cap. 11 - trigonometria no triangulo retangulo

7/25/2019 Cap. 11 - Trigonometria No Triangulo Retangulo

1/14

l*s#e*

tni6*na:rntr**s

ara eterminar

seno

e

cda

ngu agu-

o0, azem0s:

carerooposoa

8cm _^,

sen -

-

- - - - .=-

- ' t .A?C

nrporenusa

/ cm

,-"

cateloopostoC

l5cr

n

PoenUSa

l/ cm

Seno eumngulogudo

NO

Num

ringulo

etngulo,

seno

eum

ngulo

egudo dacloe

o

quociente

razo)

ntre cateto

oposo esse ngulo

a hipotenus-

caleloop0s0

x

hipotenusa

Vamos

alcularseno

ecada ngulo gudo

do r ingulo

EF ecatetos cme 8 cm.

Antes recisarnos

eterrninar

medida a

hpotenusi

a=.,GT=rGzl?

d=10cm

,Agora

emos:

senE=

cas0,lemosl

senB= senC=

e

a

e63

d105

I4

d105

q

Seja r ingulo

BC

ctetos crne

15cm.

dehpotenusa7cme

D i=8cm

E

Observe

segur

inguloEF,com po

tenusamedindo cm e catetos ommedidas

3crne4cm.

.1r..i


2/14

5Cm 5

^^^r ,

4cm 4

5Cm 5

l : , i"1,

r ' .

i : t r t

1; l

reciprocmente,

cada alor e

seno ssocia-sem

nico ngu

agudo.

Corno s ringulos osemelhantes,

congLtnciantrengu

os

que

se cofres-

ponoem:

.- .

-

-

i -

u'a00esen

se^E

e-enF-sent

su-

gere

nvarinciaoseno equalquer

ngulo:n-

dependentementeo'lamanho"

ecadafin-

^

;,

guo.o anguto

rque

eoeproxrndamente

370)possuiosenovalendo0,6eonguloF(que

mede proximdamente

30)

ossu

seno a-

lendo ,8.

. lustif ic-se,

ssim, exlstnciaeura

abela

contendo

vlor oseno e

cde ngulo gudo

to-

rnads uantidadesnters

e

gLts).

Veja mapane

abel:

mportante

otar ue,

onfoTmeumentame-

did

ongulo gudo, resce

mbm d modo

no

ner-ovalordo

eno ongulo gudo.

Ecsabel p'ese_t

Jrte iunrvoco:

cda

ang-lo

gJdo o|lespo_demunrcoe'or

ose.o ,

Atabela

ompleta,oftendo

seno ecada n-

guio gudode rau mgrau) soutrasazes

trgonomtricasque

ero ists

seguir),

encontra-se

o inl oprxmo

aptulodv

ser onsultada

empre

ue

ecessrio.

D 4cm E

t

ffi ffiKffig',#rtrfffiffififfi

]t.,Os catetos e um tringulo engulomedem

5 cm

e 12cm.

Ccrle valordo seno ecada

ngulo

agudo

desseringo.

a..

Determine

o seno do ngulo

agudo assinalado

a)

-..8

ot'

...'...,.

7' ' )

' '

. t .

rc

DJC

c) ,l

7n

c

f

: - -

-B

i_#


3/14

3 .

A respeto

da figura

abai{o,determine:

7.

a) o

senode cada

nguoagudo;

^

b) as

medidas aproximadas

de

B e C

4,

Determine

asmedidas

aproximadas

os ngu-

los agudos

do tringulo

de catetos

d 5 cm e

Z.-.

3

5. Determine medida.rm cad so:

)

b)

c)

" ' /

\

, / \

ra

--

42

Uma escada

e

pecreiro

e 12

m estpoiada

numa

parede forma com o solo

m ngulode

o0".

Uual

e r. lrurd.r l ingi od

eloponl"

"nJ'

alto d escada?

ual

adjstnciado

pd esc

da

parede?

Nocas0,

emos:

cosC=

b

a

6.

Determine a

inedida do

tringulo:

menor lado

deste

20,5cm

Cossenoe

umngulo

gudo

Num ringu retngulo,

cosseno

e

umn_

gu o agudo dado

ela azo ntreo cateto

dicen

te a esse ngulo a hipotenusa.

cateto

dcente

x

cosx=

'

nlpolenusa

t1*


4/14

0 cosseno

e um determindongu gudo

tambmno depende o

part icu

r tr ingLrlo

relngulo

omdo

ar

acul '0.

