I N T R OD U C C I O NEl presente material tiene como objetivo , proporcionar a alumnos y profesores de la materia de ClculoIntegral , un material conforme y de acuerdo al programa actual de matemticas en el quinto semestre delBachillerato.Cuidando a cada momento los objetivos del curso , como continuar con el estudio de las funciones , susgrficas , comportamiento , propiedades y aplicaciones .La adquisicin de las tcnicas y procedimientos propios del clculo .El empleo de tcnicas y procedimientos del clculo en la solucin de problemas diversos de las diferentesreas del conocimiento como , ingeniera , sociales , biologa , economa etc.Integrar el conocimiento adquirido en aritmtica , lgebra , geometra y trigonometra ,geometra analtica,Clculo diferencial .Desarrollar habilidades para el anlisis , el razonamiento y la comunicacin de su pensamiento en laresolucin de problemas .Prepararse para que en el futuro logre eficientemente la asimilacin de aprendizajes ms complejos y laresolucin de problemas de diferentes reas .En cada una de las unidades se hace una descripcin paso a paso de las diferentes tcnicas de integracin ,En las unidades III , IV , se le da un tratamiento especial y preponderante de las aplicaciones del Clculo ,con problemas geomtricos tales como , rea bajo una curva , rea entre curvas , Volmenes de slidosde revolucin , centroides , longitud de arco ; Adems de Aplicaciones de la Fsica como , Fuerza ,Presin , Trabajo , etc. .AtentamenteIng. Arturo Ibarra Villegas.Profesor de la Materia de MatemticasDelC.E.C. y T. # 1 Gonzalo Vzquez Velavistaimprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 1NDICEPAG.UNIDAD I.- ANTIDERIVADAS Y LA CONSTANTE DE INTEGRACIN1.1 Ejercicios34UNIDADII.-LAINTEGRALINDEFINIDA(IntegralesInmediatasReducibles, con cambios de variables)2.1 Obtencin del formulario2.2 Integrar y Comprobar por Derivacin2.3 Ejercicios2.4 Repaso de Integrales Inmediatas y Reducibles a Inmediatas12121331112UNIDAD III.- INTEGRAL DEFINIDA3.1 Que significa una Integral Definida?3.2 Pasos para resolver una Integral Definida144144144UNIDAD IV.- APLICACIONES DE LA INTEGRAL4.1 Geomtricas4.1.1 reas bajo la curva4.1.2 reas entre dos curvas planas4.2 Fsicas4.2.1 Volmenes de slidos de revolucin4.2.2 Otras aplicaciones de la Integral4.3 Ejercicios150150150158164164170174UNIDAD V.- INTEGRACIN POR PARTES5.1 Descripcin del mtodo5.2 Pasos para integrar por partes5.3 Ejercicios199199199199vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 2PAG.UNIDAD VI.- INTEGRACIN DE POTENCIAS TRIGONOMETRICAS6.1 Identidades Trigonometricas6.2 Ejercicios230230231UNIDAD VII.- INTEGRACIN POR SUSTITUCIN TRIGONOMETRICA7.1 Ejercicios253255UNIDAD VIII.- INTEGRACIN POR DESCOMPOSICIN DEFRACCIONES PARCIALES8.1 Ejercicios varios277281UNIDAD IX.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN9.1 Ecuaciones que contienen funciones y sus derivadas9.2 Clasificacin de las Ecuaciones Diferenciales9.3 Aplicacin de las Ecuaciones Diferenciales9.4 Ejercicios296296297298298BIBLIOGRAFA309SOFTWARE310vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 3UNIDAD I.-ANTIDERIVADASPrimer concepto de la integral.Consideremos las siguientes columnas:Funcin Primitiva Derivada Diferencial Antiderivada Integral Indefinidaf x ( ) f x ( ) f x dx ( ) f xdx ( )x332x 32xdx x C3+Cos(5x) -5 Sen(5x) -5 Sen(5x) dx Cos (5x)+Cex 333ex33e dxxe Cx 3+ln| | x21 212xx 212xxdxln| | x C21 +Como se observa en la primer columna tenemos la funcin primitiva, en la segunda columna la derivada,enlatercercolumnasudiferencialyenlacuartaalintegrarvolvemosaobtenerlaprimitivamsunaconstante de integracin. A qu se debe esta constante de integracin?, se debe al hecho que las funciones:f x x ( ) 3f x x ( ) 35f x x ( ) +32f x x ( ) +3Tienen la misma derivada, la misma diferencial y la misma integral indefinida ( Antiderivada); pero conuna constante que para el caso de los ejemplos anteriores tomara el valor 0,-5,2, .De lo anteriormente expuesto podemos anotar lo siguiente:Ladiferencialdeunafuncinesigualalproductodesuderivadaporladiferencialdelavariableindependiente.La derivada y la integral son operaciones contrarias.vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 4Ejemplo:Seaf x x ( ) 3Para derivar Multiplicamos y Restamos f x x x ( ) . 3 33 1 2La Diferencial f xdx xdx ( ) 32Para integrar Dividimos y Sumamos3 3 32 1332 22 1 33xdx xdxxCxC x C +

1]1 + + ++1.1EjerciciosEncontrar y y graficar en el dominio que se indica, para los valores de C que se presentan.Ejercicio 1[ ]dydxpara C 323 3 2 10 3 ; , ; , , ,dydx32dy dx 32y C x C + +1 232y x C C + 322 1peroC C C2 1 3 yC3lellamamosCytenemosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 5y x C +32CuandoC=-2tenemosy x 322yx-30 3y=32x-2Cuando C = -1tenemosy x 321yx-30 3y=32x-1vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 6CuandoC = 0tenemosy x 32yx-30 3y=32xCuandoC = 3tenemosy x +32303 -3xy x +323vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 7Ejercicio 2[ ]dydxx para C 3 2 2 3 0 12; , ; , ,dy xdx 32dy x dx 32y CxC + +13233y x C C + 32 1peroC C C2 1 3 y a C3 le llamamos C y tenemosy x C +3Cuando C = -3 tenemosy x 3302- 2xyvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 8Cuando C = 0 tenemosy x 302-2xyCuando C = 1y x +3102-2xyvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 9Ejercicio 3[ ]dydxx para C sen ; , , 0 2dy xdx sendy xdx seny C x C + +1 2cosy x C C + cos2 1peroC C C2 1 3 y aC3 le llamamos C y tenemosy x C + cosCuando C=0y x cosCuando C=2vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 10y = - cos x + 2Ejercicio 4[ ]dydxe para Cx ; , , 3 2 1 0dy e dxxdy e dxx y C e Cx+ +1 2y e C Cx + 1 2pero C2-C1=C3 y a C3 le llamamos C y tenemosy = ex+CCuando C = -1y = ex-1vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 11-32yx0Cuando C = 0y = ex -32yx0vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 12UNIDAD II.-INTEGRAL INDEFINIDA2.1Obtencin del formulario1.-( ) du dv dw du dv dw + + 2.-adv adv 3.-dx x C +4.-vdvvnCnn+++115.- dvvv C +ln| |6.-a dvaaCvv +ln7.-e dv e Cv v +8.-sen cos vdv v C +9.-cos sen vdv v C +10.-sec2 + vdv tanv C11.-csc cot2vdv v C +12.-sec sec vtanvdv v C +13.-csc cot csc v vdv v C +14.-tanvdv v C v C + +ln|sec | ln|cos |15.-cot ln|sen | vdv v C +vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 1316.-sec ln| sec | vdv v tanv C + +17.-csc ln| csc cot | vdv v v C +18.- dvv a a arctan vaC2 21+ +19.- dvv a av av aC2 212 ++ ln20.- dva v aa va vC2 212 ++ln21.- dva vvaC2 2 + arcsen22.- dvv av v a C2 22 2t + t +ln23.-a vdvva va vaC2 2 2 222 2 + +arcsen24.-v advvv aav v a C2 2 2 222 22 2t t t + t + lnSolucindeIntegralesindefinidasinmediatasreduciblesainmediatas,aplicandoalgunoscambiosdevariable.2.2Integrar y Comprobar por Derivacin1.-x dx2Aplicando la frmula4xdxxC233 +Derivando para comprobarvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 14Sea f xxC ( ) +33[ ] f x x x ( )1332 22.-dxx3Podemos escribirla asx dx3Aplicando la frmula4x dxxCxCxC+ ++ + +33 1 223 1 212Derivando para comprobarSea f xxC ( ) +122Podemos escribirla asf x x C ( ) +122[ ] f x x xx( )12212 1 333.- xdx2 3Podemos escribirla asxdx23Aplicando la frmula 4vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 15xdxxCxC x C23231535 32315335++ + ++Derivando para comprobarSeaf x x C ( ) +3553

1]1 f x x x x ( )3553531232 34.-dxxPodemos escribirla asx dx12Aplicando la frmula4x dxxCxC x C + ++ + +1212112121122Derivando para comprobarSea f(x) = 2 x+ C

1]1 f xx x( ) 21215.- ( )x x x dx22 + Aplicando las frmulas 1 y 2 la podemos escribir asvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 16xdx xdx xdx2122 + Aplicando la frmula4tendremosxdx xdx xdxx x xCxx x C2123 23232 3232232323+ + + + +Derivando para comprobarSeaf xxx x C ( ) + +32 3323 + + f x f xxf xx f x x C ( ) ( ) ( ) ( )32 3323[ ] +

1]1 + 133 22332223212x x x x x x6.- x xxdx22 3 +

_, Podemos escribirla as apoyados en las frmulas 1 y 2xx dxxxdxdxx22 3+Simplificandoxdx dxdxx + 2 3Aplicando las frmulas 4, 3 y 5respectivamente tenemosxdx dxdxxxx x C + + + 2 322 32lnvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 17Derivando para comprobarSeaf xxx x C ( ) ln + +222 3[ ] +

1]1 + +f x xxxxx xx( )122 2 3123 2 327.- 12tt dt

_, Desarrollando el cuadrado tenemos1 2 12tttt dttt dt +

_,

+

_, Simplificando y Aplicando las frmulas 1y2tenemosdttdt tdt + 2Aplicando las frmulas5,3y4respectivamentetendremosdttdt tdt t ttC + + + 2 222lnDerivando para comprobarSeaf x t ttC ( ) ln + + 222[ ] + + f xtttt ( )12122128.- 223xx dx

_, Desarrollamos el cubovista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 188 24 2483 223xxxxxx dx +

_, Simplificando tenemos8 2424 833x xx x dx +

_, Aplicando las frmulas 1y2tenemos + 8 24 24 83 3x dxdxxxdx x dxAplicando las frmulas 4,5,4y4respectivamente tenemos + + ++83 124 242843 1 2 4xxx xC lnSimplificando + +424 12 222 4xx x x C lnDerivando para comprobarSeaf xxx x x C ( ) ln + +424 12 222 4[ ] [ ] [ ]

1]1 + f x xxx x ( ) 4 2 24112 2 2 42 1 2 1 4 1 + 8 2424 833x xx xAgrupndolos en un binomio al cubo

_,

223xxvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 199.-1 3 tdtLa podemos escribir como( ) 1 312t dtDe la frmula4tendremos quev tdvdtydvdt 1 3 33; (Cambio de variable)Sustituyendo tendremosvdv123

1]1Aplicando la frmula21312vdvAplicando la frmula4 +++13121121vC +133232vC +293v CSimplificando y restituyendo avsu valor originalvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 20( ) +291 33t CDerivando para comprobarSea( ) f x t C ( ) +291 33Podemos poner( ) f x t C ( ) +291 332( ) ( )

1]1

1]1 f x t t t ( )29321 3 329921 3 1 332110.- 21 32xdxx Utilizando la frmula2podemos escribir21 32xdxxApoyndonos en la frmula5tenemosv xdvdxxdvxdx ( ) ; ; 1 3 662 (Cambio de variable)Sustituyendo en la integral26dvv Aplicando la frmula2 26dvvUtilizando la frmula +13ln v CRestituyendo avsu valor originalvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 21 +131 32ln x CDerivando para comprobarSeaf x x C ( ) ln +131 32f xxx' ( )

1]11361 32f xxx' ( ) 21 3211.- 33 42 3tdtt Utilizando la frmula2y pasando el denominador al numerador tenemos( ) 3 3 4213t tdtApoyndonos en la frmula4tenemos quev tdvdttdvtdt 3 4 662; ;(Cambio de Variable)Sustituyendo los valores anteriores tenemos 3613vdv aplicando frmula2 1213v dvUtilizando frmula4y simplificando +

1]111+ +12131131vCvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 22 +122323vC +342 3v CRestituyendo el valor dev( ) +343 4223t CDerivando para comprobarSea ( )f x t C ( ) +343 4223Podemos escribir( )f x t C ( )

1]1 +343 4223( ) ( ) f x t t ' ( )

1]1 + 34233 4 6 02231( ) ( )f x t t ' 3 3 4213( ) f xtt' 33 42 312.- ( )5 1 5 3 22 3x x x dx + + Podemos escribirla as( ) ( )5 3 2 5 13122x x x dx + +vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 23Apoyndonos en la frmula4podemos poner( )v x xdvdxx dv x dx + + + 5 3 2 15 3 15 33 2 2; ;(Cambio de Variable)Sustituyendo estos valores en la integral y compensando la diferencial tenemos( )v x dx122335 1+

