第四章 インスタントン - 東海大学yasue/ffn/leptogenesis/instanton.pdf1/21 第四章...
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1/21 第四章 インスタントン
【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
第四章 インスタントンユークリッド計量では、
( )
( )4 4
1 Tr2
1 Tr2
M
M M E E
E E E
F Fd x i d x
F F
mnmn
mnmn
ì = -ïï= íï =ïî
ò òL
L LL
Action、S、は、
( ) ( )( ) ( )4 4 4exp exp expa a aM E E EEW dA i d x dA i d x i dA d xm m mé ù é ù é ù= = = -ë û ë û ë ûò ò ò ò ò òL L Lここで、
( ) ( )4 41 1Tr Tr 2 02 2i i ij ij
E E E E E E EF F F F F Fmn
mn= = + ³L
なので、
( ) ( )4 4 1exp exp Tr2a aE E E E EW dA d x dA d x F F
mnm m mn
æ öé ù é ù= - = - < ¥ç ÷ë û ë û è øò ò ò òL
が保証される。
第一節：Topological Charge
ここで、ユークリッド計量での EFmn を定義する。
( )1234 12341 1 1 1 12 2 2 2E E E E EF F F F Fmn mnrs mn mnrs mn
mn mnrs mn mnrse e e e e eæ ö= = = = = =ç ÷è ø
次の量は、ゲージ変換で不変である：
( )2
42 Tr16 E E E
g d x F Fmn mnn p= =ò ゲージ不変量
実は、n 自身は任意の場の変換（ aEAmd ）に際しても不変になる。すなわち、
EAm
dnd
= 0
である。
【理由】 ,E E E E EF A A ig A Amn m n n m m né ù= ¶ - ¶ - ë û
( ) ( )1, , ,Tr for SU(2)2 2,
aa a a a a b abc c a b ab a
E E E E
a a a a a a b b c c a a a a bca a b cE E E E E E E E E
a a a abc b cE E E E E
F A if
ig igif
gf
mn mn m m
mn m n n m m n m n n m m n
mn m n n m m n
tdé ù= L = L Þ L L = L L L = * L =ë û
é ùL = ¶ L - ¶ L - L L = ¶ L -¶ L - Lë ûÞ = ¶ -¶ +
F A
F A A A A A A A A
F A A A A
-
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【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
( )( ) ( )
bE b
aaE
xx y
y
nnmm
dd d d
d= -
AA
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
bE b b bcd c d
x E x E E Ea aE E
b b bcd c d bcd c dy a y a a E E a
b bca c b bad dx a E x a E
xx x gf x x
y y
x y x y gf x y x gf x x y
gf x x y gf x
nrn r r n n r
m m
n r r n n r n rm m m m
n r n r r n n rm m m m
d dd d
d d d d d d d d d d d d
d d d d d d d
= ¶ -¶ +
= ¶ - -¶ - + - + -
é ù é= ¶ + - - ¶ -ë û ë
FA A A A
A A
A A
A A ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
, for the adjoint representation
b bca c b bad dx a E x a E
ba bac cba bca d dbaADJ ADJ
bab c cx a ADJ E
x y
gf x x y gf x x y
if if if
g i x x
n n r r r nm m
n n rm
d
d d d d d d
d d d
ù -ûé ù é ù= ¶ + - - ¶ - -ë û ë û
Ü L = - = L = -
é ù= ¶ + - Lê úë û
A A
A ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
bab d dx a ADJ E
ba bab c c b d dx a ADJ E x a ADJ E
a aE ADJ E
ba bab bx a E x a E
y g i x x y
g i x x y g i x x y
ig x x y ig x
r r nm
n n r r r nm m
m m
n n r r rm
d d d
d d d d d d
d d d d
é ù- - ¶ - L -ê úë ûé ù é ù= ¶ - L - - ¶ - L -ê ú ê úë û ë û
Ü = L
é ù é= ¶ - - - ¶ -ë û
A
A A
A A
A A ( )
( ) ( )
Eba baE E
x y
igx y x y
nm
m m m
n r r nm m
d d
d d d d
ù -ë ûÜ = ¶ -
= - - -
D AD D
従って、
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
2 24 4
2 2
24
2
1Tr Tr16 2 16
Tr32
Tr
E E E E E Ea a aE E E
b b b bE E Ea
E
bE ba ba
E EaE
a
g gd x F F d x F FA y A y A y
g d xy
xx y x y
y
nr nr n rnr nrn rm m m
nr n rnrn r m
nrn r r n
m mm
dn d ded d p p d
dep d
dd d d d
d
¢ ¢¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢
æ ö= =ç ÷
è ø
= L L
Ü = - - -
Ü L L
ò ò
ò
F FA
FD D
A
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
( )
42
2 4
42
2 4
12
64
64
b ab
ba ba bE E E E
b ba baE E E E
ba ba bE E E E
b baE E E
d x x y x ygd x x y x y
d x x y x ygd x x y
n r r n n rm m
nrn r nr n r r nm m
n r n rnmn r mrn r
nr nnrn m nrm
d
d d d de
p d d d d
e d e d
p e d e
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢
¢¢ ¢
=
æ ö- - -ç ÷=ç ÷+ - - -è ø
- - -=
+ - -
òò
ò
D D F
F D D
D D F
F D ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
24
2
2 24 4
2 2
24 4
2
4 64
16 16
16
E
baE
ba bE E E
D igA baba b bE E E E E E
ba bE E E
x y
g d x x y
g gd x x y d x ig x y
g d x x y ig d
m m m
rr
n n rnmn r
n n r n n n rnmn r nmn r
n n n rnmn r
d
e dp
e d e dp p
e dp
¢
¢ ¢¢ ¢
=¶ -¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢¢ ¢
æ öç ÷ç ÷-è ø
= -
= - × = ¶ - - ×
= - -¶ - +
ò
ò
ò ò
ò
D
D F
D F A D
A F ( )( )ba bE Ex x yn n rd d ¢ ¢é ù¶ -ê úë ûò F
-
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( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
24
2
0 0
0 0
16
0 :
0 for
ba b aE E E E E r
a a aE E E Er r r
aE r
g d x x y ig d x y y
d x y y d x y y x y y
x y
y
n n n r n n rnmn r
n n r n r n r
n r
e d s dpn s d d d
¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ =¥
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
=¥ =¥ =¥
¢ ¢
=¥
é ù= - × -¶ - + - ×ê úë û
Ü = - × = - × = -
¹=
=
ò òò ò
A F F
F x F F
F
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
0 0
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
0 for
16 16
1 16 2 16 16
16
a bba abb bE E E E
ab b ab b ab bE E E
a
E
x y
