Capítulo 2

Funções

Ao final deste capítulo você deverá: Recordar o conceito de função, domínio e imagem; Enunciar e praticar as operações com funções; Identificar as funções elementares, calcular função composta e

determinar a função inversa; Aplicar funções em situações práticas.

2.1 Funções

Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A procura de carne pelo consumidor, por exemplo, pode depender do seu preço atual no mercado; a quantidade de ar poluído numa área metropolitana depende do número de veículos na rua; o valor de uma garrafa de vinho pode depender da safra. Essas relações são matematicamente representadas por funções.

Sejam A e B dois conjuntos. Uma função é uma relação que a cada elemento de A associa um único elemento de B , e é indicada por BAf →: . A relação entre os conjuntos A e B é dada através de uma regra de associação expressa na forma )(xfy = .

GlossárioFunção :Na Matemática, função significa uma relação (com algumas características determinadas) entre membros de dois ou mais conjuntos. Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, x e y. O objeto x é chamado o argumento da função f e o objeto y que depende de x é chamado imagem de x pela f.

Função:Em Contabilidade, função é o que relaciona determinado componente ao objetivo de um sistema contábil. Exemplo: função custo direto e função custo total.

Definição (Função): Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que f é uma função ou aplicação, de conjunto A em conjunto B , se e somente se, todo elemento de A , está em correspondência com um único elemento de B . Escrevemos :f A B→ definida por

( )y f x= onde y é o valor de f em x .

Domínio: É o conjunto dos valores de x tais que a função está definida. Anotamos ( )D f A= ou ( )Dom f A= .

Contra-domínio: O conjunto B é o contra-domínio da função ( )CD f B= .

Imagem: É o conjunto dos valores y B∈ tais que ( )y f x= para algum x . Anotamos Im( )f B⊆ .

Assim:

{ }( ) ( ) para algum D f x A y f x y B= ∈ = ∈ ,

e

{ }Im( ) com ( )f y B x A y f x= ∈ ∃ ∈ = .

Por exemplo, seja :f A B→ definida por ( ) 2f x x= , onde { }1,2,3A = e { }1,2,4,6,7B = .

Neste caso, { }( ) 1,2,3D f = , { }( ) 1,2,4,6,7CD f = e { }Im( ) 2,4,6f = . Veja a figura abaixo:

Figura 2.1

Uma função :f A B→ é dita função real de uma variável real se A ⊂ ¡ e B ⊂ ¡ .

Figura 2.2

Normalmente, representamos por ( )y f x= , x A∈ e y B∈ .

Veja a seguir alguns exemplos de funções.

(i) ( )f x x= , x∀ ∈ ¡ , ( )D f = ¡ .

1

2

3

2

4

6

f7

1

Im( )f

( )B CD f=( )A D f=

(ii) 2( )f x x= , x∀ ∈ ¡ , ( )D f = ¡

(iii) ( )f x x= , x∀ ∈ ¡ , [ ]( ) 0,D f = ∞

(iv) ( )2

xf x

x=

−, 2x ≠ , { }( ) 2D f = −¡

(v) 2( ) 1f x x= − , 1 1x− ≤ ≤ , [ ]( ) 1,1D f = −

(vi) ( ) 1f x x= + , x∀ ∈ ¡ , ( )D f = ¡

(vii)3

( )f xx

= , 0x ≠ , x ∈ ¡ , { }( ) 0D f ∗= = −¡ ¡

(viii) ( )f x x= , x∀ ∈ ¡ , ( )D f = ¡ .

(ix)1

( )2

f xx

=+

, 2x ≠ −

{ } { }( ) 2 / 2D f x x= − − = ∈ ≠ −¡ ¡ e Im( )f = ¡ .

(x) ( ) 2 3 2 3 0 3/ 2f x x x x= + ⇒ + ≥ ⇒ ≥ − . Neste caso,

{ }( ) / 3 / 2D f x x= ∈ ≥ −¡ .

(xi)2 2

( ) 0 e 33 3

x xf x x

x x

− −= ⇒ ≥ ≠ −+ +

.

