CAPÍTULO 1

RESOLUCIÓN DE DEPÓSITOS MEDIANTE LA FORMA TRADICIONAL (DBF:

DESIGN BY FORMULAE). NORMATIVA UNE-EN 13445-3

1.0 INTRODUCCIÓN

La normativa UNE-EN 13445-3 es la versión oficial en español de la

normativa EN 13445-3 de mayo de 2002. Esta norma ha sido elaborada por el

comité técnico AEN/CTN 62 (Bienes de Equipo Industriales y Europeos a Presión)

cuya secretaría desempeña BEQUINOR.

Esta norma europea ha sido aprobada por CEN (Comité Europeo de

Normalización). Los miembros de CEN están sometidos al Reglamento Interior de

CEN/CENELEC que define las condiciones dentro de las cuales debe adoptarse, sin

modificación, la norma europea como norma nacional.

Antecedentes

Esta norma europea ha sido elaborada por el Comité Técnico CEN/TC 54

Recipientes a presión no sometidos a la acción de la llama, cuya Secretaría

desempeña BSI.

Esta norma europea debe recibir el rango de norma nacional mediante la

publicación de un texto idéntico a la misma o mediante ratificación antes de finales

de noviembre de 2002, y todas las normas nacionales técnicamente divergentes

deben anularse antes de finales de noviembre de 2002.

Esta norma europea ha sido elaborada bajo un Mandato dirigido a CEN por la

Comisión Europea y por la Asociación Europea de Libre Cambio, y sirve de apoyo a

los requisitos esenciales de las Directivas europeas 97/23/CE.

La norma UNE-EN 13445 consta de las partes siguientes:

Parte 1: Generalidades

Parte 2: Materiales

Parte 3: Diseño (la que se ha empleado en la realización de este proyecto)

Parte 4: Fabricación

Parte 5: Inspección y ensayos

Parte 6: Requisitos adicionales para el diseño y fabricación de recipientes a

presión y piezas de recipientes fabricados de fundición de grafito esferoidal.

CR 13445-7 − Recipientes a presión no sometidos a la acción de la llama.

Guía para la utilización de los procedimientos de la evaluación de la conformidad.

De acuerdo con el Reglamento Interior de CEN/CENELEC, están obligados a

adoptar esta norma europea los organismos de normalización de los siguientes

países: Alemania, Austria, Bélgica, Dinamarca, España, Finlandia, Francia, Grecia,

Irlanda, Islandia, Italia, Luxemburgo, Malta, Noruega, Países Bajos, Portugal, Reino

Unido, República Checa, Suecia y Suiza.

Objeto y campo de aplicación

Esta parte de esta norma europea especifica los requisitos relativos al diseño

de recipientes a presión no sometidos a llama cubiertos por la Norma EN 13445-

1:2002 y construidos con aceros de acuerdo con la Norma EN 13445-2:2002.

En el presente documento se han analizado únicamente aquellos puntos de

la normativa que se han considerado más interesantes, ya que la normativa es

bastante extensa. A continuación se pasa a describir dichos puntos en cuestión.

1.1 LÁMINAS CILÍNDRICAS

1.1.1 - LÁMINAS CILÍNDRICAS SOMETIDAS A PRESIÓN INTERNA

Estudiando el estado de membrana para un cilindro de pared delgada

sometido a una presión interna p, se obtiene que el valor de la tensión es el

siguiente:

e

DP

e

Nm

⋅⋅

==2

ϕϕσ (1.1.1-1)

siendo Dm el diámetro medio de la envolvente cilíndrica.

De la expresión anterior es posible despejar de forma sencilla el espesor

necesario de la lámina cilíndrica e. El Eurocódigo facilita dos expresiones

equivalentes para el cálculo de dicho espesor, pero incluyendo un factor z para

tener en cuenta la eficiencia de la unión, que normalmente se toma con valor

unidad:

Pzf

DPe i

−⋅⋅⋅

=2

Pzf

DPe e

+⋅⋅⋅

=2

(1.1.1-2 y 1.1.1-3)

donde Di y De son los diámetros interior y exterior respectivamente y f es la

tensión nominal de cálculo.

También se puede encontrar en el Eurocódigo una expresión para

determinar la presión máxima para una geometría dada:

m

a

D

ezfP

⋅⋅=

2max

NOTA: ea es el espesor útil, que define el Eurocódigo como la diferencia

entre el espesor que se obtiene tras el proceso de fabricación y el espesor de

corrosión o erosión (aquél que se prevé que va a ser “eliminado” por agentes

externos). De este modo, el valor de la presión máxima que se calcula será para

unas condiciones más restrictivas que las iniciales.

Todo lo anterior será aplicable siempre que se cumpla 16.0≤eD

e

Se aclara en la norma que el espesor obtenido en este capítulo es un

espesor mínimo, pudiendo ser necesario aumentar el espesor en algunas zonas

debido, por ejemplo, a uniones.

Si se comparan las expresiones anteriores con las que aparecen en el código

ASME, se puede observar que las expresiones son diferentes:

Pzf

DPe i

⋅−⋅⋅⋅

=2.12

+=

t

tRfP my ln

3max

Por último, se ha representado una gráfica en la que se comparan los

espesores (adimensionalizados con respecto al diámetro exterior) obtenidos con el

código ASME (en azul) y el EUROCÓDIGO (en rojo), observándose que para un

mismo valor de la presión interna, el EUROCÓDIGO da un valor más pequeño del

espesor necesario ya que utiliza expresiones más precisas.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

e/Di

P/f

Figura 1.1.1-1 - Comparativa de espesores

1.1.2 - LÁMINAS CILÍNDRICAS SIN TENSORES (RIGIDIZADORES)

SOMETIDAS A PRESIÓN EXTERNA

En este apartado, sólo se van a abordar aquellos casos en los que no sea

necesario rigidizar el cilindro mediante tensores.

En primer lugar es necesario calcular la “longitud no sostenida” L del

depósito, cuyo valor variará en función de la tipología del mismo.

Para cilindros con fondos la expresión a utilizar será la siguiente:

''4.0'4.0 hhLL cil ⋅+⋅+= (1.1.2-1)

Para cilindros con fondo y cono se empleará, dependiendo del ángulo del

cono:

- Si º30≥α : hLL cil ⋅+= 4.0 (1.1.2-2)

- Si º30<α : conocil LhLL +⋅+= 4.0 (1.1.2-3)

Estas expresiones se han obtenido a partir de ensayos computerizados de

inestabilidad utilizando diversas geometrías.

Una vez realizado esto, es posible calcular el espesor del cilindro, de forma

que no sea inferior al determinado por el procedimiento que se muestra a

continuación:

Paso 1: se elige un valor para ea (parámetro definido en el apartado

anterior) y se calcula Py (presión a la cual la tensión circunferencial media alcanza

el límite de fluencia):

R

eP ae

y

⋅=

σ (1.1.2-4)

Siendo R el radio medio de la envolvente y eσ el límite de elasticidad

nominal de la envolvente.

