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W. Grassi – Termoenergetica e Risparmio Energetico in Edilizia – 2a Parte – CAP.1 Il comportamento dinamico semplificato di un edificio. 1

1

CAPITOLO 1 IL COMPORTAMENTO DINAMICO DI UN EDIFICIO IN FUNZIONE

DELLE CONDIZIONI CLIMATICHE ESTERNE :I FONDAMENTI


2

1.1 Lo schema di base In questa parte si cercherà, semplificando al massimo la trattazione matematica, di fornire gli elementi fondamentali del comportamento dinamico di un edificio in funzione delle condizioni climatiche esterne. Non ci proponiamo di risolvere le equazioni che in casi semplici e facilmente comprensibili, mentre sarà nostra cura evidenziare, nel modo più approfondito possibile, la fisica dei fenomeni e dei parametri fondamentali. Cominceremo quindi col riferirci ad un tipo di edificio particolarmente semplice, consistente in un unico

locale con le pareti in contatto termico con l’esterno, come rappresentato nella figura 1.1.a….. La parete di destra, parzialmente finestrata, consente l’ingresso della radiazione solare attraverso il vetro. Alcune pareti (pavimento incluso, evidentemente) sono così irraggiate in parti via via diverse nell’arco della giornata ed in funzione della stagione e dell’orientazione della parete finestrata. Parte dell’energia ricevuta dalle strutture direttamente irraggiate dal sole viene inoltre riflessa verso le altre pareti (soffitto incluso). Una quota dell’energia così ricevuta è, successivamente, ceduta per convezione all’aria della stanza1. Supponiamo adesso di poter formulare le seguenti ipotesi: 1. ambiente interno (aria) isotermo (ad esso corrisponde il pedice a); 2. involucro costituito da pareti ciascuna isoterma (pedice p per le pareti opache, v per la

finestra, m indica la generica parete opaca)2; 3. ambiente esterno isotermo con temperatura Te ed irraggiamento solare dipendente dal

tempo con densità di potenza wj (W/m2) incidente per orientazione, j, della parete dell’edificio..

1 Si ricordi che il calore ricevuto dalla radiazione solare, viene scambiato per convezione con l’aria e per irraggiamento con eventuali altri corpi nella stanza o parti di essa. Data la temperatura delle pareti esse irraggiano sul lontano infrarosso, cioè in zone dello spettro in cui il vetro è opaco. Per tale ragione dette radiazioni non possono “uscire” dalla finestra. 2 Rilasseremo questa ipotesi successivamente. Per ora la manteniamo per semplicità di trattazione.

Figura 1.1 – Modello di locale considerato

Formattato: Non bloccare ancoraggio,Larghezza: Esatta 14,26 cm

Formattato: Tipo di carattere: NonGrassetto

Formattato: Giustificato, Non bloccareancoraggio, Larghezza: Esatta 14,26cm



Formattato: Didascalia, Giustificato,Motivo: Trasparente, Non bloccareancoraggio, Larghezza: Esatta 14,26cm


3

Nessuna delle ipotesi fatte è evidentemente rigorosamente verificata. In particolare ci interessa soffermarci sulla seconda. Per poter considerare che ciascuna parete sia isoterma è necessario ammettere che: ♦ siano trascurabili gli effetti di bordo alle connessioni fra le diverse pareti;

♦ che il numero di Biot di ciascuna parete valutato rispetto al suo spessore sia minore di 0,1. Detta condizione implica quindi che:

e

p

0,1

α coefficiente liminare esterno

d spessore della parete

λ conducibilità termica della parete

e

p

dαλ

<

3

Nella figura figura 1.2 si riportano gli andamenti dello spessore limite di materiale necessario perché si possa ritenere valida l’ipotesi d’isotermia della parete. Detta ipotesi risulta ad esempio plausibile se ci si riferisce ad una baracca (a questa può essere assimilato il locale in esame) costruita in granito (λp=4,06W/mK, ρ=3000Kg/m3) con uno spessore attorno ai 5 cm o con pareti vetrate (λp=1,0W/mK, ρ=2500Kg/m3) di 1,2 cm di spessore, nel caso di

3 Si è considerata questa condizione ritenendola come quella più restrittiva. Infatti indicando con T1 e T2, rispettivamente le temperature della superficie interna ed esterna della parete e con Ta e Te quelle dell’aria interna al locale e dell’aria esterna, perché la parete si possa considerare isoterma deve aversi:

{ }

<<⇒−−<<−eip

ea Mind

TTTTMinTTααλ1

;1

; 2121

Dove { }Min rappresenta il valore minimo fra i valori fra parentesi.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Conducibilità termica (W/mK)

Spe

ssor

e lim

ite (

cm) Alfa = 25W/mqK

Alfa = 8W/mqK

Granito

Vetro

Abete

Tufo

Ardesia

Basalto

Calcestruzzo armato

Figura 01.2 - Valore limite dello spessore di una parete indefinita, in funzione della sua conducibilità equivalente, perché sia soddisfatta la condizione Biot<0,1.



4

un coefficiente di scambio di 8W/m2K4, cioè in assenza di vento sull’esterno. Sicuramente comunque l’ipotesi è verificata in caso di baracche metalliche o container non particolarmente isolati. Una volta illustrate alcune delle cautele che è necessario assumere allorchè si voglia iniziare ad impostare un modello di calcolo, noi assumeremo come valide le ipotesi sopra descritte, in quanto ci consentiranno di evidenziare, utilizzando modelli di calcolo semplici, una serie di aspetti di validità generale. Cominciamo con lo scrivere delle relazioni di bilancio energetico relative ai sistemi che ci interessano. Considereremo tre sistemi fra loro interagenti, come segue. 1° Sistema: l’aria del locale – Il sistema è delimitato da tutte le superfici solide, sia delle pareti che della finestra, che si affacciano all’interno del locale considerato. Trascurando l’effetto dei moti convettivi che si instaurano nell’aria, che viene in contatto con superfici a temperature diverse, si considera, come detto, il fluido a temperatura uniforme (l’aria subisce un miscelamento perfetto). L’aria ambiente scambia calore con la sua frontiera per convezione. Essa quindi scambia con tutte le pareti, che a causa della loro capacità termica, possono accumulare (e cedere) energia, e con la superficie interna della finestra. Come ulteriore semplificazione, comunemente accettata anche nei modelli di valutazione dei carichi termici per gli impianti di condizionamento, consideremo nulla la capacità termica della finestratura. Per tale ragione calcoleremo lo scambio termico relativo a questa struttura come puramente conduttivo e convettivo, e lo valuteremo in funzione della trasmittanza interno-esterno e del relativo salto di temperatura. E’ opportuno anche sottolineare che l’aria, in condizioni normali, praticamente non assorbe la radiazione solare, per cui l’effetto legato alla quota d’irraggiamento che attraversa la finestra si manifesta nel modo seguente: l’energia raggiante viene immagazzinata nelle pareti che la cedono all’aria con un meccanismo convettivo. Per tale motivo detta radiazione non compare direttamente nell’equazione di bilancio:

, , ,( ) ( ) ( )

, )

aa a m p m a p m i v v a e p a em

i p

m L

v

dTC S T T Q K S T T Gc T T

dtQ potenza prodotta da fonti interne (Q* terminali d'impianto, Q persone,

Q macchinari Q illuminazione

K trasmittanza finestra

G portata massica di ricambio d'aria

α= − − + − − − −∑

a,m p,m a p,mma S (T -T ) sommatoria degli scambi con le varie pareti∑

Leggere con un po’ d’attenzione l’equazione su scritta fornisce elementi importanti per la comprensione dei fattori che determinano il comportamento termico della massa d’aria contenuta in un locale. Alla variazione della sua temperatura contribuiscono ♦ le pareti che ritrasmettono l’effetto delle condizioni climatiche esterne attraverso il “filtro”

costituito dalla loro capacità e resistenza termica e, quindi, attraverso la capacità di accumulare e restituire energia;

♦ le superfici vetrate, praticamente prive d’inerzia nel caso di vetro ordinario, scambiano direttamente con l’esterno. Attraverso esse si risente all’interno, istantaneamente, della situazione meteorologica esterna.

4 Per tenere conto dell’effetto di un eventuale strato isolante, si può pensare di posizionare quest’ultimo sulla faccia esterna e/o sulla faccia interna Se la sua conducibilità è λI ed il suo spessore dI si possono considerare i termini αe ed αI come dei coefficienti equivalenti dovuti sia alla resitenza liminare, 1/αlim,che a quella dell’isolante, dI/λI, come segue:

lim

lim

lim

11

αλλαα

λαα II

I

I

I

d

d

+=→+=


5

♦ La portata d’aria di rinnovo, proveniente dall’esterno e che entra nel locale attraverso gli infissi.

♦ Infine vi sono i carichi interni dovuti all’illuminazione, ad eventuali macchinari (computer, fotocopiatrici ecc,), alla presenza delle persone ed ai terminali degli impianti di climatizzazione (radiatori, fan coil ecc.). Come si vede questa quota di potenza dipende fortemente dalla destinazione d'uso del locale e dal modello di occupazione. In estate il contributo dei terminali d’impianto va computato col segno meno.

2° Sistema: l’involucro. - Per ogni parete (contrassegnata genericamente col pedice m) si può scrivere:

( ) ( ) wSfawSgaTTSTTSdt

dTC vmmmmemmpempmeampmpma

mpmp e

ταα ++−−−−= ,,,,,,,,

,

( )ampmpma TTS −− ,,,α Scambio termico fra parete ed aria interna

( )empme TTSe

−− ,,α Scambio termico fra parete ed aria esterna

mmemp wSa ,,+ Potenza radiante sulla superficie esterna della parete

wSfa vmm τ+ Potenza radiante che attraversa la finestra e che viene assorbita dalla singola parete.

mg Frazione soleggiata della superficie esterna

mf Frazione soleggiata della superficie interna

La dinamica termica della parete dipende contemporaneamente: dalle sue capacità d’accumulare energia, dagli scambi convettivi con l’esterno e con l’aria del locale, dall’assorbimento dell’irraggiamento solare diretto sulla superficie esterna e dall’irraggiamento solare che entra nel locale attraverso la finestra. Quest’ultimo effetto viene usato in certe forme di edilizia solarizzata ed è chiamato “guadagno diretto”. Si utilizzano, cioè, degli spazi prospicienti finestre con pavimenti e/o parti di pareti in grado di accumulare la radiazione solare incidente e di restituirla all’aria ambiente. Evidentemente la presenza della radiazione solare fa dipendere il comportamento termico della parete dall’esposizione e dalla presenza di ombre portate da ostacoli che si frappongono fra la parete ed il sole (fattore gm. Quindi oltre all’esposizione viene ad avere importanza, ad esempio, anche la collocazione urbanistica del fabbricato. L’equazione può essere ulteriormente elaborata e posta nella forma:

( ), *, , , , , , ,

,*,

,

( )p mp m a m p m p m a e e m p m e m

p m m m m ve m e

e e e m

dTC S T T S T T

dta w a f S w

T TS

α α

τα α

= − − − −

= + +

in cui si evidenzia come lo scambio con l’esterno si possa schematizzare come se avvenisse con una “temperatura equivalente sole aria”, relativa alla parete in esame e dipendente, oltre

Frazione di area interessata dalla radiazione diretta

vwSτvwSτ

RADIAZIONE DIRETTA

vpavpav wSfr τ

vpav wSf τ

Figura 2 1.3 - Percorso della radiazione diretta in un locale




6

che dalla temperatura dell’aria esterna, dall’energia solare assorbita sulla superficie esterna e da quella che, attraversata la finestra, interessa la superficie interna della parete. E’ adesso il caso di fare alcune precisazioni sul fattore fm, sbrigativamente definito come frazione soleggiata della superficie interna. Premesso che il modello considera, per semplicità, soltanto il contributo della radiazione diretta, fm coincide unicamente con la frazione suddetta se ci si riferisce alla parete (“prima parete”) su cui vanno ad incidere direttamente i “raggi” che provengono dalla superficie vetrata. Successivamente le altre pareti saranno interessate dalla radiazione riflessa dalle altre strutture, secondo lo schema descritto in figura 1.3 (vedi appendice A1.1- cambiare numerazione in appendice A1.1.diventa A1.2 e viceversa). Al solo fine di non complicare la trattazione non si sono considerati gli scambi termici per irraggiamento delle varie superfici interne fra loro. Questi sono funzione delle quarte potenze delle temperatura di dette superfici delle loro emissività e dei fattori di vista con cui ciascuna “vede” tutte le altre. Nel seguito supporremo che tutte le pareti abbiano la stessa temperatura (Tp,m=Tp per qualsiasi m), per cui saranno nulli i rispettivi scambi. Sussisteranno, invece, quelli fra le pareti e la finestra, che avrà comunque una temperatura diversa, per la cui discussione rimandiamo all’Appendice A1.2, relativa a questo capitolo.d altra parte del volume. 3° Sistema: l’ambiente esterno. Costituisce, negli schemi abituali, una sorgente nel senso termodinamico del termine, cioè: un sistema dotato di capacità termica infinita, che non viene perturbato dalle azioni compiute all’interno dei locali. Anche se questa ipotesi può essere una schematizzazione utile per la modellistica termica, non ne va dimenticata la intrinseca falsità, oggi del tutto evidente. Non va, inoltre, dimenticato come questo sistema possa essere anche profondamente modificato dall’intervento umano, con costruzioni di altri edifici (che cambiano le condizioni microclimatiche, ad esempio influenzando la direzione e la velocità dei flussi d’aria), con la modifica delle superfici a verde (ancora modifiche del microclima, in particolare qualità dell’aria, umidità ed ombreggiamento) agendo sulla viabilità (modificazioni della qualità dell’aria e della rumorosità, oltre che della temperatura) ecc. La definizione della condizioni esterne deve tener conto, quando possibile, non solo della zona climatica e delle specifiche fornite dalle tabelle di riferimento, ma anche delle specificità locali. Sempre nella logica su esposta di una trattazione tendenzialmente qualitativa e graduale, compiamo qualche ulteriore semplificazione. Nelle ipotesi di trovarsi in assenza di irraggiamento diretto (e trascurando comunque l’effetto della radiazione diffusa e riflessa) e che il coefficiente di scambio convettivo esterno sia uniforme sull’intero involucro, è possibile ritenere quest’ultimo isotermo. Non più quindi una sorta di isotermia a zone (parete per parete), ma valida su tutto l’insieme delle pareti. In tal caso le equazioni su scritte si semplificano come segue:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

