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Métodos Numéricos - Notas de AulaProfa Olga Regina Bellon
Junho 2007
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CI202 - Métodos Numéricos 1
Introdução
Sistemas lineares são sistemas de equações com m equações e n incógnitas formados por equações lineares, normalmente escritos como:
onde, aij : coeficientes 1 i m, 1 j n
xj : incógnitas j = 1, 2, ..., n
bi : constantes i = 1, 2, ..., m
Sistemas LinearesSistemas Lineares
a11 x1a12 x2...a1n x n=b1
a21 x1a22 x2...a2n xn=b2
...............................................am 1 x1am2 x2...amn xn=bm
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CI202 - Métodos Numéricos 2
Para resolver um sistema linear temos que calcular os valores de x
j , j = 1, 2, ... , n, caso
eles existam e satisfaçam as m equações simultaneamente.
Usando notação matricial, o sistema linear pode ser representado por AX = B, onde
é chamada de matriz completa ou matriz aumentada do sistema.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
M={a11 a12 ... a1n b1
a21 a22 ... a2n b2
... ... ... ... ...am1 am2 ... amn bm
}
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CI202 - Métodos Numéricos 3
Sistemas LinearesSistemas Lineares
A={a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...am1 am2 ... amn
}Onde:
é a matriz dos coeficientes,
e são os vetores de incógnitas e constantes, respectivamente.
X={x1
x2
⋮
xn} B={
b1
b2
⋮
bm}
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CI202 - Métodos Numéricos 4
Classificação quanto ao número de soluções
Compatível
determinado (o sistema tem solução única);
indeterminado (o sistema infinitas soluções).
Incompatível
O sistema não admite solução.
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CI202 - Métodos Numéricos 5
Classificação quanto ao número de soluções
Quando todos os termos independentes forem nulos, isto é, se b
i = 0, i = 0, 1, ..., m,
o sistema é dito homogêneo.
Todo sistema homogêneo é compatível, pois admitirá pelo menos a solução trivial (x
j
= 0, j = 0, 1, 2, ..., n).
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CI202 - Métodos Numéricos 6
Métodos Diretos (Algoritmos Diretos)
Um método é dito direto quando a solução exata do sistema linear é obtida realizando-se um número finito de operações aritméticas. São exemplos conhecidos: a Regra de Cramer, o Método da Eliminação de gauss (ou triangulação) e o Método de Jordan.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x
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CI202 - Métodos Numéricos 7
Métodos Diretos (Algoritmos Diretos)
Regra de Cramer
Seja um sistema linear com número de equações igual ao número de incógnitas (um sistema n x n), sendo D o determinante da matriz A, e D
x1, D
x2, D
x3,
..., Dxn
os determinantes das matrizes
obtidas trocando em M, respectivamente, a coluna dos coeficientes de x
1, x
2, x
3, ...,
xn pela coluna dos termos independentes,
temos que:
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CI202 - Métodos Numéricos 8
Regra de Cramer
O sistema S será compatível e terá solução única se, e somente se, D 0. Neste caso a única solução de S é dada por:
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x1=D x1
D, x2=
D x2
D, x3=
D x3
D, ... , xb=
Dxn
D
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CI202 - Métodos Numéricos 9
Regra de Cramer
A aplicação da Regra de Cramer exige o cálculo de n + 1 determinantes ( det A e det A
i, 1 i n);
Para n = 20, o número total de operações efetuadas será 21 * 20! * 19 multiplicações mais um número semelhante de adições.
Um computador que efetue cerca de 100 milhões de multiplicações por segundo levaria 3 x 105 anos para efetuar as operações necessárias.
Portanto, inviável para sistemas muito grandes.
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CI202 - Métodos Numéricos 10
Regra de Cramer
Exemplo 1: Resolva o sistema abaixo:
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x1 3 x2 −2 x3 = 32 x1 −x2 x3 = 124 x1 3 x2 −5 x3 = 6
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CI202 - Métodos Numéricos 11
Regra de Cramer
Calculando os determinantes D, Dx1
, Dx2
e Dx3
temos:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
D={1 3 −22 −1 14 3 −5}=24
D x3={1 3 32 −1 124 3 6 }=96D x2={
1 3 −22 12 14 6 −5}=48
D x1={3 3 −2
12 −1 16 3 −5}=120
Então , x1=D x1
D=120 /24=5, x2=
D x2
D=48/24=2,
e x3=D x3
D=96 /24=4. E a solução do sistema é x : 5,2,4
T .
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CI202 - Métodos Numéricos 12
Regra de Cramer
Exercício : Resolva o sistema abaixo:
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−x1 2 x2 −3 x3 =12
4 x1 5 x2 6 x3 = 8
−7 x1 8 x2 −9 x3 =72
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CI202 - Métodos Numéricos 13
Regra de Cramer
Calculando os determinantes D, Dx1
, Dx2
e Dx3
temos:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
D={−1 2 −34 5 6−7 8 −9}=−120
Dx3={−1 2 1/24 5 8−7 8 7 /2}=−60Dx2={
−1 1/2 −34 8 6−7 7/2 −9}=−120
Dx1={1/2 2 −38 5 6
7 /2 8 −9}=0
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CI202 - Métodos Numéricos 14
Métodos Diretos (Algoritmos Diretos)
Método da Eliminação de Gauss
Consiste em transformar o sistema linear original num outro equivalente com matriz dos coeficientes triangular superior.
Resolução imediata.
Dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem a mesma solução.
O determinante de sistemas lineares equivalentes são iguais.
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CI202 - Métodos Numéricos 15
Método da Eliminação de Gauss
Com (n-1) passos o sistema linear AX = B é transformado num sistema triangular equivalente: UX = C, o qual se resolve facilmente por substituições.
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CI202 - Métodos Numéricos 16
Método da Eliminação de Gauss
Vamos calcular a solução de AX = B em três etapas:
1ª etapa: Matriz Completa
Consiste em escrever a matriz completa ou aumentada do sistema linear original.
