capitolo 1 equazioni edisequazioni - staticmy.zanichelli.it · espressione) positivo. •...

2

T

Capitolo

1 equazioni e disequazioni

Disequazioni e princìpi di equivalenza

Le disuguaglianze sono enunciati fra espressioni che confrontiamo mediante le seguenti relazioni d’ordine:

1 (minore), 2 (maggiore), # (minore o uguale), $ (maggiore o uguale).

Per esempio:

2 + 1 1 5, 3a + 1 $ b.

definizione

Una disequazione è una disuguaglianza in cui compaiono espressioni letterali per le quali cerchiamo i valori di una o più lettere che rendono la disugua-glianza vera.

Le lettere per le quali si cercano valori sono le incognite. I valori delle incognite che rendono vera la disuguaglianza sono le soluzioni della disequazione.

Ci occuperemo, per il momento, di disequazioni a una sola incognita e cercheremo di determinare l’insieme delle soluzioni S nell’insieme R dei numeri reali.

esempio

La disequazione 5 - x 2 0 ha come insieme delle soluzioni S x x 5R 1!= $ ., che indichiamo, per brevità, con x 1 5.

Se una disequazione è scritta nella forma normale P(x) 2 0, con P(x) polinomio nell’incognita x ridotto in forma normale, il grado della disequazione è il grado di P(x). Analoga definizione si ha per le disequazioni con 1, #, $.

Una disequazione è numerica se nell’equazione non compaiono altre lettere oltre all’incognita. È letterale se invece contiene altre lettere, che possono anche essere chiamate parametri.

Una disequazione è intera se l’incognita compare soltanto nei numeratori delle eventuali frazioni presenti nella disequazione. Se invece l’incognita è contenuta nel denominatore di qualche frazione, allora la disequazione è fratta.

1

Listen to it

An inequality is a relation

that compares two expres-

sions, one greater than the

other. If the expressions

contain unknown quantities,

we solve the inequality by

finding the values for which

the inequality holds.

Paragrafo 1. Disequazioni e princ“pi di equivalenza

3

TEORIA

Tesempio

La disequazione x

x5

2 3 12+

- è fratta e ha senso solo quando

x + 5 ! 0 " x ! - 5

perché non possono esistere frazioni con denominatore nullo. Diciamo anche che la sua condizione di esistenza è x ! - 5.

definizione

Le condizioni di esistenza di una disequazione sono le condizioni che le varia-bili devono soddisfare affinché tutte le espressioni scritte abbiano significato. Le indichiamo con C.E.

■ Intervalli

Spesso gli insiemi delle soluzioni delle disequazioni che studieremo sono partico-lari sottoinsiemi di R chiamati intervalli.

definizione

Dati due numeri reali a e b, con a 1 b, chiamiamo intervallo limitato l’insie-me dei numeri reali x compresi fra a e b.

Dato un numero reale a, chiamiamo intervallo illimitato l’insieme dei numeri reali x che precedono a, oppure l’insieme dei numeri reali x che seguono a.

Un intervallo è chiuso quando include i propri estremi, in caso contrario è aperto.

Distinguiamo i seguenti casi, dove rappresentiamo gli intervalli in tre modi diver-si: con le disuguaglianze, mediante parentesi quadre o con una rappresentazione grafica.

Intervalli limitati Intervalli illimitati

a. Intervallo aperto illimitato superiormente ]a; +∞[.

d. Intervallo chiuso illimitato inferiormente ]–∞; a].

b. Intervallo aperto illimitato inferiormente ]–∞; a[.

c. Intervallo chiuso illimitato superiormente [a; +∞[.

+∞a

x > a

+∞a

x a

x a

–∞ a

–∞ a

x < a

a. Intervallo aperto ]a; b[.

d. Intervallo aperto a sinistra ]a; b].

b. Intervallo chiuso [a; b].

c. Intervallo aperto a destra [a; b[.

a b

a < x < b

a b

a x b

a b

a x < b

a b

a < x b

|▶ Esercizi a p. 24

Capitolo 1. Equazioni e disequazioni

4

TEORIA

Tesempio

1. ;25

17; E, ossia x25

17# # , è un intervallo limitato chiuso; 2 è l’estremo in-

feriore, 5

17 l’estremo superiore. 2 175Ñ

2. ; 53- 6@ , ossia x 51 , è un intervallo aperto illimitato inferiormente.

Ð ∞ 5

■ Disequazioni equivalenti

definizione

Due disequazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

esempio

x - 3 2 0 e x - 2 2 1 sono disequazioni equivalenti perché hanno per soluzio-ni i valori dell’intervallo x 2 3.

I membri di una disequazione sono le due espressioni che si trovano a sinistra (primo membro) e a destra (secondo membro) del segno di disuguaglianza.

Per l’equivalenza tra disequazioni valgono i seguenti princìpi.

Primo principio di equivalenzaData una disequazione, si ottiene una disequazione a essa equivalente aggiun-gendo a entrambi i membri uno stesso numero o espressione.

esempio

La disequazione x2 - 3 1 x è equivalente alla disequazione x2 - x - 3 1 0, ot-tenuta sommando - x a entrambi i membri.

Nell’esempio precedente, dopo l’applicazione del primo principio, il termine x scompare dal secondo membro e compare al primo con il segno cambiato.Per questo, possiamo dire che un termine può essere trasportato da un membro all’altro della disequazione cambiandogli il segno.

