capitulo 3. movimiento ondulatorio y ondas

7/28/2019 CAPITULO 3. Movimiento Ondulatorio y Ondas

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Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmn

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CAPTULO 3. Movimiento ondulatorio y ondas

INTRODUCCIN.Existen en la naturaleza muchos fenmenos de loscuales se dice tienen naturaleza ondulatoria peroqu es exactamente una onda? Qu propiedadestienen? Cmo se puede formalizar una expresin

matemtica de un fenmeno ondulatorio? Estas y otrascuestiones son el tema objeto de este captulo. No obstante, antes de entrar de lleno en lo que es unaonda y su formalismo, vamos a definir onda como:Una onda es una perturbacin fsica que transmiteenerga, pero que no transmite materia.En las ondas materiales las partculas concretas quecomponen el material no se propagan, sino que selimitan a oscilar alrededor de su posicin de equilibrio. No obstante cuando una onda se transmite por dichomaterial se produce una sincronizacin de oscilacionesentre las distintas partculas componentes del medioque posibilita la propagacin de energa.La onda de choque de una explosin es un buenejemplo. La creacin sbita de calor en la explosineleva a presin muy alta a la masa de gas de suvecindad inmediata. Esta presin se ejerce sobre el aireque rodea el cual es comprimido e incrementado en presin. Esta presin a su vez es ejercida sobre el airede ms all, o sea que hay una onda de presin que sealeja de la explosin con una velocidad de 335 m/s estaonda contiene la energa requerida para comprimir elaire. Esta energa rompe ventanas a grandes distanciasde la explosin. Ningn material viaja, el movimientode cualquier partcula de aire relativamente es pequeo, la perturbacin es la que viaja rpidamente agrandes distancias y transmite la energa

DEFINICIN - CARACTERSTICAS.Una onda es una perturbacin que se propaga desde el punto en que se produjo hacia el medio que rodea ese punto.Las ondas materiales (todas menos laselectromagnticas) requieren un medio elstico para propagarse.El medio elstico se deforma y se recupera vibrando al paso de la onda.La perturbacin comunica una agitacin a la primera partcula del medio en que impacta, este es el foco delas ondas y en esa partcula se inicia la onda.La perturbacin se transmite en todas las direcciones por las que se extiende el medio que rodea al foco con

una velocidad constante en todas las direcciones,siempre que el medio sea istropo (de igualescaractersticas fsico-qumicas en todas lasdirecciones).Todas las partculas del medio son alcanzadas con uncierto retraso respecto a la primera y se ponen a vibrar,recuerda la ola de los espectadores en un estadio deftbol.

La forma de la onda es la foto de la perturbacin propagndose, la instantnea que congela las posiciones de todas las partculas en ese instante.Curiosamente, la representacin de las distancias deseparacin de la posicin de equilibrio de las partculasal vibrar frente al tiempo dan una funcin matemticaseno que, una vez representada en el papel, tiene formade onda.Podemos predecir la posicin que ocuparn dichas partculas ms tarde, aplicando esta funcinmatemtica.El movimiento de cada partcula respecto a la posicinde equilibrio en que estaba antes de llegarle la perturbacin es un movimiento oscilatorio armnicosimple.Una onda transporta energa pero no transportamateria: las partculas vibran alrededor de la posicinde equilibrio pero no viajan con la perturbacin.Veamos un ejemplo: la onda que transmite un ltigolleva una energa que se descarga al golpear su punta.Las partculas del ltigo vibran, pero no se desplazancon la onda.

Pulso y tren de ondas Onda viajeraEl movimiento de cualquier objeto material en unmedio (aire, agua, etc.) puede ser considerado comouna fuente de ondas. Al moverse perturba el medio quelo rodea y esta perturbacin, al propagarse, puedeoriginar un pulso o un tren de ondas.Un impulso nico, una vibracin nica en el extremode una cuerda, al propagarse por ella origina un tipo deonda llamadapulso. Las partculas oscilan una solavez al paso del pulso, transmiten la energa y sequedan como estaban inicialmente. El pulso slo estun tiempo en cada lugar del espacio. El sonido de undisparo es un pulso de onda sonora.Si las vibraciones que aplicamos al extremo de lacuerda se suceden de forma continuada se forma untren de ondas que se desplazar a lo largo de lacuerda, esto viene a ser unaonda viajera.

TIPOS DE ONDAS:Podemos establecer criterios de clasificacin de lasondas. Algunos seran:


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Segn el medio por el que se propaguen Ondas mecnicas.Son las que requieren un mediomaterial para propagarse. Ejemplo, el sonidoLa onda de sonido ordinario es una forma detransmisin de energa, perturbaciones en el aire entrefuente vibrante que es la que produce el sonido y unreceptor tal como el odo. El sonido tambin puedetransmitirse en los lquidos y en los slidos. Las ondasen una cuerda, en un resorte y las ondas de agua sonotros ejemplos de ondas que necesitan de un medioelstico para propagarse. A este tipo de ondas se losdenomina ondas mecnicas.Ondas electromagnticas.Son las que no requierenun medio material. Ejemplo, la luz.Existe otro tipo de ondas relacionada con la luz,transmisin de radio y radiacin de calor, esto es lasondas electromagnticas que no necesitan de un medio para propagarse.

Segn el nmero de dimensiones que involucranUnidimensionales.Ejemplo, la propagacin delmovimiento en una cuerda

Bidimensionales.Ejemplo, olas en la superficie de unlquido.

Tridimensionales.Ejemplo, el sonido normal.

Segn la relacin entre la vibracin y la direccinde propagacinTransversales.Son aquellas ondas en las cuales laoscilacin es perpendicular a la direccin de propagacin de la onda. Por ejemplo en una cuerdanormal y tensa la onda se propaga de izquierda aderecha (en cierto caso particular) pero, en cambio, laoscilacin de un punto concreto de la cuerda se

produce de arriba a abajo, es decir, perpendicularmentea la propagacin

Longitudinales.En este tipo la propagacin es paralela a la oscilacin. Como ejemplo, si apretamosun resorte las espiras oscilan de izquierda a derecha yde derecha a izquierda, paralelas en cualquier caso a ladireccin de propagacin.


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EXPRESIN MATEMTICA PARA UNA ONDAVIAJERA. En la Figura (Physical Science Study Committee,1965) se muestra una secuencia de fotografas de un pulso propagndose de izquierda a derecha a lo largode un resorte. En esta seccin haremos uso de estasfotografas para descubrir la expresin matemtica deuna onda viajera y probar el significado de algunos delos trminos utilizados para describir las ondas.

El intervalo de tiempo entre cada fotografa es el

mismo. Estas fotografas indican que la velocidad deun pulso es constante; y la forma del pulso prcticamente no cambia durante el movimiento deavance. Un examen ms minucioso muestra que el pulso se va haciendo gradualmente ms anchoconforme avanza; la altura del pulso se va haciendomenor mientras el ancho del pulso crece. Esteensanchamiento del pulso es una consecuencia de ladispersin. La dispersin no tiene un inters primordialen las ondas que deseamos considerar, por lo que laignoraremos en nuestro estudio.

En la Figura arriba pueden apreciarse dos etapas delmovimiento de un pulso en una cuerda, a dos tiemposdiferentes, cuando el pulso se propaga de izquierda aderecha con velocidadv. La figura est dibujada sobreun sistema de ejes coordenados de modo que el eje x muestra la direccin en que la cuerda no se distorsiona.Supongamos que la forma de la cuerda at = 0 est

dada por la expresin ( ) x f (Figura a). Despus de untiempot el pulso ha avanzado hacia la derecha unadistanciavt (Figura b). Debe notarse que la funcin

( )a x f tiene la misma forma que la funcin( ) x f , sin embargo ( )a x f esta desplazada una

distanciaa en la direccin +x. Si suponemos que el pulso mantiene su forma mientras se propaga, podemos expresar la forma del pulso en un instante detiempot mediante

( ) ( )vt x f t x y =, Una descripcin similar a la anterior, nos proporcionala expresin de un pulso que se mueve hacia laizquierda con velocidadv

( ) ( )vt x f t x y +=,

Se denomina funcin de onda a la funcin( )t x y , quesirve para describir onda. Para el caso de una onda enuna cuerda, la funcin de onda representa lacoordenada y de un elemento de la cuerda. Por tanto, lafuncin de onda da el desplazamiento y de dichoelemento desde su posicin de equilibrio y = 0, pero esuna funcin que depende de x y de t.

Esto significa que el desplazamiento de un elemento decuerda depende de:a) la coordenada x del elemento; y b) el tiempot de la observacin.Esto es, x y t deben aparecer combinados en( )t x y , como ( )vt x o ( )vt x + . Para especificar unafuncin de onda debemos escribirla como unadeterminada funcin. As por ejemplo la funcin deonda especfica que vamos a discutir en la seccinsiguiente es ( ) ( )vt x At x y = sen, .

Ejemplo 1.De las funciones que se presentan acontinuacin, slo dos pueden representar ecuacionesde onda, de ondas unidimensionales que se propaganen el eje x:

( )( )[ ]2

2

1 225,0105,

t xt x y

+

=

( ) ( )[ ]t t xt x y 2425,0105, 22

2

2 ++=

( )( )[ ]2

2

3 225,0105,

t xt x y

++=


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a) Decir cuales de las funciones:1 y , 2 y e 3 y sonfunciones de onda y justificar la respuesta. b) Cules son las velocidades de propagacin dedichas ondas?c) En la figura se representan varias fotografas deuna cuerda tensa, en la cual se est propagando unaonda que corresponde a una de las dos anteriores. Lasfotografas corresponden a instantes separados 0,01s. A cul de las ondas corresponden las fotos?

Solucina) Cualquier perturbacin que obedece en todo instantea la ecuacin: ( ) ( )vt x f t x y =, representa unaonda unidimensional que se propaga hacia la derecha(signo negativo) o hacia la izquierda (signo positivo)del eje , con velocidadv. As pues, las funciones yl e

y3 son las nicas posibles representantes de ecuacionesde onda. b) Para y1 , el valor de la velocidad ser s/m21 =v ,hacia la derecha del eje .Para y3, la transformamos en:

2

2

3

21425,0

105

++

=

t x

y m/s21

3 =v , hacia

la izquierda del eje x . .c) Corresponde a y1 puesto que su propagacin es

hacia la derecha del eje , y adems, es claro que suvelocidad es 2 m/s , lo que se deduce de las medidasdadas en las fotografas sucesivas.

ONDAS ARMONICASUn caso especialmente interesante y frecuente es aquelen que y es una funcin sinusoidal o armnica talcomo ( ) kx A x y sen= , de modo que

( ) ( )vt xk At x y = sen, (1)La cantidadk conocida comonmero de onda (diferente a la constantek del resorte) tiene un

significado especial. Reemplazando el valor de x por

+k

x 2

, obtenemos para ( )t x y , , el mismo

valor; esto es,

+=

+ vt k

xk At k

x y 2sen,2

= ( )[ ] 2sen + vt xk A = ( ) ( )t x yvt xk A ,sen =

Observamos quek 2

es el periodo de espacio de la

curva, repitindose cadak 2

, cantidad la llamaremos

longitud de onday la designaremos por .

