1.1 Medicin aproximado de figuras amorfas.Las figuras amorfas, son aquellas figuras que no tienen forma porque en realidad TODO tiene una forma, pero se refiere a que no tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni tringulo, ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de muchos lados distintos y "deforme". y su principal finalidad es encontrar en una grafica dada su rea de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa. La notacin sumatoria es encontrar el valor de la ecuacin dada respecto a un nmero determinado cuando un punto n tiende a cualquier nmero dado. Existen dos tipos de notacin sumatoria: la notacin sumatoria abierta y la notacin sumatoria pertinente. La suma de riemman es igual al de las figuras amorfas solo que en esta se emplean una series de formulas para una aproximacin del rea total bajo la grafica de una curva. La integral definida se utiliza para determinar el valor de las reas limitadas por curvas y rectas, tambin son llamadas as porque dada una ecuacin su integral es definida por que esta tiende de un punto a otro y se podra decir que se conoce el valor al que se quiere graficar esa funcin.

MEDICIONES APROXIMADAS DE FIGURAS AMORFAS Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su rea se le es muy difcil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras. Para un polgono irregular ( figuras con curvas) trazas diagonales y resuelves por tringulos.

1.2 Notacin sumatoriaEn muchas ocasiones ser necesario obtener la suma de un conjunto de nmeros. Supngase que alguna variable X toma los siguientes valores: 9 4 3 1 6 Ntese que puede considerarse 9 como el primer valor de X, 4 como el segundo valor de X, 3 como el tercer valor de X, 1 como el cuarto valor de X, y 6 como el quinto valor de X. Una manera sencilla de expresar esto consiste en utilizar subndices que representen la posicin del valor en la lista. De este modo, el 9 que es el primer valor de X ser representado por x1; de manera similar, debido a que 4 es el segundo valor de X, estar representado por x2. Es decir: x1 = 9 x2 = 4 x3 = 3 x4 = 1 x5 = 6 Cuando se desee referir a un valor de X de forma general sin hacer especificaciones, se utilizar el subndice i y al valor se le llamar xi (lase "equis sub i")

La letra griega

(sigma mayscula) se utiliza para denotar una

suma. Entonces1

5

xi 23 . El

i 1

smbolo en la expresin anterior indica que se deben sumar los valores de X. Adems, la expresin "i = 1" que se encuentra debajo de sigma comienza con el valor de X que tiene el subndice i = 1 (x1). De esta manera, se suman

sucesivamente los valores de X, uno cada vez, y la operacin es finalizada cuando se alcanza el valor de X cuyo subndice es igual al nmero entero que se encuentra encima de sigma, 5 (x5). Por consiguiente en la suma anterior se tien paso por paso:5

xi 1

i

x1 x2 x3 x4 x5

9 4 3 1 6 23 Si slo se desea sumar algunos valores, se utilizan los subndices anotados por debajo y por encima Por ejemplo:4

xi 2

i

x2 x3 x4

4 3 1 8 Al invertir este proceso, se puede utilizar este mtodo para abreviar la expresin de los datos que se quiere sumar, por ejemplo:5

x3 x4 x5 se convierte eni 3

x

i

2

Propiedades de Teorema 1 Si a es una constante y cada uno de los n valores diferentes de i es igual a a, entonces

a nan

n i 1

Prueba Como cada una de las x es igual a una cantidad constante a:

a a a a nai 1

Teorema 2 Sea a una constante cualesquiera de todos los valores individuales que intervienen en la suma,n

axi axii 1 i1

n

3

axii 1

Teorema 3 La notacin sigma se puede distribuir respecto de la suma (o de la diferencia):n

( x y z ) x y zi i i i i

n i

n

n

i 1

i1

i 1

i 1

1.3 Sumas de RiemannLa suma de Riemann consiste bsicamente en trazar un nmero finito de rectngulos dentro de un rea irregular, calcular el rea de cada uno de los rectngulos y sumarlos. El problema de este mtodo de integracin numrica es que al sumar las reas se obtiene un margen de error muy grande. Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del rea bajo la curva y se van calculando las partes de una funcin por medio de rectngulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las reas de los rectngulos va ser el rea total. Dicha rea es conocida como la suma de Riemann

Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el rea bajo la curva: Dividimos la regin "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos: La ecuacin para la suma de Riemann es la siguiente:

donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux. Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

Sabiendo que: Podemos obtener las siguientes igualdades:

4

(donde C es constante)

Suma de Riemann superior e inferior. Sea P = { x 0 , x 1 , x 2 , ..., x n } una particin del intervalo cerrado [a, b] y f una funcin acotada definida en ese intervalo. Entonces:

La suma superior de f respecto de la particin P se define as:

S(f, P) = c j (x j - x j-1 ) donde c j es el supremo de f(x) en el intervalo [x j-1 , x j ].

