cálculo diferencial en espacios de banach

Calculo Diferencial en Espacios de Banach

Hans Cristian Muller Santa Cruz

14 de marzo de 2008

Indice general

Prefacio V

I. Calculo Diferencial en Espacios de Banach 1I.1. Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.2. Aplicaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.3. Diferenciabilidad en los Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.4. Teorema de los Incrementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

I.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.5. Teorema del punto fijo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

I.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.6. Teorema de Inversion Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.7. Teorema de las Funciones Implıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

I.7.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28I.8. Aplicaciones Bilineales y Multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

I.8.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30I.9. Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

I.9.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33I.10. Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

I.10.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

II. Subvariedades Diferenciales 35II.1. Teorema del Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35II.2. Subvariedades Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II.3. Espacio Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39II.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

III. Maximos y Mınimos Locales 43III.1. Maximos y mınimos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43III.2. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45III.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

IV. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 51IV.1. Conceptos Basicos y Algunos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51IV.2. Existencia y Unicidad del Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

i

ii INDICE GENERAL

Indice de figuras

I.1.1. Sucesion de Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.5.2. Metodo de las aproximaciones sucesivas para f(x) = cosx y f(x) = ex/4 . . . . . . . . . . . 18I.5.3. Metodo de Newton (izquierda) y metodo de Newton simplificado (derecha) . . . . . . . . . 19I.6.4. Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II.2.1. Visualizacion del teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

IV.1.1.Trayectoria de una solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53IV.1.2.Vector Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54IV.1.3.Representacion de un Campo de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54IV.1.4.Trayectorias del Sistema Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56IV.1.5.Familia de Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59IV.1.6.Angulo entre dos curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59IV.1.7.Curvas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61IV.2.8.Iteracion de Picard-Lindelof para el problema del ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

iii

iv INDICE DE FIGURAS

Prefacio

v

vi PREFACIO

Capıtulo I

Calculo Diferencial en Espacios deBanach

I.1. Espacios de Banach

En el Curso de Algebra Lineal se hizo un estudio profundo de los Espacios Vectoriales y sus propiedades. Enesta seccion, se estudiara los espacios vectoriales bajo una optica del analisis. A continuacion damos algunasdefiniciones utiles para nuestro estudio.

Definicion I.1.1 Una norma sobre un espacio vectorial V es una aplicacion ‖·‖ : V → V que verifica lastres propiedades:

(N1) ‖x‖ ≥ 0 y ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0,

(N2) ‖λx‖ = |λ| · ‖x‖,

(N3) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (desigualdad del triangulo).

Definicion I.1.2 Se dice que E es un espacio vectorial normado, si E es un espacio vectorial provistode una norma.

Definicion I.1.3 Sea E un espacio vectorial normado. Se dice que la sucesion {xn} con valores en E esconvergente, si existe a ∈ E, tal que

∀ε > 0 ∃N ∈ N, ∀n ≥ N ‖xn − a‖ < ε;

si es el caso, se dira que {xn} converge hacia a ∈ E.

Definicion I.1.4 Sea E un espacio vectorial normado. Se dice que la sucesion {xn} con valores en E esuna sucesion de Cauchy, si

∀ε > 0 ∃N ∈ N, ∀n,m ≥ N ‖xn − xm‖ < ε.

Definicion I.1.5 Un espacio vectorial normado E se dira que es completo si cada sucesion de Cauchy enE es convergente. Un espacio vectorial normado y completo se llama un espacio de Banach.

En el curso de Primer Ano de Analisis se mostro que Rn con la norma euclidiana es completo, de donde Rn

es un espacio de Banach. Podrıamos creer ingenuamente que todos los espacios vectoriales reales provistosde norma, son espacios de Banach. Lastimosamente, o por el contrario, existen espacios normados que noson espacios de Banach. Mas todavia, en la proposicion siguiente, se vera que un mismo espacio provisto denormas diferentes tiene comportamientos diferentes.

Proposicion I.1.1 SeaC([0, 1]) = {f : [0, 1] → R| f continua}.

1

2 CAPITULO I. CALCULO DIFERENCIAL EN ESPACIOS DE BANACH

Con la norma‖f‖∞ = max

t∈[0,1]|f(t)| ,

C([0, 1]) es un espacio de Banach. Al contrario, con una de las normas

‖f‖1 =∫ 1

0

|f(t)| dt o ‖f‖2 =

√∫ 1

0

|f(t)|2 dt

el espacio C([0, 1]) no es un espacio de Banach.

Demostracion.- Para ver que C([0, 1]) es un espacio vectorial es suficiente ver que es un subespacio de R[0,1]

es espacio de las funciones de [0, 1] en R, ver ejemplo 4 de I.1 texto de Algebra Lineal.La verificacion que ‖·‖∞ es una norma sobre C([0, 1]), es consecuencia directa de las propiedades de max

y sup vistas en el curso del Primer Ano de Analisis. Por consiguiente, la demostracion es un simple repasoque se deja al estudiante.

La positividad, a homogeneidad y la desigualdad del triangulo para ‖·‖1 y ‖·‖2 resultan de las propiadesde la integral de Riemann, tambien vistas en el primer ano de analisis. Mostraremos que ‖·‖1 es estrictamentepositiva; es decir que ‖f‖1 = 0, implica que f = 0. En efecto, supongamos lo contrario; es decir, existe unafuncion f ∈ C([0, 1]) no nula, tal que ∫ 1

0

|f(t)| dt = 0.

Como f , es no nula, existe t0 ∈ [0, 1], tal que f(t0) 6= 0. Por la continuidad de f , en particular en t0, existeun subintervalo [t1, t2], tal que |f(t)| ≥ |f(t0)| /2, de donde∫ 1

0

|f(t)| dt ≥∫ t2

t1

|f(t)| dt ≥ f(t0)2

(t2 − t1);

lo que conduce a una contradiccion. Para ‖·‖2, la demostracion es completamente similar.Ahora bien, utilizando los resultados de la convergencia uniforme, para sucesiones de funciones, se tiene

C([0, 1]), con la norma de la convergencia uniforme, es un espacio de Banach.Mostremos que C([0, 1]) con la norma ‖·‖1 no es completo. En efecto, consideremos la sucesion de funciones

continuas sobre [0, 1], dada por

fn(x) =

0 si x ≤ 1

2 −1

n+1 ;1 + (n+ 1)(x− 1

2 ) si 12 −

1n+1 ≤ x ≤ 1

2 ,

1 si x ≥≤ 12 .

En la figura I.1.1, observamos algunas de estas funciones. Esta sucesion es una sucesion de Cauchy, respectoa la norma ‖·‖1. En efecto, un simple calculo de areas, dara

‖fn − fm‖ =12

∣∣∣∣ 1n+ 1

− 1m+ 1

∣∣∣∣→ 0,

cuando n,m→∞. Por otro lado, fijando x ∈ [0, 1], se observa,

lımn→∞

fn(x) ={

0 si x < 12 ,

1 si x ≥ 12.

Por lo tanto, constatamos que esta sucesion, puntualmente converge a una funcion que no es continua, ladiscontinuidad esta en 1/2.

Aunque la sucesion fn, no converga puntualmente a una funcion continua, eso no significa necesariamenteque la sucesion fn no converga a una funcion continua; por lo que debemos probar.

Supongamos que dicha sucesion converge a una funcion continua f definida sobre [0, 1]. Consideremos lossubintervalos [0, a] con a < 1/2. Las restricciones de fn sobre [0, a] convergen sobre la restriccion de f sobre[0, a], porque ∫ a

0

|fn(t)− f(t)| dt ≤∫ 1

0

|fn(t)− f(t)| .

I.1. ESPACIOS DE BANACH 3

1

1/2 1

Figura I.1.1: Sucesion de Funciones.

Una verificacion inmediata y la unicidad del lımite, dara que f(t) = 0, sobre [0, a]. El mismo razonamiento,con [b, 1] b > 1/2, nos dara f(t) = 1 sobre [b, 1]. Esto significa que{

0 si x < 12 ,

1 si x > 12;

conduciendo a que f sea discontinua en 1/2, lo que es contradictorio.

�

Proposicion I.1.2 Consideremos el conjunto

B(A) = {f : A→ R| f acotada}

de las funciones acotadas sobre A. B(A) con la adicion y la multiplicacion por escalar, la norma

‖f‖∞ = supt∈A

|f(t)|

es un espacio de Banach.

Demostracion.- Ejercicio.

�

Un Poco de Topologıa

Definicion I.1.6 Sean E un espacio vectorial; ‖·‖p y ‖·‖q normas sobre E. Se dira que ‖·‖p y ‖·‖q sonequivalentes si:

existe Cq > 0 tal que ∀x ∈ E se tiene ‖x‖p ≤ Cq ‖x‖q ,

existe Cp > 0 tal que ∀x ∈ E se tiene ‖x‖q ≤ Cp ‖x‖p .

Remarca I.1.1 Se tiene las siguientes remarcas:

1. La equivalencia de normas, es una relacion de equivalencia sobre el conjunto de normas del espaciovectorial E.

2. La equivalencia de normas, conserva las caracterısticas de una sucesion; es decir si ‖·‖p y ‖·‖q sonequivalentes, se tendra “{xn} sucesion en E es convergente, (de Cauchy) para la norma ‖·‖p, si ysolamente si {xn} es convergente, (de Cauchy) para la norma ‖·‖q”


3. Por la remarca 1 y 2, al hablar de un espacio vectorial normado, uno se refiere, no solamente a unanorma, sino a una clase de equivalencia de normas, por loq que dependiendo la situacion, uno elegira lanorma mas conveniente de la clase de equivalencia.

Proposicion I.1.3 En Rn, todas las normas son equivalentes.

Demostracion.- Suficiente mostrar que cualquier norma ‖·‖ es equivalente a la norma euclidiana sobre Rn.Sea x ∈ Rn, se tiene.

‖x‖ =

∥∥∥∥∥n∑

i=1

xiei

∥∥∥∥∥ ≤n∑

i=1

|xi| ‖ei‖ ≤ max1≤i≤n

‖ei‖n∑

i=1

|xi| ,

aplicando la desigualdad de Cauchy, se obtiene

‖x‖ ≤√n max

1≤i≤n‖ei‖ ‖x‖2 . (I.1.1)

Para la otra desigualdad, consideremos B = {x ∈ E| ‖x‖2 = 1}. Denotemos por m = ınfx∈B

‖x‖. Se tiene

m ≥ 0, mostremos que m > 0, porque sino existirıa una sucesion xn de B tal que

lımn→∞

‖xn‖ = 0,

como B es compacto en Rn, (respecto a la norma euclidiana), existirıa una subsucesion xnkque converge

a x ∈ B, (respecto a la norma euclidiana). Utilizando, la desigualdad (I.1.1), la sucesion xnktambien

convergerıa a x respecto a la otra norma, lo que imposible, porque x 6= 0. De donde, planteando C = 1/m,y observando que x = ‖x‖2 x/ ‖x‖2 para x 6= 0, se obtiene

‖x‖2 ≤ C ‖x‖ .

Para x = 0 la desigualdad se cumple de todas maneras.

�

Corolario I.1.1 Rn provisto de una norma es un espacio de Banach.

Corolario I.1.2 Si E es un espacio vectorial normado de dimension finita, entonces E es un espacio deBanach.

Demostracion.- Sea {d1, . . . , dn} una base de E. La aplicacion

ϕ : Rn −→ E

x 7→n∑

i=1

xidi

es un isomorfismo de espacios vectoriales. Un ejercicio que se deja al estudiante, mostrara que si ‖·‖ es unanorma sobre Rn, la aplicacion ‖·‖◦ϕ−1 es una norma sobre E y que si ‖·‖ es una norma sobre E, la aplicacion‖·‖ ◦ ϕ es una norma sobre Rn; que una es la inversa de la otra. De donde existe una biyeccion entre losconjuntos de las normas de Rn y E, con lo que se asegura la completitud de E para una norma dada.

�

Cuando los espacios vectoriales son de dimension infinita, existen normas que no son equivalentes. La pro-posicion I.1.6 nos muestra que la norma ‖cdot‖∞, no es equivalente, ni con ‖cdot‖1, ni con la norma ‖cdot‖2.A continuacion repasamos algunas de las definiciones, vistas en Rn que se generalizan a espacios normados.

I.1. ESPACIOS DE BANACH 5

Definicion I.1.7 Sea E un espacio normado, una bola de centro a y radio r > 0, es el conjunto

Br(a) = {x ∈ E| ‖x− a‖ < r}.

Un conjunto V ⊂ E es un vecindario de a ∈ E, si existe ε > 0 tal que Bε(a) ⊂ V .Un conjunto U ⊂ V es abierto, si U es vecindario de cada uno de sus elementos; es decir si

∀x ∈ U, ∃ε > 0 Bε(x) ⊂ E.

Un conjunto A ⊂ E es cerrado, si el lımite de cada sucesion convergente {xn} con xn ∈ A, pertenece a A.Un conjunto K ⊂ E es compacto, si cada {xn} con xn ∈ K admite una subsucesion que converge hacia unelemento de K.

Dejamos como ejercicio, el repaso de las otras definiciones para R y Rn vistas en el Primer Ano de Analisis.

Remarca I.1.2 Se tiene:

1. Las nociones de abierto, cerrado, vecindario, compacto, adherencia, interior, punto de acumulacion,etc, son invariantes para normas equivalentes.

2. La mayorıa de los resultados obtenidos para Rn son ciertos, si se remplaza Rn por E espacio de Banach.Hay que fijarse que en las demostraciones no intervenga la dimension. Sin embargo, otras propiedadesse pierden, si se remplaza Rn por un espacio de Banach, por ejemplo:

• La bola cerrada {x ∈ E| ‖x‖ ≤ 1} no es necesariamente compacta.

• El teorema de Bolzano-Weirstraß“cada sucesion acotada posee una subsucesion convergente” noes cierto.

• La caracterizacion “K compacto ⇐⇒ K cerrado y acotado” no es valida.

Ejemplo I.1.1 Consideremos B(R) el conjunto de las funciones acotadas sobre R, con la norma ‖·‖∞. Seafn ∈ B(R), definida por

fn(t) ={

1 si t = n,0 si t 6= 0,

Se tiene, para todo n, que ‖fn‖ = 1 y si n 6= m, ‖fn − fm‖ = 1. Por lo tanto, la sucesion es acotada.Una verificacion inmediata nos conduce a que ninguna subsucesion puede ser de Cauchy, por lo que {fn}no admite sucesiones convergentes. Con este ejemplo, confirmamos la valides de los hechos expuestos en laremarca precedente.

Continuidad

Las nociones de lımite y continuidad de aplicaciones f : U ⊂ E → F , donde E y F son espacios normadosse generalizan a partir de las aplicaciones de Rn y Rm. Por ejemplo.

Definicion I.1.8 Sean E y F dos espacios de Banach y U ⊂ E. Una funcion f : U → F es continua enx0 ∈ U si ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que

x ∈ U y ‖x− x0‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(x0)‖ < ε.

I.1.1. Ejercicios

1. Mostrar que la aplicacion N : R2 → R dada por N(x) =√x2

1 − x1x2 + x22, define una norma sobre R2

y mostrar (explıcitamente) que esta norma es equivalente a la norma ‖·‖∞.

2. Mostrar que si 〈 , 〉 : E × E → R es un producto escalar sobre el espacio vectorial real E, entonces laaplicacion N : E → R dada por N(x) =

√〈x, x〉 es una norma sobre E.


3. Sea E un espacio vectorial real. Mostrar que una norma ‖ ‖ proviene de un producto escalar sobre E,si y solamente si, para todo x, y ∈ E se tiene

‖x+ y‖+ ‖x− y‖ = 2(‖x‖+ ‖y‖) (identidad del paralelogramo).

4. A un espacio E de Banach se lo llama espacio de Hilbert, si la norma del espacio E proviene de unproducto escalar. Mostrar mediante contraejemplos que Rn dotados de la normas ‖·‖1 y ‖·‖∞ no es unespacio de Hilbert.

5. Se considera los subconjuntos de R2 siguientes:

A = {(x, y) ∈ R2| 0 < x+ y ≤ 1}B = {(x, y) ∈ R2| max(|x| , |y|) < 3}C = {(x, y) ∈ R2| (x2 + y2)2 − 2x2 + 2y2 = 0}D = {(x, y) ∈ R2| y = 0, x ∈ {1/n|n = 1, 2, . . .}}.

¿Que conjuntos son abiertos, cerrados, acotados, compactos? Justificar.

6. Sea C([0, 1]) el conjunto de las funciones continuas de dominio [0, 1]. Mostrar que C([0, 1]) es un espaciovectorial real para la adicion de funciones y la multiplicacion por escalar.Mostrar que ‖f‖1 y ‖f‖2 definidas por

‖f‖1 =∫ 1

0

|f(t)| dt, ‖f‖2 =(∫ 1

0

(f(t))2 dt)1/2

son normas sobre C([0, 1]).

7. Demostrar que, pra un conjunto arbitrario no vacio A,

B(A) = {f : A→ R| f es acotada} con ‖f‖∞ = supt∈A

|f(t)| ,

es un espacio de Banach.

I.2. Aplicaciones Lineales

En el curso de Algebra Lineal Avanzada, se ha estudiado en profundidad las aplicaciones lineales desdeun punto de vista algebraico. En esta seccion agregaremos el concepto de continuidad a estas aplicacioneslineales. A continuacion, el teorema que caracteriza las aplicaciones lineales continuas.

Teorema I.2.1 Para una aplicacion lineal A : E → f , E y F son espacios vectoriales normados, lascondiciones siguientes son equivalentes:

a) A es continua en 0 ∈ E.

b) A es continua en todo punto de E.

c) Existe C > 0 tal que ∀x ∈ E, ‖A(x)‖ ≤ C ‖x‖.

Demostracion.- La implicacion (b) ⇒ (a) es obvia. Mostremos (a) ⇒ (b). Sea x ∈ E, como A es continuaen el origen, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que

z ∈ E y ‖z‖ < δ ⇒ ‖A(z)‖ < ε.

Planteando z = y − x, se tiene ‖y − x‖ < δ implica

ε > ‖A(y − x)‖ = ‖A(y)−A(x)‖ .

I.2. APLICACIONES LINEALES 7

Mostremos (a) ⇒ (c). A es continua en O, de donde existe δ(1) > 0 tal que

‖x‖ < δ(1) ⇒ ‖a(x)‖ < 1.

Por lo tanto, si x 6= 0, se tiene

‖a(x)‖ =∥∥∥∥a(2 ‖x‖ δ(1)

2δ(1) ‖x‖x)∥∥∥∥ =

2 ‖x‖δ(1)

∥∥∥∥a( δ(1)2 ‖x‖

x)∥∥∥∥ < 2

δ(1)‖x‖ .

Tomando C = 2/δ(1), se tiene el punto (c), x = 0 es evidente.(c) ⇒ (a). Para ε > 0 dado, tomar

δ =ε

C.

�

En los espacios de dimension infinita, es usual llamar a una aplicacion lineal operador lineal. Es frecuentetambien, escribir Ax, en lugar de A(x) y si A es continua, por la propiedad (c) del teorema que acabamosde demostrar, se dice que A es una aplicacion lineal acotada.

Recordando el curso de Algebra Lineal, una aplicacion lineal A de Rn en Rm se representa por una matriz,que tambien es denotada por la misma letra A. Por lo tanto, la expresion Ax puede ser interpretada comoel valor de la aplicacion A en el punto x, o bien como el producto de la matriz A con el vector x.

Proposicion I.2.1 Sean E y F espacios normados, E de dimension finita. Entonces toda aplicacion linealA : E → F es continua.

Demostracion.- Utilizaremos el punto (c) del teorema I.2.1. Sea {e1, . . . , em} una base de E, por lo tanto

‖A(x)‖ =

∥∥∥∥∥A(m∑

i=1

xiei)

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥m∑

i=1

xiA(ei)

∥∥∥∥∥ ≤m∑

i=1

|xi| ‖A(ei)‖ .

Denotanto M = max1≤i≤m

‖A(ei)‖, la desigualdad de Cauchy y la equivalencia de normas en espacios finito

dimensionales, se obtiene

‖A(x)‖ ≤M

m∑i=1

|xi| ≤M√n ‖x‖2 ≤ (

√nMC ′) ‖x‖ .

�

Corolario I.2.1 Todas las aplicaciones lineales A de Rn en Rm son continuas.

Cuando la dimension del espacio dominio es no finita, pueden existir operadores lineales no continuos.