g gig y ig y
g g gy y y
g gy
n n n r n n n rnmn r nmn r
n n r n nnmn r nm nm
nnm
e ep p
ep p p
p
«¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢¢ ¢
ìïí
=ïî
= -¶ - = -¶ +
= - = - = -
= - =
等
A F A F
D F D F D F
D F ( )( )216a
E yn
mnpD F
従って、
( ) ( )( )2
216a
EaE
g yy
nmnm
dnd p
= D FA
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
,
ED igAa ab abb ab c c bE E E ADJ E E
abc cabADJ
ab cab c bE E
a b abc cADJ
a a ab cab c a b b cE E E
y ig y ig y
if
ig if y
if
y ig if y gf
m m m
n n n n nmn mn mn
n nmn
n n n nmn mn
d
d
d
=¶ -
= ¶ - = ¶ - L
Ü L = -
= ¶ - -
é ùÜ L L = Lë û
L = ¶ - - L = ¶ L -
D F A F A F
A F
D F A F ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
,
, ,
ab a c bE E
b bca a c b b b c c bE E E E
b cb c b c b
E E E E E
y
gf y g i y
ig y F y ig A F y
nmn
n n n nmn mn
n n n nmn mn mn
«
L
é ù= ¶ L - L = ¶ L - - L Lë û
é ùé ù= ¶ L - L L = ¶ -ë û ë û
A F
A F A F
A F
これより、
( )( )
,
1 ,21 2
a aE E E E
E E E
E E
F ig A F
F ig A F
A A
n n nmn mn mn
n rs n rsnmrs
n r s s rnmrs
e
e
é ùL = ¶ - ë û
é ù= ¶ - ë û
= ¶ ¶ -¶
D F
( )( )( )( )( )( )2
, , ,
1 , , ,21 , , , ,2
E E E E E E E
E E E E E E E
E E E E E E E E
ig A A ig A A A ig A A
ig A A ig A A A ig A A
ig A A A A A g A A A
r s n r s s r r s
n r s n r s s r r snmrs
n r s n r s s r n r snmrs
e
e
é ùé ù é ù- - ¶ -¶ -ë û ë ûë û
é ùé ù é ù= - ¶ - ¶ -¶ -ë û ë ûë û
é ùé ù é ù é ù= - ¶ + ¶ - ¶ -ë û ë û ë ûë û
-
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( )( )( )( )
21 , , , , , ,21 ,2
E E E E E E E E E E E
E E
ig A A A A A A A A g A A A
ig A A
n r s r n s n r s n s r n r snmrs
n r snmrs
e
e
é ùé ù é ù é ù é ù é ù= - ¶ + ¶ + ¶ - ¶ -ë û ë û ë û ë û ë ûë û
é ù= - ¶ë û ,E EA Ar n sé ù+ ¶ë û ,E EA A
r n sé ù- ¶ë û ,E EA As n ré ù+ ¶ë û( )( )
( ) [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
2
2
=0 by Bianchi identi
, ,
1 , , , , , :2
, , , , , , , , ,
, , ,
E E E
E E E E E E
g A A A
g A A A A A A
nmrs nmrs
n r s
n r s n r snmrs
e e
e n r s
n r s n r s n s r n r s r n s s r n n s r s n r r s n
n r s s n r r s n
é ùé ù- ë ûë û
é ù é ùé ù é ù= - Ü ºë û ë ûë û ë û
Ü ® - ® - - - + +
= + + [ ] [ ] [ ]ty =0 by Bianchi identity
, , ,
0 0
r n s s r n n s ræ ö
- + +ç ÷è ø
==
つまり、
0En
mn =D F
以上から、
( ) ( )( )2
2 016a
EaE
g yy
nmnm
dnd p
= =D FA
つまり、n 自身はどのような局所変換に際しても（恒等的に）不変になる。この性質を 位相不変性（Topological invariant）
という。
局所変換以外の寄与は、大局的変換になるが、そのような寄与は表面積分から現れる。表面積分の
効果を探るためには、 ( )Tr E EF F Xmn mmn m®¶ ような X mを調べればよい：
( )2
4 42 Tr at infinity16 E E E E
g d x F F d x X d Xmn m mmn m mn sp= ® ¶ =ò ò ò
である。そこで
( ) ( ),E E E E E E E E EF A A ig A A igA A igA Amn m n n m m n m m n n n mé ù= ¶ - ¶ - = ¶ - - ¶ -ë ûを用いて、
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )
2
2
1 1Tr Tr 4 Tr2 2
2 Tr 2
2 Tr 2 2 Tr
E E E E E E E E
E E E E E E E E E
E E E E E E E E E
F F F F igA A igA A
A A ig A A A g A A A A
A A ig A A A g A A A A
mn mn rs m m n r r smn mnrs mnrs
m n r s m n r s m n r smnrs
m n r s m n r s m n r smnrs mnrs
e e
e
e e
= = ¶ - × ¶ -
= ¶ ׶ - ¶ × -
= ¶ ׶ - ¶ × -
( )symmetric in
:antisymmetric in
2 Tr 2E E E E EA A ig A A Amnrs
m n r se m n r s
m n r s m n r smnrse
® ® ®® ® ®
= ¶ ׶ - ¶ ×
-
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( ) E E E E EA A A A Am n r s m n r s n m rmnrs mnrse eÜ ¶ ׶ = ¶ ¶ - ¶ ¶ ( )
( ) ( )
symmetric in ,:antisymmetric
Tr Tr
Tr
E E E
E E E E E E E E E E E E
A A A
A A A A A A A A A A A A
mnrs
s m n r smnrs
m re
n r r sm n r s m n r s n m r s n r m s
mnrs mnrs
mnrs
e
e e
e
« «
é ùæ öê úç ÷ = ¶ ¶ê úç ÷ç ÷ê úè øë û
é ùÜ ¶ × = ¶ - ¶ × - ¶ê ú
ë û
= ¶ ( )( )( )
Tr
Tr 2
2 Tr
E E E E E E E E E
E E E E E E E E E
E E E E E E
A A A A A A A A A
A A A A A A A A A
A A A A A A
m n r s r m n s n s m r
m n r s s m n r r s m nmnrs
m n r s m n r smnrs
mnrs
e
e
e
é ù+ ¶ × + ¶ë ûé ù= ¶ - ¶ × - ¶ë ûé ù= ¶ - ¶ ×ë û
= ¶ ( ) ( )2 1 1 4 Tr3 2 3E E E E E E E E E EigA A A A A A A igA A Am n r s m n r s m n r s n r smnrse
æ ö æ ö¶ - ¶ = ¶ ¶ -ç ÷ ç ÷è ø è ø
ここで、
1 1Tr2 3E E E E E
X A A igA A An r s n r sm mnrseæ ö= ¶ -ç ÷è ø
とすると、
( )Tr 4E EF F Xmn mmn m= ¶
従って、
( )2 2 2
4 42 2 2Tr 0 if 0 at infinity16 4 4E E E E
g g gd x F F d x X d X Xmn m mmn m m mn sp p p= = ¶ = ® ®ò ò ò
このような、単純な議論が成り立たないときには、
31cst if at infinityd X Xr
mm ms ® ®ò
の条件が出る。そこで、この条件が成立するときを調べることになる。つまり
31 1 1 1Tr as at infinity2 3E E E E E E
X A A igA A A X Ar r
n r s n r s mm mnrs me
æ ö= ¶ - ® ®ç ÷è ø
なので大雑把に、
と期待される。ちなみに、 X mのゲージ変換性を調べてみる。ゲージ変換は
† † †, ( ) iF UF U A x UA U U Ugmn mn m m m
¢ ¢= = + ¶
である。また、
( )
1 1Tr2 31 1 1 Tr , ,4 4 31 1 1 1 1 Tr Tr4 2 3 4 6
E E E E E
E E E E E E E E E E E
E E E E E E E E E E
X A A igA A A
A A A ig A A igA A A igA A A
