Capıtulo 1

EL PROBLEMA DE LA LUZ COMO ANTECEDENTEHISTORICO DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

Ver parte I

1

Capıtulo 2

INVARIANZA DE LAS LEYES DE MAXWELL

Ver parte I

2

Capıtulo 3

EVOLUCION DE CONCEPTOS HACIA LA TEORIA DE LARELATIVIDAD

Ver parte II

3

Capıtulo 4

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TEORIA DE LARELATIVIDAD ESPECIAL

Ver parte II

4

Capıtulo 5

EFECTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL EN LA DINAMICA

Ver parte III

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Capıtulo 6

DIDACTICA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

Introduccion

Existen fundamentalmente dos tipos de obras sobre Fısica Relativista; unas abordan el temadesde el punto de vista epistemologico mientras que otros lo desarrollan a traves de resultadosmatematicos, pasando muchas veces por alto las explicaciones.

La ensenanza de la Teorıa de la Relatividad adolece actualmente de muchas dificultades. Lamayorıa de los autores a nivel de secundaria se limitan a establecer definiciones y a ilustrarlaspor medio de graficos. No existe un verdadero razonamiento fısico de la Relatividad respaldadopor procedimientos matematicos. Otra dificultad para un principiante radica en el empleo deun analisis matematico bastante elevado en los libros especializados que termina por caer en ungrado de abstraccion tal, que deja a las ecuaciones la tarea de explicar los fenomenos fısicos.Nada mas absurdo; el modelamiento matematico es la manera de organizar y presentar unavision fısica creada y discutida de antemano.

Para la ensenanza de la Teorıa de la Relatividad Especial se sugiere el siguiente derrotero:

- Iniciar con los conceptos clasicos de: posicion o sitio, distancia, evento o suceso, tiempo oduracion, movimiento, velocidad.

- Precisar cuando dos o mas eventos son simultaneos. Diferenciar entre eventos simultaneosy eventos copuntuales; simultaneidad local y simultaneidad a distancia.

- Definir e ilustrar los sistemas de referencia y distinguirlos de los sistema de coordenadas.Establecer las caracterısticas de los sistemas inerciales a partir del principio de relatividad deGalileo. Ilustrar las transformaciones de Galileo aplicadas al concepto clasico de velocidad rela-tiva.

- Cuestionar la existencia de un sistema de referencia absoluto y asociarlo con el principio dela relatividad especial de Einstein.

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- Explicar el principio de equivalencia de Einstein.

Los cinco ıtems anteriores estan detallados en el capıtulo 3. El profesor en companıa de losalumnos puede modificar, complementar o profundizar segun las circunstancias.

- Decribir el experimento de Michelson-Morley como la aspiracion de los fısicos clasicos porcomprobar la existencia de un sistema de referencia absoluto (el eter). A raız del fracaso de esteexperimento, presentar los problemas que llevaron a pensar que la velocidad de la luz en el vacıoes la misma en todos los sistemas inerciales, independientemente del movimiento de la fuente yel observador. Se recomienda recurrir al capıtulo 1.

- Comparar los tratamiento clasico y relativista acerca del experimento de Michelson-Morley.Encontrar inconsistencias en el tratamiento clasico de acuerdo a las evidencias y resaltar la ge-nialidad del tratamiento relativista. Ver capıtulo 6, secciones 6.1. a 6.4.

- Enunciar los postulados de la relatividad de Einstein y su validez frente a otras posturaspara explicar los resultados inesperados del experimento de Michelson-Morley. Desmontar elconceptos de tiempo absoluto. Ver capıtulo 4, seccion 4.1.; capıtulo 6, seccion 6.2.

- Introducir la contraccion del espacio y la dilatacion del tiempo como una consecuencia ine-ludible de los postulados de Einstein. Deducir y aplicar las formulas correspondientes. Describirel concepto ”defecto de simultaneidad”. Ver capıtulo 4 secciones 4.4. y 4.5.; capıtulo 6, seccion6.3.; capıtulo 7, seccion 7.1. El profesor puede unificar criterios respecto a la forma de correla-cionar estas secciones.

- Definir suficientemente los llamados intervalos o separaciones espacio-temporales, clasi-ficarlos e ilustrarlos. Ver capıtulo 4, secciones 4.2., 4.3.; capıtulo 7, secciones 7.2.4., 7.3. Lasecciones a escoger dependen del nivel academico del estudiante.

- Emplear diagramas de espacio-tiempo para relacionar la apreciacion de un evento desde di-ferentes sistemas de referencia. Clarificar el concepto de recta de marcha. Capıtulo 7, secciones7.2.1. a 7.2.3.

- Deducir las transformaciones de Lorentz a partir de los diagramas de espacio-tiempo y uti-lizarlas para calcular la velocidad relativa entre sistemas inerciales.Capıtulo 7, secciones 7.4., 7.5.

- Redefinir los conceptos de momento, fuerza, trabajo, aceleracion y masa desde la fısica re-lativista. Capıtulo 5, secciones 5.1., 5.2.

- Comprobar la equivalencia masa/energıa a partir de un experimento mental y sus implica-ciones. Capıtulo 5, seccion 5.3. Para esta demostracion basta tener claros los conceptos clasicosde la Dinamica.

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Un excelente recurso para la ensenanza de la Teorıa de la Relatividad es el experimento deMichelson-Morley. Una vez conocida la experiencia de Michelson-Morley, el estudiante elabo-rara los tratamientos clasico y relativista sobre la propagacion de la luz. El interferometro deMichelson se convirtio en la piedra angular para el nacimiento de la Teorıa de la Relatividad. Porlo tanto es a partir del interferometro adaptado que se puede ensenar la Relatividad Especialde una manera sencilla y fenomenologica sin sacrificar la rigurosidad matematica.

Los diagramas espacio-tiempo constituyen otro recurso excelente para la didactica de la Re-latividad Especial. Dichos diagramas son representaciones pictoricas de los sistemas de referen-cia en movimiento relativo. Permiten la deduccion simple de las Transformaciones de Lorentz,ası como de las formulas para calcular la velocidad relativa entre laboratorios en movimiento;ası mismo, permiten establecer ordenes de sucesion de eventos simultaneos o copuntuales bajoun sistema de referencia pero no desde otro. En este capıtulo se realizaran variados ejemplosilustrativos.

No basta que el estudiante conozca los conceptos sino tambien sus orıgenes. Con un ejemploes suficiente: los autores definen el concepto de intervalo por medio de una formula y luegolo caracterizan como magnitud absoluta para todos los sistemas de referencia; a veces agreganuna demostracion matematica. No se puede decir que con este tratamiento se esta aprendiendoRelatividad; es necesario indicar como surge este concepto y verificarlo primero desde el puntode vista fısico (la parte matematica es complementaria). Razonar la Relatividad no es deleitarsepracticando demostraciones matematicas, sino cuestionando los argumentos y razonando losprincipios que dieron origen a la misma. Los resultados matematicos siempre se deben asociaral fenomeno fısico.

