capitulo 5. sistemas de pérdidas

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 208022-TELETRAFICO

CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE PÉRDIDAS

Lección 21: Sistemas de espera

Esta sección se estudia el tráfico hacia un sistema con n servidores idénticos, accesibilidad

completa, y un número infinito de posiciones de espera. Cuando los n servidores están ocupados

en su totalidad, el cliente que llega se pone en cola de espera hasta que un servidor quede en

estado libre. Ningún cliente puede estar en cola de espera cuando hay un servidor está en estado

libre (accesibilidad completa).

Se consideran los dos mismos casos de tráfico que los Capítulos anteriores:

1. Proceso de llegada de Poisson (un número ilimitado de fuentes) y tiempos de servicios

distribuidos exponencialmente (PCT-I). Este es el sistema de asignación en cola más

importante, denominado sistema de espera de Erlang.

2. Un número limitado de fuentes de tráfico y tiempos de servicio con distribución exponencial

(PCT-II ).

21.1 Sistema de espera de Erlang M/M/n

Sea un sistema de asignación en cola M/M/n con proceso de llegada de Poisson (M), tiempos de

servicio exponenciales (M), n servidores y un número infinito de posiciones de espera. El estado

del sistema se define como el número total de clientes (estén servidos o puestos en cola). Se

examinarán las probabilidades en régimen permanente del sistema. Mediante el procedimiento

descrito anteriormente se construye el diagrama de transición de estado que se muestra en la

figura 12.1. Suponiendo equilibrio estático, las ecuaciones de corte dan por resultado:

Figura 12.1 − Diagrama de transición de estado del sistema de espera M/M/n que tiene n

servidores y un número ilimitado de posiciones de espera

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Como A = λ/μ es el tráfico ofrecido, se tiene:

Por normalización de las probabilidades de estado se obtiene p(0):

Los paréntesis internos tienen una progresión geométrica con el cociente A=n. La condición de

normalización sólo se puede satisfacer para:

A < n: (12.3)

El equilibrio estadístico solo se tiene para A < n. De otra manera, la cola de espera continuará

aumentando hasta el infinito. Se obtiene:

Las ecuaciones (12.2) y (12.4) calculan las probabilidades en régimen permanente.

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21.2 Características del tráfico de sistemas de demora

Para evaluar la capacidad y rendimiento funcional del sistema, se deben examinar diversas

características, que estarán expresadas por las probabilidades en régimen permanente.

21.2.1 Fórmula de Erlang C

Cuando el proceso de llegada de Poisson es independiente del estado del sistema, la probabilidad

que un cliente de llegada arbitrario deba ponerse en cola de espera es igual a la proporción del

segmento de tiempo que todos los servidores estén ocupados (propiedad PASTA: Poisson arrivals

See Time Average - llegada de Poisson, véase promedio temporal).

El tiempo de espera es una variable estocástica por W. Para un cliente de llegada arbitrario se tiene:

Fórmula de Erlang C:

Esta probabilidad de espera depende sólo de A como producto de λ y s, y no de los parámetros λ

y s individualmente.

Esta fórmula tiene diversos nombres: fórmula de Erlang C, segunda fórmula de Erlang, o

fórmula de Erlang para sistemas de tiempo de espera. En los textos especializados presentan

las siguientes notaciones:

Como los clientes tienen la posibilidad de ser servidos inmediatamente o puestos en cola de

espera, la probabilidad que un cliente sea servido inmediatamente resulta:

El tráfico transportado Y equivale al tráfico ofrecido A, pues ningún cliente es rechazado y el

proceso de llegada es un proceso de Poisson.

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donde se han aplicado las ecuaciones de compensación de corte.

La longitud de la cola de espera es una variable estocástica L. La probabilidad de tener clientes en

cola de espera en un punto aleatorio del tiempo es:

donde se ha aplicado la ecuación (12.5).

Evaluación numérica:

La ecuación es similar a la fórmula de Erlang B (7.9) salvo para el factor n/(n - A) en el último

término. Como se dispone de fórmulas recursivas muy exactas para la evaluación numérica de la

fórmula de Erlang B (7.27) se utilizará la siguiente relación para obtener valores numéricos de la

fórmula C.

Se observa que:

pues el término A {1 – E1,n(A)}/n es el promedio de tráfico transportado por canal en el sistema de

pérdidas correspondiente. Para A ≥ n, se tiene E2,n(A) = 1 pues es una probabilidad que todos los

clientes estén en espera.