Paso 2: se calcula Pm (presión de inestabilidad elástica teórica que provoca

el hundimiento de una envolvente perfectamente cilíndrica):

R

eEP a

m

ε⋅⋅= (1.1.2-5)

El coeficiente ε se puede calcular a partir de la figura 1.2.1 o mediante la

siguiente expresión:

( )( )

+−−⋅⋅

+

++−

= 22222

2

2

2

222

1112

1

1

21

1Zn

R

e

Z

nZn

cila

cilcil

υε (1.1.2-6)

En la expresión anterior:

ciln representa el número de ondas circunferenciales que se generan

y se obtiene a partir de la figura 1.2.2 o se calcula de tal forma que el valor

de Pm sea mínimo.

L

RZ

⋅= π donde L es la longitud no sostenida que se había

calculado previamente.

Paso 3: se calcula y

m

P

P y se determina

y

r

P

P a partir de la figura 1.2.3. Pr se

define como el límite inferior calculado de la presión que provoca el hundimiento.

Debe cumplirse la siguiente desigualdad:

S

PP r< (1.1.2-7)

Donde S es un coeficiente de seguridad que depende de si se encuentra la

envolvente en una situación de cálculo (S = 1.5 mínimo) o de ensayo (S =1.1

mínimo).

Si resulta que Pr es demasiado pequeño, debe aumentarse el espesor

(colocar tensores sería otra solución) y repetir el procedimiento que se acaba de

describir.

Figura 1.2.1-1 - Valores de ε

A continuación se muestra una representación de la figura 1.2.1-1 a partir

de un programa de Matlab, en la que se puede observar que tiene la misma forma

que la aportada por el Eurocódigo. Existe una aparente diferencia de similitud

debida a que las escalas usadas en el eje vertical son distintas.

El caso representado es para un valor de e/D = 0.001.

Para calcular el valor de e/D, debe utilizarse el valor de ncil

correspondiente a la curva más próxima, pero en caso de duda deben

considerarse ambos valores de ncil.

Figura 1.2.1-2 - Valores de ncil para los cuales Pm es mínimo

Por último, para calcular y

r

P

P se utilizará la curva 1 (empleada para cilindros

y conos) con trazo continuo, ya que la curva con trazo discontinuo corresponde a

esferas y fondos cóncavos.

Figura 1.2.1-3 - Valores de y

r

P

P en función de

y

m

P

P

Límites relativos a la circularidad

Es necesario establecer unos límites en lo referente a la circularidad de los

cilindros, pudiendo aparecer defectos de falta de redondez relacionados con los

procesos de fabricación.

Las expresiones que se han mostrado son aplicables a cilindros cuya

circularidad sea tal que los radios medidos a partir del verdadero centro no difieran

en más del 0.5 %, debiendo trasladarse esta tolerancia al diseño del recipiente.

En el caso de que haya un sobreespesor, se permite aumentar la tolerancia

de la siguiente forma (siempre y cuando la presión admisible S

Pr sea superior a la

presión de diseño):

SP

PTolerancia r

⋅⋅= 005.0 (1.1.2-8)

Por último, se va a intentar aportar un poco de claridad acerca de dónde

proviene la fórmula empleada para el cálculo de la presión crítica de pandeo.

Dicha fórmula es una simplificación de la ecuación de von Mises en el caso

de que exista tanto presión radial como axial, cuya expresión (empleando la

simbología que usa el Eurocódigo) se muestra a continuación:

( ) ( )[ ]

+⋅⋅−+−⋅⋅

+

++−

⋅= 212222

22

2

2

2

222

2112

1

1

21

/ µµυ cilcil

a

cilcil

nZnR

e

Z

nZn

ReEP (1.1.2-9)

Donde:

( )[ ] ( )[ ]ρυρυµ ⋅−+⋅⋅++=⋅ 12112 1 (1.1.2-10)

( ) ( ) ( )

⋅

⋅−++⋅−−⋅⋅++⋅⋅−= 22

2 1

1112111 ρρ

υυυρυυρµ (1.1.2-11)

2

2

1

1

Z

ncil+=ρ (1.1.2-12)

Ésta es la fórmula más exacta para el cálculo de la presión crítica en

aquellos cilindros con una longitud inferior a la longitud crítica de pandeo (

eDDLL e /11.1 ⋅⋅=< ), bajo las condiciones de carga que ya se han comentado

anteriormente. En su desarrollo se ha supuesto que los extremos se encuentran

simplemente apoyados. Esta forma da valores de la presión crítica inferiores

respecto a la correspondiente al caso en que hubiera algún tipo de fijación en los

extremos, de modo que se encuentra del lado de la seguridad.

Para llegar a la forma que aparece en el Eurocódigo se han realizado una

serie de simplificaciones con el objetivo de tener una expresión más sencilla y

manejable, obteniéndose valores aún más seguros que en el caso de utilizar la

fórmula de von Mises.

1.1.3 - LÁMINAS CILÍNDRICAS CON TENSORES (RIGIDIZADORES)

SOMETIDAS A PRESIÓN EXTERNA

En este apartado se va a describir un procedimiento para el cálculo de

cilindros sometidos a una presión externa en los que aparezcan tensores con el

objetivo de soportar la presión de diseño. Debe distinguirse entre tensores “ligeros”

y “pesados”.

Tensor “pesado”: habitualmente una brida soldada a tope u otro

componente principal, pero también puede ser un tensor convencional

especialmente grande.

Tensor “ligero”: habitualmente un anillo, una T, un codo o un perfil

en doble T. Sin embargo, se permite no considerar los pequeños anillos

circunferenciales como tensores.

Longitud no sostenida

Se distinguen entre el caso de cilindros con únicamente tensores ligeros y

cilindros con tensores tanto ligeros como pesados.

A continuación se muestran varias figuras con el objetivo de aportar claridad

a las expresiones de la tabla anterior:

Figura 1.1.3-1 – Cilindro con tensores ligeros

Figura 1.1.3-2 – Cilindro con tensores pesados y ligeros

Figura 1.1.3-3 – Detalles dimensionales

1.1.3.1 - Hundimiento entre tensores

Los rigidizadores dividen el cilindro en varias zonas independientes, de modo

que cada trozo debe verificarse considerando el hundimiento entre los mismos. El

procedimiento será similar que en el caso de cilindros sin tensores, pero teniendo

en cuenta que en este caso la longitud no sostenida va a ser distinta (se calculará

empleando la tabla que se ha mostrado anteriormente) dependiendo del tipo de

tensores que aparezcan.