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CI202 - Métodos Numéricos 17
Método da Eliminação de Gauss
2ª etapa: Triangulação
Consiste em transformar a matriz A numa matriz triangular superior, mediante uma seqüência de operações elementares nas linhas da matriz.
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CI202 - Métodos Numéricos 18
Método da Eliminação de Gauss
3ª etapa: Retro-substituição
Consiste no cálculo dos componentes x
1, x
2, ..., x
n, solução de AX = B, a partir
da solução do último componente (xn),
e então substitui regressivamente nas equações anteriores.
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CI202 - Métodos Numéricos 19
Método da Eliminação de GaussTeorema: Seja AX = B um sistema linear. Aplicando sobre as equações deste sistema uma seqüência de operações elementares escolhidas entre:
i) Trocar a ordem de duas equações do sistema;
ii) Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula;iii) Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação;
obtem-se um novo sistema UX = C equivalente a AX = B.
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CI202 - Métodos Numéricos 20
Método da Eliminação de Gauss
Resolução de Sistemas Triangulares
Seja o sistema linear AX = B, onde A: matriz n x n, triangular superior, com elementos da diagonal diferentes de zero.
Escrevendo as equações deste sistema, temos:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
a11 x1a12 x2a13 x3...a1n xn=b1
a22 x2a23 x3...a2n xn=b2
a33 x3...a3n xn=b3
⋱ ⋮ann xn=bn
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CI202 - Métodos Numéricos 21
Método da Eliminação de Gauss
Resolução de Sistemas Triangulares
Da última equação temos:
xn-1
pode então ser obtido da penúltima
equação:
e assim sucessivamente obtém-se xn-2
, ..., x2,
e finalmente x1:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
xn=bn
ann
xn−1=bn−1−an−1, n xn
an−1, n−1
x1=b1−a12 x2−a13 x3−...−a1n xn
a11
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CI202 - Métodos Numéricos 22
Método da Eliminação de Gauss
Estratégia de Pivoteamento
O algoritmo para o método de eliminação de Gauss requer o cálculo dos multiplicadores a cada etapa k do processo. Sendo o coeficiente a
kk chamado de pivô.
1) O que acontece se o pivô for nulo?
2) E se o pivô estiver próximo de zero?
Sistemas LinearesSistemas Lineares
mik=−aik
akki=k1,... , n e k=1,2,3, ... , n−1
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CI202 - Métodos Numéricos 23
Método da Eliminação de Gauss
Estratégia de Pivoteamento
1) É impossível trabalhar com um pivô nulo.
2) Um pivô próximo de zero pode resultar em resultados totalmente imprecisos;
as calculadores e computadores efetuam cálculos com precisão finita;pivôs próximo de zero dão origem a multiplicadores bem maiores que a unidade;ampliação dos erros de arredondamento.
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CI202 - Métodos Numéricos 24
Método da Eliminação de Gauss
Estratégia de Pivoteamento
Para se contornar estes problemas deve-se adotar uma estratégia de pivoteamento (escolha da linha e/ou coluna pivotal).
Esta estratégia consiste em:
i) no início da etapa k da fase de escalonamento, escolher para pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes: a
ik, i = k, k+1, ..., n;
ii) trocar as linhas k e i se for necessário.
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CI202 - Métodos Numéricos 25
Método da Eliminação de Gauss
Classificação do Sistema Triangular
Seja U um sistema triangular superior escalonado de m equações e n incógnitas, teremos as seguintes possibilidades:
i) m = n sistema compatível e determinado;
ii) m < n sistema compatível e indeterminado.
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CI202 - Métodos Numéricos 26
Método da Eliminação de Gauss
Classificação do Sistema Triangular
Se durante o escalonamento surgir equações do tipo 0
x1 + 0
x2 + ... + 0
xn = b
m, então:
i) Se bm
= 0, então eliminaremos a
equação e continuamos o escalonamento;
ii) Se bm
0, então conclui-se que o
sistema é incompatível.
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CI202 - Métodos Numéricos 27
Método da Eliminação de Gauss
Exemplo: Resolver o sistema linear:
x1
+ 2x2
-x3
= -4
-x2
+x3
-x4
= 0
-2x1
-x2
+4x3
+2x4
= 7
4x1
+3x2
+x4
= -10
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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CI202 - Métodos Numéricos 28
Método da Eliminação de Gauss
1ª etapa: Matriz completa
Sistemas LinearesSistemas Lineares
M=[1 2 −1 0 ⋮ −40 −1 1 −1 ⋮ 0−2 −1 4 2 ⋮ 74 3 0 1 ⋮ −10 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 29
Método da Eliminação de Gauss
2ª etapa: Triangulação - Escolha do pivô na primeira coluna. E
1 (1ª equação), E
2 (2ª
equação) e assim por diante.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
M=[4 3 0 1 ⋮ −100 −1 1 −1 ⋮ 0−2 −1 4 2 ⋮ 71 2 −1 0 ⋮ −4 ]
Mas 4∈E 4 , logo E1E 4 e E 4 E1 .a11=MAX {∣1∣;∣0∣;∣−2∣;∣4∣}=4a11=MAX {∣a11∣;∣a21∣;∣a31∣;∣a41∣}
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CI202 - Métodos Numéricos 30
Método da Eliminação de Gauss
2ª etapa: Triangulação – zerar os elementos da primeira coluna abaixo da diagonal principal.
O componente x indica o pivô.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
E3E312
E1
E4E 4−14
E1
[⟨4 ⟩ 3 0 1 ⋮ −100 −1 1 −1 ⋮ 00 1/2 4 5 /2 ⋮ 20 5/4 −1 1 /4 ⋮ −3/2 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 31
Método da Eliminação de Gauss
2ª etapa: Triangulação - Escolha do pivô na segunda coluna.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
Mas 5/4∈E4 , logo E2E4 e E4E2 .
a22=MAX {∣−1∣;∣1/2∣;∣5/4∣}=5/4
a22=MAX {∣a22∣;∣a32∣;∣a42∣}
[4 3 0 1 ⋮ −100 5 /4 −1 1/4 ⋮ −3/20 1 /2 4 5 /2 ⋮ 20 −1 1 −1 ⋮ 0 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 32
Método da Eliminação de Gauss
2ª etapa: Triangulação – zerar os elementos da segunda coluna abaixo da diagonal principal.