Los fısicos clasicos pronosticaban que los rayos reflejados por los espejos del interferometrode Michelson no retornarıan simultaneamente al espejo semireflectante. Para la ensenanza dela Relatividad Especial el interferometro sera reemplazado por un movil, de tal manera que lafuente de luz estara incorporada en su interior en el punto o’ como se puede observar en lafigura 6.1 b). Se colocaran tres espejos equidistantes al punto o’ en las posiciones m’, n’ y b’del movil en reemplazo de los espejos del interferometro. El famoso eter como sistema de refe-rencia sera reemplazado por la vıa respecto a la cual se desplaza el movil. Este pequeno disenosera suficiente para iniciar a plenitud los fundamentos de la teorıa relativista.

6.1. Resultados esperados por la Teorıa Clasica Fundamental conrelacion al experimento de Michelson-Morley

En la teorıa clasica fundamental se supone que la emision de luz por parte del manantialluminoso o’ provoca una sacudida del eter en dicho punto. Es por lo tanto a partir de la marca0 de la vıa que se contabiliza la propagacion de la onda luminosa en todas direcciones y no delpunto movil o’.

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Figura 6.1: Adaptacion del interferometro de MIchelson al caso particular de un movila) modelo del interferometro tradicional de Michelson. b) equivalente movil del interferometro con la fuente deluz en el punto o’ y tres espejos equidistantes a dicho punto en las posiciones m’, n’ y b’; el ”eter” es representadopor la ”vıa” exterior.

El pensamiento que predominaba en la epoca de Michelson con relacion a la velocidad de laluz puede ilustrarse claramente a partir de un problema tipo. Este ejercicio ayudara a compren-der mas tarde la Teorıa de la Relatividad Especial.

Descripcion del problema. a) Se desea encontrar el punto de encuentro de dos senalesluminosas que partiendo en sentido contrario desde el punto central de un laboratorio L’ enmovimiento uniforme rectilıneo con respecto a otro laboratorio L, son luego reflejadas por es-pejos en el movil equidistantes de la fuente luminosa. b) Hallar tambien el punto de retorno deun tercer rayo que parte al mismo tiempo de la fuente luminosa, y que se propaga perpendicu-larmente a los dos rayos anteriores hasta otro espejo del movil situado a igual distancia que losanteriores.

Solucion

Primera parte del problema

Para poder resolver el problema desde la fısica clasica sera necesario emplear graficas ilustra-tivas para cada evento. Se tendran en cuenta cuatro eventos a saber:

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Evento (O): emision simultanea de las senales luminosas r y s en sentido contrario desde elpunto central o’ del movil en un tiempo t = 0. La figura 6.2 a) ilustra este primer evento

Figura 6.2: Emision de dos rayos luminosos en sentido contrarioa)Dos rayos luminosos parten de o’ simultaneamente en sentido contrario. b) El rayo r choca contra el espejoen m’ y se devuelve. c) El rayo s choca contra el espejo en n’ y se devuelve. d) Los rayos s y r regresansimultaneamente al punto o’

Evento (M): la senal r alcanza el espejo izquierdo en un tiempo t = t1, e instantaneamentese refleja; vease figura 6.2 b)

Evento (N): la senal s llega al espejo de la derecha al cabo de un tiempo t=t2, e instantanea-mente se refleja; figura 6.2 c).

Evento(R): regreso simultaneo de las senales r y s al punto central o’ del movil, en untiempo t=t3. Ver figura 6.2 d)

En que posicion, con respecto a la vıa, se encontraran los rayos r y s en su retorno? Cuantotiempo, tambien con respecto a la vıa, transcurrio desde el momento que fueron lanzados losrayos del punto o’ en la marca 0 de la vıa, para retornar luego simultaneamente a o’ en algunpunto (?) de la vıa? Estos son los interrogantes que deberan ser resueltos en la primera parte

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del problema planteado.

Expresemos la velocidad del movil (V) como una fraccion f positiva de la velocidad de la luz(c), es decir, V = f.c. Puesto que la velocidad de la luz es tomada actualmente como referenciapara todas las velocidades del mundo fısico, puede ser tomada como patron o unidad de medida.En este sentido puede ser estandarizada a un valor de uno, es decir, c=1 y en consecuencia,la velocidad del movil sera V= f.

Ası mismo, de la figura 6.2 a) se desprende que la longitud del movil es

|m′n′| = +p− (−p) = 2p

.

Para los fısicos clasicos los tamanos de las divisiones en el movil y en la vıa son iguales.

Para el Evento(M) (figura 6.2 b)), el extremo m’ del movil se desplazo al cabo de t = t1,la cantidad

V.t1 = f.c.t1 = f.|t1|Las barras indican valor numerico sin unidad de medida pues se esta utilizando el sistemaestandar. La nueva posicion de m’ es entonces: m′(t1) = −p + f.|t1| (posicion inicial mas des-

plazamiento). En el instante t1 la posicion del rayo r sera r(t1) = −c.t1 = −|t1|. El signo menosobedece a que el rayo se dirige hacia la izquierda.

Generalizando, desde el origen o’ (en la marca 0 de la vıa) hasta el encuentro con el espejosituado en m’ se cumple que el rayo r se desplaza:

r(t) = −|t|, 0 < t 6 t1 (6.1)

Como hallar el valor de t1? Puesto que las posiciones de m’ y r coinciden al encontrarse rayoy espejo, basta escribir:

m(t1) = r(t1) ⇒ −p+ f.|t1| = −|t1|Despejando el valor de t1 obtenemos 1:

t1 = p/(1 + f) (6.2)

El valor de t1 tiene sus lımites. Cuando f se aproxima a cero, t1 lo hace a p, y cuando ftiende a 1, t1 lo hace a p/2. Por lo tanto, 0 < t1 < |p/2|.

Para el Evento (N) (figura 6.2 c)), el extremo n’ del movil se desplaza, en algun tiempo t2,la cantidad V.t2 = f.c.|t2| = f.|t2|. La nueva posicion de n’ sera entonces: n(t2) = +p+f.|t2| (posi-cion inicial mas desplazamiento). En el instante t2 la posicion del rayo s sera: s(t2) = c.t2 = +|t2|.

1Los procedimientos algebraicos son de facil comprension para estudiantes de secundaria; el concepto de lımite tambien se manejaen el grado once.

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El signo mas indica que el rayo se dirige a la derecha.

Generalizando desde el origen o’ en la marca 0 de la vıa hasta el encuentro con el espejosituado en n’ se cumple que:

s(t) = |t|, 0 < t 6 t2 (6.3)

Como hallar el valor de t2? Puesto que las posiciones de n’ y s coinciden al encontrarse rayoy espejo, basta escribir: n(t2) = s(t2) ⇒ +p+ f.|t2| = |t2|. Despejando se obtiene:

t2 = p/(1− f) (6.4)

Observamos que cuando f tiende a cero, t2 tiende a p, y cuando f tiende a 1, t2 lo hara ainfinito. Por lo tanto, t2 > |p|. Por que t1 es de valor limitado y t2 puede llegar a ser ilimitado;es un buen ejercicio de razonamiento fısico para interpretar los resultados matematicos; tododepende de la velocidad del movil.