Entoncesk

2 = Para un determinado tiempo

Observamos que la ecuacin (1) tambin puede ser escrita en la forma

( ) ( ) ( )t kx Akvt kx At x y == sensen,

Donde lafrecuencia angular kv= yk

v =

La funcin ( )t x y , es tambin peridica en el tiempo,

con un periodo 2=T

Y por lo tanto, con una frecuencia 2

= f

Para un determinado espacio x.

Podemos obtener una relacin importante de las ondas.

f T

v == , expresin que concuerda con

f f

k v

===

22

Tambin es frecuente escribir la ecuacin de la ondasinusoidal en la forma:

=T t x

A y

2sen ( )t kx A y = sen


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Onda que viaja a la izquierda.Similarmente parauna onda que viaja a la izquierda se tendra

+=T t x

A y

2sen ( )t kx A y += sen

Funcin sinusoidal desfasada con respecto alorigen.Adicionalmente, podemos tener una funcinsinusoidal desfasada con respecto al origen decoordenadas, esto es,

( ) ( ) = kx A x y sen y la onda viajera ser

( ) ( ) = t kx At x y sen, Similarmente para una onda que viaja hacia laizquierda se tendr

( ) ( ) += t kx At x y sen, Nota.Una onda real no puede ser perfectamentearmnica, puesto que unas ondas armnicas seextienden hacia el infinito en ambos sentidos a lo largodel eje x y no tienen ni principio ni fin en el tiempo.

Una onda real debe tener principio y fin en algn lugar del espacio y del tiempo. Las ondas existentes en lanaturaleza, como son las ondas de sonido o las ondasde luz, pueden frecuentemente aproximarse a ondasarmnicas, puesto que su extensi6n en el espacio esmucho mayor que su longitud de onda, y el intervalode tiempo que tardan en pasar por un punto es muchomayor que su perodo. Una onda de este tipo sedenomina tren de ondas. As que una onda armnica esuna representacin idealizada de un tren de ondas.

Ejemplo 2.Una onda sinusoidal es enviada a lo largode una de un resorte, por medio de un vibrador fijo enuno de sus extremos. La frecuencia del vibrador es 20

ciclos por segundo y la distancia entre puntos demnimo sucesivos en el resorte es 24 cm. Encontrar:a) La velocidad de la onda b) La ecuacin de la onda, sabiendo que eldesplazamiento longitudinal mximo es de 4 cm. y quese mueve en el sentido positivo de x.Solucin.a) Si f = 20 Hertz y = 24 cm.la velocidad es

f v = = 24 x 20 = 490 cm/seg. b) La ecuacin de la onda que se mueve en el sentido positivo es

( )t kx A y = sen Siendo

A = 4cm,12

2 ==k y

f T

22 == = 40Luego la ecuacin de la onda es

( )

= t x

y t x 20242sen4,

y en cm x en cm yt en segundos.

Corno la variable x aparece en la expresin con signoopuesto a la variablet , la onda se propaga en ladireccin + x.

Ejemplo 3. a) Una onda en una cuerda esta descrita por ( )t x y 6285,0sen002,0 = . Determine laamplitud, la frecuencia, periodo, longitud de onda yvelocidad de la onda. b) Una onda en una cuerda esta descrita por [ ]t x y 40,025,1sen25 = en el sistemacgs. Determine la amplitud, la frecuencia, periodo,longitud de onda, la velocidad de propagacin y lavelocidad transversal de la onda.Solucin.a) La ecuacin de la onda es

( ) ( )t kx At x y = sen, m002,0= A ,

5,02 ==

k m6,12=

6282 ==T s001,0=T

Hz1001 ==T

f

sm1260== f v

b) La ecuacin de una onda armnica, en general, es

)(2sen)(senT t x

At kx A y +==

La ecuacin dada en el problema se puede poner de laforma siguiente

=

40,01

25,122sen25

t x y

Identificando ambas ecuaciones tenemos:Amplitud A = 25 cm

Longitud de onda cm6,125,12

==

Frecuencia Hz40,01 ==T

f

Velocidad de propagacin

cm/s64,0==T

v

La velocidad transversal ser

)80,025,1(cos8,025 t xdt dy

vt ==

cm/s)80,025,1(20 t x =

Ejemplo 4. Un foco puntual realiza un movimiento peridico representado por la ecuacin.Las unidades estn en el sistema cgs.


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+=2406

2cos4 xt y

Se pide determinar :a) La velocidad de la onda. b) La diferencia de fase para dos posiciones de lamisma partcula cuando el intervalo de tiempotranscurrido es de 1 sc) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos partculas separadas 210 cm.d) Si el desplazamiento, y, de una determinada partcula en un instante determinado es de 3 cm,determinar cul ser su desplazamiento 2 s ms tardeSolucin. a) La velocidad de propagacin de la onda es:

scm40

6240

===T

v

La velocidad es de sentido contrario al positivo del eje x. b) La diferencia de fase es

362

661

2

==

+

=t t

c) En este caso, la diferencia de fase viene dada por

47

872

24021022 12

===

=

x x

d) Sabemos que

+=2406

2cos43 xt

43

24062cos =

+ xt

El desplazamiento 2 segundos ms tarde ser

++

= 24062

2cos4 xt

y

=

++31

24062cos4 xt

= +

+3

22406

2cos4 xt

=

+

+3

2sen2406

2sen3

2cos2406

2cos4 xt xt

Pero

43

24062cos =

+ xt y

47

1691

24062sen ==

+ xt

Sustituyendo valores

=

23

47

21

434 y = -3,79 cm

Ejemplo 5. Una onda sinusoidal que viaja en ladireccin positivax tiene una amplitud de 15 cm, unalongitud de onda de 40 cm y una frecuencia de 8 Hz.El desplazamiento de la onda ent = 0 y x = 0 es 15cm

a) Determinar el nmero de onda, el perodo, lafrecuencia angular y la rapidez de onda. b) Determinar la constante de fase , y se escribir unaexpresin general para la funcin de onda.Solucin.a) Utilizando las ecuaciones estudiadas obtenemos:

cm/157,04022 ===

k

s125,0811

=== f

T

( ) rad/s3,50822 === f ( )( ) cm/s320840 === f v

b) Puesto que la amplitud A = 15 cm, y como se tiene y = 15 cm en x = 0 yt = 0, obtenemos

( ) = sen1515 ( ) 1sen = Esto puede comprobarse por simple observacin puesto que la funcin coseno est desplazada 90respecto de la funcin seno. Sustituyendo los valoresde A, k y

en esta expresin, se obtiene( )cm3,50157,0cos15 xt y =

Ejemplo 6.La ecuacin de una onda armnica que se propaga en una cuerda es

)8,025,1(sen25 t x y = Donde x se expresa en cm yt en segundos.a) Determinar cual es el desfase para dos partculas dela soga posicionadas en 2cm y 30cm b) Cual es la distancia mnima entre 2 partculas delmedio cuyo desfase es de/3.Solucin.a) ( )t y 8,05,2sen25 = = t 8,0cos25

( )t y 8,05,37sen25 = = t 8,0cos25 El desfase es rad

El desfase entre esos dos puntos en todo instante serigual a rad.

b)3

25,125,1 12 = x x

( ) 75,31

25,131

12 == x x = 0,27 cm

Otra formaSi 2 corresponde a 1,6 cm., cuando corresponde a

3

:

66,1

23

6,1=

=

d = 0,27 cm


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Ejemplo 7.La velocidad de propagacin de una ondaes de 330 m/s, y su frecuencia, 103 Hz. Calclese:a) La diferencia de fase para dos posiciones de unamisma partcula que se presentan en intervalos detiempo separados 5 x 10-4 s. b) La diferencia de fase en un determinado instanteentre dos partculas que distan entre s2,75 cm.c) La distancia que existe entre dos partculas que seencuentran desfasadas 120.Solucin.

m33,010330

3 === f v , s101 3==

f T

a) Si a un perodoT le corresponde una diferencia defase2 :

a t le corresponde una diferencia de fase

3

4

1010522

=

=

T t

= rad

b) Si a una longitud de onda le corresponde unadiferencia de fase 2 :

a x le corresponde una diferencia de fase

rad61033

1075,2222

2

=

==

x

c) m11,02

6/33,02

===

x

Ejemplo 8. Sometemos al extremo de una cuerdatensa a vibraciones sinusoidales de 10Hz. La mnimadistancia entre dos puntos cuyas vibraciones tienen unadiferencia de fase 5/ es de 20 cm, calcular:a) La longitud de onda. b) La velocidad de propagacin.Solucin.a) Si la diferencia de fase para dos puntos separados 20cm es 5/ , a diferencia de fase para una longitud deonda es 2 .

Luego cm200205

2==

= 2 m

b) La velocidad de propagacinv = f = 2m x 10s-1 = 20 m/s

Ejemplo 9. Una onda tiene por ecuacin:( ) ( )25,0204sen5, += t xt x y , expresada en el

sistema CGS. Determinar la amplitud, la frecuencia, lalongitud de onda, el nmero de onda, la frecuenciaangular, la fase inicial y la velocidad de propagacin.SolucinLa ecuacin general de la onda es:

( ) ( ) += t kx yt x y osen,

=

+

22sen

T t x

yo

que comparada con la dada:

( )

+=811022sen5, t xt x y

resulta: cm50 = y , s1 f

T =

Hz101 == T f , cm21= ,

1cm4 =k , rad/s20 r = , rad4

= ,

cm/s51021

=== f v

Ejemplo 10. Sometemos al extremo de una cuerda aun vibrador que le produce una onda sinusoidal. Si laecuacin de la vibracin escrita en el sistema

t y 2,0sen5= , propagndose en la cuerda con unavelocidad de 10 cm/s. Determine la ecuacin de la

onda producida.Solucin.La ecuacin de la onda que se propaga el sentidonegativo del eje OX es:

( )

++=

T t x

yt x y 2sen, 0

( )

+= T t

yt x y 2sen, 0

Comparando con la dada: ( ) t t y 2,0sen5,0 =

cm50 = y , 2,02 =

T s10=T , 0=

Adems comovT = cm1001010 == De aqu

( )

+=10100

2sen5, t xt x y

Ejemplo 11.Las ecuaciones de dos ondas escritas enel sistema CGS vienen dadas por:

( ) ( ) xt t x y 5,042sen4,1 = e ( ) ( )t xt x y 54sen6,2 =

Calcular en cada caso:a) Velocidad en funcin del tiempo, de un punto

situado a 10 cm del foco. b) Velocidad mxima de ese punto.c) Velocidad de fase.d) En qu instante alcanza su velocidad mxima un punto situado a 1,5 m del foco?e) Posicin de los puntos que tienen velocidad mximaen t = 0.Solucin.