Secondo principio di equivalenzaData una disequazione, si ottiene una disequazione a essa equivalente:

• moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero (o espressione) positivo.

• moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un numero (o espressio-ne) negativo e cambiando il verso della disuguaglianza.

In particolare, se si cambia il segno di tutti i termini di una disequazione e si inverte il verso della disuguaglianza, si ottiene una disequazione equivalente.

Questa operazione equivale a moltiplicare per - 1 i due membri della disequazionee a invertire il verso della disuguaglianza.


▶ a. La disequazione

x x72 22--

è equivalente alla

disequazione

x6 022 ?

b. x4 02- è equiva-

lente a x 42 ?

Paragrafo 2. Disequazioni di primo grado

5

TEORIA

Tesempio

1. La disequazione x2

5 2 1 è equivalente alla disequazione 5x 2 2. La seconda

si ottiene dalla prima moltiplicando entrambi i membri per 2.

2. -x2 2 - 9 è equivalente a x2 1 9. La seconda disequazione si ottiene dalla prima moltiplicando entrambi i membri per - 1 (ovvero cambiando il se-gno di tutti i termini) e invertendo il verso della disuguaglianza.

Disequazioni di primo grado

Le disequazioni intere di primo grado possono sempre essere scritte in una delle seguenti forme, dopo aver opportunamente applicato i princìpi di equivalenza:

ax 2 b, ax $ b, ax 1 b, ax # b, con a, b ! R.

Risolvendo ax 2 b, otteniamo, a seconda dei valori di a:

•se a 2 0, x 2 ab ;

se b 2 0, S = Q;

•se a = 0, 0 $ x 2 b se b = 0, S = Q;se b 1 0, S = R ;

•se a 1 0, x 1 ab .

Un ragionamento analogo vale anche per le altre tre disequazioni.Risolviamo una disequazione numerica intera, applicando i princìpi di equivalenza:

xx

xx x x2 4 1 4 1 2 4

3 1 34

" " "# # # $+ + - - - - .

Un esempio di disequazione letterale è ax a1 2$- . Per risolverla occorre discu-tere le sue soluzioni al variare di a.

se a 02 , x aa2 1

$+

ax a ax a1 2 2 1"$ $- + se a 0= , 0 1 "$ impossibile

se a 01 , x aa2 1

#+

Discutere le soluzioni di una disequazione letterale permette di ottenere le solu-zioni di infinite disequazioni numeriche, quelle che si hanno sostituendo nella disequazione data valori particolari alla lettera (o alle lettere).

■ Studio del segno di un prodotto

esempio

Consideriamo la disequazione costituita da un prodotto di binomi di primo grado messo a confronto con il numero 0:

(x - 1)(3x + 2)(x + 4) 2 0.

Per risolverla studiamo il segno di ogni fattore e poi deduciamo quello del prodotto al variare di x.

▶ a. La disequazione

x1 2 12-^ h è equivalente alla

disequazione

x1 2

12

-?

b. xx 86 2--

è equivalente a

x 02 ?

2|▶ Esercizi a p. 26

Animazione

Nell’animazione, scompo-

nendo in fattori e applicando

lo stesso metodo, risolviamo

anche:

x x4 03 #- .


6

TEORIA

Tx - 1 2 0 " x 2 1

3x + 2 2 0 " x 2 - 32

x + 4 2 0 " x 2 - 4

Rappresentiamo i risultati in uno schema grafico in cui indichiamo i segni dei fattori nei diversi interval-li e il segno del prodotto, ottenuto con la regola dei segni. Evidenzia-mo in giallo gli intervalli in cui la disequazione è verificata, cioè quelli in cui il prodotto risulta essere positivo. L’insieme delle soluzioni è:

-4 1 x 1 - 32

0 x 2 1.

Disequazioni di secondo grado

■ Segno di un trinomio di secondo grado

Per studiare il segno di un trinomio di secondo grado ax bx c2+ + , con a 0! , pos-

siamo considerare la funzione y ax bx c2= + + e utilizzare il suo grafico, che è una

parabola.

esempio

Studiamo il segno del trinomio di secondo grado x x2 7 32- + .

La funzione y x x2 7 32= - + ha per grafico una parabola che ha la concavità

rivolta verso l’alto e interseca l’asse x nei punti di ascissa 21

e 3, perché:

x x2 7 3 0 49 24 25 02" 2D- + = = - = , x x

47 5

21

1"

!= = , x 32 = .

Per x21

31 1 , i punti del grafico hanno ordinata negativa; per x21

1 o

x 32 , hanno ordinata positiva.Per lo studio del segno non servono altre informazioni relative alla parabola, quindi possiamo utilizzare lo schema semplificato della figura a lato e conclu-dere che x x2 7 32

- + è:

•negativo se x21

31 1 ;

•nullo se x x21

30= = ;

•positivo se x x21

301 2 .

Riassumiamo nella tabella le possibili posizioni di una parabola di equazione y ax bc c2= + + rispetto all’asse x. x1 e x2 sono le radici dell’equazione associata

ax bx c 02+ + = , cioè i valori per i quali il trinomio è nullo. I segni + e - indicano

dove la parabola è sopra o sotto l’asse x, e quindi anche dove il trinomio è positivo o negativo.

x – 1

3x + 2

x – 4

(x – 1) (3x + 2) (x + 4)

23

– —– 4

0

0

1

0

0 0 0+ +––

+ ++–

– ++–

– +––

+–

+–

▶ Risolvi la disequazione

x x x4 2 3 0#- +^ ^h h .