1]1Aplicando la frmula2( ) +1315 3122v x dtAplicando la frmula4+++13121121vC +133232vC +293v CSimplificando y restituyendo avsu valor original( ) + +295 3 233x x cDerivando para comprobarSea ( )f x x x C ( ) + +295 3 233vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 24( )f x x x C ( ) + +295 3 2332( ) ( )f x x x x ' ( ) + +

1]1 29325 3 2 15 333212( )f xx x x' ( ) + + 15 3 5 3 232 3( )f x x x x ' ( ) + + 5 1 5 3 22 313.-sen cos22 2x xdx

_,

_, Apoyados en la frmula4tendremos quevx dvdxxdvxdx

_,

_,

_,

sen ; cos ; cos2 21222 (Cambio de Variable)Sustituyendo valores en la integral( ) v dv22 Aplicando frmula2 22v dvUtilizando la frmula4tenemos+++22 12 1vC + 233vCRestituyendo avsu valor original

_,

+23 23senxCDerivando para comprobarvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 25Seaf xxC ( ) sen

_,

+23 23f xx x' ( ) sen cos

_,

_,

_,

1]12332 2122f xx x' ( ) sen cos

_,

_,

22 214.- 31sencosd+La podemos escribir as, usando la frmula2y pasando el denominador al numerador( ) ( ) +3 112cos sen dApoyados en la frmula4tenemosvdvddv d dv d + 1 cos ; sen ; sen ; sen (Cambio de Variable)Sustituyendo en la integral( ) 312v dvAplicando frmula2 312vdvUtilizando la frmula4 ++ +3121121vCSimplificando +312vCSimplificando y restituyendo avsu valor originalvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 26 + + 6 1 cos CDerivando para comprobarSeaf x C ( ) cos + + 6 1 f x ' ( )sencos +

1]1162 1+31sencos15.- ( )( )sec223 2 3x dxtan x +Apoyados en la frmula5( ) ( )( ) ( ) v tan xdvdxx dv x dx + 3 2 3 3 2 2 6 22 2; sec ; sec(Cambio de Variable)Sustituyendo y compensando tenemos dvv6 Usando la frmula2 16dvvUtilizando la frmula5tenemos +16ln v CRestituyendo el valor original dev( ) + +163 2 3 ln tan x cDerivando para comprobarvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 27Sea( ) f x tan x ( ) ln +163 2 3( )( )( )f xxtan x' ( )sec+

1]1163 2 23 2 32( )( )f xxtan x' ( )sec+223 2 316.- 3 41xxdx+En casos como este en que el grado del denominador es menor o igual al del numerador conviene hacerla divisin 3x-13x+4 3x - 373 41371xxdxxdx+ +

_,

Usando frmula1y2 + 3 71dxdxxUsando las frmulas3y5respectivamente + + 3 7 1 x x C lnDerivando para comprobarSeaf x x x C ( ) ln + + 3 7 1f xx' ( ) +3 711+3 41xx17.- ( )( ) ( ) ( )5 1 5 3 8 5 3 8 5 12 36362x x x dx x x x dx ++ + +vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 28Apoyados en frmula4( )v x xdvdxx dv x dx + + + 5 3 8 15 3 15 33 2 2; ; (Cambio de Variable)Sustituyendo en la integral y compensandodvv36 usando frmula2 136v dvUtilizando frmula4+++13 6 16 1vC +1217v CRestituyendo a v su valor original( ) + +1215 3 837x x CDerivando para comprobar( )f x x C ( ) + +1215 3 837( ) ( )[ ] + + f x x x ( )1217 5 3 8 15 3362( )( )[ ] + + f x x x x ( )72115 3 5 3 82 36( )( ) + + f x x x x ( )1315 3 5 3 82 36( )( ) + + f x x x x ( ) 5 1 5 3 82 36vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 2918.- ( )3 4232x xdx Apoyados en la frmula4tenemosv xdvdxxdvxdx 3 4 662; ;(Cambio de Variable)Sustituyendo en la integral y compensando tenemosvdv326 Aplicando frmula21632vdvUtilizando la frmula4++ + ++163211652230321525vCvC v CSimplificando y restituyendo avsu valor original( ) +1153 425x CDerivando para comprobarSea ( )f x x C ( ) +1153 4252( ) ( )

1]1f x x x ( )115523 4 6232( ) f x x x ( ) 3 423219.-( ) ( ) ( ) sen cos 2 1 27 +dApoyados en la frmula4tenemosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 30( ) ( )( ) vdvddvd + sen ; cos ; cos 2 1 2 222 (Cambio de variable)Sustituyendo en la integral y compensandovdv72 Usando frmula2127v dvUtilizando frmula4 + +12 811688vC v CRestituyendo avsu valor original( ) + +1162 18sen CDerivando para comprobarSea( ) ( ) + + f x C ( ) sen1162 18( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] + f x ( ) sen cos1168 2 1 2 27 ( ) ( ) + f x ( ) sen cos 2 1 27 20.- ln xxdxPodemos ecribirla asvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 31( )ln xdxx1Apoyndonos en la frmula4v xdvdx xdvdxx ln ; ;1Sustituyendo estos valores en la integralv dv1Aplicando frmula4 +vC22Restituyndole avsu valor original( ) +ln xC22Derivando para comprobarCSea ( )f xxC ( )ln +22

1]1f x xx( ) ln1221 f xxx( )ln2.3Ejercicios1.-x dx6Aplicando la frmula4x dxxCxC66 1 76 1 7++ ++vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 322.-xdxLa podemos escribir como potenciaxdx12Aplicando frmula4xdxxCxC x C121213231213223++ + ++3.- dxx3La podemos escribir comox dx3Aplicando frmula4x dxxCxCxC+ ++ + +33 1 223 1 2124.-ax dx5Utilizando frmula2tenemosax dx5Utilizando frmula4ax dx a xCaxC55 1 65 1 6++ ++5.- ( )2 5 3 43 2x x x dx +vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 33Utilizando frmulas1y2tenemos + 2 5 3 43 2x dx x dx xdx dxUtilizando las frmulas4y3++ + ++ +23 152 13243 1 2 1 2x x xx CSimplificando + +x xx x C4 322533246.- 2323axbxc xdx +

_, Utilizando las frmulas1y2podemos escribir2 3122 312ax dx bx dx c xdx+ Aplicando la formula4 + ++++ + ++21212 131211212 13121axbxcxC + +2121332121 332axbx c xCSimplificando queda + + + 4 23 3a xbxc x Cvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 347.- xxdx244 La podemos escribir comoxxdxxdx24 44 Simplificando y utilizando frmula2x dx x dx 2 44Aplicando frmula4 + ++ + +x xC2 1 4 12 144 1Simplificando+ x xC1 3143 + +1 433x xC8.- 5555xxdx +

_,

Aplicando frmula1y2transformando algebraicamente tenemos( ) ( ) + 155 5 51212x dx x dxApoyados en la frmula4v = 5xdv = 5dx ;dvdxy dxdv 55Sustituyendovista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 35 +15 5551212vdvvdv+ 1251212vdv v dvAplicando frmula4++ +++ +125121121121121v vC + +27523212v v C( ) ( ) ( ) + + + +2755 2 52755 2 532123x x C x x C9.-bydy23Podemos escribirla as( ) by dy213

_,

by dy1323b y dy1323Aplicando frmula4+

1]111++byC13231231vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 36

1]1 + b y C135335 + + +35353513533 5353by C b y C by C10.- dtt t 2Podemos escribirla as dtt t 21232dtt1232t dtAplicando frmula4 ++ +12321321tC+121212tC +22 tC +22tCvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 3711.-2 33xdxPodemos escribirla as( ) 2 313x dxApoyados en la frmula4v xdvdxdv dxdvdx 2 3 3 33; ; ; (Cambio de Variable)Sustituyendo en la integral

_, vdv133 1313vdvAplicando frmula4 +++13131131vC +134343vCRestituyendo avsu valor y Simplificando( ) + +142 3142 3434 3x C o x C ( )12.- sencos22dvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 38Podemos escribirla as( ) cos sen 2 212 dApoyados en frmula4( )( ) vdvddv ddvd cos ; sen ; sen ; sen 2 2 2 2 222 (Cambio de Variable)Sustituyendo estos valores en la integralvdv122 1212v dvAplicando frmula4y restituyendo avsu valor original( ) +

1]111+ +122121121cos C( ) +1221212cos C + cos2 C13.- e dxexx5Podemos escribirla como( )e e dxx x512Apoyados en la frmula4vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 39v edvdxe dv e dxx x x 5 ; ;(Cambio de Variable)Sustituyendo estos valores en la integralv dv12Aplicando frmula4y restituyendo avsu valor( ) ++ +eCx5121121( )+eCx51212 + 2 5 e Cx14.- 23 2dxx +Podemos escribirla as( ) +3 2 212x dxApoyados en la frmula4v xdvdxdv dx + 3 2 2 2 ; ; (Cambio de Variable)Sustituyendo estos valores en la integralv dv12Aplicando frmula4y restituyendo avsu valor originalvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 40( ) vCxC x C + ++ ++ + +121121213 2122 3 215.- 32 3dxx +Apoyados en la frmula5v xdvdxdv dx + 2 3 3 3 ; ;(Cambio de Variable)Sustituimos en la integral dvvAplicando frmula5y restituyendo avsu valor + + + ln ln v C x C 2 316.- xdxx 1 22Lo podemos escribir como( )1 2212x xdxApoyados en frmula4( )v xdvdxx dv xdxdvxdx 1 2 4 442; ; ;(Cambio de Variable)Sustituyendo estos valores en la integralvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 41vdv124Aplicando frmula2 1412v dvAplicando frmula4y restituyendo avsu valor( ) ++ + + +14121141 212121 21212122vCxC x C17.- tdtt 3 42+Apoyados en la frmula5v tdvdtt dv tdtdvtdt + 3 4 6 662; ; ; (Cambio de Variable)Sustituyendo en la integral dvv6Aplicando frmula216dvvAplicando frmula5y restituyendo avsu valor original + + +16163 42ln ln v C t Cvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 4218.-xxdx

_, 12Podemos escribirla asxxdx

_, 12Desarrollando el cuadradox xxdx22 1 +

_, Aplicando frmula1y2y simplificando + xxdxxx dxdxx22 + xdx dxdxx2Aplicando las frmulas4,3y5respectivamente nos queda + +xx x C222 ln19.-yydy2231

_, Podemos escribirla as

_, yydy4231Desarrollando el cubovista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 43 +

_, y y yydy12 8 463 3 1Aplicando frmulas1y2y simplificando tenemosyydyyydyyydydyy1268646 63 3+ y dy y dy y dy y dy6 2 2 63 3 + Aplicando frmula4+++ + +++ + + +y y y yC6 1 2 1 2 1 6 16 132 132 1 6 1 + +yyy yC73573 1520.- ( )( )sencosa da b +Apoyados en la frmula5 (Cambio de variable)( ) ( )( ) v a bdvda a dv a ad + + cos ; sen ; sen 0dvaad sen Sustituyendo estos valores en la integraldvavAplicando la frmula2vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 44 1advvAplicando frmula5yrestituyendo avsuvalor original( ) + + +1 1av Caa b C ln ln cos 21.- csccot22 3d+Podemos escribirla as( ) 2 3122cot csc +dApoyados en la frmula4 (Cambio de variable)( )( ) vdvddv d + + 2 3 2 1 0 22 2cot ; csc ; csc dvd22cscSustituyendo en la integralvdv122Utilizando la frmula2 1212v dvAplicando frmula4 ++ +12121121vCvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 45Simplificando y devolviendo avsu valor original +121212vC + + 2 3 cot C22.- 2 55 62xx xdx++ +Apoyados en la frmula5( ) v x xdvdxx dv x dx + + + +25 6 2 5 2 5 ; ;Sustituyendo en la integral dvvAplicando frmula5 + ln v C + + + ln x x C25 623.- 2 73xxdx++Existen casos como este donde es necesario efectuar la divisin ++

_, 213 xdxAplicando frmula1y2vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 46 ++ 23dxdxxUtilizando frmulas3y5 + + + 2 3 x x C ln24.- xxdx222++Efectuando la divisin escribimos ++

_, xxdx 262Usando frmulas1y2 ++ xdx dxdxx2 62Utilizando frmulas4,3y5respectivamente + + +xx x C222 6 2 ln25.- x xxdx3231++Efectuando la divisin escribimos ++

_, xxxdx212Utilizando frmula1xdxxxdx ++ 212Utilizando frmulas4y5respectivamentevista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 47 + + +xx C2221 ln26.- 4 31 3 22 3xx xdx++ +Podemos escribir la integral as( ) ( ) + + +1 3 2 4 3213x x x dxApoyados en la frmula4 (Cambio de variable)( ) v x xdvdxx dv x dx + + + + 1 3 2 3 4 4 32; ;Sustituyendo en la integral v dv13Aplicando frmula4yrestituyendo avsu valor( ) + + + + + +v vC x x C1312322313123321 3 227.- e xe xdxxx+sencosPodemos escribirla como( ) ( )e x e x dxx x +cos sen12Apoyados en la frmula4 (Cambio de variable)vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 48( ) ( )v e xdvdxe x dv e x dxx x x + cos ; sen ; senSustituyendo en la integral v dv12Aplicando frmula4yrestituyendo avsuvalor ++ + + +vCvC e x Cx12112121122 cos28.- ee tdttt++22Apoyados en frmula5 (Cambio de variable)( )v e tdvdte dv e dtt t t + + + 2 2 2 ; ;Sustituyendo en la integral dvvUtilizando frmula5yrestituyendo avsu valor + ln v C + + ln e t Ct229.- ( ) ( ) ( )( )secsec2 23 2 2 tandApoyados en frmula5 (Cambio de variable)vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 49( ) ( )( ) ( ) ( ) vdvdtan dv tan d 3 2 2 3 2 2 2 6 2 2 sec ; sec ; sec ( ) ( )dvtan d62 2 sec Sustituyendo en la integral dvv6Aplicando frmula216dvvAplicando frmula5y restituyendo avsu valor[ ] +16ln v C( )[ ] +163 2 2 ln sec C30.- ( )( )sec225 3 2t dttan t +Transformando algebraicamente( ) ( ) ( ) 5 3 2 2122+

