Capıtulo 6

. . . y calculo de derivadas

6.1. Otro punto de vista sobre la definicion de derivada

Hemos visto que hay buenas razones para justificar nuestro interes en el calculo de derivadas. En estecapıtulo queremos mejorar nuestra habilidad para calcularlas, utilizando tecnicas similares a las que hemosvisto en el capıtulo anterior. Cuando hayamos desarrollado esas tecnicas, la derivada se convertira –comoveremos en los proximos capıtulos– en un instrumento muy poderoso para el analisis del comportamientode las funciones.

En el capıtulo 4 vimos que, para calcular la pendiente de la recta tangente a una funcion f en unpunto x0, era conveniente definir la derivada ası:

f ′(x0) = lımx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0

Vamos a rescribir esta definicion de otra manera, con un doble objetivo. Por un lado, el objetivo inme-diato: queremos una definicion que nos ayude a calcular derivadas. Y ademas hay un objetivo de maslargo alcance: cuando, en la segunda parte del curso, nos ocupemos de las funciones de varias variables,tendremos que generalizar a ese contexto buena parte del trabajo que estamos haciendo aquı. La anteriordefinicion de derivada no se generaliza bien. La que vamos a ver ahora, en cambio, se extiende con muchanaturalidad a esas situaciones mas generales.

La idea inicial es que decir que

f ′(x0) = lımx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0

es lo mismo que decir que la unica solucion de

lımx→x0

(

f(x) − f(x0)

x − x0

− m

)

= 0

es m = f ′(x0). Esta ultima expresion se puede reorganizar ası, sin mas que agrupar los terminos con undenominador comun:

lımx→x0

f(x) − (f(x0) + m(x − x0))

x − x0

= 0

Al escribirlo de esta manera, en el numerador ha aparecido una expresion que nos debe resultar familiardesde el comienzo de nuestras reflexiones sobre la recta tangente. La expresion

y = f(x0) + m(x − x0)

es una recta con pendiente m que pasa por el punto (x0, f(x0)). Es decir que tenemos una expresion dela forma:

lımx→x0

(valor de f) − (valor de la recta de pendiente m)

x − x0

= 0

El numerador representa el error que se comete al aproximar f(x) por la recta de pendiente m en x0. Esdecir:

lımx→x0

Error al aproximar f mediante una recta de pendiente m

x − x0

= 0

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Por su parte el denominador es la diferencia entre x y x0, una cantidad que se va a ir haciendo mas ymas pequena a medida que x se acerque a x0. ¡Esa es la clave! Esta expresion significa que el error que secomete al aproximar f mediante una recta de pendiente m es muy pequeno, incluso cuando se comparacon una cantidad que de antemano sabemos que se esta haciendo pequena, como es x−x0. La derivada es,entonces, el unico valor de m para el que se obtiene una recta con esta excelente calidad de aproximacionde f cerca de x0. Vamos a utilizar estas ideas como fundamento de la definicion alternativa de derivada:

Definicion 6.1.1 (Segunda definicion de derivada).

La funcion f es derivable en x0 si existe un numero f ′(x0) tal que, al definir el termino de error

E(x) = f(x) − (f(x0) + f ′(x0)(x − x0))

se cumple

lımx→x0

E(x)

x − x0

= 0

Dejamos al lector la tarea de comprobar que ambas definiciones de derivada son equivalentes.

Observacion (Representacion de una funcion con derivada). Es decir, que si f es derivable en x0,podemos escribir:

f(x) = (f(x0) + f ′(x0)(x − x0)) + E(x) = recta tangente en x0 + termino de error

donde E(x), el termino de error tiene la propiedad:

lımx→x0

E(x)

x − x0

= 0

Insistimos: esta propiedad significa que el error cometido al aproximar f mediante la recta tangente esmuy pequeno cuando nos acercamos a x0.

En las proximas secciones vamos a ver como utilizar esta definicion de derivada para desarrollarmetodos de calculo de derivadas, similares a los que hemos construido para el calculo de lımites. Esdecir, metodos que permitan obtener la derivada de una manera eficiente, para hacer comodo su empleo.Como en el caso del calculo de lımites, vamos a analizar las derivadas de las funciones mas elementales(polinomios, trigonometricas, exponenciales), y ademas vamos a obtener una serie de reglas de derivacion;es decir, teoremas que nos dicen como combinar las derivadas de dos funciones cuando las sumamos, omultiplicamos, etcetera.

6.2. Reglas de derivacion: sumas y productos.

6.2.1. Derivadas de rectas. Derivadas de constantes.

Las mas basicas de nuestro repertorio de funciones elementales son las rectas. Es decir, aquellasfunciones de la forma y = f(x) = ax + b. Observese que las rectas horizontales estan incluidas aquı, puesbasta con tomar a = 0; las rectas horizontales se corresponden con las funciones constantes. Las rectasverticales, que no se pueden escribir en la forma y = ax + b, no definen una funcion porque no asocian acada x un unico valor de y.