1º Caso: 2 0 e 3 0 2 e 3x x x x− ≥ + > ⇒ ≥ > −

2º Caso: 2 0 e 3 0 2 e 3x x x x− ≤ + < ⇒ ≤ < − . Assim,

( ) ( ){ }( ) / , 3 2,D f x x= ∈ ∈ −∞ − +∞¡ U

Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos.

Atividades de Auto Avaliação 1

• Determine domínio nas seguintes funções:

(i)3

( )1

xf x

x

+=+

(ii)1

( )2

xf x

x

+=+

(iii)1

( )1

f xx

=+

(iv)1

( )2

f xx

=+

(v) ( ) 2 3f x x= + (vi) ( ) 1 3f x x= −

(vii)1 1

( )5

f xx x

= ++

(viii) 2

1 1( )

4 4f x

x x= +

− +

(ix) ( ) 2f x x= + (x) 2

1( )

1f x

x=

−(xi) 2( ) 4f x x= − (xii) ( ) 3f x x= −

(xiii) 3

1( )

3f x

x=

−(xiv) ( )

2

xf x

x=

2.1.1 Gráfico de uma Função

É o subconjunto do plano formado pelos pontos ( ), ( )x f x , x∀ ∈ ¡ , quando x percorre o

campo de definição de função :f →¡ ¡ . Im( ) ( )f G f= .

Exemplo 2.1. Seja ( )f x x= , x∀ ∈ ¡ . ( )D f = ¡ e Im( )f = ¡ .

Figura 2.3

Exemplo 2.2. Seja 2( )f x x= , x∀ ∈ ¡ . ( )D f = ¡ e Im( )f += ¡ .

Figura 2.4

Exemplo 2.3. Seja :f + +→¡ ¡ , ( )f x x= , ( )D f += ¡ e Im( )f += ¡ .

Figura 2.5

Exemplo 2.4. Seja ( )f x x= , x∀ ∈ ¡ , ( )D f = ¡ e Im( )f += ¡ .

Figura 2.6

Duas funções f e g são iguais se e somente se tem o mesmo domínio e ( ) ( )f x g x= , ( )x D f∀ ∈ .

Exemplo 2.5. :f A B→ , ( ) 1f x x= − e 2

( )x x

g xx

−= , onde { }1,2,3A = e { }0,1,2,3,4,5B =

. Neste caso, ( ) ( )f x g x= , x A∀ ∈ .

Exemplo 2.6. Sejam f , :g →¡ ¡ , definidas por 4( )f x x= e 2( )g x x= . Neste caso,

temos ( ) ( )f x g x= , x∀ ∈ ¡ , pois 4 2x x= .

Exemplo 2.7. Sejam f , :g →¡ ¡ , 2( )f x x= e ( )g x x= . Neste caso, ( ) ( )f x g x≠ ,

2x x≠ , 0x∀ < .

Exemplo 2.8. Sejam ( )f x x= e 2

( )x

g xx

= são iguais se, e somente se, o domínio de ambas é

{ }0∗ = −¡ ¡ .

2.1.2 Operações com Funções

Dadas às funções f e g definidas. Então valem as seguintes:

(i) Soma de f e g : ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + ;

(ii) Diferença de f e g : ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = − ;

(iii) Produto de f e g : ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x× = × ;

(iv) Quociente de f e g :( )

( )( )

f f xx

g g x

= ÷

, ( ) 0g x ≠ .

Em cada caso o domínio da função resultante consiste dos valores de x comuns ao das

funções f e g , sendo que para f

g, o domínio é interseção excluídos os pontos tais que

( ) 0g x ≠ . Por exemplo, dadas às funções 2( ) 2f x x= + e 3

( )1

g xx

=−

, então:

(i) 2 3( )( ) 2

1f g x x

x+ = + +

−, 1x ≠ . { }( ) 1D f g+ = −¡

(ii) 2 3( )( ) 2

1f g x x

x− = + −

−, 1x ≠ . { }( ) 1D f g− = −¡

(iii) ( )2 3( )( ) 2

1f g x x

x × = + ÷−

, 1x ≠ . { }( ) 1D f g× = −¡

(iv) ( ) ( ) ( )2 22 1 2

( )3 3

1

x x xfx

gx

+ − + = =÷ ÷− , { }1

fD

g

= − ÷

¡ , pois { }( ) 1D g = −¡ .

