Fundamentos de Electrónica Teoria Cap.1 - Semicondutores

Jorge Manuel Torres Pereira IST-2010

ÍNDICE

CAP. 1 - SEMICONDUTORES

Pág.

1.1 Introdução ................................................................................................................... 1.1

1.2 Semicondutores simples e compostos ....................................................................... 1.2

1.3 Modelo das ligações covalentes e das bandas de energia ........................................ 1.8

1.4 Semicondutores compostos ternários e quaternários.

Variação das propriedades com a composição ...................................................... 1.13

1.5 Semicondutores intrínsecos e extrínsecos em equilíbrio termodinâmico ............ 1.18

1.5.1 Semicondutores intrínsecos ......................................................................... 1.18

1.5.2 Semicondutores extrínsecos ......................................................................... 1.22

1.6 Geração e Recombinação ........................................................................................ 1.29

1.6.1 Efeito fotoeléctrico interno .......................................................................... 1.31

1.7 Cálculo de n e p em semicondutores não degenerados ......................................... 1.34

1.7.1 Electrão num poço de potencial de altura infinita .................................... 1.34

1.7.2 Densidade de estados em energia ............................................................... 1.36

1.7.3 Densidade de estados em energia para os electrões num cristal .............. 1.39

1.7.4 Estatística de Fermi-Dirac ........................................................................... 1.40

1.7.5 Cálculo da densidade de electrões e buracos no semicondutor ................ 1.44

1.7.5.1 Localização do nível de Fremi no semicondutor

intrínseco e extrínseco .................................................................... 1.46

1.7.5.2 Densidade intrínseca. Variação com a temperatura ................... 1.47

1.8 Condução .................................................................................................................. 1.49

1.9 Efeito de Hall ............................................................................................................ 1.60

1.10 Difusão ....................................................................................................................... 1.64

1.11 Equação da continuidade ........................................................................................ 1.66

1.11.1 Exemplos de aplicação da equação da continuidade a

várias situações importantes ....................................................................... 1.68

SEMICONDUTORES

1.1. Introdução

Os materiais semicondutores vão colher a sua designação ao facto de, em geral,

possuírem um valor de condutividade eléctrica que é inferior ao dos materiais condutores mas

superior ao dos materiais isolantes. Contudo, nos extremos do intervalo, os valores de

condutividade para os semicondutores podem sobrepor-se aos valores referenciados para os

isolantes e condutores. Sendo assim o valor da condutividade por si só não é em geral

suficiente para determinar se o material é ou não semicondutor. Esta classificação exige ainda

a análise do tipo de variação de condutividade com a temperatura e do tipo de portadores de

carga responsáveis pela condução eléctrica.

Na Tabela 1.1 apresentam-se, de forma simplificada, algumas características associadas

à condutividade eléctrica e que permitem estabelecer uma classificação mais precisa dos

vários tipos de materiais.

Tabela 1.1

Condutividade eléctrica para vários tipos de materiais.

Material Condutividade

(S/m)

Variação com a subida

da temperatura

Tipo de portadores

de carga

Condutor 10 5 – 10 8 diminui Electrões

Semicondutor 10 -8 – 10 6 aumenta Electrões e buracos

Isolante 10 -16 – 10 -7 aumenta Iões e electrões

A estrutura do material semicondutor pode ser cristalina, amorfa ou policristalina. Uma

estrutura cristalina é caracterizada por uma disposição ordenada e regular dos átomos no

espaço. O material policristalino engloba todas as situações em que o material pode ser visto

como um agregado de cristais com várias orientações e tamanhos. No entanto é usual designar

por microcristal todo aquele em que o tamanho dos cristais constituintes é suficientemente

pequeno para só poderem ser observados com ajuda dum microscópio. No material amorfo a

ordem só é mantida a curta distância, isto é, entre os átomos vizinhos mais próximos.

Alterações muito pequenas nos ângulos de ligação e nas distâncias entre os átomos são

SEMICONDUTORES 1.2

suficientes para que a estrutura resultante deixe de apresentar a regularidade e ordem

característica dos cristais, que possuem centros, eixos ou planos de simetria claramente

definidos. Os materiais amorfos são isotrópicos enquanto que os materiais cristalinos, em

geral, são anisotrópicos.

1.2. Semicondutores simples e compostos

Os materiais semicondutores simples puros são constituidos por átomos de um único

elemento da Tabela Periódica, como é o caso do Silício (Si) ou do Germânio (Ge). Os

semicondutores compostos puros possuem átomos de vários elementos da Tabela Periódica,

por exemplo, SiGe, GaAs, InGaAs, InGaAsP, etc. É de realçar que quer os semicondutores

simples quer os semicondutores compostos podem ter alguns dos seus átomos de base

substituídos por outros, designados por impurezas de substituição que, embora numa

concentração muito reduzida relativamente aos átomos de base, são responsáveis por uma

alteração significativa das suas propriedades eléctricas e ópticas.

Os semicondutores simples mais importantes são o Si e o Ge, que pertencem ao grupo

IV da Tabela Periódica, Tabela 1.2. Estes elementos possuem uma configuração electrónica

caracterizada por quatro electrões de valência, com orbitais p parcialmente preenchidas. A

configuração electrónica estável, isto é, com as orbitais p completamente preenchidas, exige a

inclusão de mais quatro electrões que, para o Si e Ge, se obtêm através de ligações covalentes

entre um átomo do elemento com quatro átomos vizinhos. A disposição espacial dos átomos

corresponde a ter um deles no centro dum tetraedro e os quatro átomos vizinhos nos vértices

do tetraedro, Fig. 1.1.

Si

Si Si

Si

Si

Fig. 1.1 – Disposição espacial dos átomos de Si no cristal onde se evidencia a ligação covalente de um átomo de Si, no centro do tetraedro, aos 4 átomos vizinhos nos vértices do tetraedro.

SEMICONDUTORES 1.3

Tabela 1.2 Parte da Tabela periódica onde se indicam os grupos que contêm

elementos que entram na constituição dos semicondutores.

Fósforo 15P

7,17 1,82317,3 CUB[Ne]3s23p3

Azoto 7N

4,039 1,0363,3 HEX1s22s22p3

Boro 5B

8,73 2,342600 TET1s22s22p1

Carbono 6C

3,57 2,264300 DIA1s22s22p2

Oxigénio 8O

6,83 1,4354,7 CUB1s22s22p4

Flúor 9 F

1,97 53,5 MCL 1s22s22p5

Néon 10Ne

4,43 1,5624,5 CFC1s22s22p6

Hélio 2He

3,57 0,1791 /26atm) HEX1s2

Alumínio 13Al

4,05 2,70933 CFC[Ne]3s23p1

Silício 14Si

5,43 2,331683 DIA[Ne]3s23p2

Gases Raros

3A 4A 5A 6A 7A

1B 2B

Enxofre 16S

10,47 2,07386 ORT[Ne]3s23p4

Cloro 17 Cl

6,24 2,09 172,2 ORT [Ne]3s23p5

Argon 18Ar

5,26 1,7883,9 CFC[Ne]3s23p6

Cobre 29 Cu

3,61 8,96 1356 CFC [Ar]3d104p1

Zinco 30 Zn

2,66 7,14 693 HEX [Ar]3d104s2

Gálio 31Ga

4,51 5,91303 ORT[Ar]3d104s2p1

Germânio 32Ge

5,66 5,321211 DIA[Ar]3d104s2p2

Arsénico 33As

4,13 5,721090 ROM[Ar]3d104s2p3

Selénio 34Se

4,36 4,79490 HEX[Ar]3d104s2p4

Bromo 35 Br

6,67 4,10 266 ORT [Ar]3d104s2p5

Kripton 36Kr

5,72 3,07116,5 CFC[Ar]3d104s2p6

Prata 47 Ag

4,09 10,5 1234 CFC [Kr]4d105s1

Cádmio 48 Cd

2,96 8,65 594 HEX [Kr]4d105s2

Índio 49In

4,59 7,31429,8 TET[Kr]4d105s25p1

Estanho 50Sn

5,82 7,30505 TET[Kr]4d105s25p2

Antimónio 51Sb

4,51 6,62904 ROM[Kr]4d105s25p3

Telúrio 52Te

4,45 6,24723 HEX[Kr]4d105s25p4

Iodo 53 I

7,27 4,94 387 ORT [Kr]4d105s25p5

Xenon 54Xe

6,20 3,77161,3 CFC[Kr]4d105s25p6

Ouro 79 Au

4,06 19,3 1337 CFC [Xe]4f145d10s1

Mercúrio 80 Hg

2,99 13,6 234,3 RBD [Xe]4f145d10s2

Tálio 81Ti

3,46 11,85577 HEX[Xe]4f145d106s26p1

Chumbo 82Pb

4,95 11,4601 CFC[Xe]4f145d106s26p2

Bismuto 83Bi

4,75 9,8544,5 ROM[Xe]4f145d106s26p3

Polónio 84Po

3,75 9,4527 CUB[Xe]4f145d106s26p4

Astato 85 At

(575) [Xe]4f145d106s26p5

Radon 86Rn

(4,4)(202) CFC[Xe]4f145d106s26p6

Boro 5B

8,73 2,342600 TET1s22s22p1

Nº atómico

Símbolo

Nome

Legenda

Constante de rede (Å) Massa específica

(g/cm3)

Rede cristalina

Configuração Electrónica

Temperatura de fusão (K)

Uma certa disposição no espaço de quatro destes tetraedros é que vai dar origem à

célula básica da estrutura cristalina, Fig. 1.2. Esta célula básica, designada por rede do

diamante, é um cubo caracterizado pelo valor da sua aresta, a constante de rede. É a repetição

periódica deste cubo nas três direcções do espaço que vai dar origem ao cristal. A rede do

diamante possui 8 átomos (4 do interior mais 6×1/2 das faces mais 8×1/8 dos vértices) e pode

ser visualizada em termos de duas redes cúbicas de faces centradas, em que uma delas de

deslocou relativamente à outra ao longo de uma diagonal interior.

Exemplo 1.1 – Determinar o número de átomos de Si num cm3 e num m3.

Solução:

A constante de rede para o Si é 5,43 x10-8 cm e por isso o volume da célula unitária é

1,6x10-22 cm3. Havendo 8 átomos por célula unitária então o número de átomos de Si num

cm3 é 8/1,6x10-22= 5x1022. Num m3 há 106 vezes mais, isto é 5x1028 átomos.

Para ter uma ideia das ordens de grandeza em causa tentemos imaginar os 5x1022

átomos dispostos em linha. Se tomarmos o raio do átomo de Si como sendo 1 Ǻ o

comprimento total é de 1010 km. Este valor corresponde à distância de ida e volta da Terra

a Plutão !!! Convém recordar que a distância Terra-Lua é muito menor ~4x105 km.

SEMICONDUTORES 1.4

Fig. 1.2 – Rede do diamante.

Os semicondutores compostos são designados por binários, ternários ou quaternários

consoante sejam constituídos por 2, 3 ou 4 elementos diferentes.

Os semicondutores compostos binários mais importantes são obtidos por combinação de

dois elementos do grupo IV da Tabela Periódica: SiC, SiGe; dois elementos dos grupos III-V:

InP, GaAs, GaP,...; ou dois elementos dos grupos II-VI: ZnS, ZnTe, CdS, ....

Os semicondutores compostos ternários são obtidos a partir de dois semicondutores

binários que, para além de possuirem um elemento em comum, os outros dois elementos

pertencem ao mesmo grupo da Tabela Periódica. Com os binários AB e CB é então possível

obter o ternário

1x xA C B− em que 0 1x≤ ≤ .

O parâmetro x traduz a concentração de A relativamente a C. O ternário resulta da

substituição de átomos C em CB por átomos A de AB ou vice-versa. Esta substituição é

possível pois A e C são átomos do mesmo grupo da Tabela Periódica. É de realçar que para

x 0= se tem o semicondutor binário CB e que para x 1= se tem AB. A associação de x ao

átomo A rege-se pela convenção de que para x 0= o binário correspondente, neste caso CB,

deve ter a banda proibida mais baixa.

Na Tabela 1.3 referem-se alguns semicondutores binários constituidos por elementos

dos grupos III-V e os semicondutores compostos ternários correpondentes.

Os semicondutores compostos quaternários são constituídos por quatro elementos

diferentes e são obtidos a partir de 4 semicondutores binários. Genericamente, o semicondutor

SEMICONDUTORES 1.5

quaternário pode ser escrito como

1 1 em que (0 1 e 0 1)x x y yA B C D x y− − ≤ ≤ ≤ ≤ .

Os elementos de cada conjunto, (A,B) e (C,D), pertencem ao mesmo grupo da Tabela

Periódica. Os binários de partida são portanto AC; AD; BC e BD. Um dos semicondutores

quaternários mais importantes é o InxGa1-xAsyP1-y, derivado dos binários InAs; InP; GaAs e

GaP. Outros quaternários obtidos experimentalmente são o 1 1In Ga As Sbx x y y− − e

1 1Al Ga As Sbx x y y− − .

Tabela 1.3 Alguns semicondutores compostos binários e os ternários correspondentes

Binários Ternários

AlAs GaAs AlxGa1-xAs

GaP GaAs GaAs1-xPx

GaP InP In1-xGaxP

InAs InP InAs1-xPx

GaSb InSb

In1-xGaxSb

GaAs InAs

In1-xGaxAs

A utilização dos semicondutores compostos no fabrico de lasers e fotodetectores com

elevado desempenho tem sido objecto de intensa investigação. Contudo, nas aplicações mais

correntes, que não envolvem a emissão de luz, o Si continua a ser o semicondutor mais

utilizado. Não só o Si é o segundo elemento mais abundante na crosta terrestre, a seguir ao

oxigénio, como a sua tecnologia de fabrico permite obter cristais de elevada perfeição. A

existência de mais que um elemento na rede cristalina exige uma tecnologia mais exigente no

fabrico dos cristais. Os quaternários constituem por isso os materiais mais difíceis de obter e

portanto com um processo de fabrico mais caro. Só as suas propriedades excepcionais é que

os tornam economicamente viáveis no fabrico de dispositivos comerciais.

A maior parte dos semicondutores compostos cristalizam na rede de zincoblenda,

Fig. 1.3. No caso dos semicondutores compostos binários a célula básica é idêntica à do

diamante no entanto, os átomos no interior da célula são de tipo diferente dos que estão nos

SEMICONDUTORES 1.6

vértices e faces do cubo. Esta configuração deve-se a que, na ligação entre vizinhos mais

próximos, os átomos no centro do tetraedro são diferentes dos que estão nos vértices. Neste

caso a ligação entre um átomo e os seus vizinhos mais próximos não é covalente pura, possui

uma componente iónica, devido a haver distorção das nuvens electrónicas em virtude dos

átomos pertencerem a grupos diferentes na Tabela Periódica. Nos semicondutores ternários só

os átomos de um dado elemento é que são substituídos por átomos de outro elemento do

mesmo grupo cuja concentração relativa aos átomos que substitui é medida em termos do

parâmetro x. Nos quaternários são dois elementos de grupos diferentes que irão ser parcial ou

totalmente substituídos por outros dois elementos dos grupos correspondentes.

Fig. 1.3 – Rede de Zincoblenda.

Há alguns semicondutores que, cristalizam noutro tipo de redes cristalinas: a rede da

Wurtzite e do Sal das Rochas, Fig. 1.4. A rede da Wurtzite pode ser olhada como duas redes

hexagonais compactas deslocadas, uma relativamente à outra ao longo da altura, cada uma

com o seu tipo de átomos, e.g., GaN, CdS. A constante de rede, neste caso, envolve dois

parãmetros: a aresta da base a e a altura do prisma c. A rede do Sal das Rochas é uma rede

cúbica simples em que os átomos são alternadamente do mesmo tipo, ou duas redes cúbicas

de faces centradas, cada uma delas com o seu tipo de átomo, e.g., NaCl, PbS. A constante de

rede é o valor da aresta do cubo. Pode acontecer que o mesmo semicondutor possa manifestar

mais que uma estrutura cristalina, dependendo das condições de fabrico. É o caso do ZnS e

CdS que podem ser obtidos com a rede de zincoblenda ou a rede da wurtzite.

