları için;
aa+bb=176 olduğuna göre,
a.b çarpımının en büyük değeri kaçtır?
A)16 B)24 C)52 D)63 E)64
DNA-15 Rakamları toplamı 10 olan iki basamaklı
bir sayının üç katının iki eksiği, sayının
ters yazılıĢına eĢit olduğuna göre,
bu sayının birler basamağındaki rakam
kaçtır?
A)1 B)2 C)4 D)5 E)8
ÇÖZÜM
ab iki basamaklı sayısı için;
verilenleri eĢitlik durumunda yazarsak;
a+b=10
3.ab-2=ba olur.
Çözümleme yaptığımızda;
3(10.a+b)-2=10.b+a
30.a+3.b-2=10.b+a
30.a+3.b-10.b-a=2
29.a-7.b=2 bulunur.
Bulunan eĢitlikler
a=2 ve b=8 değerleri için sağlanır.
ab=28 sayısının birler basamağı 8 dir.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-15 Basamaklarının sayı değerlerinin toplamı
8 olan iki basamaklı bir sayının rakamları
yer değiĢtirdiğinde, sayı 36
azalmaktadır.
Bu iki basamaklı sayı kaçtır?
A)26 B)35 C)53 D)62 E)71
42
DNA-16 a4b2 sayısı, a2b4 sayısından
kaç fazladır?
A)168 B)178 C)188 D)198 E)208
ÇÖZÜM
Sayılar çözümlendiğinde;
a4b2=1000.a+100.4+10.b+2
a2b4=1000.a+100.2+10.b+4
a4b2-a2b4 = 1000.a+100.4+10.b+2
-(1000.a+100.2+10.b+4)
=400+2-(200+4)
=198 olur.
Doğru Seçenek D dir.
YADA !!!
a4b2 sayısının yüzler basamağı,
a2b4 sayısının yüzler basamağından
2 fazla olduğundan;
ikinci sayıdan 200 fazla,
benzer Ģekilde birler basamağı 2 az
olduğundan, sayıdan 2 azdır.
200-2=198 fazladır.
GENETĠK KOPYA-16
xyz üç basamaklı sayısının her
basamağının sayı değeri, kendisi kadar
artırıldığında sayı 143 artıyor. x+y+z toplamı kaçtır?
A)6 B)7 C)8 D)9 E)12
DNA-17 2abc dört basamaklı doğal sayısının
4 katı, dört basamaklı cba2 doğal sayısı
ise; a+b+c toplamı kaçtır?
A)15 B)16 C)17 D)18 E)19
ÇÖZÜM
4.2abc=cba2
4(2000+100.a+10.b+c)=1000.c+100.b+10.a
+2
eĢitliği düzenlediğimizde;
498.c+30.b-195.a=3999 bulunur.
EĢitliği gerçekleyen a, b, c değerleri
arandığında
a=8, b=7 ve c=1 için doğrulandığı
görülür.
a+b+c=8+7+1=16 dır.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-17
abc üç basamaklı sayısı ac iki basamaklı
sayısının yedi katıdır.
a+b+c toplamı kaçtır?
A)5 B)6 C)7 D)8 E)9
Bu bölümde üslü sayılarla iĢlemler
yapacağımızdan, üslü sayılarla ilgili
kuralları bir hatırlayalım.
an.am=am+n
an.bn=(a.b)n
(an)m=an.m
43
UYARI
10n-1 sayısı, sondan n-1 basamağı 0 olan,
n basamaklı en küçük doğal sayıdır.
10n-1 sayısı, n tane 9 rakamı ile yazılan,
n basamaklı en büyük doğal sayıdır.
IġIK-3
A sayısı m basamaklı pozitif bir tamsayı
ve n bir doğal sayı olmak üzere ;
N = A.10n Ģeklinde yazılabilen bir doğal
sayı;
sonunda n tane 0 bulunan
m+n basamaklı bir sayıdır.
123.104=1230000 sayısı, sonunda 4 tane
sıfır bulunan, 7 basamaklı bir sayıdır.
DNA-18 A=21999.52001 sayısı kaç basamaklıdır?
A)1999 B)2000 C)2001
D)2002 E)2003
ÇÖZÜM
21999.51999.52 = 25.(2.5)1999 =25.101999
Sondan 1999 basamağı sıfır olan
2001 basamaklı bir sayıdır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-18
A = 412.2511 sayısı kaç basamaklıdır?
A)11 B)12 C)21 D)22 E)23
IġIK-4 m ve n basamaklı iki doğal sayının
çarpımı;
m+n-1 veya m+n basamaklı bir doğal
sayıdır.
UYARI
Soldaki ilk basamaklarında bulunan
rakamların, sayı değerlerinin çarpımı iki
basamaklı ise çarpım m+n basamaklıdır.
DNA-19 A sayısı 666 tane 3 ten, B sayısı 666 tane 6 dan oluĢmuĢtur.
A.B çarpımı kaç basamaklıdır?
A)18 B)1331 C)1332
D)1334 E)1335
ÇÖZÜM
Soldaki ilk basamakları 6 ve 6 dır.
6.6=32 sayısı iki basamaklıdır.
Bu yüzden A.B çarpımı m+n basamaklı
olacağından 666+666=1332 basamaklıdır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-19 5 123 476 . 4 134 567 . 44 311 207
çarpımından elde edilen sayı
kaç basamaklıdır?
A)18 B)19 C)20 D)21 E)22
44
KONU TESTĠ
1. 1025-25 sayısının
rakamları toplamı kaçtır?
A)218 B)219 C)220 D)221 E)222
2. Ġki basamaklı ab sayısının rakamları
yer değiĢtirdiğinde sayının değeri
36 azalmaktadır.
Bu koĢulu sağlayan iki basamaklı
ab sayılarının en büyüğü için
a+b toplamı kaçtır?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
3. 1 den 123 e kadar ( 1 ve 123 dahil)
doğal sayıların yan yana yazılmasıyla
elde edilen sayı kaç basamaklıdır?
A) 123 B) 171 C) 249
D) 258 E) 261
4. 2, 4, 6 ve 8 rakamlarını birer kez
kullanarak yazılabilen iki basamaklı
ab ve cd doğal sayılarının toplamının
en büyük değeri kaçtır?
A) 128 B) 130 C) 134
D) 146 E) 152
5. abc üç basamaklı sayısının rakamları
kullanılarak yazılabilecek altı tane iki
basamaklı sayının toplamı T ise;
cba
T
oranı kaçtır?
A) 11 B) 22 C) 33 D) 44 E) 55
6. 1999 yılının rakamları toplamı
28 dir. Takip eden X yılındaki
rakamlar toplamı 28 olacaktır.
Buna göre X-1999 farkı kaçtır?
A) 9 B) 90 C) 900 D) 909 E) 999
7. A=212.58 sayısı
kaç basamaklıdır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
8. Üç basamaklı 6ab sayısı,
üç basamaklı ab8 sayısından
349 fazladır.
Buna göre a+b toplamı kaçtır?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 12 E) 14
9. abc ve def üç basamaklı doğal
sayılardır.
abc-def = 222 eĢitliğinde,
a rakamı 1 azaltılır,
e rakamı 2 artırıldığında sonuç kaç
olur?
A) 122 B) 112 C) 102
D) 92 E) 82
10. a, b, c, d, e farklı birer rakamdır.
abc üç basamaklı, de iki basamaklı
doğal sayıları için:
abc-de farkının en küçük değeri
kaçtır?
A) 1 B) 4 C) 6 D) 12 E) 25
45
11. 10100-101 sayısının rakamları
toplamı kaçtır?
A) 89 B) 90 C) 99
D) 899 E) 900
12. 34a üç basamaklı bir sayıdır. Bu
sayının rakamları yer değiĢtirilerek
yazılabilecek altı üç basamaklı sayının
toplamı 3108 ise a kaçtır?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
13. Birbirlerinden farklı, üç
basamaklı iki doğal sayının toplamı T
dir.
Buna göre, T kaç farklı değer
alabilir?
A)1795 B)1796 C)1797
D)1780 E)1782
14. aa ve bb iki basamaklı doğal
sayılardır.
(aa)2+(bb)2=1573
olduğuna göre,
a+b toplamı kaçtır?
A)4 B)5 C)6 D)7 E)13
15. Üç basamaklı bir doğal sayının, iki
basamaklı bir doğal sayı ile çarpımı
en çok m, en az n basamaklı ise,
m+n toplamı kaçtır?
A)4 B)6 C)9 D)12 E)20
16. ab ve cd iki basamaklı sayıları
için;
a+b=6 ve c.d=6 dır.
ab-cd farkının en büyük değeri
kaçtır?
A)32 B)36 C)44 D)48 E)55
YANITLAR
1.B 2.E 3.E 4.D 5.B 6.C
7.C 8.C 9.C 10.B 11.D 12.C
13.C 14.B 15.C 16.C
46
KONU TESTĠ
1. abc üç basamaklı sayısında;
a ve c yer değiĢtirdiğinde sayının değeri
495 azalmaktadır.
Buna göre a-c farkı kaçtır?
A)-5 B)-4 C)4 D)5 E)6
2. Ġki basamaklı kaç tane doğal sayı
yazılabilir?
A)89 B)90 C)91 D)99 E)100
3. Ġki basamaklı doğal sayıların tümü
yazılırken 5 rakamı kaç kez
kullanılır?
A)9 B)10 C)11 D)19 E)20
4. Dört basamaklı,rakamları farklı en
küçük doğal sayının rakamları toplamı
kaçtır?
A)1 B)6 C)7 D)8 E)9
5. Karesi dört basamaklı bir doğal sayı
olan en küçük iki basamaklı doğal
sayının rakamları çarpımı kaçtır?
A)3 B)4 C)6 D)8 E)9
6. Soldan sağa ve sağdan sola okunuĢları
aynı olan sayılara yansıyan sayılar
denir.
Örneğin; 747, 6556, 62326, ….
sayıları yansıyandır.
BeĢ basamaklı kaç tane yansıyan çift
doğal sayı vardır?
A)400 B)800 C)1000
D)2000 E)4000
7. 18 = 8
38 = 24
24 = 8
46 = 24
42 = 8
Yukarıda verilen eĢitlikler bir kurala
göre verilmiĢtir.
Aynı kurala göre 26 sayısının eĢiti nedir?
A)8 B)12 C)16 D)18 E)24
8. ab , ba ve c4 iki basamaklı doğal
sayılar olmak üzere ;
ab – ba = c4 ise c kaçtır?
A) 9 B) 8 C) 7 D) 5 E) 3
9. 11.22.33.44.55.66.77.88.99.1010 = N sayısının sonunda kaç tane 0 vardır?
A)14 B)15 C)16 D)17 E)18
47
10. 1234567891011121314...
ġeklinde pozitif tamsayıların ardarda
yazılması ile elde edilen 100 basamaklı
sayının birler basamağında hangi rakam
bulunur?
A)1 B)3 C)4 D)5 E)6
11. Ġki basamaklı bir doğal sayı;
rakamları toplamı ile rakamları
çarpımının toplamına eĢittir.
Bu koĢula uygun iki basamaklı en büyük
doğal sayı kaçtır?
A)19 B)39 C)89 D)98 E)99
12. ab iki basamaklı sayısı için; ab.a =265 ve ab.b = 159 ise
a+b toplamı kaçtır?
A)5 B)6 C)7 D)8 E)9
13. ab iki basamaklı, bxa üç
basamaklı doğal sayıları için; 7.ab = bxa ise a.b çarpımı kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)6 E)8
14. 444 444 sayısının eĢiti
aĢağıdakilerden hangisidir?
A) 106−1
9 B)
105−1
9 C)
106−1
9. 4
D) 105−1
9. 4 E) 4(106 − 1)
15. 437 sayfalık bir kitabın sayfa
numaraları yazılırken kaç tane rakam
kullanılır?
A)1203 B)1206 C)1208
D)1209 E)1210
16. ArdıĢık ilk 2008 pozitif tek
sayının çarpımı N dir.
N in birler basamağındaki rakam
aĢağıdakilerden hangisidir?
A) 0 B) 1 C) 4 D) 5 E) 9
YANITLAR
1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.B
8.D 9.B 10.D 11.E 12.D 13.E
14.C 15.A 16.D
48
Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde
sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin
elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır.
En büyük elemanı 9 olan,
10 elemanlı bir kümedir.
Onluk sistemde; sayının çözümlenmiş
şeklinde, 10’un kuvvetleri kullanılır.
Sayının değeri; kendisini oluşturan
rakamların basamak değerlerinin
toplamıdır.
435 = 4.102+3.101+5.100
= 400 + 30 + 5
Dört yüz+ Otuz+ BeĢ
SAYI TABANI
n sayı tabanında sayılar;
{0, 1, 2, … , n-1} kümesinin elemanları
kullanılarak yazılır. ( n > 1 )
En büyük elemanı (n-1) olan,
n elemanlı bir kümedir.
HAZĠNE-1
n sayı tabanında verilmiĢ bir sayının,
10 luk sistemdeki değeri;
a,b,c,d < n olmak üzere;
(abcd)n = a.n3+b.n2+c.n1+d.n0 dır.
DNA-1
5, sayı tabanını göstermek üzere;
(324)5 sayısının 10 sayı tabanındaki
yazılıĢı hangisidir?
A)75 B)85 C)89 D)92 E)96
ÇÖZÜM
(324)5 = 3.52+2.51+4.50
= 3.25+2.5+4.1
= 75+10+4
= 89 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-1
2, sayı tabanını göstermek üzere;
(110111)2 sayısının 10 sayı tabanındaki
yazılıĢı hangisidir?
A)22 B)33 C)44 D)55 E)66
DNA-2
6, sayı tabanını göstermek üzere;
(1234)6 sayısının 10 sayı tabanındaki
yazılıĢı hangisidir?
A)204 B)234 C)308 D)310 E)326
ÇÖZÜM
(1234)6 = 1.63+2.62+3.61+4.60
= 216+2.36+3.6+4.1
=216+72+18+4
=310 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-2
9, sayı tabanını göstermek üzere;
(432)9 sayısının 10 luk sistemdeki
karĢılığı kaçtır?
A)324 B)326 C)351 D)353 E)357
DNA-3
5, sayı tabanını göstermek üzere;
2(abc)5 = (cba)5 ise
a+b+c toplamı kaçtır?
A)5 B)6 C)8 D)9 E)10
TABAN ARĠTMETĠĞĠ
49
ÇÖZÜM
(abc)5 ve (cba)5 sayılarının 10 sayı
tabanındaki karĢılıkları;
(abc)5=a.52+b.5+c
(cba)5=c.52+b.5+a dır.
Bu değerler verilen eĢitlikte yerlerine
yazıldığında;
2(abc)5 = (cba)5
2(a.52+b.5+c) = c.52+b.5+a
50a+10b+2c = 25c+5b+a
49a+5b = 23c eĢitliği
a =1, b =4, c =3 için doğrulanır.
a+b+c = 1+4+3 = 8 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-3
a sıfırdan farklı bir rakamı,
4 ve n sayı tabanını göstermek üzere,
(aaa)4 = (aa)n olduğuna göre,
n kaçtır?
A)16 B)18 C)20 D)24 E)25
DNA-4
5 sayı tabanında üç basamaklı kaç tane
sayı yazılabilir?
A)25 B)50 C)75 D)100 E)125
ÇÖZÜM
5 sayı tabanında kullanılacak rakamlar
{0,1,2,3,4} kümesinden alınır.
(abc)5 sayısında;
a’yı 0 dıĢında 4 rakamdan biri,
b’yi 5 rakamdan biri,
c’yi 5 rakamdan biri olarak
seçebileceğimizden,
4.5.5=100 sayı yazılabilir.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-4
3 sayı tabanında yazılabilecek üç
basamaklı sayının, 10 luk sistemdaki
karĢılığı kaçtır?
A)26 B)27 C)39 D)40 E)42
IġIK-1
(abcd)n sayısının on tabanındaki
karĢılığı:
n çift ise d’ye bağlıdır: d tek ise tek,
çift ise çifttir.
n tek ise a+b+c+d toplamına bağlıdır:
toplam tek ise tek, çift ise çifttir.
DNA-5
9, sayı tabanını göstermek üzere;
(23a)9 sayısının on tabanındaki karĢılığı
çift sayı ise,
a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A)12 B)14 C)16 D25 E)26
ÇÖZÜM
9, tek sayı olduğundan;
2+3+a toplamının çift olması gerekir.
Toplamı çift yapan a değerleri:
1, 3, 5 ve 7 dir.
1+3+5+7=16 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-5
7 sayı tabanında verilen
(65a3)7 sayısının, 10 tabanındaki karĢılığı
tek sayı ise,
a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
50
DNA-6
8 sayı tabanında verilen
(7654a)8 sayısının, 10 tabanındaki
karĢılığı tek sayı ise
a’nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A)12 B)14 C)16 D)25 E)26
ÇÖZÜM
8, çift olduğundan;
a’nın tek sayı olması, sayının 10
tabanındaki karĢılığının tek sayı olmasını
gerektirir.
a’nın alabileceği tek değerler;
1,3,5 ve 7 dir.
1+3+5+7=16 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-6
6, sayı tabanıdır.
(1234a)6 sayısının, 10 tabanındaki
karĢılığı çift sayı ise,
a’nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A)4 B)6 C)7 D)8 E)9
IġIK-2
n sayı tabanında verilen
(abcde)n sayısının, 10 tabanındaki
karĢılığının (n-1) sayısına bölünebilmesi
için; rakamlar toplamının (n-1) sayısına
bölünebilmesi gerekir.
DNA-7
[123456789(10)(11)(12)(13)(14)]15
sayısı 15 tabanında yazılmıĢtır.
10 tabanındaki karĢılığı:
1513+2.1512+3.1511+…+13.15+14
olduğuna göre bu sayının 7 ile
bölümünden kalan kaçtır?
A)0 B)1 C)2 D)3 E)6
ÇÖZÜM
15 in 7 ile bölümünden kalan 1 olduğundan
terimlerin 7 ile bölümlerinden kalanlar:
1+2+3+ ... +13+14 = 14.15
2 =105
toplamının 7 ile bölümünden kalandır.
105=7.15+0 olup, kalan 0 dır.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-7
6 sayı tabanında verilen
(234a)6 sayısının 10 tabanındaki
karĢılığının 5 ile bölünebilmesi için
a kaç olmalıdır?
A)0 B)1 C)2 D)3 E)5
IġIK-3
10 sayı tabanında verilen sayıyı,
n sayı tabanında yazmak için verilen
sayının içinde n’in kuvvetleri aranır.
29 un 2 tabanında yazılıĢını bulmak için;
29 ard arda 2 ye bölünür.
29=2.14+1
14=2.7+0
7=2.3+1
3=2.1+1
1=2.0+1
En son kalandan baĢlayarak diğerleri sıra
ile yazıldığında, 29 sayısının 2 tabanında
yazılıĢı bulunmuĢ olur.
29=(11101)2 dir.
İlk bölme işleminden bulunan kalan,
sağdaki ilk basamağı verir.
51
DNA-8
22 sayısı 3, 4 ve 5 sayı tabanlarında
yazıldığında
kaç kez 2 rakamı kullanılır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
ÇÖZÜM 22 sayısını ard arda 3 ile bölüp, en son
kalandan baĢlayarak elde edilen kalanları
sıra ile yazalım.
22=3.7+1
7=3.2+1
2=3.0+2
22=(211)3 2 rakamı 1 kez kullanıldı.
Aynı iĢlemleri 4 için yapalım.
22=4.5+2
5=4.1+1
1=4.0+1
22=(112)4 2 rakamı 1 kez kullanıldı.
Aynı iĢlemleri 5 için yapalım.
22=5.4+2
4=5.0+4
22=(42)5 2 rakamı 1 kez kullanıldı.
2 rakamı toplam 3 kez kullanıldı.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-8
25 sayısının, 2 sayı tabanında yazılmıĢ
Ģekli aĢağıdakilerden hangisidir?
A)(111)2 B)(1011)2 C)(1101)2
D)(11100)2 E)(11001)2
DNA-9
216-1 sayısı 4 sayı tabanında yazıldığında
kaç basamaklı olur?
A)6 B)8 C)12 D)15 E)16
ÇÖZÜM
216-1 = 22 8 − 1
= 48-1
4 sayı tabanında, 48 sayısını yazarken;
48 in katsayısı 1, diğer kuvvetlerinin
katsayısı 0 olacağından
48 = (100 000 000)4 yazılır.
48-1 = (100 000 000)4 -1
= (33 333 333)4
8 basamaklıdır.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-9
22008-1 sayısı 2 sayı tabanında
yazıldığında oluĢan sayının rakamları
toplamı kaçtır?
A) 1 B) 25 C) 208
D) 2007 E) 2008
IġIK-3
10 luk sistemdeki dört iĢlem kuralları,
n sayı tabanında verilen sayılar için de
aynen geçerlidir. 10 luk sistemdeki 10 lu
demetler yerine, n sayı tabanında n li
demetler kullanılır.
(201)5+(44)5 toplama iĢleminde;
1+4=5=1.5+0 olduğundan,
1+4=5 değil, 0 yazılıp, elde 1 var
denilecek ve iĢlem 0+4=4, elde 1 vardı,
4+1=5=1.5+0 dan, 0 yazılıp tekrar elde 1
var deyip, 2+1=3 diyerek sonlanacaktır.
(201)5+(44)5=(300)5 bulunur.
52
(201)5-(44)5 çıkarma iĢleminde;
Gerekirse diğer basamaklardan 5 lik
desteler alınır.
1 den 4’ü değil, 5+1=6 dan 4’ü çıkarıp
birler basamağına 2 yazılacaktır.
(201)5-(44)5 = (102)5 bulunur.
(865)9.(71)9 çarpma ve yapılacak
toplama iĢlemlerinde de; her 9 luk deste
için elde 1 var denilecektir.
7.5=35 değil, 35=3.9+8 olduğundan;
kalan 8’i yazıp, elde 9’un katsayısı olan 3
var diyerek iĢlem yapılacaktır.
(865)9.(71)9 = (68055)9 bulunur.
DNA-10
5 sayı tabanı olmak üzere;
(234)5+(23)5
ĠĢleminin 5 tabanına göre sonucu
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)(212)5 B)(222)5 C)(312)5
D)(322)5 E)(332)5
ÇÖZÜM
Sağdaki ilk basamaklardan toplamaya
baĢladığımızda;
4+3=7
7=1.5+2
Sonucun ilk basamağı 2 olup, elde 1 var
denilecektir.
3+2=5 ikinci basamaklar toplamı.
5+1=6 elde 1 vardı.
6=1.5+1
Sonucun ikinci basamağı 1 olup, elde 1 var
Sonucun son basamağı;
2+1=3 elde 1 vardı,
(234)5+(23)5=(312)5 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-10
6, sayı tabanıdır.
(345)6+(15)6
ĠĢleminin sonucunun, 6 sayı tabanındaki
yazılımı aĢağıdakilerden hangisidir?
A)(403)6 B)(404)6 C)(405)6
D)(414)6 E)(423)3
DNA-11
7, sayı tabanıdır.
(654)7-(25)7
ĠĢleminin sonucunun, 7 sayı tabanındaki
yazılımı aĢağıdakilerden hangisidir?
A)(606)7 B)(616)7 C)(626)7
D)(636)7 E)(641)7
ÇÖZÜM
Sağdaki ilk basamaklardan çıkarma
iĢlemine baĢladığımızda;
4 den 5 çıkmaz, 654 ün 5 olan ikinci
basamağı 7 nin katsayısı olduğundan bir
yedilik deste aldığımızda;
7+4=11 ve 11-5=6 olacaktır.
654 ün 5 olan ikinci basamağından 1
alınmıĢtı, 5-1=4 kaldı.
4-2=2 sonucun ikinci basamağıdır.
Son basamakta iĢlem yapılmadığı için,
aynen kalır ve 6 dır.
(654)7-(25)7=(626)7 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-11
4, sayı tabanı olmak üzere;
(100)4 sayısının bir eksiği, aynı sayı
tabanında hangisidir?
A)(10)4 B)(11)4 C)(22)4
D)(30)4 E)(33)4
53
DNA-12
9, sayı tabanı olmak üzere;
(865)9.(71)9
ĠĢleminin sonucunun, 7 sayı tabanındaki
yazılımı aĢağıdakilerden hangisidir?
A)58045 B)68045 C)68055
D)68145 E)68155
ÇÖZÜM
Yukarıdaki iĢlemi dillendirdiğimizde;
865 in 1 ile çarpımı 865 dir.
865 i, 7 ile çarparken;
7.5=35=3.9+8
8 yazılır, elde 3 var denir.
7.6=42, 42+3=45=5.9+0
0 yazılır, elde 5 var denir.
7.8=56, 56+5=61=6.9+7
61 in 9 tabanındaki karĢılığı 67 yazılır.
Ġkinci çarpım; 8067 dir.
Son olarak uygun toplama iĢlemi yapalım;
5 aĢağıya alınır,
6+8=14=1.9+5, 5 aĢağıya, elde 1 var,
8+0=8, 8+1=9=1.9+0
0 yazılır, elde 1 var,
7+1=8
8 yazılır.
6 aĢağıya alınır.
SONUÇ; 68055 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-12
6, sayı tabanıdır.
(55)6 sayısının iki katı, aynı tabanda
kaça eĢittir?
A)111 B)124 C)134 D)144 E)154
DNA-13
a sayı tabanıdır.
(62)a.(14)a = (808)a ise a kaçtır?
A)9 B)10 C)11 D)12 E)13
ÇÖZÜM
(62)a=6.a+2
(14)a=a+4 ve
(808)a=8.a2+8 olduğundan
(62)a.(14)a = (808)a
(6a+2)(a+4) = 8a2+8
6a2+26a+8 = 8a2+8
a2-13a = 0
a(a-13)=0
a=0 alınamayacağından
a-13=0 ve a =13 tür.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-13
n sayı tabanı olmak üzere;
(13)n+(31)n = 24 ise n kaçtır?
A)4 B)5 C)6 D)7 E)7
54
DNA-14
b ve c sayı tabanıdır.
(32)b = (21)c ve
(21)b = (13)c ise
b+c toplamı kaçtır?
A)8 B)12 C)13 D)14 E)15
ÇÖZÜM (32)b=3.b+2 ve (21)c=2.c+1
3.b+2=2.c+1
(21)b=2.b+1 ve (13)c=c+3
2.b+1=c+3
2.b+1=c+3 ⇒ c=2b-2
3.b+2=2.c+1 ⇒ 3.b+2=2(2b-2)+1
⇒ b=5 ve c=2.5-2 ⇒ c=8 bulunur.
b+c=5+8=13 olur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-14
11 ve 9 sayı tabanı olmak üzere ;
(ab)11 = (ba)9 ise
b – a farkı kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
DNA-15
7 ve 9 sayı tabanıdır.
(abc)9 = (cba)7 ise
a+b+c toplamı kaçtır?
A)8 B)9 C)10 D)11 E)12
ÇÖZÜM (abc)9=a.92+b.9+c=81.a+9.b+c
(cba)7=c.72+b.7+a=49.c+7.b+a
Sayıların 10 luk sistemdeki karĢılıklarıdır
(abc)9 = (cba)7
81.a+9.b+c=49.c+7.b+a
80.a+2.b-48.c=0
40.a+b-24.c=0 eĢitliği
a=1, b=8 ve c=2 için sağlanır.
a+b+c=1+8+2=11 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-15
b sayı tabanında
(121)b= 81 ise
b kaçtır?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 6 E) 5
DNA-16
2 ve 8 sayı tabanını göstermektedir.
(111 110 101 011 010)2 = (X)8 ise
X hangisidir?
A)76543 B)76532 C)76521
D)976510 E)76432
ÇÖZÜM
8=23 olduğundan her üç basamağın 10
sayı tabanındaki karĢılıkları sıralanırsa,
sayının 8 sayı tabanındaki karĢılığı
yazılmıĢ olur.
