capítulo 9 - flujo compresible - 1

Esta singular foto muestra un avin de combate F-18 Hornet traspasando la barrera del sonido.Ensign John Gay, un fotgrafo de la U.S. Navy, dispar la foto justo cuando el avin alcanzabala velocidad del sonido en aire hmedo. La velocidad es ligeramente inferior a Ma = 1, Y seobservan ondas de choque de condensacin sobre las superficies donde la velocidad local essupersnica. En un instante, el F-18 habr entrado en rgimen supersnico y dichas ondas dechoque de condensacin sern sustituidas por ondas de choque oblicuas adheridas al morro delavin y al borde de ataque del ala. [Fotografa cedida por la u.s. Navy.]

600

9.1. Introduccin:repaso de termodinmica

Captulo 9Flujo compresible

Motivacin. En los ocho captulos anteriores se han considerado los flujos a "baja velo-cidad" o "incompresibles", donde la velocidad del fluido es mucho menor que lavelocidad del sonido. De hecho, ni siquiera se dedujo una expresin para la velocidaddel sonido de un fluido. Eso se hace en el presente captulo.

Cuando un fluido se mueve a velocidades comparables a la velocidad del sonido, lasvariaciones de densidad se hacen importantes y el flujo se denomina compresible. Dichosflujos son difciles de obtener en lquidos, pues se necesitan presiones elevadas del ordende las 1000 atm para generar velocidades snicas. Sin embargo, en gases basta una rela-cin de presiones de 2: 1 para causar flujos snicos. Por tanto, el flujo compresible degases es bastante habitual, y esta disciplina se suele denominar dinmica de gases.

Probablemente, los dos efectos ms importantes y distintivos de los flujos compresiblesson (1) el bloqueo, que limita fuertemente el flujo en conductos cuando se dan condicio-nes snicas, y (2) las ondas de choque, que son cambios casi discontinuos en las propie-dades de los flujos supersnicos. La finalidad de este captulo es explicar estos intrigantesfenmenos y familiarizar al lector con los clculos ingenieriles de flujos compresibles.

Respecto a los clculos, el presente captulo est pensado para utilizar el Resolvedor deEcuaciones Ingenieri1es (EES, Engineering Equation Solver) del Apndice E. El anlisisde los flujos compresibles est lleno de ecuaciones algebraicas complicadas, muchas deellas difciles de manipular o invertir. Por ello, durante casi un siglo, los libros de tex-to sobre flujos compresibles han utilizado extensas tablas de relaciones en funcin delnmero de Mach (vase Apndice B) para el trabajo numrico. Sin embargo, EES per-mite resolver cualquier conjunto de ecuaciones que aparezcan en este captulo y obtenercualquiera de las variables; en el apartado (b) del Ejemplo 9.13 se presenta un ejemploespecialmente complejo. Con una herramienta as, el Apndice B sirve nicamente comoapoyo y seguramente pronto desaparecer de los libros de texto.

En el Captulo 4 [Ecuaciones (4.13) a (4.17)] se discuti brevemente cundo se puededespreciar la compresibilidad inherente a cualquier fluido real. Se hall que el criterioapropiado para un flujo casi incompresible es que el nmero de Mach sea pequeo,

VMa=-~l

a

601

602 Captulo 9. Flujo compresible

El nmero de Mach

donde Ves la velocidad del flujo y a la velocidad del sonido en el fluido. Si el nmerode Mach es pequeo, las variaciones de densidad suelen ser pequeas en todo el campofluido. La ecuacin de la energa queda desacoplada, y los efectos de la temperatura pue-den ser omitidos o relegados a un estudio posterior. La ecuacin de estado se transformaen el enunciado simple de que la densidad es constante. Por ello, el anlisis de los flujosincompresibles slo precisa de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento,como se vio con muchos ejemplos en los Captulos 7 y 8.

El presente captulo estudia los flujos compresibles, con nmeros de Mach mayoresque 0.3, que presentan variaciones de densidad apreciables. Cuando las variaciones dedensidad son significativas, la ecuacin de estado nos seala que las variaciones de tem-peratura y presin tambin lo son. Esas grandes variaciones de temperatura implican quela ecuacin de la energa ya no puede suprimirse. Por tanto, el problema se ha complicadoal pasar de dos a cuatro ecuaciones:

1. Ecuacin de continuidad2. Ecuacin de la cantidad de movimiento3. Ecuacin de la energa4. Ecuacin de estado

que deben ser resueltas simultneamente para obtener las cuatro incgnitas: presin, den-sidad, temperatura y velocidad del flujo (p, p, T, V). Por todo ello, la teora general delflujo compresible es muy complicada y vamos a realizar algunas simplificaciones, espe-cialmente suponer que el flujo es adiabtico reversible o isoentrpico.

El nmero de Mach es el parmetro dominante en el anlisis de flujos compresibles,con efectos distintos dependiendo de su magnitud. Los estudiosos de la aerodinrnicasuelen distinguir entre los diferentes rangos del nmero de Mach, siendo la siguienteclasificacin aproximada de uso extendido:

Ma < 0.3: flujo incompresible, donde los efectos de la densidad son des-preciables.

0.3 < Ma < 0.8: flujo subsnico, donde los efectos de la densidad son impor-tantes, pero no aparecen ondas de choque.

0.8

El cociente de calores especficos

El gas perfecto

9.1. Introduccin: repaso de termodinmica 603

Adems de la geometra y del nmero de Mach, los clculos de flujos compresiblestambin dependen de un segundo parmetro adimensional, la relacin de calores espe-cficos del gas:

(9.1)

Recuerde de la Figura 1.5 que para los gases ms comunes k decrece lentamente conla temperatura y vale entre 1.0 y 1.7. Las variaciones en k tienen un efecto pequeo sobrelos clculos de flujos compresibles, siendo el aire, k = 1.40, el fluido de inters dominan-te. Por tanto, aunque propongamos problemas en los que intervengan otros gases, comovapor de agua, CO2 y helio, las tablas para flujos compresibles del Apndice B estnbasadas nicamente en el valor k = 1.40 para el aire.

Este texto incluye un solo captulo sobre flujo compresible, aunque sobre este tema sehan escrito libros enteros. La edicin anterior mencionaba unos 30 libros, pero aqu nosceiremos a los ms recientes y a los clsicos. Las Referencias 1 a 4 son introductorias ode nivel medio, mientras que las Referencias 5 a 10 son libros avanzados. Incluso es posi-ble especializarse dentro de la especialidad de los flujos compresibles. La Referencia 11trata sobre flujos hipersnicos, esto es, a muy altos nmeros de Mach. La Referencia12 explica la novedosa y excitante tcnica de la simulacin directa de flujos de gasesmediante modelos de dinmica molecular. El flujo compresible tambin resulta muyapropiado para la Mecnica de Fluidos Computacional (CFD, Computational FluidDynamics), tal como se indica en la Referencia 13. Finalmente, la corta pero detalladalectura (sin clculos) de la Referencia 14 describe los principios y promesas del vueloa altas velocidades (supersnico). En ocasiones omitiremos el tratamiento de algunostemas especializados que estn recogidos en estos textos.

Advertimos de pasada que hayal menos dos tipos de flujos que dependen fuertementede variaciones de densidad muy pequeas: la acstica y la conveccin natural. La acstica[7, 9] es el estudio de la propagacin de las ondas sonoras, que va acompaada de peque-simas variaciones de densidad, presin y temperatura. La conveccin natural es el flujosutil producido por las fuerzas de flotabilidad en un fluido estratificado, con calentamientodesigual o variaciones en la concentracin de sustancias disueltas. Aqu vamos a conside-rar slo aquellos flujos compresibles estacionarios en los que la velocidad es del mismoorden de magnitud que la velocidad del sonido.

En principio, los clculos de flujos compresibles se pueden hacer para cualquier ecua-cin de estado, y vamos a proponer problemas para usar las tablas de vapor [15], tablasde gases [16] o sobre lquidos [Ecuacin (1.19)]. Pero de hecho la mayor parte de losanlisis elementales se limitan a gases perfectos con calores especficos constantes:

p = pRT Ck = J!. = cteCv

(9.2)R = cp - Cv = cte

En todos los gases reales, cp' Cv y k varan con la temperatura, aunque moderadamente; porejemplo, el e del aire aumenta un 30% cuando la temperatura pasa de Oa 5000 DF. Como

pes muy poco corriente que tengamos que trabajar con tales variaciones de temperatura,supondremos lgicamente que los calores especficos son constantes.


Proceso isoentrpico

Recordemos de la Seccin 1.8 que la constante del gas es igual a una constante univer-sal A divida por el peso molecular:

(9.3)

donde A = 49,720 ftJlbf/(lbmol . R) = 8314 J/(kmol . K)

Para el aire, M = 28,97, Y por ello, en lo que queda de captulo, tomaremos los siguientesvalores para las propiedades del aire:

k = 1.400R

e; = k _ 1 = 4293 ft2/(S2 . R) = 718 m2/(s2 . K)

kRC = -- = 6009 ft2/(S2 . R) = 1005 m2/(s2 . K)p k - 1

(9.4)

En la Figura 1.5 se muestran los valores experimentales de k para ocho gases comunes.Usando dicha figura y el peso molecular, se pueden calcular las dems propiedades dedichos gases, como en las Ecuaciones (9.4).

Las variaciones de energa interna a y entalpa h de un gas perfecto con calores espe-cficos constantes vienen dadas por

(9.5)

Si los calores especficos son variables, debemos integrar a = J Cv dT y h = J cp dT o uti-lizar las tablas de gases [16]. La mayora de los libros modernos sobre termodinmicacontienen programas para la evaluacin de las propiedades de gases no perfectos [17],como el EES.

La aproximacin isoentrpica es muy usual en la teora de flujos compresibles. Lasvariaciones de entropa se calculan a partir de la primera y la segunda ley de la termo-dinmica para sustancias puras [17 o 18]:

Tds=dh-dpp

Introduciendo dh = e dT para un gas perfecto, sustituyendo pT = p/R Ydespejando ds,p

obtenemos

(9.6)

J2 J2 dT J2dds = c

p- - R J!..

liT I P

Si e es variable, se necesitan las tablas del gas, pero para c constante podemos obtenerp p

resultados analticos:

(9.7)

T2 P2 T2 P2S2 - S = c In - - R In - = c In - - R In -

P T p v TI p(9.8)

Las Ecuaciones (9.8) se usan para calcular la variacin de entropa a travs de una ondade choque (Seccin 9.5), que es un proceso irreversible.

9.1. Introduccin: repaso de termodinmica 605

En flujo isoentrpico, ponemos S2 = SI Y obtenemos las siguientes relaciones potencia-les para un gas perfecto isoentrpico:

P2 = (T2)k!(k-I) = (P2)kp TI PI (9.9)

Estas relaciones sern utilizadas en la Seccin 9.3.

EJEMPLO 9.1

Un flujo de argn circula por un tubo de modo que pasa de unas condiciones iniciales p =1.7 MPa y p = 18 kg/m' a otras finales P2 = 248 kPa y T2 = 400 K. Estime (a) la tempe-ratura inicial, (b) la densidad final, (e) la variacin de entalpa y (d) la variacin de entropadel gas.

Solucin

De la Tabla A.4 para el argn, R = 208 m2/(s2 . K) Y k = 1.67. De la Ecuacin (9.4), esti-mamos el calor especfico a presin constante:

kR 1.67(208)e = -- = = 519 m2/(s2 . K)P k - 1 1.67 - 1

La temperatura inicial y la densidad final se obtienen de la ley de los gases perfectos, Ecua-cin (9.2):

Pt 1.7 . 106 N/m2TI = PIR = (18 kg/m3)[208 /(S2. K)] = 454 K

P2 248 103 N/m2 3P2 = T

2R = (400 K)[208 m2/(s2. K)] = 2.98 kg/m

Resp. (a)

Resp. (b)

De la Ecuacin (9.5), se deduce la variacin de entalpa:

Resp. (e)

La temperatura y la entalpa del argn disminuyen aguas abajo. Pero no tiene por qu haberrefrigeracin exterior: el fluido puede transformar la entalpa en un aumento de energa cin-tica mediante friccin (Seccin 9.7).

Finalmente, la variacin de entropa se obtiene de la Ecuacin (9.8):

T2 P2S2 - SI = cp In -T - R In -

1 Pl6

= 519 In 400 _ 208 0.248' 10454 In 1.7. 106

= -66 + 400 = 334 m2/(s2 . K) Resp. (d)La entropa del fluido ha aumentado. En ausencia de transferencia de calor, esto indica unproceso irreversible. Ntese que la entropa tiene las mismas unidades que la constante delgas o los calores especficos.

