cap-01-fundamentos-de-hidrodinamica.pdf

Cap. 1 Fundamentos de Hidrodinámica Puertos y Vías Navegables CIV – 336

M en I. José Antonio Luna Vera i


M en I. José Antonio Luna Vera 1-1

CAPITULO 1 ..................................................................................................................................... 1-2 1 FUNDAMENTOS DE HIDRODINÁMICA ................................................................................ 1-2

1.1 OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................ 1-2 1.2 SISTEMA DE UNIDADES .................................................................................................. 1-2

1.2.1 Sistema Técnico ............................................................................................................ 1-2 1.2.2 Sistema Internacional de Unidades ............................................................................... 1-3 1.2.3 Aceleración de la Gravedad, g ...................................................................................... 1-3 1.2.4 Temperatura .................................................................................................................. 1-3

1.3 CONCEPTOS BÁSICOS DEL FLUJO DE LOS FLUIDOS ............................................... 1-5 1.3.1 Propiedades del Agua .................................................................................................... 1-5

1.4 CONCEPTOS Y ECUACIONES BÁSICAS DE LA HIDRODINÁMICA ......................... 1-8 1.4.1 Línea de Corriente ......................................................................................................... 1-9 1.4.2 Distribución de Velocidades ......................................................................................... 1-9 1.4.3 Ley de la Conservación de Masa ................................................................................. 1-10 1.4.4 Principio de la Conservación de la Cantidad de Movimiento ..................................... 1-12

1.5 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA .......................................................... 1-16 1.5.1 Ecuaciones de Navier-Stokes ...................................................................................... 1-19 1.5.2 Clasificación de flujos ................................................................................................. 1-20 1.5.3 Energía específica ....................................................................................................... 1-22 1.5.4 Régimen crítico ........................................................................................................... 1-23 1.5.5 Salto hidráulico ........................................................................................................... 1-24 1.5.6 Capa límite .................................................................................................................. 1-27 1.5.7 Turbulencia.................................................................................................................. 1-29 1.5.8 Distribución de velocidades y velocidades medias en flujos turbulentos ................... 1-30 1.5.9 Distribución de velocidades para flujos con paredes hidráulicamente lisas y rugosas 1-31 1.5.10 Velocidad media en flujos turbulentos ........................................................................ 1-31

1.6 RESISTENCIA AL FLUJO EN CAUCES NATURALES ................................................ 1-32 1.6.1 Ecuaciones empíricas .................................................................................................. 1-33

1.7 FLUJO UNIFORME ........................................................................................................... 1-37 1.7.1 Determinación del Coeficiente de Manning ................................................................ 1-39 1.7.2 Cálculo del Flujo Uniforme en Secciones Regulares Simples .................................... 1-41 1.7.3 Cálculo del Flujo Uniforme en Secciones Compuestas .............................................. 1-42 1.7.4 Rugosidad Compuesta ................................................................................................. 1-43 1.7.5 Flujo en curvas ............................................................................................................ 1-44

1.8 FLUJO VARIADO Y PERFILES HIDRÁULICOS ........................................................... 1-45 1.8.1 Cálculo de perfiles hidráulicos en secciones regulares ............................................... 1-47 1.8.2 Cálculo de perfiles hidráulicos en secciones naturales ................................................ 1-49

1.9 AFORO DE CAUDALES EN CORRIENTES NATURALES. ......................................... 1-50 1.9.1 Aforo con Molinete ..................................................................................................... 1-50 1.9.2 Aforo Químico ............................................................................................................ 1-52 1.9.3 Medición indirecta ....................................................................................................... 1-53 1.9.4 Método Hidráulico ...................................................................................................... 1-53

Bibliografía ......................................................................................................................................... 1-56



CAPITULO 1

1 FUNDAMENTOS DE HIDRODINÁMICA El presente capítulo comprende conceptos básicos y fundamentales de la hidráulica, específicamente aquellos relacionados con los términos, variables y características principales para el cálculo hidráulico y diseño de canales, como una parte introductoria en los objetivos de la asignatura. La planificación y evaluación de Recursos Hídricos está relacionada con su captación, conducción y distribución, de los cuales el ingeniero civil debe reconocer los elementos que se involucran en el sistema hidráulico de canales, diseñarlos, evaluarlos o proponer mejoras; respondiendo a necesidades y respetando las condiciones del medio donde se emplacen dichas obras. 1.1 OBJETIVO GENERAL El objetivo principal del presente capítulo es aplicar los conocimientos adquiridos en los cursos de Hidráulica I y II (CIV 229 y CIV 230), respectivamente, complementarlos con las materias de Hidrología (CIV 233) y Obras Hidráulicas (CIV 332), a partir de las cuales se emplearan los métodos más usuales para el cálculo de variables hidráulicas y geométricas del flujo a superficie libre en canales naturales. Consecuentemente, el alumno diseñará y analizará situaciones reales de un sistema hidráulico de canales. Finalmente, los conocimientos de la materia se orientan a la capacitación del alumno para resolver problemas vinculados con los ríos, el diseño de las obras para evitar daños ocasionados por estos o bien para su prevención y el así como el diseño y evaluación de proyectos en vías navegables y puertos fluviales. 1.2 SISTEMA DE UNIDADES Toda ley que rige un fenómeno físico se expresa mediante las relaciones o ecuaciones entre magnitudes físicas, los problemas que competen a la hidráulica requieren de tres magnitudes fundamentales. El sistema de unidades en el que se basa el presente curso está basado en un clásico conocido como Sistema técnico o Gravitatorio y el Sistema Internacional. 1.2.1 Sistema Técnico El sistema técnico de unidades comprende diversas unidades del primitivo sistema métrico decimal, se utilizan todavía porque muchas de ellas son fáciles de comprender y usar, además de ser el de uso común en hidráulica fluvial. Se establecen magnitudes tales como: La Fuerza, en ( ), la longitud,

en (m), el tiempo, en ( ) y la masa, en ( · / ) En algunas aplicaciones técnicas y para los cálculos se utilizan unidades usuales como ser:

Tabla 1.1 Definición de las unidades básicas en el sistema de unidades MKS. Unidad Nombre Símbolo Observaciones De fuerza Kilogramo fuerza kilopondio, De presión Metros columna agua . . . De energía Caloría De potencia Caballo de vapor



El kilopondio (símbolo ), también denominado frecuentemente kilogramo-fuerza ( ), es una unidad que se define como aquella fuerza que imparte una aceleración de gravedad normal/estándar (9.80665 / ó 32.184 / ) a la masa de un kilogramo. 1.2.2 Sistema Internacional de Unidades Éste sistema consiste en siete unidades básicas. Las unidades son utilizadas para expresar las magnitudes físicas definidas como fundamentales, a partir de las cuales se definen las demás

Tabla 1.2 Definición de las unidades básicas en el sistema internacional de unidades (SI).

Cantidad Básica Unidad Básica Símbolo Longitud Masa Tiempo Corriente eléctrica Temperatura Cantidad de materia Intensidad Luminosa

1.2.3 Aceleración de la Gravedad, g El valor de la constante de gravedad estándar es 9.80665 / , al nivel del mar y a una temperatura de 4 ° . Ésta constante varía en la superficie de la tierra la cual es función de dos parámetros: 1. La posición geográfica, definida por la latitud, , y 2. La altitud, , en . Se puede estimar mediante la fórmula siguiente:

9.7803 1 5.24 · 10 sen 1 3.15 · 10 ( 1.1)Donde: Aceleración de la gravedad, en / Latitud, en Altitud, en El valor usual de la constante de gravedad es

9.81 / ( 1.2) 1.2.4 Temperatura De acuerdo al sistema internacional de unidades la temperatura se mide en , su equivalencia con los grados Celsius es mediante la expresión siguiente

273.15 ° ( 1.3) Muchas de las variables que intervienen en el análisis del flujo hidráulico en canales y ríos están definidas y determinadas por varias unidades y combinación de las unidades básicas, en la Tabla 1.1 a Tabla 1.4 se presentan definiciones del sistema de unidades básicas, magnitudes y sus símbolos en el Sistema Internacional de Unidades, así como el uso permitido de algunas unidades.



Tabla 1.3 Magnitudes, sus unidades y el símbolo del sistema internacional. FUENTE: Sistema

Internacional de Unidades.

Magnitud física Nombre de la unidad

Símbolo de la unidad

Expresada en unidades derivadas

Expresada en unidades básicas

Frecuencia hercio Fuerza newton Presión pascal Energía, trabajo, calor julio Potencia vatio Carga eléctrica culombio Potencial eléctrico, voltio Resistencia eléctrica ohmio Conductancia eléctrica siemens Capacitancia eléctrica faradio Densidad de flujo magnético, inductividad magnética tesla

Flujo magnético weber Inductancia henrio Ángulo plano radián Ángulo sólido estereorradián Flujo luminoso lumen Iluminancia lux Actividad radiactiva becquerel Dosis de radiación absorbida gray Dosis equivalente sievert Actividad catalítica katal

Tabla 1.4 Unidades no métricas de uso permitido en el Sistema Internacional. FUENTE: Sistema Internacional de Unidades.

Magnitud Nombre Símbolo Equivalencia S.I. Ángulo grado º 1° /180 ” minuto 1 /180 1/60 ° ” segundo " 1" 1/60 /648000 Tiempo minuto 1 60 ” hora 1 60 3600 ” día 1 24 86400 Volumen litro 1 10 10 · Masa tonelada 1 10 1 Área hectárea 1 1 10

(*) Los prefijos S.I. no son aplicables a las unidades de ángulo ni a las de tiempo con excepción del segundo.



1.3 CONCEPTOS BÁSICOS DEL FLUJO DE LOS FLUIDOS El presente documento asume que el lector tiene conocimientos elementales con las leyes básicas de los fluidos, sin embargo, a manera de resumen se hace una breve descripción de algunas de las propiedades y principales leyes del movimiento de los fluidos, además se hacen énfasis en ciertos puntos que son de particular interés para su aplicación en el diseño de canales abiertos. 1.3.1 Propiedades del Agua Fluido es una sustancia cuyas moléculas tienen entre sí poca o ninguna cohesión, por lo que se deforma continuamente bajo esfuerzos cortantes o tangenciales por pequeños que estos sean, sin oponer gran resistencia a la deformación, aun cuando el desplazamiento relativo de sus partículas sea muy grande. Las propiedades invariables de los fluidos son: sólido, líquido y gas, estos se estudian a detalle en la bibliografía básica de la mecánica de los fluidos. En este texto se resumen las propiedades más importantes. a) Inercia De la primera ley de Newton se sabe que la inercia es una propiedad intrínseca de la materia, según la cual un cuerpo no puede modificar su estado de reposo o de movimiento uniforme; por lo tanto, necesita una fuerza exterior, no equilibrada, para cambiar su estado. La ley se expresa según la relación

· · ( 1.4)

La anterior ecuación permite conocer la masa inercial de un cuerpo, ; conocida la fuerza actuante, , y la aceleración que la produce, ; esto es: / , por lo tanto, puede afirmarse que la masa inercial es una medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo. La masa de un cuerpo se determina dividiendo su peso entre la aceleración de la gravedad

⁄ ( 1.5)Las unidades en las que se mide ésta propiedad son: Fuerza SI Masa 2 ST Sistema Unidades:

ST · / SI · /

a) Densidad o Masa Específica, La densidad se define como la masa de una sustancia contenida en la unidad de volumen, es decir

⁄ ( 1.6)

Sistema Unidades: ST · ⁄ SI ⁄



b) Densidad Relativa, La densidad relativa o también llamada gravedad específica resulta de la comparación de las densidades de dos sustancias. En la práctica se suele comparar la densidad de un fluido con la densidad del agua a 4 ° y se expresa mediante la ec. ( 1.7). La densidad relativa, , es adimensional

⁄ ( 1.7) c) Peso Específico, γ Es el peso de una sustancia contenida en la unidad de volumen, w⁄ . El peso específico y la densidad se relacionan mediante la segunda ley de Newton.

