cap24 - campo magnetico

5/8/2018 cap24 - Campo Magnetico

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Capitulo 24

E I campo magnetico

No se sabe cuando fue apreciada por vez primera la existencia del magnetismo.Sin embargo, hace ya mas de 2000 anos que los griegos sabian que cierto mineralOlamado ahora magnet ita) tenia Ia propiedad de atraer piezas de hierro, y exis-ten referencias escritas del usa de imanes en la navegaci6n desde el siglo doce.En 1269, Pierre de Maricourt descubri6 que si una aguja 51 " deja librementeen distintas posiciones sabre un irnan natural esferico, 51 " orienta a. 10 [argo delineas que, rodeando 1" 1 iman, pasan por puntos situados en extremes opuestosde la esfera. Estes puntas fueron llamados polos del irnan. Posteriormente,muchos experimentadores observaron que todo iman, cualquiera que sea suforma. posse dos poles, un polo norte y un polo SUI', en donde la fuerza ejerci-da por 1"1iman tiene su maxima intensidad. Tambien se observe que los polosiguales de dos imanes 51 " repelerrerrtre 51 ylos palos distintos 51 " atraen mu-tuarnente.En 1600, William Gilbert descubri6 que la Tierraes un irnan natural can po-los magnetic as proxirnos a [as palos geograficos norte y sur. (Como el polo nortede la aguja de una brujula apunta al norte geografico, 10 que llamamos polomagnetico norte 1" 5 real mente un polo sur, como 51 " ilustra en la Figura 24-1.) Ha-cia 1750, John Michell hizo un estudio cu.antitativo de ia atracci6n y repulsionde los palos rnagnericos por media de una balanza de torsi6n. As] descubri6 que

Este rren experimental Maglev queutiliza la repulsion rnagnerica para lalevi!adon. gula y propulsion, alcanzavelocidades superiores a 300 kmlh.


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782 Capitulo 24 EI campo rnagnetico

Figura 24-1 Las lineas de campomagnetico de la Tierra lndicadas par1;rnaduras de hierro alrededor lie unaesfera irnanada de modo unilorme.Las lineas son alga sernejantes, perono exacrarnente las rnismas que lasde una barra magnelica,

la Iuerza ejercida par lin polo sabre otro varia en razon inversa can el cuadradode la distancia. Estos resultados fueron poco despues confirmados por Coulomb.

La ley de la fuerza existente entre dos palos magneticos es semejante a la queexiste entre dos cargas electricas, pero exisre una difereneia importante. los polesrnagneticos siempre se presentan par parejas. Si se rompe un iman par la rnitad,aparecen poles iguales y opuestos a cada lado del punto de rotura; es decir. apa-recen dos lrnanes, cada uno con un polo norte y un polo sur. A 10 largo del tiem-po se ha especulado rnucho sabre la posible existeneia de un polo magnetlco ais-lado, y mas recientemente se ha realizado un considerable esfuerzo experimentala fin de localtzar tal objelo. Hasta ahara no existe una evidencia eonclusiva sabrela existencia de un polo rnagnetico aislado.La conexionentre la electricidad y magnetismo no se conocio hasta el sigloXIX, wando Hans Christian Oersted descubrio que una corriente electrica influ-ye sobre la orientacion de la aguja de una br6jula. Experimentos subsiguientesrealizados par Andre Marie Ampere y otros, dernostraron que las corrienteselectricas atraen trocitos 0 limaduras de hierro y que corrientes paralelas seatraen entre si. Ampere propuso un rnodelo teorico del rnagnetrsmo que todaviasirve de base a la teoria rnoderna del magnetisrnc: la fuente fundamental delmagnetismo no es un polo magnetico, sino una corriente electrica. Propuso queel magnetismo de un iman permanents es debido al alineamiento de espiras mole-culares de eorriente dentro del material. Aetualmente se sabe que estas espirasde co rrien te resu ILan parcia Lmen te del movimienlo de los electrones den tro del


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Secci6n 24-1 Fuerza ejercida par I.In campo magnet ito 7BJ

Experlrnentalmente se demuesrra que cuando una carga q posee la velocidadv dentro de un campo magnerico, aparece una fuerza que depende de q y de lamagnitud y direcci6n de la velociclad. Supongamos que conocemosla direcci6ndel campo rnagnetico B en un punta de! espacio mediante [a rnedjda realizadacon una bruiula. Realizando experirnentos con distintas cargas que se mueven(on distintas veloeidades en tal punta, se obtienen los siguientes resultados parala fuerza magnet ica:1. La fuerza es propo rei ona l a la c a rg a q, La Iuerza que actua sabre una ca rg anegativa posee direcci6n opuesta a la de una carga positiva con igual velocldad,2. La fuerza es proporcional al m6dulo dela velocidad v.3. La fuerza es perpendicular a ambos,el campo magnetico y la velocidad.4. La fuerza es proporcional a sen f l , . en donde fl 1" 5 el angulo que Forman la velo-cidad v y 1"1ampo magnetico B. Si v es paralela 0antiparalela con B, la fuer-za es nula.

Estes resultados experimentales pueden resurnirse del modo siguiente. Cuan-do una carga q se mueve con velocidad v en un campo magnetico B, la fuerzamagnerica F que actua sobre la c


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784 Capitulo 2,4 1 campo IT".agoetico

Figura 24-4 Fuerza rnagnerica sobreun proton que se mueve hacia einorte en eI campo rnagnetico de laTierra, que forma un angulo haciaabajo de 70~ con la directionhorizontal norte (ejemplo 24-1).L a Iuerza estii dirigida hacia el oeste.

carga de un culornbio que se mueve con una velocidad de un metro por segundoperpendicular a u.n campo rnagnerlco de un resla, experimenta la ruerza de unnewton:1 T=1 N/C=l N/A-mmls 24-2

Esta unidad es bastante grande. EI campo magnetico terrestre es alga menor que10-.1 T. Los campos magneticos proxirnos a imanes perrnanenres pcderosossuelen ser de 0,1 a 0,5 T y los grandes electroimanes de laboratorio y de la indus-tria producen campos de 1 a 2 T. Campos magneticos superiores a 10 T son muydificiles de producir, pues las fuerzas rnagneticas resultantes rornperian los ima-nes en pedazos 0 los aplastarian ..Una unidad usada corrientemente, deducida delsistema egs es el gauss (G) relacionada con el tesla por:

J T=104 G 24-3Como normalmente se utiJizael gauss como unidad del campo rnagnetico. queno es una unidad del 51, no debe olvidarse la conversion de esta magnitud enteslas cuando se real izan los c a lculos,Ejemplo 24-1

EIcampo rnagnetico de la Tierra tiene un valor de 0,6 G y esta dirigido hariaabajo y hacia el norte, formando un angulo de 70 aproxirnadarnente con lahorizontal. (La magnitud y direccion del campo rnagnetico terresrre varia deunlugar a olro .. Los datos que aqui se dancorresponden aproximadamentea la parte central de los Estados Unidos.) Un proton de carga q=1,6X10-10 C se rnueve horizontalmente en direction norte can velocidad v=107m/s. Cakular la fuerza magnetics sobre el proton.

La figura 24-4 muestra las direcciones del campo magnetico By la veloci-dad del prot6n v. El angulo que forman ambas es ()=700 La fuerza magneti-ca es para lela a v X B, es decir haciael oeste para un proton que se mueveal norte. La magni!ud de la Iuerza rnagnetica es

F=quB se.n ()={1,6XIO-IO C)(10? mis)(0,6XIO- 4 T)(0,94) =9,02 X10-17 N

Norte

\

rr'b3

TierraFW - - - , 7 ' _ . . . . -+-;-,...----+-7-0

0-. -- E

5

N

Abaio

ResuJta instructivo desarrollar este ejernplo utihzando vectores unitarios.Elegimcs las direcciones x e y hacia el este y norte, respectivamente, y la di-reccion z hacia arriba, como indica la figura 24.-5. Por tanto, el vector veioci-


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Secci6n 24-1 Fuerza ejercida per un campo magnetico 785

dad esta en Ia direction y y el campo magnetico de la Tierra tiene los cornpo-nentes B~=O, Bv=B cos 70" =(0,6 X 10-< T)(O,342) =2,05 X 10-5 T, yB.=-B sen 70" "';"(-0,6 X10-~ T)(O,940) = -5,64 X10-5 T. EI vector cam-po rnagnetico viene asi dado parB=O i+2,05XIO-5 T j-S,64XIO-s T k

~up N, \ / " ' m " j-----,=""----~J,--, -- E+q~~(2.05 1 0 -0 ; T ) j - (5.64 x 1 0-0 ; T ) k

5

y la fuerza rnagnerica sobre el proton esF=qvXB=(1,6XIO-'9 C)(lO~m/s j)X (0 i+2,OSXlO-5 T i-5,64XIO-s T k)

Como jXI=O Y jXk=i, tenemosF=(1,6X 10-19 C)(lO~ m/s j) X (-5,64 X 10- 5 T k)=-9,02XIO-17 N i

EjercicioDeterminar la fuerza que actea sabre un proton que se mueve con velocidadv=4X!O" rn/s ien un campo magaetico 8=2,0 T k. (Respuesta: -I,28X10-12 N j)Cuando per un hila situado en el interior de un campo magnetico circula una

corriente, existe una fuerza que seejerce sobre el conductor que es simplementela surna de las fuerzas rnagneticas sabre las particulas cargadascuyo rnovirnientoproduce la corriente. La figura .24-6 rnuestra un segmento corte de hila de areade seecion recta A y longitud If por el cual circula la corriente I. Si el hilo estaen el interior de un campo magnetico B. la fuerza magnetica sobre cad a cargaes qvd.XB, siendo Vd. la velocidad de desplazamiento de los portadores de car-gao El numero de cargas en el interior del segmento de hila es el numero n delas que hay par unidad de volumen multiplicado por el volumen AG . ASI pues,la fuerza total F sobre el segmento de hila es

F=(qvcl X B)nAtSegUn la ecuaci6n 22-3 la corriente que circula par el hila es

l=nqv,l\.As! pues, [a fuerza puede escribirse en la forma

F-IlxB . 24-4en donde e es un vector cuyo modulo es [a longitud del hila y cuya direcciones paralela a qvd, que es la direccion de la corriente 1 . Para la corriente en la di-

Figura 24-5 Sistema de coordenadaspara expresa r la velocldad v, elcampo rnagnetico B y la fuerza F enfunci6n de los vectores unitarios i, iy k .