_, tan t t dt secApoyados en frmula4 (Cambio de Variable)( ) ( )( ) ( ) ( ) v tan tdvdtt dv t dtdvt dt + 5 3 2 3 2 2 6 2622 2 2; sec ; sec ; secSustituyendo en la integralvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 50 vdv126Aplicando frmula 21612v dvAplicando frmula4y restituyendo avsu valor ++ +16 121121vC +161212vC( ) + +135 3 2 tan t C31.-5e dxaxAplicando frmula25e dxaxApoyados en frmula7Seav axdvdxa dv adxdvadx ; ; ;Sustituyendo en la integral 5edvavAplicando frmula2vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 515ae dvvAplicando frmula7y restituyendo avsu valor +5a e Cax32.- 3dxexPodemos escribirla como3e dxxApoyados en la frmula7tenemosv xdvdxdv dx dv dx ; ; ; 1Sustituyendo en la integral( ) 3e dvv 3e dvvUtilizando frmula7 +3e Cx +3eCx33.- 4dtetLa podemos escribir como( ) 42e dttvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 52Apoyados en frmula7Seavt dvdtdvdtdv dt 212 22 ; ; ;Sustituyendo en la integral( ) 4 2 e dvv 8e dvvUtilizando frmula7 +82e Ct +8eCt34.-c dxaxApoyados en la frmula6tenemosv axdvdxa dv adxdvadx ; ; ;Sustituyendo en la integral cdvav1ac dvvAplicando frmula6vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 53

1]1 +1accCaxln35.-dxx42Podemos escribir42 xdxApoyados en frmula6v xdvdxdv dxdvdx 2 2 22; ; ;Sustituyendo en la integral 42vdv 124vdvAplicando frmula6y restituyendo avsu valor

1]1 +12442xCln( ) +12 4 42xCln36.-x e dxx 23Podemos escribir ase x dxx32Apoyados en frmula7vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 54v xdvdxx dv xdxdvxdx 3 2 2 23 33; ; ;Sustituyendo en la integral edvv313e dvvAplicando frmula7 +133e Cx37.- ( )eedxxx+4Aplicando frmula1podemos escribir + eedxdxexx x4 + dx e dxx4Para la segunda integral nos apoyamos en frmula7v xdvdxdv dx dv dx ; ; ; 1Sustituyendo en la integral( ) + dx e dvv4 dx e dvv4Aplicando frmula3y7respectivamentevista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 55 +x e C 44 + xeCx438.- e dxexx2Apoyados en la frmula5tenemosv edvdxe dv e dxx x x 2 ; ;Sustituyendo en la integral dvvAplicando frmula5 + ln v C + ln e Cx239.- ( )x e dxx22 +Podemos escribir como( ) +e x x dxx22Aplicando frmula1y2 + e xdx xdxx22Apoyados en la frmula7para la primer integralvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 56v xdvdxx dv xdxdvxdx 22 22; ; ;Sustituyendo en la integral + edvxdxv22 + 122 e dv xdxvAplicando frmulas7y4respectivamente y restituyendo avsu valor + +12222exCv + +ex Cx22240.- exdxx3Podemos escribirla as aplicando frmula1y2 e x dx x dxx12123Apoyados en la frmula7( ) v xdvdx xdv x dx dv x dx ; ; ;121221212Sustituyendo en la integral( ) e dv x dxv2 3122 312e dv x dxvAplicando las frmulas7y4respectivamente y restituyendo avsu valorvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 57 ++ +2 3121121exCv + 2 31212exCx + 2 6 e x Cx41.-t dtt22Podemos escribirla as 22ttdtApoyados en la frmula6tenemosv tdvdtt dv tdtdvtdt 22 22; ; ;Sustituyendo en la integral 22vdv122vdvUtilizando frmula7y restituyendo avsu valor

1]11 +12222tClnvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 5842.- adb 3Podemos escribirla comoab d3Apoyados en la frmula6vdvddv ddvd 3 3 33 ; ; ;Sustituyendo en la ecuacin abdvv3 ab dvv3Aplicando frmula 6

1]1 +a bbC33ln43.-62xe dxx Podemos escribirla como62e xdxxApoyados en la frmula7v xdvdxx dv xdxdvxdx 22 22; ; ;Sustituyendo en la integralvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 59 62edvvAplicando frmula7yrestituyendo avsu valor +32e Cx +32eCx44.- xedxx23Podemos escribirla como e x dxx3 2Apoyados en la frmula7v xdvdxx dv xdxdvxdx 3 2 2 23 33; ; ;Sustituyendo en la integral edvv3 13e dvvAplicando frmula7yrestituyendo avsuvalor +133e Cx +133eCxvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 6045.-sen23xdx

_, Apoyados en la frmula8vx dvdxdv dx dv dx 23232332; ; ;Sustituyendo en la integral senv dv3232senvdvUtilizando la frmula8y restituyendo avsu valor

_,

1]1 +3223cosxC

_,

+3223cosxC46.-( ) cos b ax dx +Apoyados en la frmula9tenemosv b axdvdxa dv adxdvadx + ; ; ;Sustituyendo en la integral cosvdva1avdv cosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 61Aplicando frmula9yrestituyendo avsu valor( ) + +1ab ax C sen47.-( ) csc2a bx dx Apoyados en la frmula11tenemosv a bxdvdxb dv bdxdvbdx ; ; ;Sustituyendo en la integral csc2vdvb 12bvdv cscAplicando frmula11yrestituyendo avsu valor tenemos( )[ ] +1bv C cot( ) +1ba bx C cot48.-sec 2 2

_,

_,

tan dApoyados en la frmula12vdvddvddv d 212 22 ; ; ;Sustituyendo en la integral secvtanv dv 2vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 622 secvtanvdvAplicando frmula12yrestituyendo avsu valor( ) + 2sec v C

_,

+ 22secC49.-csc cotabab d Apoyados en la frmula13tenemosvabdvdabdvab dba dv d ; ; ;Sustituyendo en la integral csc cot v vba dvbav vdv csc cotAplicando frmula13yrestituyendo avsu valor( ) +bav C csc

_,

+baabC csc50.-e e dxx xcotPodemos escribirla como( )cot e e dxx xvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 63Apoyados en la frmula15tenemosv edvdxe dv e dxx x x ; ;Sustituyendo en la integral cot v dvAplicando frmula15yrestituyendo avsu valor + ln senv C + ln sene Cx51.-( ) sec22ax dxApoyados en la frmula10tenemosv axdvdxa dv adxdvadx 2 2 22; ; ;Sustituyendo en la integral tenemos sec22vdva122avdv secAplicando frmula10tenemos y restituyendo avsu valor +12a tanv C( ) +122a tan ax Cvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 6452.-tan xdx3Apoyados en la frmula14tenemosvx dvdxdvdxdv dx 313 33 ; ; ;Sustituyendo en la integral( ) tan v dv 33 tanvdvAplicando frmula14y restituyendo avsu valor( ) + 3ln sec v C + 33ln sec xC53.- ( )dttan t 5Podemos escribir como( ) cot 5t dtApoyados en la frmula15tenemosv = 5t dv = 5dt ; ; ;dvdtdvdt 55Sustituyendo en la integral( ) cot vdv5vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 6515cot vdvAplicando frmula15y restituyendo avsu valor( ) +155 ln sen t C54.- d sen24Podemos escribir comocsc24dApoyados en la frmula11tenemosvdvddv ddvd 4 4 44 ; ; ;Sustituyendo en la integral csc24vdv142csc vdvUtilizando la frmula11y restituyendo avsu valor tenemos( ) ( ) +14cot v C( ) +144 cot C55.- ( )dyy cot 7vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 66La podemos escribir como( ) tan y dy 7Apoyados en la frmula14tenemosv = 7y dv = 7dy ; ; ;dvdydvdy 77( ) tan vdv7( ) 17tan v dvUtilizando la frmula14tenemos y restituyendo avsu valor( ) +177 ln sec y C56.- sen xxdxLa podemos escribir como senxdxx1212Apoyados en la frmula8tenemosv xdvdxxdvdxxdvdxx 1212121212 22 ; ; ;Sustituyendo en la integral senv dv 2vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 672 senvdvAplicando frmula8y restituyendo avsu valor( )[ ] + 2 cos v C + 2cos x C57.- dtt sen23La podemos escribir como( ) csc23tdtApoyados en la frmula11v = 3t ; ;dvdtdvdt 33Sustituyendo en la integral( ) csc23vdv132csc vdvAplicando la frmula11y restituyendo avsu valor( ) ( ) + +13133 cot cot( ) v C t C58.- ( )d cos 4La podemos escribir como( ) sec 4 dvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 68Apoyados en la frmula16vdvddvd 4 44 ; ;Sustituyendo en la integral( ) sec vdv4( ) 14sec v dvUtilizando la frmula16y restituyendo avsu valor tenemos( ) ( ) + +144 4 ln sec tan C59.- ( )adxbx cos2La podemos escribir como( ) a bx dx sec2Apoyados en la frmula10tenemosv = bx dv = bdx ; ; ;dvdxbdvbdx Sustituyendo en la integral( ) a vdvbsec2( ) abv dv sec2Aplicando frmula16y restituyendo absu valorvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 69( ) +ab tan bx C60.-sec csc 22

_, dLa podemos escribir como( )

_, sec csc 22 d dApoyados en las frmulas16y17respectivamente tenemosvdvddvd 2 22 ; ;ududdu d 2122 ; ;Sustituyendo en la integral( ) ( ) sec csc vdvu du22( ) ( ) 122 sec csc v dv u duAplicando las frmulas16y17y restituyendo avyusu valor[ ] [ ] + +122 ln sec ln csc cot v tanv u u C( ) ( ) + +122 2 22 2ln sec ln csc cot tan C61.-( ) tan d +sec2Desarrollamos el cuadradovista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 70( ) + +tan tan d2 22 sec secAplicando la frmula1y2 + + tan d tan d d2 22 sec secLa integral2ay3alas podemos hacer directamente aplicando las frmulas12y10respectivamentepero la primera no por lo que tenemos que hechar mano de una integraltan2 21 sec( ) ++ sec sec sec2 21 2 d tan d dDescomponemos en2laprimera + + sec sec sec2 22 d d tan d d + 2 22sec sec d d tan d + + 2 2 tan C sec62.-( ) tan xxdx 44

_,

_, cotLa podemos escribir como( ) tan x dxxdx 44 cotApoyados en las frmulas14y15respectivamente tenemosv = 4x ;dvdxdvdx 44;ux dudx 414; ; 4du = dxSustituyendo en la integralvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 71 tanvdvu du44 cot 144 tanudv udv cotAplicando frmulas14,15y restituyendo avy ausu valor( )

_,

+144 44ln sec ln sen xxC63.-( ) cot x dx 12Desarrollamos el cuadrado( ) +cot cot22 1 x x dxUtilizando frmula1y2 + cot cot22 xdx xdx dxNo tenemos frmula para resolver la primer integral, por lo que necesitamos apoyarnos en una identidadtrigonomtricacsc cot cot csc2 2 2 21 1 x x y x x + ( ) + csc cot21 2 x dx xdx dx + csc cot22 xdx dx xdx dx csc cot22 xdx xdxUtilizando frmulas11y15tenemos + cot ln sen x x C 264.-( ) sect dt 12vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 72Desarrollamos el cuadrado( ) +sec sec22 1 t t dt + sec sec22 tdt tdt dtUtilizando frmulas10,16y3respectivamente + + + tant t tant t C 2ln sec65.-( ) 12csc y dyDesarrollamos el cuadrado( ) +1 22csc csc y y dy + dy ydy ydy 22csc cscAplicando frmulas3,17y11respectivamente + y y y y C 2ln csc cot cot66.- dxx 1cosEnestecasonostenemosqueapoyarenunartificioalgebraicoqueconsisteenmultiplicarporsuconjugado numerador y denominador++dxxxx 111 coscoscos+112coscosxx dxComo sen2x=1-cos2x tenemos que+12cossenxxdxvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 73 + dxxxx dxsencossen2 2 + csc sen cos2 2xdx x xdxAplicando frmulas11y4respectivamente ++cotsenxxC11 +cot sen x x C1 + cotsenxxC1 + cot csc x x C67.- dxx 1senEnestecasonostenemosqueapoyarenunartificioalgebraicoqueconsisteenmultiplicarporsuconjugado numerador y denominador++dxxxx 111 sensensen+112sensenxx dxcomo cos2 x = 1 - sen2 x+12sencosxxdx + dxxxx dxcossencos2 2 + sec cos sen2 2xdx x xdxvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 74Sea ;v = cosx ; sen ; sen ; sendvdxx dv xdx dv xdx Sustituyendo en la integral( ) + sec2 2xdx v dv sec2 2xdx v dvUtilizando las frmulas10y4respectivamente y restituyendo avsu valor + +tanxvC2 12 1 + + tanxxC1cos + + tanx x C sec68.- ( )( )sencos23 2xxdx+Apoyados en frmula5( ) ( ) ( )( ) ( ) v xdvdxx dv x dx + 3 2 2 2 2 2 cos ; sen ; sen ;( )dvx dx22 senSustituyendo en la integraldvv2Aplicando frmula2vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 75 12dvvUtilizando frmula5yrestituyendo avsu valor( ) + + +12123 2 ln ln cos v C x C69.- cossenxdxa b x +Podemos escribirla como( ) +a b x xdx sen cos12Apoyados en frmula4( ) v a b xdvdxb x dv b xdxdvbxdx + sen ; cos ; cos ; cosSustituyendo en la integral