La fórmula de Erlang C se puede expresar de manera apropiada por la fórmula B como fue observado por B-Sanders:

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donde I es la probabilidad inversa (7.28):

La formula de Erlang C fue recogida en el principio de Moe (Jensen, 1950 [50]) y se muestra en la figura 12.2.

21.2.2 Longitudes media de asignación en cola

Se debe distinguir entre longitudes de asignación en cola en un punto arbitrario del tiempo y la

longitud de asignación en cola cuando hay clientes que esperan en la cola.

Longitud media de asignación en cola en un punto arbitrario del tiempo:

La longitud de asignación en cola L en un punto arbitrario del tiempo se denomina longitud virtual

de asignación en cola. Esta es la longitud de asignación en cola observada por un cliente arbitrario

pues la propiedad PASTA es válida al proceso de llegada de Poisson (promedio de tiempo =

promedio de llamadas). Se obtiene así la longitud media de asignación en cola Ln = E{L} en un

punto arbitrario del tiempo:

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Figura 12.2 − Fórmula de Erlang C para el sistema de espera M/M/n.

La probabilidad E2,n(A) para un tiempo de espera positivo se muestra en función del tráfico ofrecido

A para valores del número de servidores n. Mientras A/n ≤ c < 1, la serie es uniformemente

convergente, y el operador de diferenciación se puede expresar fuera de la suma:

La longitud de media de asignación en cola se puede interpretar como el tráfico transportado por

las posiciones de asignación en cola y, por tanto, también se denomina tráfico de tiempo de

espera.

Longitud media de asignación en cola dado una asignación en cola mayor que cero:

El promedio de tiempo es también, en este caso, igual al promedio de llamadas. La longitud de

asignación en cola media condicional resulta:

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Con la aplicación de las ecuaciones (12.8) y (12.12) este resultado es, por supuesto, el mismo que:

donde L es la variable estocástica para la longitudes de asignación en cola.

Lección 22: Tiempos de espera medios

Aquí también hay dos elementos de interés: el tiempo medio de espera W para todos los clientes y

el tiempo medio de espera w para clientes que experimentan un tiempo de espera positivo. El

primero es un indicador para el nivel de servicio de todo el sistema, mientras que el segundo es de

importancia para los clientes que se encuentran en cola de espera. Los promedios temporales

serán iguales a los promedios de llamadas en razón de la propiedad PASTA.

Tiempo medio de espera W para todos los clientes:

Indica que la longitud media de asignación en cola es igual a la intensidad de llegada multiplicada

por el tiempo de medio de espera, es decir:

donde Ln = Ln(A), y Wn = Wn(A). De la ecuación (12.12) se obtiene considerando el proceso de

llegada:

Como A = λs, donde s es el tiempo medio de servicio, se obtiene:

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Tiempo medio de espera w para clientes con demora:

El tiempo de espera total es constante y puede ser promediado con todos los clientes (Wn) o sólo

con clientes que experimentan tiempos de espera positivos (wn) (3.20):

Ejemplo 12.2.1: Sistema servidor de asignación en cola simple M/M/1. Este es el sistema que

aparece más frecuentemente en los textos. Las probabilidades de estado (véase 12.2) vienen

dada por una serie geométrica:

siendo p(0) = 1-A. La probabilidad de espera resulta:

La longitud media de asignación en cola Ln (12.12) y el tiempo medio de espera para todos los

clientes

Wn (12.15) se calculan con las siguientes expresiones:

De esto se observa que un aumento del tráfico ofrecido produce un aumento de Ln a la tercera

potencia independientemente si éste se debe a un número superior de clientes (λ) o a un tiempo

de servicio superior (s). El tiempo medio de servicio Wn aumenta a la tercera potencia de s, pero

sólo a la segunda potencia de λ. El tiempo medio de espera Wn para clientes en espera se

incrementa con la segunda potencia de s y la primera potencia de λ. Un aumento de la carga

debido a la mayor cantidad de clientes es así mejor que un incremento de la misma debido a

tiempos de servicios mayores. Por tanto, es importante que los tiempos de servicio de un sistema

no aumenten durante las sobrecargas.