SEMICONDUTORES 1.7

Fig. 1.4 – Rede da Wurtzite (a) e do Sal das Rochas (b).

As redes cristalinas dos materiais semicondutores podem ser olhadas em termos

de redes cristalinas mais simples. Este aspecto é muito importante no contexto da

descrição matemática das redes cristalinas mais complexas com vista à obtenção

dos correspondentes diagrama de bandas. Estes diagramas são as peças

essenciais para a compreensão das propriedades eléctricas e ópticas dos

materiais e subsequente fabrico de dispositivos.

As redes cristalinas elementares são: rede cúbica simples (C.S.), rede cúbica de

corpo centrado (C.C.C.), rede cúbica de faces centradas (C.F.C.) e rede

hexagonal (H.S.). É interessante notar que a rede C.C.C. pode ser obtida a partir

de duas redes C.S..

a

C.S. (1 átomo/Célula)

C.C.C. (2 átomos/Célula)

a

C.F.C. (4 átomos/Célula)

a

c

a

H.S. (3 átomos/Célula)

Na Tabela 1.4 indicam-se a rede cristalina e a constante de rede para vários

semicondutores simples e compostos.

SEMICONDUTORES 1.8

Tabela 1.4 Rede cristalina e constante de rede para vários semicondutores.

Grupo Elemento ou Composto Nome Rede

Cristalina*

Constante de rede a 300 K

(Å) IV C

Si Ge Sn

Carbono (diamante) Silício Germânio Estanho

D D D D

3.56683 5.43095 5.64613 6.48920

IV-IV SiC Silício carbono W a=3.086, c=15.117

III-V AlAs Arsenieto de alumínio Z 5.6605

AlP Fosforeto de alumínio Z 5.4510 AlSb Antimonieto de alumínio Z 6.1355 BN Nitreto de boro Z 3.6150 BP Fosforeto de boro Z 4.5380 GaAs Arsenieto de Gálio Z 5.6533 GaN Nitreto de Gálio W a=3.189, c=5.185 GaP Fosforeto de Gálio Z 5.4512 GaSb Antimonieto de Gálio Z 6.0959 InAs Arsenieto de Índio Z 6.0584 InP Fosforeto de Índio Z 5.8686 InSb Antimonieto de Índio Z 6.4794

II-VI CdS Sulfureto de Cádmio Z 5.8320 CdS Sulfureto de Cádmio W a=4.16, c=6.756 CdSe Seleneto de Cádmio Z 6.050 CdTe Telureto de Cádmio Z 6.482 ZnO Óxido de Zinco R 4.580 ZnS Sulfureto de Zinco Z 5.420 ZnS Sulfureto de Zinco W a=3.82, c=6.26

IV-VI PbS Sulfureto de Chumbo R 5.9362 PbTe Telureto de Chumbo R 6.4620

* D = Diamante, W = Wurtzite, Z = Zincoblenda, R = Sal das rochas; 1 Å= 10-8 cm.

1.3. Modelo das ligações covalentes e das bandas de energia

As propriedades eléctricas e ópticas dos materiais semicondutores podem ser analisadas

de forma simplificada recorrendo ao modelo das ligações covalentes e/ou ao do modelo das

bandas de energia. Estes modelos estão representados simplificadamente na Fig. 1.5, para o

Si.

SEMICONDUTORES 1.9

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

T = 0 K (a)

T = 0 K

WC

WV

WG

(b) Fig. 1.5 – (a) Modelo das ligações covalentes; (b) Modelo das bandas, para o Si a 0 K.

O modelo das ligações covalentes consiste numa representação bidimensional dos

átomos no espaço onde se explicitam as ligações entre cada átomo e os 4 átomos vizinhos

correspondentes à partilha de 2 electrões com cada um deles. Um electrão partilhado é

representado por um segmento de recta que une dois átomos. Um electrão que se soltou da

ligação covalente deixou de estar partilhado pelos átomos. Por cada electrão nestas condições

haverá uma ligação incompleta que é usualmente representada por uma linha a tracejado

unindo os dois átomos. A 0 K as ligações estão todas completas e portanto a representação é a

que se indica na Fig.1.5(a). Este modelo deve ser utilizado com precaução pois apresenta

algumas limitações importantes nomeadamente no que se refere a algumas características

inerentes ao electrão como partícula quântica: é o caso da indescernibilidade e da

impossibilidade de localização precisa do electrão num dado ponto do espaço.

O modelo das bandas simplificado está representado na Fig.1.5(b), em que se mostra a

evolução da energia dos electrões em função da distância. WC neste diagrama está associado

ao mínimo absoluto da banda de condução e WV ao máximo absoluto da banda de valência.

Os valores de energia entre WC e WV constituem uma banda proibida com uma altura

G C VW W W= − que, para uma dada temperatura, é um parâmetro característico dos

semicondutores, normalmente expresso em eV (electrão-Volt). Define-se electrão-Volt (eV)

como sendo a variação de energia cinética dum electrão quando submetido a uma diferença de

potencial de 1 V e portanto 1 eV= 1,6x10-19J. A existência duma banda proibida é

SEMICONDUTORES 1.10

característica dos semicondutores e isolantes. Contudo WG dos semicondutores é menor que

WG dos isolantes. Em princípio, um isolante possui 4GW > eV. Nos metais as bandas de

condução e valência sobrepõem-se não havendo portanto uma banda de energia proibida.

Os electrões partilhados possuem energias na banda de valência que, a 0 K, está

totalmente preenchida. A uma temperatura superior a 0 K há ligações que se partem pelo que

vai haver electrões na banda de condução com energias próximas de WC. De acordo com o

modelo das bandas referido só é possível caracterizar as transições entre bandas em termos da

alteração do valor da energia do electrão. No entanto, em geral, há que incluir também

alterações do momento.

A relação energia-momento é uma forma mais elaborada e mais completa para

apresentar o andamento das bandas. Há duas representações básicas possíveis e que envolvem

o que se designa por semicondutores de banda directa e semicondutores de banda indirecta.

Nos semicondutores de banda directa o topo da banda de valência e o mínimo absoluto da

banda de condução estão associados ao mesmo valor do momento. Nos semicondutores de

banda indirecta o mínimo absoluto da banda de condução e o máximo absoluto da banda de

valência estão associados a valores diferentes do momento, Fig. 1.6.

WC

WVW V

W C WGW G

W W

p

(a) (b)

p

Fig. 1.6 – (a) Semicondutores de banda directa; (b) Semicondutores de banda indirecta.

Nos semicondutores de banda directa as transições de electrões envolvem basicamente

variações de energia e portanto quando um electrão transita da banda de condução para a

banda de valência a energia é fornecida sob a forma dum fotão com um valor próximo de WG.

SEMICONDUTORES 1.11

Estes materiais são os mais adequados para o fabrico de dispositivos emissores de luz. As

transições nos semicondutores de banda indirecta envolvem energia e momento, o que conduz

a rendimentos de emissão muito baixos, e portanto impedem na prática a sua utilização no

fabrico de dispositivos emissores de luz.

Na Tabela 1.5 referem-se os valores da altura da banda proibida a 0 e a 300 K e indica-

se o tipo de banda para vários semicondutores.

Tabela 1.5 Altura da banda proibida e tipo de banda para vários semicondutores.

Altura da banda

proibida (eV)

Semicondutor 300 K 0 K Banda

Elemento C 5.47 5.48 I Si 1.12 1.17 I Ge 0.66 0.74 I Sn 0.082 D

IV-IV α-SiC 2.996 3.03 I III-V AlAs 2.16 2.23 I

AlSb 1.58 1.68 I GaN 3.46 3.50 D GaSb 0.72 0.81 D GaAs 1.42 1.52 D GaP 2.26 2.34 I InSb 0.17 0.23 D InAs 0.36 0.42 D InP 1.35 1.42 D

II-VI CdS 2.42 2.56 D CdSe 1.70 1.85 D CdTe 1.48 1.56 D ZnO 3.35 3.42 D ZnS 3.68 3.84 D

IV-VI PbS 0.41 0.28 I PbTe 0.31 0.19 I

A altura da banda proibida determina o comprimento de onda da radiação emitida e

traduz a energia mínima dos fotões que são absorvidos.

A relação entre WG e o comprimento de onda λ parte da definição da energia associada

a um fotão dada por:

fotaoW h f= (1.1)

em que h é a constante de Planck, 346,63 10h Js−= × .

SEMICONDUTORES 1.12

No vazio

cf =λ

(1.2)

em que c é a velocidade de propagação da luz no vácuo 83 10 /c m s×

Deste modo

fotaohcW =λ

(1.3)

Identificando a energia do fotão com WG, a relação entre WG e λ será então

Gh cW =λ

(1.4)

Com WG expresso em eV e λ em μm, a relação acima pode ser escrita como

1,243( )( )

W eVG m=

λ μ (1.5)

Na Fig. 1.7 mostra-se a correspondência entre WG e λ para vários semicondutores e

compara-se este valor com o espectro da radiação visível.

Resposta do olho humano

Infravermelho Vermelho Verde Violeta Ultravioleta Laranja Amarelo Azul

CdTe

InSb PbS Ge Si GaAs CdSe GaP CdS SiC GaN ZnS

HgCdTe GaAs1-yPy λ (μm)

6.0 3.0 2.0 1.5 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.45 0.4 0.35

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 WG (e.V.)

Fig. 1.7 – Correspondência entre WG e λ para vários semicondutores

SEMICONDUTORES 1.13

Exemplo 1.2 – O ternário AlxGa1-xAs é utilizado no fabrico de díodos emissores de luz

(LED). Sabendo que, para x<0,45, o semicondutor é de banda directa, determinar a gama

de comprimentos de onda que é possível emitir com estes materiais sabendo que, para x=

0,45, WG= 1,98 eV. Qual deverá ser WG se se pretender emitir no azul?

Solução: Para que haja emissão de luz o semicondutor deve ser de banda directa, i.e., x<0,45.

Sendo assim a altura da banda proibida deve verificar a relação 1,42< WG<1,98 eV. Como

λ(μm)=1,243/ WG (eV) ter-se-à 0,628<λ<0,875 μm. Para esta gama de comprimentos de

onda a emissão é no vermelho ou infravermelho. Para emitir no azul λ~0,47 μm ou seja

WG~2,64 eV e portanto este ternário não seria adequado.

1.4. Semicondutores compostos ternários e quaternários. Variação das

propriedades com a composição

As propriedades dos semicondutores compostos ternários e quaternários dependem das

propriedades dos binários associados e os seus valores podem-se relacionar com a

composição x de forma linear ou não. As grandezas que possuem uma variação linear com a

composição são: a constante de rede, a; o coeficiente de dilatação, α; e a permitividade

eléctrica, ε. Apresentam uma variação não-linear com a composição a altura da banda

proibida, WG, a mobilidade, μ, e a condutividade térmica, χ.

Na Fig. 1.8 mostra-se a evolução da constante da rede em função da composição para

vários semicondutores ternários. Devido à linearidade observada a constante de rede do

ternário pode escrever-se em termos de constante de rede dos binários correspondentes como:

1

(1 )x xA B C AC BCa x a x a

−= + − (1.6)

É de realçar que, em geral, é necessário que as superfícies em contacto entre dois

materiais diferentes possuam o mínimo de irregularidades de modo a optimizar o

funcionamento do dispositivo. Na prática este objectivo pode ser alcançado desde que os

materiais em contacto possuam a mesma constante de rede. Diz-se então que as redes dos dois

materiais estão adaptadas. Na Fig. 1.8 verifica-se que o ternário Al1-xGaxAs, para toda a

composição x, possui uma constante de rede praticamente independente da composição. Esta

propriedade está na base do fabrico de dispositivos electrónicos comerciais com elevado

desempenho, e.g., díodos emissores de luz, a partir dos materiais semicondutores desta

família.

SEMICONDUTORES 1.14

x=0.47

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x

5.80

5.40

5.60

6.00

6.20

6.40

6.60 InSb

InAs

AlAs

GaP

6.80

GaAs

InP

GaSba (Ǻ)

Fig. 1.8 – Constante de rede em função da composição para vários semicondutores ternários. Exemplo 1.3 – Em comunicação óptica utiliza-se como fotodetector um fotodíodo que, na

sua constituição, envolve dois materiais semicondutores em contacto com redes

adaptadas, o binário InP e o ternário In1-xGaxAs. Determinar a composição x que garante a

adaptação de redes.

Solução: Se as redes estão adaptadas a constante de rede do ternário é igual à constante de rede

do binário 1-x xIn Ga As InPa a= . Por sua vez ( )

1-x xIn Ga As InAs GaAs1a x a x a= − + . Da Tabela 1.4

tira-se, InAs =6,0584a Ǻ, GaAs =5,6533a Ǻ e InP =5,8686a Ǻ pelo que

( )1 6,0584 5,6533 5,8686x x− + = . Por resolução da equação anterior tira-se 0,47x e

portanto o ternário utilizado é o In0,53Ga0,47As.

Este valor da composição podia ser obtido graficamente a partir da Fig. 1.8 traçando uma

recta horizontal que passa pelo valor da constante de rede do InP. Ao ponto de

intersecção desta recta com a recta que une as constantes de rede do InAs e GaAs está

associado o valor de x pretendido.

Para os quaternários a constante de rede é obtida de forma idêntica à utilizada para os ternários:

1 1

(1 ) (1 ) (1 )(1 )x x y yA B C D AC AD BC BDa x y a x y a x y a x y a

− −= + − + − + − − (1.7)

Se, para o ternário, o valor de x está associado ao valor de uma dada grandeza à nossa

escolha, e.g., a constante de rede, no quaternário podem-se fixar os valores de duas grandezas

à escolha através das composições x e y que são independentes. Como se vê pela equação

SEMICONDUTORES 1.15

(1.7), ao fixarmos o valor da constante de rede obtém-se uma equação em x e y. Ao fixarmos

um valor para outra grandeza de interesse, e.g., a altura da banda proibida, obter-se-à uma

nova equação em x e y que, em conjunto com a anterior, permite determinar a composição do

quaternário pretendido. Esta flexibilidade assim como outras propriedades inerentes aos

semicondutores compostos quaternários estão na base do desenvolvimento e utilização destes

semicondutores no fabrico de dispositivos optoelectrónicos avançados.

Atendendo a que o coeficiente de dilatação linear e a permitividade eléctrica também

apresentam uma variação linear com a composição as relações a utilizar no seu cálculo para

os ternários e quaternários serão escritas de forma idêntica a (1.6) e (1.7).

Exemplo 1.4 – Pretende-se obter a composição do quaternário InxGa1-xAsyP1-y que

possua uma constante de rede 5,87a = Ǻ e uma permitividade eléctrica relativa εr= 11,4.

Dados da Tabela 1.4 e ainda εrGaAs=11,1 ; εrInP=9,6 ; εrInAs=12,3 ; εrGaP= 8,5.

Solução:

Da Tabela 1.4 tira-se InP =5,8686a Ǻ, InAs =6,0584a Ǻ, GaAs =5,6533a Ǻ, GaP 5,4512a = Ǻ.

De acordo com equação (1.7) tem-se

5,87 6,0584 (1 )5,8686 (1 ) 5,6533 (1 )(1 )5,4512xy x y x y x y= + − + − + − − .

De igual modo pode escrever-se para a permitividade eléctrica

11,4 12,3 (1 )9,6 (1 ) 11,1 (1 )(1 )8,5xy x y x y x y= + − + − + − − . A solução do sistema de

equações dá 0,6; 0,84x y = . O quaternário que satisfaz as especificações referidas é

então o In0,6Ga0,4As0,84P0,16.

A evolução de WG com a composição não é linear, e depende do tipo de banda

associada a cada um dos semicondutores binários. Na Fig. 1.9 mostra-se a evolução de WG

com x para o ternário In1-xGaxAs , em que ambos os binários envolvidos são de banda directa.

No caso em que um dos binários é de banda directa e o outro é de banda indirecta, e.g.,

o AlxGa1-xAs , a curva apresenta dois troços distintos, Fig. 1.10. A composição x=0,45, para a

qual se passa dum troço ao outro, estabelece a transição do ternário de banda directa para

banda indirecta.