2.1.3 Funções Definidas por Várias Sentenças

São as funções onde função é dada por diferentes valores em diferentes intervalos.

Nos exemplos a seguir obter o gráfico, seu domínio e sua imagem das funções: :f →¡ ¡ .

Exemplo 2.9.

1, se 0

( ) 2, se 0 1

1, se 1

x

f x x

x

<= ≤ < ≥

Resolução: ( )D f = ¡ , { }Im( ) 1,2f = .

Figura 2.7

Exemplo 2.10. 2

, se 0( )

, se 0

x xf x

x x

− <=

≥

Resolução: ( )D f = ¡ , Im( )f += ¡ .

Figura 2.8

Exemplo 2.11.

, se 0 2

( ) 2, se 2 3

5 , se 3

x x

f x x

x x

≤ ≤= ≤ ≤ − ≥

Resolução: ( )D f += ¡ , ( ]Im( ) , 2f = −∞ .

Figura 2.9

Exemplo 2.12. 1, se 3

( )2 1, se 3

x xf x

x x

− <= + ≥

Resolução: ( )D f = ¡ , Im( )f = ¡ .

Figura 2.102.2 Tipos de Funções

(a) Funções monótonas

(i) Função Crescente: A função ( )y f x= é crescente num intervalo de seu domínio

se dados dois valores quaisquer deste intervalo, 1x e 2x com 1 2x x≤ , temos

1 2( ) ( )f x f x≤ . Por exemplo, 2y x= , ( )D f = ¡ , Im( )f = ¡ , 1 2,x x∀ ∈ ¡ e

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x≤ ⇒ ≤ .

(ii) Função Decrescente: A função ( )y f x= é decrescente num intervalo de seu

domínio se dados dois valores quaisquer deste intervalo, 1x e 2x com 1 2x x≤ ,

temos 1 2( ) ( )f x f x≥ . Por exemplo, 2y x= − , ( )D f = ¡ , Im( )f = ¡ , 1 2,x x∀ ∈ ¡

e 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x≤ ⇒ ≥ .

Figura 2.11

(b) Função Injetora

Dizemos que :f A B→ é injetora se e somente se, dados 1x e 2x A∈ com 1 2x x≠ implica

que 1 2( ) ( )f x f x≠ ou se 1 2( ) ( )f x f x= então 1 2x x= .

Por exemplo,

(i) :f →¡ ¡ , ( )f x x= é injetora, pois 1 2,x x∀ com 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x≠ ⇒ ≠ .

(ii) :f →¡ ¡ , 2( )f x x= não é injetora, pois 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x≠ ⇒ ≠ , considerando 1 3x =

e 2 3x = − , temos 1 2 ( 3) (3) 9x x f f≠ ⇒ − ≠ = .

Figura 2.12

(c) Função Sobrejetora

Dizemos que :f A B→ é sobrejetora se e somente se Im( )f B= ou ( )f A B= .

Por exemplo,

(i) :f →¡ ¡ , 3( )f x x= é sobrejetora, pois ( )D f = ¡ e Im( )f = ¡ .

(ii) :f + +→¡ ¡ , 2( )f x x= é sobrejetora, pois ( )D f += ¡ e Im( )f += ¡ .

(iii) :f →¡ ¡ , 2( )f x x= não é sobrejetora, pois ( )D f = ¡ e Im( )f += ¡ .

(d) Função Bijetora

Dizemos que :f A B→ é bijetora se e somente se, f é injetora e sobrejetora, isto é,

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x≠ ⇒ ≠ e Im( )f B= .

