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Capacitância

Cap. 25

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25-1 Capacitância

Um capacitor é constituído por dois condutores isolados (as placas), que

podem receber cargas +q e –q. A capacitância C é definida pela equação

onde V é a diferença de potencial entre as placas.

Um capacitor de placas paralelas,

feito de duas placas de área A

separadas por uma distância d. As

cargas da superfície interna das

placas têm o mesmo valor absoluto q

e sinais opostos

Como mostram as linhas de campo, o campo

elétrico produzido pelas placas carregadas é

uniforme na região central entre as placas. Nas

bordas das placas, o campo não é uniforme.


A face inferior da

placa de cima tem

carga +q

A face

superior da

placa de

baixo tem

carga -q

Linhas de campo elétrico

25-1 Capacitância

Quando um circuito com uma bateria, uma chave aberta e um capacitor

descarregado é acionado ao ligarmos a chave, os elétrons de condução

começam a circular, deixando as placas do capacitor com cargas de sinais

opostos.

Na Fig. (a), um circuito é formado por uma bateria B, uma chave S, um capacitor

descarregado C e fios de ligação. O mesmo circuito é mostrado no diagrama

esquemático da Fig. (b), no qual os símbolos de bateria, chave e capacitor

representam esses dispositivos. A bateria mantém uma diferença de potencial V entre

os terminais. O terminal de maior potencial é indicado pelo símbolo + e chamado de

terminal positivo; o terminal de menor potencial é indicado pelo símbolo − e chamado

de terminal negativo.

Carga de um Capacitor


25-2 Calculando a Capacitância

Para relacionar o campo elétrico E entre as placas de um capacitor à carga q

de uma das placas, usamos a lei de Gauss:

A diferença de potencial entre as placas de um

capacitor está relacionada ao campo E pela

equação

Chamando de V a diferença Vf − Vi, a

equação acima se torna:

Cálculo do campo elétrico e da dif. de potencial


Um capacitor de placas paralelas

carregado. Uma superfície

Gaussiana envolve a carga na placa

positiva. A integração é executada ao

longo de uma trajetória que vai da

placa negativa para a placa positiva.

Usamos a Lei de Gauss para

relacionar q e E. Então integramos em

E para obter a diferença de potencial

Superfície

Gaussiana

Trajetória de

integração


Vamos supor, como sugere a Figura, que a placas do nosso capacitor de

placas paralelas são tão extensas e tão próximas que podemos desprezar o

efeito das bordas e supor que E é constante em toda a região entre as placas.

Escolhemos uma superfície Gaussiana que

envolve apenas a carga q na placa positiva

Onde A é a área da placa. E portanto,

Capacitor de Placas Paralelas

Agora se nós substituímos q nas

equações acima para q=CV, obtemos,


Um capacitor de placas paralelas

carregado. Uma superfície

Gaussiana envolve a carga na placa

positiva. A integração é executada ao

longo de uma trajetória que vai da

placa negativa para a placa positiva.

Usamos a Lei de Gauss para

relacionar q e E. Então integramos em

E para obter a diferença de potencial

Superfície

Gaussiana

Trajetória de

integração

(Capacitor de placas paralelas)


A Figura mostra uma vista em seção reta de um capacitor

cilíndrico de comprimento L formado por dois cilindros

coaxiais de raios a e b. Vamos supor que L >> b para que

os efeitos das bordas sobre o campo elétrico possam ser

desprezados. As duas placas contêm cargas de valor

absoluto q. Aqui, carga e campo elétrico E estão

relacionados como

Resolvendo para o campo E:

Capacitor Cilíndrico

Vista em seção reta de um capa-

citor cilíndrico longo, mostrando

uma superfície gaussiana cilín-

drica de raio r (que envolve a pla-

ca positiva) e uma trajetória de

integração radial. A figura tam-

bém pode representar uma vista

em seção reta de um capacitor

esférico, passando pelo centro.

Da relação C= q/V, então temos


Superfície

GaussianaTrajetória de

integração

Carga total -qCarga total +q

(Capacitor cilíndrico)

Para um capacitor esférico a capacitância é:

Capacitância de uma esfera isolada:


Outros…

Answer: (a) decreases (b) increases

(c) increases


Vista em seção reta de um capa-

citor cilíndrico longo, mostrando

uma superfície gaussiana cilín-

drica de raio r (que envolve a pla-

ca positiva) e uma trajetória de

integração radial. A figura tam-

bém pode representar uma vista

em seção reta de um capacitor

esférico, passando pelo centro.

Superfície

GaussianaTrajetória de

integração

Carga total -qCarga total +q

No caso de capacitores carregados pela mesma bateria, a carga armazenada pelo capacitor aumenta, diminui ou permanece a mesma nas situações a seguir? (a) A distância entre as placas de um capacitor de placas paralelas aumenta. (b) O raio do cilindro interno de um capacitor cilíndrico aumenta. (c) O raio da casca externa de um capacitor esférico aumenta juntamente com o da casca interna.

(Capacitor esférico)

(Esfera isolada)

Capacitores ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga total q e a mesma diferença de potencial V que os capacitores originais.