3


x

3y > 0

y < 0

12Ð

y

31

2–

+ +–

Paragrafo 3. Disequazioni di secondo grado

7

TEORIA

T

D 2 0 D = 0 D 1 0

a 2 0

a 1 0

Chiamiamo intervallo delle radici l’intervallo dei valori compresi fra x1 e x2.Osserviamo i grafici nella prima colonna della tabella precedente, che si riferiscono al caso 02D . Per valori di x esterni all’intervallo delle radici:

•se a 02 , cioè ha segno +, anche il trinomio ha segno +;

•se a 01 , cioè ha segno -, anche il trinomio ha segno -;

quindi il trinomio assume sempre segno concorde con quello del primo coefficiente a per valori esterni all’intervallo delle radici.

Ragionando in modo analogo, otteniamo che, con 02D , il trinomio assume se‑gno discorde da quello di a per valori di x interni all’intervallo delle radici.

Quindi, per formulare una regola che valga sia per a 02 sia per a 01 , basta confrontare il segno del trinomio con quello di a per i valori interni o esterni all’intervallo delle radici.

Procedendo nello stesso modo anche nei casi 0D = e 01D , otteniamo il seguen-te schema, che possiamo utilizzare anche senza tracciare il grafico della parabola.

Segno di un trinomio di secondo gradoQuando l’equazione associata al trinomio ax bx c2

+ + , con a 0! , ha:

• 02D , il trinomio e il coefficiente a hanno • segno concorde per valori di x esterni all’intervallo delle radici; • segni discordi per valori di x interni all’intervallo delle radici;

• 0D = , il trinomio e il coefficiente a hanno segno concorde per tutti i valori di x diversi dalla radice dell’equazione;

• 01D , il trinomio e il coefficiente a hanno segno concorde per ogni valore reale di x.

Facciamo alcuni esempi.

esempio

a. Il trinomio x x 22- +- ha equazione asso-

ciata x x 2 02- - + = , con 02D e x 21 =- ,

x 12 = .

x1 x2

+ +–

x1 = x2

++++

x1 x2

– + –x1 = x2

Ð Ð Ð Ð

confronto dei segni di

ax bx c2+ + e di a :

segno concorde

∆ < 0

x1 = x2

segno concorde

∆ = 0

x1 x2

segno concorde

segno discorde

∆ > 0

–2 1

Segno del trinomio

segno di a

+Ð Ð


8

TEORIA

T

b. Il trinomio x x9 6 12- ++ ha equazione

associata x x9 6 1 02- + = , con 0D = e

x x31

1 2= = .

c. Il trinomio x x8 32+ -- ha equazione asso-

ciata x x8 3 02- + - = , con 01D e nessu-

na radice reale.

Studio algebrico del segno

Animazione | La regola che abbiamo ottenuto mediante interpretazione grafi-ca, osservando le caratteristiche della parabola, può anche essere dimostrata con lo studio algebrico del segno, come proponiamo nell’animazione.

■ Risoluzione di una disequazione di secondo grado

La regola dello studio del segno di un trinomio di secondo grado è utile per risol-vere una disequazione di secondo grado.

Possiamo seguire questo procedimento:

•portiamo la disequazione nella forma normale ax bx c 022+ + (o in quelle

analoghe con $, 1, #), dove per comodità scegliamo di avere a 02 ;

•risolviamo l’equazione associata, determinando il segno del discriminante e le radici, quando esistono;

•applichiamo la regola dello studio del segno, individuando l’intervallo o gli intervalli in cui il trinomio è o positivo o negativo, a seconda della richiesta della disequazione.

Abbiamo scelto di portare sempre la disequazione nella forma con a 02 perché, in questo modo, nella risoluzione, per studiare il segno del trinomio possiamo utilizzare solo parabole con la concavità rivolta verso l’alto.

Esaminiamo alcuni esempi. Nelle animazioni puoi vedere il segno dei trinomi in modo dinamico.

esempio

1. Animazione | 02D Risolviamo la disequazione 3x2 - x - 2 1 0.

L’ equazione associata è 3x2 - x - 2 = 0, con D = 25 2 0; le sue radici sono:

x1 = - 32 ; x2 = 1.

Il trinomio ha segno concorde con il coefficiente 3 di x2 per valori esterni

all’intervallo ;32 1-: D, ha segno discorde per valori interni.

La disequazione chiede che il trinomio sia negativo, quindi le soluzioni sono:

- 32 1 x 1 1.

13ÐÐ

Segno del trinomio

segno di a

+ +

Segno del trinomio

segno di a

Ð Ð


Listen to it

To solve a quadratic

inequality just sketch some

basic features of the graph

of the associated quadratic

function, as shown in the

figures.

123

∆ > 0

–

+ +–

–

Paragrafo 4. Disequazioni di grado superiore al secondo

9

TEORIA

T

2. Animazione | 0D = Risolviamo la disequazione x x4 4 022- + .

L’ equazione associata x2 - 4x + 4 = 0 ha D = 0, con due soluzioni coinci-denti:

x1 = x2 = 2.

Il trinomio ha segno concorde con il coefficiente 1 di x2 per qualunque va-lore diverso da 2.

La disequazione chiede che il trinomio sia positivo, quindi le soluzioni sono:

x 2! .

