STUDIUL SUPRAFEŢELOR

Metode Fractale Termenul de "fractal" derivă din termenul latin "fractus" care înseamnă

fragmentat sau neregulat şi este una dintre cele mai moderne noţiuni ştiinţifice,

cunoscut şi utilizat încă din fizică. A fost utilizat pentru prima dată de către

Mandelbrot pentru a analiza formele geometrice naturale. Astfel, Mandelbrot a

concluzionat că fractalii sunt regula nu excepţiile; în această viziune excepţiile

sunt liniile drepte, planele sau volumele. Altfel spus, fractalii sunt forme

geometrice rugoase sau fragmentate, ce pot fi divizate în părţi, care la rândul lor

sunt o copie la scară redusă a întregii structuri. De aici rezultă şi două dintre

proprietăţile fractalilor: auto-similitudinea şi independenţa de scara de

vizualizare.

Pe lângă numeroasele structuri geometrice binecunoscute cum sunt:

triunghiul Sierpinsky, fulgii de zăpadă Koch, curba Peano, setul Mandelbrot, (vezi

a, b,c, d) fractalii descriu multe structuri sau procese reale cum sunt: munţi, nori,

turbulenţa, rugozitatea, care nu corespund formelor geometrice simple.

a) Sierpinsky

b) Koch

c)Peano

d) Mandelbrot

Odată cu dezvoltarea intensivă din ultima perioadă a calculului

matematic computerizat, ce permite calculul principalilor parametri fractali, a

apărut posibilitatea utilizării acestora ca parametri dependenţi, care pot descrie

cantitativ o serie de fenomene şi procese. În general, consecinţa acestor procese

este modificarea dimensiunilor geometrice ale unor corpuri sau a surafeţelor

acestora. În particular pentru cazul suprafeţelor, acestea sunt descrise de

modele fractale.

Fractalii posedă două caracteristici. În primul rând trebuie menţionat

caracterul de auto-similitudine (self-similar) la diferite scale, ceea ce înseamnă

că o mică parte arată identic cu întregul. Se pot diferenţia două categorii de auto-

similitudine. Atunci când fractalii au aceleaşi proprietăţi statistice la diferite scale,

se poate spune că este vorba de o auto-similitudine statistică, iar atunci când mai

mult, aşa cum s-a menţionat anterior, o parte este copia întregii structuri, vorbim

despre o auto-similitudine exactă.

Pe de altă parte factalii pot fi descrişi printr-o mărime cuantificabilă

numită dimensiune fractală. Dacă dimpotrivă o parte a fractalului este o copie a

întregului la o altă scală, se poate vorbi despre o auto-similitudine exactă.

Dimensiunea Fractală Pentru a descrie cantitativ fractalii, Mandelbrot numeşte o mărime căreia

îi spune dimensiune fractală, diferită de dimensiunile topologică (DT

Mandelbrot defineşte matematic fractalii ca fiind un set de puncte pentru

care dimensiunea Hausdorff-Besicovich, D

) şi

Euclidiană.

H, depăşeşte dimensiunea topologică

DT, DH > DT

Dimensiunea topologică, D

.

T poate fi înţeleasă ca o constantă n care

descrie spaţiul Euclidian Rn. Aceasta, este invariantă faţă de proprietatea de

homeomorfism; de aceea reprezintă o determinare precisă a informaţiei

topologice asupra sistemului. Astfel, un punct are dimensiunea DH = 0, o linie,

segment sau cerc au dimensiunea DH = 1, o suprafaţă plană, un disc au

dimensiunea DH = 2, un cub are dimensiunea DH = 3. În cazul acestora, după

cum se cunoaşte, dimensiunile topologică DT şi Hausdorff-Besicovich DH, au

aceeaşi valoare: DT = DH

Toate aceste seturi de puncte pot fi clasificate ca fiind obiecte standard

sau Euclidiene. Atunci fractalii se pot definii ca obiecte nestandard.

.

Ca urmare dimensiunea fractală, DF

Atunci când fractalii prezintă proprietatea de autosimilitudine,

dimensiunea Kolmogorov-Mandelbrot cunoscută şi ca dimensiune fractală, este

egală cu dimensiunea Hausdorff-Besicovich.

este diferită în aceste condiţii de

dimensiunea topologică.

