CAPITULO V

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CAPITULO V.

Diferenciacin e Integracin.

V.1. Introduccin.En los cursos de Clculo se estudian mtodos exactos para calcular derivadas e integrales. En algunas ocasiones estos mtodos resultan muy complicados, en otros casos no se tiene la funcin a derivar e integrar, sino una tabla de valores; para casos como estos, y en los que se requiere una gran exactitud, un mtodo de los que se estudiarn aqu resulta apropiado. Estos mtodos calculan las derivadas e integrales de manera aproximada por medio de procedimientos numricos alternos.

V.2. Diferenciacin.

Se abordar, primero, el tema relacionado con la diferenciacin y se estudiarn dos mtodos para derivar funciones.

V.2.1. Derivacin por medio de lmites.

Los mtodos de derivacin estudiados en cursos tradicionales de Clculo son, generalmente, apropiados para el clculo de los mismos; sin embargo, estos mtodos pueden resultar complicados en algunos casos de funciones muy especiales. Para tales casos, se tienen a la mano los siguientes Mtodos Numricos:

Por los cursos de Clculo se sabe que:

siendo ste un lmite en el que se manejan nmeros muy pequeos, se puede trabajar de la siguiente manera:

f(x) = [f(x+h) f(x)] k

donde k = h-1Se puede tomar h = 0.1n con n = 1, 2, 3, . . ., ya que h 0si n . Se toma, adems, el criterio de Cauchy como criterio de paro en el clculo de la integral. Para este mtodo se da a continuacin el algoritmo estructurado:

Algoritmo Derivada:

Definir f(x)

Leer x,

n = 1

da = 1 x 1010

Repetir

k =

d = [f(x + 0.1n) f(x)] * k

delta = |da d|

da = d

n = n + 1

Hasta delta <

Imprimir d

Terminar

Ejemplo: Calcular f(2.5) para f(x) = 3 x2 5 x + 6, con = 0.001

f(2.5) = 12.25

nhkx + hf(x)

10.1102.600010.3000- - -

20.121002.510010.03000.2700

30.1310002.501010.00300.0270

40.14100002.500110.00030.0027

50.151000002.500010.00000.0003

Como un segundo ejemplo, se presenta una derivada que no existe; as, se estudia el comportamiento del mtodo en casos como estos, los cuales no son poco comunes.

Ejemplo: Calcular f(1) para f(x) = con = 0.001.

f(1) = 0

nhkx + hf(x)

10.1101.10004.6416- - -

20.121001.010021.544316.9027

30.1310001.0010100.000078.4557

40.14100001.0001464.1588- - -

El mtodo no converge; por lo tanto, la derivada pedida no existe.

V.2.2. Derivacin por medio de diferencias finitas.

Dada la funcin f(x) definida por:

xy

x0y0

x1y1

x2y2

. . .. . .

xnyn

de la interpolacin de Newton se sabe que:

es un polinomio de grano n+1 que pasa por todos los puntos. As, hallando la derivada de la frmula anterior, se halla la derivada para cualquier punto tabulado.

Tomando en cuenta que:

x = x0 + k h

y por lo tanto:

k h = x x0se tiene:

k =

y tambin.

Ahora, derivando ambos miembros de la igualdad de la funcin de Newton con respecto a x, se tiene:

Finalmente, se obtiene:

La anterior es la frmula de derivacin de primer orden. Una forma alterna de calcular la derivada es calcular la funcin siguiendo el mtodo de Newton y derivando sta; as, sustituyendo se obtiene:

la cual es una funcin derivable.

Ejemplo: Calcular f(x) para la tabla de valores dada:

xiyi yi2 yi3 yi4 yi5 yi

1.00.79371.09010.62320.05630.0254- 0.1212

1.51.88381.71330.67950.0817- 0.0958

2.03.59712.39280.7912- 0.0141

2.55.98993.15400.7471

3.09.11393.9011

3.513.0150

Sustituyendo en la frmula:

f(x) = 0.0751 x3 + 0.9085 x2 0.4476 x + 0.2578

Por lo tanto, la derivada es:

f(x) = 0.2253 x2 + 1.817 x 0.4476

Solo para efectos comparativos, se da una tabla con los valores calculados por medio de la funcin y los valores reales de la derivada:

xycalculadayreal

11.59471.5874

1.52.78482.7848

24.08764.0876

2.55.50305.5006

37.03117.0107

3.58.67188.6073

Esta forma alterna de trabajar las derivadas es muy apropiado si se pretenden encontrar derivadas de varios puntos; pero si se necesita un slo punto o dos, el proceso es muy complicado y resulta ms apropiado utilizar la frmula de derivacin de primer orden en lugar de esta forma alterna.