22.1 Funciones de mejora para M/M/n

La mejora marginal del tráfico transportado cuando se agrega un servidor se puede expresar de

diversas maneras. La disminución en la proporción del tráfico total (es decir, la proporción de todos

los clientes) que experimenta demora viene dado por:

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La disminución de las longitudes media de asignación en cola (es decir, el tráfico transportado por

las posiciones de espera) resulta, aplicando la ley de Little (12.14):

donde Wn(A) es el tiempo medio de espera para todos los clientes cuando el tráfico ofrecido es A y

el número de servidores es n (12.15). Las ecuaciones (12.21) y (12.22) están tabuladas en el

Principio de Moe (Jensen, 1950 [50]) y son simples de calcular con medios informáticos.

Lección 23: Principio de Moe para sistemas de espera

Moe fue el primero en establecer un principio para los sistemas de asignación en cola. Estudio los

tiempos de espera de los abonados como operador en centrales manuales de la compañía

telefónica de Copenhague.

Considérense k sistemas de asignación en cola independientes. Un cliente servido en todos los k

sistemas tiene el tiempo medio de espera total ∑i Wi, donde Wi es el tiempo medio de espera del i-

ésimo sistema que tiene ni servidores y que ofrece el tráfico Ai. El costo de un canal es Ci,

posiblemente más un costo constante, que se incluye en la constante Co indicada a continuación.

Así, el costo total para canales resulta:

Si el tiempo de espera también se considera como costo, el costo total que se ha de minimizar

resulta f = f(n1; n2, . . . , nk). Esto se debe minimizar en función del número de canales n1 en los

sistemas individuales. Si el tiempo medio de espera total es W, la atribución de canales a los

sistemas individuales se determina por:

donde ν (letra griega theta) es el multiplicador de Lagrange. Como ni es entero, condición

necesaria para el valor mínimo, que en este caso también se puede mostrar con una condición

suficiente, resulta:

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que corresponde a:

donde Wni(Ai) viene dado por la ecuación (12.15). Expresado por la función mejora para el tiempo

de espera FW,n(A) (12.22) la solución óptima resulta:

La función FW,n(A) está tabulada según el principio de Moe (Jensen, 1950 [50]). Para otras

funciones de mejora se pueden efectuar optimizaciones similares.

Ejemplo 12.3.1: Sistema de espera. Se consideran dos sistemas de asignación en cola M/M/n el

primero tiene un tiempo medio de servicio de 100 s y el tráfico ofrecido es 20 erlang. La relación de

costo c1/ν es igual a 0,01. El segundo sistema tiene un sistema medio de servicio igual a 10 s y el

tráfico ofrecido es 2 erlang. La relación de costos es c2/ν = 0,1.

Una tabla de la función mejora FW,n(A) indica:

n1 = 32 canales y

n2 = 5 canales.

Los tiempos medios de espera son:

W1 = 0,075 s.

W2 = 0,199 s.

Esto muestra que un cliente, que está servido en ambos sistemas, experimenta un tiempo medio

de espera total igual a 0,274 s, y que el sistema con menos canales contribuye más al tiempo

medio de espera.

El costo de espera está referido a la relación de costos. Mediante la inversión de una unidad

monetaria más en el sistema anterior, se reducen los costos en la misma cantidad

independientemente de saber en qué sistema de asignación en cola se incrementa la inversión. Se

debe continuar invirtiendo en la medida que se obtengan ganancias. Las investigaciones de Moe

durante el decenio de 1920 demostraron que el tiempo medio de espera de los abonados en

pequeñas centrales con pocos operadores sería mayor que el tiempo medio de espera en

centrales más grande con muchos operadores.

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23.1 Distribución del tiempo medio de espera para M/M/n, FCFS

Los sistemas de asignación en cola, donde la disciplina de servicio sólo depende de los tiempos de

llegada, tienen todos los mismos tiempos medios de espera. En este caso la estrategia sólo tiene

influencia frente a la distribución de los tiempos de espera para el cliente individual. La derivación

de la distribución del tiempo de espera es simple en el caso de cola de espera ordenada, FCFS

(primero en llegar, primero en estar servido). Esta disciplina también se denomina FIFO (primero

en llegar, primero en salir). Los clientes que llegan primero al sistema serán servidos primero, pero

si hay servidores múltiples no pueden necesariamente dejar el primer servidor. De modo tal que

FIFO se refiere al tiempo de salir de la cola de espera e iniciar el servicio.

