capitulo 12 diseño en el espacio de estados discretos

7/23/2019 Capitulo 12 Diseo en El Espacio de Estados Discretos

1/36

c ta en la ta bla 12 .

1

.

uya

defini

c

ion d

e

l

as

va r

ia

b

l

es se

p

r

esen '

12

l)

12 .2 Con t ro l ab i l i dad

l {) f ( . 111 L SL l1 1

ara

u n sistema l ineal

1

nvanan re n tic

1 1

x(k

+

r 1 1

(

k

)

y (k):::: e . , ~ - .: (k ) +

E n _

e

l presente capftulo presencamos dos c o

n

c ep

t

os

b

asi

c

o

s en el es rudio d

e

s is

t

ernas des c riros en

vari

abl es

d

e estado

la

controlab

ilid a d y l a

o b

se

r

va bilida

d

. L a prirnera propi

e

dad se relac i o ri a con

l a po sib i

l

idad de poder lleva r el estad o d e s

i

s tem a de un pun to

e

n

es

pa

c

io

a o

tro

p

o r

med

ic de

a c c

i o

n

es

d

e

la

serial

de contro

l

; l

a

se g

und

a

se rel

ac

io n a

con la

pos

ibil idad

d

e

co

n

ocer los

esr.i

dos

d e s i s tema a partir

d

e la observaci6n

d

e l as sa li das y la s

e

ntrada

s mis

m o

. Se ver.i

qu

e arnb.is

pro pie

d

ades son

inhere

n tes s ist en 1a,

i

ndep

e

n d ienrem

e

n t

e

de l as

e

n rr

a

da s q ue i

nr

e

r.ic tucu en e l .

T am b ien e studiare

n

1os

c 6

n1 d i

sef\a

r u n d

e

s i s

c

e

nta de s criro en

vari-it'lc

s d

e

es r.ido

con

el

fin

d

e

qu

e

s

u

s

valo

r

c s

c a

rac tc

ri

s

ti

cos

(

o po

lo

s)

d _ c

la

zo c

errado rcng :

~ n r

icrt.i

s

pr

_

,,pic J.

i,

lt

,

r

e s

p

ec ro I lJa

sc en

e s

tc cnloque,

s c

desarrnlLir

a n

I . t s

,

cu.1,

"1 n

e ~ n. ir

a su respue s ta rern po a

.

. ,

, . . .

.'

d

I . J J

1

5 1 1 1 1

b na ln1 L

' l l C t ' vercmo

s c'Otn,1

discnar uu ourraf ;do ,

serurtrto ' c

1 l l s L

t

mt ar al con rro l

a

dor PI para c

l c a

so etc

va n : 1

12 1

l

n t r o d u c c i n

b

OBJETIVOS

J

E s ta

b

l e c er las d .

1 c o

n p a

D i s e n ar

L 1 r 1

re g L 1 l

a

do ..

p o r m e d i a d e a s r

~

t 1 l 1

zan

d

o v a r ia b l

es de

es

tad

o

ig n

a c 1 o

n d e p o lo s

d

I

L i n o b s ervad .

4 D i s -

n a r un c o nt ro l a d or par

a u n s ist

e m a d is cre

t

o d e

u n a e n t r a d a

y

u n a s al ida u

t i l i

z

an

d

o v ar ia

b l e s

d e

e s t a d o


2/36

E l

s

eparador

u s a d

o

e

n

l

.

1 .

.

.

a

m 1 t

r1z

de

co11trol

b

1

d

.

as matrices tnvolucradas s

i

l

a t t St)lo indca c, .

, mp

e

rncn

re , . < ) n 1

0 s ,

se trene una . . c

o

rn1a

esra m

.

N . ~Ae

n1 ac r1 z

a

umencad

a

, . . atrt

z, o es

runguna~

en

s

us colun1na

s .

K

1 1

.,

1

{

l,)

. \"

.,(

A ~ )

/

-

,

1

n

r.

0

. x -

1 1

)

J

. x ,

(

.

2 (

Ii

-

( }

0

.

x

3 (

-

( )

( )

\

..

. \

(

{ ,

-

r

( )

..

II

-

( )

)

(

11 .14 ) : enrar con u r11

. . .

acuerdo con

l

a

e

cuac

i o

n

(

1 2 . 3 ) .

t>

matriz

e

ontro]

r-

la rnatriz se con oce

re

parti

:

de

estas ecuaciones

podernos

/er q

ue se

n ar

d d

bl

lt .

.

~

e

u

ccion esta ecernos el siguiente

resultado:

Trayecto

ri

as

d

e

esr.id

o

rr

a

contro l

ab

ilidad

,\

.,

\

( ,

,

)

.- x( O

)

11 . x - ( O ) 1~

J

D

e s r a e c u a

i

o n

t

1 1 c : : 1 11os qt

Je hay

ecuaciones )' inc6gni[as. Para

t ~ o l L 1 c i6 1 1

qu

e

I a

rnarriz tensa ran . , , .

: 1 . e,

d

e

ir ,

qu

haya columnas o

renglones

linealrnenre

independieu

1a,1go(\~

' l ' r)

ra,1go

1 I < J ) " - r

3

1, 0)

X

Matriz de estados x

Marriz de entradas n x m

Matriz de salidas o

c

y

Vector de estados

Vector de entradas m

Vector de salidas

u

T A B L A 1 2 . 1

Surge

una pregunta mu

y

im

portance

en el

contexto l a

control moderno:

,b

ajo

qu

e co

nd

iciones es

p

osible llevar al

sisterna

estado

1

ini

c ial

a

otr

o e s

tado

final

2 , por medio

de

un conjunro flnitod

accion

es

d

e contr

ol

?

(

figura

12.1

) .

La respuesra

esta Jigada co

to

de de un

sisrema dinarnico y

s u c a l c u lo

consisr- en I

s

i

g

uien

t

e

estad

o lo

alcanzamo

s

en

n

p

asos

,

d

e

cal

rnan

era que

x

= =

x

(

n

)

.

soluc i 6

n ge

n

eral de la ecuaci6n de

es cado

s para

e

sta

d

ada

po r:

x(

n

)

=

< P

" x

(

O

) + < P "- ru(

O

) + < l>

11-ru(

l

)

+

< l>

ru(n-

2 )

-

r

u (n)

I)

2 )

S X

JZ

de medic

i

6n

Matriz de

pre

a

ime

nt

ac

i

6n


3/36

1

IJZtl?