Los nmeros de este problema no son arbitrarios. Simulan correctamente el comporta-miento del argn fluyendo subsnicamente por un tubo con efectos de friccin importantes(Seccin 9.7).


Figura 9.1. Anlisis mediante unvolumen de control de una ondade presin de intensidad finita:(a) volumen de control fijorespecto al fluido en reposo de laizquierda; (b) volumen de controlque se mueve hacia la izquierdarespecto al fluido en reposo a lavelocidad e de la onda.

9.2. La velocidad del sonido

e- p+ Spp + /';pT+t.Tp

PTv=o

!:J.v-Onda mvil

de reafrontal A

(a) Efectos viscoso

pPT

y de transferenciatrmica confmados

en el interior de la onda

r p+t.pp+!:J.pT+t.TV=C-!:J.v-v=c-Ondafija

(b)

La velocidad del sonido es la velocidad de propagacin de un pulso infinitesimal depresin a travs de un fluido en reposo. Es una propiedad termodinmica del fluido.Analicmosla primero considerando un pulso de intensidad finita, como en la Figura9.1. En la Figura 9.1a el pulso, u onda de presin, se mueve a velocidad C hacia elfluido en reposo (p, p, T, V = O) de la izquierda, dejando detrs al fluido con otraspropiedades (p + Sp, p + !1p, T + !1D Y con una velocidad !1V hacia la izquierda,siguiendo la onda, pero mucho ms despacio. Podemos calcular estos efectos medianteel anlisis de un volumen de control que incluya la onda. Para evitar los trminos noestacionarios que seran necesarios en la Figura 9.1a, adoptamos el volumen de controlde la Figura 9.1b, que se mueve hacia la izquierda a velocidad C. La onda est ahorafija, y el fluido pasa de la velocidad C a la izquierda a C - !1V a la derecha. Laspropiedades termodinmicas p, p y T no se ven afectadas por este cambio.

En la Figura 9.1b, el flujo a travs de la onda es estacionario y unidimensional. Laecuacin de continuidad es, pues, segn la Ecuacin (3.24),

o

pAC = (p + !1p)(A)(C - !1V)

!1V = C !1pp + !1p (9.10)

Esto prueba nuestra idea de que la velocidad inducida en el flujo de la derecha es muchomenor que la velocidad e de la onda. En el lmite de una onda de intensidad infinitesimal(onda sonora), esta velocidad es tambin infinitesimal.

Ntese que no hay gradientes de velocidad a ambos lados de la onda. Por tanto, aun-que la viscosidad del fluido sea alta, los efectos de friccin quedan confinados al interiorde la onda. Los textos avanzados [por ejemplo 9] muestran que el espesor de las ondas

9.2. La velocidad del sonido 607

de presin en gases es del orden de 10-6 ft a la presin atmosfrica. Por ello podemos des-preciar sin problemas la friccin y aplicar la ecuacin de cantidad de movimiento unidi-mensional (3.40) a travs de la onda:

2:Fderecha = ni(Vsal - Vent)o pA - (p + Ap)A = (pAC)(C - AV - C) (9.11)De nuevo, el rea desaparece y podemos despejar la variacin de presin:

Sp = pC AV (9.12)Si la intensidad de la onda es muy pequea, la variacin de presin tambin es muypequea.

Finalmente, combinando las Ecuaciones (9.10) y (9.12), obtenemos una expresinpara la velocidad de la onda:

c2 = Ap (1 + AP)Ap p

Cuanto mayor sea la intensidad Ap/ p de la onda, mayor es su velocidad; por tanto, lasondas de una explosin son mucho ms rpidas que las ondas sonoras. En el lmite deintensidad infinitesimal Ap ~ 0, tenemos lo que se define como la velocidad del sonidoa del fluido:

(9.13)

2 opa =-op (9.14)

El clculo de la derivada requiere conocer el proceso termodinmico que sigue el fluidoal atravesar la onda. Sir Isaac Newton cometi en 1686 el error ya famoso de deduciruna expresin para la velocidad del sonido que era equivalente a suponer un procesoisotermo, 10 que conduce a subestimar la velocidad con un error del 20% en el aire. largumentaba que la discrepancia se deba a la "crasitud" (partculas de polvo, etc.) delaire; este error es comprensible, ya que se cometi 180 aos antes de que se establecieracon bases rigurosas la segunda ley de la termodinmica.

Ahora sabemos que el proceso es adiabtico, porque no hay gradientes de temperatu-ra excepto en el interior de la onda. Para ondas sonoras de intensidad casi nula, tenemospor tanto un proceso adiabtico o isoentrpico de intensidad infinitesimal. La expresincorrecta para la velocidad del sonido es

a = (~pI )1/2 = (k ~pI )1/2Bp s op T

(9.15)

para cualquier fluido, gas o lquido. Incluso los slidos tienen una velocidad del sonido.Para un gas perfecto, de la Ecuacin (9.2) o (9.9), deducimos

(k )112

a =: = (kRT)lf2La velocidad del sonido aumenta con la raz cuadrada de la temperatura absoluta. Para elaire, con k = 1.4 YR = 1716 ft2/(s2 . R), una frmula dimensional fcil de memorizar es

(9.16)

a(ft/s) = 49[TeR)]1I2a(mls) = 20[T(K)]lf2 (9.17)


Tabla 9.1. Velocidad del sonidode diversos materiales a 60 "F(15.5 C) y 1 atm.

Material a, rus a,misGases:H 4,246 1,294He 3,281 1,000Aire 1,117 340Ar 1,040 317COz 873 266CH. 607 185238UF

297 91

Lquidos:Glicerina 6,100 1,860Agua 4,890 1,460Mercurio 4,760 1,450Alcoholetlico 3,940 1,200

Slidos:*Aluminio 16,900 5,150Acero 16,600 5,060Nogalamericano 13,200 4,020Hielo 10,500 3,200

*Ondas planas. Los slidos tambin tienenvelocidad de onda transversal.

9.3. Flujo estacionarioadiabtico e isoentrpico

A nivel del mar en atmsfera estndar, 60F = 520 R, a = 1117 ft/s. Disminuye en laalta atmsfera, que est ms fra; a 50,000 ft de altura estndar, T = -69.7 F = 389.9R Y a = 49(389.9)112= 968 ft/s, un 13 por 100% menos.

La Tabla 9.1 da algunos valores representativos de las velocidades del sonido en diver-sos materiales. Para lquidos y slidos, es comn definir el mdulo de compresibilidad Kdel material:

K = -"V ap I = p ap Ia"V s ap s

En funcin del mdulo de compresibilidad, a = (Klp)112. Por ejemplo, en condicionesnormales, el mdulo de compresibilidad del tetracloruro de carbono es de 1.12 OPa y sudensidad es de 1590 kg/m', Su velocidad del sonido es por tanto a = (1.12 109 Pal1590kg/m3)1I2 = 840 mis = 2750 ft/s. El acero tiene un mdulo de compresibilidad de2.0 . 1011 Pa y el agua de 2.2 . 109 Pa (vase Tabla A.3), 90 veces menor.

En slidos, se supone a veces que el mdulo de compresibilidad es equivalente almdulo de elasticidad E de Young, pero de hecho su cociente depende del coeficiente dePoisson a:

(9.18)

E- = 3(1 - 20')K

(9.19)

Los dos son iguales cuando a = 1. que es aproximadamente lo que ocurre en muchosmetales comunes como el acero y el aluminio.

EJEMPLO 9.2

Calcule la velocidad del sonido en mis del mon6xido de carbono a 200 kPa de presin y300C.

Solucin

De la Tabla AA, para el CO, tomamos un peso molecular de 28.01 y k = 1.40. De la Ecua-cin (9.3), Reo = 8314/28.01 = 297 m2/(s2 . K), Y la temperatura dada es 300C + 273 =573 K. Por tanto, de la Ecuacin (9.16), tenemos

co ~ (kRT)1/2 ~ [1.40(297)(573)]1/2 ~ 488m/s Resp.

Como se mencion en la Seccin 9.1, la aproximacin isoentrpica simplifica enor-memente el clculo del flujo compresible. Lo mismo ocurre con la hiptesis de flujoadiabtico, aunque no sea isoentrpico.

Considrese el flujo a altas velocidades de un gas cerca de una pared aislada, como enla Figura 9.2. No hay trabajo de partes mviles que sea comunicado al fluido. Por tanto,cualquier tubo de corriente del flujo satisface la ecuacin de la energa estacionaria en laforma (3.66):

(9.20)

donde el punto 1 est aguas arriba del 2. Deben revisarse los detalles de la Ecuacin(3.66), as como su desarrollo. En el Ejemplo 3.16 vimos que las variaciones de energa

Figura 9.2. Distribuciones develocidad y entalpa de remansoen las proximidades de una paredaislada en un flujo tpico de gasesa alta velocidad.

9.3. Flujo estacionario adiabtico e isoentrpico 609

:----

v I.- ha..-...- - - - - lir> livsi Pr < 1------r ----- liv

..

I-, --- . ~ Pared aislada

potencial en un gas son extremadamente pequeas comparadas con los trminos de ener-ga cintica y entalpa. Por ello despreciaremos los trminos gz y gZ2 en todos los anlisisde dinmica de gases.

Dentro de las capas lmite viscosa y trmica de la Figura 9.2, los trminos de transfe-rencia de calor y trabajo de los esfuerzos viscosos q y W

vson no nulos. Pero fuera de la

capa lmite q y Wvson cero por definicin, de modo que la corriente exterior satisface

la relacin

(9.21)

La constante en la Ecuacin (9.21) es igual a la mxima entalpa que puede alcanzarel fluido cuando se le lleva al reposo adiabticamente. A este valor ho le denominamosentalpa de remanso, o de estancamiento, del flujo. Por tanto, la Ecuacin (9.21) se puedeescribir en la forma

h + ~V2 = ho = cte (9.22)

Esto debe cumplirse para el flujo estacionario adiabtico de cualquier fluido compresiblefuera de la capa lmite. La pared en la Figura 9.2 puede ser la superficie de un cuerpo o lapared de un conducto. Los detalles se muestran en la Figura 9.2; normalmente, el espesorde la capa lmite trmica 8r es mayor que el espesor de la capa lmite viscosa 8v' debidoa que la mayora de los gases tienen un nmero de Prandtl Pr menor que la unidad (vase,por ejemplo, Referencia 19, Seccin 4-3.2). Ntese que la entalpa de remanso vara den-tro de la capa lmite trmica, pero su valor medio es el mismo que en la corriente exteriordebido al aislamiento de la pared.

En gases no perfectos, pueden ser necesarias las tablas de vapor [15] o tablas de gases[16] para poder usar la Ecuacin (9.22). Pero en gases perfectos h = el y la Ecuacin(9.22), queda

(9.23)

Esta es la definicin de la temperatura de remanso Ta del flujo adiabtico de un gas per-fecto, esto es, la temperatura que alcanzara si se le decelerase hasta el reposo adiabti-camente.

Una interpretacin alternativa de la Ecuacin (9.22) se obtiene si hacemos que la ental-pa y la temperatura tiendan a cero, de modo que la velocidad alcanza un valor mximo:

v: = (2h )1/2 = (2e T. )112mx o pO (9.24)El fluido no puede alcanzar velocidades superiores a sta sin que se le suministre energaadicional mediante el trabajo de partes mviles o la adicin de calor (Seccin 9.8).


Figura 9.3. Magnitudesadiabticas (TITo y alao) eisoentrpicas (plpoY pipo) enfuncin del nmero de Mach,para k = 1.4.

Relaciones en funcin del nmerode Mach

Relaciones isoentrpicas depresin y densidad

o 3Nmero de Mach

4 5

Cuando se adimensionaliza la Ecuacin (9.23) utilizando la Ecuacin (9.16) para lavelocidad del sonido de un gas perfecto, aparece como parmetro el nmero de Mach.Dividiendo toda la ecuacin por cT, obtenemos

V2 To1+-=-2cpT T

(9.25)

Pero segn la ley de los gases perfectos, C T = [kRI(k - l)]T = a2/(k - 1), de modo quep

la Ecuacin (9.25) queda

(k - 1)V2 To1 + 2 T2a

o I t; k - 1 2 Ma=;1 (9.26).T=l+~Ma

Esta relacin est representada en la Figura 9.3 en funcin del nmero de Mach parak = 1.4. A Ma = 5, la temperatura ha cado a ~To'

Como a ex: T 1/2, el cociente aia resulta ser la raz cuadrada de (9.26):

( )112 [ ] 1/2:0 =; = 1 + ~ (k - 1)Ma2 (9.27)

La Ecuacin (9.27) tambin est representada en la Figura 9.3. Para Ma = 5, la velocidaddel sonido se ha reducido al 41% de su valor de remanso.