Para el evento (R) (figura 6.2 d)), vemos que el punto o’ que inicialmente estaba en lamarca 0 de la vıa se desplazo al cabo de t = t3, la cantidad V.t3 = f.|t3|. Los tiempos de retornopara los rayos r y s desde cada espejo hasta el punto o’, son respectivamente (t3− t1) y (t3− t2).Esto se debe a que del tiempo final t3, se deben restar los tiempos empleados por los rayos parair a los espejos.

Por lo tanto, los rayos luminosos r y s se desplazan durante el retorno desde los espejos lascantidades: +c.(t3 − t1) = |t3| − |t1|, y ,−c.(t3 − t2) = −(|t3| − |t2|) respectivamente; el signo+ indica que el retorno del rayo r es hacia la derecha (figura 6.2 b)), y el signo menos indicaretorno hacia la izquierda del rayo s (figura 6.2 c)).

Pero las posiciones iniciales antes de los retornos de r y s eran (−p + f.|t1|) y (+p + f.|t2|)respectivamente, como se pudo establecer en los analisis de los eventos (M) y (N). En conse-cuencia, las posiciones de dichos rayos, con respecto a la vıa, en el momento del retorno haciael punto o’, es decir en t = t3, corresponderan a las sumas algebraicas de las posiciones inicialesy los desplazamientos obtenidos ası:

Para el rayo s, s(t3) = (+p+ f.|t2|) + (−(|t3| − |t2|)) = p+ |t2|.(1 + f)− |t3|Como t2 = p/(1− f), resulta despues de un juego algebraico:

(A) : s(t3) = −|t3|+ 2p/(1− f) = −|t3|+ 2t2

.Generalizando el retorno de s es:

s(t) = −|t|+ 2t2, t2 < t 6 t3 (6.5)

Para el caso del rayo r, r(t3) = (−p+ f.|t1|) + (|t3| − |t1|) = −p− |t1|(1− f) + |t3|.

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Como t1 = p/(1 + f), resulta, despues de reducir:

(B) : r(t3) = |t3| − 2p/(1 + f) = |t3| − 2t1

Generalizando, el retorno de r es:

r(t) = |t| − 2t1, t1 < t 6 t3 (6.6)

Cual es el valor de t3? Puesto que en los retornos las posiciones de r y s son las mismas conrespecto a la vıa (ver figura 6.2 d)), basta igualar las ecuaciones (A) y (B) ası:

−|t3|+ 2p/(1− f) = |t3| − 2p/(1 + f)

y despejando cuidadosamente obtenemos:

t3 = 2p/(1− f 2) (6.7)

Ejercicio. Demuestre que el valor de t3 tambien se puede calcular igualando r(t3) o s(t3) alrecorrido que hace el movil desde la marca 0 hasta la posicion de retorno de los rayos. Sugeren-cia: la distancia recorrida por el movil hasta la posicion de retorno de los rayos es V.t3.

Cuando f tiende a cero t3 se aproxima a 2p, y cuando f se aproxima a 1, t3 se acerca ainfinito; todo depende de la velocidad del movil. Por consiguiente, t3 > 2p.

Queda de esta manera resuelta la primera parte del problema:

El tiempo de encuentro de los rayos r y s esta dado por t3 y la posicion de encuen-tro se halla con cualquiera de las ecuaciones (A) o (B), o directamente mediante eldesplazamiento del movil (V.t3).

APLICACION 1. Supongamos que el movil imaginario se mueve con una velocidad igual a3/5 la velocidad de la luz y tiene una longitud de 4 h-luz (1 h-luz = distancia que recorre la luzen 1 hora 2). Hallar el tiempo y el punto sobre la vıa en que los rayos r y s llegan a encontrarse.Calcular ademas, los instantes con respecto a la vıa en que los rayos chocan con los espejos.

Solucion. Los datos son: f = 3/5, p = |mn|/2 = 4/2 = 2h− luz.Luego:Tiempo de encuentro:

t3 = 2p/(1− f 2) = 2× 2/(1− (3/5)2) = 6,25h = 6h15min

2Lo de 1 hora es netamente simbolico; hubieramos podido emplear otra unidad de tiempo, por ejemplo 1 nanosegundo, caso enel cual la longitud se darıa en ns-luz

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Instantes de choque con los espejos

Para el rayo r: t1 = p/(1 + f) = 2/(1 + 3/5) = 1,25h

Para el rayo s: t2 = p/(1− f) = 2/(1− 3/5) = 5hPunto de encuentro:

s(t3) = r(t3) = V.t3 = (3/5)× (6,25h) = 3,75h− luz

Las ecuaciones que rigen los movimientos de los rayos r y s son:

Para s, a partir de de las ecuaciones(6.3) y (6.5):

s(t) = t, con tε[0; 5] o s(t) = −t+ 10 con tε(5; 6,25]

Para r, a partir de las ecuaciones(6.1) y (6.6):

r(t) = −t, con tε[0; 1,25] o r(t) = t− 2,5 con tε(1,25; 6,25]

Las graficas de las figuras 6.3 y 6.4 muestran las trayectorias correspondientes a los rayos.

Figura 6.3: Desplazamiento del rayo s

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Figura 6.4: Desplazamiento del rayo r

La superposicion de las graficas de r y s permite visualizar el punto y tiempo de encuentrode los dos rayos.En conclusion, los rayos r y s se encontraran al cabo de 6.25 h y a una distancia de 3.75 h-luza partir de la marca 0 de la vıa.

Con ejercicios similares a este el estudiante podra responder las siguientes preguntas: Si losrayos r, s parten simultaneamente de la marca 0 de la vıa, por que no chocan simultaneamentecon los espejos? Es correcto decir que el tiempo de encuentro de los rayos es igual a la suma delos tiempos que emplean para chocar con los espejos? Por que?

Segunda parte del problema

Debido al movimiento relativo entre vıa y movil el rayo i no se vera propagandose vertical-mente desde la marca 0 de la vıa, sino diagonalmente como se puede observar en la figura 6.5.

Definamos los siguientes eventos a partir de dicha figura:

Evento (B): llegada del rayo i al espejo en la posicion b con respecto a la vıa.

Evento (W): Retorno del rayo i al punto o’ del movil en la posicion w de la vıa.

Para el Evento (B), cuando el rayo i llegue al espejo que pasa por b al cabo en un tiempot, habra recorrido una distancia diagonal igual a |ob| = c.t = |t|, ya que la velocidad de la

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Figura 6.5: El movil se desplaza hacia la derecha con movimiento uniforme respecto la vıa.

luz se ha estandarizado a c = 1. En ese mismo instante el movil habra recorrido una distanciahorizontal igual a |oa| = V.t y la nueva posicion de o’ sera el punto a de la vıa. Observe que oy b son diferentes a o’ y b’; los dos primeros son posiciones fijas en la vıa y los otros dos estanen movimiento con respecto a esta.

