cap 9 función de una variable real

Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real

200

9

9.1 DEFINICIÓN 9.2 DOMINIO 9.3 FUNCIONES CON VARIAS REGLAS DE

CORRESPONDENCIAS 9.4 OPERACIONES 9.5 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE

REAL. 9.6 CLASES DE FUNCIONES

Las funciones de variable real son de trascendental importancia para los cursos de matemáticas universitarias y por tanto merece un capítulo aparte. El concepto de función ya fue definido anteriormente, ahora lo haremos sobre subconjuntos de números reales.


201

OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Defina función de una variable real. Aplique la definición de función, para que dadas reglas de correspondencia, determinen si son funciones o no. Plantee restricciones de las operaciones con números reales, para obtener el máximo dominio de funciones de una

variable real dada su regla de correspondencia. Sume, reste, multiplique y divida funciones de una variable real. Obtenga rango de funciones de una variable real. Defina gráfico de funciones de una variable real. Defina función de una variable real creciente, decreciente, par, impar, inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. Y aplicarlos en

gráficas dadas para determinar sus características. Defina y caracterice la función lineal. Grafique funciones lineales. Determine e interprete pendiente de una recta. Obtenga la ecuación de la recta dada la pendiente y un punto de la recta; y dados dos puntos. Defina y caracterice a la función cuadrática. Grafique funciones cuadráticas. Defina y determine los ceros de una función. Obtenga la ecuación de una parábola. Defina y grafique función valor absoluto, función potencial. Defina función inversa y obtenga funciones inversas. Justifique la existencia de la función inversa. Construya funciones inversibles. Defina función compuesta y obtenga funciones compuestas.

9.1 DEFINICIÓN

Cuando en una función empleamos como dominio a números reales, haciéndoles corresponder un único número real, tenemos una función de variable real. Es decir:

IRYIRXf ⊆⊆ :

Ejemplo 1

Sea f una función, tal que:

Observando la segunda componente de los pares ordenados, nos hace pensar que es el cuadrado de la primera componente.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ };9,3;4,2;1,1;9,3;4,2;1,1;0,0 −−−=f

321012

−−

IR

9

4

1

0

IR

f


202

Con conjuntos infinitos, es mejor referirse a las funciones por comprensión. Para el ejemplo anterior, sería: ( ){ }IRxxyyxf ∈∧== 2/,

O más simplemente, denotar su regla de correspondencia de la siguiente forma: 2)( xxf =

Las reglas de correspondencia, usualmente son expresiones algebraicas en “x”, [ )(xfy = ].

Donde: “x” es la VARIABLE INDEPENDIENTE O VARIABLE LIBRE, y

“y” la VARIABLE DEPENDIENTE.

Se dice, entonces que el valor de “y” depende del valor de “x” (o “y” es

función de “x”)

Ejemplo 2

Sea f , una función de variable real con regla de correspondencia 12)( −= xxf

En fin, tendríamos una cantidad infinita de ejemplos de funciones. Pero, dada la regla de correspondencia de una función, sería importante determinar para qué valores de “x”, se define o tiene sentido esta regla de correspondencia, es decir determinar el dominio de la función. 9.2 DOMINIO

También llamado conjunto de partida.

Sea f una función tal que RYRXf ⊆⊆ : ,

entonces su DOMINIO es el conjunto X. Es decir: XfDom =

Algunos valores de esta función serían:

11)0(2)0( −=−=f 31)2(2)2( =−=f

IR IR

2

0

)2(3

)0(1

f

f

=

=−

f


203

Dada la regla de correspondencia, un trabajo interesante es DETERMINAR SU MAYOR POSIBLE DOMINIO. Es decir el conjunto X

Como las reglas de correspondencia de las funciones son expresiones algebraicas, normalmente en la variable x ; entonces, para obtener un valor de la variable dependiente “y” basta con reemplazar el valor de la variable independiente “x”, luego se tendría que calcular (POR AHORA) una operación aritmética de suma, resta, multiplicación o división, para lo cual se deberá tener en cuenta lo siguiente:

RESTRICCIONES: 1. DIVISIÓN ENTRE CERO. No está definida 2. RAÍCES PARES DE NÚMEROS NEGATIVOS. No se

define para números reales

Ejemplo 1

Hallar el máximo dominio posible para 2)( xxf = SOLUCIÓN : Analizando la regla de correspondencia observamos que no existen restricciones, por lo tanto Dom IRf =

Este mayor posible dominio nos permite definir el dominio de la

función a donde queramos, pero dentro de este intervalo, por ejemplo para el caso anterior 0;)( 2 ≥= xxxf

Ejemplo 2

Hallar el máximo dominio posible para 12)( −= xxf SOLUCIÓN: Analizando la regla de correspondencia observamos que no existen restricciones, por lo tanto Dom IRf =

Ejemplo 3

Hallar el máximo dominio posible para 123)(

−−

=xxxf

SOLUCIÓN: Analizando la regla de correspondencia observamos que existe una restricción. Si 1=x se produciría una división entre cero, por lo tanto Dom { }1−= IRf = ( ) ( )∞∪−∞ ,11,

Ejemplo 4

Hallar el máximo dominio posible para 4)( −= xxf SOLUCIÓN: Analizando la regla de correspondencia observamos que existe una restricción, si 04 <−x no se puede calcular la raíz cuadrada, entonces 404 ≥≡≥− xx , por lo tanto [ )∞= ,4fDom = { }4/ ≥∈ xIRx


204

Ejemplo 5

Hallar el máximo dominio posible. 123)(

+−

=xxxf

SOLUCIÓN:

Para que tenga sentido la regla de correspondencia se debe cumplir que 0123≥

+−

xx

. Entonces

tenemos una desigualdad cuyo conjunto solución es:

Ejemplo 6

Hallar el máximo dominio posible para 1234)(

+−

+−=xxxxf

SOLUCIÓN:

Ahora debemos resolver simultáneamente: 04 ≥−x ∧ 0123≥

+−

xx

Ejemplo 7

Hallar el máximo dominio posible para 32

1)(2

−−+−

=x

xxxf

SOLUCIÓN: De manera semejante al ejemplo anterior, al considerar simultáneamente que : 01 2 ≥− x ∧ 032 ≠−−x Tenemos:

41

////////////////////////////////

32−

××××××××××××

+

+−

+

321

////////////////////////

−

+−

+

POR TANTO

Dom ( )

∞∪−∞−= ,

321,f

POR LO TANTO Dom [ )∞= ,4f

511−

+

×××××××

−+

( )

( )( ) 01101

01

01

2

2

2

≤−+≤−

−≤−−

≥−

xxx

x

x

( )

132

53232

032

−≠≠−−

∧∧

≠≠−

≠−

≠−−

xx

xxx

x 1. 2.


205

POR LO TANTO Dom ( ]1,1−=f

Ejemplo 8

Hallar el máximo dominio posible para 21

32)(

−+

+−=

x

xxxf

SOLUCIÓN: Debemos considerar simultáneamente que: Entonces interceptando, tenemos: Por lo tanto [ ) ( )∞∪= ,33,2fDom Ejercicios Propuestos 9.1 1. ¿Cuál de las siguientes relaciones NO representa una función de variable real?

a) ( ){ }IRxxy/y,xr ∈∧−== 21 d) ( ){ }01 ≥∧=−= xyx/y,xr

b) ( ){ }IRxxy/y,xr ∈∧=−= 12 e) ( ){ }IRxyx/y,xr ∈∧=−= 12

c) ( ){ }11 ≥∧−== xxy/y,xr

2. Sea f una función de variable real tal que cbxaxxf ++= 2)( .Si 1)1(;5)3(;2)0( −==−= fff ,

entonces el VALOR de )2(−f es: a) 5 b) 6 c)–1 d)–4 e) 2 3. Sea f una función de variable real tal que: ( ) 32 −−= xxxf el MAYOR DOMINIO de f es el intervalo:

a) ( )31, b) [ ]31, c) ( ) [ )∞∪∞− ,31, d) [ ]C,31 e) ( )C3,1

4. El MÁXIMO DOMINIO posible de la función f , con regla de correspondencia ( )13 +−

=x

xxf es el

intervalo: a) [ )∞,0 b) [ ]24,− c) { }1−−IR d) ( )24,− e) [ ) ( ) ( ]211334 ,,, ∪−∪

5. Dada la función ( )1628

42 −−−

+=

xx

xxf , entonces el MÁXIMO DOMINIO posible de f es el intervalo:

a) ( ]4−∞− , b) ( ) ( )466 −−∪−∞− ,, c) [ )44,− d) {-4} e) No existe ningún valor de x en el cual se defina la función f.

] [ [3212

/////////////////////////−−

××××××××

( ) ( )341

21

021

22210201

22

≠⇒≠+≠+

≠−+∧

≥≥−≥−≥≥−∧≥+

/

xxx

x

xxx

xx


206

6. Sea f una función de variable tal que xx

xxf−+−

+=

9263)( , entonces el MAXIMO DOMINIO posible de

f es el intervalo: a) [ ) ( ]3,,3 −∞−∪∞ b) ( )∞∞− , c) [ ]3,3− d) ( ]3,∞− e) ( )3,−∞−


207

9.3 FUNCIONES CON VARIAS REGLAS DE CORRESPONDENCIA Ya hemos mencionado que las reglas de correspondencias de las

funciones pueden ser definidas para sólo cierto intervalo, subconjunto de su mayor dominio; entonces podemos definir funciones con reglas de correspondencias para diferentes intervalos.

Ejemplo 1

Podemos considerar dos reglas de correspondencias 2xy = ; 0≥x y 12 −= xy ;

0<x para definir la función

<−≥=

0;120;)(

2

xxxxxf

Es decir, para calcular ( )2f como 02 > usamos 2)( xxf = entonces 42)2( 2 ==f En cambio, para calcular )1(−f como 01<− usamos 12)( −= xxf entonces

31)1(2)1( −=−−=−f PREGUNTA: 0)0( =f ¿Si ó no? ¿Por qué?