3. Animazione | 01D Risolviamo la disequazione 2x2 - x + 1 1 0.

L’ equazione associata 2x2 - x + 1 = 0 ha D 1 0. Il trinomio ha segno concorde con il coefficiente 2 di x2 per qualsiasi valore

di x. La disequazione chiede che il trinomio sia negativo, quindi non è mai veri-

ficata.

Disequazioni di grado superiore al secondo

Disequazioni risolvibili con scomposizioni in fattori

Dato un polinomio P(x) di grado maggiore di 2, le disequazioni del tipo P(x) 1 0 o P(x) 2 0 sono di grado superiore al secondo e possono essere risolte scompo-nendo in fattori di primo e secondo grado il polinomio P(x) e studiando il segno del prodotto di polinomi che si ottiene.

esempio Animazione

Risolviamo la disequazione x3 - 2x2 - 5x + 6 2 0. Scomponiamo x3 - 2x2 - 5x + 6 in fattori mediante la regola di Ruffini.

Se sostituiamo nel polinomio i divisori del termine noto 6, scopriamo che 1 è uno zero del polinomio, che è quindi divisibile per (x - 1).

Applichiamo la regola di Ruffini:

1 - 2 - 5 61 1 - 1 - 6

1 - 1 - 6 0

x3 - 2x2 - 5x + 6 = (x - 1)(x2 - x - 6).

La disequazione iniziale è equivalente a:

(x - 1)(x2 - x - 6) 2 0.

Esaminiamo il segno dei polinomi fattori e del prodotto:

x - 1 2 0 " x 2 1;

x2 - x - 6 2 0 " x 1 - 2 0 x 2 3.

Dal quadro della figura ricaviamo che la disequazione è verificata per

- 2 1 x 1 1 0 x 2 3.

2

++

∆ = 0

++ +

∆ < 0

4|▶ Esercizi a p. 38

x − 1

x2 − x − 6

(x − 1) (x2 − x − 6)

1−2 3

00

0

0 0 0 +–+–

+––+

++––


x x x 03 6 83 2 #+ - - .

▶ Risolvi le seguenti

disequazioni:

a. x x2 8 10 021+ - ;

b. x x2 12 18 02 $- + ;

c. x x4 2 1 021+ + .


10

TEORIA

T

In particolari casi di disequazioni, possiamo utilizzare metodi specifici.

Disequazioni biquadratiche

Una disequazione biquadratica è riconducibile alla forma ax bx c 04 2 W- + , con a 0! .

esempio Animazione

Risolviamo x4 - 13x2 + 36 $ 0.

L’equazione associata x4 - 13x2 + 36 = 0 è un’equazione biquadratica, perché è nella forma ax4 + bx2 + c = 0, con a ! 0. Introduciamo l’incognita ausiliaria z, poniamo x2 = z e risolviamo nell’incognita z:

z2 - 13z + 36 = 0 " z1 = 4, z2 = 9.

La disequazione iniziale è equivalente alla disequazione in z:

z2 - 13z + 36 $ 0

le cui soluzioni sono z # 4 0 z $ 9; da ciò, essendo x2 = z:

x4 - 13x2 + 36 $ 0 per x2 # 4 0 x2 $ 9, ossia:

- 2 # x # 2 0 (x # - 3 0 x $ 3).

Disequazioni binomie

Una disequazione binomia può essere ricondotta alla forma ax b 0n W+ , con a 0! e n intero positivo.

esempio Animazione

Risolviamo x3 - 8 # 0.L’equazione associata x3 - 8 = 0 è un’equazione binomia, con esponente n = 3, dispari, perché è nella forma axn + b = 0, con a ! 0 e n intero positivo. La sua soluzione è:

x x8 8 23 3"= = = .

Ricordando che

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2),

scriviamo x3 - 8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4).

Inoltre il trinomio x2 + 2x + 4, che ha 4D = 1 - 4 1 0, assume sempre

segno positivo, allora il segno di x3 - 8 dipende solo dal segno del fattore (x - 2).

La disequazione è verificata per x # 2.

In generale, le disequazioni del tipo x an 2 e x an 1 , con n dispari, si possono

risolvere direttamente scrivendo x an

2 e x an

1 .

Disequazioni trinomie

Una disequazione trinomia può essere ricondotta alla forma ax bx c 0n n2+ + = ,

con a 0! e n intero positivo.

esempio Animazione

Risolviamo x6 - 3x3 + 2 2 0.

L’equazione associata x6 - 3x3 + 2 = 0 è un’equazione trinomia, perché è nella

▶ Risolvi

x x6 8 04 21- - - .

▶ a. Risolvi .x 125 05 #+

b. Risolvi x 81 042-

e x 81 042+ , e

confronta i risultati

con il caso di espo-

nente dispari di x.

Paragrafo 5. Disequazioni fratte

11

TEORIA

T

forma ax2n + bxn + c = 0, con a ! 0 e n intero positivo. Per risolverla, introdu-ciamo l’incognita ausiliaria z e poniamo x3 = z:

z2 - 3z + 2 = 0 per z1 = 1, z2 = 2.

Procediamo come abbiamo fatto per la disequazione biquadratica.

La disequazione di sesto grado, nell’incognita x, è equivalente alla disequazione di secondo grado, nell’incognita ausiliaria z.