(111)2 = 22+2+1 = 7
(110)2 = 22+2 = 6
(101)2 = 22+1 = 5
(011)2 = 2+1 = 3
(010)2 = 2
(X)8 = (76532)8
Doğru Seçenek B dir.
55
GENETĠK KOPYA-16
2 sayı tabanında yazılan on basamaklı en
büyük sayının, 8 sayı tabanında yazılıĢı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A) 777 B) 1177 C) 1717
D) 1777 E) 7777
DNA-17
16 ve 4 sayı tabanıdır.
(199)16 = ( X )4 eĢitliğini sağlayan
X aĢağıdakilerden hangisidir?
A) 1212 B) 2121 C) 12121
D) 21212 E) 12221
ÇÖZÜM
(199)16 sayısının her basamağı ayrı ayrı
4 sayı tabanında yazılır.
Bulunan ifadelerin yan yana yazılmasıyla,
sayı 4 tabanına çevrilmiĢ olur.
9=2.4+1=(21)4
9=2.4+1=(21)4
1=0.4+1=(01)4=(1)4
(199)16 =(1 21 21)4 bulunur. Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-17
9 ve 3 sayı tabanıdır.
(57)9=(X)3 eĢitliğinin sağlayan X,
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)121 B)212 C)221
D)1221 E)1222
DNA-18
0,5 ondalık sayısının 2 sayı tabanındaki
gösterimi aĢağıdakilerden hangisidir?
A)0,1 B)0,01 C)0,1 D)0,101 E)0,10
ÇÖZÜM
n sayı tabanında verilmiĢ 𝑎𝑏𝑐,𝑑𝑒 … 𝑛 sayısının,
10 sayı tabanındaki karĢılığı 𝑎.𝑛2 + 𝑏.𝑛1 + 𝑐.𝑛0 + 𝑑.𝑛−1 + 𝑒.𝑛−2 +⋯ olduğundan;
0,5 =5
10=
1
2= 2−1 = 0,1 2 dir.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-18
5 sayı tabanında verilen
(0,24)5 sayısının, ondalık sayı karĢılığı
nedir?
A)0,5 B)0,6 C)0,56
D)0,65 E)0,7
56
KONU TESTĠ
1. x sayı tabanıdır.
(41)x =3.(14)x ise x kaçtır?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
2. 3 ve 10 sayı tabanıdır.
(12012)3=(x)10 ise x kaçtır?
A) 110 B) 120 C) 130
D) 140 E) 150
3. 3 sayı tabanında, üç basamaktan
daha az basamakla yazılabilen kaç tane
doğal sayı vardır?
A)6 B)7 C)8 D)9 E)10
4. 22008-1 sayısı 2 sayı tabanında
yazıldığında kaç tane 0 rakamı
kullanılır?
A)0 B)1 C)2 D)2007 E)2008
5. 6 ve 10 sayı tabanıdır
(33)6+(22)6=(X)10 ise X nedir?
A)15 B)25 C)35 D)45 E)55
6. 84-1 sayısı 4 sayı tabanında
yazıldığında kullanılan tüm rakamların
toplamı kaçtır?
A) 1 B) 3 C) 9 D) 18 E) 27
7. 8 sayı tabanıdır.
[(33)8]2 sayısının aynı tabandaki eĢiti
hangisidir?
A)121 B)131 C)232
D)1331 E)2332
8. b sayı tabanıdır.
(23)b.(14)b = (333)b ise b kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
9. b sayı tabanıdır.
(321)b = 86 ise (123)b sayısının
onluk sistemde değeri kaçtır?
A) 27 B) 38 C) 51 D) 66 E) 83
10. b sayı tabanında , c2 sayısı
10 olarak yazılıyorsa ;
b2 sayısının c sayı tabanında
yazılıĢı aĢağıdakilerden hangisidir?
A) 100 B) 1000 C) 10000
D) 100000 E) 1000000
11. a ve a pozitif tamsayı iken;
(a+1)2 nin a sayı tabanında yazılıĢı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)11 B)22 C)121 D)222 E)1111
3
57
12. 2,3,5,9 ve 12 sayı tabanıdır.
AĢağıdaki sayılardan en büyüğü
hangisidir?
A) (0,10)2 B) (0,12)3 C) (0,21)5
D) (0,42)9 E) (0,53)12
13. 9 sayı tabanıdır.
(33)9.(44)9 çarpımının eĢiti
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)(5500)9 B)(1573)9
C)(1452)9 D)(1200)9
E)(700)9
14. a sayı tabanıdır.
A=(1254)a ve 2.A=(2541)a ise,
a kaçtır?
A)6 B)7 C)8 D)9 E)10
15. 6 ve 10 sayı tabanıdır.
(33)6.(22)6=(X)10 ise,
X aĢağıdakilerden hangisidir?
A)250 B)294 C)350
D)454 E)556
16. n ve 2n sayı tabanıdır.
(8888)n=(A)2n ise,
A aĢağıdakilerden hangisidir?
A)1248 B)1334 C)1428
D)1532 E)1543
1.E 2.D 3.D 4.A 5.C 6.D
7.D 8.B 9.B 10.C 11.C 12.B
13.B 14.B 15.B 16.A
58
TANIM
Pozitif ilk n tam sayının çarpımı
1.2.3…n = n! biçiminde gösterilir.
n Faktöriyel okunur.
1!=1
2!=1.2=2
3!=1.2.3=6
4!=1.2.3.4=24
5!=1.2.3.4.5=120 gibi.
Özel olarak;
0! = 1 olarak tanımlanmıĢtır.
IġIK-1
n! = n.(n-1)!
n! =n.(n-1)(n-2)!
6!=6.5!
6!=6.5.4! gibi.
HAZĠNE-1
Faktöriyel iĢleminin, toplama, çıkarma,
çarpma ve bölme iĢlemleri üzerine
dağılma özelliği yoktur.
2! + 3! ≠ 5!
2! + 3! = 1.2 + 1.2.3 = 2 + 6 = 8 dir.
DNA-1 𝟏𝟐!
𝟖!.𝟒! iĢleminin sonucu kaçtır?
A)45 B)55 C)99 D)120 E)495
ÇÖZÜM 12!
8!.4!=
12.11.10.9.8!
8!.4.3.2.1=
12.11.10.9
4.3.2.1 =11.5.9 = 495
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-1
7.8.9…..36
Ġfadesinin eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)6! B)35! C)34!
D) 36!
6! E) 36! – 6!
DNA-2
iĢleminin sonucu kaçtır?
A)10 B)100 C)1000
D)10000 E)100000
ÇÖZÜM 101!−100!
99!=
101.100!−100!
99!=
100!(101−1)
99!
=100!.100
99!=
100.99!.100
99!= 100.100 = 10000
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-2 𝟏𝟑!−𝟏𝟐!
𝟏𝟎!+𝟏𝟏!
Ġfadesinin eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)11 B)12 C)23 D)132 E) 23
22
DNA-3 𝟑𝒏+𝟏 !
𝟑𝒏−𝟏 ! ifadesinin eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)n(n+1) B)3n(n+1) C)3n(3n-1)
D)3n(3n+1) E)3n
FAKTÖRĠYEL
59
ÇÖZÜM 3𝑛+1 !
3𝑛−1 !=
3𝑛+1 3𝑛 3𝑛−1 !
3𝑛−1 !
= 3𝑛(3𝑛 + 1) Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-3 𝟐𝐧+𝟑 !
𝟐𝐧+𝟏 !
ifadesinin eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)(2n+3)(2n+2) B)(2n+3)(2n+1)
C)2n(2n+1) D)2n+2 E)2
DNA-4
77!+78! toplamı, 77! in kaç katıdır?
A)8 B)37 C)77 D)78 E)79
ÇÖZÜM
77!+78! = 77!+78.77! = 77!(1+78) = 79.77!
OluĢan son çarpımda, istenen toplamın
77! Ġn 79 katı olduğu görülür.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-4
67!-66! farkı, 66! in kaç katıdır?
A)33 B)34 C)65 D)66 E)67
DNA-5
2.4.6…..100
Çarpımının eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)2.50! B)2.100! C)100.50!
D)250.50! E)2100.50!
ÇÖZÜM
2.4.6…..100=(2.1)(2.2)(2.3)…..(2.50)
=2.2.2…2.1.2.3…..50
olduğu hatırlandığında;
=250.50! bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-5
3.6.9……300
Çarpımının eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)3.100! B)3.300! C)300.100!
D)350100! E)3100.100!
DNA-6
x,y doğal sayıları için;
20.x! = y! olduğuna göre;
y nin alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A)20 B)23 C)25 D)26 E)27
ÇÖZÜM
IġIK-1 de;
n.(n-1)!=n! özelliği kullanılırsa;
20.19!=20! olacağından,
x=19 vee y=20 olur.
n(n-1)(n-2)!=n! özelliği kullanılırsa;
5.4.3!=5! Olacağından,
x=3 ve y=5 olur.
y’nin alabileceği değerlerin toplamı;
20+5=25 dir.
Doğru Seçenek C dir.
60
GENETĠK KOPYA-6
a ve b doğal sayıları için,
a! = 30.b! olduğuna göre;
b’nin alabileceği değerlerler toplamı
kaçtır?
A)29 B)30 C)32 D)33 E)34
DNA-7
0!+1!+2!+…+2008! toplamının birler
basamağı kaçtır?
A)0 B)3 C)4 D)7 E)8
ÇÖZÜM
0!=1
1!=1
2!=1.2=2
3!=1.2.3=6
4!=1.2.3.4=24
5!=1.2.3.4.5=120
6!=1.2.3.4.5.6=720
…………
EĢitliklerine bakıldığında;
5! ve sonrası 0 ile sonlanmaktadır.
( birler basamağı 0 dır. )
0!+1!+2!+…+2008!
Toplamının birler basamağını 4! e kadar
olan sayılar belirler.
0!+1!+2!+3!+4!+ … +2008!
=1+1+2+6+24+120+…..
=34+120+720+…
Toplamın birler basamağı,
4+0+0+0+….+0=4 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
IġIK-2
n ≥ 5 için; n! sayısının birler basamağı
0 dır.
GENETĠK KOPYA-7
1!+3!+5!+……+2009! Toplamının birler
basamağı kaçtır?
A)0 B)4 C)6 D)7 E)8
IġIK-3
n! sayısının içinde bulunan tüm x (x, asal
sayı) çarpanlarının sayısı:
n’in ard arda x’e bölümlerinden elde
edilen bölümler toplamı kadardır.
n! sayısının içinde bulunan tüm x
çarpanlarının (x=a.b, a ve b asal) sayısı,
a<b için, b çarpanlarının sayısı kadardır.
DNA-8
a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere;
10! = a.2b eĢitliğinde,
b’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A)8 B)15 C)21 D)25 E)36
ÇÖZÜM
IġIK-3 den, 10 sayısı ard arda 2 ye
bölünerek, bölümler toplamı aranır.
10=2.5
5=2.2+1
2=2.1
5+2+1=8
b’nin alabileceği en büyük değerdir.
YADA !!!
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
=(2.5).9.(23).7.(2.3).5.(22).3.2.1
=5.9.7.3.5.3.1.(28)
a=5.9.7.3.5.3.1
b=8 alınabileceği gibi,
eĢitlik b’nin 8’den küçük değerleri için de
doğru olur.
b’nin alabileceği değerler:
1,2,3,4,5,6,7 ve 8 dir.
1+2+3+4+5+6+7+8=36 aranan toplamdır.
Doğru Seçenek E dir.
61
GENETĠK KOPYA-8
100!=K.5x
EĢitliğinde, K ve x pozitif tam sayılar
olmak üzere,
x’in en büyük değeri kaçtır?
A)20 B)24 C)25 D)26 E)50
DNA-9
𝟏𝟐!
𝟔𝒏 sayısını tamsayı yapan n’in
en büyük doğal sayı değeri kaçtır?
A)4 B)5 C)6 D)8 E)10
ÇÖZÜM
6=2.3 olduğundan,
IġIK-3, 2 ve 3 çarpanları için uygulanır.
12=2.6
6=2.3
3=2.1+1
6+3+1=10 tane 2 çarpanı,
12=3.4
4=3.1+1
4+1=5 tane 3 çarpanı vardır.
210.35=25.25.35=25(2.3)5=25.65
olduğundan, 5 tane 6 çarpanı
oluĢturulabilir.
n’in en büyük değeri 5 tir.
Yalnız 3 çarpanlarının sayısını bulmak
yeterlidir. Çünkü 3 çarpanlarının sayısı,
2 çarpanlarının sayısından azdır.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-9 𝟑𝟎!
𝟏𝟓𝐧
sayısını tamsayı yapan n’in
en büyük doğal sayı değeri kaçtır?
A)2 B)6 C)7 D)14 E)21
IġIK-4
n! sayısının sonundaki 0 ların sayısı,
n! sayısı içindeki 10 çarpanlarının
(10=2.5 ve 2<5 olduğundan,
tüm 5 çarpanlarının) sayısı kadardır.
DNA-10
2008! sayısının sonunda kaç tane
0 vardır?
A)400 B)480 C)498 D)499 E)500
ÇÖZÜM
2008 sayısı içindeki 5 çarpanlarını
arayacağız.
2008=5.401+3
401=5.80+1
80=5.16
16=5.3+1
401+80+16+3=500 tane 5 çarpanı,
500 tane 10 çarpanı ve bundan dolayı da
2008! Sayısının sonunda 500 tane 0
vardır.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-10
999! sayısının sonunda kaç tane
0 vardır?
A)199 B)200 C)245 D)246 E)250
IġIK-5
n!-1 sayısının sonundaki 9 ların sayısı,
n! sayısının sonundaki 0 ların sayısı
kadardır.
DNA-11
[(3!)!]!-1 sayısının sonunda kaç tane
9 vardır?
A)177 B)178 C)179 D)180 E)181
62
ÇÖZÜM
[(3!)!]!-1 sayısının sonundaki 9 ların
sayısı,
[(3!)!]! sayısının sonundaki 0 ların sayısı
kadardır.
[(3!)!]! = [6!]! = 720!
720! =1.2.3…..720 sayısı içinde
10 =2.5 çarpanlarının sayısını bulacağız.
Bunun için 720 sayısını ard arda 5’e
bölüp, bölümler toplamı alınmalıdır.
720=144.5
144=28.5+4
28=5.5+3
5=1.5
144+28+5+1 = 178 tane 5 çarpanı vardır.
720! =A.10178 sayısının sonunda
178 tane 0 rakamı vardır.
720! – 1 = A.10178 – 1 sayısının
sonunda da 178 tane 9 rakamı bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-11
100!-1
Sayısının sonunda kaç tane 9 vardır?
A)2 B)23 C)24 D)25 E)26
DNA-12
1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n! = (n+1)!-1
olduğu bilindiğine göre;
1.(1!)+2.(2!)+3.(3!)+ … +10.(10!) = A
sayısının sonunda kaç tane 9 vardır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
ÇÖZÜM
1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n! = (n+1)!-1
olduğu bilindiğine göre;
1.(1!)+2.(2!)+3.(3!)+ … +10.(10!)=(10+1)!-1
=11!-1 dir.
11=5.2+1
Olduğundan, 11! sayısının sonunda
2 tane 0, 11!-1 sayısının sonunda da
2 tane 9 vardır.
GENETĠK KOPYA-12
T=1.1!+2.2!+3.3!+ … +19.19!
olduğuna göre,
T+1 sayısının sonunda kaç tane 0 vardır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
DNA-13
a,b ve çift tamsayı ise
a+b nin en büyük değeri kaçtır?
A)9 B)10 C)14 D)15 E)16
ÇÖZÜM
12! = 1.2.3…12 sayısı içinde 2 ve 3
çarpanlarının kaçar tane olduğunu bulmak
için;
12 sayısı ard arda 2 ye bölünüp, bölenler
toplamı alınır. 12!=A.2a biçiminde yazılır.
12=6.2
6=3.2
3=1.2+1
6+3+1=10 tane 2 çarpanı vardır.
12 sayısı ard arda 3’e bölünüp, bölenler
toplamı alınır. 12!=B.3b biçiminde yazılır.
12=4.3
4=1.3+1
4+1=5 tane de 3 çarpanı vardır.
Zba 3.2
!12
63
a=10 alınır ve 12! içindeki tüm 2
çarpanları ile sadeleĢtirilirse, elde edilen
sayı tek sayı olacağından a=9 alınmak
zorundadır.
a+b=9+5=14 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-13
𝟐𝟎!
𝟐𝐧
Ġfadesinin bir tek sayı gösterdiği
bilindiğine göre,
N doğal sayısının değeri kaçtır?
A)10 B)15 C)17 D)18 E)19
DNA-14 𝟖𝟖!
𝟖𝐧
Sayısının bir tamsayı olduğu bilindiğine
göre,
n pozitif tamsayısının en büyük değeri
kaçtır?
A)11 B)12 C)22 D)27 E)28
ÇÖZÜM
8=23 olduğundan;
88! sayısı içindeki 2 çarpanlarını arayalım
88=2.44
44=2.22
22=2.11
11=2.5+1
5=2.2+1
2=2.1
44+22+11+5+2+1=85 tane 2 çarpanı,
(23)28.2=828.2 olduğundan,
28 tane 8 çarpanı vardır.
n’in en büyük değeri 28 dir.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-14
99!=9n.A eĢitliğinde,
A ve n pozitif tamsayıları için
n’in en büyük değeri kaçtır?
A)11 B)24 C)33 D)34 E)35
DNA-15
5, 10, 15, … , 95, 100 Aritmetik
dizisinin tüm terimlerinin çarpımı olan
sayının sondan kaç basamağı 0 dır?
A)18 B)19 C)20 D)21 E)22
ÇÖZÜM
5.10.15……100=(5.1)(5.2)(5.3)…..(5.20)
=520.20!
Sayının içindeki 10=2.5 çarpanlarının
sayısı aranacak.
20=2.10
10=2.5
5=2.2+1
2=2.1
10+5+2+1=18 tane 2 çarpanı var.
20=5.4
520.54=524 24 tane 5 çarpanı var.
218.524=218.518.56=(2.5)18.56=56.1018
Sayının son 18 basamağı 0 dır.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-15
23!+24!
sayısının sonunda kaç tane 0 vardır?
A)4 B)6 C)7 D)9 E)11
64
DNA-16
K=44!-4!
K sayısının son üç basamağı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)000 B)996 C)076
D)976 E)006
ÇÖZÜM
44! Sayısı;
44=5.8+4
8=5.1+3
Sonunda 8+1=9 tane sıfı bulunan bir sayı,
4!=4.3.2.1=24 olduğundan
K=44!-4! = …0000-24= …9976
Son üç basamak 976 dır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-16
A=75!-5
Sayısının son iki basamağı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)00 B)05 C)70 D)85 E)95
UYARI
n! ± m! sayısının sonundaki 0 sayısı,
n-m ≥5 için, m! in sonundaki 0 sayısı
kadardır.
DNA-17
50!+60!
ĠĢleminden elde edilen sayının sondan
kaç basamağı 0 dır?
A)2 B)10 C)12 D)14 E)26
ÇÖZÜM
50=5.10
10=5.2
10+2=12 tane 5 çarpanı,
50! sayısının sonunda 12 tane 0 var.
60=5.12
12=5.2+2
12+2=14 tane 5 çarpanı,
60! sayısının sonunda 14 tane 0 var.
50!+60! sayısının sonunda, 50! sayısının
sonundaki 0 sayısı kadar, 12 tane 0
vardır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-17
75!-70!-1
ĠĢleminden elde edilen sayının sondan
kaç basamağı 9 dur?
A)31 B)30 C)16 D)15 E)14
65
KONU TESTĠ
1. x,yN ve 12.x! = y! olduğuna
göre; y nin alabileceği değerlerin
toplamı kaçtır?
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 16
2. ! !25
!
x y
x
eĢitliğini sağlayan
en büyük x sayısı kaçtır?
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
3. 3! ! !
3! k.n! ( k∈ Z+ )
eĢitliğini sağlayan en büyük n sayısı
için n kaçtır?
A) 718 B) 719 C) 720
D)721 E) 722
4. A = 33! – 3! olduğuna göre;
A sayısının son iki basamağı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A) 00 B) 04 C) 06 D) 94 E) 96
5. 2
2008!
(1004!) sayısının sonunda kaç
tane 0 vardır?
A) 0 B) 2 C) 4 D) 200 E) 400
6. n2
!25!.15 sayısı tek sayı ise
n kaçtır?
A) 11 B) 22 C) 33 D) 44 E) 242
7. A=!40
!80 sayısının sonunda kaç tane
sıfır vardır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
8. n!5! = 6! ise n kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
9. 6!.7!
Çarpımının eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)8! B)8!+1 C)9!
D)10! E)7!+8’
10. (1!)2+(2!)2+(3!)2+ … +(10!)2
toplamından elde edilen sayının birler
basamağı kaçtır?
A) 0 B) 3 C) 6 D) 7 E) 9
66
11. 7!+8!+9!+ ... +2008!
Toplamının onlar basamağında hangi
rakam bulunur?
A)1 B)3 C)4 D)6 E)9
12. 500! Sayısının sonunda kaçtane 0
vardır?
A)124 B)218 C)432
D)500 E)615
13. 48! Sayısı 6 sayı tabanında
yazıldığında sondan kaç basamağı 0
olur?
A)20 B)22 C)24
D)25 E)26
14. 1000! Sayısı 7n ile
bölünebilmektedir.
n'in en büyük tamsayı değeri kaçtır?
A)144 B)146 C)152
D)164 E)168
15. 1!+4!+5!
Toplamının eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)5! B)10! C)145
D)154 E)720
16. 𝟏𝟎𝟎!
𝟐𝟓𝟎.𝟓𝟏𝟎
Sayısının sonunda kaç tane 0 vardır?
A)16 B)14 C)12 D)10 E )8
1.E 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C
7.C 8.C 9.D 10.D 11.C 12.A
13.B 14.D 15.C 16.B
67
TANIM
A,B,C,D ∈ N ve B≠0 için;
A : BÖLÜNEN B : BÖLEN
C : BÖLÜM D : KALAN
HAZĠNE-1
BÖLÜNEN = BÖLENxBÖLÜM + KALAN
DNA-1
Yukarıdaki bölme iĢlemine göre;
bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
A)4 B)5 C)10 D)14 E)15
ÇÖZÜM
Bölme iĢlemi, Bölüm ÖzdeĢliği Ģeklinde
yazıldığında;
BÖLÜNEN = BÖLENxBÖLÜM + KALAN
234=23.BÖLÜM+KALAN
EĢitliği sağlayan sayılar;
BÖLÜM = 10
Kalan = 4 olur.
BÖLÜM + KALAN = 10 + 4 = 14
Doğru Seçenek D dir.
UYARI
Pek çok arkadaĢınızın düĢtüğü;
234 sayısının ilk iki basamağı olan
23 de, bölen 23 sayısı 1 defa var,
Bölüm 1, kalan 4 tür YANLIġına
düĢmeyin.
Bu durumda;
234=23.1+4 eĢitliğinin doğru olmadığına
dikkat edilmelidir.
Bölme iĢlemi sırasında; bölünen sayıdan
basamak indirildiğinde, ilk kalanla
birlikte bölenden küçük ise bir basamak
daha indirmeden, bölüme 0 basamağının
eklenmesi unutulmamalıdır.
GENETĠK KOPYA-1 ab3 gibi üç basamaklı bir sayı, ab gibi iki
basamaklı bir sayıya bölünüyor.
Bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
A)3 B)4 C)10 D)12 E)13
IġIK-1
0 ≤ D < B
Kalan, bölenden küçüktür ve pozitiftir.
DNA-2 abcd gibi dört basamaklı bir sayı,
19 sayısına bölünüyor.
Kalanın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A)18 B)37 C)171 D)190 E)201
ÇÖZÜM
IġIK-1 den, kalan 19 dan küçük her doğal
sayı olabilir.
1+2+3+ … +18 = 18.19
2 = 171 olur.
BÖLME - BÖLÜNEBĠLME
68
GENETĠK KOPYA-2 BeĢ basamaklı bir doğal sayı, üç
basamaklı bir doğal sayıya bölündüğünde,
kalan sayı en çok kaç olabilir?
A)9 B)98 C)99 D)998 E)999
IġIK-2
D = 0 ise A = B.C olur.
B sayısına, A nın bir böleni denir.
(ya da A ya B nin katıdır denir.)
Kısaca; ‘’a sayısı, b sayısına bölünebilir’’
diyerek ifade edilir.
Tam bölünmelerde ; kalan sıfıra eĢittir.
DNA-3 a,b ve c farklı rakamlar olmak üzere;
abc üç basamaklı sayısı, ab iki basamaklı
sayısına tam olarak bölünebiliyorsa,
abc sayısının en büyük ve en küçük
değerlerinin toplamı kaçtır?
A)860 B)980 C)1000
D)1100 E)1200
ÇÖZÜM
abc=ab0+c=ab.10+c
çözümlemesi ile bölüm özdeĢliği
karĢılaĢtırıldığında;
tam bölünmelerde kalan 0 olacağından,
c=0 olmalıdır.
ab0 ın en büyük değeri; 980
en küçük değeri; 120 dir.
Toplam: 980 + 120 = 1100 olur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-3 abcabc altı basamaklı sayısı, abc üç
basamaklı sayısının kaç katıdır?
A)11 B)101 C)111 D)1001 E)1111
IġIK-3
A-D ve A+(B-D) sayıları,
B sayısına tam bölünür.
Bölünenden, kalan çıkarılır veya
Bölünene , bölen ile kalanın farkı
eklenirse elde edilen yeni sayı bölenin
katı olur.
DNA-4 2018 sayısından büyük, 26 sayısına
bölünebilen en küçük sayının tüm
rakamları toplamı kaçtır?
A)9 B)10 C)12 D)13 E)16
ÇÖZÜM
2018 sayısını 26 ya bölme iĢleminde;
2018=26.77+16 olduğundan,
Bölüm:77, Kalan:16 dır.
Bölen ile kalanın farkı: 26-16=10
Bölünen ile farkın toplamı:2018+10=2028
Sayısı, 26 nın katı olan, 2018 den büyük,
en küçük sayıdır.
Rakamları toplamı: 2+0+2+8=12 dir.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-4 2018 sayısından küçük, 26 sayısına
bölünebilen en büyük sayının tüm
rakamları toplamı kaçtır?
A)4 B)10 C)12 D)13 E)16
IġIK-4
D < C ise B ile C aralarında
yer değiĢtirebilir.
69
DNA-5
Yukarıdaki bölme iĢleminde kalan kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)6 E)8
ÇÖZÜM
olduğundan; 9 < 75 tir.
Soruda; bölüm, bölenden küçük
olduğundan, yer değiĢtirebilirler.
Kalan 3 tür.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-5
Yukarıdaki bölme iĢleminde kalan ile
bölenin toplamı kaçtır?
A)72 B)75 C)78 D)80 E)82
2. TANIM
a , b N ve b 0 ise
a = b.q + r olacak Ģekilde ve tek türlü
belirlenen q , r Z vardır.
( 0 r < b )
Eğer a = b.q olacak Ģekilde bir
q N varsa
b sayısına a nın bir böleni
( yada a ya b nin bir katı ) denir.
b a yazılır.
Kısaca; ‘’a sayısı, b sayısına bölünebilir’’
diyerek ifade edilir.
IġIK-5
a b ve b c ise a c dir.
a sayısı b nin bir böleni ve b sayısı da
c nin bir böleni ise;
a sayısı c ninde bir bölenidir.
DNA-6 A pozitif tamsayısı, B sayısının 4 katı,
B sayısı da C sayısının 6 katı ise
A sayısı, C sayısının kaç katıdır?