( ) ( ) xt t x y = 8sen4,1 ,( ) ( )t xt x y 54sen6,2 =


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8

a) ( ) ( ) xt t

yt xv y =

= 8cos32, 11

( ) ( )t xt

yt xv y 54cos30, 22 =

=

Cuando x = 10 cm, entonces:( ) ( ) 108cos32,10

1= t t v

y= t 8cos32

( ) ( )t t v y 540cos30,102 = =t 5cos30

b) En valor absoluto:s

cm32max1 = yv

scm30max2 = yv

c)s

cm881

11 ===

k

v ,

scm

45

45

2

22 ===

k

v

d) Para x = 150 cm, obtenemos:( ) ( ) 1508cos32,1501 = t t v y

= t 8cos32 si 1 yv es mxima, entonces:

18cos =t nt =8 snt 8

=

En 2 yv ser:

( ) ( )t t v y 5600cos30,1502 = = t 5cos30

En el mximo:

15cos =t nt =5 s5n

t =

e) Parat = 0, entonces: ( ) x xv y cos320,1 = y para que sea mxima:

1cos = x n x = n x = Para 2 yv , ser: ( ) x yv y 4cos300,2 = y para que sea mxima:

14cos = x n x =4 4n

x =

Ejemplo 12. Sometemos al extremo de una cuerdatensa a un vibrador que le produce vibracionessinusoidales. Por este efecto se propaga por la cuerdauna onda transversal que tiene por ecuacin:

( ) ( )t xt x y 8,06,1sen10, = , expresada en elsistema CGS.a) Qu condiciones iniciales nos determinan estaecuacin de onda? b) Determnese para esta onda su amplitud, velocidadde propagacin y longitud de onda.c) Tiempo que tarda en comenzar a vibrar una partcula de la cuerda situada a 10 cm del extremo en

que se encuentra el vibrador y ecuaciones horarias delmovimiento de el1a [( )t y , ( )t v , ( )t a ] una veztranscurrido ste.d) Dibujar la forma que tiene la cuerda [( )t y ] cuandohan transcurrido 5,625 s del comienzo de la vibracin(perfil de la onda).Solucin.a) Si hacemos x = 0 yt = 0, tendremos:

( ) 00sen100,0 == y

( ) ( )t xt

yt xv 8,06,1cos8, =

=

( ) 080,0


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8 = 10 cm de distancia del origen, y la forma de lacuerda hasta esa partcula ser 8 bucles hacia abajodel eje y y otros tantos hacia arriba).d) t = 5,625 s ( ) ( )25,28,02sen1 = x x y

Interseccin con eje y: x = 0 ( ) cm105,4sen100 == y

lo que nos indica que el vibrador se encuentra en sumxima elongacin (amplitud) y por debajo del origen.

Interseccin con ejex:El trozo de cuerda que se ha puesto en movimiento enese tiempo ser:x =vt = 0,5 x 5,625 = 2,8125 cm, correspondiente a

25,225,1

8125,2 = =4

2 +

lo que quiere decir es que a partir de esta distancia lacuerda se encuentra en reposo, con lo que la grfica(forma de la cuerda en ese instante) ser la de

La ecuacin es( ) 0= x y ( ) n x = 25,28,02

6,15,4+

= n x

Hay cinco valores de x para( ) 0= x y . x0 corresponde an = 0

cm8125,26,1 5,400=+= x

x-1 corresponde an = -1

cm1875,26,1

5,411 =

+= x


cm5625,16,1

5,422 =

+= x


cm9375,06,1 5,433 =+= x


cm3125,06,1

5,444 =

+= x

Ejemplo 13.Un veraneante que descansa en la playaobserva que durante los ltimos 30 minutos hanarribado 90 olas a la orilla. Luego se mete al mar y sedirige nadando hacia un bote anclado y ubicado a 450

m mar adentro, tomndole un total de 5 minutos enllegar. En el trayecto el nadador sorteo 60 olas.Determinea) La velocidad con que las olas se acercan a la orillaes: b) La separacin entre crestas de 2 olas consecutivas.Solucin.a) Cuando el veraneante descansa en la playa observaque en 30 llegan 90 olas a la orilla

La frecuencia de las olas es

Hz201

603090 =

= f

Cuando se dirige nadando hacia un bote ancladoubicado a 450 m mar adentro, le toma 5 minutos enllegar.

La velocidad del nadador es

m/s5,1605

450 =

=nv

La longitud de onda de las olas (separacin entrecrestas consecutivas) es

m20 oo v f

v ==

Para un nadador que se acerca con una velocidadnv ,como se muestra en la figura, las olas parecen tener una mayor velocidad on vv + (considerando que lavelocidad de las olas relativas al aire es siempre lamisma). Como resultado llegan al nadador en undeterminado tiempo un mayor nmero de frentes deonda que si hubiera estado en reposo.

El nadador en el trayecto sortea 60 olas en 5 minutos,luego las olas tienen una frecuencia f :

Hz51

60560' =

= f , ms alta que la frecuencia f de

la fuente.Luego

' f vv on =+

=+51205,1 0vvo

045,1 vvo =+ m/s5,0=ov


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10

b) La separacin entre crestas de 2 olas consecutivas esuna longitud de onda.

Como m/s5,0=ov y Hz201

= f

2015,0

== f vo = 10 m.

VELOCIDAD DE PROPAGACIN EN FUNCINDE LAS PROPIEDADES DEL MEDIO.Forma simple de calcular la velocidad de la onda enuna cuerda en funcin de las propiedades delmedio. Supongamos que tenemos una cuerda de masa por unidad de longitud , que esta estirada por unafuerza de tensinT . Un pulso se propaga en la cuerda.

Tomamos un pequeo elementol de la cuerda semuestra en la figura.

Este elemento, de longitud, en la parte ms elevada dela onda, est sujeto a la tensin de la cuerda en los dossentidos de propagacin de la onda. Podemos dibujar una circunferencia de radio R, en que R es la amplitud

de la onda. Este elemento de la cuerda, considerado bien pequeo, est en el lado de un tringulo cuyongulo opuesto est dado por . Instantneamente,es como si este elemento de cuerda estuviese enmovimiento en una trayectoria circular de radio R , convelocidadv; la velocidad de la onda.Aplicando la segunda ley de Newton al segmento decuerda l

y x ma F = 02cos2cos = T T

y y ma F = cmaT = 2sen2

Rva c

2

= . Como 2 es pequeo, podemos

considerar 22

sen Reemplazando:

Rv

RT 2

22 = 2vT = y

T

v =

Obtenemos la velocidad de la onda en la cuerda enfuncin de las propiedades de la cuerda: su tensin ysu densidad lineal.

Ejemplo 14. La cuerda Si de un mandolina tiene 0,34m de largo y tiene una densidad linear de 0,004 kg/m.El tornillo de ajuste manual unido a la cuerda se ajusta para proporcionar una tensin de 71,1 N. Culentonces es la frecuencia fundamental de la cuerda? Solucin.

T

L Lv

f 21

21== =

( ) mkg N

m 004,01,71

34,021

= 196 Hz

Un instrumento de cuerda tal como una guitarra estemplada ajustando la tensin en una cuerda por mediode un tornillo de ajuste manual. La longitud de lacuerda es fija, as que el ajuste de la tensin da lafrecuencia fundamental. Otras frecuenciasfundamentales pueden ser alcanzadas acortando lalongitud de la cuerda presionando en un traste.Finalmente, varias cuerdas de diversas densidades seutilizan para dar una gama de las velocidades de laonda, de tal modo proporcionando el acceso a unamayor gama de frecuencias fundamentales.

Ejemplo 15. Una onda ( )t xk A y 11sen = viaja por una cuerda de densidad de masa lineal y tensinT . Diga, para cada una de las ondas que se dan acontinuacin, si pueden viajar por la misma cuerdasimultneamente con la onda dada. Por qu? Bajoqu condicin?

( )t xk A y 211 sen +=

( )t xk A y 122 sen += ( )t xk A y 223 sen += ( )t xk A y 114 sen +=

Siendo 21 y 21 k k Solucin.La velocidad de propagacin es nica;

1

1 k

T v

== , por lo tanto, la relacin1

1

k

esta

determinada o fija.

1 y . No puede viajar, se requiere:1

1

1

2 k k

= , lo que

nos lleva a una falsedad, contra lo supuesto,12 =

2 y . No puede viajar, por que similar al caso anterior:

1

1

2

1 k k

= tambin nos lleva a una falsedad contra lo

supuesto, 12 k k =

3 y . Si puede viajar, bajo la condicin:1

1

2

2 k k =


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11

4 y . Si puede viajar, por que tienen igual 1 y 1k es la misma onda que viaja en sentido contrario.

Ejemplo 16. Una cuerda de masa M y longitudl cuelga del techo de una habitacin.a) Probar que la velocidad de pulso transversal enfuncin de la posicin cuando se propaga a lo largo deella es gxv = , siendo x la distancia al extremolibre. b) Probar que un pulso transversal recorrer la cuerdaen un tiempo g l2 .

Solucin.

a) La velocidad del punto P es T

v = , la tensinT

en ese punto es debido a la cuerda que cuelga delongitud x, cuya masa es x y su peso gxT = .

Luego gx gx

v ==

b) para encontrar el tiempo de recorrido del pulso

gxdt dxv ==

gxdxdt =

g gx

dxt

ll2

0==

ECUACION DE LA ONDA. Ondas transversales en una cuerda. En esta partetrataremos la ecuacin de la onda y su solucin,considerando el caso particular de la onda transversalen una cuerda, resultado que es general tambin paralos dems casos.

La cuerda tiene una masa uniforme por unidad delongitud y est sometida a una tensinT . Sobre estacuerda esta viajando una onda transversal.

Consideremos un elemento de longitud (de 1 a 2)como se muestra en la figura, sobre este elementoactan dos fuerzas externas a l, que la jalan en cadaextremo debido al resto de la cuerda. Estas fuerzas sonde igual magnitud que la tensn de la cuerda.La fuerza horizontal sobre este elemento es:

0coscos 1221 == T T F x si la curvatura de la cuerda no es muy grande

21 cos cos de aqu concluimos que T T T 21 La fuerza vertical sobre el elemento es:

12 sensen T T F y = Si los desplazamientos transversales de la cuerda noson muy abruptos, podemos considerar que, Sen

tan Luego,

( )12 tantan = T F y Que ser la fuerza total neta que acta sobre el

elemento x considerado.Aplicando la segunda ley de Newton,

2

2

t y

mma F y y ==

2

2

ty

denota la aceleracin vertical del elemento de

cuerda.