Aplicando, el Teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo oba resulta:

|ob|2 = |oa|2 + |ab|2

Al reemplazar queda: |t|2 = V 2.|t|2 + |ab|2, donde |ab| = p y V = f.c = f

Haciendo los reemplazos y despejando el valor de t obtenemos

t =p√

1− f 2(6.8)

Ejercicio para el estudiante. Demostrar que para cualquier valor permitido de f , t > p. Su-gerencia: analizar la formula anterior para valores lımites de f

Finalmente, como el tiempo de ida al espejo en b es igual al tiempo de retorno desde b hastao’ en la posicion w de la vıa, vemos que el tiempo total tow del recorrido del rayo i es el doblede t, o sea, tow = 2|t|.

Averiguemos ahora la posicion final de o’ cuando el rayo i retorna a dicho punto en la posicionw. Como el tiempo total fue tow, basta multiplicar este tiempo por la velocidad del movil paraobtener: |ow| = V × tow = 2ft (distancia o alcance final hasta la posicion w con respecto a lamarca 0 de la vıa).

En conclusion,

tow = 2t = 2× | p√1− f 2

| (6.9)

|ow| = ftow (6.10)

Segun acabamos de ver, la teorıa clasica nos dice que el Evento (W) se produce en el ins-tante tow del sistema horario de la vıa, y en la posicion w de la misma.

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APLICACION 2. Con base a los datos suministrados para la APLICACION 1, hallar el tiem-po que emplea el rayo i para ir hasta el espejo que pasa por b, el tiempo total hasta la posicionw y el valor de esta. Que concluye al compararlos con los rayos r y s?

Solucion. Los datos son: p = 2h− luz, f = 3/5,Luego, aplicando las ecuaciones (6.8), (6.9) y (6.10) obtenemos:

t =2√

1− (3/5)2= 2,5h

tow = 2× t = 5h

|ow| = 3

5

h− luzh

× 5h = 3h− luz

El instante de choque con el espejo que pasa por b es de 2.5h, el tiempo total hasta el retornofue de 5h, y el punto de encuentro con o’ fue de w = 3h− luz a partir de 0. Para los rayos r y s eltiempo total de retorno fue de 6.25h, y la posicion de encuentro fue de 3.75 h-luz desde la marca 0.

Corolario: como se dijo para el evento (B), |ob| = |t| = tow/2⇒ |ob| = 5/2 = 2,5h− luz(recorrido del rayo i hasta el punto b).

Segun acabamos de ver, la teorıa clasica nos dice que el evento (W) se produce en el instantetow = 5h del sistema horario de la vıa, en el el punto +3 de la misma.

Recapitulemos ahora los resultados del conjunto de nuestro analisis:

Segun lo que antecede, el regreso (R) de las senales s y r (figura 6.6), reflejadas por losespejos correspondientes colocados a lo largo de la direccion del movimiento, se produce en elinstante t = 6h15min en el punto +3,75 de la vıa; pero el evento de retorno (W) de la senali reflejada por el espejo en b, dispuesto con respecto al origen de la radiacion y perpendicular-mente a la direccion de marcha del movil, se produce en el instante tow = 5h en el punto w = +3.

De acuerdo al razonamiento clasico, el retorno (R) de r y s es posterior en una hora y cuartoal retorno (W) de i. Entre el retorno (W) de i y el regreso comun (R) de r y s, el receptor o’avanza 3/4 de unidad, desde W hasta R. Ello esta plenamente de acuerdo con lo que sabemosacerca del movimiento del movil, el cual a la velocidad de 3/5 debe avanzar 3/4 en 5/4 de hora(6.25h-5h). Por otra parte, el camino recorrido por los rayos luminosos (senales) r (o s) e i enel eter no es el mismo: sobre la figura puede observarse que es de (1,25 + 5) = 6,25 para r(lınea roja a trazos)o s (lınea verde), mientras que para i es de 5 unidades (lınea negra a trazos).Con base a la aplicacion que se acaba de presentar, se pueden presentar al estudiante variadosejercicios similares donde se le recalque que corresponden a los razonamientos clasicos.

Estos eran los calculos que los fısicos a finales del siglo XIX presentaban para justificar elfenomeno de interferencia que debıa presentarse con el empleo del Interferometro; no todos losrayos en los retornos llegarıan simultaneamente lo cual provocarıa variaciones en el patron de

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Figura 6.6: Pronostico clasico de los rayos luminosos en sus retornosLos rayos r, s e i no presentan simultaneidad local en los retornos al punto o’ segun la teorıa clasica. Los dosprimeros llegan simultaneamente a un mismo punto (Evento (R)) de la vıa, pero i llega a otro punto de la vıa(Evento (W).)

interferencia detectado al variar el angulo β del interferometro (ver figura 6.1). El mismo Lorentzsugerıa a Michelson mejorar el dispositivo para que aumentara su sensibilidad.

La teorıa clasica que acabamos de presentar proporciona un resultado que difiere de lapropiedad Michelson comprobada experimentalmente: en lugar de un retorno simultaneode las tres senales, la teorıa clasica preve un retraso del retorno comun de r y de s respecto alretorno de i.

La experiencia efectiva realizada por Michelson resulto en desacuerdo con las previsiones lateorıa clasica fundamental, por lo cual se plantearon otras teorıas a fin de justificar la simulta-neidad en los retorno de los rayos luminosos, ninguna de las cuales logro explicar eficientementelas propiedades Michelson y de Unicidad del comportamiento de la luz. Solo la Teorıa de laRelatividad Especial de Einstein lo logro en forma eficaz.

6.2. Analisis de los resultados del experimento de Michelson-Morleybajo la Teorıa Especial de la Relatividad

La Teorıa de la Relatividad de Einstein es una teorıa que no se pronuncia acerca de la na-turaleza de la luz, pero le atribuye ciertas propiedades que sugiere la experiencia (vease seccion4.1):

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1) la propiedad (E) o de Einstein2) la propiedad (U) o de Unicidad

Supone ademas el abandono de la idea clasica acerca del caracter absoluto de los intervalosde tiempo y atribuye a las senales luminosas el papel de agente horario; el tiempo universalesta basado en las senales luminosas . Es ası, como la teorıa de Einstein vincula el patron deduracion al patron de longitud; si las longitudes se miden en unidades-luz, esas mismas unidadesrepresentan los tiempos. Por ejemplo, 1 h-luz es la longitud que recorre la luz en una 1h. En vezde decir que la velocidad de la luz es de 300.000 Km/s diremos simplemente que es de 1s-luz/s,donde 1s-luz=300.000 Km

Segun la propiedad E, la velocidad de la luz no depende de la velocidad del movil (labora-torio L’) y ademas tiene un valor constante evidenciado por el experimento de Michelson; enconsecuencia da lo mismo que el movil este en movimiento o reposo para obtener los mismosresultados. La figura 6.7 muestra como los eventos (W) y (R) coinciden necesariamente en elmovil (laboratorio L’) donde se utilizan posiciones y tiempos con letras primadas para distin-guirlas de las posiciones en la vıa o laboratorio L.