A)4 B)6 C)12 D)24 E)48
ÇÖZÜM
A pozitif tamsayısı, B sayısının 4 katı;
A=4.B
B sayısı da C sayısının 6 katı;
B=6.C
EĢitlikleri bir arada kullandığımızda;
A=4.B=4.(6.C)=24.C olur.
A sayısı, C nin 24 katıdır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-6 A, B, C Pozitif tamsayıları göstermek
üzere;
A sayısı B nin 3 katı, B sayısı da C nin
4 katı ise
𝐀+𝐁
𝟔.𝐂 iĢleminin sonucu kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)6 E)12
IġIK-6
a b , a c ve m , n Z ise
a (mb+nc) dir.
a sayısı b ve c nin bir böleni ise bunların
katlarının toplamının (farkının) da bir
bölenidir.
70
DNA-7 a ve b pozitif tamsayılarının 7 ile
bölümünden kalanlar sırası 3 ve 4 tür.
4.a+5.b toplamının 7 ile bölümünden
kalan kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
ÇÖZÜM
a=7.x+3
4.a=4(7x+3)=28x+12
b=7.y+4
5.b=5(7y+4)=35y+20
bölüm özdeĢlikleri yazıldığında;
4.a+5.b=(28x+12)+(35y+20)
=28x+35y+32
=7(4x+5y+4)+4
Toplamın 7 bölümünde bölüm; 4x+5y+4
kalan; 4 tür.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-7 A doğal sayısı 8’e bölündüğünde
5 kalanını,
B doğal sayısı 8’e bölündüğünde
x kalanını veriyor.
A+B toplamı 8’e bölündüğünde 3 kalanını
verdiğine göre x kaçtır?
A)4 B)5 C)6 D)7 E)8
IġIK-7
a b ve b 0 ise 0< a b dir.
a sayısı b nin bir böleni ise b den küçük
veya eĢittir.
IġIK-8
a b ve b a ise a= b dir.
a sayısı b nin , b sayısı da a nın bir böleni
ise sayılar mutlak değerce eĢittir.
DNA-8 a + aa + aaa
toplamı 3.a sayısının kaç katıdır?
A)11 B)13 C)17 D)23 E)41
ÇÖZÜM
Sayılarını çözümlediğimizde;
aa = 10.a+a = 11.a
aaa = 100.a+10.a+a=11.a
a+aa+aaa = a+11.a+111.a = 123.a = 3.41.a
123.a sayısı, 3.a nın 41 katıdır.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-8 ab iki basamaklı sayısının 7 ile
bölümünden kalan 1 dir. ab sayısının her
rakamının sayı değeri 3 artırılırsa,
bulunan yeni sayının 7 ile bölümünden
kalan kaç olur?
A)4 B)5 C)6 D)7 E)8
DNA-9 Dört basamaklı bir sayı 131 ile
bölündüğünde 112 kalanını ,
132 ile bölündüğünde 98 kalanını
vermektedir.
Bu sayı kaçtır ?
A)1945 B)1946 C)1947
D)1948 E)1949
ÇÖZÜM
Bölüm özdeĢliği gereğince;
A = 131x+112
A = 132y+98 yazılır.
Ġkinci eĢitlikte;
A = 132y+98 = (131+1)y+98 = 131y+y+98
ĠĢlemleri yapılır ve birinci eĢitlik ile
karĢılaĢtırılırsa
x = y ve y+98 =112 den
x = y = 14 bulunur.
A = 131.14+112 = 1946 dır.
Doğru Seçenek B dir.
71
GENETĠK KOPYA-9 Üç basamaklı bir sayı 12 ile
bölündüğünde 9 kalanını,
13 ile bölündüğünde 1 kalanını
vermektedir.
Bu üç basamaklı sayının rakamları
toplamı kaçtır?
A)4 B)5 C)6 D)7 E)8
DNA-10 x43y ve x34y dört basamaklı sayıları
sırası ile 9 un A ve B katıdır.
A-B farkı kaçtır?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
ÇÖZÜM
x43y=x.1000+4.100+3.10+y
x34y=x.1000+3.100+4.10+y
çözümlemeleri taraf tarafa
çıkarıldığında;
x43y-x34y=(x.1000+430+y) -
(x.1000+340+y)
x43y-x34y=90
x43y=9.A
x34y=9.B bölüm özdeĢlikleri.
x43y-x34y=9.A-9.B
90=9(A-B)
A-B=10 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-10 5a3b ve 2a4b dört basamaklı sayıları
sırası ile 20 nin x ve y katıdır.
x-y farkı kaçtır?
A)35 B)73 C)94 D)127 E)149
DNA-11 111222333 … 888999 sayısının
111 sayısına bölümü kaç basamaklıdır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 24 E) 25
ÇÖZÜM
BÖLÜNEN=BÖLEN.BÖLÜM+KALAN
Bölüm özdeĢliğinde;
Bölünen sayı, bölen ile bölümün
çarpımından oluĢtuğuna göre,
basamak sayısı, bölen ve bölümün
basamak sayıları toplamına eĢit veya bir
küçüğü olacaktır.
Bölen ve bölünenin soldaki ilk
basamakları küçük olduğundan,
toplamın bir eksiği olur.
Bölünen sayı; 27 basamaklı
Bölen sayı; 3 basamaklı olduğuna göre
27=3+x-1 den x=25 bulunur.
Bölüm 25 basamaklıdır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-11 30000007 sayısı 37 ile bölündüğünde,
bölüm kaç basamaklı bir sayı olur?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
DNA-12
1≤n≤25 tamsayıları için,
2n+1 sayıları 3 ile tam bölünebilmektedir.
KoĢulu sağlayan n tamsayılarının 3 ile
bölümünden kalan kaçtır?
A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2
72
ÇÖZÜM
2n+1 sayısının 3 ile tam olarak
bölünebilmesi, 3 ün katı olması demektir.
2n+1=3.k (k∈Z)
2n=3.k-1
2n sayısı, 3 ile bölündüğünde 2 kalanını
veriyor.
n sayısı, 3 ile bölündüğünde 1 kalanını
verir.
Doğru Seçenek D dır.
GENETĠK KOPYA-12 1≤n≤25 tamsayıları için,
2n+1 sayıları 3 ile tam bölünebilmektedir.
KoĢulu sağlayan kaç tane n tamsayısı
vardır?
A)7 B)8 C)9 D)10 E)11
73
KONU TESTĠ
1. n pozitif tamsayısının 5 ile
bölümünden kalan 3 tür.
AĢağıdaki sayılardan hangisi 5 ile
bölünebilir?
A)n+3 B)n+2 C)n+1
D)n-1 E)n-2
2. 1170 sayısının en az kaç katı
60 ile tam bölünür?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 9
3. 7.n sayısı, 5 ile bölündüğünde 3
kalanını vermektedir. n’in en küçük
pozitif tam sayı değeri kaçtır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
4. Bir N sayısının X’e bölümünden kalan
24 tür. 2.N sayısının X’e bölümünden
kalan 11 ise,
X kaçtır?
A)13 B)35 C)37 D)42 E)59
5. n tamsayısının 8’e bölümünden kalan
3 tür.
6.n sayısının 8’e bölümünden kalan
kaç olur?
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
6. A ve B doğal sayıları için;
olduğuna göre;
A-B farkı kaçtır?
A)108 B)113 C)119
D)121 E)149
7. Ġki basamaklı bir sayının, rakamları
toplamına bölümünden kalan en çok
kaç olabilir?
A)12 B)13 C)14 D)15 E)16
8. Dört basamaklı abcd sayısı üç
basamaklı abc sayısına bölündüğünde
bölüm ile kalanın farkı 6 olduğuna
göre,
Bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
A)14 B)15 C)16 D)17 E)18
9. a ve b farklı rakamlar olmak üzere,
1a3 üç basamaklı sayısı b6 iki
basamaklı sayısına bölündüğünde
bölüm 5, kalan 13 olmaktadır.
a+b toplamının en büyük değeri
kaçtır?
A)6 B)9 C)12 D)15 E)16
74
10. ab ve cd iki basamaklı sayılarının
9 ile bölümlerinden
kalanlar sırasıyla 7 ve 5 tir.
abcd dört basamaklı sayısının 9 ile
bölümünden kalan kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
11. M sayısının 9 ile bölümünden
kalan 6,
N sayısının 27 ile bölümünden kalan 9
olduğuna göre,
M.N çarpımının 27 ye bölümünden
kalan kaç olur?
A)0 B)6 C)9 D)15 E)18
12. 242 sayısı X’e bölündüğünde 8
kalanını, 698 sayısı X’e bölündüğünde
9 kalanını vermektedir.
242 ve 698 sayılarının toplamının
aynı sayıya bölümünden kalan 4 ise
ortak bölen kaçtır?
A)11 B)13 C)17 D)19 E)23
13. Pozitif iki sayıdan biri diğerinin
üç katıdır. 54 sayısının her iki sayıya
bölümünden elde edilen bölümler
arasındaki fark 4 tür.
Buna göre bu iki sayı arasındaki fark
kaçtır?
A)5 B)9 C)12 D)18 E)27
14. 1717 sayısının 17 ye bölümünden
elde edilen bölüm kaç olur?
A)10 B)11 C)100 D)101 E)110
15. Bir A doğal sayısı 3 ile
bölündüğünde bölüm x, kalan2,
x sayısı 4 ile bölündüğünde kalan
1 dir.
Buna göre, A sayısının 12 ile
bölümünden kalan kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)7
16. A ve x pozitif tamsayılar olmak
üzere,
A sayısı 6 ile bölündüğünde, bölüm
2x+1, kalan 1 dir.
A sayısı 7 ile bölündüğünde, bölüm 9,
kalan x-1 olduğuna göre,
A sayısı kaçtır?
A)67 B)71 C)72 D)75 E)83
YANITLAR
1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.B
7.D 8.A 9.C 10.A 11.A
12.B 13.D 14.D 15.D 16.A
75
BÖLÜNEBĠLME KURALLARI
Bu bölümde; verilen bir doğal sayının,
hangi doğal sayılar ile bölünebileceğini ve
bölme iĢlemi sonucunda kalanın ne
olacağını bölme iĢlemi yapmadan bulma
yöntemleri anlatılacaktır.
Bu yöntemleri bilmek, pek çok soruda
bize büyük kolaylıklar sağlar.
IġIK-1
En küçük doğal sayı olan 0 ile baĢlayalım.
Hangi sayılar 0 ile bölünebilir ?
sorusunun yanıtı ‘’0 sayısı ile bölme
işlemi tanımsız’’ olmalıdır.
Herhangi bir sayının, 0 sayısı ile
bölümünden söz edilemez.
UYARI
𝑎 ≠ 0 için 𝑎
𝑜=TANIMSIZ
𝟎
𝟎= TANIMSIZ
IġIK-2
Doğal sayıların tümü, 1 ile bölünebilir.
Bir doğal sayının 1’e bölümü, kendisine
eĢittir.
𝒂
𝟏= 𝒂 𝒂.𝟏 = 𝟏.𝒂 = 𝒂
IġIK-3
Birler basamağı çift (0,2,4,6,8) olan
sayılar, 2 ile bölünebilir.
IġIK-4
Rakamları toplamı 3 ve 3’ün katı olan
sayılar, 3 ile bölünebilir.
Rakamları toplamının 3’e bölümünden
bulunacak kalan, sayının 3’e bölümünden
bulunacak kalanı verir.
DNA-1
AĢağıdaki sayılardan hangisi 3 ile
bölünebilir?
A)43 B)76 C)125 D)542 E)2841
ÇÖZÜM
2841 sayısının basamaklarındaki
rakamların sayı değerleri toplamı
2+8+4+1=15 olup, 3’ün katıdır.
2841 sayısı, 3 ile bölünebilir.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-1 457a dört basamaklı sayısının, 3 ile
bölünebilmesi için;
a’nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A)8 B)9 C)12 D)15 E)18
DNA-2 56a8 dört basamaklı sayısının, 3 ile
bölümünden kalanın 1 olduğu bilindiğine
göre;
a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
ÇÖZÜM
56a8 sayısının basamaklarındaki
rakamların sayı değerleri toplamı
5+6+a+8=19+a dır.
Sayının 3 ile bölümünden kalanın 1 olması
için, rakamları toplamının 3’e bölümünden
kalanın 1 olması gerekir.
19+a=3k+1 (k∈ 𝑍) olmalıdır.
a=0,3,6,9 için koĢul sağlanır.
a, 4 farklı değer alabilir.
Doğru Seçenek D dir.
76
GENETĠK KOPYA-2 4A12 dört basamaklı sayısının, 3 ile
bölümünden kalanın 2 olduğu bilindiğine
göre;
A’nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A)7 B)9 C)12 D)15 E)18
IġIK-5
Bir doğal sayının onlar ve birler
basamağındaki rakamların oluĢturduğu iki
basamaklı sayı, 4 ün katı ise; bu doğal
sayı 4’e bölünebilir.
Son iki basamağın 4’e bölümündeki kalan,
sayının 4’e bölümündeki kalanı verir.
Onlar basamağındaki sayının iki katı ile
birler basamağının toplamı 4’ün katı olan
sayılar, 4’e bölünebilir.
(2a1+ao toplamı, 4 ün katı ise)
UYARI
Ard arda iki kez 2 ile bölünebilen sayılar,
4 ile bölünebilir.
DNA-3
AĢağıdaki sayılardan hangisi 4 ile
bölünebilir?
A)134 B)238 C)312 D)526 E)622
ÇÖZÜM
312 sayısının son iki basamağı 12 olup,
12=3.4 sayısı 4’ün katıdır.
312 sayısı, 4 ile bölünebilir.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-3 73A2 dört basamaklı sayısının 4 ile
bölünebilmesi için A’nın alabileceği kaç
farklı değer vardır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
DNA-4
8765a beĢ basamaklı sayısı 4 ile
bölündüğünde 3 kalanını vermektedir.
a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A)9 B)10 C)12 D)15 E)19
ÇÖZÜM
8765a sayısının son iki basamağının
oluĢturduğu 5a iki basamaklı sayısının 4
ile bölümünden 3 kalanı bulunmalıdır.
5a=4k+3 (k∈ 𝑍) olmalıdır.
a=1,5,9 için koĢul sağlanır.
1+5+9=15 a’nın alabileceği değerler
toplamıdır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-4 123a dört basamaklı sayısının 4’e
bölümünden kalan 1 ise,
a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
DNA-5
2327 sayısından en az kaç çıkarılırsa
bulunan sayı 2, 3 ve 4 ile tam olarak
bölünebilir?
A) 11 B) 12 C) 16 D) 26 E) 102
77
ÇÖZÜM
4 ile bölünebilen sayılar, 2 ile de
bölünebilir.
2 ile bölünebilenler, 4 ile de
bölünebilir denilemez.
Hem 2, hem de 4 ile bölünebilen sayılar
için; 4 ile bölünebilenleri bulmak
yeterlidir.
Hem 3, hem de 4 ile bölünebilen en
küçük pozitif tamsayı 12 dir.
12 ile bölünebilen sayılar, hem 3, hem 4
ve hem de 2 ile bölünebilir.
2327=12.193+11 olduğundan,
2327 nin 12 ile bölümünden kalan 11 dir.
Sayıdan 11 çıkarıldığında (veya 1
eklendiğinde) bulunan sayı 12 ile (2,3 ve
4 ile) bölünebilir.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-5 12 ye bölündüğünde, 11 kalanını veren
pozitif bir tamsayının 3 ile bölümünden
kalan a, 4 ile bölümünden kalan b ise,
a+b toplamı kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
IġIK-6
Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar,
5 ile bölünebilir.
Birler basamağının 5’e bölümündeki
kalan, sayının 5’e bölümünden kalanı
verir.
DNA-6
20067+20068 sayısının 5 ile bölümünden
kalan kaçtır?
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
ÇÖZÜM
Birler basamağı 6 olan sayıların, tüm
kuvvetlerinin birler basamağı 6 dır.
20067 ve 20068 kuvvetlerinin de birler
basamağı 6 dır.
6 nın 5’e bölümünden kalan 1 olduğundan;
20067 ve 20068 in 5’e bölümünden
kalanlar 1 dir.
Toplamın 5’e bölümünden kalan
1+1=2 dir.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-6 2009.2008-2007.2006
Sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
DNA-7 Rakamları birbirinden farklı olan, üç
basamaklı 4ab sayısı 3 ve 5 ile kalansız
bölünebiliyor.
Buna göre a kaç farklı değer alabilir?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
ÇÖZÜM
3 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı
3’ün katı olmalıdır.
4+a+b=3k (k∈ 𝑍)
5 ile bölünebilmesi için birler basamağı
0 veya 5 olmalıdır.
b=0 veya b=5
b=0 için; 4+a+0=3k a=2,5,8 olabilir.
b=5 için; 4+a+5=3k a=0,3,6,9 olur.
Rakamları farklı olacağından;
a=2,5,8,0,3,6,9 olmak üzere 7 farklı
değer alabilir?
Doğru Seçenek E dir.
4ab sayısı 15 ile bölünebilir.
78
GENETĠK KOPYA-7 4 ve 5 ile bölünebilen iki basamaklı kaç
tane doğal sayı yazılabilir?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)8
IġIK-7
2 ve 3 ile bölünebilen sayılar, 6 ile
bölünebilir.
Rakamları toplamı 3’ün katı olan, çift
sayılar 6 ile bölünebilir.
DNA-8
abc üç basamaklı sayısının 6 katı xy02
ise x+y toplamı kaç farklı değer alır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
ÇÖZÜM
6.abc = xy02 verildiğinden
xy02 sayısı 6 ile bölünebilir.
(6 nın katıdır.)
2 ve 3 ile bölünebilmelidir.
Birler basamağı 2 olduğundan sayı çifttir
x+y+0+2=3.k (3 ün katı olacak)
k=1,2,3, … için x+y toplamı 1, 4, 7, 10,
13, 16 ??? olabilir.
6.999=5994 olduğundan xy02 sayısında
x+y toplamı en çok (5+9=14) 14 olabilir.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-8 5aaaa beĢ basamaklı sayısı 6 ile
bölünebiliyorsa a kaçtır?
A)0 B)2 C)4 D)6 E)8
DNA-9
AĢağıdaki sayılardan hangisi 2,3,4,5 ve 6
sayıları ile bölünebilen en küçük pozitif
tamsayıdır?
A)24 B)36 C)60 D)75 E)120
ÇÖZÜM
6 ya bölünebilen sayılar, 2 ve 3’e
4’e bölünebilen sayılar, 2 ye bölünebilir.
4 ve 6 ya bölünebilen sayılar 12 ile
12 ve 5’e bölünebilen sayılar 60 ile
bölünebilir.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-9 6 ile bölünebilen iki basamaklı en büyük
doğal sayı ile iki basamaklı en küçük
doğal sayının toplamı kaçtır?
A)96 B)102 C)108 D)114 E)120
IġIK-8
Bir doğal sayının yüzler,onlar ve birler
basamağındaki rakamların oluĢturduğu üç
basamaklı sayı 8 in katı ise; bu doğal sayı
8’e bölünebilir.
Yüzler basamağı çift olanlarda;
Son iki basamağın oluĢturduğu sayı 8’in
katı olanlar,
Yüzler basamağı tek olanlarda;
Son iki basamağın oluĢturduğu sayının 4
eksiği 8’in katı olanlar, 8 ile bölünebilir.
Son üç basamağın 8’e bölümündeki kalan,
sayının 8’e bölümündeki kalanı verir.
UYARI
Ard arda üç kez 2 ile bölünebilen sayılar,
8 ile bölünebilir.
79
DNA-10
1, 3, 6 rakamları birer kez kullanılarak
yazılabilecek üç basamaklı farklı
sayılardan; 4 ile bölünebilen A sayısının,
8 ile bölünebilen B sayısı ile toplamı kaç
olabilir?
A)136 B)180 C)316 D)452 E)496
ÇÖZÜM
A ve B sayıları, sırası ile 4 ve 8 ile
bölüneceğinden öncelikle 2 ile
bölünebilmelidirler.
Bunun için birler basamakları çift
olmalıdır.
Sayı 6 ile bitmelidir.
316:2=158 158:2=79
316 sayısı iki kez 2 ile bölünebildiğinden,
A=316 sayısı 4 ile bölünebilir.
136:2=68 68:2=34 34:2=17
136 sayısı üç kez 2 ile bölünebildiğinden,
B=136 sayısı 8 ile bölünebilir.
A+B=316+136=452 olur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-10 476 476 sayısının 8 ile bölümünden kalan
kaç olur?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
DNA-11
23A5B beĢ basamaklı sayısı 8 ile
bölünebilmektedir.
B’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A)6 B)8 C)10 D)12 E)16
ÇÖZÜM
23A5B sayısı 8 ile bölünebiliyorsa;
A çift iken; 5B sayısı 8’in katı olmalıdır.
B=6 için 56=7.8
A tek iken; 5B sayısının 4 eksiği 8’in katı
olmalıdır.
B=2 için 52-4=48=6.8
B’nin alabileceği değerler 6 ve 2 dir.
Toplam: 6+2=8 olur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-11 9876A sayısının 8 ile bölümü 3 kalanını
verdiğine göre,
A kaç olmalıdır?
A)1 B)3 C)5 D)7 E)9
IġIK-9
Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar,
9 ile bölünebilir.
Rakamları toplamının 9’a bölümünden
bulunacak kalan, sayının 9’a bölümünden
bulunacak kalanı verir.
DNA-12
3A4A5A altı basamaklı sayısı 9 ile
bölünebilmektedir.
A’nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A)8 B)10 C)15 D)18 E)24
ÇÖZÜM
3+A+4+A+5+A = 12+3A = 9.k olmalıdır.
k’nın 2,3 ve 4 değerleri için;
A rakamı 2,5 ve 8 olabileceğinden;
2+5+8=15 olur.
Doğru Seçenek D dir.
80
GENETĠK KOPYA-12
[3(230+x)]2 = 492a04 ise
a kaç olmalıdır?
A)1 B)3 C)6 D)7 E)8
DNA-13
7 357 26a sayısının 9 ile bölümünden
kalan 1 dir.
Aynı sayı 8 sayı tabanında yazıldığında
birler basamağı kaç olur?
A)1 B)2 C)3 D)5 E)7
ÇÖZÜM
7 357 26a sayısının 9 ile bölümünden
kalan 1 ise;
7+3+5+7+2+6+a=9k+1 dir.
30+a=9k+1
k=4 için a=7 olmalıdır.
7357267 sayısını 8 sayı tabanında
yazarken birler basamağına,
7357267 sayısının 8’e bölümünden
bulunan kalan geleceğinden,
267 sayısında, 2 çift,
67=8.8+3 olduğundan aranan rakam 3 tür
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-13
23A5B beĢ basamaklı sayısının 9 ile
bölümünden kalan 4 olduğuna göre,
A+B toplamı kaç farklı değer alabilir?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
IġIK-10
Birler basamağı 0 olan sayılar, 10 ile
bölünebilir.
Sayının birler basamağındaki rakamın
sayı değeri, verilen sayının 10 ile
bölümündeki kalandır.
DNA-14
1+9+92+93+…+92007 toplamının birler
basamağı kaçtır?
A)0 B)1 C)6 D)7 E)9
ÇÖZÜM
Toplamdaki terimleri teker teker
incelediğimizde;
9’un tek kuvvetlerinin 9,
9, 93=729, 95=59049, …..
9’un çift kuvvetlerinin 1,
92=81, 94=6561, …
ile sonlandığını görebiliriz.
Toplamdaki terimlerin yarısının birler
basamağı 1, diğer yarısının birler
basamağı 9 olduğundan;
Toplamın tümünün birler basamağı
1+9=10 olduğundan 0 dır.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-14
20052006+20062007
Toplamını veren sayının birler basamağı
kaçtır?
A)0 B)1 C)5 D)6 E)9
81
DNA-15
4, 5, 6, 8, 10 sayılarına bölündüğünde 3
kalanını veren en küçük pozitif üç
basamaklı tam sayının rakamları toplamı
kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
ÇÖZÜM
8’e bölünebilen sayılar, 4’e
10’a bölünebilen sayılar, 5’e
6 ve 8’e bölünebilen sayıların da 24’e
bölünebilir.
24 ve 10’a bölünebilen sayılar 120 ye
bölünebilir.
4, 5, 6, 8 ve 10 sayılarına bölünebilen en
küçük pozitif tamsayı 120,
4,5,6,8 ve 10 sayılarına bölündüğünde 3
kalanını veren en küçük pozitif tamsayı
123 tür.
123 ün rakamları toplamı: 1+2+3=6 olur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-15
8 ve 10 sayılarına bölündüğünde 7
kalanını veren üç basamaklı en büyük
doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?
A)15 B)16 C)18 D)19 E)22
IġIK-11
Tek numaralı basamaktaki rakamlar
toplamı ile çift numaralı basamaktaki
rakamlar toplamının farkı 11 in katı olan
sayılar, 11 ile bölünebilir.
(N= 100A+B için A+B sayısı 11 in katı ise,
N sayısı 11 ile bölünebilir)
Tek numaralı basamaktaki rakamlar
toplamı ile çift numaralı basamaktaki
rakamlar toplamının farkının 11’e
bölümünden kalan, sayının 11’e
bölümünden kalanı verir.
DNA-16
58 246 3a7 sayısının
11’e bölünebilmesi için a kaç olmalıdır?
A)0 B) 1 C)3 D)7 E)9
ÇÖZÜM
58 246 3a7 (8+4+3+7) – (5+2+6+a) = 22-(13+a)
= 9-a = 11.k
k=0 için 9-a=0 ve a=9 olmalıdır.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-16
27381a altı basamaklı sayısının 11’e
bölünebilmesi için a kaç olmalıdır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
DNA-17
22227777 sayısının iki basamaklı
en büyük böleni kaçtır?
A)11 B)33 C)66 D)77 E)99
ÇÖZÜM
22227777 sayısında;
2+2+2+2+7+7+7+7=36=4.9 olduğundan
Sayı 9 ile bölünebilir.
(2+2+7+7)-(2+2+7+7)=18-18=0=0.11
Olduğundan sayı 11 ile de bölünebilir.
9 ve 11 ile bölünebilen sayılar 99 ile
bölünebilir.
Doğru Seçenek E dir.
82
GENETĠK KOPYA-17
Rakamları farklı, 9 basamaklı, 11 ile
bölünebilen en küçük doğal sayı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)102345678 B)102347586 C)123456789 D)123458596
E)123456798
DNA-18
Dört basamaklı, tam kare doğal sayılar
arasında sadece bir tanesi aabb
biçimindedir.
a+b toplamı kaçtır?
A) 6 B) 9 C) 11 D) 13 E) 14
ÇÖZÜM
aabb=a.1000+a.100+b.10+b=1100.a+11.b
=11(100.a+b)
=11.a0b
Çözümlemesinden elde edilen çarpımın
bir tam kare olması için, a0b sayısı
içinde 11 çarpanı bulunmalıdır. (sayı 11’in
katı olmalıdır)
a0b sayısının 11 ile bölünebilmesi için de
(a+b)-0=11k
a+b=11 olmalıdır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-18
AĢağıdaki doğal sayılardan hangisi bir
doğal sayının karesidir?
A)4477 B)5566 C)6655
D)7744 E)3388
TANIM
1 den baĢka ortak böleni olmayan doğal
sayılara, aralarında asaldır denir.
7 ; 13 12 ; 25
24 ; 29 4 ; 6 ; 27
Sayıları aralarında asaldır.
IġIK-12
3 ve 4 ile bölünebilen sayılar, 12 ile
bölünebilir.
UYARI
3 ve 4 sayıları aralarında asal olup,
12=3.4 tür.
12=2.6 olduğu halde, 2 ve 6 aralarında
asal olmadığından, 2 ve 6 için
uygulanamaz.
DNA-19
5613a8 sayısı 12 ile bölünebiliyorsa
a kaçtır?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
ÇÖZÜM
4 ve 3 ile bölünebilmelidir.