A F igA A A igA A A A F ig
n r s n r sm mnrs
n r s s r r s n r s n r smnrs
n rs n r s n r s n rsmnrs mnrs
e
e
e e
æ ö= ¶ -ç ÷è øæ öé ù é ù= ¶ - ¶ - + -ç ÷ë û ë ûè øæ ö= + - = +ç ÷è ø
E E EA A An r sæ ö
ç ÷è ø
-
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なので、ゲージ変換は
1 1Tr4 6E E E E E
X A F igA A An rs n r sm mnrseæ ö¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢= +ç ÷è ø
† † †
† † † † † †
14
Tr16
E E
E E E
iUA U U U UF Ug
i i iig UA U U U UA U U U UA U U Ug g g
n n rs
mnrsn n r r s s
e
æ öæ ö+ ¶ç ÷ç ÷
è øç ÷= ç ÷æ öæ öæ öç ÷+ + ¶ + ¶ + ¶ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è øè øè øè ø
第一項：
† † †1 1Tr Tr4 4E E E E E E
i iU A F U UF U A F U UFg g
n rs n rs n rs n rsmnrs mnrse e
æ öæ ö æ ö+ ¶ × = + ¶ ×ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è øè ø
第二項：
( )
( )
† † † † † †
† † †
† † † † † † † † †
2†
1 Tr6
1 Tr6
1 Tr6
1 Tr6
E E E
E E E
E E E E E E
i i iig UA U U U UA U U U UA U U Ug g g
ig UA U UA U UA U
iig U U UA U UA U UA U U U UA U UA U UA U U Ug
iig U Ug
n n r r s smnrs
n r smnrs
n r s n r s n r smnrs
nmnrs
e
e
e
e
æ öæ öæ ö+ ¶ + ¶ + ¶ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè ø
=
+ ¶ × + ¶ × + ¶
æ ö+ ¶ç ÷
è ø( )
( )
( ) ( )
† † † † † † † †
3† † †
† † †
2† †
1 Tr6
1 1Tr Tr6 6
1 Tr6
E E E
E E E E E E E E E
E
U U UA U UA U U U U U U U UA U U U
iig U U U U U Ug
iig A A A ig U UA A U UA A U UA Ag
iig U U U UAg
r s n r s n r s
n r smnrs
n r s n r s r s n s n rmnrs mnrs
n r smnrs
e
e e
e
× ¶ × + ¶ × ¶ + ¶ × ¶
æ ö+ ¶ × ¶ × ¶ç ÷
è ø
= + ¶ × + ¶ × + ¶
æ ö+ ¶ × ¶ × +ç ÷
è ø( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
† † † †
3† † †
† † †
2† † †
1 Tr6
1 1 1Tr Tr Tr6 2 2
1 1 Tr6
E E
E E E E E E
U U U UA U U U UA
iig U U U U U Ug
iig A A A U UA A U U U UAg
U U U U U Ug
r s n s n r
n r smnrs
n r s n r s n r smnrs mnrs mnrs
n r smnrs
e
e e e
e
¶ × ¶ + ¶ ¶ ×
æ ö+ ¶ × ¶ × ¶ç ÷
è ø
= - ¶ × - ¶ × ¶ ×
æ ö+ ¶ × ¶ × ¶ç ÷
è ø第一項＋第二項：
( ) ( )
( ) ( )
† †
2† † † † †
1 1 1Tr Tr Tr4 6 2
1 1 1Tr Tr2 6
E E E E E E E E
E
iA F U UF ig A A A U UA Ag
i U U U UA U U U U U Ug g
n rs n rs n r s n r smnrs mnrs mnrs
n r s n r smnrs mnrs
e e e
e e
æ ö+ ¶ × + - ¶ ×ç ÷
è ø
æ ö- ¶ × ¶ × + ¶ × ¶ × ¶ç ÷
è ø
-
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( )( ) ( )
( ) ( )
† †
2† † † † †
†
1 1Tr , Tr 4 2
1 1 1 Tr Tr2 6
2 Tr4
E E E E E E
E
E E E
iX U U A A ig A A U UA Ag
i U U U UA U U U U U Ug g
iX U U A igA Ag
n r s r s r s n r sm mnrs mnrs
n r s n r smnrs mnrs
n r s r sm mnrs
e e
e e
e
é ù= + ¶ × ¶ - ¶ - - ¶ ×ë û
æ ö- ¶ × ¶ × + ¶ × ¶ × ¶ç ÷
è ø
= + ¶ × ¶ -( )( ) ( )†1 Tr2 E EU UA An r smnrse- ¶ ×
( ) ( )
( ) ( )
2† † † † †
† † †
† †
1 1 1 Tr Tr2 6
1 1Tr Tr2 2
1 Tr2
E
E E
E
i U U U UA U U U U U Ug g
i iX U U A U U U UAg g
i U U U UAg
n r s n r smnrs mnrs
n r s n r sm mnrs mnrs
n r smnrs
e e
e e
e
æ ö- ¶ × ¶ × + ¶ × ¶ × ¶ç ÷
è ø
= + ¶ × ¶ - ¶ × ¶ ×
+ × ¶ ¶ ×( ) ( )
( )
† †
2† † †
†
1 Tr2
1 1 Tr6
1 Tr2
E
E
i U U U U Ag
U U U U U UgiX U U Ag
r n smnrs
n r smnrs
n r sm mnrs
e
e
e
+ × ¶ × ¶
æ ö+ ¶ × ¶ × ¶ç ÷
è ø
= + ¶ × ¶( ) ( )†
†
1 Tr2
1 Tr2
E
E
i U UAg
i U U Ag
n r smnrs
r n smnrs
e
e
- ¶ ¶ ×
+ ¶ × ¶( ) ( )
( ) ( )
2† † †
2† † † †
1 1 Tr6
1 1 1Tr Tr2 6E
U U U U U Ug
iX U UA U U U U U Ug g
n r smnrs
n r s n r sm mnrs mnrs
e
e e
æ ö+ ¶ × ¶ × ¶ç ÷
è ø
æ ö= - ¶ ¶ × + ¶ × ¶ × ¶ç ÷
è ø以上から、
( ) ( )2
† † † †1 1 1Tr Tr2 6EiX X U UA U U U U U Ug g
n r s n r sm m mnrs mnrse e
æ ö¢ = - ¶ ¶ × + ¶ × ¶ × ¶ç ÷è ø
を得る。
物理は作用積分（ ES とする）
( )
( ) ( ) ( )
4
4 4
1 Tr2
1exp exp exp Tr2
E E E
a a aE E E E E E E
S d x F F
W d S d d x d d x F F
mnmn
mnm m m mn
=
æ öé ù é ù é ù= - = - = -ç ÷ë û ë û ë û è ø
ò
ò ò ò ò òA A AL
で表されるのだが、もちろんこれは任意の場の変換（ aEAmd ）に際して不変でない：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )
4 41 1Tr Tr2 2
1 Tr2
b b b bEE E E E E Ea a a
E E E
bE ba ba
E EaE
a b ab
S d x F F d xA y A y y
xx y x y
y
nr nrnr nrm m m
nrn r r n
m mm
d d dd d d
dd d d d
d
d
¢ ¢æ ö= = L Lç ÷è ø
Ü = - - -
Ü L L =
ò ò F FAF
D DA
-
8/21 第四章 インスタントン
【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
4
4
4 4
4
1 1 22 21 1 2 22 2
E
baE E
ba ba bE E E E
ba bE E E
D igA baba b bE E E E E E
ba bab bE E E E E
d x x y x y
d x x y
d x x y d x ig x y
d x x y ig ig
m m m
n n
n r r nm m nr
nnr
n n nnr nr
n n n nnr nr
d d d d
d
d d
d
=¶ -
=-
= - - -
= × - ×
= - × = ¶ - - ×
= - -¶ - = -¶ -
=
ò
ò
ò ò
ò部分積分
A A
D D F
D F
D F A F
A F A F
( ) ( )ab
ab ab ab bE E E E E Eig
n n n nnr nr nr-¶ + = - = -A F D F D F
従って、
( ) ( )aE
E EaE
SA y
nnrm
dd
= - D F
になり、これはゼロでないので、「位相不変量」ではない。
第二節：Pure Gauge 解
さて、
( )2 0 2a a a a a a a aE E E E E E E Emn mn mnmn mn mn mn mn± ³ Û + ³ F F F F F F F Fより、
( )( )
212
2!
