cápitulo 11 - diseño de vigas y ejes

las vigas son elementos estructurales importantes que se usan para soportar cargas en techos y pisos.

Diseo de vigasy eJes

OBJETIVOS DEL CAPTULO

Eneste captulo se estudiar cmo disear una viga para que sea capazde resistir tanto cargas flexionantes como cortantes. En especfico, sedesarrollarn los mtodos usados para el diseo de vigas prismticas yla determinacin de los perfiles para vigas completamente esforzadas.Al final del captulo, se considerar el diseo de ejes con base en la re-sistencia a momentos flexionantes y de torsin.

--_ ......_-_ _------11.1 Fundamentos para el diseo de vigasSe dice que las vigas estn diseadas con base en la resistencia, de modoque puedan soportar la fuerza cortante interna y el momento interno de-sarrollados en toda su longitud. Para disear una viga de esta manera esnecesario aplicar las frmulas de la fuerza cortante y la flexin siempreque el material sea homogneo y tenga un comportamiento elstico lineal.Aunque algunas vigas tambin pueden estar sometidas a una fuerza axial,los efectos de esta fuerza suelen no tomarse en cuenta durante el diseoporque el esfuerzo axial es en general mucho menor que el esfuerzo desa-rrollado por cortante y flexin.

537

538 CAPTULO 11 DISEO DE VIGAS Y EJES

Como se muestra en la figura. 11-1, las cargas externas sobre una vigacrearn esfuerzos adicionales en la viga justo debajo de la carga. En par-ticular, se desarrollar un esfuerzo de compresin U" , adems del esfuerzoyfiexionante u"x y el esfuerzo cortante Txy que se analizaron anteriormente.Mediante el uso de mtodos avanzados de anlisis, como los que se tratanen la teora de la elasticidad, es posible demostrar que U" disminuye rpi-ydamente a travs del peralte de la viga, y para la mayora de las relacionesclaro-peralte de las vigas utilizadas en la prctica de la ingeniera, el valormximo de U"y en general, representa slo un pequeo porcentaje en com-paracin con el esfuerzo fiexionante U"x' es decir, .> U"y. Por otra parte,en el diseo de vigas suele evitarse la aplicacin directa de cargas concen-

~. . IV ... tradas. En su lugar, se usan placas de soporte para distribuir este tipo de~ t~ ~~ ~ t ~ cargas de manera ms uniforme sobre la superficie de la viga.~=========a ===-=-r--x Aunque las vigas estn diseadas principalmente para la resistencia,

tambin debern tener un soporte adecuado a lo largo de sus costados,de modo que no se presente pandeo o se vuelvan inestables de manerarepentina. Adems, en algunos casos las vigas deben disearse para resistiruna cantidad limitada de defiexin, como cuando soportan techos de ma-teriales frgiles como el yeso. Los mtodos para determinar defiexionesen las vigas se analizarn en el captulo 12, y las limitaciones impuestas alpandeo de la viga suelen desarrollarse en los cdigos relacionados con eldiseo estructural o mecnico.

Como las frmulas de la fuerza cortante y la fiexin se utilizan para eldiseo de vigas, se analizarn los resultados generales obtenidos cuandoestas ecuaciones se apliquen a varios puntos sobre una viga en voladizoque tiene una seccin transversal rectangular y soporta una carga P en suextremo, figura 11-2a.

En general, en una seccin arbitraria a-a a lo largo del eje de la viga,figura 11-2b, la fuerza cortante V y el momento M internos se desarrollan apartir de una distribucin parablica del esfuerzo cortante, y una distribu-cin lineal del esfuerzo normal, figura 11-2c. Como resultado, los esfuerzosque actan sobre los elementos situados en los puntos 1 a 5 de la seccinsern como se muestran en la figura 11-2d. Observe que los elementos1 y 5 estn sometidos slo al esfuerzo normal mximo, mientras que elelemento 3, que est en el eje neutro, se somete slo al esfuerzo cortantemximo. Los elementos intermedios 2 y 4 resisten tanto esfuerzo normalcomo cortante.

En cada caso, el estado de esfuerzo puede transformarse en esfuerzosprincipales, usando las ecuaciones para la transformacin de esfuerzos o elcrculo de Mohr. Los resultados se muestran en la figura 11-2e. Aqu cadaelemento del 1 a15 se somete a una orientacin en sentido antihorario. Demanera especfica, en relacin con el elemento 1, que se considera en laposicin 0, el elemento 3 est orientado a 45 y el elemento 5 a 90.

y

Figura 11-1

Siempre que se producen grandes cargas cortantesen una viga, es importante usar refuerzos del tipomostrado en A, a fin de evitar cualquier falla loca-lizada como el plegado de las alas de la viga.

11.1 FUNDAMENTOS PARA EL DISEO DE VIGAS 539

p

! a1-0-- 1 -o---

a(a)

2 --+O+- 2p

01'v 'M1)5

3 IDI 3

(b) 4 -+D+- 4

5 -o--Distribucin del Distribucin delesfuerzo cortante esfuerzo flexionante

(e)

Componentes x-y del esfuerzo Esfuerzos principales

(d) (e)

Figura 11-2

Trayectorias del esfuerzopara una viga en voladizo

Figura 11-3Si el anlisis se extiende a muchas secciones verticales a lo largo de la

viga distintas de a-a, un perfil de los resultados puede representarse me-diante curvas llamadas trayectorias de esfuerzo. Cada una de estas curvasindica la direccin de un esfuerzo principal que tiene una magnitud cons-tante. Algunas de estas trayectorias se muestran para la viga en voladizode la figura 11-3. Aqu las lneas continuas representan la direccin de losesfuerzos principales de tensin y las lneas discontinuas representan la di-reccin de los esfuerzos principales de compresin. Como era de esperarse,las lneas intersecan al eje neutro en ngulos de 45 (como el elemento 3) y laslneas continuas y discontinuas lo intersecan a 90,ya que los esfuerzos princi-pales estn siempre separados por 90. Conocer la direccin de estas lneaspuede ayudar a los ingenieros a decidir dnde reforzar una viga fabricadade un material frgil para que no se agriete o se vuelva inestable.


Las dos vigas del piso estn conectadas a laviga AB, que transmite la carga a las colum-nas en esta estructura de un edificio. Parael diseo, puede considerarse que todas lasconexiones actan como pasadores.

11.2 Diseo de una viga prismticaLa mayora de las vigas estn fabricadas de materiales dctiles y cuandoste es el caso, generalmente no es necesario trazar las trayectorias deesfuerzo para la viga. En cambio, slo hay que asegurarse que el esfuerzoftexionante y el esfuerzo cortante reales en la viga no excedan los esfuer-zos ftexionante y cortante permisibles para el material, tal como lo definenlos cdigos estructurales o mecnicos. En la mayora de los casos el clarosuspendido de la viga ser relativamente largo, de modo que los momen-tos internos se vuelven grandes. Cuando esto ocurre, el ingeniero deberconsiderar primero un diseo basado en la ftexin y despus comprobarla resistencia al cortante. Un diseo por ftexin requiere la determinacindel mdulo de seccin de la viga, una propiedad geomtrica que es elcociente de 1sobre e, es decir, S = Ifc. Si se usa la frmula de la ftexin,(J" =Mcll, se tiene

MOlx! (11-1)(J" perOl

Aqu M se determina a partir del diagrama de momento de la viga, y elesfuerzo ftexionante permisible, (J" penn' se especifica en un cdigo de dise-o. En muchos casos el peso an desconocido de la viga ser pequeo encomparacin con las cargas que la viga debe soportar, y puede no tomarseen cuenta. Sin embargo, si el momento adicional causado por el peso debeincluirse en el diseo, se hace una seleccin de S para que exceda ligera-mente a Sreq'

Una vez que se conoce Sreq' si la viga tiene una forma simple en su sec-cin transversal como un cuadrado, un crculo o un rectngulo de pro-porciones conocidas, sus dimensiones pueden determinarse directamentede S , puesto que S = Ilc. Sin embargo, si la seccin transversal estreq reqhecha de varios elementos, como en el caso de una seccin en 1de ala an-cha, entonces puede determinarse un nmero infinito de dimensiones parael alma y las alas que satisfagan el valor de Sreq' No obstante, en la prcticalos ingenieros eligen una viga particular que cumpla con el requisito deS > Srcq de un manual que enlista los perfiles estndar de los fabrican-tes. Con frecuencia, en estas tablas pueden seleccionarse varias vigas quetienen el mismo mdulo de seccin. Si las defiexiones no estn restringi-das, por lo general se elige la viga que tenga la menor rea en su seccintransversal, puesto que requiere menos material para su fabricacin y, porconsiguiente, es ms ligera y ms econmica que las dems.