aa a p a p i v v a e p a e

pp a p p a e e p e

dTC S T T Q K S T T Gc T T

dtdT

C S T T S T Tdt

α

α α

= − − + − − − −

= − − − −

Analizziamo adesso il comportamento del locale in alcune condizioni particolari.


7

2. Locale termostatato

Supponendo ora di termostatare l’ambiente con un termostato ideale, in grado cioè di mantenere all’interno una temperatura rigorosamente costante, si ha

( ) ( ) ( )

( ) eeeapapeepap

p

ieaapeavvpapa

TSTSTSSdt

dTC

QTTGcTTSKTTS

αααα

α

+=++

−−+−+−= ,0

Quindi i terminali dell’impianto di riscaldamento (termosifoni, piastre, fan coil o altro) dovranno compensare esattamente gli scambi termici.

( ) ( ) ( )[ ]

( ) eeeapapeepap

p

i

eaapeavvpapa

TSTSTSSdt

dTC

QQQ

QTTGcTTSKTTSQ

αααα

α

+=++

−=

−−+−+−=

*

*

0

0,

Vediamo ora quali informazioni possiamo trarre da queste equazioni, informazioni che possono successivamente essere estrapolate al comportamento degli edifici in generale. Ammettiamo, per semplicità, che la temperatura esterna vari, durante la giornata, sinusoidalmente attorno ad un valore medio Te,m, con un’escursione termica giornaliera 2θε. Si abbia, cioè:

,

00

224

e e mT T sen t

con

h

θ ω

πω ττ

= +

= =

5

Con tali condizioni, dopo qualche eleborazioneelaborazione matematica della seconda equazione del sistema, si ottiene per la temperatura della parete che scambia con l’esterno il seguente andamento:

( )βω

ττ

π

θ+

+

+>=< tsenR

RTT

p

e

epp

2

0

21

'

5 Solo per comodità si è assunta la componente sinusoidale in questa formao. Volendo essere più realistici, considerando che il massimo della temperatura dell’aria si raggiunge alle 15,ora solare si potrebbe scrivere:

( )9, −+= tsenTT emee ωθ

con i tempi in ore. Questo equivale a modificare di conseguenza i grafici delle figure con una traslazione di 9 ore.


8

La temperatura di parete, quindi, varia ancora sinusoidalmente attorno ad un valore medio <Tp> che è una media ponderata sulle adduttanze superficiali interna ed esterna della temperatura dell’aria ambiente e di quella media esterna

ea

meeaap

eeaa

meeeapaP

TTT

SS

TSTST

αααα

αααα

++

>=<

=++

>=<

,

ep

,

SSsee

con un’escursione giornaliera pari a quella esterna divisa per un coefficiente di riduzione s dato da

.';;1'

;1

;1

;11

'

1

21

1'12

0

ppepp

ep

pe

eeeee

pap

ep

pe

CRRRRR

R

RR

RR

RR

R

SR

SR

RRR

con

R

R

s

=+==+

===+=

+

=

ταα

ττ

π

e con un ritardo di fase:

−=

0

2ττ

πβ parctg

L’equazione può anche essere scritta, in forma più compatta:

( )

s

tsenTT epp

1=

−+>=<

σ

βωσθ

In cui σ è detto coefficiente di smorzamento o semplicemente smorzamento. Si vede immediatamente l’importanza della capacità termica e quindi della massa della parete. Nel caso estremo che questa sia nulla non esiste sfasamento: la parete risente istantaneamente delle condizioni esterne. Inoltre lo smorzamento si riduce ad un semplice rapporto fra resistenze termiche. Soffermiamoci ad analizzare con maggior dettaglio i risultati trovati utilizzando qualche riferimento numerico e mantenendo l’ipotesi, non così restrittiva nel caso in esame, che Sp=Se, cioè che la superficie interna della parete sia uguale a quella affacciata verso l’esterno. Il termine R’Cp ha le dimensioni di un tempo ed è la costante di tempo, τp, della parete che scambia contemporaneamente con i due ambienti interno ed esterno. In coerenza con i vincoli imposti per poter considerare le pareti isoterme si ammetta che αa=αe=8W/m2K. La costante di tempo espressa in secondi è ottenibile dalla relazione

paretespessored

paretespecificocalorec

paretedensità

cdcdSS

CR

CRR

RRCR pp

ep

pepp

ρ

ρα

ρα

τ2

1

2

1

2' ===

+==

Formattato: Non Evidenziato


9

Il termine ρd, che corrisponde, nel caso di parete monostrato, al rapporto fra la massa della parete e la sua superficie (massa frontale)6 è un parametro molto importante in particolare per la valutazione dei carichi termici estivi ed è detto massa frontale. Nella tabella 1.1 che segue si forniscono i valori delle costanti di tempo per gli spessori dei materiali esaminati in precedenza. Tabella 1.1-valori di grandezze significative per alcuni materiali Materiale Calore specifico

(kJ/kgK) Densità (kg/m3)

Spessore (cm)

Massa frontale (kg/m2)

Costante di tempo (h)

Ritardo temp. (h)

Calcestruzzo armato

0,879

2400

1,30

31,2 0,48 0,47

Granito 0,712 3000 5,0 150 1,85 1,73 Legno d’abete 2,721 450 1,51 6,79 0,32 0,32 Vetro in lastra 1,884 2500 1,25 37,7 1,23 1,197

Nell’ultima colonna della stessa tabella si trova anche il ritardo temporale, τr, calcolabile come

( )0

0 0

' 2

12

2

p

r p

pr

arctg R C arctg

arctg

τβ ωτ ω π

τ

ττπ

τ π τ

= = − = −

= −

La figura 1.4 mostra l’andamento del tempo di ritardo relativo (τr/τ0) in funzione della costante di tempo relativa (τp/τ0), dove l’aggettivo relativo significa che le grandezze sono riferite al periodo della variazione di temperatura esterna. A sua volta lo smorzamento è dato, con i valori imposti ai coefficienti di scambio, da:

6 La massa frontale, cui oggi si riferisce la normativa, è un parametro utilizzato da lungo tempo per progettare gli impienti di condizionamento estivo. Esso è infatti un elemento basilare per il calcolo dei carichi termici estivi col cosiddetto Metodo Carrier (citare libro di Tecniche Nuove). 7 Un vetro ordinario di 3mm di spessore, con i valori ipotizzati dei coefficienti liminari ha un ritardo di 17’.