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786 Capitulo.24 Elcampo magnetico

Fuerza magnetic sabre unelemento de corriente

:Figura 24-7 Fuerza rnagnetica sobreun segmento de alarnbre portador decorriente ell un campo magnetico ,La corriente lleva la direccion x,E l campo rnagnetico esta en 1.'1planoxy y Forma un angulo () con el eje x,La, fuerza Festa dirigida en 1.'1sentidopositive de r , perpendicular aambos.B y If. Su magni!ud es /1 Bsen 0 ,

Figura 24-8 (a ) Linea, del campornagnetico dentro y fuera de unabarra rnagnetica. Las lineas ernergendel polo norte y entran en 1"1polosur, perc carecen de principio ydefin. En 5U lugar forman circultoscerrados, (b) Lineas de campomagnetico exteriores a una barraimanada, visualizadas porlimadurasde hierro.

reccion X positiva y 1 . ' 1 campo magnetico en el plano xy mostrado en la Figura2.4-7, la fuerza sabre el alambre esta dirigida a 10 largo deleje z positive. En laecuacion 24-4 se admire que 1.'1egmento de cablees recto y que el campo magne-tieo no varia en toda su longitud. Se generaliza facilmente el case de unconduc-tor de forma arbitraria en el interior de un campo rnagnetico cualquiera. Simple-mente hay que escoger un segmento de hilo suficientemente pequefio de yescrib ir Ia F uerza que actua sabre dicho segmento dF:

dF=I dtxB 24-5

x

en donde B es 1 2 1 vector induccion magnetica en el segmento. La magnitud I dese denomina elem en to d e co rrien te. Se hal la la fuerza total q ue actua sabre 1.'1conductor sumando (0 lntegrando) respecto a todos los elementos de corrientey utiIizando el campo apropiado B en cada uno de ellos.La ecuacion 24-5 es la misma que la ecuaclon 24-1 can el elemento de corrien-te I d( sustituyendo a qv y define el campo rnagnetico B en Funcion de l a Iu erz aexlendida sobre un elemento de corriente.Del mismo modo que el campo electrico E puede representarse mediante J i-neas de campo electrico, tambien 1.'1campo magnetlco B puede ser representadomediante lineas de campo magnetico. En ambos cases, la direccion deicampoviene indicada por la dir1.'ccion de las llneas de campo y la magnltud del campopor su densidad,

Existen, sin embargo, dos importantes diferencias entre lineas del campo elec-trice y lineas del campo magnetico. La primera esta relacionada con la direcciondela fuerza que el campo ejerce sobre una carga. La fuerza electrica que actuasobre una carga positiva posee Ja direccion del campo elect rico y por tanto, lacorrespondiente a las llneas de campo electrico, Sin embargo, la fuerza magneti-ca que acnia sobre una carga movil, es perpendicularal campo magnetico y portanto, las Ilneas de campo magnetico no poseen Ia direccion de la Fuerza magneri-ca sobre una carga rncvil.La segunda diferencia es que las lineas de campo electrico comlenzan en lascargas positivas y terminan en las cargas negatives. Sin embargo, como los polosmagneticos aislados aparenternente no existen, no hay puntos en 1 2 1 espacio endonde las lineas de campo magnetico corniencen 0 terminen. En sulugar, formanespiras cerradas, La Figura 24-8 muestra las lineas de campo magnerico. tantofuera como dentro de una barra imanada.

( 1 1 ) (II)


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Seccion 242 Movimiento de una caIga puntual en el interior de un campo rnagnetlco 787

Ejempio 24~2Un segmento de cable de 3 mm de longitud transporta una corriente de 3 A en ladirecci6n .r. Seencuentra en el interior de un campo magnetico de magnitud0,02 T en el plano xy Iormando un angulo de 30" con eleje xY,coma indicala figura 24-7. l.eual es Ja fuerza magnetica ejercida sabre el segmento de cable?

Como puede verse f,kilmente en la Figura. la fuerza magnerica posee ladirecci6n del eje z , Su magnitud viene dada par la ecuaci6n 24-4;

F=I( B=irBsen30ok=(3.0 AHO.003 m)(O,02 T)(sen 30u) k=9Xl0~5 N k

La fuerza total sabre un alambre portador de corriente se deterrnina surnandolas Iuerzas que actuan sabre cada uno de los segmentos,

CuestionesLUna carga q se mueve can velocidad v a traves de un campo rnagnetico B.En este instante experimenta la accion de una [uerza magnetica F, l.En quediferiria la Iuerza si 1a carga tuviese signa opuesto7 LSi la velocidad tuviese

sentido opuesto'i l.Si el campo rnagnetico tuviese sentido opuesto?2.. ,-Para que angulo entre 8 y v tiene la fuerza magnetica ejercida sabre q suvalor maximo'l, l.SUminimo valor?3. Una cargaelectrica movil puede experimental la accion de fuerzas tanto e[ec~tricas como magnericas, LeOma podria distinguirse si una fuerza que haceque una carga se desvie de la trayectoria recta es una hierzaelectrica 0 unafuerza magnetica?4 . LeO m O puede moverse una carga a traves de un campo magnetico sin experi-

rnentar nunca la accion de la fuerza magnetica'lS. Demostrar que la fuerza que actus sobre un elemento de corriente es Ia misrnaen direccion, sentido y modulo. independientemente de que sean cargas posi-tivas. cargas negativas 0 una mezcla de cargas positivas y negativas las quecrean la corriente.6. Un hila por el que circula una corriente pasa a traves de un campo magneti-co, pero el hila no experirnenra 1a accion de ninguna Iuerza rnagnetica.LC6moes esto posible]7. LEnque aspectos son semejantes los campos magneticos a los electricos? LEnque aspectos son diferentes7

24-2 Movimiento de una carga puntualen el interior de un campo magneticoUna caracteristica importante de la fuerza magnetica que actua sobre una particulamovil a traves de un campo magnetico es que la fuerza es siempre perpendicular aJa velocidad de la partlcu [a. La fuerza rnagnetica por consiguiente no realize traba josabre la particula y la energia cinetica de esta no se ve afectacla por esta fuerza.L a fuerza magnetka s610 modifica la direccion de la velocidad pero no su modulo.En el caso especial en que la ve!ocidad de una parricula sea perpendicular aun campo rnagnetico uniforme, como se veen la Figura 24-9, la particula se mue-ve describiendo una orbita circular. La fuerza magnetica proporciona la fuerzacentripeta necesaria para eJ rnovimlenro circular. Podernos relational el radio dela circunferencia rcon el campo magnenco 8 yla velocidad de Ia particuJa v ha-cienda que la fuerza resultante sea igual a 1 3 rnasa rn rnultiplicada por laacelera-

8 hacia deruro

+q v

Figura 24~9 Particula cargada que sernueve en un plano perpendicuiar aun campo magneticc uniforme queesta dirigido hacia el plano de papel(indicado por las cruces). La fuerzamagnetica es perpendicular a lavelocidad de la particula haciendoque 51 ! mueva en u na o rb ila circu la r.


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788 Capitulo 24 E I campo magnetico

(II) Trayectorla circular de loselectrones que se mueven en elinterior de un campo magneticoproducido par dos grandes bobinas,Los electrones ionizan el gascontenido en el tubo produciendo undestello azulado que indica 1 3trayectoria del haz. (b ) Forografla enfalso color que muestra lastrayeclorias de un proton deI. 6 MeV trele) y una particuJa (l' de7 MeV (amarillo) en una. camera deniebla. E I radio de curvatura esprop rei nal al mom nto lineal einversamente proporcional a la cargade 1 0 1 particula , Para estas energias,el momenlo lineal de Ia p a rt ic u la 0',que posee doble carga que el proton,es aproximadarnente cuatro veces eldel proton y su radio de curvaturegua fda esta pro po rei 6n.

(a)

Frecuencia del ciclotron

cion centripeta v2/r de acuerdo con la segunda ley de Newton. La fuerza netaen. este caso es qvBya que IIy B son perpendiculares. As! puss, segun la segundaley de Newton, resultaFs=ma

mv2qvB=--ro sea,

24-6vr=--qB

EIperiodo del movimiento circular es el tiernpo que la particula tarda en dar unavuelta completa alrededor deJ drculo. Segun la ecuaci6n 3-23, el periodo vienerelacionad con la velocidad parT= 27rr

u

(b)

Sustituyendo en r=mu/qB (ecuacion 24-6) se obtiene,

T 271'(mu/qB)u 24-7La frecuencia del movimiento circular es el valor redproco del periodo.

f=.l=3.!LT 2'lmJ 24-8

Observese que el periodo y la frecuencia dados por las ecuaciones 24-7 y 24-8no dependen del radio de la orbita ni de la velocidad de la particula. Se Hamanrespectivamente periodo del ciclotron y frecuencia del ciclotron. Entre las mu-chas aplicaciones interesantes del movimiento circular de particulas cargadasdentro de un campo magnetico uniforme mencionaremos des, la espectografiade masas y el ciclotron. que se estudiaran mas tarde en esta seccion.


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Seccicn 24-2 Movimiento de una carga puntual en e] lntericr de un campo rnagnetico 789

Ejemplo 24-3Un proton de masa m=l,67XIO-21 kg y carga q=e=1,6XIO-loC se rn ue-ve en un circulo de radio 21 ern, perpendicularrnente a un campo magnetico8=4000 G. Dererminar (a) el periodo del movimiento y (b) la velocidad delproton.

(a) Para determiner el periodo no es necesario conocer el radio del circu-10 . Expresando el campo magnetico en unidades 51 (4000 C=0,4 T) y utili-zando la ecuacion 24-7 eenemos

T=2lT111 =qB2lT(l,67XIO 27 kg)

(1,6 X 10-10 C)(0,4. T)=1,64 X 10-' s

(b ) La velocidad v del proton esta relacionada con el radio del circulo porla ecuacion 24-6:

v = ! : E . ! ! _ (0,21 m)(1,6 X10-IQ C)(0,4 T)1 1 1 1,67 X 10-27 m

=8,05 X 1 06 m/sPodemos comprobar nuesrros resultados sabiendo que el producto de la

velocidad u por el pericdo T es la circunferencia del circulo 2lTr. Entonces vTr (8,05XI06 m/s)(1,64XIO-7 s)2lT=0,21 m=21 em

En estes calculos, todas las magnitudes estan expresadas en unidades 51,de modo que los resultados son segundos para el periodo y metros por segun-do para la velocidad.Observese que segun la ecuaci6n 24-6 el radio del movimiento circulares proporcionala la velocidad. Sf dupJicamos la velocidad del proton eneste ejemplo, eJ radio se duplica. pero el periodo y la [recuencia no se mo-

dif icaa.

Supongamos que una particula cargada entra en un campo magnetico unifor-me con una velocidad que no es perpendicular a B. La velocidad de la particulapuede resolverse en dos componentes, v II paralela a B y v J. perpendicular a 8.El movimiento debido al components perpendicular es el mismo que hemos dis-cutido anteriorrnente. E1componente de Ia velocidad paraleloa B no se afectaper eI campo magnetico y por tanto, permanece constante. La trayectoria de laparticula es una helice, como muestra la Ifigura 24~10.