11.2 DISEO DE UNA VIGA PRISMTICA 541

Una vez que se ha seleccionado la viga, puede usarse la frmula del esfuer-zo cortante T perm 2: VQ/lt para verificar si no se excede el esfuerzo cortantepermisible. A menudo, este requisito no presentar un problema. Sin embar-go, si la viga es "corta" y soporta grandes cargas concentradas, la limitacindel esfuerzo cortante puede imponer el tamao de la viga. Esta limitacin esmuy importante en el diseo de las vigas de madera, porque la madera tiendea rajarse a lo largo de sus fibras debido al cortante (vea la figura 7-lOe).

Vigas fabricadas. Como las vigas suelen estar fabricadas de acero omadera, ahora se analizarn algunas de las propiedades tabuladas de lasvigas fabricadas con estos materiales.

Secciones de acero. La mayora de las vigas fabricadas con acero seproducen mediante el laminado en caliente de un lingote de acero, hasta ob-tener la forma deseada. Estos perfiles laminados tienen propiedades que es-tn tabuladas en el manual del Instituto Estadounidense de Construccin enAcero (AISC, por sus siglas en ingls). En el apndice B se proporciona unalista representativa de vigas 1de ala ancha tomadas de este manual. Como seseala en dicho apndice, los perfiles de vigas 1 de ala ancha se designan porsu peralte y su peso por unidad de longitud: por ejemplo, W18 X 46 indica unaseccin transversal de 1de ala ancha (W) con un peralte de 18 pulg y un pesode 46 lb/pie, figura 11-4. Para cualquier seccin dada se reporta el peso porunidad de longitud, las dimensiones, el rea de la seccin transversal, el mo-mento de inercia y el mdulo de seccin. Adems se incluye el radio de giro r,que es una propiedad geomtrica relacionada con la resistencia al pandeo dela seccin. Esto se analizar en el captulo 13. El apndice B y el Manual de laAISC tambin presentan datos de otros elementos, como canales y ngulos.

Vista de perfil tpica de una viga de acero1 de ala ancha.

Secciones de madera. La mayora de las vigas hechas de madera tie-nen una seccin transversal rectangular, porque son fciles de fabricar y ma-nejar. Algunos manuales, como el de la Asociacin Nacional de ProductosForestales (de Estados Unidos), presentan las dimensiones de las tablas quese usan con frecuencia en el diseo de las vigas de madera. A menudo, sereportan las dimensiones nominales y reales. La viga se identifica por susdimensiones nominales, como 2 x 4 (2 por 4 pulg), sin embargo, sus dimen-siones reales o "cepillada" son ms pequeas, de 1.5 por 3.5 pulg. La reduc-cin de dimensiones se realiza con el fin de obtener una superficie lisa de lamadera aserrada en bruto. Obviamente, cada vez que se realicen clculos deesfuerzo en vigas de madera, deben usarse las dimensiones reales.

0.605 pulg


Viga de caja de madera

(a)

Viga glulam (laminada)

(b)

Figura 116

Soldada Empernada

Largueros de placas de acero

Figura 11-5

Secciones compuestas. Una seccin compuesta se construye a par-tir de dos o ms partes que se unen para formar una sola unidad. ComoSreq = M/u perm> la capacidad de la viga para resistir un momento variardirectamente con su mdulo de seccin, y puesto que Sreq = Ifc, entoncesSreq se incrementa si 1 aumenta. Con el fin de incrementar 1, la mayor partedel material debe ubicarse lo ms lejos posible del eje neutro. Por supuesto,esto es lo que hace que una viga 1de ala ancha sea tan eficiente para resistirun momento. Sin embargo, para una carga muy grande, una seccin deacero laminado disponible puede no contar con un mdulo de seccin losuficientemente grande como para soportar la carga. En vez de emplearvarias vigas disponibles, los ingenieros suelen "construir" una viga forma-da con placas y ngulos. Una seccin de gran peralte en forma de 1que tie-ne este perfil se denomina larguero de placas. Por ejemplo, el larguero deplacas de acero en la figura 11-5 tiene dos placas como alas, las cuales estnsoldadas o, si se usan ngulos, empernadas a la placa que forma el alma.

Tambin existen vigas de madera "compuestas", por lo general en laforma de una viga con seccin de caja, figura 11-6a. Pueden hacerse conmadera contrachapada para las almas y tablas ms grandes para las alas.En claros muy grandes, se emplean vigas glulam. Estos elementos se hacende varias tablas laminadas pegadas entre s para formar una sola unidad,figura 11.6b.

Al igual que en el caso de las secciones laminadas o vigas hechas de unasola pieza, para el diseo de las secciones compuestas se requiere revisarlos esfuerzos fiexionantes y cortantes. Adems, se debe verificar el esfuer-zo cortante en los sujetadores tales como soldadura, pegamento, clavos,etctera, a fin de asegurarse que la viga acta como una sola unidad. Losprincipios para hacer esto se describen en la seccin 7.4.

Las vigas soportan cargas que se aplican en forma perpendiculara sus ejes. Si se disean con base en la resistencia, deben soportaresfuerzos cortantes y fiexionantes permisibles.

Se supone que el esfuerzo fiexionante mximo en la viga es mu-cho mayor que los esfuerzos localizados causados por la aplica-cin de cargas en la superficie de la viga.


A partir del anlisis anterior, el siguiente procedimiento proporciona un mtodo racional para el diseode una viga con base en la resistencia.

Diagramas de fuerza cortante y de momento.

liI Determine la fuerza cortante y el momento mximos en la viga. A menudo esto se hace al construir losdiagramas de fuerza cortante y de momento para la viga.

CI Para las vigas compuestas, los diagramas de fuerza cortante y de momento son tiles para identificar lasregiones donde la fuerza cortante y el momento son excesivamente grandes y pueden requerir refuerzosestructurales adicionales o sujetadores.

Esfuerzo flexionante.

e Si la viga es relativamente larga, se disea mediante la determinacin de su mdulo de seccin em-pleando la frmula de la flexin, Sreq = Mmxl(J perm'

Una vez que se ha determinado Sreq' pueden calcularse las dimensiones de la seccin transversal paraperfiles simples, puesto que Srcq = I]c.

Si deben usarse secciones de acero laminado, pueden elegirse varios de los valores posibles para S enlas tablas del apndice B. De stos, escoja el que tenga la menor rea en su seccin transversal, ya queesta viga tendr el menor peso y por lo tanto ser la ms econmica.