Asslm,

possvel nclLr lr

s

ve

ores

dos

'o: \ -

o. dosdngulo. " be

"

ci lad" er ior .

n er l. q

. l nbe'r

-no-1r

'

d erb i .n voLo

entre meddae

cda

ngulo gudo o vlor o

respect ivoosseno. orm, i fefentemefteo

.no,

co\sano eun a g' 6 gudo e e.Le

proporoueaumenta medlda o ng(rlo. ro

c rre bservarsse tona abe cornplete

o l-

naldoprximoap1u.

Sero studdso

cp tu lo

4s rzes

l

tr igonomtricas

osnguloso guclos.es-

tecptulo,uando

ecessrio,se en900 1

l

e.o\ 900

n

.

:

-

3i

Seja

rlngu retnguloBC seguir.

c

Sbemos, eo leoremde Pitgoras, ue

Dividndo,

embro membro,

or

2, btemos:

12

^2

1fla gulo

G

clcu r os cossenos

osngulos

6Hl,azemos:

do

a?

=sen2+cos2

para rm n-

^2 ^2

ib\2 lc\?

L- t

+ l

l

\ /

\ar

H6

6 2 2\r5

3\15 \15

5

.E

3\15 V5

5

Se,

or

Lrtroado, alcularmosssenos os

ngulosgudoso ringulo Hl, bteremos

sen

=

:=l I

e senG=

9

3\ '5

5

3 5

0bservemos

ue

en

=

cosGeser-

=

cos

sen

=

cos

90o

x)

Demodo era, o demosscrever,

guoxquqlter:

senzx+cos2x=1

que chmada

elaoundamental

215

5

LembrandoLre

s

ngulos

gudos

eum

rin'

g lo

retngu socomplementres,urge Tna

propriedadempotanteenvo endo senos e

cossen0s:

Tomemos,ara

xemplif lcar,m ngLlo e

320 ,mediante

usoda abela,omprovemos

relo

undamental

emos:

sen320

0,52992 sen'z2"

=

0,ZB0B1

f+

cos320

0,84805

cos2 2"

=

0,21918

,

se- l2o

co5 J?o 0,zB0B10,/ l9lB

cos

=

sen

90"

x)

Note

sse

ton

ebe

a de razes

mtricas.eja,orexemp ,que en20

e que os

900

200) cos700 0,34202

tr igono

0,34202


5/14

.3.. Sendo:c

m nguoagudo, ecosx

=

a,

quanro

12" letermine

o vaorde x erncadacaso:

al\

t\

\r"

\\

f,

,.

t

80" 0,98481 0,17365

I exercrcrosru

o, u\ cdlero(oe um

r tJnguto

meoetn cm e

24 cm. Determineo vaor do cosseno e cada

nglroagudodesseringulo.

5.

In

cadac.

o

lo rprc\(nr. 'dJ\

nedida' do'

ldos de utn tringuo retguonos quarsd

represent hipoteusae r e a, os catetos. e-

ternineo cosseno ecadaumdos ngulos gu

dos,B e C, opostos, espectivamente,

e ..

a) b=3ctnec=4cnl

b) a=12cmeb=7cm

c) a=2smeb=7n

d) a=6mec=60m

5,3. Seja angulo

r al

1ue

oscr

=

14,

Se

P

e

nguloagudoal

que

sen

=

vale os

J3?

3

7

.

Detenine

)

qmnto

.7

N{"e'sst:-:

+". : , , . , "^ ,

-

*-

{6Lf : :Ut | ,

Tangenteeumngulo gudo

N-r

lr i ; .gL o rra'1gulo.

dngente

e

-T

n-

gul0 gudo dada ela

azo ntTeceteto posto

esse

ngulo

o cateto djacenteele.

10. Determinea medidax em cadacaso:

rfl


6/14

.

cateto posto x

"

cateto djacentex

Div idindo

m 11neamentenumeTadoro

denornnador

a rao or

(medida

ahipotenusa

do1ingu ),

oblemos:

tpB=+,ouseta,qB=ls

-

cosB

a

Demodo

eral, screvemos:

No aso,emos:

tgb=

c

Ie

rgc

J

No necessrio

ue

conheemos

tenusa

ara

chartg eg e.

Ea chmad

elaoundmentall

Vamos

abel omplete.

Seja

=

290.

emossen29"

=

0,48481

cos290

0,87462.

Div

indo .48481 o-0.87162.brenos:

0,48481

0,874620,5543 g

29"

,

para

odo ngulo gudox.

e

hrp0-

Vela:

hr ,

A5B

Podenosno questange

esdosngL s

gudoso nversasmadaoutr.

