UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA

MATERIA: MATEMÁTICAS

Nombres: Carla Panchis.

Paralelo: CA2-5

Aula: 62

Profesor: Francisco Bohamonde

Quito – Ecuador

Enero 2013

UNIDADV

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

TRAZADODECURVASMÁXIMOSY MÍNIMOSCONCAVIDAD PUNTOSDE INFLEXIÓN DEUSODE DERIVADASGRAFICASGRAPMAT ICA ,MATHAB ,ETCOPTIMIZACIÓNEFINICIÓN

MÁXIMOSY MÍNIMOS DEUNA FUNCIÓN CON

APLICACIÓN DE DERIVADASOPTIMIZACIÓNDECOSTOS ,UTILIDADES ,ETC .

GRÁFICA

M

m

PROBLEMA

Sedisponede320mdecerca paraencerrar uncampo rectangular

¿Cómodebeusarse la cerca par que el área encerrada sealamas grande posible?

DATOS

Cerca :320m

Terreno : rectangular

a

b

SOLUCIÓN

A=máxima

A=b x a

A=f (b xa)

P=sumade los lados

P=a+b+a+b

P=2a+2b

320=2a+2b

160=a+b

a=160−b

A=(160 – b)b

A=160b –b2

A

A=160b –b2

Derivamos

A '=160−2b

A ' '=−2

A '=0

160−2b=0

b=1602

=80m

CONDICIÓN

Si A ' '<0la funciónes M

Si A ' '>0la funciónesm

Como A ' '=−2<0 la funciónesM

a=160 –2

a=80m

b=80m

110

50 50

110

GRÁFICO

A=160b –b2

El áreamas grande acercarse esde 80 y 6400metros

PROBLEMA

Unterreno rectangular vahacercarse y dividirseen3 partes iguales por 2cercas paralelas

aunode loslados .Si se vausar un totalde 800metrosde cercaencuentrelas dimensionesdel

terreno para quesi área seamáxima

DATOS

TERRERO : rectangularadividirse en3 partes

CERCA :800metros

ÁREA :máxima

GRÁFICO

VARIABLES

A=3x ×3 y

FUNCIÓN

P=2 x+2 y+2x+2 y+2 y

SOLUCIÓN

P=4 x+6 y

800=4 x+6 y

800−6 y4

=x

A=3( 800−6 y4

)(3 y)

A=2400−18 y4

×3 y

A=7200 y−54 y2

4

Derivamos

YXY

YXY

YX XY

A’=4 (720−108 y )

16

A’=7200−108 y16

A’’=−43216

A’’=−27

A’=0

7200−108 y16

=0

−108Y=−7200

Y=66.666

X=800−6 (6.67)

4

X=100

Como A' '=−27<0 la funciónesM

A=7200 y−54 y2

4

El areaesmaximaacercarse esde59400 po60metros

PROBLEMA

Una cajaabierta se vaaconstruir conun pedazo decarton cuadrado de42cmde lado

recortando un pequeño cuadradodeunaesquina y lue godob la ndo las aletas paraformar

los lados.¿Cuáles sonlas dimencionesde lacaja que debe tener el volumenmaximo?

Datos

P=42

V=volumen

V=area x altura

SOLUCIÓN

V=(42−x)(42−x )x

V=f (x )

V=1764 x−84 x2−x3

Derivamos

V ’=1764−168x+3 x2

V ’’=−168+6 x

¿−168+6(14)

¿−84

x

x

42−2x

ComoV ' '=−84<0 la funciónesM

V’= 0

3 x2−168 x+1764=0

x=168±√1682−4 (3)(1764)

2(3)

x=168±√213366

x=42

x=14

GRÁFICO

V=1764 x−84 x2−x3

Lasdimensiones para obtener el volumenmaximo es de14 por 8400

PROBLEMA

El propietario deuna licoreriaespera vender 800bo tellas deun popular vinoblanco .

El costo del vino esde0.85 $ por botella , los derechosde pedido sonde10 $ por despacho

y el costp dealmacenam ientodeuanbotelle durante todo el añoesde 0.40$ . El vino se

consume auna taza uniformedurante todo el año ycada despachollegaapenas se ha

tenidoel anterior .

¿cuantas botellas debe pedir el propietarioancada despacho parabajar elminimo los costos?