Por exemplo,

(i) :f →¡ ¡ , ( )f x x= ;

(ii) :f →¡ ¡ , 3( )f x x= ;

(iii) :f + +→¡ ¡ , 2( )f x x= ; são funções bijetoras.

(e) Função Inversa

Se :f A B→ é bijetora, a relação inversa de f é uma função de B em A que

denominamos função inversa e indicamos por 1f − .

Figura 2.13

Observação: (i) :f A B→ sendo bijetora, garante a existência da função inversa 1 :f B A− → e

( )1 Im( )D f f B− = = e ( )1Im ( )f D f A− = = .

(ii) 1f f−∃ ⇔ é bijetora.

(iii) Existe 1f − é equivalente dizer f é inversível.

Por exemplo,

(i)

Figura 2.14

A função dada acima na figura 2.14 é inversível.

(ii)

Figura 2.15

A função dada acima na figura 2.15 é não inversível.

• Regras práticas para o cálculo de função inversa

Na função ( )y f x= trocamos x por y e y por x , obtendo ( )x f y= .

Expressamos y em função de x .

Por exemplo,

(iii) Seja :f →¡ ¡ , 2 4y x= −( ) 2 4y f x x= = −2 4x y⇒ = −

2 4y x⇒ = +

12 ( )2

xy f x−⇒ = + =

1( ) 22

xf x−⇒ = + .

(iv) Seja :f + +→¡ ¡ , 2y x=2y x=

2x y⇒ =y x⇒ =

1 :f − + +⇒ →¡ ¡ , 1( )f x x− = .

Observação: Os gráficos de f e 1f − são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrante do plano cartesiano.

Por exemplo,

(i) 3( )f x x= , :f →¡ ¡

1 :f −⇒ →¡ ¡ , 1 3( )f x x− = .

Figura 2.16

(ii) :f + +→¡ ¡ , 2( )f x x= 1( )f x x−⇒ =

Figura 2.17

2.3 Composição de Funções

Sejam A , B e C três conjuntos. Consideremos as funções f e g tal que

:f A B→ e :g B C→ .

Associado com f e g existe uma função :L A C→ denominada composição e definida por

( ) ( )( ) ( ( ))h x g f x g f x= =o , x A∀ ∈ .

Figura 2.18 Assim temos

: ( ) Im( )f x f x y f B→ = ∈ ⊂ e : ( ) Im( )g y g y z g C→ = ∈ ⊂ .

Observações:(i) g fo só está definida, quando ( ) ( )CD f D g= .(ii) Em geral, g f f g≠o o .(iii) O domínio de f go é o conjunto de todos os números x no domínio ( )D f .

Exemplo 2.13. Sejam { }1,2,3,4A = , { }0,2,4,6,8,9B = e { }0,4,16,36,64,81,100C = .

Consideremos :f A B→ : ( ) 2f x x y= = e :g B C→ : 2( )g y y z= = . Então

:h A C→ : 2( ) ( )( ) ( ( )) (2 ) 4h x g f x g f x g x x= = = =o .

Exemplo 2.14. Sejam f , :g →¡ ¡ definidas por ( ) 1f x x= + e 2( )g x x= . Então,

2 2( )( ) ( ( )) ( ) 1f g x f g x f x x= = = +o ,e

( ) 2 2( )( ) ( ( )) ( 1) 1 2 1g f x g f x g x x x x= = + = + = + +o .

Agora, 2 21 2 1x x x+ ≠ + + f g g f⇒ ≠o o .

Exemplo 2.15. Sendo :f →¡ ¡ , ( ) 2 1f x x= − e ( ) 2g x x= + . Calcular:

(i) 2 2( ( )) ( 2) ( 2) 1 4 3f g x f x x x x= + = + − = + + .

(ii) 2 2 2( ( )) ( 1) 1 2 1g f x g x x x= − = − + = + .

(iii) ( (1)) (3) 9 1 8f g f= = − =(iv) ( (0)) ( 1) 1 2 1g f g= − = − + = .