Se calcula Py, que se define como presión a la cual la tensión circunferencial

media, a igual distancia entre tensores, alcanza el límite de fluencia. Se usa la

siguiente expresión, que es la que se ha comprobado que se corresponde mejor con

los resultados experimentales:

( )GR

eP ae

y ⋅−⋅⋅

=γ

σ1

(1.1.3-1)

Con: ( ) ( )BewA

A

am

m

+⋅⋅+

−=

1

21

υ

γ (1.1.3-2)

s

s

m AR

RA ⋅

=

2

2

( )am

a

ewA

NeB

⋅+⋅⋅⋅

=δ

2

( )[ ]aeR ⋅

−⋅=25.0213 υδ (1.1.3-3)

Si 3.0=υ , se llega a las siguientes expresiones:

aeR ⋅= 28.1δ (1.1.3-4)

( ) ( )( ) ( )LL

LLN

⋅+⋅⋅−⋅=

δδδδ

sinsinh

coscosh (1.1.3-5)

( ) ( )LL

LLLL

G⋅+⋅

⋅⋅

⋅+

⋅⋅

⋅⋅=

δδ

δδδδ

sinsinh

2sin

2cosh

2cos

2sinh2

(1.1.3-6)

donde:

Am: área modificada del tensor

As: área de la sección recta de un tensor

Rs: radio del círculo que pasa por el centro de gravedad de la sección

recta del tensor

L: longitud de envolvente no sostenida.

NOTA: Si aeRL ⋅⋅> 3 entonces se puede utilizar G=0.

Una vez obtenido el valor de Py, se calculan Pm y Pr del mismo modo que en

el caso sin tensores, teniendo presente que la longitud no sostenida L será distinta,

debiendo verificarse también en este caso que:

S

PP r< (1.1.3-7)

1.1.3.2 - Cálculo de los tensores ligeros

Para resistir el hundimiento global, se calcula Pg (presión de inestabilidad

elástica teórica de un tensor sobre un cilindro) para n (número de ondas

circunferenciales) de 2 a 6:

( )e

s

ag IE

LR

n

R

eEP ⋅⋅

⋅−+

⋅⋅=

3

2 1β (1.1.3-8)

El primer término de esta expresión representa la contribución de la lámina

cilíndrica y el segundo, la contribución del rigidizador.

Donde el coeficiente β se obtiene a partir de la figura 1.3.4 o se calcula

mediante la siguiente expresión:

22

2

2

2 12

11

1

+

⋅⋅⋅

⋅⋅+−

=

R

Ln

L

Rn H

H ππ

β (1.1.3-9)

Calculándose Ls y LH se calculan a partir de la tabla que aparece al comienzo

del apartado 1.1.3.

Este coeficiente β se obtiene a partir del coeficiente ε que se utiliza para el

cálculo de la presión crítica para un cilindro sin tensores, simplemente despreciando

el efecto del segundo término.

El segundo miembro se corresponde con la carga crítica de pandeo para un

anillo rigidizador que tenía la siguiente forma:

s

ecrit

LR

IEP

⋅⋅⋅

=3

3 (1.1.3-10)

Se añade un factor ( )12 −n que está relacionado con el número de ondas

circunferenciales que puede tomar al pandear. Se observa que para n = 2 esta

expresión coincide con el segundo término de la fórmula para el cálculo de la

presión de hundimiento global.

Figura 1.1.3-4 – Valores de β.

Para comprobar si la figura 1.1.3-4 se corresponde con las fórmulas

previamente presentadas, se muestra a continuación una representación de la

gráfica anterior a partir de un programa de Matlab, en la que se puede observar

que tiene la misma forma que la aportada por el Eurocódigo. Existe una aparente

diferencia de similitud debida a que las escalas usadas en el eje vertical son

distintas.

10-5

10-4

10-3

10-2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

beta

Lh/D

Para realizar el cálculo de la presión crítica se necesita obtener el valor de

eI :

( ) 2

2

23 eesa

ssea

e XARRe

AILe

I ⋅−

−⋅+⋅++⋅

= λ (1.1.3-11)

Is es el momento de inercia del área de la sección recta respecto al eje que

pasa por el centro de gravedad y es paralelo al eje del cilindro.

Rs es el radio del círculo que pasa por el centro de gravedad de la sección

recta del tensor.

Ie es el momento de inercia de la sección compuesta constituida por el

tensor y la longitud participante (Le) respecto a un eje paralelo al eje del cilindro

que pasa por el centro de gravedad de la sección compuesta.

Con:

( )

e

sa

sea

e A

RRe

ALe

X

−⋅+⋅+⋅

=

λ22

2

(1.1.3-12)

siendo para tensores interiores 1+=λ y para los exteriores 1−=λ

ease LeAA ⋅+= (1.1.3-13)

Ae es el área de la sección recta del tensor y de la longitud participante de la

envolvente.

donde Le (longitud principal de envolvente que actúa con un tensor ligero)

se determina, siempre y cuando 4227 1012/1012 −− ⋅≤≤⋅ Re ,de la siguiente forma

(en caso contrario, se obtendrá Le utilizando la misma fórmula con el valor real de

RLs / , con Ls la longitud media de los 2 trozos de envolvente adyacentes al tensor

ligero, y 422 1012/ −⋅=Re ):

223

1

1 xYxY

eRYL a

e

⋅++⋅

⋅⋅= (1.1.3-14)

con:

⋅=R

enx a2 (1.1.3-15)

a

s

eR

Lu

⋅= (1.1.3-16)

Los valores de Y1, Y2 e Y3 se dan en la siguiente tabla:

El método que se acaba de describir para el cálculo de Le es sólo una

aproximación cercana, ya que el método exacto con tensores es extremadamente

complicado.

Una vez obtenido el valor de Le, es posible llevar a cabo el cálculo del resto

de parámetros, llegando finalmente a un valor de Pg. Teniendo en cuenta el valor

de la presión externa P, debe cumplirse la siguiente desigualdad:

SS

PP

f

g

⋅≤ (1.1.3-17)

Siendo Sf un parámetro que depende del proceso de fabricación, tomado un

valor de 1.20 para el caso de tensores reconstituidos o conformados en caliente

(tensiones residuales débiles) y de 1.33 para tensores conformados en frío

(tensiones residuales elevadas).

Este método para el cálculo de la presión crítica en tensores ligeros se basa

en el principio de superposición, por el cual se suman la resistencia que tiene la

lámina cilíndrica más la que aporta un tensor ligero de inercia Ie, suponiéndose que

el modo de pandeo en el tensor puede ser distinto que en la lámina.

Evidentemente, puede ocurrir que los tensores sean distintos y no estén

distribuidos de una manera uniforme (es lo más común), por lo que la presión

crítica de pandeo será la de aquél tensor más desfavorable.

Tensiones máximas en los tensores ligeros

La tensión máxima en un tensor ligero σs debe calcularse con la siguiente

expresión, función de S (factor de seguridad mencionado con anterioridad),

fS (coeficiente que depende del método de fabricación del tensor), esο (límite de

elasticidad nominal del tensor), ysP (presión que engendra la plastificación

circunferencial en un tensor sobre un cilindro), gP (presión de inestabilidad teórica

de un tensor sobre un cilindro) y d (distancia hasta la extremidad de un tensor).

En esta expresión para el cálculo de la tensión en el tensor, el primer

término está relacionado con la tensión que de forma directa genera la presión

externa sobre el tensor y el segundo término con la tensión debida al fenómeno del

pandeo. La tensión está limitada al límite elástico nominal.