O componente x indica o pivô.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
E3E3−25
E2 E 4E 445
E2
[4 3 0 1 ⋮ −100 ⟨5/4 ⟩ −1 1 /4 ⋮ −3/20 0 22 /5 13/5 ⋮ 13 /50 0 1 /5 −6 /5 ⋮ −6 /5]
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CI202 - Métodos Numéricos 33
Método da Eliminação de Gauss
2ª etapa: Triangulação - Escolha do pivô na terceira coluna.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
22 /5∈E3 , logo não precisa trocar as linhas.
a33=MAX {∣22 /5∣;∣1/5∣}=22 /5
a33=MAX {∣a33∣;∣a43∣}
[4 3 0 1 ⋮ −100 ⟨5 /4⟩ −1 1 /4 ⋮ −3 /20 0 22 /5 13 /5 ⋮ 13 /50 0 1 /5 −6 /5 ⋮ −6 /5]
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CI202 - Métodos Numéricos 34
Método da Eliminação de Gauss
2ª etapa: Triangulação – zerar os elementos da terceira coluna abaixo da diagonal principal.
O componente x indica o pivô.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
E 4E 4−1
22E 3
[4 3 0 1 ⋮ −100 5/4 −1 1 /4 ⋮ −3 /20 0 ⟨22 /5⟩ 13 /5 ⋮ 13 /50 0 0 −29 /22 ⋮ −29 /22 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 35
Método da Eliminação de Gauss
3ª etapa: Retro-substituição
Da quarta linha temos:
Substituindo x4 na terceira linha temos:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x4=
−2922−2922
=1
x3=
135−
135
x4
225
=0
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CI202 - Métodos Numéricos 36
Método da Eliminação de Gauss3ª etapa: Retro-substituição
Substituindo x4 e x
3na segunda linha
temos:
Substituindo x4, x
3 e x
2 na primeira linha
temos:
A solução deste sistema é:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x2=
−32−−x3−
14
x4
54
=−1
x1=−10−3 x20 x31 x4
4=−2
x :−2,−1,0 ,1.
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CI202 - Métodos Numéricos 37
Método da Eliminação de Gauss
Exercício: Resolver o sistema linear:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x1 −x2 2 x3 = 22 x1 x2 −x3 = 1−2 x1 −5 x2 3 x3 = 3
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CI202 - Métodos Numéricos 38
Método da Eliminação de Gauss
1ª etapa: Matriz completa
Sistemas LinearesSistemas Lineares
M=[1 −1 2 ⋮ 22 1 −1 ⋮ 1−2 −5 3 ⋮ 3]
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CI202 - Métodos Numéricos 39
Método da Eliminação de Gauss
2ª etapa: Triangulação
Onde: E1 (1ª equação), E
2 (2ª equação) e
assim por diante. O componente x indica o pivô.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
[⟨1⟩ −1 2 ⋮ 20 3 −5 ⋮ −30 −7 7 ⋮ 7 ]E2 E2−2 E1
E3E3−−2E1
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CI202 - Métodos Numéricos 40
Método da Eliminação de Gauss
2ª etapa: Triangulação
Sistemas LinearesSistemas Lineares
[1 −1 2 ⋮ 20 ⟨3⟩ −5 ⋮ −3
0 0 −143
⋮ 0 ]E3E3−−73 E2
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CI202 - Métodos Numéricos 41
Método da Eliminação de Gauss
3ª etapa: Retro-substituição
Da terceira linha temos:
Substituindo x3 na segunda linha temos:
Substituindo x3 e x
2 na primeira linha
temos:
A solução deste sistema é:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
−143
x3=0⇒ x3=0
3 x2−50=−3⇒ x2=−1
x1−−12 0=2⇒ x1=1
x :1,−1,0 .
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CI202 - Métodos Numéricos 42
Métodos Diretos (Algoritmos Diretos)
Método de Jordan
Consiste em aplicar operações elementares sobre as equações do sistema linear dado até que se obtenha um sistema diagonal equivalente.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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CI202 - Métodos Numéricos 43
Método de Jordan
Exemplo: Resolver o sistema linear:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x1 −3 x2 4 x3 = 1−2 x1 8 x2 −6 x3 = 23 x1 −5 x2 15 x3 = 5
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CI202 - Métodos Numéricos 44
Método de Jordan
1ª etapa: Matriz completa
Sistemas LinearesSistemas Lineares
M=[1 −3 4 ⋮ 1−2 8 −6 ⋮ 23 −5 15 ⋮ 5]
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CI202 - Métodos Numéricos 45
Método de Jordan
2ª etapa: Diagonalização
E1 (1ª equação), E
2 (2ª equação) e assim
por diante. O componente x indica o pivô.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
E3E312
E1 E4 E 4−14
E1
[⟨1⟩ −3 4 ⋮ 1−2 8 −6 ⋮ 23 −5 15 ⋮ 5 ] [
1 −3 4 ⋮ 10 2 2 ⋮ 40 4 3 ⋮ 2 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 46
Método de Jordan
2ª etapa: Diagonalização
Sistemas LinearesSistemas Lineares
E3E3−2 E2 E1E132
E 2
[1 −3 4 ⋮ 10 ⟨2 ⟩ 2 ⋮ 40 4 3 ⋮ 2 ] [
1 0 7 ⋮ 70 2 2 ⋮ 40 0 −1 ⋮ −6]
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CI202 - Métodos Numéricos 47
Método de Jordan
2ª etapa: Diagonalização
Sistemas LinearesSistemas Lineares
E2 E22 E3 E1E17 E3
[1 0 7 ⋮ 70 2 2 ⋮ 40 0 ⟨−1⟩ ⋮ −6] [
1 0 0 ⋮ −350 2 0 ⋮ −80 0 −1 ⋮ −6 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 48
Método de Jordan
2ª etapa: Diagonalização
Sistemas LinearesSistemas Lineares
E2 12
E2 E3−E3
[1 0 0 ⋮ −350 2 0 ⋮ −80 0 −1 ⋮ −6 ][
1 0 0 ⋮ −350 1 0 ⋮ −40 0 1 ⋮ 6 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 49
Método de Jordan
3ª etapa: Cálculo da solução do sistema
Da primeira linha temos: x1 = -35
Da segunda linha temos: x2 = -4
Da terceira linha temos: x3 = 6
A solução deste sistema é:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x :−35,−4, 6.