Como nota final, obsrvese que la frmula tiene unos pocos sumandos; para tener una mejor aproximacin pueden calcularse algunos otros e incluso se puede derivar de nuevo esta frmula, tantas veces como sea necesario, para obtener derivadas de segundo orden y de orden superior en general.

V.3. Integracin.

La presente seccin presenta los mtodos utilizados para calcular las integrales por medio de los Mtodos Numricos. Se presentan tres de los mtodos ms utilizados.

V.3.1. Integracin por el Mtodo del Trapecio.

En los cursos de Clculo se define la integral de la siguiente manera:

esta definicin tiene un significado geomtrico segn se muestra en la Figura V.1: la integral es el rea debajo de la curva f(x) y es una sumatoria infinita si se toma en cuenta que x 0. Ahora, al trabajar la integral numricamente, para evitar tomar valores de i desconocidos, cuando se desean un nmero finito de sumandos y tratando de evitar lo ms posible el error, se pueden considerar trapecios en lugar de rectngulos, segn se muestra en la Figura V.2.

Figura V.1. Definicin de Integral.

Figura V.2. El mtodo del trapecio.

En la Figura V.2 se tiene:

B = f(xi+1)

b = f(xi)

h = xi+1 xiAs, se tiene:

Para cubrir un intervalo [a, b], se divide ste en n subintervalos, los cuales deben cumplir con h = xi+1 xi y tambin con a = x1, x2, x3, . . ., xn = b. As:

En la ecuacin anterior cada integral cumple con:

Por lo tanto se tiene:

De manera resumida:

Este mtodo es conocido como el Mtodo del Trapecio y es una forma de aproximarse al valor de la integral. El valor calculado de la integral ser cercano al valor real como se requiera, dependiendo del nmero de subintervalos con el que se divida el intervalo dado; esto es, a mayor nmero de subintervalos, mayor aproximacin. De manera similar a los mtodos anteriores, se presentan a continuacin dos algoritmos estructurados para ste mtodo; el primero asume el conocimiento dela funcin a integrar y el segundo trabaja con una tabla de valores.

Algoritmo Trapecio:

Algoritmo Trapecio:

Definir f(x)

Leer n, h

Leer a, b, n

Para i = 1 hasta n

h = (b a)/(n 1)

Leer yi

x = a

fin_para

i = 1

rea = y1 + yn

Repetir

Para i = 2 hasta n 1

yi = f(x)

rea = rea + 2 * yi

i = i + 1

fin_para

x = x + h

rea = rea * h/2

Hasta x > b

Imprimir rea

rea = y1 + yn

Terminar

Para i = 2 hasta n 1

rea = rea + 2 * yi

fin_para

rea = rea * h/2

Imprimir rea

Terminar

Ejemplo: Calcular la integral pedida, trabajando con seis intervalos:

Para trabajar con seis subintervalos se tiene:

h =

As, se genera una tabla de la siguiente manera:

xymy * m

0.00.062510.0625

0.50.061520.1230

1.00.058820.1176

1.50.054820.1096

2.00.050020.1006

2.50.044920.0898

3.00.040010.0400

=0.6425

La integral, por lo tanto, es:

Para facilitar el clculo de la integral, se genera la tabla de la siguiente manera:

( a ) Las dos primeras columnas son los valores de x y f(x), respectivamente.

( b ) La tercera columna es un factor que multiplica a f(x); en este mtodo en particular, el factor es 1 para el primero y ltimo valores y 2 para los intermedios.

( c ) La cuarta columna es el resultado de las multiplicaciones. Esta columna requiere ser sumada.

( d ) La integral se calcula multiplicando la suma obtenida de la tabla por el valor de h y dividiendo entre 2.

V.3.2. Integracin por el Mtodo de Simpson.