Ntese que las Ecuaciones (9.26) y (9.27) slo requieren que el flujo sea adiabticoy siguen siendo vlidas en presencia de irreversibilidades tales como las prdidas porfriccin o las ondas de choque.

Relacin con la ecuacin deBernoulli

Valores crticos en el puntosnico


Si el flujo es adems isoentrpico, en un gas perfecto las relaciones de presin ydensidad pueden calcularse como potencias de la relacin de temperaturas a partir dela Ecuacin (9.9):

Po (To)k/(k- l) [. 1 ]I


Frmulas tiles para el aire

En todo flujo isoentrpico, las condiciones crticas son constantes; en un flujo adiabticono isoentrpico, a* y 1'* son constantes y p* y p* variables.

La velocidad crtica V* es por definicin igual a la velocidad del sonido a* y se usa amenudo como velocidad de referencia en un flujo isoentrpico o adiabtico:

(2k )112

V* = a* = (kR1'*)1I2 = --RTok + 1 (9.33)

La utilidad de estas propiedades crticas quedar ms clara cuando estudiemos al final deeste captulo el flujo compresible en conductos con friccin o transferencia de calor.

Como la mayora de nuestros clculos prcticos se refieren al aire, k = 1.4, las rela-ciones del tipo pipo' etc., resultantes de las Ecuaciones (9.26) a (9.28), se encuentrantabuladas para dicho valor en la Tabla B.l. Los incrementos en nmero de Mach endicha tabla son ms bien grandes, porque se trata de una simple gua: hoy en dalas ecuaciones originales son triviales de manejar con cualquier calculadora manual.Hace treinta aos todos los textos incluan extensas tablas de flujo compresible conincrementos de 0.01 en el nmero de Mach para permitir la interpolacin precisa devalores. Incluso hoy en da existen libros de referencia [20, 21, 29] con tablas, grficasy programas de ordenador para una amplia variedad de casos de flujo compresible. LaReferencia 22 contiene frmulas y grficas para la termodinmica de flujos de gasesreales (no perfectos).

Para k = 1.4, obtenemos las siguientes versiones numricas de las frmulas de flujoisoentrpico y adiabtico:

; = 1 + 0.2Ma2(9.34)

o si lo que se conocen son las propiedades del flujo, podemos despejar el nmero deMach (de nuevo con k = 1.4):

Ma2 = 5(; - 1) = 5[(; J/5 - 1] = 5[(~oJI7 - 1] (9.35)Ntese que estas frmulas para flujo isoentrpico son equivalentes a lag ecuaciones de lacantidad de movimiento y la energa, adiabticas y sin friccin. Relacionan la velocidadcon las propiedades fsicas de un gas perfecto, pero no son la "solucin" al problemafluido-dinmico. La solucin completa no se obtiene hasta que no se satisfaga tambinla ecuacin de la continuidad, bien unidimensional (Seccin 9.4) o multidimensional(Seccin 9.9).

Una nota final: Estas frmulas que ligan las relaciones isoentrpicas con el nmerode Mach son seductoras, y nos tientan a resolver los problemas utilizando directamentelas tablas. En realidad, muchos problemas en los que entra la velocidad (dimensional)y la temperatura se pueden resolver ms fcilmente con la ecuacin original de la energa(9.23) y la ley de gases perfectos (9.2), como veremos en el siguiente ejemplo.


EJEMPLO 9.3

Un flujo de aire discurre adiabticamente por un conducto. En el punto 1 la velocidad es de240 mis, con T = 320 K Yv, = 170 kPa. Calcule (a) t; (b) Po' (c) Po' (el) Ma, (e) Vmx y(f) V*. En el punto 2 aguas abajo, V2 = 290 mis y P2 = 135 kPa. (g) Cul es la presinde remanso P02?

Solucin

Consideraciones: Tomamos el aire como gas ideal con k constante. El flujo es adiabticopero no isoentrpico. Las frmulas isoentrpicas slo se van a usar para calcular los valoreslocales de Poy Poque varan a travs del flujo.

Procedimiento: Emplearemos las frmulas adiabticas e isoentrpicas para calcular lasdiversas magnitudes.

Parmetros del gas ideal: Para el aire, R = 287 m2J(s2 . K), k = 1.40 Y cp= 1005 m2J

(S2. K). Apartados (a, b, e, el): Conocidas TI' P, y VI' se obtienen las restantes propiedades en el

punto 1:

vi (240 mJS)2TO! = TI + 2c

p= 320 + 2[ 1005 m2J(s2 . K)] = 320 + 29 = 349 K Resp. (a)

Usando la Ecuacin (9.35) se puede calcular el nmero de Mach y a continuacin seobtienen la presin y densidad de remanso:

pO! = P1 (1 + 0.2 Mar)3.5 = (170 kPa)[ 1 + 0.2(0.67)2f5 = 230 kPapO! 230,000 N/m2 N . s2/m kg

PO! = RTo1 = [287 m2J(s2. K)J(349 K) = 2.29 ~ = 2.29 m3

Mal = )5(;11 - 1) = )5G;~~- 1) = VoMs = 0.67

Resp. (b)

Resp. (c)

Resp. (el)

Comentario: Obsrvese que hemos utilizado frmulas dirnensionales (sin nmeros deMach) donde nos ha convenido.

Apartados (e, f): Tanto VrnX

como V* estn relacionadas directamente con la temperaturade remanso a travs de las Ecuaciones (9.24) y (9.33):

Resp. (e)

2(1.4) ( m2 ) m287 -- (349 K) = 342-(1.4 + 1) s2K s Resp. (j)

En el punto 2 aguas abajo la temperatura no es conocida, pero sabemos que el flujo esadiabtico y por tanto la temperatura de remanso es constante: TOI = T02 = 349 K. De laEcuacin (9.23),

V~ (290 mJS)2T2 = T02 - 2c

p= 349 - 2[ 1005 m2/(s2 . K) J = 307 K

Luego, de la Ecuacin (9.28a), la presin de remanso en el punto 2 es

(T02)k/(k-1) (349 K)1.4/0.4

P02 = P2 T2

= (135 kPa) 307 K = 211 kPa Resp. (g)


9.4. Flujo isoentrpico concambios de rea

Figura 9.4. Flujo compresibleen un conducto: (a) perfil develocidades para un fluido real;(b) aproximacin unidimensional.

Comentarios: En el apartado (g) resulta ms sencillo utilizar una expresin como laempleada que calcular el nmero de Mach, que resulta ser M~ = 0.83, Y usar entoncesla frmula (9.34) en funcin del nmero de Mach para obtener P02' Ntese que P02 es un8% menor que POI' El flujo no es isoentrpico: la entropa aumenta aguas abajo y la presiny densidad de remanso disminuyen, debido en este caso a las prdidas por friccin.

Combinando las relaciones de flujo isoentrpico y/o adiabtico con la ecuacin de conti-nuidad, podemos estudiar problemas prcticos de flujos compresibles. Esta seccin tratade la aproximacin de flujo unidimensional.

La Figura 9.4 ilustra la hiptesis de flujo unidimensional. Un flujo real, Figura 9.4a,cumple la condicin de no deslizamiento en la pared y su perfil de velocidades V(x, y)vara a travs de la seccin del conducto (comprese con la Figura 7.8). Sin embargo, silas variaciones de rea son pequeas y el radio de curvatura de la pared es grande,

h(x) ~ R(x) (9.36)

entonces el flujo es aproximadamente unidimensional, como en la Figura 9.4b, conV = V(x), consecuencia de la variacin de rea A(x). Los flujos compresibles en toberasy difusores no siempre satisfacen las condiciones (9.36), pero de todas formas emplea-mos la teora unidimensional debido a su sencillez.

Para flujos estacionarios unidimensionales, la ecuacin de continuidad, obtenida de laEcuacin (3.24), es

p(x)V(x)A(x) = m = cte (9.37)

Antes de aplicar esta teora, podemos aprender muchas cosas derivando la Ecuacin(9.37):

dp dV dA-+-+-=0P V A

(9.38)

Recordemos por conveniencia las formas diferenciales de la ecuacin de cantidad demovimiento sin friccin (9.31) y de la velocidad del sonido (9.15):

Fx~+- ~~V(X)

Radio de curvaturade la pared R(x)

(a) (b)

Figura 9.5. Efecto del nmerode Mach sobre las variaciones delas propiedades del flujo cuandocambia el rea del conducto.

9.4. Flujo isoentrpico con cambios de rea 615

Geometra del conducto Subsnico, Ma < 1 Supersnico, Ma > 1

~ e> dA>O~

dVO

Difusor subsnico

dV>OdpOdA


Figura 9.6. La Ecuacin (9.40)muestra que el flujo a travs deuna garganta (a) puede acelerarsegradualmente de subsnico asupersnico. El flujo en el vientre(b) nunca puede ser snico porrazones fsicas.

Relaciones para un gas perfecto

Amx

~Subsnico: Ma < 1 Subsnico:

I

(Supersnico: I Supersnico)Ma> 1

~

Subsnico Ma = 1 Supersnico-'-~

(a) (b)

Usando las relaciones de gas perfecto y flujo isoentrpico, podemos convertir la ecua-cin de la continuidad (9.37) en una expresin algebraica que relacione el nmero deMach con el rea. Igualemos el gasto msico en cualquier seccin al gasto msico encondiciones snicas (que no tienen por qu darse en el conducto):

pVA = p*V*A*

A p* V*A* p Vo (9.41)

Los dos factores del segundo miembro son nicamente funciones del nmero de Mach enflujo isoentrpico. De las Ecuaciones (9.28) y (9.32),

p* p* Po { 2 [1 ] } l/(k-l)- = - - = -- 1 + - (k - 1)Ma2p PoP k+l 2

(9.42)

De las Ecuaciones (9.26) y (9.32) obtenemos

V*V

(kRT*)ll2 = (kRT)1/2 (T*)1I2(To)1/2V V t; T

1 { 2 [1 ]} 112= - -- 1 + - (k - 1)Ma2Ma k + 1 2

(9.43)

Combinando las Ecuaciones (9.41) y (9.43) llegamos al resultado deseado:

~ = l[l+ (k :-.n.M~.~]{lf2)(k+I)/(k-l)A* Ma ~(k + 1) (9.44)

Para k = 1.4, la Ecuacin (9.44) se puede escribir

A 1 (1 + 0.2 Ma2)3A* Ma 1.728

(9.45)

que est representada en la Figura 9.7. Las Ecuaciones (9.34) y (9.45) nos permiten resol-ver cualquier problema isoentrpico y unidimensional de aire si conocemos, por ejemplo,la forma del conducto A(x) y las condiciones de remanso y suponemos que no hay ondasde choque.

La Figura 9.7 muestra que el rea mnima que puede haber en un flujo isoentrpicoen un conducto es la garganta o rea snica (o crtica). Todas las dems secciones del

Figura 9.7. Relacin de reas enfuncin del nmero de Mach parael flujo isoentrpico de un gasperfecto con k = 1.4.

Bloqueo

La funcin de gasto msico local


AA*

2.0-

Ecuacinexacta(9.45)

I0.5

I2.01.0 1.5

Nmero de Mach2.5

conducto deben tener un rea A mayor que A *. En muchos flujos no llegan a darse las con-diciones snicas y por tanto el flujo es subsnico o, ms raramente, supersnico en todo elconducto.

De la Ecuacin (9.41), vemos que el cociente inverso A*/A es igual a pV/(p*V*), elgasto msico por unidad de rea en cualquier seccin comparado con el de condicionescrticas. En la Figura 9.7 vemos que este cociente inverso pasa de cero para Ma = Oa uno para Ma = 1 y vuelve luego a cero para grandes Ma. As, para condiciones deremanso dadas, el gasto msico mximo que puede atravesar un conducto se da cuandoen la garganta hay condiciones crticas o snicas. Decimos entonces que el conductoest bloqueado y no puede haber un gasto msico mayor, a no ser que se agrande lagarganta. Si la garganta se constrie an ms, el gasto msico a travs del conductodebe disminuir.