Asegrese que el mdulo S de la seccin seleccionada sea ligeramente mayor que Sreq' a fin de tomar encuenta el momento adicional creado por el peso de la viga.

Esfuerzo cortante.

Por lo general las vigas que son cortas y soportan grandes cargas, especialmente las hechas de madera,se disean primero para resistir el esfuerzo cortante y despus se verifica su cumplimiento del requisitorelativo al esfuerzo flexionante permisible.

@ Se emplea la frmula del esfuerzo cortante para verificar que el esfuerzo cortante permisible no seasuperado; es decir, use Tperm 2: Vmx Q/It.

o Si la viga tiene una seccin transversal rectangular slida, la frmula de la fuerza cortante se convierteen 'Tperm ~ 1.5(VrndA) (vea la ecuacin 2 del ejemplo 7.2), y si la seccin transversal es 1 de ala ancha,por lo general es adecuado suponer que el esfuerzo cortante es constante en toda el rea de la seccintransversal del alma de la viga, de modo que 'Tperm 2: VmxlAalma, donde Aa1ma se determina mediante elproducto del peralte de la viga por el grosor del alma. (Vea la nota alfinal del ejemplo 7.3.)

Conveniencia de los sujetadores.

La conveniencia de los elementos de sujecin utilizados en las vigas compuestas depende del esfuerzocortante que pueden resistir estos sujetadores. En especfico, el espaciamiento requerido entre clavos otornillos de un tamao particular se determina a partir del flujo cortante permisible, qperm = VQ/l, el cualse calcula en los puntos sobre la seccin transversal donde se ubican los sujetadores. (Vea la seccin 7.3.)


-30 II

M (kip-pie) 60

I-L-----'-------- x (pie)FSPies--lSe elige la viga que tiene el menor peso por pie, es decir,

K I I I ~ I

1--6 pies-!---6 pies-l--6 pies-

(a)

40kip 20 kip

pies

-]20

(b)

Figura 11-7

Una viga debe hacerse de acero que tiene un esfuerzo fiexionante per-misible de (J = 24 ksi y un esfuerzo cortante permisible de T =perm perm14.5 ksi. Seleccione un perfil W adecuado que soporte la carga mostradaen la figura 11-7a.

SOLUCiN

Diagramas de fuerza cortante y de momento. Se han calcu-lado las reacciones en los soportes y, en la figura 11-7b, se muestran losdiagramas de fuerza cortante y de momento. A partir de estos diagra-mas, Vmx = 30 kip YMmx = 120 kip- pie.

Momento flexionante. El mdulo de seccin requerido para laviga se determina a partir de la frmula de la fiexin,

_ M mx _ 120 kip pie (12 pulgjpie) _ 3Sreq - -- - . 2 - 60 pulg

(J perm 24 kip/pulg

Usando la tabla del apndice B, las siguientes vigas son adecuadas:

W18 X 40W16 x 45W14 X 43W12 X 50

W10 X 54

W8 X 67

s = 68.4 pulg 'S = 72.7 pulg '

S = 62.7 pulg"S = 64.7 pulg?

S = 60.0 pulg 'S = 60.4 pulg '

x (pie)

W18 X 40

Ahora puede calcularse el momento mximo real Mmx' que incluyeel peso de la viga, y puede verificarse la conveniencia de la viga selec-cionada. No obstante, en comparacin con las cargas aplicadas, el pesode la viga, (0.040 kipjpie )(18 pies) = 0.720 kip, slo incrementar ligera-mente a Sreq' A pesar de ello,

Srcq = 60 pulg'' < 68.4 pulg ' Verificado

Esfuerzo cortante. Como la viga tiene una seccin 1 de ala ancha,se considerar el esfuerzo cortante promedio dentro del alma. (Vea elejemplo 7.3.) Aqu se supone que el alma se extiende desde la parte su-perior de la viga hasta su parte ms baja. A partir del Apndice B, parauna W18 X 40, d = 17.90 pulg, t

,V= 0.315 pulg. Por lo tanto,

Vmx 30 kip = 5.32 ksi < 14.5 ksi VerificadoT prom = Aw = (17.90 pulg) ( 0.315 pulg)

Use una W18 X 40. Resp.


- EJEMPLO

nante permisible es o- perrn = 9 MPa y el esfuerzo cortante permisible es 12 kN 1m'Tpcrrn=0.6MPa.Notomeencuentaelpesodelaviga. * JJ

loSa ]Lt_~ B~'~lm~1 A 3m~

~! W~'2kN/m3 m 16kN

V (kN) 20:N j

Si se supone que la anchura es a, entonces la altura es de 1.5a, figura "-11-8a. Por lo tanto, -..,1--1.33 m x (m)

''----,"- ~-12

La viga de madera laminada que se muestra en la figura 11-8a soportauna carga uniforme distribuida de 12 kN/m. Si la viga tiene una relacinaltura-anchura de 1.5, determine su anchura mnima. El esfuerzo flexio-

SOLUCiN

Diagramas de fuerza cortante y de momento. Se han calcu-lado las reacciones en los soportes A y B y, en la figura 11-8b, se mues-tran los diagramas de fuerza cortante y de momento. Aqu Vrnx = 20 kN,Mmx = 10.67 kN -rn.

Esfuerzo flexionante. Al aplicar la frmula de la flexin,

_ Mrnx _ 10.67(103) N m _ 3Sreq - -- - 6 2 - 0.00119 m

o- perm 9(10 ) N/m

1 lea) (1 5a)3S = - = 000119 3 = 12 .req e . m (0.75a)

a3 = 0.003160 m3

a = 0.147 m

Esfuerzo cortante. Al aplicar la frmula del esfuerzo cortante paralas secciones rectangulares (que es un caso especial de 'Tmx = VQ/It,ejemplo 7.2), se tiene

Vmx 20(103) N'Tmx = 1.5A = (1.5) (0.147 m)(1.5)(0.147 m)

= 0.929 MPa > 0.6 MPa

ECUACiN

Como el diseo falla para el criterio cortante, la viga debe redisearsesobre la base del esfuerzo cortante.

V= 15 max'Tperm . A

2 _ 20(103) N600 kN/m - 1.5 (a)(1.5a)

a = 0.183 m = 183 mm Resp.

(a)

Esta seccin ms grande tambin resistir adecuadamente el esfuerzonormal.

-16

M (kNm)

-~ /\,-6

(b)

Figura 11-8


1.5 kN0.5 kN/m ~

~2~11~"~:41.5kN lkN

IV(kN)

La viga de madera en T que se muestra en la figura 11-9a est hechaa partir de dos tablas de 200 mm X 30 mm. Si el esfuerzo flexionan-te permisible es (T perm = 12 MPa y el esfuerzo cortante permisible esTpenn = 0.8 MPa, determine si la viga puede soportar con seguridad lacarga mostrada. Adems, especifique el espaciamiento mximo entrelos clavos requeridos para mantener unidas las dos tablas. Considereque cada clavo puede resistir con seguridad 1.50 kN en cortante.

B.O::- le1---2m~2m---1

(a)

SOLUCiNDiagramas de fuerza cortante y de momento. En la figura11-9b se muestran las reacciones sobre la viga y se dibujan los diagramasde fuerza cortante y de momento. Aqu, Vmx = 1.5 kN, Mmx = 2 kN -rn.

