Capítulo 4

Desarrollos en Serie de Taylor y de Laurent.El desarrol lo en serie de potencias, que comúnmente se restringe a potencias positivas en el campo real toma forma definitiva en el campo complejo y al mismo tiempo se generaliza a potencias negativas. Este capítulo trata sobre todas estas importantes cuestiones.

Esta primera sección sobre desarrollos en serie propiamente dichos trata específicamente sobre manipulación de funciones para obtener de la manera más inmediata y concreta el desarrollo en serie de funciones en cierto dominio. Es fundamental agarrar habilidad con este tipo de desarrollos para pasar a las aplicaciones de ellos, por ejemplo, al cálculo de ciertas integrales que no podemos calcular con los métodos de variable real.

Sección 1

CONTENIDO.

1. Serie de Taylor.

2. Serie de Laurent.

3. Desarrollo en serie en ∞.

4. Funciones enteras en C*.

Desarrollos en Serie de Taylor y de Laurent.

74

Problemas.

1) Hallar el desarrollo en serie de Taylor alrededor del

punto z0 = 0 de la función f (z) =1

z − 1 indicando la

región de convergencia del mismo y obtener a partir

de dicho desarrollo el de la función g(z) =1

(z − 1)2

indicando también su región de convergencia.

Solución.

Recordemos que ∀z ∈ C : |z | < 1 tenemos que

1 + z + z2 + z3 + … + zn + … =1

1 − z, (1)

igualdad que se llama serie geométrica. De aquí, es evidente que

f (z) =1

z − 1= − 1 − z − z2 − z3 − … − zn − …

si |z | < 1.

El lector podría argumentar que aquí no hemos desarrollado en serie de Taylor nada, pues no hemos escrito en ningún momento

f (z) =1

z − 1=

∞

∑n=0

f (n)(0)n!

zn.

La razón es que en general, las funciones

racionales de la forma p(z)q(z)

con p(z) y q(z) polinomios

suelen desarrollarse en serie a través del uso de la serie geométrica recién citada. Pero, ¿porqué esto responde a la cuestión del ejercicio? Por el teorema de unicidad del desarrollo en serie de Taylor.

Para resolver la cuestión de obtener el desarrollo

de g(z) =1

(z − 1)2 alrededor de z0 = 0 notemos que

g(z) = f′�(z). Luego, en base al teorema de derivación de series de Taylor tenemos que

−1(z − 1)2

= − 1 − 2z − 3z2 − … − nzn−1 − … (2)

75

si |z | < 1.

En ningún punto del borde de la región de convergencia, es decir, en ningún punto z : |z | = 1 es válido el desarrollo (1) ni el desarrrollo (2), pues allí los términos generales de la ser ies, zn y nzn−1 respectivamente, no tienden a cero.

Que el radio de convergencia de la serie de Taylor

de f (z) =1

z − 1 alrededor de z0 = 0 es R = 1 es también

una consecuencia del teorema que dice que el radio de convergencia de una serie de Taylor alrededor de z0 de f (z) es precisamente la distancia que hay desde z0 hasta la singularidad más cercana de f (z) al centro del desarrollo z0, siendo este radio infinito si no hay

ninguna singularidad de f (z) en todo el plano complejo, es decir, si la función es entera. En nuestro caso, como z0 = 0 y la única singularidad de f (z) es z = 1 obtenemos, en base a lo recién citado, que el radio de convergencia del desarrollo (1) es

precisamente R = 1. En la galería 4.1. vemos este dominio de convergencia típico de las series de Taylor.

76

El dominio de convergencia típico de una serie de Taylor es en general un círculo de la forma 0 < |z − z0 | < R. Algunas veces, en algunos puntos del borde también hay convergencia, pero esto no suele hacerse ni es de importancia para la teoría de las funciones analíticas.

Galería 4.1. Dominio de convergencia de la serie de Taylor alrededor de z0 = 0 de la función analítica en z0 = 0, f (z) =

1z − 1

.

□

2) Hallar exactamente la derivada de orden 10 en z0 = 0

de la función f (z) =1

(z + 2)(z − 1).

Solución.

Si desarrollamos en serie de Taylor alrededor de z0 = 0 a la función f (z) vemos que el coeficiente del

término z10 en dicho desarrollo es a10 =f (10)(0)

10!. Luego

la derivada de orden 10 pedida es

f (10)(0) = a10.10!. (1)

Desarrollando en fracciones simples de función racional f (z) vemos que

f (z) =−1/3z + 2

+1/3

z − 1

de lo cual obtenemos, para ir posicionándonos para aplicar una serie geométrica que

f (z) =−1/3

2(1 + ( z2 )

+1/3

z − 1

o lo que es lo mismo

f (z) =−1/6

1 + ( z2 )

−1/3

1 − z.