[1 0 0 ⋮ −350 1 0 ⋮ −40 0 1 ⋮ 6 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 50
Métodos Iterativos (Algoritmos Iterativos)
Método de Gauss-Jacobi (Algébrico)
Seja o sistema abaixo:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
a11 x1a12 x2...a1n xn=b1
a21 x1a22 x2...a2n xn=b2
⋮
an1 x1an2 x2...ann xn=bn
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CI202 - Métodos Numéricos 51
Método de Gauss-Jacobi (Algébrico)
Pode-se afirmar que o mesmo é convergente, se o sistema estiver na forma diagonalmente dominante, isto é:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
∣a11∣∣a21∣∣a31∣...∣an1∣ ∣a11∣∣a12∣∣a13∣...∣a1n∣
∣a22∣∣a12∣∣a32∣...∣an2∣
⋮
∣ann∣∣a1n∣∣a2n∣...∣an−1n∣
∣a22∣∣a21∣∣a23∣...∣a2n∣ou
∣ann∣∣an1∣∣an2∣...∣ann−1∣
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CI202 - Métodos Numéricos 52
Método de Gauss-Jacobi (Algébrico)
Então, isola-se em cada uma das equações ordenadamente, uma das incógnitas:
onde, x1
(0), x2
(0), ..., xn
(0) são as atribuições
iniciais do método.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x11=
1a11
b1−a12 x20−a13 x3
0−...−a1n xn0
⋮
x21=
1a22
b2−a21 x10−a23 x3
0−...−a2n xn0
xn1=
1ann
bn−an1 x10−an2 x2
0−...−an n−1 xn−10
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CI202 - Métodos Numéricos 53
Método de Gauss-Jacobi (Algébrico)
Condições de parada:
Se para todo | xn
( j ) - xn
( j-1 ) | erro, então
xn
( j ) são as soluções do sistema.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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CI202 - Métodos Numéricos 54
Método de Gauss-Jacobi (Algébrico)
Exemplo: Resolver o sistema abaixo, com 4 decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,2 e x(0) = 1, y(0) = 1,5, z(0) = 0.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
3 x 2 y −z = 82 x −4 y 2 z = −4−x y 5 z = 3
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CI202 - Métodos Numéricos 55
Método de Gauss-Jacobi (Algébrico)
Verificação de convergência
Sistemas LinearesSistemas Lineares
∣a11∣∣a21∣∣a31∣∣3∣∣2∣∣−1∣
∣a22∣∣a12∣∣a32∣∣−4∣∣2∣∣1∣
∣a33∣∣a13∣∣a23∣∣5∣∣−1∣∣2∣
3 x 2 y −z = 82 x −4 y 2 z = −4−x y 5 z = 3
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CI202 - Métodos Numéricos 56
Método de Gauss-Jacobi (Algébrico)
Isolamento das incógnitas
Atribuição inicial
x(0) = 1 y(0) = 1,5 z(0) = 0
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x=13−2 yz8
y=−14−2 x−2 z−4
z=15x−y3
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CI202 - Métodos Numéricos 57
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x1=13−2 y0 z0 8=1
3−2 1,508=1,6667
Método de Gauss-Jacobi (Algébrico)
Iterações
y1=−
14−2 x 0
−2 z0−4=−14−2 1−2 0−4=1,5
z1=15 x0
−y03=1
51−1,53=0,7
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CI202 - Métodos Numéricos 58
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x2=
13−2 1,50,78=5,7
3=1,9
Método de Gauss-Jacobi (Algébrico)
Iterações
| x(2) – x(1) | = 0,23 > erro| y(2) – y(1) | = 0,7 > erro| z(2) – z(1) | = 0,07 < erro
y2=−
14−2 1,6667−2 0,7−4=8,7334
4=2,1833
z2=151,6667−1,53=3,1667
5=0,6333
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CI202 - Métodos Numéricos 59
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x3=
13−2 2,18330,63338= 4,2667
3=1,4222
Método de Gauss-Jacobi (Algébrico)
Iterações
| x(3) – x(2) | = 0,5 > erro| y(3) – y(2) | = 0,08 < erro| z(3) – z(2) | = 0,09 < erro
y3=−14−2 1,9−2 0,6333−4= 9,0666
4=2,2667
z3=151,9−2,18333=2,7167
5=0,5433
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CI202 - Métodos Numéricos 60
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x4=13−2 2,26670,54338= 4,0099
3=1,3366
Método de Gauss-Jacobi (Algébrico)
Iterações
| x(4) – x(3) | = 0,09 < erro| y(4) – y(3) | = 0,3 > erro| z(4) – z(3) | = 0,1 < erro
y4=−14−2 1,4222−2 0,5433−4= 7,931
4=1,9828
z4=151,4222−2,26673=2,1555
5=0,4311
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CI202 - Métodos Numéricos 61
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x5=13−2 1,98280,43118= 4,4655
3=1,4885
Método de Gauss-Jacobi (Algébrico)Iterações
| x(5) – x(4) | = 0,15 < erro| y(5) – y(4) | = 0,10 < erro| z(5) – z(4) | = 0,04 < erro
Solução do sistema: [ 1,4885; 1,8839; 0,4708 ]
y5=−14
−2 1,3366−2 0,4311−4= 7,53544
=1,8839
z5=151,3366−1,98283= 2,3538
5=0,4708
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CI202 - Métodos Numéricos 62
Método de Gauss-Jacobi (Algébrico)
Exercício: Resolver o sistema abaixo, com 4 decimais com arredondamento, erro menor ou igual a 0,01 e soluções iniciais nulas:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
2 x y 6 z = 34 x −2 y z = 2x −5 y −2 z = −4
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CI202 - Métodos Numéricos 63
Métodos Iterativos (Algoritmos Iterativos)
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
Baseado no algoritmo anterior, o método consiste na transformação do algoritmo em um sistema de matriz. Portanto, no algoritmo:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x ik =
1aii
bi− ∑j=1e j≠i
n
aij x jk−1
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CI202 - Métodos Numéricos 64
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
A mesma situação pode ser escrita na forma:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
a11 x1k =b1−a12 x2
k−1−a13 x3
k−1−...−a1n xn
k−1
a22 x2k =b2−a21 x1
k−1−a23 x3
k−1−...−a2n xn
k−1
ann xnk =bn−an 1 x1