Figura 6.7: Simultaneidad de los rayos luminosos en sus retornos en el movilPara Einstein, la evidencia experimental predomina sobre la especulacion matematica; por lo tanto, los rayos r,s e i retornan al mismo punto sin ningun desfase entre ellos.

Es logico que al ser las distancia hasta los espejos de un valor p = 2h − luz (en la APLI-

CACION 1), entonces los tiempos empleados por los rayos para llegar hasta ellos seran tambiende to′m′ = to′n′ = to′m′ = to′b′ = p/c = 2h utilizando el concepto de tiempo universal de Einstein.En Forma similar el tiempo total de ida y regreso al emisor-receptor o’, sera igual al doble delanterior, o sea 4h.

Ahora centremonos en la vıa (laboratorioL). Las dos horas hasta los espejos se convierten

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en 2.5h para el rayo i que viaja diagonalmente hasta el punto b segun se dedujo de la APLI-CACION 2; el tiempo total de dicho rayo hasta su retorno en la posicion w sera el doble. Conbase en dicho tiempo, el movil hasta el evento (W) se habra desplazado la cantidad:

|ow| = V × tow = 35c× 5h = 3

51h−luz

h× 5h = 3h− luz = +3.

Figura 6.8: Simultaneidad en los retornos y desfase hasta los espejosEn la Teorıa de la Relatividad Especial los eventos (R) y (W) son simultaneos, pero los eventos (M), (N) y (B)no lo son desde la vıa aunque desde el movil sı lo sean. El tiempo que tarda el rayo r para ir hasta m es igual a|m|, el tiempo que tarda el rayo s para ir hasta n es igual a |n|, y el tiempo que tarda el rayo i para ir hasta bes igual a |

√(w/2)2 + p2| aplicando el T. de Pitagoras al triangulo oab.

La figura 6.8 muestra la propuesta relativista en contraposicion con la dada por la fısicaclasica fundamental. La reflexion del rayo r en el espejo situado en el punto m’ del movil, sedara en algun punto m sobre la vıa. Algo parecido sucedera con la reflexion del rayo s sobre elespejo situado en la posicion n’; se dara en alguna posicion n de la vıa. El avance horizontal de

la reflexion del rayo i correspondera a la distancia |ow|2

= +3/2 = +1,5 en la vıa.

Cuando el el punto o’ del movil cruza la marca 0 de la vıa se produce la emision de lassenales r, s e i simultaneamente. En ese instante m′ = −2. n′ = +2 y b′ = +2 por encima de 0;observar la figura ??. Para Einstein, en realidad, no son tres rayos independientes sino trayec-torias radiales de una sola emision ondulatoria de caracter esferica que se propaga en todas lasdirecciones con la misma velocidad de la luz. Cuando haya transcurrido 5 h respecto a la vıael rayo i habra llegado al punto w = +3. Pero los rayos r y s tambien llegaran en ese mismoinstante, es decir emplearan tambien 5h cada uno; cada uno de estos rayos luminosos recorreranen 5h una distancia igual a c× 5h = 5h− luz.

20

Figura 6.9: Diversas posiciones del movil respecto a la vıaTres posiciones diferentes de o’: cuando pasa por la marca 0 de la vıa donde se origina el rayo i; cuando cruzala marca a de la vıa y el rayo i se refleja en el punto b; cuando o’ pasa la marca w donde finalmente el rayo iregresa a dicho punto. Empleando tiempos universales, cada onda de luz punteada representa media unidad detiempo y tambien media unidad de longitud.

Para que el rayo r recorra 5h-luz y llegue a la posicion w = +3 partiendo de la marca 0 dela vıa, requiere que avance una unidad a la izquierda y se devuelva otras 4 a la derecha. Paraque el rayo s cumpla el mismo cometido requiere avanzar 4 unidades a la derecha y devolverseuna hacia la izquierda. Los puntos en que se devuelven corresponden a las posiciones en la vıade los espejos que reflejan los rayos r y s; dichas posiciones han sido marcados con m = −1 yn = +4. Observese que para la vıa no se utilizan letras primadas.

Es muy importante resaltar que de los tres tiempos para los rayos r, s, i con respecto a lavıa, la Relatividad Especial solo acepta como verdadero el tiempo del rayo i, puesto que al serlanzado perpendicularmente a la direccion en que se desplaza el movil, no experimenta reflexio-nes horizontales que interactuen con la posicion instantanea del movil. Es conveniente que elestudiante compare las figuras 6.6 y 6.8 y deducir la segunda conociendo la primera. Para ellose requiere realizar varios ejercicios variando, por ejemplo, la velocidad del movil o su longitud;se puede tomar el caso en que V = 4/5.

Un aspecto primordial a discutir consiste en distinguir los eventos simultaneos y no si-multaneos con respecto a la vıa o al movil tal como lo manifiestan las figuras citadas ante-riormente. Es momento de repasar los conceptos de simultaneidad a distancia y simultaneidadlocal que fueron vistos en la seccion 3.1.11. Se puede colocar un listado de pares de eventos paraque el estudiante los clasifique.

Ejemplo. De los siguientes pares de eventos diga cuales son localmente simultaneos o si-multaneos a distancia con respecto al movil o a la vıa: (M) y (N), (O) y (W), (B) y (N),

21

etc.

6.3. Los conceptos de tiempo propio y longitud propia

Las nociones de longitud y tiempo son relativos, dependiendo el sistema de referencia bajoel cual se hagan las mediciones.

6.3.1. Duracion propia o tiempo propio de un proceso

La duracion de un proceso cualquiera que se inicia o desarrolla en un punto fijo o’ de unlaboratorio inercial (L’), determinado mediante las senales luminosas que parten de o’ y re-gresan a o’, se denomina duracion propia y se representa por t’. Ejemplo: para la figura 6.7,t′ = to′b′o′ = 2× to′b′ = 4h

La duracion bruta o impropia obtenida de un movimiento relativo, depende a la vez, delas caracterısticas del proceso considerado y de la velocidad relativa V del laboratorio (L’);corresponde a t y esta determinado por las senales luminosas que parten de o y progresan si-multaneamente con el desplazamiento de o’ por una trayectoria diferente a las senales luminosasque parten de o’. Ejemplo: para la figura 6.5 o la figura ??, t = tobw = 2× tob = tow = 5h

Como todas las senales luminosas parten de la marca cero y se reencuentran en la marca wde la vıa, los tiempos propio e impropio se representan por t′ow y tow respectivamente.

El cociente que se establece entre las duraciones propia e impropia se denomina Relacionde dilatacion relativista del tiempo y se representa por β.