2! 1 4 2
a a a aE E E E
a a a aE E E E
mn mnm n m nmn mnm n m n
mnm n m n n mmnm n m n m n
m n n m m n m nm n m n m n m n m n
e e
e e d d d d
d d d d
¢¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢¢
¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢
æ ö= ç ÷è ø
Ü = -
= - = -
F F F F
F F F F F( )a a a aE E E En m m nm n¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢=F F F
なので、
2 2
,
a a a a a a a a a a a aE E E E E E E E E E E E
a a a a a a a aE E E E E E E E
mn mn mn mn mn mnmn mn mn mn mn mn
mn mn mn mnmn mn mn mn
+ = ³ Þ ³
Þ ³ - £
F F F F F F F F F F F F
F F F F F F F F
従って、
a a a a a aE E E E E E
mn mn mnmn mn mn- £ £F F F F F F
が成り立つ。故に、
( ) ( ) ( )2 2
4 4 42 2
1 1 8Tr Tr Tr2 2 16E E E E E E E E
gS d x F F d x F F d x F Fg
mn mn mnmn mn mn
p n np
= ³ = Ü =ò ò ò
なので、
-
9/21 第四章 インスタントン
【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
2
28
ES gp n³
がわかる。等号は、
a aE Emn mn= ± F F
のときに成立する。言い換えると、
( )4 TrE E Ed x F Fmn mnò は、Action が有限であれば収束する物理量であることが分かる。
そこで、「Action が有限」になることより
( ) ( )24 4 2Tr 0 0r r
E E E E Ed x F F r F r Fmn mn mn
mn
®¥ ®¥
® Þ ®ò
のおおまかな条件が分かる。つまり 0r
EFmn
®¥
® である。 0EFmn = の解は、「pure gauge 解」なので、
( )
( ) ( )
† † †
2† † †
2† † † †
( ) ( )
1 1 Tr6
1 1 1 Tr Tr2 6
r
E E E
r
E
i iA x U U A x UA U U Ug g
X U U U U U Ug
iX X U UA U U U U U Ug g
m m m m m
n r sm mnrs
n r s n r sm m mnrs mnrs
e
e e
®¥
®¥
¢® ¶ Ü = + ¶
æ ö® ¶ × ¶ × ¶ç ÷
è ø
æ ö¢Ü = - ¶ ¶ × + ¶ × ¶ × ¶ç ÷è ø
になる。この量は
( )†31 1 as at infinityEX A U Ur rm m
m ® ¶ ®
のもとで「表面積分」
( )2 2 2
4 42 2 2Tr16 4 4E E E E
g g gd x F F d x X d Xmn m mmn m mn sp p p= = ¶ =ò ò ò
に寄与するので、
2
24gg d Xm mn sp
= =ò2
21 1
4 6d
gm
mnrss ep ( )
( )
2
† † †
† † †2
Tr
1 Tr at infinity24
U U U U U U
d U U U U U U
n r s
m n r smnrss ep
æ ö¶ × ¶ × ¶ç ÷ç ÷
è ø
= ¶ × ¶ × ¶
ò
ò
と計算される。以上から
( )† † †21 Tr at infinity24 d U U U U U Um n r s
mnrsn s ep= ¶ × ¶ × ¶ò
-
10/21 第四章 インスタントン
【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
である。
第三節：SU(2)解（n=1）
ここで、U として、
( ) ( )† † †4 44 3 1 2 4 3 1 2†
1 2 4 3 1 2 4 3
, with ,1 , 1
,
U V i V U V i V i i
V iV iV V V iV iV VU U
iV V V iV iV V V iV
m m m mm mt t t t= + = = - = = = -
+ + - - -æ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷- - - + +è ø è ø
t t t t,V V
とすると、1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
† †
4 †4 †
4 † †4 4 † †4
† † †
,1 , ,1
1, 1 : not summed
, , 0
, 0
i ii i
i i i i i i
i ji j i j ijk k i j j i
i i i
i i i
i i i
i i i i j
m n mn mn m mt t d t t t
t t t t
t t t t t t t t t t
t t e t t t t
= + Ü = = -
= = - =
= - = - = + =
= - = = + = ¹
t t
t t
t
t t t t t
なので、まとめて、
( ) ( )
† † † †
4 †4 4 †4
† † 4 † †4 †4 4 †
† †
†4 4 †4 4
† † †4 †
2 , 2
0
2 2 , 2
2
0
2
i i i i i i i i i i
i j j i ijk k jik k ijk k
i
i i i i i i i
i i i
i
m n n m mn m n n m mn
m n n m mn
m n n m mn
t t t t d t t t t d
t t t t
t t t t t t t t t t t t t
t t t t e e e
t t t t
t t t t t t t t
+ = + =
ì - =ïï- = = - = - - = - - = - - =íï
- = - =ïî
- =
- = = -
t t t t t t
t t t
( ) ( )4 † 4 †4† †
4 4
4
2 , 2
2
4 : 4 :1 1,2! 2!4 : 4 :
i i i i i i i i i
i j j i ijk k jik k ijk k
k k ij k k ij
jk jki i i i jk jki i i
i i i i i i
i i i
ijk ijki jk i jk
rs mn rsmnrs mnrs
t t t t t
t t t t e e e
t t t te t t e t
t e t t e
ìïï = - - = - = - - = -íï
- = - =ïîì ü= = = - = -ï ï= = =í ý
= = = = = =ï ïî þ
t t t t t t
t t t
t t
t t t t 4imnt
t
ì üï ï = -í ý-ï ïî þ
である。以上から、
( ) ( )
† † † †
† † † † †
4 4 4 4
2 , 22 , 2 ,1 , ,1
1 1, 2 2
i i i i i i
ij ji ijk k ij ji ijk k
i i i i
m n n m mn m n n m mn
m n n m mn m n n m mn m m
mn rs mn rsmnrs mnrs
t t t t d t t t t d
t t t t t t t t t t t t
t t t tt e t t e t
t t e t t e
+ = + =
- = - = Ü = = -
ì ì= - = - = - =ï ï= = -í í= - = = - =ï ïî î