Como1

1tan

= x y

,2

2tan

= x y

y, x x

m ==

cosl

se tendr

=

12

2

2

x y

x y

T t y

x

x

x y

x y

T t y

= 12

2

2

Llevando al lmite cuando 0, x obtenemos

2

2

2

2

x

yT

t

y

=

Ecuacin diferencial del movimiento.Como la velocidad de propagacin de una onda en una

cuerda tensa es T

v = , por lo que la ecuacin

diferencial de la onda la escribimos como:

2

22

2

2 yv

t y

=

Cuya solucin es la ecuacin de la onda


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12

( )t kx A y = sen comprobacin

( )t kx At y =

sen22

2

,

( )t kx Ak x

y =

sen222

Reemplazando( ) ( )t kx Ak vt kx A = sensen 222

k

v =

Expresin vlida para toda onda, ya que k corresponde a la velocidad de propagacin de la onda.

De manera similar podemos encontrar la velocidad de propagacin de la onda para:a) Ondas longitudinales en una barra de metal dedensidad mdulo de elasticidadY .

Y v L =

b) Ondas transversales en una barra de metal dedensidad mdulo de elasticidad cortante o decizalladuraG.

G

vT =

c) Ondas longitudinales en un gas de densidad mdulo de compresibilidad volumtrica B.

B

v =

Ejemplo 17. Para el cobre el modulo de elasticidadvolumtrica es 14 x 1010 N/m2 y la densidad es 8920kg/m3. Cul es la velocidad del sonido en el cobre?Solucin.

B

v = =8920

1014 10= 3960 m/s

Ejemplo 18. A un alambre de acero (Mdulo deYoung:Y = 2,0 x 1011 N/m2, densidad del acero: =7,8 g/cm3) que tiene un dimetro de 1 mm y 4 m delongitud, lo colgamos del techo, calcular:a) El alargamiento del alambre cuando de su extremolibre colgamos un peso de 150 kg. b) La velocidad de propagacin de las ondaslongitudinales y transversales a lo largo del alambrecuando el cuerpo est suspendido.

Solucin.

a)YA F =

l

l

8122 102510248,9150

==

RY Mg ll

= 37,4 x 10-3 m b) La velocidad de propagacin de las ondaslongitudinales lo largo del alambre

sm1006,5

108,7102 3

311 =

==

Y v al longitudin

La velocidad de propagacin de las ondas transversalesa lo largo del alambre

2 R Mg T

v l transversa ==

83 1025108,78,9150

= l transversa

v

=sm490

Ejemplo 19.Se tiene un alambre de acero de 1,3 mmde dimetro, sabiendo que 5 m de este alambre sealarga 0,5 mm con una carga de 2,1 kg. (densidad delacero, 7,8 g/cm3) a) Calcule el mdulo de Young en el acero. b) Calcule la velocidad de propagacin de una ondaSolucin.Donde , la densidad es un valor conocido igual a 7,8g/cm3.a) El mdulo de YoungY puede calcularse de

ll= A F Y =

l

l

F

=

( )( )( )[ ]( )323 105,04103,1 58,91,2 = 15,5 x 1010 N/m2

b) La velocidad de propagacin del sonido en el aceroviene dada por

Y

v = = 310

108,7105,15

= 4458 m/s

Ejemplo 20.Una cuerda de piano de longitud 40 cm,seccin 0,4 mm2 y densidad 7,8 g/cm3, emite un sonido


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13

fundamental cuando se aproxima un diapasn defrecuencia 218 Hz.a) Determine la tensin a que est sometida. b) Si la tensin se multiplica por 4, cmo se modificala frecuencia de su sonido fundamental?Solucin.

a) En este caso L=2

L2= =0,8 m

La velocidad de las ondas es: f v = = 0,8 x 218 =174,4 m/sLa velocidad de las ondas transversales en la cuerdatensa est dada por:

T

v = 2vT =

La densidad lineal es: A LAmA

Lm

=== = (7,8 x

103)(0,4 x 10-6) = 3,12 x 10-3 kg/mFinalmente 2vT = = (3,12 x 10-3)(174,4)2 = 94,9 N

b) En este caso la velocidad de las ondas transversaleses:

vT T

v 224' ===

.

La longitud de onda no cambia y la nueva frecuenciaser:

f vv

f 22'' ===

= 2 x 218 = 436 Hz.

Ejemplo 21. A un resorte cuya masa es 200 g y cuyalongitud natural cuando est colgado de un punto fijoes 4 m, se le pone una masa de 100 g unida a su

extremo libre.Cuando esta masa se encuentra en equilibrio, lalongitud del resorte es 4,05 m. Determinar la velocidadde propagacin de las ondas longitudinales en elresorte.Solucin.

Ondas longitudinales en un resorte.

Y

v = , para un resorte Ak

Y ol

= , A

=

luego para el resorte o

k v

l

=

m40 =l , olll = = 4,05 4 = 0,05 m

l= k F m N6,19

05,08,91,0 ==

=

l

Mg k

mkg105

42,0 2===

o

ml

finalmente

sm6,39

10546,192 =

== ok v

l

ENERGA E INFORMACIN TRANSFERIDAMEDIANTE ONDASTenemos la experiencia de energa transferida por

ondas en muchas situaciones. Sentimos la fuerza deuna ola en el ocano, nuestra piel siente el calor de lasondas luminosas del sol, escuchamos las ondas desonido. Adems, la mayor parte de la informacin querecibimos nos llega mediante ondas. El habla y lamsica se transmiten por ondas de sonido, la radio y latelevisin por ondas electromagnticas. La luzreflejada por la cual usted lee esta pgina es una onda.Cmo depende la energa (y en consecuencia lainformacin) transmitida por las ondas de las propiedades de las ondas? Para responder esta pregunta antes debemos considerar cmo es transferidala energa por un solo pulso. Luego, ampliaremos losresultados con el fin de tener una expresin para la

energa de una onda armnica.

A un elemento de masa m en el punto P se le da unaenerga cintica a medida que un pulso de onda pasacon una velocidadv .

Para el tiempot = 0, un pequeo segmento de la cuerdaalrededor del punto P de la figura anterior, con masa

m y longitud l , est en reposo y no tiene energacintica. El movimiento hacia arriba y hacia abajo proporciona la energa requerida para iniciar el pulso alo largo de la cuerda. A medida que el borde queencabeza el pulso alcanza P, el segmentol comienza a moverse hacia arriba. A medida que lacresta de la onda pasa el segmentol , el segmento semueve a su posicin ms alta y empieza de nuevo a

bajar, teniendo energa cintica mientras est enmovimiento. Cuando el pulso entero ha pasado P, elsegmento l regresa al reposo y de nuevo no tieneenerga cintica. El progreso del pulso a lo largo de lacuerda corresponde al flujo de energa a lo largo de lacuerda. Otro tipo de pulso, incluyendo un pulso queviaja a travs del aire, transferira energa a lo largo dela direccin de la propagacin de modo similar.

Cunta energa se ha transferido al pasar P durante untiempot ? Para una onda armnica que viaja en una


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14

cuerda, cada punto se mueve con movimientoarmnico simple en la direccin transversal ( y).Como vimos anteriormente, en ausencia deamortiguamiento, la energa total de un oscilador armnico es igual a su energa potencial en el

desplazamiento mximo , es decir, 221

kA .

Tambin vimos que la relacin entre masa, constantek del oscilador (no es el nmero de ondak ) y

frecuencia esmk

f 21

= . Si tratamos el segmento

de la cuerda como un oscilador armnico con masam que se mueve a la frecuencia f , podemos

acomodar la ecuacin para obtener una constante desalto efectiva ( ) m f k = 22 . La energa asociadacon el movimiento de este segmento de la cuerda esentonces

( ) 222 22

1

2

1mA f kA E ==

2222 Amf E =

Ahora tenemos un resultado importante: la energa deuna onda depende del cuadrado de la amplitud de laonda. As, una onda con el doble de amplitud de otraonda equivalente (con la misma frecuencia, el mismomedio) tendr energa cuatro veces mayor.

Para encontrar la rapidez del flujo de energa, o potencia, observamos que m se puede escribir corno

lS , donde es la densidad,S el rea de laseccin transversal y l la longitud del segmento dela cuerda. En un tiempo t , la onda con rapidezv recorre una longitud t v=l , de manera que podemos sustituir t Svm = dentro de la ecuacin para E . Obtenemos una expresin para la energatransportada en el tiempo t .

t Avf S E = 2222 La rapidez a la cual se propaga la energa a lo largo dela cuerda es la potencia P .

2222 Avf S t

E P =

=

El parmetro ms til generalmente es la intensidad

I , que se define como la potencia que fluye a travs

de un rea unidad. Para este caso, la intensidad enwatts por metro cuadrado (W/m2) es:

2222 Avf S

P I ==

Aunque este resultado lo hemos derivado para el casoespecifico de ondas en una cuerda, dan la dependenciacorrecta de la densidad del medio, la velocidad de laonda, la frecuencia y la amplitud apropiada paracualquier onda armnica viajera.

El odo humano puede acomodarse a un intervalo deintensidades sonoras bastante grande, desde 10-12 W/m2 aproximadamente (que normalmente se tomacomo umbral de audicin), hasta 1 w/m2 aproximadamente que produce sensacin dolorosa enla mayora de las personas. Debido a este granintervalo y a que la sensacin fisiolgica de fuerzasonora no vara directamente con la intensidad, seutiliza una escala logartmica para describir el nivel deintensidad de una onda sonora.

Nivel de Intensidad.El nivel de intensidad, , se mide en decibelios (dB)y se define:

0log

I I = , donde I es la intensidad del sonido, e

0 I es un nivel de referencia cuyo valor es de 10-12

W/m2 que escogemos como la unidad de audicin.En esta escala, el intervalo de intensidad sonora para elodo humano es de 0 dB a 120 dB, que corresponden aintensidades a partir de 10-12 W/m2 hasta cerca de 1W/m2. La sensacin de sonido ms o menos fuertedepende de la frecuencia adems de la intensidad delmismo.

Ejemplo 22.Una cuerda de densidad lineal 480 g/mest bajo una tensin de 48 N. Una onda de frecuencia200 Hz y amplitud 4,0 mm recorre la cuerda. A qurazn la onda transporta energa?Solucin.

f 2= = ( )s

rad4002002 =

sm

1048,048

3 === mkg N T

v

22

21

Av P =

=( )( )( )( ) ( )22 004,04001048,05,0 = 61 W

Ejemplo 23.La conversacin normal se desarrolla acerca de 60 dB. A qu nivel de intensidadcorresponde? Solucin.

010log1060

I

I = , 60

10= I

I

0610 I I = = 10-6 W/m2

Ejemplo 24. Una fuente emite el sonidouniformemente en todas las direcciones en un nivel dela energa de 60 W. Cul es la intensidad unadistancia de 4 m de la fuente?

Solucin.La potencia se distribuye sobre la superficie de unaesfera de rea 24 r A = .


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15

( )22 4460

4 r r P

I

== = 0,30W/m2

Ejemplo 25. A una distancia de 5 m de una fuente elnivel de sonido es 90 dB. A qu distancia el nivel ha bajado a 50 dB?Solucin.