Para uma variação de WG do tipo representado na Fig. 1.10, cada um dos troços pode ser

aproximado por um polinómio do 2º grau

21 1 2( )G GW x W a x a x= + + (1.8)

SEMICONDUTORES 1.16

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

x

WG (e

V)

In1-xGaxAs

Fig. 1.9 – Variação de WG com x para o In1-xGaxAs.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

2.1

2.2

x

WG (e

V)

AlxGa1-xAs

x = 0.45

Fig. 1.10 – Variação de WG com a composição para AlxGa1-xAs.

Sendo ambos os binários de banda directa a expressão é válida para 0 1x≤ ≤ . Neste

caso

1

2 1 1 2

01

G

G G

x Wx W W a a

= →⎧⎨ = → = + +⎩

(1.9)

ou seja: ( )2

1 2 2( ) (1 )G G GW x W x W x a x x= − + + − (1.10)

Na Tabela 1.6 indicam-se os valores dos coeficientes a1 e a2 para alguns ternários

Termo que contabiliza o afastamento da

relação linear

SEMICONDUTORES 1.17

obtidos a partir de binários de banda directa.

Tabela 1.6

Coeficientes do polinómio para cálculo de WG(x) Composto a1 (eV) a2 (eV)

In1-xGaxAs 0,63 0,45

InAs1-xSbx -0,771 0,596

InAs1-xPx 0,891 0,101

GaAsxSb1-x -0,32 1,005

A Fig. 1.11 mostra o gráfico que permite relacionar a altura da banda proibida com a

constante da rede para vários materiais semicondutores simples e compostos. Neste gráfico as

linhas que unem os pontos relativos aos semicondutores binários referem os semicondutores

ternários correspondentes. As linhas contínuas indicam semicondutores de banda directa e as

linhas a tracejado os semicondutores de banda indirecta. A área a sombreado refere-se ao

quaternário InGaAsP e cada ponto nesta superfície está associado a uma determinada

concentração x e y.

Fig. 1.11 – Altura de banda proibida em termos de constante de rede para vários semicondutores.

SEMICONDUTORES 1.18

1.5. Semicondutores intrínsecos e extrínsecos em equilíbrio termodinâmico

Designam-se por semicondutores intrínsecos aqueles que possuem na sua composição

só os átomos dos elementos básicos. Semicondutores extrínsecos são aqueles em que alguns

dos átomos de base são substituídos por outros designado por impurezas de substituição. A

concentração destes átomos de impurezas é, em geral, extremamente baixa, podendo ser da

ordem de 1 para 1 milhão de átomos de base. Deste modo a sua inclusão na rede cristalina não

modifica apreciávelmente a estrutura de bandas do semicondutor mas, como se verá mais

adiante, pode alterar significativamente as suas propriedades eléctricas. As impurezas de

substituição, no caso do Si, pertencem ao grupo V e ao grupo III e designam-se por impurezas

dadoras e aceitadoras respectivamente. Para o Si as impurezas dadoras mais utilizadas são o

P, As e Sb e a impureza aceitadora é o B. Nos semicondutores compostos as impurezas

utilizadas podem eventualmente actuar como impureza dadora ou aceitadora, dependendo do

átomo que substituem. É o caso do GaAs em que o Si pode actuar como impureza dadora se

substituir o Ga e aceitadora se substituir o As. Convém referir que no processo de fabrico

podem ser incorporados no cristal outros átomos de impurezas que não são necessariamente

impurezas de substituição. Em geral é necessário reduzir ao mínimo a concentração destas

impurezas pois degradam as propriedades do material semicondutor.

1.5.1. Semicondutores intrínsecos

O modelo das ligações de covalência e o modelo das bandas, às temperaturas de T= 0 K

e T≠ 0 K, estão representados na Fig.1.12 para um semicondutor intrínseco, e.g., o Si.

Para este material semicondutor, a 0 K, a banda de valência está completamente

preenchida e a banda de condução completamente vazia. Ao aplicar-se um campo eléctrico

não há corrente em virtude de os estados de movimento possíveis da banda de valência

estarem todos preenchidos por electrões e por isso estes não podem alterar o seu estado de

movimento. Para 0T K≠ é possível que alguns electrões da banda de valência adquiram

energia suficiente para passarem para a banda de condução, deixando na banda de valência

um número igual de ligações incompletas, a que correspondem estados de movimento

disponíveis para os electrões de valência. Define-se ritmo de geração térmica, Gter [m-3s-1],

como sendo o número de electrões na unidade de volume e na unidade de tempo que, devido à

temperatura, transitam de banda de valência para a banda de condução. Existe um processo

inverso, designado por recombinação, que envolve a passagem de electrões da banda de

SEMICONDUTORES 1.19

condução para a banda de valência. Em equilíbrio termodinâmico o ritmo de recombinação

3 1R m s− −⎡ ⎤⎣ ⎦ tem que verificar a condição

terG R= (1.11)

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

T = 0 k T ≠ 0 k

WC WG

WV

WC WG

WV

0 0 in p n= = Fig. 1.12 – Modelo das ligações de valência e das bandas para um semicondutor intrínseco.

Do equilíbrio destes dois processos resulta, para uma dada temperatura, uma densidade

fixa de electrões na banda de condução, igual à densidade de ligações incompletas na banda

de valência. Um acréscimo de temperatura conduz a um aumento da densidade de electrões e

consequentemente de ligações incompletas. Ao aplicar um campo eléctrico, para T≠ 0 K, vai

haver corrente eléctrica pois os electrões da banda de condução e da banda de valência já

podem alterar o seu estado de movimento, Fig. 1.13. A corrente eléctrica deverá portanto

incluir o efeito do campo eléctrico nos electrões das duas bandas de energia. Na banda de

valência contudo só nos interessa contabilizar os electrões que transitam de ligação

incompleta em ligação incompleta, em número muito inferior aos que existem nessa banda,

mas que são em número igual aos da banda de condução. Deste modo o movimento do

electrão de valência para uma ligação incompleta pode ser olhado como sendo equivalente ao

SEMICONDUTORES 1.20

movimento duma partícula com carga positiva, igual ao módulo da carga do electrão, e

deslocando-se em sentido oposto. Designar-se-á esta partícula por buraco.

Acção do campo eléctrico

E

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

Jn

Jp

eF

J J Jn p= +

Fig. 1.13 – Acção do campo eléctrico nos electrões de condução e de valência.

A densidade de buracos p é igual à densidade de ligações incompletas e, no caso do

semicondutor intrínseco, é igual à densidade de electrões n na banda de condução.

Em equilíbrio termodinâmico tem-se então:

30 0 in p n m−⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (1.12)

em que ni se designa por densidade intrínseca. A densidade intrínseca é uma grandeza muito

importante e característica de cada semicondutor a uma dada temperatura. Na Tabela 1.7

indicam-se os valores de ni para vários semicondutores a 300 K.

Tabela 1.7

Valores de ni para vários semicondutores a 300 K.

Semicondutor ni (m-3) WG (eV)

Si 1,02×1016 1,124

Ge 2,33×1019 0,664

GaAs 2,1×1012 1,424

InAs 1,3×1021 0,354

InP 1,2×1014 1,344

SEMICONDUTORES 1.21

Os electrões na banda de condução, aos quais nos iremos referir simplesmente como

electrões, e os buracos, vão ser olhados como partículas clássicas livres. Esta simplificação

exige que se associe a cada partícula uma massa eficaz m*, que engloba no seu valor os

efeitos da periodicidade da rede cristalina na estrutura das bandas. O fundamento e validade

desta analogia assentam na mecânica quântica. As massas eficazes do electrão e do buraco,

que designaremos por * *en pm m , respectivamente, são em geral diferentes pois à banda de

condução e de valência estão associadas relações W(p) diferentes. Para uma rede anisotrópica

a massa eficaz será em geral um tensor 3×3. Sem perda de generalidade e por forma a

simplificar análises e cálculos futuros iremos considerar a massa eficaz como sendo um

escalar.

Para além da massa eficaz os electrões e os buracos são também caracterizados por

possuirem carga eléctrica que para o buraco é positiva e igual em módulo à carga do electrão, 191,6 10q C−= × . É de realçar a importância desta caracterização dos portadores de carga que

permite, num grande número de situações de interesse, a utilização dum tratamento clássico,

com vantagens óbvias ao tratamento quântico, mais rigoroso, mas bastante mais complexo.

Como se verá mais à frente a dependência de ni com a temperatura e a altura da banda

proibida pode ser expressa através da relação

23 / 2 GW kTin T e−∝ (1.13)

em que T é a temperatura absoluta (em graus Kelvin), WG a altura da banda proibida e k a

constante de Boltzmann, 23 11,3806 10k JK− −= × . Ao produto kT costuma designar-se por

energia característica da temperatura T e kT (300 K)= 4,1418x10-21J 0,026 eV. Desprezando

a variação de WG com a temperatura, ni aumenta quando a temperatura aumenta. Embora ni

dependa da temperatura através do termo T3/2 e da exponencial verifica-se que, para a gama

usual de temperaturas, é o termo associado à exponencial que domina.

Exemplo 1.5 – Calcular valor de ni a 0 ºC e 60 ºC para o Si e GaAs. Utilizar os dados da

Tabela 1.7 e desprezar a variação de WG com a temperatura.

Solução: De acordo com a equação (1.13) pode-se escrever

3/ 2' 2 '

2

'G

G

WkT

iW

i kT

n T en T

e

−

−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

em que in e 'in são os valores da densidade intrínseca à temperatura

T e T’ respectivamente. A relação anterior pode ainda tomar a forma

SEMICONDUTORES 1.22

3/ 2 ( ' )'2 '' GW T T

i kTT

i

n T en T

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Conhecido o valor de in e WG à temperatura T pode-se então

calcular o valor de 'in a qualquer temperatura. Nas relações anteriores a temperatura é

expressa em K e portanto a 0ºC corresponde T’=273 K e a 60ºC ter-se-à T’=333 K.

Utilizando os valores da Tabela 1.7 para 300 K obtém-se então:

Material in (300 K)

(m-3)

'in / in (T’=273K) '

in (T’=273K)(m-3)

'in / in (T’=333K) '

in (T’=333K) (m-3)

Si 1,02×1016 0,1 1,02×1015 9,96 1×1017

GaAs 2,1×1012 0,058 1,2×1011 17,64 3,7×1013

1.5.2. Semicondutores extrínsecos

Os semicondurores extrínsecos possuem, para além dos átomos de base, impurezas de

substituição que, mesmo em número relativamente reduzido, são responsáveis por uma

alteração significativa da densidade de electrões ou buracos no semicondutor.

A título exemplificativo admita-se que o semicondutor considerado é o Si ao qual se

adicionaram impurezas de substituição do tipo dador, Fig. 1.14. A 0 K os electrões de

valência mantêm-se nas suas ligações de valência. É o caso dos electrões partilhados entre os

átomos de Si. No entanto as impurezas de substituição do tipo dador, e.g. o P para o Si,

possuem 5 electrões de valência dos quais só 4 é que são necessários para a ligação covalente

com os 4 átomos de Si vizinhos. A energia destes electrões está na banda de valência. O

electrão do átomo da impureza dadora que não está envolvido na ligação covalente possui

uma energia superior à dos electrões ligados, com valores próximos de WC , e, embora ligado

ao átomo da impureza, possui uma incerteza na sua localização que permite que ele possa ser

encontrado num raio que envolve várias dezenas de átomos de base. Sob o ponto de vista do

modelo das bandas, a cada impureza dadora corresponde um dado estado de energia,WD, na

banda proibida junto à banda de condução. A diferença de energias WC-WD é tipicamente da

ordem de centésimas de electrão-Volt o que faz com que um pequeno aumento da temperatura

seja suficiente para ionizar positivamente a impureza, isto é, fazer transitar o electrão para a

banda de condução sem que tenha qualquer efeito apreciável sobre electrões de banda de

valência, que requerem uma energia bastante mais elevada. Deste modo é possível criar na

banda de condução uma população de electrões muito maior que a população de buracos na

banda de valência. Obtém-se assim um semicondutor extrínseco tipo-n. Nesta altura é

SEMICONDUTORES 1.23

importante realçar que se continua a admitir que o modelo das bandas para o semicondutor

extrínseco é idêntico ao do semicondutor intrínseco, o que só é válido se a densidade de

impurezas for muito pequena comparada com a densidade de átomos de base do

semicondutor. A estes semicondutores é usual chamar de não-degenerados. Os

semicondutores degenerados possuem propriedades interessantes mas não irão ser estudadas,

pois caem fora do âmbito deste estudo.

T=0 k

WC WD

WV

0,05 e.V.

EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO → 20 0 in p n=

(Semicondutor não degenerado)

WCWD

WV

T≠0 k

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

+4 +5 +4 +4

+4 +4 +4 +4

tipo-n

_

_

_ +4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

+4 +5 +4 +4

+4 +4 +4 +4

_

− − − − − − − −

+ + +

Fig. 1.14 – Modelo das ligações de valência e das bandas para um semicondutor extrínseco com

impurezas do tipo dador.

A introdução de impurezas de tipo aceitador, e.g. o Boro no Si, pode ser analisada de

forma idêntica, Fig. 1.15. Neste caso, a 0 K, a impureza possui só três electrões para partilhar

SEMICONDUTORES 1.24

com os 4 átomos de Si vizinhos pelo que fica uma ligação incompleta. A energia associada a

esta ligação incompleta é superior a WV mas relativamente próxima. Um pequeno aumento da

temperatura é suficiente para ionizar negativamente estas impurezas, dando origem a buracos

na banda de valência sem a correspondente criação de electrões na banda de condução.

Poder-se-á ter então um semicondutor extrínseco tipo-p em que a densidade de buracos é

muito maior que a de electrões. Um semicondutor em que coexistem os dois tipos de

impurezas é um semicondutor compensado. Se a densidade de impurezas dadoras for igual à

das impurezas aceitadoras a compensação é total e, em equilíbrio termodinâmico 0 0 in p n= = .

+ + ++ + +++

_+4 +4 +4 +4

+4 +3 +4 +4

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

+4 +3 +4 +4

+4 +4 +4 +4

+4 +4 +4 +4

T=0 k

tipo-p

WC

WA WV

0,05 e.V.

EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO → 20 0 in p n=

(Semicondutor não degenerado)

WC

WA

WV

T≠0 k

_

___

Fig. 1.15 – Modelo das ligações de valência e das bandas para um semicondutor extrínseco com impurezas do tipo aceitador.

SEMICONDUTORES 1.25

Como se viu anteriormente ni é uma medida do número de ligações de valência que se

partiram, devido à temperatura. Sendo assim ni pode ser usada como valor de referência nos

semicondutores extrínsecos. Atendendo a que a densidade de electrões, num semicondutor

com impurezas dadoras a uma dada temperatura, possui a contribuição das impurezas

ionizadas e das ligações partidas poder-se-á dizer que:

0 sed d in N N n+ + >> (1.14)

em que dN + é a densidade de impurezas dadoras ionizadas.

Para um semicondutor tipo-p ter-se-á então:

0 sea a ip N N n− − >> (1.15)

em que aN − é a densidade de impurezas aceitadoras ionizadas.

É importante realçar que 0 d in N n+≠ + e 0 ip n≠ no semicondutor tipo-n devido à

recombinação. Para o semicondutor tipo-p também será 0 a ip N n−≠ + e 0 in n≠ pelas mesmas

razões.

No entanto provar-se-á mais à frente que, para um semicondutor não-degenerado em

equilíbrio termodinâmico, se verifica a relação

20 0 ip n n= , (1.16)

independentemente de o semicondutor ser do tipo-n ou do tipo-p. A relação (1.16) é muito

importante no cálculo da densidade dos portadores. Um caso particular é o da determinação

da densidade de portadores minoritários, nas situações em que é possível obter facilmente a

densidade dos portadores maioritários, por estarmos nas condições de (1.14) ou (1.15).

Uma outra relação importante resulta do facto de, num semicondutor homogéneo em

equilíbrio termodinâmico, o material exibir neutralidade eléctrica local, ou seja, a densidade

de carga é zero em cada ponto do semicondutor. Atendendo a que a origem das cargas

eléctricas está nos electrões, buracos e impurezas ionizadas, poder-se-á escrever então com

generalidade:

( ) ( )0 00 a dq n N q p N− +ρ = = − + + + (1.17)

ou seja 0 0 d an p N N+ −− = − (1.18)

0 0d an N p N+ −− = − (1.19)

SEMICONDUTORES 1.26

As equações (1.18) e (1.19) permitem duas interpretações diferentes da mesma equação.