Considerând o linie de lungime L, împărţită în N segmente de lungime r,

se poate scrie relaţia: L = N r1

A = N r

. Similar, pentru o suprafaţă de arie A şi un volum

V împărţite după acelaşi criteriu, se pot scrie relaţiile: 2 şi respectiv V = N r

În continuare asumăm că lungimea L, suprafaţa A şi volumul V sunt

egale cu unitatea, situaţie în care se poate generaliza pentru toate cele trei

cazuri: 1 = N r

3

D

. D reprezintă în această situaţie dimensiunea fractală. Prin

logaritmarea relaţiei anterioare se poate obţine formulă de calcul a dimensiunii

fractale, sub forma relaţiei 1:

(6.1)

Să considerăm acum unul dintre

fractalii exacţi pe care îl vom construi

pornind de la o linie dreaptă, pe care o

divizăm în trei segmente egale, iar apoi

segmentul din mijloc îl frângem în două.

Aceste operaţiuni însumează primul pas

prezentat în figura 6.1 prin k =1.

DFlog N( )

log 1

r

:=

r

Figura 6.1: construcţia curbei Koch.

În paşii următori se repetă de un număr infinit de ori această operaţiune

de diviziune la trei si frângere în două a segmentului mijlociu; rezultă astfel o

structură frântă numită curba Koch.

Aplicând relaţia de calcul 6.1 pentru curba lui Koch, se obţine valoarea

dimensiunii sale fractale:

DF

unde N = 4 reprezintă numărul de segmente,

= log 4 / log (1/(1(3)) = log 4 / log 3 = 1.2618

r = 3 este nmărul de diviziuni.

Măsurarea Dimensiunii Fractale Estimarea dimensiunii fractale ca parametru caracteristic, se poate face

prin mai multe metode.

BENOIT™ este unul dintre cele mai cunoscute softuri de analiză fractală,

utilizat în peste 300 de universităţi ca instrument standard în cercetări de analiza

datelor din domeniile tehnologiei, fizicii, chimiei, biologiei sau chiar economiei.

Este posibilă determinarea dimensiunii fractale sau a coeficientului Hurst

pentru structuri care prezintă auto-similaritate sau urmele unor transformări

repetate.

Ca urmare, metodele de calcul a parametrului fractal, se pot diviza în

două:

a. metode de tipul Box-Counting,

b. metode din categoria mişcării Browniene fracţionale (fBm).

In acest sens, pentru structurile autosimilare se pot calcula: dimensiunea

Box-Counting, dimensiunea perimetrului, dimensiunea masei, dimensiunea de

informaţie, dimensiunea de corelaţie, dimensiunea de capacitate, dimensiunea

Minkowski-Bouligand, dimensiunea q.

Determinarea dimensiunii fractale şi a coeficientului Hurst în cazul

analizei urmelor unor auto-transformări se poate face prin: analiza intervalului

rescalat, analiza spectrului de putere, măsurarea lungimii rugozităţii, analiză

wavelet.

In continuarea se vor aborda câteva dintre metodele cele mai uzate în

calculul dimensiunii fractale.

Dimensiunea Box-Counting. Metoda "box-counting", constă în a acoperii imaginea fractalului cu

pătrate de o anume dimensiune "r"; iar apoi a determina numărul pătratelor de

dimensiune "r" necesare pentru a acoperii imaginea, după cum rezultă din figura

6.2. Numărul pătratelor necesare, pentru o dimensiune "r", este dat de relaţia

6.2, obţinută în condiţii de auto-similitudine din integrarea relaţiei 6.1:

(6.2) Apoi, dimensiunea "r" este redusă la 1/2 din valoarea iniţială şi numărul

pătratelor este determinat din nou. După logaritmarea expresiei 6.1, se

reprezintă grafic logN(r) = f(log(1/r)). Din panta dreptei rezultă valoarea

dimensiunii fractalului.

Pentru a exemplifica metoda, vom face în continuare un calcul aplicativ

pe unul dintre cei mai cunoscuţi fractali, curba Koch care are aspectul unei linii

rugoase, prezentat în figura 6.2:

Figura 6.2: Curba Koch

Pentru acest tip de fractal, vom calcula dimensiunea DF

N r( )1

rD:=

D

, conform

relaţiei 6.3, care exprimă analitic dimensiunea fractală prin metoda "box-

counting" cunoscută în literatura de specialitate şi ca dimensiunea Kolmogorov-

Mandelbrot:

(6.3)

În figura 6.3 este ilustrat modul de acoperire a suprafeţei fractalului cu

pătrate a căror latură este modificată după cum s-a prezentat anterior.