0

0,05

0,1

0,15

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Costante di tempo relativa

Tem

po d

i rita

rdo

rela

tivo

Figura 1.43 – Andamento del tempo di ritardo in funzione della costante di tempo Formattato: Tipo di carattere: NonGrassetto



10

2

0

212

1

+

=

ττ

π

σp

ed il suo andamento è mostrato in figura 1.5 . Il valore dello smorzamento, quindi, diminuisce se, fissato un certo periodo dell’oscillazione della temperatura esterna, si aumenta la costante di tempo della parete oppure se, a parità di quest’ultimo parametro, diminuisce il periodo dell’oscillazione. Con riferimento a quest’ultimo caso si ha, perciò, che oscillazioni di breve periodo sono “poco sentite” dalla parete. Una osservazione si può fare immediatamente in base alle formula dello smorzamento. Come si vede il suo valore dipende dal rapporto fra la resistenza esterna e la resistenza equivalente R’, funzione sia della resistenza esterna sia di quella interna; oppure dal rapporto fra la resistenza interna e quella serie R. Questo rivela una dissimetria nell’azione che le due resistenze, interna ed esterna, esercitano sullo smorzamento. Infatti σ diminuisce, a parità di valore della resistenza serie R, al diminuire di Rp, da cui consegue la convenienza di porre uno strato isolante sull’esterno della parete (rispetto all’interno) per attenuare gli effetti delle variazioni di temperatura esterna, come noto anche dall’analisi che si compie in condizioni stazionarie8. Invece lo sfasamento, e quindi il ritardo temporale, cosi come la potenza scambiata, dipende unicamente dalla resistenza equivalente R’ per cui, per questo parametro, sempre fissato il valore di R, è indifferente aumentare l’una o l’altra delle resistenze, essendo: .

( ) ( )

costante

'

=+=

−=−==

pe

ppeepe

RRRR

RRR

R

RRR

R

RRR

8 Com’è noto porre uno strato isolante sull’esterno della parete mantiene mediamente, in condizioni invernali, la parete più calda, scongiurando (in genere) la formazione di condensa interstiziale.

00,05

0,10,15

0,20,25

0,30,35

0,40,45

0,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Tempo di ritardo relativo

Sm

orza

men

to

Figura 3 1.5 - andamento dello smorzamento in funzione del tempo di ritardo relativo Formattato: Tipo di carattere: NonGrassetto



11

Esempio 1.1 Tanto per esemplificare si consideri di porre uno strato d’isolante costituito da un pannello di poliuretano di 5cm (λp=0,025W/mK, ρp=30kg/m3, c=1400J/kgK, ρpd=1,5kg/m2) all’esterno ed all’interno di una parete in granito) si hanno i seguenti valori delle resistenze, assumendo αa=αe= 8W/m2K ed Sp=Se: Isolante esterno

WKmd

rpe

e /125,2025,005,0

811 2=+=+=

λα

18125,025,2

/118,0'/25,2

/125,01

22

2

===

=→=+=

==

pp

ep

pp

r

r

R

R

WKmrKmWrrr

WKmrα

Isolante interno (si scambiano i valori di rp ed re)

06,1125,225,2 ===

pp r

r

R

R

Trascurando gli effetti della capacità termica dell’isolante si vede che il rapporto fra gli smorzamenti che si ottengono nei due casi esaminati è pari a 18. E’ peraltro logico che la presenza di uno strato isolante sull’esterno porti la parete a risentire di meno delle variazioni della temperatura esterna. A questo punto siamo in grado di calcolare la potenza che si deve fornire al locale per mantenere la temperatura ambiente ad un valore prefissato. Si ottiene

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,,

0,*

QtTGcSKtTSTTGcTTSKTTS

QTTGcTTSKTTSQ

eapvvppameaapmeavvpapa

eaapeavvpapa

−+−−−+−+><−=

=−−+−+−=

ααα

in cui T(t) rappresenta la componente oscillante, attorno al valor medio, della temperatura che si considera. Si vede immediatamente che sia lo scambio attraverso la finestra (data la sua bassa inerzia) sia quello legato all’aria di rinnovo non vengono né smorzati né sfasati, per cui grandi finestrature ed alti valori dei ricambi dell’aria del locale riducono gli effetti della costante di tempo delle pareti. Infine gli apporti interni “gratuiti” seguono leggi temporali che dipendono dal cosiddetto modello di occupazione dei locali9, a sua volta funzione della loro destinazione d’uso. Rispetto a ciò, quindi, dovranno essere trattate in modo diverso le residenze dalle scuole, gli uffici dai laboratori ecc. Elaborando ulteriormente l’equazione precedente si ottiene:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0,,,

0,,,

1

*

QtsenGcSKtsens

STTGcSK

R

QtsenGcSKtsens

STTGcSK

SS

SSQ

apvvpa

emeaapvv

apvvpa

emeaapvvaaee

paee

−

++−−−

++=

=−

++−−−

++

+=

ωβωα

θ

ωβωα

θαα

αα

9 Il modello di occupazione il numero ed il tipo di abitanti degli immobili e le modalità con cui li occupano ed è un elemento abbastanza aleatorio da inserire nella modellazione. Esso non dipende soltanto dalla destinazione d’uso dei locali, ma anche da come questi vengono occupati. Ad esempio, nel residenziale, vi è molta differenza dall’utilizzazione che ne un single, rispetto a quella di una famiglia con bambini piccoli e, in quest’ultimo caso, se entrambi i genitori lavorano (magari affidando i figli ai nonni, o se uno dei due resta a casa con i figli.

Formattato: Tipo di carattere: 10 pt



Formattato: Giustificato


12

La potenza che devono fornire i corpi scaldanti consta, quindi, di una quota costante, corrispondente alla somma della trasmittanza complessiva del locale con la quota di ricambio d’aria moltiplicata per il salto di temperatura fra la temperatura dell’aria interna ed il valore medio della temperatura esterna, e di una quota variabile nel tempo che moduli le variazioni climatiche esterne.