t t
t t
t t
従って、
( ) ( ) ( )† ††† † 2 2 †
421
2 2U U V V V V V V V V V V V UU
m n n m mnm n m n m
m n m n m n m n mt t t t dt t t t += = = = = = = + =V
なので、
2 24 1V+ =V
1 ここでは Euclid 計量のm=0 成分を、m =4 成分として取り扱う。
-
11/21 第四章 インスタントン
【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
になる。これを利用すると・・・
( ) ( )( ) ( )
†† †
†† †
,U V V U V V
U U V V V V i V V
n n a a n n n a a na a a a
m a m b a b m ab ab ma b a b a b
t t t t
t t t t d t
¶ = ¶ = ¶ ¶ = ¶ = ¶
¶ = ¶ = ¶ = + ¶
( )†( )r
Ei iA x U U i V Vg g
m m ab ab ma bd t
®¥
® ¶ = + ¶
を用いて、
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
† † † † † † † †
† † † † † †
Tr Tr Tr
Tr Tr Tr
U U U U U U U U U U U U U U U U
U U U U V V V V V V V V
n r s n r s n r s
s n r a b s g n d r a b g d s n ra b g d a b g dt t t t t t t t
¶ × ¶ × ¶ = - ¶ ¶ × ¶ = - ¶ ¶ × ¶
= - ¶ ¶ ¶ = - ¶ ¶ ¶ = - ¶ ¶ ¶
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
† † † † †
† †† † †
† †
Tr Tr
Tr 22
2 Tr Tr2
U U U U U U V V V V
V V V V i
i V V V V i V V V V
n r s a b g d s n rmnrs mnrs a b g d
g d d ga b s n r m n n m mn
mnrs a b g d
gda b s n r a b gd s n r
mnrs a b g d mnrs a b g d
e t t t t e
t t t tt t e t t t t t
tt t e t t t e
¶ × ¶ × ¶ = - ¶ ¶ ¶
æ ö-= - ¶ ¶ ¶ Ü - =ç ÷
è øæ ö
= - ¶ ¶ ¶ = - ¶ ¶ ¶ç ÷è ø
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )† Tr Tr Tr Tr Tri i ia b gd ab ab gd ab gd ab gd ab gdt t t d t t d t t t t tÜ = + = + =( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
4
4 4
†
4 : Tr Tr Tr 2 2 2
Tr 2 :
Tr Tr 2 2
2 2
i jk i jk jk i jki ijk
ijk ijk ijk
ijk
i i i
i i V V V V V V
ab gd
ab gd abgd
a b gd ab gd abgd abgd
abgd s n r abgd smnrs a b g d mnrs a b
abgd t t t t t e t e d e e
t t e e e e
t t t t t e e
e e e e
= = = - = - = - = -
Þ = = - = -
Þ = = =
= - ¶ ¶ ¶ = ¶
( )( ) ( )† † †Tr 2
V V
U U U U U U V V V V
n rg d
n r s abgd s n rmnrs mnrs a b g de e e
¶ ¶
¶ × ¶ × ¶ = ¶ ¶ ¶
従って、
( ) ( )
( ) ( )
† † †2 2
2 2
1 1Tr24 12
1 1 12 12
d U U U U U U d V V V V
d V V V V d V V V V
m n r s m abgd s n rmnrs mnrs a b g d
msnr
m abgd s n r m abgd n r smsnr a b g d mnrs a b g d
n s e s e ep p
s e e s e ep p
= ¶ × ¶ × ¶ = ¶ ¶ ¶
= ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶
ò ò
ò ò付け直し
なので、
( )2112 d V V V Vm abgd n r s
mnrs a b g dn s e ep= ¶ ¶ ¶ò
である。一番簡単なU としては・・・
( ) ( )24 ˆ with xU V i V V x r xrmm
m m mt= + = = º =tV
であるので、
-
12/21 第四章 インスタントン
【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
22 2 2 2
2 2
2 22 2
1
x x x x x x x xV r r r xr r r r r rx x
x x xxr r r r r
m m a m a m mm m m m m ma a a a a a a
a
m mmma a aa
d d
d d
¶ ¶æ ö¶ = ¶ = -¶ = -¶ Ü ¶ = ¶ = = =ç ÷è ø
æ ö= - = -ç ÷
è ø
より
† †2
1 , , x xV U V U Vr r
mm m m a m m a ma
a a a ad t tæ ö
¶ = - ¶ = ¶ ¶ = ¶ç ÷è ø
を使用すると、
( ) ( )† 2
2 2
2
2 2
1
1 1
1
x xxU U i V V ir r r
x x x xx xir r r r r r
x xxr r
mbm ab ab m ab ab ma
a b b
m mb bab m ab ma a
b b
mm
d t d t d
d d t d
æ ö¶ = + ¶ = + -ç ÷ç ÷
è øæ ö æ ö
= - + -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø
= - 2xi i x xr
amaba
a bt t
æ ö+ -ç ÷ç ÷
è ø4 2 2
x xx i ir r r
am mnma nt t= = -
†2
1( )r
ExiA x U U
g g r
mnm m nt®¥® ¶ =
従って、
3 21 1 1 as
x rr
ExX A
r g r r
m
mnm n
mt
®®¥
® = ®
になるので、2
32 3
1 as 04g d X r r
rm
mn spæ ö= ®¥ ¹ç ÷è øò
を与えられる。実際、
( ) ( )
( )
ˆ
2 2
2 2
ˆ /
2
1 1 ˆ12 12
1 1ˆ ˆ 12 12
1 112
d d x
r
rr
x x r
d V V V V d x V V V V
d x V V V V d x V V V V
xxdr r r
m m
m m
s
m abgd n r s abgd m n r smnrs a b g d mnrs a b g d
abgd m n r s abgd m n r smnrs a b g d mnrs a b g d
mabgd a
mnrs
n s e e e ep p
e e e ep p
e ep
=
®¥
®¥®¥
=
= ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶
= ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶
=
ò ò
ò ò
超平面S
S
S S
S 2 2 2
2 2 4
1 1
1 1 1 1 1 ˆ 12 12
3!