Figura

6.3:

Acoperirea

suprafeţei fractale

Datele obţinute prin logaritmare după numărarea lui N(r) sunt prezentate

în tabelul următor, iar panta dreptei obţinute prin reprezentarea grafică, prezintă

dimensiunea fractală:

Log(1/r) LogN(r)

0 7.60837

-0.693147 7.04054

-1.38629 6.32972

-2.56495 4.85981

-3.09104 4.21951

-3.49651 3.52636

-3.78419 3.29584

-4.00733 3.04452

-4.18965 2.99573

-4.34381 2.70805

-4.47734 2.56495

-5.17615 1.60944

Log(1r/)

LogN

(r)

D0r

log N r( )( )

log1r

lim→

:=0r

log N r( )( )

log1r

lim→

Tabelul 6.1: LogN(r) versus Log(1/r) Figura 6.4: reprezentarea grafică

LogN(r) versus Log(1/r)

Pentru setul de date obţinute, rezultă DH

Prin această metodă pentru curba Koch, s-a găsit D = 1,18, iar prin calcul

analitic cu relaţia 6.3, D = 1,26; abaterea dintre cele două determinări este de

6,25%.

= 1,18, ceea ce exprimă

cantitativ gradul de rugozitate, comparativ cu o linie dreaptă.

Dimensiunea Informaţiei (entropia informaţională) Aceasta este o metodă de calcul a dimensiunii fractală asemănătoare cu

Box-Counting, în sensul că structura analizată este acoperită de asemenea cu o

grilă pătrată. Există totuşi o diferenţă faţă de metoda pre cedentă, prin aceea că

în acest caz nu mai interesează numărul pătratelor care acoperă structura ci

cantitatea din structură conţinută în fiecare ochi al grilei.

(6.4)

unde r este dimensiunea ochiului grilei, iar E(r) reprezintă entropia Shannon,

care se calculează conform relaţiei următoare:

E(r) = - Σ (P(r)i x log(Pi

P(r) este probabilitatea de a fi identificată structura analizată în al i –lea

ochi cu dimensiunea r, al grilei. Probabilitatea în cazul nostru se poate identifica

fiind :

(r))) (6.5)

Pi

Apoi, aşa cum s-a prezentat în în cadrul metodei Box-Counting, se

reprezintă grafic de data aceasta E(r) versus log(1/r), iar din panta dreptei se

obţine dimensiunea fractală căutată.

= numărul de puncte găsite în ochiul i al grilei/ numărul total de puncte

al probei.

DF0r

E r( )( )

log 1

r

lim→

:=

În literatură, coeficientul de dimensiune a informaţiei se mai notează cu σ

.

Dimensiunea coeficientului Hurst. Analiza seriilor de date prin spectrele lor de frecvenţe, prezintă uneori un

răspuns de frecvenţă plat, care poate fi indiciul prezenţei unui aşanumit zgomot

alb. Zgomotul alb sau Gaussian este cunoscut ca mişcare Browniană (Bm).

Pe de altă parte, în seriile de date spaţiale dependente de o singură

direcţie care sunt caracterizate printr-o ordine întâmplătoare a datelor, poate

exista un efect de “memorie” în care un element al seriei este dependent pe

termen mai scurt sau dimpotrivă mai lung, de cele care îl preced.

Hurst a propus o metodă de determinare a unui parametru H pentru o

serie de date temporală sau monodimensional spaţială. Parametrul H a fost

denumit şi coeficient Hurst. După aceea, Mandelbrot şi Wallis au aplicat pentru

prima dată coeficientul Hurst pentru a determina dimensiunea fractală a seriei de

date. Ei stabilit o relaţie de dependenţă între H şi DF.

Pentru a calcula exponentul Hurst avem nevoie de N observatii a unei marimi X(t), unde t=k∆t . Vom lua o serie partiala de timp de lungime

Calculul exponentului Hurst

n},...,,,{}{ 321 nXXXXX =

, , si vom calcula:

1. Calculam media:

∑=

=n

iiX

nm

1

1 (6.6)

2. Calculam abaterea de la medie a elementelor:

mXY tt −= pentru nt ,...,3,2,1= (6.7)

3. Calculam abaterea cumulativa de la medie Z;

(6.8)

4. Calculam domeniul R;

(6.9)

5. Calculam abaterea standard S;

(6.10)

6. Calculam R(n) / S(n) si luam media pentru toate serile partiale de lungime n

Exponentul Hurst H este estimat din

.