Figura 24,10 (al Cuando unaparticula cargada posee uncomponente de velocidad paralelo aun campo magnetico y otroperpendicular al misrno, se rnueve enuna trayectoria helicoidal alrededorde las llneas del. campo. (b)Potografia de la carnara de niebla dela trayectoria helicoidal de unelectronmoviendose en un campomagnetico. L a trayectoria de loselectrones se hace visible por lacondensacion de gontas de agua enla cllmara de nlebla,

B

-1

(a ) ( b )


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790 Capitulo 24 EI campo magnetico

Ia I La erupcier, solar que apa rece ala izquierda de esta fotografiatornada por el skylab-s est~. lcrmadapar pa rtlcu las cargadas confinadasenel campo rnagnetico del. Sol. (hi Losgranos de polvo interestelar.alineados por los campos rnagneticosde galaxies distantes, actuancomoHltros polarizantes. Este mapa delcampo rnagnetico de la galaxia NGe1316 obtenida con un radioteleseopiornuestra en raja los chorrosmagneticos en doble lobulo. El mapamagneticc esla superpuestoa unafotograHa de luz visible de lagalaxia,

EI movimiento de las particulas cargadas en campos magneticos no unifor-rnes es muy cornplicado. La figura 2411 rnuestra una hotella magnetica. una in-teresante configuraci6n de campos magneticos, en la cual el campo es debil enel centro y fuerte en ambos extremes. Un analisis detallado del movimiento deuna particula cargada en tal campo muestra que la particula recorrera una tra-yectoria en espiral alrededor de las lineas de campo y quedara atrapada oscilan-do atras y adelante entre los puntas P I y P2 de la Figura. Esras configuracicnesde campo magnetlco se utilizan para confinar haces demos de particulas carga-

( 1 1 )

( /7)


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Seccion 2,4.2. Movimienro de una carga punrual en el interior de un campo magnetico 791

Figura 24-11 Borella rnagnetica, Cuando una part kulacargadase rnueve en este campo. muy intense 'en ambosextremes y debil en el media, la particula queda atrapada yse mueve en espira I atras y adclante alrededor a las lineas decampo.

das, el plas,ma,en las investigaciones sobre fusi6n nuclear. Un fen6meno serne-[ante es la oscilaci6n de iones que tienen lugar entre los poles magneticos de laTierra en los llarnados cinturones de Van Allen (Figura 24-12).

Figura 24-12 Cmturones de' VanAllen. Los protones (cinturonesintern os) y los elecrrones (dnturonesexternos) estan atrapados enelcampo rnagnetico terrestre y sernueven en espiral a 10 largo de laslineas de campo que existen entre lospoles norte y sur.

Selector de velocidadesLa fuerza magnetica sobre una parrlcula cargada que se rnueve en el interior deun campo magnetico uniforrne puede equilibrarse por una fuerza electrostiiticasi se escogen adecuadamente los valores y direcciones de los campos magneticoy electrico. Puesto que la fuerza electrica bene la direcci6n del campo electrico(en 1 "1caso de p artic ula s p os iti ves ) y la f ue rz a ma gn er ic a es perpendicular al cam-po magnetico, los camposelectrico y magnetico deben sec perpendiculares entreSI, para que se contrarresren estas fuerzas. La figure 24-13 muestra una regiondel espacio entre las placas de un condensador en el cual existe un campo electri-co y un campo rnagnetico perpendicular (que puede producirse por un irnan noindicado). Una disposicion de campos perpendiculares como e51a se denominacampos cruzados. Consideremos una particula de carga q queentraen esteespa-cio procedente de la izquierda. 5i q es positive, la fuerza electrtca de magnitudqE esta dirigida hacia abajo y la Iuerza magnetica de magnitud quB estii dirlgidahaciaarriba. 5i la carga es negativa, estaran invertidas ambas Fuerzas. Las dosfuerzas se equilibraran si qE=qvB , 0 sea,

24-9u=~ B

r' L 1+++++++ + - 1 " .1+ :+ : . . : ! : JE, .-1\Figura 24-13 Campos electrico y magnetico cruzados. Cuando

una pa.rticuia. positivi! se rnueve hacia Ia derecha experimentauna fuerza el~ctrica dirigida hacia abajo qE )I otra fuerzamagnetica dirigida hacia arriba quB. Estas fuerzas seequilibran 5i la velocidad de la particuia esta relacionada conlas magnitudes de ambos campos por la expresion v=1 B.

B hacia den! ro


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+

Figura 2414 (II) Diagramsesquematico del tubo de rayoscatodicos de Thomson urillzado pararu ed ir 1 '1 ceciente qI 1 71 para laspartlculas que forman los rayoscatodicos (electrones). Los electronesprocedenres del catcdo C pasan a'lraves de las rendijas en A y B einciden sobre una pantaliafosforescente S. EI haz puededesviarse mediante un campoelectri('o situado entre las placas D yF 0 mediante un campo rnagnetico(no indicado). (h I J . J . Thomson en sula boratorio,

Para determinadas magnitudes de los campos electrico y rnagnetico, las fuerzasse equillbraran s610 para particulas cuya velocidad sea la dada par la ecuacion249. Cualquier particula can esta velocidad. i.ndependientemente de su masa 0carga, atravesara el sspacio sin desviarse. Una partlcula de velocidad mayor sedesviara en 1'1se.ntido de la fuerza magnetica y otra de velocidad menor se des-viara en el sentido de la Iuerza electrlca. Un dispositive de campos de esta formase denornina par ella, selector de veloddades.EjercicioUn proton se mueve en la direcci6n x en una region de campos cruzados,endonde E=2XIOs N /C k Y B=-3000 G j, (a ) LCual es la velocidad del pro-t6n si no se desvia? (b ) 5i el proton 51' rnueve con una velocidad doble a laanterior, en que direccicn se desviaraj [Respuestas: (a ) 667 km/s; (b ) en ladireccion z negativa]

Medida de Thomson del cociente q/m para electronesUn ejemplo del usa de un selector de velocidades 1'51'1famoso experimento de1 . J . Thomson en 1897. en el cual demostre que los rayos de los rubes de rayoscatodicos podian desviarse mediante campos electrico y magnerico y. par consi-guiente, se cornponian de particulas cargadas, Observando la desvlacion de estosrayos con diversas combinadones de campos electrico y magnetico, Thomsonpudo demostrar que todaslas partlculas tenian la misma relacion carga amasaqlm y determiner este cociente. Demostr6 que las particulas con esta razon car-ga amasa pueden obtenerse utilizando un material cualquiera como catodo, 10que signiflca que estas particulas, ahora denominaclas eleetrones. SOil un consti-tuyente fundamentaJ de toda materia.

D5

(Ii) (b)

La Figura 2414 muestra un diagrama esquernatico de! tubo de rayos catodi-cos utilizado por Thomson. Los electrones sonemiridos por 1"1catodo C, que estaa un potencial negative respecto a las rendijas A y B. Existe un campo elecrricoen la direcci6n que va desde A hasta C que acelera a [as electrones, Estos pasana traves de las rendijas A y B hacia el interior de una region libre de campo yluego se encuentran con un campo electrico entra las placas D y F que es perpen-dicular a la velocidad de los electrones, La . aceleraci6n producida por este campoelectrico cia a los electrones un componente vertical de la velocidad al abandonarla regi6n situada entre las placas. A continuacion inciden en Ia pantalla [ostores-cente S situada en 1'1extrema del tuba en un punto que presenta un determinadodesplazeu.Luto t : : : . y respecto al punto en el cual incidirian si no existiese campoentre las placas D y F. Cuando los electrones chocan contra la pantalla, seproduce un destello que indica la posicion del haz. La desviacion t : : : . y se produce


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Secci6n 24-2 Movimiento de una carga puntual en el interior de un campo magnetico 793

Pant. il l ,Placas

I~~ x,--~-------

en dos partes: t o y " que tiene lugar mientras los electrones se encuentran entrelas placas, y AYl' que tiene lugar una vez los eleetrones abandonan la regionentre las placas (Figura 24-15).Sea Xl la distancia horizontal a traves de las placas deflectoras 0 y F . Si loselectrones se mueven horizontalmente con velocidad Vo al entrar en la region delas placas, el tiempo que transcurre en esta regi6n es tj=x/vo, y la veloeidadvertical cuando abandonan las plaeas es

siendo E el campo electrico existente entre las placas. La desviaci6nen esta re-gion seraAy =_!_a~=_!_qE ( 2 L ) l'2'2m Vo

El electron entonees se mueve recorriendo una distancia horizontal adicional x~en la region libre de campo entre las placas de deflexi6n y la pantalla. Como lavelocidad del electron es constante en esta region, el tiempo necesario para al-canzar la panralla es t2=x2lvo y la desviacion vertical adicional es

La desviacion total en [a pantalla es, por tanto,t.y=AYI +AY2=...!. _q~ ( 2 . L - ) 2 + ..ll .f_ ~2 rn Vo . 1 " 1 1 v~

La ve!ocidad inicial Vo se determina introduciendo un campo magnetico B entrelas placas en una direcci6n perpendicular tanto al campo electrico como a la ve-locidad inicial de [as electrones, La .magnitud de B se ajusta entonces hasta queel haz no se desvia. y la velocidad se determina mediante la ecuacion 24-9. Ladesviacion medida Ay se utiliza para determiner la relaci6n carga-masa, qt m se-gun Ill.ecuaci6n 24-10.

24-10

Ejernplo 24-4Los eleetrones pasan sin desviarse a traves de las placas del aparato de Thom-son cuando el campo electcico es de 3000 V1m y existe un campo magnericocruzado de 1,40 G. 5i las placas tienen4 em de longitud y el extreme de lasplacas dista 30 em de la pantalla, determinar [a desviaci6n sabre la pantallacuando se interrurnpe el campo rnagnetico.

En este ejempJo utilizarnos la carga e=1,6X20-'Q C y Ill. masa1 " 1 1 =,11 X 10-31 kg conocidas del electron para deterrn inar la desv iacion Ay.La veloeidad inicial de los electrones se detennina a partir de la ecuacion 24-9:

v = . . 3000 VIm 2,14XI07 mlso B 1,40XIO-4 T

Figura 2415 La desviacion 'total delhal. en losexperimentcs de ).J. Thomsonconsta de una desviaci6n, Jll'mientras 105 elactrones 51' encuentranentre las placas, mas la desviacion y,que ocurre en la regi6n libre delcampo entre las placas y la pantall a,

Un haz de electrones moviendose deizq uirdaa derecha se des vi a ha ciaabajo par la acclon de un campornagnetico producido porbobinas, LE n que direccion esla 1 '1campo rnagnetico?


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794 Capitulo 24 EJ campo rnagnetico

Figura 24-16 (II) Dibujo esquernaticode un espectremetro de masas, Losiones procedentes de la Fuente ionica

aceleran bajo una diferencia depotencial 0 V y entran en un campornagnetico uniform!'. E I campomagnetlco es perpendicular y salientedel plano del papel como indican lospuntas dibuiados, Los iones 51. 'curvan en arcos circulares y chocanobre una placa fotograFiea en P,. EIradio de Iii circunlerencia esproporcional a la masa del ion.(b) Espectr6metro moderno de masasutilizado para la investigaci6n en 1 3Universidad de Rockefeller .

