Analiza matematica

Nicolae DanetUniversitatea Tehnica de Constructii BucurestiDepartamentul de Matematica si Informatica

Anul universitar 2011-2012c Nicolae Danet 2011

Capitolul 5

Calculul diferential al functiilorde o variabila

Avertisment!Aceste note de curs sunt distribuite gratuit numai studentilor din anul

I, seria A, Facultatea Cai Ferate, Drumuri si Poduri din UniversitateaTehnica de Constructii Bucuresti pentru utilizare personala.

Este interzista comercializarea sub orice forma sau asarea pe orice sitea acestui text, fara acordul scris al autorului.

c Nicolae Danet 2011

5.1 Derivata si diferentiala unei functii de ovariabila

Fie f : I R o functie reala denita pe un interval deschis I R si a I.Se spune ca functia f este derivabila n punctul a I daca exista limita

limxa

f(x) f(a)x a

si este nita. Valoarea limitei se numeste derivata functiei f n punctul asi se noteaza cu f (a). Deci

f (a) := limxa

f(x) f(a)x a . (5.1)

Se spune ca functia f este diferentiabila n punctul a I daca existao functie liniara L : R R si o functie : I R, continua n x = a si

79

80 Capitolul 5. Calculul diferential al functiilor de o variabila

nula n acest punct, astfel nct sa existe egalitatea

f(a+ h) f(a) = L(x a) + (x)(x a), x I. (5.2)Functia ind continua n x = a si nula n acest punct are proprietatile

limxa

(x) = (a) = 0. (5.3)

Functia L : R R ind liniara este de forma L(h) = d h, unde d esteo constanta reala, mai precis d = L(1). Folosind aceasta observatie putemreformula denitia de mai sus asupra diferentiabilitatii functiei f n punctula astfel: functia f este diferentiabila n punctul a I daca exista un numarreal d si o functie : I R, continua n x = a si nula n acest punct, astfelnct sa avem egalitatea

f(x) f(a) = d (x a) + (x)(x a), x I. (5.4)Pentru functiile reale de o variabila reala notiunile de functie derivabila

si functie diferentiabila coincid, asa cum se arata n propozitia urmatoare.

Propozitia 5.1.1 Fie f : I R o functie reala denita pe un intervaldeschis I R si a I. Urmatoarele armatii sunt echivalente:

(i) Functia f este derivabila n punctul a.(ii) Functia f este diferentiabila n punctul a.

Demonstratie. (i) (ii) Daca f este derivabila n punctul a, atunciexista f (a) R si are loc egalitatea (5.1). Denim functia : I Rastfel:

(x) :=

f(x) f(a)x a f

(a), daca x = a,0, daca x = a.

Evident, are proprietatile (5.3) si are loc egaliatea

f(x) f(a) = f (a) (x a) + (x)(x a), x I,ceea ce arata ca f este diferentiabila n punctul a si ca d = f (a).

(ii) (i) Daca f este diferentiabila n punctul a, atunci are lor egalitatea(5.4). De aici, pentru x = a, rezulta

f(x) f(a)x a = d+ (x).

Atunci

limxa

f(x) f(a)x a = d+ limxa(x) = d+ (a) = d.

Deci f este derivabila n a si f (a) = d.

Nicolae Danet Analiza matematica 2011-2012

5.2. Extremele functiilor de o variabila 81

Denitia 5.1.2 Functia liniara L : R R, denita prin L(h) = f (a) hse numeste diferentiala functiei f n punctul a si se noteaza cu df(a). Deci:

df(a) : R R, df(a)(h) = f (a) h.

Trebuie remarcat ca derivata functiei f n punctul a este un numarreal notat f (a) pe cnd diferentiala functiei f n punctul a este o functieliniara df(a) : R R care asociaza oricarui numar real h produsul f (a)h.

5.2 Extremele functiilor de o variabila

Fie f : I R R o funtie reala denita pe un interval I si x0 un punct dinI. Se spune ca x0 este un punct de maxim local (sau relativ) al functieif , daca exista o vecinatate V a lui x0 astfel nct

f(x) f(x0), x V I.

Se spune ca x0 este un punct de minim local (sau relativ) al functiei f ,daca exista o vecinatate V a lui x0 astfel nct

f(x) f(x0), x V I.

Punctele de maxim sau de minim local ale functiei f se numesc puncte deextrem local ale lui f.

Daca x0 este un punct de maxim (minim) local al functiei f , numarulf(x0) se numeste valoarea maxima (minima) locala a lui f, iar punctul(x0, f(x0)) situat pe gracul functiei f se numeste punct de maxim (minim)local al gracului.

Teorema 5.2.1 (Fermat) Daca functia f : I R R este derivabilantr-un punct de extrem local x0 situat n interiorul intervalului I, atunciderivata sa este nula n acest punct, f (x0) = 0.

Proof. Fie x0 un punct de maxim local al functiei f situat n interiorulintervalului I. Atunci exista a vecinatate V a lui x0, V I, astfel ca f(x)f(x0) 0, x V. Deoarece f este derivabila n x0, exista derivata f (x0) siaceasta este egala cu derivatele laterale f d(x0) si f

s(x0). Atunci avem

f (x0) = f d(x0) = limxx0x>x0

f(x) f(x0)x x0 0,

Nicolae Danet Analiza matematica 2011-2012

82 Capitolul 5. Calculul diferential al functiilor de o variabila

deoarece n vecinatatea lui x0, f(x)f(x0) 0 si xx0 > 0. Analog obtinem

f (x0) = f s(x0) = limxx0x 0, atunci x0 este punct de minim.

(ii) Daca n este impar, atunci x0 nu este punct de extem local al functieif.

Proof. Folosim formula lui Taylor sub forma data de formula (4.19).Deoarece derivatele functiei f pna la ordinul n 1 sunt nule n punctul x0,obtinem

f(x) f(x0) =[f (n)(x0) + (x)

] (x x0)nn!

, (5.5)

unde limxx0

(x) = 0 = (x0). Prin urmare, limxx0

[f (n)(x0) + (x)

]= f (n)(x0).

Daca f (n)(x0) < 0 (f (n)(x0) > 0), atunci exista o vecinatate V a lui x0astfel ca f (n)(x0) + (x) < 0 (f (n)(x0) + (x) > 0), pentru orice x V.

Daca n este numar par, atunci (x x0)n 0 pentru orice x I. n bazaformulei (5.5) obtinem f(x)f(x0) 0, pentru orice x V. Deci, x0 este unpunct de maxim local. Demonstratie similara n cazul n care f (n)(x0) > 0.

Daca n este impar, atunci (xx0)n < 0, daca x < x0, si (xx0)n > 0, dacax > x0. Daca f (n)(x0) < 0, atunci f (n)(x0) + (x) < 0, pentru orice x V ,de unde rezulta ca: f(x) > f(x0), daca x < x0, x V, sau f(x) < f(x0), dacax > x0, x V. Prin urmare, x0 nu este punct de extrem local. Demonstratiesimilara daca f (n)(x0) > 0.

Nicolae Danet Analiza matematica 2011-2012

5.2. Extremele functiilor de o variabila 83

Corolarul 5.2.3 Fie f o functie de clasa C2 pe intervalul I si x0 int I.Presupunem ca f (x0) = 0, f (x0) = 0.

(i) Daca f (x0) < 0, atunci x0 este un punct de maxim local.(ii) Daca f (x0) > 0, atunci x0 este un punct de minim local.

Nicolae Danet Analiza matematica 2011-2012

TitluCap5-Calculul diferential al functiilor de o variabila