C

S

l C S . .

cst'

1

c . i

o

ptic , 1

..

control u

( k )

de

cal man

era qu e

estado en u 1

n u

mero

fl

n iro de pasos

una se c u

e

nc

ia {

,, ( 1 ) ,

...

-1 }

par

l ir

d e l c

s tado ini

cial

x(

0

) X

o

a l estado final

1 1

-

' en

(

ha

c ia

el

origen) .

sisterna < P , e a ec

u a c 1 o

n .

.

l

(

k )

d

1

e l espac io de estado p

u

eda ser a lcanzado desde cua lqwer

c

ontra

et

manera

que e or1gen en

punto

e

n

u n

nurner

o

fln

ito

d

e

pa

so s .

e c e s 1 t a n p a s o ~

i,

k ) .

C o n e s r a

d e l

s i~

Pe

r

o

debid

o a qu

e

se

desc

omp

o

n

e e

n u n a

c ornb

i

nac

ion l ineal d

e

pote

ncias

d e ,

< t >

" -

. . .

,< P ,

l, c o m a

c o

n s ec uenci a d

e

l

teorerna d

e Ca y l

ey

- Hamil ton (vea el a

p

endi

ce

B ) , regresamos

a

l a matriz d e c ontrola

bi

lidad

a

n

ter

ior, po i lo que

la

c ontro la b illd ad n o se rnodifica

c o

n mayores

acciones de control , es

una p

ro

p i

edad es

tru

c tural d e l

s

istema

Si

u n sistema no es contr

olable

debemos

modific ar

su

escructura para pod

e

r controlarlo E n

el

c on

texto

de la T eor ia mod erna

0

de control

ha

y varias definicio

n

es de c ontrolabilidad

(

Rosenbrock, 1970; Astrorn y Wittenmark

1 9 9

7 )

. A

c

ontinua

cion present

amos las siguientes

d

o s def l

n

ic i

ones

.

: : :

l

l {

1 2

. J )

2)

.

t n c 6

g n

, r a s

P a r

a

r

a n g o

p

e

n d i e n

t e s :1

'~

u ( O

)

x(n 1 )

=

x(

O )

< 1 > 1 1

r

< I > 1 1

-1 r

e

r

I r

para

el caso d e 3, la m

atri

z d

e c

onrrolabilidad

esta dada por.

2

W

1

-

c

= = 0 I

1

0 0 1

E

l

d

e

c

e

r

m

i

nante de

esta

m

a

tr

i

z

es

b

por l

o

qu

e e

l .

r

a z 6 n

de n o m rar s1 stema descrito s 1 stema

es

controlable De , l

, . o r a

ec

u

ac

i6n aqu1 vemos a

Si

u n

sisterna

no pudiera lograr l leva

I

.

b a

s 1 s t

e m a a l estad a l

s a r po n a o tener agregando

mas

o in

e

n n

pases,

podr iamos pe n

-

p a s os

. au m e

nt

am ,

ecuaci6n: u n pa s o m as, te n em o s la siguiente


4/36

L

A

.

N,

c

e(

(

.

Q

C

-

0

(

1

C

'

d

c

.

.

.

{

~

C

c

:

-

0

-

0

-

0

c

.

0

,

o

C

'

d

0

i

.

c

:

z

0

O

-

0

N

,

J

0

8

(

.

0

.

-v

.

.

o

-

01

0

C0

.

s

0

q0

C

0

c

(

-

0

V

o

q

U

.

0

+

0

.

.

0

_

C

c

d

.

C

(

.

c

f

0

0

o

e

~

'

U

r

c

Q

)

C

0

N.

Q

)

C

0

sU

J

.U

J

N

J

c

.

_

,

8

1

4

0

\

D

.

0

o

0

C

C

J

Q

)

L

C

J

C

J

C

J

Q

)

Q

)

Q

C

J

Q

)

+

0

.

0

0

0


5/36

\

\

~

0

0

0

0

0

.

(

f

t

I

.

_

_

_

_

.

'

i

C

Q

"

"

'

.

c

-

V

V

-

C

'

d

p (

)

1

1

1

1

p

11

Calcul

amos el

po

linomio caracte

r

is

ti

co P(z)

d

e la matriz

= z" + + + ... +

ca lculan

l as

c

ompon

e

ntes d

el

vector

b)

Metodo

de Ackerman. S i comparamos

la

estructu d

l

. l

iz e r n ..

.

,

. ra e a rnatnz L

C

con a ma tr1

pl

eada e

n

la

s

eccion

anterior

para el calculo del

cont d . . / d

tados:

ro a

or por

retroalim

enra

c

ion e es

u (k) -Kx(k)

L

--- . ;;

(

k

C l > ,

J xk

< t> ,

. . . _ _ _ _ _ _ _ ,

y k ) S

i

stema c. 2

13

la

tc

ndr

ernos un

a

aproxima

c

i6n estado

x(k)

. E n

la 11gura

1 .

se ustra

impl

ernen

t

a c i

o

n d

e e

s

te

observador En la

practi

ca

es dese

able que

la dinamica

d

e

c

onocer e l

es

tado en

un

intervalo

r

elativamente corto , es

decir

, los valores

caracterfsti

c

o s d

e la

ma

triz

deben tener una parte

real

mis

pequena

qu

e

lo s v

alor

es

caracterf stic o s d

e

l

a

matri

z

7

Impl

e

rncntac

ion

d

e

l Para c a lc

ul

ar el

v

alor de

vector L

L

L . . .

L

podemos

proce

-

o

b

se rvador corn

o

s

i

st

erna

dinarni

c o.

der de

las s

iguientes

dos

foimas:

1

2

n

a) Calculo

directo.

A

part

ir de

un polinom

io P d (z

) que tenga

las raices

deseadas

del

observador

lIm x(k

)

=

l im

[ x(

k )

-

x(k)

] =

/. .