β =to′b′o′

tobw=t′owtow

(6.11)

Ejemplo: para la figura 6.9,

β =to′b′o′

tobw= 4/5

Como tow > t′ow, el valor de β siempre es positivo y menor que la unidad. 0 < β < 1

Calculo de β a partir de V y c

Por definicion, tiempo propio = t′ow = to′b′o′ = 2× to′b′ = 2× (|o′b′|)/c (se toma en el movil)

Ası mismo, tiempo impropio = tow = tobw = 2× tob = 2× (|ob|)/c (se toma en la vıa)

22

Entonces, β = t′owtow

= 2×|o′b′|/c2×(|ob|)/c ⇒

β =|o′b′||ob|

(6.12)

Elevando β al cuadrado, β2 = |o′b′|2|ob|2 . Pero del triangulo rectangulo resaltado de la figura ??

tenemos que: |o′b′|2 = |ob|2 − |oa|2; por lo tanto,

β2 =|ob|2 − |oa|2

|ob|2⇒ β2 = 1− |oa|

2

|ob|2

El valor de |oa| es la distancia que recorre el movil en un tiempo toa = tob, puesto que tanto elmovil como el rayo i llegan simultaneamente a los puntos a y b respectivamente. Tomando pues|oa| = V × toa = V × tob, y |ob| = c× tob resulta:

β2 = 1− (V × tob)2

(c× tob)2⇒ β2 = 1− V 2

c2⇒

β =

√1− V 2

c2(6.13)

Conociendo la duracion impropia y la velocidad relativa entre dos laboratorios, es posible

calcular la duracion propia del laboratorio movil. En efecto, sabiendo que β = t′owtow

, resultat′ow = βtow ⇒

t′ow = tow

√1− V 2

c2(6.14)

Un caso particular consiste en reemplazar tow por su equivalente segun la ecuacion (6.9) ası:

t′ow = 2× p√1−f2×

√1− V 2

c2⇒ t′ow = 2p⇒

p = |t′ow

2| (6.15)

Lo cual cual no indica que el valor de p (longitud del movil) es igual en magnitud a la mitaddel tiempo propio.|V | representa tanto la velocidad relativa de L’ con respecto a L, como la velocidad de L con

respecto a L’, ya que el proceso es recıproco.

Ejemplo 1. Si la velocidad del movil es los 3/5 de la velocidad de la luz, hallar el tiempo pro-pio de un evento al interior del movil sabiendo que con respecto a la vıa tiene una duracion de 5h.

23

solucion. Aplicando la ecuacion 6.14: tiempo propio = 5h×√

1− (3/5)2c2

c2= 5h× (4/5) = 4h

Donde β = 4/5 es la relacion de dilatacion relativista para tiempos

La expresion dilatacion relativista hace referencia al hecho de que el tiempo entre eventostales como (O) y (W) copuntuales en el movil, donde es igual a 4h, se extiende a 5h registradodesde la vıa, es decir, en el laboratorio en el que no son copuntuales. Lo que en el movil sucede alas 4h, en la vıa corresponde a 5h; ”corre” mas el tiempo en la vıa que en el movil. La dilatacionrelativista del tiempo es mayor entre mas pequena sea β, en efecto, de dos valores de β, 3/5y 4/5 por ejemplo, el primero representa mayor dilatacion o ”alargamiento” del tiempo puesapenas van 3h en el movil cuando en la vıa ya van 5h.

Se puede solicitar al estudiante que construya una tabla de valores de β para diferentesvalores de V y deduzca luego alguna relacion entre ellos. Tambien se le puede hacer razonar conargumentos imaginarios como el siguiente: de tres personas con igual fecha de nacimiento, dosparten de viaje sin ”paradas” al mismo tiempo en moviles diferentes a velocidades de 3/5 y 4/5la velocidad de la luz respectivamente; la tercera persona no viajo. El viajero que permanecio enTierra reporto que los otros dos regresaron al cabo de 5 anos exactos. En ese transcurso detiempo cual de las tres viajeros celebro mas cumpleanos?

Este ejercicio requiere aplicar la formula β = t′/t =√

1− V 2

c2, sin embargo con razonamiento

fısico se puede hacer conjeturas y luego verificarlas matematicamente; t′ se mide en el movil y ten Tierra.

Cuando V = 3/5, β = 4/5. Entonces, t′ = 4/5× 5 = 4 (cuatro cumpleanos).

Cuando V = 4/5, β = 3/5. Entonces, t′ = 3/5× 5 = 3 ( tres cumpleanos).

Claramente, el viajero que permanecio en Tierra tuvo mas cumpleanos, y el viajero quemarcho a mayor velocidad celebro menos cumpleanos.

Ejemplo 2: Suponga que el dıa que nacio el nino Einstein cinco viajeros programaron partirsin hacer escalas a determinadas regiones del cosmos a diferentes porcentajes de la velocidadde la luz como se observa en la figura 6.10. El primer viajero tuvo problemas de arranque ypermanecio en Tierra. Cuando el segundo viajero regreso reporto que el viaje le demoro 10anos despreciando el tiempo de viraje. De cuantos anos encontro al nino Einstein? Si los demasviajeros dieron el mismo reporte de que edad encontro cada uno al nino? En que orden llegaron?

Solucion. La formula a emplear es

t′/t =

√1− V 2

c2⇒ t =

t′√1− V 2

c2

Para el segundo viajero: t = 10√1− 0,252

12

≈ 10 anos, 3 meses, 28 dıas.

24

Para el tercer viajero: t = 10√1− 0,502

12

≈ 11 anos, 6 meses, 17 dıas

Para el cuarto viajero: t = 10√1− 0,752

12

≈ 15 anos, 1 mes, 13 dıas

Para el quinto viajero: t = 10√1− 0,992

12

≈ 70 anos, 10 meses, 20 dıas.

Logicamente, el viajero que encontro mas joven al nino Einstein, es porque llego primero; elque lo encontro anciano, llego de ultimo.

Lo que Einstein quiere demostrar es que el tiempo es una variable mas de un sistema dereferencia, y que los valores que toma no son necesariamente los mismos valores en otro sistemade referencia para un mismo evento registrado simultaneamente desde ambos sistemas.

6.3.2. Longitud propia

Einstein afirma que una varilla se hace ”mas corta” cuando se encuentra en movimiento.Esto significa que la longitud impropia de una varilla, definida por el metodo de ”observacionessimultaneas”, es mas reducida que la longitud propia. Por tal razon se establece que de lasdos lecturas que se hacen sobre una longitud desde diferentes sistemas de referencia, la mayorcorresponde a la longitud propia.

Veamos la figura 6.9. La longitud del movil tomada al interior del mismo es igual a 2p =n′−m′ = +2−(−2) = 4, mientras que la longitud anotada desde la vıa es de n−m = 4−(−1) = 5.Por consiguiente la longitud propia esta dada por la longitud del segmento mn, mientras que lalongitud impropia esta dada por la medida del segmento m’n’.