21

1 4 r P

I

= y 22

2 4 r P

I

= de aqu 22

21

1

2

r r

I I

=

dB I I 90log10

0

1101 == ,

9

0

1 10= I I

Similarmente,

dB I I 50log10

0

2102 == ,

5

0

2 10= I I

Luego 22

214

9

5

1

2 101010

r r

I I

===

12

2 10 r r = = 500 mREFLEXION DE ONDASAhora veremos que sucede con una onda al llegar a unextremo que la confina; para este estudioconsideraremos una perturbacin en una cuerda, primero veremos cuando el extremo esta rgidamenteatado a la pared y la cuerda no tienen posibilidad dedesplazamiento en ese punto. Luego veremos el casoen que la cuerda tiene posibilidad de desplazamientovertical en el punto de atadura. Esta propiedad de lasondas que aqu introducimos se aplica a todas lasondas.

Primer Caso.- Extremo fijoCuando el pulso de una onda llega al extremo msalejado de una cuerda que esta fija a una pared en eseextremo, la onda no se detiene repentinamente, sinoque es reflejada. Si no se disipa energa en el extremolejano de la cuerda, la onda reflejada tiene unamagnitud igual a la de la onda incidente; sin embargo,la direccin de desplazamiento se invertir.

Esta inversin sucede porque a medida que el pulsoencuentra la pared, la fuerza hacia arriba del pulso enel extremo tira hacia arriba sobre la pared. Comoresultado, de acuerdo con la tercera ley de Newton, la pared tira hacia abajo sobre la cuerda. Esta fuerza dereaccin hace que la cuerda estalle hacia abajo,iniciando un pulso reflejado que se aleja con unaamplitud invertida (o negativa).

La onda se retrasa media longitud de onda. Este es elcaso de la reflexin del sonido en un obstculo.Segundo Caso.- Extremo LibreSi la cuerda tiene libertad para moverse en su extremolejano. De nuevo, un pulso de onda que viaja a lo largode la cuerda se refleja cuando alcanza ese extremo.

Pero en este caso vemos que la onda reflejada tiene lamisma direccin de desplazamiento que la ondaincidente. A medida que el pulso alcanza el extremo dela cuerda, sta se mueve en respuesta al pulso. Amedida que el extremo de la cuerda empieza a regresar a su posicin, inicia un pulso inverso a lo largo de la

cuerda, justamente como si el movimiento final sedebiera a alguna fuerza externa. El resultado es un pulso exactamente igual al pulso de onda incidente.Pero viajando en el sentido contrario.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN DE ONDAS -INTERFERENCIATratamos en este punto el efecto combinado de dos oms ondas que viajan en el mismo medio. En un mediolineal, esto es, en un medio en que la fuerza derecuperacin es proporcional al desplazamiento delmismo, se puede aplicar elprincipio de superposicin para obtener la perturbacin resultante. Este principioes aplicable a muchos tipos de ondas, incluyendo las

ondas en cuerdas, ondas sonoras, ondas superficialesen el agua y ondas electromagnticas. El trminointerferencia se emple para describir el efecto producido al combinar dos ondas que se desplazansimultneamente a travs de un medio.

Principio de superposicin. El principio de superposicin establece que, cuandodos o ms ondas se mueven en el mismo medio lineal,la onda resultante en cualquier punto es igual a la sumaalgebraica de los desplazamientos de todas las ondascomponentes.

Ejemplo 26.Entre dos barras paralelas se mantienetensa una cuerda mediante dos anillos, como se indicaen la figura. Se perturba la cuerda partiendo de undesplazamiento inicial como el indicado en la figura(muy exagerado en la misma). La longitud de la cuerda


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es d y la velocidad de propagacin de las ondastransversales en dicha cuerda esv. Cunto tiempo transcurrir hasta que la cuerda alcanceun estado igual al representado si:a) Los anillos pueden moverse libremente a lo largode las barras. b) Un anillo est fijo.c) Estn fijos los dos anillos.

Solucin. a) Si los anillos pueden moverse a lo largo de las barras, cuando los pulsos de la figura llegan a losextremos la reflexin se realiza sin cambio de fase. Elmximo central se produce en el instante1t tal que:

vd t 2/21 = v

d t =1

b) En el anillo fijo se produce cambio de fase en lareflexin. La propagacin sigue los pasos de la figura.

Se produce un mnimo en el centro en el instante:

vd

vd

vd

vd

t 22/2/

=++= y el tiempo necesario

para que se produzca el mximo en el centro es el

doble que el anterior, es decir:vd

t 4

2 =

c) Con los dos extremos fijos hay cambio de fase enambos. Como se aprecia en la figura el mnimo centralse produce en vd t /= , y el mximo en un tiempo:

vd t 23 =

ONDAS QUE VIAJAN EN LA MISMADIRECCION.Se aplicar el principio de superposicin a dos ondasarmnicas que viajan en la misma direccin en ciertomedio.

Ondas con la misma Amplitud y frecuencia.Si el sentido de avance es el del semieje positivo de las

x, y tienen la misma frecuencia, longitud de onda yamplitud, pero difieren en fase se pueden expresar susfunciones de onda individuales como

( )kxt A y = sen1 e( ) = kxt A y sen2

La funcin de onda resultante y se obtiene haciendo21 y y ytotal +=

( ) ( ) += kxt Akxt A sensen Empleando la identidad trigonomtrica siguiente:( ) ( )

2sen

2cos2sensen B A B A B A +=+

Se obtiene

=2

sen2

cos2 t kx A ytotal

Luego, observamos el movimiento resultante esnuevamente ondulatorio, pues es de la forma

( )vt x f o bien ( )t kx f .


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17

La onda resultante tiene igual frecuencia y longitud de

onda que sus componentes, pero con desfase2

respecto a 1 y y 2 respecto a 2 y

La amplitud de este movimiento ondulatorio es

2cos2 A , vemos que es diferente al de sus

componentes y con la caracterstica fundamental quedepende de .

Si = 0, 2, 4..., entonces 12

cos = y la

amplitud de la onda resultante es A2 . En otras palabras, la onda resultante es el doble de amplia quelas ondas individuales. En este caso se dice que lasondas estn en fase en todos los puntos, es decir, lascrestas y los valles de las ondas individuales ocurrenen las mismas posiciones. Este tipo de superposicin

se denominainterferencia constructiva.

Si = (o cualquier mltiplo impar de veces) ,

entonces 02

cos = , y la onda resultante tieneamplitud cero en cualquier parte. En este caso la crestade una onda coincide con el valle de la otra y susdesplazamientos se cancelan en cada punto. Este tipode superposicin se denominainterferenciadestructiva.

Si


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Ejemplo 27. Dos focos puntuales F y F', separadosentre si 1 m, emiten en fase sonidos de 500 Hz defrecuencia con la misma intensidad.a) Obtener la posicin de los puntos, si los hay, en losque no se registra sonido. b) Obtener la posicin de los mximos y mnimos deintensidad que se registran a lo largo del segmento FF'.(v = 340 m/s).

x=D

Solucin.a) Si consideramos que ambos sonidos se propagancon frentes de ondas esfricos y que por tanto laamplitud disminuye con la distancia, para que se produzca anulacin total en un punto, ste deberequidistar de F y F', con lo que los nicos puntosserian los de la mediatriz del segmento F F'; pero precisamente en esos puntos las dos amplitudes sesuman por estar los focos en fase. En consecuencia, nohay ningn punto a distancia finita en el que laintensidad resultante sea nula. b) Desde un punto P del segmentoF' a distancia xde F, la diferencia de caminos a los focos es:

D x x D x x x x === 2)(21 MXlMOS:

n x = f v

n D x =2 f vn D

x22

+=

1=n m16,0500340

21

21

1 == x

0=n m50,02 = x 1+=n m84,03 = x

Los mximos estn en valores de x igual a 0,16; 0,50;0,84 mMNIMOS:

( )2

12 += n x ( ) f vn D

x4

122

++=

1=n m33,0500340

41

21

1 == x

0=n m67,02 = x Los mnimos estn en valores de x igual 0,33 m; 0,67m.Los restantes mximos y mnimos se localizan fueradel segmentoF F' .

Ejemplo 28. Dos Fuentes separadas 20 m vibran deacuerdo a las ecuaciones

t y sen06,01 = m t y sen02,02 = mEllas envan ondas de velocidad 3 m/s a lo largo deuna varilla. Cul es la ecuacin del movimiento deuna partcula a 12 m de la primera fuente y a 8 m de lasegunda?Solucin.

Referido a la figura. La fuente 1 enva ondas en elsentido +x, tal que

( )t kx A y = 111 sen .La fuente 2 enva ondas en el sentido - x, tal que

( )t kx A y += 222 sen

comos

rad = , y

sm3==

k v

m3 ==

vk

Tambin A1 = 0,06 m y A2 = 0,02 mLa perturbacin resultante en el punto

x1 = 12 m, x2 = -8 m es.21 y y y +=

=

++

t xt x 21 3sen02,03sen06,0

=

++

t t

38sen02,0

312sen06,0

=

+3

2sen02,0sen06,0 t t

= + t t t cos23sen

2102,0sen06,0

= t t cos0173,0sen05,0

Ejemplo 29. Dos fuentes F 1 y F 2, que vibran con lamisma fase producen en la superficie libre del aguaondas representada por las ecuaciones:

( ) xt y 2,020sen81 = (en cm)( ) xt y 4,040sen42 = (en cm)

Determine la amplitud de la onda que se produce por interferencia en un punto P que dista 25 cm de F 1 y 15cm de F 2.Solucin.


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Usando la relacin( ) B A B A B A sencoscossensen = :

( ) xt xt y 2,0sen20cos-2,0cos20sen81 = ( ) xt xt y 4,0sen40cos-4,0cos40sen42 =

En el punto P ( x1 = 25 cm, x2= 15 cm):

( ) 5sen20cos-5cos20sen81 t t y = ( ) sen640cos-6cos40sen42 t t y =

Con 0cos5sen == , 1cos5cos == y 02cos6sen == , 12cos6cos == Obtenemos:

( ) t t y 2sen820sen-81 == ( ) t t y 2sen440sen42 ==

La suma:t t y y y 2sen42sen821 +=+= =

t 2sen4 La amplitud de la onda que se produce por interferencia en un punto P es 4 cm.

Ondas que difieren tanto en Frecuencia como enAmplitudSean las ondas y1 e y2 que difieren tanto en frecuenciacomo en amplitud

( ) 111111 sensen A xk t A y == e( ) 222222 sensen A xk t A y ==

Si las ondas componentes difieren tanto en frecuenciacomo en amplitud, existen varios modos decombinarse, de modo que todos ellos exigen ciertahabilidad en el clculo trigonomtrico. Si ponemos

+= 12 y desarrollamos( ) sencoscossensen 111 +=+

21 y y y += = 2211 sensen A A + = ( ) ++ 1211 sensen A A = ( ) 12121 cossensencos A A A ++ (1)

Esta expresin puede recombinarse en la forma de unasola onda

( ) += 1sen A y = 11 cossensencos A A + (2)

Igualando coeficientes de (1) y (2) obtenemos lasecuaciones:

coscos 21 A A A += y sensen 2 A A = Elevndolas al cuadrado y sumando obtenemos elvalor de A:

cos2 212221 A A A A A ++= Y dividindolas obtenemos el valor de :

cos

sentan21

2

A A A+

=

Si se desea la onda resultante puede sumarse a unatercera onda y as sucesivamente. En general estasuperposicin no es simple, puesto que tanto laamplitud como la fase resultante pueden ser funcionesdel tiempo y de la posicin.