A equação (1.18) evidencia a influência de cada tipo de impurezas na densidade de

portadores. Se 0d aN N+ −− > então 0 0n p> e portanto o semicondutor é tipo-n. Quando

0d aN N+ −− < 0 0p n> e o semicondutor é tipo-p. Em particular se 0 0d a iN N n p n+ −= ⇒ = = e o

material semicondutor diz-se que está totalmente compensado e comporta-se como um

semicondutor intrínseco. Durante o processo de fabrico do semicondutor a adição não

intencional de impurezas é normal, e o material resultante ou é do tipo-p ou do tipo-n. Só a

adição de impurezas de substituição de sinal contrário, de modo a compensar totalmente o

semicondutor, é que possibilita a obtenção de semicondutores intrínsecos.

Por sua vez na equação (1.19) 0 dn N +− representa a densidade efectiva de electrões com

origem na geração térmica, pois traduz a diferença entre a densidade total de electrões e a

densidade de electrões devida às impurezas dadoras. A igualdade é consistente com o facto de

que por cada electrão gerado termicamente há também um buraco pois 0 ap N −− representa a

densidade efectiva de buracos gerados termicamente.

No caso das impurezas dadoras e aceitadoras estarem totalmente ionizadas à

temperatura considerada, ter-se-á:

ed d a aN N N N+ −≈ ≈ (1.20)

e portanto, neste caso,

0 0 d an p N N− ≈ − (1.21)

Se, para um dado semicondutor homogéneo a uma dada temperatura, se conhecer a

densidade intrínseca e a densidade de impurezas ionizadas poder-se-ão calcular os valores de

0n e 0p a essa temperatura por resolução do sistema de equações que envolve (1.16) e (1.18).

Exemplo 1.6 – Considerar um cristal de Si homogéneo com impurezas do tipo aceitador

Na= 1019m-3. Calcular a densidade de electrões e buracos, em equilíbrio termodinâmico, à

temperatura de T= 300K e T= 450K. Si: ni( 300K)= 1016 m-3; WG= 1,124 eV.

Solução:

T= 300K Admite-se que a 300K todas as impurezas estão ionizadas ou seja a aN N− .

Atendendo a que a iN n então 19 30 10ap N m−= . De (1.16) tira-se então 13 3

0 10n m−= .

Sendo 0 0p n o semicondutor a 300K é fortemente extrínseco tipo-p. Uma chamada de

atenção para a ordem de grandeza dos valores obtidos: sendo 0 0p n não é possível

SEMICONDUTORES 1.27

obter 0n a partir da equação da neutralidade eléctrica, (1.18).

T= 450K A esta temperatura a densidade intrínseca é superior à de 300K, mantendo-se a

densidade de impurezas ionizadas. Ter-se-à pois que calcular primeiro a densidade

intrínseca a 450K para verificar se continuamos nas condições referidas a 300K. No

cálculo de in a 450K utilizaremos a relação ( )( ' )

3/ 2' 2 ''/GW T T

kTTi in n T T e

−

= obtendo-se

in (450K)= 2,47x1019m-3. É então claro que, a 450K, já não estamos nas condições

a iN n . Para obter 0n e 0p deveremos então resolver o sistema de equações que

envolve (1.16) e (1.18). O valor de 0p pode obter-se a partir de 2 2

0

42

a a iN N np

− −± +=

em que só a solução positiva é que tem significado físico. Os cálculos dão então

0p =3,02x1019m-3 e 0n =2,02x1019m-3. Para T= 450K 0 0 in p n e o semicondutor passa

a comportar-se como intrínseco.

É oportuno referir que, mesmo em equilíbrio termodinâmico, se o semicondutor não for

homogéneo, isto é, a distribuição das impurezas não for uniforme no volume do material, não

se verifica a condição de neutralidade eléctrica local, embora o semicondutor continue a ser

globalmente neutro. Este facto deve-se à natureza das cargas eléctricas, que são móveis no

caso dos electrões e buracos, e fixas no caso das impurezas ionizadas. Tome-se como

exemplo um semicondutor que possui densidade de dadores diferente em duas regiões do

semicondutor ( )1 2d dN N> . Em qualquer ponto do semicondutor, em equilíbrio

termodinâmico verifica-se que 21 1 2 2 in p n p n= = , isto é 1 2n n> e 1 2p p< . O gradiente de

densidades de portadores móveis de carga que se estabelece dá origem ao movimento dos

portadores da região de maior densidade para regiões de menor densidade e conduz a uma

distribuição de electrões e buracos que quebra a neutralidade eléctrica local, responsável

pelo aparecimento de campos eléctricos locais, junto à interface das duas regiões. Neste

exemplo a carga positiva está do lado da região 1, em que dN é mais elevado.

O andamento da densidade de portadores em função da temperatura, para um

semicondutor extrínseco tipo-n, está representado na Fig. 1.16. É possível identificar três

regiões de funcionamento: a região de ionização, de saturação e intrínseca. Na região de

ionização o aumento de temperatura conduz fundamentalmente a um aumento da densidade

dos portadores que têm origem nas impurezas de substituição, neste caso electrões, pois

SEMICONDUTORES 1.28

envolve uma energia de activação WC-WD que é muito inferior à altura da banda proibida. Na

escala semi-logaritmica utilizada o andamento é aproximadamente linear evidenciando por

isso uma dependência exponencial com 1/T. Logo que as impurezas estão todas ionizadas

entra-se na zona de saturação na qual a densidade de electrões é aproximadamente constante.

Contudo a densidade de buracos continua a aumentar com o aumento de temperatura pois

cresce a densidade intrínseca. Finalmente, após uma dada temperatura iT , entra-se na zona

intrínseca de funcionamento a que corresponde uma densidade intrínseca elevada,

relativamente à densidade de impurezas, e em que as densidades de electrões e buracos são

idênticas. Conhecido o andamento da densidade de maioritários e da densidade intrínseca é

fácil de obter o gráfico da densidade de minoritários numa escala logaritmica atendendo a que

0 0ln (ln ln ) / 2.in n p= +

ln (n) ln (p) ln (ni)

ln (Nd)

zona intrínseca

zona de ionização zona de saturação

declive GW

2k−

declive E

2kΔ

− n p ni

1/Ti 1/T Fig. 1.16 – Densidade de portadores em função da temperatura para um semicondutor tipo n

A determinação de iT , designada por temperatura intrínseca, pode ser efectuada desde

que se estabeleça a condição que deve verificar o valor da densidade intrínseca. Admitindo

que ( ) ,i i dn T N N N= = e conhecida a relação entre ( )i in T e ( )in T , sendo T uma temperatura

conhecida, dada por

( )( )

3 2 2

2

G i

G

W kTi i i

W kTi

n T T en T T e

−

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.22)

é possível obter, para um dado material, a temperatura iT .

SEMICONDUTORES 1.29

Um valor apoximado de iT pode ser obtido a partir da relação

( ) 2G iW kTi in T e−∝ (1.23)

Se se considerar que a densidade de impurezas é a mesma em dois materiais com WG

diferentes, então o que tiver maior WG tem maior iT pois deve verificar-se a igualdade

2 2G G

i i

W WkT kTe e

′− −

′ (1.24)

Nestas condições o Si possui um iT superior ao do Ge. Este facto torna o Si bastante

atractivo no fabrico de dispositivos por poderem funcionar a temperaturas mais elevadas.

Exemplo 1.7 – Calcular a temperatura Ti para o Si e para o Ge supondo que ambos os

materiais possuem Nd=1021m-3 Si: ni( 300K)= 1016 m-3; WG= 1,124 eV; Ge: ni( 300K)=

2,3x1019 m-3; WG= 0,664 eV.

Solução:

Com base na relação (1.23) tira-se ( ) ( )1/ 1/ 2 / ln ( ) / ( )i G i i iT T k W n T n T= + . Partindo do

princípio que a temperatura Ti é definida para a condição ( ) ,i i dn T N N N= = obtém-se

então Ti=639K para o Si e Ti=425K para o Ge.

1.6. Geração e recombinação

Como se viu anteriormente, ao processo de geração, quantificado em termos dum ritmo

de geração G[m-3s-1], contrapõe-se sempre um processo de recombinação caracterizado por

um ritmo de recombinação R[m-3s-1]. Em equilíbrio termodinâmico

G R= (1.25)

e G depende, para cada material, somente de temperatura.

Pretendemos relacionar G e R com a densidade n e p. Consideraremos as situações em

que G é independente de n e de p. Esta condição verifica-se em geral porque não só temos um

número muito elevado de electrões na banda de valência como de estados disponíveis na

banda de condução. Contudo a recombinação exige electrões na banda de condução e buracos

na banda de valência e portanto depende de n e de p. Sendo assim, para valores baixos de n e

p (semicondutores não degenerados) e recombinação banda a banda pode escrever-se, em

primeira aproximação,

( , , ) ( )R T n p r T n p= (1.26)

SEMICONDUTORES 1.30

em que r(T) é uma constante que depende do material e da temperatura. A relação (1.26) pode

ser interpretada mais facilmente se se escrever ( , , )R T n p como um desenvolvimento em série

de Taylor em termos de n e p:

2 2 3 3 2 2( , , )R T n p A Bn Cp Dn Ep Fnp Gn Hp In p Jnp= + + + + + + + + + + (1.27)

Os termos associados aos coeficientes A, B, C, D, E, G, H,... devem ser zero porque R

tem que ser zero se n ou p for zero. O primeiro termo não zero é Fnp. Os termos de ordem

superior 2In p e 2Jnp designam-se por termos de Auger e poderão, numa aproximação de 1ª

ordem, ser desprezados. Estes termos serão importantes e não deverão ser desprezados nos

casos em que n e p são elevados. O termo 2n p traduz a recombinação que envolve dois

electrões e um buraco. Neste caso a energia e o momento associados à recombinação dum

electrão com um buraco são transferidos para outro electrão na banda de condução. Por sua

vez o termo 2np envolve um electrão e dois buracos no processo de recombinação, com a

energia e momento da recombinação transferidos para um buraco.

Em equilíbrio termodinâmico

0 0( )G R r T n p= = (1.28)

Se se admitir a existência de vários mecanismos de geração ter-se-à 1

N

ii

G G=

= ∑ . A

condição de equilíbrio termodinâmico obriga a que se verifique o princípio de equilíbrio

detalhado, isto é, que (1.28) se aplique a cada processo de geração-recombinação. Assim, em

equilibrio termodinâmico ter-se-à

1 1

N N

i ii i

G R= =

=∑ ∑ (1.29)

e também

1 1 0 0 1

2 2 0 0 2

0 0

( )( )

( )N N N

G r T n p RG r T n p R

G r T n p R

= == =

= =

(1.30)

Como há processos de geração-recombinação que não envolvem dadores ou

aceitadores, uma adição de dopantes não altera a respectiva equação correspondente ao

princípio de equilíbrio detalhado

SEMICONDUTORES 1.31

0 0( )i iG r T n p= (1.31)

Contudo, como 0n e 0p se alteram com a densidade de dopante, então o produto

0 0ten p C= . Sabendo que 0n e 0p para o semicondutor intrínseco valem in , então o produto

20 0 in p n= para qualquer semicondutor.

Deste modo pode-se escrever:

2( ) iG r T n= (1.32)

que , para cada material, só depende da temperatura.

Nalguns semicondutores, nomeadamente no Si, a geração e a recombinação não são

banda a banda, mas fazem-se através de estados intermédios na banda proibida designados

por ratoeiras. Este processo designa-se por SRH (Schokley, Read, Hall).

1.6.1. Efeito fotoeléctrico interno

Se o semicondutor, a uma dada temperatura, for iluminado uniformemente com

radiação monocromática de energia GW W≥ , haverá um processo adicional de geração de

pares electrão-buraco ao qual se pode associar uma taxa de geração por efeito fotoeléctrico

que designaremos por 3 1feG m s− −⎡ ⎤

⎣ ⎦ . Em regime estacionário a taxa de geração e de

recombinação equilibram-se pelo que:

il ilG R rn p= = (1.33)

com ter feG G G= + (1.34)

e

0

0

il

il

n n

p p

= + Δ

= + Δ (1.35)

Δ é o excesso de portadores resultantes da iluminação que será igual para electrões e buracos

quando a iluminação é uniforme.

É de realçar que a relação (1.33) só é válida para o regime estacionário. Quando se

estabelece a iluminação fe terG G G= + e 2i terR r n G= = e portanto G R> . O aumento de n e

p acarreta um aumento de R que só pára de aumentar quando fe terR G G= + e as densidades

SEMICONDUTORES 1.32

de portadores alcançam o valor final de eil iln p .

Combinando as duas expressões anteriores ter-se-á:

ter fe il ilG G r n p+ = (1.36)

ou

1 fe il il

ter ter

G r n pG G

+ = (1.37)

Como 2ter iG r n= , e admitindo que a temperatura não sofreu uma variação apreciável,

ter-se-á

2 1 feil il i

ter

Gn p n

G⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.38)

Exemplo 1.8 – Considere uma amostra de Si a 300 K com impurezas dadoras,

Nd=1019m-3. Sob iluminação uniforme, e na situação estacionária, calcular a densidade de

electrões e buracos se Gfe= 100Gter. Si: ni(300K)= 1016 m-3.

Solução: Ir-se-à admitir que a 300 K as impurezas estão todas ionizadas. Atendendo a que

d iN n então 0 dn N e 20 0/ip n n= . Portanto, em equilibrio termodinâmico, n0=1019m-3

e p0=1013m-3. Com iluminação uniforme e na situação estacionária pode-se utilizar a

equação (1.38) que, em conjunto com (1.35), dá origem a uma equação do 2º grau em

termos da densidade de excessos Δ:

( )2 20 0 / 0i fe tern p n G GΔ + + Δ − = . Por aplicação dos valores numéricos obtém-se

2 19 3410 10 0Δ + Δ − = . Das duas soluções só a solução positiva tem significado físico e

vale Δ= 1015m-3. Deste modo, com iluminação, 19 30 0 10iln n n m−= + Δ = e

15 30 10ilp p m−= + Δ Δ = . Como se vê pelos resultados só a densidade dos minoritários

foi alterada, mantendo-se a densidade dos maioritários. Esta perturbação do equilíbrio é

por isso designada por injecção fraca.

A taxa de geração por efeito fotoeléctrico está associada a uma grandeza característica

do material e que é o coeficiente de absorção, α [m-1]. O coeficiente de absorção representa o

número de fotões, de um dado comprimento de onda, que em média são absorvidos por

unidade de comprimento do semicondutor. A quantidade 1/α associa-se à distância que em

média o fotão percorre no semicondutor até ser absorvido. O coeficiente de absorção depende

SEMICONDUTORES 1.33

da energia dos fotões e do material. Na Fig. 1.17 mostra-se o coeficiente de absorção em

função da energia dos fotões para vários materiais semicondutores.

Se se designar por φ [m-2s-1] o fluxo de fotões, com uma dada energia, que incide na

face de uma amostra de semicondutor, a sua taxa de variação com a distância é proporcional

ao seu valor. A constante de proporcionalidade é designada por coeficiente de absorção.

( ) ( )d x xdxφ

− = +αφ e assim 0( ) xx e−αφ = φ (1.39)

Define-se o ritmo de geração por efeito fotoeléctrico ( )fe

d xGdxφ

= − , se se admitir que

por cada fotão absorvido há a criação de um par electrão-buraco. Pode então escrever-se

0x

feG e−α= αφ (1.40)

Na Fig. 1.18 mostra-se o andamento de Gfe(x) e dá-se a interpretação geométrica de 1/α.

Fig. 1.17 – Coeficiente de absorção em função da energia para vários semicondutores.

SEMICONDUTORES 1.34

φ

0

x

Gfe αφ 0

1/α x 0

Fig. 1.18 – Evolução de Gfe(x) num semicondutor.

