caŁka nieoznaczona - oldimif.utp.edu.ploldimif.utp.edu.pl/jjanusz/mi_09_calkinieo.pdf · dla n = 0...
TRANSCRIPT
Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna).
DEFINICJA.Niech f bedzie funkcja określona w pewnym przedziale I .Całka nieoznaczona funkcji f (x) nazywamy każdąfunkcje F (x) różniczkowalna w I i spełniajaca dla każdego x ∈ Iwarunek
[F (x)]′ = f (x).
Piszemy:
F (x) =
∫f (x)dx .
Mówimy, że f jest całkowalna w I .
CAŁKA NIEOZNACZONA
∫f (x)dx = F (x)⇔ F ′(x) = f (x)
UWAGA.Znajac jedna całke F funkcji f otrzymamy wszystkie pozostałe:∫
f (x)dx = F (x) + C .
PRZYKŁAD. ∫1 dx = x + C , ponieważ x ′ = 1
∫cos x dx = sin x + C , ponieważ (sin x)′ = cos x .
TWIERDZENIE. Każda funkcja ciagła jest całkowalna.
CAŁKA NIEOZNACZONA
∫f (x)dx = F (x)⇔ F ′(x) = f (x)
PODSTAWOWE WZORY (część pierwsza)
Całkowanie odnosi sie do tych przedziałów, w których funkcjepodcałkowe sa określone.
∫xadx =
1a+ 1
xa+1 + C dla a 6= −1
∫1xdx = ln |x |+ C
∫exdx = ex + C
CAŁKA NIEOZNACZONA
PODSTAWOWE WZORY (część pierwsza)
∫axdx =
ax
ln a+ C
∫sin xdx = − cos x + C
∫cos xdx = sin x + C
∫1
cos2 xdx = tg x + C
CAŁKA NIEOZNACZONA
PODSTAWOWE WZORY (część pierwsza)
∫1
sin2 xdx = −ctg x + C
∫1
1 + x2dx = arctg x + C = −arcctg x + K
∫1√
1− x2dx = arc sin x + C = − arc cos x + K
CAŁKA NIEOZNACZONA
∫f (x)dx = F (x)⇔ F ′(x) = f (x) WŁASNOŚCI
∫[f (x)± g(x)]dx =
∫f (x)dx ±
∫g(x)dx
∫λf (x)dx = λ
∫f (x)dx
∫f ′(x)dx = f (x) + C
[∫f (x)dx
]′= f (x)
CAŁKA NIEOZNACZONA
CAŁKOWANIE PRZEZ CZEŚCI
∫u(x)v ′(x)dx = u(x)v(x)−
∫u′(x)v(x)dx
Zakładamy tu, że funkcje u(x) i v(x) maja ciagłe pochodne.
Wyprowadzenie wzoru:
(uv)′ = u′v + uv ′∫(uv)′dx =
∫(u′v + uv ′)dx
uv =
∫u′vdx +
∫uv ′dx∫
uv ′dx = uv −∫
u′vdx
CAŁKA NIEOZNACZONA
∫u(x)v ′(x)dx = u(x)v(x)− ∫
u′(x)v(x)dx
CAŁKOWANIE PRZEZ CZEŚCI
PRZYKŁAD:
∫xexdx =
∣∣u=x v ′=ex
u′=1 v=ex
∣∣ = xex −∫
1 · exdx = xex − ex + C
PRZYKŁAD:∫x2 · ln xdx =
∣∣u=ln x v ′=x2
u′= 1x
v= 13 x3
∣∣ = ln x · 13x3 −
∫1x· 1
3x3dx
13x3 ln x − 1
3
∫x2dx =
13x3 ln x − 1
9x3 + C
CAŁKA NIEOZNACZONA
∫u(x)v ′(x)dx = u(x)v(x)− ∫
u′(x)v(x)dx
PRZYKŁAD: ∫ex cos xdx =
∣∣u=ex v ′=cos xu′=ex v=sin x
∣∣= exsin x −
∫ex · sin xdx =
∣∣u=ex v ′=sin xu′=ex v=− cos x
∣∣= ex sin x −
[ex(− cos x)−
∫ex · (− cos x)dx
]= ex sin x + ex cos x −
∫ex cos xdx
2∫
ex cos xdx = ex sin x + ex cos x + C1
∫ex cos xdx =
12ex sin x +
12ex cos x + C
CAŁKA NIEOZNACZONA
∫u(x)v ′(x)dx = u(x)v(x)− ∫
u′(x)v(x)dx
PRZYKŁAD: ∫ex cos xdx =
∣∣u=ex v ′=cos xu′=ex v=sin x
∣∣= exsin x −
∫ex · sin xdx =
∣∣u=ex v ′=sin xu′=ex v=− cos x
∣∣= ex sin x −
[ex(− cos x)−
∫ex · (− cos x)dx
]= ex sin x + ex cos x −
∫ex cos xdx
2∫
ex cos xdx = ex sin x + ex cos x + C1
∫ex cos xdx =
12ex sin x +
12ex cos x + C
CAŁKA NIEOZNACZONA
CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE
∫f (x)dx =
∫f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt, gdzie x = ϕ(t).