Ejemplo 30. Dos ondas armnicas de amplitudes 2 y4 cm viajan en la misma direccin y tienen idnticafrecuencia; si su diferencia de fase es/4, calclese laamplitud de la onda resultante.Solucin.

A una diferencia de fase4

= , le corresponde una

distancia:82

===

k x

y como la amplitud de la onda resultante verifica: cos2 2122212 ooooo A A A A A ++=

Sustituyendo:

cos2 212

2

2

1 ooooo A A A A A ++=

= cm6,54

cos16164 =++

Ejemplo 31. El aparato de Quincke consta de dostubos en U, pudindose deslizar las ramas de uno deellos dentro de las ramas del otro. En las proximidadesde la ramificacinA se produce un sonido que se escucha poniendo elodo en B. Deslizando el tubo 1 dentro del 2, seencuentran posiciones en las que no se percibe sonido;por qu? Si el desplazamiento lateral que hay que dar al tubo 1, desde que no se percibe sonido hasta que, de

nuevo, se deja de percibir, es de 25 cm, cules son lalongitud de onda, la frecuencia y el perodo de lasondas sonoras? Velocidad de propagacin del sonidoen el aire, 340 m/s.


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20

Solucin. No se percibir sonido cuando la diferencia derecorridos A 1 B y A 2 B sea un nmero impar de semilongitudes de onda. Si en tales condiciones se desplazael tubo 1 hasta dejar de nuevo de per cibir sonido, elexceso de recorrido que hace el sonido, con respecto ala posicin anterior, es una longitud de onda.En la segunda posicin el sonido ha recorrido en larama A 1 B, 50 cm ms que en la A 2 B (25 en la partesuperior y de 1 y 25 en la inferior). Por tanto: =50 cm

Hz6805,0

340===

v

f

s68011

== f

T

ONDAS IGUALES VIAJANDO EN SENTIDOSOPUESTOS. ONDAS ESTACIONARIASUn tipo de superposicin de ondas especialmenteinteresante es el que tiene lugar entre dos ondas deidnticas caractersticas pero propagndose en sentidocontrario. Las ondas resultantes reciben el nombre deondas estacionarias, pues no implican un movimientode avance de la perturbacin

Este tipo de ondas estn asociadas a reflexiones en loslmites de separacin de medios de propiedadesdiferentes. Dichos lmites pueden ser bsicamente dedos tipos, libres y fijos. El nudo de unin de doscuerdas de diferente grosor sera un ejemplo de lmitelibre; por el contrario, el extremo de la cuerda unido aun punto fijo en una pared sera un lmite fijo.Vimos anteriormente que en unlmite librela ondareflejada tiene las mismas caractersticas que la ondaincidente, tan slo difieren en el sentido de avance dela perturbacin. Por el contrario, en unlmite fijolaonda reflejada posee las mismas caractersticas que laincidente, pero est desfasada radianes respecto a laonda incidente

Consideremos en primer lugar las ondas estacionarias(que se propagan en el eje x) por reflexin en un lmitelibre. La funcin de onda resultante ser:

( )t kx A y = sen1 e ( )t kx A y += sen2 , lasuma de estas ondas nos da:

21 y y ytotal +=( ) ( )t kx At kx A ++= sensen , haciendo uso

de la suma trigonomtricat kx A ytotal cossen2=

El movimiento resultante no es ondulatorio, pues no se propaga al no ser de la forma( )vt x f .Una partcula en cualquier punto dado x ejecutamovimiento armnico simple conforme transcurre eltiempo. Ntese que todas las partculas vibran con lamisma frecuencia, pero con la particularidad que laamplitud no es la misma para cada partcula del medio,con la posicin (en un movimiento ondulatorio alamplitud es igual para cualquier punto).La amplitud esta dada por 2 A senkx.

Los puntos de mnima amplitud (nula) se llamannodos. En ellos se debe cumplir:

0sen =kx nkx =

n x =2

2

n x =

Paran = 0, 1, 2, 3, .

Los puntos de mxima amplitud ( 2 A) se llamanvientreso antinodos. En ellos se debe cumplir:

1sen =kx ( )2

12 += nkx

( )2

122 += n x

( )4

12 += n x Para n = 0, 1, 2, 3,.

As pues, tanto los nodos como los vientres aparecen aintervalos de longitud/2, mediando entre un nodo yun antinodo hay una distancia de/4.

La figura muestra la envolvente de una ondaestacionaria.Al no propagarse las ondas estacionarias, notransportan energa.La energa se mantiene estacionaria, alternando entre

cintica vibratoria y potencial elstica. Por lo tanto elmovimiento repetimos no es ondulatorio, el nombre proviene del hecho que podemos analizarlo comosuperposicin de ondas.

Condiciones de contornoLas condiciones en los lmites, llamadascondicionesde contorno , imponen restricciones a la hora deformarse ondas estacionarias en el mediocorrespondiente. As, si los lmites son fijos, en ellos setendrn que dar nodos necesariamente; si amboslmites son libres se darn antinodos, y si uno es libre y


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21

el otro es fijo se habrn de dar antinodo y nodorespectivamente.

Lmite fijo - Lmite fijo: (como en los instrumentosmusicales, violn, arpa, etc., la cuerda esta fija en susdos extremos)

En este caso las condiciones a imponer son que, si lalongitud del medio es L, tanto en x=0 como x=L sehabrn de dar nodos. Aplicando la condicin de nodo

en un lmite fijo, resulta:

2nn L

=

n L

n

2=

o en trminos de frecuencias,

nn

v f

=

Lv

n f n 2=

Paran = 1, 2, 3, 4,..Por tanto, tanto la frecuencia como la longitud de ondaslo pueden tomar determinados valores, es decir,estn cuantificadas. La frecuencia ms baja de la serierecibe el nombre defrecuencia fundamental, y lasrestantes, que son mltiplos de la fundamental, reciben

el nombre dearmnicos.

Estas frecuencias posibles en la cavidad formada por los lmites fijos, se denominanmodosde la cavidad

Ejemplo 32. Por un medio unidimensional (direccindel eje O x) se propagan dos ondas transversales,vibrando en el plano xO y y dadas por:

( )kxt A y += sen1 , ( ) += kxt A y sen2 . a) Comprobar que la superposicin de ambas da lugar a una onda estacionaria. b) Si en x = 0 ha de haber un nodo de la ondaestacionaria, comprobar que el valor de debe ser .

c) Calcular la velocidad de un punto del medio cuyadistancia al origen sea 1/4 de la longitud de onda.Solucin.a)

21 y y y += ( ) ( ) +++= kxt Akxt A sensen

+= 2cos2sen2

kxt A (1)

Llamando: ( )

=2

cos2 kx A y xo

+=2

sen t y y o

Por lo tanto, la expresin (1) es la ecuacin de la ondaestacionaria puesto que cualquier partcula en un puntodado x efecta un movimiento armnico simple altranscurrir el tiempo, vibrando todas las partculas conidntico periodo; y cada partcula vibra siempre con lamisma amplitud, no siendo la misma para cada unasino que varia con la posicin(x) de cada partcula.

b) ( ) 00 =o y 02cos = =

c) t yt yt

yv oo y

sen

2cos =

+=

=

A A yo 2242cos2

4=

=

Finalmente t Av y sen2= En tal punto existe un vientre.

Ejemplo 33. La onda ( )t kx A y = sen1 viaja por una cuerda. Despus de reflejarse se convierte en( )t kx A y += sen

22. Que es lo que se obtiene de

la combinacin de estas dos ondas. Solucin.Hagamos 21 y y y += .

( ) ( )t kx At kx A y += sen2

sen =

( ) ( ) ( )t kx At kx At kx A ++ sen2

sen2

sen2

= ( ) kxt At kx A

cossensen2 El primer trmino es una onda viajera y el Segundouna onda estacionaria.

Ejemplo 34. Calcular la frecuencia del sonidofundamental emitido por una cuerda de 1 m delongitud y 1 mm de dimetro, cuya densidad es 2g/cm3 y est tensa por un peso de 9231,6 g.


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22

Solucin.La frecuencia del sonido emitido por una cuerda es:

T

Ln

f n 2=

( )

= 28,92316,9 sm

kg T = 90,47 N

==

4102000

6

3

mkg

A

=mkg 31057,1

( ) 31057,1 47,90121 = f = 38,8 Hz

Ejemplo 34.Se produce una onda estacionaria en unalambre tensado de longitud L. La vibracincorresponde a su tercer armnico. Si at = 0, todos los puntos de la cuerda estn en su posicin de equilibrio( y = 0, para cualquier partcula de la cuerda). a) Cual es la funcin que identifica dicha ondaestacionaria. (ubicar el origen de coordenadas en elextremo izquierdo de la cuerda). b) En que relacin estn las amplitudes de oscilacinde puntos de la cuerda en las posiciones x = L/4 y x = L/2.Solucin.a) La onda estacionaria que se produce es de la forma

( ) ( )21 cossen2 ++= t kx A y La condicin que parat = 0, todos los puntos de lacuerda cumplen con y = 0.Se cumple con 01 = y 22 = Luego

( )

++=2

cos0sen2 t kx A y

= t kx A sensen2

Como 23

= L L32

=

t x L

A y cos3sen2=

b) La amplitud est dada por:

x L

A Amx 3sen2=

Para4

L x =

A A L

L

A Amx 2

4

3sen2

4

3sen21 ===

.

Para2

L x =

2A23sen2

23sen22 ===

A L

L A Amx .

22

22

2

1 == A A

A A

mx

mx

Ejemplo 36. Una cuerda est estirada por un peso de10 N. Calcular el peso que debe tensar a otra cuerda dela misma sustancia, la misma longitud y doble radio para que emita la octava aguda de la que produce la primera. Se supone que ambas emiten el sonidofundamental.Solucin.

2r A == ,

( ) 22

42'' r L

Lr Lm === = 4

T

L f

21

= y

''

212'

T

L f f ==

4'

212' T L

f f ==

Relacionando f y f :

T T

T L

T L

f f

f f '

21

21

4'

21

2'===

16' =

T T

ComoT = 10 N,T = 160 N

Ejemplo 37.Una cuerda horizontal, de longitudl =0,80 m, esta sometida en uno de sus extremos aoscilaciones sinusoidales de frecuencia f = 120 Hz,esta frecuencia corresponde a uno de los modosresonantes de la cuerda y se observa que entre susextremos aparecen 4 antnodos vientres cuyaamplitud de oscilacin es A = 2 cm. Calcular:


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23

a) La velocidad de propagacin de las ondas. b) La velocidad y aceleracin mxima que puedealcanzar un punto de la cuerda.c) La amplitud de oscilacin de un punto de la cuerdasituado a 0,050 m de un extremo de la cuerda.d) La amplitud de oscilacin de un punto de la cuerdasituado a 0,125 m de un extremo de la cuerda.