(6.11)

Valoarea lui H este cuprinsa in domeniul H∈[0,1]

Feder a fost cel care a stabilit relaţia dintre coeficientul Hurst astfel

calculat şi dimensiunea fractală locală DF

de tipul:

DF

= 2 – H (6.12)

Permiţând în acest fel pe baza analizei R/S calculul dimensiunii fractale

a seriei de date experimentale ce respectă modelul fBm prezentat anterior.

Exponentul Hurst măsoară dimensiunea fractală a seriei de date.

Interpretarea datelor obţinute:

Un exponent Hurst cu valoarea de 0.5 indică lipsa efectului de

“memorie”, iar valori mai mari prezic existenţa acestui efect. Astfel, algoritmul

este util pentru a determina dacă un set de date este afectat de zgomotul alb.

Dacă H = 0,5 seria de date respectă modelul Bm; seria este compusă exclusiv

din zgomote albe şi fiecare observaţie este independentă de toate cele

precedente iar factorul de autocorelare dintre datele seriei este 0.

Dacă H < 0,5 fiecare din datele seriei vor stabili o corelaţie negativă cu

valorile care le preced. Astfel de corelări sunt dealtfel rare în natură.

Cel mai des întâlnite sunt cazurile pentru care H > 0,5. Pentru aceste

serii de date există un efect de “memorie” ce stabileşte o corelare directă între

date.

Coeficientul Hurst datorită capacităţii sale de a prevedea o posibilă

corelare între datele seriale.

Dealtfel acest subiect va fi continuat în cadrul modelului Fractional

Brownian Motion (fBM).

Dimensiunea Varianţei Metodologia de calcul a dimensiunii fractale Dσ

Considerând urma fenomenului de mişcare browniană în timp, B

este derivată din modelul

difuziunii Browniene fractale (fBm) care va fi prezentat în cadrul acestui capitol la

modele fractale.

H

∆B(t

(t),

aceasta se calculează conform relaţiei:

n, ∆t) = BH(tn + ∆t) - BH(tn

unde t

) (6.13)

n

Deoarece am asumat că este vorba despre un zgomot alb, a cărui

valoare medie a incremenţilor este nulă, se poate contrui o relaţie între varianţa

urmei şi timp:

este timpul la momentul n iar ∆t este timpul scurs între mostre.

(6.14)

sau sub formă logaritmică:

(6.15)

unde H reprezintă coeficientul Hurst care a fost prezentat anterior în cadrul

acestui capitol, iar C este o constantă.

Din reprezentarea grafică a ultimei relaţii se extrage exponentul Hurst ,

ca fiind panta S, dată de relaţia H = ½ S.

După ce s-a identificat coeficientul Hurst H se poate calcula dimensiunea

fractală a varianţei ca fiind Dσ = DE +1 – H. DE

este tocmai dimensiunea fractală

Euclidiană despre care s-a vorbit la începutul acestui capitol.

Dimensiunea Sevcik. Metoda a fost dezvoltată şi publicată relativ recent, în 1998, pornind de la

definiţia dată de Mandelbrot pentru fractali. În obţinerea relaţiei pentru

dimensiunea fractală, Sevcik pleacă de la relaţia 6.3 scrisă sub formă de

logaritmi naturali. Conform variantei Sevcik, structura fractală este acoperită cu

un număr de N bile de diametru 2r sau rază r.

În acest caz, ecuaţia 6.3 se poate rescrie:

(6.16)

Apoi, Sevcik a propus modificarea coordonatelor în care este

reprezentată seria de date într-una normalizată, urmând două transformări liniare

una pentru scara x, de tipul :

(6.17)

unde xi este valoarea originală pe abscisă, iar xmax

Cea de a doua transformare, pe ordonată, este redată de ecuaţia 6.18:

reprezintă valoarea maximă.

Ds0r

ln L( )− ln 2 r⋅( )+( )ln r( )

lim→

:=Ds0r

ln L( )− ln 2 r⋅( )+( )ln r( )

lim→

:= Ds0r

1ln L( ) ln 2( )−

ln r( )

−

lim→

:=Ds0r

1ln L( ) ln 2( )−

ln r( )

−

lim→

:=

Ds0r

1ln L( )ln r( )

−

lim→

:=Ds0r

1ln L( )ln r( )

−

lim→

:=

x.( )ixi

xmax:=

y.( )iyi ymin−

ymax ymin−:=

(6.18)

yi este valoarea originală a incrementului, ymin şi ymax

Ca rezultat al acestor transformări liniare, L devine egal cu unitatea iar

atunci r = 1/(2N). Ca urmare ecuaţia 6.16 se rescrie sub forma:

sunt incremenţii

minim şi respectiv maxim, care dealtfel au fost trataţi în cadrul capitolului 2.