De las Ecuaciones (9.32) y (9.33), tenemos que el gasto msico mximo es

(2 )1I(k- 1) (2k )1/2

mmx = p*A*V* = Po k + 1 A* k + 1RTo

(

2 )(1I2)(k+ l)/(k-l)= k1f2 -- A*p (RT. )1/2

k + 1 o o (9.46a)

Para k = 1.4, esta expresin se reduce a

. . In O.6S47poA*mmx = O.6847A *Po(RTo) - = lf2(RTo)

(9.46b)

Para un flujo isoentrpico a travs de un conducto, el mximo gasto msico posible esproporcional al rea de la garganta y a la presin de remanso, e inversamente proporcionala la raz cuadrada de la temperatura de remanso. Esto es algo abstracto, as que lo ilustra-remos con algunos ejemplos.

Las Ecuaciones (9.46) proporcionan el mximo gasto msico, que se produce cuandose dan condiciones de bloqueo (salida snica). Dichas ecuaciones pueden modificarse


para predecir el gasto msico real (no mximo) en cualquier seccin donde el realocal A y la presin P sean conocidas.' El lgebra es laboriosa, por lo que nicamentedaremos el resultado final, expresado en forma adimensional:

g{(E-.)2Ik[1 _ (E-.)(k'-'l)/k]\ k - 1 Po Po

F, fui e m-vIiToUIlClon. UJO maS1CO = ---A Po

(9.47)

Enfatizamos que en esta relacin p y A son los valores locales en la posicin x. A medidaque pipo decae, esta funcin crece rpidamente y se nivela con el mximo dado por lasEcuaciones (9.46). Aqu damos algunos valores para k = 1.4:

0.6847

:50.5283

Funcin

La Ecuacin (9047) es muy til cuando se conocen las condiciones de remanso y el flujono est bloqueado.

El nico proceso arduo en estos problemas es invertir la Ecuacin (9.45) para calcularel nmero de Mach cuando AlA * es dato. Esta es una situacin ideal para EES, que obten-dr el valor de Ma en un instante. A falta de EES, sugerimos las siguientes expresionesaproximadas, que permiten calcular el nmero de Mach a partir del valor de AlA * con un2% de error, para k = lA, siempre que se respeten los rangos de validez de cada unade las frmulas:

1 + 0.27(AIA*)-2A }

1.34 < - < 00 (9A8a)1.728AIA* A* flujo subsnico

( A J.451.0 < :* < 1.341 - 0.88 ln- (9A8b)A*

Ma=(A }12

}A (9.48c)1 + 1.2 A* - 1 1.0 < A* < 2.9

[A (A r3r5 A flujo supersnico216 A* - 254 A* 2.9 < - < 00 (9A8d)A*Las expresiones (9.48a) y (9.48d) son correctas asintticamente cuando AlA * ~ 00, mien-tras que (9A8b) y (9A8c) son simples correlaciones. Aun as, estas ltimas, representadasen la Figura 9.7, son precisas dentro de sus respectivos rangos.

N6tese que para cada valor de AIA:l< hay dos posibles soluciones, una subsnica y otrasupersnica. La solucin adecuada no puede escogerse sin ms informacin adicional,como por ejemplo la presin o la temperatura en alguna seccin del conducto.

EJEMPLO 9.4

Un flujo de aire circula isoentrpicamente por un conducto. En la seccin 1 el rea es de0.05 m2 y V! = 180 mis, v,= 500 kPa y T = 470 K. Calcule (a) t; (b) Mal' (e) Po y (el) A*Ym. Si en la seccin 2 el rea es de 0.036 m', calcule Ma2 y P2 suponiendo que el flujo es(e) subsnico o (1) supersnico. Suponga k = 1.4.

1El autoresten deudaconGeorgesAigret,de Chimay,Blgica,por sugerirleesta funcintan til.

Apartado (a)

Apartado (b)

Apartado (e)

Apartado (d)

fI!I Apartado (e)


Solucin

La Figura E9.4 muestra un diagrama general del problema. Conocidas VI y TI' la ecuacinde la energa (9.23) proporciona

QuizSubsnico supersnico

GargantaIVI = l80ro/s

I~ -- Asmase- flujoisoentrpicoE9.4

Pl =500kPaTI =4~OK

@I A2 = 0.036 ro2C0

Al = 0.05 m2

@A2 = 0.036 ro2

vi (180lTo = TI + - = 470 + -- = 486 K2cp 2(1005)

La velocidad local del sonido al = ~ = [(1.4)(287)(470)]1/2 = 435 mis. De donde

Resp. (a)

VI 180Mal = - = - = 0.414

al 435Resp. (b)

Conocido Mal' la presin de remanso se deduce de la Ecuacin (9.34):

Po = PI(l + 0.2 Mai)3.5 = (500 kPa)[ 1 + 0.2(0.414ly5 = 563 kPa Resp. (c)

Anlogamente, de la Ecuacin (9.45), obtenemos el rea crtica de la garganta:

Al = (1 + 0.2 Mai)3A* 1.728 Mal

L[ _1:.-.+---..:.:0.=.c2(c::.:0........:41:...:.4~)2L]3- = 1.5471.728(0.414)

o A* = ~ = 0.05 m2= 0.0323 m2

1.547 1.547Resp. (d)

Si el flujo aguas abajo va a ser realmente supersnico, debe haber una garganta en algunaseccin del conducto.

Una vez conocido el valor de A *, para calcular el gasto msico utilizamos las Ecuaciones(9.46), que siguen siendo vlidas independientemente de que el rea de la garganta sea o no ..la crtica: .... .

. = 0.6847 PoA* = 0.6847 (563,000)(0.0323) = 33.4 k /sm v'ii'To V(287)( 486) g Resp. (el)

o bien podemos hacer uso de la Ecuacin (9.47) para el "gasto msico local", empleando,por ejemplo, la presin y el rea en la seccin 1. Con pipo = 500/563 = 0.889, la Ecuacin(9.47) proporciona

. \.1287(486)m =

563,000(0.05)2(1.4) (0.889)2/1.4[1 _ (0.889)0.4/1.4] = 0.444 m = 33.4 kg Resp. (el)Q4 s

La hiptesis de flujo subsnico corresponde a la seccin 2E de la Figura E9.4. El conducto secontrae con una relacin de reas A/A* = 0.036/0.0323 = 1.115, que se encuentra en el lado


liiI Apartado (f)

izquierdo de la Figura 9.7 o en la parte subsnica de la Tabla B.l. Pero ni la figura ni la tablaproporcionan resultados demasiado precisos. Para obtener una precisin mayor tenemos dosopciones. La primera es usar la Ecuacin (9.48b) para estimar M~ = 1 - 0.88 In (1.115)045 =0.676 (error menor que el 0.5%). La segunda es utilizar EES (Apndice E), que proporcionala solucin con la precisin deseada con slo tres instrucciones (en unidades SI):

A2 = 0.036

Astar = 0.0323

A2/Astar = (1 + O. 2*Ma2A2) A3/1. 2A3/Ma2Si especificamos que la solucin debe ser subsnica (por ejemplo, limitando Ma2 < 1), EESproporciona

Ma2=0.6758 Resp. (e)[Si deseamos una solucin supersnica (exigiendo Ma2> 1), obtenemos Ma2= 1.4001, quees la respuesta del apartado (f).] La presin viene dada entonces por la frmula isoentrpica

Po 563 kPaP2 = [1 + 0.2(0.676)2]3.5 = 1:358 = 415 kPa Resp. (e)

El apartado (e) no requiere la existencia de una garganta; el flujo podra simplemente con-traerse subsnicamente de Al a A2

Suponga en este caso que el flujo es supersnico, 10 que corresponde a la seccin 2F de laFigura E9.4. La relacin de reas es ahora A/A* = 0.036/0.0323 = 1.115, que se encuentraen el lado derecho de la Figura 9.7 o en la parte supersnica de la Tabla B.1 (esta ltimaproporciona una estimacin bastante precisa para Ma2 = 1.40). Pero vuelve a haber otras dosopciones ms precisas. La primera es usar la Ecuacin (9.48c), que proporciona la aproxi-macin Ma2 = 1 + 1.2(1.115 - 1)1/2 = 1.407, slo un 0.5% por encima del valor real. Lasegunda es usar EES, que proporcionar una solucin muy precisa con las mismas instruc-ciones que en el apartado (e). As, si especificamos que deseamos una solucin supersnica(por ejemplo, limitando Ma2 > 1), EES responde

Ma2 = 1.4001 Resp. (f)

La presin viene dada de nuevo por la relacin isoentrpica para el nuevo valor del nmerode Mach:

Po 563 kPaP2 = [1 + 0.2(1.4001)2]3.5 = 3Ts3 = 177 kPa Resp. (f)

Ntese que el nivel de la presin en el flujo supersnico es mucho menor que el valor P2 delapartado (e), y que debe existir una garganta crtica entre las secciones 1 y 2F.

EJEMPLO 9.5Se desea expansionar aire desde Po = 200 kPa y T = 500 K a travs de una tobera hastaalcanzar un nmero de Mach de salida 2.5. Si el gasto msico debe ser de 3 kg/s, calcule (a)el rea de la garganta y (b) la presin, (c) la temperatura, (d) la velocidad y (e) el rea a lasalida, suponiendo que el flujo es isoentrpico con k = 1.4.

Solucin

El rea de la garganta se obtiene de la Ecuacin (9.47), ya que sta debe ser snica paraproducir una salida supersnica:

m(RT. )112A* = o

0.6847po3.0[287(500) ]112 = 0.00830 m2 = ~ 7TD*20.6847(200,000) 4

o Dgarganta = 10.3 cm Resp. (a)

9.5. La onda de choque normal 621

Conocido el nmero de Mach a la salida, las relaciones de flujo isoentrpico proporcionanla presin y la temperatura:

Po 200,000Ps = [1 + 0.2(2.5)zy5 = 17.08 = 1l,700Pa

T - To - 500 - 222s - 1 + 0.2(2.5)2 - 2.25 - K

Resp. (b)

Resp. (e)

La velocidad de salida se deduce del nmero de Mach y de la temperatura:

Vs = Ma,(kRTs)lIz = 2.5 [1.4(287)(222) ]1/2 = 2.5(299 mis) = 747 mis Resp. (d)

El rea de salida se deduce del rea de la garganta, del nmero de Mach a la salida y de laEcuacin (9.45):

o

As [1 + 0.2(2.5)Z]3A* = 1.728(2.5) = 2.64

As = 2.64A* = 2.64(0.0083 m2) = 0.0219 mZ = l7TD;D, = 16.7 cm Resp. (e)

o

Un punto a destacar: el clculo de A * no depende en absoluto del valor numrico del nmerode Mach a la salida. La salida es supersnica; por tanto, la garganta es snica y est bloqueaday no se necesita informacin adicional.

9.5. La onda de choque normal Una irreversibilidad habitual en flujos supersnicos internos y externos es la onda dechoque normal, esquematizada en la Figura 9.8. Excepto a muy bajas presiones (cer-canas al vaco), estas ondas de choque son muy delgadas (unas micras de espesor) yse comportan como discontinuidades en el campo fluido. Seleccionamos un volumen decontrol inmediatamente por delante y por detrs de la onda, como en la Figura 9.8.

Onda dechoquefija

Flujoisoentrpicoaguas arriba

s=sl -Mal> 1 --Ma2 < 1 Flujoisoentrpicoaguas abajo8=82 >81

A~>A'tP02


El anlisis es idntico al de la Figura 9.1, esto es, la onda de choque es una onda depresin intensa. Para calcular los cambios de todas las propiedades, no slo la velocidadde la onda, utilizaremos nuestras relaciones bsicas de flujo unidimensional estacionario,tomando la seccin 1 aguas arriba y la seccin 2 aguas abajo:

Continuidad pV = P2V2 = G = cte (9.49a)Cantidad de movimiento: Pi - P2 = P2V~ - pvi (9.49b)Energa h + ~vi = h2 + ~V~ ho = cte (9.49c)

Gas perfecto J!.L .e: (9.49d)pT P2T2

e constante h = cpT k = cte (9.4ge)p

Ntese que hemos suprimido las reas, escribiendo Al = Az, lo que est justificado, inclu-so en conductos de seccin variable, por la delgadez de la onda. Los primeros anlisisserios de estas relaciones se deben a W. J. M. Rankine (1870) y A. Hugoniot (1887), deah su nombre de relaciones de Rankine-Hugoniot. Si suponemos conocidas las condicio-nes aguas arriba (PI' VI' p, hl, TI)' las Ecuaciones (9.49) nos permiten calcular las cincoincgnitas (Pz, Vz, Pz, hz, Tz) Debido al trmino cuadrtico de la velocidad, existen dossoluciones, de las cuales slo es correcta aquella en que Sz > SI' como indica la segundaley de la termodinmica.