~ o o

t

a

rio

, entonces es te s

i

s

t

e

m

a es a

s

intoticarnente esra

bl

e y :

S i

definimo

s

qu

e

F

< I > ,

entonc

e s:

x ( k 4 > - L

C

] x(

k

x(k x(k

x ( k

Como los estados deben c

o

i

n

er

i

r in e

u

sando la ecuaci6n de salida

tenemos que

< P x ( k

)-Fx(

k) LCx(k)

re 1 c 1 1

1

t)S

qu

e

IJOl IllC

C

10

t

e l 1 r i empo y

d

e ,

1

s

1g u 1

ente

manera:

supon-

) . t11 1 1 1

e

r 1 l

L

.. 1i11 (

.

a,,

a 1 1

z a

" l ni

cjor

1nc con

. .

diode

l

a s i

gui

ente

1 n

am 1 ca

.. 11

,rt)xi111 1l

1 < . ) t 1

1~..

io {

(k)

se 1 1 ge

po

t

m

e

i 1 1 1 ~ 1 L f

l

1r

c c

e

s

t ..

l

C ., A

1

)

e it

5

k)

=

k)

.

. .

, . .

. ,

mo se explica a

connnuac io

n.

defi1 1 1 m o s

. e

dete 1 n11na1an

c o

J

v so n

11 1,1tr1 ces qt1 e s

C

l O

1

1 L

l"

'

1

.. .J "

,

.: ' O 1 11 0

:

eapitulo 12


23/36

de observador para

el

ejemplo

12.12.

, a

P

(

z) det(

2 1

-l

81873 1

-

, . atri

z

son

{ l,

0 .81 873 } , por lo q u e

L o

s

valor

es

caract

e r1 s t

1 cos de la rn , . d e

la m

a t

riz

L

C

se a

n

d

al

caract

e r1

s

c 1 c

o

s

p o e

rno,

supon

er

que los v ores , ti c o d e

se a

d o :

1

. io

caracter1

s

Z ; Z2

= =

0.2,

generando un po

morn

P . (z)= = (z-

0.2 _z

debe cump co .

Pe

r

lo tanto

,

el vector de ganancia

-0.4=l

1-l.8lS?

3

f

+0.818

73

l

o

q u e da

por

resultado:

S

u

polinomio caracteristico e

s :

E jemplo

Ob

sc rvador del

e e l

c a

l

c u l

o

direc r

o

J ) r

g

1

1 1

N ew P ro

b

L oc

al fi. c .

l

ob

s.p d z

.p

o l

z

L oc al

l

ob

.ec , e c 2 , fi

[[ l , O ] ] -c

[ [ l

x l

] [

lx 2] ]

>lob

fi -

l o

b ~ c

de c (z

" '

i de 1 1 tity (2 )- fi m od ) > po lz

D is

p

fi-

L

C

"

,

fi

m

od

Di

s

p "

d

et(z

*

I

-( fi

-L C) )11 ,p o lz

ex pand(( z - .

2)"2

) -pdz

Disp

"p

o

linorni

o

des ead o Pd" .p d

z

Obt

e

n

c ion

s

i

sr

em a d e ec u ac io n e

s

polz-pd

z

d i~ z = O -ecl

'( dif,z ) l z = O > e c 2

solve

(

ec l

= 0

and

ec2=0 , { I x , lx2J)

~lobs

Disp "Vector L " , lobs

E n d P r g m

0

. 0906

3

0 .81 8

7

3

P

-LC

u e so t .11(1

-

X

. . . .

t : : > ~

E -

.. . .

z 2 .J ,

( l

xl - 1 . 81873(

)

) - : : -

81:3

. 73

-

3

( 1 xl - 1

1 tlOf 1 do ? . . : .e. : 1 c l

Pd

?

-:.._ - -r \: Jtl~ E .. ~

v

.

1 x 1

.

4 18

7

3 E

l: .I

and

l

x

2

4. 224

(

63

El:l.

o

P rimera

resolveremos e ste e

jemp

lo con el rnetodo

dir

ecto, utilizando la ca l-

culadora

TI

Voyage

200, y despue

s us

are

mos Matlab para resolver el rnismo

e je mplo

agregando

la simulaci6 n de los errores de la estimac ion

e

xpr

es

ados

p o r la ecuaci6n (12.50 ) . L a

matriz

esta d

a

da po1 :

I I ,- f

:

" l"

F - I

O

., . . .

I ttll af ~ II .. '. of .. 't . ::. , .

;C

1 O ]

0 .009365

0.181269

0 .09063

0 .81873

P = =

C . i l c u l e

observador para el sistema

c

onsti i d

1

por

e

mo

to r

d

e

c o rri

ente directa, presentado

e

1

e apen ice

.

..

-rt

. , , . . . f ~l

L

,.

1\.

1

,

: : : : : : > /J (

\

.

\

1

: : : : : : : >

p odtn1os cmplear

la f O

rn

1

til a de A ck .

, o

s S t

o

u c 1 1 res

roa

1

n1

e1

1 1 1 c

c c

sta

-

O

ca

1

1 1 ios :

1 ,

= = w-1p

d

L = = P

d

< t >

)w-

nz.ss:

o e , 1

1 - -

Esta matriz tiene la forma de

C b

_ . ~

l f ~

(

matrices: 1 1 ~ 111c1

~ 1

l}ti . . .

l

SI

l

ll

l'lll()

S l t si, . .

L' l l t1 1 ,

, ,1lt11

c

i,1 ( i t


24/36

- -

. . . . . . . . . . . . .

- -

Calcu

e

la matriz p a

r

a un

observ

ad d

A )

o

r

e

s 1

st

ema de

ape11 ice ' ap

icando

la

f 6 1 m u l

a

d

e

A

k tre s tanques en s .

d

I

d (

I

erman. ene

esac

op a vea e

o

El modclo de este

s

i

ste

rn a es ta

dad

o po r:

-

-

:

,,-

-

Calculo d e l estimado d

b

r Y e o s erro1es de . ,

o servador del ejemplo 1 2 1 2

b )

R

e s t 1 m a c 1 o n . a) C6digo en M 1

b

.

.

espuesta de

los

e

rror

e

s

de

. .

'

at a

para

el

e

st1mac1on del o

b

servador

Irlst

a 1 1 tes, k

0

-

-

5

- - -

:. . . .

4

3

-

.,

..-.

-

. , _ -

-

-

, . . _ . _ .

- -

-

erro

r

i.....

0

L..

L..

O

1

~ : ; , _ . . - :

- ; . . ; . e : . -

~

= =

; ; : : J i t :

--_.,.