É de notar que se 1 2 1 21/ 1/α > α ⇒ α < α , isto é, os fotões a que correspondem maiores

energias são absorvidos mais em superfície.

1.7. Cálculo de n e p em semicondutores não-degenerados

O comportamento dos electrões no material semicondutor rege-se pela equação de

Schrödinger cuja solução é a função de onda. Esta grandeza é, em geral, um número

complexo. O valor do módulo da função de onda ao quadrado é um número real que

representa a densidade de probabilidade de encontrar a partícula num dado instante numa

dada região do espaço.

1.7.1. Electrão num poço de potencial de altura infinita

Um dos resultados mais importantes da aplicação da equação de Schrödinger a um

electrão num cristal é a quantificação da energia. Considere-se a título de exemplo um

electrão num poço de potencial de altura infinita e largura L, Fig. 1.19.

Sendo o electrão uma partícula livre a sua energia potencial WP é constante . Se se

admitir que no interior do poço, WP=0

então a energia total do electrão, W, é igual à energia

cinética Wk, dada por

2

2kpW Wm

= = (1.41)

SEMICONDUTORES 1.35

x

WP

0 L

Fig. 1. 19 – Poço de potencial de altura infinita a uma dimensão.

em que p e m são o momento e a massa do electrão respectivamente. Por sua vez o momento

e o comprimento de onda λ verificam a relação de de Broglie

hp kλ

= = (1.42)

k é o número de ondas e 2h= π .

Para garantir a continuidade da função de onda nas fronteiras

2L n= λ (1.43)

em que n é um inteiro.

Combinando as duas relações anteriores obtém-se

2hp nL

= (1.44)

e portanto

2 228

hW nkn mL= (1.45)

Admitindo que m é a massa do electrão em repouso 310 9,11 10m kg= × , ter-se-á:

193,8x10 2

2W nkn L

−=

(1.46)

Este resultado mostra que o electrão num poço de potencial infinito não possui um

contínuo de valores de energia.

Na Fig.1.20 mostram-se, de forma esquemática, os valores de energia possíveis para o

electrão quando 1,2,3n = . Também se referem os valores da energia Wk1 para vários valores

da largura do poço que, de forma clara, indicam a importância da quantificação para os poços

SEMICONDUTORES 1.36

de dimensão reduzida. Para poços com dimensões macroscópicas os níveis de energias estão

tão próximos que podem ser olhados como formando um contínuo de energia.

kW

3kW

2kW

1kW

1

1

113

10 Å 0,4 . .

100Å 3,8 . .

1 3,8 10 . .

k

k

k

L W eV

L W meV

L mm W eV−

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ = ×

Fig. 1.20 – Quantificação da energia para um electrão num poço de potencial de altura infinita.

Para um poço de potencial a três dimensões, com comprimentos Lx, Ly e Lz, a

quantificação da energia é expressa por

22 2231 2

2 2 28kx y z

nn nhWm L L L

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.47)

em que 1 2 3, en n n são números inteiros designados por números quânticos principais e

0x y zL L L V= é o volume do cristal.

Para cada conjunto ( )1 2 3, ,n n n , que define um dado estado de movimento,

correspondem dois estados quânticos associados ao spin do electrão, e que pode tomar os

valores 1 2± .

1.7.2. Densidade de estados em energia

O número de estados de movimento possíveis para o electrão obtém-se contando as

combinações 1 2 3, en n n .

A determinação do número de estados de movimento é mais fácil de determinar

tomando como base o espaço dos momentos, Fig. 1.21.

SEMICONDUTORES 1.37

h/(2Lx)

pz

py

px

h/(2Lz)

h/(2Ly)

p p+dp .

Fig. 1. 21 – Representação no 1º octante do espaço dos momentos do volume correspondente a um

estado de movimento.

A partir das relações para as componentes do momento do electrão segundo as três

direcções

1 2 3; ;2 2 2x y z

x y z

h h hp n p n p nL L L

= = = (1.48)

e tendo em linha de conta os valores positivos de 1 2 3, en n n , pode identificar-se o volume

correspondente a um estado de movimento expresso por

3

08 2 2 2x y z

h h h hV L L L

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

(1.49)

Assim, no espaço dos momentos, o número de estados de movimento por unidade de

volume é dado por 308V h . Atendendo a que a cada estado de movimento correspondem dois

momentos de spin, o número de estados quânticos na unidade de volume é 03

82 Vh

× .

O volume entre a esfera de raio p e a de raio p+dp é, para o primeiro quadrante

( )24 8p dpπ e por isso o número de estados quânticos neste volume, dN(p) é dado por

2 03

8( ) VdN p p dph

= π (1.50)

Em termos da energia, atendendo a que:

SEMICONDUTORES 1.38

2, 2

22 2

2

k kk

k

k kk

pW p mWmp dp m d W

m mdp d W d Wp mW

= =

=

= =

(1.51)

ter-se-á

0k k k3

8 VdN(W ) m 2m W d Whπ

= (1.52)

em que ( )kdN W é o número de estados quânticos possíveis entre kW e k kW d W+ . A

densidade de estados quânticos em energia, ( )kg W é definida como

( ) ( ) 03

8 2kk k

k

dN W Vg W m mWd W h

π= = (1.53)

e está representada na Fig. 1.22.

W k

g(Wk) 0

Fig. 1.22 – Função densidade de estados quânticos em energia

Pode parecer estranho que se tenha obtido uma densidade de estados em energia onde a

quantificação parece estar ausente. Contudo, como se viu na secção anterior, nos cristais com

dimensões macroscópicas os estados discretos de energia estão tão próximos que podem ser

olhados como formando um contínuo de valores de energia. No caso de dispositivos de

dimensão reduzida a relação (1.53) não é válida e a quantificação deve transparecer na relação

e no gráfico da respectiva densidade de estados em energia.

SEMICONDUTORES 1.39

1.7.3. Densidade de estados em energia para os electrões num cristal

A periodicidade da rede cristalina é responsável pelo aparecimento de bandas de energia

permitidas e bandas de energia proibidas. Nos casos em que o cristal é isotrópico e, para

valores próximos de uma dada energia 0W , pode escrever-se

20 0W W C p= + (1.54)

Esta expressão pode ser interpretada, sob o ponto de vista clássico, como sendo a soma

de uma energia potencial W0, com uma energia cinética C0p2, em que 00

12

Cm

= .

Para os electrões de condução C0>0 e pode escrever-se:

( )( )( )

2*

*

0

02

0

c

c cc

W WpW W mm

C

>

= + >

>

(1.55)

enquanto que para os electrões de valência C0<0:

( )( )( )

2*

*

0

02

0

V

V VV

W WpW W mm

C

<

= + <

<

(1.56)

* *,c Vm m são as massas eficazes dos electrões na banda de condução e de valência

respectivamente. No sentido de manter o formalismo clássico, introduz-se o conceito de

buraco com carga +q e massa eficaz * * 0p Vm m= − > .

Para os buracos ter-se-à então

( )2

*2V V

p

pW W W Wm

= − < (1.57)

Quer os electrões, quer os buracos são partículas livres (sob o ponto de vista clássico),

com energia de posição constante e igual a eC VW W respectivamente. As densidades de

estados quânticos em energia para os electrões e buracos podem então ser expressas por

( ) ( ) ( )* *03

8 2c n n c cVg W m m W W W W

hπ

= − ≥ (1.58)

SEMICONDUTORES 1.40

( ) ( ) ( )* *03

8 2v p p v VVg W m m W W W W

hπ

= − ≤ (1.59)

em que * *n cm m= , e estão representadas na Fig.1.23.

1.7.4. Estatística de Fermi-Dirac

A distribuição dos electrões pelos estados quânticos obedece a uma função de

distribuição denominada por distribuição de Fermi-Dirac.

Esta distribuição assenta em dois pressupostos:

1) os electrões são indiscerníveis (princípio da indiscernibilidade)

2) não pode haver mais de um electrão por cada estado quântico (princípio de

exclusão de Pauli).

W

gC(W) W G

W C

W V gV(W)

Fig. 1. 23 – Representação de gC(W) e gV(W).

Baseado nestas condições e partindo da hipótese de que se tem um certo número N de

electrões com energia total W, eles irão ser distribuídos pelos diversos estados quânticos, de

modo a verificarem-se as condições impostas. Supõe-se que todos os estados quânticos têm

igual probabilidade de serem ocupados. Há várias maneiras de distribuir os N electrões pelos

vários estados quânticos possíveis de modo a que a energia total seja W. Uma distribuição

pode ser realizada de várias maneiras. A distribuição mais provável é a que se pode realizar de

um maior número de maneiras possível.

SEMICONDUTORES 1.41

A título de exemplo, considera-se que se têm 4N = e 7W = em que os estados de

energia possíveis são os estados 1, 2, 3 e que valem 1, 2, 3. Para cada um destes valores de

energia considerem-se três estados quânticos. Pretende-se descobrir qual a distribuição mais

provável. Neste caso só vai haver duas distribuições possíveis, (a) e (b), Fig.1.24.

(a) (b)

1

2

3

W

Fig.1. 24 – Distribuição de 4 electrões pelos estados quânticos de modo a garantir que a energia total é

igual a 7.

O número de maneiras associado à distribuição (a) am é dada por

3 3 3

271 1 2am ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

(1.60)

e à distribuição (b) é

( )

3 3 !31 3 ! !b

m mmn m n n

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1.61)

Deste modo a distribuição (a) é a mais provável.

Para além da estatística de Fermi-Dirac, aplicável aos electrões, é importante referir a

estatística de Bose-Einstein e de Maxwell-Boltzmann. A estatística de Bose-Einstein assenta

no princípio da indiscernibilidade das partículas mas não no princípio de exclusão de Pauli.

Aplica-se a fotões. Quanto à estatística de Maxwell-Boltzmann não verifica os dois princípios

referidos e aplica-se às moléculas de um gás rarefeito.

As estatísticas referidas são representadas por funções de distribuição que traduzem o

grau de preenchimento dos estados quânticos com energia entre W e W+dW. Para a estatística

de Fermi-Dirac a função de Fermi-Dirac ( )f W é dada por

1( ) 0 ( ) 1

1FW W

kT

f W f W

e−= ≤ ≤

+

(1.62)

SEMICONDUTORES 1.42

em que FW é a energia de Fermi, T é a temperatura absoluta e k é a constante de Boltzmann,

k= 1,38x10-23 J/K. Para a estatística de Bose-Einstein a função de distribuição é dada por

1( )

1FB E W W

kT

f W

e− −=

−

(1.63)

enquanto que para a estatística de Maxwell-Boltzmann se tem

( )FW W

kTM Bf W e

−−− = (1.64)

Atendendo a que o nosso objectivo é estudar o comportamento dos electrões e buracos

no semicondutor ir-se-á dedicar um pouco mais de atenção à estatística de Fermi-Dirac. Como

foi referido a função f(W) indica o grau de preenchimento dos estados quânticos e toma

valores entre 0 e 1. Sendo assim a função 1 ( )f W− traduz o grau de desocupação dos

correspondentes estados quânticos e pode ser expressa como

( ) 111

FW WkT

f We

−−

− =+

(1.65)

Os gráficos de f(W) e 1-f(W) são bastante elucidativos e estão representados na

Fig.1.25, tendo em linha de conta a transformação

FW W ukT−

= (1.66)

Para 0T K= se

i.e. 0 , ( ) 0

i.e. 0 , ( ) 1

f

F

W W u f u

W W u f u

> > =

< < = (1.67)

Para 0 . . 0, ( ) 1/ 2FT K W W i e u f u≠ → = = =

( )

( )

. . , ( ) 0

. . , ( ) 1

F

F

W W kT i e u f u

W W kT i e u f u

− >> → +∞ →

− << − → −∞ →

(1.68)

Há um aspecto importante ligado com a forma da curva associada à função f(u) que se

traduz no seguinte resultado: para qualquer u, a função f(u) toma o mesmo valor que a função

1-f(-u), isto é, o grau de ocupação para um dado valor de energia é igual ao grau de

desocupação para um valor de energia simétrico relativamente à energia de Fermi.

Nalgumas situações importantes é possível simplificar a função de Fermi-Dirac, como é

SEMICONDUTORES 1.43

o caso em que

1, ( )

1

F

F

W WkT

F W WkT

W W kT f W e

e

−−

−− >> =

+

(1.69)

Esta aproximação chama-se de aproximação de Maxwell-Boltzmann, em virtude da

função de Fermi-Dirac ser aproximada pela função de distribuição associada à estatística de

Maxwell-Boltzmann.

u

( )f u 1 0 1/2

0 KT =

0 KT ≠1 ( )f u−

Fig. 1. 25 – Função de Fermi a T=0 K e T≠0 K.

O nível de Fermi, FW , em equilíbrio termodinâmico, é constante em qualquer região

do material, quer ele seja homogéneo ou não, porque a estatística de Fermi-Dirac é obtida sem

ter em linha de conta o número de estados quânticos em energia e a sua distribuição espacial.

O nível de Fermi varia com a temperatura. Para os metais WF decresce ligeiramente com o

aumento da temperatura. No entanto para os semicondutores a variação depende do tipo de

semicondutor, como será fácil de perceber pelas considerações feitas mais à frente. Pode-se

no entanto adiantar que nos semicondutores intrínsecos WF é praticamente independente da

temperatura, nos semicondutores tipo-n WF desce com o aumento de temperatura e que para

os semicondutores tipo-p WF sobe com o aumento de temperatura.

SEMICONDUTORES 1.44

1.7.5. Cálculo da densidade de electrões e buracos no semicondutor

Atendendo a que, ( )cg W dW é o número de estados quânticos existentes entre W e

W dW+ e ( )f W é o grau de preenchimento dos estados quânticos, o número de electrões

que existe entre W e W dW+ é dado por ( ) ( )cf W g W dW .

Assim, o número total de electrões na banda de condução é calculado por

( ) ( )c

cW

N f W g W dW∞

= ∫ (1.70)

ou seja,

( )* *03

81 2

1F

c

n n cW WW kT

VN m W W dWh

e

∞

−π⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ (1.71)

Definindo a densidade de electrões 0n N V= e considerando c FW W kT− >> , i.e.,

1

1

F

F

W WkT

W WkT

e

e

−−

−=

+

(1.72)

tem-se

( )*

*3

8 2F

c

W Wn kT

n cW

mn e m W W dWh

−∞ −π= −∫ (1.73)

Resolvendo o integral obtém-se

3/ 2*22 2

W Wc Fm kTn kTn eh

−⎛ ⎞ −π⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.74)

que se pode escrever de forma mais compacta como

c FW WkT

cn N e−

−= (1.75)

em que Nc é a densidade efectiva de estados na banda de condução dada por

3/ 2*22 2

m kTnNc h

⎛ ⎞π⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.76)

De igual modo a densidade de buracos p é obtida a partir da expressão

( )( ) 1VW

VP g W f W dW−∞

= −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ (1.77)

SEMICONDUTORES 1.45

que, após ter-se também utilizado a aproximação de Maxwell-Bolzmann, dá

3 2*

20

22

F VW Wp kT

m kTPp eV h

−−⎛ ⎞π

⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.78)

ou seja

F VW WkT

Vp N e−

−= (1.79)

em que NV é a densidade efectiva de estados na banda de valência dada por

3/ 2*22 2

m kTpNV h

⎛ ⎞π⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.80)

É importante ter em atenção que as relações (1.75)e(1.79) só são válidas para o

equilibrio termodinâmico e na aproximação de Maxwell-Bolzmann, isto é, o nível de Fermi

deve estar localizado na banda proibida e suficientemente afastado da banda de condução e da

de valência de alguns kT. Os semicondutores que verificam estas condições designam-se por

não-degenerados.

Na Fig.1.26 faz-se a representação gráfica do cálculo do número total de electrões N e

buracos P na banda de condução e na banda de valência respectivamente.

W

( )f W1 WF1/2

1 ( )f W−

W

gC(W) f(W) WG

WC

WV gV(W) [1-f(W)] P

N

W

gC(W) WG WC

WV gV(W)

WF WF

Fig. 1. 26 – Representação gráfica do cálculo de N e P.