Solucin.

m40,0= , f = 120 Hz, a) La velocidad de propagacin de las ondas.

m/s4812040,0 === f v b) La velocidad y aceleracin mxima que puedealcanzar un punto de la cuerda.

t Adt dyv sen== m/s8,424002,0 === Avmx

t Adt

yd a sen22

2

==

( ) 2222 m/s115224002,0 === Aa mx c) La amplitud de oscilacin de un punto de la cuerdasituado a 0,050 m de un extremo de la cuerda.Ecuacin de una onda estacionaria:

t kx A y cossen2= La amplitud est dada por:

x Akx A 2sen2sen2 =

Para 0,050 m

m028,04

sen04,0050,040,0

2sen04,0 =

=

d) La amplitud de oscilacin de un punto de la cuerdasituado a 0,125 m de un extremo de la cuerda.Para 0,125 m

m037,04

sen04,0125,040,0

2sen04,0 =

=

Ejemplo 38.Un alambre de aluminio de 0,601 = L cm y con una superficie transversal 1,00x10-2 cm2, estconectado a un alambre de acero de la mismasuperficie. El alambre compuesto, cargado con un bloquem de 10,0 kg de masa, est dispuesto como seindica en la figura, de manera que la distancia2 L dela unin con la polea de sostn es 86,6 cm. Se crean

ondas transversales en el alambre utilizando una fuenteexterna de frecuencia variable.a) Determine la frecuencia ms baja de excitacin enque se observan las ondas estacionarias, de modo quela unin en el alambre es un nodo. b) Cul es el nmero total de nodos observados enesta frecuencia, excluyendo los dos en los extremos delalambre?La densidad del aluminio es 2,60 g/cm3, y la del aceroes 7,80 g/cm3.

Solucin.La frecuencia para ondas estacionarias en una cuerdafija en los dos extremos es

Lv

n f n 2= , como para una cuerda tensa

T

v = ,

obtenemos: T

Ln

f n 2=

Como el punto de unin de los alambres tiene que ser un nodo, tenemos 1n nodos para el aluminio y 2n nodos para el acero.Siendo la frecuencia f , la tensinT y la seccin dealambre S comn para los dos alambres, tenemos:

Para el aluminio11

1

2 T

Ln

f = , para el acero

2222

T Ln

f =

Luego22

2

11

1

22 T

LnT

Ln

=

La masa por unidad de longitud

S S V m

LS mS

Lm

=

===

Reemplazando las expresiones de1 y 2 :

22

2

11

1

T

LnT

Ln

= 2

1

2

1

2

1

L L

nn

=

Reemplazando valores, obtenemos: 4,02

1 =nn

Como la menor es la frecuencia se obtiene con elmenor valor den, tenemos que buscar los menoresvalores den1 y n2 que tengan la relacin 0,4,

52

2

1 =nn

Correspondiendo 21 =n y 52 =n .


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24

a) Usando 21 =n , obtenemos la frecuencia que produce un nodo en la unin

( )( )

( )63111

10106,28,910

6,022

2 ==

T

Ln

f

= 324 Hz b) El nmero total de nodos observados en estafrecuencia, excluyendo los dos en los extremos delalambre, se pueden contar en el esquema de la figura,son 6 (hay un nodo comn para el aluminio y para elacero).

Ejemplo 39. Dos ondas armnicas se escriben por medio de:

( )

= t x

st x y 402

co015,0,1 ,

( )

+= t x st x y 402

co015,0,2

Donde 2,1, ye y x estn en metros yt en segundos.Dichas ondas se propagan en una cuerda tensa de granlongitud e interfieren para producir una ondaestacionaria.a) Determine la longitud de onda, frecuencia y rapidezde propagacin de las ondas que interfieren. b) Determine la funcin de la onda estacionaria.c) Determine la posicin de los nodos y antinodos en laonda estacionaria.d) Cul es la amplitud de la onda en x = 0,4 m?

Solucin.a) La onda viajera es de la forma

( )

= t f x s At x y 22co,

Luego comparando:

212

=

4= = 12,56 m

402 = f 20

= f = 6,37 Hz

f v = =( )

204 = 80 m/s

b) 21 y y y += ( )

++

= t x

st x

st x y 402

co015,0402

co015,0,

( )

++

= t x

st x

st x y 402

co402

co015,0,

Siendo( ) ( ) coscos2coscos =++ :

( )

= t s x

st x y 40co2

2co015,0,

= t s x

s 40co2

co030,0Funcin de la onda estacionariac) Determine la posicin de los nodos y antinodos en laonda estacionaria.

Los nodos son para 02

co = x s

2,.....

25,

23,

22

n x =

n x = ,.....5,3,

Los antinodos son para 12

co = x s ,

n x 2....4,2,02

=

n x 2,....6,4,2,0 = d) Amplitud de la onda en x = 0,4 m.

( )98,0030,024,0

co030,0 == s A

= 0,0294 m = 2,94 cm

Ejemplo 40. En el dispositivo de la figura, una masam es colgada de una cuerda que pasa sobre una polea.El otro extremo de una cuerda es conectada a ungenerador de frecuencia f fija. La cuerda tiene unalongitud L de 2 metros y una densidad lineal de 0,002kg/m. Se observan armnicos nicamente cuando lasmasas colgadas son 16 kg y 25 kg.a) Cules son los armnicos producidos por estasmasas?Cul es la relacin entre las tensiones y el nmeroarmnico? b) Cul es la frecuencia del generador?c) Cul es el valor mximom para que se produzca unarmnico?

Solucin.a) Cules son los armnicos producidos por estasmasas?

Los armnicos se producen param1 = 16 kg y param2 = 25 kg.

Ln =2

n L2=

g m f

n L

f 11

12

== ,

g m

f n L

f 22

22

==

Luego:54

2516

2

1

1

2 ===mm

nn

Los armnicos son el quinto y el cuarto.


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25

Cul es la relacin entre las tensiones y el nmeroarmnico?

g mT 11 = , g mT 22 = y 2516

2

1

2

1 ==mm

T T

b) Cul es la frecuencia del generador?

g m

Ln

f 11

2= ( )( )002,0

8,916225

= f = 350Hzc) Cul es el valor mximo dem que produce unarmnico?

mg f

n L

f ==2

g n f L

m 2224 =

El mayor valor dem se produce conn = 1( ) ( ) ( )

( ) ( )8,91002,035024

2

22

=m = 400 kg

Ejemplo 41. El puente colgante de Tacoma, deaproximadamente 1810m de longitud, fue abierto altrfico el 1 de julio de 1940, luego de 2 aos deconstruccin, uniendo Tacoma y Gig Harbor. 4 mesesdespus el puente colaps durante una tormenta el 7 de Noviembre de 1940. Durante la resonancia se observal puente oscilando en su segundo modo de vibracin arazn de 60 oscilaciones cada minuto.

Determine:a) la longitud de onda de la onda estacionaria formada. b) la velocidad de propagacin de la onda.c) el mdulo de corte del puente, asumiendo que ladensidad promedio del puente era de 5xl03kg/m3.d) la ley de movimiento vertical de un carro que sehallaba estacionado a un cuarto de la longitud del puente desde uno de sus extremos.Solucin.a)

m1810= b) ( )( )s/1m1810== f v = m/s1810

c) Como G

v = 2vG = =

( ) ( )32 1051810 = 2101063805,1 m N

d) Para ondas estacionarias t kx A y cossen2=

Para4 = x , 1sen =kx , luego

t A y cos2= ft A y 2cos2=

Ejemplo 42. Un lazo de cuerda se gira a una altavelocidad angular , de modo que se forma uncrculo tenso del radio R. Se forma un pulso (como semuestra en la figura) en la cuerda girante. a) Demostrar que la tensin en la cuerda es

22 RT = , donde es la densidad lineal de lacuerda. b) Bajo que condiciones el pulso permaneceraestacionario relativo a un observador en tierra.

Solucin.a) Segn se muestra en figura tomemos ACB una pequea seccin de la cuerda, que subtiende un ngulo

en O, el centro del lazo. Elegimos C en el punto

medio del arco.

Aplicando la segunda ley de Newton:

02

cos2

cos == A B H F F F T F F B A ==

c A BV ma F F F == 2sen2sen

De esta ltima ecuacin:Con T F F B A == , == Rm l y

22sen :Obtenemos:


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26

( ) R RT 22

2 =

22 RT = b) En una cuerda con densidad lineal y tensinT unaonda viaja con velocidad

T

v = = R R

=22

.

Luego el pulso debe viajar con una velocidad

T

v = relativa a la cuerda. Luego, si el pulso se

mueve en sentido horario con respecto a la cuerda, permanecera estacionario con respecto a tierra.

Lmite libre. Lmite libre: (un tubo abierto en ambosextremos, como en los instrumentos musicales deviento, ejemplo, la flauta).

En este caso las condiciones a imponer son que, si lalongitud del medio es L, tanto en x= 0 como x=L se

habrn de dar antinodos. Aplicando la condicin deantinodo en un lmite libre, resulta:

2nn L

=

n L

n

2=

o en trminos de frecuencias,

v f nn

=

Lv

n f n 2=

Paran = 1, 2, 3, 4,..Por tanto, igual que antes la frecuencia y la longitud deonda slo podrn tomar determinados valores, yestarn cuantificadas. La frecuencia ms baja de laserie recibe el nombre defrecuencia fundamental, ylas restantes, que son mltiplos de la fundamental,reciben el nombre dearmnicos.Se representan acontinuacin los cuatro primeros.

Limite fijo. Lmite libre: (una cuerda con un extremocon libertad de movimiento y el tubo cerrado en unextremo).

En esta situacin se tendr un nodo en x=0 y unantinodo en x=L , lo que implica que en la longitud L de la cuerda han de caber un nmero impar de cuartosde onda. Aplicando la condicin de antinodo reflexinen un lmite fijo resulta:

( )4

12 nn L = 12

4

=n L

n

o, en trminos de frecuencias,

nn

v f

= ( ) Lvn f n 4

12 =

Paran = 1, 2, 3, 4,..que representan la serie de ondas permitidas por lascondiciones de contorno. Se representan acontinuacin los cuatro primeros.

Ejemplo 43. Calcular la frecuencia de los sonidosemitidos por un tubo abierto y otro cerrado de 1 m delongitud, produciendo el sonido fundamental. Sesupone .que la velocidad del sonido en el aire es 340m/s.Solucin.