k−1−an2 x2
k−1−...−ann−1 xn−1
k−1
⋮
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CI202 - Métodos Numéricos 65
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
Sendo A a matriz dos coeficientes, onde A = D + I + S, no qual D é a matriz diagonal, I a matriz inferior e S a matriz superior, a expressão anterior poderá ser reescrita na forma:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
D X k =B−SI X k−1
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CI202 - Métodos Numéricos 66
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
Multiplicando ambos os temos pela matriz inversa da diagonal, temos:
onde:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
D−1 D X k=D−1 B−D−1SI X k−1
X k =−D−1SI X k−1D−1 B
X k =J X k−1EJ=−D−1SI E=D−1 B
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CI202 - Métodos Numéricos 67
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
Exemplo: Obter a solução do sistema abaixo, com 4 decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,02. Admitir solução inicial nula.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
10 x 2 y z = 7x 5 y z = −8
2 x 3 y 10 z = 6
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CI202 - Métodos Numéricos 68
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
Verificação de convergência
Sistemas LinearesSistemas Lineares
∣a11∣∣a21∣∣a31∣∣10∣∣1∣∣2∣
∣a22∣∣a12∣∣a32∣∣5∣∣2∣∣3∣
∣a33∣∣a13∣∣a23∣∣10∣∣1∣∣1∣
10 x 2 y z = 7x 5 y z = −8
2 x 3 y 10 z = 6
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CI202 - Métodos Numéricos 69
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
Obtenção do Algoritmo
Sistemas LinearesSistemas Lineares
I=[0 0 01 0 02 3 0 ] S=[
0 2 10 0 10 0 0 ] D=[
10 0 00 5 00 0 10 ]
D−1=[
1/10 0 00 1 /5 00 0 1 /10 ] B=[
7−86 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 70
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
Obtenção do Algoritmo
Então,
Sistemas LinearesSistemas Lineares
J=−D−1SI
[−1/10 0 0
0 −1/5 00 0 −1/10 ]∗[
0 2 11 0 12 3 0 ]
[0 −1/5 −1/10
−1/5 0 −1 /5−1/5 −3/10 0 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 71
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
Obtenção do Algoritmo
Sistemas LinearesSistemas Lineares
E=D−1 B
[1/10 0 0
0 1/5 00 0 1/10 ]∗[
7−86 ]=[
7/10−8/53/5 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 72
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
Obtenção do Algoritmo
Então:
Atribuição inicial
x(0) = 0 y(0) = 0 z(0) = 0
Sistemas LinearesSistemas Lineares
X k =[0 −1/5 −1/10
−1/5 0 −1/5−1/5 −3/10 0 ]∗X k−1[
7/10−8/53/5 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 73
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x1=−0,2 0−0,100,7=0,7
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
Iterações
y1=−0,2 0−0,2 0−1,6=−1,6
z1=−0,20 −0,300,6=0,6
X k =[
0 −1/5 −1/10−1/5 0 −1/5−1/5 −3/10 0 ]∗X k−1
[7/10−8/53/5 ]
X1=[
0,7−1,60,6 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 74
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x2 =−0,2 −1,6−0,10,60,7=0,96
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
Iterações
| x(2) – x(1) | = 0,3 > erro
| y(2) – y(1) | = 0,3 > erro
| z(2) – z(1) | = 0,3 > erro
y2=−0,2 0,7−0,2 0,6−1,6=−1,86
z2=−0,2 0,7−0,3−1,60,6=0,94
X k =[
0 −1 /5 −1/10−1/5 0 −1 /5−1/5 −3/10 0 ]∗X k−1
[7/10−8/53/5 ]
X 2=[
0,96−1,860,94 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 75
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x3=−0,2 −1,86−0,10,940,7=0,978
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
Iterações
| x(3) – x(2) | = 0,018 < erro
| y(3) – y(2) | = 0,1 > erro
| z(3) – z(2) | = 0,03 > erro
y3=−0,2 0,96−0,2 0,94−1,6=−1,98
z3=−0,2 0,96−0,3−1,860,6=0,966
X k =[
0 −1 /5 −1/10−1/5 0 −1 /5−1/5 −3/10 0 ]∗X k−1
[7/10−8/53/5 ]
X3=[
0,978−1,980,966 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 76
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x4=−0,2 −1,98−0,10,9660,7=0,9994
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
Iterações
| x(4) – x(3) | = 0,021 > erro
| y(4) – y(3) | = 0,01 < erro
| z(4) – z(3) | = 0,03 > erro
y4=−0,2 0,978−0,2 0,966−1,6=−1,9898
z4=−0,2 0,978−0,3 −1,980,6=0,9984
X k =[
0 −1 /5 −1/10−1/5 0 −1 /5−1/5 −3/10 0 ]∗X k−1
[7/10−8/53/5 ]
X4 =[
0,9994−1,98980,9984 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 77
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x5=−0,2 −1,9898−0,10,99840,7=0,9981
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
Iterações
| x(5) – x(4) | = 0,001 < erro| y(5) – y(4) | = 0,01 < erro| z(5) – z(4) | = 0,001 < erro
Solução do sistema: [ 0,9981; -1,9996; 0,9971 ]
y5=−0,2 0,9994−0,2 0,9984−1,6=−1,9996
z5=−0,2 0,9994−0,3 −1,98980,6=0,9971
X k =[
0 −1 /5 −1/10−1/5 0 −1 /5−1/5 −3/10 0 ]∗X k−1
[7/10−8/53/5 ]
X 5=[0,9981−1,99960,9971 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 78
Método de Gauss-Jacobi (Matricial)
Exercício: Obter a solução do sistema abaixo, com 4 decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,05. Admitir solução inicial nula.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
5 x y z = 63 x 4 y z = 133 x 3 y 6 z = 0
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CI202 - Métodos Numéricos 79
Métodos Iterativos (Algoritmos Iterativos)
Método de Gauss-Seidel (Algébrico)