Ejemplo 2

Sea f una función de variable real con regla de correspondencia

≥−≥>−

−<+=

2;12;1

1;23)( 2

xxxx

xxxf

Representando a f sobre la recta numérica, tenemos: Entonces:

Note que IRfDom =

En la recta numérica al representar a f, tenemos:

0

12 2

− xx

f

21

123 2

−

−

+ xxx

f

101)0( 2 =−=f

0)1(1)1( 2 =−−=−f 2)2( =f

24)4( ==f42)2(3)2( −=+−=−f


208

Ejemplo 3

Sea una función de variable real con regla de correspondencia

1111

1;311;)(

2

<<−≡≥≥−≡

<−≥

=xx

xxxxxf

Representando a f sobre la recta numérica, tenemos:

9.4 OPERACIONES

Como las reglas de correspondencias de las funciones son expresiones algebraicas entonces para SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR funciones habrá que realizar las operaciones algebraicas de sus reglas de correspondencias en los respectivos intervalos.

Ejemplo 1

Sean f y g funciones de variable real, tales que 1)( 2 −= xxf ; IRx∈ y

232)( 2 +−= xxxg ; IRx∈ . Hallar ))(( xgf + .

SOLUCIÓN: Como tanto f y g están definidas con sólo una regla de correspondencia para todo R, para obtener

))(( xgf + bastaría con sumar su regla de correspondencia; es decir,

( ) ( )( )( ) 133

2321)()(2

22

+−=+

+−+−=+

xxxgf

xxxxgxf

Note que para obtener )2()2( gf + se lo puede hacer empleando la regla

de correspondencia de ( )( )xgf + es decir ( )( ) 71)2(3)2(32 2 =+−=+ gf . O también calculando )2(f y )2(g y luego sumarlos; es decir 7)4()3()2()2( =+=+ gf .

En cambio, para obtener )3()2( −+ gf habrá que necesariamente calcular )2(f y )3(−g , y luego sumarlos; es decir, 32293)3()2( =+=−+ gf

Para el caso de tener funciones que se definan con diferentes reglas

de correspondencia para intervalos diferentes, se deberá proceder de acuerdo a lo mostrado en los siguientes ejemplos.

11

31 22

−

−

xxx

f


209

Ejemplo 2

Sean f y g funciones de variable real, tales que 1)( 2 −= xxf ; 0≥x 232)( 2 +−= xxxg ; 1<x

SOLUCIÓN: Representemos tanto a f como a g sobre una recta numérica, lo cual nos permitirá definir los respectivos intervalos para operar las regla de correspondencias. PREGUNTA: existenogf =+ )2)(( ¿Sí o no? Y ¿POR QUÉ?

Ejemplo 3

Sean f y g funciones de variable real, tales que: 1)( 2 −= xxf ; 0≥x y 232)( 2 +−= xxxg ; 2<x

Hallar ))(.( xgf . SOLUCIÓN: Semejante al ejemplo anterior. Procedemos de igual forma. Por lo tanto

( ) ( )( ) 23322321)( 3422 −+−=+−−=+ xxxxxxxgf ; 20 <≤ x

Note f NO ESTÁ DEFINIDA PARA 0<x y que g NO ESTÁ DEFINIDA para 1≥x .

ENTONCES: ( ) ( )

10;133

2321))((2

22

<≤+−=

+−+−=+

xxx

xxxxgf

0////////////////////

12

−x

1////////////////////////////232 2

+− xx

f

g

No está definida

No está definida

0////////////////////////////////

12

−x

2//////////////////////////////////////////////////

232 2

+− xx

f

g


210

Ejemplo 4

Sean f y g , funciones de variable real tales que

<≥

+−=

00

;13;1)(

2

xx

xxxf y

00

;32;232)(

2

≥<

++−=

xx

xxxxg

Hallar ))(( xgf + . SOLUCIÓN: Representemos tanto a f como a g sobre una recta numérica, lo cual nos permitirá definir los respectivos intervalos para operar las regla de correspondencias.

Ejemplo 5

Sean f y g , funciones de variable real tales que

<+≥−=

0;120;1)(

2

xxxxxf

≥+<+−=

2;32;232)(

2

xxxxxxg

Hallar ))(( xgf + SOLUCIÓN:

0

////////////////////////////32

////////////////////////////232 2

+

+− xxx

f

g 0

////////////////////////////1

////////////////////////////13 2

−

+ xx

( ) ( ) ( ) ( )

0///////////////////////////////////

321///////////////////////////////////////

23213 22

++−

+−++ xxxxx

gf + ( )( )

00

;22;32

2

2

≥<

+++=+

xx

xxxxgf

Por lo tanto

0////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

1///////////////////////////////////////

12 2

−

+ xx

2

/////////////////////////////3

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////232 2

+

+− xxx

f

g

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

20///////////////////////////////

31///////////////////////////////////////

2321///////////////////////////////////////

23212 2222

++−

+−+−

+−++ xxxxxxxx

gf +

Por lo tanto

( )( )

≥++<≤+−

<+−=+

2;220;133

0;32

2

2

2

xxxxxx

xxxxgf


211

Ejemplo 6

Sean f y g , funciones de variable real tales que ( )

−≥−−<+=

1;11;12

xxxxxf ( )

>−−≤+

=0;10;1

xxxx

xg

Hallar ))(.( xgf SOLUCIÓN:

En conclusión. Si YXf : y YXg :

entonces: 1. ( ) YXgf :+ donde ( ) )()()( xgxfxgf +=+ 2. ( ) YXgf :− donde ( ) )()()( xgxfxgf −=− 3. ( ) YXgf :. donde ( ) )().()(. xgxfxgf =

4. YXgf

*:

donde ( )( )xgxfxg

f =

)( y 0)( ≠xg .

Es decir { }0)(/* =−= xgxXX

Ejercicios propuestos 9.2 1. Sean f y g dos funciones de una variable real, cuyas reglas de correspondencia son:

( )( ) ( )( ) ( )( )

01

///////////////////////11

///////////////////////////////////11

///////////////////////112

−

−−−

−+

++ xxxxxx

01

//////////////////////////////////////////////////////////1

///////////////////////12

−

−

+ xx

01/////////////////////////

1////////////////////////////////////////////////////////

1

−

−−

+ xx

f

g

gf ⋅

( )( )( )( )

( )( )

>−≤≤−−−<++

=⋅0;1

01;11;11

2

2

2

xxxx

xxxxgf

Por lo tanto


212

>

≤≤−−<+

=

5

51311

2 x;x

x;xx;x

)x(f

>−≤≤

<−

=62

602

052

x;xx;x

x;x

)x(g

Entonces la regla de correspondencia de )x)(gf()x(h += es:

a)

>−+

≤<

≤≤+

<≤−−−<−

=

62

653

5032

0154142

2

2

2

x;xx

x;x

x;xx

x;xx;x

)x(h b)

≥−+

<≤

<<+

≤<−−−≤−

=

62

653

5032

0154142

2

2

2

x;xx

x;x

x;xx

x;xx;x

)x(h

c)

>−+

≤≤−+

−<−

=

52

5132

16

2

2

x;xx

x;xx

x;x

)x(h d)

>−+

≤≤+

<−

=

6;2

60;32

0;6

)(2

2

xxx

xxx

xx

xh

e) Elija esta opción si h(x) no existe

2. Sean f y g funciones de variable real , tales que: ( ) ( )

≤−>

=

≤+

>−=

2;12;3

2;2

2;312 xx

xxg

xx

xxxf

Entonces ( )( )xgf − es:

a) ( )( )

−<+−<≤−+−

≥−−

=−224

223

2232

x;xx;xx

x;x

xgf b) ( )( )

−<+−

≤+−

>−−

=−

22423

2232

x;xx;xx

x;x

xgf

c) ( )( )

−≤+−≤<−+−

>−−

=−224

223

2232

x;xx;xx

x;x

xgf d) ( )( )

−≤+−<<−+−

≥−−

=−224

223

2232

x;xx;xx

x;x

xgf

e) ( )( )

≤+−

>−−=−

23

2232 x;xx

x;xxgf

3. Sean f y g funciones de una variable real, tales que x

xf 11)( += y x

xg 11)( −= , entonces el MAXIMO

DOMINIO posible de la función ( )xgf

, es:

a) {}1−IR b) IR c) { }1−−IR d) { }1,0−IR e) { }0−IR

9.5 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL Los pares ordenados pueden ser representados como puntos en el

PLANO CARTESIANO.

Ejemplo

Ubicando los pares )4,2(− , )2,3( y )2,4( − tenemos:


213

Rango )(xfy =

Dada la regla de correspondencia de una función de variable real )(xfy = , o más formalmente dada IRYIRXf ⊆⊆ : tal que

( ){ }Xxxfyyxf ∈∧== )(/, ; podemos obtener una TABLA DE VALORES:

También, a la variable independiente " x " se la llama ABCISA y a la variable dependiente " y " se la llama ORDENADA. Así que, ( )yx, serán las COORDENADAS de un punto

El GRÁFICO de una función es el conjunto de puntos, representados en el plano cartesiano, correspondientes a los pares ordenados de la función.

9.5.1 UTILIDAD DEL GRAFICO Con el gráfico, podemos:

1. DETERMINAR EL RANGO DE UNA RELACIÓN. El rango será el intervalo que sea la proyección de la gráfica de la relación sobre el eje " y ".

)()()(

3322

11

32

1

xfyxfyxfy

y

xxxx

===

( )xfy = ( )11, yx

( )22, yx

( )33, yx


214

No es función

1y

2y

1x

2. DETERMINAR SI UN LUGAR GEOMÉTRICO ES FUNCIÓN O NO. Considere lo siguiente:

PARA TODA FUNCIÓN, “CUALQUIER RECTA VERTICAL

DEBERÁ CORTAR A SU GRÁFICA EN SÓLO UN PUNTO”.