( )( )fg

f

ys

esfs SSPPR

SSPndE

P

PSS

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

+

⋅⋅⋅=

1005.0 2οο (1.1.3-18)

donde:

⋅⋅+⋅

+⋅

−⋅

⋅⋅=

δυ

σ

aai

mfaesys eN

ew

A

R

ReP

21

212

(1.1.3-19)

( )

+−−⋅= ea

ef Xe

XRRd ;2

.max λ (1.1.3-20)

Siendo Rf es el radio de la parte más alejada de la envolvente y habiéndose

obtenido en los apartados anteriores los valores de Am, δ, Xe, Pg y N.

y para cada tensor: ''' iii www += (1.1.3-21)

Para todo el cálculo los valores de L y Ls que deben tomarse son los que

aparecen en la tabla al comienzo del punto 3.1.

Una vez realizado todo esto, debe comprobarse que para n=2, 3, 4, 5 y 6:

ess σο ≤≤0 (1.1.3-22)

En caso de que no se satisfaga la desigualdad anterior, deberán preverse

tensores suplementarios o tensores más pesados. Otra posibilidad sería aumentar

el espesor.

1.1.3.2 - Cálculo de los tensores pesados

Para cada uno de los tensores pesados la presión de hundimiento se calcula

como:

eH

sH

H IELR

P ⋅⋅⋅

=3

3 (1.1.3-23)

calculando LsH de la tabla que aparece al comienzo del punto 3.1 e IeH:

( ) 2

22

23 eHesa

sseHa

eH XARRe

AILe

I ⋅−

−⋅+⋅++⋅

= λ (1.1.3-24)

donde LeH se determina del mismo modo que en el caso de tensores ligeros,

pero tomando sHs LL = ; λ tiene el mismo significado que en tensores ligeros.

( )

e

sa

seHa

eH A

RRe

ALe

X

−⋅+⋅+⋅

=λ

22

2

(1.1.3-25)

eHase LeAA ⋅+= (1.1.3-26)

Así pues, se requiere que para tensor pesado:

SS

PP

f

H

⋅≤ (1.1.3-27)

La expresión empleada para calcular la presión de hundimiento para láminas

cilíndricas con tensores pesados, se obtiene suponiendo que el tensor es el que

aporta casi toda la resistencia necesaria para soportar dicha presión. A su vez,

también se ha considerado n = 2.

Al contrario que ocurría con los tensores ligeros, en el caso de los tensores

pesados, el modo de pandeo debe ser el mismo para el tensor y la lámina cilíndrica

(la fórmula que aparece se corresponde con el primer modo de pandeo. Con n = 2).

Ahora no se consideran por separado las aportaciones de la lámina y el tensor, sino

que se incluyen dentro de la inercia IeH tanto el efecto de la lámina como el del

tensor pesado.

Tensiones máximas en los tensores pesados

Se evalúa la tensión máxima en un tensor pesado a través de la siguiente

expresión:

( )fH

f

ys

esfs SSPPR

SSPdE

P

PSS

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+

⋅⋅⋅=

015.0οο (1.1.3-28)

donde:

⋅⋅+⋅

+⋅

−⋅

⋅⋅=

δυ

σ

aai

mfaesys eN

ew

A

R

ReP

21

212

(1.1.3-29)

( )

+−−⋅= ea

ef Xe

XRRd ;2

.max λ (1.1.3-30)

Se puede comprobar que esta expresión es idéntica a la correspondiente a

tensores ligeros, simplemente tomando un valor de n = 2.

Debe satisfacerse la siguiente relación:

esH σο ≤≤0 (1.1.3-31)

1.2 FONDOS CÓNCAVOS

1.2.1 – FONDOS HEMISFÉRICOS SOMETIDOS A PRESIÓN INTERNA

El espesor requerido para un fondo hemisférico sometido a presión interna

viene dado por las ecuaciones siguientes, que pueden ser usadas indistintamente:

Pzf

DPe i

−⋅⋅⋅

=4

Pzf

DPe e

+⋅⋅⋅

=4

(1.2.1-1 y 1.2.1-2)

donde Di y De son los diámetros interior y exterior respectivamente, f es la

tensión nominal de cálculo y z la eficiencia de la unión.

Para poder emplear estas expresiones debe cumplirse que 16.0≤eD

e

La fórmula que aporta esta norma es análoga a la que se deduce a partir de

la teoría de láminas delgadas, salvo que la norma incluye un coeficiente que tiene

en cuenta la eficiencia de las uniones.

Para una geometría dada, la presión máxima admisible será la siguiente:

m

a

D

ezfP

⋅⋅=

4max (1.2.1-3)

NOTA: el radio medio del fondo deberá ser nominalmente igual al radio

medio del cilindro al cual se encuentra soldado, de tal forma que el espesor del

cilindro hasta la línea de tangencia debe ser igual o superior al valor mínimo para el

cilindro determinado según el apartado 1.1.

Si se compara la expresión que da el EUROCÓDIGO para el cálculo del

espesor con la que aporta el código ASME, se aprecian una ligera diferencia en el

segundo término del denominador, dando como resultado un menor valor del

espesor, como se puede apreciar en la gráfica siguiente.

ASME: Pzf

DPe i

⋅−⋅⋅⋅

=4.04

(1.2.1-4)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

e/Di

P/f

Figura 1.2.1-1 - Comparativa de espesores

Se observa una clara diferencia entre los espesores que recomiendan ASME

y los EUROCÓDIGOS ante un mismo valor de la presión interior, dando un valor

menor el código ASME. A medida que la presión interna aumenta, esta diferencia se

hace más notoria.

1.2.2 – FONDOS TORISFÉRICOS SOMETIDOS A PRESIÓN INTERNA

Se considera como fondo torisférico todo fondo cóncavo constituido por un

casquete esférico, una parte tórica de unión y una envolvente cilíndrica, teniendo

estos tres componentes tangentes comunes en los puntos de unión.

En primer lugar, se va a representar la geometría de un fondo torisférico,

con el objetivo de aportar claridad en lo que a nomenclatura se refiere.

Figura 1.2.2-1 - Geometría de un fondo torisférico.

Para poder emplear las expresiones del EUROCÓDIGO para fondos

torisféricos, es imprescindible el cumplimiento de todos y cada uno de los requisitos

que a aparecen a continuación:

er

Dr

Dr

i

i

⋅≥⋅≥

⋅≤

2

06.0

2.0

e

ea

e

DR

De

De

≤⋅≥

⋅≤001.0

08.0

(1.2.2-1:6)

Cálculo del espesor de fondos torisféricos

El espesor requerido e será el mayor de los espesores es (espesor requerido

para el fondo, para limitar la tensión de membrana en la parte central), ey (espesor

requerido para la parte tórica de la unión, para evitar una plastificación asimétrica)

y eb (espesor requerido para la parte tórica de la unión, para evitar el pandeo

plástico) con las expresiones que aparecen a continuación:

• Cálculo de es

Pzf

RPes ⋅−⋅⋅

⋅=5.02

(1.2.2-7)

siendo esta expresión la que aporta la teoría de la membrana para una

envolvente esférica.