Para pensar en la derivada de una recta conviene recordar que la derivada es la pendiente de la rectatangente. Y si ademas tenemos presente que la recta tangente es la recta que mejor aproxima a unafuncion, deberıa resultar obvio que la recta tangente a una recta es la propia recta (independientementedel punto que estemos considerando). Es decir, que si tenemos la funcion y = f(x) = ax + b, su rectatangente en x0 es la propia recta y = ax + b. Y la derivada es la pendiente de la tangente, que es a.Ası pues, sea cual sea x0 se cumple que f ′(x0) = a, y tenemos este resultado:

Proposicion 6.2.1 (Derivada de rectas).

La funcion definida mediante y = f(x) = ax + b (con a, b numeros cualesquiera) es derivable en todopunto x0, y su derivada es

f ′(x0) = a

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El razonamiento geometrico que hemos dado hace que este resultado sea obvio, pero no es una demostra-cion. Dejamos al lector la tarea de demostrar este resultado utilizando alguna de las definciones (o mejorambas) de derivada que hemos visto.

Hay dos casos especiales de recta que son muy importantes: las constantes y la recta y = x; losdestacamos en el siguiente corolario:

Corolario 6.2.2 (Derivada de constantes y de y = x).

1. Las funciones constantes, definidas mediante y = b (con b un numero cualquiera) son derivables entodo punto x0, y su derivada es f ′(x0) = 0.

2. La funcion y = f(x) = x es derivable en todo punto x0, y su derivada vale f ′(x0) = 1.

6.2.2. Derivadas de sumas.

Vamos ahora a suponer que hemos conseguido calcular la derivada de dos funciones f y g en el puntox0. Nos gustarıa saber si hay alguna manera de aprovechar este calculo para derivar la suma de dichasfunciones.

Suponemos, por tanto, que f y g son derivables en x0 y nos preguntamos si la suma h = f + g esderivable en x0, y cuanto vale en tal caso su derivada (f + g)′(x0). Aunque la solucion es muy sencilla, latecnica que vamos a emplear para resolver este problema se generaliza a otras situaciones, ası que vamosa aprovechar la sencillez de este problema para verla en detalle.

Cuando queremos demostrar que una funcion y = h(x) es derivable en x0, podemos tratar de encontraruna expresion de la forma

h(x) = h(x0) + m (x − x0) + E(x)

y si demostramos que

lımx→x0

E(x)

(x − x0) = 0

entonces habremos demostrado que h es derivable en x0 y su derivada sera el numero x0. En el caso enel que y = h(x) = f(x) + g(x) es la funcion suma, vamos a tratar de obtener una expresion de la forma:

h(x) = h(x0) + m (x − x0) + E(x), es decir f(x) + g(x) = f(x0) + g(x0) + m(x − x0) + E(x)

Ese es nuestro objetivo. Para alcanzarlo, partimos de las siguientes representaciones:

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) + E1(x), donde lımx→x0

E1(x)

x − x0

= 0

y del mismo modo:

g(x) = g(x0) + g′(x0)(x − x0) + E2(x), donde lımx→x0

E2(x)

x − x0

= 0

Entonces, para aproximar la suma de las dos funciones podemos sumar estas dos expresiones y obtendre-mos, agrupando terminos:

f(x) + g(x) = (f(x0) + g(x0)) + (f ′(x0) + g′(x0))(x − x0) + E1(x) + E2(x)

Es decir, que si llamamos

m = f ′(x0) + g′(x0) y ademas E(x) = E1(x) + E2(x)

tenemos una formula con la estructura que querıamos:

h(x) = h(x0) + m (x − x0) + E(x)

Y, por tanto, si demostramos que

lımx→x0

E(x)

x − x0

= 0

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entonces podremos decir que h = f +g es derivable en x0 y su derivada es el numero m = f ′(x0)+g′(x0).Pues bien, lo que queda por demostrar es trivial, ya que:

lımx→x0

E(x)

x − x0

= lımx→x0

(

E1(x)

x − x0

+E2(x)

x − x0

)

= 0

por el teorema del lımite de la suma y las propiedades conocidas de E1 y E2. En resumen, tenemos esteresultado:

Proposicion 6.2.3 (Derivada de la suma).