Las velocidades VI y Vz pueden ser eliminadas de las Ecuaciones (9.49a) a (9.49c)para llegar a la relacin de Rankine-Hugoniot:

1 ( 1 1)h2 - h = -2 (P2 - p) - + -P2 p (9.50)Esta relacin contiene nicamente propiedades termodinmicas y es independiente de laecuacin de estado. Introduciendo la ley de los gases perfectos h = e T = kp/[(k - l)p],

p

esta relacin se puede reescribir en la forma

P2 1 + f3P2/Po, f3 + pz/p

k + 1f3=k-l (9.51)

Podemos comparar esta expresin con la relacin de flujo isoentrpico, correspondientea una onda de presin muy dbil en un gas perfecto:

P2 = (P2)l/kp p (9.52)

Tambin se puede calcular la variacin de entropa a travs de la onda de choque para ungas perfecto:

~ = In [P2 (p)k]c., p P2

(9.53)

Suponiendo una cierta intensidad pip l' podemos calcular la relacin de densidades y lavariacin de entropa para k = 1.4, que damos en la tabla siguiente:

Relaciones en funcin delnmero de Mach


!2 P2/Pl S2 - SIPI Ecuacin (9.S1) Isoentrpico ev

3.5 0.6154 0.6095 -0.01343.9 0.9275 0.9275 -0.000051.0 1.0 1.0 0.01.1 1.00704 1.00705 0.000041.5 1.3333 1.3359 0.00272.0 1.6250 1.6407 0.0134

Vemos que la variacin de entropa es negativa cuando la presin decrece al atravesarla onda, lo que viola la segunda ley de la termodinmica. Por tanto, una onda de rarefac-cin es imposible en un gas perfecto.' Tambin vemos que las ondas de choque dbiles(P/p ::5 2.0) son prcticamente isoentrpicas.

En un gas perfecto, los cocientes de las diversas propiedades a travs de una onda dechoque normal son nicamente funciones de k y del nmero de Mach aguas arriba Mal'Por ejemplo, si eliminamos P2 y V2 de las Ecuaciones (9.49a) a (9.49c) e introducimosh = kp/[(k - l)pl, obtenemos

P2 = _1_ [2PVi _ (k - 1)]Pi k + 1 Pi

(9.54)

Pero para un gas perfecto Plv..2/P = kV/ /(kRT.J = k Ma~, de forma que la Ecuacin(9.54) es equivalente a

P2 = _1_ [2kMai - (k 1)]Pl k + 1

(9.55)

De esta ecuacin vemos que para cualquier k, P2 > PI slo si Mal> 1.0. As, el nmerode Mach aguas arriba de una onda de choque normal debe ser supersnico para satisfacerla segunda ley de la termodinmica.

Qu ocurre con el nmero de Mach aguas abajo? Con la identidad pV2 = kpMa2,para gases perfectos, podemos reescribir la Ecuacin (9.49b) de la siguiente forma:

P2p

1 + kMai1 + kMa~ (9.56)

que relaciona el cociente de presiones con ambos nmeros de Mach. Igualando las Ecua-ciones (9.55) y (9.56), tenemos

2 (k - 1) MaT + 2Ma? = -'----:: 1, Ma2 debeser subsnico. Por tanto, una onda de choque normal decelera bruscamente el flujo decondiciones supersnicas a condiciones subsnicas.

'Esto tambin es cierto para la mayora de los gases reales. Vase la Secci6n 7.3 de la Referencia 9.


Figura 9.9. Salto de lasmagnitudes fluidas a travs de unaonda de choque normal, parak = 1.4.

Manipulando an ms las ecuaciones bsicas (9.49) podemos obtener numerosas rela-ciones adicionales que relacionan entre s las variaciones de las propiedades de un gasperfecto a travs de una onda de choque normal:

P2 (k + 1) Mar VIPI (k - 1) Mal + 2 V2

[2 + (k - 1) Ma2] 2k Mal - (k - 1)I (k + 1)2Mal

T02 = TOl

(9.58)

P02 P02

POI POl[

(k+l)Mar ]k/(k-l)[ k+1 ]l!(k-l)2 + (k - 1) Mar 2k Mar - (k - 1)

De especial inters es el hecho de que el rea A * de la garganta snica o crtica aumentaal atravesar la onda de choque:

Af = Ma2 [2 + (k - 1) MaI](1!2)(k+ I)(k- 1)Al" Mal 2 + (k - 1)Ma~

(9.59)

Todas estas relaciones estn tabuladas en la Tabla B.2 y aparecen representadas en laFigura 9.9 como funciones del nmero de Mach Mal para k = 1.4. Vemos que la presinaumenta considerablemente, mientras que la temperatura y la densidad lo hacen de formamoderada. El rea crtica A * de la garganta aumenta suavemente al principio y rpida-mente despus. Un error frecuente entre los estudiantes en el clculo de ondas de choquees no tener en cuenta estos cambios de A *.

La temperatura de remanso permanece invariante, pero la presin y la densidad deremanso decrecen en la misma proporcin; esto es, el flujo a travs de la onda de choque esadiabtico pero no isoentrpico. Otros principios bsicos que gobiernan el comportamientode las ondas de choque pueden ser resumidos as:

6

Mal

Figura 9.10. Las ondas de choquenormales se forman tanto enflujos internos como externos.(a) Onda de choque normal enun conducto; ntese la estructurade ondas de Mach a la izquierda(aguas arriba), indicando que elflujo es supersnico. [Cortesa delU.S. Air Force Arnold EngineeringDevelopmtmt CBntBr.] (b) Elflujo supersnico alrededor deun cuerpo romo crea unaonda de choque normaldesprendida delante del cuerpo;el espesor aparente de la ondade choque y la curvatura de lasesquinas del cuerpo se deben aefectos pticos. [Cortesa delU.S. Army Ballistic ResearchLaboratory, Aberdeen ProvingGround.]


1. El flujo es supersnico aguas arriba y subsnico aguas abajo.2. En gases perfectos (y tambin en los fluidos reales, excepto en condiciones termo-

dinmicas extremas), las ondas de rarefaccin son imposibles, y nicamente puedehaber ondas de compresin.

3. La entropa aumenta a travs de una onda de choque, con la consecuente cada de lapresin y la densidad de remanso y aumento del rea crtica A *.

4. Las ondas de choque dbiles son prcticamente isoentrpicas.

Las ondas de choque normales se forman en conductos bajo condiciones transitorias,como por ejemplo en tubos de choque, y en flujos estacionarios para ciertos rangos de lapresin aguas abajo. La Figura 9.lOa muestra una onda de choque en una tobera super-snica. El flujo es de izquierda a derecha. Las ondas de choque oblicuas que aparecendelante de la onda de choque normal se deben a la rugosidad de la pared de la tobera eindican que el flujo es supersnico aguas arriba. Ntese la ausencia de estas ondas deMach (vase Seccin 9.10) en la regin sub snica aguas abajo.

(a)

(b)


Ondas de choque normalesmviles

3 mZE9.6

Las ondas de choque normales no slo aparecen en flujo supersnico en conductos,sino tambin en una gran variedad de flujos supersnicos externos. Un ejemplo es el flujosupersnico alrededor de un cuerpo romo, como muestra la Figura 9.lOb. La onda dechoque delantera es curva, con una parte esencialmente normal a la corriente incidente.Esta regin normal de la onda de choque satisface las relaciones de variacin de las pro-piedades expuestas en esta seccin. El flujo detrs de la onda de choque y cerca del morrodel cuerpo es por tanto sub snico y est a una temperatura relativamente alta Tz > T, demodo que la transferencia convectiva de calor es especialmente alta en esta regin.

Las partes no normales de la onda de choque frontal de la Figura 9.lOb satisfacen lasrelaciones de onda de choque oblicua que se vern en la Seccin 9.9. Ntense tambinlas ondas oblicuas de recompresin a los lados del cuerpo. Lo que ha sucedido es que elflujo subsnico frontal se ha acelerado en las esquinas, volvindose de nuevo supersnicoy a baja presin, y debe aproximarse a las condiciones de alta presin que existen aguasabajo atravesando una segunda onda de choque.

Es de sealar la estructura fina de la estela turbulenta en la parte de atrs del cuerpo enla Figura 9.lOb. La capa lmite turbulenta a lo largo de las paredes laterales del cuerpoes tambin fcilmente visible.

El anlisis de un flujo supersnico tridimensional complejo como el de la Figura 9.10queda ms all de los objetivos de este libro. Para ms informacin, vea, por ejemplo, elCaptulo 9 de la Referencia 9, o el Captulo 16 de la Referencia 5.

El anlisis precedente de una onda de choque fija tambin es aplicable a una onda dechoque mvil si invertimos la transformacin utilizada en la Figura 9.1. Para simularque el fluido aguas arriba est en reposo, movemos la onda de choque de la Figura 9.8hacia la izquierda con una velocidad VI; esto es, fijamos nuestro sistema de referencia alvolumen de control que se mueve con la onda de choque. Entonces el fluido aguas abajoaparecer movindose hacia la izquierda con una velocidad menor V - V2 siguiendo laonda de choque. Las propiedades termodinncas no se ven alteradas por esta transfor-macin, de modo que todas nuestras Ecuaciones (9.50) a (9.59) siguen siendo vlidas.

EJEMPLO 9.6

Desde un depsito donde p = 300 kPa y T = 500 K fluye aire a travs de la garganta dela Figura E9.6 hacia la seccin 1, donde hay una onda de choque normal. Calcule (a) p,(b) P2, (e) Pcr (


Una precisin de cuatro dgitos puede requerir iteracin o el uso de EES. La correlacin(9.48c) proporcionara Mal = 1 + 1.2(2.0 - 1)In = 2.20, una estimacin excelente. Si seinterpolara linealrnente en la Tabla B.1 se obtendra Mal = 2.197, que tambin es aceptable.La presin en la seccin 1 se deriva de la relacin isoentrpica (9.28):

= POi = 300 kPa = 28 2 kPPi (1 + 0.2MaI)3.s [1 + 0.2(2.197?]3.5 . a Resp. (a)

Apartados (b, e, d): La presin P2 se obtiene de la ecuacin de onda de choque normal(9.55) o de la Tabla B.2:

Pl 2 28.2 kPa 2P2 = -k 1 [2k Ma] - (k -1)] = ( [2(1.4)(2.197) - (1.4 -1)] = 154kPa Resp. (b)+ 1.4 + 1)Anlogamente, para Mal = 2.20, la Tabla B.2 proporciona POlPOI = 0.628 (EES da 0.6294)y AffAf = 1.592 (EES da 1.5888). As pues, tenemos

P02 = 0.628pOI = 0.628(300 kPa) = 188kPaAi = 1.59Af = 1.59(1.0m2) = 1.59m2

Resp. (e)

Resp. (d)

Comentario: Para calcular Af directamente, sin usar la Tabla B.2, necesitaramos calcularpreviamente Ma2 = 0.547 de la Ecuacin (9.57), puesto que en la Ecuacin (9.59) inter-vienen tanto Mal como Ma2

Apartados (e, f): El flujo de 2 a 3 es isoentrpico (pero con una entropa mayor que aguasarriba de la onda de choque); por tanto,

P03 = P02 = 188 kPaAj = A~ = 1.59m2

Resp. (e)

Resp. (f)

Apartados (g, h): El flujo es adiabtico en todo el conducto, de modo que la temperaturade remanso es constante:

T03 = T02 = TOI = 500 K Resp. (h)

El cociente de reas, empleando la nueva rea snica, proporciona el nmero de Mach enla seccin 3:

A3 = ~ = 1.89 = _1_ (1 + 0.2 Ma~)3Aj 1.59m2 Ma3 1.728

obtenindose Ma3 = 0.33

Con EES hubiramos obtenido Ma3= 0.327, y usando nuestra correlacin (9.48a), Ma3 =0.329. Finalmente, conocida P02' la Ecuacin (9.28) proporciona P3:

P02 188kPaP3 = (1 + 0.2 Ma~)3.s= [1 + 0.2(0.33)2]3.5= 174kPa Resp. (g)

Comentarios: EES proporciona P3~ 175 kPa, luegovemo~que tanto la TablaB,2 corno lasexpresiones (9.4g) resultan satisfactorias para este tipo de problemas. Un co~ducto conunaonda de choque normal requiere la aplicacin directa de relaciones algebraicas para gasesperfectos y cierta nocin sobre qu frmulas deben aplicarse en funcin de las propiedadesconocidas.