DATOS

COSTO=0.85 por botella

DERECHO=10 pedido

DESPACHO=0.40 por año

VENDE=800botellas

VARIABLE

X=número debotellas por pedido

FUNCIÓN DECOSTO

Costo=costo de vino+costo pedido+costo dealmacenamiento

SOLUCIÓN

C=0.85 x

C=0.40 x

C=800x

C=0.80 x+0.40 x+10(800 /x )

C=1.25+ 8000x

Derivamos

C’=1.25+ 8000x2

C’’=16000x3

C’= 0

8000

x2−1.25=0

x2=80001.25

X=80

comoc ' '>84 la funciónesm

GRÁFICA

C=1.25+ 8000x

Debe80botellas encada pedido

PROBLEMA

Unaimprenta recibeun pedido parahacer uncartelrectangular que conti ene60cm

de impresi ónrodeada pormárgenes de3cmacada lado y 4 cmenla parte superior e inferior .¿Cuales sonlas dimensionesdel pedazo de papelmas peque ñoque puede usarse para

hacer el cartel ?

DATOS

3cmacada lado

4 cmen la parte superior e inferior

ÁREADEL PAPEL

A=b x a

A=x× y

ÁREADE IMPRESIÓN

A=(x−8)( y−6)

60=(x−8)( y−6)

( y−6) 4cm

3cm 3cm

4cm

60cm2

(x−8)

y= 60x−8

+6

A=f (X )

A(x )=x ( 60x−8+6)

A(x )= 60 xx−8

+6 x

A(x )=6 x2+12 xx−8

Derivamos

A’=−6 x2+96x−96(X+8)2

comoc ' '>0 la funciónesm

C ’=6 x2+96 x−96

x=−b±√b2−4ac2a

x=−96±√962−4(−6)(96)

2(−6)

x=−96±√11520−12

x=12.71

x=0.71

y= 60x−8

+6

y=16.94

GRÁFICO

A(x )=6 x2+12 xx−8

La impresióndebe ser de 12.71cm por16.94 cmde dimensiones paraqueel pedazode papel sea

elmas pequeño

PROBLEMA

El propie tario deunviverolaurel quiere cercar un terrenode formarectangular de

1200 pies cuadradosde area parausarlos paradiferentes tiposde arbustos .

El terreno sera dividido en4 lotes igules con3cercas paralelas .

¿Cuáles el numerominimode pies paralacerca?

SOLUCIÓNA=a×b

1200=a×b

1200b

=A

A=f (a×b)

T=2a+2b+3 a

T=5a+2b

T=5( 1200b )+2bT=6000

b+2b

T=6000+2b2

b

b

b

a a a a a

Derivamos T ’=2b

2−600b2

T ’ ’=1200b3

comoc ' '>0 la funciónesm

T’= 02b2−600=0

b2=60002

b=±54.77

A=1200b

A= 21.91GRÁFICO

PROBLEMA

El productode 2números positivos es128el primero se sumaal cuadradodel segundo

a) Que tan pequeño puede ser lasumab) Que tan grande puede ser la suma

X=1er número

Y=2do número

1. x× y2. x+ y2

y=( 1282x2 )s=f (x )

s= x+ 1282

x2

Derivamos

S ’=1+16384x2

S ’=−2(−3)(16384) x−4

S ’’=6 (16384)x−4

comoc ' '>0 la funciónesm

S’=0

1−32768 x−3

32768

x3=1

x3=32768

X=32

Y=12832

=4

X=32

Y=4

GRÁFICO

Losnúmeros con32 y 4 repectivamente

EJERCICIO

La función en $ de en costo promedio

c= 500ln (q+20)

q= 50

c=( 500ln (q+20))q

c=¿¿

d cdq

=ln [ ln (q+20 ) ] 500−500q ( 1

q+20 )[ ln(q+20)]2

d cdq

=ln [ ln (50+20 ) ]500−500(50)( 1

50+20 )[ ln (50+20)]2

C’=¿¿

C’=1766.8618.05

C’=97.89

PROBLEMA

Paraunaempresala produccion diariaenel dia ( t ) esta dado por

q=500 (1−e−0.2 t )encuentre larazon decambioen la produccioncuando

t=10dias

dqdt

=(500) ddq

( 1- e−0.2 t ¿ +( 1- e−0.2 t ¿ ddq

(500)

dqdt

=(500) ( 0- 0.2e−0.2 t ¿ +( 1- e−0.2 t ¿ (0)

dqdt

=(500) ( 0- 0.2e−0.2 t ¿

dqdt

=(500) ( 0- 0.2e−0.2 (10)¿

dqdt

=13.53

PROBLEMA

Unestudian teha echouncontrato para producir 150 velas con la formadeunamascota

deun colegio .Planea comprarunacantidad demoldes deusorepetitivo paracelasaun

tallermecanico a3$ cadaunoy luego contrataun trabajador al que paga1.50 $ la hora .