Zakładamy tu, że funkcja ϕ : (α, β)→ (a, b) ma ciagłapochodna ϕ′ oraz że funkcja f : (a, b)→ R jest ciagła.
Wyprowadzenie wzoru:
Niech F (x) =∫f (x)dx (oznacza to, że [F (x)]′ = f (x)).
Funkcja złożona F [ϕ(t)] ma pochodna (wzgledem t){F [ϕ(t)]
}′= F ′[ϕ(t)]ϕ′(t) = f [ϕ(t)]ϕ′(t).
Zatem, ∫f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt = F [ϕ(t)] = F (x) =
∫f (x)dx .
CAŁKA NIEOZNACZONA
CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE
∫f (x)dx =
∫f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt, gdzie x = ϕ(t).
PRZYKŁAD. ∫1
4 + x2dx =
∣∣x=2t ϕ(t)=2tϕ′(t)=2 dx=2dt
∣∣=
∫1
4 + (2t)2· 2dt = 2
4
∫1
1 + t2dt
=12arctgt + C =
12arctg
x
2+ C
CAŁKA NIEOZNACZONA
CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE
Obserwacja. Jeśli x = ϕ(t), to dx zamieniamy na ϕ′(t)dt. Gdy funkcjax = ϕ(t) ma funkcję odwrotną t = ϕ−1(x) (oznaczmy ją przez ψ(x)),to, jak wiemy z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej,ψ′(x) = 1
ϕ′(t) . Skoro dx = ϕ′(t)dt, więc dt = 1ϕ′(t)dx = ψ′(x)dx .
Zatem jeśli t = ψ(x), to zamieniamy dt na ψ′(x)dx .
PRZYKŁAD.
∫x sin
(110x2 + 7
)dx =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
t = 110x2 + 7
ψ(x) = 110x2 + 7
ψ′(x) = 15x
dt = ψ′(x)dxdt = 1
5xdx5dt = xdx
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∫
sin t · 5dt = −5 cos t + C = −5 cos(110x2 + 7
)+ C
CAŁKA NIEOZNACZONA
CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE
Zazwyczaj stosujemy zapis:
PRZYKŁAD.
∫x sin
(110x2 + 7
)dx =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣110x2 + 7 = t( 1
10x2 + 7
)′xdx = (t)′tdt
15xdx = dtxdx = 5dt
∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∫
sin t · 5dt = −5 cos t + C = −5 cos(110x2 + 7
)+ C
CAŁKA NIEOZNACZONA
CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE
PRZYKŁAD.
∫x3√x4 + 1dx =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
podstawiamy :√x4 + 1 = tczyli :
x4 + 1 = t2
(x4 + 1)′xdx = (t2)′tdt4x3dx = 2tdtx3dx = 1
2 tdt
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∫t · 12 tdt =
12
∫t2dt = 1
2 ·13 t3 + C = 1
6
(√x4 + 1
)3+ C
CAŁKA NIEOZNACZONA
PODSTAWOWE WZORY (cześć druga).Wyprowadzenie na wykładzie.
∫g ′(x)
g(x)dx = ln |g(x)|+ C∫
ln xdx = x ln x − x + C∫tg xdx = − ln | cos x |+ C∫ctg xdx = ln | sin x |+ C
CAŁKA NIEOZNACZONA
PODSTAWOWE WZORY (cześć druga).Wyprowadzenie na wykładzie.
∫dx
x2 + q2=
1qarctg
x
q+ C
∫dx
x2 − q2=
12q
ln∣∣∣∣x − q
x + q
∣∣∣∣+ C∫arc sin x dx = x arc sin x +
√1− x2 + C∫
arctg x dx = xarctg x − 12
ln(1 + x2) + C
CAŁKA NIEOZNACZONA
Uzasadnienie ostatniego wzoru
∫arctgxdx =
∫1 · arctgxdx
=∣∣u=arctgx v ′=1u′= 1
1+x2v=x
∣∣= arctgx · x −
∫1
1 + x2· xdx
= xarctgx − 12
∫2x
1 + x2dx
= xarctgx − 12
ln |1 + x2|+ C
CAŁKA NIEOZNACZONA
PODSTAWOWE WZORY (cześć druga).Wyprowadzenie na wykładzie.
∫dx√−x2 + q
= arc sinx√q+ C
∫dx√x2 + q
= ln |x +√x2 + q|+ C
∫ √−x2 + q dx =
12x√−x2 + q +
12q arc sin
x√q+ C
∫ √x2 + q dx =
12x√x2 + q +
12q ln |x +
√x2 + q|+ C∫
sin2 x dx =12x − 1
4sin 2x + C∫
cos2 x dx =12x +
14
sin 2x + C
CAŁKA NIEOZNACZONA