Si las funciones f y g son derivables en x0, entonces la funcion suma f + g es derivable en x0 y ademas

(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0)

6.2.3. Derivadas de productos: la regla de Leibnitz

En este apartado vamos a tratar de adaptar al calculo de la derivada del producto la estrategia queacamos de usar en el caso de la suma. Es decir, que ahora tenemos

h(x) = f(x)g(x)

y nuestro objetivo vuelve a ser obtener una formula con esta estructura

h(x) = h(x0) + m (x − x0) + E(x), es decir f(x)g(x) = f(x0)g(x0) + m · (x − x0) + E(x) (6.1)

en la que podamos demostrar que

lımx→x0

E(x)

x − x0

= 0

Para hacerlo, evidentemente partimos otra vez de las aproximaciones de f y g en x0:

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) + E1(x), donde lımx→x0

E1(x)

x − x0

= 0

y:

g(x) = g(x0) + g′(x0)(x − x0) + E2(x), donde lımx→x0

E2(x)

x − x0

= 0

Pedimos al lector que compruebe que, multiplicando estas expresiones y agrupando terminos se obtieneuna formula con la estructura de 6.1:

f(x)g(x) = f(x0)g(x0) + m · (x − x0) + E(x)

dondem = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g

′(x0)

y la expresion del error, que consta de seis terminos, es:

E(x) = f(x0)E2(x)+g(x0)E1(x)+f ′(x0)(x−x0)E2(x)+g′(x0)(x−x0)E1(x)+f ′(x0)g′(x0)(x−x0)

2+E1(x)E2(x)

Ası que para terminar lo que necesitamos es demostrar que este E(x) es, en efecto, un error pequenocerca de x0, es decir:

lımx→x0

E(x)

x − x0

= 0

Para hacer esto, vamos a analizar los seis terminos deE(x)

x − x0

por partes. Es necesario tener en cuenta

que, por hipotesis:

lımx→x0

E1(x)

x − x0

= 0, lımx→x0

E2(x)

x − x0

= 0

y que, por tanto, se deduce quelım

x→x0

E1(x) = 0, lımx→x0

E2(x) = 0

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Con esta observacion el analisis es muy sencillo ya que:

lımx→x0

f(x0)E2(x) + g(x0)E1(x)

x − x0

= f(x0) lımx→x0

E2(x)

x − x0

+ g(x0) lımx→x0

E1(x)

x − x0

= 0

lımx→x0

f ′(x0)(x − x0)E2(x) + g′(x0)(x − x0)E1(x)

x − x0

= lımx→x0

f ′(x0)E2(x) + g′(x0)E1(x) = 0

lımx→x0

f ′(x0)g′(x0)(x − x0)

2

x − x0

= lımx→x0

f ′(x0)g′(x0)(x − x0) = 0

lımx→x0

E1(x)E2(x)

x − x0

= lımx→x0

E2(x)E1(x)

x − x0

= 0

Con esto hemos demostrado el siguiente teorema, que se conoce como regla de Leibnitz.:

Proposicion 6.2.4 (Derivada del producto).

Si las funciones f y g son derivables en x0, entonces la funcion producto fg es derivable en x0 y ademas

(fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0) Regla de Leibnitz

6.3. Derivacion de polinomios. Induccion.

Una vez que sabemos derivar sumas y productos, podemos usar esta informacion para calcular lasderivadas de las funciones mas elementales de todas, los polinomios. Porque los polinomios solo involucranesas operaciones: la suma y producto de numeros reales.

Veamos un primer ejemplo.

Ejemplo 6.3.1. Puesto que, la derivada de f(x) = x es f ′(x) = 1, podemos usar esto para calcular laderivada de g(x) = x2. Es decir, puesto que g(x) = x · x, la regla de Leibnitz nos ensena que:

g′(x) = (f · f)′(x) = f ′(x)f(x) + f(x)f ′(x) = 1 · x + x · 1 = 2x

Y ahora, de la misma forma, se puede derivar x3:

(x3)′ = (x · x2)′ = x′ · x2 + x · (x2)′ = 1 · x2 + x · (2x) = 3x2

Dejamos como ejercicio para el lector comprobar de la misma manera que se tiene:

(x4)′ = 4x3

(x5)′ = 5x4

Despues de varios ejemplos como estos el lector puede empezar a sospechar que se cumple la siguienteregla:

Si f(x) = xn, con n = 1, 2, 3, . . ., entonces f ′(x) = nxn−1.

Esta situacion se presenta en matematicas con una cierta frecuencia. Tenemos una propiedad pn,que se puede cumplir o no para distintos valores de n. Comprobamos que pn se cumple para algunos (omuchos) valores sencillos de n. Pero seguramente nos gustarıa ir mas alla y poder afirmar que la propiedadpn es valida sea cual sea el numero n. Veamos algunos otros ejemplos de stuaciones similares:

Ejemplo 6.3.2. Vamos a calcular la suma Sn de los primeros n numeros impares para algunos valoresde n:

- Para n = 1 se obtiene S1 = 1

- Para n = 2 se obtiene S2 = 1 + 3 = 4 = 22

- Para n = 3 se obtiene S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32

- Para n = 4 se obtiene S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

- Para n = 5 se obtiene S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

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Al llegar a este punto estamos casi seguros de que el lector empieza a creer en la siguiente afirmacion:

pn : la suma de los primeros n numeros impares vale Sn = n2

¿Es verdad entonces que si sumamos los primeros 1000 numeros impares se obtiene 10002? ¿Y para elprimer millon de numeros impares, sigue siendo valida la formula? Seguramente el lector preferirıa teneruna manera de estar seguro, aparte del –humillante– procedimiento que consiste en sumar un millon denumeros.