( 1.8)La densidad relativa de sólidos es cuantificada también a partir de ésta propiedad

( 1.9)

Unidades Sistema: ST / SI / ·

d) Viscosidad, μ Es la propiedad que tienen los fluidos de resistir a un movimiento interno o a su deformación angular. Newton estableció que en un fluido en movimiento, la fuerza tangencial o fuerza interna de frotamiento, , que se produce por unidad de área o esfuerzo tangencial, , es proporcional al gradiente transversal de velocidades ⁄ , es decir

( 1.10)

o bien

· ( 1.11)

Donde: τ Esfuerzo cortante en / : Velocidad del fluido en una dirección paralela a una superficie en / : Distancia de la superficie a la cual se mide , en μ: Viscosidad dinámica en · / . El coeficiente de proporcionalidad, μ , se llama viscosidad dinámica o absoluta.

μ = ST μ = SI

Unidades: Sistema : μ ST / SI / · = · /

La viscosidad es función de la temperatura del fluido, por lo tanto su valor puede estimarse con la expresión siguiente:



12.1482 8.435 8078.4 8.435 120 ( 1.12)

Donde: μ Es la viscosidad dinámica en poises ( 1 0.1 / · 1 / · )

Temperatura del fluido, en í e) Viscosidad Cinemática, ν Es la relación entre la viscosidad dinámica del fluido y su densidad

⁄ ( 1.13) ν ST y SI Unidades Sistema: ν ST y SI / La viscosidad cinemática se expresa en : (1 1 / 0.0001 / ) f) Esfuerzo, , presión, y esfuerzo cortante, . El esfuerzo cortante se define como el límite del cociente de una fuerza entre el área que se aplica cuando esta tienda a cero, ⁄ . En un punto, el componente perpendicular al área se denomina esfuerzo normal. Si dicho esfuerzo es de compresión se denomina presión, . El componente del esfuerzo paralelo al área recibe el nombre de esfuerzo tangencial, (También se denomina esfuerzo cortante, como se verá más adelante). La presión se puede medir como absoluta a partir de un cero absoluto, o como presión manométrica a partir de la presión atmosférica del lugar donde se efectúa la medición, la relación entre ambas es:

é é ( 1.14) Sistema Unidades: , y ST / SI / g) Compresibilidad y módulo de elasticidad Cuando un fluido en reposo es sometido a una presión, se cumple la ley de Hooke, la cual, establece que la deformación que sufre un cuerpo es proporcional al esfuerzo que la produce. La compresibilidad es la medida del cambio de volumen que experimenta un fluido cuando se somete a cambios de presión. La compresibilidad de un fluido es:

Δ 1Δ

Δ 1Δ

( 1.15)

Por otro lado, el recíproco de la compresibilidad se denomina módulo de elasticidad volumétrico

∆∆

∆∆

( 1.16)



Sistema Unidades: ST SI h) Tensión Superficial, σ En la frontera entre dos fluidos que no logran mezclarse, la atracción intermolecular produce fuerzas que ocasiona que la fuerza de la superficie de contacto entre ambos se comporte como una membrana en tensión. La fuerza unitaria que produce esa tensión se denomina tensión superficial. En hidráulica fluvial esta fuerza llega a ser de interés en modelos hidráulicos, sobre todo cuando en alguna zona de ellos la tensión superficial llega a tener predominio sobre otras fuerzas. La magnitud de la tensión superficial se define como la relación entre las fuerzas de tensión que actúa perpendicularmente a lo largo de una cierta longitud, es decir

⁄ ( 1.17)

Sistema Unidades: σ ST SI

i) Capilaridad La fuerza de atracción entre moléculas diferentes se llama adhesión. La tendencia de un líquido a ascender o descender de un tubo muy delgado, como consecuencia de la adhesión y cohesión de las moléculas se conoce como capilaridad. 1.4 CONCEPTOS Y ECUACIONES BÁSICAS DE LA HIDRODINÁMICA La hidráulica es una ciencia que ha podido formular sus propios principios basados en las leyes de la física, en cambio, el flujo en los ríos no ha podido desarrollar dichos principios debido a las grandes limitaciones que se tienen en analizar situaciones tan complejas de éste tipo de fenómeno. Aunque existen limitaciones para lograr explicaciones del comportamiento hidráulico de los ríos, la hidráulica fluvial ha podido hacer uso de ecuaciones básicas que permitan realizar pronósticos de flujos, diseño de obras y mejoramiento de sistemas hidráulicos en cauces naturales de forma aproximada a la realidad. Para ello, es importante realizar un análisis de las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos, en los que se producen procesos de transferencia de masa, de la cantidad de movimiento y de calor. En principio es útil apreciar las variables que intervienen en el movimiento de los fluidos, entre estos: el vector de velocidad, la presión y la densidad, todas ellas son función del espacio y del tiempo, es decir

, , , ( 1.18)

, , , ( 1.19)

, , , ( 1.20) La primera ecuación toma en cuenta los cambios en las fuerzas totales externas, la segunda expresa la cinemática del fluido a lo largo de su trayectoria y la última representa la variabilidad de la densidad de



un fluido, con todo éstas ecuaciones no bastan para describir el movimiento generalizado de los fluidos, pues existe una ecuación vectorial general del movimiento, a la que se conoce como ecuación de Navier Stokes. Por ejemplo, la ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento (ver apartado 1.4.4) y la ec. ( 1.18) son vectores y pueden expresarse en las tres direcciones cartesianas. De la misma forma, cuando se desea conocer las leyes que permitan modelar flujos bidimensionales o tridimensionales se requerirán más variables e incluso hipótesis complementarias que den la solución de flujos con esas características. 1.4.1 Línea de Corriente Es una línea delineada en cualquier instante, a través de la cual la dirección del movimiento del flujo es tangente a esa línea.

Figura 1.1 Líneas de corriente en movimiento en un contorno o volumen de control. El escurrimiento de agua a superficie libre tiene una presión absoluta constante debida a la presión atmosférica, pero, el movimiento del flujo se debe a la fuerza de la gravedad. Este movimiento es mayor en velocidad y energía cuanto mayor es la pendiente por la que fluye. Para estudiar el flujo de canales y cauces naturales será necesario conocer las leyes que gobiernan el flujo. 1.4.2 Distribución de Velocidades La distribución de velocidades a lo largo del contorno de un conducto (tubo, canal o río) tiene relación directa con las asperezas o rugosidades del contorno, con la viscosidad del fluido y la forma de la sección transversal; asimismo, ésta distribución de velocidades no se distribuye de forma uniforme en su sección. Por ejemplo, la velocidad máxima se presenta por debajo de la superficie, entre 0.05 y 0.25 , medido desde la superficie hacia el fondo. La Figura 1.2 muestra distintas formas de variación de las velocidades en distintos contornos

Líneas de corriente

Direcciones dela velocidad

Cap. 1

M e

F En un Turbutrapeci

Fig

1.4.3 Para tofluido través

Dondetransve

Fundamentos d

n I. José Anton

Figura 1.2 L

corte en el seulento, la primial

y

h

gura 1.3 Dis

Ley de la C

odo flujo permque entra a ude la conocid

: Caudal, ersal, en .

de Hidrodinámic

nio Luna Vera

Líneas de igu

ntido longitumera tiene fo

Uy

u

θ

stribuciones d

Conservación

manente se saun tramo de da ecuación de

en / ,

ca

al velocidad

dinal del condrma parabóli

dA

u

de velocidad(C

n de Masa

atisface el prirío es igual ae continuidad

Velocidad un

en canales d

ducto la distrca y la otra s

es con flujosChow, 1973)

incipio de conal que sale ded ·

nidimensiona

de distintas g

ibución de vese aproxima a

y

U

u

h

θ

laminar y tu.

nservación deel mismo. E

al promedio, e

Puer

eometrías (C

elocidades pua una forma e

U

dA

0.05U

máx

u

urbulento, re

e masa; es deEste principio

en / , y

rtos y Vías NavegCIV – 336

Chow, 1973).

uede ser Lamientre rectang

5 a 0.25 h

u

espectivamen

ecir, el volum se lo represe

(

Área de la se

gables

1-10

inar o gular y

nte

men de enta a

( 1.21)

ección



Para el caso del tramo de un río, el cual está separado una distancia , en las secciones extremas se tiene:

· · y por el principio de continuidad

Por tanto

· · ( 1.22) Donde: y son las velocidades medias a través de las secciones transversales y , respectivamente. Ejemplo: Un cauce natural de forma irregular transporta un caudal de 76 / cuando el nivel del agua esta en la cota 579 . Su perfil transversal está definido por el par ordenado , de la tabla adjunta. El cauce desemboca en una sección rectangular con 25 de ancho y su profundidad es igual a la profundidad media de la sección irregular. Asuma flujo permanente y uniforme y determine las velocidades medias en ambas secciones.

Solución: Se calcula el área como se observa en el cuadro de abajo

Área sección irregular, 49.0 Ancho Superficial, 160 124 36 Tirante medio, / 49/36

1.3610 Velocidad media, / 76/49

1.551 / Ancho sección rectangular, 25 Por consiguiente 25 1.361 34.03

Aplicando el principio de continuidad y manteniendo el tirante medio en la sección rectangular, la velocidad media en la sección rectangular debe ser.

· · Velocidad media

76/34.03

2.233 /

x (m) 120.0 124.0 130.0 132.0 138.0 142.0 142.0 148.0 156.0 160.0 162.0y (msnm) 580.0 579.0 578.5 577.5 576.5 576.5 577.3 577.3 578.0 579.0 580.0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

120 580.0 124 579.0 0.00 0.0 130 578.5 0.50 6.0 1.5 132 577.5 1.50 2.0 2.0 138 576.5 2.50 6.0 12.0 142 576.5 2.50 4.0 10.0 142 577.3 1.75 0.0 0.0 148 577.3 1.75 6.0 10.5 156 578.0 1.00 8.0 11.0 160 579.0 0.00 4.0 2.0 162 580.0

= 49.0



1.4.4 Principio de la Conservación de la Cantidad de Movimiento Las fuerzas que actúan sobre un volumen de control son las fuerzas superficiales (las fuerzas de presión y las que producen esfuerzos de corte) que actúan sobre la superficie de control y las fuerzas de volumen (fuerzas gravitacionales) aplicadas en su centro de masa, por lo tanto, para un flujo permanente e incompresible, las fuerzas que actúan sobre el volumen de control en una dirección “ ” son iguales a la tasa del cambio en la cantidad de movimiento de flujo, es decir, no existe acumulación de momentum, por lo tanto, la ecuación de momentum da

( 1.23)

Donde ∑ Es la resultante de todas las fuerzas en la dirección ,

Es un vector de velocidad, los subíndices 1 y 2 se refieren a las secciones transversales aguas arriba y abajo, respectivamente (ver Figura 1.1 y Figura 1.4 ). Para una fuerza actuando en el espacio será necesario descomponer en las tres direcciones del espacio.

