campo magnetico e forza di lorentz (ii)
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Campo magnetico e
forza di Lorentz (II)
Moto di particelle cariche in un campo magnetico
Leggi elementari di Laplace
Principio di equivalenza di Ampere
![Page 2: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/2.jpg)
Moto di una particella carica
in un campo magnetico
vF q B vdp
q Bdt
vv
dm q B
dt (per v << c)
vv
d
dt
qB
m
precessione intorno a B
con velocita` angolare
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Moto di una particella carica
Supponiamo il campo magnetico ortogonale al
piano del moto
v B
F
Non compie lavoro
Forza centripeta
2v
F vm q BR
vR m
qB
p
qB
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Moto di una particella carica
Supponiamo il campo magnetico ortogonale al
piano del moto
v B
F
Non compie lavoro
Forza centripeta
2v
F vm q BR
senza correzioni
relativistiche2 2 2
v
R mT
qB
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Moto di una particella carica
Se la velocità ha componente non nulla
nella direzione di B, il percorso e`
elicoidale
Il passo dell’elica e` determinato dalla
componente della velocita` parallela al
campo magnetico
Se la carica e` positiva, il moto – dalla
punta del campo magnetico appare
orario (antiorario se q<0)
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Filo conduttore percorso da
corrente elettrica (con B)
Moto degli elettroni di conduzione
vD
J ne
Su ciascun elettrone si esercita la forza
ve D
F e B
Filo indeformabile: la forza e` trasmessa alla
massa del filo attraverso l’interazione (urto)
degli elettroni con il reticolo cristallino
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Filo conduttore percorso da
corrente elettrica (con B)
Su un tratto di conduttore di sezione A e lungheza dl sono contenuti elettroni
eAddF n Fl
Orientando il filo (dl) come la densita` di
corrente e scrivendo AJ=i, si ottiene:
dF idl B seconda legge elementare di Laplace
(approssimazione: si considera B
costante sulla sezione del filo)
nAdl
vD
n eAdl B BAdlJ
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Filo conduttore percorso da
corrente elettrica (con B)
Su un filo di lunghezza finita con estremi A, B si esercita la forza:
B
A
F i dl B
Forza perpendicolare al filo e al campo
magnetico, orientata secondo la regola della vite
destrorsa
E` un espediente di calcolo, un tratto infinitesimo di filo
percorso da corrente non e` fisicamente realizzabile (un loop si)
Forza come risultante di contributi
elementari
Applicata al centro di massa
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Filo conduttore percorso da
corrente elettrica (con B)
Filo rettilineo
B B
A A
F i dl B i dl B
Il modulo del campo e` costante
L’angolo q tra il campo e il filo e` costante
F il B sinF ilB q
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Filo conduttore percorso da
corrente elettrica (con B)
Filo su un piano
( )
B B
x y
A A
F i dl B i dxe dye B
( )x y
i xe ye B i AB B
La forza su un filo che giace in un piano dipende solo dalla
posizione dei suoi estremi
Se il filo e` chiuso la forza e` nulla (gli estremi coincidono
AB=0)
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Esempio
Bm
ia
a = 5 cm
i = 1 A
m = 0.5 g
B = ???
F F il B ia B
F iaB all’equilibrio F mg
iaB mgmg
Bia
3
2
2
0.5 10 9.89.8 10
1 5 10
T
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Esempio
y
x
i
R
A B
B
yB Be 2
xAB Re
F i AB B tratto rettilineo
2 2x y z
iRBe e iRBe
Il circuito e` chiuso sul tratto circolare: 2z
F iRBe
Verifica x ydl dxe dye
( )x y y
dF idl B i dxe dye Be z
iBdxe
2
R
z z
R
F iBe dx iBRe
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Momento meccanico. Principio
di equivalenza di Ampere.