Exemplo 2.16. Sendo :f →¡ ¡ , ( ) 23 2f x x= − e ( ) 4 1g x x= + . Calcular

f go , g fo , f fo e g go .(i) ( )( ) ( ( ))f g x f g x=o

(4 1)f x= +23 2(4 1)x= − +

23 2(16 8 1)x x= − + +2

2

3 32 16 2

32 16 1

x x

x x

= − − −= − − +

(ii) ( )( ) ( ( ))g f x g f x=o2

2

2

2

(3 2 )

(4(3 2 ) 1)

12 8 1

8 13

g x

x

x

x

= −

= − += − += − +

(iii) ( )( ) ( ( ))f f x f f x=o2

2 2

2 4

2 4

4 2

(3 2 )

3 2(3 2 )

3 2(9 12 4 )

3 18 24 8

8 24 15

f x

x

x x

x x

x x

= −

= − −= − − += − + −

= − + −

(iv) ( )( ) ( ( ))g g x g g x=o

(4 1)

(4(4 1) 1)

16 4 1

16 5

g x

x

x

x

= += + += + += +

2.4 Funções Pares e Ímpares

(a) Função Par

Seja :f A B→ . f é uma função par se e somente se ( ) ( )f x f x= − , x A∀ ∈ .

Por exemplo, 2( )f x x= , x∀ ∈ ¡ é par, pois 2( ) ( )f x f x x= − = , x∀ ∈ ¡ .

Figura 2.19

(b) Função Ímpar

Seja :f A B→ . f é uma função par se e somente se ( ) ( )f x f x− = − , x A∀ ∈ .

Por exemplo, 3( )f x x= , x∀ ∈ ¡ é ímpar, pois 3( ) ( )f x f x x= − − = , x∀ ∈ ¡ .

Observações:

(i) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y .

(ii) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação a origem do sistema cartesiano.

(iii) Existem funções que nem são pares e nem ímpares. Por exemplo, ( ) xf x e= e 2( )f x x x= + , x∀ ∈ ¡ , nem são pares e nem são ímpares.

Verifique se são pares ou ímpares as funções:

(i) y x=

(ii)1

yx

= , 0x ≠ .

2.5 Funções elementares

A seguir apresentaremos algumas funções elementares.

a) Função constante

A função que associa cada elemento do seu domínio a um mesmo elemento do contradomínio é chamada de função constante.

Exemplo 3.11. A função :[0, )f ∞ → ¡ , 2)( =xf , é uma função constante. Seu Figura no

intervalo [ ]0, 2 do seu domínio é o seguinte:

Figura 2.20

b) Funções afim ou linear

Chama-se função afim qualquer função dada por baxxf +=)( onde os coeficientes a e b são números reais dados. Quando 0=b , a função é chamada de linear. O Figura da função afim com domínio e contradomínio ¡ é uma reta com coeficiente angular igual a a e que

intercepta os eixos coordenados X e Y nos pontos , 0b

a −

e ( )0, b , respectivamente.

Exemplo 3.12. O gráfico da função afim tomando-se 1=a e 1−=b , ou seja, ( ) 1y f x x= = − , no intervalo [ 1, 2]− , é mostrado abaixo.

Figura 2.21

Uma reta pode ser representada por uma função afim da forma baxy += . Precisamos apenas determinar a e b .

c) Função módulo

É a função definida por , 0

( ) | | , 0

x xf x x

x x

≥= = − <

O gráfico da função módulo é o seguinte:

Figura 2.22

d) Função quadrática

Sejam , e a b c números reais quaisquer com 0a ≠ . A função f definida em ¡ e dada

por 2( )y f x ax bx c= = + + recebe nome de função quadrática.

Exemplo 3.13. (i) 2( ) 9 14y f x x x= = − + 1; 9; 14a b c= = − = .

(ii) 2( ) 5 25y f x x x= = + 5; 25; 0a b c= = = .