Ejemplo I.2.1 Consideremos C1([0, 1]) el espacio vectorial de las funciones continuamente derivables sobre[0, 1] provisto de la norma ‖f‖ = max

t∈[0,1]|f(t)|. El operador lineal

D : C1([0, 1]) −→ Rf 7→ f ′(0)

no es continuo. En efecto, tomando fn(t) = sin(nt), se tiene por un lado ‖fn‖ = 1 y por el otro Df = n, conlo que el punto (c) del teorema I.2.1 no se cumple.

En el curso de Algebra Lineal se utiliza Hom(E,F ) para referirse del espacio de las aplicaciones lineales de Een F . En lugar de Hom(E,F ) es frecuente utilizar L(E,F ) y L(E) cuando E = F . Como estamos siguiendoun curso de Analisis, nos interesa las aplicaciones lineales continuas, utilizaremos la notacion L(E,F ) parareferirnos al conjunto de las aplicaciones lineales de E y F espacios normados y L(E) para el conjunto delas aplicaciones lineales de E en E.

Obviamente se tiene ∅ 6= L(E,F ) ⊂ L(E,F ). La aplicacion lineal nula siempre es continua. Dejamoscomo ejercicio la verificacion de la:


Proposicion I.2.2 L(E,F ) es un subespacio vectorial de L(E,F ).

El siguiente paso es dotar de una norma conveniente a L(E,F ) que refleje la caracterıstica de aplicacionlineal de los elementos de este espacio vectorial.

Definicion I.2.1 Sean E y F espacios normados. Sea A ∈ L(E,F ) aplicacion lineal continua, se define

‖A‖ = sup ‖x‖ = 1 ‖Ax‖ = supx6=0

‖Ax‖‖x‖

. (I.2.1)

Esta definicion significa que ‖A‖ es el numero real mas pequeno tal que

‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖ . (I.2.2)

La desigualdad (I.2.2) es fundamental para todos los calculos relacionados con las aplicaciones lineales.

Proposicion I.2.3 El espacio L(E,F ) dotado de (I.2.1) es un espacio vectorial normado. Si F es completo,entonces L(E,F ) es tambien un espacio completo.

Demostracion.- Las propiedades de positividad y homogeneidad de una norma son faciles de mostrar.Veamos la desigualdad del triangulo. Para A,B ∈ L(E,F ), se tiene

‖(A+B)x‖ ≤ ‖Ax‖+ ‖Bx‖ ≤ (‖A‖+ ‖B‖) ‖x‖ .

Dividiendo esta relacion por ‖x‖, tomando el supremo, se obtiene la desigualdad del triangulo ‖A+B‖ ≤‖A‖+ ‖B‖.

Ahora mostremos la completitud del espacio. Supongamos F completo. Sea {An} una sucesion de Cauchyen L(E,F ). Consideremos x ∈ E, la sucesion {Anx} es una sucesion en F . Veamos que es una sucesion deCauchy, se tiene

‖Anx−Amx‖ = ‖(An −Am)x‖ ≤ ‖x‖ ‖An −Am‖ → O

cuando n,m → ∞. Como F es completo, denotemos Ax el lımite de la sucesion {Anx}. Por consiguiente,hemos obtenido una aplicacion

A : E → Fx 7→ lımn→∞Anx

Esta aplicacion es lineal, verificacion dejada como ejercicio. Solamente nos falta mostrar que lımn→∞An = Aen L(E,F ). Sea ε > 0, sea x ∈ E con ‖x‖ = 1, como An es una sucesion de Cauchy, existe N ∈ N tal que

n,m ≥ N ⇒ ‖Anx−Amx‖ ≤ ‖An −Am‖ <12ε.

Como Anx→ Ax, cuando n→∞, existe M(x) tal que

m ≥M(x) ⇒∞‖Ax−Amx‖ <13ε.

Por lo tanto tomando m ≥ maxN,M(x) y n ≥ N , se tiene

‖Anx−Ax‖‖x‖

≤ ‖Anx−Amx‖+Amx−Anx ≤56ε.

Por lo tanto ‖An −A‖ → 0, cuando n→∞.

�

Proposicion I.2.4 Sea I ∈ L(E) y consideremos las aplicaciones lineales A ∈ L(E,F ) y B ∈ L(F,G).Entonces se tiene

‖I‖ = 1, ‖AB‖ ≤ ‖A‖ · ‖B‖ . (I.2.3)

I.2. APLICACIONES LINEALES 9

Demostracion.- La propiedad ‖I‖ = 1 es evidente, pero hay que tener cuidado en utilizar la misma normaen E. Para demostrar la estimacion de ‖AB‖ aplicamos dos veces la desigualdad fundamental (I.2.2),

‖(AB)x‖ ≤ ‖A‖ · ‖Bx‖ ≤ ‖A‖ · ‖B‖ · ‖x‖ .

Enseguida, se divide esta relacion por ‖x‖ y tomamos el supremo para x 6= 0.

�

Proposicion I.2.5 Sea A una matriz m× n; es decir, A ∈ L(Rn,Rm)y notemos por

‖A‖p = sup‖x‖=1

‖Ax‖p

‖x‖p

,

la expresion (I.2.1) si se utiliza la misma norma en los dos espacios Rn y Rm. Entonces, se tiene las formulasexplıcitas:

‖A‖1 = maxj=1,...,n

(m∑

i=1

|aij |

), (I.2.4)

‖A‖∞ = maxi=1,...,m

n∑j=1

|aij |

, (I.2.5)

‖A‖2 =√

valor propio mas grande de AtA. (I.2.6)

Demostracion.- Para la norma ‖x‖1. Se tiene

‖Ax‖1 =m∑

i=1

∣∣∣∣∣∣n∑

j=1

aijxj

∣∣∣∣∣∣ ≤m∑

i=1

n∑j=1

|aij | · |xj | =n∑

j=1

(m∑

i=1

|aij |

)|xj | ≤ max

j=1,...,n

(m∑

i=1

|aij |

)· ‖x‖1 .

Deducimos que ‖A‖1 ≤ maxj

(∑i

|aij |. Para mostrar la igualdad, se elige un j0 con maxj

(∑i

|aij | =∑i

|aij0 |.

Tomamos x = ej0 el j0-simo vector de la base canonica, con la eleccion de este x se tiene igualdad, lo quedemuestra que ‖A‖1 no puede ser mas pequeno que max

j(∑i

|aij |. La formula para ‖x‖∞ se la demuestra de

la misma manera.Ahora mostremos para la norma euclidiana. La matriz AtA es simetrica y semi definida positiva

(xtAtAx = ‖Ax‖22 ≥ 0), por consiguiente existe una base ortonormada de vectores propios y los valorespropios {λ1, . . . , λn} respectivos son reales no +negativos. Denotamos por {d1, . . . , dn} los elementos de estabase ortonormada. Se tiene

‖Ax‖22 =

√√√√ n∑i=1

λ2ix

2i ≤ max

iλi ‖x‖2 .

Para obtener igualdad, se plantea x igual al vector propio de la base ortnormada asociado al valor propiomas grande.

�

Ejemplo I.2.2 Para la matriz

A =

4 3−2 54 1

se tiene

‖A‖1 = max{10, 9} = 10‖A‖2 ≈ 6,4437,‖A‖∞ = max{7, 7, 5} = 7.


Ejemplo I.2.3 Sea k : [0, 1] × [0, 1] → R una funcion continua a dos variables. Consideramos el operadorlineal A : C([0, 1]) → C([0, 1]), dado por

(Af)(t) =∫ 1

0

k(t, s)f(s) ds,

y las normas de la proposicion I.1.6, se tiene

‖A‖1 = maxs∈[0,1]

∫ 1

0|k(t, s)| dt,

‖A‖∞ = maxt∈[0,1]

∫ 1

0|k(t, s)| ds,

‖A‖2 ≤√∫ 1

0

∫ 1

0|k(t, s)|2 ds dt.

Ejercicio.- Mostrar los resultados del ejemplo (I.2.3)

Proposicion I.2.6 Sea E un espacio de Banach y supongamos que el operador A ∈ L(E) satisface ‖A‖ ≤ 1.Entonces I −A es inversible, (I −A)−1 es continua y se tiene

(I −A)−1 = I +A+A2 +A3 + · · · (I.2.7)

Demostracion.- Mostremos primero que

An = I +A+A2 + · · ·+An

es una sucesion de Cauchy en L(E). Utilizando ‖An‖ ≤ ‖A‖n, se obtiene para m > n

‖An −Am‖ =∥∥An+1 + · · ·+Am

∥∥ ≤ ∥∥An+1∥∥+ · · ·+ ‖Am‖ ≤ ‖A‖n+1 + · · ·+ ‖A‖m ≤ ‖A‖n+1

1− ‖A‖.

Como E es completo, entonces L(E) tambien es completo. Por lo tanto, {An} es una sucesion convergente,cuyo lımite denotemosle por B.

Ahora bien, pasando al lımite cuando n → ∞ en la identidad An(I − A) = (I − A)An = I − An+1 seobtiene que B(I −A) = (I −A)B = I lo que demuestra la inversibilidad de (I −A) en L(E).

�

I.2.1. Ejercicios

1. Sea E un espacio de Hilbert y sea A ∈ L(E). Mostrar que

‖A‖ = supu 6=0,v 6=0

〈u,Av〉‖u‖ · ‖v‖

donde 〈·, ·〉 es el producto escalar y ‖·‖ es la norma inducida por el producto escalar.

2. El radio espectral ρ(A) de una matriz n× n, A, esta definido por:

ρ(A) = max{|λ| | λ valor propio de A}

Sea E = Rn provisto de una norma y sea A ∈ L(E). Mostrar que para toda norma sobre Rn se tienela desigualdad siguiente

‖A‖ ≥ ρ(A)

y que si A es simetrica se tiene la igualdad ‖A‖2 = ρ(A).

3. Sea

A =(

0,999 10000 0,999

).

I.3. DIFERENCIABILIDAD EN LOS ESPACIOS NORMADOS 11

(a) Calcular el radio espectral ρ(A), ası como ‖A‖1, ‖A‖2 y ‖A‖∞.

(b) Encontrar una norma ‖·‖ sobre R2 tal que para esta norma, se tenga ‖A‖ ≤ 1.

4. Consideremos el conjunto de las matrices n × n, que identificamos con Rn·n y que se le dota de lanorma ‖A‖ = sup‖x‖≤1 ‖Ax‖. Sea l : Rn·n → Rn·n la aplicacion lineal dada por l(H) = X0H +HX0

donde X0 es una matriz fija. Calcular la norma de la aplicacion l.

5. En el marco del ejemplo I.2.3 demostrar que

‖A‖∞ = maxt∈[0,1]

∫ 1

0

|k(t, s)| ds.

Indicacion.- Considerar primero que la funcion k(t, s) posee un numero finito de ceros.

6. Consideremos la ecuacion integral siguiente, llamada ecuacion integral de Fredholm (segunda especie):

y(t) = f(t) +∫ 1

0

k(t, s)y(s) ds, (I.2.8)

donde f ∈ C([0, 1]) y k ∈ C([0, 1]× [0, 1]) son datos e y es la incognita. Se supone que

maxt∈[0,1]

∫ 1

0

|k(t, s)| ds < 1.

(a) Demostrar que (I.2.8) posee una unica solucion en C([0, 1]).

(b) Utilizando la serie de Neumann, escribir la solucion bajo la forma

y(t) = f(t) +∫ 1

0

r(t, s)f(s) ds.

7. Resolver

y(t) = f(t) +12

∫ 1

0

et−2y(s) ds (I.2.9)

(a) Se plantea a ≡∫ 1

0e−sy(s) ds. Multiplicando (I.2.9) por e−t e integrando, se encuentra a y por lo

tanto la solucion y(t) = f(t) + aet/2.

(b) Utilizando la formula del ejercicio precedente.

I.3. Diferenciabilidad en los Espacios Normados

En el curso de Primer Ano de Analisis, se dio la definicion de diferenciabilidad de una aplicacion de Rn enRm. Esta misma definicion puede ser generalizada a espacios normados.

Definicion I.3.1 Sean E,F dos espacios vectoriales normados y U ⊂ E un abierto. Se dice que f : U → Fes diferenciable en a ∈ U , si existe una aplicacion lineal continua f ′(a) ∈ L(E,F ) tal que

f(x) = f(a) + f ′(x)(x− a) + r(x) ‖x− a‖ , (I.3.1)

donde la funcion r : U → F safisface r(x) → 0 cuando x→ a.

Remarca I.3.1 Respecto a la definicon para las funciones de Rn en Rm se exige que f ′(a) sea continua. Estoes importante, porque sino un funcion diferenciable podrıa no ser continua. En el caso finito dimensional,esta hipotesis esta demas porque todas las aplicaciones lineales son continuas.


Ejemplo I.3.1 Sean E = R3, F = R2 y f : E → F dada por

f(x) =(f1(x1, x2, x3)f1(x1, x2, x3)

)=(x2

1 + x22 + x2

3

x1x2x3

).

La derivada en el punto a = (a1, a2, a3) es la aplicacion lineal f ′(a) ∈ L(R3,R2), cuya matriz es

f ′(a) =(

2a1 2a2 2a3

a2a3 a1a3 a1a2

).

Se verifica facilmenten que la aplicacion r(x) de (I.3.1) satisface r(x) → 0 si x→ 0. Como todas las normasson equivalentes en Rn y Rm no es necesario precisar la norma con la cual se trabaja.

Ejemplo I.3.2 En el ejemplo precedente se dio la matriz de la derivada de la funcion. Consideremos E =L(Rn), como espacio vectorial E es de dimension n× n. Sea f : E → E dada por f(X) = X2. Se tiene

f(A+H) = (A+H)2 = A2 +AH +HA+H2,

deducimos que f ′(A) es la aplicacion lineal f(A)H = AH +HA.

Ejemplo I.3.3 Consideremos el espacio C([0, 1]) con la norma ‖·‖∞, denotemos sus elementos por x(t) oa(t) y estudiemos la aplicacion f : C([0, 1]) → C([0, 1]),

f(x)(t) =∫ 1

0

k(t, s)g(x(s)) ds,

donde k : [0, 1]× [0, 1] → R es continua y g : R → R es 2 veces continuamente diferenciable. Para una funciona ∈ C([0, 1]) dada, busquemos la derivada f ′(a). Con h ∈ C([0, 1]), se tiene:

(f(a+ h)− f(a))(t) =∫ 1

0

k(t, s)(g(a(s) + h(s))− g(a(s)))ds

=∫ 1

0

k(t, s)(g′(a(s))h(s) +12g′′(α(s)h(s)))h(s) ds,

donde α(s) es un valor entre a(s) y a(s)+h(s). Este calculo muestra que la aplicacion lineal f ′(a) : C([0, 1]) →C([0, 1]), definida por

(f ′(a)h)(t) =∫ 1

0

k(t, s)g′(a(s))h(s) ds,

es una buena candidata para la derivada de f . Esta aplicacion es continua, ver ejemplo de la seccion pre-cedente. Ademas el resto ‖f(a+ h)− f(a)− f ′(a)h‖∞ puede ser estimado por C ‖h‖2∞, por que g′′(x) esacotada sobre el intervalo que contiene a(s) y a(s) + h(s) para todo s ∈ [0, 1] y todo h con ‖h‖∞ ≤ 1

Definicion I.3.2 Una aplicacion A : E → F , donde E y F son espacios vectoriales normados es unisomorfismo, si A es lineal, biyectiva, continua y si A−1 es continua.Se denota

GL(E,F ) = {A ∈ L(E,F )|A es un isomorfismo}.

Para F = E, se escribe tambien GL(E) en lugar de GL(E,E).

Proposicion I.3.1 Sea E un espacio de Banach. La aplicacion f(X) = X−1 de GL(E) en L(E) es dife-renciable y se tiene

f ′(A)H = −A−1HA−1. (I.3.2)

Demostracion.- La continuidad de f ′(A) es una consecuencia de

‖f ′(A)H‖ ≤∥∥A−1

∥∥2 ‖H‖ .

I.3. DIFERENCIABILIDAD EN LOS ESPACIOS NORMADOS 13

El resto

f(A+H)− f(A)− f ′(A)H = ((I +A−1H)−1 − I +A−1H)A−1 =∑j≥2

(−A−1H)jA−1

puede ser estimado por ‖H‖2∥∥A−1

∥∥3/(1 −

∥∥A−1 −H∥∥). Dividido por ‖H‖, este resto tiende a 0 cuando

‖H‖ → 0.

�

Para dos espacios vectoriales normados E1 y E2, de normas respectivas ‖·‖E1y ‖·‖E2

; consideremos el espacioproducto E1 × E2. Si al espacio producto se le dota de la norma

‖(x1, x2)‖ = max{‖x1‖E1, ‖x2‖E2

}, (I.3.3)

se obtiene un espacio vectorial normado.

Proposicion I.3.2 El espacio producto E1 × E2 dotado de la norma (I.3.3) es un espacio de Banach, si ysolamente si E1 y E2 son espacios de Banach.


�

Definicion I.3.3 Una aplicacion bilineal B : E1×E2 → F es una aplicacion bilineal acotada, si exite M > 0tal que

‖B(x1, x2)‖ ≤M · ‖x1‖E1· ‖x2‖E2

, ∀(x1, x2) ∈ E1 × E2. (I.3.4)

Proposicion I.3.3 Una B : E1 × E2 → F bilineal acotada es diferenciable y su derivada esta dada por

B′(a1, a2)(h1, h2) = B(a1, h2) +B(h1, a2). (I.3.5)

Demostracion.- La continuidad de B′(a1, a2) resulta de

‖B′(a1, a2)(h1, h2)‖ = ‖B(a1, h2) +B(h1, a2)‖≤ ‖B(a1, h2)‖+ ‖B(h1, a2)‖≤M(‖a1‖E1

‖h2‖E2+ ‖h1‖E1

‖a2‖E2)

≤ 2 ·M ‖(a1, a2)‖ ‖(h1, h2)‖ .

La diferenciabilidad de B es una consecuencia de

B(a1 + h1, a2 + h2)−B(a1, a2)−B′(a1, a2)(h1, h2) = B(h1, h2),

porque

‖B(h1, h2)‖ ≤M ‖a1‖E1‖h2‖E2

≤M ‖(h1, h2)‖2 .

�

Proposicion I.3.4 Sean f, g : U → F , U abierto de E, diferenciables en a ∈ U , y sea λ ∈ R. Entonces, setiene

(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a), (λf)′(a) = λf ′(a). (I.3.6)


�


Proposicion I.3.5 Sean E,F,G tres espacios vectoriales normados. Sean U abierto de E, V abierto de F .Se considera dos aplicaciones, f : U → V diferenciable en a ∈ U y g : V → G diferenciable en f(a) ∈ V .Entonces g ◦ f es diferenciable en a y se tiene

(g ◦ a)′(a) = g′(f(a)) ◦ f ′(a). (I.3.7)


�

Proposicion I.3.6 (Formula de Leibniz) Sean E, F1, F2, F espacios vectoriales normados, U abiertode E, f : U → F1 y g : U → F2 aplicaciones diferenciables en a ∈ U , y B : F1 × F2 → G una aplicacionbilineal acotada. Entonces la aplicacion p(x) = B(f(x), g(x)) es diferenciable y se tiene

p′(x)h = B(f(a), g′(a)h) +B(f ′(a)h, g(a)). (I.3.8)

Demostracion.- Consecuencia de las proposiciones sobre la diferenciabilidad de la aplicacion bilineal aco-tada y la composicion de aplicaciones, por que p = B ◦ d donde

d(x) = (f(x), g(x)) con derivada d′(x)h = (f ′(x)h, g′(x)h).

�

I.3.1. Ejercicios

1. Sea E un espacio de Banach, consideramos la aplicacion f : C(E) → C(E) dada por f(X) = X3.Calcular la derivada de f . Mostrar con ejemplos que en general, f ′(X) 6= 3X2.

2. Sea E un espacio de Banach, se considera la aplicacion exp : C(E) → C(E) dada por la serie siguiente:

exp(X) =∞∑

n=0

1n!Xn.

(a) Mostrar que la aplicacion exp esta bien definida.

(b) Calcular la derivada, exp′ de la aplicacion exp.

(c) Mostrar con ejemplos que en general exp′(X) 6= exp(X).

Indicacion.- Si le ayuda, suponer que E = Rn.

