新古典派生産関数の一次同次性と 凹性についての …- 167 -...
TRANSCRIPT
- 167 -
ある大学の大学院で経済成長論の科目を担当していたとき、演習として、「新古典派の生産関数は凹(concave)関数であろうか?凹関数とすれば、厳密な(あるいは強い意味での)凹(strictly
concave)関数であろうか?」という課題を出したことがある。生産関数F(K, L)は、規模に関して収穫一定で、資本と労働の限界生産性が正かつ逓減するとき、すなわち、1次同次で、かつ
1
� � � � � � � �������������������������
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� ��
� ����������������������������������������
������concave���������������������������������(strictly concave)�������������������������������� ��������������������������������������������
��������� � �� �� � �� ��� � �� ��� � ������������neoclassical��������Barro and Sala-i-Martin 2004�1.�������������������������������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
�������2���� Day(1994, p.86-87)��������
Let aggregate output be determined by the production function � � ����� �� where K is the aggregate capital stock, L is the available supply of labor, and B represents the level of technology. [….] It is assumed that F(.) is strictly concave, twice differentiable, and homogeneous of the first degree, that is, that for all �� � � �
���� � �� ���� � �� �
����� � �� �
����� � �,
and that for any constant � � ������ ��� � ����� ��.It is also assumed that3
���� �� � ���� �� � �,and that
���������� � � � ������
����.
1 �������������� �� � ������ �� � ���� ������ ��� ������ �� � �����������������������������de la Croix and Michel(2002)��������������������������� CES������������������������������������������CES������������������=���������������������������������������2 ���������������������������3 ��������������������������Day� Barro and Sala-i-Martin����������������������������������������
��������essentiality�������������������������������Barro and Sala-i-Martin ������������
に従うとき、新古典派(neoclassical)であるという(Barro and Sala-i-
Martin 2004)1.私はこれらの問いに対する解答はよく知られている事実だと考えていたが、学生たちの解答のほとんどは、新古典派生産関数は凹であるだけでなく、厳密に凹であるというものであった。ところが、驚いたことに、最近になって、専門の学術書・学術誌に載った以下のような2つの文章に出会った。少し長くなるが引用してみよう 2。1つはDay(1994, p.86-87)によるつぎの文章
Let aggregate output be determined by the production function
Y=BF(K, L)
where K is the aggregate capital stock, L is the available supply of labor, and B represents the level of
technology. [….] It is assumed that F(.) is strictly concave, twice differentiable, and homogeneous of the first
degree, that is, that for all K, L > 0
1
� � � � � � � �������������������������
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� ��
� ����������������������������������������
������concave���������������������������������(strictly concave)�������������������������������� ��������������������������������������������
��������� � �� �� � �� ��� � �� ��� � ������������neoclassical��������Barro and Sala-i-Martin 2004�1.�������������������������������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
�������2���� Day(1994, p.86-87)��������
Let aggregate output be determined by the production function � � ����� �� where K is the aggregate capital stock, L is the available supply of labor, and B represents the level of technology. [….] It is assumed that F(.) is strictly concave, twice differentiable, and homogeneous of the first degree, that is, that for all �� � � �
���� � �� ���� � �� �
����� � �� �
����� � �,
and that for any constant � � ������ ��� � ����� ��.It is also assumed that3
���� �� � ���� �� � �,and that
���������� � � � ������
����.
1 �������������� �� � ������ �� � ���� ������ ��� ������ �� � �����������������������������de la Croix and Michel(2002)��������������������������� CES������������������������������������������CES������������������=���������������������������������������2 ���������������������������3 ��������������������������Day� Barro and Sala-i-Martin����������������������������������������
��������essentiality�������������������������������Barro and Sala-i-Martin ������������
and that for any constant λ> 0
F(λK, L)=λF(K, L).