(iii) 22 3 1( )

3 4 5y f x x x= = − + −

2 3 1; ;

3 4 5a b c= − = = − .

e) Função polinomial

É toda função cuja regra de associação é um polinômio, ou seja,

011

1 ...)( axaxaxaxf nn

nn ++++= −

− ,

onde os coeficientes naaa ,...,, 10 são números reais e n é número natural chamado de grau de ( )f x .

Exemplo 3.14. As funções afim e linear são exemplos de funções polinomiais de grau 1=n . A função quadrática cbxaxxf ++= 2)( , 0≠a , é uma função polinomial de grau 2n = . A

função 4 3 2( ) 2 3 5 1f x x x x x= − + − + é uma função polinomial de grau 4n = .

f) Função racional

É toda função f cuja regra de associação é do tipo

)(

)()(

xq

xpxf = ,

onde )(xp e )(xq ( ( ) 0q x ≠ ) são funções polinomiais. Uma função racional está definida em qualquer domínio que não contenha raízes do polinômio )(xq .

Exemplo 3.15. Determine o maior domínio possível da função racional

1

1)(

2

+++=

x

xxxf .

Resolução: Uma função racional com esta regra de associação está definida em todo ponto x

tal que 01 ≠+x . Portanto, o maior domínio possível é o conjunto }{ | 1x x∈ ≠ −¡ .

Figura 2.23

2.6 Função exponencial e logarítmica

a) Função exponencial de base a

Seja a um número positivo e 1≠a . A função : (0, )f → ∞¡ , dada por xaxf =)( , é chamada de função exponencial de base a . Os gráficos dessas funções são os seguintes:

Gráfico da função exponencial quando 1a > .

Figura 2.24

Gráfico da função exponencial, quando 0 1a< < .

Figura 2.25

O conjunto imagem da função exponencial é o intervalo (0, )+ ∞ .

Apresentaremos, a seguir, as propriedades de exponenciação.

b) Propriedades da função exponencial

As seguintes propriedades valem para quaisquer , , ,a b x y R∈ com 0>a , 0>b :

P1 - yxyx aaa +=⋅ .P2 - xxx abba )()( = .

P3 - yxy

x

aa

a −= .

P4 -x

x

x

b

a

b

a

=

.

P5 - xyxyyx aaa == )()( .

A função exponencial mais comum em aplicações é a função exponencial de base ea = onde ...71828,2=e é a constante de Euler, que é um número irracional. A função, nesse caso, é chamada de função exponencial natural ou, simplesmente, função exponencial.

2.7 Função logaritmo

Seja a um número positivo e 1≠a . A função definida por ( ) logay f x x= = 0x > , recebe o nome de função logarítmico de base a .

Vejamos os gráficos da função logarítmica:

Figura 2.26

Figura 2.27

2.7.1 Propriedades da função logaritma

Para todo 0, >yx , valem as seguintes propriedades.

P1. Propriedade do produto: )(log xya = yx aa loglog + .

P2. Propriedade do quociente:

y

xalog = yx aa loglog − .

P3. Propriedade da potenciação:yxy a

xa log)(log = .

O logaritmo na base ea = é chamado de logaritmo natural e é comum indicá-lo como ln x .

3.9 Aplicações práticas das funções

A seguir apresentaremos algumas aplicações práticas de funções em forma de exemplos.

a) Função receita

Exemplo 3.25. Um bem é vendido por R$300,00 a unidade. Sendo x a quantidade vendida, a receita de vendas será 300 x× . Podemos dizer que ( ) 300R x x= × é uma função que fornece a quantidade vendida x à receita correspondente.

Exemplo 3.26. Uma sorveteria vende um picolé por R$6,00 a unidade. Seja x a quantidade vendida.a) obtenha a função receita ( )R x ;b) calcule (50)R ;

c) qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$1.200,00?

Resolução:a) ( ) 6R x x= × .b) (50) 6 50 300R = × = .c) Devemos ter 1.200 6 200x x= × ⇒ = .

