cÁlculo numÉrico aula 5 – sistema de equações lineares
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CÁLCULO NUMÉRICO
Aula 5 – Sistema de Equações lineares
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Métodos diretos e iterativos para a
resolução de sistemas lineares: Método de Gauss Jordan; Método da Gauss Jacobi.
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
• Um dos métodos utilizados na resolução de sistemas lineares é o de Gauss-Jordan;• Consiste em gerar uma matriz diagonal (elementos que não pertencem à diagonal principal, iguais a zero);• Operações elementares serão efetuadas com as linhas / colunas;• Não é iterativo e sim um método direto pois conduz à solução exata a menos de erros de arredondamento, introduzidos pela máquina, após um número finito de passos.
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES
9234327
zyxzyxzyx
41.0.02.01.01.0.01
zyxzyxzyx
921341327111
410020101001
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CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO
• A primeira linha deve manter apenas o “x”, a segunda linha apenas o “y” e a terceira linha apenas o “z”;• Para eliminarmos o “2x” da segunda linha podemos multiplicar a primeira linha por (-2):
4327
zyxzyx
103.0
43214222
zyx
zyxzyx
Nova segunda linha
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CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO
• Para eliminarmos o “3x” da terceira linha podemos multiplicar a primeira linha por (-3):
9237
zyxzyx
124.0
92321333
zyx
zyxzyx
Nova terceira linha
124.0 zyx
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CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO
• Sistema com as modificações:
• Com operações semelhantes eliminamos: “y” e “z” da primeira linha; “z” da segunda linha; “y” da terceira linha.
REPOSTA:x =1 , y = 2 e z = 4
124.0103.0
7
zyxzyx
zyx
41.0.02.01.01.0.01
zyxzyxzyx
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CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE GAUSS - JACOBI
• Considere um sistema linear com “n” equações e “n” incógnitas; • Método iterativo que consiste em uma solução inicial (x(0), y(0), z(0)...) que será substituída na expressão de recorrência e testada segundo um critério de parada;• Fórmula de recorrência:
11
)(1
)(313
)(2121)1(
1......(
axaxaxabxknn
kkk
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CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE GAUSS - JACOBI
• Critério de parada: O número de iterações; Erro relativo
• Teste de convergência do método: se o sistema linear satisfaz o critério das linhas então o método de Gauss-Jacobi converge.
)1(1
)()1(1)1(
max
maxkini
ki
kinik
x
xxM
kk
kjj
kj
k a
a
a
1
1max 1 knk a
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CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.1
• Avalie a convergência do método de Gauss-Jacobi para o sistema linear abaixo
• Como amáximo = 0,5 < 1, há convergência.
61032857210
321
321
321
xxxxxxxxx
3,01012
1
a 4,0511
2
a 5,01032
3
a
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CÁLCULO NUMÉRICO
Início (ALGORITMO CONVERGÊNCIA) max 0 Para i = 1 até n faça Soma 0 Para j = 1 até n faça Se i j Soma Soma + aij Fim se Fim para Soma Soma /aii Se max < soma max Soma Fim para
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CÁLCULO NUMÉRICO
(ALGORITMO GAUSS JACOBI)Início convergência cont 0 Repetir cont cont + 1; num 0; den 0 Para i = 1 até n faça yi 0 Para j = 1 até n faça Se i j então yi yi + aij * yj Fim para yi (bi - yj )/aij
Se num < yi - xi então num yi - xi Se den < yi então den yi Fim Parax yAté (num/den < e )Fim-Se
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CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
• Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Jacobi com precisão de 0,01.
• Convergência:
• Convergência após mudança de linhas:
• Como amáximo = 0,40 < 1, há convergência.
18516876
18576168
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
9118
1
a
33,0611
1
a 25,0811
2
a 40,0511
3
a
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CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
• Fórmulas de recorrência:• Valores iniciais: x(0) = 0; y(0) = 0; z(0) = 0;
• Iterações:
Primeira:
518;
816;
67 yxzzxyzyx
6000,350018
0000,28
0016
1667,16007
)1(
)1(
)1(
z
y
x
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CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2 Segunda:
Terceira:
9667,25
21667,118
3042,28
6,31667,116
9,06
6,327
)2(
)2(
)2(
z
y
x
9592,253042,29,018
2583,289667,29,016
0562,16
96667,23042,27
)3(
)3(
)3(
z
y
x
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CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2 Quarta:
Quinta:
9371,25
2583,20562,118
2379,28
9592,20562,116
0498,16
9592,22583,27
)4(
)4(
)4(
z
y
x
9425,25
2379,20498,118
2359,28
9371,20498,116
0501,16
9371,22379,27
)5(
)5(
)5(
z
y
x
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CÁLCULO NUMÉRICO
RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram:
A resolução de sistemas lineares: Método direto; Método Iterativo.
Algoritmo do método de Gauss-
Jacobi.