Esfuerzo flexionante. El eje neutro (centroide) se localizar desdela parte inferior de la viga. Si se emplean unidades de metros, resulta

2:-A- yy = 2:A

(0.1 m)(0.03 m)(0.2 m) + 0.215 m(0.03 m)(0.2 m)0.03 m(0.2 m) + 0.03 m(0.2 m)

= 0.1575 m

1.5

Por 10 tanto,

1-----------1---------,- x (m)

1 = [1~(O.03m)(0.2m)3 + (0.03 m)(O.2m)(0.1575 m - 0.lm)2]

+ [112(0.2 m)(0.03 m)3+ (0.03 m)(O.2 m)(0.215 m - 0.1575 m)2]

, -1 = 60.125(10-6) m"M (k Nim) I

I

/?"./ ~,

(b)

Figura 11-9

Mmxc(T perm 2: -I-

x (m)2(103) N .m(0.1575 m)

12(106) Pa 2: 6 4 = 5.24(106) Pa Verificado60.125(10- ) m

Como c=0.1575m (no 0.230m - 0.1575 m =0.0725m), se requiere


Esfuerzo cortante. El esfuerzo cortante mximo en la viga depen-de de la magnitud de Q y t. Esto ocurre en el eje neutro, puesto queah Q es un mximo y el eje neutro se encuentra en el alma, donde elgrosor t = 0.03 m es el menor en la seccin transversal. Por simplicidad,se usar el rea rectangular por debajo del eje neutro para calcular Q,en vez de un rea formada por dos partes que estn encima de este eje,figura 11-9c. Se tiene

Q = yA' = (0.15~5 m )(0.1575 m) (0.03 m)] = 0.372(10-3) m3

de modo que> VmxQ

Tperm - -/-t -

1.5(103) N[0.372(10-3)] m3800(103) Pa 2: = 309(103) Pa Verificado

60.125(10-6) m" (0.03 m)

Espaciamiento entre clavos. A partir del diagrama de fuerza cor-tante se observa que esa fuerza vara en todo el espaciamiento. Como laseparacin entre los clavos depende de la magnitud de la fuerza cortan-te en la viga, por simplicidad (y para tener un criterio conservador), sedisear el espaciamiento con base en V = 1.5 kN para la regin BC yV= 1kN para la regin CD. Como los clavos unen a las alas con el alma,figura 11-9d, se tiene

Q = y' A' = (0.0725 m - 0.015 m)[(0.2 m) (0.03 m)] = 0.345(10-3) m'

Por lo tanto, el flujo cortante para cada regin es

Un clavo puede resistir 1.50kN en cortante, por lo que el espaciamientomximo resulta ser

1.50 kNSBC = 8.61 kNjm = 0.174 m

SCD = 1.50 kN = 0.261 m5.74kNjm

Para facilitar la medicin se usa

sBC=150rnrnsCD=250mm

Resp.

Resp.

~-r-~ 0.0725m

N --'==':'-----1---- A

~l 0.1575 mL;j-~---1 1--0.03 m

(e)

N

I I 0.2m I--'- ~-.-O~m ( . \' 0.0725 m

I ~ , A

I

(d)

Figura 11-9 (cont.)


Fl-L Determine, con una precisin de 1mm, la dimen-sin mnima a de la seccin transversal de la viga para sopor-tar con seguridad la carga mostrada en la figura. La maderatiene un esfuerzo normal permisible de (T perm = 10 MPa y unesfuerzo cortante permisible de T perm =1MPa.

1'111

Fn2. Determine, con una precisin de ~ de pulg, el di-metro mnimo d de la barra para soportar con seguridad lacarga mostrada en la figura. La barra est fabricada de unmaterial que tiene un esfuerzo normal permisible de (T perm =20 ksi y un esfuerzo cortante permisible de T perm = 10 ksi.

3 kip- pie

f=-1.5 p----'-ies--L:JJ-$ 15P~----1~3 kip

F112

}


11-1. La viga simplemente apoyada est fabricada de unamadera que tiene un esfuerzo flexionante permisible deaperm = 6.5MPa y un esfuerzo cortante permisible de Tperm =500 kPa. Determine sus dimensiones si debe ser rectangulary tener una relacin altura-anchura de 1.25.

8kN/m

Prob.11-1

11-2. La pared de ladrillo ejerce una carga uniforme distri-buida de 1.20kip/pie sobre la viga. Si el esfuerzo flexionantePermisible es a = 22 ksi y el esfuerzo cortante permisiblepermes Tperm = 12 ksi, escoja del apndice B la seccin 1 de alaancha ms ligera y con el menor peralte que pueda soportarcon seguridad la carga mostrada en la figura.

1.20 kip /pie

1-4 Pies~ 10 Pies--~~ 6 piesProb.11-2

11-3. La pared de ladrillo ejerce una carga uniforme distri-buida de 1.20 kip/pie sobre la viga. Si el esfuerzo flexionantePermisible es e = 22 ksi, determine la anchura b requeri-perm 1da para el ala con una aproximacin de 4 de pulg.

1.20 kipzpie

-.l-1~PUlg

0.5pulgIr pulg-0.5 pulg

Prob.11-3

*11-4. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo-mento para el eje, asimismo determine su dimetro reque-rido con una precisin de ~ de pulg. Considere que aperm7 ksi y T perm = 3 ksi y que los cojinetes en A y D ejercen sloreacciones verticales sobre el eje. La carga se aplica a las po-leas en B, e y E.

35 lb80 lb

110 lbProb.U-4

-11-5. Seleccione del apndice B la viga de acero 1 de alaancha con menor peso que pueda soportar con seguridadla carga de la mquina mostrada en la figura. El esfuerzoflexionante permisible es aperm =24 ksi y el esfuerzo cortantepermisible es Tperm = 14 ksi.

Prob.11-5

11-6. La viga compuesta est formada por dos secciones,que se unen entre s mediante un perno en B. Use el apndi-ce B y seleccione la viga 1de ala ancha ms ligera que podraser segura en cada seccin si el esfuerzo fiexionante permisi-ble es aperm =24 ksi y el esfuerzo cortante permisible es Tperm= 14 ksi. La tubera ejerce sobre la viga cargas de 1200 lb Y1800 lb como se muestra en la figura.

1800 lb

A

6Pies~6 PiesL 8 Pies-I--IO Pies~

Prob.11-6


11-7. Si los cojinetes en A y B slo soportan fuerzas ver-ticales, determine la mayor magnitud de la carga uniformedistribuida w que puede aplicarse a la viga. aperm = 15MPa,Tperm = 1.5MPa.

w

150mm

f25mm

Omm~

H25mm

Prob.11-7

':'11-8. La viga simplemente apoyada est hecha de unamadera que tiene un esfuerzo flexionante permisible deaperm = 1.20 ksi y un esfuerzo cortante permisible de Tperm =100 psi. Determine sus dimensiones ms pequeas con unaaproximacin de ~ de pulg si es rectangular y tiene una rela-cin altura-anchura de 1.5.

12 kip/pie

~---3 pies--~+----3 pies---!

Prob.11-8

-11-9. Seleccione del apndice B la viga W12 1 de ala an-cha de acero con el peso ms ligero que puede soportar conseguridad la carga mostrada en la figura, donde P = 6 kip. Elesfuerzo flexionante permisible de apenn = 22 ksi y el esfuer-zo cortante permisible de T penm = 12 ksi.11-10. Seleccione del apndice B la viga W14 1 de ala an-cha de acero con el peso ms ligero y con la menor alturaque puede soportar con seguridad la carga mostrada en lafigura, donde P = 12 kip. El esfuerzo flexionante permisiblees (T perm = 22 ksi y el esfuerzo cortante permisible es T perm =12 ksi.

p P

~L-- ---...-----------,---! -li~-9 Pies--::;;;;g;:::-+--6PieS-~6 Pies~

Probs, 11-9/10

11-11. La viga de madera se carga como se muestra en lafigura. Si los extremos soportan slo fuerzas verticales, de-termine la mayor magnitud de P que puede aplicarse, (T perm=25 MPa, T perm = 700 kPa.