Ricaviamo:

z2 - 3z + 2 2 0 per z 1 1 0 z 2 2, da cui:

x6 - 3x3 + 2 2 0 per x3 1 1 0 x3 2 2, vale a dire:

x 1 1 0 x 2 23 .

Disequazioni fratteUna disequazione è fratta se contiene l’incognita al denominatore. Può essere sempre trasformata in una disequazione del tipo

( )( )

B x

A x02

o in altre analoghe con i diversi segni di disuguaglianza.

Per risolvere una disequazione fratta dobbiamo studiare il segno della frazione

( )( )

B xA x

, esaminando i segni di A(x) e di B(x). Dobbiamo imporre B(x) ! 0 per la

condizione di esistenza della frazione.

esempio Animazione

Risolviamo la disequazione x x

x2 7 4

12

2

- -

- $ 0.

Il denominatore deve essere non nullo, perciò:

C.E.: 2x2 - 7x - 4 ! 0 " x ! - 21 / x ! 4.

Studiamo il segno del numeratore:

x2 - 1 2 0 " x 1 - 1 0 x 2 1.

Studiamo il segno del denominatore.

Le radici dell’equazione associata sono - 21 e 4, quindi:

2x2 - 7x - 4 2 0 " x 1 - 21 0 x 2 4.

La frazione è uguale a 0 quando lo è il suo numeratore, mentre se il denominatore è uguale a 0 la frazione non esiste. In questo caso, nello schema, utilizziamo il simbolo b.

▶ Risolvi

x x 0210 5 #- - + .

5 |▶ Esercizi a p. 43

matematiCa ed eConomia

Made in… Negli ultimi anni i prodotti

«made in China» hanno invaso il mercato

mondiale e spinto gli altri Paesi a trovare

nuove strategie per restare competitivi.

▶ Quando è più conveniente importare

un bene dall’estero anziché produrlo?

La risposta


12

TEORIA

T

0 0

–1

–x2 – 1 + +

+ + – +

+ – – +

1 4

0

00

0 –

–

+

2x2 – 7x – 4

12

– —

+

—————x2 – 1

2x2 – 7x – 4b b

La disequazione fratta è verificata per:

x # - 1 0 - 21 1 x # 1 0 x 2 4.

Sistemi di disequazioni

definizione

Un sistema di disequazioni è un insieme di più disequazioni nella stessa in-cognita, per le quali cerchiamo le soluzioni comuni.

Le soluzioni del sistema sono quei numeri reali che soddisfano contemporanea‑mente tutte le disequazioni e si ottengono dall’intersezione degli insiemi delle soluzioni dalle singole disequazioni.

esempio

Risolviamo il sistema:

03 21 0x x

x

x 4 0

2

2

2

1

#

-

-

-

* .

Risolvendo separatamente le disequazioni, otteniamo:

x2 - x 2 0 " x 1 0 0 x 2 1;

3x - 21 # 0 " x # 7;

x 4 021- " x2 21 1- .

Rappresentiamo su una retta orientata gli intervalli delle soluzioni. Un pallino pieno indica che il relativo valore è una soluzione, un pallino vuoto che il valore non è una soluzione. Coloriamo la par-te che rappresenta le soluzioni comuni alle tre disequazioni.

Le soluzioni del sistema sono x x2 0 1 201 1 1 1- .


x

x x

34

02

#-

-.

x x0 3 40 1# #6 @

6 |▶ Esercizi a p. 48

Listen to it

To solve a system of

inequalities we have to find

the values that satisfy all the

inequalities involved.

▶ Risolvi il sistema

x x

x x

2 3 0

6 0

2

2

1

$

- -

-

( .

x 01 1 #-6 @

Animazione

Nell’animazione, trovi la

risoluzione delle tre disequa-

zioni.

x 2 – x > 0

x 2 – 4 < 0

– 2 0 71 2

3x – 21 0

13

TEORIA

TParagrafo 7. Equazioni e disequazioni con valori assoluti

Equazioni e disequazioni con valori assoluti

Il valore assoluto di un numero è uguale al numero stesso se il numero è positivo o nullo, è l’opposto del numero se questo è negativo. In generale:

se 0se 0

xx x

x x 1

$=

-'

esempio

5 5+ = ; 0 0= ; 5 5- = .

Il valore assoluto di un numero è per definizione sempre positivo o nullo.

Elenchiamo alcune utili proprietà del valore assoluto:

1. x x= - 6 x ! R;

2. x y x y$ $= 6 x, y ! R;

3. yx =

yx 6 x, y ! R, y ! 0;

4. x y= ) x = ! y 6 x, y ! R;

5. x y# ) x2 # y 2 6 x, y ! R;

6. x x2= 6 x ! R.

■ Equazioni con valori assoluti

Risolviamo ora equazioni nelle quali compaiono valori assoluti dell’incognita, o di espressioni che la contengono.

Equazioni con un valore assoluto

esempio Animazione

Risolviamo l’equazione x x5 3 1- = - .Studiamo il segno dell’espressione all’interno del valore assoluto:

x - 5 $ 0 " x $ 5.

Compiliamo uno schema grafico: il valore assoluto coincide con x 5- quando x 5- è positivo; è l’oppo-sto di x 5- , ossia ( )x 5- - , quando x 5- è negativo.

Quindi ,

.x

x x

x x5

5 5

5 5

se

se 1

$- =

-

- +)

L’equazione data diventa

x - 5 = 3x - 1 per x $ 5,

- x + 5 = 3x - 1 per x 1 5.