13

Esempio 1. 2 Non considerando né i ricambi d’aria né gli apporti gratuiti, si faccia riferimento alle seguenti condizioni:

Temperatura interna termostatata Ta = 20°C Temperatura esterna media Te,m = 10°C Coefficiente medio di scambio fra pareti ed aria interna αa = 8 Wm-2K-1

Coefficiente medio di scambio fra pareti ed aria esterna αe = 8 Wm-2K-1

Escursione termica giornaliera 2θ = 10 °C Trasmittanza finestra con vetro ordinario Κv = 4 Wm-2K-1 Superficie della finestra (1,6x1,8 m2) Sv = 2,9 m2

Superficie complessiva pareti (ciascuna di 3x3 m2), incluso soffitto ed escluso pavimento adiabatico

Sp = 45-2,9 = 42,1m2

Resistenza complessiva pareti verso l’interno Rp 0,003 K/W Resistenza complessiva pareti verso l’esterno Re 0,003 K/W 1/R 167 W/K

Dai dati forniti si ottiene

( ) ( )[ ]( )[ ] Wtsentsen

tsenSKtsenSTTSKR

Q vvpaemeavv

ωβωσ

ωβωσαθ

6,1133651786

1* ,

+−−=

=+−−−

+=

Supponendo che il materiale costituente le pareti sia granito si ha

rad

p

452,0

45,0

24

85,1212

1

212

122

0

=

=

+

=

+

=

β

πττ

π

σ

Per cui la relazione precedente si scrive

mentre in assenza di capacità termica delle pareti (σ=0,5 e β=0) si avrebbe

[ ] WtsentsenQ ωω 588401786*' +−=

Entrambi gli andamenti sono mostrati in figura 1.6 Dal confronto fra essi si vede chiaramente quale sia l’effetto benefico della capacità sulla potenza richiesta dal locale. La capacità termica tende a livellare le oscillazioni imposte dalle variazioni della temperatura esterna. In tal modo la potenza massima che l’impianto deve fornire al locale è ridotta proprio per effetto del ruolo giocato dalla capacità, com’è evidente dalle curve riportate nel grafico. Quindi, mentre questa grandezza non esercitàesercita alcun ruolo sull’energia fornita al locale nell’arco delle ventiquattro ore10, essa ha un ruolo fondamentale sul valore della potenza d’impianto da installare. Quanto più la potenza massima installata è vicina al valore di quella media richiesta, tanto migliore è il rendimento dell’impianto. Di conseguenza diminuiscono sia i costi d’installazione (legati al valore della potenza installata) sia quelli di gestione (funzione del rendimento dell’impianto).

10 La capacità termica è una grandezza di tipo non dissipativo. Per tale ragione restituisce interamente tutta l’energia che le viene ceduta. Nel caso esaminato (assenza di ogni fonte gratuita d’energia, solare inclusa) la capacità riceve energia soltanto dall’impianto e ne accumula una quota, che restituisce interamente.

( )[ ] WtsentsenQ ωβω 587561786* +−−=





14

Volendo tener conto dell’effetto della ventilazione basta considerare al posto della semplice trasmittanza della finestra (a rigore di quella del vetro + quella dell’infisso) per la relativa superficie

una grandezza equivalente data da:

+

vv

apvv SK

GcSK ,1

che, con i dati numerici forniti e considerando una densità dell’aria pari 1,2kg/m3 e 0,5 ricambi d’aria11 fornisce 1,39KvSv. L’aumento dello scambio termico dovuto alla ventilazione non è quindi trascurabile.

11 Si suppone cioè di ricambiare l’intero volume d’aria del locale in due ore.

50 0

1 00 0

1 50 0

2 00 0

2 50 0

3 00 0

0 2 4 6 8 1 0 1 2 14 1 6 18 2 0 2 2 2 4

T em po (h )

Pot

enza

(W

)

P ote nza is ta nta ne a

P ote nza m e d ia

P ote nza is ta nta ne a in a ssen za d icap a cità te rm ica

Figura 1.3 – Potenza da cedere al locale: valore medio e valori istantanei in presenza ed in assenza di capacità termica. Formattato: Giustificato


15

3. Locale in evoluzione libera

Supponiamo adesso di non termostatare il locale e consideriamo nulli la capacità dell’aria e tutti i contributi di potenza (sia dell’impianto sia gratuiti). Le equazioni si scrivono:

( ) ( ) ( )

( ) eeeapapeepap

p

eaapeavvpapa

TSTSTSSdt

dTC

TTGcTTSKTTS

αααα

α

+=++

−+−+−= ,0

e

( ) ( )

( ) ( ) epaeeppaeepap

p

eeeeppapeepap

p

apvvpa

apvv

apvvpa

pa

epapvvpa

eapevvppaa

TNSSTMSSSdt

dTC

TSNTMTSTSSdt

dTC

MGcSKS

GcSKN

GcSKS

SM

NTMTGcSKS

TGcTSKTST

ααααα

αααα

ααα

αα

+=−++

++=++

−=++

+=

++=

+=++++

=

1,

,

,

,

,

Si ha quindi

p

ep

p

CA

tsenDCTBdt

dTA

=

+=+

'

'''' ωθ

( )

*

1''

''

*

11111

1

11

1'

,

,

,

,

,

,

RBNSSD

TDC

RRRRRR

R

RR

GcSKS

GcSKSSMSSB

paee

me

pGve

Gvp

Gv

pe

apvvpa

apvvpaeepaee

==+=

=

=+

+=

++=

=

+++

+=−+=

αα

ααααα

Come si vede in questo caso viene chiamato in causa il termine R* anziché R’, essendo la temperatura dell’aria interna al locale condizionata sia dalle caratteristiche della finestra sia dai ricambi d’aria. In conclusione


16

( )

( )*

''

1

1

*

'

'1'

'

'

'cos

''

'

''

''

'

'

2,

2222222

βωθω

βωθω

ωω

ωωω

θ

+

+

+=

+

+

+=

+−

++=

tsen

B

AT

tsen

B

AB

D

B

Ct

BA

Atsen

BA

BD

B

CT

eme

eep

La nuova costante di tempo è data da:

pp CRB

A*

'

'* ==τ 12

−=

0

*2*

ττ

πβ parctg

La temperatura dell’aria è:

+°=

+°=

=+

+

=+=++++

=

eGv

pp

pGv

e

p

p

Gvp

Gv

e

p

p

epapvvpa

eapevvppaa

TR

RT

R

R

R

T

R

TR

RR

R

T

R

T

NTMTGcSKS

TGcTSKTST

,,

,

,

,

,

11αα

con

Gvp

pGv

Gvp

Gvp RR

RR

RR

RRRR ,

,

,

,11

1111

+=

+=°→

°=+

e E

( )

( ) tsenR

Rtsen

R

RT

tsenR

Rtsen

R

RT

R

RT

R

R

R

T

R

TRT

eGv

e

pp

me

eGv

e

pp

meGv

ppGv

e

p

p

a

ωθβωθ

ττ

π

ωθβωθ

ττ

π

,2

0

,

,2

0

,,,

**

21

1

**

21

1

°++

+

°+=

=°++

+

°+

°+><°=

+°=

Si vede,quindi, che l’effetto delle variazioni della temperatura esterna è influenzato dai seguenti parametri:

12 Se Rp=∞ R*=Re e τp*=ReCp ed il rapporto R*/Rp si annulla, indicando che la temperatura interna non risente delle variazioni di temperatura della parete. In assenza di finestre e di ricambi d’aria (Rv,G=∞) l’equazione (EQ) diviene una identità del tipo 0=0 poiché la temperatura dell’aria del locale è completamente svincolata da quella esterna.