El problema es que si nuestra unica manera de afrontar esta situacion fuese ir probando valor trasvalor de n, solo podrıamos asegurar que la formula es valida para aquellos valores de n para los que lahemos comprobado. A veces nos llevaremos sorpresas, como en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 6.3.3.

1. Supongamos que se distibuyen n puntos sobre una circunferencia, y a continuacion esos puntosse conectan dos a dos mediante rectas de todas las formas posibles. ¿En cuantas regiones quedadividida la circunferencia? En la siguiente figura se muestran ejemplos para los primeros valores den:

Como puede verse, todos los valores mostrados parecen indicar que, para n puntos, el numero deregiones R(n) se ajusta a la formula:

R(n) = 2n−1

Sin embargo, el siguiente valor es R(6) = 30, como se ve en esta figura

Ası que la formula R(n) = 2n−1 no puede ser correcta. De hecho la formula correcta para esteproblema aparentemente elemental es mucho mas complicada, tanto que aquı no podemos explicarlaadecuadamente.

2. A la vista del anterior ejemplo el lector puede pensar que, en realidad, el problema es que habıamosprobado muy pocos casos de la formula. Lo unico que podemos contestar es ¿cuantos casos probarıa ellector antes de darse por convencido? Supongamos que descomponemos el polinomio pn(x) = xn−1

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en factores. Los primeros ejemplos son:

p1(x) = x − 1p2(x) = (x − 1)(x + 1)p3(x) = (x − 1)(x2 + x + 1)p4(x) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)p5(x) = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)p6(x) = (x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)p7(x) = (x − 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)p8(x) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)p9(x) = (x − 1)(x2 + x + 1)(x6 + x3 + 1)p10(x) = (x − 1)(x + 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)(x4 − x3 + x2 − x + 1)p11(x) = (x − 1)(x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)p12(x) = (x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)(x2 + 1)(x4 − x2 + 1)

y, como puede verse, todos los polinomios que aparecen como factores tienen coeficientes que son0, 1 o −1. ¿Es esta propiedad cierta para todo n? El lector puede pensar que hemos visto todavıapocos ejemplos. Tal vez sea cierto. Le animamos en tal caso a que calcule algunos mas. Despues decien pruebas puede que nos demos por satisfechos. Pero si nos armamos de paciencia terminaremospor descubrir que la presunta propiedad es falsa. El primer caso sucede cuando se toma n = 105.Se obtiene:x105 − 1 = (x − 1)

(

x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) (

x4 + x3 + x2 + x + 1)

(

x24 − x23 + x19 − x18 + x17 − x16 + x14 − x13 + x12 − x11 + x10 − x8 + x7 − x6 + x5 − x + 1)

(

x2 + x + 1) (

x12 − x11 + x9 − x8 + x6 − x4 + x3 − x + 1) (

x8 − x7 + x5 − x4 + x3 − x + 1)

(

x48 + x47 + x46 − x43 − x42 − 2 x41 − x40 − x39 + x36 + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 − x28 − x26

−x24 − x22 − x20 + x17 + x16 + x15 + x14 + x13 + x12 − x9 − x8 − 2 x7 − x6 − x5 + x2 + x + 1)

y, como se ve, el ultimo factor contiene dos coeficientes iguales a −2. Este ejemplo sin duda haceevidente la idea de que probar unos cuantos casos no constituye una demostracion.

3. ¿Y si aun ası el lector no se quiere dar por vencido e insiste: pero y si pruebo muchos, muchos,muchısimos casos, con ayuda de un ordenador incluso? Supongamos que se nos dice que sea cualsea el numero n, ninguno de los numeros

991n2 + 1

es un cuadrado perfecto. Podrıamos probar esta formula para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... y convencernosprogresivamente de que debe ser ası. Incluso podemos recurrir a la ayuda de un ordenador y probarel primer millon de casos. Despues de un ensayo ası, casi nos atrevemos a afirmar que cualquierapensarıa que estamos ante un teorema. Pero no es ası. Cuando se hace

n = 12055735790331359447442538767

se obtiene, por primera vez, un numero que es un cuadrado perfecto.(

991 (12055735790331359447442538767)2

+ 1)

= (3 79516400906811930638014896080)2

Confiamos en que este ejemplo monstruoso haya convencido hasta al lector mas esceptico.