SEMICONDUTORES 1.46

1.7.5.1 Localização do nível de Fermi no semicondutor intrínseco e extrínseco

Num semicondutor intrínseco n=p=ni e portanto

c Fi Fi VW W W WkT kT

c vN e N e− −

− −= (1.81)

multiplicando ambos os membros por Fi VW W

kTe−

+ e dividindo por CN , vem:

C Fi Fi VW W W W

VkTC

NeN

− + + −

= (1.82)

2 lnFi V C V

C

W W W NkT kT N

⎛ ⎞+⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1.83)

ln2

V C VFi

C

W W NkTWkT N

⎛ ⎞+= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.84)

3 2* *

* *3ln ln2

p pV V

C Cn n

m mN NN Nm m

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= → =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.85)

ou seja

*

*3 ln

2 4pV C

Fin

mW WW kTm

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.86)

Se * *p n Fim m W= ⇒ está exactamente a meio da banda proibida. Se o semicondutor for

extrínseco tipo-n FW aproxima-se da banda de condução e se for tipo-p aproxima-se da banda

de valência, Fig. 1.27. A variação de WF com a temperatura deverá ser agora fácil de perceber

se atendermos a que os semicondutores extrínsecos se comportam como intrínsecos a

temperaturas elevadas.

WC

WV

WC

WV

WC

WV

WFi WF

WF

intrínseco

>>kT

>>kT

tipo-n tipo-p Fig. 1. 27 – Localização do nível de Fermi nos semicondutores não-degenerados.

SEMICONDUTORES 1.47

As densidades n e p podem ainda escrever-se em termos da densidade intrínseca e da

posição relativa do nível de Fermi ao nível de Fermi intrínseco.

W W W W W W W WW W F Fi Fi Fi F FiFkT kT kT kTn N e N e N e ec c c

− + − − −−− − −

= = = (1.87)

ou seja

W WF FikTn n ei

−

= (1.88)

De igual modo se pode escrever

Fi FW W

kTip n e

−

= (1.89)

1.7.5.2 Densidade intrínseca. Variação com a temperatura

Num semicondutor não-degenerado ter-se-à, em equilíbrio termodinâmico,

C FW W

C Vnp N N e− +

=FW− V C V GW W W W

kT kT kTC V C VN N e N N e

+ −− −

= = (1.90)

Este resultado indica que o produto np é independente da localização do nível de Fermi

e portanto será válido para qualquer semicondutor, intrínseco ou extrínseco. Sendo que para o

semicondutor intrínseco n=p=ni, ter-se-à , para qualquer semicondutor não-degenerado em

equilíbrio termodinâmico,

2GW

kTi C Vnp n N N e

−= = (1.91)

ou seja

2GW

kTi C Vn N N e

−= (1.92)

Atendendo a que 3C VN N T∝ , ter-se-á

( )2 3 GW kTin T e−∝ ou seja (2 )3 2 GW kT

in T e−∝ (1.93)

As expressões anteriores mostram que a densidade intrínseca depende da temperatura

através de um termo exponencial e duma potência. Verifica-se que o termo exponencial é

dominante nas condições usuais. Na Fig. 1.28 mostra-se o andamento com a temperatura da

densidade intrínseca para vários semicondutores.

SEMICONDUTORES 1.48

Ge

Si

GaAs

1020

1015

1010

10 5

1000/T (K-1) 1 2 3 4

n i (c

m-3

)

Fig. 1. 28 – Densidade intrínseca em função da temperatura para vários semicondutores.

As expressões anteriores só são válidas em equilíbrio termodinâmico para

semicondutores não-degenerados. Fora do equilíbrio termodinâmico podemos manter as

expressões para as concentrações de electrões e buracos desde que desdobremos o nível de

Fermi, WF, em dois pseudoníveis de Fermi ou imref (de “imaginary reference” ou a palavra

fermi escrita ao contrário), um para electrões e o outro para buracos. Deste modo as

relações, (1.75), (1.79), (1.88) e (1.89) serão escritas como

c FnW W

kTcn N e

−−

= , Fp VW W

kTVp N e

−−

= , Fn FiW W

kTin n e−

= e Fi FpW W

kTip n e

−

= (1.94)

em que WFn e WFp são os pseudoníveis de Fermi para electrões e buracos respectivamente.

Em situações de não-equilíbrio termodinâmico o produto np é diferente de ni2 e pode ser

expresso em termos da separação dos dois pseudoníveis de Fermi,

2Fn FpW W

kTinp n e−

= (1.95)

Deste modo a separação dos dois pseudoníveis de Fermi é portanto uma medida do

desvio das concentrações de portadores relativamente à situação de equilíbrio

termodinâmico, para a qual o desvio é zero.

Quando o semicondutor possui densidades de impurezas de substituição elevadas, i.e.,

SEMICONDUTORES 1.49

próximas de NC ou NV (~1025 m-3 para o Si), já não é válida a aproximação de Maxwell-

-Bolzmann e portanto as relações (1.75) e (1.79) não estão correctas. Nomeadamente já não

se verifica a relação pn=ni2. Semicondutores fortemente dopados designam-se por

degenerados e são caracterizados por possuírem o nível de Fermi muito próximo ou mesmo

dentro da banda de condução ou de valência. A existência de estados de energia permitidos

junto ao nível de Fermi justifica que muitas das propriedades eléctricas dos semicondutores

degenerados sejam idênticas às dos metais. Adicionalmente existe uma diminuição da altura

da banda proibida em virtude dos estados associados à impurezas darem origem a bandas de

energia que se sobrepõem à banda de condução ou de valência. Para o Si, a diminuição da

altura da banda proibida pode ser desprezável para densidades de dopante inferiores a

1024m-3. Contudo verifica-se que, para uma densidade de impurezas dadoras de 1025m-3, já a

variação da altura da banda proibida pode ser superior a 10% do seu valor.

1.8. Condução

Os electrões e os buracos podem ser olhados como partículas livres desde que se lhes

associe uma massa eficaz. Num cristal perfeito e, sob o ponto de vista clássico, este tipo de

partículas tem um movimento rectilíneo e uniforme, limitado somente pelas paredes do

cristal. Na realidade este movimento é afectado pela existência de “choques” em vários

pontos do espaço e que obrigam a trajectória a desviar-se de forma aleatória. Estes “choques”

devem-se à alteração do andamento periódico ideal do potencial que pode ter origem na

temperatura, impurezas, ou imperfeições de rede cristalina. Variações do potencial no espaço

estão associadas a campos eléctricos locais, isto é forças de natureza eléctrica, que são

responsáveis pela alteração do estado de movimento do electrão.

Dos três tipos de “choques” o mais importante é o que está associado à temperatura, por

envolver todos os átomos do cristal. A temperatura faz com que os átomos oscilem em torno

das suas posições de equilíbrio conduzindo a alterações do potencial nessa região. Os

electrões ou os buracos que se movimentem junto aos átomos irão sentir estas perturbações e

portanto alterar a sua trajectória, como se mostra na Fig. 1.29. A densidade de impurezas é

normalmente muito inferior à dos átomos de base do semicondutor e não tem um efeito tão

importante quanto a temperatura. Por sua vez é possível, com a actual tecnologia, reduzir os

defeitos cristalinos a valores tais que se pode desprezar a sua influência no movimento dos

electrões ou dos buracos.

SEMICONDUTORES 1.50

Fig. 1.29 – Movimento dos electrões ou buracos devido à agitação térmica.

Este movimento de agitação térmica não dá origem a corrente eléctrica e por isso valor

médio da velocidade 0thv = . Esta expressão pode ser interpretada como sendo o resultado

de observação no tempo da velocidade de uma só partícula ou a resultante da velocidade de

todas as partículas, de um dado tipo, num dado instante. Para os metais 610 /thv m s e para os

semicondutores 510 / 300 /thv T m s . Define-se tempo livre como o tempo que decorre entre

dois “choques”consecutivos e espaço livre como a distância percorrida correspondente.

Contudo, para a população de electrões e buracos presentes no semicondutor é mais adequado

falar em valores médios pois as propriedades macroscópicas do semicondutor estão

associadas ao comportamento do colectivo de partículas. Nesse sentido é mais importante

falar em espaço livre médio ou tempo livre médio para os portadores de carga.

Quando se aplica um campo eléctrico E , aparece uma força eléctrica que, para o

electrão é dado por:

nF qE= − (1.96)

e para o buraco é

pF qE= (1.97)

Sendo o campo constante, a força também o será e, de acordo com os resultados da

mecânica clássica o movimento é uniformemente variado e a trajectória destas partículas é em

geral parabólica (só será rectilínea quando v e E forem paralelos), Fig. 1.30.

SEMICONDUTORES 1.51

thvv⊥

v

F

Fig. 1.30 – Trajectória dum electrão sob a acção duma força constante.

Após vários choques a trajectória do electrão pode ser visualizada como sendo

constituida por vários arcos de parábola, Fig. 1.31. Se o campo eléctrico não for

suficientemente elevado pode escrever-se

th Fv v v= + (1.98)

em que Fv traduz o vector velocidade associado à força.

Em valores médios:

th F Fv v v v= + = (1.99)

Entre “choques” a componente da velocidade paralela à força aumenta de acordo com a relação:

*F

Fv tm

= (1.100)

E

nF

Fig. 1.31 – Trajectória do electrão após vários choques quando sujeito a um campo eléctrico constante.

SEMICONDUTORES 1.52

e por isso

* *F

F Fv tm m

= = τ (1.101)

em que τ é o tempo livre médio.

Para os electrões ter-se-á então

*q nv E EF nn mn

τ= − = −μ (1.102)

em que

2 1 1[ ]*q n m V sn mn

τ − −μ = (1.103)

é designada por mobilidade dos electrões. De acordo com (1.102) pode-se interpretar a

mobilidade dos electrões como o valor médio do acréscimo da sua velocidade entre dois

choques consecutivos, segundo a direcção do campo eléctrico aplicado, quando este vale 1

V/m. De forma idêntica obtém-se para os buracos:

*

q pv E EF pp mp

τ= = μ (1.104)

em que

2 1 1[ ]*

q p m V sp mp

τ− −μ = (1.105)

é a mobilidade dos buracos, que pode ser interpretada de forma idêntica à dos electrões.

As relações de proporcionalidade entre a velocidade média, também designada por velocidade

de deriva, e o campo eléctrico, (1.102) e (1.104), só são verificadas para campos eléctricos

baixos, isto é, quando não há alteração significativa da velocidade ou energia dos portadores.

A evolução da velocidade de deriva com o campo eléctrico depende do material semicondutor

e tende a saturar para campos eléctricos elevados, Fig 1.32. Este comportamento tem a sua

origem na estrutura das bandas do semicondutor e nos processos de colisão associados aos

electrões mais energéticos.

SEMICONDUTORES 1.53

InGaAs

GaAs

InP

Si

T= 300K

0 5 10 15 20 Campo Eléctrico (kV/cm)

Vel

ocid

ade

dos e

lect

ões (

105 m

/s)

3

2

1

0

Fig. 1. 32 – Velocidade de deriva dos electrões em função do campo eléctrico para vários materiais

semicondutores.

Na Tabela 1.8 indicam-se alguns valores típicos das mobilidades dos electrões e buracos

para vários semicondutores, a 300 K. É importante realçar que para um dado material a uma

dada temperatura se verifica sempre p nμ < μ .

Tabela 1.8

Mobilidades a 300 K para vários semicondutores

T=300 K Ge Si GaAs

μn (m2V-1s-1) 0,39 0,15 0,85

μp (m2V-1s-1) 0,19 0,045 0,04

Um aumento de temperatura, em geral, faz diminuir a mobilidade em virtude de

aumentar a frequência de “choques” com os átomos da rede. Contudo, para um semicondutor

com uma elevada densidade de impurezas e na gama de temperaturas baixas, um aumento de

temperatura pode conduzir a um aumento da mobilidade, Fig.1.33(a), em virtude de haver

uma diminuição de choques associados às impurezas e serem estas que determinam o valor da

mobilidade. Por sua vez, para uma dada temperatura, o aumento da densidade de impurezas

conduz sempre a uma diminuição das mobilidades, Fig.1.33(b).

SEMICONDUTORES 1.54

1

110−

210−

310−

21 310DN m−=

0 100 200 300 400 500T (K)

Mob

ilida

de d

os e

lect

rões

(m2 /(V

.s))

2310

2510

(a)

Si

0.20

0.15

0.10

0.05

0 2110 2210 2310 2410 2510 2610

Concentração de dopante (m-3)

Mob

ilida

de d

os e

lect

rões

(m2 /(V

.s))

(b)

T= 300K

T= 398K T= 348K

Si

Fig.1.33 – Si: (a) Mobilidade em função da temperatura; (b) Mobilidade em função da densidade de

dopante.

No caso de os dois mecanismos de desvio serem independentes, a frequência média das

colisões é a soma das frequências médias devida a cada um dos mecanismos, podendo

escrever-se:

1 2

1 1 1= +

τ τ τ (1.106)

e portanto

1 2

1 2

μ μμ =

μ + μ (1.107)

A existência duma velocidade média não nula segundo a direcção do campo, (1.102) e

(1.104), dá origem a um fluxo de partículas carregadas nessa direcção, ou seja a corrente

eléctrica. Atendendo que a densidade de corrente é dada por cond FJ v= ρ , ter-se-á:

para os electrões: condn nJ qn E= + μ

(1.108)

SEMICONDUTORES 1.55

e para os buracos: condp pJ qp E= μ

(1.109)

Num semicondutor a densidade de corrente total vai ter a contribuição de ambos os portadores

de carga e portanto

J J Jcond n pcond cond= + (1.110)

Atendendo à lei de Ohm local

J Econd = σ (1.111)

em que σ é a condutividade, obter-se-à para o semicondutor

[ ]( ) /q n p S mn pσ = μ + μ (1.112)

Para o semicondutor intrínseco a condutividade pode escrever-se como:

( )i i n pq nσ = σ = μ + μ (1.113)

No caso dum semicondutor extrínseco tipo-n ter-se-à ( )n n iqn n nσ σ = μ (1.114)

e extrínseco tipo-p ( )p p iqp p nσ σ = μ (1.115)

Como se vê da relação (1.112) pode-se aumentar a condutividade aumentando a densidade de

portadores e/ou as mobilidades. Atendendo a que se pode alterar a densidade de portadores

em várias ordens de grandeza adicionando impurezas de substituição ao semicondutor, é fácil

de perceber que os semicondutores extrínsecos possuem valores de condutividade várias

ordens de grandeza superiores aos dos semicondutores intrínsecos. Convém relembrar que

este resultado pode ser obtido com densidades de impurezas de substituição muito pequenas,

e.g., uma impureza por um milhão de átomos de base.

É importante realçar que para um campo eléctrico constante a corrente eléctrica também

é constante. Este resultado deve-se ao facto de a velocidade média ser constante e não

aumentar com o tempo, como acontece às partículas clássicas sujeitas a forças constantes.

Não há aqui qualquer contradição porque as partículas estão sujeitas a “choques” e em cada

“choque” o acréscimo de energia obtido, associado ao aumento da velocidade, é todo

transferido para a rede cristalina. Esta energia transferida para a rede cristalina, em valores

médios, dá origem a um aumento de temperatura do cristal usualmente referido como efeito

de Joule. Os “choques” funcionam como uma força de atrito que se opõe ao movimento dos

portadores de carga e permite obter uma velocidade média constante para cada valor do

SEMICONDUTORES 1.56

campo eléctrico. A condutividade está por isso ligada com a maior ou menor resistência à

passagem da corrente no semicondutor. Para um dado campo eléctrico quanto maior a

condutividade maior a corrente. O inverso da condutividade designa-se por resistividade,

[ ]1/ .mρ = σ Ω . Conhecida a condutividade/resistividade, o comprimento L, e a área da

secção transversal S dum semicondutor homogéneo pode-se calcular a sua resistência através

da expressão:

1 L LRS S

= = ρσ

(1.116)

Exemplo 1.9 – Considerar uma resistência de germânio de tipo-n com 1 mm2 de secção

e 1 cm de comprimento que possui uma densidade de impurezas dadoras Nd=1,5x1021m-3.

Calcular a condutividade e a resistência da barra semicondutora a 300 K e a 410K. Admitir

que as mobilidades variam com o inverso da temperatura.