17

[ ];**;*

2arctan*;;*

21

1*

0,,2

0

pp

p

Gvp

p

Gvp

p

CRRR

R

R

R

R

R =

−=

+=°

+

°= ττ

τπβ

ττ

π

σ

e

.*

111;

111

,,

,

,

RRRRRR

RR

RR

RpGveGvp

pGv

Gvp

=+

++

=+

=°

Consideriamo adesso la temperatura del locale come data da un valore massimo, θa, che risente in modo smorzato (smorzamento ε) e sfasato (angolo di sfasamento δ) dalle variazioni della temperatura esterna.

( ) [ ]tsentsentsenTT eemea ωδωδεθδωεθ coscos, +=+=−

Eguagliando questa espressione a quella trovata

( )

+

°+=°++=− tsentsenR

Rtsen

R

RtsenTT

GvGvmea ωβσωβσθωθβωθσ cos**cos***

,,,

Si ottiene:

→∞→

⇒

°+

=

→∞→

⇒

°+

=

=

°+=

01

*

cos

*cos*

e

00

*tan

*cos*

**tancuida

**

*cos*cos

,

,,

,

,

,

,

Gv

GvGv

Gv

Gv

Gv

Gv

Rper

RperR

R

Rper

Rper

R

R

sen

sensen

R

R

σδ

βσε

β

βσ

βσδ

βσδε

βσδε

Essendo

( )2

2

,

,

2

***cos*

*cos*

tan1

1cos

βσβσ

βσ

δδ

senR

R

R

R

Gv

Gv

+

°+

°+

=+

=

Si ottiene per ε la seguente espressione

( )2

,,

22

2

,

*cos*2****cos*

°+°+=+

°+=GvGvGv R

R

R

Rsen

R

R βσσβσβσε

Ricordando le espressioni per σ∗ e senβ* si ricava


18

( )( )2

2

,2

*1*1

1p

Gvp

R

R ωτωτ

ε

°++

=

I risultati così ottenuti mostrano che l’andamento della temperatura del locale risente di uno sfasamento che è funzione, come peraltro atteso, dell’incidenza della superficie finestrata e dei ricambi d’aria. Qualora questi siano assenti (Rv,G=∞), esso dipende interamente dall’azione della parete, mentre se essi prevalgono (Rv,G=0) non esiste alcun effetto di smorzamento, avendo supposto che non vi sia alcun effetto capacitivo ascrivibile al vetro ed al ricambio d’aria. E’ bene ricordare che tale ipotesi è legata alle ipotesi fatte di presenza di vetro ordinario e di assenza di capacità dell’aria del locale. Altrettanto si può dire per quanto riguarda lo sfasamento δ. Esso, infatti, coincide con quello provocato dalla parete nel primo caso ed è invece nullo quando l’intera superficie sia vetrata (es. serra). Può essere interessante verificare l’effetto di uno strato di isolante posto sulla superficie esterna e/o interna della parete in varie condizioni di incidenza della superficie finestrata, a parità di resistenza termica complessiva della parete. Supponiamo, quindi, di disporre dell’isolante, di spessore complessivo s, nella parete in modo tale che una frazione γ sia posto sulla superficie esterna ed una frazione 1-γ sulla superficie interna. Si ha, se, come detto, con s si indica lo spessore dell’isolante, con ST, S ed Sv rispettivamente la superficie complessiva del locale, la superficie della parete opaca (le superfici interna ed esterna sono considerate uguali e si trascura l’effetto dell’inserimento dell’isolante) e la superficie finestrata e si ritengono nulli i ricambi d’aria:

( )

( ) ( )

( )( )

=→=

=→=⇒

++

=+

+

==

+

+

=+

+=

+++

=

=°→=

=°→=⇒

+=°

⇒

+=

+=°

=

=

+=

=

++=+==

−+==

+=

+=

epv

epp

vv

epvv

v

v

ep

v

v

Pp

v

v

ep

v

v

v

epv

pve

epv

pv

p

v

pvp

v

v

pvp

p

v

v

pevv

pepe

p

pp

e

ee

vT

cdrSr

rrcdS

rSSr

rrSSrcdcdS

S

r

S

r

S

r

S

r

S

r

CR

S

r

S

r

S

r

S

r

S

r

RR

RRR

RRR

RRRR

R

RS

R

RS

Sr

rSR

R

r

S

r

S

RR

R

cdSC

S

r

SR

S

rs

SRRR

S

rs

SR

S

rs

SR

SSS

ρτρτρρτ

ρ

αα

αλαλγ

αλγ

α

*0

*0**

*

10

00

1

1111

1

111

11111111

Gli andamenti dello smorzamento e dello sfasamento in funzione del rapporto fra la resistenza termica esterna e quella interna (s=4cm, λ=0,04W/mK, αe=25W/m2K e αi=8Wm2K ) sono riportati nelle figure parametrati sul rapporto fra superficie finestrata (vetro ordinario di 4 mm di spessore) e superficie totale.


19

Lo smorzamento ha un andamento decrescente con derivata che diminuisce in valore assoluto all’aumentare del rapporto Re/Rp. Per superfici vetrate di incidenza limitata il grosso della diminuzione di tale parametro si verifica nell’intervallo del rapporto che va fra 0 ed 1. In tali situazioni si può scegliere di suddividere l’isolante fra interno ed esterno (per esempio con l’uso di intonaco isolante) in modo da avere Re/Rp=1 o di poco superiore.

