Diagramas de Bloques

Una forma simple de representar sistemas es por intermedio de diagramas de bloque. Un bloque

puede representar un solo componente o un grupo de ellos, pero cada bloque es identificado por

una función de transferencia. Los bloques en un sistema complicado pueden ser combinados y

manipulados para obtener un diagrama de bloques simplificado aplicando una serie de reglas de

transformación.

Para la representación de los sistemas en diagrama de bloques se utiliza la variable de Laplace

considerando condiciones iniciales nulas.

Cada bloque cuenta con una variable de entrada y otra denominada respuesta o salida.

Diagramas de bloques simples son por ejemplo aquellos que representan un solo elemento

eléctrico como se muestra a continuación:

Resistencia

Inductancia

Condensador

Elementos Adicionales

Para representar diagramas de bloques más complejos se necesita agregar dos símbolos :

Punto de Suma.

Sirve para sumar o restar variables.

Punto de Bifurcación.

Es un punto en el cuál una variable de entrada puede seguir dos o más caminos manteniendo su

valor.

Ejemplo de como obtener un diagrama de bloques para un circuíto electrico.

Considerar Vi(s) como la variable de entrada ( conocida ) y Vo(s) la variable de salida o respuesta.

Se consideran las siguientes 2 ecuaciones:

1) Vo(s)= I(s)*5s , 2) I(s)=

Luego el diagrama de bloques es el siguiente:

Tabla de Transformaciones o Equivalencias.

La simplificación de un diagrama de bloques mediante reordenamientos y sustituciones reduce de

manera considerable la labor necesaria para el análisis matemático subsecuente. Sin embargo,

debe señalarse que, conforme se simplifica el diagrama de bloques, las funciones de transferencia

de los bloques nuevos se vuelven más complejas.

Al simplificar un diagrama de bloques, recuerde lo siguiente:

1. El producto de las funciones de transferencia en la dirección de la trayectoria directa debe ser

el mismo.

2. El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe ser el mismo.

Ejemplo: Considerando Vi(s) la entrada y Vo(s) la salida

1) Obtener diagramade bloques de un sistema.

2) Reducir diagrama.

Ecuaciones: 1)Vo(s)=Io(s)*sL 2)Io(s)=

3)Vc(s)=

4)Ic(s)=Ir1(s)-Io(s)

5) Ir1(s)=

De acuerdo a las ecuaciones se obtiene el siguiente diagrama de bloques:

Paso 1 Se desplaza bifurcación desde Io(s) a Vo(s) para dejar un lazo de realimentación sin puntos

de conexión intermedios. Se debe compensar rama desplazada por

.

Paso 2 Los dos bloques en cascada del lazo directo se transforman en un bloque.

Paso 3 Se reduce lazo de realimentación a un bloque.

Paso 4 Se desplaza bifurcación desde Vc(s) a Vo(s) para dejar un lazo de realimentación sin puntos

de conexión intermedios. Se debe compensar rama desplazada por

.

Paso 5 Los dos bloques en cascada del lazo directo se transforman en un bloque.

Paso 6 Se reduce lazo de realimentación a un bloque.

Paso 7 Los dos bloques en cascada del lazo directo se transforman en un bloque.

Paso 8 Se reduce lazo de realimentación a un bloque

Por lo tanto la respuesta en la en dominio de ℒ es:

Vo(s)=V(i)*

Ejemplo 3

Simplifique el siguiente diagrama de bloques

Graficas de Flujo de Señales

El diagrama de bloques es útil para la representación gráfica de sistemas de control dinámicos y se utiliza extensamente en el análisis y diseño de sistemas de control. Otro método alternativo para representar gráficamente la dinámica del sistema de control, es el método de los gráficos de flujo de señal, atribuido a S.J. Mason. Un gráfico o gráfica de flujo de señal consiste en una red de nodos que están conectado por ramas con dirección y sentido. Cada nodo representa una variable del sistema y cada rama conectada entre dos nodos posee una transmitancia (ganancia cuando la variable del nodo de entrada a la rama es del mismo tipo que la variable del nodo de salida de la rama) que actúa como un multiplicador de señal. Nótese que la señal fluye solamente en un sentido. El sentido del flujo de señal se indica por una flecha ubicada en la rama y el factor de multiplicación aparece a lo largo de la rama.

R(s) variable de entrada, C(s) Variable de salida y ganancia de la rama. El gráfico de flujo de señal despliega el flujo de señales de un punto de un sistema a otro y da las relaciones entre las señales. Diagramas de graficas de flujo de señales simples son por ejemplo aquellos que representan un

solo elemento eléctrico como se muestra a continuación:

Resistencia

Inductancia

Condensador

Definiciones

Apoyado en la siguiente gráfica se revisarán una serie de palabras que son parte del lenguaje

utilizado en esta representación:

Rama. Una rama es un segmento de línea con dirección y sentido, que une dos nodos. La ganancia de una rama es una transmitancia. Nodo de entrada o fuente. Nodo de entrada o fuente es un nodo que sólo tiene ramas que salen. Esto corresponde a una variable independiente. Ejemplo Xi(s). Nodo de salida o sumidero. Un nodo de salida o sumidero es un nodo que sólo tiene ramas de entrada. Esto corresponde a una variable dependiente. Ejemplo Y(s). Trayectoria. Es un recorrido de ramas conectadas en el sentido de las flechas de las ramas que pasa una sola vez por un nodo. Trayectoria directa. Es aquella trayectoria que va desde el nodo de entrada al nodo de salida. Ejemplo la trayectoria a través de los nodos Xi(s)-X1(s)-X2(s)-X3(s)-X4(s)-Y(s) Ganancia de trayectoria. Es el producto de las ganancias de las ramas individuales que componen la trayectoria. Ejemplo para la trayectoria Xi(s)-X1(s)-X2(s)-X3(s)-X4(s)-Y(s) la ganancia de trayectoria es: G1(s)*G2(s)*G3(s)*G4(s)*G5(s). Realimentación. Es aquella trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. Ejemplo X1(s)-X2(s)-X1(s), X1(s)-X2(s)-X3(s)-X4(s)-X5(s)-X6(s). Ganancia de realimentación. Es el producto de las ganancias de las ramas individuales que componen la trayectoria. Ejemplo para la realimentación X1(s)-X2(s)-X1(s) la ganancia de realimentación es: G2(s)*H1(s). .