_

; - - - c o - - - i j > - ~ e a - - - - 1 i , - - - - c : o ~ - - ? ~ - - o - -

~

1

Errores en la es timaci

6

n de es tados.

Obs

ervado

r c o n fo rm ul a de

Ac

k

e

rman

d es de

l

as in ic ia

le s

1 , l :

l

: 1 ' 5 ;

n

=

l e 1 1

grh

(

1

- : . ) ;

cl= l 0 ] ;

e

rx

=

d i1

1

1p u ls

e (fir,xci,c

1

,0,

1

.n

)

:

c 2

=

[0 1];

e

1 x 2 =dimpulse(fi1,x c

i

, c

2,0, 1

< Y o graf icac i o 1 1

p l ot(lc,e1-x l , 'o', k.erx

' Z , '

*

'

),

grid

axis

( 0 11 - 5 5 I

.

5

] )

hold on

plot(k,e

rxl

,

' -

,k,e

rx

2,'-

)

hold

off

title ( ' Error

es

en la est imacion de estados. Observador c o n F o

r

m u la

d e

Acke

rman.

')

xlab

e l( ' in

s

ta

nc

es' )

yl

a

be l('

err

or x

1 (

k)

y

err

o

r

x2(k) )

t

ex

t

(26-

l.

25,'o-

- encl

')

text(26-1. 75, erx2

'

)

o

1 )l,sl'l"

\ tlf

l,t'

l'\ l{l

t'S

l

,llil)

1 e 1 1 , p

o - -

1

. l

t l

r

c l l 'l

) ll\ ltll\ll 1 ~ 1

{\)r 1

1 t1

.1

l

,;.tr1

1

1

~ 1 1 1

-: .

1t

"1 '-

Oo

o ,, 1

,1 . t c r i ' - ' -

, '-lllsi\ll lll,l

O.t)l}\lll(l.3:l) 18-_\ ] ;

g.\111.l : : : : {

().()()C).)());().

2(:,l)) ~

= . t) )

;l\

= { l ) } ;

\\t

1 1

1 c > l , l s " l e la z o

-

" r r . 1 d 1 . ) t i t l

1 . 1 l , s c r ,

. l c . { o r

11 = i

0.2

().2 }

:

11\31\tll) direcro de

l\1 ~

1 t l . 1 l ) i us an d o 1 ~ 1 (orrnula

de Ackerman

l.

=

a

s i rnu lac i

o

u de error en

e s r i 1 1 1 a c i o 1 1

de

los estados

t ir=fi-

l c;

l'

" ondicio ncs

inic ialcs

xci=

l ;- 1

O

~ 1 a r

~

1

ver los

e rr

ores en

los

esrados,

se

cambia la

rnatri

z c

O

o 1)ar~

1

error t11 x l , c =

0 ]

; para error en x2=, c

l=

[ 0 1 ]

0o

in i

c

io del

riernp

o discrero

desd

e

-1 para que

la f igur

i 1

2 . 1

5

anarece e l cbdigo en Matlab para calcular el observado

'\c onttnuac 1on,

e n

,

ry

J '

I

l

.

u

s

r 1 de lo s l' l"l" ()l "CS tit' lS(lll1

~

1L " l011.

1 1 t.. ,


25/36

d Q n d

d

d

e

J ''

2 11

e

es la rnarriz

idt 1 1 ttl~

1

-

(

< I >

t; )

I

,

(

(I)

I

( )

-< J J

1

/, )

A I ,

( (l

< l >

-

ltS valores

~ 1 1

:lL ' lt ~ r 1 ~ t os

P o r e l

det 1

111i11j;it :

0

Fi g t1ra 12.16

C ;.1

11.l11 in ti

1

'-

-n 1 l '

. . . .

. a 1

1 c

io

e J sisre m

a

q t1

e

n.1

3

0

I I ..._) O

~

,l 1\ ' '

l

l t u r a de c o

l'

,

t

1 I .. .

.: ,

, '

.

'

11

1

2

.

S))

I

~ ,. .

LI l

a se

r, I

o

.

.

,

. 6 1 2 .

e r i

d

e

l

de

.- ( 1

~ )

f

6 r 1 1 1 t t l

a

de

l ,e r1 1 1 r u 1

,dz l z

=

fi)

,,

o A (

-1 ).[ [

0

] [

0 } [l..

D i

s

p "Vector l . " . l

E

nd

= = -Kx(k

)

~ l

la r e g l

a

de

rerroalirn

1 1 c a

ci611

d

e escados

:

e s r a b l ec e 1 - 1 1 0 . . ,

el

obs

e

rvador

X(k 1 ) < ) _ f(k)

ru ( k ) L

[

C

<

(k )

-CX(k)]

>

E

n e l caso

e: 11

< .

]ti

e se requi era diseu r

r

1

t1l id

1 er

o los

es rado

s

no sc a n accc ibl e direcrarn

n

re s

i 1 1 0

< )

1

~ de

u n

ob

servad or,

se

pl1

-de enron

t: in

r

~l'r~ t1

~

1 1

1bo .

pro

c

l

e 1 ~ 1

sizui nre ra.

[

ad

e l si s

t

ema dinamico:

0

1

C a

s 1

0

c o mb i

o b s e r vad r

l lllC'i Cl

\

\CJ 1 l:

fii

m u l a c l e

A ~ I< 11

11:tr1

,

,

~

o{2, i ]

cfi2[

> ,,,

o[.,,i

]

(

1 2

.56)

) < 1 > . x (~)

;1(k

)

tjl.21.,()

[cmplo ()l,,c11. de

1 in ' i . i i 5 * i .ic'

po

l ino r 1 io

de -

se.sdo

P

d

3- 1 .4t

0

:z 2

748

. 136

c-

"l

9 . 3697

1 2 0

L

Pd

(

c p

)

0

9.369566

4

.

902573

1.247492

E n

la flgura 1 2

. 1

6

aparecen

los

rcsultados oh1enidos

on

la c a l c u

l

a d o r a T T Voyage 200.

y(k)

0

O

I

(k)

+

0.88250

.1 21

0 .006895

x

, ,

(k+I)

. . .

x

(k+1)

0

0

.8 8

25(J

0 . 1 1 0 3 1 2 1

X

1 (k )

X 2 (k )

x

(

k

)

A J a

pl i

car la d e

/ . 1 1

para

a

v

.