Sea un cliente arbitrario. A su llegada al sistema, el cliente es servido inmediatamente o se pone

en cola de espera (12.6).

Se supone ahora que el cliente considerado debe esperar en la cola, es decir el sistema puede

estar en estado [n+ k], (k = 0, 1, 2, . . .), donde k es el número de posiciones de espera ocupadas

en el momento de la llegada del cliente.

El cliente considerado debe esperar hasta los clientes que k + 1 hayan completado su servicio

antes que un servidor en estado libre sea accesible. Cuando todos los n servidores están

funcionando, el sistema completa los clientes con una intensidad constante nμ, es decir el proceso

de salida es un proceso de Poisson con esta intensidad.

Se aprovecha la relación entre la representación de número y la representación de intervalo (5.4):

La probabilidad p{W ≤ t} = F(t) de experimentar un tiempo de espera positivo igual o menor a t es

igual a la probabilidad que en un proceso de llegada de Poisson con intensidad (nμ) lleguen al

menos (k+1) clientes durante el intervalo t (6.1):

F(t | k de espera)= (12.28)

La expresión anterior está basada en la hipótesis que el cliente considerado debe esperar en la

cola. La probabilidad condicional que el cliente considerado cuando llega observa todos los n

servidores ocupados y k clientes en espera (k = 0, 1, 2; . . . ) es:

Esta es una distribución geométrica que incluye la clase cero (véase el cuadro 6.1). La distribución

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del tiempo de espera incondicional resulta entonces:

pues se pueden intercambiar las dos sumas cuando todos los términos son probabilidades

positivas. La suma interior es una progresión geométrica:

Aplicando esto se obtiene:

es decir, una distribución exponencial.

Aparentemente se tiene una paradoja: cuando se llega a un sistema con todos los servidores ocupados se puede:

1) Contar el número k de clientes en espera que están delante. El tiempo de espera total tendrá

entonces distribución de Erlang (k+1).

2) Hacer caso omiso. El tiempo de espera resulta entonces distribuido exponencialmente. La

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interpretación de esto es que una suma ponderada de distribuciones de Erlang con factores

ponderados distribuidos geométricamente es equivalente a una distribución exponencial. En la

figura 12.3 se muestra el diagrama de fase para la ecuación (12.30), y se observa

inmediatamente que puede ser reducido a una distribución exponencial simple (véase la figura

4.9). La ecuación (12.31) confirma que el tiempo medio de espera wn para los clientes que

deben ponerse en cola de espera se torna como se indica en la ecuación (12.17).

La distribución del tiempo de espera para todos(un cliente arbitrario) resulta (3.19):

y el valor medio de esta distribución es Wn conforme a la ecuación (12.15). Los resultados se pueden calcular de un modo más simple por medio de funciones de generación.

Figure 12.3 − La distribución del tiempo de espera para M/M/n - FCFS resulta distribuida

exponencialmente con la intensidad (nμ-λ).

El diagrama de fase a la izquierda corresponde a una suma ponderada de distribuciones Erlang-k

pues el régimen de todas las fases es (1-A/n) = nμ-λ

23.2 Tiempo de respuesta con un solo servidor

Cuando sólo hay un servidor, las probabilidades de estado (12.2) vienen dadas por una serie

geométrica (12.18), es decir p(i) = p(0) . Ai para todas las i ≥ 0. Cada cliente emplea un intervalo de

tiempo distribuido exponencialmente con intensidad μ en cualquier estado. El cliente que encuentra

el sistema en el estado [i] permanecerá en el sistema un intervalo de tiempo con distribución

Erlang- (i + 1). Por tanto, el tiempo de permanencia total en el sistema (tiempo de espera + tiempo

de servicio), es decir el tiempo de respuesta, está distribuido en forma exponencial con la

intensidad (μ-λ) (véase la figura 4.9):

Esta expresión es idéntica a la distribución del tiempo de espera de cliente con demora.

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Lección 24: Sistemas terminales

La división de tiempo es una ayuda para ofrecer un servicio óptimo a un considerable grupo de

clientes utilizando, por ejemplo, terminales conectados a una unidad de procesamiento central.