• Cálculo de ey

( )f

DRPe i

y

⋅+⋅⋅⋅=

2.075.0β (1.2.2-8)

donde se obtiene a partir de la figura 2.2.1 o mediante el procedimiento que

se describe a continuación:

( )04.0;/.min ReY = (1.2.2-9)

( )YZ /1log10= (1.2.2-10)

iDrX /= (1.2.2-11)

( ){ }4902.6

1006.1

YN

⋅+−= (1.2.2-12)

Para X = 0.06:

( )8873.12937.32124.23635.0 2306.0 +⋅−⋅+⋅−⋅= ZZZNβ (1.2.2-13)

Para 0.06 < X < 0.1:

( ) ( ){ }1.006.0 06.01.025 βββ ⋅−+⋅−⋅= XX (1.2.2-14)

Para X = 0.1:

( )837.02943.10383.11833.0 231.0 +⋅−⋅+⋅−⋅= ZZZNβ (1.2.2-15)

Para 0.1 < X < 0.2:

( ) ( ){ }2.01.0 1.02.010 βββ ⋅−+⋅−⋅= XX (1.2.2-16)

Para X = 0.2:

( ){ }5.0;5.8294.156.095.0.max 22.0 YY ⋅−⋅−⋅=β (1.2.2-17)

Figura 1.2.2-1 - Parámetro β para un fondo torisférico.

NOTA: No es necesario calcular eb si ey > 0.005 Di.

• Cálculo de eb

( )5.1

1825.0

1112.075.0

⋅⋅

⋅⋅+⋅=r

D

f

PDRe i

bib (1.2.2-18)

donde 5.1

/2.0 tpb

Rf = (1.2.2-19)

salvo para los aceros austeníticos sin soldadura, conformados en frío, en

cuyo caso:

5.1

6.1 /2.0 tpb

Rf

⋅= (1.2.2-20)

Siendo tpR /2.0 el valor mínimo del límite convencional de elasticidad al 0.2 %

a la temperatura t (en ºC).

Para las situaciones de ensayo, el coeficiente 1.5 en las ecuaciones relativas

a bf debe sustituirse por 1.05.

Por otro lado, también es interesante conocer la altura interior del fondo

torisférico, que viene dado por la siguiente expresión, obtenida mediante relaciones

geométricas.

( ) ( )rDRDRRh iii ⋅−+⋅−−= 22/2/ (1.2.2-21)

Presión máxima admisible

Para una geometría dada, la presión máxima admisible debe ser la más

pequeña entre Ps, Py y Pb, expresiones q se obtienen como resultado de despejar

directamente de las expresiones para el cálculo de es, ey y eb respectivamente:

a

as eR

ezfP

⋅+⋅⋅⋅

=5.0

2 (1.2.2-22)

( )i

ay DR

efP

⋅+⋅⋅⋅

=2.075.0β

(1.2.2-23)

donde β se calcula a partir de la figura 2.2.2 o según el procedimiento

explicado con anterioridad, sustituyendo e por ea.

NOTA: no es necesario calcular bP si ea > 0.005 Di.

825.05.1

2.075.0111

⋅

⋅+⋅⋅=

ii

abb D

r

DR

efP (1.2.2-24)

Figura 1.2.2-2 - Parámetro β para un fondo torisférico – (en función de

e/R)

Excepciones

Es posible reducir el espesor de la parte esférica del fondo hasta el valor es

en una zona circular cuyo borde no debe situarse a una distancia inferior a eR ⋅

en la parte tórica de la unión.

Por otro lado, el borde recto del cilíndrico debe satisfacer los requisitos

relativos a un cilindro, salvo si su longitud no es superior a eDi ⋅⋅2.0 , en cuyo

caso su espesor puede ser idéntico al requerido por la parte tórica de enlace.

Es posible comprobar que, introduciendo las ecuaciones anteriores para cada

uno de los distintos casos, se puede llegar a la gráfica que aparece en la norma y

que se muestra a continuación:

10-2

10-1

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

e/R

beta

r/Di=0.06r/Di=0.1r/Di=0.2r/Di=0.08r/Di=0.13r/Di=0.16

1.2.3 – FONDOS ELÍPTICOS SOMETIDOS A PRESIÓN INTERNA

Se entiende por fondo elíptico todo fondo cóncavo realizado según una

forma verdaderamente elíptica.

Los requisitos para fondos elípticos sólo se aplican a aquellos fondos para los

cuales 1.7 < K < 2.2, siendo el factor de forma para un fondo elíptico:

i

i

h

DK

⋅=

2 (1.2.3-1)

con ih como la altura interior del fondo medida a partir de la línea de

tangencia y iD el diámetro interior del borde del cilindro.

Los fondos elípticos deberán diseñarse como fondos torisféricos

nominalmente equivalentes con:

( )( )08.0/5.0 −⋅= KDr i (1.2.3-2)

( )02.044.0 +⋅= KDR i (1.2.3-3)

1.2.4 – CONOS Y FONDOS CÓNICOS SOMETIDOS A PRESIÓN INTERNA

En primer lugar, se debe tener en cuenta que las expresiones y métodos que

se van a explicar a continuación sólo se refieren a conos rectos de sección circular y

a las intersecciones cono/cilindro cuando el cono y el cilindro tengan el mismo eje

de revolución. Por tanto, no se aplicará:

a) a los conos cuyo semiángulo en el vértice sea superior a 75º.

b) a los conos para los cuales:

( )001.0

cos≤

⋅

c

a

D

e α (1.2.4-1)

siendo cD el diámetro medio del cilindro en la zona de unión con el cono.

c) a los conos cortos que unan las 2 envolventes en el caso de una doble

envolvente.

A continuación se muestran las geometrías más comunes en lo que a unión

entre cilindros y conos se refiere:

Figura 1.2.4-1 - Intersección cono/cilindro en caso de enlace en ángulo

agudo – base grande.

Figura 1.2.4-2 - Intersección cono/cilindro en caso de enlace por una

parte tórica – base grande.

Cálculo del espesor para fondos cónicos

El espesor requerido ante la actuación de una presión interna P, se calcula

indistintamente a partir de una de las dos ecuaciones siguientes:

( )αcos

1

2⋅

−⋅⋅⋅

=Pzf

DPe i

con (1.2.4-2)

( )αcos

1

2⋅

+⋅⋅⋅

=Pzf

DPe e

con (1.2.4-3)

siendo Di y De el diámetro interior y exterior del cono respectivamente,

correspondientes al punto considerado.

Estas expresiones se deducen directamente a partir de la teoría de láminas

delgadas, donde se consideran únicamente los efectos de membrana.

De este modo, despejando de las ecuaciones anteriores, es posible obtener

la presión máxima para una geometría dada:

( )m

con

D

ezfP

αcos2max

⋅⋅⋅⋅= (1.2.4-4)

donde Dm es el diámetro medio del cono en el punto considerado.