Paraque llene losmoldes decera.

Senecesitan 3horas para producir uan sola vela con1molde

¿cúatosmoldesdebe comprar el estudiante paramantener sus costos enelmenos

nivel posible ?

Variable

X=numero demoldes

Funcionde costo

Costo=costomolde+costomano deobra

C=3 x+ 1.50x

(3)(150)

C=3 x+ 4.50x

(150)

C=3 x+ x−4.50x2

3 x+ x−450=0

4 x−450=0

X=4504

GRÁFICO

C=3 x+ 1.50x

(3)(150)

Debe comprar unmaximode30moldes paraalcanzar unautilidad de112.50 $

EJEMPLO DE CURVAS

x y

-1 8

-1.25 8.60

-1.54 8.79

-1.75 8.70

-2 8

0 4

0.25 4.95

0.54 5.87

0.86 7.33

1 0

CORRECCIÓN DELA PRUEBA

1. La fucniondemandada paraunacompañíadeelectrodimensticos de lapto es

p=2400−6q , p=$ulos consumidoresdemandanq=unidades

I=(2400−6 q)I=2400q−6q2

I ’=2400−12qI ’ ’=−12

ComoV ' '=−12<0 la funciónesM

2400−12q=0−12q=2400

q=−2400−12

q=200

GRÁFICO I=2400q−6q2

2. h( t)=16 t 2+85 t+22

h=f (x)h(2)=16 t2+85 t+22h ’=32 t+85h ’’=3232 t+85=0

32 t=−8532

t=−2.66No tienesolución porque el tiempo no pyuede ser expresadoennegatico

noexiste

3.graficar

x=12100+100 t+100 t2

121+t 2

FUNCIONES EXPLICITAS

x y2+4 x2= y3

y=f (x )

1 y2+x2 y y'+8 x=3 y2 y '

2 xyy’−3 y2 y '=−8 x− y2

Y ’(2xy−3 y2)=−8x− y2

Y ’= 8 x+ y2

2 xy−3 y2

y= ex+e− x

3

dydx

=(3 ) d

dx(ex+e−x )−(ex+e−x ) d

dx(3 )

9

dydx

=3 (ex×1+e−x×1)

9

CONCAVIDAD PUNTOS DE INFLEXIÓN

y=x3

CARACTERISTICAS

Todos losnumeros rales . Es simetricarespectoalorigen . Hay continuidad enla curva. Puntode inflexion . Concava , concexa. Noes poligono , escurva .

UNIDADVI

CALCULO INTEGRAL

INTEGRACIÓNDEFINIONESTÉCNICAS DE INTEGRACIÓNFÓRMULAS DE INTEGRACIÓNMETODODE INTEGRACION(SUSTITUCIÓN )INTEGRALDEFINIDAÁREAENTRECURVASEXCEDENTE DECONSUMIDORESY PRODUCT ORES

INTEGRAL

dydx

= ddx

f ( x )= y '=f '

dydx

=f ' ( x )

dy=f ' ( x )dx

y= ∫ f ' ( x )dx

TECNICAS DE INTEGRACIÓN

∫ (u+v+w )=∫udu+∫ vdu+∫wdu

∫ adu=a∫ du

∫undu= un+1

n+1+c

∫u−1du=∫ duu

=∫ dxx

=ln x+c

y=ln x

y ’=1x

dydx

=1x

dy=dxx

y=∫ dxx

EJERCICIOS

y '=3x2−6 x

dydx

= y '=3 x2−6 x

y ’=3x2−6 xdydx

=3 x2−6 x

dy=(3 x2−6 x)dxy=∫(3 x2−6 x)dx

y=∫3 x2dx−∫6 xdxy=3 x2+1

2+1−6 x

1+1

1+1+c

y=33x3−6

2x2+c

y=x3−3x2+c

y '=3 x312 x2+12 x

dydx

= y '=3 x312 x2+12 x

y=∫(3 x312 x2+12 x¿)dx ¿

y=∫3 x3dx+∫ 12x2dx+∫12 xdxy=3∫ x3dx+12∫ x2dx+12∫ xdx

y=3 x3+1

3+1−12 x

2+1

2+1+12x2+c

y=34x4−12

3x3+ 12

2x2+c

y=34x4−4 x3+6 x2+c

y '=2(32 x)+3 x12

dydx

= y '=2( 32 x )+3x12

y=∫3 xdx+∫3 x12dx

y=3∫ xdx+3∫ x12dx

y=3x1+1

1+1+3

x−12

+1

−12

+1

y=32x2+ 3

12

x12

y=32x2+6 x

12

y '=(3 x−1 )2+6 x (3 x−1 )