_, vdvb12112bv dvAplicando frmula4yrestituyendo avsu valor ++ +1121121bvC + +2ba b x C senvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 7670.- csc cotcsc 5 4 dApoyndonos en frmula4tenemos( ) vdvddv ddv 5 4 4 44csc ; csc cot ; csc cot ; csc cot Sustituyendo en la integral dvv414dvvAplicando frmula5yrestituyendo avsu valor +14ln v C +145 4 ln csc C71.- csccot23xx dxLa podemos escribir como( ) 3122cot csc x xdxApoyados en la frmula4( )v xdvdxx dv xdx 32 2cot ; csc ; cscSustituyendo en la integralvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 77 v dv12Aplicando frmula4yrestituyendo avsu valor ++ + + + +vCvC v C x C1211212121122 2 3 cot72.- 5 22+tanxxdxcosPodemos escribir como( ) +5 2122tanx xdx secApoyados en la frmula4( )v tanxdvdxx dv xdxdvxdx + 5 2 2 222 2 2; sec ; sec ; secSustituyendo en la integral vdv1221212v dvAplicando frmula4yrestituyendo avsu valor+++12121121vC +1332v Cvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 78( ) + +135 23tanx C73.- dxx 9 162Apoyados en la frmula21a a29 3 v x v xdvdxdv dxdvdx2 216 4 4 44 ; ; ;Sustituyendo en la integral tenemosdva vdva v4142 2 2 2Aplicando frmula21yrestituyendo avya +14arcsen vaC +1443arcsenxC74.- dyy 9 42+Apoyados en la frmula22v y v ydvdydv dydvdy2 29 3 3 33 ; ; ;a a24 2 Sustituyendo en la integralvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 79++ dvv advv a3132 2 2 2Aplicando frmula22yrestituyendo avyasu valor + + +132 2ln v v a C + + +133 9 42ln y y C75.- dtt 4 252+Apoyados en la frmula18v =4t2 2 v tdvdtdvdt 2 22; ;a a225 5 Sustituyendo en la integral++dvv advv a2122 2 2 2Aplicando frmula18yrestituyendo avyasu valor

1]1 +

1]1 + +121 12152511025 a arctan vaC arctantC arctantC76.- dxx 25 42Apoyados en la frmula19tenemosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 80v x v xdvdxdvdx2 225 5 55 ; ;a a24 2 Sustituyendo en la integral dvv advv a5152 2 2 2Aplicando la frmula19yrestituyendoavyasu valor+

1]1 + +

1]1 +15121512 25 25 2 av av aCxxC ln( )ln++1205 25 2lnxxC77.- 73 777 32 2dxxdxx ++Apoyados en la frmula18tenemos quev x v xdvdxdvdx2 27 7 77 ; ;a a23 3 Sustituyendo en la integral++77772 2 2 2dvv advv aAplicando la frmula18yrestituyendo valores avyatenemosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 81

1]1 +

1]1 +771 771373 a arctan vaC arctanxC +72173arctan x C78.- 39 1639 162 2dyydyy Apoyados en la frmula19tenemosv y v ydvdydvdy2 29 3 33 ; ;a a216 4 Sustituyendo en la integral332 2 2 2dvv advv aAplicando la frmula19yrestituyendo los valores avya++ ++ ++1212 43 43 4183 43 4 av av aCyyCyyC ln( )ln ln79.- dxx 4 52+Apoyados en frmula22tenemosv x v xdvdxdvdx2 24 2 22 ; ;a a55 5 Sustituyendo en la integralvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 82++ dvv advv a2122 2 2 2Aplicando frmula22y restituyendo valores avya + + + + + +12122 4 52 2 2ln ln v v a C x x C80.- xdxx44 Apoyados en la frmula22v x v xdvdxxdvxdx2 4 222 ; ;a a24 2 Sustituyendo en la integral tenemosdvv advv a2122 2 2 2Aplicando la frmula 22y restituyendo avyasu valor + +

1]1122 2ln v v a C + +1242 4ln x x C81.- 21212 2e dxee dxexxxxApoyados en la frmula21 tenemosa a21 1 vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 83v e v edvdxe dv e dxx x x x 2 2 ; ;Sustituyendo en la integral22 2dva vAplicando frmula21yrestituyendo avyasu valor + + 2 2 arcsen arcsenvaC e Cx82.- sencosd42+Apoyados en frmula22tenemosa a24 2 v vdvddv d2 2 cos cos ; sen ; sen Sustituyendo en la integral tenemos+ +dva vdva v2 2 2 2Aplicando frmula22yrestituyendo avyasu valor + + + ln v v a C2 2 + + + ln cos cos 24 C83.- ( )dxm x n22+ +vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 84Apoyados en frmula18tenemosa m a m2 2 ( ) v x n v x ndvdxdv dx221 + + ; ;Sustituyendo en la integral+dva v2 2Aplicando frmula18yrestituyendo avyasu valor + +

_,

+1 1a arctan vaCmarctanx nmC84.-( )dxx 4 2 12 Apoyados en frmula20tenemosa a24 2 ( ) v x v xdvdxdvdx222 1 2 1 22 ; ;Sustituyendo en la integraldva vdva v2122 2 2 2Utilizando la frmula20yrestituyendovalores avya+

1]1 + +

1]1 +12121212 22 2 12 2 1 aa va vCxxC ln( )ln(( )vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 85++182 13 2lnxxC85.- 75752626xdxxx dxx Apoyados en la frmula20tenemosa a25 5 v x v xdvdxxdvx dx2 6 3 2 233 ; ;Sustituyendo en la integral73732 2 2 2dva vdva vAplicando la frmula20yrestituyendo avyasu valor+

1]1 + +

1]11+73127312 55533aa va vCxxC ln ln++76 55533lnxxC86.- dxx x22 10 + +La transformamos algebraicamente de modo que tome una forma conocida( )+ + ++ + ++ + dxx xdxx xdxx2 2 22 1 1 10 2 1 91 9Apoyados en la frmula18tenemosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 86v x v xdvdxdv dx2 21 1 1 + + ( ) ; ;a a29 3 Sustituyendo en la integral+dvv a2 2Aplicando frmula18yrestituyendovalores avya +1a arctan vaC++1313arctan xC87.- dxx x22 3 + La transformamos algebraicamente de modo que tome una forma conocida( )+ + + + + dxx xdxx xdxx2 2 22 1 1 3 2 1 41 4Apoyados en la frmula19tenemosv x v xdvdxdv dx2 21 1 1 + + ( ) ; ;a a24 2 Sustituyendo en la integraldvv a2 2Utilizando frmula19yrestituyendo valores avyavista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 87++ + + ++1212 21 21 2 av av aCxxC ln( )ln( )( )++1413ln xxC88.- dyy y 3 22 La podemos transformar algebraicamente de modo que tome una forma conocida + + + + + + dyy ydyy ydyy ydyy y2 2 2 22 3 2 3 2 1 1 3 2 1 4( ) + dyy 1 42Apoyados en la frmula19tenemos( ) v y v ydvdy + + 1 1 12; ; dv=dya a24 2 Sustituyendo en la integral dvv a2 2Aplicando frmula19y restituyendo valores avya( )( )( ) +

1]1 + + + ++1212 21 21 2 av av aCyyC ln ln ++1413lnyyCvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 8889.- 35 42dxx x La transformamos algebraicamente de modo que tome una forma conocida( ) ( ) ( )( )( ) + + + + + 34 534 4 4 532 939 22 2 2 2dxx xdxx xdxxdxxApoyados en frmula21a a29 3 ( ) v x v xdvdx222 2 1 + + ; ; dv=dxSustituyendo en la integral32 2dva vAplicando frmula21 y restituyendo valores avya + ++ 3 323arcsen arcsenvaCxC90.- 52 52dxx x + +La transformamos algebraicamente de modo que tome una forma conocida( )+ + ++ + 52 1 1 552 42 2dxx xdxxApoyados en frmula22( ) v x v xdvdx221 1 1 + + ; ; dv=dxvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 89a a24 2 Sustituyendo en la integral+52 2dvv aUtilizando frmula22y restituyendo valores avya[ ]( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + + + 5 5 1 1 4 5 1 2 5222ln ln ln v v a C x x C x x x C91.- dxx x24 3 + +La transformamos algebraicamente de modo que tome una forma conocida( )+ + ++ + + dxx xdxx xdxx2 2 24 4 4 3 4 4 12 1apoyados en frmula22tenemos( ) v x v xdvdx222 2 1 + + ; ; dv=dxa a21 1 Utilizando frmula22y restituyendo avyasu valor( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + +dvv av v a C x x C x x x C2 22 2222 2 1 2 2 3 ln ln ln92.- dxx x22 +Transformamos algebraicamente de modo que tome una forma conocidavista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 90( )+ + + dxx xdxx2 22 1 11 1Apoyados en frmula22tenemos( ) v x v xdvdx221 1 1 + + ; ; dv=dxa a21 1 Sustituyendo en la integraldvv21Aplicando frmula22y restituyendo valores avya( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + ln ln ln v v a C x x C x x x C2 2221 1 1 1 293.- dtt t 3 22Transformamos algebraicamente de modo que tome una forma conocida

_,

+

_,

_,

_,

_,

_,

1]11dtt tdtt tdtt232232343423434222 2 2 2

_,

_,

_,

_,

_,

dttdtt 234341234342 2 2 2Apoyados en la frmula21tenemosa a223434

_,

vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 91v t v tdvdtdv dt2234341

_,

; ;Sustituyendo en la integral122 2dva vUtilizando frmula21 + + +12123434124 33arcsen arcsen arcsenvaCtCtC94.- dxx x24 5 +Transformando algebraicamente de modo que tome una forma conocida( ) + + + + + dxx xdxx xdxx2 2 24 4 4 5 4 4 12 1Apoyados en la frmula18( ) ( ) v x v xdvdxdv dx222 2 1 ; ;a a21 1 +dvv a2 2Utilizando la frmula18y restituyendo valores avya( ) + +12a arctan vaC arctan x Cvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 9295.- dxx x 2 22+ Transformando algebraicamente de modo que tome una forma conocida( ) ( ) ( ) ( ( ) )dxx xdxx xdxx xdxx + + 2 2 2 22 2 2 1 1 2 2 1 31 3( )( ) dxx 3 12Apoyados en la frmula20a a23 3 ( ) v x v xdvdxdv dx221 1 1 ; ;Sustituyendo en la integraldva v2 2Utilizando la frmula20y restituyendo valores avya( )( )++ + +1212 33 13 1 aa va vCxxC ln ln96.- dxx x22 3 Transformando algebraicamente de modo que tome una forma conocida( ) + + dxx xdxx xdxx2 2 22 1 1 3 2 1 41 4Apoyados en la frmula19tenemosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 93( ) v x v xdvdxdv dx221 1 1 ; ;a a24 2 Sustituyendo en la integraldvv a2 2Aplicando la frmula19y restituyendo valores avya( )( )( )++ ++1212 21 21 2 av av aCxxC ln ln++1431ln xxC97.-44 132dxx x +Transformando algebraicamente de modo que tome una forma conocida( ) + + + + + 44 4 4 1344 4 942 92 2 2dxx xdxx xdxxApoyados en la frmula22tenemos( ) ( ) v x v xdvdxdv dx222 2 1 ; ;a a29 3 Sustituyendo en la integral+ 42 2dvv avista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 94Aplicando la frmula22( ) ( ) + + + + + + 4 4 2 2 92 22ln ln v v a C x x C( ) + + + + 4 2 4 4 92lnx x x C( ) + + + 4 2 4 132lnx x x C98.- dzz z 3 22+ Transformando algebraicamente de modo que tome una forma conocida( ) ( ) ( ) ( )( ) + + dzz zdzz zdzz zdxz2 2 2 22 3 2 1 1 3 2 1 41 4( ) dzz 4 12Apoyados en frmula21tenemosa a24 2 ( ) ( ) v z v zdvdzdv dz221 1 1 ; ;Sustituyendo en la integraldva v2 2Aplicando frmula21y restituyendo valores avya + + arcsen arcsenvaCzC12vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 9599.- dxx x28 15 +Transformado algebraicamente de modo que tome una forma conocida( ) + + + dxx xdxx xdxx2 2 28 16 16 15 8 16 14 1Apoyados en la frmula22tenemos( ) v x v xdvdxdv dx224 4 1 ; ;a a21 1 Sustituyendo en la integral tenemosdvv a2 2Aplicando la frmula22tenemos y restituyendo a vyasu valor + + ln v v a C2 2( ) ( ) ( ) + + + + + ln ln x x C x x x C 4 4 1 4 8 16 122( ) + + + lnx x x C 4 8 152100.- xdxx x4 21 Transformando algebraicamente de modo que tome una forma conocidavista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 96 +