It is also assumed that3
F(0, L)=F(K, 0)=0,
and that
1
� � � � � � � �������������������������
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� ��
� ����������������������������������������
������concave���������������������������������(strictly concave)�������������������������������� ��������������������������������������������
��������� � �� �� � �� ��� � �� ��� � ������������neoclassical��������Barro and Sala-i-Martin 2004�1.�������������������������������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
�������2���� Day(1994, p.86-87)��������
Let aggregate output be determined by the production function � � ����� �� where K is the aggregate capital stock, L is the available supply of labor, and B represents the level of technology. [….] It is assumed that F(.) is strictly concave, twice differentiable, and homogeneous of the first degree, that is, that for all �� � � �
���� � �� ���� � �� �
����� � �� �
����� � �,
and that for any constant � � ������ ��� � ����� ��.It is also assumed that3
���� �� � ���� �� � �,and that
���������� � � � ������
����.
1 �������������� �� � ������ �� � ���� ������ ��� ������ �� � �����������������������������de la Croix and Michel(2002)��������������������������� CES������������������������������������������CES������������������=���������������������������������������2 ���������������������������3 ��������������������������Day� Barro and Sala-i-Martin����������������������������������������
��������essentiality�������������������������������Barro and Sala-i-Martin ������������
新古典派生産関数の一次同次性と凹性についてのノート
國府田 桂 一
――――――――――――――――――――1 さらに、稲田条件
1
� � � � � � � �������������������������
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� ��
� ����������������������������������������
������concave���������������������������������(strictly concave)�������������������������������� ��������������������������������������������
��������� � �� �� � �� ��� � �� ��� � ������������neoclassical��������Barro and Sala-i-Martin 2004�1.�������������������������������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
�������2���� Day(1994, p.86-87)��������
Let aggregate output be determined by the production function � � ����� �� where K is the aggregate capital stock, L is the available supply of labor, and B represents the level of technology. [….] It is assumed that F(.) is strictly concave, twice differentiable, and homogeneous of the first degree, that is, that for all �� � � �
���� � �� ���� � �� �
����� � �� �
����� � �,
and that for any constant � � ������ ��� � ����� ��.It is also assumed that3
���� �� � ���� �� � �,and that
���������� � � � ������
����.
1 �������������� �� � ������ �� � ���� ������ ��� ������ �� � �����������������������������de la Croix and Michel(2002)��������������������������� CES������������������������������������������CES������������������=���������������������������������������2 ���������������������������3 ��������������������������Day� Barro and Sala-i-Martin����������������������������������������
��������essentiality�������������������������������Barro and Sala-i-Martin ������������
が新古典派生産関数の要件として加わる場合もある。しかし、de la Croix and Michel(2002)が注意しているように、稲田条件は強い仮定であり、通常のCES生産関数は、本文で述べた条件は満たすけれど、稲田条件(のどちらか一方)を満たさない。CES関数で稲田条件と矛盾しない関数はコブ=ダグラス関数だけである。以下のわれわれの議論は必ずしも稲田条件を必要としない。
2 以下の2つの引用文中のイタリック体による強調は國府田。3 以下の2つの条件は稲田条件と同値である。したがって、DayはBarro and Sala-i-Martinとともに(新古典派)生産関数に稲田条件を課していることになる。なお、最初のほうの条件は不可欠性(essentiality)条件と呼ばれるが、不可欠性条件と稲田条件との関係については、Barro and Sala-i-Martin の前掲書を参照されたい。
- 168 -
である。もう1つは、新古典派生産関数に関するものではないが、Jullien and Picard(1998, p.267)の、つぎの文章である。すなわち、
Let us first consider the consumption of an agent (worker or entrepreneur) born at date t. Let At be his real wealth
and
2
������������������������������Jullien and Picard(1998, p.267)����������������
Let us first consider the consumption of an agent (worker or entrepreneur) born at date
t. Let �� be his real wealth and �� �������
� �denote the real rate of interest on money
between t and t+1. The consumer maximizes ����� ��� with respect to��� �� subject to:
�� �������
� ��.
We assume that the utility verifies:
Assumption A0. ��� � is homothetic, C2, strictly concave: ����� ��� � ���������, such that
���� � �� ������ ����� � ��� ������ ����� � �.