( 1.24) En términos simples, la ecuación de momentum establece que el cambio en el flujo de momentum es igual a la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el volumen de control. Combinando los términos y teniendo en cuenta que el flujo es permanente e incompresible, se tiene

( 1.25) Cuando el perfil de velocidades es uniforme el coeficiente β es prácticamente igual a la unidad, pero en realidad, la distribución de velocidades no es uniforme, tanto en la dirección vertical como en la horizontal, así como ocurre en secciones naturales. En tales situaciones se debe aplicar una corrección mediante un coeficiente llamado de corrección de cantidad de movimiento, β, también conocido como coeficiente de Boussinesq, el que se determina como sigue

1 ( 1.26)

Donde: es el área de la sección transversal (perpendicular a la dirección del flujo) velocidad media del flujo. es la velocidad en algún punto de la sección transversal.

Éste coeficiente también puede ser expresado en elementos discretos

∑ ∑

( 1.27)



ó : La ecuación de cantidad de movimiento se emplea para obtener la función

momentum. Se proyecta las fuerzas en la dirección del flujo, se obtiene el centroide y área de las secciones transversales y luego se obtiene la ó , . Ésta función se divide en dos componentes, una estática y otra dinámica, la ecuación resultante es

( 1.28)

Misma que puede resumir a la siguiente igualdad:

( 1.29)Donde es la función momentum para una sección cualquiera. Para secciones no rectangulares, la función momentum puede ser adaptada sin dificultad.

( 1.30)

Donde es la profundidad de la superficie al centro de gravedad de la sección. Consideremos un caso práctico, el flujo en un canal horizontal de sección rectangular, suponiendo la distribución hidrostática de presiones, la ecuación de momentum da

( 1.31)Donde Caudal del flujo, en / Profundidad del flujo, en Ancho del canal , , y β Coeficiente de corrección de momentum Si la distribución de velocidades es la misma entre las secciones 1 y 2, el coeficiente β, varia imperceptiblemente, por lo tanto podemos asumirlos iguales, entonces la anterior expresión queda

( 1.32) Ejemplo: Un caudal fluye por un canal rectangular con pendiente horizontal. En una parte de éste se presenta un obstáculo el cual ofrece resistencia al flujo. Por el obstáculo mencionado se produce efecto de sobre elevación de la superficie libre, los tirantes antes y después del obstáculo son y , aplicando el principio de la cantidad de movimiento calcule la fuerza que el flujo ejerce sobre el obstáculo (Henderson, 1966). Consideremos que en el flujo de la Figura 1.4 pueden ocurrir pérdidas por fricción entre las secciones 1 y 2, como también existe un obstáculo en el fondo tal que produzca una fuerza en dirección opuesta al flujo, . Esta fuerza puede ser valuada aplicando el principio de momentum conociendo las características geométricas e hidráulicas de las secciones 1 y 2. Las siguientes consideraciones son aplicadas a la situación planteada en el problema.



Figura 1.4

Existe pérdida de energía, Δ 0, entonces 0 . (Por ejemplo, una compuerta deslizante) Existe pérdida, Δ 0, entonces 0 . (Ejemplo, salto hidráulico simple) Existe pérdida, Δ 0, entonces 0 . (Ejemplo, salto hidráulico forzado con escalón o depresión) Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento entre las secciones 1 y 2, tenemos

( 1.33)Donde son las presiones hidrostáticas en las secciones 1 y 2 es la fuerza que se opone al flujo, ejercida por el obstáculo Por lo tanto, las fuerzas hidrostáticas en cada sección son:

2

2

Pero , entonces

2

2

Luego, por continuidad

Sustituyendo ambas en la ecuación de cantidad de movimiento 2

2

Suponiendo que el coeficiente de velocidad es igual a la unidad en ambas secciones y tomando la igualdad ⁄ , reordenando y despejando se obtiene

2 2

( 1.34)

Donde

2 ( 1.35)

h1 F1 Pf h2 F2

Q 1

2



Ejemplo: Determine la función momentum para una sección de forma trapecial como la mostrada en la Figura 1.5. Datos: 10 ; 2 ; 1; 15 / y 9.81 / (Henderson, 1966)

Sección Figura Área ·

2 3 6

2

2

2 3 6

Figura 1.5 El área total es

2

2

10 2 1 2 24 y

2 3 6

2 · 1 · 2 3 · 10

6 2 22.67

Por lo tanto

15

9.81 · 2422.67 23.62

Ejercicio propuesto: Calcular la función Momentum en una sección irregular como la mostrada en la figura. Suponer β 1.

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x (m) 100 110 120 135 150 155 175 180 185 y (msnm) 100 100 97 95 96 98 99 100 100

Figura 1.6

z1 α h

b

z hz h

Y h

h i

h i+1

b i100 msnm

y

x



1.5 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA La energía total de una porción de fluido es igual a la suma de la carga de posición más la carga de presión y la carga de velocidad, que en términos de las variables esto se conoce como ecuación de conservación de la energía, o más conocida por ecuación de Bernoulli. En términos de las variables que se definen en la siguiente figura se puede plantear la ec. ( 1.36).

Figura 1.7 Elementos de la ecuación de la energía en el tramo de un río.

2 2 ( 1.36)

Donde: y profundidad del agua en la sección transversal1 y elevación del canal principal y velocidad promedio en la sección y coeficiente corrección de velocidad en las secciones 1 y 2 (Coef. de coriollis)

Aceleración de la gravedad Suma de todas las pérdidas que ocurren entre las dos secciones.

Las pérdidas de energía se deben a dos factores: La fricción y los efectos de cambios en la sección por estrechamiento o ensanchamiento, curvas y otros (Ver sección 1.8.1). Para flujo permanente (es decir caudal constante), la ecuación de la conservación de energía puede rescribirse

( 1.37)Donde

2 ( 1.38)

1 Cuando se trata de una sección natural o irregular ésta profundidad está referida al Thalweg (Línea que une los puntos más profundos de las secciones transversales a lo largo de la corriente).

2gα 1

U12

y 1U1

z 1

Δ z

y 2

z 2

2

S f

S w

So

U2

U22

GRADIENTE DE ENERGIA

SUPERFICIE DEL AGUA

LECHO DEL RÍO

2g

Th

L

1 2

NIVEL DE REFERENCIA

α



Es importante considerar la situación en la que un flujo puede ingresar a un tramo longitudinal cóncavo o convexo, situación diferente a la de un canal de pendiente constante, como la que se ha presentado en la Figura 1.7, que por hipótesis se ha supuesto en los extremos una distribución de presión hidrostática. La otra situación no es fácil de analizar, pues se presentarán divergencia en la distribución de presiones y dependerá de la curvatura de las líneas de corriente y de la magnitud de la velocidad. El lector puede referirse a la bibliografía citada para ampliar este tema, aunque en la práctica del análisis de canales es poco utilizado. Cuando un canal es de fuerte pendiente deben tenerse en cuenta las distribuciones de presión en las secciones, considerando principalmente la Figura 1.8 y la modificación con la ec. ( 1.39)

· cos2

( 1.39)

Figura 1.8 Elementos de la ecuación de la energía en el tramo de un río.

Un canal tiene pendiente suave cuando el factor “ cos θ ” se puede asumir aproximadamente igual a la unidad. Por lo general, se considera un canal de pendiente fuerte cuando θ 6° . Si la velocidad varía a través de la sección transversal se introduce el coeficiente de corrección de velocidad, α , o coeficiente de Coriolis, el cual se define como sigue

1 ( 1.40)

O bien, para flujo permanente e incompresible ( y ctes.)

∑ · ∑

· · ( 1.41)

Donde = velocidad media en la subsección , en / = área de la subsección , en = velocidad media de toda la sección, en /

Existen algunas relaciones aproximadas entre los coeficientes α y β (Chow, 1973), por ejemplo, para canales de sección prismática

θ

Sw

So

U

θ

h

y



1 3 2 ( 1.42)

1 ( 1.43)Donde

á ⁄ 1 es la velocidad media en la sección analizada á es la velocidad máxima en la misma sección En canales de sección prismática e irregular también se satisface la relación siguiente

23

( 1.44)

Según Chow (1973), algunos valores de estos coeficientes fueron propuestos por Kolupaila, aunque French (1985) indica que α pueden llegara hasta 5 y β hasta 2.3.

Tabla 1.5 Valores prácticos de y . (Chow, 1973).

TIPO DE CANAL Valores de α Valores de β

Min Prom Máx Min Prom Máx Canales regulares, pequeños canales y vertedores 1.10 1.15 1.2 1.03 1.05 1.07 Corrientes naturales y torrentes 1.15 1.30 1.5 1.05 1.10 1.17 Ríos cubiertos de hielo 1.20 1.50 2.0 1.07 1.17 1.33 Ríos con planicie de inundación 1.50 1.75 2.0 1.17 1.25 1.33

Ejemplo: Calcule los coeficientes de corrección de velocidad α y β para la sección mostrada en la Figura 1.9, en la que es la velocidad media en cada subsección , respectivamente. Datos: 1.139 / ; 1 / ; 1.55 / y 0.85 / .

Figura 1.9 Ejemplo de cálculo de coeficientes de velocidad y en una sección compuesta.

Solución:

/

1 1.00 30·1.2+0.5·2·1.22 = 37.44 37.44 2 1.55 (15+2·1.5) 1.2+15·1.5+1.5·1.52 = 47.48 176.81 3 0.85 40·1.2+0.5·2·1.22 = 49.44 30.36 Sumas = 134.36 244.61

12

1 1

12

11

n = 0.061

n = 0.032

n = 0.083h = 1.2 mp

40 m 2 m1.515 m1.530 m2 m

1 2 3



Coeficiente de Coriolis

α244.61

1.139 · 134.36 .

Coeficiente de Boussinesq β 2 1.232 /3 . 1.5.1 Ecuaciones de Navier-Stokes Las ecuaciones de Navier-Stokes conjuntamente la ecuación de continuidad gobiernan el comportamiento de un flujo incompresible, laminar o turbulento, de densidad y viscosidad constantes que ocurren en un campo gravitacional, las ecuaciones de cantidad de movimiento y de conservación de energía son casos particulares de esta expresión general (Maza A. & García F., 1984). Estas ecuaciones se producen al establecer el equilibrio dinámico de un fluido viscoso newtoniano en movimiento, aplicando la segunda ley de Newton y tomando en cuenta las fuerzas internas que actúan en él, incluyendo las que ejerce la gravedad. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan diferentes teoremas matemáticos, llegando así a la llamada formulación diferencial, que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones se recurre al análisis numérico para determinar una solución. La forma más general de estas ecuaciones es

→→→ ν+∇ν+

ρ−= Vdivgrad

3Vpgrad1fa 2

x ( 1.45)

O bien

ncontracció d viscosidade presión de Cuerpo o retardador retardador de Dilatación Efecto Efecto Efecto Inercia

V3

Vp1fdtVd 2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∇∇

ν+∇ν+∇

ρ−=

→→→→

( 1.46)

y sus respectivas componentes en las direcciones de un sistema coordenado espacial son:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ν

+∇ν+∂∂

ρ−==

→

Vdivx3

uxp1fa

dtdu 2

xx

( 1.47)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ν

+∇ν+∂∂

ρ−==

→

Vdivy3

vyp1fa

dtdv 2

yy

( 1.48)



⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ν

+∇ν+∂∂

ρ−==

→

Vdivz3

wzp1fa

dtdw 2

zz

( 1.49)

