calculo derivada max y min

8/15/2019 calculo derivada max y min

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Ejercicios

Calculo I

Prof. Eliseo Velasquez Condori

Mayo 17

(Prof) Eliseo Velasquez Condori Calculo I

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Ejercicios

Ejercicio.-Hallar los los maximo y mınimos de la funcion

y = x2 − 2 x + 10

x − 1

Solucion.- El dominio de la funcion es Dom= R − {1}. Los punto criticos

son candidatos hacer mınimos y maximos

y

= x2 − 2 x + 10

x − 1

= ( x2 − 2 x + 10)

( x − 1) − ( x2 − 2 x + 10)( x − 1)

( x − 1)2

= (2 x − 2)( x − 1) − ( x2 − 2 x + 10)1

( x − 1)2

= x2 − 2 x − 8( x − 1)2

= ( x + 2)( x − 4)( x − 1)2

Ahora hacemos y = 0 es decir ( x + 2)( x − 4) = 0 y obtenemos que los

puntos critico son: PC = {−2, 4}


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Ejercicios

Entonces en x = −2 hay un maximo local(o relativo) f (−2) = −18/3 y en

x = 4 hay un mınimo local(o relativo) f (4) = 18/3.


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Ejercicios

Ejercicio.- La funcion y = x4 + Ax3 + B tiene un maximo local en el punto

(3,-20). Hallar A y B .

Solucion.- Los puntos criticos son candidatos hacer maximo y mınimos ypara hallarlos hacemos y = 0.

( x4 + Ax3 + B)

= 0

( x4)

+ A( x3)

+ ( B)

= 0

4 x3 + 3 Ax2 = 0

x2(4 x + 3 A) = 0

x = 0, x = −3 A

4

Obtenemos los puntos critico: PC={0,− 3 A4 }.

Puesto que en el punto (3,-20) hay un maximo, es decir f (3) = 0, entonces

3 ∈ {0,− 3 A4

}. Luego 3 = − 3 A4

, despejando A tenemos A = −4.

Tambien, tenemos que f (3) = −20, es decir (3)4 − 4(3)3 + B = 0, de

donde B = 7.


Ej i i

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Ejercicios

Ejercicio.- Hallar los extremos locales de la funcion y = −1 + 6| x| − 3 x2.

Solucion.- Los puntos criticos son candidatos hacer maximo y mınimos y

para hallarlos hacemos y = 0.

(−1 + 6| x| − 3 x2)

= 0

(−1)

+ 6(| x|)

− 3( x2)

= 0

(−1)

+ 6((( x)2)1/2)

− 3( x2)

= 0

0 + 6( 12

( x2)−1/2(2 x)) − 6 x = 0

6 x

( x2)1/2 − 6 x = 0

6 x

| x| − 6 x = 0

6 x( 1

| x| − 1) = 0

Tenemos que los puntos criticos son: PC= {−1, 0, 1}.


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Ejercicios

Ademas, como | x| = x si x > 0 y | x| = − x si x < 0

y =

−6 − 6 x = −6( x + 1) si x < 0

No existe si x = 0

6 − 6 x = −6( x − 1) si x > 0


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Ejercicios

Tenemos que en x = −1 la funcion tiene maximo, f (−1) = 2, en x = 0 la

funcion tiene mınimo, f (0) = −1 y en x = 1 la funcion tiene maximo,

f (1) = 2


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Ejercicios

Ejercicio.- Hallar los extremos locales de la funcion y = x

4

+ 4 x

2

− 12 x + 5.Solucion.- Hacemos y = 0.

( x4 + 4 x2 − 12 x + 5) = 0

( x4) + 4( x2) − 12( x) + (5) = 0

4 x

3

+ 8 x − 12 = 04( x − 1)( x2 + x + 3) = 0

x − 1 = 0, x2 + x + 3 = 0

Como x2 + x + 3 > 0 para todo x , entonces unicamente tenemos que

x = 1. Asi PC= {1}


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Ejercicios

Asi, tenemos que en x = 1, la funcion tiene mınimo, f (1) = −2.


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j

Ejercicios

Ejercicio.- Halle los extremos locales de f ( x) = − x3 + 8 x − 5.

Solucion.- Hacemos y

= 0.

(− x3 + 8 x − 5) = 0

(− x3) + 8( x) − (5) = 0

−3 x2 + 8 = 0

−3( x2 − 8

3 ) = 0

−( x2 − 8

3) = 0

x − 8

3

= 0, x + 8

3

= 0

x =

8

3, x = −

8

3

Asi, los puntos criticos son PC= {

83,−

83

}.


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Asi, en x = −

83

hay un mınimo,

f (− 83

) =? calcular y en x = 83

hay un maximo local, f (

83

) =?

calcular.


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Ejercicios



Ejercicio.- Halle los extremos locales de f ( x) = − x3 + 3 x2 + 24 x − 5.

a) sobre [−4, 2]

b) sobre [−3,+∞]

c) sobre [−3, 5]


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Solucion(a).- Hacemos y = 0.

(− x3 + 3 x2 + 24 x − 5) = 0

−( x3) + 3( x2) + 24( x) − (5) = 0

−3 x2 + 6 x + 24 = 0

−3( x2 − 2 x − 8) = 0

−( x2

− 2 x − 8) = 0−( x − 4)( x + 2) = 0

x − 4 = 0, x + 2 = 0

x = 4, x = −2

Asi, los puntos criticos son PC= {−4,−2, 2} el 4 no es punto critico, pues4 ∈ [−4, 2].


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Asi, en x = −2 la funcion

tiene un mınimo local y que

es a la ves un mınimo global

, f (−2) =? calcular. Y en

x = −4 hay un maximo lo-cal, f (−4) =? y en x = 2

tambien hay un maximo lo-

cal f (2) =? calcular.


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Nota: los ejercicos b) y c) se resuelven de la misma forma como el ejercicio

a).


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