4 ile bölünebilmesi için;
a8 sayısı 4 ün katı olmalıdır.
a’nın alabileceği değerler: 0, 2, 4, 6, 8
3 ile bölünebilmesi için;
5+6+1+3+a+8 = 23+a=3.k olmalıdır.
a’nın alabileceği değerler : 1, 4, 7
a’nın her iki koĢulu da sağlayan değeri
4 tür.
Doğru Seçenek B dir.
83
GENETĠK KOPYA-19
A321B beĢ basamaklı, rakamları farklı
doğal sayısının 12 ile bölünebilmesi için
A kaç olmalıdır?
A)3 B)4 C)6 D)8 E)9
DNA-20
n pozitif tam sayısı, 3, 5 ve 12 ile
bölünebilmektedir.
AĢağıdakilerden hangisi aynı sayılar ile
bölünebilir?
A)n-2 B)n-1 C)n+1 D)n+15 E)n+60
ÇÖZÜM
12=3.4 olduğundan, 12 ile bölünebilen
sayılar 3 ile bölünebilir.
5 ve 12 ile bölünebilen sayılar, 5 ve 12
aralarında asal olduğundan
5.12=60 ile bölünebilirler.
3,5 ve 12 ile bölünebilen en küçük pozitif
tam sayı 60 tır.
n sayısı aranan koĢulu sağladığından,
n+60 sayısı aranan sayıdır.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-20
n pozitif tam sayısı, 4, 8 ve 12 ile
bölünebilmektedir.
AĢağıdakilerden hangisi aynı sayılar ile
bölünebilir?
A)n+12 B)n+16 C)n+24
D)n+32 E)n+36
DNA-21
7 168 sayısı 2,3,4,5,6,8,9,10 ve 12
sayılarından kaç tanesi ile bölünebilir?
A)3 B)4 C)6 D)8 E)9
ÇÖZÜM
Birler basamağı 8 dir.
2 ile bölünebilir.
Rakamlar toplamı:
7+1+6+8=22 dir.
22 sayısı 3’ün katı olmadığından,
bölenlerinden biri 3 değildir.
Son iki basamağı 68 dir.
68=4.17 olup, 4 ile bölünebilir.
Birler basamağı 0 veya 5 olmadığından,
bölenlerinden biri 5 değildir.
3 ile bölünemediğinden, 6 bölenlerinden
biri değildir.
Son üç basamak 168 dir.
Yüzler basamağı 1 ve tek,
68+4=72
72=9.8 olup, 8 ile bölünebilir.
Rakamlar toplamı:
7+1+6+8=22 dir.
22 sayısı 9’un katı olmadığından,
bölenlerinden biri 9 değildir.
(3 ile bölünemediğinden, 9 ile de
bölünemez)
Birler basamağı 0 olmadığından, 10
bölenlerinden biri değildir.
7168 için (7+6)-(1+8)=13-9=4
4 sayısı 11’in katı olmadığından,
bölenlerinden biri 11 değildir.
3 ile bölünemediğinden, 12 bölenlerinden
biri değildir.
84
2, 4 ve 8 olmak üzere üç tanesi ile
bölünebilir.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-21
12 345 sayısı 2,3,4,5,6,8,9,10 ve 12
sayılarından kaç tanesi ile bölünebilir?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
DNA-22
Dört basamaklı 8A6B sayısının 15 ile
bölünebilmesi için a+b toplamının en
büyük değeri kaç olmalıdır?
A)8 B)10 C)12 D)13 E)15
ÇÖZÜM
15=3.5 ve 3 ile 5 aralarında asal
olduğundan verilen sayının 15 ile
bölünebilmesi için,
3 ve 5 ile bölünebilmesi gerekir.
8A6B sayısının 5 ile bölünebilmesi için
B=0 veya B=5 olmalıdır.
8A6B sayısının 3 ile bölünebilmesi için
8+A+6+B=3k
14+A+B=3k olmalıdır.
B=0 için;
14+A+0=3k
14+A=3k
A=1,4,7 olabilir.
B=5 için;
14+A+5=3k
19+A=3k
A=2,5,8 olabilir.
A+B nin en büyük değeri;
8+5=13 olur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-22
BeĢ basamaklı A234B sayısı 15 ile
bölünebildiğine göre,
A+B toplamının en büyük değeri kaçtır?
A)9 B)10 C)12 D)14 E)15
DNA-23
a b olmak üzere abab dört basamaklı
sayısı 18 ile bölünebilmektedir.
a nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A)16 B)17 C)20 D)22 E)25
ÇÖZÜM
18=2.9 ve 2 ile 9 aralarında asal
olduğundan verilen sayının 18 ile
bölünebilmesi için;
2 ve 9 ile bölünebilmesi gerekir.
2 için: b = 0, 2, 4, 6, 8 olabilir.
9 için: a+b+a+b = 2a+2b = 2(a+b)
toplamı 9 un katı olmalıdır.
b=0 ise a=9
b=2 ise a=7
b=4 ise a=5
b=6 ise a=3
b=8 ise a=1 olacaktır.
a’nın alabileceği değerlerin toplamı
9+7+5+3+1=25 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-23
BeĢ basamaklı 234ab sayısı 18 ile
bölünebildiğine göre,
a’nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
85
DNA-24
BeĢ basamaklı 9876AB sayısı 20 ile
bölünebildiğine göre,
AB iki basamaklı sayısının en büyük
değeri kaçtır?
A)20 B)40 C)60 D)80 E)90
ÇÖZÜM
20=4.5 ve 4 ile 5 aralarında asal
olduğundan verilen sayının 20 ile
bölünebilmesi için
4 ve 5 ile bölünebilmesi gerekir.
5 için; B=0 veya B=5 olmalıdır.
4 için; AB sayısının 4 ile bölünebilmesi
gerekir. B çift olmalıdır.
B=0 için AB nin 4’e bölünebilmesi,
Son iki basamağın 00, 20, 40, 60, 80
20 nin katı olması ile mümkündür.
Sayının 20 ile bölünebilmesi için;
son iki basak 20 nin katı olmalıdır.
En büyük değeri 80 dir
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-24
20 ile bölündüğünde 18 kalanını veren bir
sayının, 4 ve 5 ile bölündüğünde a ve b
kalanlarını verdiği bilindiğine göre,
a+b toplamı kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
DNA-25
23A5B beĢ basamaklı sayısı 24 ile
bölünebilmektedir.
A, kaç farklı değer alabilir?
A)3 B)4 C)6 D)8 E)9
ÇÖZÜM
24=3.8 ve 3 ile 8 aralarında asal
olduğundan verilen sayının 24 ile
bölünebilmesi için
3 ve 8 ile bölünebilmesi gerekir.
23A5B sayısı 8 ile bölünebiliyorsa;
A çift iken; 5B sayısı 8’in katı olmalıdır.
B=6 için 56=7.8
A tek iken; 5B sayısının 4 eksiği 8’in katı
olmalıdır.
B=2 için 52-4=48=6.8
B’nin alabileceği değerler 6 ve 2 dir.
23A5B sayısı 3 ile bölünebiliyorsa;
2+3+A+5+B=10+A+B=3k olmalıdır.
A tek iken,
B=2 için; 10+A+2=12+A=3k
A=3,9
A çift iken,
B=6 için; 10+A+6=16+A=3k
A=2,8
olmak üzere A, 4 farklı değer alabilir.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-25
A543B beĢ basamaklı sayısı 24 ile
bölünebilmektedir.
A’nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A)7 B)8 C)11 D)12 E)13
86
DNA-26
Dört basamaklı, 25 ile bölünebilen kaç
tane doğal sayı vardır?
A)90 B)180 C)270 D)360 E)450
ÇÖZÜM
Sayının 25 ile bölünebilmesi için
son iki basamağı: 00, 25, 50,75
olmalıdır.
abcd dört basamaklı sayısında,
a yerine 9 rakam, b yerine 10 rakam
yazılabileceğinden son iki basamağı cd
olan 9.10=90 sayı yazılabilir.
Her birinden 90 tane sayı olacağından
4.90=360 tane sayı vardır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-26
12345 sayısının 25 ile bölümünden
kalan kaçtır?
A)5 B)10 C)15 D)20 E)21
DNA-27
7a9b sayısı 36 ile bölünebiliyorsa
a+b toplamının en büyük değeri kaçtır?
A)9 B)10 C)11 D)12 E)13
ÇÖZÜM
36=4.9 ve 4 ile 9 aralarında asal
olduğundan verilen sayının 36 ile
bölünebilmesi için
4 ve 9 ile bölünebilmesi gerekir.
4 için; 9b sayısı 4 ün katı olacağından,
b, 2 veya 6 olmalı,
9 için: 7+a+9+b=16+a+b=9k
b=2 ise 16+a+2=18+a=9k
a, 0 veya 9
b=6 ise 16+a+6=22+a=9k
a, 5 olmalıdır.
a+b=0+2=2
a+b=9+2=11
a+b=5+6=11 olacağından
en büyük değeri 11 dir.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-27
3A4B sayısı 36 ile bölünebiliyorsa,
a kaç farklı değer alabilir?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
DNA-28
x01y sayısı 72 ile bölünebiliyorsa,
x+y toplamı kaçtır?
A)8 B)9 C)10 D)11 E)17
ÇÖZÜM
72=8.9 ve 8 ile 9 aralarında asal
olduğundan verilen sayının 72 ile
bölünebilmesi için
8 ve 9 ile bölünebilmesi gerekir.
8 için; 01y, 8 in katı olmalıdır.
y=6 olmalı.
9 için; x+0+1+y=x+0+1+6=x+7=9k
x=2 olmalı.
x+y=2+6=8 olur.
Doğru Seçenek A dır.
87
GENETĠK KOPYA-28
A34B sayısı 72 ile bölünebiliyorsa
A+B toplamı kaçtır?
A)7 B)8 C)9 D)11 E)12
DNA-29
6 ya tam olarak bölünemeyen pozitif
tamsayılar küçükten büyüğe doğru
sıralanıyor.
Bu sıralamadaki 100. sayı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)109 B)111 C)119 D)123 E)125
ÇÖZÜM
ArdıĢık her 6 pozitif tamsayıdan biri
6 ya tam olarak bölünebilir, diğer beĢ
tanesi bölünemez.
Bu durumda sayıları beĢer beĢer
gruplandırdığımızda;
100:5=20 tane beĢli gurup bulunur.
Her grup 6 sayı için yazıldığından
20.6=120 sayı için oluĢturulmuĢtur.
Son grup içindeki son sayı 119 dur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-29
4 e tam olarak bölünemeyen tamsayılar
küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.
Bu sıralamadaki 50. Sayı aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)61 B)62 C)63 D)65 E)66
DNA-30
toplamının 11 ile bölümünden kalan 8 ise
a kaçtır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
ÇÖZÜM
Basamak sayısı çift olanlar 11 ile
bölünebilir.
Örneğin; aaaa sayısı için
(a+a)-(a+a)=0=11k
Basamak sayısı tek olanların 11 ile
bölümünden kalan a dır.
Örneğin; aaaaa sayısı için
(a+a+a)-(a+a)=a
1,3,5,7,9 ve 11 basamaklı sayıların her
birinden kalan a olduğundan,
Toplamın 11’e bölümünden kalan 6.a dır.
6.a=11k+8 olması için a=5 olmalıdır.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-30
AĢağıdaki sayılardan kaç tanesi
11 ile bölünebilir?
I.616 II.264 III.4596
IV.4562 V.2090
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
88
KONU TESTĠ
1. 387A42 sayısı 3 ile bölünebiliyor. A
nın alabileceği kaç farklı değer
vardır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)9
2. 5A427B altı basamaklı bir doğal
sayıdır. Sayı 6 ile bölünebiliyorsa
A+B toplamı kaç farklı değer alabilir?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
3. A < B olmak üzere, üç basamaklı
5AB sayısının 5 ile bölümünden kalan
3 tür. Bu sayının 4 ile bölünebilmesi
için A nın alabileceği değerlerin
toplamı kaçtır?
A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) 21
4. 2006.2005-2004.2003 iĢleminden
elde edilen sayının
9 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 8
5. 45672+56782 toplamının
9 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
6. [3(460+x)]2 = 1971a16
eĢitliğinin doğru olması için a = ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
7. 800 ile 1000 sayıları arasında 7 ve
8 ile bölünebilen kaç doğal sayı
vardır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
8. Bir A sayısının rakamlarının sayı
değerlerinin toplamı 16 dır. Buna
göre, A2 sayısının 9 ile bölümünden
kalan kaçtır?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
9. ab ve cd iki basamaklı sayılarının 9 ile
bölümlerinden
kalanlar sırasıyla 7 ve 5 tir.
abcd dört basamaklı sayısının 9 ile
bölümünden kalan kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
10. a6a41 beĢ basamaklı sayısı 9 ile
bölünebiliyorsa a kaçtır?
A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
89
11. A=66-1 sayısı aĢağıdakilerden
hangisine tam bölünemez?
A) 5 B) 7 C) 31 D)36 E) 43
12. n pozitif tamsayısının 5 ile
bölümünden kalan 3 tür.
AĢağıdaki sayılardan hangisi 5 ile
bölünebilir?
A)n+3 B)n+2 C)n+1
D)n-1 E)n-2
13. n tamsayısı3, 5 ve 12 ile
bölünebilmektedir. n den küçük ve bu
sayılarla bölünebilen büyük sayı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)n-3 B)n-5 C)n-12
D)n-15 E)n-60
14. 5, 7 ve 20 ile bölünebilen en
küçük pozitif tamsayı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)35 B)70 C)140
D)200 E)280
15. n tamsayısının 8’e bölümünden
kalan 3 tür.
6.n sayısının 8’e bölümünden kalan
kaç olur?
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
16. n bir tamsayı olmak üzere,
(2n+2)2 sayısının 4 ile bölümünden
kalan kaç olur?
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
1.C 2.E 3.C 4.E 5.E 6.C
7.B 8.A 9.A 10.E 11.D
12.B 13.E 14.C 15.C 16.A
90
KONU TESTĠ
1. Rakamları toplamı 9 olan, 3 ile
bölünebilen iki basamaklı en küçük
doğal sayı aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)27 B)33 C)72 D)18 E)90
2. AĢağıdaki sayılardan hangisi 3 ile
bölünemez?
A)339 B)342 C)552
D)1111 E)672
3. {1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile
yazılan, rakamları tekrarsız beĢ
basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi
4 ile bölünebilir?
A)144 B)168 C)192
D)216 E)240
4. 351n ve 352n sayıları 7 ile
bölündüklerinde aynı kalanı
vermektedir.
Buna göre n’in en küçük pozitif
tamsayı değeri kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
5. 9+92+93+ … +98
Toplamının 6 ile bölümünden kalan
kaçtır?
A)0 B)2 C)3 D)4 E)5
6. Yalnızca 1 ve 0 rakamları kullanılarak
yazılabilecek doğal sayılardan 225 ile
bölünebilen en küçük sayı kaç
basamaklıdır?
A)3 B)9 C)10 D)11 E)12
7. 6A6B dört basamaklı doğal sayısı 72
ile bölünebildiğine göre, A’nın
alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
A)10 B)12 C)14 D)16 E)18
8. AĢağıdaki sayılardan hangisi 99 ile
bölünebilir?
A)3744 B)721809 C)7177788
D)88228299 E)99229288
9. aab üç basamaklı sayısı 12 ile
bölünebilmektedir.
a < 4 olduğuna göre, b nin alabileceği
değerlerin toplamı kaçtır?
A)6 B)8 C)10 D)12 E)14
10. Altı basamaklı 65a43b doğal
sayısı 12 ile bölünebilmektedir.
Buna göre, a kaç farklı değer
alabilir?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
91
11. 34+35+36+37
Toplamı aĢağıdaki sayılardan hangisi
ile tam bölünemez?
A)2 B)3 C)21 D)27 E)40
12. Dört basamaklı a01b doğal sayısı
8 ve 9 ile bölünebilmektedir.
Buna göre a+b toplamı kaçtır?
A)5 B)6 C)7 D)8 E)10
13. BeĢ basamaklı 12a3b doğal sayısı
a≠b için 4 ve 9 ile bölünebildiğine
göre,
a kaçtır?
A)1 B)2 C)3 D)6 E)7
14. Dört basamaklı abba doğal sayısı
15 ile bölünebildiğine göre, b nin
alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A)9 B)12 C)18 D)23 E)30
15. BeĢ basamaklı 561xy doğal sayısı
45 ile bölünebildiğine göre, x’in en
büyük değeri kaçtır?
A)1 B)5 C)6 D)7 E)8
16. Üç basamaklı abc doğal sayısı
5 ile bölünebilmektedir. 9 ile
bölümünden kalan 1 ise, a.b çarpımının
en büyük değeri kaçtır?
A)15 B)24 C)48 D)49 E)56
1.D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.C 8.B
9.E 10.E 11.C 12.D 13.A 14.B 15.C
16.D
92
KONU TESTĠ
1. {0,1,2,3,4,5} rakamları kullanılarak
yazılabilen, rakamları tekrarsız,
4 basamaklı, 3 ile bölünebilen en
büyük sayı 4,5,6,8,9 sayılarından kaç
tanesi ile bölünebilir?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
2. Her hangi bir tek sayının karesinin,
8’e bölümünden kalan kaçtır?
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
3. 87ab6 sayısı 8 ile bölünebilen beĢ
basamaklı bir sayıdır.
a+b toplamının alabileceği en büyük
değer kaçtır?
A)12 B)14 C)15 D)16 E)17
4. A84B84 altı basamaklı sayısı 72 ile
bölünebiliyor.
A’nın alabileceği kaç farklı değer
vardır?
A)1 B)3 C)4 D)5 E)6
5. Ġlk 200 pozitif tamsayı içinde
3,4,5 ve 6 ile bölünebilen kaç tane
sayı vardır?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
6. Üç basamaklı doğal sayılardan kaç
tanesi 27 ile bölünebilir?
A)30 B)31 C)32 C)33 E)34
7. 9A407B altı basamaklı sayısı 12 ile
bölünebilmektedir.
A-B farkının en büyük değeri kaçtır?
A)7 B)6 C)5 D)4 E)3
8. 5A55B beĢ basamaklı sayısı 72 ile
bölünebiliyor.
A kaçtır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)6
9. A3640548981279644B
18 basamaklı sayısı 99 ile
bölünebiliyor.
A+B toplamı kaçtır?
A)6 B)8 C)10 D)12 E)14
10. 150 sayısı 2,3,4,5,6,7,8,9,10
sayılarından kaç tanesi ile
bölünebilir?
A)4 B)5 C)6 D)7 E)8
93
11. 168 sayısı 2,3,4,5,6,7,8,9,10
sayılarından kaç tanesi ile
bölünebilir?
A)4 B)5 C)6 D)7 E)8
12. AĢağıdaki sayılardan hangisi 7 ile
bölünebilir?
A)673 B)694 C)745 D)756 E)827
13. 5,7 ve 20 ile bölünebilen en küçük
pozitif tam sayı aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)35 B)70 C)140 D)200 E)280
14. 7, 10, 15, 21 ve 28 ile bölünebilen
beĢ basamaklı en büyük doğal sayı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)99840 B)99900 C)99920
D)99960 E)99990
15. aaaa dört basamaklı sayısı, 6 ile
bölünebilmektedir.
Verilen sayının, 6 ile bölümünden elde
edilen bölümün rakamları toplamı kaçtır?
A)4 B)6 C)12 D)24 E)32
16. n! sayısının 9’a bölünebilmesi için
n’in en küçük değeri kaç olmalıdır?
( n! = 1.2.3….n alınacaktır )
A)3 B)4 C)5 D)6 E)9
1.B 2.B 3.E 4.D 5.A 6.E
7.E 8.A 9.C 10.B 11.A 12.D
13.C 14.D 15.A 16.D
94
TANIM
1 ve kendisinden baĢka hiç bir doğal
sayıya bölünemeyen 1 den büyük doğal
sayılara asal sayılar denir.
2, 3, 5, 7, 11, … gibi.
En küçük asal sayı 2 dir.
2 sayısı dıĢında, diğer asal sayılar tek
sayıdır.
DNA-1 a,b,c asal sayılar ve a< b< c dir.
a+b+c = 22 ve a.b+b.c+c.a = 131 ise
b.c çarpımı kaçtır?
A)7 B)13 C)14 D)26 E)91
ÇÖZÜM
a+b+c = 22 toplamı çift olduğundan
sayılardan en az biri çift olmalıdır.
Bu durumda kesinlikle a =2 olmalıdır.
2.b+b.c+2.c=131
2(b+c)+b.c=131 eĢitliğinde deneme ile
b =7 ve c =13 olacağı bulunur.
b.c = 7.13 = 91 olacaktır.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-1
x ve y asal sayılar olmak üzere,
2x+y=16 ise,
x+y toplamı kaçtır?
A)5 B)7 C)9 D)11 E)13
DNA-2 100 sayısından küçük 25 tane asal sayı
vardır. 100 den farklı kaç tane n
tamsayısı için n den küçük asal sayıların
sayısı 25 tir?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
ÇÖZÜM
100 sayısından küçük en büyük asal sayı
97 dir. 100 sayısından büyük en küçük asal sayı
101 dir.
100 asal sayı değildir. 98, 99, 101 sayılarından küçük asal
sayılar 25 tanedir.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-2
..., 59, 53, 47, ? , …
Asal sayı dizisinde ? yerine hangi sayı
yazılabilir?
A)37 B)41 C)43 D)45 E)46
HAZĠNE-1
a,b,c, … farklı asal sayılar,
p,q,r, … sayma sayıları olmak üzere ;
N > 1 için her bir N doğal sayısı
N = ap.bq.cr… olacak Ģekilde
tek türlü asal çarpanlarına ayrılır.
UYARI
Atom parçalandığında ortaya çıkan büyük
enerji, Matematikte bir Doğal sayının
asal çarpanlara ayrılması ile eĢ değerli
olabilir.
Bu yüzden sayı problemlerinin pek
çoğunda çözüme, verilen Doğal
sayıları asal çarpanlara ayırmakla
başlamakta yarar vardır.
DNA-3 540 sayısının asal çarpanlara ayrılmıĢ
biçimi aĢağıdakilerden hangisidir?
A)22.33.5 B)22.32.5 C)23.32.5
D)2.33.5 E)2.33.5
ASAL SAYILAR
95
ÇÖZÜM 540 sayısını, en küçük asal sayı olan 2 ile
bölmeye baĢlar ve içindeki tüm asal sayı
bölenlerini ararız.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-3
72 sayısının asal çarpanlara ayrılmıĢ
biçimi aĢağıdakilerden hangisidir?
A)2.3 B)22.3 C)22.32
D)23.32 E)23.33
DNA-4 250 sayısının en küçük iki asal çarpanının
toplamı kaçtır?
A)2 B)5 C)7 D)10 E)12
ÇÖZÜM
250=2.53 Ģeklinde çarpanlara
ayrıldığında, en küçük iki asal çarpanının
2 ve 5 olduğu görülür.
2+5=7 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-4 90 sayısının tüm asal çarpanlarının
toplamı kaçtır?
A)2 B)5 C)7 D)10 E)12
DNA-5 a,b,c asal sayılar,
a = 3b-2.13c-2 olduğuna göre ;
a+b+c toplamının alabileceği en küçük
değer kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)8
ÇÖZÜM a'nın asal sayı olması için, 3b-2 veya 13c-2
den birinin 1 olası gerekir.
Toplamın küçük olması istendiğinden;
13c-2 =1 ve 3b-2 =3 olmalıdır.
a≠ 0 için; a0=1 ve a1=a olduğundan
c-2=0, c=2, 13c-2 =130=1
b-2=1, b=3, 3b-2 =31=3
a = 3b-2.13c-2, a=3.1=3 olmalıdır.
a+b+c =3+3+2=8 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-5 a,b,c birbirinden farklı asal sayılar,
N = a2.b3.c4 eĢitliği veriliyor.
N in en küçük değeri için
a+b+c toplamı kaçtır?
A)5 B)7 C)8 D)10 E)12
DNA-6 x,y ∈ N ve x2-y2 = 13 ise
x kaç olmalıdır?
A)5 B)6 C)7 D)8 E)9
96
ÇÖZÜM
a2-b2=(a-b)(a+b) özdeĢliğinden;
x2-y2 = (x-y)(x+y)
x ve y doğal sayı olduğundan,
x+y ve x-y de doğal sayı olacaktır.
13 bir asal sayı olduğundan, ancak
1.13 biçiminde iki doğal sayının çarpımı
olarak yazılabilir.
x2-y2 = (x-y)(x+y)=1.13
x-y = 1 ve x+y = 13 olmak zorundadır.
Sistem çözüldüğünde;
x =7 ve y =6 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-6 a,b doğal sayıları için;
a2-b2=7 ise
b kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
DNA-7 1 den büyük asal olmayan bir tamsayının
rakamlarının toplamı, sayı asal
çarpanlarına ayrılarak yazıldığında, bu
yazılıĢta bulunan tüm asal çarpanlarının
rakamlarının toplamına eĢit oluyorsa bu
tür sayılara Smith sayısı adı verilir.
Örneğin, 728 sayısı asal çarpanlarına
728=2.2.2.7.13 biçiminde ayrılır.
7+2+8=2+2+2+7+1+3 olduğundan 728 bir
Smith sayısıdır.
Bu tanıma göre, aĢağıdaki sayılardan
hangisi bir Smith sayısıdır?
A)21 B)24 C)27 D)36 E)45
ÇÖZÜM
27=3.3.3
2+7=3+3+3 olduğundan 27 bir Smith
sayısıdır.
Doğru Seçenek C dir
GENETĠK KOPYA-7 Asal olmayan 1 den büyük tamsayılara
birleĢik tamsayı denir.
AĢağıdakilerden hangisi birleĢik tamsayı
değildir?
A)12 B)18 C)21 D)23 E)25
DNA-8 n doğal sayı olmak üzere,
22n+1 biçiminde yazılabilen asal sayılara
Fermat asalı denir.
AĢağıdakilerden hangisi Fermat asalıdır?
A)7 B)15 C)17 D)23 E)29
ÇÖZÜM
n=0 için;
22n+1= 220
+1 = 21+1=2+1=3
n=1 için;
22n+1= 221
+1 = 22+1=4+1=5
n=2 için;
22n+1= 222
+1 = 24+1=16+1=17 sayısı
Fermat asalıdır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-8 n doğal sayı olmak üzere,
2n -1 biçiminde yazılabilen asal sayılara
Mersenne asalı denir.
AĢağıdakilerden hangisi Mersenne
asalıdır?
A)5 B)11 C)13 D)31 E)37
97
DNA-9 a,n N+ için a =2 ve n asal sayı ise
an-1 asaldır.
23-1 = 7
25-1 =31
AĢağıdaki sayılardan hangisi asaldır?
A)225-1 B)226-1 C)227-1
D)228-1 E)229-1
ÇÖZÜM
229-1 ifadesinde n=29 asal olduğundan 229-1 sayısı da asaldır. Doğru Seçenek E dir
GENETĠK KOPYA-9
n! + 1 < p < n! + n koĢulunu sağlayan
p lerden hiçbiri asal değildir.
5!+1 < p < 5!+5 koĢulunu sağlayan bir
p asal sayısı yoktur.
12!+1 < X < 12!+12 koĢulunu sağlayan kaç
tane asalsayı vardır?
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
DNA-10 a ve b asal sayılar, a < b olmak üzere,
a+b=19 ise,
a kaçtır?
A)2 B)3 C)5 D)7 E)11
ÇÖZÜM
Ġki asal sayının toplamı da bir asal sayı
ise bu sayılardan küçüğü 2 dir.
a+b=19 eĢitliğinde 19 asal sayı,
a ve b de asal sayı olduğundan;
a=2 dir. Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-10
k pozitif tamsayı olmak üzere,
4k+1 biçiminde yazılabilen sayılara
Hilbert asalı denir.