EJEMPLO 9.7

Una explosin en aire, k = 1.4, genera una onda de choque esfrica que se propaga radial-mente en aire en reposo y en condiciones normales. En el instante mostrado en la FiguraE9.7, la presin detrs de la onda es de 200 lbf/in". Calcule (a) la velocidad e de la onda dechoque y (b) la velocidad del aire V justo detrs de sta.


Apartado (a)

Apartado (b)

e p = 14.7 lbf'/in? absT= 5200R

E9.7

Solucin

A pesar de la geometra esfrica, el flujo a travs de la onda de choque se mueve perpendicu-larmente a sta; por ello se pueden utilizar las relaciones (9.50) a (9.59) para ondas de choquenormales. Fijando nuestro volumen de control a la onda mvil, vemos que las condicionesapropiadas en el problema, aplicables a la Figura 9.8, son

c= VI PI = 14.7Ibf/in2 absolutaV=V,-Vo ])0 = 200 lbf/in" absoluta

La velocidad del sonido justo delante de la onda de choque es al = 49T:12 = 1117 ft/s. Pode-mos calcular Mal a partir del salto de presiones:

P2 200 lbflin2 absoluta = 13.61Pi 14.71bflin2 absoluta

De la Ecuacin (9.55) o de la Tabla B.2,

_ 1 213.61 - - (2.8 Mal - 0.4)2.4 o Mal = 3.436

Entonces, por definicin de nmero de Mach, tenemos

c = VI = Mal al = 3.436(1117 ftls) = 3840 ftls Resp. (a)Para calcular V2 necesitamos la temperatura o la velocidad del sonido en el interior de laonda de choque. Como Mal = 3.436 es conocido, de la Ecuacin (9.58) o de la Tabla B.2obtenemos TTI = 3.228. Entonces,

T2 = 3.228T = 3.228(5200R) = l679R

A temperaturas tan elevadas deberamos tener en cuenta que el gas no es perfecto o utilizarlas tablas [16], pero no lo haremos. Simplemente estimaremos mediante la ecuacin de laenerga (9.23) para un gas perfecto que

o

V~ = 2cp(T - T2) + Vf = 2(6010)(520 - 1679) + (3840)2 = 815,000V2 = 903 ft/s

Ntese que no nos hemos preocupado aqu de calcular Ma., igual a 0.454, ni az = 49Tzl12= 2000 ft/s.

9.6. Operacin de toberasconvergentes y divergentes

Tobera convergente

9.6. Operacin de toberas convergentes y divergentes 629

Finalmente, la velocidad del aire detrs de la onda de choque es

v = VI - V2 = 3840 - 903 = 2940 ft/s Resp. (b)Vemos que una explosin potente genera un viento breve pero muy intenso al pasar.'

Combinando las relaciones de flujo isoentrpico y ondas de choque normales con elconcepto de bloqueo snico, podremos indicar las caractersticas de las toberas con-vergentes y divergentes.

Consideremos en primer lugar la tobera convergente de la Figura 9.11a. Aguas arribahay un depsito con una presin de remanso po. El flujo se induce bajando la presinexterior, o ambiente, P; aguas abajo por debajo de Po' lo que origina la secuencia desituaciones a hasta e que se muestran en las Figuras 9.llb y c.

Si P; es moderadamente baja, casos a y b, la presin en la garganta es mayor que elvalor crtico p* que hara snica la garganta. El flujo es subsnico en toda la tobera yla presin P, en el chorro de salida es igual a la presin ambiente Pa. El gasto msico quepredice la teora isoentrpica resulta ser menor que el valor crtico mmx' como muestra laFigura 9.llc.

En el caso c, la presin ambiente es exactamente igual a la presin crtica p* de lagarganta. La garganta se hace snica, el chorro de salida es snico, conps = Pa' y el gastomsico es mximo, con el valor dado por la Ecuacin (9.46). El flujo aguas arriba de lagarganta es sub snico y obedece a las relaciones isoentrpicas basadas en la relacin dereas local A(x)/A * y la Tabla B.l.

Finalmente, si P a disminuye por debajo de p*, casos d y e, la tobera ya no respondeporque el flujo est bloqueado en su valor mximo. La garganta sigue siendo snica conP, = p* y la distribucin de presin es la misma que en el caso c, como muestra la Figura9.l1b. A la salida el chorro se expande supersnicamente y la presin baja de p* hastaPo: La estructura del chorro es compleja y tridimensional y no la mostramos aqu. Al sersupersnico, el chorro no puede enviar ninguna seal aguas arriba para variar las condi-ciones de bloqueo del flujo en la tobera.

Si el depsito es grande o est alimentado por un compresor, y si la cmara de descargaes grande o est suplementada con una bomba de vaco, el flujo en la tobera ser esta-cionario o casi estacionario. En cualquier otro caso, el flujo ir disminuyendo a medidaque el depsito se descarga a travs de la tobera, Po disminuir y Pa aumentar, y el flujoir cambiando desde el caso e hasta el a. Los clculos de descargas suelen hacerse supo-niendo flujo casi estacionario isoentrpico, utilizando los valores instantneos de po(t)y p.(t).

3Este es el principio de los tubos de choque, en los cuales una explosin controlada genera un flujo brevea muy altos nmeros de Mach, que se capta con instrumentos de respuesta rpida. Vase, por ejemplo, laSeccin 4.5 de la Referencia 2.


Pa

Poe) 'Ps ---, ..,.

\Contornodel chorro

(a)

1.0a} Chorrob subsnico

p*Po

e

d} ExpansinP del chorroPo x e supersnico

O(b)

e d e1.0

Figura 9.11. Funcionamientode una tobera convergente: --1iL(a) geometra de la tobera mmaxmostrando las presionescaractersticas; (b) distribuciones e.de presin originadas por distintas

O p* 1.0 Popresiones ambiente; (e) gastomsico en funcin de la presin Po

ambiente. (e)

EJEMPLO 9.8

Una tobera convergente tiene 6 cm' de rea de garganta y condiciones de remanso de 120 kPay 400 K. Calcule la presin de salida y el gasto msico si la presin ambiente es de (a) 90. kPa y. (b) 45 kPa. SupongaF'r= 1.4.

Solucin

De la Ecuacin (9.32), con k = 1.4, tenemos que la presin en la garganta crtica (snica)vale

*L = 0.5283Po

o p* = (0.5283)(120 kPa) = 63.4 kPa

Si la presin ambiente es menor, el flujo en la tobera estar bloqueado.

Apartado (a)

Apartado (b)

Tobera convergente-divergente


Para P; = 90 kPa > p*, el flujo es subsnico y no est bloqueado. La presin a la salida esP, = Ps: El nmero de Mach a la salida se obtiene de la relacin isoentrpica (9.35) o de laTabla B.l:

[(p )2/7 ] [(120)2/7 ]Ma; = 5 P: - 1 = 5 90 - 1 = 0.4283

Para determinar el gasto msico podramos obtener de forma secuencial Ma, T, a, V Y P ,para calcular finalmente PsAYs' Sin embargo, como la presin local es conocida ~n ~st: apa:-tado, resulta ms apropiado utilizar la "funcin adimensional de gasto msico" de la Ecuacin(9.47). Con p/po= 90/120 = 0.75, obtenemos

Mas = 0.654

2(01.4)(0.75)2/1.4[1- (0.75).4/1.4]= 0.6052.4

por tanto, m = 0.6052(0.0006)(120,000) = 0.129 kg/Y287(400) s Resp. (a)

para Ps = P = 90kPa Resp. (a)

Para P; = 45 kPa < p*, el flujo est bloqueado, como en el caso d en la Figura 9.11b. Lapresin de salida es snica:

Ps = p* = 63.4 kPa Resp. (b)

El gasto msico mximo (bloqueado) se obtiene de la Ecuacin (9.46b):

m = m = 0.6847poAs = 0.6847(120,000)(0.0006) = o 145 kg/s Resp. (b)mx (RTo)112 [287(400)]112 .

Cualquier presin ambiente inferior a 63.4 kPa producir el mismo gasto msico bloqueado.Ntese que el incremento en un 50% del nmero de Mach de salida, de 0.654 a 1.0, sloaumenta el gasto msico en un 12%, de 0.128 a 0.145 kg/s.

Consideremos ahora el caso de la tobera convergente-divergente de la Figura 9.12a.Si la presin ambiente Pa es suficientemente baja, habr flujo supersnico en la partedivergente y pueden darse varias situaciones con ondas de choque, como se indica enla Figura 9.12b. Veamos qu ocurre al reducir gradualmente la presin ambiente.

En los casos A y B de la Figura 9.12b, la presin ambiente no es lo suficientementebaja como para provocar flujo snico en la garganta, y el flujo es subsnico en toda latobera. La distribucin de presiones se calcula a partir de las relaciones isoentrpicassub snicas con cambios de rea, por ejemplo, de la Tabla B.l. La presin de salida esPs = Pd Yel chorro es subsnico.

En el caso e, la relacin de reas A/Ag es igual a la crtica AJA * para el Mas subsnicoen la Tabla B.l. La garganta se hace snica y el gasto msico alcanza un mximo como seve en la Figura 9.12c. El resto de la tobera es subsnica, incluyendo el chorro de salida,y Ps = r,

Pasemos momentneamente a la curva H. Aqu P; es tal que p Ip corresponde exac-tamente con la relacin de reas crtica A/A * para un Mas supersnico en la Tabla B.l.El flujo divergente es enteramente supersnico, incluyendo el chorro de salida, y P, = Pa'Esta situacin se denomina tobera adaptada y corresponde a la presin de diseo de untnel de viento supersnico o de un motor de cohete.


Figura 9.12. Funcionamiento deuna tobera convergente-divergente:(a) geometra de la tobera conlas posibles configuraciones delflujo; (b) distribuciones de presinoriginadas por distintas presionesambiente; (e) gasto msico enfuncin de la presin ambiente.

Posible ondade choque normal

Po c=> Posible geometracompleja del chorroGradiente (a)de presinadverso

1.01 ~~::::::l===~c==~=l~r---~_-..,..--C---.~_-r--D""';;'_I---E

&~";"'~~--H-""'---

(b)

(e)

Volvamos ahora atrs y supongamos que Pa est entre e y H, lo cual es imposible segnla teora de flujo isoentrpico. Veamos lo que ocurre en los casos D a F de la Figura 9.12b.La garganta sigue estando bloqueada en los valores snicos y podemos hacer que P, = P;situando una onda de choque normal en el lugar adecuado de la seccin divergente, dandolugar a un difusor subsnico que lleve la presin al valor correcto. El gasto msico siguesiendo mximo, segn la Figura 9.l2c. En el caso F, la onda de choque normal est exac-tamente en la seccin de salida. En la configuracin G, ninguna onda de choque normales capaz de producir la expansin necesaria, y por ello el flujo se comprime en el exteriormediante una serie compleja de ondas de choque oblicuas hasta que se alcanza Pa.

Finalmente, en la configuracin 1, Pa es menor que la presin de diseo, curva H,pero la tobera est bloqueada y no responde. El chorro de salida se expande en una seriecompleja de ondas supersnicas hasta que se alcanza la baja presin ambiente. Para msdetalles sobre estas configuraciones fuera de diseo, vase, por ejemplo, la Seccin 5.4 dela Referencia 7.

Apartado (a)

Apartado (b)


Ntese que para P; menor que la del caso e, el flujo en la tobera es supersnico y portanto la garganta no puede recibir ninguna seal del exterior. El flujo permanece bloquea-do y la garganta no tiene informacin de las condiciones exteriores.

Tambin conviene advertir que la idea del acoplamiento con la onda de choque nor-mal est idealizada. Aguas abajo de la onda aparece un gradiente adverso de presin quepuede producir la separacin de la capa lmite en la pared. La capa desprendida interac-ciona fuertemente con el ncleo del flujo bloquendolo (recurdese la Figura 6.27) ysuele producir una serie de ondas de compresin bidimensionales dbiles en lugar de unanica onda de choque normal (vanse las pginas 292 y 293 de la Referencia 9, para msdetalles).