25-3 Capacitores em Paralelo e em Série

Capacitores em Paralelo


Quando uma diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores ligados em paralelo, a diferença de potencial V é a mesma entre as placas de todos os capacitores, e a carga total q armazenada nos capacitores é a soma das cargas armazenadas individualmente nos capacitores.

Capacitores em

paralelo tem o

mesmo valor de V.

(n capacitores em paralelo)

A carga total na combinação em paralelo da figura ao lado é então

A capacitância equivalente, com a mesma carga total q e diferença de potencial V, é

então

Um resultado que podemos facilmente estender para qualquer número n de capacitores:

25-3 Capacitores em Paralelo e em Série

Capacitores em Série


Quando uma diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores ligados em série, a carga q armazenada é a mesma em todos os capacitores, e a soma das diferenças de potencial entre as placas dos capacitores é igual à diferença de potencial aplicada V.

Capacitores em

série têm o mesmo

valor de q.

Capacitores ligados em série podem ser substituídos por um capacitor

equivalente com a mesma carga q e a mesma diferença de potencial total

V que os capacitores originais.

A diferença de potencial total V devido à bateria é a soma

A capacitância equivalente é então

(n capacitores em série)

ou

25-4 Energia Armazenada em um Campo Elétrico

A energia potencial elétrica U de um capacitor carregado,

e,

é igual ao trabalho realizado para carregar o capacitor. Esta energia pode estar

associada com o campo elétrico E do capacitor.

Todo campo elétrico, num capacitor ou de outra fonte, tem associado a ele

uma energia armazenada. No vácuo, a densidade de energia u (energia

potencial por unidade de volume) em um campo com módulo E é


A energia potencial armazenada em um capacitor carregado está associada ao

campo elétrico que existe entre as placas.

(energia potencial)

(energia potencial)

(densidade de energia)

25-5 Capacitor com um Dielétrico

(b) Se a carga das placas é mantida, o efeito do

dielétrico é reduzir a diferença de potencial entre

as placas. O mostrador visto na figura é o de um

potenciômetro, instrumento usado para medir

diferenças de potencial (no caso, entre as

placas do capacitor). Um capacitor não pode se

descarregar por meio de um potenciômetro

(a) Se a diferença de potencial entre as

placas de um capacitor é mantida por

uma bateria B, o efeito de um dielétrico

é aumentar a carga das placas.

Quando preenchemos o espaço entre as placas de um capacitor com um material

dielétrico, a capacitância C no vácuo é multiplicada pela constante dielétrica κ,

(letra grega kappa) do material, a qual é um número maior que 1.


Em uma região totalmente preenchida por um material dielétrico de

constante dielétrica κ, a constante elétrica ε0 deve ser substituída por

κε0 em todas as equações.

q = uma constanteV = uma constante

25-5 Capacitor com um Dielétrico

Uma Visão Atômica

(a) Moléculas com um momento

dipolar permanente, orientadas

aleatoriamente na ausência de um

campo elétrico externo.

(b) Quando um campo elétrico é

aplicado, os dipolos elétricos se

alinham parcialmente. O

alinhamento não é completo por

causa da agitação

térmica.

Dielétrico Polar

Dielétrico

Apolar


O campo elétrico

inicial no interior deste

dielétrico apolar é zero

O campo aplicado

alinha os momentos de

dipolo atômicos

O campo dos átomos

alinhados se opõe ao

campo aplicado

25-6 Dielétricos e a Lei de Gauss

Na presença de um dielétrico, a Lei de Gauss pode ser generalizada para

onde q é a carga livre. Qualquer carga superficial induzida é levada em

consideração ao incluir a constante dielétrica k na integral.

Capacitor de placas paralelas (a) sem e (b) com um

dielétrico entre as placas. A carga q das placas é

tomada como a mesma nos dois casos.

• Quando um dielétrico é introduzido no espaço entre as placas de um capacitor, é

induzida uma carga nas superfícies do dielétrico que reduz o campo elétrico na

região entre as placas

• A carga induzida é menor que a carga livre das placas.

Nota:

A integral do fluxo agora envolve κE,

não apenas E. O vetor ε0κE recebe o

nome de deslocamento elétrico D,

assim a equação acima pode ser

escrita na forma


(Lei de Gauss com dielétrico)

25 Sumário

Capacitor e Capacitância• A capacitância de um capacitor é

definida como:

Determinando a Capacitância• Capacitor de placas paralelas:

• Capacitor cilíndrico:

• Capacitor esférico:

• Esfera isolada:

Eq. 25-1

Eq. 25-9

Eq. 25-14

Capacitor em paralelo e em série• Em paralelo:

• Em série

Eq. 25-19

Eq. 25-17

Eq. 25-18

Eq. 25-20

Energia Potencial e Densidade

de Energia• Energia Potencial Elétrica (U):

• Densidade de Energia (u)

Eq. 25-21&22

Eq. 25-25


25 Sumário

Capacitância com um Dielétrico• Se o espaço entre as placas de um

capacitor é completamente

preenchido com um material

dielétrico, a capacitância C é

aumentada por um fator κ,

chamado de constante dielétrica, a

qual é característica do material.