1150mmlf30mm

Omm~

~40mmp

Prob.l1-11

*11-12. Determine la anchura mnima de la viga con unaprecisin de ~ de pulg, que puede soportar con seguridadla carga de P = 8 kip. El esfuerzo flexionante permisible es(T perm = 24 ksi y el esfuerzo cortante permisible es T pcrm =15 ksi. p

~ 6pies--+-+----6 pies--~---I

6 pulgI: ,--1----;;;;---,....---A---~Prob.11-12

-11-13. Seleccione del apndice B la viga 1de ala anchade acero de menor peralte y ton el menor peso que puedesoportar con seguridad la carga mostrada en la figura. El es-fuerzo flexionante permisible es (T perm = 22 ksi y el esfuerzocortante permisible es T perm = 12 ksi.

10 kip

t4kip!6kip

i

Prob.l1-13

11-14. La viga se usa en un patio de ferrocarriles para car-gar y descargar los vagones. Si la carga de elevacin mximaprevista es de 12 kip, seleccione del apndice B la seccin 1de ala ancha de acero con el menor peso que puede sopor-tar con seguridad la carga. El polipasto viaja a lo largo delreborde inferior de la viga, 1pie s; x ::; 25 pies, y tiene untamao insignificante. Suponga que la viga est articulada ala columna en B y en A, apoyada en un rodillo. El esfuerzoflexionante permisible es (J penn = 24 ksi Yel esfuerzo cortantepermisible es Tperm = 12 ksi.

15 .

Prob.11-14

11-15. La viga simplemente apoyada est fabricada de unamadera que tiene un esfuerzo fiexionante permisible (J perm= 960 psi y un esfuerzo cortante permisible Tperm = 75 psi.Determine sus dimensiones si debe ser rectangular y teneruna relacin altura-anchura de 1.25.

5 kipypie

A~~B

1----6 pies---+--- 6pies---!

Prob.1l-15


*11-16. La viga simplemente apoyada se compone de dossecciones W12 X 22 que estn sobrepuestas como se mues-tra en la figura. Determine la carga uniforme w mxima quepuede soportar la viga si el esfuerzo fiexionante permisiblees (J perm = 22 ksi y el esfuerzo cortante permisible es Tperm =14 ksi.

-11-17. La viga simplemente apoyada se compone de dossecciones W12 x 22 que estn sobrepuestas como se muestraen la figura. Determine si la viga puede soportar con segu-ridad una carga de w = 2 kip/pie. El esfuerzo fiexionantepermisible es (J perm = 22 ksi y el esfuerzo cortante permisiblees Tperm = 14 ksi.

Probs.11-16/17

11-18. Determine el dimetro ms pequeo de la barraque puede soportar con seguridad la carga mostrada en lafigura. El esfuerzo fiexionante permisible es (J perm =167MPay el esfuerzo cortante permisible es Tperm = 97MPa.11-19. El tubo tiene un dimetro exterior de 15 rnm. De-termine el dimetro interior mnimo de modo que puedasoportar con seguridad la carga mostrada en la figura. Elesfuerzo fiexionante permisible es (J perm = 167MPa y el es-fuerzo cortante permisible es Tperm = 97MPa.

25 N/m]mlIUl1UIur[m1---- 1.5m 1.5m --------1

Probs, 1118/19


*11-20. Determine la carga uniforme w mxima que puedesoportar la viga W12 X 14 si el esfuerzo fiexionante permi-sible es (T perm = 22 ksi y el esfuerzo cortante permisible esTperrn = 12 ksi.-1121. Determine si la viga W14 X22 puede soportar conseguridad una carga de w = 1.5 kipjpie. El esfuerzo fiexio-nante permisible es (T perm = 22 ksi y el esfuerzo cortante per-misible es Tperm = 12 ksi.

Probs. 11-20/21

11-22. Determine, con una precisin de ~ de pulg, el pe-ralte h mnimo de la viga que puede soportar con seguridadla carga mostrada en la figura. El esfuerzo fiexionante per-misible es crperm = 21 ksi y el esfuerzo cortante permisible esT perm = 10 ksi. La viga tiene un grosor uniforme de 3 pulg.

4 kip/pie

! lAI~ ~ __ -----ll}~ B~ I1--~~~-12 pies~~~~+-~-6 pies--l

Prob.11-22

11-23. La viga de caja tiene un esfuerzo flexionante permi-sible de (T perm = 10MPa y un esfuerzo cortante permisible deT perm =775 kPa. Determine la intensidad w mxima de la car-ga distribuida que la viga puede soportar en forma segura.Adems, determine el espaciamiento mximo de los clavospara cada tercio de la longitud de la viga. Cada clavo puederesistir una fuerza cortante de 200 N.

30 mm

~u:n~ornrn~52~~~~~~~~~~~~l~ .

/SO ~JOrnml-- 6rn~-----_j30rnm

Prob.11-23

':'11-24. La vigueta simplemente apoyada se utiliza en laconstruccin de un piso para un edificio. Con el fin de man-tener el piso bajo con respecto al umbral de las vigas e y D,en los extremos de las viguetas se hacen muescas como seobserva en la figura. Si el esfuerzo cortante permisible parala madera es T = 350 psi y el esfuerzo fiexionante permisi-permble es

11-26. Seleccione del apndice B la viga de acero 1de alaancha con el menor peso que soportar con seguridad lacarga mostrada en la figura. El esfuerzo fiexionante permi-sible es uperm = 22 ksi y el esfuerzo cortante permisible esTperm = 12 ksi.

5 kip

18k;P.P''( le-ccc----:::==-"-----,,-==~-......,,,=c_=_____1F~ ~ -~"1 A~1---6Pies--+I---12Pies~

Prob.11-26

11-27. La viga en T se form con dos placas soldadas entres, como se muestra en la figura. Determine la mxima carga wuniformemente distribuida que la viga puede soportar conseguridad si el esfuerzo fiexionante permisible es uperm= 150 l\1Pay el esfuerzo cortante permisible es Tperm = 70 MPa.

w

lA 111111111111-----1.5rn----------1.5 ffi----

200rnrn1-----11. 20 mrn

TIwomrn-..t-

20rnm

Prob.11-27

':'11-28. La viga est fabricada de un material cermico quetiene un esfuerzo fiexionante permisible de (J" perm = 735 psi yun esfuerzo cortante permisible de Tpenn = 400 psi. Determi-ne el ancho b de la viga si la altura h =2b.

15lb

I 6lbjpulgr J8II~10 lb

~

~2 pulg 6 pulg -2 pUlg-1

01f--;4

Prob.11-28


-11-29. La viga de madera tiene una seccin transversalrectangular. Determine su altura h de modo que alcance almismo tiempo su esfuerzo flexionante permisible de upcrm =1.50 ksi y un esfuerzo cortante permisible de Tperm = 150 psi.Adems, cul es la mxima carga P que puede soportar laviga?

P P

1 ~

11-30. La viga est construida con tres tablones como semuestra en la figura. Si cada clavo puede soportar una fuerzade 300 lb, determine el espaciamiento mximo permisible s,s' y Sil entre los clavos para las regiones AB, BC y CD, res-pectivamente. Adems, si el esfuerzo fiexionante permisiblees u = 1.5 ksi y el esfuerzo cortante permisible es T e 1=perm p rn150 psi, determine si puede soportar con seguridad la carga.

1500 lb 500 lb

! H ~ ~!