Descartada la idea de probar muchos casos, ¿que podemos hacer? Existe una tecnica de demostracionen matematicas que es justo lo que se necesita en este tipo de problemas, y que vamos a exponer acontinuacion.

La demostracion por induccion

Para demostrar que una cierta propiedad Pn se cumple para todos los valores de n = 1, 2, . . . se sigueeste esquema en dos pasos:

1. Base de la induccion: empezamos por demostrar que la propiedad es cierta para el primer valor,n = 1 (en algunos casos puede que 1 no sea el primer valor. En cualquier caso, demostramos elprimero).

63

2. Paso de induccion: ahora debemos demostrar que si se cumple la propiedad pn (hipotesis deinduccion), entonces necesariamente se cumple la propiedad pn+1.

Si se completan estos dos pasos, habremos demostrado que la propiedad se cumple para todo n. Cuandose piensa en el metodo de demostracion por induccion, a menudo viene a la mente la imagen de unacoleccion de fichas de domino alineadas de tal manera que si una de ellas cae, hara caer a la siguiente.Esta colocacion se corresponde con lo que hacemos en el paso de induccion: demostramos que la verdadde pn provoca la verdad de la siguiente en la fila, que es pn+1. Y entonces basta con hacer caer la primeraficha p1 y sabemos que todas las fichas iran cayendo una tras otra.

Veamos un par de ejemplos, incluyendo la demostracion de la derivada de xn que motivo inicialmenteesta discusion.

Ejemplo 6.3.4. 1. Vamos a demostrar por induccion la formula para la suma de los n primerosnumeros impares:

Sn = (suma de los n primeros impares) = n2

Para ello debemos comprobar la base de la induccion. Esto es precisamente lo que hicimos en elejemplo 6.3.2 de la pagina 61, donde vimos que esta formula es valida para los primeros valoresde n. Lo que debemos hacer ahora es completar el paso de induccion. Para ello vamos a demostrarque:si se acepta que es cierto que

Sn = (suma de los n primeros impares) = n2

entonces debe aceptarse igualmente que es:

Sn+1 = (suma de los n + 1 primeros impares) = (n + 1)2

(Observese que esta es la propiedad pn, cambiando n por n + 1). En efecto, porque los primeros nimpares son

1, 3, 5, . . . , (2n − 1)

y el impar que hace el numero n + 1 es 2(n + 1) − 1 = 2n + 1. Ası que:

Sn+1 = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) + (2n + 1) = Sn + (2n + 1)

y si se acepta que Sn = n2 (este es el paso crucial, porque aquı es donde usamos la propiedad pn

para demostrar pn+1), entonces sera:

Sn+1 = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2

que es precisamente lo que estabamos tratando de demostrar. En resumen, cualquiera que se creaque Sn = n2, esta obligado a aceptar entonces que Sn+1 = (n + 1)2

2. Volvamos a la formula para la derivada de xn. Ya hemos comprobado al comienzo de esta seccionque

(xn)′ = nxn−1

se cumple para los valores iniciales de n (para n = 1, 2, 3, concretamente). Ahora queremos darel paso de induccion y demostrar que si se acepta que (xn)′ = nxn−1 , entonces debe aceptarse laformula que se obtiene de esta remplazando n por n + 1, y que es:

(xn+1)′ = (n + 1)xn.

En efecto, porque aplicando la Regla de Leibnitz se tiene que:

(xn+1)′ = (xn · x)′ = (xn)′ · x + xn · x′

y aplicando en este paso la hipotesis de induccion (la formula para (xn)′), se obtiene:

(xn+1)′ = (nxn−1)′ · x + xn = nxn + xn = (n + 1)xn

como querıamos demostrar.

64

Derivadas de polinomios

Combinando los resultados de esta seccion estamos en condiciones de dar respuesta al problema generaldel calculo de la derivada para polinomios:

Proposicion 6.3.5 (Derivada de polinomios).

Si f(x) = a0 +a1x+a2x2 + · · ·+anxn es una funcion definida por un polinomio, entonces f es derivable

en todo x0 y se tienef ′(x0) = a1 + 2a2x0 + · · · + nanxn−1

0

6.4. Derivada del cociente

Despues de las sumas y productos, parece natural ocuparse del cociente. Supongamos que sabemosderivar f y g en x0. .Y supongamos ademas que g(x0) 6= 0, de manera que el valor del cociente (f/g)(x0)esta bien definido. ¿Existe la derivada de (f/g) en x0? Y si es ası ¿cuanto vale?