Aplicando entonces la serie geométrica a cada uno de estos sumandos obtenemos

f (z) =−16 (1 −

z2

+z2

4− … + (−1)n zn

2n+ …)

− 13

(1 + z + z2 + z3 + … + zn + …)

donde, puesto que el primer desarrollo es válido en z2

< 1 y el segundo en |z | < 1, tenemos que ambos

desarrollos son válidos en la región |z | < 1.

De aquí obtenemos que el coeficiente de z10 es este desarrollo es

77

a10 =−16

.1

210−

13

.1

o mejorando un poco la escritura

a10 = −13

. ( 1211

+ 1)es decir

a10 = −20496144

y entonces por la igualdad (1)

f (10)(0) = −20496144

.10!.

□

Se puede ver una solución on-line aquí.

3) Hallar el desarrollo en serie de Laurent en potencias

de z para la función f (z) =3z − 1

z2 − 4z + 3 de modo que sea

convergente en el punto z0 = − 2.

Solución.

Las singularidades de f (z) son los puntos para los cuales

z2 − 4z + 3 = 0

es decir, son los puntos z1 = 1 y z2 = 3.

Por eso tenemos tres posibles desarrollos de Laurent de f (z), a saber, los desarrollos en serie convergentes en los siguientes dominios :

D1 = {z ∈ C : 0 ≤ |z | < 1}

D2 = {z ∈ C : 1 < |z | < 3}

D3 = {z ∈ C : 3 < |z | < ∞}.

78

De esto sacamos que el que converge para z0 = − 2 es el desarrollo de Laurent en el dominio D2.

Obtengamos el desarrollo de f (z) =3z − 1

z2 − 4z + 3 en

fracciones simples. El mismo es

f (z) =3z − 1

z2 − 4z + 3=

−1z − 1

+4

z − 3.

Si tomamos la fracción −1z − 1

vemos, sacando

factor común z que la misma es (para z ≠ 0)

−1z − 1

=−1

z(1 − 1z )

=−1z (1 +

1z

+1z2

+ …)

válido en 1z

< 1, es decir, 1 < |z | .

Si tomamos la fracción simple 4z − 3

obtenemos,

sacando factor común 3 que

4z − 3

=−4

3(1 − z3 )

=−43 (1 +

z3

+z2

32+ …)

válido en z3

< 1, es decir, |z | < 3.

Luego la suma de esos desarrollos, que iguala precisamente a la función f (z) será convergente en la intersección de los dominios de convergencia del desarrollo de cada fracción simple, es decir será convergente en

D2 = {z ∈ C : 1 < |z | < 3}

y dicho desarrollo es

f (z) =−1z (1 +

1z

+1z2

+ …) +−43 (1 +

z3

+z2

32+ …)

o distribuyendo

f (z) = −1z

−1z2

−1z3

− … −43

−4z32

−4z2

33− …

en el dominio D2 = {z ∈ C : 1 < |z | < 3}.79

Vemos este dominio en la galería 4.2. junto con los otros posibles dominios en los cuales se podría desarrollar f (z) en potencias de z.

□

Se puede ver una solución on-line aquí.

4) Demostrar que una función holomorfa en todo el p lano complejo ampl iado C* es constante. (Compárese este ejercicio con el Teorema del Liouville).

Solución.

Recordemos que una función f (z) tiene una singularidad aislada en z = ∞ si existe un R > 0 tal que la función f (z) es holomorfa en

D = {z ∈ C : |z | > R}.

Para una tal función, decimos que z = ∞ tiene una singularidad evitable, polo de orden n o esencial si la

función g(z) = f( 1z ) tiene una singularidad evitable,

80

De estos tres dominios debemos utilizar el naranja pues a dicho dominio pertenece el punto z0 = − 2

Galería 4.2. Los dominios en los que se puede desarrollar en serie de Laurent en potencias de z a la función f (z) =

3z − 1z2 − 4z + 3

.

polo de orden n o esencial en z0 = 0 respectivamente. Por abuso de lenguaje decimos que f es holomorfa en

z = ∞ si g(z) = f( 1z ) tiene una singularidad evitable en

z0 = 0.

Supongamos entonces que f (z) es holomorfa en C*. En particular, f (z) es holomorfa en z0 = 0 luego, por el teorema de Taylor

f (z) =∞

∑n=0

anzn |z | < ∞.