_,

_,

+

_,

+

_,

_,

xdxx xxdxx xxdxx xxdxx4 22 24 224 2222121211214112541254Apoyados en la frmula19tenemosv x v xdvdxxdvxdx2 222121222

_,

; ;a a25452 Sustituyendo en la integral dvv advv a2122 2 2 2Aplicando la frmula 19 tenemosy restituyendo valores avya+

1]1 +1212av av aC ln

_,

_,

+

1]1111 ++1212521252125212 5125212522222ln lnxxxxC ++12 52 1 52 1 522lnxxC101.- dtt t 1 22 Transformandoalgebraicamente demodo que tome una forma conocidavista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 97( ) + +

_,

+ +

_,

_,

_,

dtt tdtttdttt2 12212221414122222 2 +

_,

_,

+

_,

_,

+

_,

_,

dttdttdtt 214116122149162916142 2 2 +

_,

12916142dttApoyados en la frmula21tenemosa a291634 v t v tdvdtdv dt2214141 +

_,

+ ; ;Sustituyendo en la integral122 2dva vAplicando la frmula21y restituyendoavyasu valor + ++12121434arcsen arcsenvaCtC++124 13arcsentC102.- dxx x 3 4 12+ +vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 98Transformando algebraicamente de modo que tome una forma conocida+ +

_,

+ +

_,

_,

+

_,

+ +

_,

_,

+

_,

dxx xdxx xdxx x34313343464613343232313222 222 2+

_,

1323192dxxApoyada en frmula19v x v xdvdxdv dx a a222232311913 +

_,

+ ; ; ;Sustituyendo en la integral132 2dvv aUtilizando la frmula19y restituyendo avy a su valor+

1]1 +1312av av aC ln

_,

+ + +

1]1111+ +++1312132313231312131ln lnxxCxxC+++123 13 3lnxxC103.- dxx x 2 2 12+ +Transformando algebraicamente de modo que tome una forma conocidavista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 99( )+ ++ ++ + ++ + + dxx xdxx xdxx xdxx x22 2 1212121214141212141422 2 2+

_, +12 12142dxxApoyados en la frmula18tenemosv x v xdvdxdv dx2212121 +

_,

+ ; ;a a21412 Sustituyendo en la integral+122 2dvv aAplicando frmula18y restituyendo avyasus valore( ) + ++ + +12121212122 1 arctan vaC arctanxC arctan x C104.- xdxx x26 39 3 1 Transformando algebraicamente de modo que tome una forma conocida

_,

+

_,

_,

x dxx xx dxxxx dxxx26 32632632 299 3 1919319193161619vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 100 +

_,

1931365361916536263232x dxxxx dxxApoyados en frmula19tenemosv x v xdvdxxdvx dx2 323 2 2161633

_,

; ;a a253656 Sustituyendo en la integral tenemos 1931272 2 2 2dvv advv aUtilizando la frmula19y restituyendo valoresavya+

1]1 +

_,

_,

_,

+

1]11111+1271212712561656165633av av aCxxC ln ln ++19 56 1 56 1 533lnxxC105.- dtt t 15 42+ Transformando algebraicamente de modo que tome una forma conocida( ) ( ) ( ) ( )( ) + + dtt tdtt tdtt tdtt2 2 2 24 15 4 4 4 15 4 4 192 19vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 101( ) dtt 19 22Apoyados en la frmula20tenemosa a219 19 ( ) v t v tdvdtdv dt222 2 1 ; ;Sustituyendo en la integraldva v2 2Aplicando frmula20y restituyendo valores avya( )( )++ + +1212 1919 219 2 aa va vCttC ln ln+ ++12 1919 219 2lnttC106.- dxx x 9 12 82+ +Transformando algebraicamente de modo que tome una forma conocida+ +

_,

+ ++ +

_,

_,

+dxx xdxxxdxx x 99 12 893438913432323892222 2+

_,

+1323492dxxApoyados en la frmula22tenemosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 102v x v xdvdxdv dx2223231 +

_,

+ ; ;a a24923 Sustituyendo en la integral+132 2dvv aAplicando la frmula22y restituyendo valores avya + + + + + +

_, + +13132323492 22ln ln v v a C x x C + + + + +132343892ln x xxC107.-dxx x 4 12 72 +Transformando algebraicamente de modo que tome una forma conocida +

_,

+

_,

+

_,

_,

+dxx xdxx xdxx x 44 12 742 3741233232742222 2

_, 1232122dxxApoyados en frmula22tenemosv x v xdvdxdv dx2232321

_,

; ;vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 103a a21212 Sustituyendo valores en la integral122 2dvv aAplicando frmula22tenemosyrestituyendo valores avya +

1]1 +122 2ln v v a C +

_,

+ + + +12323212123237422ln ln x x C x x x C108.- 4 312xxdx++Aplicando frmulas1y2podemos escribir+++ 41312 2xdxxdxxApoyados en las frmulas5para la primer integral y18para la segunda tenemosu xdudxxduxdx + 21 22;v x v xdvdxdv dx2 21 ; ;a a21 1 Sustituyendo valores en la integral++++423 2 32 2 2 2duudvv aduudvv avista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 104Aplicando frmulas5y18yrestituyendo valores au , vya +

1]1 + 2 31ln ua arctan vaC + +

1]1 + 2 1 311 12ln x arctan xC + + + 2 1 32ln ( ) x arctanx C109.- 3 412xxdxApoyados en frmulas1y2podemos escribir31412 2xdxxdxxApoyados en frmulas5para la primer integraly19para la segunda tenemosu xdudxxduxdx 21 22; ;v x v xdvdxdv dx2 21 ; ; ;a a21 1 ;Sustituyendo valores en la integral3243242 2 2 2duudvv aduudvv aAplicando frmulas5 ; 19yrestituyendo valores au ; vya +

1]1 +32412ln ln uav av aCvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 105 +

1]1 + ++321 412 111321 2112 2ln( )ln ln ln xxxC xxxC110.- 34 32xxdxApoyadosenfrmulas1y2ytransformandoalgebraicamentedemodoquetomenunaformaconocida tenemos34 3 4 32 2dxxxdxx

_,

333 434 333434 32 222dxxxdxxdxxxdxx dxxxdxx 22434 3Apoyados en frmulas19y5respectivamente tenemosv x v xdvdxdv dx2 21 ; ;a a24323 u xdudxxduxdx 4 3 662; ;Sustituyendo valores en la integral +dvv aduudvv aduu2 2 2 2616Aplicando frmulas19y5restituyendo valores av , ayuvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 106 ++ +1216 av av au C ln ln

_,

++ +12232323164 32ln lnxxx C ++ +343 23 2164 32ln lnxxx C111.- 2 32 32xxdx+Apoyados en frmulas1y2podemos escribir+22 332 32 2xdxxdxx( ) ( ) +2 2 3 32 32122x xdxdxxApoyados en frmula4para la primer integraly21para la segunda tendremosu xdudxxduxdx 2 3 662; ;a a22 2 v x v xdvdxdvdx2 23 3 33 ; ;Sustituyendo en la integral

_,

+ + 26331333122 2122 2ududva vu dudva vAplicando frmulas 4y21yrestituyendo valores au , vyavista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 107 ++ + +1312133121u vaC arcsen + +1312333212u xC arcsen + +232 333322x x C arcsen112.- 4 13 52xxdx+Apoyados en frmulas1y2podemos escribir( )++ + + 43 5 3 54 3 53 52 22122xdxxdxxx xdxdxxApoyados en frmula4para la primer integraly22para la segunda tenemosu xdudxxduxdx + 3 5 10102; ;a a23 3 v x v xdvdxdvdx2 25 5 55 ; ;Sustituyendo valores en la integral + + 41052515122 2122 2ududua vu dudvv aAplicando frmulas4y22y restituyendo valores au,vyavista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 108 + + + + +25121151212 2uv v a C ln + + +2512155 5 3122ux x C ln + + + +453 5155 5 32 2x x x C ln113.- 4 532xx xdx+Si( ) u x xdudxx du x dx 3 3 2 3 22; ;Hay que realizar transformaciones algebraicas de modo de forzar que el numerador tome la forma dedu( ) + + 2124 532252322 3 35232 2 2x dxx xxx xdxxx xdx( )

_, 23 2112323 23211232 2 2xx xdxxx xdxdxx x( ) + 23 231132 2xx xdxdxx x( ) + +

_,

_,

_,

23 231133232222 2xx xdxdxx xvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 109( ) +

_,

_,

23 231132942 2xx xdxdxx( ) ( ) +

_,

2 3 3 2 1194322122x x x dxdxxApoyados en frmula4para la primer integral y21para la segunda tendremosa a29432 v x v xdvdx2232321

_,

; ; dv=dxSustituyendo valores en la integral tenemos + 2 11122 2u dudva vAplicando frmula4y21y restituyendo valores au,vya ++ + +212111121u vaC arcsen ++ 4 11323212uxC arcsen ++ 4 3 112 332x xxC arcsenvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 110114.- 3 43 22 xx xdxRealizando transformaciones algebraicas de modo que tome la integral formas conocidas 33 243 22 2dxx xxdxx xLa primer integral se observa que puede tomar la forma de la frmula21ms sin embargo la segundahay que forzar a que tome la forma dedwSea( ) w x xdwdxx dw x dx 3 2 3 2 3 22; ;( )( ) + 33 24223 22 2dxx xx dxx x( ) + +

_,

+ + 339494222 3 33 222dxx xx dxx x( )

_,

_,

+ + + 3321422 33 2233 22 2 2dxxx dxx xdxx x( )

_,

+ + 3143222 33 263 22 2 2dxxx dxx xdxx xLa primera y la tercera integral son iguales por lo tanto podemos simplificar como( )

_,

+ + 3143222 33 22 2dxxx dxx xvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 111a a v x v xdvdxdv dx2 22141232321

_,

; ; ;Utilizando frmula21y4 + 3 22 212dva vw dw + ++ +3 2121121arcsen vawCRestituyendo valores av,ayw + + 3321221212arcsenxwC( ) + + 3 2 3 4 3 22arcsen x x x Cvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 1122.4Repaso de Integrales Inmediatas y Reducibles a Inmediatas1.- ( )a x dx 2Desarrollamos el cuadrado( ) +a a x x dx 2Utilizando frmula1y2tenemos + adx a xdx xdx 212Aplicando frmulas3, 4,y4respectivamente tendremos + + ax a x xC 2322322Simplificando + + ax a xxC43 232o ax x axxC + +43 222.- ( )a xxdx2Desarrollando el cuadrado +

_,

a a x xxdx2Utilizando frmulas1y2vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 113 + x dx a dx xdx12122Aplicando frmulas4, 3y4respectivamente + +++ + +axaxxC1211211212121 + +axaxxC123212232 + + 2 2233a x ax x COtra forma de resolver el ejercicio anterior( )a xdxx2Como potenciau a xdudx xdudxx ; ;122Sustituyendo en la integral= ( ) u du u du2 22 2 Aplicando frmula4yrestituyendo ausu valor( ) + + 232333uCa xC3.- ( )x a x dx 2vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 114Desarrollando el cuadrado y el producto( )xa a x x dx +2 +

_,

a x ax x dx 232 + a xdx a xdx xdx12322Aplicando frmula4+ ++++ +axa x xC121232112122321 + +axaxxC322523252 + +232532252axaxxC4.- e da be+Aplicando frmula5v a bedvdbe dv be ddvbe d + ; ; ;Sustituyendo en frmula5dvbv bdvv bv Cba be C + + +1 1 1ln lnvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 1155.- ( ) 2 32x dxx++Podemos transformar la integral por medio de la divisin en ++

_, 212 xdx 2x+2 2x + 3 - 2x - 4 - 1 + 22dxdxxAplicando frmulas3y5respectivamente + + 2 2 x x C ln6.- ( )xxdx221++Podemos transformar la integral por medio de la divisin en ++

_, xxdx 131 x - 1x + 1 x2+ 2 - x2 - x- x + 2 + x + 13Aplicando frmula1y2tenemos ++ xdx dxdxx31vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 116Aplicando frmulas4, 3y5tenemos + + +xx x C223 1 ln7.- e dsess221 +Apoyados en frmula5tenemos queu edudsedue dss s s + 2 2 21 22; ( ) ;Sustituyendo en la integral y aplicando frmula5duuduue Cs 2121212 + + ln8.- ae bae bd+Podemos separar en 2 la integralaeae bdbae bd +Laprimerintegralpodemosresolverlapormediodelafrmula5perolasegundahaylanecesidaddesepararla realizando la divisin. -1 + b ae b + b aeaeY ahora podemos escribir la integral como+ + +