Prob.11-30


(a)

Viga de concreto con mnsula(b)

Viga 1de ala ancha con placas de refuerzo(e)

Figura 11-10

La viga de este puente elevado tiene un mo-mento de inercia variable. Este diseo redu-ce el peso del material y ahorra costos.

*11.3 Vigas completamente esforzadasCorno el momento en una viga suele variar en toda su longitud, por logeneral la eleccin de una viga prismtica es poco eficiente, ya que nuncaest completamente esforzada en los puntos donde el momento interno esmenor que el momento mximo de la viga. Con el fin de reducir el pesode la viga, en ocasiones los ingenieros la eligen con una seccin transver-sal variable, de tal manera que en cada seccin transversal a lo largo dela viga, el esfuerzo flexionante alcanza su valor mximo permisible. Lasvigas que tienen un rea variable en su seccin transversal se denominanvigas no prismticas. Con frecuencia se emplean en mquinas, puesto quepueden fabricarse fcilmente mediante fundicin. En la figura 11-10a semuestran dos ejemplos. En estructuras como las vigas pueden incluirse"mnsulas" en sus extremos como se muestra en la figura U-10b. Adems,las vigas pueden "construirse" o fabricarse en un taller usando placas. Unejemplo de esto es un larguero fabricado a partir de una viga 1de ala anchalaminada, con placas soldadas a la viga en la regin donde el momento esmximo, figura U-10c.

El anlisis de esfuerzos en una viga no prismtica suele ser muy difcilde realizar y se encuentra fuera del alcance de este libro. Con mucha fre-cuencia, estos perfiles se analizan mediante una computadora o a travs dela teora de la elasticidad. Sin embargo, los resultados obtenidos de esteanlisis, indican que los supuestos empleados en la obtencin de la frmu-la de la flexin son aproximadamente correctos para predecir los esfuerzosflexionantes en las secciones no prismticas, siempre que el ahusamiento ola pendiente de la frontera superior o inferior de la viga no sea muy gran-de. Por otra parte, la frmula del esfuerzo cortante no puede usarse para eldiseo de vigas no prismticas, puesto que los resultados obtenidos a partirde sta son poco confiables.

Aunque se recomienda tener precaucin al aplicar la frmula de laflexin en el diseo de vigas prismticas, aqu se mostrar, en principio,cmo puede emplearse esta frmula como un medio aproximado para laobtencin de un perfil general de la viga. En este sentido, el tamao de la sec-

cin transversal de una viga no prismtica que soporta una carga dadapuede determinarse mediante la frmula de la flexin escrita corno

s=~(J"penn

Si se expresa el momento interno M en funcin de su posicin x a lo lar-go de la viga, entonces como aperm es una constante conocida, el mdulode seccin S o las dimensiones de la viga se convierten en una funcin dex. Una viga diseada de esta manera se denomina viga completamenteesforzada. Aunque en la derivacin de su forma final slo se han conside-rado esfuerzos flexionantes, tambin debe prestarse atencin al hecho deque la viga resista el esfuerzo cortante, especialmente en los puntos don-de se aplican cargas concentradas.

11.3 VIGAS COMPLETAMENTE ESFORZADAS 555

EJEMPLO

Determine la forma de una viga totalmente esforzada y simplementeapoyada que soporta una fuerza concentrada en su centro, figura 11-11a. La viga tiene una seccin transversal rectangular de anchura cons-tante b, y el esfuerzo permisible es O"pcrm.

p

1---- ~--!~---1

L2------1

hoL ..--

I--H

DIf--- x ---j ---

(a)

SOLUCiNFigura 11-11

(b)

El momento interno en la viga, figura ll-llb, expresado como una fun-cin de la posicin, O s; x < L/2, es

PM=-x

2

Por lo tanto, el mdulo de seccin requerido es

M PS=--=--xO"perm 20"perm

Como S = Llc, entonces para un rea transversal de h por b se tiene

1 fzbh3 P-=--=---xe h/2 20"perm

h2=~XO" pennb

Si h = ha en x = L/2, entonces

h2 _ 3PL

o - i:de modo que

Resp.

Por inspeccin, el peralte h debe entonces variar de manera parab-lica con la distancia x.

NOTA: En la prctica esta forma es la base del diseo de las muellesusadas para sostener los ejes traseros de la mayora de los camiones pe-sados o vagones de ferrocarril, como el mostrado en la foto adyacente.Observe que aunque este resultado indica que h = en x = 0, es nece-sario que la viga resista esfuerzo cortante en los apoyos y, en un sentidoprctico, se debe exigir que h > O en los soportes, figura 11-11a.


EJEMPl...O

La viga en voladizo que se muestra en la figura 11-12a tiene una formatrapezoidal, con un peralte ha en A y uno de 3ho en B. Si soporta unacarga P en su extremo, determine el esfuerzo normal mximo en la viga.sta tiene una seccin transversal rectangular de anchura constante b.

I~II JI~ ~b-1

r---x---I

I---------L-----.j"Jh

(a)

p

(b)

Flgura 11-12

SOLUCiNEn cualquier seccin transversal, el esfuerzo normal mximo se produ-ce en la superficie superior e inferior de la viga. Sin embargo, como (Jmx= MIS Yel mdulo de seccin S se incrementa a medida que aumentax, el esfuerzo normal mximo absoluto no necesariamente ocurre enla pared B, donde el momento es mximo. Si se usa la frmula de lafiexin, es posible expresar el esfuerzo normal mximo en una seccinarbitraria en trminos de su posicin x, figura 11-12b. Aqu el momentointerno tiene una magnitud de M == Px. Como la pendiente de la par-te inferior de la viga es 2holL, figura 11-12a, el peralte de la viga en laposicin x es

2ho hah = -x + ha = - (2x + L)

L L

11.3 VIGAS COMPLETAMENTE ESFORZADAS 557

Al aplicar la frmula de la flexin, se tiene

Me Px(h/2)0"---

- 1 - (-Abh3)6PL2x

(1)

Para determinar la posicin x donde se produce el esfuerzo normalmximo absoluto, es necesario obtener la derivada de O" con respecto ax e igualada a cero. De esto se obtiene

dO" = (6PL2) 1(2x + L)2 - x(2)(2x + L)(2) = Odx bho2 (2x + L)4

Por lo tanto,

4X2 + 4xL + L2 - 8x2 - 4xL = O

L2 - 4x2 = O1

x =-L2

Si se sustituye en la ecuacin 1 y despus se simplifica, el esfuerzo nor-mal mximo absoluto es

3 PLO"mx = "4 bh 2

abs OResp.

Observe que en la pared, B, el esfuerzo normal mximo es

Me PL(1.5ho)(O"mx)B =1 = [1... ( )3]

12b 3ho2 PL3 bho2

que es 11.1 por ciento ms pequeo que O"abs mx

NOTA: Recuerde que la frmula de la flexin se obtuvo con base enel supuesto de que la viga es prismtica. Como esto no ocurre en elpresente caso, se espera un error en el desarrollo de este problema yen el del ejemplo 11.4. Un anlisis matemtico ms exacto, utilizandola teora de la elasticidad, revela que la aplicacin de la frmula de laflexin como en el ejemplo anterior slo resulta en pequeos erroresen el esfuerzo normal si el ngulo de ahusamiento de la viga es peque-o. Por ejemplo, si este ngulo es de 15, el esfuerzo calculado con lafrmula de la flexin ser alrededor de 5 por ciento superior al que secalcula mediante el anlisis ms exacto. Tambin vale la pena sealarque el clculo de (ama) B se llev a cabo slo con propsitos ilustrativos,ya que por el principio de Saint-Venant, la distribucin del esfuerzo realen el soporte (pared) es bastante irregular.