AĢağıdakilerden hangisi Hilbert asalıdır?
A)3 B)7 C)11 D)17 E)19
Asal sayıların birkaç güzel özelliğini de
örneklerle verelim.
2 den büyük bütün çift doğal sayılar,
iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir.
36=7+29=13+23
Tüm çift doğal sayılar, iki asal sayının
farkıdır.
12=23-11
5 den büyük tüm pozitif tamsayılar,
üç asal sayının toplamı olarak yazılabilir.
35=5+11+19
98
TANIM
1 den baĢka ortak böleni olmayan doğal
sayılara, aralarında asaldır denir.
7 ; 13 12 ; 25
24 ; 29 4 ; 6 ; 27
Sayıları aralarında asaldır.
UYARI
ArdıĢık doğal sayılar aralarında asaldır.
14 ; 15 18 ; 19
UYARI
Aralarında asal sayıların toplamları ve
çarpımları da aralarında asaldır.
7+13=20 7.13=91
20 ve 91 sayıları aralarında asaldır.
UYARI
ArdıĢık iki sayının toplamı ile bunların
karelerinin toplamı aralarında asaldır.
4+5=9 42+52=41
9 ve 41 sayıları aralarında asaldır.
DNA-11 AĢağıdaki sayılardan hangisi 1001 sayısı
ile aralarında asaldır?
A) 56 B) 88 C) 105 D) 128 E) 156
ÇÖZÜM
Aralarında asal olmaları için,
1 den baĢka ortak bölenleri olmamalıdır.
1001=3.7.11 olduğundan,
Bölenleri; 3, 7 ve 11 dir.
56=7.8 7 ye bölünür.
88=11.8 11 e bölünür.
105=3.35 3 e bölünür.
156=11.15 11 e bölünür.
Seçenekler içinde 3’e, 7’ye ve 11’e
bölünemeyen sayı 1001 ile aralarında
asaldır.
128 aranan sayıdır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-11 AĢağıdaki sayılardan hangisi 72 sayısı ile
aralarında asaldır?
A)24 B)36 C)50 D)75 E)125
DNA-12 1 n 100 koĢulunu sağlayan doğal
sayılardan;
Kaç tanesi 15 sayısı ile aralarında
asaldır?
A)20 B)33 C)47 D)53 E)67
ÇÖZÜM
Verilen doğal sayılardan,
15 ile aralarında asal olanlar;
15 = 3.5 olduğundan (bölenleri 3 ve 5)
3 ve 5 sayılarından herhangi birine
bölünmemelidir. (1 den baĢka ortak
bölenleri olamaz)
Bu sayıları bulmak için biz önce 3’e ve 5’e
bölünebilenlerin sayısını bulmalıyız.
Verilen 100 doğal sayı içinde,
3’e bölünebilen sayıların adedi;
ARALARINDA ASAL SAYILAR
99
100’ün, 3’e bölümünden bulunacak bölüm
kadardır.
100 = 3.33+1 den 33 tanesi 3 ile,
Benzer Ģekilde; 5 sayısı için
100 = 5.20 den 20 tanesi 5 ile,
3 ve 5 ile bölünebilen sayılar 15 ile de
bölünebileceğinden;
100 = 15.6+10 dan 6 tanesi 3 ve 5 ile
bölünebilir.
Kümelerin eleman sayıları için;
s(A∪B)=s(A)+s(B)-s(A∩B) olduğundan
3 veya 5 ile bölünebilen sayılar;
33+20-6 = 47 tanedir.
Ne 3’e ne de 5’e bölünemeyen, 15 sayısı
ile aralarında asal olan sayılar da;
100-47 = 53 tanedir.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-12 1 n 100 koĢulunu sağlayan doğal
sayılardan;
Kaç tanesi 6 sayısı ile aralarında asaldır?
A)16 B)28 C)33 D)42 E)50
DNA-13 a ve b asal sayılar, b ve c sayıları da
aralarında asal sayılardır.
c=4a ise a+b+c toplamının en küçük
değeri kaçtır?
A)9 B)10 C)11 D)12 E)13
ÇÖZÜM
a+b+c toplamının küçük olması için
sayılar küçük seçilmelidir.
En küçük asal sayı 2 olduğundan
a=2 seçildiğinde
c=4a
c=4.2=8 olur.
b=3 alındığında, kendisi asal olup,
c=8 sayısı ile de aralarında asaldır.
a+b+c=2+3+8=13 toplamın en küçük
değeridir.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-13 a, b, c ardıĢık üç asal sayıdır.
a+b+c toplamı en az kaçtır?
A)6 B)8 C)10 D)12 E)19
100
KONU TESTĠ
1. Sıfırdan farklı bir doğal sayının 13
katı ile 17 katı toplanıyor.
Bu toplamın en az kaç farklı asal
çarpanı vardır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
2. AĢağıdaki sayılardan hangisi 12 sayısı
ile aralarında asaldır?
A)8 B)9 C)10 D)11 E)14
3. 1≤ n ≤ 100 koĢulunu sağlayan doğal
sayılardan;
Kaç tanesi 8 sayısı ile aralarında
asaldır?
A)12 B)38 C)50 D)62 E)88
4. Rakamlarının karelerinin toplamı 1
olan sayılara Mutlu sayılar denir.
Örneğin; 13 sayısı için,
12+32=10 12+02=1
AĢağıdakilerden hangisi Mutlu
sayıdır?
A)21 B)23 C)102 D)201 E)202
5. 504 sayısının kaç tane farklı asal sayı
çarpanı vardır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)7
6. 100 den küçük ve 100 ile aralarında
asal kaç tane doğal sayı vardır?
A) 32 B) 36 C) 40 D) 45 E) 49
7. 60 ile 70 arasındaki dokuz
tamsayıdan kaç tanesi 12 sayısı ile
aralarında asaldır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
8. x ve y doğal sayıları için;
x2-y2=13 ise,
x+y toplamı kaçtır?
A)12 B)13 C)14 D)26 E)28
9. x ve y pozitif tamsayıları için;
x.y =13 ise, x+y toplamı kaçtır?
A)13 B)14 C)16 D)20 E)26
101
10. x asal sayısı için 17x+1 ifadesi
tam kare ise,
x kaçtır?
A) 15 B) 17 C) 19 D) 23 E) 29
11. 87!+88! Sayısının en büyük asal
sayı böleni kaçtır?
A)87 B)88 C)89 D)90 E)91
12. Aralarında asal üç sayının çarpımı
720 dir.
Bu üç sayının toplamının en küçük
değeri kaçtır?
A)22 B)27 C)30 D)45 E)62
13. 7, 5 ve 3 sayıları,
a.b+c=22 eĢitliğinde yerlerine
yazıldığında, a,b,c sıralaması için
aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)7,5,3 B)7,3,5 C)3,5,7
D)3,7,5 E)5,7,3
14. 1 ve 0 rakamlarını kullanarak
yazılabilecek asal sayının rakamları
toplamı kaçtır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
15. a,b ve c farklı rakamlar, ab ve bc
aralarında asal iki basamaklı
sayılardır.
ab+bc toplamının en küçük değeri
için;
ab-bc farkı kaçtır?
A)7 B)8 C)9 D)10 E)11
16. 18, 45, 79, 90, 97
Sayılarından kaç tanesi asal sayıdır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.C
7.B 8.B 9.B 10.B 11.C 12.B
13.C 14.B 15.B 16.B
102
DOĞAL SAYI BÖLENLERĠ
Bu bölümde; bir doğal sayıyı asal
çarpanlara ayırmanın bize sağladığı
baĢka kolaylıkları inceleyeceğiz.
Örneğin;
N = 120 doğal sayısının kaç tane doğal
sayı böleni vardır?sorusunu çözmek için;
1,2,3,4,5,6, ….., 120 diyerek tüm
bölenlerini bulmak oldukça zamanımızı
alacaktır.
HAZĠNE-1
N = ap.bq.cr… sayısının,
(p+1)(q+1)(r+1)… tane doğal sayı böleni
vardır.
IġIK-1
Doğal sayı bölenlerinin toplamsal tersleri
de N sayısının bir böleni olacağından;
N’in tam sayı bölenlerinin sayısı, doğal
sayı bölenlerinin iki katı kadardır.
DNA-1
120 sayısının kaç tane doğal sayı böleni
vardır?
A)12 B)13 C)14 D)15 E)16
ÇÖZÜM
N = 120 = 23.3.5 olarak yazıldığında;
kural gereği
(3+1)(1+1)(1+1)=4.2.2=16 tane Doğal sayı
böleni vardır.
Ġlk soru olduğu için bir kez bu bölenleri
tek tek yazalım ve biraz da irdeleyelim.
Bölenler;
1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,12
0 olmak üzere 16 tanedir.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-1 72 sayısının kaç tane doğal sayı böleni
vardır?
A)3 B)4 C)6 D)7 E)12
DNA-2
A=150.60.90 sayısının kaç tane doğal
sayı böleni vardır?
A)64 B)80 C)100 D)125 E)150
ÇÖZÜM
A=150.60.90=(2.3.52)(22.3.5)(2.32.5)
=21+2+1.31+1+2.52+1+1=24.34.54
ġeklinde asal çarpanlara ayrıldığında;
(4+1)(4+1)(4+1)=5.5.5=125 tane doğal
sayı böleni vardır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-2 N=122 sayısının kaç tane doğal sayı
böleni vardır?
A)3 B)4 C)6 D)13 E)15
DNA-3
1001 ile aralarında asal abc üç basamaklı
sayısının 12 tane pozitif tamsayı böleni
varsa abcabc altı basamaklı sayısının kaç
tane pozitif tam sayı böleni vardır?
A)24 B)36 C)48 D)72 E)96
103
ÇÖZÜM
abcabc sayısını çözümleyelim.
abcabc =
= 100000a+10000b+1000c+100a+10b+c
= 100100a+10010b+1001c
= 1001(100a+10b+c)
= 1001.abc = 7.11.13.abc
abc sayısının 12 tane pozitif tam sayı
böleni olduğundan, asal çarpanlarının
üslerinin birer fazlasının çarpımı 12 dir.
abcabc = 7.11.13.abc sayısının, pozitif
tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için;
tüm asal çarpanlarının üslerinin birer
fazlası çarpılacağından
(1+1)(1+1)(1+1).12 = 96 tane pozitif tam
sayı böleni vardır.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-3 1200…0 sayısının 96 tane doğal sayı
böleni olduğu bilindiğine göre;
verilen sayının sondan kaç basamağı
O dır?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
DNA-4
1 800 sayısının doğal sayı bölenlerinden
kaç tanesi 10 un katıdır?
A)12 B)14 C)16 D)18 E)20
ÇÖZÜM
1800 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
1800 = 23.32.52 olur.
Bölenlerinin 10 un katı olması için;
A=10.B=(2.5).B Ģeklinde yazılabilmelidir.
Bu yüzden;
1800 = 23.32.52 = 2.5.(22.32.5)
yazdığımızda; 10 çarpanı dıĢında
22.32.5 in (2+1)(2+1)(1+1) =3.3.2= 18
tane doğal sayı böleni vardır.
Bu 18 tane bölen 10 ile çarpıldığında;
1800 ün 10 un katı olan 18 tane böleni
bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-4
120 sayısının doğal sayı bölenlerinden
kaç tanesi tek sayıdır?
A)4 B)6 C)12 D)18 E)24
DNA-5
7! Sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç
tanesi tek sayıdır?
A) 4 B) 6 C) 19 D) 12 E) 24
ÇÖZÜM
7! =1.2.3.4.5.6.7 = 2.3.22.5.2.3.7
=24.32.5.7
Tek sayıların içinde 2 çarpanı
olmayacağından;
7! = 24(32.5.7) ifadesinde parantez
içindeki sayının doğal sayı bölenleri
tektir.
(2+1)(1+1)(1+1)=3.2.2=12 tane tek doğal
sayı böleni vardır.
Doğru Seçenek D dir.
104
GENETĠK KOPYA-5
10! Sayısının kaç tane tamsayı böleni
vardır?
A)128 B)256 C)270
D)512 E)540
DNA-6
N2=3602 sayısının doğal sayı
bölenlerinden kaç tanesi N sayısından
küçüktür?
A)24 B)48 C)52 D)96 E)105
ÇÖZÜM
N2=(23.32.5)2=26.34.52 olduğundan;
N2 sayısının (6+1)(4+1)(2+1)=7.5.3=105
tane doğal sayı böleni vardır.
Bu 105 tane bölenden biri N olduğundan
geriye kalan 105-1=104 tane böleninden
Yarısı N den küçük, yarısı N den
büyüktür.
6+1 4+1 2+1 −1
2=
7.5.3−1
2=
105−1
2=
104
2= 52
tanedir.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-6
A=250 doğal sayısının karesinin doğal
sayı bölenlerinden kaç tanesi A dan
büyüktür?
A)6 B)7 C)8 D)10 E)12
DNA-7
Kendisinden farklı pozitif çarpanlarının
toplamı, kendisine eĢit olan pozitif tam
sayıya mükemmel sayı denir.
6 , 28 , 496 ,… gibi.
6 nın bölenleri ; 1,2,3,6 1+2+3=6
28 in bölenleri ; 1,2,4,7,14,28
1+2+4+7+14=28
2n-1 asal ise 2n-1(2n-1) mükemmel
sayıdır.
AĢağıdaki sayılardan hangisi hem
mükemmel sayı, hem de üçgen sayıdır?
A)7 B)21 C)28 D)36 E)45
ÇÖZÜM
28 in bölenleri ; 1,2,4,7,14,28
1+2+4+7+14=28 Mükemmel sayı.
1+2+3+4+5+6+7=28 Üçgen sayı.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-7
Kendisinden farklı pozitif çarpanlarının
toplamı, kendisinden büyük olan pozitif
tam sayıya güçlü sayı denir.
12, 30 , 36 , … gibi.
12 nin bölenleri ; 1,2,3,4,6,12
1+2+3+4+6=16 > 12
30 un bölenleri; 1,2,3,5,6,10,15,30
1+2+3+5+6+10+15=42 > 30
En küçük tek abundant sayı 945 tir.
AĢağıdaki sayılardan hangisi güçlü sayı
değildir?
A)12 B)15 C)18 D)20 E)24
105
DNA-8
Kendisinden farklı pozitif çarpanlarının
toplamı, kendisinden küçük olan pozitif
tam sayıya güçsüz sayı denir.
8, 15, 35, … gibi.
8 in bölenleri ; 1,2,4,8 1+2+4=7 < 8
15 in bölenleri;1,3,5,15 1+3+5=9 < 15
AĢağıdaki sayılardan hangisi güçsüz sayı
değildir?
A)4 B)5 C)6 D)8 E)16
ÇÖZÜM
4 ün bölenleri: 1,2,4
1+2=3 < 4
5 in bölenleri: 1,5
1 < 5
6 nın bölenleri ; 1,2,3,6
1+2+3=6 Mükemmel sayı.
8 in bölenleri: 1,2,4,8
1+2+4=7 < 8
16 nın bölenleri: 1,2,4,8,16
1+2+4+8=15 < 16
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-8
Kendisinden küçük tüm doğal sayılar
içinde en çok doğal sayı böleni olan
sayılara çok bölenli sayı denir.
6, 12, 24, …. gibi.
AĢağıdaki sayılardan hangisi güçsüz sayı
değildir?
A)4 B)6 C)12 D)16 E)24
Yukarıda, bölenlerinin sayısı ve toplamı
ile doğal sayılar arasında yapılan
tanımlar, ders kitaplarında olmadığı
halde geçmiĢ yıllarda ÖSS sorusu olarak
sorulmuĢtur.
Bu yüzden, konunun ayrıntılarına
değinmiĢ olduk.
DNA-9
360 sayısının pozitif tamsayı
bölenlerinden kaç tanesi tam karedir?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
ÇÖZÜM
360=23.32.5
olarak asal çarpanlarına ayrıldığında;
22=4, 32=9 ve (2.3)2=62=36
0lmak üzere 3 tane tam kare böleni var.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-9
x Z+ için x3 sayısı 40 000 in bir
bölenidir.
x in en büyük değeri kaçtır?
A)10 B)12 C)15 D)20 E)25
DNA-9
Kenar uzunlukları tamsayı ve alanı 180
cm2 olan kaç farklı dikdörtgen vardır?
A)6 B)8 C)9 D)12 D)18
106
ÇÖZÜM
Kenar uzunlukları a ve b olan
dikdörtgenin alanı a.b dir.
a.b=180
eĢitliğinde a ve b sayıları, 180 in
bölenleridir.
180=22.32.5 olduğundan,
(2+1)(2+1)(1+1)=3.3.2=18 tane
(a,b) pozitif tamsayı ikilisi yazılabilir.
Kenar uzunlukları (a,b) ve (b,a) olan
dikdörtgenler aynı sayılacağından:
18:2=9 farklı dikdörtgen vardır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-9
1 ile 1 000 arasında en çok doğal sayı
böleni olan sayı aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)720 B)750 C)840 D)864 E)960
DNA-10
72 sayısının tam sayı bölenlerinin toplamı
kaçtır?
A)0 B)60 C)72 D)123 E)132
ÇÖZÜM
72=23.32 olduğundan,
72 sayısının 4.3=12 tane doğal sayı
böleni ve bu bölenlerin negatif olanları
ile birlikte 12+12=24 tane tamsayı
böleni vardır.
(-72)+(-36)+(-24)+ … +24+36+72=0 dır.
Bir doğal sayının tüm tamsayı
bölenlerinin toplamı 0 dır.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-10
28 sayısının, asal sayı bölenleri dıĢında
tam sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?
A)-28 B)-9 C)O D)9 E)19
HAZĠNE-2
N = ap.bq.cr… sayısının doğal sayı
bölenlerinin toplamı;
(1+a+a2+…+ap)(1+b+b2+…+bq)(1+c+c2+…+cr)..
= . . … dir.
DNA-11
144 sayısının doğal sayı bölenlerinin
toplamı kaçtır?
A)0 B)144 C)223 D)288 E)367
ÇÖZÜM
144 sayısını asal çarpanlara ayıralım.
144=122=(22.3)2=24.32
5.4=20 tane doğal sayı böleni var.
Bu bölenlerin toplamı;
(1+2+22+23+24)(1+3+32)=31.13=223
Veya doğrudan;
24+1−1
2−1.32+1−1
3−1=
32−1
1.
27−1
2= 31.13 = 223
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-11
625 sayısının doğal sayı bölenlerinin
toplamı kaçtır?
A)125 B)156 C)225
D)250 E)624
1
11
a
a p
1
11
b
bq
1
11
c
c r
107
HAZĠNE-3
N = ap.bq.cr… sayısı kendisinden küçük
ap.bq.cr…(1- )(1- )(1- )… tane sayı ile
aralarında asaldır.
DNA-12
20 sayısı kendisinden küçük kaç tane
doğal sayı ile aralarında asaldır?
A)2 B)3 C)4 D)6 E)8
ÇÖZÜM
20 = 4.5=22.5 olduğundan;
22 . 5 1−1
2 1−
1
5 = 22 . 5.
1
2.
4
5= 8
tane sayı ile aralarında asaldır.
YADA !!!
Ne 2 ne de 5 ile bölünmemelidir.
20:2=10 tanesi 2 ile,
20:5=4 tanesi 5 ile,
20:10=2 tanesi de hem 2, hem de 5 ile
bölünebilmektedir.
10+4-2=12 tanesi 2 veya 5 ile
bölünebildiğinden;
20-12=8 tanesi 20 sayısı ile aralarında
asaldır.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-12
72 sayısı kendisinden küçük kaç tane
doğal sayı ile aralarında asaldır?
A)12 B)18 C)24 D)30 E)36
HAZĠNE-4
N = ap.bq.cr… sayısının doğal sayı
bölenlerinin çarpımı;
dir.
DNA-13
A=25.52 ve A sayısının bütün doğal sayı
bölenlerinin çarpımı B ise Ax=B eĢitliğini
sağlayan x sayısı kaçtır?
A)3 B)4 C)6 D)9 E)12
ÇÖZÜM
A’nın doğal sayı bölenlerinin çarpımını
B = = 8006.3 = 80018
= 8009 olarak buluruz.
Ax=8009
x =9 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-13
512 sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin
çarpımı kaçtır?
A)252 B)245 C)243 D)242 E)236
DNA-14
Kenar uzunlukları tamsayı ve alanı sayıca
çevresine eĢit olan dikdörtgenlerden
alanı en büyük olan kaç birim karedir?
A)9 B)12 C)16 D)18 E)24
ÇÖZÜM
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını a ve b
ile gösterelim.
Alan = a.b
Çevre = 2(a+b)
a.b = 2(a+b) verilmiĢ.
a.b = 2a+2b
a.b-2b=2a
b(a-2)=2a
b = 2𝑎
𝑎−2=
2 𝑎−2 +4
𝑎−2= 2 +
4
𝑎−2
a
1
b
1
c
1
)...1)(1)(1( rqpN
)12)(15(800
108
a ve b, kenar uzunluğu gösterdiği için
pozitif tam sayı olmalıdır.
b nin pozitif tam sayı olması için,
a-2 nin 4’ün böleni olması gerekir.
4’ün bölenleri; -4, -2, -1, 1, 2, 4
a-2=-4 için; a=-2 olamaz.
a-2=-2 için; a=0 olamaz.
a-2=-1 için; a=1, b=-2 olamaz.
a-2=1 için; a=3, b=6 ve a.b=18
a-2=2 için; a=4, b=4 ve a.b=16
a-2=4 için; a=6, b=3 ve a.b=18
alanın en büyük değeri; kenarlardan biri
3 birim, diğeri 6 birim olduğunda 18
birim kare olarak bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-14
a ve b pozitif tam sayılar ve
a+ 𝟔
𝒃 = 10
olduğuna göre, a’nın alabileceği değerler
toplamı kaçtır?
A)12 B)14 C)16 D)24 E)28
DNA-15
12
100
n ifadesinin en küçük doğal sayı
değeri için n doğal sayısı kaç olmalıdır?
A)1 B)3 C)13 D)20 E)25
ÇÖZÜM
12
100
n ifadesinin bir doğal sayı olması
için, 2n-1 in bölen olması gerekir.
100 ün bölenleri:1,2,4,5,10,20,25,50 ve
100 dür.
En küçük doğal sayı olması için de
paydanın büyük olması gerekir.
100 ve 50 için, n doğal sayı değildir.
2n-1=25 n=13 olmalıdır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-15 𝟔
𝐧+𝟏 ifadesini tamsayı yapan kaç tane n
tamsayısı vardır?
A)4 B)6 C)8 D)10 E)12
DNA-16 180.x = y3 eĢitliğini sağlayan
en küçük pozitif y sayısı kaçtır?
A)30 B)90 C)150 D)270 D)300
ÇÖZÜM
180 sayısını asal çarpanlara ayıralım.
180 = 22.32.5 olur.
x = 2a.3b.5c alınırsa;
180.x = (22.32.5)(2a.3b.5c)
=2a+2.3b+2.5c+1 = y3 olacağından
a+2, b+2, c+1 sayıları
3 ün katı olmalıdır.
a =1 , b =1 , c =2 için:
x = 2.3.52 = 150 ve
y = 2.3.5 = 30 bulunur.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-16
1260.x = N3 eĢitliğinde
x ve N pozitif tamsayılardır.
En küçük x sayısı kaçtır?
A) 210 B) 420 C) 630
D) 2450 E) 7350
109
DNA-17 x, y, A, B pozitif tam sayıları için;
90.x = A2 ve 90.y = B3 ise
x+y toplamının en küçük değeri kaçtır?
A)300 B)310 C)320 D)360 E)400
ÇÖZÜM
90=2.32.5
2.32.5.x=A2
x=2.5=10 olmalıdır.
2.32.5.y=B3
y=22.3.52=300 olmalıdır.
x+y=10+300=310 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-17 n,x,y pozitif tam sayıları için;
14.n = x2 ve 21.n = y3 ise
n’in en küçük değeri kaçtır?
A)2.3.7 B)22.33.55 C)23.32.7
D)23.32.7 E)23.32.75
DNA-18
m ve n sayma sayıları olmak üzere;
n! + 1 = m2
eĢitliğini sağlayan en küçük
m+n toplamı kaçtır?
A)7 B)9 C)11 D)15 E)16
ÇÖZÜM
n = 1,2,3,4, … değerleri eĢitlikte
kullanıldığında,
n=4 için m=5
n=5 için m=11 ve
n=7 için m=71 bulunur.
m+n=5+4=9 toplamın en küçük değeridir.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-18 a.10.12.15 çarpımı bir doğal sayının
kübüdür.
a sayısının en küçük pozitif tamsayı
değeri kaçtır?
A)8 B)12 C)15 D)18 E)24
110
KONU TESTĠ
1. a, b ve c pozitif tamsayılar,
a2+b2=c2 ise,
(a,b ve c Pisagor Sayıları iken)
AĢağıdaki sayılardan hangisi
(c-b)(c+b) çarpımının pozitif tamsayı
bölenlerinin sayısı olamaz?
A)9 B)17 C)25 D)36 E)45
2. 2006 sayısının n sayısına
bölümünden kalan 6 dır.
KoĢulu sağlayan kaç tane n pozitif
tamsayısı vardır?
A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 20
3. Ġlk beĢ asal sayının toplamı kaçtır?
A)26 B)27 C)28 D)29 E)30
4. 9! Sayısının kaç tane pozitif tamsayı
böleni vardır?
A)16 B)80 C)160 D)240 E)512
5. Sekizer tane pozitif tamsayı böleni
olan üç farklı doğal sayının toplamı en
az kaçtır?
A)72 B)94 C)118 D)124 E)136
6. 12 tane pozitif tamsayı böleni olan en
büyük iki basamaklı pozitif tamsayı
kaçtır?
A) 84 B) 90 C) 92
D) 96 E) 99
7. Ġki basamaklı tam kare sayılardan
hangisinin 9 tane doğal sayı böleni
vardır?
A)25 B)36 C)49 D)64 E)81
8. Dört tane doğal sayı böleni olan en
küçük doğal sayı A , altı tane doğal
sayı böleni olan en küçük doğal sayı B
ise A+B toplamı kaçtır?
A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24
9. A=6x.2x-2 doğal sayısının 40 tane
tamsayı böleni olduğuna göre,
A kaçtır?
A)108 B)144 C)208
D)216 E)432
10. x.y=840
eĢitliğini gerçekleyen kaç tane (x,y)
pozitif tamsayı ikilisi yazılabilir?
A)16 B)32 C)48 D)64 E)96
111
11. m ve n pozitif tamsayılar olmak
üzere,
60.m=n3 eĢitliğini gerçekleyen m’nin
en küçük değeri kaçtır?
A)45 B)50 C)90 D)225 E)450
12. AĢağıdaki sayılardan hangisinin
kendisinden farklı pozitif tamsayı
çarpanlarının toplamı, kendisinden
küçüktür?
A)12 B)30 C)36 D)45 E)60
13. x ve y pozitif tamsayılardır.
𝑦 =4𝑥+3
𝑥 eĢitliğini sağlayan
y değerlerinin toplamı kaçtır?
A)5 B)7 C)12 D)17 E)19
14. 504 sayısının asal çarpanlara
ayrılmıĢ biçimi aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)2.3.7 B)22.33 C)22.32.7
D)22.33.7 E)23.32.7
15. 10 ile bölünemeyen a ve b pozitif
tam sayıları için
a.b = 10 000 ise a+b toplamı
kaçtır?