3. DETERMINAR SI UNA FUNCIÓN ES INYECTIVA O NO

Recuerde que:

f ES INYECTIVA ≡ ( ) ( ) 2121 xxxfxf =⇒= fDomxx ∈∀ 21,

O lo que es lo mismo:

f ES INYECTIVA ≡ ( ) ( )2121 xfxfxx ≠⇒≠ fDomxx ∈∀ 21,

Gráficamente, tendríamos que para una función inyectiva:

“TODA RECTA HORIZONTAL DEBERÁ CORTAR A SU

GRÁFICA EN SÓLO UN PUNTO” )(xfy =

y


215

1x 2x

)(xfy =

No es INYECTIVA

Una función no inyectiva sería:

4. DETERMINAR SI UNA FUNCIÓN ES SOBREYECTIVA O NO

Recuerde que una función f ES SOBREYECTIVA si y sólo sí rango f Y= para f : IRYIRX ⊆→⊆

Entonces al hallar el rango de la función, inmediatamente se podrá establecer si es sobreyectiva o nó.

5. DETERMINAR SI LA FUNCIÓN ES BIYECTIVA.

Determinando si es inyectiva o nó y si es sobreyectiva o nó, entonces se podrá establecer si la función es biyectiva o nó

Ejemplo 1

Considere una función de variable real, tal que IRxxxf ∈−= ;12)( . Trazar su gráfica. SOLUCIÓN Hallemos primero la TABLA DE VALORES calculando algunos pares ordenados empleando la regla de correspondencia dada:

53321110315273

−−−−−−−

yx

Representamos los pares ordenados como puntos en el plano cartesiano. Y Luego trazamos la gráfica, siguiendo estos puntos

OBSERVACIONES: 1. La gráfica es una recta.


216

Ejemplo 2

Considere una función de variable real, tal que IRxxxf ∈= ;)( 2 . Trazar su gráfica.

9.6 CLASES DE FUNCIONES 9.6.1 FUNCIÓN CRECIENTE

Sea f una función de variable real definida en un intervalo I . Entonces f ES ESTRICTAMENTE CRECIENTE en I , si y sólo si Ixx ∈∀ 21 , se cumple que ( ) ( )[ ]1212 xfxfxx >⇒>

93421100114293

−−−

yx

Conclusiones: 1. La gráfica es una parábola. 2. rg [ )∞= ,0f 3. f no es inyectiva. 4. Si IRIRf →: entonces f no es sobreyectiva. 5. Por tanto f no es biyectiva.

GRÁFICA TABLA DE VALORES

PREGUNTA: ¿En que cambian las conclusiones si se define a la función :

1. +RRf :

2. RRf +:

3. ++ RRf : ?


217

Por tanto la gráfica de una función estrictamente creciente podría tener el siguiente comportamiento:

)( 2xf

)( 1xf

1x

)(xfy =

2x


218

Ejemplos

Cuando una función crece en ciertos intervalos y se mantiene

constante en otros intervalos se dirá que la FUNCIÓN ES CRECIENTE. Entonces se cumplirá que: ( ) ( )[ ]121221 , xfxfxxIxx ≥⇒>∈∀

Por ejemplo, una gráfica sería:

9.6.2 FUNCIÓN DECRECIENTE

Sea f una función de variable real definida en un intervalo I . Entonces f ES ESTRICTAMENTE DECRECIENTE en I , si y

Esta función es estrictamente creciente en todo su dominio

Esta otra función, en cambio no es creciente en todo su dominio, pero podríamos decir que es creciente en el intervalo [ )∞,0

2xy =

12 −= xy


219

sólo si Ixx ∈∀ 21 , se cumple que ( ) ( )[ ]1212 xfxfxx <⇒>

La gráfica de una función ESTRICTAMENTE DECRECIENTE sería:

Defina FUNCIÓN DECRECIENTE.

9.6.3 MON0TONÍA

Determinar la monotonía de una función, significará determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimientos.

9.6.4 FUNCIÓN PAR

Sea YXf : una función de variable real. Entonces f ES PAR, si y sólo si Xx∈∀ se

cumple que )()( xfxf =−

Para una función PAR su gráfica será simétrica al eje y :

x

y

1x 2x

( )1xf

( )2xf

x

y

( )xf − ( )xf

x− x


220

Ejemplo 1

La función con regla de correspondencia ( ) 2xxf = es par, como lo podemos observar en su

gráfica que ya fue presentada, además ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxxxf −=⇒=−=− 22

Ejemplo 2

Sea la función con regla de correspondencia ( )( )22

4

1

1

−

+=

x

xxf

Entonces ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )xfxfx

x

x

xxf −=⇒−

+=

−−

+−=−

22

4

22

4

1

1

1

1 por tanto también es par

9.6.5 FUNCIÓN IMPAR

Sea YXf : una función de variable real. Entonces f ES IMPAR, si y sólo si Xx∈∀ se

cumple que )()( xfxf −=−

Para una función PAR su gráfica será simétrica al origen

Ejemplo

Sea la función con regla de correspondencia ( ) 3xxf = Realicemos su gráfica punto a punto, para lo cual: Además ( ) ( ) )(33 xfxxxf −=−=−=− , por tanto es impar

8211001182

−−

yx


221

)( 1xf

1x

Ejercicio resuelto 1

Determine si la función con regla de correspondencia ( )21)( += xxf es par o impar

Hallamos ( )[ ] ( ) )(11)( 22 xfxxxf ≠+−=+−=− por tanto no es par, ni impar. Ejercicio resuelto 2

Determine si la función con regla de correspondencia 23)( 4 +−= xxxg es par o impar. Hallamos ( ) 232)(3)( 44 ++=+−−−=− xxxxxg )(xg≠ por tanto no es par, ni impar. Ejercicio resuelto 3

Determine si la función con regla de correspondencia 43)( 24 ++= xxxh es par o impar Hallamos ( ) )(434)(3)( 2424 xhxxxxxh =++=+−+−=− ; por tanto es par.

Ejercicio propuesto 9.3 1. Determine ¿cuál de las siguientes funciones es una FUNCIÓN PAR?: a) ( )

<−≥−

=1;11;1

xxxx

xf b) ( ) IRxxxxf ∈++= ;122

c) ( ) IRxxxf ∈= ;3 d) ( ) IRxxxf ∈+= ;22

e) ( ) IRx;xxf ∈−= 12

9.6.6 DESPLAZAMIENTOS

9.6.6.1 HORIZONTALES

Suponga que f es una función de variable real, cuyo gráfico es

Entonces al desplazarla horizontalmente, tenemos

DERECHA IZQUIERDA


222

9.7.6.2 VERTICALES Y al desplazarla verticalmente, tenemos:

Ejemplo

Sea 2)( xxf = cuya gráfica es:

f(x)

4

6

8

x

f(x)

1x

)( 1xf

axf −)( 1 a

ABAJO - a

ARRIBA


223

Entonces la gráfica de ( )22)( −= xxf es: La gráfica de ( )22)( += xxf es: La gráfica de 2)( 2 += xxf es:

x

f(x)

-4 -2 0 2 40

2

4

6

8

x

f(x)

-4 -2 0 2 40

2

4

6

8

x

f(x)

-4 -2 0 2 40

2

4

6

8


224

La gráfica de 2)( 2 −= xxf es: Finalmente, combinando los tipos de desplazamiento, la gráfica de ( ) 22)( 2 +−= xxf será:

9.6.6.3 OTRAS CONSIDERACIONES

CAMBIO DE SIGNO

Si una función f tiene por gráfica

Entonces la gráfica de f− es:

x

f(x)

-4 -2 0 2 4

-2

0

2

4

6

x

f(x)

x

f(x)

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

4

6

8


225

Ejemplo

La gráfica de la función 2)( xxf −= sería:

Por otro lado

La gráfica de 22xy = sería

x

f(x)

)(xf−

x

f(x)

La parte positiva de la gráfica de f ( la que está arriba del eje x) se la hace negativa dibujandola simétricamente abajo del eje x. Y la parte negativa, la que está bajo el eje x, se la hace postiva dibujandola simétricamente encima del eje x.

x

f(x)

La parábola es más cerrada

22xy =

2xy =


226

Ejercicio resuelto Considere las funciones f y g de IR en IR cuyas gráficas son: Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) ( ) ( )1

212 +−= xfxg b) ( ) ( )122 −−= xgxf c) ( ) ( )xgxg =−

d) ( ) ( ) ( )220 ggf =−− e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son Verdaderas. Solución: Analicemos cada opción: a) Debemos llagar hasta el gráfico de g a partir del gráfico de f

1 2 - 2 -1

( )1+xf

2

1 2 - 2 -1

( )121

+xf

1

1 2 - 2 -1

( )121

+− xf


227

Por tanto esta es la opción incorrecta Sin embargo analicemos las otras opciones. b) Hallemos la gráfica de f a partir de la gráfica de g

1 2 - 2 -1

( )1212 +− xf

1

2

1 2 - 2 -1

( )1−xg

1


228

Por tanto esta opción es correcta

1 2 - 2 -1

( )12 −xg

2

2 - 2 -1

( )12 −− xg

-2

2 - 2 -1

( ) )(122 xfxg =−−

2


229

c) Esta opción también es correcta, porque de acuerdo al gráfico de g se observa que es simétrica al eje y, por tanto g es una función par y se cumplirá que )()( xgxg =− .

d) Para calcular )2()0( −− gf , del gráfico obtenemos 2)0( =f y 1)2( =−g y luego los restamos.

Es decir: 1)1(2 =− . Ahora del gráfico de g , observamos que 1)2( =g ; por lo tanto esta opción también es correcta.