7


x – 5

x – 5 – x + 5 x – 5

0

5

+Ð


14

TEORIA

T

Questo significa che l’insieme delle soluzioni dell’equazione è l’unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi.

Primo sistema

x

x x

5

5 3 1

$

- = -)

x

x x

5

2 4 2"

$

- = = -)

Secondo sistema

x

x x

5

5 3 1

1

- + = -)

x

x x

5

4 623

"

1

- = =-*

x = - 2 non è accettabile perché non è maggiore o uguale a 5, mentre x23

=

è accettabile perché minore di 5: l’equazione iniziale ha per soluzione x23

= .

Equazioni del tipo ( )A x a= , con a ! R

esempio Animazione

1. Risolviamo l’equazione x3 2- = .

Utilizziamo la proprietà 4 del valore assoluto:

x x x3 2 3 2 3 2" " !- = - = - = , da cui:

3 - x = 2 0 3 - x = - 2, cioè:

x = 1 0 x = 5.

2. L’equazione x7 3+ =- non ha soluzioni perché il valore assoluto di un’e-spressione non può essere un numero negativo.

In generale, A x a=^ h :

se a $ 0, è equivalente ad A(x) = a 0 A(x) = - a;se a 1 0, l’equazione non ha soluzioni.

Equazioni con più valori assoluti

Esaminiamo un esempio di equazione con più valori assoluti che risolviamo utiliz-zando alcune delle proprietà del valore assoluto che abbiamo elencato.

esempio Animazione

Risolviamo x

xx

2

21

+= - .

C.E.: x x2 0 2" !+ = - .

Utilizziamo la proprietà 3, letta da destra verso sinistra:

x

x

xx

xx

2

22

2 22

+=

+ += .

Scriviamo questa espressione al primo membro dell’equazione e applichiamo la proprietà 4:

xx

xx

xx

22 1

22 1" !

+= -

+= -^ h.

▶ Risolvi l’equazione

x x2 2 1+ + = .

x x 3310=- =-: D

▶ Risolvi x2 5 3+ = .

x x4 10=- =-6 @

Paragrafo 7. Equazioni e disequazioni con valori assoluti

15

TEORIA

T

Quindi dobbiamo risolvere due equazioni e considerare l’unione della solu-zioni:

xx

x x x x x2

2 1 2 0 1 22" " 0

+= - - - = = - = ;

xx

x x x x2

2 1 3 2 02

3 172" "

!

+= - + + - = =

- .

Tutti i valori ottenuti soddisfano le C.E., quindi le soluzioni dell’equazione iniziale sono:

x 11 = - , x 22 = , x2

3 173 =

- - , x2

3 174 =

- + .

■ Disequazioni con valori assoluti

Disequazioni con un valore assoluto

Per le disequazioni con un valore assoluto si procede come per le equazioni.

esempio Animazione

Risolviamo la disequazione x x4 2 12- - + .

Studiamo il segno dell’espressione all’interno del valore assoluto:

x - 4 $ 0 " x $ 4.

Quindi: .

xx x

x x4

4 4

4 4se

se 1

$- =

- +

-)La disequazione ha per soluzioni l’unione delle soluzioni di due sistemi.

Primo sistema

x x

x

x 2 1 35

4

4 "2 2

$

- +-*

x 4

4

x > –53

–53

Soluzioni: x $ 4.

Secondo sistema

x x

x

x 2 1 3

4

4 "2 2

1

- + -- +)

x < 4

4

x > – 3

– 3

Soluzioni: - 3 1 x 1 4.

Le soluzioni della disequazione sono quindi:

- 3 1 x 1 4 0 x $ 4 " x 2 - 3.

Disequazioni del tipo ( )A x k1 , con k 02

esempio Animazione

Risolviamo la disequazione x 101 .Dobbiamo risolvere i seguenti sistemi e poi unire le soluzioni trovate.


▶ Risolvi

x x3 6 9 2$+ + .

x x3 30# $-6 @

▶ Risolvi x

x

42

+= .

x x38

80=- =-: D


16

TEORIA

T

Primo sistema

x

x

0

101

$)0 10

x 0

x < 10

Soluzioni: 0 # x 1 10.

Secondo sistema

x

x x

0

10 10"

1

21- -

)0– 10

x < 0

x > –10

Soluzioni: - 10 1 x 1 0.

Uniamo le soluzioni dei due sistemi e otteniamo le soluzioni della disequazione:

x x x10 0 0 10 10 10"01 1 1 1 1#- - .

In generale, con lo stesso procedimento, se A(x) è una qualsiasi espressione con-tenente x, si ricava che

A x k1^ h , con k 2 0, è equivalente a:

k A x k1 1- ^ h ossia al sistema A x k

A x k

2

1

-^^hh* .

esempio Animazione

Risolviamo la disequazione x 9 721- .

Essa è equivalente a - 7 1 x2 - 9 1 7, ossia al sistema 7 9x

x 9 7

2

2

1

1

- -

-

( .

Risolviamolo:

2 2x

x

x x

x

2 0

16 0 4 4

2

2"

0

1

2 1 2

1 1

-

-

-

-

( ( .

– 4 42–

x2 –2 > 0

x2 –16 < 0

2

Le soluzioni della disequazione sono:

- 4 1 x 1 - 2 0 2 1 x 1 4.