. ) .50.

l

12.5

40

0 . 094

0

.

005 75 q ] (k )

0 . 00024

0

0 .

88250


26/36

x(k) +C o(k)

l>-~K

LC

C

x(k

+

-

x(

k

+ 1

)

-

c 1

. . .

) ,

3 9

= = . _ ._

l. l 0()

Para

graflc

ar los

re sulrado, sc urilizaia ~ I

e

c o n 1

~ 1 1 1 d c . ) di

L

.

,

rorrnar un nuevo ststerna c on los e stados . ) . :

(

k ) I . , , , p , ,

. . .

e

Marlab,

y p

ar

a ello debemos

os e

stttn

ido

A(k) .

s

e

ra e error en est1mac1on

, e

)

x

(

k

)- (k)

.

res . ' . :

,

)' la

salid

a d e esre

s1sren1a

I

. . -

Ju

1 1

to con l

-

1

orma con as s1gu1entes matrices : a sena de

control

u (k) . Esre sistema se

Z1 0 . 818

73

L 8 .

6

o 0.8095 0.122

3 5 j

K=b

P d

c t J

)=

-3 . 4625 1 2 . 83 77 .

P

ara este caso st1pondre

mo

s

qu

e los

es caracc

que lo s del regulador paia ello s up ond l eri

sticos

el observ .. idor

sc

.1 1 1 ru

.rs

rapt

,

r

em

os tie

Para

el

s i

s

t

e

m a de tanques aco plad o s , anal izado en e

l

eje

mpl

o

1 2 .

9, obte

n

ga un observador de

estados

par

a

uti l iz

arlo en

el d i

sefio del regulador con retro

a l

ime

n

ta

c i

6n de

es r a

d

o s

.

S u

ponga

c u e

los m is m o

s

p

o

lo s d

e

la z

o c er

rad

o

se

va

n a usar en el disefio de l

re

gulador

. ~ .

Para el regulador

c

on r

e

troalimentac

i

6

d

d d

.

1

n

e

esta se esea

qu

e los polos

d

e

l

azo

cer

r

. s

c . 1 :

1

~

1

~

rrusrnos que

o

s

u

sados en el e j

e

rnplo 12 .

9

:

P a ra implementar este esquema en un procesador di

g

ital debemos

seg

u

ir

los pasos que se presentan en la t

ab l

a 1 2 .

3

.

Regrese

al

pa so

5

Ma nda r

el v

alor de

- (-rK -LC) LY(z)

G

e

(z)Y(z)

Calcular la le

y de control

1 ,(

k)

-Kx

(

k

)

co m o

s1gu e

:

ncremente e l

instant

e d e oper

a c

io n

De esta ecu acion, vemos

qu

e para e l estimador x(k

)

la salida del

sisre

-

m a y(k) hace e l papel de entrada y la serial de control

u(

k ) que se in ~ ~ cta a

este es la salida d

e

l estimador

por lo que podemos calcular

la func ion de

t

ransferencia

del

estimador (z)

par

a e l c as o d

e

una entrada una s

alid a

,

Ca l

c

ular

el e

s timador

x (k = [ LC ]x(k) ru(k) Ly(k)

0

P

. l tar u n

esq

ue m a de observador-regulador se u ti liza ran l a s

ara imp e

m

en

e c u a c iones (1 2 .

5 7 )

Y (1 2 . 58

) :

x

( k +I)=

[

cI>-LC

]x

( k)

+ ru

( k ) + L

y(

k)

Esrablecer

0

,x(O )

0

,

Leer

las m at r ic e s

Leer el valor de la

salid a d e

l s

i

sterna

q

ue Ios valores caracteristicos del

conjunto rcgnf:: d

.

,

o

ernos ver

-.

los valores caracter1 . . .

1

isos

anter1 ores . es

a

, , l

a c ue rdo c on os i nc , ticos

del es

timador

s

ean

mas

rap os que os del r egu lador

. da que los valores caracter1s

Se recom1en

co n

u n

factor

de a

5 veces.


27/36

P

a

n

e l

fr

o

ntal d

e l

r

e

gulador

por

r

e

tr

oalim

e

nt

ac

i

6

n

d

e

e sr

a

do

s

u sa

ndo

obs

e

rvadores.

11

IJIIO

--

-

1 ..

1 1 1 1 1

41

g.jL)

..-

0 . . . . ' W

..

-

r.

-

-

pot

Obseiwdores

.. - - -- -- -- - - - ..J

21bis

12 d r e duc ido

Obse r vado r

d e

o r

e n

d

dir

ecrame

nr

e a

d

rne

i

r

E . n d

ue se

p

ue en o s

a

e

sc

a

bl

ec e

r

arias ocasiones hay esta os secci

6

n varn

~ E n es

ta

de instrumentos de carnP

-

d

L

bVIE W

se

vi

i

eali

z a

o

e

n

a

.

~ E

l programs d

e apo

yo 12

do

o b

serva

do res, apli -

~ o ulador

u

san . ,

utiliza para constr

ui

r

u

n i eg m

re

la simu

l

acron e

.

0

er .

o s d

u

ndo or

en

' d

e es

te

e s

ra o

s

para un

si

stema e seg l de i

n

reracc

i

o

n

. , ane

rogra

rn a

.

.

,

y

o bserva

d

or

d

e

esta

dos

m

e

ntac1

0

R

e

gul

a

dor

c o

n r

e

tro

- 3

-2.S

. M l b

par

a si

n

u lac i 6n d e l

ej e

mplo 1 2 . 1 4

a)

C6d1 go

e

n

a

t a

o/ o graficac io

n

erroreyl

.

,

u=y(: ,2) ;

plor(k

,

x ( :

,

1

),'

o', k

, x (

:

,2),'

.k. error, u

,

grid

;

axis([

O

n -4 1

.

5])

hod on

plot

(k,x ( :, 1 ), '-' .k .x ] : ,2),

-,

k.error, '

- '

)

hold off

tirle( '

Reg

ul

ad

o

r c on

r

etroalimenrac ion de e

srado s ,

usando obser-

vad

ores

.

')

x lab e l

(' i 1 1 s

tan

res

')

y

lab e

l

(' s

al id

a

s

')

rext( 25 . 3 ,- 1 .25, 'o-- x l

)

; text( 25 .3 , - 1 .6 5, *-- x.2'

)

cext(25 .3,-2. 15, 'x-- error ;texr(25

.3 , -2

.65, u')

-2-

1,

(/)

. . . . . .