230

Ejercicio Propuesto 9.4

1. Con respecto al gráfico de la función f .

Una de las siguientes reglas de correspondencia tiene GRÁFICO asociado CORRECTO, Identifíquelo:

-f(x)=g(x) )a )x(f)x(g )b 1+= 1+f(x)=g(x) )c

1-f(x) = g(x) )d 1+-f(x)=g(x) )e

9.6.7 FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal tiene las siguientes características:

1. La regla de correspondencia en su expresión simplificada, es una ecuación lineal, de la forma: bmxy += .

2. “ m ” se la denomina PENDIENTE (medida de la inclinación) de

la recta. “ b ” es el intercepto de la recta con el eje “ y ”.

-1

1

1

1

1

2

1

1


231

3. El gráfico es una recta. Si “ m ” es positivo ( 0>m ) la recta es creciente.

Ejemplo

La gráfica de 12)( −= xxf es:

4. Si “ m ” es negativo ( 0<m ) la recta es decreciente.

Ejemplo

La gráfica de 13)( +−= xxf es:

0; >+= mbmxy

12 −= xy

0; <+= mbmxy

13 +−= xy


232

5. Si 0=m , la ecuación de la recta queda de la forma by = . Su gráfica son RECTAS HORIZONTALES. Se la llama FUNCIÓN CONSTANTE.

Ejemplo

La gráfica de 1)( =xf es:

Entonces la ecuación del eje “ x ” sería 0=y .

Otros tipos de rectas importantes a ser mencionadas, aunque no son funciones (¿POR QUÉ?), son las RECTAS VERTICALES

Ejemplo

La gráfica de 1−=x es:

by =

1=y

Note:

1)100(1)5(1)2(

=−==

fff

ax =

a


233

Estas rectas tienen pendiente infinita. ¿POR QUÉ?

La ecuación del eje “ y ” sería 0=x .

6. Si 0=b , tenemos a las rectas que contienen el origen

Si 1=m y 0=b , tenemos a la FUNCIÓN IDENTIDAD.

y

x

mxy =

y

x

xy =

1−=x


234

7. Dos puntos definen una recta.

Conociendo dos puntos de la recta, se podrá encontrar

su ecuación empleando la fórmula: ( )112

121 xx

xxyy

yy −−−

=−

Donde la pendiente es: 12

12xxyy

m−−

= ó 21

21xxyy

m−−

=

es decir: recorridoelevaciónm =

Ejemplo 1

Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos ( )1,01P y ( )7,22 −P Solución:

Debemos emplear ( )112

121 xx

xxyy

yy −−−

=−

para lo cual 01 =x , 11 =y , 22 −=x , 72 =y

Reemplazando, tenemos:

( )

1331

261

002

171

1

3

+−=−=−

/−/

=−

−−−−

=−

xyxy

xy

xy

Note que el orden en que se tomen los puntos 1P y 2P no importa.

Recorrido

12 xx −

Elevación 12 yy −

),( 22 yx

),( 11 yx

DEDÚZCALA


235

Ejemplo 2 Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos ( )1,2:1P y ( )1,2:2 −P Solución:


121 xx

xxyy

yy −−−

=−

para lo cual 21 =x , 11 =y , 22 −=x , 12 =y Reemplazando, tenemos:

( )

101

222

111

==−

−−−−

=−

yy

xy

Ejemplo 3

Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos ( )2,1:1P y ( )2,1:2 −P Solución:


121 xx

xxyy

yy −−−

=−

para lo cual 11 =x , 21 =y , 12 =x , 22 −=y

Reemplazando, tenemos:

( )

( )

( ) ( )1

124

0

1042

111222

0

=

−=−−

−−

=−

−−−−

=−

x

xy

xy

xy

1=y

1=x


236

9.6.8 FUNCIÓN CUADRÁTICA Las características de una función cuadrática son:

1. La REGLA DE CORRESPONDENCIA, en su expresión simplificada, es una ecuación cuadrática de la forma: cbxaxxfy ++== 2)( , donde 0,, ≠∧∈ aRcba

Ejemplo

2)( xxf = es una función cuadrática. Su gráfica ya fue realizada y habíamos determinado que es la siguiente:

2. La GRÁFICA es una parábola. 3. Si 0>a (positiva), la parábola es cóncava hacia arriba. 4. Si 0<a (negativa), la parábola es cóncava hacia abajo.

5. El VÉRTICE de la parábola se produce en a

bx2

−= , por lo tanto

−=

abfy

2. (¿DEMUÉSTRELO?)

6. La parábola es simétrica a la recta a

bx2

−= .

7. Los interceptos de la parábola con el eje “ x ” (si fuese el caso), llamados también CEROS DE LA FUNCIÓN, se los encuentra resolviendo la ecuación 02 =++ cbxax (¿POR QUÉ?)

2xy =

y

x

1x 2x


237

243 2 ++−= xxy

Ejemplo 1

Sea la función 12)( 2 +−= xxxf Entonces, para esta función 2=a , 1−=b , 1=c . De acuerdo a lo mencionado anteriormente, la gráfica es una PARÁBOLA ABIERTA HACIA ARRIBA porque 0>a y lo será a partir de su VÉRTICE, cuyas coordenadas son:

abx

2−=

)2(21−

−=x 41

=x

87

141

1612

141

412

2

=

+−

=

+−

=

y

y

y

Esta función no tiene ceros.

Otra manera de tratar a la función cuadrática es llevarla a la forma 0

20 )()( yxxaxf +−= . En este caso las coordenadas del vértice serían

),( 00 yxV . REALÍCELO PARA EL EJEMPLO ANTERIOR.

Ejemplo 2

Sea la función 243)( 2 ++−= xxxf Como 03 <−=a entonces su gráfica es una parábola abierta hacia abajo a partir de su vértice:

⇒−=a

bx2 3

2)3(2

4=⇒

−−= xx

por lo tanto

310

234

238

34

238

943

2324

323

3

2

=

+=

++−=

++

//−=

+

+

−=

y

y

y

y

y

41

87

y

x

12 2 +−= xxy

V


238

Los interceptos con el eje “x” serían:

6)2)(3(4164

24

0243

0243

2,1

22,1

2

2

−−±=

−±−=

=−−

=++−

x

aacbbx

xx

xx

3,0

3102

7,13

102

22

11

−=⇒−

=

=⇒+

=

xx

xx

Ejercicio propuesto 9.5 Graficar 1.- 24)( 2 ++−= xxxf 2.- 12)( 2 ++= xxxf 3.- xxxf −= 2)(

9.6.9 GRÁFICOS DE FUNCIONES CON VARIAS REGLAS

DE CORRESPONDENCIA Para obtener la gráfica de una función de variable real que esté

definida con más de una regla de correspondencia, se debería graficar cada regla de correspondencia en los respectivos intervalos donde estén definidas.

Ejemplo

Sea f , una función de variable real, con regla de correspondencia

<+

≥=

0;12

0;)(

2

xx

xxxf Entonces su gráfica es:

1

12 += xy

2xy =

Note que: 0)0( =f

3)2( −=−f 4)2( =f


239

9.6.10 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La regla de correspondencia es:

<−≥

===0;0;

)(xxxx

xxfy

Su Gráfico, sería: Las definiciones anteriores también serían aplicables a esta función.

Ejemplo 1

Para obtener la gráfica de 11)( +−= xxf , se podría pensar en la gráfica de xy = desplazada una unidad a la derecha y una unidad hacia arriba. Para obtener la regla de correspondencia de cada recta, debemos pensar en destruir el valor absoluto 11 +−= xy para lo cual:

xy −= xy =

1

1

xy =

2+−= xy

1

2+−= xy 1)1( +−= xy

<+−≥

=1;21;

)(xxxx

xf


240

También se podrían presentar casos en que las funciones estén afectadas por valor absoluto.

Suponga, que la gráfica de una función de variable real es la siguiente:

Entonces, la gráfica de )(xfy = sería: Por lo tanto, la gráfica de f es la gráfica de f hecha positiva,

es decir: ( )

<−≥

=0)()(0)(

)(xfcuandoxfxfcuandoxf

xf

Ejemplo 2

Para obtener la gráfica de 21 −+= xy , podemos pensar en la gráfica de xy = desplazada una unidad a la izquierda y dos unidades hacia abajo y de allí hacerla positiva, obteniendo su valor absoluto.

1x 2x

1x 2x

)(xfy = )(xfy −=

)(xfy =

)(xf


241

Rxparaxxy ∈+−= 242

Los interceptos con el eje x : Es decir: y

Analicemos los siguientes ejercicios:


Sea IRIRf →: una función tal que: ( )

≤−<<−

≥+−

=0;4

20;4

2;242

xxx

xxx

xf , entonces el

RANGO de f es el intervalo: a) [ )∞− ,4 b) [ ) [ )∞∪−− ,02,4 c) [ ) ( )∞∪− ,44,2 d) ( ] [ )∞∪− ,02,4 e) ( ] [ )∞∪−− ,02,4 Solución: Debemos graficar cada regla de correspondencia en sus respectivos intervalos, es decir: 1. 242 +−= xxy tiene

11221

=−==+

xxx

3

212)1(

−==−−=+−

xxx

VÉRTICE

abx2

−=

2=x

2284

−=+−=

yy

1. 2242 ≥+−= xparaxxy 2. 204 <<−= xparaxy 3. 04 ≤−= xparay

CEROS:

59.022

41.3222

2242

)2(4164

024

22

11

2,1

2,1

2

=⇒−=

=⇒+=

±=

−±=

=+−

xx

xx

x

x

xx

021

210

=−+

−+=

x

x

-3 1

-1

( )( ) 121 +−=−+−= xxy

( )( ) 121 −=−+= xxy

( )( ) 321 −−=−+−= xxy

3+= xy


242

Entonces la gráfica sería: Observando el gráfico, tenemos que [ ) [ )∞∪−−= ,02,4frg . Por lo tanto la opción “b” es correcta