Utilizando la ecuaci6n 24-10 con uo=2 , 14 X 10' mIs, XI =4 em Y x2 =30 em,se obtiene para la desviaci6n1 (1,6 X 10 10 C)(3000 V1m) ( 0,04 m )"fly=- --'-,--_:::_:.__--=:..o....:..::c...::....:__:.___....:....2 9,1 X 10-31 kg 2,14 X 107 m/s

+ (1,6 X 10-10 C)(3000 V1m) (0,04 m)(0,30 m)9,l1XIO 31 kg (2,14 X10' m/s)2

=9,20X10-< m+l,38XlO l m=0.92 mm+13,8 mm=14,7 mm

Espectr6metro de masasE1e pectrornetro de masa , disefiado por vez primera por Franci William Ast nen 1919 y mejorad post riormente por Kenneth Bainbridge y tros, fue desarro-llado para medir las rnasas de los isctopos. Estas medidas constituyen un medicimportante para la determinaci6n de la existencia de isotopes y su abundanciaen la naturaleza. Pa r ejemplo, aSI e comprob6 que 1"1magnesia natural esra for-mado por 78,7 por dento de 2


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Seccion 242 Movimiento de una carga puntual en el interior de un campo magnetlco 795

B , y r. En primer lugar se despeja v de la ecuaci6n 246 y se elevan al cuadradolos dos miernbros

Sustituyendo este valor de tI' en la ecuacion 2411 se obtiene

Simplificando esta ecuaci6n y despejando m/q result a!_1!_=~q 2 ev 24~12

En el espectr6metro de masas original de Aston, las diFerencias de masas po-dian medir:se con una precision de] parte en 10 000. La precision se ha mejoradopar la introducci6n de un selector de velocidades entre la fuente de iones y eliman. hacienda posible determinar la velocidad de los iones exactamenre y liml-tar el margen de velocidades de los iones que entran en la zona del irnan.Ejemplo 24-5

Un ion de SIINide carga + I? Y rnasa 9.62 X 10 20 kg Sf' acelera a traves deuna diferencia de potencial de 3 kV y se desvia en un campo rnagnetico de0,12 T. ( & I ) Determinar el radio de curvatura de la orbita del ion. (b ) Deterrni-nar Ia diferencia que existe entre los radios de curvatura de los iones ,sNi yooNi. (Suponer que la relaci6n de masas es 58/60.)

( & I ) De la ecuacion 24~12 se obtiene2m e : . V.1.= _

qB~2(9,62 Xl 20 kg}(3000 V)(1,6X10 10 C)(0,12 T)!

0,251 m"r= 0,251 m2=O,501 m

(b ) E I radio d e la 6rbita de un ion en un determinado campo magneticoes proporcional a la raiz cuadradra de su masa para un determinado voltajeacelerador. Si 1"1 ' es el radio de la orbita del ion SIINiy r~ el de la 6rbita delion ooNCla relaclon de los radios es....Q_=J 01758 '

Par tanto. 1"1radio de la orbita del ion o()Nies1"2 =1,017 rl =1,017)(0,501 m)= 0,510 m

La diferencia entre los radios de las 6rbitas es

EI dclotr6nE I cidotr6n fue inventado par E. O. Lawrence y M. S. livingston en 1932 paraacelerar partlculas tales como protones 0 deuterones hasta conseguir una energiacinetica e le va da .. (El deuteron es el nucleo de hldrogeno pesado, lB. formadopar un proton y un neutron fuertemente ligados entre si.) Las particulas de ener-gfa alta se utilizan a cont-inuaci6n para bombardear los nucleos, produciendoreacciones nucleares que se estudian can objeto de obtener informacion acercadel ruicleo. 51"utilizan tarnbten profanes 0deuterones de alta energia para produ-cir materiales radiactivos y con fines medicos.


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796 Capitulo 24 E l campo magnetico

Figura 24-17 Dibujo esquernatico de un ciclctron. Se haomitido la cara del polo superio r del irnan. Las particulascargadas, tales como protones, proccderues de una [uente Ssiruadaen el centro, son aceleradas por la diferencia depotencial esrablecida a traves del huecoenrre las des delciclot ron. Esta dilerenci a de potencial alterna su slgno con e l'periodo del ciclot ron dela part icu Iii ... I cua I es indeperid ientedel radio de ia circunferencia descrita, As;' cuando lasp artl cu la s l le ga n al hueco de nuevo, la diferencia de potencialhacamblado de signa y vuelven a acelerarse clescribiendo uncirculo mayor.

\ 'oltaje alternode alta

!fl'. uencla

EI Iuncionamiento del cidotr6n se bas a en eJ hecho de que el periodo demovimiento de una parricula cargada en el interior de un campo rnagneticouniforme ('5 independiente dela velocidad de la particula, como indica laecuacicn 24-7:T=2",m. qB

La Figura 24-17 es un dibujo esquematico de un ciclotr6n. Las particulas se mue-venen el interior de dos recipientes rnetalicos semicirculares denominados des(debido a su forma). Los recipientes estim contenidos en una camara de vacioen 1"1nterior de un campo rnagnetico proporcionado por un electrorman. (En laregi6n en Ia cual se mueven las particulas debe haberse rcalizado eJ vacio paraque las particulas no pierdanenergia y no sean dispersadas en cheques con lasrnoleculas del alre.) Las des se mantienen a una diferencia de potencial t : . V quese alrerna en el tiempo con periodo T, escogido de modo que sea igual al periododel dclotr6n dado por!a ecuaci6n 24-7. Esta diferencia de potencial crea un cam-po elt>ctrico con elespacio hueco comprendidoentre [as dos, Al mismo tiempono exisee campo electrico dentro de las des debido al blindaje metallco.Las particulas cargadas se inyectan inicialmente en la de 1con una velocidadpequeiia procedentes de una Fuente de iones 5 pr6xima al centro de las des. 51"mueven en una semicircunferencia en una de las des y Hegan alespacio situadoentre las des al cabo de un tiempo tT, en donde T es el periodo del ciclotr6n ytarnbien 1"1periodo del potencial alterno aplicado a las des .. La alternancia del

(Il) Primer clclotron construido porE.O . Lawrence en 1932. (b ) McdernocicIotr6n utilizado para acelerarprorones 0 deuterones destinados a laprcduccicn de radioisotopes de vidacorta en diagnosis medica.

(II) (II)


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Seccion 24-2 Movimiento de una carga puntual enel interior de un campo magnetico 797

potencial se ajusta de modo que la de 1 esta a mayor potencial que la de 2 cuandolas particulas lIegan a l espacio [weco entre ambas. Cada parttcula se acelera. partanto, a traves de este hueco a causa del campo eJectrico y gana una energia cine-tica igual a q AV. AI poseer mas energia cinetlca, la partkula se mueve en unsemidrculo de mayor radio en Ja de 2 y de nuevo Hega al hueco despues de untiernpo i-T. En este tiempo el potencial entre las des se ha Invertido de modoque la de 2 esta ahara a mayor potencial. De nuevo la parricula se ace.lera a travesdel hueco y gana energia cinetica adiciona] igual a q AV. Cada vez que la particu-la llega al hueco. es acelerada y gana energia cinet ica iguaJ a q tl. V. De este modose mueve en orbitas sernicirculares cada vez mayores hasta que eventualmenteabandona 1 "1campo magnetico. E n un ciclotron tipico, cada p articula rea liza de50 a 100 revoluciones yemerge con energias de hasta varies centenares de MeV.

Estaenergia cinetica de una particula que emerge de un ciclotron puede calcu-larse mediante la ecuacion 24-6 sustituyendo r par el valor maximo del radio delas des y despejando el valor de n:mvr=--qBqBrv=--It!

Par tanto24-13

Ejemplo 24-6Un cidotr6n que acelera protones posee un campo magnetico de 1,5 T y unradio maximo de 0,5 m. (a ) 1.eua! esla frecuencia del ciclotron'i (b ) Determi-nar la energia cinetica con que ernergen los protones.

(a) La frecuencia del ciclorron viene dada par la ecuacicn 24-8:f = _ _ _ _ _ :@ _ _ = (1,6XIO-IO C)(1,5 T) =.2 29 X 107 Hz=22 9 MHz27rm 271'(1,67X 10-27 kg)' ,

(b ) La energia emetics de los protones emergentes viene darla par laecuacion 24-13:

E =lJ (1,6X10- O C)2 (1,5 T)~ .](0,5 m)2'2\. 1,67X 10 27 kg .=4,31 X10-11 J

Las energias de los protones y otras particulas elernentales se expresan usual-mente en electron-voltios, Como 1 eV=1.6X10 '01. resulta1VE,=4,31XlO-u J X--=-="":"'_--1.6XIO , 0 J 26,9 MeV

Cuestiones8.. Observando la trayectoria de una particula, l.como puede distinguirse si laparticula se desvia par un campo magnetlco 0 por un campcelectrico?9. Un haz de particulas cargadas positivarnente pasa sin desviarse desde la iz-quierda hasta la derecha a. traves de un selector de velocidades en el cual ~ J

campo electrico es dirigido hacia arriba El haz 51 " invierte en onces de modoque se rnueve de derecha a izquierda. lSI" vera desviado el haz en el selectorde velocidades? Si es asi, Le n que direcci6n y sentido?


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798 Capitulo 24 El campo magnetico

24-3 Pares de fuerzas sobre espirasde corriente e imanesLa Figura 24-18 muestra una espira de alambre rectangular de longitud a y anchu-ra b par la que circula una corriente len un campo rnagnetico externo y uniformeB que 1" 5 paralelo al plano de la espira En la Figura 51 " muestran las fuerzas queactuan sobre cada segmento de la espira. En aquellos segrnentos donde [a co-rriente es paralela 0 antiparalela al campo magnetico B, las fuerzas son nulas,ya que I d(X B es cere. Las fuerzas sabre 105 lados de la espira, donde el campoes perpendicular a la corriente, tienen [a magnitud

F.=F2=laBComo estas fuerzas son iguales y opuestas, forman entre 5 1 un par. La fuerza re-sultante es. por tanto, cera yel momento respecto a cualquier punto es indepen-cliente de la localizaci6n del punto. E 1 punta Pes un punta co nv en ien te resp ectoa l cual calcular 1" 1 momenta del par. La magnitud del momenta es

r=F.b=labB=IABen donde A=ab es el area de la espira , EI momenta del par es igual al productode l a i n re nsi d ad de la corriente, 1 "1area de la espira y el campo magnet ico B. Estemomento tiende a girar la espira de modo que su plano sea perpendicular a B.La orientaci6n de la espira puede describirse convenientemente mediante unvector unitario fl, perpendicular al plano de la espira, EIsentido de n 5 1 " elige me-diante la regia de Ia mana derecha aplicada ala circulaci6n de la corriente, comoindica la Figura 24-19. EI momenta del par tiende a girar Ii en la direcci6n de B.

B

b( 1 1 ) (Ill

Figura 24-16 Puerzas ejercidas sobre una. espira rectangular decorriente en un campo magnetico uniforme B que es paraleloal plano de laesplra, Las fuerzas producen un par que tiendeagirar la espira de modo que su plano se situeperpendicularmente aB o

Figura 24-19 (a ) La orientation de unaespira de corrienteviene descrita porel vector unitarian, perpendicular al planode [a espira, (b ) Regla de la mano derecha para determinar elsenrldo deli. Cuando los dedos de la mana derecha seincurvan alrededor de la espira, con los dedos apuntando enla direction de la corriente, el declo pulgar senala la directionde n.