r
rr
x x x x x xr r r r r
x xxd d xr r r r r r
n r sb gn r s d
b g d
mabgd n r s anrs ma a
mnrs b g d mnrs
anrs amnrs m
d d d
e e d d d e ep p
e e d
®¥
®¥®¥
æ ö æ ö æ ö- - -ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø
= =
Ü =
ò
ò òS S
-
13/21 第四章 インスタントン
【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
( )
2
2 4 2 4 2 4
2 3
2 32 3
1 1 1 1ˆ ˆ 3!12 2 2
2
1 1 2 12
r r r
r
xx rd x d x dr r r r
d r
rr
ma m mamd p p p
p
pp
®¥ ®¥ ®¥
®¥
= = =
Ü =
= =
ò ò ò
ò
S S S
S
従って、
( ) ( ) ( )2 †41 for with ,1 , ,1xU V i V V r x i irmm m m
m mn t t t= = + = = = Ü = = -t t tV
がわかった。
第四節：SU(2)解（n=-1）
今度は、U として、 1n = の場合の †U を用いる。従って、
( )
( )
4 3 1 2 † †4
1 2 4 3
4 3 1 2†4
1 2 4 3
with 1
with ,1
V iV iV VU V i V i
iV V V iV
V iV iV VU V i V i
iV V V iV
m mm
m mm
t t
t t
- - -æ ö= = - = = -ç ÷- + +è ø
+ +æ ö= = + = =ç ÷- -è ø
t t,
t t
V
V
とすると、
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
† † † † † † † †
† † † † † †
Tr Tr Tr
Tr Tr Tr
U U U U U U U U U U U U U U U U
U U U U V V V V V V V V
n r s n r s n r s
s n r a b s g n d r a b g d s n ra b g d a b g dt t t t t t t t
¶ × ¶ × ¶ = - ¶ ¶ × ¶ = - ¶ ¶ × ¶
= - ¶ ¶ ¶ = - ¶ ¶ ¶ = - ¶ ¶ ¶
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
† † † † †
† †† † †
† †
Tr Tr
Tr 22
2 Tr Tr2
U U U U U U V V V V
V V V V i
i V V V V i V V V V
n r s a b g d s n rmnrs mnrs a b g d
g d d ga b s n r g d d g mn
mnrs a b g d
gda b s n r a b gd s n r
mnrs a b g d mnrs a b g d
e t t t t e
t t t tt t e t t t t t
tt t e t t t e
¶ × ¶ × ¶ = - ¶ ¶ ¶
æ ö-= - ¶ ¶ ¶ Ü - =ç ÷
è øæ ö
= - ¶ ¶ ¶ = - ¶ ¶ ¶ç ÷è ø
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )† Tr Tr Tr Tr Tri i ia b gd ab ab gd ab gd ab gd ab gdt t t d t t d t t t t tÜ = + = + =( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
4
4 4
†
4 : Tr Tr Tr 2 2 2
Tr 2 :
Tr Tr 2 2
2 2
i jk i jk jk i jki ijk
ijk ijk ijk
ijk
i i i
i i V V V V V V
ab gd
ab gd abgd
a b gd ab gd abgd abgd
abgd s n r abgd smnrs a b g d mnrs a
abgd t t t t t e t e d e e
t t e e e e
t t t t t e e
e e e e
= = = = = =
Þ = - = - = -
Þ = = - = -
= - - ¶ ¶ ¶ = - ¶
( )( ) ( )† † †Tr 2
V V
U U U U U U V V V V
n rb g d
n r s abgd s n rmnrs mnrs a b g de e e
¶ ¶
¶ × ¶ × ¶ = - ¶ ¶ ¶
従って、
-
14/21 第四章 インスタントン
【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
( ) ( )
( ) ( )
† † †2 2
2 2
1 1Tr24 12
1 1 12 12
d U U U U U U d V V V V
d V V V V d V V V V
m n r s m abgd s n rmnrs mnrs a b g d
msnr
m abgd s n r m abgd n r smsnr a b g d mnrs a b g d
n s e s e ep p
s e e s e ep p
= ¶ × ¶ × ¶ = - ¶ ¶ ¶
= - ¶ ¶ ¶ = - ¶ ¶ ¶
ò ò
ò ò付け直し
なので、
( )2112 d V V V Vm abgd n r s
mnrs a b g dn s e ep= - ¶ ¶ ¶ò
である。一番簡単なU として、前と同様に
( ) ( )2ˆxV x r xrm
m m= º =
を使えば、
( ) ( )† 2
2 2
2
2 2
1
1 1
1
x xxU U i V V ir r r
x x x xx xir r r r r r
x xxr r
mbm ab ab m ab ab ma
a b b
m mb bab m ab ma a
b b
mm
d t d t d
d d t d
æ ö¶ = + ¶ = + -ç ÷ç ÷
è øæ ö æ ö
= - + -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø
= - 2xi i x x
r
amaba
a bt t
æ ö+ -ç ÷ç ÷
è ø4 2 2
x xx i ir r r
am mnma nt t= = -
†2
1( )r
ExiA x U U
g g r
mnm m nt®¥® ¶ =
そして、
( )21 112 d V V V Vm abgd n r s
mnrs a b g dn s e ep= - ¶ ¶ ¶ = -ò
従って、
( ) ( ) ( )2 †41 for with ,1 , ,1xU V i V V r x i irmm m m
m mn t t t= - = - = = = Ü = = -t t tV
がわかった。
第五節：SU(2)解（|n|>1）
( )
( )
( ) ( )
† † †2
† † †2 2
† † 1 † 1 † 1 † 1 † †
1 Tr24
1 1 with , Tr 124
n
n n n n n n
d U U U U U U
x x xU u u u d u u u u u ur r r
U U u u uu u u u u u u u u
m n r smnrs
mmm n m m n r sa
a mnrs
m m m m m
n s ep
t d s ep
- - - -
= ¶ × ¶ × ¶
æ ö= = ¶ = - Ü ¶ × ¶ × ¶ =ç ÷
è ø
¶ = ¶ = ¶ = ¶ + ¶
ò
ò
そこで、
-
15/21 第四章 インスタントン
【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
† † †
1 † 1 † † 1 † 1 † † 1 † 1 † †
1 † 1 † 1 † 1 † 1 † 1 † 1 † 1 † 1 † 1 † †
1 † 1 † † 1
Tr
Tr
Tr
n n n n n n
n n n n n n n n n n
n n n
U U U U U U
u u u u u u u u u u u u u u u u u u
u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u
u u u u u u u u
n r s
n n r r s s
n r s n r s
n r s
- - - - - -
- - - - - - - - - -
- - -
¶ × ¶ × ¶
é ù é ù é ù= ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ë û ë û ë û
¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶
+ ¶ ¶ ¶=
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
† 1 † 1 † 1 † † †
† 1 † 1 † 1 † 1 † † 1 † 1 † †
† † 1 † 1 † † † †
n n n
n n n n n n
n n
u u u u u u u u u u
u u u u u u u u u u u u u u u u u u
u u u u u u u u u u u u u u
n r s
n r s n r s
n r s n r s
- - -
- - - - - -
- -
æ öç ÷ç ÷+ ¶ ¶ ¶ç ÷ç ÷+ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ç ÷ç ÷ç ÷+ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶è ø
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
1 † 1 1 † 1 1 † 1 1 † 1 1 † 1 †
1 † 1 † 1 † 1 1 † 1 † †
† 1 † 1 1 † 1 † 1 † 1 †
† † 1 † 1 † †
Tr
n n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n
n n
u u u u u u u u u u u u
u u u u u u u u u u u u
u u u u u u u u u u u u
u u u u u u u u u u u
n r s n r s
n r s n r s
n r s n r s
n r s n r s
- - - - - - - - - -
- - - - - -
- - - - - -
- -
¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶
+ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶=
+¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶
+¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ †u
æ öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø
である。そこで、
( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
1 † 1 1 † 1 1 † 1 1 † 1 1 † 1 †
1 † 1 † 1 † 1 1 † 1 † †† † †
† 1 † 1 1 † 1 † 1 † 1 †
† †
Tr Tr
n n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n
u u u u u u u u u u u u
u u u u u u u u u u uuU U U U U U
u u u u u u u u u u u u
u u u u
n r s n r s
n r s n r s
n r s
n r s n r s
n r
- - - - - - - - - -
- - - - - -
- - - - - -
¶ ¶ ¶ + -¶ ¶ ¶
+ ¶ ¶ -¶ + ¶ ¶ -¶¶ × ¶ × ¶ =
+¶ -¶ ¶ + - ¶ ¶ ¶
+¶ - ¶ ( )( ) ( )( )
1 † 1 † † †
1 † 1 1 † 1 1 † 1 1 † 1 † † 1 † 1 1 † 1 †
† 1 † 1 1 † 1 † † 1 † 1 Tr
n n
n n n n n n n n n n n n
n n n n n n
u u u u u u u u
u u u u u u u u u u u u u u u u u u
u u u u uu u u u uu u u
s n r s
n r s n r s n r s n r s
n r s n r s n r s
- -
- - - - - - - - - - - -
- - - - - -
æ öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷¶ + ¶ ¶ ¶è ø
¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ -¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶=
-¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ -¶ ¶ ¶ + ¶
( ) ( )( )
† † †
1 † 1 1 † 1 1 † 1 1 † 1 † 1 † 1 † 1 † 1 †
1 † 1 † 1 † 1 † 1 † 1 † † † † Tr
n n n n n n n n n n n n
n n n n n n
u u u u u
u u u u u u u u u u u u u u uu u u
u u u u uu u u uu u u u u u u u u
n r s
n r s n r s s n r s n r
r s n n r s r s n n r s
- - - - - - - - - - - -
- - - - - -
æ öç ÷ç ÷¶ ¶è øæ ö¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ -¶ ¶ ¶ç ÷=ç ÷- ¶ ¶ ¶ -¶ ¶ ¶ -¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶è ø
= ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )
1 † 1 1 † 1 1 † 1 1 † 1 † 1 † 1 † † † †
1 † 1 1 † 1 1 † 1 † 1 † † † †
† 1
Tr 3 3
Tr 3
n n n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n
u u u u u u u u u u uu u u u u u u u u
u u u u u u u u u u u u u u u
u u
n r s n r s n r s n r s
n r s n r s n r s
n rmnrse
- - - - - - - - - -
- - - - - - -
-
¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶
= ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶
Ü ¶ ¶ ¶に注意して： ( ) ( )( )
† † 1 † † 1 †
† 1 † 2 † 1 † † 1 †
n n n n
n n n n
u u u u u u u
u u u u u u u u
s n r s n r s
n r s n r s r n s
- -
- - -
= ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶
= ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 † 1 1 † 1 1 † 1 † 1 † † † †
1 † 1 1 † 1 1 † 1 † † † † 1 †
Tr 3
Tr 3 Tr
n n n n n n n n
n n n n n n n n
u u u u u u u u u u u u u u u
u u u u u u u u u u u u u u u
n r s n r s n r s
n r s n r s n r s
- - - - - - -
- - - - - - -
= ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶
= ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶
つまり、
-
16/21 第四章 インスタントン
【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
† † †2
1 † 1 1 † 1 1 † 12
† † † † 1 †2 2
† 1 †2
1 Tr24
1 Tr24
1 1 Tr Tr24 8
1 1 1 Tr8
n n n n n n
n n n n n n
n n
n n
n d u u u u u u
d u u u u u u
d u u u u u u d u u u
n d u u u
m n r smnrs
m n r smnrs
m n r s m n r smnrs mnrs
m n r smnrs
n s ep
s ep
s e s ep p
n n s ep
- - - - - -
-
-
º ¶ ¶ ¶
= ¶ ¶ ¶
+ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶
= - + - ¶ ¶ ¶
ò
ò
ò ò
ò
ここで、
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
† 1 † 0 † 1 †2 2
† 1 † † 1 †2 2
1 1Tr 3! Tr8 8
1 1 3! Tr 3! Tr 08 8
tn n n n
x y z
n n n nx y z y z x
d u u u d u u u
d u u u dxdy u u u
m n r smnrss e sp p
p p
=- -
- -
=±¥
¶ ¶ ¶ = -Ñ -Ñ -Ñ
= - Ñ Ñ Ñ = - Ñ Ñ =
ò ò
ò ò
一定
x
なので、
( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )
( ) ( )
1 † 1 1 † 1 1 † 12
1 † 1 1 † 1 1 † 12
† † † † 1 †2 2
2
1 Tr24
1 Tr24
1 1 Tr Tr24 8
1 1 1 Tr8
n n n n n n
n n n n n n
n n
n d u u u u u u
d u u u u u u
d u u u u u u d u u u
n d u
m n r smnrs
m n r smnrs
m n r s m n r smnrs mnrs
m nmnrs
n s ep
s ep
s e s ep p
n n s ep
- - - - - -
- - - - - -
-
º ¶ ¶ ¶
= ¶ ¶ ¶
+ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶
= - + - ¶
ò
ò
ò ò
( )† 1 †n nu ur s-¶ ¶ò
( ) ( ) ( )1 1n nn n n= - +
を得る。n=2 では、 ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 2n n n n= + = = がわかるので、 ( )n nn = になる。以上から、
( )† † †2 21 1Tr with , 24n x x xd U U U U U U n U u u u
r r r
mmm n r s m n m a
mnrs an s e t dpæ ö
= ¶ × ¶ × ¶ = Ü = = ¶ = -ç ÷è ø
ò
である。同様にして、
( )† † †2 21 1Tr with , 24n x x xd U U U U U U n U u u u
r r r
mmm n r s m n m a
mnrs an s e t dpæ ö
= ¶ × ¶ × ¶ = - Ü = = ¶ = -ç ÷è ø
ò
である。
第六節：有限エネルギー解
1n = ± を与える pure gauge 解は、もちろん、0EF
mn =である。そこで、有限エネルギー解を、
-
17/21 第四章 インスタントン
【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
( ) ( ) ( ) ( )† 2 2 221( ) ( ) E xi iA x U U f r f r a x f r a i V Vg g r gmn
m m m m ab ab mna b
t d tæ ö
= ¶ = º = + ¶ç ÷è ø
とし、
( ) ( )
( ) ( ) †2 2
0 0 regular at 0 (0)
1 11 pure gauge at ( ) ( )
E
r r
E E
f A
x xif A x A x U Ug r g g r
m
mn mnm m mn nt t®¥ ®¥
= Ü < ¥
æ ö¥ = ¥ Ü ® ® ¶ =ç ÷
è ø
を課す。この解を使って、
( ) ( ), , ,