Derivado do método de Gauss-Jacobi, este método utiliza a cada iteração os valores já prontos na própria iteração, para tentar assegurar convergência mais rápida, ou seja:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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CI202 - Métodos Numéricos 80
Método de Gauss-Seidel (Algébrico)
Sistemas LinearesSistemas Lineares
∣ann∣≥∣an1∣∣an2∣. . .∣an n−1∣
x1k =
1a11
b1−a12 x2k−1−a13 x3
k−1−a14 x4k−1−...−a1n xn
k−1
⋮
x2k =
1a22
b2−a21 x1k −a23 x3
k−1−a24 x4k−1−...−a2n xn
k−1
xnk =
1ann
bn−an 1 x1k −an2 x2
k −an3 x3k −...−ann−1 xn−1
k
x3k =
1a33
b3−a31 x1k −a32 x2
k −a34 x4k−1−...−a3n xn
k−1
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CI202 - Métodos Numéricos 81
Método de Gauss-Seidel (Algébrico)
Portanto, o algoritmo do método pode ser expresso por:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x ik =
1aii
bi− ∑j=1e j≠i
n
aij x jk i j ,k−1 i j
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CI202 - Métodos Numéricos 82
Método de Gauss-Seidel (Algébrico)
Condições de parada:
Se para todo | xn
( j ) - xn
( j-1 ) | erro, então
xn
( j ) são as soluções do sistema.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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CI202 - Métodos Numéricos 83
Método de Gauss-Seidel (Algébrico)
Exemplo: Resolver o sistema abaixo, com 4 decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,2 e x(0) = 1, y(0) = 1,5, z(0) = 0.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
3 x 2 y −z = 82 x −4 y 2 z = −4−x y 5 z = 3
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CI202 - Métodos Numéricos 84
Método de Gauss-Seidel (Algébrico)
Verificação de convergência
Sistemas LinearesSistemas Lineares
∣a11∣∣a21∣∣a31∣∣3∣∣2∣∣−1∣
∣a22∣∣a12∣∣a32∣∣−4∣∣2∣∣1∣
∣a33∣∣a13∣∣a23∣∣5∣∣−1∣∣2∣
3 x 2 y −z = 82 x −4 y 2 z = −4−x y 5 z = 3
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CI202 - Métodos Numéricos 85
Método de Gauss-Seidel (Algébrico)
Isolamento das incógnitas
Atribuição inicial
x(0) = 1 y(0) = 1,5 z(0) = 0
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x=13−2 yz8
y=−14−2 x−2 z−4
z=15x−y3
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CI202 - Métodos Numéricos 86
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x1=13−2 y0z08=1
3−2 1,508=1,6667
Método de Gauss-Seidel (Algébrico)
Iterações
y1=−14−2 x1−2 z0−4=−
14−2 1,6667−20−4=1,8334
z1=15x1−y13=1
51,6667−1,83343=0,5667
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CI202 - Métodos Numéricos 87
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x2=13−2 1,66670,56678=5,2333
3=1,7444
Método de Gauss-Seidel (Algébrico)
Iterações
| x(2) – x(1) | = 0,08 < erro = 0,2| y(2) – y(1) | = 0,3 > erro = 0,2| z(2) – z(1) | = 0,05 < erro = 0,2
y2=−14−2 1,7444−2 0,5667−4=8,6222
4=2,1556
z2=151,7444−2,15563=2,5888
5=0,5178
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CI202 - Métodos Numéricos 88
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x3=13−2 2,15560,51788= 4,2066
3=1,4022
Método de Gauss-Seidel (Algébrico)
Iterações
| x(3) – x(2) | = 0,3 > erro = 0,2| y(3) – y(2) | = 0,19 < erro = 0,2| z(3) – z(2) | = 0,03 < erro = 0,2
y3=−
14−2 1,4022 −2 0,5178−4= 7,84
4=1,96
z3=151,4022−1,963= 2,4422
5=0,4884
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CI202 - Métodos Numéricos 89
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x4=13−2 1,960,48848= 4,5684
3=1,5228
Método de Gauss-Seidel (Algébrico)Iterações
| x(4) – x(3) | = 0,1 < erro = 0,2| y(4) – y(3) | = 0,05 < erro = 0,2| z(4) – z(3) | = 0,02 < erro = 0,2Solução do sistema: [ 1,5228; 2,0056; 0,5034 ]
y4=−14−2 1,5228−2 0,4884−4=8,0224
4=2,0056
z4=151,5228−2,00563= 2,5172
5=0,5034
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CI202 - Métodos Numéricos 90
Método de Gauss-Seidel (Algébrico)
Exercício: Obter a solução do sistema abaixo, com 4 decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,02. Admitir solução inicial nula.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x y 10 z = 1210 x y z = 12
x 10 y z = 12
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CI202 - Métodos Numéricos 91
Métodos Iterativos (Algoritmos Iterativos)
Método de Gauss-Seidel (Matricial)
Seja o sistema abaixo:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
a11 x1k =b1−a12 x2
k−1−a13 x3
k−1−...−a1n xn
k−1
a22 x2k =b2−a21 x1
k −a23 x3
k−1−...−a2n xn
k−1
ann xnk =bn−an 1 x1
k −an2 x2
k −...−ann−1 xn−1
k
⋮
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CI202 - Métodos Numéricos 92
Método de Gauss-Seidel (Matricial)
Pode ser representado na forma matricial:
Multiplicando ambos os membros pela inversa de ( D + I ), temos:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
D X k =B−I X k −S X k−1DI X k =B−S X k−1
DI −1DI X k =DI −1 B−DI −1 S X k−1
X k =−DI −1 S X k−1DI −1 B
X k =G X k−1F
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CI202 - Métodos Numéricos 93
Método de Gauss-Seidel (Matricial)
Onde,
Sistemas LinearesSistemas Lineares
X k =G X k−1F
G=−DI −1 S
F=DI −1 B
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CI202 - Métodos Numéricos 94
Método de Gauss-Seidel (Matricial)
Exemplo: Obter a solução do sistema abaixo, com 4 decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,02. Admitir solução inicial nula.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
10 x 2 y z = 7x 5 y z = −8
2 x 3 y 10 z = 6
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CI202 - Métodos Numéricos 95
Método de Gauss-Seidel (Matricial)
Verificação de convergência