y=x (3 x−1 )2

dydx

= y '=(9 x2−6 x+1 )+(18 x2−6 x )

dydx

=(9x2−6 x+118 x2−6 x)

dydx

=¿( 27 x2−12 x+1¿

dydx

=¿( 27 x2−12 x+1¿

y=∫(27 x2−12 x+1)dx

y=27 x2+1

2+1 - 12 x1+1

1+1+x+c

y=273

x3−122

x2+x+c

y=9x3−6 x2+x+cy=x (9 x2−6 x+1 )+cy=x (3 x−1 )2+c

y '= x

√x2−1

y '= x

(x2−1 )12

u=x2−1du=2 xdxdu2

=xdx

y=∫ xdx

(x2−1 )12

y=∫du2

u12

=12∫

du

u12

y=12∫u

−12 du

y=12

u−12

+1

−12

+1+c

y=12u12

12

+c

y=u12+c

y=( x2−1 )12+c

y=∫ xdx

√2x2+1

u=2x2+1du=4 xdx

xdx=du4

y=∫ xdx

(2 x2+1 )12

y=∫du4

u12

y= 14∫

du

u12

y= 14∫ duu

−12

y=14

u−12

+1

−12

+1+c

y=14u12

12

+c

y=12u12+c

y=12

(2−3 x2)12+c

y '=5 x4−12 x2−2

dydx

= y '=5 x4−12 x2−2

y=∫5 x4dx−∫12 x2dx−∫ 2dxy=5∫ x4dx−12∫ x2dx−2∫ dx

y=5 x4+1

4+1−12 x

2+1

2+1−2

y=55x5−12

3x3−2 x

y=x5−4 x3−2 x+c

y '=−13

+2 x−2 x3

dydx

= y '=−13

+2 x−2 x3

y=∫−12

dx−∫ 2xdx−∫ 2x3dx

y=−12

x−2 x1+1

1+1−2 x

3+1

3+1+c

y=−13

x−x2−12x4+c

y '=2ax+bdydx

= y '=2ax+b

y=∫2axdx+∫bdx

y=2∫axdx+b∫ dx

y=2 ax1+1

1+1+bx+c

y=ax2+bx+c

y '=matm−1+b (m+n )tm+n−1

dydx

= y '=matm−1+b (m+n ) tm+n−1

y=∫matm−1dx+∫b (m+n )tm+n−1dx

y=m∫atm−1dx+b∫ (m+n ) tm+n−1dx

y=matm−1+1

m−1+1+b

(m+n )tm+n−1+1

m+n−1+1+c

y=matm

m+b

(m+n ) tm+n

m+n+c

y=a tm+bm+n+c

y '=−π

x2

dydx

= y '=−π

x2

y=∫−π

x2dx

y=−π∫ x−2dx

y=−πx−2+ 1

−2+1+c

y=−π−1

x−1+c

y=π x−1+c

y '=2 x−13 −5 x

32−3x−4

dydx

= y '=2 x−13 −5x

32−3 x−4

y=∫2 x−13 dx−∫5 x

32 dx−∫3 x−4dx

y=2∫ x−13 dx−5∫ x

32 dx−3∫ x−4dx

y=2x

−13

+1

−13

+1−5

x32+1

32+1

−3x−4+1

−4+1

y=2x23

23

−5x52

52

−3x−3

−3+c

y=3 x23−2 x+ x−3+c

y '= 4 b

3 x2 3√x− 2a

3 x3√ x2

y '=4b (3 x2×x13 )−1−2a(3x3×x

23)−1

y '=4b (3 x 73)−1

−2a (3 x2 )−1

y '=4b (3 x−73 )−2a (3 x−2 )

y=12b∫ x−73 −6 a∫ x−2

y=12bx

−73

+1

−73

+1−6 a

x−2+1

2+1

y=12bx

−43

−43

−6ax−1

−1

y=−9b x−43 +6a x−1

METODO DE SUSTITUCIÓN (INDEFINIDAS )