Il valore di γ corrispondente al verificarsi di questa condizione si ottiene dalla relazionecondizione:

Smorzamento

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Re/Rp

smor

zam

ento

Sv/Stot=0

Sv/Stot=0,05

Sv/Stot=0,1

Sv/Stot=0,2

Sv/Stot=0,4

Sv/Stot=0,8

Figura 1.7 – Andamento dello smorzamento in funzione del rapporto Rp/Re

Sfasamento

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Re/Rp

Ang

olo

(°) d

i sfa

sam

ento

Sv/Stot=0

Sv/Stot=0,05

Sv/Stot=0,1

Sv/Stot=0,2

Sv/Stot=0,4

Sv/Stot=0,8

RIVEDERE I GRAFICI PER PICCOLI VALORI DELL’ASCISSA Figura 1.8 – Andamento dello sfasamento in funzione del rapporto Rp/Re

Formattato: Pedice


20

−+=

−+=

epep s

s

s ααλ

αλαλγ 11

22

111

2

Per cui, con i valori assunti,

54,025

1

8

1

2

1

2

1 =

−+=γ

Con i dati dell’esempio precedente, che si riportano per comodità, si ottiene quanto segue, sempre considerando nulli i ricambi d’aria. Esempio 1.3

Temperatura interna termostatata Ta = 20°C Temperatura esterna media Te,m = 10°C Coefficiente medio di scambio fra pareti ed aria interna αa = 8 Wm-2K-1

Coefficiente medio di scambio fra pareti ed aria esterna αe = 8 Wm-2K-1

Escursione termica giornaliera 2θ = 10 °C Trasmittanza finestra con vetro ordinario Κv = 4 Wm-2K-1 Superficie della finestra (1,6x1,8 m2) Sv = 2,9 m2

Superficie complessiva pareti (ciascuna di 3x3 m2), incluso soffitto ed escluso pavimento adiabatico

Sp=Se=S = 45-2,9 = 42,1m2

Resistenza complessiva pareti verso l’interno Rp 0,003 K/W Resistenza complessiva pareti verso l’esterno Re 0,003 K/W

rad

hcdSR

WKR

KWRRRR

WKSK

R

p

pGve

vvGv

758,042,43*

62,33600

1,4205,071230000029,0

3600

**

/0029,0*

/5,344089,0

1

003.0

111

*

1

/086,09,24

11

,

,

−=°−=

=⋅⋅⋅⋅==

=

=+=+

+=

=⋅

==

β

ρτ

( )( ) ( )758,063,310758,05

*tan1

12. ++=+

++= tsentsenTT mep ωω

β

( ) ( ) ( ) ( )

CtsentsenR

R

Ctsentsentsentsen

B

AR

R

CTRR

TRTR

RT

R

RT

v

p

mevp

memev

pp

ma

°=

°+=+⋅=+=+

+

°==

+=

+><=

ωωθ

βωβωβωθσβωθω

169,0*

*51,3*5701,0***

'

'1

1*

1011

***

2

,,,,












21

4. Schemi elettrici equivalenti. Per poter meglio visualizzare i fenomeni descritti può essere utile riferirsi agli schemi elettrici equivalenti di quanto fin qui descritto, riservandoci di entrare un po’ più nel dettaglio nel prossimo capitolo, in cui tratteremo l’uso del metodo dei quadripoli per la risoluzione dei problemi visti. Ricordiamo, per sommi capi, l’analogia fra fenomeni termici ed elettrici per studiare la dinamica termica del locale in esame. Come noto in tale analogia la temperatura di un punto, T, corrisponde al potenziale elettrico in esso mentre la densità di flusso termico q corrisponde alla densità di corrente j. Ciò nasce dal fatto che le relazioni che legano il flusso termico specifico alla temperatura sono formalmente identiche a quelle che legano la densità di corrente al potenziale elettrico.

idx

dTqgradTqtermico

idx

dVjgradVjelettrico

caso

caso ee

λλ

σσ

−=−=

−=−=

ionalemonodimensgenerale

In cui grad è l’operatore gradiente, σe e λ sono rispettivamente la conducibilità elettrica e termica del materiale ed i è il versore dell’asse x, coordinata da cui si suppone dipendano i fenomeni nei casi monodimensionali. Com’è noto, sulla base di quanto detto, è possibile parlare di resistenze termiche, associabili a zone (finite o infinitesime) ai capi delle quali si stabilisce una differenza di temperatura e che vengono attraversate da un certo flusso termico13. Per esempio laTale resistenza conduttiva, nel caso di una parete piana (schematizzabile come mondimensionale) di conducibilità λ, di spessore d e superficie S è data da Rp=d/λS. Conclusioni simili si raggiungono per lo scambio convettivo fra una parete ed un fluido fra cui esista una differenza di temperatura ∆T (Q=αS∆T). In tal caso la resistenza termica convettiva è R=1/αS.:

S

dR

λ=

Proseguendo nell’utilizzare l’analogia elettrica si consideri un corpo isotermo (schema a parametri concentrati)14 a temperatura T e di capacità termica CT che scambi una certa potenza termica alla sua frontiera, di area F. In funzione di detto scambio l’energia termica, U, del corpo varia nel tempo. La stessa cosa si può dire per la carica elettrica, QE, che si accumula sul corpo in esame. Essa varia in funzione della corrente elettrica, I, che attraversa la sua frontiera. Se con CE si indica la capacità elettrica si ha:

dFnjI

Idt

dVCileisopotenzacorpodFnj

dt

dQ

dFnqQ

Qdt

dTCisotermocorpodFnq

dt

dU

F

E

F

E

F

T

F

∫

∫

∫

∫

⋅−=

±=⋅−=

⋅−=

±=⋅−=

In cui il segno + vale se il calore (la corrente) entra nel sistema ed il segno – se ne esce. Esiste quindi una analogia fra la capacita termica e la capacità elettrica. 13 Questo concetto è gia stato utilizzato in precedenza nel testo, dandolo per scontato. 14 Le stesse considerazione si possono utilizzare anche in modo” locale” (in un punto del corpo in esame) riferendosi ad un volumetto infinitesime attorno ad un punto,


22

Quindi se ci riferiamo ad una parete piana per cui valga la condizione di isotermia (Biot<0,1) posta fra due ambienti a temperature Ti e Te , coefficienti liminari αi e αe e dotata di capacità termica Cp si ha l’equivalenza della parete al circuito elettrico disegnato nella figura 1.9.

Avendo considerato la parete isoterma non compare la sua resistenza conduttiva che, invece, imporrebbe (come avviene in generale) una differenza di temperatura fra le superfici affacciate sui due ambienti. La finestra del locale, per semplicità ipotizzata a capacità termica nulla, sarà rappresentata da una resistenza termica pari alla somma delle resistenze convettive interna ed esterna. Le due temperature, interna (Ti) ed esterna (Te), potranno essere soggette alle condizioni seguenti.

• Temperature interna ed esterna costanti – E’ questo il caso che si utilizza nella progettazione invernale in cui si assume la temperatura interna ad un valore costante (termostatato) dipendente dalle condizioni di benessere e quella esterna ad un valore, anch’esso costante, dipendente dalla situazione climatica del sito in cui si colloca l’edificio. In tal caso entrambe le temperature sono schematizzabili con una forza elettromotrice costante (una batteria elettrica) ed il condensatore costituisce un’apertura del circuito, nel senso che non può ne accumulare ne cedere energia, trovandosi in equilibrio stazionario.