Momento magnetico di una spira piana di
area A percorsa dalla corrente i
m iAn
n
Ai
Connessione con il momento meccanico
quando e` immersa in un campo magnetico
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Spira in un campo magnetico
Spira piana rigida
Campo magnetico uniforme
La forza totale e` nulla
La spira non si sposta e non si deforma
Il momento meccanico puo` essere diverso
da zero
La spira puo` compiere una rotazione
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Spira in un campo magnetico
Ba
b
nq
i
3F
4F
3 4F F stessa retta di azione
q
n
B
1F
2F
sinb q
1 2F F F iaB
sin sin sin sinM b F iabB iAB mBq q q q
M m B
![Page 16: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/16.jpg)
Spira in un campo magnetico
x
y
z
AB
CD
q
ab
zn e
i
sin cosy z
BB e B eq q
( ) cosAB B A y x
F i r r B iae B iaB eq
yae
![Page 17: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/17.jpg)
Spira in un campo magnetico
x
y
z
AB
CD
q
ab
zn e
i
sin cosy z
BB e B eq q
cos
)
)
(
(
C
AB
D D C
B A y x
AB
F i r r B iae B
F
i B
i r
a
r B
e
F
q
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Spira in un campo magnetico
x
y
z
AB
CD
q
ab
zn e
i
sin cosy z
BB e B eq q
(
( ) cos
(
) sin cos
)
AB B A y x
CD D C A
BC C B x z
B
y
F i r r B iae B iaB e
F i r r
F i r r B
B
ibe B ibB e ibB e
F
q
q
q
xbe
![Page 19: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/19.jpg)
Spira in un campo magnetico
x
y
z
AB
CD
q
ab
zn e
i
sin cosy z
BB e B eq q
( ) cos
( )
( ) sin cos
( )
AB B A y x
CD D C AB
BC C B x z y
AD A D BC
F i r r B iae B iaB e
F i r r B F
F i r r B ibe B i
F i
bB e i
r
bB
r B
e
F
q
q q
![Page 20: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/20.jpg)
Spira in un campo magnetico
( ) cos
( )
( ) sin cos
( )
AB B A y x
CD D C AB
BC C B x z y
AD A D BC
F i r r B iae B iaB e
F i r r B F
F i r r B ibe B ibB e ibB e
F i r r B F
q
q q
x
y
z
AB
CD
q
ab
zn e
i
sin cosy z
BB e B eq q
![Page 21: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/21.jpg)
Spira in un campo magnetico
sin cosy z
BB e B eq q
Momento meccanico
2 2y BC y AD
a ae F eM F
sin cosy z y
ae ibB e ibB eq q siny z
iabB e eq
sinz y
iabB e eq iAn B m B
y BCae F
BCF
x
y
z
AB
CD
q
ab
zn e
i
![Page 22: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/22.jpg)
Spira in un campo magnetico
sin cosy z
BB e B eq q
Momento meccanico
M m B m iAn
x
y
z
AB
CD
q
ab
zn e
i
![Page 23: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/23.jpg)
Spira in un campo magnetico
Vale per un circuito piano di forma arbitraria
un circuito puo` sempre essere approssimato da
un reticolo di spire rettangolari infinitesime
i lati adiacenti sono percorsi da correnti opposte e
non contribuiscono al momento della forza
// 0m B M
0q Equilibrio stabile
q Equilibrio instabile
![Page 24: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/24.jpg)
Spira in un campo magnetico
Spira con momento di inerzia I rispetto ad un
asse di rotazione parallelo a M
dLM
dt sinmB q mBq
dL I
dt
q
2
20
dI mB
dt
![Page 25: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/25.jpg)
Spira in un campo magnetico:
piccole oscillazioni
Spira con momento di inerzia I rispetto ad un
asse di rotazione parallelo a M
2
20
dI mB
dt
mB
I
![Page 26: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/26.jpg)
Principio di equivalenza di
Ampere
Un ago magnetico sottoposto ad un campo
magnetico si comporta come una spira
percorsa da corrente
Una spira piana di area dA percorsa dalla
corrente i equivale agli effetti magnetici a un
dipolo magnetico di momento magnetico
dm idAn n perpendicolare al piano della
spira e orientato rispetto al verso
della corrente secondo la regola
della vite destrorsa
![Page 27: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/27.jpg)
Principio di equivalenza di
Ampere
Un ago magnetico sottoposto ad un campo
magnetico si comporta come una spira
percorsa da corrente
Una spira piana di area dA percorsa dalla