En la base grande de un cono, el EUROCÓDIGO permite hacer las

sustituciones siguientes:

Ki DD = (1.2.4-5)

( )αcos2 2 ⋅⋅+= eDD ke (1.2.4-6)

( ) 2/eim DDD += (1.2.4-7)

donde: ( ){ } ( )αα sincos12 21 ⋅−−⋅⋅−−= lreDD cK (1.2.4-8)

siendo e1 el espesor requerido para el cilindro en la unión, e2 el espesor

requerido para el cono y la parte tórica de enlace en la unión y l2 una longitud

medida a lo largo del cono, en la base grande o pequeña (aparece definida a

continuación).

Uniones. Generalidades.

Se aplicarán los requisitos de los apartados siguientes siempre que la

distancia de la unión a otra unión cualquiera o discontinuidad mayor, tal como otra

unión cono/cilindro o una brida, sea superior a 2 l1 a lo largo del cilindro y a 2 l2 a lo

largo del cono, donde:

11 eDl c ⋅= (1.2.4-9)

( )αcos2

2

eDl c ⋅

= (1.2.4-10)

Unión entre base grande de cono y un cilindro, conexión en ángulo agudo

Las expresiones que aparecen a continuación se aplicarán siempre que se

cumplan todas las condiciones siguientes:

a) el cono y el cilindro se unan mediante una soldadura a tope cuyas

superficies interiores exteriores se unan progresivamente con el cono y el cilindro

contiguos, sin reducción del espesor local.

b) la soldadura en la unión se someta a ensayos no destructivos al 100

% por radiografía o ultrasonidos, salvo si el diseño es tal que el espesor al nivel de

las soldaduras es superior a 1.4 ej (siendo ej el espesor requerido o útil en la unión,

en la base grande del cono), en cuyo caso deberán aplicarse las reglas normales

relativas a la categoría de construcción en cuestión.

Se tomará como espesor requerido e1 para el cilindro adyacente a la unión,

el mayor de los espesores ecil y ej donde ej se determinará según el procedimiento

siguiente:

( )( )

15.0cos/11

tan

3

1 −+

⋅⋅=α

αβj

c

e

D (1.2.4-11)

f

DPe c

j ⋅⋅⋅

=2

β (1.2.4-12)

El resultado se considerará como aceptable si el valor dado por la ecuación

anterior no es inferior al valor admisible para la ecuación que precede a ésta

última. Por otro lado, el coeficiente β puede calcularse también a partir del gráfico

de la figura 2.4.3.

Figura 1.2.4-3 - Valores del coeficiente β para las intersecciones

cono/cilindro en el caso de empalme en ángulo agudo.

El espesor calculado deberá mantenerse a lo largo del cilindro en una

distancia mínima de 1.4 l1 medida a partir de la unión.

El espesor requerido e2 para el cono adyacente a la unión será el mayor de

los espesores econ y ej. Este espesor deberá mantenerse a lo largo del cono en un

distancia mínima de 1.4 l2 medida a partir de la unión, como se aprecia en la figura

2.4.1.

Tradicionalmente, este espesor ej se ha calculado limitando la tensión en la

unión a un valor igual a 3 veces la tensión nominal f. A pesar de que la presión

límite es ligeramente inferior a 3f para todos los ángulos y valores de D/e, esta

diferencia se hace más grande conforme aumentamos el ángulo del cono. Debido a

esto, este análisis de tensiones ha sido reemplazado por una fórmula que aparece

en el código alemán sobre depósitos a presión, basada en análisis límite, y cuya

expresión original es la siguiente (simplificación de otra expresión mucho más

completa y compleja):

f

DPe c

j ⋅⋅⋅

=2

β (1.2.4-13)

( )

( )25.0

cos/11

tan4.0 −

+⋅⋅=

ααβ

j

c

e

D (1.2.4-14)

Asumiendo que la deformación debida a una carga de presión interna no

produce inestabilidades y teniendo en cuenta los resultados experimentales, se

decidió reemplazar la ecuación anterior por la siguiente, que da resultados más

aproximados al método tradicional:

( )( )

15.0cos/11

tan

3

1 −+

⋅⋅=α

αβj

c

e

D (1.2.4-15)

Se establece como límite superior para el semiángulo del cono º60=α ,

aunque la fórmula da valores seguros hasta los 90º.

En lo referente a la distancia en la que debemos mantener el espesor

calculado, el análisis convencional de tensiones muestra que no se produce un

aumento significativo de las tensiones siempre que se mantenga dicho espesor

hasta una distancia igual a 11 eDl c ⋅= . Sin embargo, en los estudios llevados a

cabo para realizar el eurocódigo muestran que se produce una disminución

inaceptable de la tensión límite (del orden del 15 %) si se extiende ese espesor

hasta una distancia 1l , mientras que sólo disminuye un 5 % si se lleva hasta una

distancia de 1.4 l1 medida a partir de la unión.

Por otro lado, para calcular la presión máxima admisible para una

geometría dada, se aplicará el siguiente método:

1) se aplica al cilindro la ecuación m

a

D

ezfP

⋅⋅=

2max

2) Se aplica al cono la ecuación ( )

m

con

D

ezfP

αcos2max

⋅⋅⋅⋅=

3) Se determina el espesor útil de refuerzo e1a del cilindro en la unión

4) Se determina el espesor útil de refuerzo e2a del cono en la unión

5) Se aplica la ecuación ( )

m

con

D

ezfP

αcos2max

⋅⋅⋅⋅= con el espesor e2a y el

diámetro Dm.

6) Se toma para ej el más pequeño de los espesores e1a y e2a

7) Se calcula β a partir de la ecuación ( )

( )15.0

cos/11

tan

3

1 −+

⋅⋅=α

αβj

c

e

D, y

después: c

j

D

efP

⋅⋅⋅

=β

2max

La presión máxima admisible será la menor de las calculadas en los puntos

1), 2), 5) y 7).

NOTA: el EUROCÓDIGO recomienda usar el siguiente procedimiento para

hallar el espesor útil de refuerzo para los puntos 3) y 4) o anteriores:

1) se estima e1a

2) se calcula ac eDl 11 4.1 ⋅⋅=

3) si el espesor es constante a lo largo de la distancia l1 entonces e1a queda

confirmado.

4) En caso contrario, debe calcularse el área A1 constituida por el metal y a

lo largo de la distancia l1, medida a partir de la unión.