Dados: Ge(300K): ni=2,4x1019m-3; μn=0,4 m2V-1s-1; μp=0,2 m2V-1s-1; WG=0,66 eV.

Solução: Ir-se-á admitir que a 300 K as impurezas estão todas ionizadas. Atendendo a que

d iN n então 0 dn N e 20 0/ip n n= . Portanto, em equilibrio termodinâmico,

n0=1,5x1021m-3 e p0=3,84x1017m-3. A condutividade 0 0( )n pq n pσ = μ + μ e portanto σ = 96

S/m.De ( )/R L S= σ obtém-se R=104,2 Ω. Aumentando a temperatura aumenta ni. O

valor de ni(410K)= 1,16x1021 m-3, ver Exemplo 1.5. Neste caso já se não verifica d iN n

e é necessário resolver o sistema que envolve as equações (1.16) e (1.18) obtendo-se

n0(410K)=2,1x1021m-3; p0(410K)=6,3x1020m-3. Por sua vez as mobilidades a T e a T’ estão

relacionadas através de μ(Τ’)=μ(T)(T/T’) pelo que μn(410K)= 0,293 m2V-1s-1 e

μp(410K)=0,146 m2V-1s-1. Tira-se então (410 ) 113 /K S mσ . Verifica-se que

( ) ( )410 300K Kσ > σ ou seja, o aumento da densidade de portadores domina

relativamente à diminuição das mobilidades. O aumento de temperatura foi

suficientemente elevado para que o semicondutor deixasse de se comportar como

fortemente extrínseco tipo-n e se encontre no limiar da região intrínseca de

funcionamento. Desprezando as variações das dimensões com a temperatura obtém-se

R(410K)= 88,5 Ω.

Se o semicondutor não for homogéneo a condutividade será diferente em várias

regiões do semicondutor e a expressão (1.116) já não é válida. É esse o caso das resistências

de circuito integrado que possuem uma condutividade à superfície superior à condutividade

nas camadas mais profundas. Na Fig. 1.34 mostra-se, de forma esquemática , uma resistência

SEMICONDUTORES 1.57

de circuito integrado constituida por uma camada de semicondutor extrínseco, de tipo

diferente da que constitui o substrato. Nesta resistência a concentração de dopante é máxima à

superfície e decresce até a uma distância b, junto ao substrato.

p+ p+p

w

b

L

n

y

x

0

Contacto metálico

Isolante

z

Fig. 1.34 - Resistência de circuito integrado.

Neste caso a resistência deve ser calculada de acordo com a relação:

( )

1b

o

LRW

x dx=

σ∫ (1.117)

em que L é o comprimento, W a largura e b a profundidade da resistência. Conhecida a

evolução da densidade de impurezas e da mobilidade com x é possível calcular o integral e de

seguida obter o valor da resistência. O cálculo do integral pode ser contudo difícil a não ser

que se façam algumas simplificações. No caso de uma distribuição da densidade de impurezas

N(x) do tipo gaussiano e com a densidade de portadores maioritários igual a N(x), com uma

mobilidade constante μ , ter-se-à:

( ) '

0

b

x dx qNσ = μ∫ (1.118)

em 'N é a densidade de dopante por unidade de área. É importante realçar que o valor do

integral pode ser obtido através da medida duma resistência de semicondutor que possui uma

superfície quadrada (L=W). A relação (1.117) pode então escrever-se como

LR RW

= (1.119)

em que R é a resistência da camada e L/W representa o número de quadrados que descrevem

as dimensões superficiais da resistência. R tem as dimensões de Ω mas é especificado, por

convenção, em /Ω . A título de exemplo, uma resistência de circuito integrado com L= 30

μm e largura W= 3 μm para a qual R = 300 /Ω possui um valor de 3 kΩ. A resistência da

camada ainda pode ser escrita na forma

SEMICONDUTORES 1.58

1Rb

=σ

(1.120)

em que σ é a condutividade média da resistência calculada a partir de

( )0

1 b

x dxb

σ = σ∫ (1.121)

No exemplo anterior se se admitir que b= 5 μm então a condutividade média da resistência

vale 667 S/m.

A condutividade depende da temperatura através da mobilidade e da densidade de

portadores. Na Fig.1.35 mostra-se, para um semicondutor extrínseco, a variação da

condutividade com a temperatura. É possível distinguir três zonas: ionização, saturação e

intrínseca, correspondentes às zonas definidas para as curva da Fig. 1.16, relativa à variação

da densidade de portadores com a temperatura. É de realçar que só na zona de saturação há

uma diminuição da condutividade com o aumento da temperatura, em virtude de a densidade

de portadores se manter aproximadamente constante neste intervalo de temperaturas mas a

mobilidade descer.

intrínseca

saturação ionização

log σ

Semicondutor tipo-n ou tipo-p

1/T 1/Ti

Fig. 1.35 – Variação da condutividade com a temperatura num semicondutor extrínseco.

Das considerações anteriores é importante notar que a condutividade, isto é, a

resistência dum semicondutor varia com a temperatura. Nos circuitos que envolvem

resistências de semicondutor poderá ser necessário ter em linha de conta este efeito para

garantir o seu funcionamento correcto.

A sensibilidade à temperatura das resistências de semicondutor pode no entanto ser

utilizada na implementação de sensores de temperatura. As resistências mais sensíveis à

temperatura são de semicondutor intrínseco e designam-se por termistores de coeficiente de

SEMICONDUTORES 1.59

temperatura negativo (NTC- Negative Temperature Coefficient) em virtude da resistência

diminuir com o aumento de temperatura. Termistores cuja resistência aumenta com o aumento

de temperatura designam-se por PTC - Positive Temperature Coefficient.

Os termistores NTC, independentemente de serem de material semicondutor ou não,

possuem uma lei de variação da resistência com a temperatura que é dada por

BTR Ae= (1.122)

em que A é uma constante de proporcionalidade com dimensões de Ω e B é uma constante

positiva que toma valores típicos da ordem de milhares de graus Kelvin. Na expressão (1.122)

T é a temperatura em K. De acordo com a expressão (1.122) a resistência dum termistor varia

de forma exponencial com a temperatura, Fig.1.36.

R

TO

log R

1/T (a) (b)

Fig. 1.36 – Variação da resistência com a temperatura num termistor: (a) escala linear em função de T; (b) escala logaritmica em função de 1/T.

Para um semicondutor intrínseco a resistência é dada por 1 LRSi

=σ

em que σi é a

condutividade intrínseca dada por (1.113). Atendendo a que as mobilidades variam com 3/ 2T −

num semicondutor intrínseco, que a densidade intrínseca varia com a temperatura através da

expressão (1.13) e desprezando a variação das dimensões com a temperatura ter-se-à

(2 )GW kTei−σ ∝ (1.123)

e portanto

(2 )GW kTR e∝ (1.124)

SEMICONDUTORES 1.60

Comparando (1.124) com (1.122) retira-se a constante A, que depende do material e das

dimensões, e a constante B que é expressa por

2

GWBk

= (1.125)

A maioria dos termistores comerciais do tipo NTC são de material cerâmico e não de material

semicondutor por razões de natureza económica.

1.9. Efeito de Hall

O efeito de Hall resulta da acção conjunta dum campo eléctrico e magnético no

movimento dos portadores de carga num semicondutor. O efeito de Hall manifesta-se

sobretudo nos semicondutores extrínsecos fracamente dopados embora, de forma menos

evidente, também esteja presente nos semicondutores intrínsecos e metais.

Para os semicondutores extrínsecos o efeito de Hall pode ser analisado de forma

relativamente simples pois é suficiente considerar um único tipo de portadores, os

maioritários. A título de exemplo vai-se analisar o efeito de Hall num semicondutor

extrínseco tipo-n de forma paralelepipédica, no qual se estabeleceram quatro contactos em

duas direcções perpendiculares, Fig. 1.37. Entre os contactos A e B faz-se passar uma corrente

eléctrica constante de intensidade I. Sem campo de indução magnética B , a tensão HU entre

os terminais C e D é igual a zero. Quando se aplica um campo estático B , não

necessariamente uniforme, aparece entre C e D uma tensão HU diferente de zero e negativa,

se for aplicado como se mostra na Fig. 1.37. O efeito de Hall consiste no aparecimento da

tensão HU , designada por tensão de Hall.

A existência de corrente eléctrica permite associar a cada tipo de portadores de carga

uma velocidade média não nula. Nestas condições a acção dum campo B dá origem a uma

força de natureza magnética, a força de Lorentz que, para os electrões, é dada por:

,F q v BB n⎡ ⎤= − ⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.126)

e para os buracos

,pF q v BB⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (1.127)

SEMICONDUTORES 1.61

Fig. 1.37 - Configuração utilizada para o estudo do efeito de Hall

O vector força magnética tem o sentido e direcção definidos pelo produto externo e pelo sinal

da carga e um módulo dado por

( )F q v B senB = α (1.128)

em que α é o ângulo que o vector velocidade faz com o vector B , Fig.1.38. Se os vectores

forem perpendiculares α=90º e portanto F q v BB = .

nvBF

Bα

pv

BF

Bα

(a) (b)

buracoselectrões

Fig. 1.38 – Vector força magnética para: (a) electrões e (b) buracos.

Consideremos então um semicondutor tipo-n e desprezemos a contribuição para a

corrente dos portadores minoritários, os buracos, Fig.1.39(a). De acordo com a relação

(1.126) e atendendo aos sentidos para nv e B , a força de natureza magnética BF está

I A

DC

B I

y

z

x

z

y

x

tipo-n

B

UH

SEMICONDUTORES 1.62

dirigida segundo – y e vale nF q v BB = . A força dá origem a acumulação de carga

negativa nas regiões do semicondutor junto ao contacto C, estabelecendo-se por isso uma

diferença de potencial entre C e D, com o campo eléctrico dirigido de D para C. Deste modo a

tensão de Hall é negativa de acordo com o sentido convencionado na Fig. 1.39. Devido ao

aparecimento de uma componente do campo segundo y, o campo total no semicondutor não

será dirigido só segundo x. Ao ângulo formado entre o vector campo eléctrico e a sua

componente segundo x, designa-se por ângulo de Hall, Hθ , que será tanto maior quanto maior

for o efeito de Hall. É de realçar que se o semicondutor fosse do tipo p e mantendo as

restantes condições, i.e., sentidos de I, B , HU como na Fig. 1.39(b), então 0HU > . Este facto

resulta de que BF tem o mesmo sentido que na situação em que o semicondutor é do tipo-n

pois há duas trocas de sinal: carga e velocidade. Assim, a acumulação de carga positiva é no

semicondutor junto a C. Deste modo, o efeito de Hall pode ser usado na determinação do tipo

de portadores maioritários de um semicondutor.

− − − − − −

− − − − − −

+ + + + + +

+ + + + + +

n B

FB FE

I A

I B

nv C D

0HU <

z y

x − − − − − −

− − − − − −

+ + + + + +

+ + + + + +

p B

FB FE

I A

I B

pv

C D

0HU >

yE E

(a) (b)

yE

xE E Hθ

Fig. 1. 39 – Efeito de Hall num semiconductor tipo-n (a) e num semiconductor tipo-p (b).

Nas condições da Fig. 1.39(a), e na situação estacionária, a força de natureza

magnética BF é equilibrada pela força de natureza eléctrica EF associada ao campo yE .

SEMICONDUTORES 1.63

A força de natureza eléctrica EF é dada por: F qEE y= − (1.129)

em que: E E uy y y= (1.130)

Da igualdade: 0F FE B+ = (1.131)

tira-se que: x yv B E= (1.132)

É de notar que:

v v ux xB Buz

=⎧⎪⎨

=⎪⎩ (1.133)

Como: I qnvx y z= − (1.134)

então:

1 IBEy qn y z

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.135)

e portanto:

1 IBU EH y y qn z

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.136)

que se pode escrever como

HIBU RHz

= (1.137)

em que

1RH qn= − (1.138)

se designa por constante de Hall.

Para semicondutores fortemente dopados, ou metais, RH é muito pequeno e portanto as

tensões de Hall são bastante baixas, e o efeito de Hall é dificilmente detectável. No sentido de

aumentar HU pode-se diminuir a espessura da amostra z . A importância do efeito de Hall é

enorme pois para além de permitir identificar o tipo de semicondutor extrínseco em análise,

SEMICONDUTORES 1.64

permite obter a densidade de portadores maioritários, conhecidos z , I, B e HU , e pode ainda

ser utilizado na medida do campo B. As sondas de Hall são sensores de medida de B que se

baseiam no efeito de Hall.

Para semicondutores extrínsecos tipo-p, a expressão para tensão de Hall é idêntica a (1.137),

mas com a constante de Hall positiva, dada por:

1RH qp= (1.139)

No caso em que ambos os portadores, electrões e buracos, contribuem para a corrente

eléctrica, a constante de Hall é dada por:

( )

2 2

2p n

n p

p nRH q n p

μ − μ=

μ + μ (1.140)

Esta relação é geral e permite obter as relações (1.138) e (1.139) no caso particular dos

semicondutores serem extrínsecos tipo-n e tipo-p, respectivamente.

Exemplo 1.10 – Considere-se uma sonda de Hall de Si tipo-n, com a configuração da Fig.

1.37, que vai ser utlizada na determinação dum campo B desconhecido existente numa

dada região do espaço. Admita que se mantém o sentido da corrente e o convencionado

para a tensão de Hall, UH, indicados na referida figura.

Ao estabelecer-se uma corrente I= 1mA obteve-se uma tensão de Hall UH= 0,5 V.

Sabendo que a densidade de electrões no semicondutor, a 300 K, é de 1017m-3 e que z =

1mm, determinar o valor do campo B e indicar o seu sentido. Solução: A partir da relação (1.136) obtém-se B= -8 mT. O sinal negativo significa que o sentido de

B é o oposto ao indicado na Fig. 1.36.

1.10. Difusão

A difusão é um processo de transporte de partículas que resulta do seu movimento

aleatório nas três direcções do espaço, a uma dada temperatura. Este processo é bem

conhecido para as moléculas dum gás e caracteriza o movimento de partículas de regiões de

maior densidade para regiões de menor densidade. Com efeito, havendo igual probabilidade

de as partículas se movimentarem numa dada direcção, deverá existir uma corrente efectiva

SEMICONDUTORES 1.65

de partículas no sentido das densidades mais baixas. A difusão também tem lugar em líquidos

e sólidos e pode envolver, para além das moléculas dum gás, electrões, buracos e átomos de

impurezas.

Os electrões e buracos regem-se pela estatística de Maxwell-Boltzmann, no caso dos

semicondutores não-degenerados, e portanto podem ser olhados como um gás rarefeito de

partículas carregadas. Num semicondutor as condições necessárias e suficientes para haver

difusão dos portadores, temperatura e gradiante de densidades, encontram-se: num

semicondutor não homogéneo, quando a iluminação não é uniforme, quando há temperaturas

diferentes em regiões diferentes do semicondutor, etc. É importante realçar que a difusão dos

electrões e buracos, envolvendo partículas carregadas, dá origem a corrente eléctrica o que

não acontece com a difusão de partículas não-carregadas.

A visualização do processo de difusão pode ser feita recorrendo a um modelo

unidimensional simplificado, Fig. 1.40. Considere-se então que na coordenada xA há 8

partículas e em xB há 4 partículas, todas elas com movimento perfeitamente aleatório. Deste

modo, das 8 partículas em xA 4 devem dirigir-se para a direita e 4 para a esquerda. Pela

mesma razão das 4 partículas em xB 2 devem deslocar-se para a direita e 2 para a esquerda.

Numa coordenada intermédia existe pois um movimento efectivo de duas partículas para a

direita. No espaço tridimensional a difusão está associada a um movimento equiprovável da

partícula em qualquer direcção e sentido que, associado ao gradiante de densidades, garante

um fluxo de partículas da região de maior densidade para a de menor densidade.

xA xBx

Fig. 1.40 – Modelo unidimensional que exemplifica o processo de difusão.