La estrategia que vamos a seguir en este caso es ligeramente distinta de la que utilizamos en el casode la suma y el producto. Allı fue facil descubrir el resultado correcto a partir de la informacion quetenıamos sobre las rectas tangentes a f y g en x0. Si aquı tratamos de aplicar el mismo razonamiento,definirıamos

h(x) =f(x)

g(x)

y ahora tratarıamos de llegar a una expresion de la forma

h(x) = h(x0) + m · (x − x0) + E(x), con lımx→x0

E(x)

x − x0

= 0

es decir, que buscarıamos algo como:

h(x) =f(x)

g(x)=

f(x0)

g(x0)+ m · (x − x0) + E(x), con lım

x→x0

E(x)

x − x0

= 0 (6.2)

y la derivada serıa el numero m. Por ejemplo, podrıamos empezar por sustituir las aproximaciones de fy g en x0 de esta manera:

h(x) =f(x)

g(x)=

f(x0) + f ′(x0)(x − x0) + E1(x)

g(x0) + g′(x0)(x − x0) + E2(x), donde lım

x→x0

E1(x)

x − x0

= lımx→x0

E2(x)

x − x0

= 0

y ahora podrıamos manipular esta expresion buscando algo parecido a 6.2. Esto puede hacerse, pero escomplicado, y nos tememos que los detalles tecnicos oscurecerıan demasiado la discusion. Vamos a seguirotro camino, que resulta mas accesible. Mas adelante veremos que hay situaciones similares en las que laestrategia indirecta que vamos a seguir aquı tambien funciona.

El truco –frecuente en matematicas– consiste en suponer que el problema ya esta resuelto, y usarentonces las propiedades que deberıa tener la solucion para averiguar cual es la solucion. Para empezarvamos a simplificar el problema: puesto que f/g = f · (1/g), y ya sabemos derivar productos, bastara consaber calcular la derivada de 1/g; despues la Regla de Leibnitz nos dira cual es la derivada de f/g. Conesto nuestro problema queda reducido a estudiar como es la derivada de una funcion de la forma (1/f)cuando sabemos derivar f . Pues bien, si f es derivable en x0, y suponemos que (1/f) tambien lo es,puesto que ha de cumplirse

1 = f(x) · 1

f(x)

podrıamos aplicar la regla de Leibnitz para derivar ambos miembros de esta identidad. Y puesto que laderivada de 1 es 0, se obtiene:

0 =

(

f(x) · 1

f(x)

)

′

= f ′(x) · 1

f(x)+ f(x) ·

(

1

f(x)

)

′

Observese que en el ultimo termino aparece (1/f)′, que es precisamente lo que estamos tratando decalcular. Y ahora la idea es despejar ese valor desconocido de la relacion que hemos obtenido. Es decir,despejar:

(

1

f(x)

)

′

=−f ′(x)

f(x)2

65

El trabajo que hemos hecho hasta aquı puede resumirse diciendo que aun no sabemos si (1/f)′ existe enx0, pero que si existe, solo puede valer

−f ′(x0)

f(x0)2

Observese que, para que esto tenga sentido, debemos exigir obviamente que sea f(x0) 6= 0.Pues bien, ahora que hemos reducido el problema a un unico candidato, la demostracion del siguiente

resultado es mas sencilla:

Teorema 6.4.1 (Derivada del cociente).

Si y = f(x) es derivable en x0, y ademas f(x0) 6= 0, entonces (1/f) es derivable en x0 y se tiene:

(1/f)′(x0) =−f ′(x0)

f(x0)2

Demostracion. En este caso vamos a usar la primera definicion de derivada. Si h(x) =1

f(x), entonces

tenemos que calcular:

lımx→x0

h(x) − h(x0)

x − x0

= lımx→x0

1

f(x)− 1

f(x0)

x − x0

=

Agrupando en comun denominador los terminos del numerador se tiene:

= lımx→x0

f(x0) − f(x)

f(x)f(x0)(x − x0)= lım

x→x0

−1

f(x)f(x0)

f(x) − f(x0)

(x − x0)=

−f ′(x0)

f(x0)2

como querıamos demostrar. La demostracion tambien se puede hacer mediante la segunda definicion dederivada, pero en este caso la argumentacion es mas complicada.

A partir de este resultado podemos extender aun mas nuestra capacidad de calculo de derivadas. Acontinuacion veremos que la regla de derivacion de potencias se extiende a los exponentes negativos.

Derivadas de potencias negativas

Puesto que sabemos que (xn)′ = nxn−1 para n = 1, 2, 3 . . ., podemos aplicar el teorema que acabamosde demostrar para derivar (1/xn). Por supuesto, en un punto x0 6= 0. Se obtiene:

(

1

xn

)

′

=−nxn−1

x2n=

−n

xn+1

Un aspecto interesante de este resultado es que se puede escribir de esta forma:

(x−n)′ = −nx−n−1

es decir, que tenemos esta proposicion:

Proposicion 6.4.2 (Derivada de potencias enteras ).