Cada usuario se debe sentir como si fuera el único del sistema informático (véase la figura 12.5)

Figure 12.5 − Un sistema informático con S terminales (sistema interactivo) corresponde a

un sistema de tiempo de espera con un número de fuentes limitado (véase el caso Engset

para el caso de sistemas de pérdidas)

El terminal individual varía todo el tiempo entre dos estados (interactivo) (véase la figura 12.6):

el usuario está pensando (trabajando), o

el usuario está esperando (una respuesta de la computadora).

El intervalo de tiempo cuando el usuario está pensando (trabajando) se denomina tiempo entre

llegadas Tt, y el valor medio se simboliza mt.

El intervalo de tiempo cuando el usuario está esperando la respuesta de la computadora, se

denomina tiempo de respuesta R. Esto incluye el intervalo de tiempo Tw(valor medio mw), donde la

tarea está esperando obtener el acceso a la computadora, y el propio tiempo de servicio Ts (valor

medio ms).

Tt + R se denomina tiempo de circulación (véase la figura 12.6). Al término de este intervalo de

tiempo un terminal retorna al mismo estado que se dejó al comienzo del intervalo (evento

recurrente).

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Figura 12.6 − Los terminales puede tener tres estados.

El usuario trabaja activamente en el terminal o bien está a la espera de la respuesta de la

computadora. El último intervalo de tiempo (tiempo de respuesta) se divide en dos fases. Una fase

de espera y una fase de servicio

Ejemplo 12.5.1: Sistema de información. Considérese un sistema de información que esté

organizado de la siguiente manera: toda la información se mantiene en seis discos que se

conectan al mismo terminal de datos entrada/salida, un canal multiplexor. El tiempo de búsqueda

medio (colocación del elemento de búsqueda) es de 3 ms y el tiempo medio de espera para

localizar el archivo es 1 ms que corresponde a un tiempo de rotación de 2 ms. El tiempo de lectura

de un archivo está distribuido exponencialmente con el valor medio 0,8 ms. El almacenamiento de

disco se basa en la detección de la ubicación rotacional, de modo tal que el canal está ocupado

sólo durante la lectura. Se desea determinar la máxima capacidad del sistema (número de pedidos

por segundos).

El tiempo en estado activo es 4 ms y el tiempo de servicio es 9,8 ms. La relación de servicio resulta así 5, y mediante la fórmula B de Erlang se obtiene el valor siguiente.

Esto corresponde a γmáx= 0,8082/0,0008 = 1 010 pedidos por segundo.

24.1 Estados de los terminales y características del tráfico

Las medidas de rendimiento funcional se obtienen fácilmente a partir de la analogía con el sistema

de pérdidas clásico de Erlang. La computadora funciona con la probabilidad (1 - p(0)). Se tiene

entonces que el número medio de terminales que está servido viene dado por:

El número medio de terminales en estado activo corresponde al tráfico transportado en el sistema de pérdida de Erlang:

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El número medio de terminales en espera resulta:

Si se considera un terminal aleatorio en un punto arbitrario en el tiempo se tiene:

p {terminal servido} = (12.41)

p {terminal en estado activo} = (12.42)

p {terminal en espera} = (12.43)

Aplicando el teorema de Little W = λW a los terminales, a las posiciones en espera y a la

computadora, respectivamente, se obtiene (λ es la velocidad de circulación del tráfico):

o

Empleando las ecuaciones (12.38) y (12.44) se obtiene:

De esta manera el tiempo de respuesta es independiente de las distribuciones del tiempo pues

está basado en las ecuaciones (12.38) y (12.44) (Ley de Little). Sin embargo, p(0) dependerá de

los tipos de distribución al igual que en la fórmula de Erlang B. Si el tiempo de servicio de la

computadora tiene distribución exponencial (valor medio ms = 1/μ), entonces p(0) viene dado por la

ecuación (12.37). En la figura 12.8 se muestra el tiempo de respuesta en función del número de

terminales en este caso.

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Figura 12.8 − Tiempo de respuesta medio en función del número de terminales.

El factor de servicio es ρ = 30. El tiempo de respuesta converge a una línea recta, cortando el eje x

en S = 30 terminales. La curva se calcula utilizando la fórmula de Erlang B

Si todos los intervalos de tiempo son constantes, la computadora puede servir a K sin tiempo de espera donde:

K es, por tanto, un parámetro adecuado para describir el punto de saturación del sistema. El

tiempo de espera medio para un terminal arbitrario se obtiene empleando la ecuación (12.45):

mv= R − ms

Ejemplo 12.5.2: Computadora de compartición en el tiempo. En un sistema terminal la

computadora queda a veces en reposo, (a la espera de terminales) y a veces los terminales

esperan que la computadora quede libre. Pocos terminales producen baja utilización de la

computadora, mientras que muchos terminales conectados consumen el tiempo de los usuarios.