'e

-brdo

ue

or a,gLoc

B

e f soconple-

n"

"1n-.

p6d" ro-

o. '

. ' .

g edl i l do

tgx tg

(900

x)=1

(s

90"

x)=

L

-

tgx

0bservetringuloBC bxo.odemosscre

VerRb=-.

ffiffi ffiHffirflrflf#gfi

.t i,

Num tringulo

retngulo,os catelosnedcm

6

l:m

c

5 cm. Deterine a medidaaproxmrada

do menor

nguodo tdrguo.

.#,

Determine

em cadacaso:

a)

f , .

n

' i

L-

5Oo

'..

7

t0

_. -

'-2.]

i

.:...

bl

f''"

:1'r.,,.

F

- t

j

1\?.

e agudo

tgx?

I

.=

j '

:

quanto

vaecos x?


7/14

.8"

Na figura

abaixo,

quanto

vae g

x?

Quanto

19,

letermine

a medid em cadacaso:

-1

-v ,

\endor

agudo.\esen

_e

tgx

-

;

.qudnro

vle cos x?

Qual

a medida aproximada

de;r?

21

. Um

poste

de B m


8/14

rnportnte:

um

ringLrloetnguloossul m

30', a hipotenu saede dobro

o

esse ng u

."

0bserve, or

exemplo, v or de

sen

45.

Nessa

./ .

lbel

pa.e'

ovalot

"

,

er1ente

o

T.es0.

.-

z

mero qLe.oost

n ldbela

'

ornple 'a

5e1

450

=

0,?4711).

A ai t

reqncl

om

que

os nguos notves

aperen

us c

aoresentdaodabe a

'

ro

Com la, s

c cu os icam c i i tados.

0bsefvndo

figur baixo,odemos

alcu-

iarsmedidas

os egmentos

D CD.

ngulo

catet0

*

ringulosetngulosue presentmsdois

or led ndo. rd n.4,0.VejTos

i^

rngulo-


9/14

37"

Determine:

a) a medidadeCD

c) BA

b) cosBC

S. 1UF-SC,daptaaol eiao enunciado seguir

julgue

o verdadeiro

u falso:Um

poste

na

po

siovertica,

colocadonum

plano

honzonrar,

encontr-se

3 m de uma prede ana

e verti-

cal. Em dado nstante,

o Sol

projeta

a sombra

do

poste

prede

est ombm em 17m de

altur.

Sea altua do

poste

de 20 m, entoa

indinao

dos raios solares, m reao o pa-

no

horizontI, de45o.

?S.

Determine

s ngulos gudos o tringuo e

catetos edindo cm e

3\5cm.

3

0" Oerermine.

medidaqos egmenro,Ce Ar-

da figura

abaixo.ABC tinguo retngulo?

'A

31.

Determine

medida em

cada aso:

)

c)

3?, um

observador

mir, mediante

um ngulo de

60u,o topo

de uma tore veical

apoiadanum

plano

horizontal.

Mastando-se

0 m do

p

da

tore, pass mirar seu opo de um ngdode

30".Determine

a

altura da torre.

3 3

"

Determine

osvaores

e x e

1,

na gura abaixo.

34. letermine c e B,sabendoque a soma deles re-

sulta

90o.

, t ' \

-

5^/

l \

1Y

p/ ' .

AB

?c

^

,.

JJ.

^

nlPorenusa

e tnangutoquepo\\LU

5me-

didas

dos ngulos

em

pmgresso

ritntica mede

15 cm.

Quanto

meden s catetosdo tianguo?

36.1uf-co) uma aocha fixada l etamentea

parede

de

um banheio. O direcionamento

do

jato

d'gua feito

modicando o nguo entre

a ducha

e a

parede.

Considerando

que

essadu

cha

prduz

um

jato

d'gua retilineo,

uma

pes-

soaem

p,

dianteda ducha, ecebe-o a

suaca-

bea cluando

o ngo entre a ducha e

a

parede

de

60'. Modifrcando

o ngulo

para

44oe man-

tendo

a

pessoa

n mesma posio,

o

jato

atin

ge-a

0,70

m abaixoda

posiFo

anterior

Nessas

condies,

determine a distncia dessa

pessoa

parede,

na qua

est nstalada a ducha.

(Dadosi

g 44o

=

0,96e

tg 60o

=

1,73.)

?

193


10/14

37,

(up-nN

e figura segui ormada

or

rs

tinguosetnguos.

As medidas

dos catetos do

primeiro

tringulo

so

guis

a 1. Nos demais ringl

os, um dos

cJteto' igudl hipolenu.,r o rri , ingrlo

nle

dor e o outro cateto

em medida guala 1.Con

sideando

os ngos o,

p

e

y,

atenda ssolicita-

es

seguintes.

a) Calcule

g oL g

p

e tg

..

b)

Calcule svaores

eol e'y.

c)

lustifique

or que

105"

cap. 11 - trigonometria no triangulo retangulo

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