La Figura 24-20 muestra las Iuerzas ejercidas par un campo rnagnetico unifor-me sabre una espira rectangular cuyo vector unitario normal ii. forma un angulo{/con el campo rnagnetico B. De nuevo. la fuerza resultante sabre la espira escere. E l momenta respecto a cualquier punta es igual a l producto de la F uerzapor el braze de paJanca. Par ejernplo, 1 "1momenta respecto al punto Pes igualala fu,erza F z=/a8 por el braze de palanca b sen e . E I momento tiene, par tan-to, la magnHud

r=Iabb sen 8=IAB sen {/en donde, de nuevo A =abes 1 "1area de la espira. Para una espira de N vueltas,la magnrtud del par es

7=NIAB sen ()


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Seccion 24-3 Pares de fuerzas sobre espiras de corriente I.' irnanes 799

Figur.a 24-20 Espira rectangular de corriente cuyo vectorunitario norma! iI forma un angulo 0 can un campomagnetico uniforme B. EI momenta del par sabre la espiratiene la magnitud lAB sen e y su direction es tal que iI tiendea g ira r para. alinearse can B EI momenta puede expresarseenla forma -r=mxB. en donde m=IAri es el mementornagneuco de la espira,

El rnornento puede escribirse convenientemente en [uncion del momenta di-polar magnetico m (0 simplemente momenta magnetico) de la espira de corrien-te, definido por

m=NIA n 24-14La unidad SI del momenta magnetico es el amperio-metro! (Am2). En funci6ndel momenta dipolar magnetico, el momenta sabre la espira de corriente vienedado par .T=mXB 24-15La ecuacion 24-15, dedudda para una espira rectangular.es valida en generalpara una espira de cualquier forma ..El momenta sabre cualquier espira es igualal producto vectorial del momento magnerico m de la espira y el campo magneti-co B, en donde el momenta magnetico se define como un vector perpendicularal area de la espira (Hgura 24- 21), de magnitud igual a NIA. Comparando laecuacion 24-15 can la ecuaci6n 18-llcorrespondiente al memento sobre un di-polo electrico. resulta que una espira de corriente en un campo magaetico actuadel mismo modo que un dipolo electrico dentro de un campo electrico.Cuando un pequefio irnan permanente. tal como la aguja de una brujula, sesitua en un campo rnagnetico B, tiende a orientarse de modo que su polo norteapunte en la direcci6n de B. Este efecto tambien se presenta can limaduras dehierro previamente diseminadas, las cuales se lrnanaran en presencia de un cam-po rnagnetico B. La Figura 24-22 muestra un pequefio iman que forma un anguloe con un campo magnetico B. Existe una fuerza FJ sobre el polo norte en Ia di-recci6n de B y una fuerza igual. perc opuesta, F , sabre el polo sur . Estas desfuerzas no producen movimiento de traslacion por ser iguales y opuestas, perodan lugar a un momenta que tiende a girar el iman, de modo que este se alineecon el campo. Una pequeiia barra magnerica se comporta, por tanto, igualque una espira de corriente. Este hecho no es accidentaJ.EI origen del momentomagnerico de una barra imanada son, realmente, las espiras de corriente micros-c6picas que resultan del movimiento de los electrones en los atornos del iman.Podemos utilizar las fuerzas y momentos observados experimentalmente sa-bre una barra magnetica para definir la intensidad de polo y el momenta magne-

Momento dipolar magnetico deu na e sp ir a de corr iente

M omenta sab re W1(;1 espirade corriente

Figura 2421 EI momenta magneticode una esplra de corrienre de formaarbitraria es m=IAfL En un campomagnetico B, la espira experiments laacci6n de un memento mXB.

FI- - - -B Figura 24-22 Un pequefio irnan en un campo magneticouniforme experiment a la acci6n del momenta de un par quetiendea girar el lman en 1 3. direction del campo. 61 momentarnagnetico del irnan tiene 13.direccion del vector L dirlgido de.1polo sur 3 1 polo norte.


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D efinicion de /. Q intensidadde polo Itlagnetico

1 /-1 0 em

lA 40cmI

I .lII//III

B =0.3 T i+ 0.4 T k

Figura 24-23 Espira cuadrada decorriente en el plano .lydentro de uncampo rnagnetico B=0.3 T i+0.4 T k(ejemplo 24-8).

tieo del iman. Se define la intensidad de polo de un iman q", de tal modo que!a [uerza ejercida sabre el polo de un campo magnetico B viene dada por"

24-16

La. i ntensidad de polo es positiva para un polo norte y negativa para un polo sur.EI momento magneticc m de un irnan se define por la expresion

en donde L es el vector longitud del polo sur al polo norte. EI momento ejercidosobre una barra magnetics en un campo magnetico viene dado por 1'=mXB, lamisma expresi6n que la ecuacion 24-15. Aunque hernos definido laintensidad depolo magnetico como analoga a la carga electrlca, debemos recordar que los po-los magneticos aparecen siempre a pares; es decir, la unidad fundamental delmagnetismo es el dlpolo magnetico. Experimentalmente. e1 momento dipolarmagnerico m de un irnan se mide facilmente introduciendo el iman en un campornagnetico de intensidad conocida y determinando el' momento resultante. Me-diante la ecuacion 24-17 se obtiene entonces la intensidad de polo dividiendo elmomento magnetico por la longirud del iman.Ejemplo 24-7

Una espira circular de radio 2 em posee 10 vueltas de alarnbre y transportsuna corriente de 3 A. El eje de la espira forma un angulo de 30 con un campomagnetico de 8000 C. Determiner el momento que actua sobre la espira.

La magnitud del momenta magnetico de la espira esm=NIA=(10){3 A) 7r (O,02 m)z=3.77XIO z A-m2

La magnitud del memento del par es, por tanto,1 ' = 1 1 1 8 sen 8=(3,77XIO 2 A'mZ)(O,8 T)(sen 30")=1,51XIO 2 N 'm

en donde hemos ten ida en cuen ta que 8000 G = 0,8 T y - 1 T=1 N / A- rn.

Ejemplo 24-8Una bobina rectangular cuadrada de 12 vueltas, con lados de 40 cm de longi-tud, transporta una corriente de 3A. Esta situada en 1"1plano xy como indicala Figura 24-23 en un campo rnagnetico uniforms 8=0,3 T i.+O,4 T 1


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(c ) Una barra magnetica con un memento magnetico en la direcci6n posi-tiva del eje z debe estar situada a 1 0 largo del eje z a ser para lela a este ejecon el vector L de sur a norte en Ia e li reccion posi tiva z , Para L = Scm =0,08 my m=5,76 Am2 !a intensidad de polo. q" , es

In 576 Am2qm=T= '0,08 m 72A'm=72 NIT

Cuesti6n10. EI momento magnetico'de una espira de corriente es antiparalelo a un campomagnetico uniforme B. L Cual es el momenta del par ejercido sabre laespira?LEsestable 0 inestable esre equilibrio l

E fecto H allEn la seccion 24-1 calculabamos Ia fuerza ejercida par un campo magnetico sabreun alarnbre por el que circulaba una corrienre. Esta [uerza 5 1 : ' transfiere al alarn-bre par las fuerzas que enlazan los electrones con el.conductor en la superficie.Puesto que los portadores de carga por si rnisrnos experimentan la fuerza magne-tica cuando un conductor por e! que circula corriente esta en el interior de uncampo magnetico, los portadores se ven acelerados hacia un lado del conductor.Debido a esto se produce una separacion de cargaen el alarnbre denominadaefecto Hall. Este fenomeno, nos permite determinar el signa de la carga en unporta dar y el numero de portadores n par unidad de volurnen del conductor.Tambien proporciona un metoda ccnveniente para medir campos magnericos.La figura 24-24 muestra dos cintas conductoras cada una de las cuales trans-porta una corriente I hacia la derecha, pues sus extrernos izquierdos estan conec-tados al terminal positivo de una bateria y susextremos derechos al terminalnegative, Las ci.ntas 5e encuentran en un campo magnetico dirigldo perpendicu-larmente hacia el pape!. Supongamos de momenta que la corrienteesta formadapor particulas positivarnente cargadas que sa mueven hacia la derecha como in-dica la Figura 24-24a. La fuerz:a magnetica sobre estas particulas es qvclXB (endonde "des la velocidad de desplazamiento de los portadores de carga). Estafuerza esta dirigida hacia arriba. Las particulas posltivas, por tanto, se muevenhacia !a parte alta de la cinta. dejando el fondo de la misma con un exceso decarga negatlva, Esta separaci6n de carga produce un campo electrostatico en lacinta que se opone ala fuerza rnagnetica sabre los portadores de carga, Cuandolas fuerzas electrostatics y magnetica se equilibran, los portadores de carga nose moveran ya mas hacia arriba. En esta situaci6n de equilibria. la parte superiorde la cinta esta positivarnente cargada. de modo que esta a mayor potencial quela parte inferior negat ivamente cargada. Si la corriente consta de particu las nega-tivamenle cargadas, como indica la Figura 24-24b, los portadores de carga se rno-veran hacia la izquierda (puesto que la corriente se rnueve hacia la derecha). Lafuerza magnetica qVdXB se dirige de nuevo hacia arriba. pues los signos de

E

n . I . , 1 . 1 . " 1 1 1 '+ + + + + t + + + + + + + ~ + +F .+ q

1IIV~

Seccion 24-4 Efecto Hal! 801

Figura 2424 Efeclo Hall. El campomagneticoest.i dirigidoperpendlcularrnente y hacia dentrodel plano del papel como indican lascruces dibujadas, L a fuerza magneticasobre una particula cargada eS[;1dirigida hacla arriba para unacorriente que circu la hacia la derechasi la ccrriente es debida a (tl1particu las positi vas que se rnuevenhacia 1 3 derecha 0 (b ) particulasnegat .ivas que 51 ' mueven bacia laizquierda,

i-L + : - + : - - + ~ + - : - - : - + " " 7 + - : + - : + : - + : - - + - ; - + - : - - : - + - : + - ; + : - - + : - - : ' +J/-

(a) (II)


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ambos, q y Vd se han cambiado. De nuevo los portadores son forzados a laparte superior de la cinta, pero como estos son negat ives, la carga nega tiv a seacumula en la parte superior de la cinta y la carga positiva en la parte inferior.Una medida del signo de [a diferenda de potencial entre la parte superior einferior de la cinta nos dira el signo de los portadores de carga. Para un conduc-tor rnetalico normal encontramos que la parte superior de la cinta en la figura24-24 esta a menor potencial que la parte inferior -10 cual signiflca que la partesuperior es portadora de una carga negativa. Este fue el tipo de experimento quecondujo al descubrimiento de que los portadores de carga en los conductores me-talicos son negatives. Par tanto, la Figura 24-24b es la ilustracion correcta de lacorriente en un conductor normal.