~

-

.S

C/)

-i- -1--

0

-1-

e,

k)

--4~-

_ . u k)

_

_

J . _

------+-------

- - - -

- - - - - - - - - - -

- f -

- -

i---i------+-----_j __ --- - ---~ -

-,---

40~ : ~ l 1 1 _l 1__J

5

10

l

', 20 25 30

Instances

b ) R espuesra s del s istema concrolado u

sa n

d

o observado

r

es

0 .5

.

0

-3.S

I

0

o 0

n 1 ~ 1trices del sisterna

f i : : :

[

0.91272

0

. 0 7368;0.14

7

36

0 .

5 9 3 4 5 ]

;

tr . 1 n 1 a = [

0

.

0 4 7 72 l

;0 .004082]

)

c= [ O 1

] ;d = [

O

] ;

~ o polos de lazo cerrado

p = = [ 0 .

8 095+ 0

.12235i 0.8095-0 l 2235i] ;

~ o Calculo ganancia

del

regulador

K = = a c k e r

( fi,gama, p) ;

polos del observador

pobs=

[ 0 .

2

+

0

.2i

0

.

2-0.2i

];

~ o

calculo de

la ganancia

del

o bservador

L =

acker( fi' .c' .pobs

)',

q ' < >

s imulacion

del regulador observa

dor se

u

saran condicion

es

~ ' < > iniciales para

s

i

mular

la operacion de l sistema nuevo

q ' c ) con la instruccion dim pul se

~ l o

formacion

del nue

vo sistema

regulador-ob

servador

finueva= [

fi -gamaK;

L * c fi -g a m a * K-L

* c ]

;

q ' c ) l a

nueva

g a m a

se susti

tuy e por la s

cond

iciones

0 / o iniciales

de

los es

t

a

do

s

hl

y

h

2

y

sus

e s

timado

s

e

n c e

ro

x ci

=

[

l ; l ;O;O]; d=[ O; O

]

;

cs

a l

=[

O -1 0

1;

0 0

~ o csal saca el

e

rror de estimacion

e

n

x2A

-x2, en e l prim

e

r r

en

g lon

o / o

Y se obti

e

ne la s e f i a l de control con el

s

egundo reng lon

o / o = [ x " 2 -x2;u]=error;u]

% i n icio d e

l

tiempo discrete desde para qt1e

~ o

gr

afique des

d

e

l a s condic

i

ones

inic

i

ales

xci

n = = length( k) ;

[ )'

,

x ]=dimpulse(finueva,xci,csal,d

,

,n);

l\.)

E j c

n 1 p

lo

1 2 .14 Rerro

alim

en rac

ioi d

e

estado

s c

n 0

b

se r,

~ 1 d

o r

es. n

u so d e

o ( ) 'l~ 1

1 1 q t 1

es

acopla

d

os

1

0

x

2k

)

- - - - : - - : - - ~ - - - - - - - - -

~

~

R

eg u l

a

d

or c on retr

o a

limenra c i

6

n

d

e es rado s

,

u sa

ndo

observa

dores

i

.

s 1_1---,----r---~~=---,----...--

- - -

. . -

-

-

-

..

-

J

t - ~

0

A

cod1 go en M a tl ab

a s1m L 1

acion,


28/36

T o m a n d o el caso del

motor

de corriente

dire

(

1

ta vea e a '

d

1 al pen ice A)

re uci o para estimar e v or de la velocidad d . , tsene

un observador

de orden

. . ,

d 1

f l h e giro de la fle

h

d 1

pos 1 c1on e a ec a se puede medir. c a e mismo, suponiendo

que

la

o

E l

m

o

de

lo

d

e

es

te siscema es ta

dado por:

ten

e

mos q tie

e

ste error

tie

ne el

siguie

n

e

comport

am e

nto dinamico:

q) -

de man era q ue los val

or

es caracterist. d 1

.

A

k

. .

ico

s e est1mador d

c erman vista antenormenre. se pue

e

n

ca

l

c

ular

con

Ia fo rm

u l

a

d

e

,

Al c ombinar las ecuaciones ( 1 2 . 6 5 )

y

(

1

2

.

66) tenemos que el estimador de orden reducido

es t

a

d

a

d

o

p

o

--

:

t

e

rmin

os de la entr

ada esti

mador


29/36

-

0 .

1

-

-

,

0

0

[n

st

untcs

b)

R

cs uh

a< l

L > dd

error

en l a t

'S l ima

c io n dt l a "dod


30/36

C O

G

-

I

c12.1s,

gu1ente comb . ,

inacion para

el

calculo

de u(k):

==-Kx(k)+ KG+G

P

r(k) c12.11J

(

I - < P ) x

0

)Gr== rG

P

r (12.75)

C

G

=

t

e

ne

n

os

e

l sigtLi

e

nte

s

is

t

erna de ecuaciones

:

< D X

00

rz.t

00

Combinando estas ecu

a c

iones te

n

ernos

qu

e :

(12.73

)

t

G

r

00

= =

d_onde.

e

s

~

l valor de la sefial de

con

t

r

ol en estado

estaciona

rio. L

a

s

condiciones

en estado esta-

cionano d

e l s

isterna

completo

est

a

n

dad

as por

x(k x( k) x

( 1 2

. 72)

(

k )

= K[ Gr(k)- x(k)]

La

le

y de

c

ontrol que usaremos es de la

fo rma

:

Figur a 12.20

Esquema de control

par

a seguimiento de e

nt

r

a

d

a

.

y(

k

)

c

(

k )

K

Pla

n ta

c t >

,

1

(k)

El e

s

quema

d

e control que se

e

mplea en este enfoque es e l mostrado en la figura

12.20.

(12.71)

00 00

Ahora supongainos que deseamos re

s

olver el

problema

de

que

la salida del sisrerna siga una entrada

especfflca, usando rerroalimenra

c

icn de estados

(problema

servo).