EJEMPLO 9.9

Una tobera convergente-divergente (Figura 9.12a) tiene un rea de garganta de 0.002 m' y unrea de salida de 0.008 nr'. Las condiciones de remanso del aire son Po = 1000 kPa y T = 500K. Calcule la presin de salida y el gasto msico para (a) la condicin de diseo, y la presinde salida y el gasto msico si (b) P: = 300 kPa y si (e) P; = 900 kPa. Suponga k = lA.

Solucin

La condicin de diseo corresponde al flujo isoentrpico supersnico con relacin de reasA /A = 0.008/0.002 = 4.0. Podemos encontrar el nmero de Mach de diseo mediante ite-

s 9racin en la frmula para cocientes de rea (9045), usando EES, o mediante la curva decorrelacin (9.48d):

Mas.diseo= [216(4.0) - 254(4.W/3]1/5 = 2.95 (exacto = 2.9402)

Como puede verse, la precisin proporcionada por la correlacin es satisfactoria. La relacinde presiones de diseo se obtiene de la Ecuacin (9.34):

Po = [1 + 0.2(2.95)2yS = 34.1Ps

o1000kPa

Ps,diseo= 34.1 = 29.3 kPa Resp. (a)

Como la garganta es snica en las condiciones de diseo, podemos aplicar la Ecuacin(9A6b):

. _. _ 0.6847PoAg _ 0.6847(106 Pa)(0.002 rn2)mdiseo- lnmx - (RT

O)112 - [287(500) ]112

= 3.61 kg/s

Resp. (a)

Para P; = 300 kPa, estamos claramente por debajo de la condicin subsnica isoentrpica ede la Figura 9.l2b, pero incluso podemos estar por debajo del caso F, en que hay una onda dechoque normal a la salida, o sea, podemos estar en el caso G, donde tenemos ondasde choque oblicuas aguas abajo de la seccin de salida. En el caso G, P = P di _ = 29.3 kPa,ya que no ha habido ninguna onda hasta la salida. Para verlo, calc~lamo~ r~ocondicin Fsuponiendo una onda de choque normal a la salida con Mal = 2.95, esto es, el nmero deMach de diseo justo aguas arriba de la onda de choque. De la Ecuacin (9.55),

P2 1 2- = - [2.8(2.95) - 0.4] = 9.99Pl 2.4

P2 = 9.99pl = 9.99Ps,diseo= 293 kPao


Apartado (e)

9.7. Flujo compresible enconductos con friccin'

Como es menor que Pa = 300 kPa, hay una onda de choque un poco antes de la salida (con-dicin E). El flujo a la salida es subsnico e igual a la presin ambiente:

Ps = Pa = 300kPa Resp. (b)

Resp. (b)Tambin m = mmx = 3.61 kg/sLa garganta es snica y est bloqueada y el gasto msico es mximo.

Finalmente, paraPa = 900 kPa, estamos cerca de la condicin e, as que calculamos MasyP,en el caso e para comparar. De nuevo A/Ag = 4.0 para esta condicin, con un Mas subsnicoestimado a partir de la correlacin (9.48a):

Ma (C) _ 1 + 0.27/(4.0)2 -s - 1.728(4.0) - 0.147 (exacto = 0.14655)

La relacin de presin isoentrpica en esta condicin es

Po = [1 + 0.2(0.147)2y5 = 1.0152Ps

o1000

Ps = -O 5 = 985kPa1. 1 2

La presin ambiente de 900 kPa es menor que este valor, correspondiendo, pues, a la con-dicin D de la Figura 9.12b. Por tanto, en este caso habr una onda de choque normal justoaguas abajo de la garganta y sta quedar bloqueada:

Ps = Pa = 900kPa m = ~x = 3.61 kg/s Resp. (e)Con esta relacin de reas tan grande, la presin a la salida debe ser mayor que 985 kPa paratener flujo subsnico en la garganta y un gasto msico menor que el mximo.

La Seccin 9.4 ha mostrado el efecto de las variaciones de rea sobre un flujo com-presible despreciando la friccin y la transferencia de calor. Ahora podramos aadirestos efectos y considerar la interaccin entre ellos, como se hace en textos avanzados(vase, por ejemplo, Referencia 5, Captulo 8). En lugar de esto, a ttulo de introduc-cin elemental, esta seccin trata solamente del efecto de la friccin, despreciando lasvariaciones de rea y la transferencia de calor. Las hiptesis bsicas son:

1. Flujo adiabtico estacionario unidimensional.2. Gas perfecto con calores especficos constantes.3. Conducto recto de rea constante.4. El trabajo mecnico (de posibles partes mviles) y las variaciones de energa poten-

cial son despreciables.5. El esfuerzo en la pared responde a correlaciones de coeficientes de friccin de Darcy.

As, estamos estudiando un problema de friccin en un tubo, tipo Moody, pero con gran-des variaciones de energa cintica, entalpa y presin.

Este tipo de flujo en conductos, con rea constante, entalpa de remanso constante,gasto msico constante, pero cantidad de movimiento variable (a consecuencia de la fric-cin), se denominafiujo de Fanno, en honor a Gino Fanno, un ingeniero italiano nacidoen 1882 que estudi por primera vez este tipo de flujos. Para valores dados del gasto

4Esta seccin puede omitirse sin prdida de continuidad.

Figura 9.13. Volumen de controlinfinitesimal para el flujo enconductos de seccin constantecon friccin.

9.7. Flujo compresible en conductos con friccin 635

Volumende control "tp nD dx

~---~----I--------~I I

V-I ~V+dVp I I p+dpI I

p i i P +dpT~ reaA ~T+dT

h L y~~e.!~ J h+dh...----",-",-->,-'~-------dx--------~x x+dx

msico y la entalpa de remanso, el grfico que representa la entalpa frente a la entropapara todos los posibles estados del flujo, subsnico o supersnico, se denomina curva deFanno. Vanse los Problemas P9.94 y P9.111 para ejemplos de curvas de Fanno.

Consideremos el volumen de control de rea A y longitud dx de la Figura 9.13. El reaes constante, pero las dems propiedades del flujo (p, p, T, h, V) pueden variar con x. Apli-cando las tres leyes de conservacin a este volumen de control obtenemos las siguientesecuaciones diferenciales:

Continuidad:m

pV = - = G = cteA

dp dV-- + -- = O (9.60a)p V

pA - (p + dp)A - 7p'1TDdx = m(V + dV - V)47 dx

dp + ---t- + pV dV = O (9.60b)

o

Cantidad de movimiento en x:

o

Energa

o

Como estas tres ecuaciones tienen cinco incgnitas, p, p, T, Vy 7 , necesitamos dos rela-p

ciones adicionales. Una de ellas es la ley de los gases perfectos:

dp dp dT--=--+--p p T

Para eliminar 7p, suponemos que el esfuerzo de friccin local en la pared puede obtenerse

a partir del valor local del coeficiente de friccin de Darcy f:

p = pRT o (9.61)

(9.62)

donde la ltima forma procede de la definicin de la velocidad del sonido para un gasperfecto a2 = kp/p. En la prctica, f est relacionado con el nmero de Reynolds local yla rugosidad de la pared, por ejemplo, mediante el diagrama de Moody (Figura 6.13).


Flujo adiabtico

Las Ecuaciones (9.60) y (9.61) son ecuaciones diferenciales de primer orden que,complementadas con datos sobre el coeficiente de friccin, pueden ser integradas, desdeuna seccin de entrada 1, donde Pl' TI' VI' etc., son conocidas, para determinar p(x),T(x), etc., a lo largo del conducto. Es prcticamente imposible eliminar todas las variablesmenos una para tener una sola ecuacin diferencial, por ejemplo para p(x), aunque todaslas ecuaciones se pueden reescribir en funcin del nmero de Mach Ma(x) y del coefi-ciente de friccin, utilizando la siguiente definicin del nmero de Mach:

o 2dV 2dMa dT--=--+-V Ma T

(9.63)

Eliminando las variables entre las Ecuaciones (9.60) a (9.63) obtenemos las siguientesrelaciones prcticas:

dp k 2 1 + (k - I)Ma2 dx(9.64a)- Ma f-

p 2(1 - Ma2) D

dp kMa2 dx dV2(1 - Ma2)f D = -y- (9.64b)p

dpo dpo 1 2 dx(9.64c)--kMa -

Po Po 2 D

dT k(k - 1) Ma4 dxT 2(1 - Ma2) D (9.64d)

dMa2 21 + ~(k - 1)Ma2 dx(9.64e)--=kMa -

Ma2 1 - Ma2 D

Todas ellas, excepto dPrlpo' tienen el factor 1 - Ma2 en el denominador, de modo quemuestran, al igual que las frmulas de variacin de rea de la Figura 9.5, que los flujossubsnicos y supersnicos tienen efectos opuestos:

Propiedad Subsnco Supersnico

p Disminuye Aumentap Disminuye AumentaV Aumenta DisminuyePo, Po Disminuye DisminuyeT Disminuye AumentaMa Aumenta DisminuyeEntropa Aumenta Aumenta

Hemos aadido a esta lista que la entropa aumenta a lo largo del conducto tanto enflujo subsnico como supersnico, como consecuencia de la segunda ley de la termodi-nmica para flujo adiabtico. Por la misma razn, la presin y densidad de remansodisminuyen.

El parrnetro clave en esta discusin es el nmero de Mach. Sea el flujo a la entradasubsnico o supersnico, el nmero de Mach tiende siempre aguas abajo hacia Ma = 1,ya que es la evolucin en la cual aumenta la entropa. Calculando la presin y la densidad

Figura 9.14. El flujo adiabticoy con friccin en un conducto conseccin constante siempre tiende aMa = 1 para satisfacer el segundoprincipio de la termodinmica. Lacurva calculada es independientedel valor del coeficientede friccin.


4.0

Corriente enconducto

3.0-

k=lA

-g::E 20-., ."t:l

~';:1Z

Corriente enconductosubsnica ~

I0.8

I1.0O 0.2 0.4 1.2

sC.

con las Ecuaciones (9.64a) y (9.64b) Y la entropa con la Ecuacin (9.53), el resultadopuede ser representado en funcin del nmero de Mach para k = 1.4, como se muestraen la Figura 9.14. La mxima entropa se da para Ma = 1, Ypor ello la segunda ley exigeque el flujo en el conducto tienda continuamente hacia el punto snico. Como Po y Podecrecen continuamente a lo largo del conducto a consecuencia de las prdidas por fric-cin (no isoentrpico), stas no son tiles como propiedades de referencia. En su lugar,las propiedades snicas p*, p*, T*, Po* y Po* son las magnitudes constantes de referenciams apropiadas en el flujo adiabtico en conductos. Con la teora podemos calcular loscocientes p/p*, T/T*, etc., en funcin del nmero de Mach local y el efecto integrado dela friccin.

Para obtener frmulas tiles, abordamos primero la Ecuacin (9 .64e), que relaciona elnmero de Mach con la friccin. Separando variables e integrando obtenemos:

(9.65)

El lmite superior es el punto snico, sea o no alcanzado en el conducto. El lmite inferiores situado arbitrariamente en x = O, donde el nmero de Mach es Ma. El resultado de laintegracin es

(9.66)1 - Ma2 k + 1 (k + 1)Ma2--~-+--ln 'JkMa2 2k 2 + (k - Ij Ma"

donde f es el coeficiente de friccin medio entre O y L*. En la prctica, siempre seconsidera un f medio, y no se tienen en cuenta las pequeas variaciones del nmero deReynolds a lo largo del conducto. Si el conducto es de seccin no circular, D se sustituyepor el dimetro hidrulico D; = (4 X rea)/permetro, como en la Ecuacin (6.59).


La Ecuacin (9.66) est tabulada en funcin del nmero de Mach en la Tabla B.3. Lalongitud L* es la longitud necesaria para que un flujo a nmero de Mach Ma alcance lascondiciones snicas. Muchos problemas se refieren a conductos cortos en los que el flujonunca llega a hacerse snico; en ellos utilizaremos diferencias entre longitudes "mxi-mas", o snicas, tabuladas. Por ejemplo, la longitud !1L necesaria para pasar de Mal aMa, viene dada por

D.L= (tL*) _ (tL*)D D 1 D 2

As se evita la necesidad de tabulaciones adicionales l'ara conductos cortos.Se recomienda estimar el coeficiente de friccin f utilizando el diagrama de Moody

(Figura 6.13) con valores medios del nmero de Reynolds y de la rugosidad del conducto.Los datos disponibles [23] sobre friccin de flujos compresibles en conductos muestranbuena concordancia con el diagrama de Moody en flujo subsnico, pero en supersnicolos valores medidos son hasta un 50% menores que los dados por el coeficiente de fric-cin equivalente de Moody.