Cuando el fluido es incompresible se tiene que ρ y 0 , entonces las ecuaciones anteriores quedan

uxp1f

dtdu 2

x ∇ν+∂∂

ρ−= ( 1.50)

vyp1f

dtdv 2

y ∇ν+∂∂

ρ−= ( 1.51)

wzp1f

dtdw 2

z ∇ν+∂∂

ρ−= ( 1.52)

Debido a que las fuerzas másicas se deben a un campo gravitatorio, entonces se supone la existencia de un potencial φ de esas fuerzas, tal es que φ es el potencial de si se cumple que

zk

yj

xigradf

∂φ∂

+∂φ∂

+∂φ∂

=φ∇=φ=→

( 1.53)

Si , donde es la vertical, resulta ( ) ( ) ( )

zghf;

yghf;

xghf zyx ∂

∂−=

∂∂

−=∂

∂−= ( 1.54)

Y al escoger el sistema cartesiano vertical con , y dirigido hacia arriba, se satisface que , por tanto

gf;0f;0f zyx −=== La forma más usual de la ecuación de Navier – Stokes es

( )ghgradVpgrad1VVrot2

VgradtV 2

2

−∇ν+ρ

−=×⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++

∂∂ →→→

→

( 1.55)

1.5.2 Clasificación de flujos La ec. ( 1.55) puede simplificarse, dependiendo de las consideraciones que se hagan en el tipo de flujo; por ejemplo, según el tiempo y/o el espacio, según la rotación de las partículas, la acción de fuerzas viscosas y/o las fuerzas gravitatorias. a) Clasificación Según las Fuerzas Viscosas Cuando se relacionan las fuerzas de inercia con las fuerzas viscosas se tiene un número adimensional conocido como número de Reynolds, , éste se escribe como sigue



Se determina como sigue ·

( 1.56)

Cualquier cociente que relacione el cociente ⁄ es un número de Reynolds. Para Tubos:

ν ( 1.57)

Para Canales: 4

ν ( 1.58)

Donde Velocidad media del flujo, en m/s es una longitud característica, en m

ν viscosidad cinemática del fluido, en m2/s Diámetro interno de la tubería, en m Radio hidráulico, en m

/4 ( 1.59)

Los rangos de variación del número de Reynolds son: Si < 2000 El flujo es Laminar Todas las trayectorias sonparalelas y las líneas de

los flujos también lo son ( predominan las fuerzas viscosas)

Si 2000 < < 4000 El flujo es de transición

Si > 4000 El flujo es Turbulento. Las trayectorias de cada partícula no son paralelas, pero las líneas del flujo si son paralelas. (prevalecen las fuerzas de inercia sobre las fuerzas viscosas)

b) Clasificación Según las Fuerzas Gravitatorias Al relacionar las fuerzas de inercia con las fuerzas gravitatorias se obtiene un parámetro conocido como número de Froude

Se determina como sigue

( 1.60)

Éste parámetro se emplea en todo flujo o escurrimiento a superficie libre

Si 1 El flujo está en régimen Lento o Subcrítico Si 1 El flujo está en régimen Crítico Si 1 El flujo está en régimen Rápido o Supercrítico

Donde: y tienen el mismo significado que en para el número de Reynolds.



c) Clasificación Según el Tiempo y el Espacio Haciendo un análisis de la ecuación de Navier-Stokes, en su descomposición y simplificación podemos verificar lo siguiente: Con respecto al tiempo:

Si 0 ⇒ El Flujo es Permanente o estacionario.

Si 0 o al menos uno de ellos ⇒ El Flujo es No Permanente o transitorio.

Con respecto al espacio:

Si 0 ⇒ El Flujo es Uniforme.

Si 0 o al menos uno de ellos ⇒ El Flujo es Variado, Lento o Rápidamente Variado

La clasificación de los flujos, según el tiempo y el espacio, se resume en la siguiente tabla

Tabla 1.6 Clasificación de los flujos según el tiempo y el espacio en una dirección (Maza A. & García F., 1984)

Según el Espacio

0 (Flujo Uniforme )

0 (Flujo Variado)

Según

el

Tiempo

0 (Flujo Permanente o

Estacionario) .

Uniforme y permanente y sección constantes.

(Flujo en tuberías, canales prismáticos)

Permanente, gradualmente y rápidamente variado.

(Rápida en un vertedero, salto hidráulico)

0 (Flujo No Permanente

o Transitorio) ≠ .

Transitorio y uniforme. (Tubo corto con cierre lento

de una válvula)

Transitorio y variado, gradualmentevariado y rápidamente variado. (Paso de crecida por un canal)

1.5.3 Energía específica En particular, cuando se emplea la suma de la carga de presión y de velocidad, esto es

2 ( 1.61)

Se tiene una energía referida al fondo del canal, a la cual se le conoce como energía específica o energía propia. La Figura 1.10 muestra la variación de la energía específica con el tirante para un



caudal dado, . Para canales y ríos en los que no se produce curvatura en sus líneas de corriente, la anterior ecuación se escribe

· cos2

( 1.62)

Figura 1.10 Energía propia para un canal de caudal constante y contorno fijo.

La ecuación de la energía específica también puede ser escrita en términos del caudal

· cos2

( 1.63)

Analizando la Figura 1.10 y considerando que θ ≈ 1, entonces se hacen los siguientes análisis. Se aprecia que el valor de energía específica mínima corresponde a un valor de caudal, en el cual se definen parámetros y variables importantes que determinan el flujo crítico, esto se logra al derivar la función de energía específica

cos2

2 ( 1.64)

Que al igualar con cero se obtiene la siguiente relación

· cos ( 1.65)

1.5.4 Régimen crítico Cuando la Energía específica llega a ser mínima se presenta una condición de flujo conocido como flujo crítico o régimen crítico. Para este caso, en toda sección hidráulica se debe cumplir la siguiente relación:

cos1 ( 1.66)

O bien, en términos de la velocidad

yc1/2·hm

yU2g

2

o'13

2

B

dA

dy

y1

yc

y2

y

45°

y

E312Caudal = Q

Caudal < Q

Caudal > QP1

P2

P1

Estado crí

tico

Rango de flujoSupercrítico

SubcríticoRango de flujo

o 45º para una canal de pendiente despreciable

C'C

C''



( 1.67)

Donde, es el número de Froude y profundidad media del flujo, en Otra forma de escribir la ecuación de régimen crítico es

( 1.68)

A partir de la condición de flujo crítico, ec. ( 1.66), considerando un canal rectangular de ancho , entonces, se satisface lo siguiente

/

( 1.69)

Donde, tirante crítico, en ; caudal específico o caudal unitario, en /

⁄ ( 1.70) Al sustituir la ecuación anterior en la definición de condición crítica, se obtiene

2 ( 1.71)

y empleando la definición de energía específica ( 1.72)

1.5.5 Salto hidráulico El salto hidráulico o resalto hidráulico es el fenómeno que se produce en la transición de una corriente veloz a una lenta, ver Figura 1.11. Esto puede ocurrir en un canal por la reducción de la pendiente o la interposición de un obstáculo.

Figura 1.11 Salto hidráulico.

Las variables que permiten describir el fenómeno mostrado en la Figura 1.11 son las siguientes:

LR

1E

h

h1

R

h 2

E

E2

Δ

Δθ

LINEA DE GRADIENTE DE ENERGIA

U2g

12

21

2gU

Crítico

Pérdida de Energíaen el salto

U1

U2

Tirante ch



Los tirantes conjugados: , La pérdida de energía: Δ La sobre elevación del salto: Δ Longitud del salto: El ángulo de la sobre elevación: θ El número de Froude en 1: 1 El número de Froude en 2: 1

Los tirantes antes y después del salto hidráulico son conocidos como tirantes conjugados del salto hidráulico, la expresión que relaciona los tirantes del salto en una sección rectangular es la siguiente

1 8 1 ( 1.73)

Análogamente para una relación viceversa, se tiene

1 8 1 ( 1.74)

Si el canal es trapecial o circular no es fácil deducir una expresión como la anterior, para estos casos es conveniente plantear las ecuaciones con las respectivas geometrías y resolver por procedimientos de tanteo o por métodos numéricos. Las observaciones experimentales muestran una diferencia entre varios tipos de salto hidráulico que están en función al número de Froude de aguas arriba. La Figura 1.12 muestra una clasificación de salto hidráulico presentada por Chow (1973) para en canales con pendiente horizontal.

Figura 1.12 Clasificación del Salto Hidráulico (Chow, 1973)

Fr = 1 a 1.7 SALTO ONDULANTE11Fr = 1.7 a 2.5 SALTO DEBIL

Fr = 2.5 a 4.5 SALTO OSCILANTE1Fr = 4.5 a 9 SALTO ESTABLE1

Fr > 9 SALTO FUERTE1

Chorro oscilante



La longitud del salto hidráulico en canales rectangulares y con pendiente horizontal puede ser obtenida a partir de la Figura 1.13, en términos del número de Froude en la sección de flujo supercrítico y las profundidades antes y después del salto.

Figura 1.13 Longitud del salto hidráulico en canales rectangulares, según Bradley y Peterka

(1857), (Chow, 1973). Por otra parte, Silvestre, en 1964, definió la relación ⁄ para canales rectangulares horizontales en términos del número de Froude supercrítico (French, 1985)

9.75 1 . ( 1.75)

Y para canales no rectangulares, Silvester determino ecuaciones similares a la ec. ( 1.76), variando los coeficientes numéricos en función de la forma de la sección. Para Canales Triangulares (ángulos de 47.3°):

4.26 1 . ( 1.76)

Canales Parabólicos

11.7 1 . ( 1.77)

Para Canales Trapeciales, Silvestre y otros demostraron que la longitud del salto puede estimarse con una relación de factores de forma como las anteriores ecuaciones, y propuso la ec. ( 1.78) en términos del talud y el factor de forma

1 ( 1.78)

2U

RL

U1

1h h2

LR

h 2

1g h1U

Fr1 =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 193

4

5

6

7

SaltoOndular

SaltoDebil

SaltoOscilanteCon Ondas

Salto Permanente

Mejor Performance PerformanceAceptable

Salto Fuerte

Condiciones de lecho amortiguadorcaro y superficie Rugosa



Tabla 1.7 Parámetros σ y Γ para calcular el salto hidráulico en canales trapeciales, Según Press (1965). (French, 1985).

Talud

Factor de Forma ⁄

2 16 17.6 0.905 1 8 23 0.885

0.5 4 35 0.836 El salto hidráulico muestra un comportamiento complejo cuando la sección es irregular, incluso con secciones sencillas como las trapeciales, para mayor referencia del comportamiento de éste fenómeno en canales distintos al analizado pueden consultarse el texto de R French (1985). 1.5.6 Capa límite Un principio fundamental en la mecánica de fluidos e hidráulica establece que una partícula de fluido en contacto con la frontera sólida estacionaria no tiene velocidad, así, todos los flujos sobre fronteras estacionarias exhiben perfiles de velocidad a través de los cuales la fuerza de arrastre causada por la frontera es transmitida al exterior (French, 1985). Para entender el fenómeno supóngase que un fluido poco viscoso escurre en una superficie plana, el efecto de la superficie produce una confinación del fluido entre una capa débil del fluido y la superficie, y fuera de ésta capa límite (Figura 1.14) el fluido se comportará como si no tuviera viscosidad. Las experiencias demostraron que el espesor de la capa límite, depende de , ρ , μ y

Figura 1.14 Definición de capa límite (Henderson, 1966).

