calcolo delle variazioni modellistica e ottimizzazione di sistemi e processi energetici k.d. bizon

Calcolo delle variazioni Modellistica e Ottimizzazione di Sistemi e Processi Energetici K.D. Bizon

Ottimizzazione in spazi funzionali: il calcolo variazionale Si pu generalizzare il concetto di ottimizzazione, costruendo un cosiddetto funzionale, ossia unespressione a valori in, lequivalente concettuale della funzione obiettivo, che dipende non pi da un certo numero di parametri di progetto, ma da una o pi funzioni incognite. Tali funzionali possono per esempio essere formulati come integrali che coinvolgono una funzione incognita e le sue derivate. Linteresse per le funzioni estremali: quelle cio che rendono massimo o minimo il valore del funzionale. Come per i problemi di minimizzazione in spazi a dimensione finita, anche in questambito esistono condizioni necessarie per lesistenza di estremi, che corrispondono a una condizione di stazionariet per il funzionale. Lanalisi delle piccole variazioni attorno ad una presunta soluzione porta a una condizione necessaria del primo ordine.

I problemi classici di calcolo delle variazioni Tra i grandi problemi passati alla storia della matematica, vale la pena citarne alcuni, oltrech per il loro interesse soprattutto geometrico e fisico, per il ruolo che hanno avuto nello sviluppo del calcolo delle variazioni. Nel problema isoperimetrico ci si chiede quale figura piana o spaziale renda massima larea o il volume, a seconda della dimensione, a parit di perimetro o di area della superficie che lo racchiude. Un altro problema interessante quello della ricerca delle geodetiche di una superficie, che sono le curve di minima lunghezza, di estremi assegnati e giacenti su di essa. Per la sfera le soluzioni sono gli archi di cerchio massimo. Il celebre problema della brachistocrona venne posto nel 1696 da Jean Bernoulli. Si tratta della traiettoria prestabilita liscia lungo la quale deve scivolare un punto materiale pesante, con posizioni iniziale e finale assegnate, affinch il tempo impiegato per la discesa sia minimo.

Rampa/galleria pi veloce

Problema isoperimetrico Massimo volume a parit di area di superficieMassima area a parit di perimetro

Geodetiche di una superficie Geodetica una particolare curva che descrive localmente la traiettoria pi breve fra punti di un particolare spazio

Problema della brachistocrona

Calcolo delle variazioni Lo strumento chiave del calcolo delle variazioni classico lequazione di Eulero-Lagrange. Nella sua forma pi semplice, il calcolo delle variazioni consiste nel minimizzare il cosiddetto integrale d'azione: al variare della funzione y (x) fra tutte quelle che soddisfano le condizioni y (x 1 ) = y 1 ed y (x 2 ) = y 2. Si cerca dunque una funzione y = y (x) (x 1 x x 2 ) che collega i due punti (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) e che minimizza l'integrale d'azione I.

Calcolo delle variazioni Nella sua forma pi semplice, il calcolo delle variazioni consiste nel minimizzare il cosiddetto integrale d'azione: al variare della funzione y(x) fra tutte quelle che soddisfano le condizioni: y (x 1 ) = y 1 ; y(x 2 ) = y 2. Questo appena enunciato si chiama problema fondamentale del calcolo delle variazioni. Si cerca dunque una funzione y = y(x), (x 1 x x 2 ) che collega i due punti (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) e che minimizza l'integrale I.

Supponiamo che f sia di classe C 1 nelle tre variabili x, y ed y, e consideriamo le due funzioni y(x) ed Y(x) = y(x) (x), entrambe passanti per i due punti (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ), dove un parametro. Poich y(x 1 ) = Y(x 1 ) ed y(x 2 ) = Y(x 2 ), allora (x 1 ) = (x 2 ) = 0 ; per il resto, la funzione (x) arbitraria. Il termine (x) rappresenta la variazione di y(x). Noi vogliamo determinare quella y(x) per la quale il funzionale I ha un estremo relativo, e dunque quella y(x) che, comunque perturbata dalla variazione (x), con piccolo, lascia stazionario il valore del funzionale: Calcolo delle variazioni: lequazione di Eulero-Lagrange

Calcoliamo quindi la derivata rispetto ad del funzionale I. Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte, si ha: Scomponiamo lintegrale in somma di integrali ed integriamo il secondo per parti: Calcolo delle variazioni: lequazione di Eulero-Lagrange

Poich (x 1 ) = (x 2 ) = 0, lintegrale del fattore finito si annulla e dunque, portando a fattor comune, si ha: Dato che (x) una funzione arbitraria, lintegrale nullo se e solo se identicamente nulla la quantit in parentesi. Di conseguenza, la derivata rispetto ad del funzionale I si annulla se e solo se y(x) soluzione dellequazione (detta di Eulero-Lagrange):

Calcolo delle variazioni: lidentit di Beltrami Se la funzione f esplicitamente indipendente da x, si pu dimostrare che la soluzione del problema variazionale soddisfa una forma particolare dellequazione di Eulero-Lagrange, detta Identit di Beltrami: dove C una costante.

Esempio 1: percorso pi corto (1)

Esempio 2: problema della brachistocrona (1)

Esempio 3: galleria pi veloce

Problema isoperimetrico (1)

Problema isoperimetrico (2)

Esempio 5: cavo sospeso (1)

Metodi numerici Metodo di Eulero Metodo di Ritz Metodo di Kantorowicz (per pi variabili)

Metodo di Ritz (1)

Metodo di Ritz (2)

Metodo di Ritz (3)

Metodo di Ritz: esempio (1)

Metodo di Eulero (1)

Metodo di Eulero (3)

Metodo di Eulero: esempio (1)

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