3. Calcular la derivada de la funcion f : GL(Rn) → L(Rn) dada por f(X) = (XtX)−1.

4. Sea A : R→Mn,n(R) una funcion diferenciable con valores en las matrices de n× n. Mostrar que

d

dx

(A(x)

)−1 = −A(x)−1A′(x)A(x)−1.

5. (a) Sea M : E1×· · ·×En → F una aplicacion multilineal donde E1, . . . , En, F son espacios vectorialesnormados. Calcular la derivada de M .

(b) Sea A : R → M3,3(R) una funcion matricial, cuyas columnas son A1(x), A2(x) y A3(x). Mostrarque

d

dxdet(A(x)) = det(A′1, A2, A3) + det(A1, A

′2, A3) + det(A1, A2, A

′3).

6. Sea f(x, y) = ln(x2+y2) para x2+y2 > 0 y g(x, y) = (xy,√x/y)t para x > 0, y > 0. Calcular la derivada

de h(x, y) = (f ◦ g)(x, y) = ln(x2y2 + x/y2) directamente y luego con la formula de diferenciacion defunciones compuestas.

I.4. TEOREMA DE LOS INCREMENTOS FINITOS 15

I.4. Teorema de los Incrementos Finitos

Para una funcion f : [a, b] → R, el teorema de los incrementos finitos, (o teorema de Lagrange) afirma queexiste un ξ ∈ (a, b) tal que

f(b)− f(a) = f ′(ξ)(b− a)

si f es continua sobre [a, b] y diferenciable sobre (a, b).Para una funcion f : [a, b] → Rm, la afirmacion del teorema ya no es cierta. Un contra ejemplo es

la funcion f(x) = (cosx, sinx) y [a, b] = [0, 2π]. Se tiene que f(a) = f(b), sin embargo, no existe ξ conf ′(ξ) = (0, 0). Pero, se ve que la desigualdad

‖f(b)− f(a)‖ ≤ ‖f ′(ξ)‖ · ‖b− a‖ .

En un primer teorema, consideraremos las funciones f : [a, b] → F donde F es un espacio vectorialnormado. Enseguida, extenderemos el resultado a funciones f : U → F , donde U ⊂ E y E es otro espaciovectorial normado

Teorema I.4.1 Sean a < b dos numeros reales, F un espacio vectorial normado, f : [a, b] → F y g : [a, b] →R dos aplicaciones continuas sobre [a, b] y diferenciables sobre (a, b). Supongamos que ‖f ′(t)‖ ≤ g′(t) paraa < t < b. Entonces

‖f(b)− f(a)‖ ≤ g(b)− g(a).

Demostracion.- Para un ε > 0 dado, consideremos la desigualdad

‖f(t)− f(a)‖ ≤ g(t)− g(a) + ε(t− a) + ε. (I.4.1)

Esta desigualdad se cumple estrictamente para t = a, por la continuidad de f y g, en un vecindario de a.Por lo tanto, el supremo

c = sup{t ∈ [a, b]| (I.4.1) se cumple }

existe y se tiene que c > a.Mostremos que la desigualdad se cumple para c. Por definicion del supremo, existe una sucesion {tn},

tn → c, tal que‖f(tn)− f(a)‖ ≤ g(tn)− g(a) + ε(tn − a) + ε. (I.4.2)

Pasando al lımite n→∞, la continuidad de f y g aseguaran la desigualdad (I.4.1) para t = c.Supongamos que c < b. La diferenciabilidad de f y g en el punto c implica la existencia de un η > 0 tal

que‖f(t)− f(c)‖ ≤ ‖f ′(c)‖ (t− c) + ε

2 (t− c),g(t)− g(c) ≥ g′(c)(t− c)− ε

2 (t− c)

para todo t ∈ [c, c+ η]. La hipotesis ‖f ′(c)‖ ≤ g′(c) implica entonces que

‖f(t)− f(c)‖ ≤ g′(c)(t− c) +ε

2(t− c) ≤ g(t)− g(c) + ε(t− c).

Esto, con la desigualdad (I.4.1) para t = c, conduce a

‖f(t)− f(a)‖ ≤ ‖f(t)− f(c)‖+ ‖f(c)− f(a)‖≤ g(t)− g(c) + ε(t− c) + g(c)− g(a) + ε(c− a) + ε≤ g(t)− g(a) + ε(t− a) + ε

para todo t ∈ [c, c + η], lo que contradice la definicion de c. Entonces, se tiene necesariamente c = b. Si sedeja tender ε hacia 0 en (I.4.1) con t = b, se obtiene la afirmacion del teorema.

�

Consideremos la situacion en la que f esta definida sobre un abierto U de un espacio vectorial normado E,que sea necesariamente R. Para a, b ∈ E, se llama segmento de extremidades a y b al conjunto de los puntosx ∈ E que son de la forma x = a+ t(b− a) con 0 ≤ t ≤ 1.


Teorema I.4.2 (Teorema de los Incrementos Finitos) Sean E,F espacios vectoriales normados y U ⊂E abierto. Si f : U → F es diferenciable en U , y si el segemento de extremidades a y b esta contenido en U ,se tiene

‖f(b)− f(a)‖ ≤ sup0<t<1

‖f ′(a+ t(b− a))‖ · ‖b− a‖ . (I.4.3)

Demostracion.- La aplicacion h(t) = f(t+a(b−a)) es una aplicacion diferenciable de [0, 1] en F y se tieneh′(t) = f ′(a+ t(b− a))(b− a), por lo tanto

‖h′(t)‖ ≤ ‖f ′(a+ t(b− a))‖ · ‖b− a‖ .

Suficiente aplicar el teorema I.4.1, remplazando a por 0, b por 1, f por h y g(t) por Mt donde M =sup

0<t<1‖f ′(a+ t(b− a))‖ · ‖b− a‖.

�

Se dice que un conjunto D de un espacio vectorial es convexo si, cuales sean a, b ∈ D, le segmento deextremidades a y b esta contenido en D.

Corolario I.4.1 Sean E, F espacios vectoriales normados, U ⊂ E abierto, f : U → F diferenciable, yD ⊂ U convexo. Entonces,

‖f(x)− f(y)‖ ≤ supz∈D

‖f ′(z)‖ · ‖x− y‖

para x, y ∈ D.

Demostracion.- Consecuencia inmediata del teorema I.4.2.

�

Un abierto U de un espacio vectorial normado se dice conexo, si dos puntos cualesquiera de U puedenser unidos mediante una lınea segmentada en U recordemos que una linea segmentada es la union finita desegmentos de extremidades ai−1 y ai, i = 1, . . . ,m.

Corolario I.4.2 Sean E, F espacios vectoriales normados, U un abierto conexo de E, f : U → F unaaplicacion diferenciable en U . Si f ′(x) = 0 para todo x ∈ U , entonces f es constante.

Demostracion.- Fijemos a ∈ U y tomemos x ∈ U arbitrario. Como U es conexo, existe una sucesion finitaa = a0, a1, . . . , am = x tales que los segmentos de extremidades ai−1 y ai estan contenidos en U . El teoremaI.4.2 implica

‖f(ai)− f(ai−1)‖ ≤ sup0<t<1

‖f ′(ai−1 + t(ai − ai−1))‖ · ‖ai − ai−1‖ = 0.

Por lo tanto, f(ai) = f(ai−1) y por consiguiente f(x) = f(a).

�

I.4.1. Ejercicios

1. Sea f : [a, b] → R continua, x1, x2, . . . , xn ∈ (a, b) y f diferenciable sobre el conjunto D = (a, b) −{x1, x2, . . . , xn}. Demostrar o dar contra ejemplos de las afirmaciones siguientes:

(a) Existe un x ∈ D tal que f(b)− f(a) = f ′(ξ)(b− a).

(b) Se tiene la estimacion|f(b)− f(a)| ≤ sup

t∈D|f ′(t)| (b− a).

I.5. TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE BANACH 17

I.5. Teorema del punto fijo de Banach

Consideremos el problema de resolver una ecuacion no lineal en un espacio de Banach. Para las funciones fy g de E, el problema puede ser formulado de la manera siguiente:

• g(x) = 0, se busca un cero de g, o

• f(x) = x, se busca un punto fijo de f .

Planteando f(x) = x + g(x) o f(x) = x + Ag(x), con A ∈ GL(E), se puede pasar de una formulacion a laotra. El teorema siguiente da una condicion suficiente para la existencia y la unicidad de una solucion a esteproblema.

Teorema I.5.1 (Teorema del punto fijo de Banach, 1922.) Sean E un espacio de Banach, D ⊂ Ecerrado, y f : D → E una aplicacion que satisface:

i) f(D) ⊂ D.

ii) f es una contraccion sobre D; es decir, existe α < 1 tal que

‖f(x)− f(y)‖ ≤ α ‖x− h‖ para x, y ∈ D. (I.5.1)

Entonces f posee un unico punto fijo en D.

Demostracion.- Mostremos primero la unicidad. Sean x, y ∈ D dos puntos fijos; es decir f(x) = x yf(y) = y. La contractividad implica que

‖x− y‖ = ‖f(x)− f(y)‖ ≤ α ‖x− y‖

con α < 1 es solo posible si x = y.Para la existencia, tomemos x0 ∈ D y consideremos la sucesion dada por xn+1 = f(xn). La hipotesis

f(D) ⊂ D asegura que {xn} es una sucesion en D. Mostremos que {xn} es una sucesion de Cauchy. Se tiene‖xn+1 − xn‖ = ‖f(xn)− f(xn−1)‖ ≤ α ‖xn − xn−1‖ y aplicando esta desigualdad iterativamente, se obtiene

‖xn+1 − xn‖ ≤ αn ‖x1 − x0‖ .

Para m > n, se deduce que

‖xm − xn‖ ‖xm − xm−1‖+ ‖xm−1 − xm−2‖+ · · ·+ ‖xn+1 − xn‖≤ (αm−1 + αm−2 + · · ·+ αn) ‖x1 − x0‖

≤ ‖an‖ 1− α ‖x1 − x0‖ .

Entonces, {xn} es una sucesion de Cauchy. Como E es un espacio completo, esta sucesion converge haciax ∈ E. Como D es cerrado x ∈ D.

La condicion de contractividad, implica que f sea uniformemente continua sobre D, por lo tanto continua.Tomando el lımite n→∞ en xn+1 = f(xn) y utilizando la continuidad de f , se obtiene x = f(x).

�

La demostracion del teorema del punto fijo de Banach es constructiva y nos conduce al algoritmo siguiente:

Metodo de las aproximaciones sucesivas

Para resolver un problema x = f(x) en un espacio de Banach, este metodo esta definido por:

• Se elige x0 arbitrariamente,

• se aplica la iteracion xn+1 = f(xn).


Bajo las hipotesis del teorema, este algoritmo converge hacia una solucion unica del problema. A menudo,las hipotesis son dificiles de verificar, pero de todas maneras se puede aplicar este algoritmo. Si se tieneconvergencia, estamos seguros de haber encontrado una solucion (si f es continua). Esta solucion no esnecesariamente unica.

Ejemplo I.5.1 Tomemos la funcion f(x) = cosx sobre D = [0, 1]. Esta funcion es una contraccion, por que|f ′(x)| ≤ sin 1 < 1 para x ∈ D. Otro ejemplo es la funcion f(x) = ex/4 sobre D = [0, 1,1]. Para esta funcionse tiene |f ′(x)| = ex/4 ≤ e1,1/4 < 1 sobre D. Las iteraciones son ilustradas en la figura I.5.1

Figura I.5.2: Metodo de las aproximaciones sucesivas para f(x) = cosx y f(x) = ex/4

Ejemplo I.5.2 Consideremos el sistema de dos ecuaciones no lineales a dos incognitas

x = 2 + (x2 + y2)/20, y = 1− xy3/10.

Sin verificar las hipotesis del teorema del punto fijo de Banach, aplicamos el metodo iterativo con valoresiniciales x0 = 2, y0 = 1. Se obtiene entonces y se observa que la sucesion converge a la solucion x = 2,3014505,

x1 2,2500000 y1 0,8000000x2 2,2851250 y2 0,8840000x3 2,3002333 y3 0,8417129x4 2,2999777 y4 0,8628284

Cuadro I.1: Iteraciones sucesivas

y = 0,8557662 del sistema.

Ejemplo I.5.3 Consideramos el espacio de Banach C([0, 1]) con la norma ‖·‖∞ y el problema a punto fijo

y(t) = f(t) + λ

∫ 1

0

k(t, s)y(s) ds,

donde f y k son dados y λ es tal que

|λ| · max0≤t≤1

∫ 1

0

|k(t, s)| ds < 1, (I.5.2)

ver ejemplo 3 de la seccion I.3. El metodo de las aproximaciones sucesivas se escribe como sigue: Se tomauna aproximacion inicial, por ejemplo y0(t) = f(t) y se itera segun

yn+1(t) = f(t) + λ

∫ 1

0

k(t, s)yn(s) ds.

La sucesion {yn(t)} converge hacia la solucion unica de (I.5.2.


Consideremos el problema de resolver f(x) = y para un vector dado y y busquemos resultados sobre laexistencia y la unicidad (local) de una solucion; es decir, buscamos resultados sobre la biyectividad de f .Ademas, nos gustarıa saber si la solucion depende continuamente del parametro y. Esto esta resumido en ladefinicion siguiente.

Definicion I.5.1 Sean E, F espacios vectoriales normados, U ⊂ E y V ⊂ F . Una aplicacion f : U → V esun homeomorfismo de U sobre V , si f es biyectiva, continua y si la inversa f−1 : V → V es continua.

Metodo de Newton Simplificado

Supongamos que f(a) = b y consideremos el problema f(x) = y para un y dado, proximo a b. Sea x0 unaaproximacion de la solucion buscada, por ejemplo x0 = a. La idea de linealizar el problema alrededor de x0

y de resolver el problema linealizado para obtener una mejor aproximacion x1:

f(x0) + f ′(x0)(x1 − x0) = y ox1 = x0 − f ′(x0)−1(f(x0)− y).

Iterando este procedimiento, se obtiene el metodo de Newton

xn+1 = xn − f ′(xn)−1(f(xn)− y)

ver figura I.5.2. Este metodo puede ser interpretado como el metodo de las aproximaciones sucesivas aplicadoa x = g(x), donde g(x) = x− f ′(x)−1(f(x)− y).

En la practica, se remplaza a menudo la derivada f ′(xn) por una aproximacion A que no dependa de xn.Esto simplifica el calculo numerico y la teorıa (estudio de convergencia, ver el teorema siguiente). Nosotrosconsideraremos entonces el metodo de Newton Simplificado, que se escribe como xn+1 = g(xn) donde

g(x) = x−A−1(f(x)− y) (I.5.3)

Figura I.5.3: Metodo de Newton (izquierda) y metodo de Newton simplificado (derecha)

Proposicion I.5.1 Sean E, F espacios de Banach, B = {x ∈ E| ‖x− a‖ ≤ ρ}, A : E → F un isomorfismoy supongamos que f : B → F satisfaga∥∥x− z −A−1(f(x)− f(z))

∥∥ ≤ α ‖z − z‖ para x, z ∈ B (I.5.4)

con α < 1. Entonces f es un homeomorfismo de B sobre f(B). Ademaas cada y con ‖y − f(a)‖ ≤ σ =ρ(1− α)/

∥∥A−1∥∥ esta en f(B) y el metodo de Newton simplificado (con x0 = a) converge hacia la solucion

de f(x) = y.

Demostracion.- Mostremos primero que f : B → f(B) es un homeomorfismo. La aplicacion g(x) de (I.5.3)es una contraccion sobre B para nuestra hipotesis. La continuidad de f(x) es una consecuencia de

‖f(x)− f(z)‖ = ‖A(x− z)−A(g(x)− g(z))‖ ≤ ‖A‖ (1 + α) ‖x− z‖ .


De la definicion de g(x), deducimos que x − z = g(x) − g(z) + A−1(f(x) − f(z)) y nosotros obtenemos laestimacion ‖x− z‖ ≤ α ‖x− z‖+

∥∥A−1∥∥ · ‖f(x)− f(z)‖. Se tiene por lo tanto

‖x− z‖ ≤∥∥A−1

∥∥1− α

‖f(x)− f(z)‖ para x, z ∈ B (I.5.5)

La funcion f : B → f(B) es sobreyectiva por definicion. Por la propiedad (I.5.5) demuestra que es inyectivay por lo tanto biyectiva. Planteando u = f(x) y v = f(z) en (I.5.5), se obtiene∥∥f−1(u)− f−1(v)

∥∥ ≤ ∥∥A−1∥∥

1− α‖u− v‖ , (I.5.6)

lo que demuestra la continuidad de f−1 sobre f(B).Consideremos un y ∈ F con ‖y − f(a)‖ ≤ σ. Mostremos que g(B) ⊂ B. Esto proviene de g(x) − a =

x− a−A−1(f(x)− f(a))−A−1(f(a)− y), porque

‖g(x)− a‖ ≤ α ‖x− a‖+∥∥A−1

∥∥ · ‖f(a)− y‖ ≤ αρ+∥∥A−1

∥∥σ = ρ

para x ∈ B. Como B es cerrado, se puede aplicar el teorema del punto fijo de Banach. Para un tal y existex ∈ B satisfaciendo g(x) = x, es decir f(x) = y.

�

Si f(x) es diferenciable en a, el centro de la bola B, es natural elegir A = f ′(a) a condicion que A sea unisomorfismo de espacios normados. Pero la diferenciabilidad en el punto a no garantiza que la estimacion(I.5.4) sea verificada para un α < 1. Nosotros consideraremos entonces una condicion mas fuerte que ladiferenciabilidad.

Definicion I.5.2 Sean E y F espacios vectoriales normados, U ⊂ E abierto, a ∈ U . Se dice que f : U → Fes estrictamente diferenciable en a ∈ U si existe una aplicacion lineal continua A : E → F tal que

f(x)− f(z) = A(x− z) + r(x, z) ‖x− z‖ , (I.5.7)

donde la funcion r : U × U → F satisface r(x, z) → 0 si (x, z) → (a, a).

Planteando z = a en (I.5.7) se tiene (I.3.1) con A = f ′(a). De esta manera estrictamente diferenciable ena, implica diferenciable en a. A partir de (I.5.7), se ve que una funcion estrictamente diferenciable en a escontinua en todo un vecindario de a.

Ejemplo I.5.4 Existe funciones que son diferenciables en a. pero no estrictamente diferenciables en a. Sepuede tomar una funcion que es diferenciable en a, pero que no es continua en ningun vecindario de a. VerPrimer Ano de Analisis. Otro ejemplo es la funcion

f(x) ={

0 six = 0x2 cos(1/x) sino.

Las sucesiones xn = 1/(2nπ) y zn = ((2n + 1)π)−1 convergen hacia 0, pero (f(xn) − f(zn))/(xn − zn) =(x2

n + z2n)/(xn − zn) no convergen hacia f ′(0) = 0 si n→ 0.

Teorema I.5.2 Sean E, F espacios vectoriales normados U ⊂ E abierto y a ∈ U . Si f : U → F esdiferenciable en U y si la aplicacion f ′ : U → L(E,F ) es continua en el punto a, entonces f es estrictamentediferenciable en el punto a.

Demostracion.- Apliquemos el teorema de los incrementos finitos a g(x) = f(x) = f ′(a)x.Como la derivada de g(x) es g′(x) = f ′(x)− f ′(a), se tiene

‖f(x)− f(z)− f ′(a)(x− z)‖ ≤ sup0<t<1

‖f ′(z + t(x− z))− f ′(a)‖ · ‖x− z‖ .

La continuidad de f ′(x) en el punto a implica que la expresion

sup0<t<1

‖f ′(z + t(x− z))− f ′(a)‖

tiende a 0 si (x, z) → (a, a).


�

Ejemplo I.5.5 Retomemos la funcion f(X) = X−1 de la proposicion I.3.3, para la cual la derivada esf ′(X)H = −X−1HX−1. Mostremos que esta funcion es estrictamente diferenciable en GL(E). Como f(X)es continua en A ∈ GL(E), se tiene que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que

∥∥X−1 −A−1∥∥ < ε si

‖X −A‖ < δ. Escribiendo

f ′(X)H − f ′(A)H = −X−1HX−1 +A−1HA−1 = −X−1H(X−1 −A−1)− (X−1 −A−1)HA−1,

se obtiene‖(f ′(X)− f ′(A))H‖ ≤ ε(

∥∥X−1∥∥+

∥∥A−1∥∥) ‖H‖ .