∫ (7+e )dx

y=∫7 dx+∫ edx

y=7∫ dx+e∫dx

y=7 x (7+e )+c

∫( x7−34 x4)dx

y=∫ x7dx−∫ 34 x

4

y=17∫ xdx−3

4∫ x4dx

y=17x2

2−34x5

5

y= 14x2− 3

20x5

∫( ex+e2xex )dxy=∫ ex

ex dx+∫ e2x

ex dx

y=∫ dx+∫(e2x¿¿×e− x)dx ¿¿

y=x+ex+c

∫ 2 x3+3 xx4+3 x2+7

dx

u=x4+3 x2+7du=x3dx+6 xdxdu=2 (2x3+3 x )dx

y=∫du2u

=12∫

duu

y=12ln(u+c¿)¿

y=12ln ( x4+3 x2+7 )+c

CONDICIÓN INICIAL y '=8 x−4 ; y=5

Encontrar y

y=∫(8 x−4)dx

y=∫ 8xdx−4∫dx

y=8 x2

2−4 x

y=4 x2−4 x+cy=4 (5 )2−4 (5 )+cy=−3

y ' '=x2−6 ; y ' (0)=2 ; y (1)=−1

Encontrar yy '=∫ x2dx−6∫ dx

y '= x3

3−6 x+c

2=(0 )3

3

−6 (0 )+c

c=2

y '= x3

3−6 x+2

y=( x33 −6 x+2)dxy=13∫ x3dx−6∫ xdx+2∫ dx

y=13x4

4−6 x

2

2+2 x+c

c (−1 )=(1)4

4−3 (1 )3+2 (1 )+c

c=−112

y= x4

12−3 x2+2 x−1

2

y ' ' '=ex+1 ; y ' ' (0 )=1; y' (0 )=2; y (0 )=3

Encontrar y

y ' ' '=ex+1y ' '=∫ ex dx+∫1dxy ' '=ex+x+c2=e0+0+cc=0y '=e x+xy '=∫ex dx+∫ xdx

y '=e x+ x2

2+c

c=1

y=ex+ x2

2+1

y=∫ exdx+∫ x2

2dx+∫ 1dx

y=ex+ 12x3

2+x+c

y=ex+ 16x3+x+c

3=e0+ 1603+0+c

c=2

y=ex+ x3

6+x+c

PROBLEMAElingreso promedio anual y queuna personadeun grupurbano conx años deeducacion

puedeesperar recibir albuscar une mpleoordinario estimadoque la razona la queelingreso cambiarespecto ala educacionquesta dada por dy

Solución

dy=100x32

y=100 x

32+1

32+1

y=40 x53+c

28720=40 (9 )52+c

c=1900

y=40 x52+19000

INTEGRALES INDEFINIDAS∫(2 5√x4¿−7 x3+10ex−1)dx¿

y=∫2 ( x )45 dx−∫7 x3dx+∫ 10exdx−∫1dx

y=2∫ ( x )45 dx−7∫ x3dx+10∫ exdx−¿∫ dx¿

y=2x45+1

45+1

−7x4

4+10ex−x+c

y=109

x95−74x4+10 ex−x+c

PROBLEMA Un fabricante adeterminadoque la funcionde costomarginal esdcdq

=0.003 q2−0.4 q+40

q=número deunidades producidas .Si el costomarginal es de27.50cuandoq=60 y los costos fijos son5000¿cual esel cos ¿ promedio para producir100unidades ?Solución

c=∫ 0.003q2dx−∫0.4 qdx+∫ 40dxc=0.003

3q3−0.4

2q2+40q+c

c=0.01q3−0.2q2+40Q+c27.50=0.01 (50 )3−0.2 (50 )2+40 (50 )+c27.50=125−500+2000+cc=1597.50c=0.001q3−0.2q2+40q−1597.50c=f (q)ct=cp+cfct=0.001q3−0.2q2−1597.50+5000

c= ctNo

ct=0.001 (50 )3−0.2 (50 )2−40 (50 )+1597.50

c=0.001100

q3−0.02100

q2− 40100

q+34.03

c=0.00001q3−0.002q2+0.4q+34.04PROBLEMA

La funciónde cstomarginal total paraun fabricante esta dada pordcdq

=10− 100q+10

c=costototal cuanto se producen100unidades el costo promedio es de50$ porunidad determindar el cost fijo del fabricanteSolución