Ahora bien, es evidente de la definición dada al comienzo del ejercicio que z = ∞ es una singularidad aislada de f (z) y entonces podemos considerar la función

g(z) = f( 1z ) =

∞

∑n=0

an( 1z )n 0 < |z | . (1)

Luego, por la definición de función holomorfa

recién dada en z = ∞ tenemos que g(z) = f( 1z ) debe

tener una singularidad evitable en z0 = 0. Luego,

observando (1) vemos que

an = 0 si n ≥ 1.

Por lo tanto

f (z) = a0

es decir, f es constante.

□

Se puede ver una solución on-line aquí.

5) Hallar el desarrollo en serie de Laurent de la forma ∞

∑n=−∞

anzn de la función f (z) =1

(4z + 1)(z − 2) de modo

que ocurran ambas de las siguientes proposiciones

81

a) la serie ∞

∑n=−∞

(−1)nan sea convergente

b) la serie ∞

∑n=−∞

(−1)nn2an sea convergente

y calcular la suma de estas dos series numéricas.

Solución.

a) Desarrollando la función f (z) =1

(4z + 1)(z − 2) en

fracciones simples obtenemos

f (z) =1

(4z + 1)(z − 2)=

−4/94z + 1

+1/9

z − 2

y sacando factores comunes en el denominador para usar la serie geométrica obtenemos que esto último es igual a

−4/94z + 1

+1/9

z − 2=

−4/9

4z(1 + 14z )

+1/9

−2(1 − z2 )

.

Entonces

f (z) =−19z (1 −

14z

+1

(4z)2−

1(4z)3

+ … + (−1)n 1(4z)n

+ …)

− 118 (1 +

z2

+z2

4+ … +

zn

2n+ …)

válido en 14z

< 1 ∩z2

< 1, es decir

14

< |z | < 2

que es una inecuación satisfecha por el punto z0 = − 1.

Luego la serie ∞

∑n=−∞

(−1)nan es convergente allí. Para

hallar su suma sólo hace falta evaluar f (−1) pues en ese dominio la suma de la serie y el valor de la función

coinciden. Un cálculo trivial produce f (−1) =19

, es

decir

∞

∑n=−∞

(−1)nan =19

.

82

b) En los puntos interiores al dominio de convergencia en los cuales nuestra serie iguala al valor de la función, dominio al cual pertenece el punto z0 = − 1 se puede derivar término a término la serie y

dicha serie suma en el punto z0 = − 1 precisamente

f′�(−1).

L u e g o , s i f (z) =∞

∑n=−∞

anzn e n t o n c e s

f′�(z) =∞

∑n=−∞

an . nzn−1. De esto obtenemos que

f′�(−1) =∞

∑n=−∞

an . n(−1)n−1.

Evaluando obtenemos f′�(−1) =1581

=527

y

multiplicando ambos miembros por −1 obtenemos

−f′�(−1) =∞

∑n=−∞

an . n(−1)n = −527

. (1)

Derivando f′�(z) =∞

∑n=−∞

an . nzn−1 una vez más a

ambos miembros obtenemos

f′�′�(z) =∞

∑n=−∞

an . n(n − 1)zn−2

y distribuyendo

f′�′�(z) =∞

∑n=−∞

an . n2zn−2 −∞

∑n=−∞

an . nzn−2 .

De lo cual obtenemos evaluando en z0 = − 1 que

f′�′�(−1) =∞

∑n=−∞

an . n2(−1)n−2 −∞

∑n=−∞

an . n(−1)n−2

y multiplicando por (−1)2 = 1 llegamos a

f′�′�(−1) =∞

∑n=−∞

an . n2(−1)n −∞

∑n=−∞

an . n(−1)n.

Como la segunda serie suma como indica la

igualdad (1) − 527

obtenemos que

83

f′�′�(−1) −527

=∞

∑n=−∞

an . n2(−1)n

y calculando obtenemos que

f′�′�(−1) =727

.

Esto produce finalmente el resultado

∞

∑n=−∞

an . n2(−1)n =727

−527

=227

.

84

En esta sección menos extensa analizamos porqué ciertas funciones no tienen desarrollo de Taylor o de Laurent alrededor de cierto punto e incidentalmente estudiaremos un poco más a fondo la función f (z) = z1/2 pues esta proporciona un ejemplo importante de lo antedicho.

Sección 2

CONTENIDO.

1. Puntos de ramificación.

2. Singularidades no aisladas.

Funciones sin desarrollo en Serie.

85

Problemas.

1) Determinar si la función f (z) = z admite desarrollo

en serie de Laurent en potencias de z en una vecindad de z = 0. Justifique su respuesta.

Solución.