En la figura 12.9 se muestra el tráfico de tiempo de espera en erlang, para la computadora y para

un terminal simple. El costo total del tiempo de espera se obtiene mediante la ponderación

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apropiada de costos y sumas de tiempos de espera de la computadora y de todos los terminales.

Para el ejemplo, en la figura 12.9 se obtienen los costos mínimos de la espera total para unos 45

terminales aun cuando el costo por el tiempo de espera correspondiente a la computadora es cien

veces mayor que el costo de un terminal. En 31 terminales, la computadora y cada uno de ellos

consume el 11,4% del tiempo de espera. La relación de costos es 31 y este será el número óptimo

de terminales. Sin embargo, hay otros factores que se han de tener en consideración.

Figura 12.9 − Tráfico en tiempo de espera (proporción del tiempo transcurrido durante la

espera) medido en erlang para la computadora y los terminales, respectivamente, en un

sistema de cola de espera interactivo (factor de servicio ρ = 30)

Lección 25: Aplicación de la Teoría de colas de espera

Hasta el momento, se han examinado sistemas clásicos de colas de espera, donde todos los

procesos de tráfico son procesos de renovación. La teoría de los sistemas de pérdidas se ha

aplicado con éxito durante muchos años en el campo de la telefonía, mientras que la teoría de los

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sistemas de espera sólo se ha aplicado en los últimos años en el terreno de la ciencia informática.

Los clásicos sistemas de espera desempeñan una función primordial en la teoría de asignación en

cola de espera. Por lo general, se da por supuesto que la distribución del tiempo entre las llegadas

a destino de las llamadas o la distribución del tiempo de servicio son exponenciales. Por razones

teóricas y físicas, a menudo se utilizan sistemas de cola de espera con un solo servidor.

Este Capítulo se centra en la cola de un solo servidor y se analiza este sistema para distribuciones generales de tiempo de servicio, diferentes tipos de cola de espera y clientes con propiedades de atención preferentes.

25.1 Clasificación de modelos de colas de espera

En esta sección se introducirán notaciones compactas para sistemas de asignación en cola de espera, denominada notación de Kendall.

25.1.1 Descripción del tráfico y la estructura

D.G. Kendall (1951 [60]) introdujo la siguiente notación para modelos de asignación en cola de

espera:

A/B/n donde

A = proceso de llegada,

B = distribución del tiempo de servicio,

n = número de servidores.

Para procesos de tráfico se utilizan las siguientes notaciones normalizadas:

M ~ Markovian. Intervalo de tiempo exponencial (proceso de llegada de Poisson, tiempos

de servicios distribuidos exponencialmente).

D ~ Determinístico. Intervalos de tiempo constante.

Ek ~ Intervalos de tiempo con distribución de Erlang-k (E1 = M).

Hn ~ Hiperexponencial de intervalos de tiempo distribuidos de orden n.

Cox ~ Intervalos de tiempo distribuidos de Cox.

Ph ~ Intervalos de tiempo distribuidos de tipo fase.

GI ~ Intervalos de tiempo independiente general, renovación de proceso de llegada.

G ~ General. Distribución arbitraria de intervalo de tiempo (puede incluir correlación).

Ejemplo 13.1.1: Modelos comunes de asignación en cola. M/M/n es un sistema de espera puro

con proceso de llegada Poisson, tiempos de servicio de distribución exponencial y n servidores. Es

el clásico sistema de espera de Erlang.

GI/G/1 es un sistema de espera general con un solo servidor.

La notación indicada anteriormente es ampliamente utilizada en la literatura especializada. Para

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obtener la especificación completa de un sistema de asignación en cola se requiere más

información:

A/B/n/K/S/X

donde:

K = es la capacidad total del sistema, alternativamente sólo el número de posiciones de espera,

S = es el tamaño de la población (número de clientes),

X = es el tipo de cola de espera (véase el § 13.1.2), K = n corresponde a un sistema de pérdidas, que a menudo se simboliza como A/B/n-pérdidas.