Logo, a quantidade vendida deve ser de 20 picolés.

b) Função custo e lucro do primeiro grau

Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção depende de x , e a relação entre eles chama de função custo total e a indicamos por ( )C x . Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguro e outros. A soma desses custos que não dependem da quantidade produzida chamamos de custo fixo e indicamos por CF . A parcela do custo que depende de x chamamos de custo variável e indicamos por

( )CV x . Logo, podemos escrever ( ) ( )C x CF CV x= + .

A função lucro ( )L x é definida como a diferença entre a função receita ( )R x e a função custo ( )C x e temos

( ) ( ) ( )L x R x C x= − .

Por exemplo, o custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$6.000,00 e o custo variável por unidade é R$ 15,00. Então a função custo total é dada por

( ) 6.000 15C x x= + .

Se o produto for, digamos número de aparelhos de TV, os valores de x serão 0, 1, 2,...

Caso o produto for, digamos toneladas de soja produzidas, os valores de x serão números reais positivos.

Exemplo 3.27. Um produto é vendido por R$20,00 a unidade (preço constante). A função receita será ( ) 20R x x= . Se colocarmos o gráfico desta função receita e o da função custo

( ) 6.000 15C x x= + num mesmo sistema de coordenadas cartesianas teremos o gráfico abaixo

Figura 2.28

Gráfico de ( ) 20R x x= e ( ) 6.000 15C x x= + no mesmo sistema de coordenadas.

A abscissa, cx , do ponto A é chamada de ponto de nivelamento ou ponto crítico.

Note que:• Se cx x> , então ( ) ( )R x C x> e ( ) 0L x > .

• Se cx x< , então ( ) ( )R x C x< e ( ) 0L x < .

c) Função demanda

Exemplo 3.28. O número x de certo produto demandado por mês numa loja relaciona-se

com o preço unitário ( )p conforme a função demanda

20 0,004p x= − .

Se o preço por unidade for de R$8,00, a quantidade demandada por mês será

8 20 0,004x= − ⇒ 0,004 20 8 16x = − = ⇒ 4.000x = .

O gráfico da função demanda 20 0,004p x= − é dado abaixo

Figura 2.29

d) Funções quadráticas receita e lucro

Exemplo 3.29. A função de demanda de certo produto é 20p x= − , e a função custo é ( ) 30C x x= + onde x é a quantidade demandada. Determinar:

a) a função receita e o preço que a maximiza.b) a função lucro e o preço que a maximiza.

Resolução:

a) Por definição de receita, temos( ) 2( ) 20 20R x p x x x x x= × = − × = − .

Logo, a função receita é 2( ) 20R x x x= − + .Veja figura abaixo

Figura 2.30

De 2( ) 20R x x x= − + , temos 1; 20; 0a b c= − = = .

Logo, o valor de x que maximiza 2( ) 20R x x x= − + é a abscissa do vértice 20

102 2 ( 1)V

bx

a= − = − =

× − para uma receita máxima de

( ) 2(10) 10 20 10 100 200 100R = − + × = − + = .

Portanto, temos uma receita máxima de R$100,00 para uma demanda de 10x = itens do produto.

b) A função lucro é ( ) ( ) ( )L x R x C x= − .

Assim,

( )2 2( ) 20 30 20 30L x x x x x x x= − − + = − − − = 2 19 30x x− + − ,

onde 1; 19; 30a b c= − = = − .

Veja a figura de ( )L x abaixo

Figura 2.31

O valor de x que maximiza a função lucro 2( ) 19 30L x x x= − + − é a abscissa do vértice 19 19

9,52 2 ( 1) 2V

bx

a= − = − = =

× − para um lucro máximo de

( ) 2(9,5) 9,5 19 9,5 30

90,25 180,5 30 60,25

L = − + × −= − + − =

.

Portanto, temos um lucro máximo de R$240,75.

Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos.

Exercícios propostos – 2

1) Seja a função ( ) 4 3f x x= − , calcular:a) ( 2)f − ; b) ( 1)f a + ;

c) ( )f x h+ ; d) ( ) ( )f x f h+ ;

e) ( ) ( )

, 0f x h f x

hh

+ − ≠ .