(6.19)

Dimensiunea Sevcik, este cea de a doua dimensiune calculată pentru

seriile de date obţinute experimental. Prin ea se verifică validitatea rezultatelor

obţinute în lucrările practice pentru calculul parametrului fractal prin metoda Box-

Counting.

Dimensiunea de corelaţie. Parametrul dimensiunii de corelaţieeste dat de relaţia:

(6.20)

unde C(ε) este funcţia de corelaţie scrisă sub forma:

(2.21)

În relaţia 6.21 H reprezintă funcţia Heaviside.

CALCULUL ENTROPIEI DIN HISTOGRAMA

IMAGINILOR

Ds∞N

1ln L( ) ln 2( )+

ln 2N( )+lim

→:=Ds

∞N1

ln L( ) ln 2( )+ln 2N( )

+lim→

:=

Ds 1ln L( )ln 2N( )

+:=ln L( )

În acestă secţiune vom stabili entropia imaginilor unor suprafeţe, care este la rândul său o măsură a rugozităţii suprafeţei. Histograma w(I) unei imagini alb – negru reprezintă în definiţie riguroasă densitatea de probabilitate cu care apare in imagine un punct cu nivel de gri dat (cu intensitate dată). Inmulţită cu numărul total de puncte al imaginii histograma va exprima numărul de puncte care au intensitatea I într-un interval dI. Vom w(I) cu h(r)=p(r) histograma unei imagini digitale cu L nivle discrete r de gri, intenitatea luminoasă având valorile r = 0, 1, 2, ..., L-1. Densitatea de probalilitate are prorietatea:

∫ =max

0

,1)(I

dIIw sau: ∑−

=

=1

01)(

L

rrp .

unde Imax Experimental histograma unei imagini discrete, cu L nivele de gri, se calculează:

reprezintă intensitatea maximă a punctelor din imagine.

( ) ,nnr r=p

unde n reprezintă numărul toatal de puncte al imaginii, iar nr

Histograma cumulativă reprezintă probabilitatea ca intenitatea luminoasă să aibă valori ale intensităţii cuprinse intre zero şi s:

reprezintă numărul de puncte al imagini care au un nivel de gri r = 0, 1, …, L-1. In cazul nostru L=256.

∫=r

dIIwrP0

,)()( sau: ∑=

=r

rrprP

0).()(

Entropia imaginii este pozitiv definită, iar pentru cazul imaginii digitale cu L nivele de gri se scrie sub forma:

∑−

=

−=1

0).(ln)(

L

rrprpH

Dorim să precizăm că am utlizat definiţia entropiei bazată pe logaritmul natural. Precizăm că în domeniul prelucrării imaginilor se mai folosesc alte definiţii ale entropiei în alte baze, cum ar fi baza 10.

Vom calcula cu ajutorul programului ImageJ, histogramele imaginilor. Toate imaginile au acelasi numar de puncte 1280×1024=1310720. În imaginile I-VI a) sunt reprezentate imaginile suprafeţelor iar în b) histogramele

nenormalizate nr

.

Cazul I

Cazul II

Cazul III

Cazul IV

Cazul V

00 Cazul VI

Imagine <I> ∆ H I

I 88.671 31.239 4.763729 II 83.438 36.541 4.291876 III 112.556 75.634 5.125752 IV 117.594 62.090 5.250947 V 193.480 41.379 4.893754 VI 47.232 15.429 4.142784

APLICAŢIILE TRANSFORMATEI FOURIER 2D

Transformata Fourier bidimensională descompune imaginea I(x,y) într-un spectru complex spatial F(υx, υy), unde υx, υy

reprezintă numerele de undă spaţiale pe orizontală şi pe verticală. Frecvenţa spatială pe o direcţie se poate scrie: υ = 1/λ, unde λ reprezintă lungimea de undă. Transformata Fourier bidimensională se poate scrie:

( ) ( ) )},({Feyx,I, 2)x(2

yxyx yxIdxdyY yi == ∫ ∫

+∞

∞−

+−+∞

∞−

υυπυυ

unde 1−=i . Se mai notează cu k= 2πυ=2π/λ şi reprezintă numărul de undă. Pentru imagini digitale, sub forma unei matrici de pixeli, transformata Fourier

bidimensională, pentru o imagine N×N se poate calcula numeric cu:

( ) ( ) ( ) ,eyx,IN1,Y

1N

0x

1N

0y

/yxi22yx

yx∑∑−

=

−

=

+−= Nυυπυυ

pentru x, y = 0, 1, 2, ..., N - 1. Aceste operaţii se fac pe calculator pentru imaginile introduse în calculator sub

formă digitală. În cele ce urmează vom considera următoarea imagine reprezentând o suprafaţă la

care avem calibrată distanţa:

şi ne propunem să extragem informaţii asupra caracteristicilor acestei suprafeţe cu ajutorul transformatei Fourier bidimensionale, calculate cu ajutorul programului de prelucrări de imagini ImageJ. Imaginea digitală are 256 de nivele de gri. Dorim să mai precizăm că utilizând scara de etalonare am stabilit ca la 59 de pixeli pe verticală şi orizontală corespund 100 µm. Deci distaţa de eşantionare a imaginii λ (distanţa între doi pixeli), şi frecvenţa spaţială υ este:

λ=1.6949 µλ υ = 1/λ = 0.59 µm

-1

adică între doi pixeli scara de frecvenţă a transformatei Fourier avem υ = 0.59 µm-1

În figura următoare avem reprezentarea modulului transformatei Fourier bidimensionale a imaginii suprafeţei utilizate aici, reprezentată sub forma 2d respectiv 3d (fig a şi b).

.

Frecventa spaţială maximă pe scări corespunzătoare celor 512 pixeli este υx,y = 302.08 µm-1.

Se poate calcula şi densitatea spectrală de putere bidimensională precum şi funcţia de corelaţie bidimensională a imaginii cu ahutorul aceluiaşi program. Se şite din capitolul anterior că uncţia de autocorelaţie este definită:

,),(),(),( ∫∫∞

∞

∞

∞

++= vuIvyuxdvIduyxC

unde ),( yxI este intensitatea imaginii. Densitatea spectrală de putere S este legată de funcţia de autocorelaţie prin relaţiile:

( ) ,|),(|),(),(eyx,C),( 2yxyx

*yx

)x(2yx

yx υυυυυυυυ υυπ YYYdxdyS yi === ∫ ∫+∞

∞−

+−+∞

∞−

unde s-a notat cu *Y complex conjugatul funcţiei Y. În figura următoare avem reprezentarea densităţii spectrale de putere

bidimensionale a imaginii suprafeţei utilizate aici, reprezentată sub forma 2d respectiv 3d (fig a şi b). .

Rezultă că dacă avem densitatea spectrală de putere putem calcula funcţie de autocorelaţie prin transformată Fourier inversă a densităţii spectrale de putere:

( ) ,de),(yx,C yx)x(2

yxyx υυυυ υυπ dS yi∫ ∫

+∞

∞−

++∞

∞−

=

Din reprezentarea 3d a funcţiei Y şi S rezultă că metoda transformatei Fourier 2d are avantajul că ne exprimă în mod sugestiv anizotopia structurii pe diferite direcţii, deoarece în cazul izotropiei perfecte figura ar trebui să aibă o axă verticală de simetrie (ca un con). În figura de mai jos este prezentată distribuţia pe oriyontală a spectrului Y:

iar în următoarea este reprezentată distribuţia pe verticală:

Diferenţa de rugozitate pe orizontală şi verticală este reflectată de funcţia de

autocorelaţie reprezentată mai jos pe cele două direcţii.

Directia orizontalaAutocorrelation

0 200 400 600x [pixel]

-1e+05

-50000

0

50000

1e+05

1.5e+05

2e+05

Aut

ocor

rela

tion

Directie verticalaAutocorrelation

0 200 400 600y [pixel]

-1e+05

-50000

0

50000

1e+05

1.5e+05

2e+05A

utoc

orre

latio

n

În final mai dorim să arătăm că coeficientul Hurst H poate fi determinat şi din spectru bidimensional. După calcule s-a stabilit că amplitudinea sa depinde de H după relaţia:

( ) ,1|,Y| H12

y2

x

yx +

+

=υυ

υυ

Rezultă de aici ca H poate fi stabilit pe o directie din modulul lui Y prin fitare de exemplu cu metoda celor mai mici pătrate.