_, aeae bdaeb aed 1vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 117 + ae dae bdaeae bd 2aeae bd d Apoyados en frmula5tenemosu ae bdudae du ae d ; ;Sustituyendo en la integral 2duudAplicando frmula5 + 2ln u C + 2ln ae b C9.-xe dxx2Podemos escribir comoe xdxx2Apoyados en frmula7tenemosv xdvdxxdvxdx 222; ;Sustituyendo en la integral tenemosedve dvv v 212Aplicando frmula7tenemosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 118 + +12122e C e Cv x10.-e xdxx sencosApoyados en frmula7tenemosu xdudxx du xdx sen ; cos ; cosSustituyendo en la integrale du e C e Cu u x + +sen11.-e dttPodemos escribir comoedtt2Apoyados en frmula7vt dvdtdv dt 2122 ; ;Sustituyendo en la integral( ) e dv e dvv v2 2Aplicando frmula7 + 22e Ct12.-a dxx 2Apoyados en frmula6tenemosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 119v xdvdxdvdx 2 22; ;Sustituyendo en la integral adva dvv v212Aplicando frmula6 + +12122aaCaaCv xln ln13.-a e dxx xPodemos escribir como( ) ae dxxApoyados en frmula6v xdvdxdv dx a ae ; ; ; 1Sustituyendo en la integral( ) ae dvvAplicando frmula6( ) + ++ ++aeaeCaee aCaeaCxx x x xln ln ln ln 114.- sec3 3 xtanxdx Apoyados en la frmula12tenemosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 120v xdvdxdvdx 3 33; ;Sustituyendo en la integralsec sec vtanvdvvtanvdv 313Aplicando la frmula12 + +13133 sec sec( ) v C x C15.-cot xdx2Apoyados en la frmula15vx dvdxdv dx 2122 ; ;Sustituyendo en la integralcot ( ) cot v dv vdv 2 2 Aplicando la frmula15 + + 2 22ln sen ln sen v cxC16.- dxx cos ( )23Podemos transformar la integral a( ) sec23xdx Apoyados en la frmula10tenemosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 121v xdvdxdvdx 3 33; ;Sustituyendo en la integral( ) ( ) sec sec2 2313vdvvdv Aplicando la frmula10tenemos( ) +13tan v C( ) +133 tan x C17.- dxx sen212

_,

Podemos escribir la integral comocsc22xdx

_, Apoyados en la frmula11vx dvdxdv dx 2122 ; ;Sustituyendo en la integral( ) csc csc2 22 2 v dv vdvAplicando la frmula11( ) ( ) + 2 cot v Cvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 122

_,

+ 22cotxC18.-( ) tan d +cot2Desarrollamos el cuadrado( )tan tan d2 22 + +cot cotSabemos quetan cot 1 porser inversa, por lo que la integral queda como( )tan d2 22 + +cotY podemos escribirla como( ) ( ) ( )tan d2 21 1 + + +cotY separamos en 2 ( ) ( )tan d d2 21 1 + + + cot + sec csc2 2 d dAplicando frmulas10y11tenemos( ) + + tan C cot + tan C cot19.-( ) sec tan d2Desarrollando el cuadrado tenemos( )sec sec2 22 +tan tan dPodemos escribir como( ) ( )sec sec sec2 22 1 + tan dvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 123( ) 2 2 12sec sec tan d 2 22sec sec d tand dAplicando frmulas10,12y3respectivamente + 2 2 tan C sec( ) + 2 tan C sec20.- dxx29 +Apoyados en la frmula18tenemosv x v xdvdxdv dx2 21 ; ;a a29 3 Sustituyendo en la integral+dvv a2 2Utilizando la frmula18tenemos +1a arctan vaCRestituyendo aayvsu valor +13 3arctan xC21.- dxx24 Apoyados en frmula19tenemosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 124v x v xdvdxdv dx2 21 ; ; ;a a24 2 ;Sustituyendo en la integraldvv a2 2Utilizando frmula19++12av av aC lnRestituyendo avyasu valor( )++12 222ln xxC++1422ln xxC22.- dss 252Apoyados en frmula21tenemosa a225 5 v s v s dv ds2 2 ; ;Sustituyendo en la integraldva v2 2Utilizando la frmula21vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 125 + arcsen vaCRestituyendo avyasu valor + arcsen sC523.- cossend42Apoyados en frmula20tenemosa a24 2 v vdvddv d2 2sen ; sen ; cos ; cos Sustituyendo en la integraldva v2 2Aplicando frmula20++12aa va vC lnRestituyendoavyasu valor( )++12 222lnsensenC++1422lnsensenC24.- edxexx12+Apoyados en frmula18tenemosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 126a a21 1 v e v edvdxe dv edxx x x x 2 2 ; ;Sustituyendo en la integral tenemosdva v2 2+Aplicando frmula18 +1a arctan vaCRestituyendo avyasu valor( ) + arctan e Cx25.- bdxax c2 2 2Podemos escribir comobdxax c2 2 2Apoyados en frmula19tenemosv ax v axdvdxadvadx2 2 2 ; ; ;a c a c2 2 Sustituyendo en la integralvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 127 bdvav abadvv a2 2 2 2Aplicando frmula19 ++ab av av aC12lnRestituyendo avyasu valor ++ba aax cax cC12ln++bacax cax cC2ln26.- axdxx b4 4+Podemos escribir como+axdxx b4 4Apoyados en frmula18v x v xdvdxxdvxdx2 4 222 ; ;a b a b2 4 2 Sustituyendo en la integral++ advv aa dvv a222 2 2 2Aplicando frmula18vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 128 +aa arctan vaC21Restituyendo valores avyatenemos +abarctan xbC21222 +abarctan xbC222227.- ( )dtt +2 92Apoyados en frmula18tenemos( ) v t v tdvdtdv dt222 2 1 ; ; ;a a29 3 Sustituyendo en la integraldvv a2 2+Aplicando frmula18 +1a arctan vaCRestituyendo valores avya

_, +1323arctantCvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 12928.- ( )dyy 4 32 +Apoyados en frmula21a a24 2 ;( ) v y v ydvdydv dy223 3 1 + + ; ; ;Sustituyendo en la integraldva v2 2Aplicando frmula21 + arcsen vaCRestituyendo su valor avya+

_, + arcsenyC3229.- dxx x24 3 + +Acompletando el trinomio de los 2 primeros trminos del denominador tenemos( )dxx xdxx2 24 4 3 42 1+ + + + Apoyados en frmula19tenemos( ) v x v xdvdxdv dx222 2 1 + + ; ; ;vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 130a a21 1 ;Sustituyendo en la integraldvv a2 2Aplicando frmula19++12av av ac lnRestituyendo avyasu valor( )( )( )+ + ++12 12 12 1lnxxCSimplificando+++1213ln xxC30.- dxx x 2 102 Ordenamosdxx x + 22 10Factorizamos( )dxx x + 22 10Acompletamos el trinomio con los 2 primeros trminos del denominadorvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 131( ) ( )( )( ) + + + + + dxx xdxxdxx2 2 22 1 101 9 1 9Apoyados en frmula18tenemos( ) v x v xdvdxdv dx221 1 1 ; ; ;a a29 3 Sustituyendo en la integral +dvv a2 2Utilizando frmula18 +1a arctan vaCRestituyendo avya su valor

_, +1313arctanxC31.- 38 252dxx x +Acompletando el trinomio cuadrado perfecto con los 2 primeros trminos del denominador y sacando laconstante tenemos( ) + + + 38 16 16 2534 92 2dvx xdxxApoyados en frmula18tenemos( ) v x v xdvdxdv d224 4 1 ; ; ;vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 132a a29 3 Sustituyendo en la integral+32 2dvv aAplicando frmula18 + 31a arctan vaCRestituyendo avyasu valor + 31343arctan xC

_,

+ arctanxC4332.- 1 212++xxdxPodemos escribir la integral como+++ dxxxdxx 1212 2La primer integral la resolvemos con la frmula18y la segunda con la frmula5a a21 1 v x v x dv dx2 2 ;u x + 12dudxx 2du xdx 2vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 133Sustituyendo en la integral++ dva vduu2 2Aplicando la frmula18y5respectivamente + +1a arctan vau C lnRestituyendo valores dev,ayu + + + arctanx x C ln1233.- ( ) 2 112x dxx+Podemos escribir la integral as( ) ( ) x xdxdxx21221 21 + Apoyados en frmula4y22tenemosu xdudxx du xdx 21 2 2 ; ;v x v x dv dx a a2 2 21 1 ; ; ; ;Sustituyendo en la integral + u dudvv a122 2Utilizando frmulas4y22tenemosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 134 + + +uv v a C122 212lnRestituyendoav,ay usu valor + + + 2 1 12 2x x x C ln34.- ( ) 3 192x dxx+Podemos escribir as39 92 2xdxxdxx ++ ++ 39 92 2xdxxdxxResolvemos la primer integral por medio de la frmula5y la segunda con la18siu xdudxx du xdx + 29 2 2 ; ;Como nos hace falta un 2 en el numerador para acompletar la integral, dividimos y multiplicamos por 2++ 3229 92 2xdxxdxxv x v x dv dx2 2 ; ;a a29 3 ;Sustituyendo en la integral + 322 2duudvv avista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 135Aplicando frmulas5y18 +321ln ua arctan vaCRestituyendo av,ayusu valor + +32913 32ln x arctan xC35.- ( ) x dxx+392Podemos escribirla como( )9 392122 + x xdxdxxApoyados en frmula 4y21u xdudxxduxdx 9 222; ;a a v x v x dv dx2 2 29 3 ; ; ;Sustituyendo en la integraludu dxa vu dudxa v + + 122 2122 223123Aplicando frmula4y21 + +1212312u vaC arcsenRestituyendo auvyasu valorvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 136 +

_, + 9 332xxC arcsen36..- ( ) xx xdx+362Podemos escribir la integral como( ) ( ) + xdxx xdxx x2 2636 xdxx xdxx x2 2636sea( ) u x xdudxx du x dx 26 2 6 2 6 ; ;Forzando a la diferencial del nmerador tendremos( ) + 122 6 66362 2x dxx xdxx x( ) + 122 6666362 2 2x dxx xdxx xdxx xSimplificando las 2 ultimas integrales tendremos( ) + 122 66362 2x dxx xdxx xTransformamos ahora ala segunda integral( ) + + 122 6636 9 92 2x dxx xdxx x( )( ) + 122 6633 92 2x dxx xdxxvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 137Apoyados en la frmula5y19respectivamente tenemos( ) v x v xdvdxdv dx223 3 1 ; ; ;a a29 3 ;Aplicando frmula5y19 + ++12312ln ln uav av aCRestituyendo valores avyuya()( )( ) + ++126 312 33 33 32ln ln x xxxC ++1261262ln ln x xxxC37.- ( ) 2 52 52x dxx x++ +Podemos escribir como22 552 52 2xdxx xdxx x + +++ + sea( ) u x xdudxx du x dx + + + +22 5 2 2 2 2 ; ;Forzamos a la diferencial del denominador( )+ + +++ + 2 2 22 552 52 2x dxx xdxx xPodemos separar comovista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 138( )++ ++ + ++ + 2 22 522 552 52 2 2x dxx xdxx xdxx xSimplificado las 2 ultimas integrales( )++ +++ + 2 22 532 52 2x dxx xdxx xAcompletando el trinomio en el denominador de la 2a. integral( )++ +++ + + 2 22 532 1 1 52 2x dxx xdxx x( )( )++ +++ + 2 22 531 42 2x dxx xdxxApoyados en frmulas5y18( ) v x v xdvdxdv dx221 1 1 + + ; ; ;a a24 2 ;Sustituyendo en la integral ++ duudvv a32 2Utilizando frmulas5y18 + + ln u arctan vaC 312Restituyendo valores av,uya + + + +

_, + ln x x arctanxC22 5 31212vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 139 + + ++

_, + ln x x arctanxC22 5321238.- ( ) x dxx x+242Podemos separar en 2 integrales+ xdxx xdxx x 4242 2Resolvemos la primera escribindola as, como potencia, frmula4( ) 4212x x xdx( ) u x xdudxx du x dx 4 4 2 4 22; ;Multiplicamos por 22( ) 224212x x xdx( ) ( ) 124 2212x x x dxSumamos y restamos4( )vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 140Volvemos a escribir las integrales de partidaLa primer integral esAhora la segunda integralApoyados en la formula21Restituyendo avyasus valoresfinalmente uniendo el resultado de las 2 integralesvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 14139.- La dividimos en 2 integralesAhora resolvemos la primera como potencia, frmula4Sea Multiplicamos por y sumamos y restamos2Regresamos a las integrales de partida y tenemosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 142Para la segunda integral nos apoyamos en la frmula22Restituyendo los valores avya40.- Escribamos como potencia frmula4vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 143Multiplicamos por y sumamos6y restamos6Y dividimos en 2 integralesApoyados en frmula21Restituyendo avyasus valoresvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 144UNIDAD III.-INTEGRAL DEFINIDAAscomoelconceptodeladerivadaprovienedelproblemageomtricodetrazarunatangenteaunacurva, el problema histrico que conduce a la definicin de la integral definida es el calculo de reas bajouna curva.TantoNewtoncomoLeibnizpresentaronversionestempranasdeesteconcepto.Sinembargo,fueReimann quien dio la definicin.3.1Que significa una Integral Definida?Integracin entre limites, entre un limite superior b y un limite inferior a. Entonces, la integral tieneun valor definido que depende de la funcin f(x) y del intervalo escogido.El smbolo de la integral definida es:b ba aydx o f xdx ( ) yselee : Laintegraldesde a hasta b Y se calcula porbaf xdx Fb Fa ( ) ( ) ( ) Teorema fundamental del ClculoLoquenosdice:Laintegraldefinidadeunafuncincontinuaenunintervalodado,esigualaladiferencia de los valores de una de sus primitivas en los extremos de un intervalo.Sedebetenermuchocuidadoentreintegralesdefinidasaindefinidas.Unaintegraldefinida baf xdx ( )es un nmero, mientras que una integral indefinida f xdx ( ) es una funcin.3.2Pasos para resolver una Integral Definida1.- Se resuelve la integral como indefinida, haciendo caso omiso de la constante de integracin.2.-Elresultadoanteriorseencierradentrodeunparntesisrectangularafectadoporloslimitesdeintegracin.3.- En la primitiva encontrada, se sustituye en lugar de la variable el limite superior y se le resta lo queresulta de sustituir el limite inferior.vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 145Ejemplos1.- 3 21xdx3 213133 333313263xdxx1]1 2.- 012 ( ) x dx ( ) ( )( )( )010 012101222 222022 0122 152 1]1