Blasius da la solución para una capa limite laminar (French, 1985) Para ⁄ 0.99

5 ( 1.79)

Donde: δ Espesor de la capa límite es la distancia desde el borde anterior

Frontera de la capa limite

Perfíl de velocidades

Placa plana

Flujo

Frontera de la primeracapa limite Frontera de la segunda

capa limite

δ



Es el número de Reynolds

( 1.80)

La capa límite se incrementa, ésta se vuelve inestable y se convierte en una capa turbulenta en el rango 5 10 10 . El espesor de la capa límite turbulenta esta dado por la siguiente expresión Para ⁄ 0.99

0.37. ( 1.81)

Por debajo de la capa límite turbulenta se presenta una capa muy delgada, muy cerca de la frontera, la que permanece en forma laminar a la que se conoce como subcapa laminar. Con el fin de identificar los límites de formación de las capas y subcapas laminares, en 1968 Schlichting definió experimentalmente una clasificación de superficies límites del escurrimiento en canales con flujo turbulento (Tabla 1.8), estas son: Escurrimiento Turbulento Hidráulicamente Liso: Ocurre si el espesor de la subcapa viscosa, es mayor que el tamaño de las protuberancias de la pared. Escurrimiento Turbulento Hidráulicamente Rugosa: Se presenta cuando las protuberancias de la pared son mucho mayores que el espesor teórico de la subcapa viscosa. Escurrimiento Turbulento Hidráulicamente de Transición: Si el espesor de la subcapa viscosa y el tamaño de las protuberancias tienen el mismo orden de magnitud. La distribución de velocidades en la zona turbulenta se define con una sola ecuación (del tipo logarítmico) independiente de la condición hidráulica de frontera (lisa, de transición o rugosa).

Tabla 1.8 Clasificación de superficies límites con escurrimiento turbulento en canales. (Chow, 1973; French, 1985; Maza A. & García F., 1984).

Flujo Turbulento

Hidráulicamente Liso 5

Hidráulicamente de Transición 5

70

Hidráulicamente Rugosa 70

Donde es el tamaño medio de las asperezas de la pared, en Parámetro llamado Reynolds asociado a la rugosidad, adimensional

( 1.82)



Velocidad de corte, en / ( 1.83)

1.5.7 Turbulencia El flujo turbulento es un fenómeno del escurrimiento en canales abiertos, se presenta con mayor frecuencia cuando la naturaleza del flujo alcanza valores del Número de Reynolds mayores a 12500, al cual se dice que el régimen del flujo es turbulento. Es importante apreciar que en la práctica, todos los escurrimientos en ríos y canales son turbulentos. Se entiende por turbulencia al estado de agitación desordenada de las partículas fluidas. El régimen turbulento es aquella situación de flujo en la cual la turbulencia puede existir, mantenerse o propagarse; se caracteriza por un movimiento aparentemente caótico y vorticoso de todas las partículas (Figura 1.15), que da como resultado la variación continua de la presión y la velocidad en el tiempo y en el espacio.

Figura 1.15 Relación de la variación de la velocidad puntual con el tiempo en un flujo

turbulento (Maza A. & García F., 1984). Para un sistema de coordenadas cartesianas, las velocidades instantáneas en las direcciones , , son respectivamente

( 1.84)

( 1.85)y

( 1.86) A partir de éste punto en lo que sigue del curso, la variable expresada como la velocidad en la dirección , es decir: , por lo cual, esta velocidad en cualquier instante se puede usar para determinar la velocidad media como sigue

( 1.87)

Donde Es la variación instantánea sobre la media (el promedio de en el tiempo es igual a cero). Es la velocidad media en un intervalo de tiempo

uu´

t

u

t 1 t 2 T



Los parámetros estadísticos (French, 1985) son: La raíz cuadrática media ( ) de las fluctuaciones de la velocidad es

/

( 1.88)

La energía cinética media ( ) de la turbulencia por unidad de masa es

( 1.89) La correlación entre variables que miden el grado en que dos variables son dependientes entre si es Para el plano

( 1.90)

Mide la correlación que existe entre y . En un flujo cortante turbulento, es finito: por lo tanto, se concluye que y están correlacionados. En los flujos que se verán más adelante ocurren normalmente en ríos y canales, la hipótesis principal es asumir que sólo existe un valor para la velocidad en la dirección ; es decir, son flujos unidimensionales en los que se cumple

0 ; 0 ; 0 En la realidad existen fluctuaciones en las tres direcciones, esto es

0 ; 0 ; 0 1.5.8 Distribución de velocidades y velocidades medias en flujos turbulentos La experiencia de Prandtl (French, 1985) demostró que el perfil de distribución de velocidades sigue una ley logarítmica y que el esfuerzo cortante en cualquier punto se calcula mediante la ecuación

ℓ ( 1.91)

Utilizando la igualdad ℓ , definiendo como la constante de von Karman, con un valor aproximado a 0.4 se obtiene la ecuación universal de distribución de velocidad de Prandtl – von Karman.

2.5 ln ( 1.92)

Donde Constante de integración. Es aproximadamente igual al espesor de la subcapa viscosa y es

función de si la frontera es hidráulicamente lisa o rugosa.



1.5.9 Distribución de velocidades para flujos con paredes hidráulicamente lisas y rugosas Cuando la frontera es hidráulicamente lisa, entonces la constante de integración 0y será función de la viscosidad y la velocidad de corte, es decir ⁄ , donde es un coeficiente aproximadamente igual a (1/9) para superficies lisas. Reemplazando en la ecuación universal se obtiene

2.5 ln9

( 1.93)

Por otro lado, cuando se tiene frontera hidráulicamente rugosa, la constante de integración 0y depende de la rugosidad media de los granos ; el coeficiente es aproximadamente igual a (1/30) para superficies rugosas. Finalmente, la ecuación de distribución para esta frontera queda

2.5 ln30

( 1.94)

Las ecuaciones de distribución de velocidades para flujos hidráulicamente lisos y rugosos, ( 1.93) y ( 1.94), respectivamente, describen el perfil vertical de velocidades en un canal ancho con flujo no estratificado. 1.5.10 Velocidad media en flujos turbulentos En la práctica es más común hablar de un valor de velocidad en un flujo, este valor es el promedio de la distribución de velocidades en la vertical de un flujo, comúnmente se le conoce como velocidad media. El valor de una velocidad media puede ser determinado integrando la ecuación de distribución de velocidad. Es importante tomar en cuenta la forma de la sección transversal, pues también existe variación de la distribución de velocidad en la dirección transversal al flujo. Prandtl – von Karman, Keulegan y Chow han desarrollado la integración de dichas ecuaciones en función de las características geométricas del canal e introdujeron una constante que modifica las ecuaciones resultantes propuestas por Keulegan (1938) Para canales hidráulicamente lisos

3.25 2.5 ln ( 1.95)

Para canales hidráulicamente rugosos

6.25 2.5 ln ( 1.96)



1.6 RESISTENCIA AL FLUJO EN CAUCES NATURALES Las fórmulas que definen la velocidad media en flujo turbulento son de dos tipos: empíricas y semiempíricas. Las ecuaciones semi–empíricas se apoyan en la teoría desarrollada por Prandtl y von Karman, estudiada en el anterior inciso; pero, las ecuaciones empíricas relacionan magnitudes que en muchas ocasiones no se tienen dimensiones homogéneas. El promedio del esfuerzo cortante que el fluido ejerce sobre la superficie mojada es igual a

( 1.97)Donde

es el coeficiente de fricción arrastre y es la velocidad media del flujo. En canales abiertos es frecuente emplear el factor de fricción de Darcy, , el que está relacionado con de la siguiente forma

4 ( 1.98) Que sustituida en la anterior ecuación, se obtiene

8 ( 1.99)

Figura 1.16 Relación de la variación de la velocidad puntual con el tiempo en un flujo

turbulento. Éste esfuerzo tangencial se desarrolla en la inter cara entre el flujo y la pared del conducto, entonces de acuerdo con la segunda ley de Newton, dado que la aceleración es nula, se deberá cumplir en la dirección del flujo que la suma de fuerzas en el sentido del movimiento sea igual a cero.

· sen sen ( 1.100) Donde: es el peso del fluido dentro del volumen de control, peso específico del fluido, área de la sección transversal del flujo, longitud del volumen de control y ; , el ángulo de la pendiente longitudinal del canal.

τo

cτ

h= RSγ

Esfuerzo Actuante Esfuerzo

Resistente

Q

L

S

α hf

A

P

U2

2g



Experimentalmente se ha encontrado que la fuerza por unidad de área que el contorno ofrece resistencia al movimiento, es proporcional a , es decir : . luego

( 1.101)Donde Función de proporcionalidad , í , Entonces, para el tramo de longitud con perímetro mojada , la fuerza de resistencia es

( 1.102) Así, igualando las ecs. ( 1.102) y ( 1.100) tenemos

sen

sen

sen

· sen

Si es pequeña, situación usual, entonces sen tan , es la pendiente longitudinal del canal

√ ( 1.103)

Ésta es la bien conocida ecuación de resistencia al flujo de Chezy, que permite valuar la velocidad media y es la base para el diseño de canales, como se verá más adelante. 1.6.1 Ecuaciones empíricas Son aquellas basadas en experiencias de laboratorio y mediciones directas en canales o ríos. Las fórmulas empíricas son las más empleadas para el diseño de obras hidráulicas, entre estas tenemos a) Ecuación de Chezy (1769) Si en la ec. ( 1.103) se define a ⁄ obtenemos la forma más conocida de ecuación de fricción que permite valuar la velocidad media de un flujo en función del coeficiente y la geometría del canal, por tanto

√ ( 1.104) Es difícil cuantificar el coeficiente C de Chezy, pues depende, como ya se dijo, de la viscosidad del fluido, de la geometría y de la rugosidad del lecho. Los Suizos Ganguillet y Kutter expresaron el coeficiente en función de un parámetro geométrico y la rugosidad, ya que en canales con flujo turbulento la viscosidad llega a ser despreciada. Posteriormente, los valores del coeficiente de Chezy fueron investigados, habiendo llegado algunos autores a las siguientes ecuaciones (Giles, et al, 1994):

− Según Kutter

23 0.0015 1

1√

23 0.00155 ( 1.105)



− Según Bazin

87

1√

( 1.106)

− Según Powell

23.2 log 1.811 ( 1.107)

− Según Manning

/ ( 1.108)

− Según Keulegan: (Flujo con pared Hidráulicamente Rugosa)

32.6 log 12.2 ( 1.109)

− Según Keulegan: (Flujo con pared Hidráulicamente Lisa)

32.6 log5.2

( 1.110)

− Según Coolebrook - White: (Para flujos hidrodinámicamente rugosos)

18 log 12.2 ( 1.111)

b) Manning (1891) Haciendo / ⁄ , y sustituyendo en la ecuación de Chezy tenemos

1 / / ( 1.112)

Válida solo en régimen turbulento. c) Darcy – Weisbach (1845, 1854) Los coeficientes de Chezy y de Manning tienen similar comportamiento al coeficiente de fricción que presentó Darcy – Weisbach. La ecuación de fricción para canales resulta al reordenar la ecuación original de Darcy – Weisbach

8√ ( 1.113)

Las relaciones entre los coeficientes de fricción de Chezy, de Manning y de Darcy son: / 8

( 1.114)

Para flujos con fronteras hidráulicamente suaves en tuberías se puede utilizar la ec. ( 1.115), propuesta por Blasius (1913), válida cuando 53 10Re103 <<×



0.3164. ( 1.115)

Si 10 , pero el flujo hidráulicamente suave es amortiguado, se emplea la ecuación de Prandtl - von Karman

12 log

2.51 ( 1.116)

Para flujo hidráulicamente rugoso se tiene

12 log

12 ( 1.117)

Cuando el flujo se encuentra en la región de transición, puede utilizarse la ecuación modificada de Coolebrok

12 log

122.51

( 1.118)

El tipo de flujo puede ser identificado por medio de la siguiente relación (ver Tabla 1.8)

5 70 ( 1.119)

La que define los límites de la zona de transición. d) Ecuaciones Semiempíricas Prandtl–Von Karman–Nikuradse (1926 – 1933) determinaron las siguientes ecuaciones para la condición de flujo hidráulicamente liso y rugoso (Maza A. & García F., 1984), válidas para sección rectangular muy ancha Pared Hidráulicamente Lisa

2.5 ln 3.32 ( 1.120)

Pared Hidráulicamente Rugosa

2.5 ln 11.02 ( 1.121)

Por otra parte Keulegan (1938) también obtuvo relaciones similares a los anteriores autores, válidas para sección rectangular muy ancha Pared Hidráulicamente Lisa

5.75 log 5.5 ( 1.122)

Pared Hidráulicamente Rugosa

5.75 log 8.5 ( 1.123)

Donde: es la velocidad al corte, en / .