Se deduce‖f ′(X)− f ′(A)‖ ≤ ε(

∥∥X−1∥∥+

∥∥A−1∥∥)

y por lo tanto la continuidad de f ′(X) en el punto A. Esto nos permite aplicar el teorema precedente.Para todas las funciones de los ejemplos de la seccion I.3, se puede demostrar sin dificultad que f ′(x) escontinua. Entonces, el teorema 6,2 implica que son estrictamente diferenciales.

I.5.1. Ejercicios

1. Consideremos la funcion f : R → R definida por

f(x) ={x+ e−x/2 si x ≥ 0ex/2 si x < 0

.

(a) Mostrar que |f(x)− f(y)| < |x− y| para x 6= y.(b) Mostrar que la funcion f(x) no posee puntos fijos.

¿Hay una contradiccion con el teorema del punto fijo?

2. Se considera C([0, 1]) con la norma ‖·‖∞ y la aplicacion f : C([0, 1]) → C([0, 1]) dada por

f(x)(t) = λ

∫ 1

0

k(t, s)g(x(s))ds

donde k ∈ C([0, 1]× [0, 1]) y g : R → R lo suficientemente diferenciablel. Encontrar una condicion sobreλ bajo la cual f es una contraccion sobre el cerrado

D = {x ∈ C([0, 1])| ‖x‖∞ ≤ 1}.

3. Mostrar que la hipotesis “D cerrado” no puede, en general, ser omitida en el teorema del punto fijode Banach: encontrar un D no cerrado y una aplicacion f : D → E tales que f(D) ⊂ D y f es unacontraccion sobre D, pero que f no posee un punto fijo en D.

4. Sea U un abierto conexo de R y E un espacio vectorial normado. Sea f : U → E una aplicacion quesatisface

‖f(x)− f(y)‖ ≤ C ‖x− y‖2 para todo x, y ∈ U,donde C > 0. Mostrar que f es constante sobre U .

5. Sea la funcion f : R2 → R3 dada por

f(x1, x2) =

x21 + x2

2 + 53x1x2 + 2x3

1 + x32

y sea K = {(x1, x2) ∈ R2| |x1| ≤ 1, |x2| ≤ 2}. Encontrar una constante L tal que

‖f(x)− f(y)‖∞ ≤ L ‖x− y‖∞ para x, y ∈ K.

L se llama constante de Lipschitz.


6. Sea A ∈ L(E) con ‖A‖ < 1 y consideremos el problema

x = Ax+ b.

Mostrar que la k-sima aproximacion xk, obtenida por el metodo de las aproximaciones sucesivas con(x0 = b) es igual a la aproximacion obtenida al truncar la serie de Neumann para (I − A)−1 despuesde k terminos. Encontrar ası una conexion entre el ejercicio 6 de la seccion I.2 y el ejemplo I.5.3.

7. Estimacion del error para el metodo de las aproximaciones sucesivas. Sea x∗ un punto fijo dado poreste metodo. Demostrar

‖x∗ − xk‖ ≤α

1− α‖xk − xk−1‖ . (I.5.5)

Para las funciones del ejemplo I.5.2, efectuar algunas iteraciones y utilizar (I.5.5) para obtener unaestimacion rigurosa del error.

8. Sean E, F espacios vectoriales normados y U ⊂ E cerrado. Se plantea la interrogante siguiente: “¿Seaf : U → F inyectiva, es f un homeomorfismo de U sobre f(U)?”.

(a) Demostrar que es cierto si E = Rn y U es acotado.

(b) Mostrar mediante un contra ejemplo que la afirmacion no es cierta en espacios de dimension finita(considerar por ejemplo la identidad en un espacio provisto de 2 normas no equivalentes).

9. Considerese la funcion f : [−1, 1] → R dada por

f(x) ={

1n+1 (2 |x| − 1

n ) si 1n ≤ |x| 1

n−1

0 si x = 0

Mostrar que f es estrictamente diferenciable en el origen, pero que no es diferenciable en ningunvecindario de 0.Indication.- f(x) satisface f(1/n) = 1/n(n+ 1) y es lineal sobre [1/n, 1/(n+ 1)].

10. Sea A ∈ L(E) un isomorfismo. Para calcular su inversa, se aplica el metodo de Newton a la equationX−1 −A = 0. Mostrar que se obtiene la iteracion

Xk+1 = Xk+1 +Xk(I −AXk)

y verificar que la sucesion {Xk} converge hacia A−1 si ‖I −AX0‖ < 1.Indication. Ek = I −AXk satisface Ek+1 = EkEk.

I.6. Teorema de Inversion Local

Continuamos con el estudio de la resolucion de las ecuaciones no lineales f(x) = 0 o f(x) = y para un y enun espacio de Banach.

Ejemplo I.6.1 Ejemplo Consideremos el sistema no lineal

x21 + x2

2 − 3x1 = y1, x41 − x2

1x2 + 2 = y2. (I.6.1)

Para (x1, x2) = (1, 2) se obtiene (y1, y2) = (6, 1). La pregunta a la cual nos gustarıa responder es la siguiente:¿Para (y1, y2) proximo de (6, 1), exite una solucion (x1, x2) de (I.6.1) que es proxima de (1, 2)? ¿Es localmenteunica?

Decimos que una aplicacion f : U → F , donde E,F son espacios vectoriales normados y U ⊂ E abierto,es un homeomorfismo alrededor de a ∈ U , si existe un vecindario abierto U ′ ⊂ U de a y un vecindarioabierto de V ′ de f(a) tales que la restriccion f |U ′ es un homeomorfismo de U ′ sobre V ′.

I.6. TEOREMA DE INVERSION LOCAL 23

Teorema I.6.1 (Teorema de Inversion Local) Sean E, F espacios de Banach, U ⊂ E abierto y a ∈ U .Si f : U → F es estrictamente diferenciable en a y si f ′(a) es un isomorfismo de E sobre F , entonces f esun homeomorfismo local alrededor de a. Ademas, la aplicacion inversa f−1 es estrictamente diferenciable enb = f(a) y se tiene

(f−1)′(b) = (f ′(a))−1. (I.6.2)

Demostracion.- Aplicamos la proposicion I.5.3 con A = f ′(a). La funcion f es estrictamente diferenciableen a. Esto significa que para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que

‖f(x)− f(z)− f ′(a)(x− z)‖ ≤ ε ‖x− z‖ para x, z ∈ B, (I.6.3)

donde B = {x ∈ E| ‖x− a‖ ≤ δ}. Entonces, se tiene tambien∥∥x− z − f ′(a)−1(f(x)− f(z))∥∥ ≤ ε

∥∥f ′(a)−1∥∥ · ‖x− z‖ para x, z ∈ B, (I.6.4)

Fijamos ε > 0 tal que ε∥∥f ′(a)−1

∥∥ ≤ 1/2. Para el δ correspondiente, f es un homeomorfismo de B sobre f(B)por la proposicion (I.5.3) y f(B) contiene el abierto V ′ = {y ∈ F | ‖y − b‖ < σ} donde σ = δ/(2

∥∥f ′(a)−1∥∥).

Por lo tanto, f es un homeomorfismo del abierto U ′ = f−1(V ′) sobre V ′.Para mostrar que f−1 es estrictamente diferenciable en b = f(a), planteamos x = f−1(u) z = f−1(v) en

(I.6.4). Esto da para u, v ∈ V ′∥∥f−1(u)− f−1(v)− f ′(a)−1(u− v)∥∥ ≤ ε

∥∥f ′(a)−1∥∥ · ∥∥f−1(u)− f−1(v)

∥∥ ≤ 2ε∥∥f ′(a)−1

∥∥2 ‖u− v‖

utilizando la estimacion (I.5.6) con A = f ′(a) y α = 1/2. Por lo tanto f−1 es estrictamente diferenciable enb y la derivada esta dada por (I.6.2).

�

Ejemplo I.6.2 Para el problema del ejemplo precedente, tenemos

f ′(a) =(

2a1 − 3 3a22

4a31 − 2a1a2 −a2

1

)=(−1 120 −1

)Para la norma euclidiana, se calcula

∥∥f ′(a)−1∥∥ ≈ 12,1. Si se plantea ε = 0,04, se puede encontrar un δ > 0

tal que (I.6.3) se verifica. Para todo y ∈ R2 con ‖y − b‖ ≤ 2δ/12,1 el sistema (I.6.1) posee una solucion x quesatisface ‖x− a‖ ≤ δ. En esta bola de radio δ no hay otra solucion aparte de x. Ademas, la demostraciondel teorema de inversion local muestra que el metodo de Newton simplificado converge hacia esta solucion.

El objetivo siguiente es estudiar si la solucion de f(x) = y depende de manera diferenciable de y. Masprecisamente, estudiaremos las condiciones bajo las cuales la funcion inversa es diferenciable en todo unvecindario de b = f(a).

Definicion I.6.1 Sean E, F espacios vectoriales normados, U ⊂ E y V ⊂ F abiertos.

♠ f : U → F es continuamente diferenciable o de clase C1 sobre U , si f es diferenciable en todo punto deU y si f ′ : U → L(E,F ) es continua.

♠ f : U → V es un difeomorfismo (de clase C1) de U sobre V , si f es biyectiva, continuamente diferen-ciable, y si la inversa f−1 : V → U es continuamente diferenciable.

♠ f : U → F es un difeomorfismo local alrededor de a ∈ U , si existen: un vecindario abierto U ′ ⊂ Ude a y un vecindario abierto V ′ de f(a) tales que f es un difeomorfismo de U ′ sobre V ′.

Remarquemos que un homeomorfismo que es continuamente diferenciable no siempre es un difeomorfismo.La funcion f : R → R definida por f(x) = x3 nos sirve como contra ejemplo, porque f−1(y) = 3

√y es

continua, pero no diferenciable en el origen.Una funcion que es continuamente diferenciable sobre U es estrictamente diferenciable sobre U . Esto es

una consecuencia del teorema I.5.5


Teorema I.6.2 Sean E, F espacios de Banach, U ⊂ E un abierto y a ∈ U . Una aplicacion f : U → F declase C1 es un difeomorfismo local alrededor de a, si y solamente si f ′(a) es un isomorfismo de E sobre F .Ademas, se tiene

(f−1)′(y) = f ′(x)−1 para y = f(x) en un vecindario de b = f(a).

Demostracion.- ⇒: Si f : U → F es un difeomorfismo local alrededor de a, se puede derivar la identidadf−1(f(x)) = x. Esto da

(f−1)′(y)f ′(x) = I con y = f(x) (I.6.5)

en un vecindario de a. Por consiguiente, f ′(a) es inversible. La inversa de f ′(a)−1 = (f−1)′(b) es unaaplicacion acotada porque f−1 es supuesta diferenciable en b.⇐: El teorema de inversion local implica que f es un homeomorfismo local alrededor de a. Solo queda mostrarque f−1 es continuamente diferenciable en un vecindario de b = f(a). Como f ′(x) es proxima a f ′(a), lacontinuidad de f ′ : U → L(E,F ) y GL(E,F ) es un abierto, f ′(x) es un isomorfismo para todo x en unvecindario U ′ de a. Podemos aplicar el teorema de inversion local a cada uno de los x ∈ U ′, lo que implicala diferenciabilidad de f−1 en V ′ = f(U ′). Derivando la identidad f−1(f(x)) = x, se obtiene (I.6.5) y por lotanto (f−1)′(y) = f ′(f−1(y))−1 para y ∈ V ′. La funcion (f−1)′ : V ′ → L(F,E), siendo la composicion de lasaplicaciones continuas f−1, f ′ y (·)−1, es por consiguiente continua.

�

Corolario I.6.1 Sean E,F espacios de Banach, U ⊂ E un abierto y f : U → F continuamente diferenciablesobre U . Entonces, f es un difeomorfismo de U sobre f(U), si y solamente si:

i) f es inyectiva sobre U ,

ii) f ′(x) es un isomorfismo para todo x ∈ U .

Demostracion.- Este resultado es una consecuencia del teorema precedente, por que la diferenciabilidad esuna propiedad local.

�

Ejemplo I.6.3 (Coordenadas Polares) Sean U = {(r, ϕ ∈ R2|r > 0}, V = R2 − {(0, 0)} y f : U → Vdada por

(r, ϕ) 7→ (r cosϕ, r sinϕ).

Esta aplicacion es un difeomorfismo local alrededor de cada punto de U , porque

f ′(r, ϕ) =(

cosϕ −r sinϕsinϕ r cosϕ

)y det(f ′(r, ϕ)) = r > 0. f no es inyectiva, se tiene f(r, ϕ+2π) = f(r, ϕ). Por lo tanto, no es un difeomorfismode U sobre V . Si se restringe los conjuntos U y V a

U0 = {(r, ϕ)|r > 0,−π < ϕ < π}, V0 = R2 − {(x, 0)|x ≤ 0},

f se convierte en un difeomorfismo de U0 sobre V0. En la figura I.6.1 podemos observar una representacionde las coordenadas polares.

Ejemplo I.6.4 (Coordenadas Esfericas) La aplicacion

(r, ϕ, ϑ) 7→ (r cosϕ sinϑ, r sinϕ sinϑ, r cosϑ)

es un difeomorfismo de U = {(r, ϕ, ϑ)|r > 0, −π < ϕ < π, 0 < ϑ < π} sobre el conjunto V = R3 −{(x, 0, z)|x ≤ 0, z ∈ R}, por que el determinante de la matriz jacobiana es −r2 sinϑ 6= 0 y la aplicacion esinyectiva.

I.6. TEOREMA DE INVERSION LOCAL 25

0 1 2 30

3

6

UU

rr

ϕϕ2π

f

1 2 3−3 −2 −1

1

2

3

−3

−2

−1

VVxx

yy

Figura I.6.4: Coordenadas Polares

Ejemplo I.6.5 (Transformacion de Cayley) La aplicacion

(x, y) 7→(

1− x2 − y2

(1− x)2 + y2,

2y(1− x)2 + y2

)(I.6.6)

es un difeomorfismo del semiplano izquier-do {(x, y)|x < 0} sobre el disco abierto{(u, v)|u2 + v2 < 1}. Ver aplicaciones confor-mes de la parte B del curso de Analisis deSegundo Ano.

−4 −3 −2 −1

−2

−1

0

1

2

xx

yy

f1−1

1

−1

uu

vv

Por lo tanto, la aplicacion (I.6.6) es biyectiva y es continuamente diferenciable.

I.6.1. Ejercicios

1. Consideremos la funcion f : R2 → R2 dada por

f1(x1, x2) = x1, f2(x1, x2) =

x2 − x2

1 si x≤1 x2x−2 x2

1x2

x21

si 0 ≤ x2 ≤ x21

−f2(x1,−x2) si x2 ≤ 0

Mostrar que:

(a) f es diferenciable en todo punto.

(b) f ′(0) es inversible (calcular f ′(0)).

(c) f no es estrictamente diferenciable en el origen.

(d) No existe vecindario del origen donde f sea inyectiva; es decir f no es un homeomorfismo alrededordel origen.


2. Dar un difeomorfismo (a) del intervalo (0, 1) con R, (b) del intervalo (0, 1) con la semirecta R∗+.

3. Sea el “cubo” C = {x ∈ Rn|0 < x1 < 1, i = 1, . . . , n} y el ”simplex” S = {y ∈ Rn|yi > 0,∑n

i=1 yi < 1}y se considera la aplicacion ϕ : C → Rn dada por ϕ(x) = y con yk = (1 − x1) · · · (1 − xk−1)xk parak = 1, . . . , n.

(a) Para n = 2 graficar las imagenes de ϕ de las rectas paralelas al origen.(b) Verificar que

∑ni=1 yi = 1−

∏ni=1(1− xi)

(c) Verificar que ϕ es un un difeormorfismo de C sobre S y encontrar su inversa.

4. Las coordenadas esfericas de Rn estan dadas por ψ(r, θ1, . . . , θn−1) = x donde

x1 = r cos θ1x2 = r sin θ1 cos θ2x3 = r sin θ1 sin θ2 cos θ3

...xn−1 = r sin θ1 sin θ2 . . . sin θn−2 cos θn−1

xn = r sin θ1 sin θ2 . . . sin θn−2 sin θn−1.

Mostrar quedetψ′ = rn−1 sinn−2 θ1 sinn−3 θ2 · · · sin θn−2,

y mostrar que la restriccion de la aplicacion ψ a (0,∞)× (0, π)n−2 × (−π, π) es un difeomorfismo.

5. Sea αn el volumen de la esfera {x ∈ Rn| ‖x‖2 ≤ 1} en Rn. Utilizando el resultado del ejercicio anterior,el teorema de cambio de variable para integrales y la definicion de la funcion Gamma Γ(x) mostrar que

αn =πn/2

Γ(n/2 + 1).

Mostrar igualmente que αn → 0 cuando n→∞.Indicacion. Para Ik =

∫ π

0sink t dt se tiene (k + 1)Ik+1 = kIk − 1.

6. En el plano con las coordenadas cartesianas (x, y) se considera las dos curvas

C1 = {(x, y) : x2 − y = 0}C2 = {(x, y) : x− y2 = 0}.

Encontrar un difeormorfismo local alrededor de (0, 0) f tal que

f(C1) = {(u, v) : v = 0}f(C2) = {(u, v) : u = 0}.

7. Para todo a ∈ R se considera la funcion fa : R → R dada por fa(x) = ax − sinx. ¿Para que valoresde a la funcion fa es un homeomorfismo?, ¿un difeomorfismo?, ¿un difeomorfismo local alrededor delorigen?

I.7. Teorema de las Funciones Implıcitas

En la seccion precedente, hemos considerado el problema de resolver f(y) = x y hemos encontrado condicionessuficientes que permiten escribir la solucion bajo la forma y = g(x). El objetivo de esta seccion es extendereste resultado al problema

f(x, y) = 0 (I.7.1)

donde x, y y f(x, y) estan en espacios de Banach. Buscamos saver si la ecuacion (I.7.1) puede ser resueltapara obtener y = g(x) tal que (al menos localmente)

f(x, y) = 0 ⇐⇒ y = g(x). (I.7.2)

I.7. TEOREMA DE LAS FUNCIONES IMPLICITAS 27

Ejemplo I.7.1 Se pone a consideracion los siguientes ejemplos:

1. Consideremos la funcion

f(x, y) = 16x3 − 84x2 + 162x− 89 + 27y3 + 54xy2 − 108y2 + 36x2y − 180xy + 162y

Por un punto (a, b) satisfaciendo(a, b) = 0 y ∂f

∂y (a, b) 6= 0, existe vecindarios U ′ de a,V ′ de b y un funcion diferenciable g : U ′ → V ′ talesque (I.7.2) es verdad para (x, y) ∈ U ′× V ′. Los pun-tos sobre la curva que tienen una tangente verticalo horizontal pueden ser localizados por la condicion∂f∂y (a, b) = 0 y ∂f

∂x (a, b) = 0 respectivamente. En elpunto de cruce se tiene necesariamente f(a, b) = 0,∂f∂x (a, b) = 0 y ∂f

∂y (a, b) = 0.

1 2

1

2

2. Una funcion f(x1, x2, y) = 0 representa una superficie en R3. ¿Cuando se puede escribir esta ecuacionbajo la forma y = g(x1, x2)?

3. El sistema de dos funcionesf1(x, y1, y2) = 0 f2(x, y1, y2) = 0

representa la interseccion de dos superficies en R3. ¿Bajo que condicion, se puede escribir esta inter-seccion bajo la forma

y1 = g1(x), y2 = g2(x),

lo que representarıa una curva en R3.

Para una funcion f : U → G, U ⊂ E × F , donde E,F,G son espacios de Banach, se define la derivadaparcial ∂f

∂y (a, b) como la derivada de la aplicacion h(y) = f(a, y), donde a es considerada como un parametrofijo; es decir, ∂f

∂y (a, b) = h′(b). Si f es de clase C1, h es tambien de clase C1, porque h = f ◦λ donde la inyeccionλ : F → E × F , definida por λ(y) = (a, y), es continuamente diferenciable.

En el caso en que x ∈ Rm, y ∈ Rn y f : Rm × Rn → Rn esta dada por

f(x, y) =

f1(x1, . . . , xm, y1, . . . , yn)...

f2(x1, . . . , xm, y1, . . . , yn)

se tiene∂f

∂y(x, y) =

∂f1∂y1

(x, y) · · · ∂f1∂yn

(x, y)...

...∂fn

∂y1(x, y) · · · ∂fn

∂yn(x, y)

.