Una forma ms exacta de calcular la integral es haciendo pasar una parbola, en lugar de una recta, pero entre tres puntos consecutivos de la funcin. Esto se muestra en la Figura V.3. La funcin f(x) tiene la forma a x2 + b x + c y por lo tanto se tiene:

Figura V.3. Mtodo de Simpson 1/3

=

=

=

=

Teniendo en cuenta que:

yi = a xi2 + b xi +c

yi+1 = a xi+12 + b xi+1 +c

yi+2 = a xi+22 + b xi+2 +c

xi+1 xi = h

xi+2 xi = 2h

Se obtiene:

=

=

=

=

=

=

=

Para el rea desde x0 hasta xn:

=

=

As:

Este mtodo es conocido como Mtodo de Simpson de 1/3 y es aplicable slo cuando n es par (nmero par de reas). De manera similar al mtodo anterior, se presentan a continuacin sus dos algoritmos estructurados.

Algoritmo Simpson 1/3:

Algoritmo Simpson 1/3:

Definir f(x)

Leer n, h

Leer a, b, n

Para i = 1 hasta n

h = (b a)/(n 1)

Leer yi

x = a

fin_para

i = 1

rea = y1 + yn

Repetir

Para i = 2 hasta n 1

yi = f(x)

Si i mod 2 = 0

i = i + 1

entonces rea = rea + 4 * yi

x = x + h

si_no rea = rea + 2 * yi

Hasta x > b

fin_si

rea = y1 + yn

fin_para

Para i = 2 hasta n 1

rea = rea * h/3

Si i mod 2 = 0

Imprimir reaentonces rea = rea + 4 * yiTerminar

si_no rea = rea + 2 * yi

fin_si

fin_para

rea = rea * h/3

Imprimir rea

Terminar

Ejemplo: Calcular por Simpson 1/3, la integral para los valores dados:

ixymy * m

00.0001.000011.0000

10.1251.015644.0624

20.2501.062522.1250

30.3751.140644.5624

40.5001.250022.5000

50.6251.390645.5624

60.7501.562523.1250

70.8751.765647.0624

81.0002.000012.0000

=31.9996

NOTA: Observe la tabla de valores y la ausencia de la funcin. Si se tiene la tabla, la funcin es irrelevante.

La integral por lo tanto, es:

Para facilitar el clculo de la integral, se genera la tabla de la siguiente manera:

( a ) La primera columna es la de los subndices de x para determinar el factor que le corresponde.

( b ) Las dos siguientes columnas son los valores de x y f(x), respectivamente.

( c ) La cuarta columna es un factor que multiplica a f(x); en este mtodo en particular, el factor es 1 para el primero y ltimo valores, 4 para los subndices impares y 2 para los pares.

( d ) La quinta columna es el resultado de las multiplicaciones. Esta columna requiere ser sumada.

( e ) La integral se calcula multiplicando la suma obtenida de la tabla por el valor de h y dividiendo entre 3.

Para hacer an ms exacta la integral, tmense ahora, cuatro puntos y psese una cbica a travs de ellos, segn la Figura V.4.

Figura V.4. Mtodo de Simpson 3/8.

Teniendo en cuenta que:

yi = a xi3+ b xi2+c xi + d

yi+1 = a xi+13+ b xi+12+c xi+1 + d

yi+2 = a xi+23+ b xi+22+c xi+2 + d

yi+3 = a xi+33 + b xi+32 + c xi+3 + d

xi+1 xi = h

xi+2 xi = 2h

xi+3 xi = 3h

De manera similar al Mtodo de Simpson de 1/3 obtiene:

En el rea desde x0 hasta xn:

=

As:

con i = mltiplos de 3; j = resto de ordenadas.

Este mtodo es conocido como Mtodo de Simpson de 3/8 y es aplicable slo cuando n es mltiplo de 3, lo cual asegura que se tiene un mltiplo de 3 como nmero de reas. De manera similar a los mtodos anteriores, se presentan a continuacin sus dos algoritmos estructurados.