Graficar IRxxxxf ∈−−= ;1)( Primero obtengamos su regla de correspondencia en forma explícita, para lo cual destruimos los valores absolutos, es decir: Entonces, su gráfica es:

4−= xy

242 +−= xxy

4−=y

11121

10

1)1()()1(

=−=+−=++−=

−−=−−−=−−−−=

yyxyxxy

xxyxxyxxy

<<≤+−

≥−=

0;110;12

1;1)(

xxx

xxf

12 +−= xy 1=y

1−=y


243

9.6.10.3 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES

Función cúbica Función raíz cuadrada Entonces:

0; ≥= xxy

1+= xy

1+= xy

Rxxy ∈= ;3


244

xy −=

xy −=

( )11 +−=−−= xxy


245

HIPÉRBOLA EQUILÁTERA

Entonces:

1

1+

=x

y

11

+=x

y

xy 1=


246

Ejercicio resuelto Sea IRIR:f → una función con regla de correspondencia:

( )

≥−

<<−−

−≤−−

=

22

224

222

xx

xx

xx

xf

entonces una de las siguientes afirmaciones es CORRECTA, identifíquela: a) La función es biyectiva. b) La función es sobreyectiva. c) La función es inyectiva. d) La función es impar. e) La función es par SOLUCIÓN: Debemos graficar f para así determinar sus características. Note que xy −−= 2 debe ser considerado de la siguiente forma )2( +−= xy

Entonces, de acuerdo al gráfico, f es una función par. Por lo tanto la opción “e” es correcta

Ejercicios propuestos 9.6

1. Si f es una función de variable real tal que: ( )

≥≤−−

=-2< x; 2-3x-

2 x; 3 2<x2- ; 12

)(

2xxf

entonces el RANGO de f es: a) ( )∞− ,1 b) ( )15,∞− c) ( ]15,∞− d) ( ]158,− e) [ )+∞,15

2. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia: ( )

≥−<≤−−

−<

=342

332

3102

xxxx

x

xf

entonces el RANGO de f, es el intervalo: a) ( )∞,10 b) [ )∞− ,7 c) ( )∞,7 d) ( )710, e) ( )∞− ,7

3. Sea RRf →: una función tal que

<+

≤≤−

>

=

0;1

60;36;9

)(2 xx

xxx

xf Entonces es VERDAD que:

a) f es par b) 3)6(65)8(9)50( −=∧=−∧= fff c)f no es sobreyectiva d) f es inyectiva e) f es impar

4. Sea IRIRf →: , una función tal que: ( )

≤++−

>−=

0;42

0;2)( 2 xx

xxxf

2−= xy

42 −= xy

( )2+−= xy


247

Para que 4)( >xf , se requiere que:

a) 6>x b) 6<x c) 0>x d) 602 >∨<<− xx e) 2−>x 5. Sea f una función de variable real cuya regla de correspondencia es:

( )( )

≥−

<≤−−−<−+

=

33

313132

2

2

xx

xxxxx

xf entonces su gráfica es:

6. Considerando la función f , con regla de correspondencia: ( )

≥−<<−−

−≤+

=4;6

44;16

4;62

xxxx

xx

xf

Una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA. Identifíquela. a) f es una función impar. b) El rango de f es el intervalo ( )4,−∞ . c) f es creciente en el intervalo ( )14,− . d) El dominio de f es el intervalo ( )+∞,0 .

e) f es una función par.

7. Dada la función: ( )

≥+

<≤−+

−<−

=

5;5

55;55

5;52

xx

xxxx

xf entonces es VERDAD que:

a) f es creciente en el intervalo ( ]0,∞− d) f es decreciente en el intervalo [ )∞,0 .

b) f es una función par. e) f es una función impar. c) f no es función.

8. La regla de correspondencia de la función: IRIRf →: cuyo gráfico se muestra, tiene la forma :

( ) cbxaxxf ++= 2

c)

(1, 4)

(3, 0)

d)

(-1, -4)

(3, 0)

e)

(3, 0)

(-1, -4)

(-1, -4)

(3,0)

a)

(-1, -3) (3,0)

b)


248

Entonces el valor de b es: a) 4 b)1 c)2 d)-4 e)-1/2

9. Sea f una función de variable real, cuya gráfica es:

Entonces su regla de correspondencia es:

a)( )

>−

<≤−−<≤−+−−<

=

2;420;202;2

2;2

2 xxxxxxx

x

xf b)

( )

>+

≤≤−+−−<−

=

2;422;2

2;2

2 xxxxx

xxf

c)( )

>−

≤≤+−<≤−+−<

=

2;420;202;22;2

2 xxxxxxx

x

xf d)

( )

≥−

≤<−≤≤−+−−≤

=

2;420;2

02;22;2

2 xxxxx

xxx

xf

e) ( )

>−

≤≤−+−−<

=

2;422;2

2;2

2 xxxxx

xxxf

10. Considere el gráfico de una función de variable real:

Entonces su REGLA DE CORRESPONDENCIA es:


249

a) ( ) ( )

>+≤<+−

≤−

=2,3

20,21

0,2

xxxx

xx

xf c) ( ) ( )

>−≤<+−

≤−

=2,1

20,212

0,2

xxxx

xx

xf

b) ( ) ( )

>−≤<−−

≤−

=2,3

20,21

0,2

xxxx

xx

xf d) ( ) ( )

>−≤<−−

≤

=2,3

20,122

0,2

xxxx

xx

xf

e) ( ) ( )

>−≤<−−

≤

=2,3

20,212

0,2

xxxx

xx

xf

11. Realizar las gráficas de las funciones con reglas de correspondencias:

a)

∈≤≤+

+

=2>x ; 1

Rx ; 2x0 ; x

0<x ; x

)x(f 2 1

52 b) Rx ; xx)x(f ∈−+−= 1212

c) ( ) 32 2 −−= x)x(f d) 462 −−= x)x(f

12. Si f es una función de variable real tal que:

+−

≥−=

3<x<1 ,xx

2-x , x)x(f

12

1122

entonces el GRÁFICO de f es: a) b) c) d)

e) Elija esta opción si ninguno es el gráfico.

13. Sean f(x)= xx x− ≥

− +

1 13 22

; x - 2 ; 1< x < 3

y Rx ; ∈−

=2

xx)x(g

GRAFICAR: ( ) ( ) ( ) ( )2-xg- d) xf- c) xg b) xf )a

31

2

4

2

2

-4

-2 2

-4

-2

2


250

14. Uno de los siguientes gráficos corresponde a la función f tal que f(x)= [ ] Rx,x)x(g ∈+− 22 , sabiendo

=

0<x ; 1-0=x ; 00>x ;

)x(g1

a) b) c) d) e) Elija esta opción si ningún gráfico corresponde. 15. La gráfica de la función ( ) :es ;11)( Rxxxxf ∈−−= a) b) c) d) e) Seleccione esta opción si ninguna de las anteriores es el gráfico. 16. Considere el siguiente gráfico para una función g de variable real: Entonces el GRÁFICO DE f , tal que ( ) ( )121 −−= xgxf ,es:

1

32

1

32

2

3

1

32

1

1

-1

1


251

a) b) c) d) e) 17. ¿ Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA con respecto a la función f de variable real ?

≤

≥

+−

=

1<x1- ; x

1x ; 1-x-1<x ; )x(

)x(f3

22

a) f es creciente en el intervalo (-1,1) b) f es impar en el intervalo (-1,1) c) f es par en el intervalo (1,+∞) d) f es decreciente en el intervalo (-2,-1) e) f es creciente en el intervalo (1,+∞)

18. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia

( )

>+−

≤

−<

=

1;44

1;1;1

2 xxx

xxx

xf . Entonces es FALSO, que:

a) [ )∞= ,0frg d) f es creciente en el intervalo [ )∞,2 . b) f no es una función par. e) f no es una función impar. c) f es decreciente en el intervalo [ ]1,0 .

19. Sea f una función de una variable real, con regla de correspondencia:

( )

( )

( )

>−

≤≤−++−

−<++

=

22

222281

222

2

2

xx

xx

xx

xf

entonces el RANGO de la función es el intervalo: a) ( ]2−∞− , b) [ )∞,0 c) [ )∞− ,2 d) ( )∞∞− ,

e) [ )∞,2 20. Sea x∈R y x ≤ 4 ; 24)( +−= xxf , entonces es FALSO que:


252

a) Si la función es impar, entonces la función no es par b) El vértice de la parábola está en (4,2) c) La función es decreciente d) La función es par e) El Rango de la función es [ )+∞,2

21. La GRÁFICA de la función f, con regla de correspondencia ( )

−≤−−−

<+−+

≥−

=

2;2221

2;22

2;22

2 xxx

xx

xx

xf es:

a) b)

c) d)

e) 22. Si se define la función f con regla de correspondencia xxxf 2)( = ; x∈R, entonces, una de las siguientes

afirmaciones es FALSA, identifíquela. a) f es una función PAR b) Para x=-2, el valor de la función es 8 c) 3)( xxf = d) En el intervalo (0,+∞), f es estrictamente creciente e) El rango de f es (0,+∞)

9.6.11 FUNCIÓN INVERSA

Ya hemos mencionado que una función es inversible si y sólo si es biyectiva.

Con conjuntos finitos, determinar inversas es muy sencillo. Para hallar la función inversa 1−f de una función biyectiva f , bastaba con tomar el camino de regreso; entonces, obteníamos el rango de f como dominio 1−f y al dominio f como rango de 1−f . En los pares ordenados, la primera componente pasa a ser la segunda componente y la segunda componente pasa a ser la primera componente.