En

el

presente

analisis (Frankl

1998; Jacquot, 1995) vamos a considerar que nuestro sisterna tiene el mismo nllmero ~ n

enrradas que

d

e salidas,

per1nitie

ndo esro que podarnos

c

onsiderar sistemas multivariables. Para e~

caso del

servo se tiene que

si

la entrada

r(

k

)

es

un

escal6n, entonces:

1

~

(k)

A

12

Disetio en

el

D i s e f i o d e con t ro l adores


31/36

X ( k +

= = < t > X ( k )

+

ons1

eran o

re caso, c

u(k)

= =

-J


32/36

E 1

t1ot

i

ra 2

p

le a

do p .

l

di - - _ se presenta el c6digo en Matlab em-

ar

a e iseno 1 .

l

. , ,

a strnu a c 1 0

1

1 de esre ejern

plo,

Calcu lo

d

e

u

n controlado

r con

r

e

troal

i

me

nt

a c io

n

d

e

estad o s .

G

1

= =

) Result

a d

o

d

e l error en l a es tirnaci

o

n d e 1

~

vtl(lci d

~

t < . f

'- - .,J_ -- .. -- - - ... J

5

10 15 ~

Mues tras (s)

.

'()

G

,

{).")l,

L a

soluci

on a c s

re s is

r

erna d

r

-

. . . . . . - . .

o . s

~

0. 6

;

o .

4

0. 2

~

-

00

-0

.

4

0 . 4

0.0:'

0

.

0

.

09

-

.

2

0 .

2

.

-

0

l:J p

l )

- 1.

r

- - - -

-

-

-

-

I

G

0

---------

-

.. _

Re

spu

es ra a un e sca l6n unira r

i

o c on retroalime i

ita

ci 6 11

de estados

E

l

sisterna

de ecuaciones

para enconrr

ar las

g - an

ai

,ci ( ' .

5

ecuac i6n es : . . .

)

C6

d ig o

en Matla

b

para calc

u lar u n

controlador e

j

ernpl

o

1 2 .1

6

1 .

0192

1 .3471

E

l

vecto

r

d

e gananc

i

aK

pa 1

a

r

et

roalimentacion d

e

esrad

o s

es

:

se dcsea

ap

li

car

tin

controlador

con

rerr

oalirnentacion

de

csrados, d

e

mane

ra

que los polo

s

de

lazo

cerrado esren u

b

i -

cados

e

1 1 zd

0

.

6 02

j}

y

e l error

en

es tado es ra

c io

na r i

o

,

c u a n d o una

entrada sea

de tipo

esc

alon unirario, s ea

cero ,

Diserie

el c

ontrol

ador qu

e

c u

mpla

con e sra

s es

pe c

i

f i c a c io

-

nes , usand

o la es c

ructu

ra

mos

tr

a

da en la

figur

a

1 2 2 0 .

x(k

0 .

0

3 u(

k

)

0

.

2

k

I)

0

. 6 0 . 4

0.09

0

.

8

y(k)

]x(k)

Para

e

l

siguie

n re

si

st

e

m

a discre

ro:

O

/o

o /

o

Eje mplo

1 2

.16 . .

o;0Disefio

d

e controlador c o n

rerro

al1m entac 1 on de estados

o /

o

elf

o/o s isrema a controlar

fi = [ 0 .6

0 .4

;0.0 9 0 .8 ]; ga m

a

=0 .0 3 ; 0

. 2 ]

; c=[ l

O ]

;d=

O

] ;

O/polos de seados y gana.t1c

i

a d e l reg ula

do

r

z d =

[ 0 . 6 + 0 .2 i 0

.

6 -0 .2 i ];

K = a c k e r(

f i ,gam

a, z

d

) ;

o/o c alculo de la s

gananc

ias G

y

Gp de l

c o n

rro l

a

dor

l=ey e (s iz e (fi)) ;

[ i , j]

=s iz

e(c);

m g a n = [ fi- 1 g a m a ;

c

ze

ros ( i , i

)]

;

ind=[zeros (j , i) ; e y e ( i

)]

;

ga.t1=inv

(

m g a n ) *

ind;

G=gan

(

l:j,:) ;

Gp

=

g an

( j+

:j+i ,:

);

finueva=.fi-

ga m

a

g arn an ueva=garn a * (G p+K * G ) ;

ds t ep

(f inu eva,g am an u eva,c ,d

1 )

title ('Res

pues

ta a un e

s

c

al

6n uni

tar

i

o,

c

on retroa lirnentac ion

de

esrado s

')

x labe l

(' mue

stras '

)

ylabe l('y (k) ')

grid

Para el caso de

una entrada

una salida, el vector

L se

calcula

con

la

ecuaci6n (1 2

.

5 5 )

.

por lo qu

e

el

e

rror de es timaci6n X(k)

r

esulta se

r:

X(k +I) = [

LC].

=

(k)

+ [

rG - M]r(k) c 1 2 . a s ,

M

G

1

O r

d

e estimaci

6n x(k)

es

i

ndepe

ndiente

de la

e

ntrada

r(

k)

Si = entonc e s

e err

.

x

(

k


33/36

)l,st

'

f\:.

l\.it

1ft'S

lit

ordcn

fl

'lj

ucid

o

'll'\.l{

~\.1

'

. , ..

\

'-

..

..

~

,

,l

'

{l,

l . t

..

tlt'

~ ' \

\ le ro do

\ . i i

F ig u ra 12.22

Cancelaci6n

de

p

olos y ceros

l

t 1

(

o

(

i l l'l

({)

,;,'

>

f'J\\li

l.l d

e

c

r, 11.1 1

1

pu

ed c

provot

'ar

l" ll

1 1 1 tern

n

d e

l

s isu-

rn a

E s

tr 1c

tt

1r

~

t

b a s ~

1dos en

I

[ c

,c .

l el t1

n: i 1 1 1

ic o

-

Di

se

n

o por

o

al i1

1 e

r1rac

ic ,n

re r

r

,

de csr~ 1 do s

-

. t .