c=10∫dq−100∫ 1q+10

dq

c=10q−100 ln (q+10)+c1c=cp+cfc=50 ;q=100

c= cq

c=10q+100 ln (q+10 )+c ,

100

50=10q+100 ln (q+10 )+c ,

100

50=10(100)+100 ln ((100)+10 )+c ,

100

5000=1000−470+cc ,=4470c ,=10q+100 ln (q+10 )+447+c

EJERCICIOS

∫ 5 ex

1+3ex dx

u=1+3ex

du=3ex dx

ex dx=du3

y=5∫du3u

y=53∫

du4

y=53ln(u+c)

y=53ln(1+3ex¿)+c¿

DEBER

∫ √1+√x√x

dx

u=1+√x

du=1/2√x−1 /2dx

du= 1

2√ xdx

dx

√x=2du

y=∫ (1+√x )12 dx

√ x

y=2∫U 1/2du

y=2U32

32

+C

y=34

(1+√X ) 32+C

∫ 5 (X 1/3+4 )43√X2

dx

U¿ x1 /3+4

du=13x−23dx

3= dx

x23

du

y=5∫(x 12+4 )x 2/3

4

dx

y=5∫u /43du

y=15∫u /4du

y=15∫u55+c

y=3u5+6

y=( x13 )5

+6

y=∫√t (3−√ t )0,6dx

u=(3−t √t )0,6 t

u=(3−t32 )

dudt

=−32

t12dt

−22

du=t12 dt

y=∫u0,6−23du

y=−23 ∫u0,6du

y= 512

(3−t32)85+c

9 x5−6 x4−e x3

7 x2

y=∫ 9 x5

7 x2dx−∫ 6 x

4

7 x2dx−∫ ex3

7 x2dx

y=97∫ x3dx−6

7∫ x2dx− e7∫ xdx

y=97x4

4−67x3

2− e7x2

2+c

y= 928

x 4− 614

x3− e14

x2+c

y= 928

x 4−37x3− e

14x2+c

∫ (ee2+xe−2 x) dxy=∫ ee

2

dx+∫ xe dx−∫2 xd xy=∫ ee

2

dx+∫ xe dx−2∫ xdx

y=ee2

+ xe+1

e+1−x2+c

∫( x3−1

√x4−4 x−ln7)dx

u=x4−4 xdu=4 x3−4

du=4 (x3−1 )du4

=x3−1

y=∫du4

u12

−ln 7∫ dx

y=∫u12du−ln 7∫dx

y=12

(x4−4 x )32

32

−ln 7 x+c

y=16

(x4−4 x )32−ln7 x+c

∫ x−x−2

x2+2x−1 dx

u=x2+2 x−1

du=2 x−2x−1

du=2 (x−x−2 )dxdu2

=x−x−2dx

du2u

=12ln (x2+2 x−1 )+c

∫ 2 x4−8 x3−6 x2+4

x3

y=∫ 2 x4

x3dx−∫ 8 x

3

x3dx−∫ 6 x

2

x3+4∫ dx

x3

y=2∫ xdx−8∫ dx−6∫ 1x+4∫ 1

x3

y=2 x2

2−8 x−ln ( x )−4 x−3+1

−3+1

y=x2−8x−6 ln ( x )−4 x−2

−2y=x2−8x−6 ln ( x )−2 x−2

y=x2−8x−6 ln ( x )− 2

x2

∫ e x+e− x

ex−e−x dx

u=ex+e−x

du=(ex+e− x )dxduu

=ln (ex+e−x )+c

∫ xx+1

dx

y=∫( x+1−1x+1 )dxy=∫( x+1−1x+1 )dxy=∫( x+1x+1

− 1x+1 )dx

y=∫(1− 1x+1 )dx

y=∫1dx−∫( 1x+1 )dx

y=x−∫( 1x+1 )dx

y=x− 1x+1

+c

y=x−ln ( x+1 )+c

∫ x ex2

√ex2+2dx

u=ex2+2dudx

=ex2×2

du=2 x×ex2dxdu2

=x×ex2

dx

¿∫du2

u12

¿ 12∫ u

−12 du

≡12

(e x2+2 )12

12

+c

¿ (ex2+2 )12+c

∫ (e− x+6 )2

ex dx

u=e−x+6du=−e− xdx

du=−dx

ex

y=∫u2×du

y=∫ (e−x+6 )2−¿ dxex

¿

y=∫ (e−x+6 )3+c

y=−(e−x+6 )3

3+c

PROBLEMA

Seestimaquedentro de x meses la poblacióndecierto pueblo cambiaenrazón de

2+6√ x ,la poblaciónactual esde5000 personas ¿Cuál será la pblaciondentro

de 9meses?