Haremos un estudio detallado del significado de la z que nos permitirá responder a la cuestión del

ejercicio.

La respuesta al ejercicio es muy simple : si la función f (z) = z admitiese un desarrollo de Laurent

en un anillo de la forma

0 < |z | < R

con R > 0 la función f (z) = z sería holomorfa en este

anillo y por lo tanto continua allí. Pero como esta función es discontinua en todos los z pertenecientes al eje real positivo, vemos que no existe un desarrollo de

Laurent en ningún anillo del tipo mencionado, pues todos estos anillos contienen puntos del eje real positivo. Esto lo vemos claramente en la galería 4.3.

86

Todo anillo de Laurent de la forma 0 < |z | < R contiene puntos del eje real positivo (punteado en la figura), donde la función z es discontinua.

Galería 4.3. No hay anillo de Laurent para f (z) = z.

Haremos ahora el estudio detallado al cual hicimos referencia en el primer párrafo de la solución de este ejercicio.

¿Qué s i gn i fica exac tamen te f (z) = z ?

Recordemos que dado un número complejo z = a + bi el conjunto z1/2 lo hemos definido como el conjunto que tiene a dos de los cuatro elementos siguientes :

z1/2 = ± |z | + a2

± |z | − a2

i

donde tomábamos aquellos con signos iguales o distintos en las raíces según sea b ≥ 0 o b < 0 respectivamente. Esto define un conjunto y de ninguna manera una función. Para definir una función es preciso elegir un valor preciso de este conjunto para cada valor complejo de z. Demostraremos que es imposible elegir un sólo valor del conjunto z1/2 de tal forma de conseguir una función continua. Si queremos que la raíz del número real positivo (considerado como un complejo) coincida con la raíz real positiva

usual de la variable real debemos elegir el signo de la primera raíz cuadrada como positivo. Luego, de acuerdo a la regla de los signos recién explicada para la elección de z1/2 debemos tener que

z =

|z | + a2 + |z | − a

2 i si b ≥ 0

|z | + a2 − |z | − a

2 i si b < 0

pues fijado el signo de la primera raíz el segundo debe ser igual o distinto según sea b ≥ 0 ó b < 0. Esta definición es verdaderamente una función : devuelve un valor para cada valor “entrada” de z.

R e c o r d e m o s a h o r a q u e u n a f u n c i ó n f (z) = u(x, y) + iv(x, y) es continua si y sólo si las partes real e imaginaria son funciones continuas. Analicemos la función v(x, y). Es evidente que como función de variable real “partida” esta función es discontinua salvo si z = (x, y) = 0. Esta función es concretamente

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v(x, y) =

|z | − x2 i si y ≥ 0

− |z | − x2 i si y < 0

.

En la galería 4.4. vemos la discontinuidad de esta función claramente. No pierda el lector tiempo en probar que la función v(x, y) recién definida es discontinua en los puntos mencionados. Concéntrese en cambio en el gráfico de la misma. Esto es una clara prueba de que la función

z =

|z | + x2 + |z | − x

2 i si y ≥ 0

|z | + x2 − |z | − x

2 i si y < 0

no es holomorfa pues su parte imaginaria es discontinua.

Pero vayamos a un análisis de la función f (z) = z

en coordenadas polares, lo cual permite una extensión del mismo a raíces de índice de cualquiera. Si el complejo z se introduce en la función f (z) = z en

coordenadas polares, entonces un valor posible para w tal que w2 = z es

88

La función v(x, y) en la parte verde es la gráfica de v si y ≥ 0 mientras que en la parte blanca lo es si y < 0.

Galería 4.4. Discontinuidad de v(x, y).

z = |z | eiθ2 (1)

donde la raíz cuadrada |z | es la raíz cuadrada

positiva usada en la variable real. Aquí también tenemos para cada z del plano complejo un único valor si restringimos θ al dominio 0 ≤ θ < 2π.

Ahora bien, ¿define la igualdad (1) una función continua? No. Pues si escribimos el número complejo z = 4 en la forma polar z = 4ei0 tenemos aplicando la definición (1) que

4 = |4 | ei02 = 2 (2)

pero si tendemos a z = 4 en la forma polar limθ→2π

4eiθ

entonces

limθ→2π

4eiθ = limθ→2π

2ei θ2 = 2eiπ = − 2 (3)

es decir no coinciden (2) y (3). Luego la función z = |z | e

iθ2 es discontinua en todos los puntos del

eje real positivo. Es decir, la discontinuidad de la raíz

cuadrada es intrínseca y no depende de la forma en la cual se la evalúe : binómica o polar.

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