A)520 B)641 C)1258
D)2504 E)5002
16. m ve n pozitif tamsayılar olmak
üzere; m2+49 = n2 dir.
n-m kaç farklı değer alabilir?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)7
1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D
7.B 8.D 9.E 10.B 11.E
12.D 13.C 14.E 15.B 16.A
112
ORTAK BÖLENLERĠN EN BÜYÜĞÜ:
Ġki yada daha fazla sayma sayısının her
birini tam bölen en büyük sayma sayısına
En Büyük Ortak Bölen denir. (O.B.E.B)
HAZĠNE-1
Verilen sayılar asal çarpanlarına
ayrıldığında;
asal çarpanlarından ortak olanlarının en
küçük üslülerinin çarpımı, sayıların
O.B.E.B’ini verir.
DNA-1
168 ve 180 sayılarının ortak
bölenlerinden en büyüğü kaçtır?
A)2 B)3 C)6 D)12 E)18
ÇÖZÜM
Öncelikle verilen sayıları asal
çarpanlarına ayırmak gerekir.
168=23.3.7
180=22.32.5
Ortak asal çarpanları; 2 ve 3’tür.
23 ve 22 den küçük olanı 22,
3 ve 32 den küçük olanı 3’tür.
168 ve 180 sayılarının ortak
bölenlerinden en büyüğü; 22.3=12 dir.
O.B.E.B(168, 180)=22.3=12 dir.
Doğru Seçenek D dir.
UYARI
168 = 12.14
180 = 12.15
12 Sayısı, 168 ve 180 sayılarını
bölen ortak bölenlerin en büyüğüdür.
180-168 = 12
Sayılarınfarkı, ortak bölene tam
olarak bölünür.
Bölümler: 14 ve 15 aralarında
asaldır.
GENETĠK KOPYA-1
504 ve 540 sayılarının ortak
bölenlerinden en büyüğü kaçtır?
A)4 B)9 C) 12 D)24 E)36
ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ:
Ġki yada daha fazla sayma sayısının
hepsinin katı olan en küçük sayma
sayısına En küçük ortak kat denir.
(O.K.E.K)
HAZĠNE-2
Verilen sayılar asal çarpanlarına
ayrıldığında;
asal çarpanlarından ortak olanlarının en
büyük üslüleri ile ortak olmayanlarının
tümünün çarpımı, sayıların O.K.E.K’ini
verir.
DNA-2
12, 18 ve 30 sayılarının ortak katlarından
en küçüğü kaçtır?
A)60 B)90 C)120 D)180 E)240
113
ÇÖZÜM
Öncelikle verilen sayıları asal
çarpanlarına ayırmak gerekir.
12=22.3
18=2.32
30=2.3.5
Ortak asal çarpanlar; 2 ve 3’tür.
22 ve 2 den büyük olanı 22,
3 ve 32 den büyük olanı 32 dir.
Ortak olmayan çarpan; 5
12, 18 ve 30 sayılarının ortak katlarından
en küçüğü; 22.32.5=180 dir.
O.K.E.K(12, 18, 30)=180
Doğru Seçenek D dir.
UYARI
180 = 12.15
180 = 18.10
180 = 30.6
180 sayısı, 12, 18 ve 30
sayılarınınkatı olan en küçük sayıdır.
Bölümler: 15, 10 ve 6 sayıları
aralarında asaldır.
GENETĠK KOPYA-2
168 ve 180 sayılarının ortak katlarından
en küçüğü kaçtır?
A)12 B)360 C)1440
D)2520 E)2800
IġIK-1
A ve B gibi iki sayının çarpımı bu
sayıların OBEB ve OKEK lerinin
çarpımına eĢittir.
DNA-3
a ve b sayıları için;
OKEK(a,b) =108 ve OBEB(a,b) =3 ise
a.b çarpımı kaçtır?
A)108 B)111 C)216 D)324 E)972
ÇÖZÜM
Sayıların çarpımı, OBEB ve OKEK lerinin
çarpımına eĢit olduğundan;
a.b = OBEB(a, b).OKEK(a, b)
a.b = 3.108 = 324 bulunur. Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-3
OBEB(6,21)=A ve OKEK(6,21)=B ise,
A.B çarpımı kaçtır?
A)36 B)42 C)84 D)126 E)252
IġIK-2
Aralarında asal sayıların OKEK’i bu
sayıların çarpımı , OBEB’i ise 1 dir.
DNA-4
24 ve 25 sayılarının ortak bölenlerinin
en büyüğü ile ortak katlarının en
küçüğünün toplamı kaçtır?
A)49 B)491 C)600
D)601 E)720
ÇÖZÜM
24 ve 25 sayıları 1 den baĢka ortak
bölenleri olmadığından aralarında
asaldır.(ardıĢık doğal sayılar aralarında
asaldır)
114
OBEB(24,25)=1
OKEK(24,25)=24.25=600
OBEB(24,25)+OKEK(24,25)=1+600=601
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-4
8 ve 21 sayılarının ortak bölenlerinin en
büyüğü ile ortak katlarının en küçüğünün
toplamı kaçtır?
A)168 B)169 C)216 D)217 E)321
DNA-5
5 ile x aralarında asal sayılar,
OKEK(5x, 5+x) = 520 ise
x in değeri aĢağıdakilerden hangisidir?
A)6 B)8 C)12 D)16 E)20
ÇÖZÜM
Aralarında asal sayıların, toplamları ve
çarpımları da aralarında asal olduğundan;
5x ve 5+x sayıları da aralarında
asaldır.
OKEK(5x, 5+x) = 5x.(5+x) = 520
x.(5+x) = 104
x2+5x-104=0
(x-8)(x+13)=0
x-8=0 x1 = 8
x+13=0 x2=-13
-13 doğal sayı olmadığından;
x=8 olur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-5
A sayma sayısıdır.
OKEK(A, A+1)+A = 48 ise A kaçtır?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
IġIK-3
Hem A ve hem de B gibi iki doğal sayıya
da bölünebilen sayılar , bunların OKEK’i
ile bölünebilen sayılardır.
DNA-6
x sayısı 30, 45, 75 sayılarını tam
bölüyor,
12, 18, 24 sayıları da y doğal sayısını
tam bölüyor.
x’in en büyük değeri ile,
y’nin en küçük değerinin toplamı kaçtır?
A)72 B)87 C)102 D)117 E)132
ÇÖZÜM
3O, 45 ve 75 sayılarını tam bölen en
büyük sayı, bunların OBEB’idir.
30=22.3.5
45=32.5
75=3.52 olduğundan;
x = OBEB(30, 45, 75) = 3.5=15
y doğal sayısı, 12, 18 ve 24 sayılarına
bölünebilen en küçük sayı ise bunların
OKEK’idir.
12=22.3
18=2.32
24=23.3
y=OKEK(12,18,24)=23.32=72
x+y = 15+72 = 87 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-6
A sayma sayısı 12 , 18 , 30 sayılarına tam
bölünmekte , B doğal sayısı bu sayıları
tam bölmektedir.
nin en küçük değeri kaçtır?
A)12 B)15 C)24 D)30 E)36
B
A
115
DNA-7
Boyutları 8 ve 12 metre olan dikdörtgen
halılar ile kare Ģeklinde bir alan
kaplanacaktır.
En az kaç halı gerekir?
A)4 B)6 C)8 D)9 E)12
ÇÖZÜM
Kare Ģeklindeki alanın kenar uzunlukları
8 ve 12 nin katı olmalıdır.
8=23
12=22.3 olduğundan
OKEK(8,12)=23.3=8.3=24 bulunur.
!!! Dikdörtgenlerden kare oluşturuldu.
Karenin alanı=24.24=576
Bir halının alanı=8.12=96
Halı sayısı=𝐾𝑎𝑟𝑒𝑛𝑖𝑛 𝑎𝑙𝑎𝑛 ı
𝐵𝑖𝑟 ℎ𝑎𝑙ı𝑛ı𝑛 𝑎𝑙𝑎𝑛 ı=
576
96= 6 olur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-7
15 cm. ve 20 cm. kenar uzunluğu olan
seramikler ile kare Ģeklinde bir yüzey
oluĢturulacaktır.
En az kaç seramik gerekir?
A)7 B)9 C)12 D)15 E)20
DNA-8
Boyutları 8 ve 12 metre olan dikdörtgen
Ģeklindeki bir salon kare Ģeklindeki eĢ
halılar ile kaplanacaktır.
En az kaç halı gerekir?
A)3 B)6 C)8 D)9 E)12
ÇÖZÜM
Salonun kenar uzunlukları, kare
Ģeklindeki halıların kenar uzunluklarına
bölünebilmelidir.
8=23
12=22.3 olduğundan
OBEB(8,12)=22=4 bulunur.
8:4=2 12:4=3
2.3=6 tane halı gerekir.
!!! Dikdörtgen karelere bölündü.
Salonun alanı=8.12=96 m2.
Bir halının alanı=4.4=16 m2.
Halı sayısı = 𝑆𝑎𝑙𝑜𝑛𝑢𝑛 𝑎𝑙𝑎𝑛 ı
𝐵𝑖𝑟 ℎ𝑎𝑙ı𝑛ı𝑛 𝑎𝑙𝑎𝑛 ı=
96
16= 6 olur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-8
Kenar uzunlukları 15 m. ve 20 m. olan
dikdörtgen Ģeklindeki bir bahçenin
çevresine eĢit aralıklarla ağaçlar
dikilecektir. KöĢelere de ağaçların
dikildiği bu ağaçlandırmada en az kaç
ağaç dikilebilir?
A)7 B)12 C)14 D)16 E)20
116
DNA-9
91 ve 126 cm. uzunluğundaki iki ayrı
demir çubuk eĢit uzunlukta parçalara
ayrılacaktır.
Çubuklar ayrı ayrı en az kaç yerden
kesilmelidir?
A)28 B)29 C)30 D)31 E)32
ÇÖZÜM
Kesilecek parçaların uzunlukları,
91 ve 126 nın böleni olmalıdır.
91=7.13
126=7.18
OBEB(91,126)=7
Kesilecek parçaların uzunlukları 7 Ģer
cm. olmalıdır.
91 cm. uzunluğundaki demir çubuk
91=7.13 olduğundan 12 yerden,
126 cm. uzunluğundakidemir çubuk
126=7.18 olduğundan 17 yerden
kesilmelidir.
12+17=29 kesim yapılacak ve 31 parça
oluĢacaktır.
Doğru Seçenek B dir.
UYARI
Ağaç dikme sorularında;
15 m.uzunluğundaki bir yola,
5 m. aralıklarla 4 ağaç dikileceği
(15=5.3
bölüm=3
ağaç sayısı=3+1=4)
Parça kesme sorularında;
15 cm.lik çubuğu, 5 cm.lik parçalara
ayırmak için, 2 yerden kesim yapılacağı
(15=5.3
Bölüm=3
Kesim sayısı=3-1=2)
Gözardı edilmemelidir.
GENETĠK KOPYA-9
Ġzmirden Ankaraya 9 ve 12 saatte bir
otobüs gönderen iki Ģirket aynı saatte
ilk otobüslerini gönderiyor. Ġkinci kez
birlikte aynı saatte otobüs
gönderdiklerinde toplam kaç sefer
yapılmıĢ olur?
A)5 B)7 C)8 D)9 E)12
DNA-10
1040 ve 2030 sayılarının kaç tane pozitif
tam sayı ortak böleni vardır?
A)1271 B)1800 C)2000
D)2501 D)2701
ÇÖZÜM
Ortak bölenlerin sayısı, ortak
bölenlerinden en büyüğünün pozitif ortak
bölenlerinin sayısı kadardır.
1040=(2.5)40=240.540
2030=(22.5)30=260.530
OBEB(1040,2030)=240.530
(40+1)(30+1)=41.31=1271
Tane pozitif ortak böleni vardır.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-10
24 ve 30 sayılarının kaçtane ortak
pozitif tamsayı böleni vardır?
A)2 B)3 C)4 D)6 E)8
117
DNA-11
5, 7 ve 9’a bölündüğünde sırasıyla 1, 3 ve
5 kalanını veren en küçük pozitif tamsayı
kaçtır?
A)311 B)315 C)319 D)323 E)327
ÇÖZÜM
5’e bölündüğünde 1 kalanını veren sayı;
A=5x+1 Bölüm özdeĢliği
7’ye bölündüğünde 3 kalanını veren sayı;
A=7y+3
9’a bölündüğünde 5 kalanını veren sayı;
A=9z+5 biçiminde yazılabilir.
EĢitliklerin her iki tarafına
4 eklendiğinde;
A+4=5x+5=5(x+1)
A+4=7y+7=7(y+1)
A+4=9z+9=9(z+1) elde edilir.
Bu eĢitlikler bize A+4 sayısının 5,7 ve 9’a
bölünebildiğini gösterir.
A+4 sayısı, 5,7 ve 9’un OKEK’idir.
(veya OKEK’in bir katıdır)
OKEK(5,7,9)=315
A+4=315
A=311 bulunur.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-11
Bir sınıftaki öğrenciler dörderli, beĢerli
ve altıĢarlı sıralandıklarında sırasıyla 3,
4 ve 5 öğrenci artmaktadır. Bu sınıfta en
az kaç öğrenci vardır?
A) 59 B) 60 C) 61 D) 62 E) 63
DNA-12
99, 141 ve 204 sayılarını böldüğünde aynı
kalanı veren pozitif tamsayının rakamları
toplamı kaçtır?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)8
ÇÖZÜM
Ortak böleni A ile gösterdiğimizde;
99 = A.B+K Bölüm özdeĢliği
141 = A.C+K
204 = A.D+K elde edilir.
EĢitliklerini taraf tarafa çıkardığımızda;
141-99 = A(C-B) = 42 = 21.2 ve
204-141 = A(D-C) = 63 = 21.3
olduğundan A sayısı 42 ve 63 ün OBEB’i
dir.
OBEB(42,63)=21
A = 21 dir. Rakamları toplamı 3 tür.
Doğru Seçenek A dır.
UYARI
Verilen sayıların ortak böleninin,
farklarının ortak böleni olduğuna dikkat
ediniz.
GENETĠK KOPYA-12
22022 ve 20222 sayıları aynı üç
basamaklı sayıya bölündüğünde aynı
kalanı vermektedir.
En büyük bölen ile ortak kalanın farkı
kaçtır?
A)422 B)478 C)900
D)1216 E)1800
118
DNA-13
Ortak katlarının en küçüğü 60 olan farklı
iki sayının toplamı en çok A ve en az B
olduğuna göre,
A+B toplamı kaçtır?
A)60 B)90 C)107 D)120 E)132
ÇÖZÜM
OKEK(a,b)=60
a+b toplamının en büyük olması için;
a=60
b=30 olmalıdır.
A=a+b=60+30=90 olur.
Sayılardan biri OKEK, diğeri OKEK
in yarısıdır.
a+b toplamının en küçük olması için;
a=5
b=12 olmalıdır.
B=a+b=5+12=17 olur.
Çarpımları OKEK olan aralarında
asal, biri birine en yakın iki sayı.
A+B=90+17=107 olur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-13
Ortak katlarının en küçüğü 45 olan farklı
iki sayının toplamı en çok A ve en az B
olduğuna göre,
A+B toplamı kaçtır?
A)60 B)74 C)82 D)90 E)105
DNA-14
Ortak bölenlerinin en büyüğü 12 olan
farklı iki sayının toplamı en az kaçtır?
A)24 B)30 C)36 D)42 E)48
ÇÖZÜM
OBEB(a,b)=12
a+b toplamının en küçük olması için;
a=12
b=24 olmalıdır.
Sayılardan biri OBEB, diğeri OBEB
in iki katıdır.
a+b=12+24=36 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-14
Ortak bölenlerinin en büyüğü 15 olan
farklı iki sayının toplamı en az kaçtır?
A)30 B)45 C)60 D)75 E)90
DNA-15
5! ve 6! sayılarının ortak bölenlerinden
en büyüğü kaçtır?
A)5 B)6 C)5! D)6! E)7.6!
ÇÖZÜM
5!=1.2.3.4.5
6!=1.2.3.4.5.6
1.2.3.4.5 sayısı her ikisinin de bölenidir.
OBEB(5!,6!)=5! dir.
Doğru Seçenek C dir.
119
GENETĠK KOPYA-15
5! ve 6! sayılarının ortak katlarından en
küçüğü kaçtır?
A)5 B)6 C)5! D)6! E)7.6!
DNA-16
217 ve 218 sayılarının ortak katlarından
en küçüğü kaçtır?
A)2 B)18 C)217 D)218 E)3.217
ÇÖZÜM
218=2.217 olarak düĢünüldüğünde;
218 sayısı, 217 sayısının da katıdır.
OKEK(217,218)=218
(ortak asal çarpanlardan üssü büyük
olan)
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-16
217 ve 218 sayılarının ortak bölenlerden
en büyüğü kaçtır?
A)2 B)18 C)217 D)218 E)3.217
DNA-17
OBEB(x,192) =32 ve x< 192 ise x’in
alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A)160 B)192 C)224 D)256 E)288
ÇÖZÜM
192=32.6
x=32.a
6 ve a sayıları aralarında asal olmalıdır.
a=1 ve a=5 olabilir.
x=32 veya x=160
32+160=192 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-17
24 ve a sayılarının OBEB’i 6 dır.
0 < a < 50 olduğuna göre a kaç farklı
değeri alabilir?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
DNA-18
Biri diğerini bölmeyen a ve b doğal
sayıları için,
OBEB(a,b) = 12 ve OKEK(a,b) = 432
olduğuna göre a+b toplamı kaçtır?
A)108 B)124 C)148 D)156 E)164
ÇÖZÜM
a.b=OBEB(a,b).OKEK(a,b) IġIK-1
a.b=12.432=(22.3)(24.33)=26.34
a=OBEB(a,b).x=12.x=22.3.x
b=OBEB(a,b).y=12.y=22.3.y
x ve y sayıları aralarında asal. DNA-1
eĢitlikler bir arada düĢünüldüğünde;
(22.3.x)( 22.3.y)= 26.34
24.32.x.y=26.34
x.y=22.32
x=22 ve y=32 olmalıdır.
Bu durumda;
a=22.3.x=22.3.22=48
b=22.3.y=22.3.32=108
a+b=48+108=156 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
120
GENETĠK KOPYA-18
OBEB(a,b) = 6 ve OKEK(a,b) = 36
olduğuna göre,
a+b toplamının en küçük değeri kaçtır?
A)24 B)30 C)36 D)42 E)48
DNA-19
a ile b aralarında asal iki sayıdır.
OKEK(a,b)=345 ve a+ ise
b sayısı aĢağıdakilerden hangisidir?
A)5 B)15 C)23 D)36 E)69
ÇÖZÜM
a ile b aralarında asal iki sayı olduğundan
OKEK(a,b)=a.b dir. IġIK-2
345=a.b
345=1.345
345=3.115
345=5.96
345=15.23
EĢitliklerinden,
a=23 ve b=15 sayıları verilen eĢitliği
sağlar.
b=15 olmalıdır.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-19
a ve b aralarında asal iki sayma sayısı,
OBEB(a,b) = x ve OKEK(a,b) =y ise
değeri kaçtır?
A)1 B)2 C)x D)y E)x.y
DNA-20
a ve b sayıları için;
OBEB(a,b) =20 ise
OBEB(a4, b3) değeri kaçtır?
A)20 B)24.53 C)26.53
D)26.54 E)28.54
ÇÖZÜM
a=20.x=22.5.x
b=20.y=22.5.y DNA-1
a4=(22.5)4.x4=28.54.x4
b3=(22.5)3.y3=26.53.y3
x ve y aralarında asal olduğundan
HAZĠNE-1 den;
OBEB(a4, b3) = 26.53 dir.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-20
a ve b sayıları için;
OBEB(a,b) =2 ise
OBEB(a2, b3) değeri kaçtır?
A)2 B)4 C)6 D)8 E)10
DNA-21
a, b ve c sayıları için;
OBEB(a,b) = 4
OBEB(b,c) = 6 ve
OBEB(a,c) = 10 ise
a+b+c toplamı kaçtır?
A)20 B)32 C)50 D)62 E)70
ÇÖZÜM
OBEB(a,b) = 4 ise;
a=4.x ve b=4.y DNA-1
OBEB(b,c) = 6 ise;
b=6.m ve c=6.n
2760
b
?1.
yx
ba
121
OBEB(a,c) = 10 ise;
a=10.p ve c=10.k
eĢitlikler bir arada düĢünüldüğünde;
a=4.x=10.p =20 =OKEK(4,10) IġIK-3
b=4.y=6.m =12 =OKEK(4,6)
c=6.n=10.k =30 =OKEK(6,10) olur.
a+b+c=20+12+30=62 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-21
a, b ve c sayıları için;
OBEB(a,b) = 2
OBEB(b,c) = 4 ve
OBEB(a,c) = 6 ise
a+b+c toplamı kaçtır?
A)18 B)22 C)24 D)26 E)30
DNA-22
4,5,6,7 ve 8 e bölündüğünde hep
3 kalanını veren 3 ten büyük en küçük
pozitif tamsayının rakamları toplamı
kaçtır?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
ÇÖZÜM
A=4x+3
A=5y+3
A=6z+3
A=7m+3
A=8n+3 Bölüm özdeĢliği
A-3=4x
A-3=5y
A-3=6z
A-3=7m
A-3=8n
EĢitliklere dikkat edildiğinde,
A-3 sayısının 4,5,6,7 ve 8 e bölünebildiği
görülür.
Bu durumda;
A-3=OKEK(4,5,6,7,8)=840
A=843
8+4+3=15 bulunur.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-22
1000 den büyük, 8, 9 ve 10 ile
bölündüğünde 2 kalanını veren en küçük
doğal sayı kaçtır?
A)1080 B)1082 C)1172
D)1442 E)1632
DNA-23
a, b ve c pozitif tamsayılar,
c=a+b dir.
a ve b nin en büyük ortak böleni
4 olduğuna göre,
AĢağıdakilerden hangisi kesinlikle çift
sayıdır?
A) c
4 B)
a−b
4 C)
c−a
4 D)
c.b
4 E)
c+b
4
ÇÖZÜM
a=4x ve b=4y DNA-1
c=a+b=4x+4y
a, b ve c nin bu değerleri seçeneklerde
yerlerine yazıldığında; c.b
4=
4x+4y 4y
4= 4x + 4y y = 4 x + y y
Kesinlikle çift sayıdır.
Doğru Seçenek D dir.
YADA
a, b ve c yerine 8, 12 ve 20 gibi uygun
değerler verilerek seçenekler denenir.
122
GENETĠK KOPYA-23
a, b ve c pozitif tamsayılar,
a=b+c dir.
b ve c nin en büyük ortak böleni
3 olduğuna göre,
AĢağıdakilerden hangisi kesinlikle 6 ile
bölünebilir?
A)a B)b C)a+b D)a+c E)a+b+c
DNA-24
a, b ve c doğal sayılar,
a≠b≠c≠1
OKEK(a,b,c)=30 olduğuna göre,
a+b+c toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A)6 B)8 C)10 D)12 E)15
ÇÖZÜM
30=a.x
30=b.y
30=c.z DNA-2
a, b ve c nin küçük olması için,
x, y ve z nin büyük ve aralarında asal
olması gerekir.
x=15, y=10 ve z=6 için
a=2, b=3 ve c=5 bulunur.
a+b+c=2+3+5=10 olur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-24
a, b ve c doğal sayılarının ortak
katlarından en küçüğü OKEK(a,b,c)=30
olduğuna göre,
a+b+c toplamının en büyük değeri
kaçtır?
A)45 B)50 C)55 D)60 E)75
DNA-25
a ve b ardıĢık iki pozitif çift tamsayıdır.
OKEK(a,b)-OBEB(a,b)=22
olduğuna göre,
a+b toplamı kaçtır?
A)14 B)18 C)22 D)26 E)30
ÇÖZÜM
n sayma sayısı olmak üzere,
a=2n ve b=2n+2 dir.
a=2.n ve b=2(n+1)
n, n+1 ardıĢık doğal sayılar olup
aralarında asaldır.
a ve b sayılarının ortak bölenlerinden en
büyüğü 2 dir.
Ardışık çift sayıların ortak
bölenlerinden en büyüğü 2 dir.
a ve b sayılarının ortak katlarından en
küçüğü 2n(n+1) dir.
OKEK(a,b)-OBEB(a,b)=22
2n(n+1)-2=22
n(n+1)=12
n=3
a=2n=2.3=6
b=2n+2=2.3+2=8 bulunur.
a+b=6+8=14 olur.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-25
a ve b ardıĢık iki pozitif çift tamsayıdır.
OKEK(a,b)+OBEB(a,b)=22
olduğuna göre,
a+b toplamı kaçtır?
A)14 B)18 C)22 D)26 E)30
123
DNA-26
a ve b ardıĢık iki pozitif tek tamsayıdır.
OKEK(a,b)+OBEB(a,b)=64
olduğuna göre,
a+b toplamı kaçtır?
A)8 B)12 C)16 D)20 E)24
ÇÖZÜM
n, sayma sayısı olmak üzere,
a=2n-1 ve b=2n+1 dir.
Ardışık tek sayılar aralarında asal
olduğundan,
OBEB(a,b)=1 ve OKEK(a,b)=a.b dir.
OKEK(a,b)+OBEB(a,b)=64
a.b+1=64
(2n-1)(2n+1)=63
n=4 olur.
a=2n-1=2.4-1=7
b=2n+1=2.4+1=9 dur.
a+b=7+9=16 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-26
a ve b ardıĢık iki pozitif tek tamsayıdır.
OKEK(a,b)-OBEB(a,b)=98
olduğuna göre,
a+b toplamı kaçtır?
A)8 B)12 C)16 D)20 E)24
DNA-27
OKEK(63, 84, N)=126
KoĢulunu sağlayan kaç tane N pozitif
tamsayısı vardır?
A)12 B)13 C)14 D)15 E)16
ÇÖZÜM
63=(2.3)3=23.33
84=(23)4=212
126=(22.3)6=212.36
HAZĠNE-2 den;
N sayısı 36 çarpanını içermek zorundadır.
Diğer çarpan 20,21,22, ... ,212 olmak
üzere 13 farklı N sayısı vardır.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-27
OKEK(66, 88, N)=1212
KoĢulunu sağlayan kaç tane N pozitif
tamsayısı vardır?
A)12 B)13 C)16 D)24 E)25
124
KONU TESTĠ
1. 12a3b2c4 , 5abcd , 6ac6
ifadelerinin OKEK’i hangisidir?
A) ac B) ac6 C) a3b2c6d
D) 12a3b2c6d E) 60a3b2c6d
2. 24x4y ve 30x3y5 sayılarının OBEB’i
axbyc ise,
a+b+c toplamı kaçtır?
A)10 B)19 C)129 D)139 E)140
3. a, b, c, d farklı asal sayılar olmak
üzere,
a4b3c2d, a7b5c3d ve a5b4c3d2
sayılarının OKEK’inin kaç tane pozitif
tamsayı böleni vardır?
A)120 B)210 C)576
D)654 E)1080
4. 95 ve 152 sayılarının ortak
katlarından en küçüğü kaçtır?
A)304 B)760 C)1520
D)14440 E)28880
5. 72 ve 210 sayılarının ortak
bölenlerinden en büyüğü kaçtır?
A)4 B)6 C)7 D)9 E)12
6. 5!, 15! ve 25! Sayılarının ortak
bölenlerinden en büyüğü
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)5 B)5! C)15! D)25 E)25!
7. 44, 4! ve 44 sayılarının ortak
katlarından en küçüğü
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)8448 B)16896 C)33792
D)270336 E)322128
8. OBEB(1001, 2007)=X
OKEK(1001, 2007)=Y ise
X.Y çarpımı kaçtır?
A)2009007 B)2009006
C)2009005 D)2009004
E)2009008
9. 5 ile bölündüğünde 2 kalanını,
7 ile bölündüğünde 3 kalanını veren
en küçük iki pozitif tamsayının
toplamı kaçtır?
A)34 B)69 C)70 D)104 E)139
10. x ve y birbirinden farklı doğal
sayılar ve
OBEB(x, y)=21 olduğuna göre,
x+y toplamı en az kaçtır?