Sistemas LinearesSistemas Lineares
∣a11∣∣a21∣∣a31∣∣10∣∣1∣∣2∣
∣a22∣∣a12∣∣a32∣∣5∣∣2∣∣3∣
∣a33∣∣a13∣∣a23∣∣10∣∣1∣∣1∣
10 x 2 y z = 7x 5 y z = −8
2 x 3 y 10 z = 6
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CI202 - Métodos Numéricos 96
Método de Gauss-Seidel (Matricial)
Obtenção do Algoritmo
Sistemas LinearesSistemas Lineares
I=[0 0 01 0 02 3 0 ]
S=[0 2 10 0 10 0 0 ]
D=[10 0 00 5 00 0 10 ]
B=[7−86 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 97
Método de Gauss-Seidel (Matricial)
Obtenção do Algoritmo
Então,
Sistemas LinearesSistemas Lineares
[−1/10 0 01/50 −1/5 0
13/500 3/50 −1/10 ]∗[0 2 10 0 10 0 0 ]
[0 −1/5 −1 /100 1 /25 −9 /500 13/250 43 /500 ]
G=−DI −1 S
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CI202 - Métodos Numéricos 98
Método de Gauss-Seidel (Matricial)
Obtenção do Algoritmo
Sistemas LinearesSistemas Lineares
[1/10 0 0−1/50 1/5 0−13/500 −3/50 1/10 ]∗[
7−86 ]=[
7/10−87/50449/500 ]
F=DI −1 B
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CI202 - Métodos Numéricos 99
Método de Gauss-Seidel (Matricial)
Obtenção do Algoritmo
Então:
Atribuição inicial
x(0) = 0 y(0) = 0 z(0) = 0
Sistemas LinearesSistemas Lineares
X k =[
0 −0,2 −0,10 0,04 −0,180 0,052 0,086 ]∗X k−1
[0,7
−1,740,898 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 100
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x1=−0,2 0−0,100,7=0,7
Método de Gauss-Seidel (Matricial)
Iterações
y1=0,04 0−0,180−1,74=−1,74
z1=0,052 00,086 00,898=0,898
X1=[
0,7−1,740,898 ]
X k =[
0 −0,2 −0,10 0,04 −0,180 0,052 0,086 ]∗X k−1
[0,7
−1,740,898 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 101
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x2 =−0,2 −1,74−0,10,8980,7=0,9582
Método de Gauss-Seidel (Matricial)
Iterações
| x(2) – x(1) | = 0,2 > erro| y(2) – y(1) | = 0,2 > erro| z(2) – z(1) | = 0,01 < erro
y2=0,04 −1,74−0,18 0,898−1,74=−1,9712
z2=0,052 −1,740,086 0,8980,898=0,8847
X2 =[
0,9582−1,97120,8847 ]
X k =[0 −0,2 −0,10 0,04 −0,180 0,052 0,086 ]∗X k−1[
0,7−1,740,898 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 102
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x3=−0,2 −1,9712−0,10,88470,7=1,0058
Método de Gauss-Seidel (Matricial)
Iterações
| x(3) – x(2) | = 0,04 > erro| y(3) – y(2) | = 0,007 < erro| z(3) – z(2) | = 0,01 < erro
y3=0,04 −1,9712−0,180,8847−1,74=−1,9781
z3=0,052 −1,97120,086 0,88470,898=0,8716
X3=[
1,0058−1,97810,8716 ]
X k =[0 −0,2 −0,10 0,04 −0,180 0,052 0,086 ]∗X k−1[
0,7−1,740,898 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 103
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x4=−0,2 −1,9781−0,10,87160,7=1,0085
Método de Gauss-Seidel (Matricial)
Iterações
| x(4) – x(3) | = 0,002 < erro| y(4) – y(3) | = 0,002 < erro| z(4) – z(3) | = 0,001 < erro
Solução do sistema: [ 1,0085; -1,9760; 0,8701 ]
y4=0,04 −1,9781−0,180,8716−1,74=−1,9760
z4=0,052 −1,97810,086 0,87160,898=0,8701
X 4 =[1,0085−1,97600,8701 ]
X k =[0 −0,2 −0,10 0,04 −0,180 0,052 0,086 ]∗X k−1[
0,7−1,740,898 ]
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CI202 - Métodos Numéricos 104
Método de Gauss-Seidel (Matricial)
Exercício: Obter a solução do sistema abaixo, com 4 decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,02. Admitir solução inicial nula.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
x y = 3x −3 y = −3
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CI202 - Métodos Numéricos 105
Métodos Iterativos (Algoritmos Iterativos)
Método de Relaxação
Seja o sistema abaixo:
Sistemas LinearesSistemas Lineares
a11 x1a12 x2...a1n xn=b1
a21 x1a22 x2...a2n xn=b2
⋮
an 1 x1an2 x2...ann xn=bn
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CI202 - Métodos Numéricos 106
Método de Relaxação
Se substituirmos valores as variáveis x1, x
2, ..., x
n:
obteremos os valores r1, r
2, ..., r
n, que são
chamados de resíduos.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
a11 x1a12 x2...a1n xn−b1=r1
a21 x1a22 x2...a2n xn−b2=r2
⋮
an 1 x1an2 x2...ann xn−bn=r n
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CI202 - Métodos Numéricos 107
Método de Relaxação
Depois de atribuir valores a x1, x
2, ..., x
n:
Procure a equação mais errada de todas;
Tente ver nessa equação a incógnita mais responsável pelo erro;
Passa a ser considerada a única responsável pelo erro;
Ache o valor dessa incógnita responsável;
Repita o processo com a segunda equação mais errada e assim por diante.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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CI202 - Métodos Numéricos 108
Método de Relaxação
Exemplo: Obter a solução do sistema abaixo, com 4 decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,1.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
10 x 2 y z = 7x −15 y z = 32
2 x 3 y 10 z = 6
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CI202 - Métodos Numéricos 109
Método de Relaxação
10x + 2y +z -7 = 0
x -15y +z -32 = 0
2x +3y +10z -6 = 0
Substituindo no sistema os valores (0,0,0) para (x,y,z), obtém-se:
r1 = -7, r
2 = -32 e r
3 = -6, que são chamados
de resíduos.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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CI202 - Métodos Numéricos 110
Método de Relaxação
Analisando os módulos dos resíduos, verifica-se que r
2 é o maior resíduo, portanto deve-se
tentar diminui-lo a partir da análise do maior responsável na sua equação.