S i unirnos las partes superior e inferior de la c in ta can un conductor de resis-tencia R, los elecrrones negativos fluiran desde la parte superior de la cinra a tra-ves del conductor hasta la parte inferior. Tan pronto como algunos electronesabandonan la parte superior de la cinta y alcanzan Ia parte inferior, la magnitudde la separacion de carga a traves de la cinta se reduce momentaneamente. Comoresultado, la fuerza electrostatics que actua sabre los electrones de la cinta se de-bilita tambien momeraaneamente, de tal. forma que ya no equilibra la [ueraamagnetica que actua sabre los mismos. Esta fUefza magnetica, par tanto, condu-cira mas electrones hacia la parte alta de la cinta y rnantendra Ia diferencia depotencial a traves de la misma. La cinta es . par tanto. una fuente de fern. L a d lfe -rencia de potencial entre la parte superiore inferior de la cinta se llama voltajeHall.La magnitud del voltaje Ha.LInoes diflci! de calcular. La magnitud de la f ue r-za magnetics sabre los portadores de carga en la cinta es qUdB . Esta fuerzamagnetica es equilibrada por Ia fuerza electrostatica de magnitud qE,en dondeE es eI campo electrlco debido a la separaci6n de cargas, As! resulta E = V d B . Sila anchura de la cintaes w, la diferencia de potencial es Eur. E I v olr aje Hall es,por tanto,

24-18

EjercicioUna cinta conductora de anchura w=2,0 em esta situada en un campo mag-netico de 8000 G. Calcular el voltaje Hall Sl la velocidad de desplazamientoes4,0 X lO-s m Is. (Respuesra: 0,64 /lV)

Podemos ver a partir de la ecuaci6n 24-18, que en el caso de cintas de tamalioordinaria y campos magneticos norrnales, el voltaje Hall es muy pequefio puestoque la velocidad de desplazamiento en el caso de corrientes ordinarias as muypequefia. A partir de medidas del valor del voltaje Hall para unacinta de un ta-mana dererminado par la que circula una corriente conocida en el interior de uncampo magnetico de valor dado, podemos detenninar eJ numero de portadoresde carga por unidad de volumen de lacinra. Segun la ecuacicn 22-3, la intensl-dad de corrientees

l=nqu,v4en donde A es la secci6n transversal dela cinta. Para una cinta de anchura wy espesor t, el area transversal es A =wt. Como los portadores de carga sonelec-trones, la magnitud q es la carga de un electron, e. La densidad numerica de losportadores de carga n vieneasi dada por

I /J1 =~. ~-~-=~~-AqVd wtevo

Sustituyendo u"w =VHI B en la ecuacion 24-18, resultaIBIl=~~--etVH

24-19

24-20


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Seccion 24-4 Electo Hall 803

Ejernplo 24~9Un segmento conductor de plata de espesor 1 mm y anchura 1,5 em transportsuna corriente de 2,5 A en una region donde existe un campo rnagnetico demagnitud 1,25 T perpendicular al segmento. En consecuencia se produce unvol taje Hall de 0,334 p .V. (a ) Calcular la densidad nurnerica de los portadoresde carga. (b ) Comparar la respuesta de (a ) can la densidad nurnerica deatomos en la plata, de densidad p = 10,5 g/cm' y masa molecular M =107,9 g/mo1.

(a ) Segun la ecuacion 24-20, tenemos(2,SA)(1,25 T)

(1,6 X 10-10 C)(O,OO1 m)(33,4 X 10-7 V)=,85 X IOU! electrones Im'

(b ) E1numero de atornos por unidad de volurnen es no y viene dada porM =N"p M (6,02X 102.1atomos/mo])(10,5

g/eml)107, .9 g/mo!

= 5,86 X lOll atornos/crrr' =5,86 X IO U! atomos/m3Estes resultados indican queel numero de portadores de carga en la plata esaproxirnadamente uno por atomo.

Aunque el voltaje Hall es ordinariamente muy pequefio, proporciona un me-todo conveniente para medir campos magneticos, Resjustando la ecuacion 24-20podernos escrjbir para el voltaje Hall- I BVH=---

netUna cinta puede calibrarse midiendo el voltaje para una determinada intensidadde corriente en un campo magnetico conocido. La intensidad de un campo mag-netico B desconocido puede entonces rnedirse situando la cinta en este campo,haciendo circular una corriente par la dnta y midiendo VJ-I.

Efecto Hall cuanticoSegun la ecuacion 24-21, el voltaje Hall debe incrementarse linealmente con elcampo magnetico B para Una! deterrninada corriente en un segmento dado deconductor. E n 1980, mientras estudiabael efecto Hall en semiconductores a muybajas temperaturas y campos magneticos muy intensos, eJ fisico aleman Klausvon Klitzing descubrio un grafico escalonado de VH en fttncion de B, como in-

Figura 24-25 Un graJko del voltaje Hall en fUQd6n del campornagnetioo aplicado rnuestra tramos horizontales indicandoque el voltaje Hall estii cuantizado. Estes datos se tomaron auna temperatura de 1.39 K con una inrenstdad de corriente 1fija de 25,52 p.A.

!5iHn


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804 Capitulo 24 EI am po rnagnetico

dica la igura 24-25, en lugar de una linea recta, Es decir, el voltaje Hall estacuantizado. Por este descubrirniento del efeeto Hall cuantico, von Klitzing reci-bi6 el Premio Nobel de Fisica de 1985. Seg6.n la teoria del efeeto Hal! cuantizado,la resistencia Hall. definida por RH=VHJ/, 5610 puede tamar los valores

V RRH=___':_ll_. =~I 11en d nde n 5 un nurner enter y R ) : la Hamada con tante de von Klitzing,relacionada p r la carga electronica fundamental e y la constante de Planck Itpar la expresi6n

n=l, 2,3,., 24-22

6,626XIO-'>4 J s(l,602XJO-19 C)l 25813 Q 24-23

Como la constante de von Klitzing puede medirse con una exactitud de unas po-cas partes en 10", el efecto Hall cuantico se utiliza actualmente para definir elpatron de resistencia. De de enero de 1990, el ohmio se define de modo que R ) :tiene exactamente el valor de 25 812,807 n.

Experimentos recientes han demostrado que bajo ciertas condiciones especia-les la resistencia Hall viene dada par la ecuaci6n 24-22 con el numero entero nreemplazado par una fraccion racional f. Actualmente, la teoria de este efectoHall cuantico fraccional esta incompleta.

Resumen1. Las cargas m6viles interact6.an entre 5 1 per media de fuerzas magneticas.Como las corrientes electricas estan formadas por cargas m6viles, tambienejercen Fuerzas magneticas entre S 1 . Esta Fuerza se describe diciendo que una

carga 0 corrient m6vil crea un campo rnagnetico, el cual. a su vez, ejerceuna fuerza sobre la otra carga 0 corriente m6vil. En ultimo termino, todoslos campos rnagnericos son causados par cargas en movimiento.2. Cuando una carga q se mueve con velocidad v en un campo magnetico B,experimenta una fuerza

F=qvXBLa Fuerza que actua sabre un elernen to de corriente viene dada par

dF= 1dtxBa unidad 5 1 de campo rnagnetico es el tesla (T). Una unidad comiinmenteutilizada es el gauss (C). relacionada con el tesla por

1 T=104 G3. Una particula de masa m y carga q moviendose con velocidad u en un planoperpendicular a un campo magnetico se mueve en una 6rbita circular de

radio r, dado parmur=--qB

E! perlodo y frecuencia de este movimiento circular son independientes delradio de la orbita a de Ia veJocidad de la particula. El periado, Hamada perio-do del cielotr6n, viene dado parT=271"nl

qB


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Resumen 805

La frecuencia, !lamada frecuencia del ciclotr6n, viene dada parf=~=...E.!i_T 27fm

4, Un selector de velocidades esta Formado par campos electricos y magneticoscruzados, de tal rnanera que las Fuerzaselectrica y magnetica 51 " equilibranpara una particula cuya velocidad viene dada par v=EIB_s...La relacion masa-carga de un ion de velocidad conocida puede deterrninarsemidiendo el radio de la trayectoria circular descrita po r el ion en un campornagnetico conocido en un espectrornetro de rnasas,6, Una espira de corriente en un campo rnagnetico uniforme secomporta comoun dipolo magnetico con un momenta magnetice m dado por

m=NIA fi _en donde N es 1 "1n6.mero d e v ue lta s, A el area de la es pi ra , 1 Ia intensidadde corriente y fi un vector unitario perpendicularal plano de la espira en ladirecci6n dada par la regia de la rnano derecha. Cuando un dipolo magneticose encuentra dentro de un campo rnagnetico experimenta la accicn del mo-menta de un par dado por

1"1cual tiende a alinearel momenta rnagnetico de la espira de corriente canel campo externo ..La fuerza resultante que acnra sobre una espira de corrien-te en un campo rn ag netico u rrifo rm e es nula,7. Una barra magnetica experimenta tarnbien la acci6n del momenta de un pardentro de un campo magnerico. EI momenta medido experimentalmenre pue-

de urilizarse para definir el momenta rnagaetico de la barra segun la expre-sion T=m X B. La in tensidad de polo de una ba rra rnagnetica q", puede deft-nirse expresando la fuerza ejercida sobre 1 "1polo en la forma F=qmB. E Ipolo magnetico norte tiene una intensidad de polo positive y el polo sur unaintensidad de polo negativa, En Fund6n de la intensidad de polo, el momentamagnetico de una barra magnetlca es m=qmiLen doncle Les el vector Ion-gitud del polo sur al polo norte.

B. Cuando una cinta conductora que transporta una corriente. se situa dentrode un campo magnetico, la [uerza rnagnetica que actua sabre los portadoresde carga origina una separaci6n de cargas que S f> denomina efecto Hall. EsteIenorneno da Jugar a un voltaje V H , Hamada voltaje Hall que viene dado par

1VII= u"Bw =---BI1qten donde Vd es Ia velocidad de desplazamiento, B el campo rnagnet ico, W laanchura de la cinta, t el espesor de la cinta, 11 [a densidacl nurnerica de losportadores de carga y q la carga de cada portador, EI signo de los portadoresde carga puede determinarse midiendo el signa del voltaje Hall y su numeropar unidad de volumen a partir de la magnitud de V H. Las medidas a muybajas temperaturas y campos magneticos muy grandes indican que la resis-tenc ia Ha 11 Rli=V ii! I esta cuantizada y puede tamar valores dados par

RH=~=_&_I 1 '1en donde 11 es un nurnero entero y Rr, es la constante de von Klitzing. cuyovalor es


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806 Capitulo 24 E[ campo magnetico

Sugerendas bi b l i 0graficasAkasofu, Syun-lchi: "The Dynamic Aurora, Scie!1/ifkAl"1'r-icall, mayo 1989, pag. 90.~\pon" como~1 ~"lel1/o solar". de particulas cargaelll5. in/e-racllia Catl e l campo mag-llelico' te rr estr e pa ra pr od uc ir 117aurora, par que In aurora aparentemente 51! /IIl/I!ve y cambia.y de dcmdl l precede Stl ellergia.Nier. Alfred O.c.; "The Mass Spectrometer". Scili'rllific-American. marzo 1953, pag. 68.Este dispositivD. medimlle el waf ha sido posibles grandestn.'aJ'lres en quimica y otras ciencias, permite la determinacionde ta composicion de WJa snstancia, basado e'l el principia d edesuiucion de un ha z de u ar ticula car ga da s I'llWcampomagnelico_

Shamos, Morris H.: The Electron=-j.l. Thomson", en Grea lExperiments in Physics. Henry Holt y Co" New York, 1959.Reimpreso por Dover, 1987.lnjorme de Thomson sabre su descubrimienta del electro IICOil notas editoriales pam mayor claridad y un resumen bio-gr~fico.Van Allen, James A.: "Interplanetary Particles and Fields.5d(mlific A mericarl, septiembre 1975. pag. 160.Este antcu!, e sc ti to p or e l c i( mti fi co , cuyo J!OJJlbre se dioalos cinturones de rad iaci6n de Van Allen. describe la def le xion del "VI'ento solar ('11 el campo magnetico terresire.

