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Cap. 30: Inducción e Inductancia
Ley de Faraday, ley de Lenz
,B B
dB dA
dtφ
= − φ = ⋅∫E
I
aF
magF IL B= ×aF
I
Voltaje inducido
B BA BLxΦ = =
Bddtdx
BLdt
BLv
Φ= −
= −
= −
EmagF I L B= ×
Voltaje inducido
BLv= −ECorriente inducida
BLvI
R R= =E
La razón a la cual la mano hace trabajo (potencia mecánica) es:
mec aP F v=
magF IL B= ×
Como v es constante,
sin 90a magF F ILB ILB= = =
( )
( )2mec a
mec
BLvP F v ILB v BLv
R
BLvP
R
⎛ ⎞⎟⎜= = = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
=
Por lo tanto,
La potencia eléctrica asociada con el voltaje inducido es:
( )
( )2
BLvP I BLv
R
BLvP
R
⎛ ⎞⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
=
E
E
E
Cuando la corriente pasa por la resistencia R se disipa energía (en forma de calor) a una razón PR dada por:
( )222
R
BLvBLvP I R R
R R⎛ ⎞⎟⎜= = =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Vemos que la dirección asumida para la corriente es compatible con la conservación de energía:
mec RP P P= =E
Campo Eléctrico Inducido
En general, el trabajo hecho para mover una carga q0 alrededor del círculo es:
0W F ds q E ds= ⋅ = ⋅∫ ∫También podemos expresar el trabajo en términos del voltaje inducido:
0W q= EPor lo tanto, tenemos
E ds⋅ =∫ E
En términos de flujo magnético tenemos:
Bd dE ds B dA
dt dtΦ
⋅ = − = − ⋅∫ ∫
De aquí vemos que un campo magnético que cambie con el tiempo puede inducir un campo eléctrico.
Ejemplo 31-4:En la figura 31-13 b, usa R = 8.5 cm y dB/dt = 0.13 T/s. Consigue una ecuación para el campo eléctrico E inducido en la región r < R. Calcula el valor de E para r = 5.2 cm.
Usamos
BdE dsdtΦ
⋅ = −∫( )2E ds Eds E ds E r⋅ = = = π∫ ∫ ∫
Como B no depende de la posición y es perpendicular a la superficie (y antiparalelo al vector A), el flujo magnético es
( )2cos180B BA B rΦ = = − πTenemos ahora
( ) ( )2 22d dB
E r B r rdt dt
π = π = π
Resolviendo por E tenemos
2r dB
Edt
=
25.2 100.13 0.0034 3.4
2m T V mV
Es m m
− ⎛ ⎞× ⎟⎜= = =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Circuitos LR
Inductancia
IBperoNBAm ∝= ,φ
ILLI m
mφφ == ,
)(:2
henryHA
WbAmTunidades ==⋅
La auto-inductancia de un solenoide depende de la geometría:
2
0 0 2
22
0 02 ,
m
m
N NNBA N I A IA
N NL A n A donde n
I
⎛ ⎞⎟⎜φ = = µ = µ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
φ= = µ = µ =
En general, el voltaje inducido en el solenoide está dado por:
md dIL
dt dtφ
= − = −E
Para calcular la corriente del circuito en función del tiempo, usamos la ley de Kirchoff para voltajes. Esto nos lleva a
( ) 0dI
IR Ldt
⎛ ⎞⎟⎜+ − + − =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠E
La solución de esta ecuación diferencial es:
( ) ( )1 1Rt L t
I e eR R
− − τ= − = −E E
( )1Rt L
RV IR e−
= = −E
Rt L
L
dIV L e
dt−= = E
Los voltajes en el inductor L y la resistencia R son
El circuito de la figura (a) contiene tres resistencias idénticas de 9 omios cada una, dos inductores idénticos con inductancia igual a 2 mH y una batería de 18 voltios. Calcula la corriente que sale de la batería en el momento que cerramos el circuito y después de un tiempo bien largo. El circuito equivalente para t = 0 está en (b).Para tiempo bien largo está en (c y d).
TRUCO
( ) 0dIL IRdt
− + − =
0
Rt L tI e I eR
− − τ= =E
Rt L
LV e−
= E
Ver ejemplo 30.6, problema 30.51.
Energía almacenada en el inductor
2 dII I R LI
dt= +E
dIIR L
dt= +E
2 dII I R LI
dt= +E emfI P=E
2RI R P=
LL
dI dULI Pdt dt
= =
dILIdUL =
2
21 LIU L = Ver ejemplo 30.7.