Algoritmo Simpson 3/8:

Algoritmo Simpson 3/8:

Definir f(x)

Leer n, h

Leer a, b, n

Para i = 1 hasta n

h = (b a)/(n 1)

Leer yi

x = a

fin_para

i = 1

rea = y1 + yn

Repetir

Para i = 2 hasta n 1

yi = f(x)

Si (I 1) mod 3 = 0

i = i + 1

entonces rea = rea + 2 * yi

x = x + h

si_no rea = rea + 3 * yi

Hasta x > b

fin_si

rea = y1 + yn

fin_para

Para i = 2 hasta n 1

rea = 3 * rea * h/8

Si (i 1) mod 3 = 0

Imprimir reaentonces rea = rea + 2 * yiTerminar

si_no rea = rea + 3 * yi

fin_si

fin_para

rea = 3 * rea * h/8

Imprimir rea

Terminar

Ejemplo: Calcular por Simpson 3/8, la integral para los valores dados:

iXymy * m

02616

144312

26236

38122

410236

5126318

61414114

=64

La integral por lo tanto, es:

Para facilitar el clculo de la integral, se genera la tabla de la siguiente manera:

( a ) La primera columna es la de los subndices de x para determinar el factor que le corresponde.

( b ) Las dos siguientes columnas son los valores de x y f(x), respectivamente.

( c ) La cuarta columna es un factor que multiplica a f(x); en este mtodo en particular, el factor es 1 para el primero y ltimo valores, 2 para los subndices mltiplos de 3 y 3 para el resto de las ordenadas.

( d ) La quinta columna es el resultado de las multiplicaciones. Esta columna requiere ser sumada.

( e ) La integral se calcula multiplicando la suma obtenida de la tabla por el valor de h y por 3 y dividiendo entre 8.

V.3.3. Integracin por el Mtodo de los Coeficientes Indeterminados.

Haciendo una inspeccin en los mtodos anteriores, se puede determinar que el clculo de la integral de una funcin se resume a evaluar una ecuacin como la siguiente:

en donde los coeficientes Ai varan segn el mtodo utilizado.

El mtodo conocido como Coeficientes Indeterminados intenta calcular la integral a partir de la frmula anterior asumiendo que cada funcin a integrar tienen sus particulares valores de Ai. Para derivar este mtodo, sea E el error de clculo dado de la siguiente manera:

Se puede demostrar que E = 0 para funciones polinomiales de grado n; por lo tanto, dicho error tambin ser cero para polinomios de grado menor a n. Esto significa que E es igual a cero para:

f(x) = 1, x, x2, x3, . . ., xnPara cada una de las funciones anteriores se tienen las siguientes relaciones:

Para f(x) = 1:

Para f(x) = x:

Para f(x) = x2:

Para f(x) = x3:

. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .

Para f(x) = xn:

Por otro lado, los trminos independientes de estas frmulas estn dados por:

De lo anterior, para calcular los valores de los coeficientes, se requiere solucionar el siguiente sistema:

. . .. . .. . .. . .. . .

Este mtodo es conocido como Mtodo de Coeficientes Indeterminados y es exacto cuando la integral a calcular es un polinomio. De manera similar a los mtodos anteriores, se presentan a continuacin sus dos algoritmos estructurados.

Algoritmo Coeficientes:

Algoritmo Coeficientes:

Definir f(x)

Leer n

Leer a, b, n

Para i = 1 hasta n

h = (b a)/(n 1)

Leer xi, yi

x = a

fin_para

i = 1

Para i = 1 hasta n

Repetir

Para j = 1 hasta n

yi = f(x)

aij = xji+1

i = i + 1

fin_para

x = x + h

ai,n+1 = (xni x0i)/i

Hasta x > b

fin_para

Para i = 1 hasta n

Gauss (aij)

Para j = 1 hasta n

suma = 0

aij = xji+1

Para i = 1 hasta nfin_para

suma = suma + ai,n+1 * yi

ai,n+1 = (xni x0i)/i

fin_para

fin_para

Imprimir suma

Gauss (aij)

Terminar

suma = 0

Para i = 1 hasta n

suma = suma + ai,n+1 * yi

fin_para

Imprimir suma

Terminar

Ejemplo: Calcular por Coeficientes Indeterminados la integral pedida, tomando cuatro puntos intermedios:

La tabla de valores es:

ixy

101.0000

211.0000

320.5228

430.3420

El sistema de ecuaciones:

A0 + A1 + A2 + A3 = 3.00

0 + A1 + 2 A2 + 3 A3 = 4.50

0 + A1 + 4 A2 + 9 A3 = 9.00

0 + A1 + 8 A2 + 27 A3 = 20.25

La solucin del sistema por algn mtodo conocido.

A0 = 0.375

A1 = 1.125

A2 = 1.125

A3 = 0.375

La integral, por lo tanto es:

= (0.375)(1) + (1.125)(1) + (1.125)(0.5228) + (0.375)(0.342) = 2.2164

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