Disequazioni del tipo ( )A x k2 , con k 02

esempio Animazione

Risolviamo la disequazione x 82 .Cerchiamo le soluzioni dei seguenti sistemi.

▶ Risolvi

x

x

16

3 10

2$

-

- -

.

Animazione

Paragrafo 8. Equazioni e disequazioni irrazionali

17

TEORIA

T

Primo sistema

x

x

0

82

$)0 8

x 0

x > 8

Soluzioni: x 82 .

Secondo sistema

x

x x

0

8 8"

1

2 1- -)

0–8

x < 0

x < –8

Soluzioni: x 1 - 8.

L’unione delle soluzioni dei due sistemi dà le soluzioni della disequazione:

x 1 - 8 0 x 2 8.

In generale, con lo stesso procedimento, si ricava che:

A x k2^ h , con k 2 0, è equivalente ad A(x ) 1 - k 0 A(x ) 2 k.

esempio Animazione

Risolviamo la disequazione x x 622- .

Per farlo, dobbiamo risolvere le seguenti disequazioni.

Prima disequazione

x x

x x

6

6 0

2

2

1

1

- -

- +

Nell’equazione associatax 2 - x + 6 = 0 è D = 1 - 24 1 0; la disequazione non è mai verificata.

Seconda disequazione

x x

x x

6

6 0

2

2

2

2

-

- -

Nell’equazione associatax 2 - x - 6 = 0 è D = 25; le radici so no - 2 e 3.La disequazione è verificata per:

x 1 - 2 0 x 2 3.

Le soluzioni della disequazione iniziale sono date dall’unione delle soluzioni delle due disequazioni e, in questo caso, coincidono con quelle della seconda disequazione: x 1 - 2 0 x 2 3.

Equazioni e disequazioni irrazionali

Un’equazione o disequazione è irrazionale se in essa ci sono radicali con-tenenti l’incognita.

■ Equazioni irrazionali

Consideriamo l’equazione del tipo ( )A xn = B(x), con n N! e n $ 2.

•Se n è dispari, l’equazione si risolve elevando alla potenza n-esima entrambi i membri, cioè:

( )A xn = B(x) è equivalente ad A(x) = [B (x)]n (se n è dispari).

▶ Risolvi x 1 322- .

x x2 201 2-6 @

8

Listen to it

An equation or an inequality

is irrational if it involves one

or more radical expressions

containing an unknown

variable.|▶ Esercizi a p. 60


18

TEORIA

T

•Se n è pari, è necessario porre alcune condizioni. La condizione di esistenza del radicale:

A(x) $ 0.

La condizione di concordanza di segno per B(x): un radicale con indice pari è sempre uguale a un numero positivo o nullo, quindi nell’uguaglianza deve essere positivo o nullo anche il secondo membro. Abbiamo allora:

B(x) $ 0.

Per risolvere l’equazione, eleviamo poi alla potenza n-esima entrambi i membri.

In sintesi, se n è pari, l’equazione ( )A xn = B(x) è equivalente al sistema:

A x

x

A x

B

B x

0

0

n

$

$

=

^^^ ^hhh h6 @

Z

[

\

]]

]].

esempio

1. Risolviamo x x4 33+ - = - x.

Poiché n = 3 è dispari, l’equazione è equivalente a

4 + x - x3 = - x3 " 4 + x = 0 " x = - 4.

La soluzione è x = - 4.

2. Risolviamo 2 4x x2+ + = 2x - 1.

Poiché n = 2 è pari, l’equazione è equivalente al sistema:

x x

x

x x x

x

x

x x x x

x

x x

x

x x

2 4 0

2 1 0

2 4 2 121

2 4 4 4 1

21

2 5 3 0

21

21

3

R2

2 22 2

2

" "

"

0

6$

$

!

$

$$

+ +

-

+ + = - + + = - +

- - = =- =

^ h

Z

[

\

]]

]]

Z

[

\

]]

]]

* * Il valore x

21

=- non soddisfa la disequazione del sistema, per cui non è ac-

cettabile, mentre x 3= soddisfa la disequazione, quindi è la soluzione del sistema e dell’equazione irrazionale.

■ Disequazioni irrazionali

Esaminiamo disequazioni del tipo ( )A xn 1 B (x) oppure ( )A xn 2 B (x), con n N! e n $ 2.

Indice dispari

Se n è dispari, sia la prima sia la seconda disequazione si risolvono elevando alla potenza n-esima entrambi i membri, ottenendo così una disequazione equivalente a quella data, cioè:

Video

Caccia all’errore Fabio,

Elena e Christian hanno

risolto tre equazioni irrazio-

nali, ma tutti e tre non hanno

trovato il risultato corretto.

▶ Dov’è l’errore?

Animazione

Nell’animazione c’è anche la

verifica relativa alle soluzioni

delle due disequazioni.

▶ Risolvi l’equazione

x x x 13 3- = - .

x x31

10= =: D



19

TEORIA

T

se n è dispari,

( )A xn 1 B(x) è equivalente a A(x) 1 [B(x)]n;

( )A xn 2 B(x) è equivalente a A(x) 2 [B(x)]n.

esempio Animazione

Risolviamo x x1 7 13#- + - .

Eleviamo al cubo i due membri e svolgiamo i calcoli:

x x x x x x x1 7 1 1 7 1 3 4 03 3 3 2" "# # $- + - - + - - -^ h .