Analisando a equação 2: x – 15y + z – 32 = 0, verifica-se que o coeficiente de y é o maior em módulo, logo, deve-se manter os valores iniciais de x e z (0,0) para se obter o valor de y que anula a equação. Portanto:
0 – 15y + 0 – 32 = 0 y = -2,1333, que será o novo valor de y.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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CI202 - Métodos Numéricos 111
Método de Relaxação
2ª tentativa: Substituindo a trinca (0; -2,1333; 0) no sistema original, obtem-se: r
1 = -11,2666, r
2
= -0,0005 e r3 = 0,3999, onde r
1 é em módulo o
maior resíduo.
Analisando a equação 1: 10x + 2y + z -7 = 0, verifica-se que x é em módulo o maior responsável pelo resíduo, então substitui-se na equação a dupla (-2,1333 ; 0) em y e z respectivamente para obter o valor de x que anula a expressão. Portanto:
10x + 2(-2,1333) + 0 – 7 = 0 x = 1,1267, que será o novo valor de x.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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CI202 - Métodos Numéricos 112
Método de Relaxação
O processo deve ser repetido até que o módulo de todos os resíduos sejam inferiores ou iguais ao erro estipulado.
3ª tentativa: trinca (1,1267; -2,1333; 0) resulta nos resíduos: r
1 = 0,0004, r
2 = 1,1262 e r
3 =
-10,1465. Onde, r2
e r3
> erro = 0,1 e r3
é o
maior resíduo.
Verifica-se na equação 3 que z é o maior responsável pelo erro, logo:
2(1,1267) + 3(-2,1333) + 10z – 6 = 0 z = 1,0147, que será o novo valor de z.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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CI202 - Métodos Numéricos 113
Método de Relaxação
4ª tentativa: trinca (1,1267; -2,1333; 1,0147) resulta nos resíduos: r
1 = 1,0141, r
2 = 2,1409 e
r3 = 0,0005. Onde, r
1 e r
2 > erro = 0,1 e r
2 é o
maior resíduo.
Verifica-se na equação 2 que y é o maior responsável pelo erro, logo:
1,1267 -15y + 1,0147 – 32 = 0 y = -1,9906, que será o novo valor de y.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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CI202 - Métodos Numéricos 114
Método de Relaxação
5ª tentativa: trinca (1,1267; -1,9906; 1,0147) resulta nos resíduos: r
1 = 1,3005, r
2 = 0,0004 e
r3 = 0,4286. Onde, r
1 e r
3 > erro = 0,1 e r
1 é o
maior resíduo.
Verifica-se na equação 1 que x é o maior responsável pelo erro, logo:
10x + 2(-1,9906) + 1,0147 - 7 = 0 x = 0,9967, que será o novo valor de x.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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CI202 - Métodos Numéricos 115
Método de Relaxação
6ª tentativa: trinca (0,9967; -1,9906; 1,0147) resulta nos resíduos: r
1 = 0,0005, r
2 = -0,1296 e
r3 = 0,1686. Onde, r
2 e r
3 > erro = 0,1 e r
3 é o
maior resíduo.
Verifica-se na equação 3 que z é o maior responsável pelo erro, logo:
2(0,9967) + 3(-1,9906) + 10z - 6 = 0 z = 0,9978, que será o novo valor de z.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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CI202 - Métodos Numéricos 116
Método de Relaxação
7ª tentativa: trinca (0,9967; -1,9906; 0,9978) resulta nos resíduos: r
1 = 0,0164, r
2 = 0,1465 e
r3 = 0,0004. Onde, r
2 > erro = 0,1 e r
2 é o maior
resíduo.
Verifica-se na equação 2 que y é o maior responsável pelo erro, logo:
0,9967 – 15y + 0,9978 - 32 = 0 y = -2,0004, que será o novo valor de y.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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CI202 - Métodos Numéricos 117
Método de Relaxação
8ª tentativa: trinca (0,9967; -2,0004; 0,9978) resulta nos resíduos: r
1 = -0,036, r
2 = 0,0005 e r
3
= 0,0298. Onde, r1 , r
2 e r
3 < erro = 0,1.
Então: (0,9967; -2,0004; 0,9978) é a solução do sistema.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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CI202 - Métodos Numéricos 118
Método de Relaxação
Exercício: Obter a solução do sistema abaixo, com 4 decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,1.
(1,9092; 3,1950; 5,0448) é a solução do sistema.
Sistemas LinearesSistemas Lineares
4 x 0,24 y −0,08 z = 80,09 x 3 y −0,15 z = 90,04 x −0,08 y 4 z = 20