La suma inferior de f respecto de la particin P se define as:

I(f, P) = d j (x j - x j-1 ) donde d j es el nfimo de f(x) en el intervalo [x j-1 , x j ].

5

Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la particin particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definicin es difcil para ser aplicada de forma prctica, pues es necesario conocer el nfimo y el supremo sobre cualquier particin.

1.4 Definicin de integral definidaEs el calculo del rea de una figura curvil a nea (AlekSandrov, 1979, 163). Consideremos una curva situada sobre el eje X que representa la gr fica de la funci n a o con ecuaci n y = f (x). o Se desea encontrar el rea S de la superficie limitada por la curva con ecuaci n y = f a o (x), el eje X y las rectas paralelas al eje Y con ecuaciones x = a y x = b. Para tal efecto, dividimos el intervalo [a, b] en n partes, no necesariamente iguales como se muestra a continuaci n: o

Denotamos con 4x1 la longitud de la primera parte, la de la segunda parte con 4x2 y as sucesivamente hasta la u ltima 4xn . En cada parte elegimos puntos r1 , r2 , ...rn , de tal forma que f (r1 ) 4x1 nos da el rea del a primer rect ngulo, (x1 , es la base y f (r1 ) la altura), f (r2 ) x2 da el rea del a a segundo rect ngulo y por lo a tanto f (rn ) 4xn da el rea del en a esimo rect ngulo. Luego se tiene que: a Sn = f (r1 ) 4x1 + f (r2 ) 4x2 + ... + f (rn ) 4xn6

es la suma de las reas de los rect ngulos de la figura anterior. a a Obs ervese que cuanto m s fina sea la subdivisi n de segmento [a, b], m s pr xima a o a o estar Sn al rea S. Si se considera una sucesi n de tales valores por divisi n del a a o o intervalo [a, b] en partes cada vez m s pequen as, en- tonces la suma Sn tender a S. a a Al decir subdivisiones cada vez m s pequen as, estamos suponiendo no solo, que a n crece indefinidamente, sino tambi que la longitud del mayor de los 4xi , en la en en esima divisi n tiende a cero. o

Por lo que el c lculo del rea buscada se ha reducido a calcular el l a a mite (A). El c lculo del l a mite (A) tambi se presenta en otros problemas; por ejemplo, cuando se en desea determinar la distancia S recorrida por un cuerpo que se mueve a lo largo de una l nea recta, con velocidad variable v = f (t), en el intervalo de tiempo entre t = a y t = b. Supongamos que la funci n f (t) es continua, o sea, que en intervalos pequen os de o tiempo la velocidad solo var ligeramente. Se divide el intervalo [a, b] en n partes a de longitudes 4t1 , 4t2 , ..., 4tn . Para calcular un valor aproximado de la distancia recorrida en cada intervalo 4ti , (con i = 1, 2, ..., n) vamos a suponer que la velocidad en este intervalo de tiempo es constante e igual a su verdadero valor en algu n punto intermedio ri . Luego, la distancia total recorrida estar expresada aproximadamente a por la siguiente suma: = bn =4x siendo el verdadero valor de la distancia S recorrida en el tiempo b a, el l mite de tales sumas para subdivisiones cada vez m s finas, o sea, que a ser el l a mite (A):

S= lim max 4ti 0 Es necesario determinar ahora la conexi n entre el c lculo diferencial y o a el integral, pero antes calculemos el rea a de la regi n limitada por la curva en o ecuaci n y = x2 y las rectas con o ecuaci n y = 0, x = 3. o

r0 = 0, r1 = 0 + 4 x, r2 = 0 + 2 4 x, ..., rn7

1.5 Teorema de existenciaUn teorema de existencia es un teorema de prueba la existencia de una entidad o de entidades sin decir son cuantas entidades all o como encontrarlas. En ejemplo de la existencia de un teorema de ese para todos los polinomio, sin un valor del polinomio es positivo para un valor de x, y la negativa para otro valor de x, despus el valor del polinomio debe ser cero en alguna parte entre los dos valores del x. En l cuadrado 1, se trazon los puntos (-2.5, 0.875) y (-1, -4). Puesto que f((-2.5) es positiva, y f(-1) es negativa, entonces para un cierto valor de x, -2.5