� ����Day ��������������������������������������������������������������Jullien and Picard����������������������������������4������ 2�����������������������������������Chiang(1984)�Simon and Blume(1994)�Varian(1992)���(1990)��������������������������������������������������������
���Chiang�Simon and Blume�����������������������������������������������������������������
������������������
� ���� � ������� � ��������������� � �������
� � � ���� � �
������ � ��������� � ���
������� � ���
� ��������� � ����� � �
� � � � � �
�������������� � � ����� leading (or successive )principal minors of A�����������A ��� � ������� ��� � � ����,������ � ������� ��� � � �����������
4 ������ 1���������������������������homothetic��������������1����������������������������������Jullien and Picard���� ����������������1������������������������
denote the real rate of interest on money between t and t+1. The consumer maximizes U(c1,
c2) with respect to c1, c2 subject to:
2
������������������������������Jullien and Picard(1998, p.267)����������������
Let us first consider the consumption of an agent (worker or entrepreneur) born at date
t. Let �� be his real wealth and �� �������
� �denote the real rate of interest on money
between t and t+1. The consumer maximizes ����� ��� with respect to��� �� subject to:
�� �������
� ��.
We assume that the utility verifies:
Assumption A0. ��� � is homothetic, C2, strictly concave: ����� ��� � ���������, such that
���� � �� ������ ����� � ��� ������ ����� � �.
� ����Day ��������������������������������������������������������������Jullien and Picard����������������������������������4������ 2�����������������������������������Chiang(1984)�Simon and Blume(1994)�Varian(1992)���(1990)��������������������������������������������������������
���Chiang�Simon and Blume�����������������������������������������������������������������
������������������
� ���� � ������� � ��������������� � �������
� � � ���� � �
������ � ��������� � ���
������� � ���
� ��������� � ����� � �
� � � � � �
�������������� � � ����� leading (or successive )principal minors of A�����������A ��� � ������� ��� � � ����,������ � ������� ��� � � �����������
4 ������ 1���������������������������homothetic��������������1����������������������������������Jullien and Picard���� ����������������1������������������������
We assume that the utility verifies:
Assumption A0. U(.) is homothetic, C2, strictly concave:
2
������������������������������Jullien and Picard(1998, p.267)����������������
Let us first consider the consumption of an agent (worker or entrepreneur) born at date
t. Let �� be his real wealth and �� �������
� �denote the real rate of interest on money
between t and t+1. The consumer maximizes ����� ��� with respect to��� �� subject to:
�� �������
� ��.
We assume that the utility verifies:
Assumption A0. ��� � is homothetic, C2, strictly concave: ����� ��� � ���������, such that
���� � �� ������ ����� � ��� ������ ����� � �.
� ����Day ��������������������������������������������������������������Jullien and Picard����������������������������������4������ 2�����������������������������������Chiang(1984)�Simon and Blume(1994)�Varian(1992)���(1990)��������������������������������������������������������
���Chiang�Simon and Blume�����������������������������������������������������������������
������������������
� ���� � ������� � ��������������� � �������
� � � ���� � �
������ � ��������� � ���
������� � ���
� ��������� � ����� � �
� � � � � �
�������������� � � ����� leading (or successive )principal minors of A�����������A ��� � ������� ��� � � ����,������ � ������� ��� � � �����������
4 ������ 1���������������������������homothetic��������������1����������������������������������Jullien and Picard���� ����������������1������������������������
such that
2
������������������������������Jullien and Picard(1998, p.267)����������������
Let us first consider the consumption of an agent (worker or entrepreneur) born at date
t. Let �� be his real wealth and �� �������
� �denote the real rate of interest on money
between t and t+1. The consumer maximizes ����� ��� with respect to��� �� subject to:
�� �������
� ��.
We assume that the utility verifies:
Assumption A0. ��� � is homothetic, C2, strictly concave: ����� ��� � ���������, such that
���� � �� ������ ����� � ��� ������ ����� � �.