A

(a)

(b)

---------------------------------------------_.-------*11.4 Diseo de ejesLos ejes que tienen secciones circulares se utilizan a menudo en el diseode equipos mecnicos y maquinaria. Por ello, pueden estar sometidos a unesfuerzo o fatiga cclica, la cual es causada por la flexin combinada y lascargas de torsin que deben transmitir o resistir. Adems de estas cargas,en un eje pueden existir concentraciones de esfuerzo debido a las cuas,acoplamientos y transiciones sbitas en el rea de su seccin transversal(seccin 5.8). Por lo tanto, si se desea disear un eje de manera adecuada,es necesario tener todos estos efectos en cuenta.

En esta seccin se analizarn algunos de los aspectos ms importantesen el diseo de ejes, los cuales se requieren para transmitir potencia. Confrecuencia, estos ejes estn sometidos a cargas aplicadas sobre las po-leas y los engranajes a los que estn unidos, como se muestra en la figura11-13a. Como las cargas se pueden aplicar al eje en varios ngulos, laflexin interna y los momentos de torsin pueden determinarse en cual-quier seccin transversal, en primer lugar al sustituir las cargas por suscontrapartes estticamente equivalentes y, despus, al descomponer estascargas en sus componentes pertenecientes a dos planos perpendiculares,figura 11-13b. Entonces, es posible trazar los diagramas de momentoflexionante para las cargas en eada plano y se puede determinar el mo-mento interno resultante en cualquier seccin a lo largo del eje median-te una suma vectorial, M = viM~ + M~, figura 11-13e.Adems de estemomento, los segmentos del eje tambin estn sometidos a diferentes pa-res de torsin internos, figura 11-13b. Para tomar en cuenta esta variacingeneral del par de torsin a lo largo del eje, tambin se puede dibujar undiagrama de par de torsin, figura 11-13d.

y

Mx

I/-~/~ yyDiagrama de momento causadopor las cargas en el plano y-z

Diagrama de momento causadopor las cargas en el plano x-y

(c)

r,

T~I-. "",---r~~---l~ yDiagrama de par de torsin causadopor los pares aplicados alrededor

de la lnea central del eje

(d)

Figura 11-13

Una vez que se han establecido los diagramas de momento y de parde torsin, es posible investigar ciertas secciones crticas a lo largo del ejedonde la combinacin de un momento resultante M y un par de torsin Tcrea la peor situacin de esfuerzo. Como el momento de inercia del eje esel mismo respecto a cualquier eje diametral, se puede aplicar la frmula dela fiexin con el momento resultante para obtener el esfuerzo fiexionantemximo. Como se muestra en la figura ll-13e, este esfuerzo se produciren dos elementos, C y D, cada uno situado en la frontera exterior del eje.Si en esta seccin tambin se resiste un par de torsin T, entonces se desarro-lla un esfuerzo cortante mximo en los elementos, figura ll-13i Adems, lasfuerzas externas tambin crearn un esfuerzo cortante en el eje, determina-do a partir de 7 = VQ/lt; sin embargo, usualmente este esfuerzo contribuircon una distribucin de esfuerzo mucho menor sobre la seccin transversalque la desarrollada por la fiexin y la torsin. En algunos casos debe investi-garse este efecto, pero por simplicidad no se tomar en cuenta en el siguien-te anlisis. Por lo tanto, en general, el elemento crtico D (o C) sobre el ejeest sometido a esfuerzo plano, como se muestra en la figura ll-13g, donde

Mc Tc0"=-- y 7=-

1 J

Si se conoce el esfuerzo normal o cortante permisible para el material,el tamao del eje se basa en el uso de estas ecuaciones y la seleccin deuna teora de falla adecuada. Por ejemplo, si se sabe que el material esdctil, entonces puede ser adecuada la teora del esfuerzo mximo cortan-te. Como se indica en la seccin 10.7, esta teora requiere que el esfuerzocortante permisible, que se determina a partir de los resultados de un ensa-yo de tensin simple, debe ser igual al esfuerzo cortante mximo en el ele-mento. Si se usa la ecuacin para la transformacin de esfuerzos, ecuacin9-7, en el estado de esfuerzo de la figura 11-13g, se tiene

7 perm = ) (%Y + 72= )(~;y + (~cy

11.4 DISEO DE EJES 559

N

(e)-

(f)

Como 1 = 7Tc4j4 y J = 7Tc4j2, esta ecuacin se convierte en_ 2 .j 2 2

7perrn - --3 VM + T'TTC

Al despejar el radio del eje, se obtiene

c = (_2_VM2 + T2)1/3'TT7 perm

Por supuesto, la aplicacin de cualquier otra teora de falla conduce auna formulacin diferente de c. Sin embargo, en todos los casos puede sernecesario aplicar esta frmula para varias "secciones crticas" a lo largodel eje con el fin de determinar la combinacin particular de M y T queproporciona el mayor valor de c.

El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento en forma numrica.

(11-2)

---tD+-u-7

(g)

Figura 11-13 (cont.)


,,EJEM~L.O

El eje de la figura 11-14a se sostiene mediante chumaceras lisas en A yB. Debido a la transmisin de potencia desde y hacia el eje, las bandasen las poleas estn sometidas a las tensiones mostradas en la figura.Determine el menor dimetro posible del eje con base en la teora delesfuerzo cortante mximo, con T perm = 50 MPa.

z

/'" ('1/\ 0.050m. el~' 300Nx


e B DA e BA D

t- 0.250 m -- 0.250 m -0.150 mt-150 N 650 N 500 N

Mz(N'm) I

I

75N'm

37.5 Nm,_.. "1" '''',,",~ mi


11-31. La viga ahusada soporta una fuerza concentrada Pen su centro. Si est hecha con una placa que tiene una an-chura b constante, determine el esfuerzo fiexionante mxi-mo absoluto en la viga.

-----+-----~~2

p

Prob.1l-31

*11-32. La viga est fabricada de una placa que tiene ungrosor b constante. Si est simplemente apoyada y resisteuna carga uniforme w, determine la variacin de su peralteen funcin de x, de modo que mantenga un esfuerzo fiexio-nante mximo constante a perm en toda su longitud.

w

L---2

Prob.11-32

-11-33. La viga est fabricada de una placa con un grosort constante y una anchura que vara como se muestra en lafigura. Si soporta una fuerza concentrada P en su centro, de-termine el esfuerzo fiexionante mximo absoluto en la vigay especifique su ubicacin x, O

-11-37. Determine la variacin del peralte d de una vigaen voladizo que soporta una fuerza concentrada P en su ex-tremo, de modo que tiene un esfuerzo fiexionante mximoconstante upeml en toda su longitud. La viga tiene una anchu-ra constante bu.

Prob.11-37

11-38. Determine la variacin en la anchura b como unafuncin de x para la viga en voladizo que soporta una cargauniforme distribuida a lo largo de su lnea central, de modoque tiene el mismo esfuerzo fiexionante mximo u enpermtoda su longitud. La viga tiene un peralte constante t.