1]1

1]11 x dx xdx dxxx3.- 102xdx]1 1200120102 22 2221 0 1 xdx xdxxx 1]1 4.- 1 212 ( ) t dt ( )( )( )1 211 2111311332 232132 1132 1103( ) t dt t dt dttt 1]1

1]1

1]11 5.- 1 202 1 ( ) t dt 1 201 202 1 4 4 1 ( ) ( ) t dt t t dt + + 4 41 201 10 0t dt tdt dt +1]143423 201t ttvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 146( ) ( ) ( ) ( )[ ] +

1]11 +

1]11 +

1]1 4 134 1214 034 0204363330133 2 3 26.- 2212 2 21 131 3xdx x dx dx

_, 1]131112xx 1]1312xx

1]1

1]1 + 322311724127.- ( )1 312 t dt 1]11111311431112432 t dt dttt 1]13424 311t t( ) ( ) ( )

1]1

1]1 341 2 1341 2 15411444 3438.- 4012 1 xdx+( ) ( ) + + 41202 1 2 1 22x dx sea u xdudxdudx ; ;vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 147] 1]1 + 412401212120400421212122 1 uduu duuu x( ) ( ) + + 2 4 1 2 0 1 3 1 29.- ( ) ( )1 2311 2311 1 xx dx x xdx + + seau xdudxxduxdx + 21 22; ;( ) +1]1 1 3 1 34241 11121212 4181 uduu duux( ) ( ) ( )( ) +

1]1 +

1]1 181 1181 1 2 2 0242410.- 202 34 x xdx+( ) +2 21304 x xdxsea u xdudxxduxdx + 4 222; ;( ) +1]12131343243020 2121243384 uduuduux( ) ( ) + + 384 2384 0 6 2 3811 3 61924324311.- 733 x x dx vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 148Resolviendo por partesu xdudxdu dx ; ; 1( )( ) dv x dx v dv x dxxx 3 33322333232; ;( ) ( )733273323233233 x x dx x x x dx ( )( )( ) ( ) 1]111 1]12332335223341533373 53752xxx xx x( )( ) ( )( )( ) ( )

1]1

1]1 2 737 34157 32 333 34153 31445014453 5 3 512.- 2023cos xdx

_, u xdudxdu dx 232332; ; 20203232cos cos u du udu

_,

1]132322302sen sen u x( )

_,

3223 232230 sen senvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 149( ) 32 3320 sen sen 3260 032323 34seno13.- 23222secxdxux dudxdu dx 2122 ; ; 1]1232223222322 2 2 22sec sec u du udu tanu tan x( ) 22322222120229022 60 2 45 2 3 2 1 1 46 tan tan tan tan tan tano oo o14.- ] ( ) 42420040 40 1 0 1dxxxdx tanx tan tancossec 15.- 10011121212121212120 7213 1 4427 0 7214

_,

_,

1]1111

_,

_,

+ xxdxln ln lno16.- ]ee dxxx e 111 1 0 1 ln ln lnvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 150UNIDAD IV.-APLICACIONES DE LA INTEGRAL4.1Geomtricas4.1.1reas bajo la curvaHallar el rea de la superficie limitada por la curva dada, el eje de las xy las coordenadas dadas.1.-y x x x 30 4 ; ;4 304044 424440464 x dxxu1]1 vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 1512.-y x x x 9 0 32; ; -3-2 -11230(0, 9)(-3, 0)(3, 0)yx( )3 20303 209 9 x dx dx x dx 1]193303xx( ) ( )

1]1

1]19 3339 0033 3[ ] [ ] 27 9 0 182uvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 1523.-y x x x x x + + 3 23 2 3 3 ; ;( )3 3 233 333 23333 2 3 2 x x x dx x dx x xdx + ++ + ] + +xx x43 2334( )( ) ( ) + +

1]1 + +

1]11343 3343 3 5443 243 22uvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 1534.-y x x x x + + 21 2 3 ; ;(+)01 2 3(3,13)(2,7)yxv

_,

1234,( )3 223 22313 2x x dxx xx + + + +1]1 + +

1]1 + +

1]1 33323232223322035963 2 3 22uHallar el rea de la superficie limitada por la curva dada, el eje y y las rectas dadas1.-y x y y24 0 4 ; ;vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 154 12 3 4xyy=4y=00xy24( ) f yy244204 203 30441414 3 12ydy y dyy y 1]1 412012641201633 32uvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 1552.- y x y y 4 0 32; ;0yxy=3y=0x y 4( ) x y 412( ) ( ) f y y 412( )31204 y dyseau ydudydu dy 4 1 ; ;vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 156( ) ( )312031232300332234 u du uduuy 1]1( ) ( )

1]1 + 234 1234 0231631433 32u3.-y x y y ln ; ; 0 2y x lne xyx ey( ) f y eyvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 157]20 02edy ey y e e u2 0 27 389 1 6 3894.-x y y y y + 8 2 1 32; ;yxy=-1y=3+ 8 2313 3 21 1dy ydy y dy + 1]1832313y yy( ) ( ) ( )( ) +

1]1 +

1]11

1]1 8 3 3338 1 1132420392323232uvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 1584.1.2reas entre dos curvas planasVeamos la siguiente figura

abfig(b)y=f1(x)0ydcx=_ydca by=f2(x)xfig. (c)Es claro que el rea formada por la integracin de las curvas de la fig. (a), es igualal rea de la fig. (b), menos el rea de la fig. (c) El rea entre las curvas ser( )bay y dx 1 2 con respecto al eje xy( )dcx x dy 1 2 con respecto al eje y1.- Determinar el rea de la superficie limitada por las curvas0yx( 1, 2)( 6, 7)vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 159y x x y y x + +28 5 1Resolviendoelsistemadeecuacionesformadoporestas2ecuaciones,hallamoslospuntosdeinterseccin de las curvas (1, 2) y (6, 7)( ) ( )[ ]( )6 216 218 5 1 7 6 + + + x x x dx x x dx( )( )( )( ) + 1]1 +

1]11 +

1]11x xx3 21632323726637 626 6137 126 1 + 1817612562u2.- Determinar el rea de la superficie limitada por las curvasy x y y x y22 2 7 0 8 0 + + yxy=3y=-30(11, 3)(5, -3)Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las 2 curvas, encontramos los puntos de interseccin(5, -3)y(11, 3)e integrando con respecto a y tendremosx y + 8y xyy + +2272vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 160( )3238272yyy dy + + +

_,

1]1 +

_,

+ + +1]1 323 2 33 33333 3 292129212 392 692ydy y dyyyyy( )( )( ) [ ] +

1]1 +

1]11 3692336923 9 9 18332u3.- Determinar el rea de la superficie limitada por las curvasx y y x y2 2 2 216 9 16 144 + + yx0(-4,0) (4,0)Resolviendo el sistema de ecuaciones y graficando tenemos, que los puntos de interseccin son(4, 0)y(-4, 0)Despejando a y de ambas tenemos( )y x Y yxxx 16144 9169 164341622224 2 244 2 4 24 416341614161416

1]1 x x dx xdx xdxvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 161Aplicando frmula23a a216 4 v x v x2 2 +

1]114 216162 4244xxxarcsen +1]1xxx816 24244arcsen( ) ( ) +

1]1 +

1]14816 4 2444816 4 2442 2arcsen arcsen( ) ( )

_,

_,

2 1 2 1 222323 2 arcsen arcsen 4.- Determinar el rea de la superficie determinada por las curvas:y x y x y x y26 3 0 4 11 0 2 5 0 + + + + , , , en la regin donde se localiza el vrtice dela parbola.x-4y+11=0(5,4)x2x+y-5=0y=4y=3y=1(1,3)(2,1)V(6,3)0yy2+x-6y+3=0Graficandolasecuacionesyresolviendoelsistemaqueseformanentreellosobtenemoslospuntosdeinterseccin(1, 3), (2, 1), (5, 4). Observamos que el rea la podemos dividir en 2, el rea delvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 162aschurado vertical de y = 3 a y = 4 y el rea del aschurado horizontal de y = 1 a y = 3elrea total ser una vez despejada x( ) ( )[ ] ( )4 2 3 21 36 3 4 11 6 3252 + + + +

_,

1]1 y y y dy y yydyQuitando parntesis y simplificando nos queda( )4 2 3 21 32 8132112 + + + +

_, y y dy y y dyResolviendo la primer integral( ) ( ) + +1]1 + +

1]1 + +

1]1 yy y3234323238434 8 4333 8 380372383Resolviendo la segunda integral( ) ( ) ( ) ( ) + 1]1 +

1]1 +

1]1

_,

43134112331343112313134111211543112761232133232y ySumando ambas 8376121081292+ u5.- Calcular el rea entre las curvasy = x - 4 x + 3 y = - x +2 x + 32 2yGraficandoyresolviendoelsistemadeecuacionesformadoporlascurvasobtenemoslospuntosdeinterseccin (3, 0) y (0, 3) as como los vrtices (1, 4) y (2, -1).vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 163Por lo tanto el rea ser( ) ( )[ ]( )3 2 203 202 3 4 3 2 6 + + + +x x x x dx x x dx + +1]1 2 62333 2 3320 003x dx xdxxx( )( )( )( ) +

1]11 +

1]11 2 333 32 033 0 9 0 932322u6.- Determinar el rea entre las curvas y x y y x ( ) 1 13yxy=(x-1)3y=x-1Graficandoyresolviendoelsistemadeecuacionesformadoporlas2curvasobtenemoslospuntosdeinterseccin (0, -1), (1, 0) y (2, 1) el rea buscada ser( ) ( )[ ]( )232 3 20 01 1 3 2 x x dx x x x dx + +1]1xx x43 20240vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 1644.2.1Volmenes de slidos de revolucinLlamaremosSlidodeRevolucinaquelqueseengendraalhacergiraralrededordeunejeunasuperficie planaa byxy=f (x)0Consideremos que la superficie limitada por la grfica de la funcinf,el ejexy las rectasx = ayx = b gira alrededor del ejex.Si dividimos esta superficie ennrectngulos, cada uno deellos engendrara un cilindro rectoydxdv y dx 2Area de la Base por su alturavista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 165El limite de la suma de los volmenes de losncilindros engendrados cuandon ser el volumendel slido de revolucin; esto es, la suma de los volmenes de losncilindros desdex = ahastax= bnos da el volumen del slido de revolucin.v y dx ydxb ba a 2 2 Cuando el eje de revolucin esxCuando el eje de revolucin esytendremosv xdyba2Calcular el volumen de los slidos que se forman al girar la regin dada alrededor del ejex1.-y x de x a x + 1 0 1xy011( ) ( )v y dx x dx x x dx + + 1 2 120 01 201 2 1 +

1]1xx x32013vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 166( ) +

_, +

_,

1]1131 1030 03232

_,

1]1 13033u2.-y x de x a x 4 0 22xy1 2Volumen( ) 2 202 2204 y dx x dx( ) + +

1]1 2 2 402 2 2 2 40 0 016 8 16 8 x x dx dx x dx x dx( )( )( )( ) +

1]1 +

_,

+

_,

1]11 1683 516 28 232516 08 03053 502 3535xx x

1]1 256150256153uvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 1673.-y x de x a x 4 2 22xy-2 -1 12( )v y dx x dx 2 2 2 22 24

1]1

1]1 4 432 2 22 2322dx x dx xx( ) ( )( )

_,

_,

1]11 4 2234 22333

_,

+

_,

1]1

_,

1]1 883883163163 +

1]1 1631633233uvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 1684.-y x de x a x 20 2yx01 2 -1 -2( )v y dx x dx x dxx

1]1 2 2 2 222 45020 0 0 5v u

1]1

1]1 250532503255 535.-y x de x a x 1 4yx1 4vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 169( )v y dx x dx xdxx

1]1 4 214242141 1 2

_,

_,

1]1

1]1 42128121522 23u6.-y mx de x a x h 0yx0hry=mx+0m=rh( ) v mx dxh20sea u mxdudxmdumdx ; ;v udum mu duh h 2 20 0( ) ( ) ( )vmummxmmh mhh

1]1

1]11

1]11 30303 33 3 303( )