� ����Day ��������������������������������������������������������������Jullien and Picard����������������������������������4������ 2�����������������������������������Chiang(1984)�Simon and Blume(1994)�Varian(1992)���(1990)��������������������������������������������������������
���Chiang�Simon and Blume�����������������������������������������������������������������
������������������
� ���� � ������� � ��������������� � �������
� � � ���� � �
������ � ��������� � ���
������� � ���
� ��������� � ����� � �
� � � � � �
�������������� � � ����� leading (or successive )principal minors of A�����������A ��� � ������� ��� � � ����,������ � ������� ��� � � �����������
4 ������ 1���������������������������homothetic��������������1����������������������������������Jullien and Picard���� ����������������1������������������������
しかし、Dayのステートメントにあるように、新古典派の生産関数が凹関数、しかも厳密な凹関数ということはあり得るだろうか。あるいは一般的に、Jullien and Picardが仮定しているように、1
次同次の関数は厳密な凹性と両立するのだろうか 4。上にあげた2つの成長論の教科書のほか、経済数学あるいはミクロ経済学の代表的教科書―Chiang(1984)、Simon and Blume(1994)、Varian(1992)、西村(1990)等―をチェックしてみたが、これらの問題は少なくとも明示的なかたちでは分析されていない。以下では、これらの教科書―とくにChiangとSimon and Blume―の各章に散在している関連する定理・命題を整理するとともに、それらをここでの議論に適用することによって「演習問題」に解答を与え、引用したステートメントの問題点を指摘してみよう。
いま、
2
������������������������������Jullien and Picard(1998, p.267)����������������
Let us first consider the consumption of an agent (worker or entrepreneur) born at date
t. Let �� be his real wealth and �� �������
� �denote the real rate of interest on money
between t and t+1. The consumer maximizes ����� ��� with respect to��� �� subject to:
�� �������
� ��.
We assume that the utility verifies:
Assumption A0. ��� � is homothetic, C2, strictly concave: ����� ��� � ���������, such that
���� � �� ������ ����� � ��� ������ ����� � �.
� ����Day ��������������������������������������������������������������Jullien and Picard����������������������������������4������ 2�����������������������������������Chiang(1984)�Simon and Blume(1994)�Varian(1992)���(1990)��������������������������������������������������������
���Chiang�Simon and Blume�����������������������������������������������������������������
������������������
� ���� � ������� � ��������������� � �������
� � � ���� � �
������ � ��������� � ���
������� � ���
� ��������� � ����� � �
� � � � � �
�������������� � � ����� leading (or successive )principal minors of A�����������A ��� � ������� ��� � � ����,������ � ������� ��� � � �����������
4 ������ 1���������������������������homothetic��������������1����������������������������������Jullien and Picard���� ����������������1������������������������
をn×nの行列としよう。このとき、k×kの小行列式を
2
������������������������������Jullien and Picard(1998, p.267)����������������
Let us first consider the consumption of an agent (worker or entrepreneur) born at date
t. Let �� be his real wealth and �� �������
� �denote the real rate of interest on money
between t and t+1. The consumer maximizes ����� ��� with respect to��� �� subject to:
�� �������
� ��.
We assume that the utility verifies:
Assumption A0. ��� � is homothetic, C2, strictly concave: ����� ��� � ���������, such that
���� � �� ������ ����� � ��� ������ ����� � �.
� ����Day ��������������������������������������������������������������Jullien and Picard����������������������������������4������ 2�����������������������������������Chiang(1984)�Simon and Blume(1994)�Varian(1992)���(1990)��������������������������������������������������������
���Chiang�Simon and Blume�����������������������������������������������������������������
������������������
� ���� � ������� � ��������������� � �������
� � � ���� � �
������ � ��������� � ���
������� � ���
� ��������� � ����� � �
� � � � � �
�������������� � � ����� leading (or successive )principal minors of A�����������A ��� � ������� ��� � � ����,������ � ������� ��� � � �����������
4 ������ 1���������������������������homothetic��������������1����������������������������������Jullien and Picard���� ����������������1������������������������
とすると、
2
������������������������������Jullien and Picard(1998, p.267)����������������
Let us first consider the consumption of an agent (worker or entrepreneur) born at date
t. Let �� be his real wealth and �� �������
� �denote the real rate of interest on money
between t and t+1. The consumer maximizes ����� ��� with respect to��� �� subject to:
�� �������
� ��.
