capítulo 9 modelos para a previsão do k 524 - transfmassa/eng 524_… · molecular de fick....
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Transferência de Massa – ENG 524
Capítulo 9 – Modelos para aprevisão do km
Prof. Édler Lins de Albuquerque 1
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Teorias para Previsão de km
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✓ Teoria do Filme
✓ Teoria da Camada Limite
✓ Teoria da Penetração
✓ Modelo ou Teoria da Renovação de Superfície
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Teoria do Filme
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✓ Baseia-se na evidência experimental de que emescoamentos turbulentos, junto a uma interface, desenvolve-se sempre uma resistência adicional ao transporte demomentum, calor e de massa;
✓ Foi um marco histórico no estudo dos fenômenos detransporte que permitiu a estruturação dos primeiros modelosde previsão dos Coeficientes de Transferência;
✓ As espessuras das resistências para o transporte demomentum, calor e massa dependerão de N. adimensionaistais como Re, Nu, Sh, Sc etc.
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Teoria do Filme
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✓Premissas básicas:✓ As resistências ao transporte de momentum, calor e massaestão localizadas essencialmente em camadas adjacentes ainterfaces, com espessuras supostamente constantes (M, H,D).✓ Nas camadas, o transporte ocorre em nível molecular e osfluxos são descritos pelas Leis da Viscosidade de Newton, daCondução de Calor de Fourier e da Primeira Lei da DifusãoMolecular de Fick.
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Teoria do Filme
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Transporte ocorre em nível molecular
0AbA
D
ABAAB0A
a
0b
H
0
b
M
0
CCD
dy
dCDJ :Difusão da Fick de Lei 1
TTk
dy
dTkq :Fourier de Condução da Lei
vdy
dv :eviscosidad da Newton de Lei
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Teoria do Filme
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A partir de definições para o fator de atrito e para os coeficientesde transferência de calor e massa, tem-se:
0AbAm0AbA
D
AB0A
0b0b
H
0
2
bfb
M
0
CCkCCD
J
TThTTk
q
2
vCv
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Teoria do Filme
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D
ABm
0AbAm0AbA
D
AB0A
Dk
CCkCCD
J
Admite-se que aregião onde ocorre ofenômeno é um filmeestagnado cujaespessura D é cte. ecujo fluxo é governadopela difusão do soluto,
km DAB/D.
km ~ DAB
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Teoria do Filme
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Rearranjando as expressões anteriores, tem-se:
DAB
m
D
ABm
HH
M
f
M
f
MbMb
f
LSh
D
Lk
L
LDk
LNu
k
hL
L
Lkh
LRe
2
CL
Re
1
2
C
L
L
vv2
C
DHM
f LSh ;
LNu ;
LRe
2
C
O conhecimento de M,T e D possibilitaestimar os valores de Cf,h e km!!!
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Teoria do Filme
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Na prática, a informação sobre M, H e D é muitoescassa e difícil de se conseguir, de forma que, em muitassituações admite-se que tais espessuras são aprox. iguais,ou seja, M= H = D . Assim:
Sh Nu Re2
Cf
A equação anterior expressa uma analogia entre osprocessos de fenômeno de transporte (momentum, calor e
massa). Embora seja válida somente se M= H = D , suaaplicação pode ser de grande utilidade prática.
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Teoria da Camada Limite
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• Como mostrado na figura abaixo, na passagem de um fluxode fluido na superfície de um corpo, desenvolve-se umaCamada Limite Hidrodinâmica de espessura M(x) evelocidade vx(y) devido ao efeito do atrito viscoso.• O escoamento é divido em duas regiões:
✓ A camada limite, onde v varia rapidamente de zero a v∞;✓ A região de escoamento livre (bulk), onde vx = v∞.
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Teoria da Camada Limite
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Desenvolvimento de uma Camada Limite Dinâmica deespessura M(x) e velocidade vx(y) no escoamento sobre umaplaca plana parada.
A espessura da camada limite varia com x !!
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Desenvolvimento de uma Camada Limite Mássica deespessura D(x) e concentração CA(y) no escoamento sobreuma placa plana parada, com dimensões W e L.
A espessura da camada limite varia com x !!
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Desenvolvimento de uma Camada Limite Dinâmica deespessura M(x) e velocidade vx(y) no escoamento em umatubulação (escoamento laminar ou turbulento).
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Desenvolvimento de uma Camada Limite Mássica deespessura D(x) e concentração CA(y) no escoamento em umatubulação (escoamento laminar ou turbulento).