2 ε es el tamaño medio de las asperezas o rugosidades en canales revestidos 2 es el diámetro representativo de partículas de lecho aluvial y sin arrastre, con

material uniforme. Por otra parte, existen relaciones que permiten obtener el coeficiente n de Manning a partir del diámetro característico de las partículas, esto significa que el coeficiente de rugosidad obtenido corresponde sólo a la resistencia ofrecida por los granos.

− Strickler /

6.71 ( 1.124)

/

7.66 ( 1.125)

− Lane

/

6.75 ( 1.126)

− Meyer – Peter y Müller

/

8.3 ( 1.127)

Si sustituimos los anteriores valores en la ecuación de Manning y dividimos entre se obtiene

− Strickler

6.71/

( 1.128)

7.66/

( 1.129)

− Lane

6.75/

( 1.130)

− Meyer – Peter y Müller

8.3/

( 1.131)

− Ecuación de Limerinos y Ayala

En 1970, Limerinos relacionó el coeficiente de rugosidad de Manning con el radio hidráulico y el tamaño de partículas de varios canales naturales conformados con sedimentos desde gravas muy finas hasta cantos rodados medianos, habiendo encontrando la siguiente ecuación



0.8204 /

1.16 2 log ( 1.132)

Más tarde, Limerinos y Ayala propondrían una modificación a la anterior ecuación, con el propósito de generalizar su uso para cauces naturales con flujo turbulento completamente desarrollado

/

18 log 12.2 ( 1.133)

1.7 FLUJO UNIFORME Iniciemos por definir el “flujo a superficie libre”, es todo movimiento de un líquido limitado parcialmente por un sólido y por la atmósfera. Ejemplos de este tipo de flujos son: el oleaje, el flujo en ríos, el escurrimiento del agua de lluvia en la superficie de los suelos y los canales. El último se diferencia de los demás por tener un flujo unidimensional. Los canales con flujo unidireccional son los que serán analizados en esta ocasión. La siguiente figura muestra las variables geométricas más empleadas en el cálculo hidráulico de la sección transversal de un canal o en un río.

a) Corte longitudinal b) Corte transversal en sección prismática

Figura 1.17 Variables geométricas en canales abiertos. Donde: ancho superficial ancho de fondo tirante o máxima profundidad del flujo para los ríos Perímetro mojado Pendiente longitudinal de la solera, θ θ Ángulo que forma la solera con la horizontal Con base a las variables anteriores se deducen las siguientes propiedades geométricas: Área hidráulica: ; es el área de la sección transversal. Radio hidráulico: / ; su valor será variable dentro del rango ≤ . Tirante medio: / ; es la profundidad media a lo ancho del canal. La Tabla 1.9 presenta las características geométricas más usuales de las secciones transversales prismáticas.

θ

1



Tabla 1.9 Elementos geométricos de canales regulares (Chow, 1973; French, 1985).

Sección

del Canal

Elemento Geométrico

Rectangular Trapecial

Triangular

Circular

Área, sen8

Perímetro mojado, 2 2 1 2 1

2

Radio hidráulico,

2

2 √1

2 √1 sen

4

Ancho superficial, 2 2 2

Tirante medio,

22 √1

2

sen

8 sen 2

Factor de sección, .

.

2 √2

2.

√232

sen .

sen 2

En cambio, las secciones transversales como la Figura 1.18 son típicas en canales naturales (ríos), su geometría es irregular y las propiedades geométricas se obtienen aplicando las expresiones que sugiere Naudascher (2002).

Figura 1.18 Corte en una sección transversal natural.

h

B

b

hz

1 hz

B

1h

d

θ

1

3

5 79

11

1517

19

y

x

y

xP Δ

Δi

x i x i+1

yi+1

yih



Con referencia a la Figura 1.18 , el área de la sección transversal y su perímetro mojado se obtienen por la sumatoria de los segmentos o franjas que se forman entre cada par de coordenadas. Por consiguiente, el área de cada franja es

12

( 1.134)

El perímetro mojado de la misma franja será

( 1.135) El área y perímetro totales serán

( 1.136)

( 1.137) En una sección regular o irregular la velocidad media es el promedio de las velocidades puntuales en la sección transversal del canal; en general, su distribución no es uniforme porque en contacto con el contorno es casi nulo y en la superficie no es precisamente donde se halla la máxima. Esta última se halla entre un 5% a 25% de la profundidad del flujo, dependiendo de las irregularidades del canal y de la variación de la rugosidad de su superficie. Entre otros factores que condicionan la distribución de velocidades, especialmente se menciona a la relación / como la más importante. De hecho, cuando / es pequeña (canal angosto y poco profundo) o cuando el canal es liso o cuando es veloz, la

posición de la velocidad media es más superficial y en los casos opuestos es más profundo. El flujo uniforme es aquel en el que la velocidad no varía ni en el espacio ni en el tiempo; y al observar simultáneamente las secciones extremas del tramo de un canal, estas tienen igual profundidad. A esa profundidad se le conoce como profundidad normal o tirante normal, o . En consecuencia, refiriéndonos a la Figura 1.17a, las pendientes de la solera, , la de la superficie, y la del gradiente de energía, , son iguales, (Camargo H. & Franco, 1999). En éste texto se utilizará mucho más la ecuación de Manning para evaluar el flujo uniforme y no uniforme. 1.7.1 Determinación del Coeficiente de Manning Para estimar el coeficiente de Manning se dispone de valores estándares como los que se muestra en la Tabla 1.11 ; además se implementaron métodos correctivos, Tabla 1.10 ; por efectos adicionales a la rugosidad de la superficie de los canales. Muchos de estos valores se encuentran de forma amplia en las referencias bibliográficas del este texto, por ejemplo: Chow (1973) y French (1985) ofrecen tablas detalladas que incluyen fotografías y figuras adicionales con la forma de secciones. Sin embargo, debido a las características físicas que generalmente posee un canal abierto no revestido que han sufrido modificaciones en su sección o se espera que suceda en su vida útil y más aún en secciones naturales, las pérdidas se deben a otras causas, porque existen otros factores que influyen sobre el coeficiente , además de la rugosidad del contorno, de ellos los más importantes son: La vegetación, la irregularidad, las obstrucciones, las variaciones en la sección transversal, la alineación y el efecto de meandros.



Para no complicar los cálculos debe emplearse una sola n de Manning que considere los factores anteriores, así Cowan (1956) propuso un criterio para obtener un coeficiente de rugosidad de Manning a través de la expresión

( 1.138)Donde

Coeficiente de rugosidad básico, se obtiene de tablas o a partir de las rugosidades del contorno del canal, ecuaciones ( 1.124) a ( 1.133) o segunda fila de la Tabla 1.10.

Debido a la irregularidad en la forma de la sección, salvo en canaletas prefabricadas. Variaciones en la forma y tamaño de las secciones transversales. Es muy difícil reproducir una

sección uniforme, porque a lo largo de un canal habrá variaciones en el ancho y la profundidad que también influyen en la resistencia al flujo.

Las obstrucciones, es decir los troncos, rocas, atascamientos, etc. La vegetación, o sea los pastos, plantas y musgos que crecen en un canal sin revestir y en las

juntas y grietas de los canales revestidos. La alineación, o sea la mayor o menor cantidad de curvas y su curvatura.

Donde cada valor de corresponde a las rugosidades y elementos correctivos debido a los factores mencionados, respectivamente. Estos factores se obtienen de la Tabla 1.10. Tabla 1.10 Valores de coeficientes utilizando del Método de Cowan para estimar la rugosidad

efectiva de un cauce natural. Chow (1973) y French (French, 1985)

Condiciones del Cauce Descripción del material Valor

Excavación en suelo natural

Suelo homogéneo Roca Grava fina Grava gruesa

0.020 0.025 0.024 0.028

Grado de irregularidad

Despreciable Leve Moderado Severo

0.000 0.005 0.010 0.020

Variaciones en las secciones a lo largo del canal

Graduales Ocasionalmente alternante Frecuentemente alternante

0.000 0.005

0.010 – 0.015

Efecto relativo de las obstrucciones

Despreciable Leve Apreciable Alto

0.000 0.010 – 0.015 0.020 – 0.030 0.040 – 0.060

Densidad de vegetación

Baja Media Alta Muy alta

0.005 – 0.010 0.010 – 0.025 0.025 – 0.050 0.050 – 0.100

Frecuencia de meandros Leve Apreciable Alto

1.000 1.150 1.300



Tabla 1.11 Valores típicos de coeficientes de resistencia al flujo o coeficiente de rugosidad (Chow, 1973; Henderson, 1966; French, 1985)

Descripción de la superficie Manning

Darcy – Weisbach

Chézy

Lisa 0.010 0.0056 118 Lecho plano de arena 0.010 – 0.013 0.0046 – 0.0078 100 – 130 Antidunas con arena 0.013 – 0.018 0.0078 – 0.0150 72 – 100 Rizos 0.018 – 0.030 0.015 – 0.042 43 – 72 Dunas con arena 0.020 – 0.040 0.018 – 0.076 32 – 65 Lechos de grava 0.015 – 0.030 0.011 – 0.042 43 – 86 Lechos de guijarros 0.020 – 0.035 0.018 – 0.057 37 – 65 Lechos de cantos rodados 0.025 – 0.040 0.029 – 0.076 32 – 52 Vegetación 0.030 – 0.070 0.042 – 0.240 18 – 43

1.7.2 Cálculo del Flujo Uniforme en Secciones Regulares Simples Para resolver el problema de escurrimiento de un fluido por un canal con flujo uniforme, basta con satisfacer la igualdad de alguna de las ecuaciones de velocidad (1.88) a (1.110), entonces, el problema puede tener distintos análisis, según el que se requiera: a) Verificación de la capacidad de conducción de un canal, b) Diseño de la sección de un canal; (Guaycochea G., 1990). a) Verificación de la capacidad de conducción de un canal: Los datos son la pendiente, el

coeficiente de Manning y la geometría del canal. Se desea verificar el caudal que puede conducir el canal. El procedimiento de cálculo para su solución es:

− Calcular la relación / , con relación a la Figura 1.17b .

− Calcular el área, el perímetro mojado y el radio hidráulico de la sección transversal, según

sea el tipo de sección hidráulica.