'i

llltl,i

tl

.

llll{l

l

r e ;

, ,

l1l.ttl, 1 r v

l, ,st'

l" \

". lli ,) r

outempla

M

e

t

odos

d

e

cont

roladores

Diseno de

-

12.7

Resumen

requier

e de

ti

enen

ambos

Ob s~r , ~a b i l i d ad

del

i s c ema

_~

-

-

C

onrr

o

labilid

ad

d

e l s isterna

_ _

co

rnpre

nd

e

Discn

o

(. '11 c l

cspac

i

o de

cstados d sc rcto

---. requiere /

d

e se

real iza

con

Disefio de

o b s

erv

ad

o

res

E n e s r e capftul~ presentamo

s

las h~~ramientas bisicas para

el disefio

de sisremas de control

espe-

c i f i c a d o s

en variables de estado, utd1zando la retroalimenraci6n de

esrados,

tanto

para el caso

regulador

c o m o

p a

r

a

e

l

c as

o

de

u n

c

ontrolador

( s

ervo ) c

uando

s e re

quiere

qu e l a salida siga

na

entrada

especi f ic a. Ana l izamos e l

c aso de

introdu c ir e l efecco analogo a l

controlador

clasico

lanteamos el c a lc

ulo d

e

los

o b servad

o

res

o

est i n 1 ado r c s de es rado para c l

c a s e en e

l

qu e

estos

no

p ueden rnedir, discut i mos su i rn p

l en

1 e n tu

c

ion e n fo

rrn

a

a i

s

lada

cornbiuada c

on

lo

s

ca

s o

s

m a p a conc

e

ptual

del capitulo

.

uesea d e

la sal ida

y k),

la cual

1 1

. . ega

al

valor

cuenta la

enr

d r(k)

ra a ,

es el

siguiente:

x(k+l)==[


34/36

P

=-.Q

m m

m ( J J

.

J

=

-

P + K,

Control de una torreta de canon de

orreta e un canon d a 1 d

despreciando perturbacione , e un tanque e guerra, en forma line

iza a ,

externas,

esta

dado por

0 .0 47721

0

.

004082

0 . 9 1 2 72 0 .0 7368

0

.

14

7

36 0.59345

x

(

k

)

+

y(k

0

1 x(k)

x( k

=

-

.

lz-056

a

)

Proporc

i

one la forma can6nica

control

able del sistema,

y deter

mine si

e

l s isterna e

s

controlable y / u observable.

b ) Pro

porc

ione la

forma canonica

observable

del

sisterna, y dete

rm

i

ne

si

e

l sistema e s

contr

o

l a

b l

e y /u

o

bse rvable.

c )

O b c

e

n ga

l os p

o

l os ceros de

G(z)

y explique el porque de l os re s

ult

a

d

os obtenidos e

n

los in

c

isos

a)

b )

.

P12 5 Disefie un

i

e ulad

o

r ara el

u 1 q uen en

e at a . '

calcule

a

)

condic iones se

d

eben

cum

plir para que el

sis

tema sea

co

ntro

l

ab

le

?

b ) co

n

diciones se d

eben cumplir para que

el

sistema

sea

obse

rvabl

e

?

P12.4

Par

a

e l si

gui

en

te s

i

stema

:

y(k)

d

x

( k )

+ f

u (

k )

x

(k)

x

(k 1

) a

c

determine las c ond ic

io n

es

para

es rablec e

r la

control

abilidad

d

e la salida, es

decir,

si

e s po-

sible, por mcdio d e una s

ec u

e

n

c ia

d

e

n

pa sos

d

e l c ontrol pued e ll~var a la sal ida de u n

punro inicial a

otro final y

(n),

donde t

e

n

e

mo

s m

entradas y

v

salidas. (Nora: proceda

de

la

m sma

manera

que se obtuvo la c ondici6n ara la controlabi l idad de los estados.)

Respuesca :

Cr

C < t > r

C

< 1 > 2

r C

< 1 > 11-

r

Para

el si

z u i e n

te sistema descri to en variabl

e

s de estado:

P12

.

3

1 )


35/36

sit'ttic 1

1tc : ~i~C'.t't

l\

.l.

' - i (

11 1

.l1 1 "

r

.

l l\l

~

1 1 1

)

l >

l )

po

los d c

l

o b

serva sc

ubq n

d

I

1 1 .

I

" ' ( '

l (

J

\

1 :

t l l . , l ) .

en J l ~ lllXI I .Ill (J:-;

0.' )

0.0

7

.

'( ,S . ,

( / . : )

x

k

+ 4 7

1

,;

(

I,) -

() k)

.

l

J''

"

-

I

J , 1 r u s

1ndo

est11nauorc:s para

1 > 1 ~ 7 . I

tilt" Llll

1 ,:

gt

2.9 l

.

l

.. ) bl

cnia P I

2. , c .i

.

1

rc,,ul id,,r )'

para el observador

a r a e c i t . : { )

t.

~

- -

i c ) t l

~ l

., A

isn1as

1 '-

.

~

'rte oresenra os en e apen

1 1 . e ,

p esta o s

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supo111en


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S

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do que se ptiede

medir

el nivel

en

el

ultimo tanque,

calcule

un

obse d

b)

upon1en rva

or

de orden reducido para los orros dos n1ve~es.

.

.

C le le un regulador con retroalimentacion de estados urilizando los estados est

.a cu

. .

1 m a -

. dos por el caso

a).

Discuta d611de se

pudieran

t1~1car os

po

os de lazo cerrado y utilice

sus conclusiones para definir esos polos en el calculo del regulador.

Sirnule los coinportamientos de los errores en estimaci6n para los casos a) y b ) .

Pl

2

. 11

Para

el

caso del motor de

CD

presentado en el

apendice

A, diserie

un

controlador

de

posici6tl de la Hecha de manera que responda a tin comando de entrada de tipo escalOn

de ainplitud radianes. Pruebe su

disefio

con

simulaci6n

en

Matlab.

Pl2.12

Disene un regulador con

retroalimentaci6n

de estados

para

el sistema de levitaci6n

magnenca expuesto en el

apendice

A, de

manera

que

ambos

polos del regulador

se

ubiquen

en

zd

0.7, bajo las condiciones siguientes:

a) T odos los estados son accesibles.

b) Se use un observador de los estados.

Para ambos casos, suponga

qu

e ambos

p

olos del observ

ado

r se localicen en

z

d =

0.2.

Pl2.13 Repitael problema P12.1 2 para el caso del sistema

balanc

ln

y bola

, descrito en el apendice

P12.14 Para el sistema del

probl

ema Pl2

5,

implemente un controla

do

r que incluya una acci6n

integral

y

realice una

s

imul

ac io n para e

l caso

en que la entrada

sea

un

escal6n unitario.

Suponga que todos

l

os esta

d

os son accesibles.

pa

12

capitulo 12 diseño en el espacio de estados discretos

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