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Teoria da Camada Limite
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Desenvolvimento de uma Camada Limite Mássica deespessura D(x) e concentração CA(y) no escoamento sobreuma placa plana parada, com dimensões W e L.
A espessura da camada limite varia com x !!
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Teoria da Camada Limite Laminar
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Sendo as taxas de transferência de massa da interface para oseio do fluido forem pequenas, então podem ser assumidasas seguintes hipóteses:• O perfil de velocidades é aproximadamente linear:
• Perfil de concentrações é aproximadamente linear:
• A razão entre as camadas limite hidrodinâmica e mássica éuma função restrita do número de Schmidt (Sc):
)x(
y
v
)y(v
M
x
)x(
y
CC
C)y(C
D0AA
0AA
)Sc()x(
)x(
M
D
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Teoria da Camada Limite Laminar
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Consideremos o balanço de massa para o componente A novolume de controle mostrado na figura a seguir. Nele,identifica-se os seguintes fluxos:• Três fluxos de entrada de A: NAe1 através da área D(x)W, NAe2 através da área dA, e JA0 através da área xW;• Um fluxo de saída de A: NAs1 através da área D(x+x)W.
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Teoria da Camada Limite Laminar
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Contabilizando-se as taxas:• Fluxos de entrada de A: NAe1
através da área D(x)W, NAe2
através da área dA, e JA0 através daárea xW;• Fluxo de saída de A: NAs1 atravésda área D(x+x)W.
O somatório de todas as taxas deve ser nulo:NAe1D(x)W + NAe2dA + JA0xW - NAs1 D(x+x)W = 0
NAe1 – fluxo convectivo de entrada de A em x = CAvx
NAs1 – fluxo convectivo de saída de A em x+x = CAvx
NAe2 – fluxo de A na fronteira da camada limite = CA∞vJA0 – fluxo difusivo de A pela superf. sólida (em y = 0) = -DAB(dCA/dy).
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Teoria da Camada Limite Laminar
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NAe1D(x)W + NAe2dA + JA0xW - NAs1 D(x+x)W = 0NAe1 – fluxo convectivo de entrada de A em x = CAvx
NAs1 – fluxo convectivo de saída de A em x+x = CAvx
NAe2 – fluxo de A na fronteira da camada limite = CA∞vJA0 – fluxo difusivo de A pela superf. sólida (em y = 0) = -DAB(dCA/dy).
Escrevendo-se a equação acima na forma integral para ointervalo de valores considerado, tem-se:
0
0
0
000
A
xx
x y
AABA
)xx(
)x(
xA
)xx(
xAA
xx
x y
AABA
)x(
xA
dxdy
dCDWdAnvCdyvCW
dyvCWdxdy
dCDWdAnvCdyvCW
D
D
DD
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)Sc(v
xD12)x(
x)x(D12
)Sc(v
dx))x((d )x(D6
)Sc(v
)x(
D))x((
dx
d
6
)Sc(v
ABD
2
D
AB
x
0
)x(
0
DD
AB
D
ABD
D
Uma análise semelhante para a camada limite dinâmica (momentum) leva a:
v
x12)x(M
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Teoria da Camada Limite Laminar
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3/1
2/12/1AB
M
D
AB
M
D
M
ABD
Sc)Sc(
)Sc(Sc)Sc(
D)Sc(
)x(
)x(
x12
v
)Sc(v
xD12)Sc(
)x(
)x(
v
x12)x(
)Sc(v
xD12)x(
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Teoria da Camada Limite Laminar
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Considerando que quando baixas taxas de transferência demassa são observadas, o fluxo total na interface sólido-fluidopode ser aproximado pelo fluxo difusivo JA0, encontra-se parao coeficiente de transferência de massa a seguinte relação:
x12
ScvDk
x12
ScvD
xD12
ScvD
)Sc(v
xD12
D
)x(
Dk
CCk)x(
CCD
dy
dCDJ
3/12/1
ABm
3/12/1
AB
AB
3/1
AB
AB
AB
D
ABm
A0Am
D
0AAAB
0y
AAB0A
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Teoria da Camada Limite Laminar
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Agrupando em números adimensionais:
3/12/1xx
3/12/1x
AB
m
3/2xAB
AB
3/1AB
AB
3/1
ABm
ScRe3,0Sh 12
1ScRe
D
xk
12
ScRe
x
D
D12
Scxv
x
D
xD12
ScvDk
O valor de km médio para toda a superfície W x L, fica:
3/12/1LL
3/12/1L
AB3/12/1L
ABm
W
0 AB
3/1
AB
W
0
L
0
2/1
AB
3/1
AB
W
0
L
0
m
W
0
L
0
W
0
L
0
m
m
ScRe6,0ShScReL
D6,0ScRe
3
1
L
Dk
WL
dzD3
LScv
DWL
dzdxxD12
ScvD
WL
dzdxk
dxdz
dxdzk
k
Expressões válidas em regime laminar (Re < 5 x 105)!!!! Por quê???