Un superíndice b sobre A, respectivamente B, indica llegada de grupo (llegada a granel, llegada de

lote), grupo de servicio, respectivamente. C (reloj) puede indicar que el sistema funciona en tiempo

discreto.

Generalmente se supone plena accesibilidad.

25.1.2 Estrategia de las colas de espera: tipos y organización

Los clientes puestos en cola de espera para ser atendidos son seleccionados conforme a diversos

principios. Se considerará primero los tres tipos clásicos de asignación en cola de espera:

FCFS, (first come - first served). Primero en llegar - primero en ser servido

Se denomina también cola de espera ordenada o cola de espera justa, y este tipo se prefiere a

menudo en la vida real cuando los clientes son seres humanos. También se denomina FIFO: (first

in - first out) primero en entrar - primero en salir. Se debe señalar que FIFO se refiere sólo a

cola de espera y no al sistema total. Si se tiene más de un servidor, un cliente con un tiempo de

servicio breve puede dar alcance a un cliente con un tiempo de espera mayor aun si tiene cola de

espera FIFO.

LCFS: (last come - first served). Último en llegar - primero en ser servido

Esto corresponde al principio de disposición apilada. Se utiliza por ejemplo en almacenamiento de

datos, en anaqueles de establecimientos comerciales y, en general, en memorias de retención

temporal. Esta técnica también se denomina LIFO: (last in - first out) último en entrar, primero

en salir.

SIRO: (service in random order). Servicio en orden aleatorio

Todos los clientes puestos en cola de espera tienen la misma probabilidad de ser escogidos para

tener el servicio. Esto también se denomina RANDOM o RS (random selection) selección

aleatoria.

Los dos primeros tipos de asignación en cola de espera sólo toman en consideración los tiempos

de llegada, mientras que el tercer tipo no considera ningún criterio y, por tanto, no requiere

ninguna memoria (contrariamente a los dos anteriores).

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Los tres tipos detallados se pueden aplicar en sistemas técnicos simples. En una central telefónica

electromecánica se utiliza a menudo el tipo de cola de espera SIRO pues (casi) corresponde a

búsqueda secuencial sin reposición.

Para los tres tipos mencionados anteriormente el tiempo total de espera de todos los clientes es el

mismo. El tipo de asignación en cola sólo decide qué tiempo de espera se atribuye a cada uno de

los clientes. Esto se puede efectuar utilizando el tiempo de servicio como criterio. En un sistema de

cola de espera con control por programa habría disciplinas de cola de espera más complejas. En

general, en la teoría de cola de espera asumimos que el tráfico total ofrecido es independiente de

la disciplina de cola de espera.

En el caso de sistemas informáticos a menudo tendemos a reducir el tiempo total de espera.

SJF: (shortest job first). Tarea más breve primero, SJN: (shortest job next) tarea más corta

después, SPF: (shortest processing time first) tiempo de tratamiento más corto primero. Esta

técnica supone que se conoce el tiempo de servicio por adelantado y reduce al mínimo el

tiempo total de espera de todos los clientes.

Las técnicas mencionadas tienen en cuenta los tiempos de llegadas o los tiempos de servicio. Se

obtiene un compromiso entre esas disciplinas mediante las siguientes técnicas:

RR (round robin) Retorno al origen.

A un cliente servido se le da a lo sumo un tiempo de servicio fijo (segmento de tiempo). Si el

servicio no se completa durante ese intervalo el cliente vuelve a la cola de espera que es del

tipo FCFS.

PS (processor sharing) Compartición del procesador.

Todos los clientes comparten la capacidad del servicio en igual medida.

FB (foreground - background) Primer plano - segundo plano.

Esta técnica trata de aplicar el criterio SJF sin conocer de antemano los tiempos de servicio. El

servidor ofrecerá servicio al cliente que hasta ese momento ha recibido la menor cantidad de

servicio. Cuando todos los clientes han obtenido la misma cantidad de servicio, FB se hace

idéntico a PS.

Las últimas técnicas indicadas son dinámicas pues los criterios de asignación en cola de espera

dependen de la cantidad de tiempo empleado en la cola.

25.1.3 Prioridad de los clientes

En condiciones reales los clientes se dividen a menudo en N clases prioritarias, en la que un

cliente que pertenece a la clase p tiene mayor prioridad que un cliente que pertenece a la clase

p+1.