Scomponiamo in fattori:

x x x x x x x x x3 4 0 3 4 0 4 1 02 23" "$ $ $- - - - - +^ ^ ^h h h .

Studiamo il segno dei tre fattori e del prodotto.

x 02

x x4 0 4"2 2-

x x1 0 1"2 2+ -

La disequazione è verificata per:

x x1 0 40# # $- .

Indice pari

Se n è pari, consideriamo il caso n = 2 e teniamo conto della seguente proprietà.

Se a e b sono due numeri reali positivi o nulli, la relazione di disuguaglianza che c’è fra i due numeri è la stessa che c’è fra i loro quadrati:

6 a, b $ 0: a 1 b ) a2 1 b2.

Per esempio:

5 32 ) 5 32 22 .

La relazione può non essere valida se i due numeri non sono entrambi positivi o nulli.

Per esempio: 5 31- ma non è vero che 25 1 9.

Disequazioni del tipo ( ) ( )A x B x1

Data la disequazione ( )A x 1 B(x), per risolverla, dobbiamo porre la condizione di esistenza del radicale:

A(x) $ 0.

Inoltre, poiché il radicale quadratico è un numero positivo o nullo, perché sia vera la disuguaglianza deve essere:

B(x) 2 0.

▶ Risolvi x x x4 53 2 #+ .

xx1 0 50# # $-6 @

– +

– + +00 –

0– +

– +0– –

+ +0– +

0

x + 1

x(x – 4)(x + 1)

x

–1 40

x – 4


20

TEORIA

T

Poste queste due condizioni, i due membri della disequazione sono entrambi po-sitivi o nulli, quindi, per la proprietà esaminata in precedenza, possiamo elevarli al quadrato, ottenendo la relazione:

A(x) 1 [B(x)]2.

In sintesi, la disequazione ( )A x 1 B (x) è equivalente al sistema:

A x

B x

A x B x

0

02

2

1

$^

^

^ ^

h

h

h h6 @

Z

[

\

]]

]].

esempio Animazione

Risolviamo la disequazione x x2 152+ - 1 x - 1.

Essa è equivalente al sistema:

x x

x

x x x

2 15 0

1 0

2 15 1

2

2 2

"2

1

$+ -

-

+ - -^ h

Z

[

\

]]

]]

x x

x

x

x x

x

x

5 3

1

4 16

5 3

1

4

"

0 0

2

1

2

1

# $ # $- -Z

[

\

]]

]]

Z

[

\

]]

]].

– 5 1 3 4

x2 + 2x – 15 0

x – 1 > 0

x2 + 2x – 15 < (x – 1)2

Le soluzioni del sistema, e quindi della disequazione, sono 3 # x 1 4.

Se la disequazione ha il segno #, ossia è del tipo ( ) ( )A x B x# , dobbiamo risol-vere il sistema:

( )

( )

( ) [ ( )]

A x

B x

A x B x

0

02

$

$

#

Z

[

\

]]

]].

Disequazioni del tipo ( ) ( )A x B x2

Anche per una disequazione del tipo ( )A x 2 B(x) poniamo la condizione di esistenza del radicale:

A(x) $ 0.

Dobbiamo poi risolvere due sistemi, distinguendo il caso in cui B(x) è minore di 0 e quello in cui è maggiore o uguale a 0.

▶ Risolvi

x x9 42#- - .

Animazione


21

TEORIA

T

• Se B(x) 1 0, la disequazione iniziale è senz’altro soddisfatta, perché il secondo membro che è negativo deve essere minore del primo, che è positivo o nullo. Quindi una parte delle soluzioni della disequazione irrazionale è data da un primo sistema:

A x

B x

0

01

$^^hh* .

•Se B(x) $ 0, entrambi i membri della disuguaglianza sono positivi o nulli, quindi, se li eleviamo al quadrato, otteniamo una disuguaglianza con lo stesso verso:

A(x) 2 [B(x)]2.

Osserviamo che se è verificata questa relazione, A(x), essendo maggiore di un quadrato, è certamente positivo: la condizione di esistenza del radicale, A(x) $ 0, è superflua. Otteniamo pertanto le restanti soluzioni della disequa-zione iniziale da un secondo sistema:

B x

A x B x

02

2

$^^ ^hh h6 @

* .

In sintesi, l’insieme delle soluzioni della disequazione ( )xA 2 B(x) è l’unio-ne delle soluzioni dei due sistemi:

A x

B x

B x

A x B x

0

0

020

1 2

$ $^^

^^ ^

hh

hh h6 @

* * .

esempio Animazione

Risolviamo la disequazione x 1- 2 x - 3.

Otteniamo:

.

x

x

x

x x

x

x

x

x x x

1 0

3 0

3 0

1 3

1

3

3

7 10 0 2 5

2

2"

0

0

1 2

1 1 1 1

$ $

$ $

-

-

-

- -

- +

^ h) *) )

3 521 3

secondo sistemaprimo sistema

x – 3 0

x –1 > (x – 3)2

x – 1 0

x – 3 < 0

Il primo sistema ha come soluzioni 1 # x 1 3, il secondo 3 # x 1 5. L’unione dei due intervalli dà l’insieme delle soluzioni della disequazione:

1 # x 1 5.

▶ Risolvi

x x x2 22$+ - - .

Animazione

▶ Risolvi

xx 11 332# ++ .

Animazione

capitolo 1 equazioni edisequazioni - staticmy.zanichelli.it · espressione) positivo. •...

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