253

Para lograr esto, con una función de variable real f con regla de correspondencia dada, deberíamos realizar lo siguiente:

1. Si tenemos )(xfy = deberíamos hacer ( )yfx = . [Cambiar “x” por “y” y “y” por “x”]

2. Despejar “ y ”.

Entonces la regla de correspondencia de la inversa ( )xfy 1−= , sería la ecuación obtenida

Ejemplo 1

Sea 12)( += xxf , hallar 1−f SOLUCIÓN: En 12 += xy , cambiando “x” por “y” y “y” por “x”, tenemos 12 += yx

Despejando “y”,

21

2

211212

−=

−=

−=+=

xy

xy

xyyx

entonces 21

21)(1 −=− xxf

Ocurre algo interesante cuando trazamos tanto la gráfica de f como de su inversa 1−f en un mismo plano cartesiano. A saber:

Los gráficos de f y 1−f son simétricos a la recta xy = .

12)( +== xxfy

21

21)(1 −== − xxfy

xy =


254

No olvide que ( ) ff =−− 11

Ejemplo 2

Sea 2)( xxf = ; 0≥x hallar 1−f y graficarlas en un mismo plano. SOLUCIÓN: Como tenemos 2xy = , entonces 2yx = . Donde 0≥y

Por lo tanto xf =−1 Ejemplo 3

Sea 2)( xxf = ; 0<x , hallar 1−f y graficarlas en un mismo plano. SOLUCIÓN: Como tenemos 2xy = , entonces 2yx = donde 0<y .

Por lo tanto xf −=−1

Ejemplo 4

xy +=

2xy =

2xy =

xy −=


255

Para 2);42( −≥+−= xxy tenemos:

0;221

2;221

2;422;42

2);42(

1 ≤−−=

−≥−−=

−≥−−=−≥−−=−≥+−=

− xxf

yxy

yxyyyx

yyx

Note que 2−≥y cuando 0≤x

0;221 2 ≤−= xxy

2;42 −≥+−= xxy

2;42 −<−= xxy

2;42 −≥−−= xxy

Sea 0;221)( 2 ≤−= xxxf . Hallar 1−f y graficarlas en un mismo plano.

SOLUCIÓN:

2;42

42

42

42

0;221

1

2

2

2

−≥+−=

+=

+=

−=

≤−=

− xxf

xy

xy

yx

yyx

Ejemplo 5

Sea

−≥+−−<−=

2;)42(2;4)(

2

xxxxxf . Hallar 1−f y graficarla

SOLUCIÓN: Encontramos la inversa para cada una de las reglas de correspondencia de f . Observe que, la gráfica de f es: Primero:

Segundo:

Para 2;42 −<−= xxy tenemos:

0;4

2;4

2;4

2;4

2;4

1

2

2

2

>+−=

−<+±=

−<=+

−<=+

−<−=

− xxf

yxy

yyx

yyx

yyx

Note que 2−<y cuando 0>x

Por tanto:

≤−−

>+−=−

0;221

0;41

xx

xxf

1−f

0;221 ≤−−= xxy

0;4 >+−= xxy


256

Ejercicios Propuestos 9.7 1. Si f es una función cuyo dominio es el intervalo [5,+∞), y su regla de correspondencia es

55)( −−= xxf . Entonces, el dominio de )(1 xf − , es: a) [ )+∞,5 b) [ ]0 ,5− c) [ ]0 ,5− d) [ )+∞− ,5 e) [ ) ( )∞∪− + 5, 5 ,5 2. La función inversa de la función de variable real 22)( −−= xxf siendo x ≥ 2, es:

( )1 x; 422)(1-f e)2 x; 42)(1-f d)

-2 x; 22)2()(-1f c)-1 x; 22)2()(-1f b)-2 x; 222)(-1f )

≥++=≥−=

≥++=≥−−=≥+−=

xxxxx

xxxxxxa

3. Sea )(1 xf − la regla de correspondencia de una función que es inversa de otra función de variable real f y

que está definida así:

−

≥=−

2<x ;2

2x ; 2)(3

1

x

xxf

entonces el valor de la suma )4()2( −−− ff es igual: a) 1 b) -1 c) 3 d ) -3 e) 2

4. Si f es una función invertible, tal que:

≥+−=

4< x; 6)-2(x4 x; 1582

)( xxxf

Entonces el dominio de )x(f 1− es:

a) R b) [ )c1- ,4− c) [ ]C1- ,4− d) ( )+∞− ,2 e) ( )1- ,−∞ 5. Sea f una función de una variable real, que tiene una función inversa cuya regla de correspondencia es:

( )31;13121 −≥−+=− xxxf , entonces la regla de correspondencia de f , es:

a) ( ) ( )31;

31

6

21−≥−

+= xxxf b) ( ) ( ) 1;

31

6

21−≥−

+= xxxf

c) ( ) ( )31;

121

3

21−≥−

−= xxxf d) ( ) ( )

31;

31

3

21−≥+

+= xxxf

e) ( ) ( ) 1;31

12

21−≥−

+= xxxf

9.6.12 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

El concepto de componer funciones ya lo hemos mencionado, sin embargo recuerde que para obtener fg , empezando con “ x ” como dominio de f obtenemos su rango )(xfy = , y luego este rango lo hacemos dominio de g para obtener ))(( xfgy = . Lo cual esquemáticamente, sería:

f g x )(xfy = [ ])(xfgy =

( ) [ ])()( xfgxfg =


257

Algo similar se haría para el caso de obtener gf Si f y g son funciones de variable real, se trabajaría con las reglas de correspondencia.

Ejemplo 1

Sean IRxxxf ∈−= ;12)( y IRxxxxg ∈+−= ;23)( 2 . Hallar ( ) )(xgf SOLUCIÓN: Por definición ( ) [ ])()( xgfxgf = ( f evaluada en g ) Ejemplo 2

Para el ejemplo anterior obtener fg SOLUCIÓN: Por definición ( ) [ ])()( xfgxfg = ( g evaluada en f), entonces:

( ) [ ]( ) ( ) ( )( )( )( ) 61412)(

3231212)(

212)144(3)(

212123)(

2)()(3)(

2

2

2

2

2

+−=

+−+−=

++−+−=

+−−−=

+−=

xxxfg

xxxxfg

xxxxfg

xxxfg

xfxfxfg

Analicemos ahora los siguientes ejercicios resueltos:

Ejercicio resuelto 1 Sean f y g dos funciones de una variable real, cuyas reglas de correspondencia son:

f g x )(xgy = [ ])(xgfy =

( ) [ ])()( xgfxgf =

f g x 23 2 +−= xxy [ ])(xgfy =

( ) [ ])()( xgfxgf =

12 −x

( ) [ ]( )( ) 326)(

1)23(2)(

1)(2)(

2

2

+−=

−+−=

−=

xxxgf

xxxgf

xgxgf


258

12 += x)x(f , IRx∈ x)x(g −= 2 , IRx∈

Entonces es VERDAD que: a) El rango de gf es el intervalo [ )∞,0 b) El rango de fg es el intervalo ( ]1,∞−

c) ))(fgf( 1 =0 d) ( ) =)(gfg 1 2 e) ( ) )(gg 11− =0 SOLUCIÓN: Analizando una a una las opciones: a) Obtengamos primero ( ) [ ])()( xgfxgf =

( )( ) 12

122

2

+−=

+−=

xy

xy. Entonces [ )∞= ,1)( gfrg (¿POR QUÉ?), por tanto esta opción es falsa.

b) Obtengamos ahora ( ) [ ])()( xfgxfg =

( )12 2 +−= xy

1

122

2

+−=

−−=

xy

xy.Entonces ( ]1,)( −∞=fgrg (¿POR QUÉ?), por tanto esta opción es correcta.

c) Caculemos ( ) [ ][ ] 1)0())2(()1()1( ==== fgffgffgf . Por tanto esta opción es falsa

d) Calculemos ( ) [ ][ ] 0)2())1(()1()1( ==== gfggfggfg . Por tanto esta opción es falsa.

e) Al calcular ( )( ) 111 =−gg por que ( )( )( )( ) xxgg

xxgg

=

=−

−

1

1 . Por tanto esta opción es falsa.

Veamos

Si

xxg

yxxxg

−=

−=−=

− 2)(

22)(

1

entonces

( )( ) [ ]( )( )( )( ) xxgg

xxgg

xggxgg

=

−−=

=

−

−

−−

1

1

11

)2(2

)(

y también

( )( )( )( ) xxgg

xxgg

=

−−=−

−

1

1 )2(2


Si

>+≤−

=1;11;2

)(xxxx

xf y IRxxxg ∈= ;)(

Entonces la composición (g o f)(x) está dada por la regla de correspondencia: a)

≤−

=1> x; 1+x1 x; 2

))((x

xgof c)

≥−

=1 x; 1+x1< x; 2

))((x

xgof

b) ( ) ≤−−

=1> x; 1+x1 x; 2

))((x

xgof d) ≤+−

=1> x; 1-x-1 x;x 2

))(( xgof

e) 0> x; 1+x0 x; 2

))(( ≤−

=x

xgof

SOLUCIÓN: Aplicando la definición ( ) [ ])()( xfgxfg = tenemos ( ) )()( xfxfg = .


259

Con la gráfica de f nos podemos ayudar. Ejercicios Propuestos 9.8

1. Sean f y g dos funciones de variable real tal que:

≤

>+=

2;

2;1)(

xx

xxxf

≥−

<<−

−≤+

=

4;142;2

2;1

)(xx

xx

xx

xg

Entonces es FALSO que: a) ( ) 3)2( =−+ gf b) ( ) 1)1(/ =gf c) ( ) 1)2( =−gf

d)163

)4()2()2(=

−+−g

gf e) ( ) 4)2( =fg

2. Si f y g son dos funciones de IR en IR tales que: 1)( += xxf y 3)( xxg = . Entonces, una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:

a) ( )( )3

13

+= xxgfg b) ( )( ) 20 =fgf c) ( )( ) 10 =gfg

d) ( )( ) 13 += xxfgf e) ( )( ) 3+= xxfff

xy −= 2

1+= xy


260

Misceláneos

1. Sea f una función de variable real, tal que xx

xxxf

2

2)( 2 −

−+= , entonces el MAYOR DOMINIO de la función

es: a) IR b) ( ) ( )∞∪−∞ ,20, c) ( )C2,0 d) ( )∞,0 e) { }2,0−IR

2. Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?

a) Una función f es par, si y sólo si [ ])()( xfxfx −=∀ . b) Una función f es impar, si y sólo si [ ])()( xfxfx −=−∀ . c) Siempre se cumple que [ ]axaaxx <<−⇒<∀ .

d) Una función es estrictamente decreciente, si y sólo si 21, xx∀ [ 21 xx > )()( 21 xfxf <⇒ ]. e) Una función es estrictamente creciente, si y sólo si 21, xx∀ [ 21 xx > )()( 21 xfxf <⇒ ].