Regla de Mason

Dada una grafica de flujo de señales donde T(s) =

es su función de transferencia, Y(s) la

variable de salida y Xi(s) su entrada, la regla de Mason indica que dicha función de transferencia puede obtenerse como:

T(s) =

n = Número de trayectorias directas de la grafica entre Xi(s) e Y(s). = Ganancia de la i-ésima trayectoria directa. 1-(suma de la ganancia de los lazos de realimentación considerados individualmente)+ (suma del producto de las ganancias de todas las combinaciones de dos lazos que no se tocan)- (suma del producto de las ganancias de todas las combinaciones de tres lazos que no se tocan) - - - - - - -. =Evaluación similar a pero eliminando la i-ésima trayectoria directa. Ejemplo Obtener la función de transferencia del sistema representado por la siguiente grafica de flujo de señales donde Xi(s) es la entrada e Y(s) es la salida o respuesta:

1) Determinar

El sistema tiene una sola trayectoria directa: Xi(s)-X1(s)-X2(s)-X3(s)-X4(s)-Y(s) , y su ganancia es: = * * * * .

2) Determinar Hay 2 lazos de realimentación y no se tocan. = * y = * 1-( * + * + ( * *

3) Determinar Ya que el sistema tiene una sola trayectoria directa solo hay un solo ) =1, ya que al eliminar la trayectoria 1 (la única existente) se eliminan los dos lazos de realimentación originales.

4) Función de transferencia T(s)

T(s)=

=

Ejemplo Obtener la función de transferencia del sistema representado por la siguiente grafica de flujo de señales donde Xi(s) es la entrada e Y(s) es la salida o respuesta:

1) Determinar

El sistema tiene dos trayectorias directas:

a) Xi(s)-X1(s)-X2(s)-X3(s)-Y(s) , y su ganancia es: = * * *

b) Xi(s)-X5(s)-X6(s)-X7(s)-Y(s) , y su ganancia es: = * * *

2) Determinar Hay 4 lazos de realimentación .

Y sus ganancias son: = * , = * , = * y = * y se tocan, pero no tocan a y que se tocan entre ellos.

1-( * + * + * + * +( ( * + * * + *

3) Determinar El sistema tiene dos trayectorias directas. Para determinar se debe eliminar la 1° trayectoria directa que está indicada con línea segmentada en la siguiente figura:

Por lo tanto se anulan los lazos y , luego =1-( * + * Para determinar se debe eliminar la 2° trayectoria directa que está indicada con línea segmentada en la siguiente figura:

Por lo tanto se anulan los lazos y , luego =1-( * + *

4) Función de transferencia T(s)

T(s)=

=

Ejemplo Para el siguiente circuito puente obtener grafica de flujo de señales considerando Vi(s) la variable de entrada e Io(s) la variable de salida.

1) Se deben obtener las ecuaciones, comenzando por obtener la variable de salida, para ello se definen los voltajes Va(s) y Vb(s) de acuerdo a la siguiente figura:

Io(s) =

;

A continuación se determinara Va(s) y Vb(s), previamente se definirán las corrientes necesarias para ello, denominadas Ia(s) e Ib(s) en el siguiente circuito.

Luego se obtiene: Va(s) =Ia(s)*2R1 Vb(s) =Ib(s)*R1

2) A continuación se determinara Ia(s) e Ib(s) ), previamente se definirán las corrientes necesarias para ello, denominadas Ic(s) e Id(s) en el siguiente circuito.

Luego se obtiene: Ia(s)=Ic(s)-Io(s) Ib(s)=Id(s)+Io(s)

3) A continuación se determinara Ic(s) e Id(s) .

Ic(s) =

Id(s)=

Con estas ecuaciones se obtiene la siguiente grafica de flujo de señales:

4) Determinar El sistema tiene dos trayectorias directas:

a) Vi(s)-Ic(s)-Ia(s)-Va(s)-Io(s) , y su ganancia es: =1/R1*1*2R1*1/Ro=2/Ro

b) Vi(s)-Id(s)-Ib(s)-Vb(s)-Io(s)) , y su ganancia es: =1/R1*1*R1*-1/Ro=-1/Ro

5) Determinar Hay 4 lazos de realimentación .

Y sus ganancias son:

= *

=-2, =2R1*

, =1*R1*

=-1, =R1*

*1=

no toca a ni , no toca a . No hay 3 lazos que no se toquen, luego:

1-(-2 -

+ (-2*-1 -2*

-

*-1) =1+3 +

+2+

= 6+

=

6) Determinar El sistema tiene dos trayectorias directas. Para determinar se debe eliminar la 1° trayectoria directa que está indicada con línea segmentada en la siguiente figura:

Por lo tanto se anulan los lazos y , luego: =1-( =1-(-1)= 2 Para determinar se debe eliminar la 2° trayectoria directa que está indicada con línea segmentada en la siguiente figura:

Por lo tanto se anulan los lazos y , luego: =1-( =1-(-1)= 1-(-2)=3

7) Función de transferencia T(s)

T(s)=

=

=