− Calcular el caudal, en forma general. Por ejemplo, con la ecuación de Manning se tiene / /

( 1.139)

− Si se plantea en términos de la relación adimensional / , para una sección trapecial, rectangular o triangular se puede emplear la expresión siguiente:

//

2√1/ ( 1.140)

b) Diseño de la sección de una canal: Se tienen como datos al caudal , en principio se asume

la pendiente igual a la del terreno natural y el talud ; también se conoce el coeficiente de Manning porque se conoce previamente si el canal será revestido o sin revestir, así como las características del mismo, tales como su granulometría, vegetación, sinuosidad, etc. Las incógnitas son y , se plantean tres procedimientos o alternativas de solución:



Procedimiento 1: Adoptar una relación / y calcular y .

− Calcular h

2√1/

/ /

/ ( 1.141)

− Conocido h calcular b

· ( 1.142)

Procedimiento 2: Adoptar un valor para y calcular

− La ecuación de Manning se expresa en términos de las incógnitas y las variables conocidas.

− En la ecuación ( 1.141) se conocen todas las variables, excepto la relación b/h, que se despeja por tanteos.

− Conocido la relación b/h se calcula b. Procedimiento 3: Adoptar un valor para y calcular

− En la ecuación de Manning, ec. ( 1.139) , se la expresa en términos de las incógnitas y las variables conocidas.

− Se conocen todas las variables, excepto h, que se calcula por tanteos. Es buena práctica proceder a verificar en un canal las velocidades medias, pues no conviene que estas excedan de un valor máximo, para evitar problemas de erosión; este valor dependerá del tipo de material que conforma la solera y los taludes del canal. En el capítulo 3 se presentan los métodos para el diseño de canales por los métodos del esfuerzo cortante y la velocidad permisible. Al respecto, los valores propuestos por Litschvan Lebediev y Fortier–Scobey pueden emplearse en cálculos expeditos. 1.7.3 Cálculo del Flujo Uniforme en Secciones Compuestas Los canales compuestos son la unión de dos o más canales de formas geométricas simples, en general, lo componen una sección principal y una o más secciones laterales, ver Figura 1.19. El tirante en la primera sección es mayor que en las otras, pero su rugosidad es menor.

Figura 1.19 Canal de sección compuesta con diversas superficies.

A1 A2 A3 A4

n1

P1 n2

P2

n3

P3

n4

P4

Sección Principal Sección lateral derechaSección lateral izquierda



Debido a la presencia de una diferencia de cargas entre las secciones principal y lateral, el coeficiente de corrección de energía α debe definirse por la componente de carga de velocidad total. Por definición, se tiene que

∑∑ ( 1.143)

En términos de caudales, se tiene ∑∑ ( 1.144)

De la ecuación de Manning, se tiene

/√ √ ( 1.145)

Donde / ⁄ ( 1.146)

Por consiguiente, en términos de la geometría y la rugosidad, tenemos

∑∑ ( 1.147)

Donde Factor de conducción de la subsección del canal: / Área de la subsección Factor de conducción de toda la sección Área total de la sección: ∑

1.7.4 Rugosidad Compuesta Los canales de sección compuesta están conformados por materiales de distinta rugosidad, tal como se puede apreciar en la Figura 1.19. Lo más frecuente es encontrar canales de distintas dimensiones, en la que se tienen otros canales laterales y uno principal. En una mayoría de los flujos las secciones están compuestas por rugosidades diferentes a lo largo de su perímetro. Algunos métodos permiten obtener una rugosidad equivalente para toda la sección, como los que se describen a continuación: Método de Horton, Einstein y Banks

∑ /

∑

/

( 1.148)

Método de Cox (L.A. U.S. ACED )

∑∑ ( 1.149)

Método de Colbatch

∑ /

∑

/

( 1.150)



Método de Pavlovski

∑ ·∑

/

( 1.151)

Método de Lotter

· /

∑ · / ( 1.152)

1.7.5 Flujo en curvas El flujo en una curva produce una sobre elevación en el talud exterior y una correspondiente sub elevación en el interior. Para considerar éste efecto en un diseño se recurre a estimar la sobre elevación y la pérdida de energía. En principio, se supone que la velocidad media en el flujo está distribuida de forma constante a la largo de la curva, entonces, el cambio de elevación en la superficie libre del canal a través de la curva, ∆ , se estima mediante la siguiente expresión (French, 1985; Chow, 1973)

∆ ( 1.153)

Siendo el radio de curvatura del tramo de estudio, es su ancho medio, la velocidad media del flujo antes del ingreso a la curva y, la aceleración de la gravedad. Ésta ecuación siempre subestima la sobre elevación, ∆ , debido a la suposición de la velocidad media. El lector podrá verificar que el criterio presentado tan solo es una estimación para un diseño rápido, sin embarbgo podrá consultar mayores detalles en los textos de Chow (1973) y French (1985), que contienen criterios precisos del cálculo de sobre elevaciones y pérdidas de energía.

Figura 1.20 Flujo en la curva de una Canal.

La presencia de la curva produce una pérdida de energía, además, originará una aceleración perpendicular a la dirección del flujo, por tanto, se debe corregir la carga de presión hidrostática añadiendo el factor

Δ

BcSuperficieDel Agua

MargenConcava

MargenConvexa

φ

φ

m g

m Ur

2c

y



2 ( 1.154)

Donde Pérdida de energía en una curva Velocidad media del flujo Coeficiente de resistencia de la curva, ver Chow (1973), Cap. 16. El coeficiente varía de valores cercanos a cero para tramos poco curvos, hasta 1.2 para curvas muy pronunciadas, con radios de curvatura pequeños. También varía en función de la relación ancho a profundidad, el número de Reynolds y la combinación entre dichas variables. Mayores referencias pueden consultarse los textos de Chow (1973) y French (1985). 1.8 FLUJO VARIADO Y PERFILES HIDRÁULICOS El flujo uniformemente variado se caracteriza por mantener un caudal constante y variación gradual de la sección transversal. En otras palabras, en este flujo la velocidad es variable a lo largo del recorrido. Este caso de flujo es más general que el anterior y a la vez es más complicado en su análisis, debido a que sus tirantes serán variables y las pendientes de las líneas de energía también serán variables. La Figura 1.21 muestra los perfiles hidráulicos posibles para flujo gradualmente variado. A estos perfiles se los clasifica en cinco grupos, de acuerdo con la pendiente del lecho. Cada grupo está identificado por con una letra descriptiva de la pendiente:

− para suave (subcrítica), − para pronunciada (supercrítica), − para crítica, − para horizontal y − para adversa.

Las dos líneas discontinuas que aparecen en la mencionada figura son la línea del tirante normal, , y la línea del tirante crítico, . La sección de control de un canal prismático es aquella en la cual puede determinarse fácilmente el tirante del flujo. Este tirante suele ser diferente al del tirante normal debido al cambio de la pendiente, compuertas, vertedores, presas, una caída libre u otra característica en ese lugar que ocasiona la formación de una curva de remanso. Los cálculos para la longitud y forma del perfil de la superficie libre de una curva de remanso empiezan en este tirante y ubicación conocidos, y avanzan hacia aguas arriba o aguas abajo, según el tipo de flujo. Para condiciones de flujo subcrítico, la curva avanza hacia aguas arriba y cuando se tiene flujo supercrítico se calcula hacia aguas abajo, ambos inician el cálculo en la sección de control.

Cap. 1

M e

Figur

Fundamentos d

n I. José Anton

ra 1.21 Perfdel

de Hidrodinámic

nio Luna Vera

files típicos dl tirante norm

ca

de flujo para mal y CDL la

canales con

a línea del tirdiversas penrante crítico

Puer

ndientes. ND(Chow, 1973

rtos y Vías NavegCIV – 336

DL indica la l3).

gables

1-46

línea



1.8.1 Cálculo de perfiles hidráulicos en secciones regulares Para obtener una expresión del Flujo Gradualmente Variado (FGV) se recurre a las ecuaciones ( 1.38) ó ( 1.63).

2 ( 1.155)

Luego, redefinimos la combinación de carga de presión con la energía cinética, como energía específica,

2 ( 1.156)

La ec. ( 1.155) puede ser expresada como ( 1.157)

Entonces, diferenciando ambos lados respecto a se obtiene

( 1.158)

Donde es el desplazamiento en la dirección del flujo. Por definición, ⁄ y de igual modo; ⁄ . Luego, sustituyendo estas igualdades en la ec.( 1.158) y reordenando tenemos una forma de las ecuaciones del FGV.

( 1.159)

Podemos obtener otra forma de la ecuación del FGV por expansión del lado derecho de la ec. ( 1.166)

2

/

Donde: es el caudal constante y el área. Haciendo una manipulación matemática al utilizar el concepto de ancho superficial, ⁄ , y luego, el concepto del tirante medio, como ⁄ , y el número de Froude; ·⁄ . Entonces, la última ecuación para ⁄ quedaría

/

/

1

1



1 ( 1.160)

Pero, sustituyendo la ec. ( 1.166) en la ec. ( 1.167) y arreglando, se obtiene

1 ( 1.161)

La solución de un Perfil Hidráulico consiste en la determinación del perfil del flujo gradualmente variado. La ecuación diferencial del flujo gradualmente variado, ec. ( 1.161) es la ley que regula la variación del tirante a lo largo del recorrido del flujo. La siguiente es una variante simplificada, en la que se ha supuesto que

1 ( 1.162)

Se tienen varios métodos de cálculo para resolver la ecuación anterior, entre estos se pueden mencionar el método de integración gráfica, el de integración directa, el método por pasos y el método estándar. La variada bibliografía presentada en el presente texto muestra en detalle todos los métodos mencionados, y sólo se explicará el método estándar. A diferencia de los otros métodos, el método estándar es un método numérico basado en la integración de diferencias finitas. Para su aplicación se plantean los diferenciales y Δ por aproximación de incrementos finitos y reemplazando en la anterior ecuación se obtiene

∆∆ 1

( 1.163)

De donde

∆1

∆ ( 1.164)

Pero ∆ ( 1.165)

Entonces 1

∆ ( 1.166)

El número de Froude y la pendiente de la línea de energía son variables, es decir que no tendrán el mismo valor para el tirante que para ; para minimizar los errores es conveniente evaluarlos para , entonces

1∆ ( 1.167)

Con

/ ( 1.168)

Y

/ ( 1.169)



Luego, se obtiene aplicando la ecuación siguiente

2 ( 1.170)

1.8.2 Cálculo de perfiles hidráulicos en secciones naturales Para el caso de corrientes naturales, donde las propiedades geométricas de las secciones son irregulares, el cálculo del flujo gradualmente variado es función de la distancia longitudinal, así entonces podrá emplearse la ecuación de conservación de la energía

2 2

( 1.171)

Donde

es la pérdida por turbulencia;

2 2 ( 1.172)

0.5 Si no se conoce de mediciones en campo para expansiones y contracciones bruscas. 0 0.2 Para tramos convergentes o divergentes graduales Pérdidas por fricción;

· ∆2

· ∆ ( 1.173)

Con la ecuación de Manning

/ ( 1.174)

Si definimos en la ecuación planteada

; ( 1.175)y

2

;2

( 1.176)

La ecuación de conservación de la energía resultará

( 1.177) Esta ecuación se resuelve por tanteos (French, 1985), considerando lo siguiente

− Se supone que la sección de control está en la sección de aguas abajo, sección 2, por tanto, se conoce la geometría y características hidráulicas.

− Se conoce la distancia longitudinal desde la sección de control hasta la siguiente sección, donde se cuantificará el nivel de la superficie libre, sección 1.