3. Dadas las funciones de variable real f y g cuyas reglas de correspondencia son

>−≤−

=4;824;4

)(xxxx

xf y xxg =)(

entonces ( )( )xfg + es:

a) ( )( )

>−≤

=+4;834;4

xxx

xfg b) ( )( )

>−≤

=+4;8

4;4xx

xxfg

c) ( )( )

<−≤≤

>−=+

0;2440;4

4;83

xxx

xxxfg d) ( )( )

<−≤≤

>=+

0;240;4

4;3

xxx

xxxfg

e) ( )( )

>−≤≤

<−=+

4;2440;4

0;83

xxx

xxxfg

4. Sean f y g funciones de variable real, tales que

≥+<−

=1;21;12

)( 2 xxxxx

xf y

≤−>−

=1;231;1

)(xxxx

xg , entonces ( )( )1gf es:

a) 4 b) 1 c) 3 d) 2 e) 1−

5. Sea IRIRf : una función, tal que

<−≥−=

4;284;4)(

xxxxxf , entonces es FALSO que:

a) La función no es par. b) La función no es impar. c) La función es decreciente en el intervalo ( ]0,∞− . d) La función es sobreyectiva. e) La función no tiene inversa.

6. Sea IRIRf →: , tal que

>−−≤−=

2;22;2)(

xxxxxf , entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA DE SU

INVERSA es:

a)

>−≤−=−

2;22;2)( 2

21xxxxxf b)

<−≥−=−

0;20;2)( 2

21xxxxxf

c)

≤−>−=−

0;20;2)( 2

21xxxxxf d)

<+≥−=−

0;20;2)( 2

21xxxxxf

e)

<−≥−=−

0;20;2)( 2

21xxxxxf


261

7. Sean f y g funciones de variable real, tales que: 23 23)( xxxf += y 22)( −= xxg Entonces ))(( xfg es:

a) 226))(( 23 −+= xxxfg b) 246))(( 23 −+= xxxfg

c) ( )23 222)32(3))(( −+−= xxxfg d) 2223 22 −++ xxx

e)22

23))((23

−+

=x

xxxfg

8. Sean f y g funciones de variable real tales que: 22)( −−= xxxf y 9)( 2 −= xxg

Entonces el MAYOR DOMINIO posible de la función gf es el intervalo:

a) [ ]2,32 b) [ ] [ )∞∪ ,32,3

2 c) [ ) ( )∞∪ ,22,23 d) [ )∞,3

2 e) [ ) ( )∞∪ ,33,32

9. Sea f una función de variable real, entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:

a) Si f es sobreyectiva entonces f es impar. b) Si f es biyectiva entonces f es decreciente. c) Si f es par entonces f no es inyectiva. d) Si f es impar entonces f es creciente. e) Si f es estrictamente creciente entonces f es sobreyectiva

10. Sean f y g funciones de variable real tales que:

≥

<+=

1;

1;13)( 2 xx

xxxf y

≥

<≤+<

=

5;2

52;32;5

)(2 xx

xxx

xg

Entonces LA REGLA DE CORRESPONDENCIA de la función ( ) )(xgf + es:

a) ( )

≥

<≤++

<≤+

<+

=+

5;3

52;3

21;5

1;63

)(

2

2

2

xx

xxx

xx

xx

xgf b) ( )

≥

<<++

≤≤+

<+

=+

5;3

52;3

21;5

1;63

)(

2

2

2

xx

xxx

xx

xx

xgf

c) ( )

>

≤≤++

<≤+

<+

=+

5;3

52;3

21;5

1;63

)(

2

2

2

xx

xxx

xx

xx

xgf d) ( )

≥

<≤+<≤

<+

=+

5;2

52;321;

1;63

)(

2

2

xx

xxxx

xx

xgf

e) ( )

≥

<≤++

<≤+

<+

=+

5;2

52;3

21;5

1;63

)(

4

2

2

xx

xxx

xx

xx

xgf

11. Sea f una función de variable real tal que: ( ) 342 −+−= xxxf . Para que 0)( >xf entonces “ x ” debe pertenecer al intervalo: a) ( )0,2− b) ( ) ( )∞∪−−∞ ,01, c) ( )3,1 d) ( ) ( )∞∪−∞ ,31, e) ( )3,4−

12. Sea f una función de variable real tal que

>−

≤<+−

≤≤−+−<

=

2;4

20;1

02;22;3

)(

221

xxx

xx

xxx

xf

Entonces en RANGO de f es el intervalo: a) [ ]3,4− b) [ )∞− ,4 c) ( )∞− ,4 d) ( )3,4− e) [ )∞,0


262

13. Sea IRIRf : tal que

<+−<≤+−

≥−−

=0;1

10;1

1;1

)( 2

xxxx

xx

xf entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de su

inversa es:

a)

>−≤<−

≤+

=−

1;110;1

0;1

)(

2

1

xxxx

xx

xf b)

>+≤−=−

0;120;1)(

21xxxxxf

c)

<+

≥=−

1;13

1;4)(

21

xx

xxxf d)

<−<<−

≥+

=−

1;110;1

0;1

)(

2

1

xxxx

xx

xf

e)

<−≥−=−

1;11;1)(1

xxxxxf

14. Sean f y g funciones de variable real tales que: 13)( 2 += xxf y xxxg −= 32)(

Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela: a) f es impar pero g es par b) ( ) 1)2( −=gf c) ( )fg no existe d) f es inyectiva o g es impar e) Si f es par entonces g no es impar

15. El MAYOR DOMINIO posible de una función f , con regla de correspondencia 212)( 2 −−+

−−

= xxxxxf , es

el intervalo: a) [ )C2,1 b) [ )2,1 c) ( ]1,−∞− d) [ )∞,2 e) ( ] [ )∞∪−∞− ,21,

16. Considere una función de variable real, tal que: 35

1−

+−=

yx . Una de las siguientes afirmaciones es

FALSA, identifíquela: a) El dominio de la función es el intervalo ( ) ( )∞−∪−∞− ,33, b) La función es inyectiva en su dominio natural c) La función intercepta al eje "x" en

514−

d) La función es decreciente en su dominio natural e) La función intercepta al eje "y" en 3

14

17. Sean f y g funciones de variable real tal que

<≥−

=1;31;2

)(xxxx

xf ∧ ( )( )

≤−>=+

0;0;2

2

xxxxxgf

Entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de la función g es:

a)

<−<≤−

≥+−

=0;4

10;3

1;2

)( 2

2

xxxxx

xxx

xg b)

≤>−−=

0;40;2)(

2

xxxxxxg

c)

<−<≤−

≥+−−

=0;4

10;3

1;122

)( 2

2

xxxxx

xxx

xg d) xxxg += 2)(


263

e)

≤−

<<−

≥+−

=

0;2

10;23

2

1;122

)(2

2

xx

xxx

xxx

xg

18. Considere las funciones f y g tales que Rxxxf ∈−= ;2)( 3

10 y ( ) Rxxxg ∈−= ;3 2 . Entonces el

RANGO de la función gf + es el intervalo: a) [ )∞− ,3 b) [ )∞,3 c) ( ]3,−∞− d) [ ]3,3− e)R

19. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:

a) La función ( ) 13

1−−

=x

y es inyectiva.

b) La función 32 −= xy es par

c) La función 3−−−= xy es decreciente en su dominio natural

d) La función 3xy = es creciente para todos los reales e) La función xy 4−= es impar

20. Sea f una función de variable real tal que 2;12)( −≥−+= xxxf , entonces la FUNCIÓN INVERSA es:

a) ( ) 1;21)( 21 ≥−+=− xxxf b) ( ) 2;21)( 21 −≥++=− xxxf

c) ( ) 1;21)( 21 −≥−−=− xxxf d) ( ) 1;21)( 21 −≥−+=− xxxf e) i f no tiene inversa

21. Sea f una función de variable real tal que 2413)(

+−

=xxxf entonces es FALSO que:

a)x

xxxf

652

21 −

=

+− b)f no es par

c)f no es impar d)f está definida para 21−=x

e) ( ) 031 =f

22. Sea f una función de variable real tal que 31)( −+−−= xxf . Entonces una de las siguientes proposiciones

correcta, identifíquela: a) La gráfica de f se dibuja en el primer cuadrante y segundo cuadrante. b) El rango de f es el intervalo ( )3,−∞ c) El rango de f es el intervalo ( ]3,−∞− d) f es una función impar e) f es una función par

23. Sea la recta con ecuación 253 =− yx . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA es:

a) La pendiente de la recta es 35−

b) La recta intercepta al eje y en 2 c) La recta es paralela a la recta 5

2153 += xy

d) El punto ( )52,0 pertenece a la recta.

e) La recta es decreciente. 24. Sea xxxf 2)( 21 −=− ; 1≤x , la regla de correspondencia de la función inversa de una función f .

Entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es:

a) 11)( ++= xxf ; 1−≥x b) 11)( +−−= xxf ; 1≥x

c) 11)( −+= xxf ; 1−≥x d) 11)( −−= xxf ; 1≥x


264

e) 11)( ++−= xxf ; 1−≥x

25. Sean f y g funciones de variable real tal que: xxf += 3)( y 9

1)(2 −

=x

xg Entonces el MÁXIMO

DOMINIO posible de ))(( xgf + es el intervalo:

a) φ b) ( )3,3− c) [ ]3,3− d) ( )C3,3− e) [ ]C3,3− 26. Sea IRIRf →: una función tal que 12)( 2 −−= xxxf . Entonces su GRÁFICA es:

b) 27. Sea IRIRg →: una función tal que 43)( −−= xxg . Entonces una de las siguientes afirmaciones es

FALSA, identifíquela. a) ( ) 43 −=g b) El rango de g es el intervalo [ )+∞− ,4 c) g es decreciente en el intervalo ( ]3,−∞− d) g es creciente en el intervalo ( )+∞,0

e) ( ) 10 −=g y 3)2( −=g 28. Sean IRIRf →: y IRIRg →: , funciones tales que: 32)( 3 −= xxf y ( )36 134)( −= xxxg

Entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de ))(( xgf es:

a) 326))(( 23 −−= xxxgf b) 33))(( 23 −−= xxxgf

c) 14))(( −= xxgf d) 323))(( 3 −−= xxgf

e) 312))(( 3 +−= xxgf

x

f(x)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 70

5

10

x

f(x)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-10

-5

0

x

f(x)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 70

5

10

x

f(x)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-10

-5

0

x

f(x)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

0

5

10

a) b)

c) d)

e)


265

29. Sea la función 32

1312)(

−−−

−+

=xx

xxf , entonces su máximo DOMINIO posible es el intervalo:

a) ( )C5,1− b) [ ]C5,1− c) ( )5,∞− d) ( )+∞,1 e) ( ]C5,1

30. Considerando la función de variable real ( )

<−≥−=

2222)(

2

xxxxxg , es FALSO que:

a) g es inyectiva. b) 3)0(

)3()1(=

−g

gg c) g es creciente para 2≥x .

d) g tiene inversa. e) g no es impar.

31. Sean las funciones

<−<≤+

≥+=

0;10;13

1;12)(

2 xxxx

xxxf , y

<−≥

=0;20;1

)(xxx

xg , entonces es VERDAD que:

a)El rango de g es ( )2,−−∞ . b) g tiene inversa. c) 3)1)(( =gf . d) [ ] )1)(()2()1( fggf =− . e) g es decreciente en el intervalo )0,(−∞ .

32. Sean las funciones

>≤≤−+

−<=

5;55;1

5;3)(

xxxx

xxf y

<

≥=

0;

0;2)(

xx

xxg , entonces LA REGLA DE

CORRESPONDENCIA de ))(( xgf − es:

a)

>−≤≤−<≤−

−<−

=−

5;250;105;1

5;3

))((

xxxxx

xx

xgf d)

>−≤≤−<≤−

−<+

=−

5;250;105;2

5;3

))((

xxxxx

xx

xgf

b)

>−≤≤−<≤−

−<+

=−

5;250;105;1

5;3

))((

xxxxx

xx

xgf e)

>−≤<−≤<−

−<−

=−

5;250;105;1

5;3

))((

xxxxx

xx

xgf

c)

<−≤≤+

≥=−

0;20;12

2;5))((

xxxxx

xxgf

33. Sean f y g funciones de variable real, tales que 12)( −+= xxxf y 22)( xxg −= , entonces la regla de correspondencia para gf es:

a) 122))(( 2 −+−= xxxgf b) 21))(( xxxgf −+=

c) 12))(( 2 ++−= xxxgf d) ( )2122))(( −+−= xxxgf

e) 322))(( 22 +−−= xxxgf 34. Sea g una función de variable real, tal que:


266

Entonces el GRÁFICO de )2(2)( −+−= xgxf es: a) b) c) d) e)

35. Con respecto a la función de variable real

<−

≥−=

3;3

3;)3()(

2

xx

xxxf , una de las siguientes proposiciones es

VERDADERA, identifíquela:

a)

<+

≥+−=−

0;3

0;3)(1

xx

xxxf d)

<+

≥+=−

0;3

0;3)(1

xx

xxxf

b)

≥+−

<+=−

0;3

0;3)(1

xx

xxxf e) f no tiene inversa.

c)

<+

≥+−=−

0;3

0;3)(1

xx

xxxf


267

36. Con respecto a la gráfica x

y 34 +−= , una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:

a) La función tiene asíntota horizontal en 0=y . b) La función tiene asíntota vertical en 4−=x . c) La función es creciente para 0>x . d) La función corta al eje y en -4. e) La función es decreciente para )0,(−∞∈x .

37. Sea f una función de variable real tal que 42)( 2 +−= xaxxf . El VALOR que debe tener " a " de tal

manera que [ ]∞= ,32fRango , es:

a) 310 b) 10

3− c) 103 d) 3

2− e) 4

38. Sea f una función de variable real, tal que 5

1)(+

+−=x

xxf . Entonces su MAYOR DOMINIO POSIBLE es:

a) Φ b) [ )+∞,5 c) { }0 d) ( )0,−∞ e) ( ]0,5− 39. Sea f una función de variable real, tal que 24)( −+−= xxf . Entonces una de las siguientes

afirmaciones es FALSA, identifíquela: a) El par ordenado ( )2,4 − pertenece a f . b) El mayor dominio posible de f es el intervalo ( ]4,−∞− . c) El rango de f es el intervalo [ )∞− ,2 . d) El mayor dominio posible de f es el intervalo ( ]4,∞− . e) f es decreciente en su dominio.

40. Sea f una función de variable real, tal que

−<+−

<≤−+

≥

=

2;322;1

2;

)( 2

xxxx

xx

xf

Entonces es VERDAD que: a) f es par b) )2()2()0( −=+ fff c) IRfrg = d) f es inyectiva. e) f es biyectiva. 41. Sean f , g y h funciones de variable real, tales que: 3)( xxf = , 2)( 2 −= xxg , xxh =)(

Entonces es FALSO que: a) )( fg es una función impar. b) fh es una función impar. c) f es creciente en todo IR . d) gf + no es par ni impar. e) gh es par.

42. Sea f una función de variable real tal que ( )x

xxxf

12)(

+−= , entonces su MAYOR DOMINIO POSIBLE es el

intervalo: a) ( ]2,0 b) [ ) [ )∞∪− ,20,1 c) ( ) [ )∞∪∞− ,20, d) ( )0,∞− e) [ )∞,2

43. Sean f y g funciones de variable real tales que

<

≥−=

2;2

2;13)(

xx

xxxf y

<−

≥=

0;

0;)(

2

2

xx

xxxg Entonces

es VERDAD que:

a) ( )( ) 32 =− gf b)Dom ( ) += Rxf c) ( ) =

0

gf no está definida

d) ( )( ) 11. =gf e) ( ) ( )xf∉5,2

44. Sea la función de variable real

≥≤<+

≤+

=2;5

20;1

0;1

)( 2

xxx

xx

xf , entonces su RANGO es el intervalo:

a) [ ]5,0 b) [ ]5,1− c) [ )∞,0 d) [ ]5,1 e) ( )∞∞− ,


268

45. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia 32)( +−−= xxf . Entonces es FALSO que:

a) El punto (2,3) pertenece a la gráfica de f. b) La función f es decreciente c) La gráfica de f corta al eje x en x=11. d) La gráfica de f no corta al eje y. e) f es creciente.

46. Dadas las siguientes funciones de variable real, determine cuál de ellas corresponde a una FUNCIÓN PAR. a) ( )21)( += xxk b) 23)( 4 +−= xxxg c) 6)( 2 +−= xxxj

d) 43)( 24 ++= xxxh e) 22)( 3 −+= xxxf 47. El MAYOR DOMINIO posible de la función f de variable real, con regla de correspondencia

32032)(

2

+−−

−=x

xxxf , es el intervalo:

a) ( ] [ ]4,3, 25−∪−∞− b) ( ) ( )∞∪∞− ,33, c) ( ) [ )4,3, 2

5−∪−∞−

d) ( ) [ ]4,3, 25−∪−∞− e) ( ) ( )4,3, 2

5−∪−∞−

48. Sea f una función de variable real tal que: ( )

−+

++=

5

621)(24

2

ax

xaxf . Si IRa∈ entonces el VALOR de

+12af es:

a) 12+

a b) 12

−a

c)1

12 +

+

a

a d) 1−a e)1

2−a

49. Sean f y g funciones de variable real tales que: xxxf 22)( −+= y xxg −=)( . Entonces el

DOMINIO de la función fg es el intervalo:

a) [ )∞− ,2 b) [ )∞,2 c) [ )∞− ,31 d) [ ]3

1,0 e) ( )1,31−

50. Sea f una función de variable real, tal quex

xxxf

)3)(4()(

+−= , entonces el MAYOR POSIBLE DOMINIO

que tiene la función, es: a) ( )4,3− b) ( )4,∞ c) ( ) ( ]4,00,3 ∪− d) [ ) ( ]4,00,3 ∪− e) ( ]C4,3−

51. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia 2)( −−= xxf , entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela. a) { }2/ <= xxDomf b) [ )+∞= ,0rgf c) f es decreciente en su dominio d) f no es inyectiva en su dominio e) f es par

52. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia 34)( 2 −+−= xxxf . Entonces el RANGO de f es el intervalo: a) ( ]1,∞− b) [ ]1,0 c) ( )∞,1 d) [ )∞,0 e) ( ]0,∞−

53. El MAXIMO DOMINIO posible de una función de variable real con regla de correspondencia

12

1)(2

−−

+−=

xxxxf es el intervalo:

a) ( )1,1− b) ( ] [ )2,11, ∪−∞− c) ( ] [ ]2,11, ∪−∞− d) ( )∞,2 e) [ )2,1

cap 9 función de una variable real

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