km ~ DAB2/3
<km > ~ DAB2/3
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Teoria da Camada Limite Laminar
24
3/12/1LL
3/12/1xx
ScRe 6,0Sh
ScRe 3,0Sh
Expressões finais para a Camada Limite Laminar:
Expressões válidas em regime laminar (Re < 5 x 105)!!!!
km ~ DAB2/3
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Teoria da Camada Limite
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Desenvolvimento de uma Camada Limite Mássica deespessura D(x) e concentração CA(y) no escoamento em umatubulação (escoamento laminar ou turbulento).
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Teoria da Camada Limite Turbulenta
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Seguindo o escoamento além da camada limite laminar, eapós a região de transição (8 x 104 < Rex < 5 x 105), observa-seo desenvolvimento de uma camada limite turbulenta.
Nesta, admite-se as seguintes hipóteses:• O perfil de velocidades é dado por:
• Perfil de concentrações é dado por:
7/1
M
x
)x(
y
v
)y(v
7/1
D0AA
0AA
)x(
y
CC
C)y(C
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Teoria da Camada Limite Turbulenta
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Após procedimentos muito similares aos realizados para acamada limite laminar, obtém-se para a Camada LimiteTurbulenta as seguintes expressões:
ScRe 0365,0D
LkSh
ScRe 0292,0D
xkSh
3/18,0L
AB
mL
3/18,0x
AB
mx
Expressões válidas em regime Turbulento (Re > 5 x 105)!!!!
km ~ DAB2/3
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Teoria da Camada Limite
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Uma análise similar para a Convecção Natural fornece aseguinte relação:
Correlações obtidas para o escoamento externo em torno deobjetos:
4/1Sc GrSh
Objeto Correlação
Esfera Sh – 2 = 0,6 (Gr Sc)1/4
Cilindro vertical Sh = 0,59 (Gr Sc)1/4
Placa Sh = 0,54 (Gr Sc)1/4
Cilindro horizontal Sh = 0,525 (Gr Sc)1/4
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Teoria da Penetração
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✓ Proposta em 1965 por Higbie para prever as taxas detransferência de massa nas operações de absorção gasosa eextração líquido-líquido;
✓ Propõe que bolsões de fluido reversam-se entrando em contatocom as interfaces de troca de matéria, de forma gerar coeficientesde transferência de massa dependentes do tempo de contatodestes bolsões com as interfaces (eventos transientes);
✓ O transporte de massa é assumido como em regime transientee descrito pela 2ª Lei de Fick;
✓ Válida em situações de OPUs nas quais o tempo de contatoentre as fases está de acordo com tempos característicos dedifusão em estado transiente.
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Teoria da Penetração
30
✓ Estudo de Caso: Coluna de Oxigenação
Este sistema pode sermodelado por um processodifusivo unidirecional, emregime transiente, semocorrência de reaçãoquímica e com T e Pconstantes. Assim, vale a 2ªLei de Fick:
AA
0AA
AA
2
A
2
ABA
CCz 0,t:3.C.C
CC0z 0,t:2.C.C
CC0t :1.C.C
z
CD
t
C
tD4
zerfc
CC
CC
AB0AA
0AA
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Teoria da Penetração
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✓ Estudo de Caso: Coluna de Oxigenação
A partir da solução obtida, épossível calcular o fluxomolar de transferência deoxigênio através dainterface gás-líquido:
tD4
zerf1
CC
CC
AB0AA
0AA
tD4
zerf
dz
dCCD
z
CDJ
AB
A0AAB
0z
AAB0zAz
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Teoria da Penetração
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✓ Estudo de Caso: Coluna de Oxigenação
t
Dk
:setem,CCkJ que vez Uma
CCt
De
2
tD4
1CCDJ
:setem,due2
)z(erf Como
tD4
zerf
dz
dCCD
z
CDJ
ABm
A0Am0zAz
A0AAB
0z
z
AB
A0AAB0zAz
z
0
u
AB
A0AAB
0z
AAB0zAz
2
2
<km> ~ (DAB)1/2 . Alémdisso, km varia com otempo (regimetransiente).