Prob.11-38

11-39. El eje se apoya en las chumaceras que no ofrecenresistencia a la carga axial. Si el esfuerzo normal permisibleparaelejeesu penu =80MPa, determine con precisin de 1mmel menor dimetro del eje que soportar la carga. Use la teo-ra de falla de la energa de distorsin mxima.*11-40. El eje se apoya en las chumaceras que no ofrecenresistencia a la carga axial. Si el esfuerzo cortante permisiblepara el eje es Tperm = 35MPa, determine con precisin de 1mmel menor dimetro del eje que soportar la carga. Use la teo-ra de falla del esfuerzo cortante mximo.


x

Probs.11-39/40

-11-41. El engranaje conectado al eje se somete a las car-gas mostradas en la figura. Si los cojinetes en A y B slo ejer-cen componentes de fuerza en y y z sobre el eje, determineel par de torsin de equilibrio T en el engrane e y despusdetermine, con precisin de 1mm, el menor dimetro del ejeque soportar las cargas. Use la teora de falla del esfuerzocortante mximo con T = 60MPa.perm11-42. El engranaje conectado al eje se somete a las cargasmostradas en la figura. Si los cojinetes en A y B slo ejercencomponentes de fuerza en y y z sobre el eje, determine elpar de torsin de equilibrio T en el engrane e y despus de-termine, con precisin de 1 mm, el menor dimetro del ejeque soportar las cargas. Use la teora de falla de la energade distorsin mxima con u = 80MPa.perm

z

x

y

Fz = 1.5 kN

Probs, 11-41/42


11-43. El eje est soportado por los cojinetes en A y B queejercen componentes de fuerza sobre ste, slo en las direc-ciones x y z. Si el esfuerzo normal permisible para el eje es(J' perm = 15 ksi, determine con una precisin de ~ de pulg elmenor dimetro del eje que soportar la carga. Use la teorade falla de la energa de distorsin mxima.

z

Prob.1143

*11-44. El eje est soportado por los cojinetes en A y Bque ejercen componentes de fuerza sobre el eje, slo en lasdirecciones x y z. Si el esfuerzo normal permisible para el ejees (J' = 15ksi, determine con una precisin de :"'81 de pulg el

permmenor dimetro del eje que soportar la carga. Use la teorade falla del esfuerzo cortante mximo. Tome Tperm = 6 ksi.

Prob.11-44

-11-45. Los cojinetes en A y D ejercen componentes defuerza sobre el eje slo en y y z. Si Tperm = 60MPa, determinecon precisin de 1 mm el menor dimetro del eje que so-portar la carga. Use la teora de falla del esfuerzo cortantemximo.

y

y

x

Prob.11-45

11-46. Los cojinetes en A y D ejercen componentes defuerza sobre el eje slo eny y z. Si Tperm = 60MPa, determinecon precisin de 1mm el menor dimetro del eje que sopor-tar la carga. Use la teora de falla de la energa de distorsinmxima. (J' perm = 130MPa.

y

y

x

Prob.11-46

REPASO DE CAPTULO 565

La falla de una viga se produce cuando la fuerza cortanteo el momento interno en la viga son mximos. Por lo tanto,para resistir estas cargas es necesario que los esfuerzos mxi-mos asociados, cortante y flexionante, no superen los valorespermisibles que se establecen en los cdigos. Normalmente,la seccin transversal de una viga primero se disea para re-sistir el esfuerzo flexionante permisible.

UpermMmxc1

Despus se verifica el esfuerzo cortante permisible. Para lassecciones rectangulares, 'Tperm ~ 1.5(V rnJA), y para las sec-ciones 1de ala ancha es apropiado utilizar 'Tperrn ~ Vrnx/Aalma'En general, use

VQ'Tperm =h

Para las vigas compuestas, el espaciamiento entre los ele-mentos de sujecin o la resistencia del pegamento o solda-dura se determina mediante un flujo cortante permisible

Las vigas totalmente esforzadas son no prismticas y se dise-an de tal manera que cada seccin transversal a lo largo dela viga resista el esfuerzo flexionante permisible. Esto defi-ne la forma de la viga.

Por lo general, un eje mecnico se disea para resistir tantola torsin como la flexin. Normalmente, el momento flexio-nante interno puede descomponerse en dos planos, por loque es necesario establecer los diagramas de momento paracada componente del momento flexionante y despus selec-cionar el momento mximo con base en la suma de vectores.Una vez que se determinan los esfuerzos flexionante y cor-tante mximos, dependiendo del tipo de material, se usa unateora de falla adecuada para comparar el esfuerzo permisi-ble con lo que se requiere.


11-47. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y demomento para el eje y luego determine el dimetro re-querido con una precisin de 1 mm si CTperm = 140 MPa yTperm = 80 MPa. Los cojinetes en A y B slo ejercen reaccio-nes verticales sobre el eje.

1500N

1~1-'1 -

600mm125mm 75mm

Prob.11-47

*11-48. La viga en voladizo se construye con dos piezas demadera de 2 por 4 pulg soportadas como se muestra en lafigura. Si el esfuerzo flexionante permisible es CTperm = 600psi, determine la mayor carga P que puede aplicarse. Ade-ms, determine el mximo espaciamiento asociado, s, entrelos clavos a lo largo de la seccin AC de la viga si cada clavopuede resistir una fuerza cortante de 800 lb. Suponga que laviga est articulada enA, B yD. No tome en cuenta la fuerzaaxial desarrollada en la viga a lo largo de DA.

2

p

2pulg""~"","",,',,_~_2 pulg

C~4 pulg

Prob.l1-4S

-11-49. Los cojinetes en A y B slo ejercen componentesde fuerza x y z sobre el eje de acero. Determine el dime-tro del eje con una precisin de un milmetro, de modo quepueda resistir las cargas de los engranes sin exceder un es-fuerzo cortante permisible de Tperm = 80 MPa. Use la teorade falla del esfuerzo cortante mximo.

x

y

r,= 5 kN

Prob.11-49

11-50. Los cojinetes en A y B ejercen slo componentes defuerza x y Z sobre el eje de acero. Determine el dimetro deleje con una precisin de 1 mm, de modo que pueda resistirlas cargas de los engranes sin exceder un esfuerzo cortantePermisible de T = 80 MPa. Use la teora de falla de lapermenerga de distorsin mxima con CTperm =200 MPa.

x

y

r, = 5 kN

-:150m-x(

350mm

Prob.11-50

11-51. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo-mento para la viga. Despus, seleccione del apndice Bla viga 1 de ala ancha de acero con menor peso que puedasoportar la carga con seguridad. Considere a perm = 22 ksi yT perm = 12 ksi.

:'fk;P p;' lfu=,12 Pies----' _131--_ 6 Pies---1

Prob.11-51

*11-52. La viga est hecha de ciprs con un esfuerzo flexio-nante permisible de aperm = 850 psi y un esfuerzo cortantepermisible de T perm = 80 psi. Determine la anchura b de laviga si la altura h = 1.5b.

r--5 rie~-~+----5 pies----1

Prob.11-52

PROBLEMAS DE REPASO 567

-11-53. La viga ahusada soporta una carga uniforme distri-buida w. Si est hecha a partir de una placa y tiene una an-chura b constante, determine el esfuerzo flexionante mxi-mo absoluto en la viga.

h"~h". L L: 'j' .

2 2~

Prob.11-53

11-54. El eje tubular tiene un dimetro interior de 15 mm.Determine con una precisin de 1 mm su dimetro exteriorsi est sometido a la carga de los engranes. Los cojinetes enA y B slo ejercen componentes de fuerza sobre el eje enlas direcciones y y z. Use un esfuerzo cortante permisiblede T = 70 MPa y base el diseo en la teora de falla delpermesfuerzo cortante mximo.11-55. Determine con una precisin de 1 mm el dimetrodel eje slido si est sometido a la carga de los engranes.Los cojinetes en A y B slo ejercen componentes de fuer-za sobre el eje en las direcciones y y z. Base el diseo enla teora de falla de la energa de distorsin mxima conaperm = 150MPa.

z

Probs.1l-54/55

cápitulo 11 - diseño de vigas y ejes

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