Si a ∈ Z es cualquier numero entero, o sea si a = 0,±1,±2, . . ., entonces:

(xa)′ = axa−1 (en puntos 6= 0 si es a < 0)

Derivada del cociente

Hemos dejado pendiente la formula para la derivada de un cociente (f/g)′. Ahora es facil obtenerlacombinando los resultados anteriores con la Regla de Leibnitz. En efecto, si f y g son derivables en x0,y ademas g(x0) 6= 0, entonces:

(

f

g

)

′

(x0) =

(

f · 1

g

)

′

(x0) = f ′(x0)1

g(x0)− f(x0)

g′(x0)

(g(x0))2

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Para recordarlo mejor, este resultado se suele enunciar agrupando los terminos en comun denominador,obteniendo ası una fraccion cuyo numerador tiene una estructura similar a la de formula de Leibnitz:

Proposicion 6.4.3 (Derivada del cociente).

Si f y g son derivables en x0, y ademas g(x0) 6= 0, entonces:

(

f

g

)

′

(x0) =f ′(x0)g(x0) − f(x0)g

′(x0)

(g(x0))2

6.5. Regla de la cadena

La unica de las operaciones basicas de construccion de funciones que nos falta por analizar es lacomposicion. Es decir, que a partir de la derivada de f y de la derivada de g, nos gustarıa poder calcularla derivada de g(f(x)).

Ejemplo 6.5.1. Por ejemplo, sabiendo que la derivada de f(x) = x2 es f ′(x) = 2x y que la derivada deg(x) = sen x es g′(x) = cos x, nos gustarıa poder calcular la derivada de

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = sen(x2)

Empezaremos, como hemos hecho en otros casos, a partir de las formulas de aproximacion para ambasfunciones. Primero un poco de notacion. Supongamos que queremos calcular la derivada de g(f(x)) enx0. Para ello vamos a usar la aproximacion a f mediante su recta tangente en x0, que es:

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) + R1(x), con lımx→x0

R1(x)

x − x0

= 0

Y tambien necesitaremos la recta tangente a g, pero ¿en que punto? Tenemos el esquema tıpico de unacomposicion:

xf

//

g◦f

44yg

// u

ası que esta claro que lo que necesitamos es la recta tangente a g en el punto y0 = f(x0). Esa recta sera:

g(y) = g(y0) + g′(y0)(y − y0) + R2(y), con lımy→y0

R2(y)

y − y0

= 0

Ahora deberıa estar claro cual es el camino a seguir: para componer g con f sustuimos y = f(x) en laexpresion u = g(y). Ası que deberıamos hacer lo mismo en las rectas tangentes, sustituir la aproximacionde f en la aproximacion de g. Esto es, primero hacemos:

g(f(x)) = g(y0) + g′(y0)(f(x) − y0) + R2(f(x))

y ahora cambiamos f(x) por su aproximacion –salvo en el termino de error, sobre el que volveremos masadelante. Se obtiene:

g(f(x)) = g(y0) + g′(y0)(

f(x0) + f ′(x0)(x − x0) + R1(x) − y0

)

+ R2(f(x))

(Hemos resaltado en esta expresion la parte que hemos sustituido). Ahora debemos recordar que esy0 = f(x0), para escribir esto ası:

g(f(x)) = g(f(x0)) + g′(f(x0)) (f(x0) + f ′(x0)(x − x0) + R1(x) − f(x0)) + R2(f(x))

Observese que hay dos terminos que cancelan y llegamos a:

g(f(x)) = g(f(x0)) + g′(f(x0))f′(x0)(x − x0) + g′(f(x0))R1(x) + R2(f(x))

Si llamamos h(x) = g(f(x)) a la funcion composicion, y ademas hacemos R(x) = g′(f(x0))R1(x) +R2(f(x)) (parece evidente que este es un termino de error), llegamos a:

h(x) = h(x0) + h′(x0)(x − x0) + R(x)

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Y esta situacion ya es conocida: si conseguimos demostrar que

lımx→x0

R(x)

x − x0

= 0

habremos probado que h(x) = g(f(x)) es derivable en x0, y su derivada sera el coeficiente que acompanaa x0 en la anterior expresion, es decir, sera

(g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0))f′(x0) = g′(y0)f

′(x0)

Para terminar la demostracion necesitamos demostrar que el termino de error es realmente pequenocomparado con x − x0. Es decir,

lımx→x0

g′(f(x0))R1(x) + R2(f(x))

x − x0

lımx→x0

(

g′(f(x0))R1(x)

x − x0

+R2(f(x))

x − x0

)