Para el caso de longitudes, el cociente |m′n′||mn| se denomina relacion de contraccion relati-

vista de la longitud y corresponde numericamente al valor de β hallado anteriormente. Enefecto, de la figura 6.9 se desprende que |m′n′| = 2× |o′b′| y, |mn| = 2× |ob|. En consecuencia,

25

Figura 6.10: Varios viajero parten simultaneamente de un sitio a diferentes velocidades inerciales comparablesen porcentaje con la velocidad de la luz

la ecuacion (6.12) se convierte en β = |m′n′|/2|mn|/2 = |m′n′|

|mn| . Entonces,

|mn| = |m′n′|β

=|m′n′|√1− V 2

c2

, 0 < β < 1

Ejemplo. Si la longitud del movil vista desde su interior es 4 y su velocidad es los 3/5 de lavelocidad de la luz, hallar la longitud propia registrada en la vıa.

solucion: |mn| = 4√1− (3/5)2c2

c2

= 44/5

= 5

donde β = 4/5 es la relacion de contraccion relativista de la longitud.

La expresion contraccion relativista hace referencia al hecho de que la distancia entre acon-tecimientos tales como (M) y (N), igual a 5 unidades sobre la vıa, se reduce o ”contrae” a4 unidades en el movil, es decir en el laboratorio en el que son simultaneos. La contraccionrelativista de la longitud es mayor entre mas pequena sea β, en efecto, de dos valores de β, 3/5y 4/5 por ejemplo, el primero representa mayor contraccion o ”acortamiento” de la longitud,pues apenas es de 3 unidades en el movil cuando desde la vıa mide de 5.

Para evaluar el grado de comprension del estudiante, se le pueden hacer preguntas como las

26

siguientes:

- Si a mayor velocidad de un cuerpo, mayor contraccion de la dimension que esta en la mis-ma direccion del movimiento, ¿Cuando las longitudes propia e impropia son iguales? (Si fallaen el razonamiento fısico, se puede recurrir al razonamiento matematico: si β = 1, entonces√

1− V 2/c2 = 1⇒ V = 0; el movil queda en reposo).

- Si la longitud propia de un movil es igual a 5 y la longitud impropia es de 4. ¿ Cual sera lalongitud del movil cuando pierda su velocidad y quede en reposo? (Es logico que, si con lavelocidad la longitud se acorta, entonces en reposo no la altera)

- A que velocidad la longitud de un movil se reduce en un 40 por ciento?

En general,longitud impropia = β × longitud propia

duracion impropia =1

β× duracion propia

6.4. Ecuaciones que rigen el desplazamiento de los rayos r y s bajola Teorıa Relativista

Serıa interesante verificar como se relacionan los tiempos y posiciones empleados por los rayosr y s de la fısica clasica con lo tiempos y posiciones utilizados en la fısica relativista. Para lafısica clasica el tiempo que tardan los rayos r y s para ir desde la posicion o hasta el puntode retorno w se calcula a partir de la ecuacion (6.7) y el tiempo que tarda el rayo i para elmismo acometido esta dado por la ecuacion (6.9). La fısica relativista solo acepta la segundaecuacion como la correcta con respecto a la vıa y condiciona a que los rayos r y s deben tambienemplear el mismo tiempo de i puesto que las pruebas experimentales demuestran que todos losrayos llegan simultaneamente (experimento de Michelson-Morley). Busquemos entonces algunarelacion de conversion entre los dos tiempos, de tal manera que conociendo un valor clasico sepueda establecer su equivalente relativista; es muy sencillo, basta hallar un cociente de conver-sion entre los dos tiempos ası:

towt3

=

2p√1−f2

2p1−f2

=√

1− f 2 = β ⇒ tow = t3 × β

Esta expresion nos define que el tiempo relativista se obtiene multiplicando el tiempo clasicopor β. Se puede generalizar diciendo:

trelativista = tclasico × β

Ilustremos con algunos ejemplos:

27

Ejemplo 1.. De la APLICACION 1 acerca del movil con velocidad V = (3/5)c se dedujoque t3 = 6,25h, t1 = 1,25h y t2 = 5h. Halle los valores correctos relativistas.Solucion:

Llamemos:tm, tiempo relativista que tarda el rayo r para llegar hasta el espejo en la posicion m de la vıa,partiendo desde la marca 0.tn, tiempo relativista que tarda el rayo s para llegar hasta el espejo en la posicion n de la vıa,partiendo desde la marca 0.tow, tiempo relativista que tardan los rayos r, s, i para llegar simultaneamente hasta la posicionw de la vıa, partiendo desde la marca 0, y reflejandose luego en los respectivos espejos que pasanpor las posiciones m,n, b. Este tiempo tambien corresponde al tiempo que gasta el movil enrecorrer la vıa desde 0 hasta w.

tow = t3rel = t3 × β =2p

1− f 2× β =

2p√1− f 2

(6.16)

tow = 6,25×√

1− (3/5)2 = 6,25× 0,8 = 5h

tm = t1rel = t1 × β =p

1 + f× β ⇒ (6.17)

tm = 1,25× 0,8 = 1h

tn = t2rel = t2 × β =p

1− f× β ⇒ (6.18)

tn = 5× 0,8 = 4h

El estudiante podra descubrir los resultados hallados, en la figura 6.8 e interpretarlos.

Con relacion al punto de encuentro de los tres rayos se sabe que se encuentra en el puntow de la figura 6.8. Se puede averiguar en forma sencilla a partir de la velocidad del movil:dow = V × tow = f.c× t3rel = 2fpβ

1−f2 = 2fp√1−f2

⇒

w = +2fp√1− f 2

= V × tow (6.19)

De forma similar, las posiciones de m y n, puntos de reflexion de los rayos r y s con respectoa la vıa estaran facilitadas por r(tm) y s(tn). De acuerdo a las ecuaciones (6.1) y (6.3) se puedenhallar tales valores ası:r(tm) = −|tm| ⇒m = −|t1 × β| ⇒

m = −|tm| = −|pβ

1 + f| (6.20)

s(tn) = |tn| ⇒ n = |t2 × β| ⇒

n = |tn| = |pβ

1− f| (6.21)

28

Como ilustracion tomemos los mismos valores de tm y tn indicados anteriormente. Entonces,r(1) = −1 y s(4) = 4 (constatelos en la figura 6.8).