Teorema I.7.1 (Teorema de las Funciones Implıcitas) Sean E, F y G espacios de Banach, U ⊂ E yV ⊂ F abiertos y f : U × V → G una aplicacion de clase C1. Supongamos que para (a, b) ∈ U × V , se tiene

f(a, b) = 0 y∂f

∂y(a, b) es un isomorfismo de F sobre G.

Entonces:

i) Existen: un vecindario U ′ de a, un vecindario V ′ de b y una unica aplicacion g : U ′ → V ′, tales quef(x, g(x)) = 0 para todo x ∈ U ′.

ii) La aplicacion g : U ′ → V ′ es de clase C1 y se tiene

g′(x) = −(∂f

∂y(x, g(x))

)−1∂f

∂x(x, g(x)). (I.7.3)


Demostracion.- Consideremos la aplicacion

F : U × V → E ×G definida por F (x, y) = (x, f(x, y))

y aplicar el teorema de inversion local. Esta aplicacion es de clase C1 y tiene como derivada

F ′(a, b)(h, k) =(h,∂f

∂x(a, b)h+

∂f

∂y(a, b)k

).

Ademas, satisface F (a, b) = (a, 0). Puesto que ∂f∂y (a, b) es un isomorfismo, F ′(a, b) es inversible con inversa

F ′(a, b)−1(h, k) =(h,∂f

∂y(a, b)−1(k − ∂f

∂x(a, b)k)

).

Esta inversa es continua por que ∂f∂x (a, b) y ∂f

∂y (a, b)−1 lo son. Por el teorema de inversion local, F es undifeomorfismo de clase C1 de un vecindario de (a, b) sobre un vecindario (a, 0). Se puede suponer que contienenU ′×V ′ y U ′×W ′, respectivamente, donde U ′, V ′ y W ′ son vecindarios de a, b y 0 ∈ G. Si es necesario reducirU ′, tambien se puede suponer que F−1(U ′ × {0}) ⊂ U ′ × V ′. El difeomorfismo inverso F−1 es de la formaF−1(x, z) = (x, g(x, z)) y se tiene por lo tanto f(x, g(x, z)). La aplicacion g(x) = g(x, 0) es la aplicacionbuscada.

Como F−1(x, z) es de clase C1, las aplicaciones g(x, z) y g(x) = g(x, 0) lo son tambien. Se obtienefinalmente la formula (I.7.3) derivando la identidad f(x, g(x)) = 0 respecto a x.

�

Ejemplo I.7.2 Sea pa(x) = a0 + a1x + · · · + anxn un polinomio a coeficientes reales a = (a0, a1, . . . , an).

¿La raiz x0 de pa(x) = 0 es una funcion diferenciable de a0, a1, . . . , an? Para responder a esta interrogante,consideremos la funcion

f(x, a0, a1, . . . , an) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n = pa(x)

de n+ 2 variables para la cual

∂f

∂x(x, a0, a1, . . . , an) = a1 + 2a2x+ · · ·+ nanx

n−1 = p′a(x).

Si para coeficientes a∗ = (a∗0, a∗1, . . . , a

∗n) se tiene pa∗(x∗0) y pa∗(x∗0) 6= 0, la ecuacion pa(x) = 0 posee, para

a proximo de a∗ una solucion x0(a) que es proxima de x∗0 y que ademas es una funcion diferenciable dea0, a1, . . . , an.En particular, el polinomio pε(x) = x6 − x5 + x3 − 1 + ε tiene un cero proximo de x∗0 = 1 que dependediferencialmente de ε, se tiene x0(ε) = 1− ε/4 +O(ε2). Al contrario, los ceros del polinomio pε(x) = x2 − εsatisfacen x0(ε) = ±

√ε para ε > 0, una funcion no diferenciable en el origen, y para ε < 0 el polinomio no

tiene ni siquiera un cero real.

I.7.1. Ejercicios

1. Sea f : R4 → R2 la aplicacion definida por

f1(x, y, u, v) = u3 + vx+ y

f2(x, y, u, v) = uy + v3 − x

y sea P0 = (x0, y0, u0, v0) un punto de f−1({0}).

(a) Escribir una condicion sobre P0 que permita obtener localmente alrededor de este punto el conjuntof−1({0}) como el grafo de una funcion de la forma u = g1(x, y), v = g2(x, y).

(b) Calcular ∂g1∂x (x0, y0) si P0 = (0,−1, 1, 1).

I.8. APLICACIONES BILINEALES Y MULTILINEALES 29

2. Se considera el sistema

λc1 = 3c1 +94c31 +

92c1c

22

λc2 = 2c2 + 3c21c2 +32c2.

Encontrar los puntos de bifurca-cion de las curbas c1(λ) y c2(λ).Una condicion necesaria para unpunto de bifurcacion es que elteorema de las funciones implıci-tas no pueda ser aplicado.

3. Demostrar que el teorema de inversion local puede ser deducido del teorema de las funciones implıcitas.

4. Sea S = {(x, y, z)|xz + sin(xy) + cos(xy) = 1}. Determinar si en un vecindario de (0, 1, 1) el conjuntoS puede ser escrito bajo la forma

z = f(x, y) o y = g(x, z) o x = h(y, z).

I.8. Aplicaciones Bilineales y Multilineales

Las derivadas de orden superior son aplicaciones bilineales para la segunda derivada, trilineales para la terceraderivada y multilineales de orden n para las n-sima derivada. Esta es la razon por la cual estudiaremos estetipo de aplicaciones con un poco mas de detalle.

Las definiciones y propiedades algebraicas han sido ya vistas en el curso de Algebra Lineal Avanzada,por lo tanto nos abocaremos a estudiar la nocion de continuidad en este tipo de aplicaciones.

De la misma manera que en la seccion I.3, podemos generalizar las relacion (I.3.4) y la proposicion I.3.4a productos de espacios. El espacio E1 × E2 × · · · × En, dotado de la norma

‖(x1, x2, . . . , xn)‖ = max{‖x1‖E1, . . . , ‖xn‖En

}

es un espacio normado. Es un espacio de Banach, si y solamente cada uno de los espacios Ek, k = 1, . . . , nes tambien un espacio de Banach.

Proposicion I.8.1 Para una aplicacion multilineal A : E1×E2×· · ·×EN → F , donde E1, . . . , En y F sonespacios vectoriales normados, las condiciones siguientes son equivalentes:

a) A es continua en todo punto de E1 × E2 × · · · × En;

b) A es continua en el origen (0, 0, . . . , 0) ∈ E1 × · · · × En.

c) ‖A(x1, . . . , xn)‖ es acotada sobre la bola unitaria de E1 × · · · × En.

Demostracion.- La demostracion es analoga a la del teorema I.2.1 sobre las aplicaciones lineales. Parademostrar c) ⇒ a), escribimos

A(x1, . . . , xn) −A(a1, . . . , an) = A(x1 − a1, x2, . . . , xn)+A(a1, x2 − a2, x3, . . . , xn) + · · ·+A(a1, . . . , an−1, xn − an)

y estimemos cada termino separadamente.

�

Definicion I.8.1 Sean E1, . . . , En y F espacios vectoriales normados. se denota por L(E1, . . . , En;F ) elconjunto de las aplicaciones multilineales continuas de E1 × · · · × En en F .Para un elemento A ∈ L(E1, . . . , En;F ), se define

‖A‖ = sup‖(x1,...,xn)‖≤1

‖A(x1, . . . , xn)‖ = supxi 6=0, i=1,...,n

‖A(x1, . . . , xn)‖‖x1‖ · ‖x2‖ · . . . · ‖xn‖

. (I.8.1)


Si E1 = · · · = En = E, se escribe tambien Ln(E;F ) en vez de L(E, . . . , E;F )

El espacio L(E1, . . . , En;F ) provisto de (I.8.1) es un espacio vectorial normado. Si F es completo, entoncesL(E1, . . . , En;F ) es un espacio completo. Esta afirmacion se la demuestra exactamente como para el casolineal. El resultado siguiente es la base para la interpretacion de la segunda derivada de una funcion comoaplicacion bilineal.

Proposicion I.8.2 Sean E,F,G espacios vectoriales normados. Entonces, la aplicacion

ψ : L(E,L(F,G)) → L(E,F ;G)

definida por ψ(A) = B donde B(x, y) = (Ax)y es un isomorfismo que es igualmente una isometrıa; es decir‖φ(A)‖ = ‖A‖ para todo A ∈ L(E,L(F,G)).

Demostracion.- La aplicacion ψ es lineal y biyectiva. Su inversa esta dada por ψ1(B) = A donde, parax ∈ E, Ax ∈ L(F,G) es la aplicacion y → B(x, y). Para demostrar la continuidad. Para demostrar lacontinuidad de ψ y de ψ−1, es suficiente ver que ‖ψ(A)‖ = ‖A‖.

Utilizando la desigualdad fundamental para normas de aplicaciones lineales, una vez para Ax y unasegunda vez para A, obtenemos

‖B(x, y)‖ = ‖(Ax)y‖ ≤ ‖Ax‖ · ‖y‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖ · ‖y‖ .

Esto implica que B = ψ(A) satisface ‖B‖ ≤ ‖A‖.Por otro lado la definicon de norma para aplicaciones multilineales, muestra que

‖(Ax)y‖ = ‖B(x, y)‖ ≤ ‖B‖ · ‖x‖ · ‖y‖ .

La norma de la aplicacion lineal Ax satisface por lo tanto ‖Ax‖ ≤ ‖B‖ · ‖x‖ y por consiguiente, ‖A‖ ≤ ‖B‖.estas dos desigualdades muestra que la aplicacion ψ es una isometrıa.

�

Se puede, por lo tanto, identificar las aplicaciones lineales de E en L(F,G) con las aplicaciones bilineales deE × F en G.

Ejemplo I.8.1 Una matriz C (con n columnas y m filas) puede ser identificaco con la aplicacion bilinealB : Rm × Rn → R definida por B(x, y) = xtCy. Puede tambien ser identificada como un elemento deL(Rm,L(Rn,R)) de la manera siguiente: para x ∈ Rm el vector xtC ∈ L(Rn,R) define la aplicacion xC :y → xtCy.

La afirmacion de la proposicion precedente puede ser generalizada a aplicaciones multilineales. Si E1, . . . , En

y F son espacios vectoriales normados, la aplicacion

ψ : L(E1,L(E2, . . . , En;F )) → L(E1, . . . , En : F ), (I.8.2)

definida para ϕ(A) = B donde B(x1, x2, . . . , xn) = (Ax1)(x2, . . . , xn), es un isomorfismo y una isometrıa. Lademostracion de este hecho es identico a la proposicion precedente.

I.8.1. Ejercicios

1. Calcular la norma del determinante visto como una aplicacion multilineal

det : Rn × · · · × Rn → R

donde Rn esta dotado de la norma euclidiana. Deducir la desigualdad |detA| ≤ nn/2 (de Hadamard)para una matriz A = (aij)1≤i,j≤n satisfaciendo |aij | ≤ 1.

2. Sea Rn y Rm dotados de la norma euclidiana. Sea b : Rn × Rm → R la aplicacion bilineal dada porb(x, y) = xtBy, donde B es una matriz arbitraria de n × m. Mostrar que la norma de b satisface‖b‖ = ‖B‖2.

I.9. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 31

I.9. Derivadas de Orden Superior

La derivada de una funcion f : U → F , con U ⊂ E es una aplicacion f ′ : U → L(E,F ). Como L(E,F ) esun espacio vectorial normado, nada nos impide de considerar la diferenciabilidad de f ′.

Definicion I.9.1 Sean E,F dos espacios vectoriales normados, U ⊂ E un abierto y f : U → F diferenciableen un vecindario de a ∈ U . Se dice que f es dos veces diferenciable en a si f ′ : U → L(E,F ) es diferenciableen a. Por consiguiente (f ′)′(a) ∈ L(E,L(E,F )). Utilizando la identificacion de la proposicion I.8.3, se definela segunda derivada de f en a como la aplicacion bilineal

f ′′(a)(h, k) = ((f ′)′(a)h)k.

En la situacion de la definicion precedente, consideramos la aplicacion gk : U → F definida por gk(x) = f ′(x)kcon k ∈ E fijo. Entonces, por la formula de Leibniz, (gk(x) = B(f ′(x), k) donde B : L(E,F )× E → F es laaplicacion bilineal B(A, v) = Av), se obtiene

g′k(a)h = ((f ′)′(a)h)k = f ′′(a)(h, k).

Ejemplo I.9.1 Consideremos una funcion f : Rn → Rm y denotemos x = (x1, . . . , xn)t. Para k ∈ Rn fijo,

la derivada de la funcion gk(x) = f ′(x)k =n∑

j=1

∂f∂xj

(x)kj esta dada por g′k(x)h =∑n

i=1(∑n

j=1∂2f

∂xi∂xj(x)kj)hi.

La segunda derivada de f es por lo tanto

f ′′(x)(h, k) =n∑

i=1

n∑j=1

∂2f

∂xi∂xj(x)hikj .

Para la funcion f : R3 → R2 del ejemplo 1 de la seccion I.3. La segunda derivada es por consiguiente

f ′′(a)(h, k) =(

2h1k1 + 2h2k2 + 2h3k3

a1(h2k3 + h3k2) + a2(h1k3 + h3k1) + a3(h1k2 + h2k1)

)Ejemplo I.9.2 Para la funcion f(X) = X−1 de GL(E) en L(E), la proposicion I.3.3, muestra que gK(X) =f ′(X)K = −X−1KX−1 para K ∈ L(E). La formula de Leibniz nos da por consiguiente

f ′′(X)(H,K) = A−1HA−1KA−1 +A−1KA−1HA−1.

Teorema I.9.1 Sean E,F dos espacios vectoriales normados, U ⊂ E un abierto, y supongamos que f :U → F es dos veces diferenciable en a ∈ U . Entonces, la aplicacion bilineal f ′′(a) : E×E → F es simetrica,es decir

f ′′(a)(h, k) = f ′′(a)(k, h) para h, k ∈ E.

Demostracion.- Vamos a demostrar que

f ′′(a)(h, k) = lımδ→0

1δ2

(f(a+ δh+ δk)− f(a+ δh)− f(a+ δk) + f(a)). (I.9.1)

Puesto que el lado derecho de (I.9.1) es simetrico en h y k, es lo mismo para f ′′(a)(h, k).Para demostrar (I.9.1), consideramos la aplicacion

gu(v) = f(a+ u+ v)− f(a+ u)− f(a+ v) + f(a)− f ′′(a)(u, v).

donde u y v son suficientemente pequenos en norma. Como gu(0) = 0, el teorema de los incrementos finitos,implica que

‖gu(v)‖ ≤ sup0<t<1

‖g′u(tv)‖ · ‖v‖ . (I.9.2)

Solo queda estimar la derivada

g′u(v) = f ′(a+ u+ v)− f ′(a+ v)− f ′′(a)(u, ·)


(la notacion f ′′(a)(u, ·) es utilizada para la aplicacion h→ f ′′(a)(v, h)). El hecho que f es dos veces diferen-ciable en a, es decir x→ f ′(x) diferenciable en a, implica que

f ′(a+ u+ v) = f ′(a) + f ′′(a)(u+ v, ·) + r(u+ v) ‖u+ v‖f ′(a+ v) = f ′(a) + f ′′(a)(v, ·) + r(v) ‖v‖

donde r(v) → 0 si v → 0. La sustraccion de estas dos ecuaciones da para g′u(v) la formula g′u(v) = r(u +v) ‖u+ v‖ − r(v) ‖v‖ y se obtiene para 0 < t < 1

‖g′u(tv)‖ ≤ (‖r(u+ tv)‖+ ‖r(tv)‖)(‖u‖+ ‖v‖). (I.9.3)

Se deduce de las estimaciones (I.9.2) y (I.9.3) que ‖gu(v)‖ /(‖u‖+ ‖v‖)2 → 0 si ‖u‖+ ‖v‖ → 0. Planteandou = δh y v = δk se obtiene la afirmacion (I.9.1).

�

La definicion de tercera derivada es analoga a la definicio (I.9.1). Supongamos que una funcion f : U → F(E,F espacios vectoriales normados y U ⊂ E un abierto) sea 2 veces diferenciable en un vecindario dea ∈ U . Se dice que f es tres veces diferenciable en a, si f ′′ : U → L2(E;F ) es diferenciable en a. La derivada(f ′′)′(a) ∈ L(E,L2(E;F )) y utilizando la isometrıa entre L(E,L2(E;F )) y L3(E;F ) se define la terceraderivada de f en a como la aplicacion trilineal

f ′′′(a)(h, k, l) = (f ′′(a)h)(k, l).

De manera evidente, se define por induccion la p-sima derivada f (p)(a) como aplicacion multilineal f (p) ∈Lp(E;F ).

Para un calculo practico de la tercera derivada, se puede utilizar la formula

g′kl(a)h = ((f ′′)′(a)h)(k, l) = f ′′′(a)(h, k, l) (I.9.4)

donde gkl : U → F esta definida por f ′′(x)(h, k) y k, l ∈ E vectores fijos. La tercera derivada de f puedetambien ser interpretada como la segunda deriva de gl(x) = f ′(x)l, es decir

g′′l (a)(h, k) = ((f ′)′′(a)(h, k))l = f ′′′(a)(h, k, l). (I.9.5)

Las dos formulas (I.9.4) y (I.9.5) muestran que se puede intercambiar k y l ası como h y k sin cambiar elvalor de f ′′′(a)(h, k, l). Se tiene el resultado siguiente.

Corolario I.9.1 Si, bajo las hipotesis del teorema I.9.2, la funcion f : U → F es p veces diferenciable ena ∈ U , la aplicacion multilineal fp(a) es simetrica, es decir,

f (p)(a)(h1, . . . , hp) = f (p)(a)(hσ(1), . . . , hσ(p))

donde σ es una permutacion cualquiera de {1, . . . , p}.

Ejemplo I.9.3 La tercera derivada de una aplicacion f : Rn → Rm esta dada por

f ′′′(x)(h, k, r) =∑i=1

∑j=1

∑l=1

∂3f

∂xi∂xj∂xl(x)hikjrl.

Definicion I.9.2 Sean E,F espacios vectoriales normados, U ⊂ E y V ⊂ F abiertos.

♣ f : U → F es p veces continuamente diferenciable o de clase Cp sobre U , si f es p veces diferenciable entodo punto de U y si f (p) : U → Lp(E;F ) es continua.

♦ f : U → F es indefinidamente diferenciable o de clase C∞ sobre U , si f es de clase Cp para todo p.

♠ f : U → F es un difeomorfismo de clase Cp de U sobre V , si f es biyectiva, p veces continuamentediferenciable y si la inversa f−1 : V → U es p veces continuamente diferenciable.

I.10. FORMULA DE TAYLOR 33

Ejemplo I.9.4 La funcion f(X) = X−1 de GL(E) en L(E) es indefinidamente diferenciable. En efecto,derivando la formula del ejemplo 2, se obtiene

f ′′′(A)(H,K,L) = −A−1HA−1KA−1LA−1 −A−1HA−1LA−1KA−1

−A−1KA−1HA−1LA−1 −−A−1KA−1LA−1HA−1

−A−1LA−1HA−1KA−1 −−A−1LA−1HA−1HA−1.

Se ve por induccion que cada derivada es una combinacion lineal de expresiones que son un producto alternadode A−1 con aplicaciones lineales constantes.

Proposicion I.9.1 Sean E,F espacios vectoriales normados,U ⊂ E, V ⊂ F abiertos y f : U → V undifeomorfismo de clase C1. Si f es de clase Cp, entonces la funcion inversa f−1 : V → U es tambien de claseCp.

Demostracion.- Por el teorema I.6.2 sabemos que

(f−1)′(y) = f ′(f−1(y))−1,

es decir, (f−1)′ es la composicion de tres aplicaciones: y → f−1(y), x → f ′(x) y A → A−1. Las tresaplicaciones son continuamente diferenciables. Entonces f−1 es de clase C2. La demostracion para p ≥ 3 esanaloga.

�

Una consecuencia de esta proposicion es la siguiente: si en el teorema de inversion local la funcion f es declase Cp, entonces su inversa es automaticamente de clase Cp. Similarmente, si en el teorema de las funcionesimplıcitas la funcion f es de clase Cp, entonces la aplicacion g es tambien de clase Cp.

I.9.1. Ejercicios

1. Sean f : E → F y g : F → G (donde E, F y G son espacios vectoriales normados) dos aplicacionesdos veces diferenciables. Calcular (g ◦ f)′′(x)(h, k).