− Se supone la elevación del agua en la sección 1, con la cual se estima

2 ( 1.178)



− Luego, se calculan h y h − Se calcula − Si H es diferente a H entonces se repite el procedimiento desde la suposición del nivel de

agua en la sección 1; de lo contrario se pasa al siguiente punto. − Si H es igual a H entonces la elevación supuesta en la sección 1 es la correcta.

En realidad, en el proceso de tanteo se busca que ∆ | | sea cercano a cero, o bien , menor o igual a una tolerancia, .

∆ 1.9 AFORO DE CAUDALES EN CORRIENTES NATURALES. El aforo no es más que la medición del caudal que pasa por la sección transversal de un río, un canal u otra forma de conducción del agua. Existen diversos métodos de medición de caudales, entre ellos se tienen los métodos directos e indirectos. 1.9.1 Aforo con Molinete Es el método más utilizado para medir directamente la velocidad puntual. Se emplea un aparato mecánico provisto de una hélice y cables que receptan las revoluciones de ésta (Figura 1.22). Se sumerge en el agua y se posiciona el eje de la hélice en diferentes puntos de la sección transversal, luego se mide la velocidad puntual de la corriente del agua en cada uno de ellos.

Figura 1.22 Esquemas de Molinetes típicos. a) de cazoletas y b) de hélice. El aforo consiste en tomar lecturas de velocidades de la corriente en diferentes puntos de las verticales y a lo ancho de la sección transversal (Figura 1.23). Al mismo tiempo en que se van midiendo las



profundidades del lecho, se miden los anchos entre cada vertical, con lo cual se tiene conocimiento preciso de la sección transversal.

Figura 1.23 Sección transversal de un canal natural.

Una vez determinadas las áreas de las secciones y sus respectivas velocidades medias, se calcula el caudal por medio de la ecuación

Á · ( 1.179) El método aritmético sugiere calcular el caudal en una subsección (franja) con la ecuación siguiente

, 2 2 , ( 1.180)

Donde velocidad media en la vertical , en / .

velocidad media en la vertical 1, en / . profundidad del agua en la vertical , en .

profundidad del agua en la vertical 1, en . , espaciamiento entre las verticales e 1, en .

Cuando el espaciamiento entre verticales es igual, se emplea una ecuación simplificada que no difiere de cuando los espacios son variables. En general, los resultados que se obtiene con la ecuación básica (ec 1) son similares a otras empleadas para tal propósito. Un segundo método de cálculo, también aritmético, está basado en segmentos o secciones parciales de cada vertical (ver Figura 1.24). La ecuación que se emplea para calcular el caudal en cada segmento es

2 2 ( 1.181)

donde, las variables son las indicadas en la ecuación anterior

Figura 1.24 Espaciamiento entre verticales para el cálculo por segmentos.

Para calcular el caudal total en la sección aforada se suman los caudales q i , la ecuación es

( 1.182)

h 1 h 2 h 3 h 4h 5 h 6

h 7

b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8

h 1 h 2 h i h i+1h 5 h 6

h 7

b1 ...bi bi+1 bi+2 b7 b8...



La velocidad media en cada vertical se puede calcular con los criterios de la tabla siguiente:

Tabla 1.12 Métodos de cálculo de la velocidad media en la vertical de una sección de aforo.

Método Ecuación Profundidades de medición Comentarios

Un punto

Basada en la Distribución de Velocidad Teórica. Es usual emplear

0.6 cuando la profundidad es pequeña.

Dos puntos . .

2 0.2 y 0.8 Muy empleado. Sirve para flujo uniforme y da buenos resultados cuando 0.7 .

Tres puntos

. . .

3 ó

. 2 . .

4

0.2 , 0.6 y 0.8 Utilizado en canales de pasto mal desarrollado y corrientes naturales, en general.

1.9.2 Aforo Químico Éste tipo de aforo consiste en introducir un compuesto químico conocido con una concentración predeterminada, , a una corriente con caudal, . El compuesto químico llega a diluirse con la corriente, se toman muestras en una sección aguas abajo a una distancia conocida y se analizan las muestras. Cuando la dosificación del compuesto químico es constante se introduce un pequeño caudal con una disolución conocida, y si el río ya contenía una concentración de la misma sustancia, por continuidad, se tiene

( 1.183)Despejando , se obtiene

( 1.184)

Figura 1.25 Esquema del aforo químico.

Co

q C1

Q

C2 Q2

Toma de Muestras

C

tiempo

C2



1.9.3 Medición indirecta Son aquellos que a partir de mediciones del nivel de la superficie del agua se infiere el caudal. a) Escalas Limnimétricas Son reglas graduadas al centímetro, estas son fijadas a la orilla o dentro del curso del río, sirven para hacer lecturas del nivel de la superficie del agua. Es necesario que una persona realice las de anotaciones diarias de las variaciones del nivel del agua. b) Limnímetro digital Son instrumentos que miden el nivel del agua en forma instantánea en las secciones de aforo. La modernidad de estos aparatos ha hecho que su uso sea más frecuente en los estudios hidrológicos e hidráulicos. El principio básico de medición es la carga de presión de la columna de agua hasta el fondo del cauce. La información es almacenada en una memoria digital la cual está incorporada al limnímetro. Los datos que se almacenan en memoria son la fecha, hora y nivel del agua. Existen otros instrumentos llamados limnígrafos, estos realizan la misma función que los modernos con la diferencia de que estos son mecánicos, pues son accionados por un flotador que está dentro de una cámara conectada a través de una galería o tubo al río; así al disminuir o aumentar el nivel del agua el flotador acciona unos engranajes que están conectados a un sistema de graficado en un papel pegado a un tambor que gira. El análisis de caudales por el método indirecto requiere del aforo directo de la corriente en la sección de aforo, y deberá realizarse numerosos aforos para establecer la relación entre los niveles y los caudales, es decir una curva vs , para luego, con el nivel se pueda conocer el caudal. Esta relación debe ser actualizada debido a que la sección puede cambiar por procesos de erosión o deposición. 1.9.4 Método Hidráulico Un criterio de medición indirecta del caudal es a través del método sección – pendiente, el cual permite conocer la máxima crecida que ha transitado por el cauce o bien verificar un gasto cualquiera. El método consiste en medir el desnivel de la superficie del agua entre dos secciones de un tramo de río o canal, de igual forma se haría con la marca o huella que deja una crecida. Seguidamente se aplicar la ecuación de la energía entre éstas dos secciones (ver Figura 1.26); y apoyándose en las ecuaciones de continuidad, de conservación de energía complementada con alguna ecuación de fricción se puede despejar el caudal en función del resto de las variables. A continuación se presenta la deducción para dos y tres secciones. Se emplea una ecuación de fricción conocida, por ejemplo la ecuación de Manning

1 / / ( 1.185)

la expresión simplificada de la anterior ecuación es / ( 1.186)

Donde /

( 1.187)



es el factor de conducción de la sección

Figura 1.26 Perfil longitudinal y secciones transversales tipo de un río. Si la sección es de forma irregular, entonces debe dividirse en sub secciones y calcular el factor de conducción para cada subsección. El factor de conducción de toda la sección es igual a la suma de los factores individuales

( 1.188) a) Deducción para dos secciones Si se va a estimar el caudal tomando dos secciones transversales entonces se sigue el procedimiento siguiente: Se aplica la ecuación de conservación de la energía entre las secciones 1 y 2, y se tiene

2 2 ( 1.189)

Agrupando términos

2 2 ( 1.190)

El lado izquierdo de la expresión anterior es la diferencia de niveles en la superficie del agua entre las secciones, esto es

∆ ( 1.191) Además, con la ecuación de continuidad, , y la pérdida por fricción es

· ( 1.192)

h2

h1

h3

z2

z1

Hf12

Hf23Hf

L12 L23

h1 h2 h3

z3

g2U 2

2

g2U 2

3

g2U 2

1



Siendo el gradiente hidráulico entre las secciones 1 y 2, el cual se puede calcular como el promedio geométrico de los valores obtenidos en las secciones extremas, es decir

· ( 1.193)

Luego, se combinan las ecuaciones anteriores, se agrupan términos y se despeja 2 ∆

2·

/ ( 1.194)

Donde y coeficientes de rugosidad de Manning en las secciones 1 y 2, respectivamente y áreas de las secciones transversales 1 y 2, respectivamente y radios hidráulicos de las secciones 1 y 2, respectivamente y coeficientes de corrección de velocidad o de Coriollis en las secciones 1 y 2,

respectivamente. Para una sección regular prismática se usa 1 , y para una sección compuesta o irregular se usa

∑ ⁄

∑ ⁄ ( 1.195)

En la que es el área en la -ésima subsección b) Ecuación para tres secciones De igual modo puede desarrollarse una expresión para considerar tres secciones, la deducción es similar a la anterior y aquí sólo se presenta la ecuación final

2 ∆

2/

( 1.196)

Ejemplo: Después de una crecida, un ingeniero hidrólogo estimó que el gasto en un canal desbordó los taludes. Al tiempo que en la sección de aguas arriba se producía el desborde, el nivel del agua en la sección de abajo fue de 1.1 m más abajo. A través de un trabajo de topografía se determinó información de las dos secciones transversales, separadas una distancia de 286 m. La siguiente Tabla resume los valores recabados en campo.

Tabla 1.13 Parámetro Sección de Aguas Arriba Sección de Aguas Abajo

Profundidad, 0.915 0.975 Ancho, 15.54 16.46 Área, 14.22 16.05 Perímetro mojado, 17.4 18.41

de Manning 0.043 0.046



Solución: Primero se obtienen las propiedades geométricas e hidráulicas de las dos secciones. Suponga que y son igual a la unidad. La siguiente tabla presenta las ecuaciones y los valores calculados con los datos de la anterior tabla

Tabla 1.14 Parámetro Sección de Aguas Arriba Sección de Aguas Abajo

Radio hidráulico, / 14.22/17.4 0.817 16.05/18.41 0.872 Factor de conducción

/ ⁄ 14.22 0.817 /

0.043289.01

16.05 0.872 /

0.046318.46

Factor de conducción medio · √289.01 · 318.46 303.38

∆ 1.1 286 0.003846⁄

Caudal estimado, √ 303.38√0.003846 18.81 Aplicando la ec. ( 1.194) se obtiene

2 ∆

2 ·

/

2 9.81 1.1

116.05

114.22

2 9.81 286289.01 · 318.46

/ 18.98

Bibliografía Camargo H., J. E., & Franco, V. (1999). Hidráulica de Canales. Cap. 5 del Manual de Ingeniería de Ríos. México: Series del Instituto de Ingeniería, UNAM. Chow, V. T. (1973). Open - Channel Hydraulics (22nd printing 1986 ed.). Singapore: McGraw - Hill. French, R. H. (1985). Open - Channel Hydraulics. New York: McGgraw-Hill. Guaycochea G., D. E. (1990). Diseño de Estructuras Hidráulicas para Riego. México: Universidad Autónoma Metropolitana - Azcapotzalco. Henderson, F. M. (1966). Open Channel Flow. New York: Macmillan Publishing Co., Inc. Maza A., J. A., & García F., M. (1984). Hidrodinámica - Bases para Hidráulica Fluvial (Vols. Pub. No. D-20). México: Series del Instituto de Ingeniería, UNAM. Naudascher, E. (2002). Hidráulica de canales: Diseño de estructuras. México: Limusa.

cap-01-fundamentos-de-hidrodinamica.pdf

Documents

flujo en curvas

fluj o uniforme

la hidrodinmica

velocidades para flujos

conceptos y ecuaciones

jos antonio luna vera

ecuaciones empricas

aforo qumico