• Temperatura interna costante ed esterna variabile (interno termostatato) – In tale condizione la temperatura interna è supposta fissata ad un valore rigorosamente costante tramite un termostato ideale (l’ampiezza della banda di regolazione del termostato è nulla), mentre quella esterna varia liberamente in funzione delle condizioni climatiche. La temperatura interna è, quindi, ancora schematizzabile con una forza elettromotrice costante, in grado di fornire istantaneamente tutta l’energia occorrente a mantenere questa condizione. Una ipotesi usuale è quella di considerare, come abbiamo fatto in precedenza, la temperatura esterna variabile sinusoidalmente attorno ad un dato valor medio. In tal caso essa può essere schematizzata con una “batteria” cui si sovrappone un generatore di tensione alternata pura.

• Temperatura interna ed esterna variabili (evoluzione libera) – Questa situazione è quella che si verifica quando l’impianto di climatizzazione è spento o non esistente. La temperatura interna “segue” l’andamento di quella esterna in funzione delle caratteristiche termo fisiche dei componenti edilizi che costituiscono il locale.

iQ

iQ

eQ

eQ

iα eα

dt

dTC p

p

dt

dTC p

p

pT

pT

eTiT

iT eTSiα

1

Seα1

Figura 1.9 – Circuito elettrico equivalente ad una parete piana isoterma posta fra due ambienti.


Formattato: Normale, Allineato asinistra



Formattato: Normale, Rientro:Sinistro: 0,63 cm

Formattato: Tipo di carattere: 12 pt,Corsivo

Formattato: Normale, Puntato +Livello:1 + Allinea a: 1,27 cm +Tabulazione dopo: 1,9 cm + Rientra di:1,9 cm

Formattati: Elenchi puntati e numerati

Formattato: Centrato


23

In ultimo la potenza dedicata ai ricambi d’aria, Gca(Ti-Te), si schematizzerà come il salto di temperatura fra interno ed esterno divisa per una resistenza equivalente pari a 1/Gca.

Per il locale in esame, trattato con uno schema a parametri concentrati, se non si considera la capacità dell’aria (che è in generale di scarsissima importanza), l‘ ’unico elemento dotato di capacità termica è la parete a cui sono associate, come detto, una resistenza esterna ed una interna. Due altre resistenze sono quelle dovute alla finestra ed ai ricambi d’aria, che “collegano” direttamente, cioè senza l’intermediazione di effetti capacitivi, l’ambiente esterno a quello interno. Il riquadro A, mostra lo schema elettrico equivalente completo e riporta le correnti (potenze) che scorrono nei vari rami. La temperatura esterna è rappresentata dalla somma di una forza elettromotrice (f.e.m.) costante ae di un generatore di tensione alternata sinusoidale. Invece la temperatura interna è posta pari ad una f.e.m. continua, che si riferisce al caso di temperatura interna mantenuta costante nel tempo ad un valore prefissato.

Riquadro A - Lo schema elettrico equivalente completo nel caso di temperatura interna costante.

Rp

1/Gcp,a

Cp

TaTp Te

ip

ic

1/KvSv

Re

ie

Rv,G

iG

iv

ia

ip-ic

e

e

p

ap

ep

pp

e

ep

p

papp

e

epcp

apvvGv

ppc

Gv

ea

e

epvGpe

p

pap

R

T

R

TT

RRdt

dTC

R

TT

R

TT

dt

dTC

R

TTii

GcSKR

con

dt

dTC

dt

dqi

R

TT

R

TTiiii

R

TTi

+=

++→

−−

−=⇒

−+=

+=

==−+−

++=−

=

11

1

;

.,

,

Termostatare l’ambiente significa fissare ad un valore costante la temperatura interna con un sistema di regolazione ideale che consente di bilanciare istantaneamente i carichi termici. Dal punto di vista elettrico ciò equivale ad avere un generatore di tensione costante che adegua istantaneamente la corrente. Le grandezze, grazie alla linearità delle equazioni, (e di conseguenza il circuito) possono essere considerate come la somma delle componenti continue, legatei alle f.e.m. continue, più quelle variabili legate alla componente oscillante della temperatura esterna.



Formattato: Normale


Formattato: Tipo di carattere:Grassetto

Formattato: Tipo di carattere: 11 pt,Grassetto, Corsivo


24

Nel riquadro B, invece, è rappresentata la condizione di “evoluzione libera” della temperatura, Ta, dell’aria del locale, cioè il caso in cui non vi è alcun vincolo imposta da un termostato con una contestuale cessione di energia da parte di un generatore, in grado di compensare, istante per istante, gli scambi termici con l’esterno.

Riquadro B – Schema elettrico equivalente nel caso “evoluzione libera” della temperatura interna, che considera soltanto le componenti variabili nel tempo.

Rp

1/Gcp,a

Cp

TaTp Te

ip

ic

1/KvSv

Re

ie

Rv,G

iG

iv

ip-ic

e

e

p

ap

ep

pp

e

eppp

p

pap

Gv

ea

p

paa

ppc

a

R

T

R

TT

RRdt

dTC

R

TT

dt

dTC

R

TTTNodo

R

TT

R

TTTNodo

dt

dTC

dt

dqi

i

+=

++⇒

−+=

−⇒

=−+−

⇒

==

=

11.4

0.3

.2

0.1

,

Si vede subito come il locale risenta immediatamente (cioè senza ritardi) della temperatura della parete, attraverso la resistenza Rp e della temperatura esterna attraverso la resistenza Rv,G. L’effetto della temperatura esterna su quella del locale è invece mediato dalla costante di tempo della parete ( a capacità non nulla). Il circuito diviene:

Rp

1/Gcp,a

Cp

Tp

Ta

Te

ip

ic

1/KvSv

Re

ie

Rv,G

iG

iv

ip-ic


Formattato: Tipo di carattere: 11 pt,Corsivo


25

Il riquadro C, infine, rappresenta la riduzione del circuito del riquadro B ad un semplice schema RC

equivalente, da utilizzare per la determinazione della temperatura di parete Tp. Fare riferimento alla schematizzazione elettrica su esposta dovrebbe facilitare l’interpretazione delle equazioni e delle relative soluzione discussi in precedenza.

Riquadro C - Schema elettrico equivalente per il calcolo della temperatura di parete in caso di sistema in evoluzione libera.

Tp

ic

R*Te

Cp

**

.4

0

.4

.3

111.2

11

*

1.1

,

,0

,

R

T

R

T

dt

dTC

TNodo

R

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capitolo 1 il comportamento dinamico di un … 1 variazione temp... · ... cap.1 il comportamento...

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