5) Se hace una estimación mejor tomando 111 / lAe a =

El resultado será aceptable si no es superior al valor estimado en 1)

6) Si el resultado no es aceptable, se repite el cálculo a partir de 1)

7) Se utiliza un procedimiento análogo para calcular e2a tomando

( )αcos4.1 2

2ac eD

l⋅

⋅=

Se puede observar que la gráfica de la figura 2.4.3 puede obtenerse creando

un sencillo programa con Matlab, obteniéndose como resultado lo siguiente:

10-3

10-2

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

P/f

beta

alpha=10ºalpha=20ºalpha=30ºalpha=40ºalpha=50ºalpha=60º

Unión de la base grande de cono y cilindro en el caso de enlace por una

parte tórica

Las expresiones que se van a dar a continuación sólo son aplicables si se

satisfacen todas las condiciones siguientes:

a) la parte de enlace es de forma tórica y se une progresivamente con el

cono y el cilindro contiguos.

b) el radio interior de la parte de enlace, cDr ⋅< 3.0

Para cálculo de espesor requerido ej, se sigue el siguiente procedimiento:

( )( )

15.0cos/11

tan

3

1 −+

⋅⋅=α

αβj

c

e

D (1.2.4-16)

( )ααρcos/11

028.0

+⋅

⋅⋅=

jc eD

r (1.2.4-17)

( )ρργ

/2.012.11

+⋅+= (1.2.4-18)

γβ

⋅⋅⋅⋅

=f

DPe c

j 2 (1.2.4-19)

El espesor será aceptable si no es inferior al valor estimado.

El espesor requerido e1 para el cilindro adyacente a la unión es el mayor de

los espesores ecil y ej. Este espesor debe mantenerse a lo largo del cilindro, en una

distancia mínima de 1.4 l1 medida a partir de la unión y de 0.5 l1 medida a partir de

la línea de tangencia de la parte tórica/cilindro.

El espesor requerido e2 para la parte tórica y el cono adyacente a la unión es

el mayor de los espesores econ y ej. Este espesor debe mantenerse a lo largo del

cono en una distancia mínima de 1.4 l2 medida a partir de la unión y de 0.7 l2

medida a partir de la línea de tangencia cono/parte tórica.

Al igual que en el caso de unión sin una parte tórica de enlace, las

expresiones provienen del código alemán sobre depósitos a presión, en el que se

utiliza el análisis límite para su obtención.

Por otro lado, para calcular la presión máxima admisible se seguirá el

siguiente procedimiento:

1) se determina e1a, el espesor útil del cilindro en la proximidad de la parte

tórica del enlace y e2a, espesor útil de la parte tórica del enlace y de la parte

contigua del cono.

2) se verifica que se respetan las limitaciones correspondientes a este tipo

de unión

3) se aplica al cilindro la ecuación m

a

D

ezfP

⋅⋅=

2max con ea=e1a

4) se aplica al cono la ecuación ( )

m

con

D

ezfP

αcos2max

⋅⋅⋅⋅= con econ= e2a

5) se toma para ej, el menor de los dos valores de e1a y e2a

6) Se calcula β y γ a partir, y a continuación: c

j

D

efP

⋅⋅⋅⋅

=β

γ2max

7) La presión máxima admisible será la más baja de las presiones

determinadas en c), d) y f).

Unión entre base pequeña de cono y un cilindro.

Deben satisfacerse todas las condiciones siguientes:

a) el espesor requerido para el cilindro e1 se mantiene a lo largo de una

distancia l1 medida a partir de la unión y el requerido para el cono e2 se mantiene a

lo largo de una distancia l2 medida a partir de la unión, como se observa en la

figura 2.4.4.

b) los espesores satisfacen los requisitos para envolventes cilíndricas y

envolventes cónicas.

Figura 1.2.4-4 - Intersección cono/cilindro – base pequeña.

Los espesores requeridos e1 y e2 deberán determinarse de acuerdo con el

siguiente procedimiento:

1) se estima e1 y e2, y se determina s: 1

2

e

es =

2) cuando s < 1: ( ) 2

1

cos

2sss

++⋅=α

τ

3) cuando 1≥s : ( )

⋅+⋅+=

ατ

cos2

11

2ss

4) ( )

5.0tan

4.01

+⋅⋅=τ

αβe

DcH

Los espesores estimados serán aceptables siempre y cuando se cumpla que:

HcD

ezfP

β⋅⋅⋅⋅

≤ 12

En caso de que no se cumpla esta desigualdad, se repetirá la operación

probando con valores de e1 y/o e2 mayores.

Siempre que se cumplan las condiciones de aplicación para envolventes

cilíndricas y cónicas, es posible modificar el diseño de acuerdo con la regla anterior,

de una de las formas siguientes:

a) Cuando e1 = e2, se puede incluir una parte tórica de enlace del mismo

espesor (l1 y l2 se miden siempre a partir del punto de intersección de las fibras

medias del cono y del cilindro).

b) El espesor del cilindro puede aumentarse en la proximidad de la unión

y reducirse más lejos a condición de que la sección constituida por el metal del

cilindro a lo largo de una distancia l1 a partir de la unión no sea inferior a 11 el ⋅ .

Además, el espesor del cono puede aumentarse en la proximidad de la unión y

reducirse más lejos, siempre que la sección constituida por el metal del cono a lo

largo de una distancia l2 a partir de la unión no sea inferior a 22 el ⋅ .

Por último, la presión máxima admisible se evaluará como:

cH

j

D

ezfP

⋅⋅⋅⋅

=β

2max (1.2.4-20)

Hβ se determina del mismo modo que se ha explicado anteriormente, pero

tomando e1a y e2a en lugar de e1 y e2.

1.2.5 – FONDOS HEMISFÉRICOS SOMETIDOS A PRESIÓN EXTERNA

El espesor de cálculo debe determinarse por el siguiente procedimiento:

1) estimar un valor para ea y calcular R

eP ae

y

⋅⋅=

σ2

2) calcular Pm de la siguiente forma: 2

221.1

R

eEP a

m

⋅⋅=

3) calcular Pm/Py y determinar Pr/Py a partir de la curva discontinua de la

figura 2.5.1.

Figura 1.2.5-1 - Valores de y

r

P

P en función de

y

m

P

P

Debe cumplirse que S

PP r≤ , debiéndose aumentar el valor del espesor en caso

de que no se satisfaga esta condición y repetir el procedimiento.

1.2.6 – FONDOS TORISFÉRICOS Y ELÍPTICOS SOMETIDOS A PRESIÓN

EXTERNA

Los fondos torisféricos deben diseñarse como envolventes esféricas (se diseñan

igual que las hemisféricas) de radio medio R igual al radio exterior de la parte esférica.

Por otro lado, los fondos elípticos deberán diseñarse como envolventes esféricas

de radio medio R igual al radio de curvatura máximo del fondo cóncavo:

( )hDR ⋅= 4/2 (1.2.6-1)

1.2.7 – CONOS Y FONDOS CÓNICOS SOMETIDOS A PRESIÓN EXTERNA

En este apartado se va a abordar el estudio de envolventes cónicas bajo una

presión exterior, siempre que se cumpla que º75≤α . El método empleado es análogo

al caso de envolventes cilíndricas bajo presión externa.

A continuación se muestra una figura que representa la tipología básica de los

tensores:

Figura 1.2.7-1 - Elementos de la estructura

1.2.7.1 - Hundimiento entre tensores

El procedimiento que aparece a continuación es el que debe utilizarse para el

cálculo de conos de acuerdo con la disposición que aparece en la figura 2.7.1 para

prevenir el hundimiento entre tensores.