= 0

El primer termino es muy facil, ya que es:

lımx→x0

g′(f(x0))R1(x)

x − x0

= g′(f(x0)) lımx→x0

R1(x)

x − x0

= 0

por la definicion de R1. Para el segundo termino queremos usar la definicion de R2, ası que escribimos:

lımx→x0

R2(f(x))

x − x0

= lımx→x0

R2(f(x))

y − y0

y − y0

x − x0

y hacemos y = f(x), y0 = f(x0), de manera que tenemos que demostrar que:

lımx→x0

R2(f(x))

f(x) − f(x0)

f(x) − f(x0)

x − x0

= 0

El segundo factor tiende a f ′(x0), ası que todo se reduce a demostrar que:

lımx→x0

R2(f(x))

f(x) − f(x0)= 0

Lo cual se obtiene de la definicion de R2, y del hecho de que f(x), al ser derivable en x0, tambien escontinua en x0. Esa continuidad, junto con la continuidad de R2 en y0, es lo justifica el cambio de variabley = f(x) en el siguiente lımite:

lımy→y0

R2(y)

y − y0

= lımx→x0

R2(f(x))

f(x) − f(x0)= 0

Con esto hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema 6.5.2 (Regla de la cadena).

Si f es derivable en x0, y g es derivable en f(x0), entonces la composicion g ◦ f es derivable en x0 yse cumple:

(g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0))f′(x0)

Observacion. La regla de la cadena aumenta mucho nuestra capacidad de calcular derivadas. Al principiola tecnica puede parecer difıcil, pero con un poco de practica enseguida se adquiere la soltura necesaria.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 6.5.3.

1. Empezamos con el ejemplo que hemos usado para abrir esta seccion. Sea y = f(x) = x2, y seag(y) = sen y (usamos la notacion x e y como en la discusion teorica para evitar confusiones).Entonces, puesto que ambas funciones son derivables en todo R, la regla de la cadena se aplica paradar, sea cual sea x este resultado:

(g ◦ f)′(x) = g′(y)f ′(x) = (cos y) · (2x)

y recordando que es y = x2, se tiene, finalmente:

(g ◦ f)′(x) = g′(y)f ′(x) = (cos x2) · (2x)

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2. Si mantenemos y = f(x) = x2 pero ahora tomamos g(y) = ey tendremos de la misma forma (parax 6= 0)

(g ◦ f)′(x) = g′(y)f ′(x) = ey · (2x) = ex2 · 2x

Y si fuera g(y) = (y3 − 3y + 5), entonces tendrıamos:

(g ◦ f)′(x) = g′(y)f ′(x) = (3y2 − 3) · (2x) = ex2 · 2x

Como muestran estos ejemplos, la regla de la cadena procede “de fuera hacia dentro”. Es decir, queal encontrarnos con una expresion como esta:

f(x) =√

algo aquı dentro de la raız,

empezamos por derivar la operacion externa, la raız, escribiendo:

f ′(x) =1

2√

lo de dentro sin modificar· (la derivada de lo de dentro)

Y de la misma forma. ante una expresion como esta,

f(x) = ln algo aquı dentro del logaritmo,

empezamos por derivar la operacion externa, en este caso el logaritmo y tendremos:

f ′(x) =1

lo de dentro sin modificar· (la derivada de lo de dentro)

Esta manera de trabajar es la que nos permite abordar, paso a paso, de fuera hacia dentro, y en com-binacion con el resto de las tecnicas de derivacion, la derivacion de funciones compuestas complicadas,como las que veremos en los ejercicios del curso.

6.6. Tabla de derivadas elementales

Despues de introducir las reglas basicas de derivacion, cerramos este capıtulo con una tabla de deri-vadas de funciones que, de ahora en adelante, supondremos conocidas para el lector. La tabla es esta:

f(x) f ′(x) f(x) f ′(x)

c(cte.) 0 xa axa−1

lnx1

xex ex

sin x cos x cos x − sin x

tanx sec2 x sec x sec x tanx

arc sen x1√

1 − x2arctanx

1

1 + x2

De todas estas formulas, hasta ahora solo hemos demostrado la formula para la derivada de xn cuando nes un numero entero. Las funciones trigonometricas se argumentaron mediante figuras, lo cual no puededecirse que sea una demostracion aunque por el momento sera suficiente. La exponencial y el logaritmosuponen un desafıo todavıa a estas alturas, ya que hasta ahora tenemos una relacion muy informal eingenua con estas funciones: no hemos dado una definicion suficientemente detallada de estas funcionescomo para poder abordar demostraciones que las involucren. En cuanto al arcoseno y arcotangente,volveremos sobre ellas en el capıtulo sobre funciones inversas. A pesar de que, como se ve, podemosjustificar muy pocas de estas formulas, queremos hacerlas aparecer aquı para que el lector pueda usarlasen los ejemplos e ir ası practicando la tecnica de la derivacion. A su debido tiempo volveremos sobretodas ellas.

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