corrente i equivale agli effetti magnetici a un
dipolo magnetico di momento magnetico
dm idAndm
dAi
dm
![Page 28: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/28.jpg)
Interazione dipolo magnetico
campo magnetico
Analogia con il dipolo elettrico
U m B cosmB q cosiAB q
Energia potenziale
dUM
dq sinmB q
Momento meccanico
![Page 29: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/29.jpg)
Forza, lavoro, momento,
flusso magnetico
Circuito C percorso da corrente
Superficie S contorno
Circuiti elementari: resta il contorno n
B
q
dAC
SB
i
dm idAn
U dU ( )i B ndA i BS
S
energia potenziale del circuito C
0B B A
dU dm B
![Page 30: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/30.jpg)
Forza, lavoro, momento,
flusso magnetico
Circuito C percorso da corrente
Superficie S contorno
Circuiti elementari: resta il contorno n
B
q
dAC
SB
i
dm idAn
U dU ( )i B ndA i BS
S
energia potenziale del circuito C
U i A ndAS
C
i A dl Stokes
![Page 31: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/31.jpg)
Forza, lavoro, momento,
flusso magnetico
n
B
q
dAC
SB
i
Il flusso del campo magnetico attraverso
una superficie dipende solo dal
contorno C della superficie
flusso concatenato con il circuito
L’energia potenziale di interazione di un
circuito C percorso da una corrente i con un
campo magnetico B attraverso una
superficie S e` data dal prodotto della
corrente per il flusso del campo magnetico
concatenato con il circuito, cambiato di
segno.
( )C
U i B i A dlS
![Page 32: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/32.jpg)
Forza, lavoro, momento,
flusso magnetico
Moto del circuito relativamente al campo
magnetico:
variazione del flusso concatenato
variazione dell’energia di interazione
A A dAUW U Ud d
( )id B
se la corrente resta costante durante lo spostamento
2 1( ) ( ) ( )W i B i B B
![Page 33: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/33.jpg)
Forza, lavoro, momento,
flusso magnetico
Traslazione infinitesima
( ) ( )dW i x x x
x
i x
dW F x F forza che agisce sul circuito
( )F U i B
![Page 34: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/34.jpg)
Forza, lavoro, momento,
flusso magnetico
Rotazione rigida infinitesima
dW dU Mqq
q
i qq
UM iq
q q
![Page 35: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/35.jpg)
Forza, lavoro, momento,
flusso magnetico
Circuito piano di area A molto piccola (campo
uniforme su A)
- Valide anche per un piccolo ago
magnetico
- Equivalenza con il dipolo elettrico
in un campo elettrostatico
( ) ( )
( ) ( )
F U m B i B nA
M m B i B nAqq q
![Page 36: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/36.jpg)
Unita` di misura del flusso
Flusso magnetico: campo x superficie
2B A Tm
21 1 1Wb T m
Weber
Momento magnetico:2 J
AmT
Momenti magnetici correnti microscopiche
-23 2
-27 2
elettrone ~ 10 Am
protone ~ 5 10 Am
![Page 37: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/37.jpg)
Effetto Hall
zB Be
Dv
x
iJ e ne
ab
Su ciascun portatore agisce la forza di Lorentz
DvF e B
Campo elettromotore (non conservativo)
Dv
H
F JE B B
e ne y
JBe
ne
il verso del campo elettromotore dipende dal segno della carica
![Page 38: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/38.jpg)
Effetto Hall
zB Be
Dv
x
iJ e ne
ab
Il campo elettromotore genera una deflessione
delle cariche in moto e tende ad accumulare
cariche su un lato della barretta conduttrice
Equilibrio tra campo elettrostatico e campo elettromotore
Dv 0
HB E E E
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Effetto Hall
zB Be
Dv
x
iJ e ne
ab
Tensione del campo elettromotore
HHE a
JBa
ne
i Ba
ab ne
iB
neb
V V Vabi
dR d
ab
Vab B
d neb
Ba V
ne d
d
![Page 40: Campo magnetico e forza di Lorentz (II)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042421/625fadac6d0d5963d474a7b5/html5/thumbnails/40.jpg)
Effetto Hall
zB Be
Dv
x
iJ e ne
ab
H
Ba V
ne d
segno di Hsegno dei portatori di carica
moduli di H e B densita` di carica ne
H BV
dalla misura della tensione di Hall si puo` misurare B