E E E E EF A A ig A A a f a f ig a f a f
a a ig a a
mn m n n m m n m n n m m n
m n n m m n
é ù é ù= ¶ - ¶ - = ¶ - ¶ -ë û ë û
é ù= ¶ -¶ - ë û( ) ( )( )
2
2
,
,
f a f a f ig a a f f
a f a f ig a a f f
n m m n m n
n m m n m n
é ù+ ¶ - ¶ - -ë û
é ù= ¶ - ¶ - -ë û
-
18/21 第四章 インスタントン
【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
( )
( ) ( )
2† † † † † †
† † † †2 2
† †
, ,
1 1
,
i i ia a U U U U U U U U U U U Ug g g
U U U U U U U Ug g
U V U V
m n m n m n n m
m n n m m n n m
m a m m a ma at t
é ù æ öé ùÜ = ¶ ¶ = ¶ × ¶ - ¶ × ¶ç ÷ê úë û ë û è ø
= - -¶ ׶ + ¶ ¶ = ¶ ׶ - ¶ ¶
¬ ¶ = ¶ ¶ = ¶
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
† † †2 2
† †2 2
1 1
1 1 2
V V V V V V V Vg g
V V i V Vg gia i V Vg
i ii V V f i V V fg g
a m b n a n b m a b m n n ma b a b a b a b
a b b a m n ab m na b a b
m ab ab ma b
ab ab n m ab ab m na b a b
t t t t t t
t t t t t
d t
d t d t
= ¶ × ¶ - ¶ × ¶ = ¶ ¶ - ¶ ¶
= - ¶ ¶ = ¶ ¶
Ü = + ¶
= + ¶ ׶ - + ¶ ׶ ( )
( ) ( )
( ) ( )
22
2 22
2
2
1 2
1 , , 2
1 2
1 2
ig i V V f fg
x x xV V f r f x f x fr r r
x xxi V V f i x fr r r
x xxr r r
ab m na b
mm m m m m ma a
a a a
nbab ab n m ab ab n ma
a b b
nbab na
b
t
d
d t d t d
d d
- ¶ ¶ -
æ ö¢ ¢ ¢Ü = ¶ = - ¶ = ¶ = ¶ =ç ÷
è øæ ö
¢Ü + ¶ ׶ = + - ×ç ÷ç ÷è ø
æ ö= - ×ç ÷ç ÷
è ø2
2
2 2
1 2
1
x xxx f i x fr r r
x xxr r
nbm ab n ma
b
nn
t dæ ö
¢ ¢+ -ç ÷ç ÷è ø
= - 212
x x xx f i x
r
n aba bm an
a
tt
æ ö¢× + -ç ÷ç ÷
è ø2 2
2 2
2 2 2 2 2
12 2
1 1
1
x f i x x fr r
x xx xV Vr r r r
x x x xx x x xr r r r r
m an ma
nmbab m n ab m na
a b a b
n nm mb bab m n ab n ab m aba a
a b b a
t
t t d d
t d d t d t d t
æ öç ÷ ¢ ¢=ç ÷è ø
æ öæ öÜ ¶ ¶ = - -ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø
= - - +
2 2 2 2 2 21 1
x x x xx x x xr r r r r r
mb n bm nan m an mb bmn mna at tt tt t
æ öç ÷ç ÷è øæ ö æ ö
= - - = - +ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø
( )
( ) ( )
22 2 2 2 2 2
22 2 2 2
2 2
2 2
1 1 1 1 2 2 2
2 1 2 1
2
x x x xi ii x x f i x x f ig i f fg r g r g r r r
x x x xx x x x f f fg r g r r r
x x x x f f f ffg r r
an m am nan m am n mn a a
a a
an m am nan m am n mn a a
a a
an m am na a
t tt t t
t tt t t
t t
æ ö¢ ¢= - - - + -ç ÷
è øæ ö
¢= - - + - + -ç ÷è ø
æ ö- - -¢= - - +ç ÷è ø
2rmnt
é ùê úë û
従って、
-
19/21 第四章 インスタントン
【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
2 2
2 2 22
Ex x x x f f f fF f
g r r r
an m am nmn mna at t t
é ùæ ö- - -¢= - +ê úç ÷è øë û
である。ここで、
12
mn rsmnrst e t=
に注意すると、2 2 2
2 2 22 1 2 1 2
2 2E E E Ef f f f f fF F F F
g r g r g rmn mn mn mnrs mnrs mn mn mn
rst e e t t- - -
= Û = = = =
なので、2
2 0f f fr- ¢- =
の解として f が求められる。
( )2 2 2
22 2 2
1 10 0f f f f rf fr r r f f
f
é ù¢æ ö- - ê ú¢- = Þ - - - =ç ÷ê úè øë û
Þ2 2
22 2
1f r f fr r f
¢- æ ö+ -ç ÷
è ø
2 2 2
2
2 2 22
2 2 2
1 0 1
cstcst
f r rr f f
r r rr f ff r r r
é ù é ù¢ ¢æ ö æ öê ú ê ú= - = Þ =ç ÷ ç ÷ê ú ê úè ø è øë û ë û
Þ = + Þ = Þ =+ +
従って、
( ) ( )2 2 2
2 22 2 2 2 2 21 ,1rf r f r
r r rr r
r r r= = - - =
+ + +
より
( )2
22 2 2 2 2 2
1 1 1( )Ex x xrA x f r
g r g r r g r
mn mn mnm n n nt t t
r r= = =
+ +
である。また、
( )2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2 2
2 2 1 2E
f f rFg r g r r r g r
mn mn mn mnr rt t tr r r
-= = =
+ + +
以上から、
( ) ( ) ( )
† †2
22 2 2 2 †
12 , 1 2 2, ,1 , ,1
E E
ixA Fg r g r i i
m n n m mn mn rsmnmnrsm mn mnn
m m
t t t t t t e tt r tr r t t
ì - = =ï= = Ü í+ + ï = = -î t t
がわかる。
第七節：Winding Number
Topological charge のn は、
-
20/21 第四章 インスタントン
【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
( ) 42 †4
for 112 for
U V i Vd V V V V
U V i V
mmm abgd n r s
mnrs a b g d mm
tn s e e
p t
ì+ = + =ï= ± ¶ ¶ ¶ í- = - =ïî
òt
t
V
V
である。そこで、
2ˆ ˆ with xd d x x r xr
mm m ms
æ ö= = =ç ÷
è øS
とすれば、 dSは、 x̂m に垂直な 3 つのベクトルで指定できる。4D の回転により、
( )ˆ 0,0,0,1xm =
にできるので、
dSは、 4x̂ に垂直な 3 つのベクトル 1,2,3i=x で指定
できる。従って、Jacobbian (J)を用いて、
( )®V x x
の変数変換により
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )d f d J f=ò òS V V S x x V x
になる。ここに、
( )
1 1 1
1 2 3
42 2 24
1 2 3
3 3 3
1 2 3
13!
mn i j kijk m nJ e e
¶ ¶ ¶¶ ¶ ¶¶ ¶ ¶
= = ¶ ¶ ¶¶ ¶ ¶¶ ¶ ¶¶ ¶ ¶
V V Vx x xV V Vx V V Vx x xV V Vx x x
である。これを共変形式にすると、
( )4 14 4
4 41 1 1ˆ ˆ3! 3! 3!
Vmn i j k mn
ijk m n m nJ x V x Vm n r s m abgd n r s
mnrs a mnrs b g de e e e e e=
= ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶
共変化共変化
x V V V V V V V V V
ここに、
4Vは に垂直にとるV
( )4ˆ 0,0,0,1x =
( ) 1,2,3:S x x
( )4ˆ 0,0,0,1V =
1,2,3:S x( ) 1,2,3:S V V
-
21/21 第四章 インスタントン
【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】
である。従って、
( ) ( ) ( ) ( )( )1 ˆ3!d f d x V fm abgd n r s
a mnrs b g de e= ¶ ¶ ¶ò òS V V S x V V V V x
ここで、
( ) 1f =V
とすると、
( ) ( ) ( ) ( )1 1ˆ6 6d d x V d Vm abgd n r s m abgd n r s
mnrs a b g d mnrs a b g de e s e e= ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ò ò òS V S x V V V V V V
なので
( ) ( )2 21 112 2d V V V V dm abgd n r s
mnrs a b g dn s e ep p= ± ¶ ¶ ¶ = ±ò ò S V
になる。4 次元では、24 2p=次元の立体角は
なので、
( ) 22d p=ò S V
である。従って、
1n = ±になる。一般に、
実空間で 1 周するとき、V空間で n（n=1,2,3...）周できるので
( ) ( )22 1, 2,3,d n np= =ò S V
であり、Topological charge は
( ) 1,2,3,n nn = ± =
になる。