2) Seja a função 2( ) 5 4g x x x= − , calcular:

a) ( 1)g − ;

b)1

4g

÷ ;

c) ( ) ( )

, 0g x h g x

hh

+ − ≠ ;

d) 1

gx

÷

;

e) ( 2)

( )

g

g x

−.

3) Seja a função ( ) 2 3f x x x= − − , calcule:

a) ( 1)f − ; b) (2)f ; c) (3)f ;

d) 1

2f

÷ ;

e) (2 )f x .

4) Faça o Figura da função 2( ) 2f x x= − + , com o { }( ) 3, 2, 1,0,1,2,3Dom f = − − − .

5) Obtenha o domínio das seguintes funções:a) ( ) 3 2y f x x= = − ;

b) ( ) 3y f x x= = − ;

c) 5

( )2

xy f x

x

−= =−

.

6) Esboce o Figura da função f , de domínio ( )Dom f = ¡ , dada por2 1, se 0

( ), se 0

x xf x

x x

+ ≥= <

.

7) Sejam as funções 1

( )1

xf x

x

+=−

e 1

( )g xx

= , determinar:

a) f go e ( )Dom f go .b) g fo e ( )Dom g fo .c) f fo e ( )Dom f fo .

8) O custo de fabricação de x unidades de certo produto é dado pela função ( ) 300 2C x x= + .

a) Qual o custo de fabricação de 30 unidades?b) Qual o custo de fabricação da vigésima unidade, já tendo sido fabricadas

dezenove unidades?

9) Dada a função demanda 20 2p x= − e a função custo ( ) 5C x x= + , determinar:a) O valor de x que maximiza a receita.b) O valor de x que maximiza o lucro.

10) Usando o mesmo sistema de coordenadas cartesianas, esboce o Figura da função receita dada por ( ) 4R x x= e o Figura da função custo dada por ( ) 50 2C x x= + e determine o ponto de nivelamento.

11) Obtenha a função lucro do exercício acima, esboce seu Figura e faça o estudo do sinal.

12) Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um custo de R$10,00 por unidade. Está estimado que se o preço de venda do brinquedo for de x cada, então o número de brinquedos vendidos por mês será 250 x− . a) Expressar o lucro mensal do fabricante como uma função de x .b) Utilize o resultado da letra a para determinar o lucro mensal se o preço de

venda for de R$35,00 cada.

13) Seja :[0, ) [ 2, )f ∞ → − ∞ , ( )y f x= = 2 2x − . Determine a inversa da função f .

14) Determinar a função inversa da função demanda 20

4

xp

−= .

15) Indicando o custo médio correspondente a x unidades produzidas por ( )CM x , temos ( )

( )C x

CM xx

= onde ( )C x é o custo de fabricação de x unidades de um produto. O

custo de fabricação de x unidades de um produto é ( ) 400 5C x x= + .a) Qual o custo médio de fabricação de 80 unidades?b) Qual o custo médio de fabricação de 100 unidades?c) Para que valor tende o custo médio à medida que x aumenta?`

Relembrando o Capítulo: Neste capítulo, você teve a oportunidade de estudar e compreender o que é uma função. Você aprendeu operações com funções e esboçar gráfico de uma função. Neste capítulo você também estudou funções elementares, tais como, a função afim, a função linear e a função quadrática. Vimos também a função módulo, a função polinomial, a função racional, função par e função impar, a função exponencial de base , 0 e 1a a a> ≠ , a função logaritmo de base , 0 e 1a a a> ≠ , a função composta, funções crescentes e funções decrescentes e função inversa. Você viu também aplicações práticas de funções.

Saiba Mais

Para aprofundar os temas estudados neste capítulo consulte:

MORETTIN, Pedro A., HAZZAN, Samuel e BUSSAB, Wilton de O. Cálculo funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2005.

SILVA, Sebastião Medeiros da, SILVA, Elio Medeiros da e SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática: para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1988.

A partir de agora passaremos a estudar limites e continuidade de uma função..