2. Sea b : E×F → G (donde E, F y G son espacios vectoriales normados) una aplicacion bilineal continua.Calcular su segunda derivada.

3. Calcular la segunda derivada de f : R2 → R3 dada por

f(x) = (x31 + x1x

32, e

(x1−x2), cos(x1x2))t.

I.10. Formula de Taylor

Finalizando este capıtulo, veremos algunos resultados vinculados a desarrollos limitados a un numero finitode terminos.

Teorema I.10.1 (Formula de Taylor) Sean E,F espacios vectoriales normados, U ⊂ E un abierto. f :U → F una funcion n− 1 veces diferenciable sobre U y n veces diferenciable en a ∈ U . Entonces para todoh ∈ E con a+ h ∈ U , se tiene

f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+12f ′′(a)(h, h) + · · ·+ 1

n!f (n)(a) (h, . . . h)︸︷︷︸

n veces

+o(‖h‖n). (I.10.1)

Demostracion.- La demostracion la realizaremos por induccion. Para n = 1 es la definicion de f ′(a).Suponemos cierto hasta n− 1. En particular suponemos cierto para f ′(a). Por lo tanto

f ′(a+ h) = f ′(a) + f ′′(a)h+12f ′′′(h, h) + · · ·+ 1

(n− 1)!f (n)(a) (h, . . . , h)︸︷︷︸

n−1 veces

+o(‖h‖n−1) (I.10.2)


PlanteamosF (h) = f(a+ h)− f(a)− f ′(a)h− · · · − 1

n!f (n)(a) (h, . . . , h)︸︷︷︸

n veces

,

derivamos y obtenemos

F ′(h)k = f ′(a+ h)k − f ′(a)(k)− f ′′(a)(h, k)− 12f ′′′(a)(h, h, k)− · · · − 1

(n− 1)!f (n)(n− 1)!( h, . . . , h︸︷︷︸

n−1 veces

, k).

La hipotesis de induccion sobre f ′(a+ h) da que

‖F ′(h)‖ = o(‖h‖n−1).

Aplicando el teorema de los incrementos finitos, obtenemos finalmente

F (h)− F (0) = F (h) = o(‖h‖n).

�

Teorema I.10.2 (Formula de Taylor con Resto de Lagrange) Sean E,F espacios vectoriales norma-dos, U ⊂ E un abierto. f : U → F una funcion n + 1 veces diferenciable sobre U y a ∈ U . Entonces paratodo h ∈ E con a+ h ∈ U , se tiene∥∥∥∥∥∥f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+

12f ′′(a)(h, h) + · · ·+ 1

n!f (n)(a) (h, . . . h)︸︷︷︸

n veces

∥∥∥∥∥∥≤ ‖h‖n+1

(n+ 1)!sup

0<t<1

∥∥∥f (n+1)(a+ th)∥∥∥ . (I.10.3)

Demostracion.- Realizamos la demostracion para el caso E = R y [a, a + h] = [0, 1]. El caso general seobtiene de la composicion de la funcion t 7→ a+ th y f .

Para n = 0 es el teorema de los incrementos finitos. Suponemos cierto para n−1. Como en la demostraciondel teorema precedente

F (t) = f(t)− f(0)− . . .− 1n!f (n)(0)tn.

La hipotesis de induccion aplicada a n− 1 y f ′(t) nos conduce a

‖F ′(t)‖ ≤ tn

n!sup

0<t<1

∥∥∥f (n+1)(t)∥∥∥ .

Por otro lado F (1) =∫ 1

0F ′(t) dt, de donde

‖F (1)‖ ≤(∫ 1

0

tn

n!dt

)sup

0<t<1

∥∥∥f (n+1)(t)∥∥∥ =

1(n+ 1)!

sup0<t<1

∥∥∥f (n+1)(t)∥∥∥ .

�

I.10.1. Ejercicios

1. Sea X ∈ GL(Rn), calcular todas las derivadas de la funcion f(x) = X3.

Capıtulo II

Subvariedades Diferenciales

En los cursos basicos de calculo y geometrıa, se ha estudiado subconjuntos particulares del plano y delespacio, como ser curvas y superficies; ası como tambien la nocion de rectas y planos tangentes.

En este capıtulo, las nociones de curva y plano seran generalizadas, al igual que la nocion de tangencia.Comencemos viendo un teorema clave.

II.1. Teorema del Rango

Un cambio de coordenadas puede ser muy util para el estudio de las funciones. Por ejemplo, si la funcionf(x1, x2) puede expresarse como una funcion de x2

1 + x22 es conveniente introducir coordenadas polares. El

objetivo de esta seccion es buscar, para una funcion y = f(x) dada, coordenadas ξ y η en lugar de x e y,para las cuales la funcion f se convierta en mas simple, por ejemplo lineal.

Nos contentaremos de estudiar este problema localmente; es decir, alrededor de un punto a. Como uncambio de coordenadas es equivalente a un difeomorfismo, el problema se plantea de la manera siguiente:sean f : Rn → Rm, a ∈ Rn y b = f(a) ∈ Rm dados, encontrar un difeomorfismo local ϕ alrededor de a(ξ = ϕ(x)) y un difeomorfismo local ψ alrededor de b (η = ψ(y)), tales que ψ ◦ f ◦ ϕ−1 sea “mas simple” enun vecindario de 0 ∈ Rn.

Teorema II.1.1 (Teorema del rango) Sean f : Rn → Rm de clase Ck, con k ≥ 1, a ∈ Rn y b = f(a).Los enunciados siguientes son equivalentes:

i) Existe difeomorfismos locales ϕ alrededor de a y ψ alrededor de b, de clase Ck, tales que

(ψ ◦ f ◦ ϕ−1)(ξ1, . . . , ξn) = (ξ1, . . . , ξr, 0, . . . , 0)t alrededor de ξ = 0; (II.1.1)

ii) El rango de f ′(x) es constante e igual a r en un vecindario de a.

Demostracion.- Supongamos cierto i), es decir que existen los difeomorfismos ϕ y ψ que satisface (II.1.1).Planteando g = ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : Rn → Rm, derivando g se obtiene

g′(ξ) = ψ′(f(x))f ′(x)(ϕ′(x))−1 =(Ir 00 0

),

donde Ir es la matriz identidad de r × r. Como ψ y ϕ son difeomorfismos, sus derivadas son inversibles ydejan invariante el rango, ver curso de algebra lineal.

Supongamos cierto el inciso ii); es decir, que f ′(x) es de rango r en un vecindario U de a. Si es necesariopermutar los xi y o los yj , podemos suponer que

A =(∂fi

∂xj(a))r

i,j=1

es inversible. Definimos la aplicacion ξ = ϕ(x) por

ϕi(x) = ξ ={fi(x1, . . . , xn)− bi para 1 ≤ i ≤ r

xi − ai para i ∈ {r + 1, . . . , n} (II.1.2)

35

36 CAPITULO II. SUBVARIEDADES DIFERENCIALES

Puesto que la matriz jacobiana

ϕ′(a) =(A ∗0 I

)es inversible, (II.1.2) define un difeomorfismo local alrededor de a. Consideremos la funciong(ξ) = (f ◦ ϕ−1)(ξ), cuyas primeras r componentes estan dadas por gi(ξ) = ξi + bi. Como el cambio decoordenadas x↔ ξ no cambia el rango, ver curso de algebra lineal, la matriz

g′(ξ) =(

I 0C(ξ) D(ξ)

)es de rango r para todo ξ en un vecindario de ξ = 0. Por lo tanto D(ξ) = 0 y la funcion g(ξ) dependesolamente de ξ1, . . . , ξr.

El siguiente paso es construir ψ. Consideremos, la aplicacion η = ψ(y) definida por

ψi(y) = ηi ={

yi − bi para i = 1, . . . , ryi − gi(y1 − b1, . . . , yr − br) para i = r + 1, . . . ,m. (II.1.3)

La matriz jacobiana de ψ, esta dada por

ψ′(b) =(I 0∗ I

)es inversible, por lo que (II.1.3) es un difeomorfismo local alrededor de b.

Por ultimo debemos verificar que ψ ◦ f ◦ ϕ−1 verifica (II.1.1), que dejamos como ejercicio

�

Consecuensia del Teorema del Rango, son los dos siguientes teoremas:

Teorema II.1.2 (Teorema de la inmersion) Sea f : Rn → Rm una inmersion en a ∈ Rn de clase Ck,con k ≥ 1; es decir f ′(a) es inyectiva (rango de f ′(a) es n). Entonces, existen un vecindario U ⊂ Rn de a yun difeomorfismo local ψ alrededor de b = f(a), de clase Ck tal que

(ψ ◦ f)(x1, x2, . . . , xn) = (x1, . . . , xn, 0, . . . , 0)t, ∀x ∈ U. (II.1.4)

Demostracion.- Si es necesario permutar los yi, se puede suponer que la submatriz

A =(∂fi

∂xj(a))n

i,j=1

es inversible, por consiguiente en un vecindario U de a. Definimos la aplicacion η = ψ(y) de manera implıcitade la manera siguiente

yi ={

fi(η1, . . . , ηn) para i = 1, . . . , nfi(η1, . . . , ηn)− ηi para i = n+ 1, . . . ,m.

Como la matriz jacobiana de esta aplicacion es inversible, ψ es un difeomorfismo local alrededor de b ysatisface (II.1.4).

�

Teorema II.1.3 (Teorema de la submersion) Sea f : Rn → Rm una submersion en a ∈ Rn de claseCk, con k ≥ 1; es decir f ′(a) es sobreyectiva (rango de f ′(a) es m). Entonces, existe un difeomorfismo localϕ alrededor de 0, de clase Ck tal que

(f ◦ ϕ)(ξ1, . . . , ξn) = f(a) + (ξ1, . . . , ξm)t.

Demostracion.- Para demostrar regresamos a la demostracion del Teorema del Rango, no hay necesidad dehacer permutaciones en la variable yi. Tomamos como ϕ, la aplicacion ϕ−1 de la demostracion del teoremadel Rango e inmediatamente g = f ◦ ϕ nos da el resultado deseado.

�

II.2. SUBVARIEDADES DIFERENCIABLES 37

II.2. Subvariedades Diferenciables

El objetivo de esta seccion es describir diferentes objetos de Rn, como ser curvas, superficies y en generalsubvariedades diferenciables. A continuacion enunciamos el teorema que nos permitira cacterisar dichosobjetos.Teorema II.2.1 Sea M 6= ∅ un subconjunto de Rn, a ∈M y sea 0 ≤ r ≤ n. Los enunciados siguientes sonequivalentes:

i) existe un vecindario U ⊂ Rn de a y una aplicacion diferenciable g : U → Rn−r con g(a) = 0 y g′(a)sobreyectiva (g una submersion) tales que

M∩ U = g−1(0);

ii) existe un vecindario U ⊂ Rn de a, un vecindario V ⊂ Rn de 0 y un difeomorfismo ϕ : V → U conϕ(0) = a tales que

M∩ U = ϕ((Rr × {0}) ∩ V );

iii) existe un vencidario U ⊂ Rn de a, un vecindario W ⊂ Rr de 0 y una aplicacion diferenciable γ : W → Ucon γ(0) = a y γ′(0) inyectiva (una inmersion) tales que

M∩ U = γ(W )

y γ : W →M∩ U es un homeomorfismo.

Demostracion.- Para visualizar los enunciados del teorema, consideremos la Figura II.2.1 Mostremos i) ⇒

γ

ϕ

g

U

V

W

��

� �

��

��

Figura II.2.1: Visualizacion del teorema

ii). Por hipotesis g es una submersion en a, por consiguiente el teorema de la submersion asegura la existenciade un difeomorfismo ϕ : Rn → Rn alrededor de 0 y ϕ(0) = a tal que

g ◦ ϕ(ξ1, . . . , ξn) = (ξr+1, . . . , ξn)t,

despues de una eventual permutacion de los ξi. La condicion g(x) = 0, se convierte en consecuencia ξr+1 =· · · = ξn, lo que conduce a M∩ U = ϕ((Rr × {0}) ∩ V ).ii) ⇒ i). Consideremos la proyeccion canonica π : V ⊂ Rn → Rn−r dada por π(ξ1, . . . , ξn) = (ξr+1, . . . , ξn).Planteando g = π ◦ ϕ−1 tenemos el punto i); en efecto g es una submersion y g−1(0) = ϕ(π−1(0)) =ϕ(V ∩ (Rr × {0})).


iii) ⇒ ii). El teorema de inmersion conduce a la existencia de un difeomorfismo local ψ alrededor de a talque

(ψ ◦ γ)(ξ1, . . . , ξr) = (ξ1, . . . , ξr, 0, . . . , 0)t,

para todo ξ alrededor de 0 ∈ Rr. De donde x ∈ γ(W ′) es equivalente a que ψ(x) ∈ Rr × {0}. Tomamosϕ = ψ−1. Solo falta comprobar que ϕ((Rr × {0}) ∩ V ) = M ∩ U , en efecto, si es necesario achicar losvecindarios, se tiene que γ : W →M∩ U es un homeomorfismo, por lo tanto la preimagen de γ alrededorde a es un vecindario de 0 ∈ R, con lo que se asegura ϕ((Rr × {0}) ∩ V ) = M∩ Uii) ⇒ i). Consideramos la inyeccion canonica i : Rr → Rn dada por i(ξ1, . . . , ξr) = (ξ1, . . . , ξr, 0, . . . , 0),planteamos γ = ϕ ◦ i. Dejamos al estudiante la comprobacion que γ satisface ii).

�

Definicion II.2.1 Un conjunto M 6= ∅ que satisface las condiciones del teorema precedente para todo a ∈Mse llama una subvariedad diferenciable en Rn de dimension r y de codimension n − r. La aplicacion γ delinciso iii) del teorema se llama parametrizacion local de M alrededor de a.

Ejemplo II.2.1 Consideremos: Consideremos la superficie de la esfera en R3 alrededor del polo sur a =(0, 0,−1)t. Esta superfie puede ser descrita para n = 3 y r = 2

g(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1,

tambien por ϕ(x, y, ζ) = (x, y,−√

1− x2 − y2 + ζ)t y por γ(x, y) = ϕ(x, y, 0), o bien utilizar coordenadasesfericas:

ϕ(α, β, ρ) = ((1 + ρ) sinα cosβ, (1 + ρ) sinα sinβ,−(1 + ρ) cosα)t

y γ(α, β) = ϕ(α, β, 0).

Ejemplo II.2.2 (Toro de revolucion) Consideremos la circunferencia (x, z) = (d + ρ cosα, ρ sinα) con0 < ρ < d y giremos alrededor del eje z. Esto da la parametrizacion

γ(α, β) =

(d+ ρ cosα) cosβ(d+ ρ cosα) sinβ

ρ sinα

de un toro. Dejamos como ejercicio la verifi-cacion que γ(α, β) es una inmersion que γ eslocalmente un homeomorfismo.

Ejemplo II.2.3 (Cinta de Mobius) Consideremos una vara de longitud 2, parametrizada por −1 < t < 1y giremosla alrededor de su centro, al mismo tiempo rotemos dos veces mas rapido alrdedor de un eje a unadistancia d. Esto da la parametrizacion

γ(t, ϑ) =

(d+ t cosϑ) cos 2ϑ(d+ t cosϑ) sin 2ϑ

t sinϑ

.

Ejemplo II.2.4 (Grupo Ortogonal) El conjunto

O(n) = {X|XtX = I}

es una subvariedad de dimension n(n−1)/2 de Mn,n(R) ' Rn·n. Para comprobar, consideremos la aplicacion

g : Mn,n(R) → Symn

(R) ' Rn(n+1)/2

II.3. ESPACIO TANGENTE 39

definida por g(X) = XtX − I, donde Symn denota el espacio de las matrices simetricas de dimension. Setiene O(n) = g−1(0). Se tiene que verificar que g es una submersion en todo A ∈ O(n). La derivada de g enA es g′(A)H = AtH +HtA. Para una matriz simetrica B, planteamos H = AB/2 que da g′(A)H = B, porlo tanto g′(A) : Mn,n(R) → Symn(R) es sobreyectiva y O(n) es una subvariedad de codimension n(n+ 1)/2.

Ejemplo II.2.5 Las subvariedades de dimension 0 son puntos discretos de Rn. Todo subespacio lineal oafın de Rn es una subvariedad.

Ejemplo II.2.6 El conjunto {(x, y)|xy = 0} no es una subvariedad de R2. Alrededor del origen este conjuntono es difeomorfo a una recta.

Remarca II.2.1 La hipotesis “γ : W → M∩ U es un homeomorfismo” del inciso iii) del teorema II.2.1,no puede ser omitida. Por ejemplo la funcion γ(t) = ((1 + 0,1t2) cos t, (1 + 0,1t2) sin t) es una inmersion paracada t, pero la imagen γ(R) no es una subvariedad de R2 a causa del cruce de la curva, ver figura de laizquierda. Incluso la inyectividad de γ(t) no es suficiente como lo muestra la figura de la derecha.

II.3. Espacio Tangente

La tangente en un punto a una curva en R2 o Rn es una recta; es decir un espacio afın. Ubicando el origenen a, esta tangente se convierte en un espacio vectorial. El plano tangente en un punto a de una superficiees un espacio de dimension 2. Un vector en este plano puede ser interpretado como γ′(0), donde γ(t) es unacurva diferenciable en la superficie que satisface γ(0) = a.

Definicion II.3.1 Sea M⊂ Rn una subvariedad y a ∈M. El espacio tangente a M en a es

TaM ={h ∈ Rn

∣∣∣existe γ : (−ε, ε) → Rn de clase C1 tal que γ(t) ∈Mpara todo t ∈ (−ε, ε), γ(0) = a y γ′(0) = h.

}.

Una subvariedad esta caracterizada, ya sea por una submersion o bien por una parametrizacion, por lo queel teorema siguiente nos da la forma de como determinar espacios tangentes.

Teorema II.3.1 Sea M⊂ Rn una subvariedad y a ∈M .

a) Si M esta dada por una submersion g : U → Rn−r, entonces

TaM = ker g′(a).

b) Si M esta dada por una parametrizacion σ : W → Rn, entonces

TaM = Imσ′(0).

Demostracion.- a) Para una curva γ(t) con g(γ(t)) = 0 se tiene que g′(a)γ′(0) = 0 y por consiguienteTaM ⊂ ker g′(a). Sea h ∈ ker g′(a), el teorema de submersion conduce a la existencia de ϕ difeomorfismolocal alrededor del origen, con ϕ(0) = a tal que g ◦ϕ(ξ) = (ξr+1, . . . , ξn). Como h ∈ ker g′(a), existe h ∈ Rn,tal que h = ϕ′(0)h, ya que ϕ′(0) es un isomorfismo lineal. Por otro lado h ∈ ker(g ◦ ϕ)′(0), de donde hj = 0,


para r + 1 ≤ j ≤ n. Ahora bien, consideramos γ : (−ε, ε) → Rn, con ε > 0 lo suficientemente pequeno, conγ(t) = th. Planteamos γ = ϕ ◦ γ, se tiene γ(t) ∈M y γ′(0) = h.b) Se tiene Imσ′(0) ⊂ TaM por que γ = σ◦ γ, con γ curva diferenciable en Rr, es una curva en M. Solo faltamostrar la inclusion en el otro sentido, consideramos una curva γ en M, el teorema de la inmersion asegurala existencia de ψ difeomorfismo local alrededor de a tal que ψ ◦σ(ξ) = (ξ1, . . . , ξr, 0, . . . , 0), en consecuenciala curva γ = ψ ◦ γ es una curva diferenciable en Rr (proyectando Rn a Rr), por lo tanto TaM = Imσ′(0).

�

II.4. Ejercicios

1. Calcular el rango de la matriz jacobiana para

f(x) =

x1 + x2 + x3 + x4

x21 + x2

2 + x23 + x2

4

x31 + x3

2 + x33 + x3

4

2. Sea f : Rn → Rm de clase C1. Mostrar que si rang f ′(a) = r, entonces rang f ′(x) ≥ r en un vecindariode a. Dar un ejemplo para el cual rang f ′(a) = r y rang f ′(x) > r para x ∈ U − {a}, donde U es unvecindario de a.

3. Sea A una matriz con n columnas y m filas de rang = r. Mostrar que existen matrices inversibles S yT tales que

SAT =(Ir 00 0

), (II.4.1)

donde Ir es la matriz identidad de talla r. Calcular una descomposicion de la forma (II.4.1) para lamatriz

A =(

1 −1 2−2 2 −4

).