A)22 B)42 C)63 D)84 E)99
125
11. 3, 5 ve 6 sayılarına
bölündüğünde hep 2 kalanını veren en
küçük doğal sayının rakamları toplamı
kaçtır?
A)1 B)5 C)11 D)12 E)14
12. 85, 98 ve 123 sayılarını
böldüğünde, sırasıyla
1, 2 ve 3 kalanını veren en büyük
doğal sayı kaçtır?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 15
13. OBEB(288, 720)=A
OKEK(288, 720)=B ise,
A+B toplamı kaçtır?
A)1456 B)1520 C)1584
D)1728 E)1840
14. OBEB(3,6,8)=X
OKEK(3,6,8)=Y ise,
X.Y çarpımı kaçtır?
A)18 B)24 C)36 D)48 E)144
15. Toplamları 46 olan a ve b pozitif
tamsayılarının en küçük ortak katı
385 tir.
Buna göre 𝑎 − 𝑏 kaçtır?
A)12 B)20 C)24 D)25 E)26
16. Ortak katlarının en küçüğü 105
olan farklı iki sayının toplamı en çok
kaçtır?
A)15 B)108 C)112
D)140 E)210
1.E 2.A 3.C 4.B 5.B 6.B 7.A
8.A 9.B 10.C 11.B 12.D 13.C
14.B 15.C 16.D
126
KONU TESTĠ
1. x ve y aralarında asal doğal
sayılardır.
OBEB(x2, y3).OKEK(x2, y3)=500
olduğuna göre,
x+y toplamı kaçtır?
A)3 B)5 C)6 D)7 E)54
2. Ġki ayrı otobüs Ģirketi A ve B
kentleri arasında sefer yapmaktadır.
ġirketlerden biri 12 günde bir, diğeri
15 günde bir sefer yapmaktadır.
Bu Ģirketler aynı gün sefer yaptıktan
en az kaç gün sonra tekrar aynı gün
sefer yaparlar?
A)24 B)30 C)60 D)75 E)90
3. OKEK(X,52)=624 olduğuna göre, X’in
en küçük pozitif tamsayı değeri
kaçtır?
A)42 B)48 C)68 D)96 E)144
4. a.b=150 ve OBEB(a,b)=5 ise
OKEK(a,b) kaçtır?
A)20 B)25 C)30 D)40 E)50
5. a.b=160 ve OKEK(a,b)=40 ise
OBEB(a,b) kaçtır?
A)4 B)5 C)8 D)10 E)20
6. Ortak katlarının en küçüğü 42 olan
farklı iki sayının toplamı en az
kaçtır?
A)7 B)10 C)12 D)13 E)15
7. 34
,5
6,
7
8 sayıları ile tam bölünebilen üç
basamaklı en büyük sayı kaçtır?
A)105 B)210 C)315
D)840 E)945
8. X ve 16 sayılarının OBEB’i 16 dır.
X<100 olduğuna göre, X’in alabileceği
değerlerin toplamı kaçtır?
A)32 B)64 C)160
D)336 E)356
9. 18, 36, 54 sayılarına bölündüğünde
13 kalanını veren üç basamaklı en
küçük doğal sayı kaçtır?
A)108 B)121 C)134 D)147 E)160
10. 1059, 1417 ve 2312 sayıları
d>1 sayısına bölündüğünde aynı
r kalanını vermektedir.
d-r farkı kaçtır?
A)12 B)13 C)14 D)15 E)16
127
11. 3’e bölündüğünde 2,
8’e bölündüğünde 7 kalanını veren bir
sayı, 12’ye bölündüğünde kalan kaç
olur?
A)1 B)5 C)8 D)9 E)11
12. A,B∈Z ve A > B olduğuna göre,
aĢağıdakilerden hangisi yanlıĢtır?
A)1≤OBEB(A,B)≤A-B
B)1≤OBEB(A,B)≤B
C)A≤OKEK(A,B) ≤A.B
D)A.B=OBEB(A,B).OKEK(A,B)
E)OKEK(A,B) < OBEB(A,B)
13. 72 sayısının doğal sayı
bölenlerinin kümesi A ile
gösterildiğinde ;
m,n A için m|n (m, n’i böler)
koĢulunu sağlayan kaç tane (m,n)
ikilisi yazılabilir?
A)12 B)24 C)27 D)36 E)60
14. Hem 6 ya, hem de 8 e bölünebilen
doğal sayılar aĢağıdakilerden hangisi
ile daima bölünebilir?
A)5 B)9 C)11 D)16 E)24
15. 10 a bölündüğünde 9,
9 a bölündüğünde 8,
8 e bölündüğünde 7, ... ,
2 ye bölündüğünde 1 kalanını veren
en küçük pozitif tam sayı kaçtır?
A)2509 B)2519 C)2529
D)2539 E)2549
16. a ve b doğal sayılar,
a=2b+8 ve 𝑏
8 tamsayı ise,
OBEB(a,b) kaçtır?
A)4 B)6 C)8 D)12 E)16
1.D 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D
7.A 8.D 9.B 10.D 11.E 12.E
13.E 14.E 15.B 16.C
128
KONU TESTĠ
1. 48, 64 ve 160 sayılarının ortak
bölenlerinin en büyüğü ile ortak
katlarının en küçüğünün toplamı
kaçtır?
A)824 B)888 C)976
D)1042 E)1210
2. 2 ye, 4 e ve 5 e bölündüğünde
1 kalanını veren, 3 e tam bölünebilen
100 den küçük en büyük tamsayının
rakamları çarpımı kaçtır?
A)6 B)8 C)9 D)12 E)24
3. a ve b sayıları için:
OKEK(a,b)=4.OBEB(a,b) ve a.b=36 ise
a+b toplamı kaçtır?
A)9 B)13 C)15 D)16 E)24
4. 242 sayısı X’e bölündüğünde 8
kalanını, 698 sayısı X’e bölündüğünde
9 kalanını vermektedir.
242 ve 698 sayılarının toplamının
aynı sayıya bölümünden kalan 4 ise
ortak bölen kaçtır?
A)11 B)13 C)17 D)19 E)23
5. 22007 ve 22008 sayılarının ortak
bölenlerinden en büyüğü
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)1 B)2 C)22007
D)22008 E)24015
6. n pozitif tamsayı olmak üzere; 𝑛
12+
𝑛
18 ifadesinin alabileceği en
küçük tamsayı değeri kaçtır?
A)2 B)3 C)5 D)6 E)7
7. a ve b pozitif tamsayılarının en büyük
ortak böleni
EBOB(a,b)=1 dir.
a.b=400 olduğuna göre,
kaç farklı (a,b) sıralı ikilisi
bulunabilir?
A)2 B)3 C)4 D)6 E)8
8. 3, 7 ve 8 ile kalansızbölünebilen
2000 den küçük sayıların en
büyüğünün onlar basamağındaki
rakam kaçtır?
A)2 B)4 C)6 D)7 E)8
129
9. 100! ve 102! Sayılarının ortak
bölenlerinin en büyüğü kaçtır?
A)2 B)100 C)10200
D)100! E)102!
10. 56 ve 72 sayılarının ortak
katlarından en küçüğü kaçtır?
A)168 B)252 C)504
D)1008 E)1260
11. 6 lık, 12 lik ve 24 lük paketlerde
satılan sodalardan 90 tane almak
isteyen bir kiĢi en az kaç paket
almalıdır?
A)4 B)5 C)6 D)8 E)15
12. 12, 15 ve 21 sayılarının ortak
katlarından en küçüğü kaçtır?
A)180 B)210 C)390
D)420 E)530
13. 3700 sayısının en az kaç fazlası
4, 5 ve 6 sayıları ile kalansız
bölünebilir?
A)10 B)20 C)30 D)40 E)50
14. Kenar uzunlukları 6 cm. ve 10 cm.
olan dikdörtgenler ile bir kare
oluĢturulmak isteniyor. En az kaç dikdörtgen kullanılmalıdır?
A)10 B)12 C)15 D)16 E)20
15. 8 e bölündüğünde 2, 12 ye
bölündüğünde 6 kalanını veren iki
basamaklı en büyük doğal sayının
rakamları toplamı kaçtır?
A)8 B)9 C)10 D)12 E)15
16. OBEB(30,36)+OKEK(30,36)
Toplamının değeri kaçtır?
A)180 B)186 D)172
D)180 E)192
1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.C
7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.D
13.B 14.C 15.B 16.B
130
TANIM
m , n , p , q N için ;
(m,n) (p,q) m+q=n+p
bağıntısıyla belirli denklik sınıflarından
her birine bir tamsayı denir.
(0,0) ≈(1,1) ≈(2,2) ≈…≈(n,n) = 0
(1,0) ≈(2,1) ≈(3,2) ≈…≈ (n,n-1) = 1
(2,0) ≈(3,1) ≈…… = 2
(n,0) ≈ …… = n
(0,1) ≈ (1,2) ≈ ….. = -1
(0,2) ≈(1,3) ≈ … = -2
(0,n) ≈ ….. = -n
Z = { …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }
Z = Z-∪ {0}∪ Z+
Tamsayılar kümesi, Negatif
tamsayılar, sıfır sayısı ve Pozitif
tamsayılardan oluşur.
Tam sayılarda, dört iĢlemi yaparken
sonucun iĢaretine dikkat edilmelidir.
Birkaç örnekle hatırlayalım.
7 + 12 = 19
(-7) + (– 12) = -7-12 = -19
Pozitif tamsayıların toplamı pozitif,
Negatif tamsayıların toplamı
negatiftir.
7 + (– 12) =7-12= -5
(-7) + 12 = -7+12=5
Ters işaretli tamsayıların toplamının
işareti, mutlak değerce büyük olanın
işaretidir. ( 𝟑 = 𝟑 , −𝟑 = 𝟑 )
7.12 = 84
(-7).(-12) = 84
Aynı işaretli tamsayıların çarpımı
pozitiftir.
7.(-12) = -84
(-7).12 = -84
Ters işaretli tamsayıların çarpımı
negatiftir.
DNA-1
7-3(7-3)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-5 B)-2 C)0 D)5 E)16
ÇÖZÜM Önce parantez içindeki iĢlem yapılır.
7-3=4
7-3(7-3) = 7-3.4 = 7-12 = -5
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-1
9 – (5 – 2)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-6 B)-5 C)4 D)5 E)6
DNA-2
9 - (-3+2)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-9 B)-8 C)8 D)10 E)12
ÇÖZÜM 9 - (-3+2) = 9-(-1) = 9+1 =10
Doğru Seçenek D dir.
TAMSAYILAR
131
GENETĠK KOPYA-2
7-(-4+3)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-8 B)-7 C)7 D)8 E)9
DNA-3
3-4(5-6)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-1 B)1 C)6 D)7 E)8
ÇÖZÜM
3-4(5-6) = 3-4(-1) = 3+4 = 7
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-3
2-4(6-8)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-10 B)-8 C)-4 D)8 E)10
DNA-4
Dokuz tane ardıĢık tamsayının toplamı
9 ise bu sayıların çarpımı kaçtır.
A)-9 B)-1 C)0 D)1 E)9
ÇÖZÜM
Aritmetik orta (sayıların toplamının, sayı
adedine bölümü), ortadaki sayıyı
vereceğinden;
9:9 = 1 ortadaki sayıdır.
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
1’den önce gelen tamsayı 0 dır.
Çarpanlardan biri 0 olduğundan çarpımın
sonucu 0 dır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-4
Yedi tane ardıĢık tamsayının toplamı -7
ise bu sayıların en küçüğü kaçtır?
A)-5 B)-4 C)-3 D)-2 E)-1
HAZĠNE-1
Bir çarpımın sonucu 0 ise; çarpanlardan
en az biri 0 dır.
a.b = 0 ise a=0 veya b=0 dır.
DNA-5
ArdıĢık 2007 tane tam sayının çarpımları
0 olsun.
Bu sayılardan en küçüğü en az kaç
olabilir?
A)-2007 B)-2006 C)0
D)2006 E)2007
ÇÖZÜM Çarpımlarının 0 olması için çarpanlardan
biri 0 olmalıdır.
ArdıĢık sayılardan en büyüğünü 0 alırsak,
en küçüğü -2006 olur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-5
ArdıĢık 2008 tane tamsayının çarpımları
0 olsun.
Bu sayılardan en büyüğü en çok kaç
olabilir?
A)-2007 B)-2006 C)0
D)2007 E)2008
132
DNA-6
1-x , 2-x , 3-x , … , 100-x
sayılarının;
x = 18 için çarpımları kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 9 D) 18 E) 180
ÇÖZÜM
Verilen sayı dizisinde bulunan 18-x de;
x yerine 18 yazıldığında x-18=18-18=0
olacaktır.
Diğer sayılar ne olursa olsun,
terimlerden biri 0 olduğundan çarpım
0 dır.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-6
x+1, x+2, x+3, .... , x+2008
sayılarının;
x=-1990 için çarpımları kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 9 D) 18 E)2008
DNA-7
ardıĢık üç negatif tek sayıdır.
iĢleminin sonucu nedir?
A) −1
2 B) −
1
3 C)0 D)
1
3 E)
1
2
ÇÖZÜM
ArdıĢık üç negatif tamsayı olarak;
x=-5, y=-3, z=-1 alındığında,
x− y + z
x + y + z= −5 − −3 + (−1)
−5 + −3 + (−1)
−5 + 3 − 1
−5− 3 − 1=−3
−9= −3 . 1
−3 . 3=
1
3
Doğru Seçenek D dir.
YADA
x, y ve z ardıĢık sayıları için;
x+z
2= y ve x+z = 2y özelliği kullanılır.
x−y+z
x+y+z=
2y−y
2y+y=
y
3y=
1
3 bulunur.
GENETĠK KOPYA-7
a, b, c ardıĢık üç pozitif çift tamsayıdır.
a + b + c
a− b + c
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)6
HAZĠNE-2
Ġki (veya daha fazla) Doğal sayının
toplamı 0 ise; toplamdaki terimlerin her
biri 0 dır.
a,bN için
a+b=0 ise a=0 ve b=0 dır.
DNA-8
x ve y tamsayılar olmak üzere;
(x-3)2+(y+2)2=0 ise
4x+5y toplamının değeri kaçtır?
A)0 B)2 C)3 D)4 E)5
ÇÖZÜM
Bir tamsayının karesinin alabileceği
en küçük değer sıfırdır.
(x-3)2+(y+2)2=0 ise
(x-3)2=0 x-3=0 x=3
(y+2)2=0 y+2=0 y=-2
olmalıdır.
4x+5y=4.3+5(-2)=12-10=2 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
zyx ,,
?
zyx
zyx
133
GENETĠK KOPYA-8
a ve b tamsayılar olmak üzere,
(a+4)2+(b+1)2=0 ise
a+b toplamı kaçtır?
A)-5 B)-4 C)-3 D)-2 E)-1
DNA-9
A=5-(a+2)2
Ġfadesinin alabileceği en büyük değer
kaçtır?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
ÇÖZÜM
Farkın büyük olabilmesi için
(a-2)2 ifadesi en küçük değeri olan
0 değerini almalıdır.
(a+2)2=0 a+2=0 a=-2 için,
A=5-(a+2)2=5-(-2+2)2=5-0=5 olur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-9
B=(b-3)2-4
Ġfadesinin alabileceği en küçük değer
kaçtır?
A)-7 B)-4 C)-1 D)3 E)7
DNA-10
x2+y2 4 koĢulunu sağlayan kaç tane
farklı (x,y) tamsayı ikilisi vardır?
A)4 B)5 C)12 D)13 E)16
ÇÖZÜM
x2+y2 toplamının alabileceği tüm
değerleri araĢtıralım.
x2+y2 = 0 (0, 0)
x2+y2 = 1 (-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)
x2+y2 = 2 (-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)
x2+y2 =3 yok.
x2+y2 =4 (-2, 0), (2, 0), (0, -2), (0, 2)
olmak üzere 13 tanedir.
Doğru Seçenek D dir.
Analitik çözüm: Analitik düzlemde ;
x2+y2 =4 çemberi içinde veya üzerinde
koordinatları tamsayı olan noktalar.
(O merkezli, 2 birim yarıçaplı çember)
GENETĠK KOPYA-10
x2+y2 > 1
koĢulunu sağlamayan kaç tane farklı
(x,y) tamsayı ikilisi vardır?
A)1 B)4 C)5 D)9 E)13
Ġlerideki bölümlerde ayrıntılı olarak
iĢlenecek olmasına karĢın, sıklıkla
kullanılan bazı özdeĢlikleri burada
hatırlatalım.
IġIK-1
a2-b2=(a-b)(a+b) iki kare farkı
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2 tam kare
134
DNA-11
a2-b2 = 124 eĢitliğini sağlayan kaç
(a, b) pozitif tam sayı ikilisi vardır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
ÇÖZÜM a2-b2 = (a-b)(a+b) = 124
124=2.2.31
124’ü; 1.124, 2.62, 4.31
olarak çarpanlara ayırdığımızda;
Bir tek 2.62 de çarpanların toplamı çift
sayıdır.
Bu tür tamsayı sorularında;
çarpanlar toplamı çift olmalıdır.
Pozitif tamsayılarda çözüm
arandığından; a-b çarpanı küçük,
a+b çarpanı büyük alınmıştır.
Bu durumda;
a-b=2 ve
a+b=62 olur.
a=b+2 ve b+2+b=62 den
a=32 ve b=30 bulunur.
(32,30) ikilisi eĢitliği sağlar.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-11
a2-b2 = 15 eĢitliğini sağlayan kaç
(a, b) pozitif tam sayı ikilisi vardır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
DNA-12
x2-y2 = 44 eĢitliğini sağlayan kaç
(a, b) tam sayı ikilisi vardır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
ÇÖZÜM x2-y2=(x-y)(x+y)=44
44=2.2.11
44’ü;
1.44, 2.22, 4.11, 11.4, 22.2, 44.1
olarak çarpanlara ayırdığımızda;
2.22 ve 22.2 çarpanlarının toplamı çift
sayıdır.
(-2)(-22) ve (-22)(-2) çarpımlarının da
koĢulları sağladığı göz önüne alındığında
x-y=2 x-y=22
x+y=22 x+y=2
x-y=-2 x-y=-22
x+y=-22 x+y=-2
denklem sistemlerinin çözümünden;
(12,10), (12,-10), (-12,10) ve (-12,-10)
olmak üzere dört tane tamsayı ikilisi
bulunabilir.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-12
Farkları 1 den büyük x ve y tamsayıları
için,
x2-y2=187 olduğu bilindiğine göre,
x.y çarpımı kaçtır?
A)30 B)36 C)40 D)42 E)54
135
DNA-13
a, b, c, d, e farklı tamsayılar olmak üzere
(6-a)(6-b)(6-c)(6-d)(6-e)=45 ise
a+b+c+d+e toplamı kaçtır?
A)5 B)17 C)25 D)27 E)30
ÇÖZÜM
45 sayısı farklı 6 tamsayının çarpımı
biçiminde;
45=(-1).1.(-3).3.5 yazılabilir.
6-a=-1 ⟹ a=7
6-b=1 ⟹ b=5
6-c=-3 ⟹ c=9
6-d=3 ⟹ d=3
6-e=5 ⟹ e=1
a+b+c+d+e=7+5+9+3+1=25 bulunur.
Doğru Seçenek C dir
GENETĠK KOPYA-13
x ve y tamsayıları için:
x.y=15 ise
x+y toplamı kaç farklı değer alabilir?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)6
DNA-14
{-2,-1,0,1,2} kümesinin birbirinden farklı
x, y ve z elemanları için
3x-2y-z
Ġfadesinin en büyük değeri kaçtır?
A)10 B)11 C)12 D)14 E)15
ÇÖZÜM
Ġfadenin büyük değer alması için;
katsayıları pozitif olanlar büyük, negatif
olanlar küçük seçilmelidir.
En büyük eleman 2 olduğundan x=2,
En küçük eleman -2 olduğundan y=-2 ve
z=-1 seçilmelidir.
(y’nin katsayısı -2 olduğundan, y’yi daha
küçük seçtik)
3x-2y-z=3.2-2(-2)-(-1)=6+4+1=11
bulunabilecek en büyük değerdir.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-14
{-2,-1,0,1,2} kümesinin birbirinden farklı
x, y ve z elemanları için
3x-2y-z
Ġfadesinin en küçük değeri kaçtır?
A)-15 B)-14 C)-13 D)-11 E)-10
DNA-15
2x+7y = 1 000 eĢitliğini sağlayan kaç
tane (x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
A)69 B)70 C)71 D)72 E)73
ÇÖZÜM
Bilinmeyen sayısının, denklem
sayısından fazla olduğu sorularda;
bilinmeyenlerden birine değerler
verilerek, diğerleri aranır.
y’ye çift değerler vererek araĢtırmaya
baĢlayalım;
y=2 için x=493
y=4 için x=486
y=6 için x=479
...
y=140 için x=10
y=142 için x=3 bulunur.
71 tane (x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır
Doğru Seçenek C dir.
y'nin aldığı değerler, x’in katsayısı
olan 2 şer artarken,
x’in aldığı değerler, y’nin katsayısı
olan 7 şer azalmaktadır.
136
Analitik çözüm: Analitik düzlemde
1. Bölgede 2x+7y = 1000 doğrusu
üzerinde koordinatları tamsayı olan
noktalar.
GENETĠK KOPYA-15
3x+5y=501 denklemini sağlayan kaç tane
(x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
A)31 B)32 C)33 D)34 E)35
DNA-16
a ve b negatif tamsayılar olmak üzere,
2a-5b=0 olduğuna göre,
a+b toplamının en büyük değeri kaçtır?
A)-3 B)-4 C)-5 D)-6 E)-7
ÇÖZÜM
Toplamın büyük olması için, a ve b büyük
değerler almalıdır.
2a-5b=0
2a=5b
a'nın alabileceği değerler, b’nin
katsayısının katları,
b’nin alabileceği değerler, a’nın
katsayısının katlarıdır.
Negatif tamsayılar içinde koĢulu
sağlayan en büyük sayılar;
a=-5 ve b=-2 dir.
a+b=(-5)+(-2)=-5-2=-7 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-16
x ve y tamsayıları için,
2x+3y=0 ise
x+y toplamının en küçük pozitif değeri
kaçtır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
DNA-17
a ve b tamsayıları için,
a2-b2=24 ise
a+b toplamının en küçük değeri kaçtır?
A)-25 B)-12 C)-11 D)-10 E)-6
ÇÖZÜM
a2-b2=(a-b)(a+b)=24
24=1.24=2.12=3.8=4.6=6.4=8.3=12.2=24.1
ve bu çarpanların negatif olanlarından,
toplamları çift olanlar
karĢılaĢtırıldığında
a+b toplamının enküçük değeri -12 dir.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-17
m ve n pozitif tamsayılar olmak
üzere;
m2+49 = n2 dir.
n-m kaç farklı değer alabilir?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)7
137
KONU TESTĠ
1. 4-5[4+8(7-9)]
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-20 B)-12 C)24 D)36 E)64
2. Çarpımları 342 olan ardıĢık iki
tamsayıdan en küçüğü kaçtır?
A)-19 B)-18 C)17 D)18 E)19
3. a-b-[a-3b-(2a-5b)]
ĠĢleminin eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)a-b B)2a-b C)a-2b
D)2a-3b E)3a-2b
4. x, y ve z farklı pozitif tam sayılar
olmak üzere,
x+y2+z3 toplamının
en küçük değeri kaçtır?
A)7 B)8 C)9 D)10 E)12
5. x=-2 ve y=4 için =?
Ġfadesinin sayısal değeri kaçtır?
A)-1 B)0 C)1 D)2 E)4
6. x=-2 için
x{x[x(x+1)+1]+1}+1
Ġfadesinin sayısal değeri kaçtır?
A)9 B)10 C)11 D)12 E)13
7. x ve y pozitif tamsayıları için;
7x+11y=100 ise
x+y toplamı kaçtır?
A)10 B)11 C)12 D)13 E)14
8. (x+1) + (x-2) + (x+3) + (x-4) + …+
(x+99) + (x-100)
iĢleminin sonucu kaçtır?
A) x-50 B) x+50 C) 100x-50
D) 100x+50 E) x+500
9. (x-3)(3x+4) = 0 Denkleminin Tam sayılardaki çözüm
kümesi aĢağıdakilerden hangisidir?
A) ∅ B) {3} C) {−4
3 }
D) {-3} E) {3, −4
3 }
10. a, b ve c pozitif tamsayılar olmak
üzere,
3a-2b+c=0 ise
a+b+c toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
yx
xyx
43
22
138
11. a,b,c birbirinden farklı pozitif
tamsayılardır.
Buna göre, 3a+2b+c=30 denklemini
sağlayan en büyük c sayısı kaçtır?
A)20 B)21 C)22 D)23 E)24
12. Karelerinin farkı 72 olan pozitif
iki tamsayının toplamı en az kaçtır.
A)6 B)8 C)9 D)12 E)17
13. Çarpımları 342 olan ardıĢık iki
Pozitif tamsayıdan küçüğü kaçtır?
A)-19 B)-18 C)17 D)18 E)19
14. 2008 tane pozitif tamsayısının
çarpımı 2008 dir.
Bu sayıların toplamının en büyük
değeri kaçtır?
A)2007 B)2008 C)2009
D)4015 E)4016
15. x2y-y3 = 105 eĢitliğini sağlayan
(x,y) pozitif tam sayıları için
x+y toplamı kaçtır?
A)7 B)8 C)9 D)15 E)17
16. 6 dan küçük kaç tane x tamsayısı
için 6 + x ifadesi bir tamsayı
gösterir?
A) 1 B)2 C)3 D)4 E)5
1.E 2.A 3.D 4.B 5.B 6.C
7.C 8.C 9.B 10.B 11.D 12.D
13.D 14.D 15.D 16.D
139
TANIM
K = {(p:q) p,q Z ve q 0 }
kesirler kümesinde ;
(p:q) (r:s) p.s=q.r
denklik bağıntısının ayırdığı denklik
sınıflarından her birine bir rasyonel sayı
denir.
(p, q) 𝜖 K ifadesi 𝑝
𝑞 Ģeklinde gösterilir.
p’ye kesrin payı, q’ya kesrin paydası
denir. 𝑝
𝑞 kesri, p bölü q Ģeklinde okunur.
IġIK-1 p
q=
r
s ⇔ p. s = q. r
DNA-1
01
3
a
ba ise
aĢağıdakilerden hangisi kesinlikle
doğrudur?
A) a=-1 B) a=3 C) b -1
D) b 4 E) a+b 3
ÇÖZÜM Kesrin 0’a eĢit olması için payının;
a+b-3=0 olması gerekir.
Kesrin tanımlı olması için paydanın;
a+1≠ 0 olması gerekir.
a+1 ≠ 0 ⇒ a ≠ -1 olmalıdır.
a=-1 olsa idi;
a+b-3=-1+b-3=b-4=0 ⇒ b=4 olurdu.
a ≠ -1 olacağından b ≠ 4 olmalıdır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-1 x−y+1
x−4= 0 ise
aĢağıdakilerden hangisi kesinlikle
doğrudur?
A)x=4 B)x=-1 C)y=-1
D)x 5 E) y 5
DNA-2 2
5=
𝑥
15 eĢitliğini sağlayan x sayısı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)4 B)6 C)8 D)10 E)12
ÇÖZÜM IġIK-1 den,
2
5=
𝑥
15 ⇔ 2.15=5.x
5x=30
x=6 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-2 −12
𝑥=
9
3 eĢitliğini sağlayan x sayısı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)-4 B)-3 C)1 D)3 E)4
DNA-3
3
3
n
n ifadesini tamsayı yapan
kaç tane n tamsayısı vardır?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 2
RASYONEL SAYILAR
140
ÇÖZÜM Kesrin tam sayı göstermesi için;
payın, paydaya bölünebilmesi gerekir.