1]11

_,

mmh m hrhhrhVolumen del Cono32 3232303 3 3vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 1704.2.2Otras aplicaciones de la IntegralLavelocidad(v)enuninstantecualquiera(t)espues,laderivadadelespacioconrespectoaltiempo.vdsdtSe ha observado experimentalmente, que si un cuerpo cae libremente en el vaco partiendo del reposo ala superficie de la tierra, obedece aproximadamente, a la ley dada por la frmula.s = 4.9 t2s = distancia recorrida en metrost = tiempo en segundosAceleracin es la rapidez de variacin de la velocidad con respecto al tiempo. Es decir por definicin.advdto adsdt 2Sia > 0 ,la velocidad aumenta algebraicamentea < 0 ,la velocidad disminuye algebraicamentea > 0 y v = 0 , stiene un valor mnimoa < 0 y v = 0 , stiene un valor mximoSia = 0y cambia de+a- cuando t pasa port0, entonces v tiene un valor mnimo cuandot = t0Es un movimiento rectilineo uniformemente acelerado ,aes constante. As en el caso de un cuerpoque cae libremente bajo la accin de la gravedad ,a = 9.8 m/seg2Es decirs t vdsdtt advdt 4 9 9 8 9 82. . ; .Determinar las leyes que rigen el movimiento de un punto que se mueve en lnea recta con aceleracinconstante.Puesto que la aceleracin es constante, digamosf ,tenemosdvdtf dv fdt vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 171dv fdt ( ) v ft C + 1Para determinarC , supongamos que la velocidad inicial seav0;es decirv = v0cuandot = 0 ,estos valores sustituidos en(1)danv0 = 0 + C o seaC = v0 ,luego entonces la expresin(1)se convierte env = ft + v0(2)Puesto quevdsdtobtenemos quedsdtft v +0( ) ds ft v dt +0( ) ds ft v dt + 0sftv t C + +2023 ( )ParadeterminarelvalordeCdeestaultima,supongamosqueladistanciainicialseas0,esdecirs=s0cuandot = 0.Estos valores sustituidos en(3)dans0 = 0 + 0 + Co sea C = s0luego(3)se convierte ensftv t s + +20 024 ( )Sustituyendoen(2)y(4)losvaloresf=g,v0=0,s0=0,s=hobtenemoslasleyesdelmovimiento de un cuerpo que cae en el vaco partiendo del reposo.v = gth gt 122igualandotdel sistema anteriorvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 172tvgthg ;2vghg2vghg222vgh22 v hg22 v hg 2Estudiar el movimiento de un proyectil que tiene una velocidad inicialv0 ,siendo el ngulo de tiroy despreciando la resistencia del aire.La aceleracin en el sentido horizontal esvx = 0y la aceleracin en el sentido vertical esvy = - gdvdtdvdtgxy 0 ;Integrandodvx dt 0dvx 0v Cx + 0v Cx v Cx 1dv gdty v C gdty + 1v C gt Cy + + 1 2v gt C Cy + 2 1v gt Cy + 2Pero v0cos Componente horizontal de la velocidad inicialvxv0sen Componente vertical de la velocidad inicialvyentoncesC v 10 cosC v 20 senvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 173osea v v y v gt vx y +0 0cos sen pero vdxdty vdydtx y dxdtv ydydtgt v +0 0cos sen ( ) dx v dt y dy gt v dt +0 0cos sen Integrando estas ultimasx v t C y gt v t C + + +0 320124 cos sen para determinarC3yC4 ,observamos que cuandot = 0 ,x = 0yy = 0sustituyendo estos valores( ) ( ) ( ) 0 0 0120 0 40 320 + + + v C g v C cos sen C C3 40 0Luego entoncesx v t y gt v t + 02012cos ; sen Ecuaciones parametricas del movimiento de un proyectilAhora despejando a t de la primera y sustituyendoen la segundatenemostxv0cosy gxvvxv

_, +

_,

120200cossencos ygxvxtan +202 22 cosEcuacin cartesiana de la trayectoria de un proyectilvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 1744.3Ejercicios1.- Desde lo alto de una colina de 1000m sobre la superficie terrestre se arroja un objeto hacia arriba conunavelocidadinicialde50m/seg..considerandolaaceleracindelagravedadde9.81m/seg2ydespreciando la resistencia del aire, encuentra su velocidad y su altura 9 seg. despusSupongamos que la altura s se mide en direccin positiva hacia. arriba Entoncesvdsdtes positiva alprincipio (s es creciente)Peroadvdt esnegativa(laatraccindelagravedadtiendeadisminuirv).Porlotanto,nuestropunto de partida es la ecuacin diferencial dvdt 9 81 . ,conlascondicionesadicionalesv0=50ys=1000cuando t = 0advdt 9 81 .dv = -9.81dtdv dt 9 81 .v= - 9.81t+Ccomo V=50yt=0050= - 9.81(0)+C C 50Entonces v = -9.81 t + 50Cuando t = 9v = -9.81(9)+50= -38.29 m/ segAhora bienvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 175vdsdtPor lo tanto tenemos una segunda ecuacin diferencialdsdtt + 9 81 50 .de dondeds=(-9.81t +50) dt Integrandods tdt dt + 9 81 50 .s = -9.81tt C2250 + +s = -4.90+50t+C Como s = 1000 Cuando t = 01000 = -4.90(0) +50(0) + C2 C 1000Entoncess = -4.90t +50t +10002comot = 9( ) ( ) s + + 4 90 9 50 9 10002.s = -396.9+450+1000s =1053.10 m.2.- Un objeto se mueve en el plano cartesiano con una aceleracinaen cm/seg2 y con una velocidadinicialv0en cm/seg. y empieza su movimiento a la distancia dirigida s despus devista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 176encontrar la velocidad v y la distancia dirigidasdespus de 2 seg., para los datosa=t v0=2ys0=0dvdtt dv tdt dv tdt vtc +22comov s t0 00 0 0 , ,20222 + C Cvt +222como t = 2v cm seg + 222 42/vdsdt +dsdtt222dstdt +

_,

222Integrandostt C + +12 323stt C + +362comos t 0 0 ,( ) 0062 0 03 + + C Cstt +362comot 2( ) s cm + 262 216333.- Con que velocidad dar una piedra en el suelo si se deja caer desde lo alto de un edificio de 40 m.de altura ?datosvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 177a = 9.81 m/ seg2s = 40 madvdtdvdt 981 .dv dt 9 81 .dv dt 9 81 .v = 9.81t + Ccomo v = 0yt = 00 0( ) 0 9 81 0 0 + . C C( ) v t a 9 81 .como vdsdtdsdtt 9 81 .ds = 9.81tdtds tdt 981 .stC + 9 8122.Como s0 0 0 0 9 81202y t C st.Comos = 40vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 1784098122. tt = 2.85Sustituyendoen (a)v = 9.8 (2.85)v = 28.01 m/ seg4.- Una piedra se deja caer desde un globo que ascendaa 5 m/seg. La piedra llega al suelo en 8 seg. Que altura tenia la piedra cuando se dejo caer ?Puesto que el cuerpo no parte en reposoVo = - 5 m/seg.a=g=9.81 m/seg2advdtg dvdtg dv=gdtdv gdt v=gt+Ccomo v0 = - 5 m/seg. cuando t = 0( ) + 5 0 5 g C Cv gt 5vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 179como vdsdtdsdtgt 5( ) ds gt dt 5Integrandods gtdt dt 5sgtt C +225como s y t0 00 0 ( )( ) 0025 0 02 + gC Csgtt 225Ahora como t = 8( )( ) s m 9 81 825 8 273922..5.- Un tren parte de una estacin si su aceleracin es 0.15 + 0.006t m/seg2 Que distancia recorreren 50 seg. ?a=0.15+0.006tdvdtt + 015 0 006 . .( ) dv tdt + 015 0 006 . .Integrandovista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 180dv dt tdt + 015 0 006 . .v ttC + + 015 0 00622. .como v y t C0 00 0 0 v tt + 015 000622. .vdsdtdsdtt t + 015 00032. .( )ds t t dt + 015 00032. .Integrandods tdt t dt + 015 0 0032. .st tC + + 01520 00332 3. .como s y t C0 00 0 0 st t + 01520 00332 3. .como t=50( ) ( )s m + + 015 5020 003 503187 50 125 312 502 3. .. .6.-Una pelota se lanza hacia arriba. En un segundo llega a una altura de 25m Cual ser la mximaaltura alcanzada ?vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 181a = - g = - 9.81t0 = 0v0 = ?s0 = 0t1 = 1 seg.s1 =25 mv1 = ?advdtdvdt 9 81 .dv= -9.81dtdv dt 9 81 .v= -9.81t+Ccomo v=v0 y t=0v C C v0 09 81 0 + . ( )v= -9.81t+v0 (a)Ahoravdsdtdsdtt v + 9 810.ds=(- 9.81t+v0)dtds tdt v dt + 9 810.stv t C + + 9 81220.vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 182comos = 0yt = 00 0 C 0stv t b +9 81220.( )cuando s = 25y t = 1( )( ) 259 81 12120 +.vDespejando v0= 29.9 m/seg.Ahora cuandov = 0se logra la altura mxima con la expresin(a)0=9.81t+29.9t=3.04 segSustituyendo en(b)s +9 81 304229 9 3042. ( . ). ( . )s=45.56 m7.-Enelmomentoenqueelsemforoseponeverde,unautomvilinicialamarchaconaceleracinconstantede2m/seg2.Enesemismomomentouncaminquellevaunavelocidadconstantede10m/seg. le adelanta.a) En que tiempo alcanzara al camin ?b) A que distancia alcanzara ms adelante el automvil al camin ?c) A que velocidad ira en ese instante ?a=2 m/ seg2advdtdvdt 2vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 183dv= 2dtIntegrandodv dt 2v = 2tIvdsdtdsdtt 2ds=2tdtds tdt 2s = t2IIvsts v t como v = 10s = 10tIIIIgualando II y III sea la velocidad del coche con la del camint =10t2t -10t=02Resolviendo esta ecuacint1=0 segt2=10 segvista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 184t1es cuando estn en el semforo yt2es cuando alcanza el automvil al camina) t = 10 seg.Sustituyendoten IIs = 102s = 100mRespuesta del incisob)Sustituyendoten Iv = 2(10) = 20m/seg.Respuesta del incisoc)8.- Un proyectil se lanza contra una pared situada a una distancia de 147m, la velocidad inicial esv0 =49 m/seg. y el ngulo de lanzamiento es 45o. Hallar la altura del impacto en la pared ?dydtv gt 0sen( ) dy v gtdt 0sendy v dt g tdt 0sen y v tgtC +022sencomo y y t C 0 0 0y v tgta 022sen ( ) Por otro ladovista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 185dxdtv 0cosdx v dt 0cosdx v dt 0cosx v t C +0coscomo x y t C 0 0 0x v t 0cosdespejando ttxv0cos( )t seg 14749 70714 24..tarda en chocar con la paredCon este valor conocido regresamos a la expresin(a)( ) y m 49 7071 4 24981 4 24258 712. .. ( . ).9.- En un cuarto la temperatura es de 20o c. Se observa que un liquido tiene una temperatura de 70o c ;despusde5minutosesde60oc;suponiendoquelarapidezdeenfriamientodelatemperaturadelliquidoesproporcionalaladiferenciadelatemperaturadelliquidoconrelacinalcuarto,hallarlatemperatura del liquido 30 minutos despus de la primera observacin.sea T = temperatura t = tiempo( )dTdtkT 20dTTkdt20vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 186dtTk dt 20ln T kt C + 20 IPero si t = 0 T = 70( ) ln ln 70 20 0 50 + k C CSustituyendo enIln ln T kt + 20 50 IIpero si t = 5 min. T = 60ln ln 60 20 5 50 + kDespejando kk ln ln 40 505k 0 0446 .Sustituyendo enIIln . ln T t + 20 0 0446 50T et +200 0446 50 . lnpor ultimoT e + + 0 0446 5020. ln10.-Hallarlalongituddearcodelaparbolay2=4x,comprendidoentrelospuntosP1(0,0)yP2(4,4)vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 187xyP2P1 0y2 = 4xxy24( )dxdyyy 1422Aplicando la frmula para longitud de arco con respecto aybadxdydy 12+

_, +

_,

+ +402402402121444ydyydyydy +1242y dyResolviendo esta con la frmula24vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 188v y v y ydvdydv dy2 21 ;a a24 2 + + + +

1]112 244242 204yy y y ln + + + + + + + +

1]1122 16 4 2 4 16 4020 4020 0 42ln ln[ ] + 128 94 4 27 0 138 5915 . . . .11.- Hallar la longitud de la curva y2 = x3 entre los puntos(0,0)y(4,8)y x 3y x 32dydxx 3212LAdydxdxab. . +

_, 12 +

_,

+ +

_, 13219419412204041204xdxxdxxdxsea ux dudxdu dx du dx + 194949449; ; ;vista imprimiranterior siguientemenClculo IntegralPag. 189 + +

_,

1]11u du uduuCx120412043230449494932827194( ) ( ) +

_,

+

_,

82719 4482719 049 369 0 296 9 0643 3. . .12.- El perfil transversal de un ro es una parbola de eje vertical. La presa que tapona el ro presentauna cara normal a la direccin del mismo. El ancho en la superficie es de 100m, la profundidad mximaes de 25m y el peso del agua es de 1 ton/m3. Calcular la fuerza total que ejerce el agua sobre la presa. xyh(50,25)v0(0,25)(-50,25)yx py24 seak p 4x2 = kyvista imprimiranterior s