RevisionA. Objetivos, Una vez estudiado este capitulo deben poseer-se los siguientes conocimientos:1. Calcular la fLierza magnetica sobre un elerneruo de eo-rriente y sabre un a ca_rgarnovil en un ca mpo rnagneticodeterrni nade.2. Calcular el momenta dipolar magnetico de una espirade corriente y 1 "[ memento de ! par ejercido sobre [a espiraen un campo rnagnetico.3. Discutir el experirnento en elcual Thomson midi6 elrociente qlm de los electrones,' I - . Describir un selector de velocidades. un espectrornetrod e rna sa s y un c ic lo tr on .5. Oiscutir el efecto Hall.

B. Odinir. explicar 0 simplemente identificar:Campo rnagnetlcoTeslaCaussElementos de corrienteUneas de campo rnagnetico

Periodo del dclotr6nFrecuencia de l riclotronBoteUa rnagneticaCampos cruzadosSelector de velocidades

Espectrcrnetro de rnasasCiclotron

V oltaje Hal!Efecto HaU cuantico

Momento dipolar magnetico Constante de von KlitzingErecto HallC. Verdadero 0 fa 15 0. Si la afirrnacion es verdadera, explicarpor que 1 0 es. Si es ralsa dar un contr aejemplo.es decir.

un ejernplo que contradiga la afirmacien.1. La Iuerza magnerica que acroa sobre una particula car-gada m6vil es siempre perpendicular a la velocidad de laparticula.2. EI momento del par que acnia sobre un irnan riende aalinear el momenta magnetico en la direccton del campornagnetico.3. Unaespira de corriente en un campo rnagnetico uni-forme se cornporta como un pequefio irnan.4. EI periodc de una particula rnoviendose en circuloenun campo rnagnetico es proporcional al radio del. circulo.5. La.velocidad de desplazamienro de los clectrones en un. alarnbre puede deterrninarse a partir del efecto Hall,

ProblemasNivel I24-1 Fuerza ejercida por un campo magneticc]. Hallar I a fuerza magnetica que actua sobre un proton quese rnueve con velccidad 4.46 Mm/s en 1"1eruido posirivo delas x en 1"1nterior de un campo rnagnetico de ].75 T dirigidoen 1"1senrido positive de las z.2_ Una carga q=-2.64 nC se rnueve (on velocidad de2,75 X 10 ml s i. Ha lla r [a luerza que actua sobre Ja ca rsa 511'1campo magnetico es (al B=0,48 T i. (b) B=0,65 T i+O,65T j. (c) B=0.7S T i, (dl B=0,65 T i+O,65 T k.3 .. Un campo rnagnetico uniforme de valor 1,28 Testa en [adi reccien y sentido positivo de l eje de las z, Ha llar la luerzaqueactua sobre un prot6n si su velocidad es (a) ,,=3.5 Mm/s i. (b)

,,=2,5 Mm/s j, (to) ,,=6,5 Mm/s k y (d) v=3.0 Mm/s i+4,0 Mm/s j,4. Un electron se mueve con velocidad 3,75 Mmls en el pla-no X !J formando un angula de 60 con 1'1eje .r y un angulode 30~ con ('I eje y. Un cam po rnagnetico de 0.85 T est a dirigl-do en el sen tido posi tivo del eje de las y. Hallar la fuerza queacnra sabre el electron.S. Un segrnento de conductor recto de 2 rn de largo forma unangu[o de 30~ con un campo magnetico uniforme de 0,5 T.Hallarla fuerza que actua sobre e[ conductor si por el circulauna corriente de 2 A. .6. Un segrnento de conductor recta 1(=(2,.5 A) (3 em i+4 cm n se eneuentra en un campo rnagnetico uniforrne B=1.5 T i. Deterrninar [a fuerza que actua sobre c[ conductor,


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7. Un conductor largo paralelo ale]e x Ileva una corriente de8,5 A en el senti do positivo de x, Existe un campo rnagneticouniforme de valor B= 1,65 T J . Hallar la fuerza pe r unidadde longitud del conductor.242 Movirniento de una carga puntual enel interiorde un campo magnetico8. Un proton se mueve en una orblta circular de radio 65 emperpendicular a un campo rnagnetico uniforme de valor0,75 T. (al LCual es el pericdo correspondiente a este rnovi-miento? (b ) Hallar 1 0 1 velocldad del prot6n. kl Hallar la ener-g ia c in et ic a del proton.9. Un electron de energia cinetica 45 keV se mueve en una6rbita circular perpendicular a un campo rnagnetico de 0,325 T.(a ) Hallarel radio de la orbita. (b ) Hallar la frecuencia angu-lar y el periodo del rnovimieato.10. Una particula alfa (carga-l-Ze) se rnueve en una trayecto-ria circular de radio O,S m enel interior de un campo rnagne-tiro de 1.0 T. Hallar (a) 1"1periodo, ( .b) la velocidad y (c) 1(1energia cinetica (en electronvoltlos) de la partlcula alfa. To-mar m=6,65XI0 17 kg como masa de la parricula alfa,11. Un haz de protones se mueve a. 10 largo del eje x en susentldo positive con una velocidad de 12,4 km/s a traves deuna regi6n de campos cruzados equilibrados can desviaci6nnula, (a ) 5i existe un campo magnetico de valor 0,85 Ten elsentido positive de las y, hallar el valor y direccien del cam-po electrico. (b ) LSe veran desviados loselectrones de Ia mis-rna velocidad por estes campos? Si es asi, Len que direcciony sentido i12. Un selector de velocidad tiene un campo magnetlco devalor 0,28 T perpendicular a un campo elktrico de valor0,46 MV 1 1 1 ' 1 . (al L Cuill debera ser la velocidad de una pa rticu-la para pasar a traves de dicho selector sin ser desviada? LQUCenergia deberian tener (bj los protones y (e) 1.05 elecrronespara pasar a traves del mismo sin ser desviadosl13. Un electron procedente del Sol can una velocldad deix io' mls entra en el campo magnetico terrestre por end-rna del ecuador en dondeel campo magnetico es < I Xl 0 T T.El electron se rnueve aproximadamente segun una circunfe-rencia, excepto en una pequefia desviad6n a 10 largo de la di-reccion del campo magnetlco terrestre hacia el polo norte. ta)LCuaies el radio del movimi.ento circular? (b ) LCual es el ra-dio del movimienro circular cerca del polo norte donde elcampo rnagnerico es 2X10 T?U. Un ion "'Mg simplernente icnizado (rnasa 3,983X10 '" kg) se acelera a traves de un potencial de 2,5 kV y Sf':desvia en un campo rnagnetico de 55,7 mT que existe en unespectrernetro de rnasas. (a ) Hallarel radio de curvatura dela erbita del ion. (b) L Cual es la dllerencia de los radios paralos ienes ""Mg y 'Mg1 (Suponer que su relaci6n de masas es26124 . )15. Un ciclotr6n paraaceJerar prolones. tiene un campo mag-ru?tico de 1A T y un radi a de 0.7 m. (a ) L Cua I es I,aFrecuenciadel cicJotr6n? (b ) Hallar la energl


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808 Capitulo 24 E1campo rnagnetico

27. La denstdad nurnerica de electrones libres en el ccbre esde 8.47 X 10'" electrones por centfrnetro ctibico. s : la cincade metal. de la Figura 24-26 es de cobre y la ccrriente es 10 A,hallar(al la velocidad de desplazamiento 1.'d y (b ) el volta]eHall. [Adrnitir que el campo magnetico es 2,0 T.)28. Se uriliza una cinra de cobre (11=8,47 X 10" elecrrcnespor centimetre cubico) de 2 em y 0.1 ern de espesor para me-dic los valores de campos magneticos desconocidos que sonperpendicularss a la cinta. Hallar el valor de B cua ndo 1=20 A y el voltaje Hall es (a ) 2,00 pV, (b) 5,25 pV y (c ) 8,00 pV.29. La sangre contiene iones cargados de modo que al rno-verse desarrclla un volta]e Hall a traves del diarnetro de unaarteria .. Una arteria gruesa con un diarnerro de 0,85 em tieneuna velocidad de Flujo de 0.6 m/s. Si una secci6n de esta arte-ria se encuentra en un campo magnetico de 0,2 T, LcwiJes Jadiferencia de potencial a traves del diarnetro de la arteria?Nivel 1 /30. Un ha z de iones U y 7 U pasa a. traves de un selector develocidadcs y entra en un espectrernetro rnagnetico. Si el dia-metro de la 6rbita de los iones "Li es de 15 em, lcual I'S 1 '1diametro de la correspondlerue a los iones 7li131. EI segmento conductor de lafigura 24-27 transporta unacorriente de 1,8 A de a a b y se encuentra en el interior de uncampo rnagnetico B=1,2 T k, Determinar la luerza total queactua sobre 1'1conductor y demostrar que es la misrna queac-tuaria si se tratara de un segmento recto de a a b.

Figura 24-27 Problema 31.!I

32. Un conductor recto, rigido y horizontal, de longitud25cm y masa 50 g esta conectado a una Fuente de fern porconductores Flexibles. Un campo magnerico de 1,33 T es hori-zontal y perpendicular al conductor . Hallar la ccrriente nece-sari a para hacer flotare1 conductor. es decir. de modo que lafuerza magnetlca equilibre 1 '1 peso del alarnbre,33. Las placas de un aparato Thomson qt m son de 0,0 ern delargo y estan separadas por 1 ,2 em. E I extremo de las placasestfi a 30,0 ern de Ia pantalla del tubo, La energia cinetica delos electrones es de 2,8 keV. (a ) Si se aplica un potencial de25,0 V a traves de las placas de dellexion, Len cuanto se des-viara el haz? (b ) Hallar 1 "1valor de un campo cruzado que pet-mila al haz pasar sin verse desviado ..34. Un simple magnetoscopio (glw5metro) para la medida decampos magneticos horizontalesrconsiste en un alarnbre rig i-do de 50 em que cuelga de un pivote conductor de modo quesuextrerno libre hace contacto con una cubeta de mercuric,E!alarnbre posee una rnasa de 5 g y conduce una corriente ha-cia abajo. (a ) LeUa ! es el desplazarniento angular de equili-brio del alarnbre de la posicion vertical 5ie! campo magneticohorizontal es 0,04 T y la corriente de 0,20 A7 (b ) 5i la corrien-

te es 20 A y un desplaza miento dela vertical de 0,5 mm puedederectarse para eJ extreme llbre. L cual es la sensibilidad dernedida de campos magnet ices horizontales para este rnagne-toscopio]35 . . Una bobina rectangular de s o vuelras tiene lades de 6,0y 8.0 cm y transports una corriente de 1,75 A. Esta orientadacomo indica la figura 24-28 y pivota alrededor del e]e z , ( t I )S i el alambre situado en el plano xy forma un angulo de 37con el eje y como se indica, Lque .ingulo Forma el vector uni-tario normal Ii con 1 ' 1 . eje x1(.b) Expresar Ii en luncion de losvectores unitarios iy j. (c ) Leual es 1 '1mornento magneucode la bobina1 (d) Determinar 1" 1momento del par que actuasobre la bobina cuando se situa en un campo magnetico uni-forme 6=1.5 T j.

Figura 24-28 Problemas 35 y 36..