Se ha de distinguir entre dos tipos de prioridades:

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No preferente = Cabecera de línea. Un nuevo cliente de llegada con prioridad más alta que está

siendo servido espera hasta que un servidor esté desocupado (y todos los clientes con alta

prioridad hayan sido servidos). Este criterio también se denomina HOL,(head-of-the-line) cabecera

de línea.

Preferente: Un cliente al que se está dando servicio tiene prioridad inferior que un nuevo cliente

que llega, es interrumpido.

Se distingue entre:

Reanudar preferencia: El servicio continúa desde donde fue interrumpido.

Preferencia sin remuestreo: El servicio se reinicia desde el comienzo con el mismo tiempo de

servicio.

Preferencia con remuestreo: El servicio se inicia nuevamente con un nuevo tiempo de

servicio.

La dos últimas técnicas se aplican, por ejemplo, en fabricación de sistemas y seguridad del

servicio.

En la literatura relativa a asignación de cola de espera aparecen muchas otras estrategias y

símbolos. Las siglas GD representan una disciplina de asignación en cola de espera arbitraria

(disciplina general). El comportamiento de los clientes también está sujeto a modelos:

Tentativa inconclusa: se refiere a sistemas de asignación en cola de espera en el que el

cliente con una probabilidad que depende de la cola puede desistir de permanecer en la misma.

Renuncia: se refiere a sistemas con clientes impacientes que salen de la cola de espera sin

haber sido servidos.

Cambio de cola: se refiere a los sistemas en el que los clientes pueden pasar de una cola de

espera (por ejemplo larga) a otra cola más corta.

Así, hay muchos modelos posibles. En este Capítulo sólo se tratarán los más importantes. Por lo

general, sólo se consideran sistemas con un servidor.

Ejemplo 13.1.2: Sistema de conmutación de programa almacenado controlado. En sistemas

de programa almacenado controlado las tareas de los procesadores se dividen, por ejemplo, en

diez clases de prioridades. La prioridad se actualiza, cada quinto de milisegundo. Los mensajes de

error que provienen de un procesador tienen la más alta prioridad, mientras que las tareas de

control de rutina tiene la prioridad más baja. Dar servicio a las llamadas aceptadas tiene mayor

prioridad que la detección de nuevas tentativas de llamada.

25.2 Resultados generales en la teoría de asignación en cola de espera

Como se indicó anteriormente hay muchos modelos de asignación en cola de espera pero,

lamentablemente, hay sólo algunos resultados generales en la teoría de asignación en cola. La

literatura es muy extensa pues muchos casos especiales son importantes en la práctica. En esta

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sección se examinarán los resultados generales más importantes.

El teorema de Little es el resultado más general que es válido para un sistema de asignación en

cola de espera arbitrario. El teorema es fácil de aplicar y muy útil en muchos casos.

En general, sólo los sistemas de asignación en cola con procesos de llegada de Poisson son

simples de abordar. Referente a sistemas de asignación en cola en serie y redes de cola de

espera (por ejemplo redes informáticas) es importante conocer casos en el que el proceso de

partida de un sistema de asignación en cola es un proceso de Poisson. Los sistemas de cola de

espera se denominan sistemas de asignación en cola de espera simétricos, pues son simétricos

en el tiempo, ya que el proceso de llegada y el proceso de salida son del mismo tipo. Si se filmara

el desarrollo del tiempo, no se podría decidir si la película pasa hacia adelante o hacia atrás (véase

reversibilidad) (Kelly, 1979 [59]).

Los modelos clásicos de asignación en cola desempeñan un papel principal en la teoría de cola de

espera, pues otros sistemas convergirán a menudo hacia ellos cuando el número de servidores

aumenta.

Los sistemas que más se apartan de los modelos clásicos son los que tienen un solo servidor. Sin

embargo, esos sistemas son los más simples de abordar.

En sistemas de tiempo de espera se distingue también entre promedios de llamadas y promedios

temporales. El tiempo de espera virtual es el tiempo que un cliente experimenta si llega a un punto

aleatorio del tiempo (promedio temporal). El tiempo de espera real es el tiempo que experimenta el

cliente real (promedio de llamada). Si el proceso de llegada es un proceso de Poisson los dos

promedios son entonces idénticos.

capitulo 5. sistemas de pérdidas

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