4. De los conjuntos definidos mas abajo, decidir cuales son subvariedades y cuales no, hacer graficas si esposible:

{(t, t2) ∈ R2|t ∈ R} {(t, t2) ∈ R2|t ≥ 0}{(t2, t3) ∈ R2|t ∈ R} {(t2, t3) ∈ R2|t 6= 0}

{: (x, y) ∈ R2|x > 0, y > 0} {(x, y, z) ∈ R3|x = y = z = 0}{(x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 − z2 = 1} {(x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + z2 = 0}.

5. Dar una aplicacion diferenciable g : R3 → R2 tal que el conjunto

M = {x ∈ R3|g(x) = 0}

sea una subvariedad de dimension 1 en R3, pero que g′(x) no es sobreyectiva en ningun punto de M.

6. Verificar que el conjunto {(x, y)|xy = 0} no es una subvariedad de R2, pero que {(x, y)|xy = 0}−{(0, 0)}es una subvariedad.

7. Sean X ⊂ Rn e Y ⊂ Rm dos subvariedades. Mostra que el producto

X × Y = {(x, y) ∈ Rn × Rm|x ∈ X, y ∈ Y }

es una subvariedad de Rn × Rm, que se llama subvariedad producto.

II.4. EJERCICIOS 41

8. Demostrar que el conjunto

{(cos t+ 2) cosλt, (cos t+ 2) sinλt, sin t) ∈ R3|t ∈ R}(II.4.2)

es una subvariedad de R3 para λ = 2/13, ver dibujo. Paraλ =

√2 el conjunto (II.4.2) no es una subvariedad y es

dense en el toro

{(cosu+ 2) cos v, (cosu+ 2) sin v, sinu)}.

Capıtulo III

Maximos y Mınimos Locales

En el curso de Primer Ano de Analisis se vio el problema de puntos extremales para funciones reales a unavariable. Se constato que una condicion necesaria, cuando la funcion era diferenciable, es que la derivada esnula en un punto extremal.

En este capıtulo se estudiara el problema para funciones a varias variables de la forma f : U ⊂ E → R,donde E es un espacio vectorial normado y luego estudiaremos problemas de maximo y mınimo para funcionessometidas a ciertas restricciones.

III.1. Maximos y mınimos relativos

Sea U un abierto de un espacio vectorial normado E y f : U → R. Se dice que f posee un mınimo (maximo)relativo en el punto a ∈ U , si existe un vecindario V de a, V ⊂ U tal que

f(x) ≥ f(a)(f(x) ≤ f(a)

)∀x ∈ V.

Un mınimo (maximo) relativo es estricto si

f(x) > f(a)(f(x) < f(a)

)∀x ∈ V − {a}.

Se dice que f posee un extremo relativo, si posee un mınimo o maximo relativo en a.

Teorema III.1.1 ((condicion necesaria)) Sea U un abierto de un espacio vectorial normado E y su-pongamos que f : U → R sea diferenciable en a ∈ U . Si f admite un extremo relativo en a, entoncesf ′(a) = 0.

Demostracion.- Supongamos que f admita un maximo relativo en a. Las hipotesis implican que para unh fijo y |ε| lo suficiente pequeno se tiene

0 ≥ f(a+ εh)− f(a) = f ′(a)εh+ r(a+ εh) · ε · ‖h‖

donde r(a + εh) → 0 si ε → 0. Dividiendo este limite por ε y considerando que ε → 0, se obtiene quef ′(a)h ≤ 0. Deducimos que f ′(a) = 0, porque h ∈ E es arbitrario. Para el mınimo relativo la demostracionse la realiza de la misma manera.

�

Teorema III.1.2 ((Condicion necesaria)) Sea U un abierto de un espacio normado E y f : U → R dosveces diferenciable en a ∈ U . Si f posee un maximo relativo en a, entonces

f ′′(a)(h, h) ≤ 0, ∀h ∈ E. (III.1.1)

Demostracion.- El desarrollo en serie de Taylor de f alrededor de a, para h fijo, esta dado por

f(a+ εh) = f(a) + f ′(a)εh+12!f ′′(a)(εh, εh) + o(ε2 ‖h‖2).

Dividemos la formula por ε2 y pasamos al lımite ε→ 0.

43

44 CAPITULO III. MAXIMOS Y MINIMOS LOCALES

�

Se dice que a ∈ U es un punto crıtico de f : U → R si f ′(a) = 0. La condicion f ′(a) = 0 no es suficiente paraasegurar un punto extremal, por ejemplo f(x) = x5 nos sirve como contraejemplo.

Teorema III.1.3 ((condicion suficiente)) Sea U un abierto de un espacio vectorial normado y f : U → Rdos veces diferenciable en a ∈ U , si f ′(a) = 0 y si f ′′(a) satisface

f ′′(a)(h, h) ≤ −γ ‖h‖2 ∀h ∈ E (III.1.2)

con γ > 0, entonces f admite un maximo relativo estricto en el punto a.

Demostracion.- Aplicamos la formula de Taylor alrededor de a, lo que da

f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+12f ′′(a)(h, h) + o(‖h‖2),

las hipotesis sobre f ′(a) y f ′′(a) nos llevan

f(a+ h)− f(a) =12f ′′(a)(h, h) + o(‖h‖2) ≤ (−γ ‖h‖2 + o(‖h‖2).

Dividiendo por ‖h‖2 y pasando al lımite h→ 0, deducimos para h 6= 0 y lo suficientemente pequeno que

f(a+ h)− f(a) < 0,

con lo que f admite un maximo relativo estricto en el punto a.

�

El espacio vectorial normado es finito dimensional

Supongamos que E es de dimension n, por consiguiente E = Rn en lo que sigue. La condicion f ′(a) = 0, esequivalente a

∂f

∂x1(a1, . . . , an) = 0, . . . ,

∂f

∂xn(a1, . . . , an) = 0,

lo que constituye un sistema de n ecuaciones para las n incognitas a1, . . . , an. Por lo tanto, resolviendo elsistema de n ecuaciones, encontramos los puntos crıticos de f . El siguiente paso es determinar el caracter delos puntos crıticos. Sea a ∈ Rn un punto crıtico, se tiene

f(a+ h) = f(a) + f ′′(a)(h, h) + o(‖h‖2);

ahora bien, f ′′(a) es una forma bilineal simetrica llamada Hessiana de f en el punto a. Si f es dos vecescontinuamente diferenciable, la matriz hessiana respecto a la base canonica es

H(a) =

∂2f∂x2

1(a) ∂2f

∂x1∂x2(a) · · · ∂2f

∂x1∂xn(a)

∂2f∂x1∂x2

(a)...

∂2f∂x1∂xn

(a) ∂2f∂x2

n(a)

La teorıa de formas bilineales simetricas, vista en el curso de Algebra Lineal, asegura la existencia de unabase {di} de Rn, respecto a la cual la matriz hessiana es una diagonal

H(a) = diag(0, . . . , 0︸︷︷︸p

, 1, . . . , 1︸︷︷︸q

,−1, . . . ,−1︸︷︷︸r

),

de dondef(a+ h) = f(a) + h2

p+1 + · · ·+ h2p+q − h2

p+q+1 − · · · − h2n + o(‖h‖2)

III.2. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 45

con hi la i-sima compenente de h respecto a la base {di}. Por otro lado, la misma teorıa de formas bilinealessimetricas, asegura que p, q, r son unicos y p es el ındice de nulidad de H, q es el ındice de positividad deH y r es el indice de negatividad de H.

Se dira quen a punto crıtico de f es no singular si Hf (a) tiene un ındice de nulidad O. Por consiguiente,tenemos el siguiente teorema para los puntos crıticos no singulares.

Teorema III.1.4 ((Condicion Suficiente)) Sea f : U ⊂ Rn dos continuamente diferenciable, a ∈ U unpunto crıtico no singular, entonces:

a) La hessiana de f en a es de ındice de positividad n si y solamente si f admite un mınimo relativo estrictoen a.

b) La hessiana de f en a es de ındice de negatividad n si y solamente si f admite un maximo relativoestricto en a.

c) En el caso en que la hessiana tenga ındices de negatividad y positividad no nulos, a se llama punto silla.

Remarca III.1.1 En lugar de trabajar con los ındices de positividad, negatividad y nulidad de la hessianade f , se hubiese podido trabajar con los valores propios de Hf (a), que dicho sea de paso, son reales. Dejamoscomo ejercicio enunciar los resultados correspondientes con los valores propios.

III.2. Multiplicadores de Lagrange

Sea U un abierto de Rn, f : U → R y consideremos la subvariedad M ⊂ U . El problema consiste enencontrar los mınimos o maximos relativos de la restriccion f |M; es decir, se busca a ∈M tal que

f(x) ≥ (≤)f(a) ∀x ∈ V ∩M,

donde V ⊂ U es un vecindario de a.Para resolver este problema, suponemos que M es de dimension r y codimension s = n − r. Por lo

hecho en capıtulo precedente, M se puede caracterizar alrededor de a ∈ M mediante σ : W ⊂ Rr → Rn

parametrizacion alrededor de a; o bien, como un conjunto de nivel de g : Rn → Rs, es decir

M = {x ∈ Rn|g(x) = 0}.

Teorema III.2.1 ((Condicion necesaria)) Sea ⊂ Rn abierto, M⊂ U subvariedad diferenciable f : U →R continuamente diferenciable en a ∈M. Si f |M admite un extremo relativo en a ∈M, entonces

TaM⊂ ker f ′(a). (III.2.1)

Demostracion.- Como M es una variedad difenciable, existe σ : W ⊂ Rr → Rn parametrizacion localalrededor de a. Como f |M presenta un valor extremal en a ∈ M , f ◦ σ admite un valor extremal en 0, porlo tanto (f ◦ σ)′(0) = 0. Aplicando la formula de derivacion para la composicion de aplicaciones,se tienef ′(a) ◦ σ′(0) = 0, lo que conduce a que Imσ′(0) ⊂ ker f ′(a), es decir

TaM⊂ ker f ′(a).

�

Definicion III.2.1 Un punto a ∈ calM satisfaciendo la condicion (III.2.1) se llama punto crıtico de f |M.

Los problemas de determinacion de valores y puntos extremales de funciones restringidas sobre subvariedadesson formulados utilizando la forma submersiva para representar la subvariedad. Por otro lado la condicion(III.2.1) no es muy util desde el punto de vista calculista.


Teorema III.2.2 (Multiplicadores de Lagrange) Sea U ⊂ Rn, f : U → R continuamente diferenciableen un vecindario de a ∈M = {x ∈ U |g(x) = 0} con g : U → Rs submersion alrededor de a. Si f |M posee unextremo relativo en a ∈M, entonces existe λ : Rs → R forma lineal (multiplicadores de Lagrange) tal que

f ′(a)− λ ◦ g′(a) = 0, (III.2.2)

es decir:f ′(a)−

∑si=1 λig

′i(a) = 0,

( ∂fx1

(a) · · · ∂fxn

(a) )− (λ1 · · · λs )

∂g1∂x1

(a) · · · ∂g1∂xn

(a)...

∂gs

∂x1(a) · · · ∂gs

∂xn(a)

= 0.

Demostracion.- Como TaM = ker g′(a), la condicion

ker g′(a) ⊂ ker f ′(a),

ver curso de algebra lineal espacios vectoriales cocientes, asegura la existencia de λ : Rn/ ker g′(a) → Rs talque

f ′(a) = λ ◦ g′(a).

Ahora bien Rn/ ker g′(a) ∼= Rs, con lo que se tiene (III.2.2).

�

Remarca III.2.1 Con la funcion de Lagrange o lagrangiano

L(x, λ) = f(x)− λ ◦ g(x)

las condiciones a ∈M y (II.2.2) son equivalentes a

L′(a, λ) = 0.

Ejemplo III.2.1 Seanf(x, y, z) = x− y − z,g1(x, y, z) = x2 + 2y2 − 1,g2(x, y, z) = 3x− 4z

y busquemos los valores extremos de f |M donde M = {(x, y, z) ∈ R3|g1(x, y, z) = 0, g2(x, y, z) = 0}. Elconjunto M representa la interseccion de un cilindro con un plano. Se verfica facilmente que g(x, y, z) es unasubmersion para todo x ∈M. La funcion de Lagrange esta dada por

L(x, y, z, λ1, λ2) = x− y − z − λ1(x2 + 2y2 − 1)− λ2(3x− 4z).

Las condiciones necesarias (II.2.2) nos dan:

1− 2λ1x− 3λ2 = 0, −1− 4λ1y = 0, −1 + 4λ2 = 0,

Se obtiene λ2 = 1/4 y eliminando λ1 de las otras dos ecuaciones,se encuentra y+2x=0. Los puntos crıticosson por consiguiente

(1/3,−2/3, 1/4) y (−1/3, 2/3,−1/4).

Al igual que la seccion precedente, una vez determinados los puntos crıticos es determinar el caracter deestos, dando condiciones necesarias y suficientes. En el caso de funciones definidas sobre abiertos de espaciosvectoriales normados, el analisis esta centrado en el estudio de la segunda derivada. Ahora bien, para elcaso de puntos extremales sobre subvariedades se sigue con el mismo esquema, tomando en cuenta algunassutilezas.

Consideremos U ⊂ Rn abierto, M⊂ U subvariedad, f : U → R de clase C2. Sean a ∈M un punto crıticode f |M, σ : Rr → Rn una parametrizacion local alrededor de a. Como a ∈M es un punto crıtico de f |M, se

III.2. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 47

tiene que 0 es un punto crıtico de f ◦σ, por consiguiente las condiciones necesarias y suficientes de la seccionprecedente son validas para O con f ◦ σ y por lo tanto serıa suficiente estudiar (f ◦ ϕ)′′(0). Por otro ladoTaM∼= Rs por σ′(0), de donde definimos la forma bilineal simetrica

Hessaf |M : TaM× TaM −→ R(h, k) 7→ (f ◦ σ)′′(0)((σ′(0))−1(h), (σ′(0))−1(k)) (III.2.3)

Teorema III.2.3 Sean U ⊂ Rn abierto f : U → R dos veces continuamente diferenciable en M ⊂ Usubvariedad y g : U → Rs submersion de clase C2 con M = {x ∈ U |g(x) = 0. Supongamos que a ∈M es unpunto crıtico de f |M, (por lo tanto existe λ : Rs → R forma lineal tal que f ′(a)− λg′(a) = 0), entonces

Hessaf |M = f ′′(a)− λg′′(a). (III.2.4)

y por consiguiente Hessaf |M indepediente de la parametrizacion local alrededor de a.

Demostracion.- Sea σ : W ⊂ Rr → Rn una parametrizacion local alrededor de a punto crıtico de f |M.Denotamos h = σ′(0)−1(h) y k = σ′(0)−1(k). Se tiene

Hessaf |M(h, k) = (f ◦ σ)′′(0)(h, k) = f ′′(a)(h, k) + f ′(a)σ′′(0)(h, k).

Como a es un punto crıtico, sabemos que f ′(a) = λg′(a), de donde

Hessaf |M(h, k) = f ′′(a)(h, k) + λg′(a)σ′′(0)(h, k).

Por otro lado g ◦ σ(x) = 0 para todo x ∈W , de donde g′(a)σ′(0) = 0 y

(g ◦ σ)′′(0)(h, k) = g′′(a)(h, k) + g′(a)σ′′(0)(h, k) = 0,

de donde

Hessaf |M(h, k) = f ′′(a)(h, k)− λg′′(a)(h, k).

�

Remarca III.2.2 La forma bilineal Hessaf |M nos permite tener las mismas condiciones necesarias y su-ficientes para determinar el caracter de un punto crıtico de funciones restringidas sobre subvariedades. Laformula (III.2.4) nos da una expresion sencilla a trabajar y el unico cuidado que hay que tener es de trabajarsobre los vectores del espacio tangente al punto crıtico.

Ejemplo III.2.2 Utilizemos el teorema precedente para mostrar que el punto (1/3,−2/3, 1/4) es un maximorelativo estricto de la funcion f |M del ejemplo 1 de esta seccion. Como λ1 = 3/8 y λ2 = 1/4 tenemos parah = (h1, h2, h3)t

(h1 h2 h3 )

0− 38

2 0 00 4 00 0 0

− 140

h1

h2

h3

= −38(2h2

1 + 4h22).

h ∈ TaM si g′(a)h = 0 en particular si 3h1 − 4h3 = 0, de donde

−38(2h2

1 + 4h22) = −3

8(h2

1 + 4h2 +169h2

3) ≤ −38‖h‖22

y la condicion suficiente para un maximo relativo estricto se verifica.


III.3. Ejercicios

1. Sea f : Rn → R dos veces diferenciable en a ∈ Rn. Demostrar que la condicion

f ′′(a)(h, h) ≤ −γ ‖h‖2 ∀h ∈ Rn,

con γ > 0 es equivalente a f ′′(a)(h, h) < 0 para todo h 6= 0.

2. Sea E = {f : [1,+∞) → R| f continua y acotada} con la norma ‖ ‖∞. Se considera la aplicacionF : E → R dada por

F (f) =∫ ∞

1

f2(t)t4

dt−∫ ∞

1

f3(t)t2

dt.

Demostrar que:

a) F ′(0) = 0 y F ′′(0)(h, h) > 0 para h 6= 0.

b) 0 ∈ E no es un mınimo relativo de F .

3. Mostrar que el valor maximal de la expresion

ax2 + 2bxy + cy2

dx2 + 2exy + fy2

es la raız mas grande de

(df − e2)λ2 − (af − 2be+ cd)λ+ (ac− b2) = 0.

4. Consideremos la funcion f(x, y, z) = αx2ey + y2ez + z2ex. Demostrar que el origen es un punto crıtico.¿Para que valor de α ∈ R, el origen es un punto extremal de f .

5. Sea m < n y A una matriz m×n de rango m. Entre todas las soluciones de Ax = b, encontrar utilizandomultiplicadores de Lagrange la solucion para la cual ‖x‖2 es minimal. Dar una interpretacion geometricadel resultado.

6. Sea E = C0([0, 1]) y sea F : E → R dada por F (y) = 2y(0)3 − 3y(0)2. Demostrar las afirmacionessiguientes:

a) y0(x) = 1 es un mınimo relativo de F , si E esta provisto de la norma ‖ ‖∞.

b) y0(x) = 1 no es un mınimo relativo de F , si de E esta provisto de la norma ‖ ‖1.

7. Calcular geometricamente el mınimo de f |M donde f(x, y) = x2 + y2 y

M = {(x, y)|g(x, y) = 0} con g(x, y) = y2 − (x− 1)3.

Mostrar que el sistemaf ′(x)− λg′(x) = 0

no tiene solucion. Explicar porque.

8. Calcular el valor maximal dexαyβzγ (α, β, γ, xy, z > 0)

sujeta a la condicion xk + yk + zk = 1, (k > 0). Deducir la desigualdad(uα

)α(v

β

)β (w

γ

)γ

≤(u+ v + w

α+ β + γ

)α+β+γ

.

III.3. EJERCICIOS 49

9. Calcular los extremos relativos de f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 sobre M donde

M ={

(x, y, z)|x2

4+y2

9+z2

25= 1 y z = z + y

}.

Verificar las condiciones suficientes para un extremo.

Capıtulo IV

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Las ecuaciones diferenciales es un lenguaje muy comodo y utilizado para modelisar una gran cantidad defenomenos de diversa ındole, desde el movimiento de planetas y estrellas, fısica de grandes cuerpos; hastala dinamica de las moleculas. En Biologıa, economica muchos problemas se resuelven utilizando ecuacionesdiferenciales para describir comportamientos y relaciones.

En el curso de Primer Ano de Analisis se trato metodos de resolucion de las ecuaciones ordinarias usua-les. Sin embargo en casos muy raros se logra encontrar la solucion bajo una forma analıtica. En general,uno esta obligado a utilizar metodos numericos para obtener soluciones, ver curso de Analisis Numerico. Eneste capıtulo vamos a tratar las cuestiones teoricas de las ecuaciones diferenciales ordinarias. En particu-lar estudiaremos la existencia y unicidad de las soluciones, su sensibilidad respecto a perturbaciones y sucomportamiento sobre largos intervalos.

IV.1. Conceptos Basicos y Algunos Problemas

Definicion IV.1.1 Un sistema diferencial de talla n y orden m es una expresion de la forma

F (t, x, x, . . . , x(m)) = 0,

dondeF : R× Rn × Rn × · · · × Rn︸︷︷︸

m+1 veces→ Rn.

continua, x(k) ∈ Rn k = 0, 1, . . . ,m

Ejemplo IV.1.1 El movimiento balıstico se rige por el sistema de ecuaciones diferenciales de orden 2.

x = 0y = g

donde x denota la componente horizontal y y la componente vertical. La variable independiente “t” noaparece de manera explıcita.