Solución

dpdx

=2+6 √x [ pmes ]

dp=(2+6√ x )dxp=∫ (2+6√x )dx [ p ]

p=∫(2+6 x12¿)dx ¿

p=2∫dx+6∫ x12 dx

p=2x+6x32

32

p=2x+4 x32+c

p=f (x )p=500x=0

500=2 (0 )+4 (0 )32+c

c=500

p=2x+4 x32+500

p ( x=9 )=2 (9 )+4 (9 )32+5000

p=5126 [ p ]

PROBLEMA

Un fabricante haencontradoel costomarginal

3q2+60 q+400 [ $u ]cuando se haintroducido qunidades el costo total de producciónde las 2 primerasunidades es $900¿cual es el costototal de producciónde las5 primerasunidades ?

Solución

c=3q2+60q+400c=∫3q2dq+∫60qdq+∫ 400dqc=33q3+ 60

2q2+400q+c

c=q3+30q2+400q+c900=23+30 (2 )2+400 (2 )+cc ,=212 [$ ]900=53+30 (5 )2+400 (5 )+cc , ,=1597 [$ ]

PROBLEMA

Hallar la función f ( x ) cuya tgtiene pendiente

m=3 x2+1que pasa por el punto(2 ,6)

Solución

dydx

=3 x2+1

y=3∫ x2dx+∫1y=x3+x+c6=23+2+cc=−4y=x3+x−4

GRÁFICO

INTEGRAL DEFINIDA

y=f ( x )dx

y=∫a

b

f ( x )dx

y=∫a

b

f ( x )dx=f (a )−f (b )

EJERCICIO

y=∫−1

3

(3 x2¿−x+6)dx ¿

y=[ x3− x2

2+6 x+6 ] 3−1

y=[33−322 +6 (3 )+c ]−[(−1)3−−12

2+6 (−1 )+c]

y=27−92+18+c+1+ 1

2+6+c

y=48

f ( x )

A

xa b

y

REGLAS

∫a

B

kf (x )dx=k∫a

b

f ( x )dx

∫a

b

( f ( x )± g ( x ))dx=∫a

b

f ( x )dx+∫a

b

g ( x )dx

EJEMPLOS

∫0

1x3

√1+ x4dx

u=¿1+x4

du=x3dx

x3dx=du4

∫0

1du4

u12

=14∫01du

u12

=∫0

1

u12du

[ 14 u32

32

+c ]10=[ 14 2(1+x4)32

3 ]10[ 16 (1+x4)

32 ]10= 14 [(1+x4)32]1

0=16

[(1+14)32−(1+04)32 ]

y=18318

∫1

2 [4 t 13+t (t 2+1)3 ]dt

y=4∫1

2

t13dt+∫

1

2

t (t2¿+1)3dt ¿

y=[4 t13+1

13+1

+ 18( t2+1)4+c ]21

y=[3 t 43+ 18 (t 2+1)]21+cy=3 (2)

43+18(22+1)4−3¿

y=6 3√2+ 6258

−3−2

y=6 3√2+ 5858

∫0

1

e3 tdt

y=13e3 t+c

y=[ 13 e3t ]10y=13

[e3 (1 )−e3(0) ]

y=13(e3+1)

∫2

3

( y2−2 y+1 )dy

y=∫2

3

y2dy−2∫2

3

ydy+1∫2

3

dy

y=[ y33 −2 y2

2+ y ]32

y=[ 333 − (3 )2+3 ]−[ 233 −22+2]