Figura 1.2.7-2 - Cono no reforzado entre dos anillos tensores pesados

Los pasos a seguir serán:

1) Estimar un valor para ea y calcular:

max

cos

R

seP ea

y

α⋅⋅= (1.2.7-1)

Se puede observar que esta ecuación es la misma que para el caso

del cilindro, habiéndose sustituido ae por αcos⋅ae , R por Rmax (radio

máximo de la envolvente cónica) y con γ = 0.

2) Calcular: n

am R

eEP

αε 3cos⋅⋅⋅= (1.2.7-2)

Esta ecuación es la misma que para el caso de los cilindros, donde ae se

ha sustituido por αϑcos⋅ae , R por θ2cos⋅mconR , e por ϑ4cos⋅e y L por

ϑcos⋅L

ε debe determinarse a partir de la figura 1.2.1, tomando

αcos2

⋅⋅ nR

L en lugar de

R

L

⋅2 y

a

n

e

R αϑcos2 ⋅⋅ en lugar de

ae

R⋅2.

nR (radio medio de la envolvente cónica) y maxR deben definirse

de acuerdo con las figuras 2.7.2 a 2.7.4

Figura 1.2.7-3 - Cono no reforzado entre uniones con cilindros

Figura 1.2.7-4 - Envolvente cónica reforzada con tensores pesados y

ligeros

2) Calcular Pm y determinar Pr a partir de la figura 1.2.3, debiendo

satisfacerse el siguiente requisito:

S

PP r≤ (1.2.7-3)

En caso de que no se satisfaga la ecuación anterior, se debe aumentar el

espesor o disminuir la distancia entre los tensores.

1.2.7.2 - Hundimiento global de una envolvente cónica y separación.

Se supone que el espesor no varía a lo largo de la envolvente cónica, y que

se mantendrán constantes las dimensiones de los tensores (todos los tensores

idénticos) y la separación entre los mismos.

Para el cálculo de tensores ligeros en conos de espesor constante:

( )s

e

n

ag

LR

IEn

R

eEP

⋅

⋅⋅⋅−+

⋅⋅⋅=

3max

23 cos'1cos ααβ (1.2.7-4)

Donde nR es el radio medio de la envolvente cónica, maxR es el radio máximo

de la envolvente cónica e eI ' es el momento de inercia del área de la combinación

tensor/envolvente.

ε debe determinarse a partir de la figura 1.2.1 utilizando αcos2 ⋅⋅ n

H

R

L en lugar

de R

LH

⋅2.

+⋅⋅

+

+

+

⋅⋅

+++

+⋅

⋅+⋅

⋅+⋅+⋅=

2

''

2

'cos

12

2

''

2

'sin

12

''2

'''

2

''

23

33

2

2222

eea

eeawf

sea

sea

wwffe

LLe

LLeII

XLe

XLe

XAXAI

θ

θ

L

KL

K

(1.2.7-5)

eL' debe calcularse con la fórmula empleada para calcular eL en cilindros, pero

teniendo en cuenta que:

⋅⋅=

αcos2

i

a

R

enx (1.2.7-6)

αcos⋅⋅=

ai

S

eR

Lu (1.2.7-7)

donde iR es el radio medio de la envolvente medido directamente en el tensor

i.

Para el cálculo de la tensión máxima en los tensores, se empleará la siguiente

expresión:

( )( )fe

f

ys

sfs SSPP

SSPn

R

dE

P

SPSS

⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅

⋅+

⋅⋅⋅=

1005.0'2

max

ο (1.2.7-8)

Donde:

⋅+⋅⋅+⋅

−⋅

⋅⋅⋅=

δαυ

ασN

be

A

R

ReP

a

mfaes

ys 2cos

1

21

cos

2max

(1.2.7-9)

Con: aeR ⋅

⋅= αδ cos25.1 (1.2.7-10)

2' f

f

eXd += (1.2.7-11)

1.2.7.4 – Espesor de envolvente variable, dimensiones o separaciones

entre tensores variables.

Para el cálculo relativo a los tensores ligeros, de dimensiones o separaciones

variables o instalados sobre conos de espesor variable, se permite utilizar el

método de verificación de cilindros reforzados con las ecuaciones del apartado

2.7.1, asociado a una de las condiciones siguientes.

a) Cuando las dimensiones y la separación entre tensores sean constantes, se

toma el espesor mínimo a lo lago de la sección considerada para el cálculo

de Pg y Py.

b) Se considera cada tensor separadamente tomando el espesor mínimo

apropiado de la envolvente y maxR para los dos medios trozos a cada lado

del tensor y β = 0.

c) Se considera cada tensor por separado tomando el espesor mínimo

apropiado y maxR para los dos medios trozos a cada lado del tensor.

Cuando n > 2 se calcula Pe, como en b) y cuando n = 2 se utiliza la

siguiente ecuación:

( )∑=

=

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

YNi

i i

C

iie

Hng R

L

XI

L

nE

R

eEP

03

2,233

sin'1cos2cos

παααβ

(1.2.7-12)

Donde β debe determinarse a partir de la figura 1.3.4 sustituyendo R

LH

2 por

R

LH

2

cosα⋅

1.2.7.5 – Intersecciones cono-cilindro

Planos donde el soporte es significativo

En ausencia de una parte tórica de enlace, la intersección entre un cono y un

cilindro (en la base grande y en la pequeña) constituye un plano de soporte si α ≥

30º y si ncyl (El número de ondas para la presión mínima de pandeo obtenido a

partir de la figura 1.2.2) no es igual a 2 ni para el cono ni para el cilindro. Cuando

no se cumplen las condiciones anteriores (bien sea α ≥ 30º o n = 2), la distancia L

entre los planos de soporte formados por las intersecciones es la suma de la

longitud o longitudes efectivamente no soportadas del cilindro o cilindros más la

longitud axial del cono. El espesor del cono y del cilindro pequeño no debe ser

inferior al espesor del cilindro requerido y si hay tensores ligeros deben instalarse

con la separación determinada en apartados anteriores.

Refuerzo de la intersección en la base pequeña

Debe preverse un refuerzo bajo la forma de un espesor aumentado y/o un

tensado local, si es necesario mantener la tensión circunferencial local en la base

pequeña del cono dentro de límites aceptables, utilizando el procedimiento

siguiente. Calcular la tensión circunferencial máxima en el cilindro:

( )e

GRP ⋅−⋅⋅= γσ 12 (1.2.7-13)

Calcular la tensión circunferencial máxima 1σ en la unión no reforzada de

espesor e .

NOTA − No existe ninguna fórmula sencilla para el cálculo de σ1 y se

necesita un método de análisis de tensiones.

Si σ1 ≤ σ2, no es necesario ningún refuerzo. Si se necesita un refuerzo, el

espesor del cono o del cilindro, o los dos, se aumenta o bien se añade material

suplementario como un tensor anular o una pieza de transición de tal manera que

σ1, según un nuevo cálculo, sea inferior o igual a σ2.

Figura 1.2.7.5 - Envolvente cónica reforzada de espesor variable y con

una separación entre tensores variables.