(9.67)

EJEMPLO 9.10

A travs de un conducto de 2 cm de dimetro fluye aire subsnica y adiabticamente. Elcoeficiente de friccin medio vale 0.024. Cul es la longitud de conducto necesaria para ace-lerar el flujo de Mal = 0.1 a M~ = 0.5? Qu longitud adicional se precisara para alcanzarMa3 = LO?Suponga k = 1.4

Solucin

Utilizamos la Ecuacin (9.67) con valores de 1L*/Dobtenidos de la Ecuacin (9.66) o dela Tabla B.3:

M_0.024M_(lL*) _(lL*)D 0.02 m D Ma=O.l D Ma=O.5

= 66.9216 - 1.0691 = 65.8525

M= 65.8525(0.02m) = 55m0.024

La longitud adicional AL' para pasar de Ma == 0.5 a Ma == 1.0 se obtiene directamente dela Tabla B.2:

Por tanto, Resp. (a)

fllL' == (fL*) == 1.0691D D Ma=O.5

o Resp. (b)

Esto es muy tpico en este tipo de clculos: se precisan 55 m para acelerar el flujo hastaMa = 0.5 Y slo 0.9 m ms para alcanzar condiciones snicas.

Las frmulas para otras propiedades del flujo a lo largo del conducto se puedendeducir de las Ecuaciones (9.64). La Ecuacin (9.64e) puede usarse para eliminar f dxlDde las dems relaciones, dando, por ejemplo, dp/p en funcin slo de Ma y (d Ma2)IMa2


Por conveniencia en la tabulacin de los resultados, cada expresin se integra desde (p,Ma) hasta el punto snico (P*, 1.0). Los resultados integrados son

P 1 [ k + 1 ]1/2p* = Ma 2 + (k - 1) Ma2

e. = V* = _1_[2 + (k - 1)Ma2] 112p* V Ma k + 1

T a2 k + 1T* a*2 2 + (k - 1) Ma2

Po = Po = _1_[2 + (k - 1)Ma2](l/2)(k+l)/(k-l)p~ p~ Ma k + 1

(9.68a)

(9.68b)

(9.68c)

(9.68d)

Todas estas relaciones estn tambin tabuladas en la Tabla B.3. Para hallar las variacionesentre los puntos Mal y Ma2 que no son snicos, se utilizan productos de estos cocientes.Por ejemplo,

P2 P2 p*p p* r,

ya que p* es un valor de referencia constante del flujo.

(9.69)

EJEMPLO 9.11

Suponga para el flujo del Ejemplo 9.10 que para Mal = 0.1 tenemos PI = 600 kPa y TI = 450K. En la seccin 2 aguas abajo, Ma2 = 0.5. Calcule (a) P2, (b) T2, (e) V2 y (ti) Por

Solucin

Como informacin preliminar calculamos VI y POI a partir de los datos conocidos:

V = Ma al = 0.1[(1.4)(287)(450)t2 = 0.1(425 mis) = 42.5 misPOI = PI(l + 0.2 Mat)3.5= (600kPa)[1 + 0.2(0.1)2]3.5= 604kPa

Ahora entramos en la Tabla B.3 o en la Ecuacin (9.68) para obtener:

Seccin Ma p/p* VfV*l'/T*

2

0.10.5

10.94352.1381

1.19761.1429

0.10940.5345

Con estos cocientes calculamos todas las propiedades aguas abajo:

P2/P* 2.1381P2 = PI -- = (600 kPa) -- = 117 kPa

PI/P* 10.9435

T2/T* 1.1429T2= T-- = (450K)--6 = 429 KT/T* 1.197

V = V V2/V* = (42.5mis) 0.5345 = 208 ~2 I VI/V* 0.1094 s

P02/P~ 1.3399P02 = POIPO/P6 = (604 kPa) 5.8218 = 139kPa

5.82181.3399

Resp. (a)

Resp. (b)

Resp. (e)

Resp. (ti)


Bloqueo debido a la friccin

Figura 9.15. Comportamientodel flujo en un conducto con lacondicin a la entrada Ma = 3.0:(a) LID :s 26, flujo supersnicoen todo el conducto;(b) LID = 40 > L*/D, onda dechoque normal donde Ma = 2.0con flujo subsnico posteriorque se acelera hasta condicionessnicas a la salida; (e) LID =53,la onda de choque se forma ahoradonde Ma = 2.5; (ti) LID >63,flujo totalmente subsnicoy bloqueado a la salida.

Obsrvese la reduccin del 77% de la presin de remanso a consecuencia de la friccin.Las frmulas son seductoras, de modo que compruebe sus resultados por otros medios. Porejemplo, compruebe que P02 = P2 (1 + 0.2 Ma/)3.5.

Comentario sobre el software: En este tipo de problemas, el uso de EES resulta un tantolaborioso, pues requiere que se introduzcan dos veces las relaciones bsicas para la friccinen un tubo, Ecuaciones (9.68), una para la seccin 1 y otra para la seccin 2. Adems, debencalcularse VI' al y pO!' como acabamos de mostrar. Lo interesante es que una vez hecho esto,el nmero de Mach deja de ser el parmetro dominante, y uno podra especificarP2 o T2 o V2o P02, y EES proporcionara inmediatamente la solucin completa en la seccin 2.

La teora que se acaba de exponer predice que en un flujo adiabtico con friccin enun conducto de seccin constante, el flujo aguas abajo tiende hacia el punto snico,independientemente del nmero de Mach Ma, a la entrada. Existe una cierta longitudL*(Ma) para la cual el nmero de Mach a la salida es exactamente la unidad. El con-ducto est entonces bloqueado.

Pero qu ocurre si la longitud real L es mayor que esta longitud "mxima" L* predi-cha por la teora? En ese caso las condiciones del flujo deben cambiar, y hay dos posibi-lidades.

Entrada subsnica. Si L>L"(Ma.), el flujo se ralentiza hasta que se alcanza un nme-ro de Mach en la entrada Ma2 tal que L = L*(Ma2). El flujo en la salida es snico, y elgasto msico se ha reducido por bloqueo de friccin. Aumentos ulteriores en la longituddel conducto continuarn disminuyendo el Ma en la entrada y el gasto msico.

Entrada supersnica. En la Tabla B.3 vemos que la friccin tiene un efecto muy impor-tante sobre el flujo supersnico en un conducto. Incluso un nmero de Mach infinito enla entrada se reduce a condiciones snicas en tan slo 41 dimetros para f = 0.02. En la

3.0

1=0.020

k=l.4

..dg~

Apartado (a)

Apartado (b)


Figura 9.1~ se muestran algunos valores numricos tpicos, suponiendo Ma = 3.0 en laentrada y f = 0.02. Para esta condicin, L* = 26 dimetros. Si L aumenta por encima de26D, el flujo no se bloquear, sino que aparecer una onda de choque normal en el lugarpreciso para que el flujo subsnico con friccin resultante sea snico a la salida. La Figu-ra 9.15 muestra dos ejemplos, para LID = 40 Y 53. A medida que aumenta la longitud,la onda de choque necesaria se desplaza aguas arriba hasta que, para la Figura 9.15, laonda alcanza la entrada para LID = 63. Si L aumenta an ms, la onda de choque se des-plazar aguas arriba de la entrada hacia la tobera supersnica que alimenta el conducto.A pesar de todo, el gasto msico sigue siendo el mismo que para el conducto corto, debi-do a que presumiblemente la tobera de alimentacin tiene todava una garganta snica.Eventualmente, un conducto muy largo puede provocar el bloqueo de la garganta de latobera de alimentacin, reduciendo, por tanto, el gasto msico. As, la friccin supers-nica cambia la configuracin del flujo si L > L*, pero no bloquea el flujo hasta que L esmucho mayor que L*.

EJEMPLO 9.12

A la entrada de un conducto, por el que circula aire, se tiene Po = 200 kPa, T = 500 K YVI = 100mis. El coeficiente de friccin es 0.02. Calcule (a) la longitud mxima del conductopara estas condiciones, (b) el gasto msico si la longitud del conducto es de 15 m y (c) elgasto msico reducido si L = 30 m.

Solucin

En primer lugar calculamos

T = T. - !vi = 500 - !(100m(s)2 = 500 - 5 = 495 K1 o cp 1005m2/s2.K

al = (kRT)I/2 = 20(495)112= 445 misV 100

Mal = - = - = 0.225al 445

Por tanto,

Para este Mal' de la Ecuacin (9.66) o interpolando en la Tabla B.3,

lL*- = 11.0D

La mxima longitud posible del conducto para estas condiciones a la entrada es

L* = (JL*!D)D ;;;;11.0(0.03m) ;;;;:165mf 0.02 . Resp. (ti)

Dado que L = 15 m es menor que L*, el conducto no est bloqueado y el gasto msico seobtiene a partir de las condiciones a la entrada:

= POl = 200,000 Pa = 1.394k 1m3POI RTo 287(500 K) g

= POI = 1.394 = 1 359 k 1m3Pl [1 + 0.2(0.225)2yS 1.0255 . g

m = PIAVI = (1.359 kg/m3{(0.03 m)2 ](100 mis)donde= 0.0961 kg/s Resp. (b)


Apartado (e)

Prdidas localizadas enflujo compresible

Flujo isotermo con friccin:conductos largos

Como L = 30 m es mayor que L*, el conducto debe estar bloqueado de manera que L = L*,lo que corresponde a un Mal inferior a la entrada:

L*=L=30m

}L * 0.02(30 m)D = 0.03m = 20.0

Resulta difcil interpolar en la Tabla B.3 para fLID = 20 e imposible invertir la Ecuacin(9.66) para obtener el nmero de Mach sin necesidad de una laboriosa iteracin. Pero resultatrivial resolver la Ecuacin (9.66) para obtener el nmero de Mach usando EES mediante lassiguientes tres instrucciones:

k = 1.4

fLD = 20

fLD = (1 - MaA2) /k/MaA2 + (k + 1) /2/k*LN( (k + 1) *MaA2/ (2 + (k - 1) *MaA2

Especificando simplemente Ma < 1 en el men "Variable Info", EES responde:

Machoked = 0.174 (23 por ciento menos)

T = To = 497 K',new 1 + 0.2(0.174)2

a',new = 20 (497 K) 1/2 = 446 mIs

V"new=Ma,a,=0.174(446) =77.6 mIs

POl =1.373 k 1m3P',new = [1 + 0.2 (0.174)2]2.5 g

. [7r 2]mnew=p,AV,=1.373 (0.03) (77.6)= 0.0753 kg/s Resp. (e)(22 por ciento menos)

En el flujo incompresible en conductos, vase la Ecuacin (6.78), el coeficientede prdida K es el cociente entre la prdida de carga (Cl.p/pg) y la altura cintica o develocidad (V2/2g) en el conducto, Este valor es inadecuado para el flujo compresible,donde p y V ya no son constantes. Benedict [24] sugiere que se relacione la prdidade presin esttica (p- P2) con las condiciones aguas abajo usando un coeficiente deprdida esttica Ks:

K = 2(Pl - P2)s P2V~

(9.70)

Benedict [24] proporciona ejemplos de prdidas compresibles en contracciones yexpan-siones sbitas. En ausencia de datos experimentales, se podra emplear el valor Ks = Kdado en la Seccin 6,9 como primera aproximacin.

La hiptesis de flujo adiabtico con friccin es apropiada para flujos con alta veloci-dad en conductos cortos. Para flujos en conductos largos, como los gasoductos de gas

Gasto msico para una cadade presin dada


natural, el estado del gas se aproxima ms a un flujo isotermo. El anlisis es el mismo,excepto que la ecuacin de la energa (9.60c) se sustituye por la relacin

T= cte dT= O

De nuevo es posible escribir las variaciones de todas las propiedades en funcin delnmero de Mach. La integracin de la relacin entre el nmero de Mach y el coeficientede friccin da

}Lmx--=D

1 - kMa2k 2 + In (k Ma2)Ma

(9.71)

que es la analoga isoterma a la Ecuacin (9.66) del flujo adiabtico.Esta relacin proporciona el resultado interesante de que Lmx no se hace cero en

capítulo 9 - flujo compresible - 1

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