36. La bobina del problema 35 pivota a!rededor del eje z y51 "mantiene en diversas poslclones en un campo magnericouniforms B=2,0 T j, Dibujar la posicion de la bobina y deter-minar el momento del par cuando el vector unitario normales (a ) n =i,. (b) fi=j, (c) n=-j y (d) ft=j + j)/../2.37. Una parricula de carga q y rnasa M 5 1 , ' mueve en una cir-cunlerencia de radio r con una velocidad angular w. (a ) 01"-mostrar que la corriente media es 1= qw 127ryque el momen-to magnetico liene por valor m=1'Iwr'. (b) Demostrar queel movimiento angular de esra particula tiene eJ valorL=MI' i ' -w y que los veetores de momento magnet ito, y movi-mien to angular esran relacionados por m= (qI2M)L.38. Una partlcula de carga q y rnasa m ttene una cantidad demovimiento p =rI1V Y una energta cinetica E , =1 1 1 1 . 1 ' =p' 12m.Si se rnueveen una 6rbita circular de radio, en el interior deun campo magnetico E, dernostrar que (a) p=Bqr y (b)E,='q'r' 12m.39. Protcnes, deuterones (cada uno de carga + e ) y partfcu lasalfa(de carga + 2e ) de la misma energia cine Ica entran en uncampo rnagnetico unilorme B que 1'5perpendicular a sus veloci-clades. Sean 'p' I' d Y r~ los radios de sus 6rbitas circulares. Ha-liar los cocientes I'd1'. Y r"lr~. Admilir que m"=2mJ =4m.,.40. Dernostrar que la frecuencia del clclotron es la mismapara deuterones que para. particulas alfa y que es la rnitad dela correspondiente a un prot6n en el interior del. mismo cam-po magnerico. (Vease problema 39.)41. Un proton y una. particula alfa se rnueven en un campomagnerico uniforrne en clncunferencias de igual radio _Com-pa rar (a ) sus velocidades., (b) sus energfas dneticas y (c) susrnomentos angulares. (Vease problema 39.)4.2. EI berilio tlene una densidad de 1,83 gl cm 1 y una masamolecular de 9.01 g/mol. Una cinta de berilio de espesor


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1.4 mm y anchura 1.2 on rransporta una corriente de 3,75 Aen una regi6n dcnde existe un campo magnetico de rnagnitud1 ,88 T perpendicular a la cinta . E I v olraje Hall medido es de0,130 p V. (a ) Ca lcular la densidad nurnerica de los portado resde carga. (b ) Calcular la densidad nurnerica de los alomos deberilio, (e ) ~Cuantos electrories libres existen per atorno deberilio?43.. Una espira circular rigida de radio R y rnasa M seencuentraen el planory sobre una mesa plana y rugosa. EI campo mag-nelko es B =B , i+B , j , LCuan to debe valer I a in tensidad decorrienreanres de que un lade de la espira s e l ev a n te de la mesa?44. Un galvancmetro de boblna rnovil consta de un carrete dealambre suspendido en un campo magnerico radial B medianteuna fibra delgada y muy Flexible. Cuando una. corriente 1 pasaa traves de la bobina se genera un momento que tiende a gi-rarla, A su vez en la fibra se engendra un par restaurador T=Q ,proportional al angulo de torsion fl. La constante k se llamaeonstante de torsion. Dernostrar que 1=tJl(NAB). en dondeN esel numero de vueltas de alarnbre de la bobina, A el areadel arrollarniento y Be l campo magnetteo.45.. Un alambre de longitud L se arrolla en una bobina ci rcul arde N espiras. Demostrar que cuandc esta bobina rransportaunacorriente I , 5U memento rnagnerico riene la rnagnirud I L ' / 4 7 r N .46. Un disco de metal: de radio 6 em se menta sobre un eiesin rozarniento. La corriente puede fluir a rra ves d el ei,e y a1 0 largo del disco hasta alcanzar un contaceo deslizante situa-do en la periferia de aquel , Paralelo a l eje del disco existe uncampo rnagnerico uniforrne 8=1,25 T. Cuando la corrienrees J A. el disco gira con velocidad angular constan te. LCuales la Fuerza de fricci6n que se produce entre el contacto eJec-, ico estacionario y el borde rotatorio del disco?47. Una particula de masa m y ca rga q en t ra en una regiondonde exlste un campo rnagnetico uniforme B a 1 0 largo de lei e .l. L a v el oc id a d in i ci a I de la pa rtkula es v =u i+ tJ"" j,de modo que la particula se rnueve en una rrayectoria helicoi-dal. (a) Dernostrar que el radio de la helice es r=rllv,/qB.(bl Demostrar que la particula tarda un liempo t= 21fmfq8en cornpletar una orbita alrededor de la nelice.48. Un espectr6metro de masas se encuentra precedido porun selector de velocidad constituido per placas paralelas se-paradas entre sl 2,0 mm y entre las que existe una dlferenciade potencial. de 160 V. E I campo m ag nerico entre las placases de 0,42 T. EIcampo magnetico en el espectrcrnetro de rna-sases de 1.2 T. Calcular (a) la velocldad con Ia que se intro-ducen los iones en el espectrornetro y (b ) la diferencia en losdiametros de l as o rb ita s del ! lOU y '""U sirn plernente io niza -dos, (La masa de un ion ll'U es 3.903 X10 zs kg.)49, Un a.lambre conductor es para lelo a.l.eje y. Se mueve enJa direcd6n x posit]va con una. velocidad de 20 m/s en uncampo magnetico B=0.5 T k. (a ) Determinar la magnitud ydirecci6n de la fuerza magnetica que actua sobre un electr6nen el conductor. (b) Debido a esta fuerza magnetica, los elec-trones se mueven a un extremo del conductor. dejando el otroextremo positivamente cargado hasta que e1campo e](~ctficodebido a esla separad6n de carga eierce una fuerza sobre loselectronesque equHibra la fuerza magnetica. Determinar lamagnitud y dlrecci6n de estecampo electrico en estado esta-clonario. (c) Suponemos que el cable mavil liene 2 melros delongitud. L Cual es la diferencia de po~endal entre sus dos ex-tremos debido aeste campo elec:trico?50. Una barra meto!.!icade masa M esta apoyada sobre un pa.rde varilla::; conductoras horizontaJes separadas una distancia

Problemas 809

L y unidas a un dispositive que suministra una corrienteconstante I al circuito. segun se ve en la Figura 24-29. Se esta-blece un campo, magnetico uniforme B del modo indicado, (a )Si no existe rozarniento y Labarra parte del repose cuando1=0, demostrarqueen el instante I la barra tiene una veloci-dad u=(BJUM)1. (b) LEnque sentido se rnoverala barra? (elSi el cceflciente de rozarniento estatico es 1 1 - . , hallar el valorrninimo del campo B necesario para hacer que se ponga la ba-rra en rncvimiento.Figura 24-29 Problemas 50 y 51.

B bacia dentro

1

IIFuente decorrienteconstante

L====~:

51. E n la Figura 24-29 adrnitir que los conductores de apoyocarecen de rozamiento perc estan inciinados hacia arriba demodo que forman un angulo e con la horizontal (a ) , Q u ecampo magnetico vertical B se necesita para que la barra nose deslice hacia aba]o por 1.05 condcctcres? (b ) LCuill es la are-leracion de Ia barra sl B es el doble del valor hallado en (a)1Mvel III52. Un cable rigido, recto y horizontal de longitud 25 em ymasa 20 g, se soporta mediante contactos electricos en sus ex-tremos, perc es libre de rnoverse verricalmente hacia arriba. E Icable se encuentra en un campo rnagnetico uniforrne y hori-zontal, de magnitud 0,4 T perpendicular al cable. Un lnterrup-lor que ccnectael cable con una bareria se cierra y el cable sedispara hacia arriba alcanzando una al tura maxi rna. I I. La ba-teria surninistra una carga total de 2 C durante el corte tiempoque hace contacto con el alambre. Determinar la altura h.53. Una espira circu lar de alarnbre de rnasa M transporsa unacorriente l en un campo rnagnetico uniforme. Irucialmenteesta en equilibria con su vector momento magnetico alineadocon e I campo magnetico. Damos ala espira un pequefio giroalrededor de un diarnetro y Iuegc se deja en libertad, LCua les 1"1perlod o del rnovimiento? (Suponerque el unico rnornen-to ejercido sobre laespira se debe al campo magnetico.)54. Un cable conductor porel que circula una ccrrienre I Ile-ne la forma de una espira semicircular de radio R situada 50-breel plano X J I . Existe un campo magnet ico uniforrne B=B kperpendicular al plano de la espira (figu.ra 24-30). Demostrarque .Ia fuena que actua. sobre Ja espira es F=2IRB j.Figura 24-30 Problema 54.

!tB ha c;a fuera

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810 Capitulo 24 1 campo maglletico

55. Demostrar que el radio de la orbita de una partlcula car-gada en uri ciclotron es proporcional a la raiz cuadrada delntirnero de 6rbitas recorridas.56. Se dobla de forma arbitraria un conductor y por e l sehace circular una corriente I en el interior de un campo mag-netico unilcrme, B. Demostrar que la Iuerza total sabre Iaparte de un conductor que va desde un punta C l a otro puntab es F= II x B, siendo L el vector que va desde a basta b.57. Se dispone de un conductor de longitud fija L y forma-mos con iii una bobina de N vueltas, Cuanto rnenor sea elareaencerrada en una espira mayor sera el numero de vuel-Las.Dernostrar que en el caso de un conductor de longitud de-terminada por el que circula una corriente I. se obtiene el mo-menta rnagnetico maximo con una bobina de una sola vueltay queel valor de este memento magnetico es I L ' / 4 1 1 " . (S610es necesario considerar bobinas circularesvj Por que?)58. Una varilla no conductorade rnasa M y longitud '. tieneuna carga uniforrne por unidad de lcngirud X y se hace girarcan velocidad angular w alrededor de un eje que pasa a travesde uno de sus extremes y es perpendicular a la varllla. (a)Considerar un pequefio segmento de longitud dx y eargadq=}, dx a una distancia x del eje de giro. Demostrar que elmemento rnagnetlco de este segrnenro es tXwx' dx . (b) Inte-grar el resultado para demostrar que el momenta magneticototal de la varillaes III=i-}'w{J. t e l Dernostrar que el mo-mente rnagnetlco m y el rnovimiento angular L estan relacio-nados porrn =(QI2M) L, en donde Q 1'5 la carga total sabrela varilla.59. l.ln disco no conductor de masa M y radio R !iene unadensidad de carga superficial uniforrne 0 y gira con una velo-cidad angular w . .Jrededor de su eje, (tI) Consideremos un ani-1 1 0 de radio r y anchura dr, Dernostrar que la corriente total

eneste anillo es dl=(wI21T)dq =csar dr . (b) Demostrar que elmomento rnagnetico del anillo es dm =TWor dr. (c) lnregrarel resultado de la parte (b ) para demostrar que el mementornagnetico to tal del disco es 11 7 = - ,\ -1 T w o R " . ( d) Demostra r que1'1 memento rnagnetico m y el movirniento angular L estanrelacronados par m=(Q/2M)L, en donde Q es lacarga totalsobre 1 "1disco60. Un irnan pequeho de memento m forma un anguio e CO[lun campo rnagnetico unirorrne B. (a ) LCu

cap24 - campo magnetico

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