Remarca IV.1.1 Se debe observar que:

1. Como la imagen de la funcion F es Rn, el sistema se lo expresa como

F1(t, x, x, . . . , x(m)) = 0,F2(t, x, x, . . . , x(m)) = 0,...Fn(t, x, x, . . . , x(m)) = 0,

donde cada Fi : R× R(m+1)n → R es continua.

51

52 CAPITULO IV. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

2. Para evitarse analisis complicados en la resolucion de dichas ecuaciones, se prefiere trabajar con sistemasexplicitados, es decir, sistemas de la forma

x(m) = F (t, x, x, . . . , x(m−1)).

Mas todavıa con sistemas de orden 1.

Proposicion IV.1.1 Todo sistema de ecuaciones diferenciales de orden m ≥ 1, es equivalente a un sistemade primer orden.

Demostracion.- Seax(m) == F (t, x, x, . . . , x(m−1)),

con x ∈ Rn un sistema de orden m y talla n. Introduciendo las variables

y1 = xy2 = x

...ym = x(m−1)

se obtiene el sistema equivalentey1 = y2,y2 = y3,

...ym−1 = ym,ym = F (t, y1, y2, . . . , ym),

y denotando y = (y1, . . . , ym) ∈ Rnm se tiene lo que se quiere.

�

Remarca IV.1.2 En lo que sigue el capıtulo, solo se considerara sistemas de primer orden, a menos que sediga lo contrario.

Definicion IV.1.2 Se dira que una funcion ϕ : I ⊂ R → Rn continuamente derivable es una solucion delsistema de primer orden, de talla n,

x = f(t, x),

si ϕ(t) = f(t, ϕ(t)), ∀t ∈ I.

Sistemas Autonomos

Definicion IV.1.3 Se dira que un sistema diferencial de talla n es autonomo si se puede escribir de laforma

x = f(x); (SDA)

es decir, la variable independiente t no aparece explıcitamente en el sistema diferencial.

Proposicion IV.1.2 Todo sistema diferencial de primer orden, es equivalente a un sistema diferencialautonomo.

Demostracion.- Seax = F (t, x),

un sistema diferencial no autonomo, planteando

xn+1 = t,

IV.1. CONCEPTOS BASICOS Y ALGUNOS PROBLEMAS 53

obtenemos esl sistema diferencial autonomo

x = f(xn+1, x)xn+1 = 1;

y definiendo el vector X =(

xxn+1

)∈ Rn+1, el sistema precedente lo escribimos como

X = F (X) =(f(xn+1, x)

1

).

�

Definicion IV.1.4 Cuando se trabaja con sistemas diferenciales autonomos (SDA), es costumbre llamar aRn espacio fase y las coordnedas de x, xi fase.

Definicion IV.1.5 Si ϕ : I → Rn es una solucion del (SDA), la imagen de ϕ, ϕ(I), se llama trayectoriay en algunos casos linea de flujo.

Remarca IV.1.3 Se designa t la variable independiente haciendo en general referencia al tiempo. Unasolucion describira por consiguiente la ley de movimiento de un objeto, mientras que la trayectoria es latraza dejada por el movimiento del objeto. La unica informacion que puede proporcionar una trayectoria, eslas posiciones por don de ha estado el objeto y no el momento exacto. Sin embargo, a pesar de esta limitacionse puede obtener informaciones respecto a las soluciones conociendo las trayectorias. En la graficacion delas trayectorias, es corriente indicar el sentido del movimiento colocando una flecha para indicar. Ver figuraIV.1.1

x

x

x

1

2

n

Figura IV.1.1: Trayectoria de una solucion

Consideremos el sistema diferencial autonomo

x = f(x),

y una solucion ϕ : I → Rn. El vector tangente, (en fısica vector velocidad), en t = t0 es ϕ′(t0) ∈ Rn. Ahorabien

ϕ′(t0) = f(ϕ(t0)),

de donde a la trayectoria en el punto x∗ = ϕ(t0) se le puede asociar el vector tangente f(x∗). Ver figuraIV.1.2. Remarcamos inmediatamente que el lado derecho del (SDA) induce un campo de vectores tangentes


x*

Figura IV.1.2: Vector Tangente

(a las trayectorias) del Sistema Diferencial Autonomo, que lo denotamos

v : Rn → Rn

x 7→ f(x).

Es costumbre representar un campo de vectores en una grafica, asociando a cada x ∈ Rn del espacio de fasesuna flecha que corresponde el vector de la imagen. Ver figura IV.1.3.

Figura IV.1.3: Representacion de un Campo de Vectores

Tipos de Soluciones

Consideremos el sistema diferencial autonomo de talla n

x = F (x),

y ϕ : I ⊂ R → Rn una solucion del sistema.


Definicion IV.1.6 Se dira que ϕ es una solucion estacionaria si ϕ(t) = x∗ ∈ Rn para todo t ∈ I.

Definicion IV.1.7 Se dira que ϕ es una solucion periodica si existe T > 0 tal que ϕ(t + T ) = ϕ(t) paratodo T , si es el caso T se llama periodo.

Proposicion IV.1.3 Sea x = F (x) un sistema autonomo, entonces:

a) ϕ es una solucion estacionaria, si y solamente si la trayectoria de ϕ se reduce a un punto en el espaciode fases, si y solamente si F (ϕ(t)) = 0.

b) ϕ es una solucion periodica no estacionaria si y solamente s i la trayectoria de ϕ es una curva cerraday F no se anula nunca sobre la trayectoria.

Remarca IV.1.4 La proposicion precedente para encontrar soluciones estacionarias nos da un medio al-gebraico, resolver F (x) = 0 y un medio grafico viendo las trayectorias que se reducen a un punto. En lassoluciones estacionarias, tenemos un medio grafico que el estudio de las trayectorias cerradas.Ahora bien, poder decidir si una curva es cerrada o no, es en general bastante complicado si n > 2. En elplano es posible en general.

Por otro lado, un gran numero de las aplicaciones de los sistemas diferenciales autonomos es de talla 2.Por lo que vale la pena estudiarlos.

Sistemas Autonomos de Talla 2

Aparte de los sistemas autonomos de talla 2

˙(xy

)= F

((xy

)),

es frecuente estudiar las ecuaciones diferenciales de segundo orden de la forma

x = f(x, x),

donde x depende de t como un sistema autonomo de talla 2. Con tal motivo se plantea

x1 = x,x2 = x;

el sistema diferencial autonomo equivalente esta dado por

˙(x1

x2

)=(

x2

f(x1, x2)

),

y las componentes del plano de fases son x1 = x (la posicion) y x2 = x (la velocidad).Volvamos al sistema

x = F (x),

donde x ∈ R2. F (x) induce un campo de vectores tangentes a las trayectorias. Aprovechando la relacion

dx2

dx1=x2

x1,

vista en Calculo I, y si F (x1, x2) = (F1(x1, x2), F2(x1, x2)), las trayectorias son los grafos de las solucionesde la ecuacion diferencial

dx2

dx1=F2(x1, x2)F1(x1, x2)

,

o bien los grafos de las soluciones de la ecuacion diferencial

dx1

dx2=F1(x1, x2)F2(x1, x2)

,

Acabamos de formular un metodo que nos determina las trayectorias, sin necesidad de conocer las solucionesdel sistema diferencial autonomo.


Remarca IV.1.5 Una familia de curvas en R2 pueden ser las trayectorias de muchos sistemas diferenciales,pero el campo de pendientes de las curvas es unico.

Ejemplo IV.1.2 (Predador-Presa) El comportamiento de dos poblaciones de animales en un ambienteaislado en el que una de las poblaciones son por ejemplo conejos y la otra poblacion son lobos se puedemodelar por el sistema diferencial

x = x(α− βy),y = y(γx− δ)

donde x(t) represanta la poblacion de conejos en el instante t e y(t) representa la poblacion de lobos en elinstante t. Las trayectorias satisfacen la ecuacion diferencial

y′ =y(γx− δ)x(α− βy)

que es una ecuacion diferencial separable. Resolviendo la ecuacion obtemos como solucion general (en formaimplıcita)

γx− δ lnx = α ln y − βy + C. (IV.1.1)

Las trayectorias del sistema diferencial son las curvas de nivel de (IV.1.1). En la figura II.4 estan graficadaslas curvas de nivel de (IV.1.1) para α = 1, β = 1, γ = 2 y δ = 3. Observamos que las curvas de nivel soncurvas cerradas, por lo que deducimos que el comportamiento de estas poblaciones es cıclico.

Figura IV.1.4: Trayectorias del Sistema Diferencial

Aplicaciones Geometricas

Veremos, como la utilizacion de conceptos relacionados a las ecuaciones y sistemas diferenciales permite laresolucion de problemas relacionados a familias de curvas, en particular curvas uniparametricas, del plano.

Definicion IV.1.8 Una familia de curvas uniparametricas, es una familia de curvas si existe una funcionF : R2 × R → R, de manera que cada curva es el lugar geometrico de los puntos (x, y) que satisfacen laecuacion

F (x, y, c) = 0,

dejando c ∈ R fijo. La ecuacion se llama ecuacion general de la familia de curvas y c es el parametro.


Proposicion IV.1.4 Una familia de curvas es uniparametrica, si y solamente si existe una funcion continuaf : R× R → R2, de manera que las funciones ϕα : R → R2 definidas por

ϕα(t) = f(t, α),

sean parametrizaciones de cada una de las curvas de la familia.


�

Ejemplo IV.1.3 Las circunferencias centradas en el origen forman una familia uniparametrica. En efecto,la ecuacion general es

x2 + y2 − r2 = 0,

las parametrizaciones de las circunferencias centradas en el origen estan dadas por

x(t) = r cos ty(t) = r sin t.

Remarca IV.1.6 La solucion general de una ecuacion diferencial de primer orden que satisface una condi-cion de Lipschtiz es una familia uniparametrica de curvas. Asimismo, las trayectorias pueden de un sistemadiferencial autonomo forman una familia uniparametrica, si el sistema satisface una condicion de Lipschtiz;las soluciones del sistema vienen a ser las parametrizaciones de las curvas.

Proposicion IV.1.5 Para toda familia uniparametrica existe una ecuacion diferencial y′ = f(x, y) cuyasolucion general son las curvas de la familia uniparametrica. Ademas tambien existe un sistema diferencialautonomo cuyas trayectorias son las curvas de la familia uniparametrica.

Demostracion.- Sea F (x, y, c) = la ecuacion general de la familia de curvas uniparametrica. Derivandorespecto a x, se obtiene,

∂F

∂x(x, y, c) +

∂F

∂y(x, y, c)y′ = 0.

Por consiguiente, y′, c dejando x, y fijos, satisfacen el sistema de ecuaciones (algebraicas)

F (x, y, c) = 0∂F∂x (x, y, c) + ∂F

∂y (x, y, c)y′ = 0,

de donde es posible obtener y′ en funcion de x e y, es decir

y′ = f(x, y).

Para el sistema, es suficiente considerar g1(x, y) y g2(x, y) de manera que

f(x, y) =g2(x, y)g1(x, y)

,

por lo que las curvas son trayectorias del sistema

x = g1(x, y)y = g2(x, y).

�

Remarca IV.1.7 Para la existencia de f(x, y) se debera considerar hipotesis suplementarias de F (x, y, c).


Ejemplo IV.1.4 La familia de parabolas de vertice el origen y eje de simetrıa el eje y, satisface la ecuaciongeneral

y = cx2,

derivando, se obtieney′ = 2cx,

despejando c de la ecuacion general obtenemos la ecuacion diferencial

y′ =2yx.

Condiciones para que una familia de curvas sea uniparametrica

Hemos visto que para que una familia de curvas sea uniparametrica es necesario la existencia de una ecuaciongeneral. Sin embargo encontrar dicha ecuacion es en general una tarea complicada.

Ahora bien, utilizando resultados sobre las trayectorias y soluciones de ecuaciones y sistemas diferenciales,uno se puede dar cuenta si una familia es uniparametrica o no. En efecto, supongamos que tenemos unafamilia de curvas uniparametrica y sea

˙(xy

)= F (x, y) =

(F1(x, y)F2(x, y)

)un sistema autonomo cuyas trayectorias son las curvas de la familia en cuestion. En general las funcionesF (x, y) tienen a lo mas un numero finito de soluciones del sistema F (x, y) = (0, 0) en cada region acotada,para e fectos practicos consideramos regiones rectangulares de la forma [a, b]× [c, d].

Por otro lado observamos que si en el punto (x, y), F (x, y) 6= 0, solo pasa por este punto una trayectoria.Si F (x, y) = 0, (x, y) es un punto estacionario en que enventualmente pueden confluir y o emerger variastrayectorias. En consecuencia, si en una region rectangular existen una infinidad de puntos en los cualespasan diferentes curvas, esta familia no es uniparametrica.

Ejemplo IV.1.5 La familia de circunferencias del plano, no es una familia uniparmetrica porque por cadapunto del plano pasa una infinidad de circunferencias.

Ejemplo IV.1.6 La familia de circunferencias de centro en el eje x y que pasan por el origen, ver figuraIV.1.5, puede ser una familia uniparmetrica, solo existe un punto, el origen, por el cual pasa una infinidadde circunferencias, por los otros, pasa exactamente una circunferencia. Ahora bien, esta es una familiauniparametrica, cuya ecuacion general es facilmente deducible y es

(x− r)2 + y2 − r2 = 0,

o bienx2 + y2− 2rx = 0.

Determinemos la ecuacion diferencial y es sistema diferencial. Se tiene

r =x2 + y2

x,

derivando obtenemos

0 =2x2 + 2yy′x− x2 − y2

x2,

despejamos y′, se obtiene

y′ =y2 − x2

2xy,

de donde el sistema estara dado porx = 2xyy = y2 − x2

Remarca IV.1.8 Es importante encontrar un sistema diferencial autonomo cuyas trayectorias sean lascurvas de una familia de curvas uniparametrica, porque nos permite determinar un campo de vectorestangentes. Y manipular vectores (tangentes) es mucho mas sencillo que manipular las curvas.


Figura IV.1.5: Familia de Circunferencias

Familias de curvas que forman un angulo dado con una familia de curvas dada

Consideremos el siguiente problema: “Dada una familia de curvas uniparametrica, encontrar una familia decurvas que forme un angulo θ”. Interpretemos lo que significa este problema. El concepto de angulo es unconcepto para rectas, que se generaliza a las curvas, definiendo el angulo entre dos curvas, como el angulode los vectores tangentes, ver figura IV.1.6. Por consiguiente, determinamos primero el campo de vectores

C

v

uD

Figura IV.1.6: Angulo entre dos curvas

tangentes a la familia de curvas dada, ya sabemos como, sea

v(x, y) =(v1(x, y)v2(x, y)

)el campo de vectores dados. Obtenemos el campo u(x, y) de la familia de curvas que forman el angulo dado,rotando por un angulo θ, el campo v(x, y), es decir(

u1(x, y)u2(x, y)

)=(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)(v1(x, y)v2(x, y)

).


El siguiente paso es considerar el sistema autonomo

˙(xy

)=(u1(x, y)u2(x, y)

)y determinar las trayectorias, que ya sabemos hacer.

Ejemplo IV.1.7 Consideremos nuevamente la familia de circunferencias de centro en el eje x y que pasanpor el origen y encontremos la familia de curvas ortogonales a esta familia de circunferencias. En el ejemplo4, hemos encontrado un campo de vectores tangentes, dado por

v(x, y) =(

2xyy2 − x2

).

Aplicando una rotacion de 90 grados obtenemos

u(x, y) =(

0 −11 0

)(2xy

y2 − x2

)=(x2 − y2

2xy

),

de donde, las curvas ortogonales, son trayectorias del sistema diferencial

˙(xy

)=(x2 − y2

2xy

).

Determinamos las trayectorias, resolviendo la ecuacion diferencial

y′ =2xy

x2 − y2,

cuya solucion general esx2 + y2 − cy = 0,

que es la ecuacion general de una familia de circunferencias de centro el eje y y que pasan por el origen.

IV.2. Existencia y Unicidad del Problema de Cauchy

Consideremos el problema de Cauchy

x = f(t, x), x(t0) = x0 (IV.2.1)

donde f : U → Rn (con U ⊂ R × Rn abierto) es una funcion continua. Integrando la ecuacion diferencialentre t0 y t, se obtiene la ecuacion integral

x(t) = x0 +∫ t

t0

f(s, x(s)) ds. (IV.2.2)

Cada solucion de (IV.2.1) es solucion de (IV.2.2). Lo contrario es tambien cierto, Si una funcion continuay(x) verifica (IV.2.2) sobre un intervalo I, entonces es automaticamente de clase C1 y verifica (IV.2.1).

Iteracion de Picard-Lindelof

La ecuacion (IV.2.1) puede ser considerada como un problema de punto fijo en C(I). Por consiguiente, la ideaes aplicar el metodo de las aproximaciones sucesivas, ver capıtulo I. El metodo se escribe para este problemaen particular

x0(t) = x0 (o una funcion arbitraria)xk+1(t) = x0 +

∫ t

t0f(s, xk(s)) dt.

(IV.2.3)

IV.2. EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL PROBLEMA DE CAUCHY 61

Figura IV.1.7: Curvas ortogonales

1 2 3 40

1

�

� ��

��

��

��

��

Figura IV.2.8: Iteracion de Picard-Lindelof para el problema del ejemplo 1.

Ejemplo IV.2.1 Consideremos el problema

x = −x2, x(0) = 1

con solucion exacta x(t) = 1/(1 + t). Las primeras aproximaciones obtenidas por la iteracion de Picard-Lindelof son x0(t) = 1, x1(t) = 1− t y x2(t) = 1− x+ x2 − x3/3. Se observa una convergencia rapida haciala solucion exacta en el intervalo [0, 3,75]. Para t demasiado grande, la iteracion diverge.

Proposicion IV.2.1 Sea A = {(x, y) ∈ R × Rn| |x− x0| ≤ a, ‖y − y0‖ ≤ b}, f : A → Rn una funcioncontinua y M = max

(x,y)∈A‖f(x, y)‖. Para α = mın{a, b/m} el operador

(Ty)(x) = y0 +∫ x

x0

f(t, y(t)) dt

esta bien definido sobre B = {y : [x0−α, x0 +α] → Rn| ycontinua y ‖y(x)− y0‖ ≤ b} y satisface T (B) ⊂ B


Demostracion.- La afirmacion es una consecuencia de

‖(Ty)(x)− y0‖ =∥∥∥∥∫ x

x0

f(t, y(t)) dt∥∥∥∥ ≤ ∣∣∣∣∫ x

x0

‖f(t, y(t))‖ dt∣∣∣∣ ≤M |x− x0| ≤Mα ≤ b.

�

Se dice que una funcion f : A → Rn, A como en la proposicion precedente satisface una condicion deLipschitz si

‖f(x, y)− f(x, z)‖ ≤ L ‖y − z‖ para (x, y), (x, z) ∈ A.

La constante L se llama constante de Lipschitz.

Remarca IV.2.1 Remarcamos que la condicion de Lipschitz no es una consecuencia de la continuidad def(x, y). Por ejemplo la funcion y2/3 es continua y no verifica una condicion de Lipschtz. Por otro lado unafuncion de clase C1 verifica una condicion de Lipschitz, como consecuencia del teorema de incrementos finitos.

Si f(x, y) satisface una condicion de Lipschitz y si αL < 1, el operador T de la proposicion precedente esuna contraccion sobre B. Por consiguiente en este caso se puede aplicar el teorema del punto fijo de Banachpara concluir que Ty = y posee una solucion unica en B. Vamos a mostrar la existencia y unicidad de unasolucion sin esta condicion suplementaria sobre α.

Teorema IV.2.1 Consideremos el conjunto A = {(x, y) ∈ R×Rm| |x− x0| ≤ a, ‖y − y0‖ ≤ b} y suponga-mos que f :→ Rn sea continua y satisfaga una condicion de Lipschitz.Entonces, el problema de Cauchy y′ = f(x, y) y(x0) = y0 posee una solucion unica sobre I = [x0−α, x0 +α],donde α = mın{a, b/M} y M = max

(x,y)∈A‖f(x, y)‖.

Demostracion.-

�

cálculo diferencial en espacios de banach

Documents