PROBLEMA

La función de costo marginal de un fabricante

dcdq

=0.004 q2−05q+50 , si c=$

determinar el costo si se incrementa la produccionde 65a75unidades

dcdq

=0.004 q2−05q+50 , si c=$

dc=(0.004 q2−05q+50)dq

c=∫65

75

(0.004q2−05q+50 )dq¿

¿

c=0.004∫65

75

q2dq−0.5∫65

75

qdq+50∫65

75

dq

c=[0.004 q33 −0.5 q2

2+50q]7565

c=0.0043

(753−653 )−0.52

(752+652 )+50(75−65)

c=196.33−350+500

c=346.33 $

PROBLEMA

El valor presente es $deun flujocontinuod e ingresos de2000 $al añodurante5años al 6%

compuesto continuamenteesta dado por laevaluación del valor presente

∫0

5

2000e−0.06 t d t

c=[2000∫0

5

e−0.06 t+c ]50c=−2000

0.06[e−0.06(5)−e−0.05(0)]

c=−20000.06

[0.74−1 ]

c=8666.67

PROBLEMAEncontrar elárea de la región

y=x2+2 x+2

x=−2 x=1

GRÁFICO

A=∫−2

1

(x22+2 x+2 )dx

A=[ x33 +x2+2 x+c ] 1−2A=1

3

3+12+2 (1 )+c−−23

3−(−2 )2−2 (−2 )−c

A=6

PROBLEMA

Hallar el área de la región limitada por la recta y=2 x eje x larecta vertical x=2

y=2x

y=∫0

2

2 x

y=2 x2

2

y=x2

y=22−02

y=4

PROBLEMA

Halle el area de laregion limitada por lacurva y=−x2+ax−3 y el eje x

GRÁFICO

y=∫1

3

−x2+4 x−3

y=−x3

3+ 42x2−3 x

y=[−233 +2 (2 )2−3(2)]−[−133 +2 (1 )1−3(2)]y=[ 23 ]−[−43 ]y=23

y=[−333 +2 (3 )1−3(3)]y=1.33

A=2

PROBLEMA

Halle el area de laregionr enel primer cuadrante que se encuentrabajola curva

y=1xy esta limitada por la curva y lasrectas y=x ; y=0 ; x=2

GRÁFICO

R1=∫0

1

xdx

R1=[ x22 ]10

R1=12

R=1.19

R2=∫1

21xdx

R2=[ ln x ]12

R2=ln2−ln 1

R2=0.693

EJERCICIO

Dado que y ' '=( x+1 )32 ;

y ' (3 )=0 ; y (3 )=0

y ' '=( x+1 )32

y '=∫ ( x+1 )32

y '=( x+1 )

32

52

+c

o=2 (3+1 )

52+c

5

c=645

y '=2 (x+1 )

52+c

5−645

y=25∫ ( x+1 )

52 dx−¿

645 ∫ xdx+c¿

y=

25

( x+1 )72

72

−645

x+c

0=435

(3+1 )72−6453+c

y=51235

−1925

+c

y=23 2735

y=83535

EJERCICIO

Área f (x)= x3+1

y=0; x=2; x=3.7

A=∫2

3.7

x3+1dx

A= x4

4+x

A=[ 3.744 +(3.7 )]−[ 244 +2]A=46.85+3.7−4−2

A=44.55

EJERCICIO

f (x)=4−√ x

y=0; x=1; x=9

A=∫1

9

(4−√x )dx

A=∫1

9

4 dx−∫1

9

x12

A=4 X−32x23

A=¿

A=36−543

−4−23

A=443

PROBLEMA

Encontrar elarea de la r egionlimitada por la

Funcion y=x2+4 larecta; y=4 x

SOLUCIÓN PRIMER CUADRANTE

x2−4=4 x

x2−4 x−4=0

x=4±√42−4(1)(−4)

2(1)

x1=4.83

x2=−0.83

y 1=4.83 (4 )=19.32

y 2=−0.83 (4 )=−3.32

A1=∫0

4.83

4 xdx= [2x2 ] 4.830

A1=2(4.83)2

A1=46.66

A2=∫2

4.83

(x2¿−4 )dx=[ x33 −4 x ]4.832 ¿

A2=[ 4.8333 −4 (4.83)]−[ 233 −4 (2)]A2=33.57

A=23.09

SOLUCIÓN CUARTO CUADRANTE

A . Recta=R=2×4=8

A=[ x33 −4 x ]20A=[ 233 −42]20A=|−5.33|

A=5.33

An=8−8.33

An=2.67

SOLUCIÓN TERCER CUADRANTE

Am= ∫−0.83

0

(x¿¿2−4)dx ¿ Am=[ x33 −4 x] 0

−0.83

Am=[−0.8333−40.83 ]

Am=−3.13

A=0.83×3.322

=1.38 .

A(b)=3.32−1.38

A(b)=1.19

0.83

3.32

A