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27

Para tubo abierto (n = 1):

( )12340

2==

Lv

f = 170 Hz

Para un tubo cerrado(n = 1):

( )14340

4==

Lv

f = 85 Hz

Ejemplo 44. Calcular la longitud de un tubo abiertoque lleno de aire y a 0 C(v = 330 m/s) emite como sonido fundamental el DO3.Solucin.Frecuencia del DO 3 = 264 Hz:

Lv

f 2

= f v

L2

= =( )2642330

= 0,625 m

Ejemplo 45. Un tubo de 1 m de largo est cerrado por uno de sus extremos. Un alambre estirado se colocacerca del extremo abierto. El alambre tiene 0,3 m delargo y una masa de 0,01 kg. Se sostiene fijo en susdos extremos y vibra en su modo fundamental.Pone a vibrar a la columna de aire en el tubo con sufrecuencia fundamental por resonancia.Encontrar:a) La frecuencia de oscilacin de la columna de aire. b) La tensin del alambre.Velocidad del sonido en el aire 340 m/s.Solucin.a) La frecuencia fundamental (n =1) en el tubo sonorocerrado valdr:

( )14340

4==

Lv

f = 85 Hz

b) Dicha frecuencia ser la fundamental que se

produce en la cuerda, por lo que:

T

L f

21

= ,mkg

301

3,001,0

=== Lm

224 f LT = = ( ) ( )

301853,04 22 = 86,7 N

Ejemplo 46.El tubo de un rgano representado en lafigura tiene 45 cm de longitud y las onda estacionariaque se produce por el silbato en espacio libre es de unalongitud de onda de 60 cm. Dicho tubo se puedeconsiderar abierto en el extremo izquierdo y cerrado enel derecho.

a) Mustrese en un diagrama al interior del tubo laonda estacionaria que se produce ubicando la posicinde las crestas nodos y vientres de amplitud. b).Si la mxima amplitud de oscilacin de las partculas de aire al interior del tubo es de 10-6 cm.cul ser la mxima amplitud que podrn alcanzar las partculas de aire en el centro del tubo?

Solucin.La frecuencia libre es

Hz6,5666,0

340===

v

f ,

rad47,106,0

22===

k

a) Diagrama al interior del tubo la onda estacionaria para las tres primeras resonancias.

b).Si la mxima amplitud de oscilacin de las partculas de aire al interior del tubo es de 10-6 cm.cul ser la mxima amplitud que podrn alcanzar las partculas de aire en el centro del tubo?

t kx A ytotal cossen2= La mxima amplitud de oscilacin es en un vientre

1sen =kx y 1cos =t , luego: A210 8 = m105,0 8= A

La mxima amplitud que podrn alcanzar las partculas de aire en el centro del tubo

cm5,22= x y 1cos =t ( ) kx A y xmx sen2225,0 ==

= ( ) ( )( )[ ]225,07,10sen105,02 8 = 0,71 x 10-8 m

Ejemplo 47. Un ingeniero naval quiere averiguar siun tubo que presenta externamente una boca circular abierta est abierto o cerrado en el otro extremo que nologra ver. Para esto decide usar una fuente sonora defrecuencia variable. Tom para ello dos frecuencias deresonancia consecutivas, que le dieron los siguientesvalores: 125 y 175 Hz.a) Cul es el razonamiento en que se bas? b) A qu conclusin lleg?c) Para qu frecuencia resonara en estadofundamental?d) Cree que tambin pudo averiguar la longitud deltubo. Si se puede cul es?Solucin.a) Las frecuencias de resonancia estn dadas:

Para tubo abierto: v Ln

f 2

= .


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28

Para tubo cerrado en un extremo: v L

n f

4)12(

=

Paran = 1, 2, 3, 4, 5, .Y lo que tenemos que hacer es analizar para 125 y 175Hz, con cul de las condiciones concuerdan. b) Para 125 correspondera (n 1) y para 175corresponderan.

De tal manera que175125

1 nn = , se cumple paran = 3,5 valor que no es entero, lo que descarta esta

posibilidad. No cumple para tubo abiertoHaciendo lo mismo para el caso de tubo cerrado

17512

12532 = nn , se cumple paran = 4, valor entero

que si cumpleEL TUBO ES CERRADO.

c) Como v L

n f

4)12( =

La frecuencia fundamental es paran = 1

v L

f 41

= , f = 25 Hz

d) Si, ya que 254

= Lv

, y100

v L = ,

Considerando la velocidad el sonidov = 340 m/s, seobtiene L = 3,40 m.

LOS INSTRUMENTOS MUSICALESLa formacin de ondas estacionarias est relacionadacon los instrumentos musicales tanto de cuerda comode viento. As, el sonido generado por un arpa esconsecuencia de la propagacin por el aire de las ondasestacionarias que se producen, entre dos lmites fijos,en las diferentes cuerdas, de modo que los graves(frecuencias bajas) se producirn en las cuerdas mslargas y los agudos (frecuencias altas) en las cuerdasms cortas. En los rganos, las ondas estacionarias quese forman en los tubos se corresponden con lasformadas por reflexin en dos lmites, uno fijo y otrolibre. Por tanto, cuanto mayor sea la longitud delrgano menor es la frecuencia: los tubos largoscorresponden a frecuencias bajas (sonidos graves) ylos cortos a frecuencias altas (sonidos agudos)

OSCILACION DE VARILLAS. DIAPASNVarilla fija por un extremo.Puesta en oscilacin, alorganizarse la onda estacionaria se debe tomar un nodoen el extremo fijo y un vientre en el opuesto. Losrazonamientos que se realizan para un tubo cerrado sonvlidos para este caso; por lo tanto, una varilla queoscila fija por un extremo responde a la ley

( )4

12 += nl Varilla fija por un punto interior. Si se hace oscilar una varilla fija por un punto interior para que se or-ganice una onda estacionaria, se formar all un nodo yvientres en los extremos. Todo esto depende exclusi-

vamente del punto por el que se sostenga. Este punto(siguiendo el razonamiento de tubos abiertos), deberestar situado en la mitad, a 41 a 61 , etctera, de unextremo.

Tngase presente que varillas de igual longitud,idnticamente .fijadas, pueden producir sonidos dedistinta frecuencia si se vara la naturaleza de 1asustancia, las dimensiones o la forma de excitacin.La frecuencia fundamental depende de la velocidadde propagacin. Esta observacin es vlida para lostubos sonoros ya que, modificando la naturaleza y lascondiciones del gas, se modifica la velocidad de propagacin.

DIAPASNUn aparato de aplicacin en acstica es el diapasnque consta de una barra metlica en forma de U,soportada en su parte media.

Si se lo excita, entra en vibracin formndose unaonda estacionaria; los nodos estarn ubicados a 2/3 desu longitud al emitirse el sonido fundamental. Lafrecuencia del diapasn depende de la elasticidad delmaterial y su densidad.

Para aumentar la intensidad del sonido producido, semonta el diapasn sobre una caja. Si la caja estcerrada en un extremo, su longitud es de la longitudde onda del sonido en el aire emitido por el diapasn.Si la caja est abierta en los dos extremos la longitudde la caja es igual a la mitad de dicha longitud de onda.Al vibrar, las .dos ramas de un diapasn se mueven enfases opuestas. Cuando las ramas se acercan, el puntoms bajo del pie del diapasn baja, y sube cuando lasramas se alejan. Este pie se encuentra afectado de un

movimiento vibratorio de direccin vertical lo que puede comprobarse apoyndolo en la mano. Es asfinalmente, como se transmite la vibracin deldiapasn a la columna de aire contenida en la caja.Los diapasones se utilizan como patrones de registrode frecuencia, pues pueden construirse de manera queno sean afectados por variaciones de temperatura. Es posible lograr diapasones capaces de mantener unafrecuencia de vibracin con una precisin de 1 en100000.

Resonancia


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Se ha visto que un sistema tal como una cuerdaestirada es capaz de oscilar en uno o ms modosnaturales de vibracin. Si se aplica una fuerza peridica a este sistema, la amplitud resultante delmovimiento del sistema ser mayor cuando lafrecuencia de la fuerza aplicada sea igual oaproximadamente igual a una de las frecuenciasnaturales del sistema, que cuando la fuerza excitadorase aplique en alguna otra frecuencia.Las correspondientes frecuencias naturales deoscilacin de un sistema generalmente se conocencomofrecuencias resonantes

Experimento de resonancia.En la figura se muestrandos diapasones montados en sendas cajas de iguallongitud, lo que indica que ambos tienen igualfrecuencia. A estas cajas se las llama de resonancia, pues tienen 1a misma longitud que un tubo sonorocapaz de emitir la misma nota que el diapasn.

Enfrentadas las aberturas de las cajas y excitado undiapasn, se comprueba que el otro entraespontneamente en vibracin, En efecto, si se detienecon la mano el diapasn excitado en un principio, se percibe ntidamente el sonido producido por el otro y,si se libera el diapasn detenido, ste vuelve a vibrar,lo que podr percibirse acercando levemente la mano alas ramas del diapasn. Se ha producido un fenmenode resonancia acstica.Si existe un cristalero cerca podr comprobar quealgunas copas mantienen la vibracin por ms tiempoque otras y que durante algunos instantes la amplitudde la vibracin va en aumento. Lo que sucede es queun cuerpo puede vibrar, entre otras razones, por larecepcin de ondas. Como cada cuerpo tiene unafrecuencia propia d vibracin, si sta coincide con lade la onda recibida la vibracin se mantiene

ONDAS DE DIFERENTE FRECUENCIAVIAJANDO EN EL MISMO ESPACIOLa figura ilustra la suma de dos ondas sinusoidales defrecuencia y amplitud diferentes. Esta onda resultantemantiene la frecuencia del componente ms grave,

pero con el timbre alterado

PULSACIONES O BATIDOS.Cuando dos fuentes de sonido que tienen casi lamisma frecuencia se hace sonar al mismo tiempo,ocurre un efecto interesante. Puede or un sonido conuna frecuencia que es el promedio de las dos. Sinembargo, la sonoridad de este sonido crecerepetidamente y despus decae, en lugar de permanecer constante. Estas variaciones repetidas enamplitud se denominanpulsacioneso batidos, y laocurrencia de pulsaciones es una caracterstica generalde las ondas. Si la frecuencia de una de las fuentes de ondas secambia, hay un cambio que corresponde en el grado enque vara la amplitud. Este grado se llama frecuenciade pulsacin. A medida que las frecuencias se hacenms cercanas, la frecuencia de pulsacin se hace mslenta. As, un msico puede afinar una guitarra a otrafuente de sonido escuchando las pulsaciones mientrasincrementa o disminuye la tensin en cada cuerda. A la postre, las pulsaciones se hacen tan lentas queefectivamente se desvanecen, y las dos fuentes estnen un tono.

Las pulsaciones se pueden explicar con facilidadconsiderando dos ondas sinusoidales y1 e y2 a partir de la misma amplitud A, pero de frecuencias diferentes

f 1 y f 2. El principio de superposici6n establece que laamplitud combinada y es la suma

capitulo 3. movimiento ondulatorio y ondas

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