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Teoria da Penetração
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✓ Estudo de Caso: Coluna de OxigenaçãoPensando em termos médios, tem-se: tD tempo médio derenovação da interface gás-líquido.
D
ABm
A0A
D
ABt
0
t
0 0zAz
0zAz
A0Am0zAz
t
D2k
CCt
D2
dt
dtJJ
CCkJ
D
D
km ~ (DAB)1/2 . Alémdisso, km varia com otempo (regimetransiente).
Esta equação possui verificação experimental para a água e bolhas com 0,3<dp< 0,5cm.
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Teoria/Modelo da Renovação de Superfície
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✓Considera-se que não há um único tempotD de renovação da interface (tempo decontato entre as bolhas e o líquido), massim uma distribuição (t) de tempos decontato de 0 a .
✓ A fração de elementos de fluido quepossuem tempos de contato com o gásentre t e t + dt, pode ser representada por(t) dt, com:
0
1 dt )t(
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Teoria/Modelo da Renovação de Superfície
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✓ Considerando-se que a distribuição (t) é do tipo: (t)=se-st,com s sendo uma constante.
sDk
CCsDdtseCCt
Ddt)t(JJ
CCkJ
ABm
A0AAB
t
0
stA0A
ABt
0 0zAz0zAz
A0Am0zAz
DD
<km> ~ (DAB)1/2
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Teoria/Modelo da Renovação de Superfície
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✓ Comparando-se a Teoria da Penetração e a Teoria daRenovação de Superfície, tem-se:
tt
4
D
D
ABm
D
ABm
Det
4 )t(
t
4 s
e) Superfícide Renovação da (Teoria sDk
)Penetração da (Teoria t
Dk
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FIM !!!
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Teoria da Camada Limite Laminar
38
00
A
xx
x y
AABA
)xx(
)x(
xA dxdy
dCDWdAnvCdyvCW
D
D
Escrevendo-se, de forma similar o balanço para a conservaçãoda massa total, tem-se a equação abaixo:
Multiplicando-se esta última expressão por (CA∞/) ediminuindo-se da primeira, obtém-se:
0
A
)xx(
)x(
x dAnvdyvWD
D
xx
x 0y
AAB
)xx(
)x(
xAA dxdy
dCDdyvCC
D
D
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20
Transf. de Massa - ENG 524
Pro
f. D
r. É
dle
rL.
de
Alb
uq
uer
qu
e, E
ng
. Qu
ímic
a IF
BA
Teoria da Camada Limite Laminar
39
Dividindo-se ambos os lados por x e tomando-se o limitequando x 0, encontra-se:
0y
AAB
)x(
0
xAA
xx
x 0y
AAB
0x
)xx(
)x(
xAA
0x
dy
dCDdyvCC
dx
d
x
dxdy
dCD
Limx
dyvCC
Lim
D
D
D
xx
x 0y
AAB
)xx(
)x(
xAA dxdy
dCDdyvCC
D
D
Transf. de Massa - ENG 524
Pro
f. D
r. É
dle
rL.
de
Alb
uq
uer
qu
e, E
ng
. Qu
ímic
a IF
BA
Teoria da Camada Limite Laminar
40
Levando-se em consideração as suposições levadas a cabo nateoria da camada limite, chega-se a:
0y
AAB
)x(
0
xAAdy
dCDdyvCC
dx
d D
)x(
y
v
)y(v
M
x
)x(
y
CC
C)y(C
D0AA
0AA
)Sc()x(
)x(
M
D
)x(
0 DD
0AA
)x(
0 MD
0AA0AA
)x(
0
xAA
D
DD
dy)x(
y
)x(
y1
dx
dCC)Sc(v
dy)x(
yv
)x(
yCCCC
dx
ddyvCC
dx
d
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Transf. de Massa - ENG 524
Pro
f. D
r. É
dle
rL.
de
Alb
uq
uer
qu
e, E
ng
. Qu
ímic
a IF
BA
))x((dx
d
6
CC)Sc(v
3
)x(
2
)x(
dx
dCC)Sc(v
dy)x(
y
)x(
y
dx
dCC)Sc(v
dy)x(
y
)x(
y1
dx
dCC)Sc(vdyvCC
dx
d
D0AADD
0AA
)x(
0
2D
2
D
0AA
)x(
0 DD
0AA
)x(
0
xAA
D
DD
Teoria da Camada Limite Laminar
41
0y
AAB
)x(
0
xAAdy
dCDdyvCC
dx
d D
)x(
CCD
dy
dCD
D
0AAAB
0y
AAB
)x(
D))x((
dx
d
6
)Sc(v
D
ABD