𝑛+3
𝑛−3=
𝑛−3+6
𝑛−3=
𝑛−3
𝑛−3+
6
𝑛−3= 1 +
6
𝑛−3
6 sayısının tamsayı bölenleri;
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 olmak üzere
8 tanedir.
n-3=-6 ⇒ n=-3 n-3=-3 ⇒ n=0
n-3=-2 ⇒ n=1 n-3=-1 ⇒ n=2
n-3=1 ⇒ n=4 n-3=2 ⇒ n=5
n-3=3 ⇒ n=6 n-3=6 ⇒ n=9
olmak üzere n’in alabileceği 8 tamsayı
değeri vardır.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-3
n+2
n−2 ifadesini tamsayı yapan
kaç tane n tamsayısı vardır?
A)2 B)3 C)4 D)6 E)8
DNA-4
a, b, c pozitif tamsayılar,
𝑎
𝑏=
2
3 ve
𝑏
𝑐= 4 olduğuna göre,
a+b+c toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A)9 B)12 C)15 D)20 E)23
ÇÖZÜM 𝑎
𝑏=
2
3 ⇔ 3a=2b
𝑏
𝑐= 4 ⇔
b
c=
4
1 ⇔ b=4c
Toplamın küçük olması için a, b ve c nin
küçük seçilmesi gerekir.
3a=2b eĢitliğinde a=2k ve b=3k (kϵZ+)
olmalıdır.
b=4c 3k=4c eĢitliğinde
k=4m ve c=3m (mϵZ+) olmalıdır.
m=1 için;
c=3m=3.1=3
k=4m=4.1=4
b=3k=3.4=12
a=2k=2.4=8 bulunur.
a+b+c=8+12+3=23 olur.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-4
a, b ve c pozitif tamsayıları için
a
b=
3
4 ve
b
c=
3
2 ise
a+b+c toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A)8 B)9 C)12 D)29 E)32
DNA-5
a, b pozitif tamsayılar ve
𝑎
3+ 𝑏 = 5 olduğuna göre;
a’nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
A)3 B)6 C)9 D)12 E)15
141
ÇÖZÜM
Toplanan terimlerden birinin büyük
olması isteniyorsa, diğerinin küçük olması
gerekir.
b=1 için
𝑎
3+ 𝑏 = 5
𝑎
3+ 1 = 5
𝑎
3= 4
a=12 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-5
x ve y pozitif tamsayılar,
x+y
4 = 4 olduğuna göre
y nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A)4 B)8 C)12 D)16 E)20
Rasyonel sayılarla, dört iĢlem kurallarını
hatırlayıp, örneklerle pekiĢtirelim.
IġIK-2 𝑎
𝑏 rasyonel sayı ve n≠ 0 için;
𝑎
𝑏=
𝑛 .𝑎
𝑛 .𝑏
Bir kesrin pay ve paydası sıfırdan farklı
bir sayı ile çarpılır veya bölünürse,
kesrin değeri değiĢmez.
DNA-6 108 108
144 144 kesrinin eĢiti
aĢağıdakilerden hangisidir?
A) 2
3 B)
3
4 C)
4
9 D)
7
9 E)
11
12
ÇÖZÜM
Pay ve paydayı asal çarpanlarına ayırıp
kısaltmaları yapalım.
108 108=22.33.7.11.13
144 144=24.32.7.11.13
108 108
144 144=
22 .33 .7.11.13
24 .32 .7.11.13=
3
22 =3
4 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-6 420
630
kesrinin eĢiti aĢağıdakilerden hangisidir?
A) 2
3 B)
3
4 C)
4
9 D)
7
9 E)
11
12
IġIK-3 𝑎
𝑏 ve
𝑐
𝑑 rasyonel sayıları için;
𝑎
𝑏∓
𝑐
𝑑=
𝑎 .𝑑∓𝑏 .𝑐
𝑏 .𝑑
UYARI 𝑎
𝑘 ve
𝑏
𝑘 rasyonel sayıları için;
𝑎
𝑘 ∓
𝑏
𝑘=
𝑎∓𝑏
𝑘
142
DNA-7
1-1
3+
1
9−
1
27
iĢleminin sonucu kaçtır?
A) 13
27 B)
17
27 C)
20
27 D)
5
9 E)
5
6
ÇÖZÜM
1-1
3+
1
9−
1
27 =
1
1−
1
3+
1
9−
1
27
Kesirlerin paydalarını eĢitlemek için;
Birinci kesrin pay ve paydasını 27 ile,
Ġkinci kesrin pay ve paydasını 9 ile,
Üçüncü kesrin pay ve paydasını 3ile
çarpalım;
=1.27
1.27−
1.9
3.9+
1.3
9.3−
1
27=
27
27−
9
27+
3
27−
1
27
IġIK-3 ve UYARI uygulandığında;
=27−9+3−1
27=
20
27 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-7
2- 1
2−
3
4
iĢleminin sonucu kaçtır?
A) 1
2 B)
2
3 C)
1
4 D)
3
4 E) 1
IġIK-4 𝑎
𝑏 ve
𝑐
𝑑 rasyonel sayıları için;
𝑎
𝑏.𝑐
𝑑=
𝑎 .𝑐
𝑏 .𝑑
IġIK-5 𝑎
𝑏 ve
𝑐
𝑑 rasyonel sayıları için;
𝑎
𝑏:𝑐
𝑑=
𝑎
𝑏.𝑑
𝑐=
𝑎 .𝑑
𝑏 .𝑐
DNA-8
ise x kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
ÇÖZÜM 5
2
𝑥+
52
𝑥
=5
2𝑥
1
+5
12
𝑥
=5
2.
1
𝑥+
5
1.𝑥
2=
5.1
2.𝑥+
5.𝑥
1.2
=5
2𝑥+
5𝑥
2=
5.2+2𝑥 .5𝑥
2𝑥 .2=
10+10𝑥2
4𝑥
=2(5+5𝑥2)
2.2𝑥=
5+5𝑥2
2𝑥
5+5𝑥2
2𝑥= 5 ⇒ 5+5x2=5.2x
5(1+x2)=5.2x ⇒ 1+x2=2x
x2-2x+1=0
(x-1)2=0 ⇒ x-1=0 ⇒ x=1
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-8 345
+3
45
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)3 B)39
10 C)4 D)4
1
5 E)5
52
52
5
x
x
52
52
5
x
x
143
UYARI
a, b ve c tamsayıları için;
𝑎𝑏
𝑐 𝑖𝑙𝑒 𝑎.
𝑏
𝑐 farklı gösterimlerdir.
𝑎𝑏
𝑐= 𝑎 +
𝑏
𝑐=
𝑎
1+𝑏
𝑐=
𝑎 .𝑐+𝑏
𝑐
𝑎.𝑏
𝑐=
𝑎
1.𝑏
𝑐=
𝑎 .𝑏
𝑐
34
5= 3 +
4
5=
3.5+4
5=
19
5
3.4
5=
3.4
5=
12
5
Yukarıda görüldüğü gibi farklı
gösterimler, farklı sayıları gösterir.
DNA-9
2−
12
2 +12
−3−
13
3 +13
:2
3
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) −3
5 B) −
2
5 C) −
3
1𝑂 D)
3
5 E)
3
1𝑂
ÇÖZÜM
2−
1
2
2+1
2
−3−
1
3
3+1
3
:2
3 =
2.2−1
22.2+1
2
−3.3−1
33.3+1
3
:2
3
= 3
25
2
−8
310
3
:2
3=
3
2.
2
5−
8
3.
3
10 .
3
2
= 3.2
2.5−
8.3
3.10 .
3
2 =
3
5−
8
10 .
3
2
= 3
5−
2.4
2.5 .
3
2=
3
5−
4
5 .
3
2=
3−4
5 .
3
2
=−1
5.
3
2=
−1.3
5.2=
−3
10= −
3
10
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-9
7−75
3 +12
iĢleminin sonucu kaçtır?
A) 3
5 B)
3
8 C) 1 D)
8
5 E) 2
DNA-10 4
5 kesrinin pay ve paydasına x sayısı
eklendiğinde, kesrin çarpımsal tersi elde
edilmektedir.
x sayısı kaçtır?
A)-9 B)-6 C)1 D)6 E)9
ÇÖZÜM 4
5 kesrinin çarpımsal tersi
5
4 olduğundan
4+𝑥
5+𝑥=
5
4
4(4+x)=5(5+x)
16+4x=25+5x
x=-9 bulunur.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-10 2
3 kesrinin pay ve paydasından kaç
çıkarılırsa, kesrin çarpımsal tersi elde
edilebilir?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
144
DNA-11
ise
toplamının K türünden
eĢiti aĢağıdakilerden hangisidir?
A)K-1 B)1-K C)K-3 D)3-K E)3K
ÇÖZÜM
=A
EĢitlikleri taraf tarafa toplandığında;
9
10+
10
11+
11
12+
1
10+
1
11+
1
12= 𝐾 + 𝐴
Soldaki ifade gruplandığında
9
10+
1
10 +
10
11+
1
11 +
11
12+
1
12 = 𝐾 + 𝐴
9+1
10+
10+1
11+
11+1
12= 𝐾 + 𝐴
10
10+
11
11+
12
12= 1 + 1 + 1 = 3 = 𝐾 + 𝐴
A=3-K bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-11
A=12
11+
13
12+
14
13 ise
1
11+
1
12+
1
13 toplamının A türünden eĢiti
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)A-1 B)A-3 C)1-A D)3-A E)3A
DNA-12
(2:3):[(4:5):6] ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) 1
5 B) 1 C) 5 D) 10 E) 50
ÇÖZÜM
Önce küçük parantezler içindeki
iĢlemleri, sonra diğer parantez içindeki
iĢlemleri yaparız.
(2:3):[(4:5):6] =
2 4 2 4 1:[ : 6] :[ . ]
3 5 3 5 6
2 4 2 30 60:[ ] . 5
3 30 3 4 12
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-12
2:[3:(4:5)]
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) 8
15 B)
2
3 C) 1 D) 3 E) 5
DNA-13
[2-3(2-3)-1]-1
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) 1
5 B) 1 C) 5 D) 10 E) 50
ÇÖZÜM
Küçük parantezden iĢleme baĢlayacağız.
Sayının -1 inci kuvvetini almak, sayının
çarpımsal tersini yazmaktır.
a-1= 𝟏𝐚 dır.
[2-3(2-3)-1]-1 = [2-3(-1)-1]-1
= [2+3]-1 = 5-1 = 5
1
Doğru Seçenek A dır.
K12
11
11
10
10
9
12
1
11
1
10
1
K12
11
11
10
10
9
12
1
11
1
10
1
145
GENETĠK KOPYA-13
[9-10(9-10)-1]-1 = ?
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) -19 B) -19
1 C)
19
1
D) 19 E) 20
DNA-14
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)2 B)24
7 C)3 D)3
3
5 E)4
ÇÖZÜM
Merdivenli kesirlerde en alt (üst)
basamaktan iĢleme baĢlanır ve adım adım
devam ettirilerek sonuca gidilir.
5−2
3=
15−2
3=
13
3 bulunur.
Yerine yazalım 3
13
3
= 3.3
13=
9
13 olur.
Bunu da yerine yazdığımızda;
2−9
13=
26−9
13=
17
13 bulunur.
Her yeni bulunan sayıyı yerine
yazacağımızdan;
5
17
13
= 5.13
17=
65
17 ve
3−65
17=
51−65
17= −
14
17 olur.
2
−14
17
= 2. −17
14 = −
17
7
5 + −17
7 = 5−
17
7=
35−17
7=
18
7
=2.7+4
7= 2 +
4
7= 2
4
7 dir.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-14
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)1 B)15
8 C) 1
4
5 D)2 E)3
IġIK-6 𝑎
𝑏 𝑣𝑒
𝑑
𝑐 rasyonel sayıları için;
OKEK( , )=
OBEB( , )=
DNA-15
ve in katı olan
en küçük doğal sayı kaçtır?
A)1 B)2 C)4 D)8 E)15
ÇÖZÜM
OKEK( )=
Doğru Seçenek C dir.
?
3
25
32
53
25
?
2
11
11
11
11
b
a
d
c
),(
),(
dbOBEB
caOKEK
b
a
d
c
),(
),(
dbOKEK
caOBEB
3
2
5
4
5
4,
3
24
1
4
)5,3(
)4,2(
OBEB
OKEK
146
GENETĠK KOPYA-15 8
49 ve
12
25 sayıları ile tambölünebilen en
küçük pozitif tam sayı kaçtır?
A)24 B)36 C)48 D)56 E)72
DNA-16
a ve b doğal sayılar ve 1
𝑎+
1
𝑏= 1
olduğuna göre,
a+b toplamı kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
ÇÖZÜM 1
𝑎+
1
𝑏= 1 ⇒
𝑎+𝑏
𝑎 .𝑏= 1 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 𝑎. 𝑏
Toplamları, çarpımlarına eşit olan iki
pozitif tam sayı; a=2 ve b=2 dir.
2+2=2.2
𝑎 = 𝑎. 𝑏 − 𝑏 ⇒ 𝑎 = 𝑏 𝑎 − 1 ⇒ 𝑏 =𝑎
𝑎−1
𝑏 =𝑎−1+1
𝑎−1 ⇒ 𝑏 = 1 +
1
𝑎−1
Son eĢitlikte;
b’nin doğal sayı olması için,
a-1=1 ⇒ a=2 ve
a=2 için de b=2 değerini alır.
a+b=2+2=4 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-16
a ve b doğal sayıları için;
a+b=6 olduğuna göre 1
𝑎+
1
𝑏 toplamının alabileceği en küçük
değer kaçtır?
A) 1
3 B)
1
2 C)
2
3 D)
3
4 E) 1
TANIM
a bir tamsayı, n bir sayma sayısı olmak
üzere; 𝑎
10𝑛 biçiminde yazılabilen sayılara
ondalık rasyonel sayı denir.
1
2=
1.5
2.5=
5
10= 0,5
1
5=
1.2
5.2=
2
10= 0,2
1
4=
1.25
4.25=
25
100= 0,25 gibi.
UYARI
ab,cd ondalık sayısının çözümlenmiĢ Ģekli
ab,cd =a.10+b.100+𝑐
10+
𝑑
102 dir.
DNA-17
ise
değeri kaçtır?
A)1 B)1,5 C)2 D)2,5 E)3
ÇÖZÜM 𝑥+0,5
𝑥+𝑦+0,5
𝑦+𝑧+0,5
𝑧
=𝑥
𝑥+
0,5
𝑥+𝑦
𝑦+
0,5
𝑦+𝑧
𝑧+
0,5
𝑧
= 1 +0,5
𝑥+ 1 +
0,5
𝑦+ 1 +
0,5
𝑧
= 3 +0,5
𝑥+
0,5
𝑦+
0,5
𝑧= 4,5
0,5
𝑥+
0,5
𝑦+
0,5
𝑧= 1,5 iki tarafı da
2 ile çarpalım
5,45,05,05,0
z
z
y
y
x
x
?111
zyx
147
1
𝑥+
1
𝑦+
1
𝑧= 3 bulunur.
eĢitliğini 2 ile
çarparsak yanıt 3 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-17
1
0,1+
0,2
0,02 :
0,5
5
iĢleminin sonucu kaçtır?
A)0,2 B)0,3 C)20 D)30 E)200
HAZĠNE-1
Her rasyonel sayının bir devirli ondalık
açılımı vardır.
KarĢıt olarak her devirli ondalık açılım
bir rasyonel sayı belirtir.
1
3= 0,333… = 0, 3
25
99= 0,252525… = 0, 25 gibi.
𝑥 = 0,2555… = 0,25 100𝑥 = 25,555… 10𝑥 = 2,555… 90𝑥 = 23
𝑥 =23
90 gibi.
IġIK-7 𝐷𝑒𝑣𝑖𝑟𝑙𝑖 𝑜𝑛𝑑𝑎𝑙ı𝑘 𝑠𝑎𝑦ı =
𝑜𝑛𝑑𝑎𝑙 ı𝑘 𝑘ı𝑠𝑚ı𝑛 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑚 ı−𝑑𝑒𝑣𝑟𝑒𝑡𝑚𝑒𝑦𝑒𝑛 𝑘ı𝑠𝑚ı
𝑑𝑒𝑣𝑟𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑚𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑑𝑎𝑟 9,𝑑𝑒𝑣𝑟𝑒𝑡𝑚𝑒𝑦𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑚𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑑𝑎𝑟 0
DNA-18
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) 2 B)2,1 C)2,2 D)2,3 E)2,4
ÇÖZÜM
0,04 =4
90 0,02 =
2
90
0,004 =4
900 değerlerini yerine yazalım.
0,04 +0,004
0,02 =
4
90+
4
9002
90
=40
900+
4
9002
90
=44
9002
90
=44
900.
90
2=
22
10= 2,2
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-18
değeri kaçtır?
A)2 B)2,1 C)2,1 D)2,3 E) 2,3
DNA-19
a ve b pozitif tam sayılar,
için a+b toplamının
en küçük değeri kaçtır?
A)38 B)43 C)49 D)52 E)55
ÇÖZÜM
3, 45 =345−3
99=
342
99=
9.38
9.11=
38
11
a=38 ve b=11
a+b=38+11=49 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
5,45,05,05,0
zz
z
yy
y
xx
x
5,15,05,05,0
zyx
?20,0
400,040,0
1,3a ve 3,1b için ?b
a
b
a45,3
148
GENETĠK KOPYA-19
a ve b pozitif tam sayılar,
2,2 1 = a
b için a-b farkının
en küçük değeri kaçtır?
A)9 B)10 C)11 D)12 E)13
IġIK-8
Bir devirli ondalık sayıda, devreden sayı
9 ise; kendisinden önce gelen basamağı
1 arttırır.
0,9 = 1
0,29 = 0,3 gibi.
DNA-20
Toplamının değeri kaçtır?
A)110,7 B)111 C) 111,7
D)112 E)120
ÇÖZÜM
Devreden basamak 9 olduğu için; 99, 9 = 100 9, 9 = 10 0, 9 = 1 yazıldığında;
99, 9 + 9, 9 + 0, 9 = 100 + 10 + 1 = 111 Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-20 8, 9 + 0,89
0,9
iĢleminin sonucu kaçtır?
A)9 B)10 C)11 D)12 E)13
IġIK-9
Paydaları eĢit pozitif rasyonel
sayılardan,
payı büyük olan sayı diğerinden büyüktür.
gibi.
IġIK-10
Payları eĢit pozitif rasyonel sayılardan,
paydası büyük olan sayı diğerinden
küçüktür.
gibi.
IġIK-11
Payı ile paydasının farkı eĢit olan
rasyonel sayılardan;
1 den küçük sayılarda payı büyük olan
sayı diğerinden büyük,
1 den büyük sayılarda payı büyük olan
sayı diğerinden küçüktür.
gibi.
DNA-21
için
, ,
sayıları arasındaki sıralama nasıldır?
A) x<y<z B) x<z<y C) z<x<y
D) z<1<y<x E) z<y<1<x
?9,09,99,99
...13
6
13
7
13
8
...6
17
7
17
8
17
13
12
16
15
14
15
42
43
Nm
2
3
m
mx
4
5
m
my
8
7
m
mz
149
ÇÖZÜM
x ve y nin payları, paydalarından büyük
olduğundan, x ve y sayıları 1 den
büyüktür.
x ve y nin payları ile paydalarının farkı
eĢit olduğundan, payı büyük olan y sayısı
x den küçüktür.
z nin payı, paydasından küçük olduğundan
1 den ve diğer sayılardan küçüktür.
Bu durumda sıralama;
z<1<y<x olur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-21
A=11
12 B=
121
122 C=
1221
1222
Olduğuna göre, aĢağıdaki sıralamalardan
hangisi doğrudur?
A)a<b<c B)a<c<b C)b<c<a
D)c<b<a E)c<a<b
DNA-22
K = 12
14
x
x ifadesi veriliyor.
Ġfadeyi tanımsız yapan x değeri kaçtır?
A)0 B) 1
2 C) 1 D)
3
2 E)2
ÇÖZÜM
Paydayı 0 yapan x değerleri için
tanımsızdır.
2x-1=0
x=1
2 için tanımsızdır.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-22
K = 12
14
x
x ifadesi veriliyor.
K’ yı 0 yapan x değeri kaçtır?
A) −1
4 B)0 C)
1
2 D)
3
2 E)2
DNA-23
K = 12
14
x
x ifadesi veriliyor.
x kaç olursa olsun, K’nın alamayacağı
değer kaçtır?
A)0 B) 1
2 C) 1 D)
3
2 E)2
ÇÖZÜM
K= 𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑 ifadesinde, x değiĢkeni hangi
değeri alırsa alsın, K için x lerin
katsayılarının oranı olan 𝑎
𝑐 değeri
bulunamaz.
x’lerin katsayılarının oranı, K’ nın değeri
olamaz.
K2
4 , K 2 dir.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-23
K = 12
14
x
x ifadesi veriliyor.
K’yı tamsayı yapan x tamsayılarının
toplamı kaçtır?
A)-1 B)0 C)1 D)2 E)3
150
DNA-24
K = 12
14
x
x ifadesi veriliyor.
Hem K’yı ve hem de çarpımsal tersini
tamsayı yapan x değerlerinin toplamı
kaçtır?
A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2
ÇÖZÜM
Hem kendisi, hem de çarpımsal tersi
tamsayı olan iki sayı vardır.
Bu sayılardan biri 1, diğeri -1 dir.
112
14
x
x
2x-1=4x+1
2x=-2
x=-1
112
14
x
x
-2x+1=4x+1
6x=0
x=0
-1+0=-1 aranan toplamdır.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-24 2a−3
5a+6 ve
5a+6
2a−3
Ġfadelerinin bir tamsayı olduğu
bilindiğine göre,
a nın alabileceği değerlerden biri
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)-6 B)-3 C)1 D)3 E)6
DNA-25
Ali 0 ile 3 arasında 1’den farklı 100 tane
pozitif rasyonel sayı, Oya da Ali’nin
yazdığı sayıların çarpımsal terslerini
yazsın.
Bu 200 sayının kaç tanesi 0 ile 1
arasındadır?
A) 49 B)50 C)51 D)99 E)100
ÇÖZÜM
0 ile 1 arasındaki rasyonel sayıların
çarpımsal tersleri 1 den büyük,
1 ile 3 arasındaki rasyonel sayıların
çarpımsal tersleri, 0 ile 1 arasındadır.
Ali, 0 ile 1 arasında x tane, 1 ile 3
arasında 100-x tane sayı yazmıĢ olsun.
0ya, 100-x tane 0 ile 1 arasında,
x tane de 1 den büyük sayı yazmak
zorundadır.
0 ile 1 arasındaki sayıların adedi;
x+(100-x)=100 dür.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-25
Çarpımsal tersi kendisine eĢit olan kaç
tane rasyonel sayı vardır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
151
KONU TESTĠ
1. 16:4+8.2-8 ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
2. 1:{[(𝟐𝟑:4):5]:6}
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) 1
5 B) 1 C) 5 D) 10 E) 180
3. {[2:(3.4)-5]6-7}:(8.9) ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)−1
2 B)0 C)
1
2 D)1 E)2
4. 25)25(
)25(25
iĢleminin sonucu nedir?
A) -13 B) -13
1 C)
13
1
D) 1 E) 13
5. )4.2(:128
4).2:128(
iĢleminin sonucu kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 4
D) 16 E) 256
6. (2-1+3-1)-1
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) 5 B) 1/6 C) 6
D) 2/3 E) 6/5
7. [2-(2:2
3-2)]:
1
2+3
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) 6/7 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7
8. a ve b doğal sayıları için; a.b=6 ise 1
𝑎+
1
𝑏 toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A) 1
3 B)
1
2 C)
2
3 D)
5
6 E) 1
9. 2 1−1
2 + 3 1−
1
3 + …+ 10 1−
1
10
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)45 B)49 C)50 D)54 E)55
10. 1
3+
3
51
4−
2
9
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)168
5 B)
144
5 C)
7
270 D)
96
35 E)
140
9
152
11. 3
2+7
1+56
:3
5+7
5
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)9
10 B)1 C)
11
10 D)
6
5 E)
13
10
12. A,B,C ve D sayıları {1,2,3,4}
kümesinin farklı elemanları olmak üzere;
𝐴
𝐵−
𝐶
𝐷= 1 ise, A+C toplamı kaçtır?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
13. 1 1
(3 ) (1 )2 21 3
(4 ) ( 1)4 4
iĢleminin sonucu kaçtır?
A) 4
3 B) 3
2
1 C)
4
1 D)
4
7 E) 2
14. 3
13 14 :
3 3 121
4
iĢleminin sonucu kaçtır?
A) 145 B) 144 C) 143 D) 13 E) 12
15. 11 ?
11
11
2
iĢleminin sonucu nedir?
A) 17
7 B)
10
7 C)
4
3 D) 3 E) 4
16. 6
5:
4
1.
3
1
2
1
iĢleminin sonucu kaçtır?
A) 4
1 B)
5
1 C)
12
5 D)
12
1 E)
20
1
1.B 2.E 3.A 4.B 5.D 6.E
7.C 8.C 9.A 10.A 11.C 12.E
13.D 14.A 15.E 16.E
153
KONU TESTĠ
1.
x
1
11
11
zincir kesrinin kısaltılmıĢı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A) x-1 B) –x C) x-1
D) 1-x E) 1+x
2.
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)0,001 B)0,01 C)0,1 D)1 E)10
3. 1
1 12 3
?3 2
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-6 B) −6
5 C) −
5
6 D)
5
6 E )
6
5
4. ?
21
2
x
xx
x
Ġfadesinin eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A) 1
2 B)
𝑥
2 C) 2 D) x E)2x
5. 1 3 12 1
2 4 3
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)3
19 B)
3
17 C)
3
16 D)
3
14 E)
3
13
6. 3 32
17 68 51
n
eĢitsizliğini sağlayan kaç tane n doğal
sayısı vardır?
A) 28 B)29 C)30 D)32 E)34
7. Bir sayıyı 0,75 ile bölmek, hangi sayı
ile çarpmak demektir?
A) 3
4 B)
4
3 C) 3 D) 4 E) 6
8. 0,65+(0,2+ )2
10,5
iĢleminin sonucu kaçtır?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
9. 1(0,18 0,04)
0,01
iĢleminin sonucu kaçtır?
A)0,14 B)1,4 C)14 D)140 E)1400
?100
11...
4
11
3
11
2
11
154
10. 4,0 ifadesinin eĢiti hangisidir?
A) 2,0 B) 20,0 C) 60,0
D) 6,0 E) 40,0
11.
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)2 B)21
2 C)3 D) 3
1
2 E)4
12. 1
6 sayısının eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)0, 6 B)0, 16 C)0,16
D)0,16 E)0, 3
13.
eĢitliğinde x kaç olmalıdır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
14. 1−1
1+1
1−12
iĢleminin sonucu kaçtır?
𝐴)3
5 B)
3
8 C)
2
3 D)
8
5 E) 4
15. a, b ve c farklı pozitif tamsayıları
için 1
𝑎+
2
𝑏+
3
𝑐 toplamının alabileceği en büyük
değer kaçtır?
A)4 B) 13
3 C)
25
6 D)
9
2 E) 5
16. A yüksekliğinden bırakılan bir top
yüksekliğinin r (r< 1) ile çarpımı
kadar yükseliyorsa denge durumuna
gelinceye kadar aldığı toplam yol:
A.1+r
1−r dir.
6 metre yüksekliğinden bırakılan bir top
yüksekliğinin yarısı kadar yükseliyorsa
denge durumuna gelinceye kadar alacağı
toplam yol kaç metredir?
A)6 B)9 C)12 D)15 E)18
1.A 2.B 3.E 4.B 5.E 6.C
7.B 8.E 9.C 10.D 11.B 12.D
13.C 14.C 15.B 16.E
?
2
34
56
78
x
9
87
6
54
3
21