Lei de Gauss com um Dielétrico• Quando um dielétrico está presente,

A Lei de Gauss torna-se:

Eq. 25-36


25 Exercícios


Halliday 10ª. Edição

Cap. 25:

Problemas 2; 6; 14; 18; 20; 32; 36; 44; 48; 74

25 Problema 25-2


O capacitor da Figura abaixo possui uma capacitância de 25 μF e está

inicialmente descarregado. A bateria produz uma diferença de potencial

de 120 V. Quando a chave S é fechada, qual é a carga total que passa

por ela?

25 Problema 25-6


Pretende-se usar duas placas de metal com 1,00 m2 de área para

construir um capacitor de placas paralelas. (a) Qual deve ser a

distância entre as placas para que a capacitância do dispositivo seja

1,00 F? (b) O dispositivo é fisicamente viável?

25 Problema 25-14


Na Figura abaixo, a bateria tem uma diferença de potencial V = 10,0 V

e os cinco capacitores têm uma capacitância de 10,0 μF cada um.

Determine a carga (a) do capacitor 1 e (b) do capacitor 2.

25 Problema 25-18


A Figura mostra quatro capacitores, cujo dielétrico é o ar, ligados em

um circuito que faz parte de um circuito maior. O gráfico a seguir do

circuito mostra o potencial elétrico V(x) em função da posição x no

ramo inferior do circuito, que contém o capacitor 4. O gráfico acima do

circuito mostra o potencial elétrico V(x) em função da posição x no

ramo superior do circuito, que contém os capacitores 1, 2 e 3. O

capacitor 3 tem uma capacitância de 0,80 μF. Determine a capacitância

(a) do capacitor 1 e (b) do capacitor 2.

25 Problema 25-20


A Figura abaixo mostra um capacitor variável com “dielétrico de ar” do

tipo usado para sintonizar manualmente receptores de rádio. O

capacitor é formado por dois conjuntos de placas intercaladas, um

grupo de placas fixas, ligadas entre si, e um grupo de placas móveis,

também ligadas entre si. Considere um capacitor com 4 placas de cada

tipo, todas com uma área A = 1,25 cm2; a distância entre placas

vizinhas é d = 3,40 mm. Qual é a capacitância máxima do conjunto?

25 Problema 25-32


Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar é carregado com

uma diferença de potencial de 600 V. A área das placas é 40 cm2 e a

distância entre as placas é 1,0 mm. Determine (a) a capacitância, (b) o

valor absoluto da carga em uma das placas, (c) a energia armazenada,

(d) o campo elétrico na região entre as placas e (e) a densidade de

energia na região entre as placas.

25 Problema 25-36


Como engenheiro de segurança, o leitor precisa emitir um parecer a respeito da

prática de armazenar líquidos condutores inflamáveis em recipientes feitos de

material isolante. A companhia que fornece certo líquido vem usando um

recipiente cilíndrico, feito de plástico, de raio r = 0,20 m, que está cheio até uma

altura h = 10 cm, menor que a altura interna do recipiente (Figura). A investigação

do leitor revela que, durante o transporte, a superfície externa no recipiente

adquire uma densidade de carga negativa de 2,0 μC/m2 (aproximadamente

uniforme). Como o líquido é um bom condutor de eletricidade, a carga do

recipiente faz com que as cargas do líquido se separem. (a) Qual é a carga

negativa induzida no centro do líquido? (b) Suponha que a capacitância da parte

central do líquido em relação à terra seja 35 pF. Qual é a energia potencial

associada à carga negativa desse capacitor efetivo? (c) Se ocorre uma centelha

entre a terra e a parte central do líquido (através do respiradouro), a energia

potencial pode alimentar a centelha. A energia mínima necessária para inflamar o

líquido é 10 mJ. Nessa situação, o líquido pode pegar fogo por causa de uma

centelha?

25 Problema 25-44


Você está interessado em construir um capacitor com uma capacitância

de aproximadamente 1 nF e um potencial de ruptura de mais de 10.000 V

e pensa em usar as superfícies laterais de um copo de pirex como

dielétrico, revestindo as faces interna e externa com folha de alumínio

para fazer as placas. O copo tem 15 cm de altura, um raio interno de 3,6

cm e um raio externo de 3,8 cm. Determine (a) a capacitância e (b) o

potencial de ruptura do capacitor.

25 Problema 25-48


A Figura mostra um capacitor de placas paralelas com uma área das

placas A = 5,56 cm2 e uma distância entre as placas d = 5,56 mm. A

parte esquerda do espaço entre as placas é preenchida por um

material de constante dielétrica κ1 = 7,00; a parte direita é preenchida por

um material de constante dielétrica κ2 = 12,0. Qual é a capacitância?

25 Problema 25-74


O leitor dispõe de duas placas de cobre, uma folha de mica (espessura =

0,10 mm, κ = 5,4), um pedaço de vidro (espessura = 2,0 mm, κ = 7,0) e

um bloco de parafina (espessura = 1,0 cm, κ = 2,0). Para fabricar um

capacitor de placas paralelas com o maior valor possível de C, que

material você deve colocar entre as placas de cobre?

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