Las graficas relativistas tienen la particularidad de ser del tipo t contra r o t contra s como severa mas adelante, es decir, utiliza pares ordenados (r,t) o (s,t) respectivamente. Las ecuacionesque rigen los movimientos de los rayos r y s bajo la teorıa relativista se pueden deducir a partirde los valores hallados ası:

Para el rayo r. Desde su origen hasta el punto m el punto inicial es (0,0) y el punto final(m, tm). Luego la pendiente del rayo luminoso es:pendiente = tm−0

m−0= tm

m= t−0

r−0. Despejando el tiempo,

t =tmm× r,m 6 r 6 0 (6.22)

En el segundo tramo, el rayo r se desplaza desde el punto m hasta el punto w. Las coordenadasde estos puntos son: (m, tm) y (w, tow); los tiempos se cuentan desde el momento de la emision.La pendiente en este caso esta dada por pendiente = tow−tm

w−m = t−tmr−m . Por un manejo algebraico

se llega a que:

t =tow − tmw −m

× r +wtm −mtoww −m

,m 6 r 6 w (6.23)

Para el rayo s. Desde su origen hasta el punto n el punto inicial es (0,0) y el punto final (n, tn).Luego la pendiente del rayo luminoso es:pendiente = tn−0

n−0= tn

n= t−0

s−0. Despejando el tiempo resulta

t =tnn× s, 0 6 s 6 n (6.24)

En el segundo tramo, el rayo s se desplaza desde el punto n hasta el punto w. Las coordenadasde estos puntos son: (n, tn) y (w, tow); los tiempos se cuentan desde el momento de la emision.La pendiente en este caso esta dada por pendiente = tow−tn

w−m = t−tns−m . Por un manejo algebraico

se llega a que:

t =tow − tnw − n

× s +wtn − ntoww − n

,w 6 s 6 n (6.25)

Ejemplo 2. Hallar las ecuaciones de desplazamiento de los rayos r y s a partir de los datossuministrados por el ejemplo 1 y proceda luego a graficarlas.

Solucion.

1) Para el rayo r:

a) Segun la ecuacion (6.22), t = tmm× r = 1

−1× r ⇒ t = -r

donde rε[−1, 0].

29

Figura 6.11: Trayectorias de los rayos r y s para la fısica relativista.Observese las posiciones de los puntos m, n y w, ademas de los eventos (M), (N), y (W). Los ejes estanintercambiados al compararla con la grafica clasica de la figura ??.

b) Recordemos que |ow| = V × tow = (3/5)× 5 = 3⇒ w = +3;

aplicando entonces la ecuacion (6.23), t = 5−13−(−1)

× r + 3×1−(−1)×53−(−1)

⇒ t = r + 2

donde rε[−1, 3].

2) Para el rayo s:

a) A partir de la ecuacion (6.24), t = tnn× s = 4

4× s⇒ t = s

donde sε[0,4].

b) Aplicando la ecuacion (6.25): t = 5−43−4× s + 3×4−4×5

3−4⇒ t = −s + 8

donde sε[3, 4].

Las graficas de los dos rayos se muestran unificadas en la figura 6.11. Una buena practicapara los estudiantes es construirla e interpretarla. Ademas encontrar diferencias al compararlacon la grafica obtenida desde la fısica clasica en la figura ??.

Ejemplo 3. Reconstruya la grafica anterior cuando la velocidad del movil es U = 45c y las

distancias a los espejos se conservan.

Solucion. Para hallar las ecuaciones se requiere conocer β,m, n, w, tm, tn y tow. De los datosse tiene que f = 4/5 y p = 2

30

Figura 6.12: Trayectorias de los rayos r y s para el ejemplo 3.

Luego,

β =√

1− f 2 =√

1− (4/5)2 = 3/5

De la ecuacion (6.19), w = 2fp/β = 2×(4/5)×23/5

= 16/3⇒ w = +5 y 1/3

De la ecuacion (6.20), m = −pβ/(1 + f) = −2×(3/5)1+4/5

⇒m = −2/3

De la ecuacion (6.21), n = pβ/(1− f) = 2×(3/5)1−4/5

⇒ n = +6

Tambien de las ecuaciones (6.20) y (6.21), tm = |m| = | − 2/3| = 2/3, y tn = |n| = |+ 6| = 6De la ecuacion (6.16), tow = 2×p

β= 2×2

3/5⇒ tow = 6 y 2/3

Entonces, con el rayo r de acuerdo a las ecuaciones (6.22) y (6.23) obtenemos:

a) Para −2/3 6 r 6 0, t = tmm× r = 2/3

−2/3× r ⇒ t = -r.

b) Para −2/3 6 r 6 16/3, t = 20/3−2/316/3−(−2/3)

× r + (16/3)×(2/3)−(−2/3))×(20/3)16/3−(−2/3)

⇒

t=r+4/3

Con el rayo s tenemos las siguientes opciones segun las ecuaciones (6.24) y (6.25):

a) Para 0 6 s 6 6, t = tnn× s = 6

6× s⇒ t = s.

b) Para 16/3 6 s 6< 6, t = 20/3−616/3−6

× s + (16/3)×6−6×(20/3)16/3−6

⇒ t = −s + 12

La figura 6.12 muestra en forma conjunta las graficas de los dos rayos. El estudiante veri-ficara los puntos y eventos notables.

31

Capıtulo 7

DIAGRAMAS DE ESPACIO-TIEMPO Y TRANSFORMACIONESDE LORENTZ

Ver parte V

CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS: Ver parte V

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS: Ver parte V

32

Indice de figuras

6.1. Adaptacion del interferometro de MIchelson al caso particular de un movil . . . 96.2. Emision de dos rayos luminosos en sentido contrario . . . . . . . . . . . . . . . . 106.3. Desplazamiento del rayo s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.4. Desplazamiento del rayo r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.5. El movil se desplaza hacia la derecha con movimiento uniforme respecto la vıa. . 166.6. Pronostico clasico de los rayos luminosos en sus retornos . . . . . . . . . . . . . 186.7. Simultaneidad de los rayos luminosos en sus retornos en el movil . . . . . . . . . 196.8. Simultaneidad en los retornos y desfase hasta los espejos . . . . . . . . . . . . . 206.9. Diversas posiciones del movil respecto a la vıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.10. Varios viajero parten simultaneamente de un sitio a diferentes velocidades iner-

ciales comparables en porcentaje con la velocidad de la luz . . . . . . . . . . . . 266.11. Trayectorias de los rayos r y s para la fısica relativista. . . . . . . . . . . . . . . 306.12. Trayectorias de los rayos r y s para el ejemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

33

Indice general

1. EL PROBLEMA DE LA LUZ COMO ANTECEDENTE HISTORI-CO DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 1

2. INVARIANZA DE LAS LEYES DE MAXWELL 2

3. EVOLUCION DE CONCEPTOS HACIA LA TEORIA DE LARELATIVIDAD 3

4. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TEORIA DE LARELATIVIDAD ESPECIAL 4

5. EFECTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL EN LA DINAMI-CA 5

6. DIDACTICA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 66.1. Resultados esperados por la Teorıa Clasica Fundamental con relacion al experi-

mento de Michelson-Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.2. Analisis de los resultados del experimento de Michelson-Morley bajo la Teorıa

Especial de la Relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.3. Los conceptos de tiempo propio y longitud propia . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.3.1. Duracion propia o tiempo propio de un proceso . . . . . . . . . . . . . . 226.3.2. Longitud propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.4. Ecuaciones que rigen el desplazamiento de los rayos r y s bajo la Teorıa Relativista 27

7. DIAGRAMAS DE ESPACIO-TIEMPO Y TRANSFORMACIONESDE LORENTZ 32

CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS 32

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 32

34