Admite-se que a densidade de corrente de partículas por difusão 2 1C m sdif− −⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦ é

proporcional ao gradiante de densidade sendo a constante de proporcionalidade o coeficiente

de difusão 2 1D m s−⎡ ⎤⎣ ⎦ . Atendendo a que o gradiante de densidade é um vector dirigido no

sentido das densidades crescentes, deverá escrever-se para os electrões

SEMICONDUTORES 1.66

difn nC D grad n= − (1.141)

e para os buracos

difp pC D grad p= − (1.142)

As respectivas densidades de corrente são:

ndif ndif nJ qC q D grad n= − = (1.143)

pdif pdif pJ qC q D grad p= = − (1.144)

Para os semicondutores não-degenerados os coeficientes de difusão e as mobilidades

estão ligados através das relações de Einstein:

D uT= μ (1.145)

em que

TkTuq

= (1.146)

se designa por tensão característica da tempertura T. A T=300 K 0,026u VT .

Assim, para os electrões e buracos, pode escrever-se

n T n

p T p

D uD u

= μ= μ

(1.147)

Para cada tipo de portador, a densidade de corrente, em geral, deverá pois conter dois

termos: o de condução e o de difusão. A densidade de corrente total é então expressa como:

n pJ J J= + (1.148)

em que

n ncond ndif

p pcond pdif

J J J

J J J

= +

= + (1.149)

1.11. Equação da Continuidade

A equação da continuidade é uma equação diferencial que estabelece a lei de variação

no espaço e no tempo da densidade de electrões e dos buracos, sendo particularmente

importante na análise de algumas situações associadas a perturbações do equilíbrio

termodinâmico. Esta equação obtém-se por via fenomenológica, como se descreve a seguir.

SEMICONDUTORES 1.67

Num elemento de volume δV de semicondutor, que envolve o ponto P, a densidade de

portadores pode variar no tempo devido a dois factores: (a) um desequilíbrio entre o ritmo de

geração G e o ritmo de recombinação R, (b) um processo de transporte, condução e/ou

difusão, responsável pelo movimento de portadores de ou para o elemento de volume, Fig.

1.41.

C

n

δS

δV

P *

Fig. 1.41 – Elemento de volume utilizado na formulação da equação da continuidade. δS representa a superfície que envolve o elemento de volume δV, sendo n a sua normal exterior. C é a densidade de

corrente de partículas, dirigida segundo n .

O desequilíbrio entre G e R é contabilizado em termos de [G-R]δV. Designando por C a

densidade de corrente de partículas para o exterior, segundo a normal n , o número de

partículas que entra em δV na unidade de tempo, é o fluxo de C estendido a δS, a área que

envolve o volume considerado, e dado por

( ),C n dS divCdVS V

− = −∫ ∫δ δ

(1.150)

pelo teorema do fluxo de divergência. Com δV suficientemente pequeno e admitindo que não

há variações bruscas das densidades

V

divC dV divC Vδ

+ δ∫ (1.151)

Assim pode-se escrever-se, para os electrões:

( ) nnn V G R V divC Vt

∂⎛ ⎞δ = − δ − δ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (1.152)

pelo que, para cada ponto do semicondutor

[ ] nnn G R divCt

∂= − −

∂ (1.153)

De igual modo para os buracos

SEMICONDUTORES 1.68

[ ] ppp G R divCt

∂= − −

∂ (1.154)

Atendendo a que a corrente pode ser de condução ou difusão, ter-se-á em geral:

dif condC C C= + (1.155)

com

ndif n ncond n

pdif p pcond p

C D grad n C n E

C D grad p C p E

= − = − μ

= − = μ

(1.156)

Assim a equação da continuidade para os electrões e buracos poderá ser escrita como

[ ] ( )

[ ] ( )

n nn

p pp

n G R D lap n div n Et

p G R D lap p div p Et

∂= − + + μ

∂

∂= − + − μ

∂

(1.157)

Do lado direito da igualdade o primeiro termo está associado a um efeito local e os dois

termos restantes ao efeito de transporte de portadores duma região para a outra do

semicondutor. O segundo termo tem em linha de conta a difusão e o terceiro termo a

condução.

1.11.1. Exemplos de aplicação da equação da continuidade a várias

situações importantes

Caso 1: Semicondutor homogéneo tipo-p, iluminado uniformemente. Analisar a

evolução da densidade de electrões a partir do instante 0t = , em que se corta a

iluminação. Considera-se injecção fraca.

Se o semicondutor é homogéneo e está iluminado uniformemente

0divC = , (1.158)

pelo que, para os electrões, a equação da continuidade será escrita como

dn G Rdt

= − (1.159)

SEMICONDUTORES 1.69

Neste caso 0 0G G rn pter= = pois procuram-se as soluções para 0t ≥ , quando não há

iluminação. Como

R r n p= (1.160)

ter-se-à:

( )0 0dn r n p npdt

= − (1.161)

Atendendo a que

0

0

''

n n np p p

= +

= + (1.162)

virá:

0 0 0 0' ' ' 'np n p n p n p n p= + + + (1.163)

Admitindo a situação de injecção fraca, isto é, só os minoritários são perturbados,

0'p p<< , pode escrever-se

0 0 0'np n p n p+ (1.164)

porque 0 'n p é desprezável face a 0'n p , em virtude de 0 0p n>> , e ' 'n p é desprezável face

a 0'n p pois 0'p p<< .

Deste modo

0' 'dn dn r p n

dt dt= = − (1.165)

Fazendo a substituição 01 ( )n rpτ = , virá então

' '

n

dn ndt

= −τ

(1.166)

cuja solução é

'( ) ntn t Ae− τ= (1.167)

em que A é uma constante de integração que vale '(0)A n= . A nτ costuma chamar-se tempo

de vida médio dos electrões e pode ser interpretado como o tempo que o excesso de electrões

leva em média até desaparecer por recombinação. Atendendo a que só os minoritários são

perturbados só faz sentido definir o tempo de vida médio para este tipo de portadores. Para

SEMICONDUTORES 1.70

nt = τ o excesso de electrões atinge o valor de 1/e do valor em 0t = . Usualmente considera-

se que os excessos estão praticamente recombinados para 4 nt ≥ τ , a que corresponde a ter

uma densidade de excessos 4' '(0) 1,8% '(0)n e n n−≤ = . Os valores do tempo de vida médio

dos portadores minoritários apresentam grandes variações pois dependem da densidade e tipo

de centros de recombinação no semicondutor. No Sílicio os tempos de vida médio podem

variar de dezenas de μs a alguns ns.

Na Fig. 1.42 está representado o andamento de '( )n t para dois valores do tempo de

vida dos electrões. No gráfico o tempo de vida é dado pela distância à origem do ponto de

intersecção, com o eixo das abcissas, da tangente à curva na origem.

O valor de '(0)n pode também ser obtido por aplicação da equação de continuidade

para os electrões. Se em 0t −= tivermos atingido a situação estacionária com iluminação e que

o ritmo de geração por efeito fotoeléctrico é dado por feG poder-se-à escrever

0 G R= − (1.168)

em que fe ter

il il

G G G

R r n p

= +

= (1.169)

sendo eil iln p as densidades de electrões e buracos respectivamente sob iluminação

uniforme.

Nas condições de injecção fraca ter-se-á então

'(0)0 '(0)fe fe nn

nG n G= − ⇒ = ττ

(1.170)

n’

n’(0)

t 0 τn1 τn2

Fig. 1.42 – Evolução de n’(t) a partir do instante em que se corta a iluminação

para dois valores do tempo de vida dos electrões τn2>τn1.

SEMICONDUTORES 1.71

Caso 2: Semicondutor homogéneo tipo-p, iluminado uniformemente. Analisar a

evolução da densidade de electrões a partir do instante 0t = , em que se

estabelece a iluminação. Considera-se injecção fraca.

Para os electrões a equação da continuidade escreve-se como

dn G Rdt

= − (1.171)

Neste caso fe terG G G= + (1.172)

No seguimento do estudo feito para o Caso 1 pode escrever-se,

0

' ' 1fe n

n

dn n Gdt rp

= − + τ =τ

(1.173)

cuja solução é dada por /'( ) nt

fe nn t Ae G− τ= + τ (1.174)

em que o primeiro termo da expressão corresponde à solução da equação diferencial

homogénea e o segundo termo à solução particular da equação diferencial.

A constante de integração A é obtida pela condição de fronteira

0 ' 0 fe nt n A G= = ⇒ = − τ (1.175)

pelo que

( )ntfe nn '(t) G 1 e− τ= τ − (1.176)

Na Fig. 1.43 está representada a evolução de n '(t) nestas condições.

n’

Gfeτn τn

t 0

Fig. 1.43 – Evolução de n’(t) supondo que no instante t=0 se estabelece a iluminação.

SEMICONDUTORES 1.72

Neste caso, também se convenciona que a situação estacionária está praticamente

alcançada quando 4 nt ≥ τ . Nestas condições, a diferença entre o valor de '( )n t e o valor final

é menor que ( ) 4fe nG eτ ou seja um erro inferior a 1,8%. É de realçar que neste contexto nτ

representa o tempo que em média o excesso de electrões leva a atingir o valor final.

Na Fig. 1.44 mostra-se a evolução dos excessos numa situação em que se combinam os

resultados obtidos nos casos anteriores e se admite que, durante a iluminação, foi atingida a

situação estacionária.

n’

Gfeτn τn

t 0 τn

Gfe

t

Fig. 1.44 – Evolução de n’(t) quando se combinam as soluções obtidas na Fig. 1.41 e 1.42.

Caso 3: Difusão com recombinação na situação estacionária. Despreza-se o efeito do

campo eléctrico.

A título de exemplo considere-se um semicondutor tipo-p em regime estacionário

sujeito a uma perturbação que só afecta os portadores minoritários, neste caso os electrões

(injecção fraca). Admita-se que na região em análise não há iluminação, isto é, G Gter= .

Estas condições têm lugar numa situação muito importante e que envolve os díodos de

junção quando sujeitos a uma tensão constante entre os seus terminais, como se irá estudar em

pormenor no próximo capítulo. Pode-se contudo adiantar que a relação corrente-tensão para o

díodo assenta nas soluções da equação da continuidade para os portadores minoritários do

lado p e n nas condições referidas.

Uma outra situação que corresponde às condições indicadas está representada na Fig.

1.45. A iluminação é constante e absorvida numa fatia estreita junto à superfície do

SEMICONDUTORES 1.73

semicondutor. O caso em análise permite obter, fora da zona iluminada e na situação de

injecção fraca, a evolução no espaço dos portadores minoritários.

Na situação correspondente à Fig. 1.45 embora não haja campo eléctrico aplicado

exteriormente existe campo eléctrico local que está associado à diferença de mobilidades dos

electrões e buracos. É fácil de ver que havendo excesso de electrões e buracos na fatia

iluminada eles tendem a fluir por difusão para a fatia não iluminada. Como os electrões têm

mobilidade superior à dos buracos os electrões vão à frente e portanto estabelece-se um

campo eléctrico local dirigido do lado não iluminado para o lado iluminado. O efeito deste

campo é mais importante para os maioritários e portanto vai-se desprezar a sua contribuição

para os minoritários o que facilita a resolução da equação da continuidade correspondente.

x O

Gfe

Semicondutor extrínseco

b

Fig. 1.45 – Uma configuração possível para o estudo da difusão com recombinação dos minoritários.

Para os electrões a equação da continuidade deverá ser escrita como

[ ]0 nnG R D lap n= − + (1.177)

Se se assumir um modelo unidimensional e injecção fraca ter-se-à

2

2'0 n

n

n d nDdx

= − +τ

(1.178)

Notando que 2 2

2 2'd n d n

dx dx= pois 0 'n n n= + a equação diferencial toma a forma

2

2 2' ' 0

n

d n ndx L

− = (1.179)

em que n n nL D= τ [m] é designado por comprimento de difusão.

SEMICONDUTORES 1.74

A solução geral para a equação anterior é do tipo

'( ) n nx L x Ln x A e B e−= + (1.180)

em que A, B são constantes de integração que dependem das condições de fronteira.

Analisaremos duas situações importantes (i) cristal semi-infinito; (ii) cristal finito.

(i) Cristal semi-infinito

10 '' 0

x n nx n

′= =→ ∞ =

Estas condições de fronteira indicam que a perturbação estabelece um excesso 1n′ em

0x = mas longe, quando x → ∞ , a perturbação deixa de se fazer sentir, ou seja

0' 0n n n= ⇔ = o valor de equilíbrio termodinâmico. Esta última condição impõe

0B = e por isso 1A n′= .

Assim a solução para este tipo de perturbação é dada por

1'( ) nx Ln x n e−′= (1.181)

e está representada na Fig. 1.46 onde se dá a interpretação gráfica de nL .

n’

n1’

Ln x 0

Fig. 1.46 – Evolução de n’(x) para um cristal semi-infinito.

No contexto deste resultado nL representa a distância que em média os minoritários

percorrem por difusão até se recombinarem. Também neste caso se poderá dizer que a maioria

dos excessos se recombinam desde que estejamos a uma distância da origem maior ou igual a

4 nL . Para nx L= a densidade de excessos é 1n e′ . A solução obtida para um cristal semi-

infinito será válida para os cristais cuja dimensão segundo x é muito maior que Ln.

É de realçar a semelhança dos gráficos relativos a esta situação e à correspondente ao

SEMICONDUTORES 1.75

Caso1. Contudo é bom realçar que no Caso 1 a densidade de excessos varia no tempo e não

no espaço e neste caso ela varia no espaço mas é invariante no tempo.

(ii) Cristal finito

Neste caso as condições de fronteira são:

1

2

0 ''

x n nx b n n

′= =′= =

isto é, a perturbação faz-se sentir em ambos os extremos da fronteira. Os valores de A e

B obtêm-se a partir do sistema de equações

'1

/ /'2

n A B

b L b Ln nn Ae Be

⎧ = +⎪⎨ −⎪ = +⎩

(1.182)

Após alguma manipulação matemática ter-se-à

( ) 1 2

1'( )n n n

b x xn x n sh n shsh b L L L

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−′ ′= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(1.183)

em que sh traduz a função seno-hiperbólico. A relação (1.183) está representada na

Fig.. 1.47 pela linha contínua. Para cristais curtos, nb L<< ,

( )1 21

n nn '(x) n x

b′ ′−

′ − (1.184)

e encontra-se representada na Fig.1.47 pela recta a tracejado.

n’

n1’

n2’

x 0 b

Fig. 1.47 – Evolução de n’(x) para um cristal finito (linha contínua)

e um cristal curto, nb L<< (linha a tracejado).

SEMICONDUTORES 1.76

Exemplo 1.11 – Suponha que nas condições da Fig. 1.45, em que o semicondutor é Si

tipo-n, com Nd = 1019m-3, existe em x=0 uma densidade de excessos de buracos Δp=

1014m-3. Pretende-se calcular a distância a partir da qual a densidade de buracos difere de

menos de 1% do valor de equilíbrio termodinâmico. Calcular também a densidade de

corrente de difusão em x=0 e x= Lp. Para o Si, a 300K, admite-se que τp= 10 μs, μp= 0,045

m2V-1s-1, ni = 1016m-3 e que o cristal possui um comprimento b= 1mm. Solução: A situação em estudo corresponde ao caso 3, analisado nos parágrafos anteriores. Antes

de mais vamos verificar se o cristal é ou não semi-infinito, para podermos escolher a

solução correcta para a evolução dos excessos com a distância x. Nesse sentido vai-se

calcular o valor de Lp. e vamos comparar o resultado com a distância b. Atendendo a que

p T pD u= μ e p p pL D= τ obtém-se Lp= 0,108 mm que é muito menor que b= 1 mm.

Verifica-se portanto a condição de cristal semi-infinito e a solução pretendida é dada por

(1.181). Pretende-se determinar a coordenada x1 tal que p(x1)-p0< 1% p0 ou seja p’(x1)<

1% p0. Atendendo a que /'( ) '(0) px Lp x p e−= ter-se-à 1 /0'(0) 0,01px Lp e p− < . Como n0= 1019m-

3 ter-se-à p0= 1013 m-3 e portanto x1>0,75 mm. A densidade de corrente de difusão é dada

por (1.144) e portanto /'(0)( ) px Lp

pdifp

qD pJ x e

L−= . Portanto Jpdif (0) 173 μA/m2 e

Jpdif (Lp) 63,6 μA/m2.