We assume that the utility verifies:
Assumption A0. ��� � is homothetic, C2, strictly concave: ����� ��� � ���������, such that
���� � �� ������ ����� � ��� ������ ����� � �.
� ����Day ��������������������������������������������������������������Jullien and Picard����������������������������������4������ 2�����������������������������������Chiang(1984)�Simon and Blume(1994)�Varian(1992)���(1990)��������������������������������������������������������
���Chiang�Simon and Blume�����������������������������������������������������������������
������������������
� ���� � ������� � ��������������� � �������
� � � ���� � �
������ � ��������� � ���
������� � ���
� ��������� � ����� � �
� � � � � �
�������������� � � ����� leading (or successive )principal minors of A�����������A ��� � ������� ��� � � ����,������ � ������� ��� � � �����������
4 ������ 1���������������������������homothetic��������������1����������������������������������Jullien and Picard���� ����������������1������������������������
を leading (or successive )principal minors of Aと呼ぶ。これに対して、Aからn-kの列、i1, i2, ... , in-k. および同じn-kの行、i1, i2, ... , in-k を取り除いて得られるk×kの小行列式をkth order principal minor of Aと呼び、leading principal minor of Aと区別して
3
���� � ������� kth order principal minor of A����leading principal minor of A ������������������������� � ���������� � ��������leading principal minors of A� 3����
� � � ���� � ���� ���� � �������������� � ���� � �
���������������������������
�
�������principal minors of A��� � ������������ � ���� � �������������� � ����� � ����������� 3�����
� � � ����� � ��������������, �
�������������, �
�������������
����� � ���, ���, �������
� ��� ���������� X �� C2 ������������� � �������� ��� � ���� ��� � � ��� � ����� Hessian �������������������C2 ��
���� Hessian����������������Simon and Blume 1994� Theorem 16.1�16.2��� Theorem 21.5�Chiang 1984� p.347�����
���� (i)Hessian �� H��������negative semidefinite���������5
���������
����� � �� ����� � ��� � ���������� � �.�����������
(ii)Hessian �� H�������negative definite������������������ � � � ���� � �� ���� � ��� � ��������� � �������������
����������������������� leading principal minors����������������������� principal minors���������������������� 1(i)���������� 1(ii)������������������������
����� � �� �� ������������ � �� ���� � � � �������leading principal minors
��������A������������������������������� � �������������principal minors��� 1(i)��������������������
���� (i)����������������������������� Hessian ��H����� x� ��������������������
5 ��A�������������� � ������� � � � �����������������������������������������������
と書こう。すると、たとえば、n=3、すなわち、Aが3×3の行列の場合、leading principal minors of Aは3つあり、
3
���� � ������� kth order principal minor of A����leading principal minor of A ������������������������� � ���������� � ��������leading principal minors of A� 3����
� � � ���� � ���� ���� � �������������� � ���� � �
���������������������������
�
�������principal minors of A��� � ������������ � ���� � �������������� � ����� � ����������� 3�����
� � � ����� � ��������������, �
�������������, �
�������������
����� � ���, ���, �������
� ��� ���������� X �� C2 ������������� � �������� ��� � ���� ��� � � ��� � ����� Hessian �������������������C2 ��
���� Hessian����������������Simon and Blume 1994� Theorem 16.1�16.2��� Theorem 21.5�Chiang 1984� p.347�����
���� (i)Hessian �� H��������negative semidefinite���������5
���������
����� � �� ����� � ��� � ���������� � �.�����������
(ii)Hessian �� H�������negative definite������������������ � � � ���� � �� ���� � ��� � ��������� � �������������
����������������������� leading principal minors����������������������� principal minors���������������������� 1(i)���������� 1(ii)������������������������
����� � �� �� ������������ � �� ���� � � � �������leading principal minors
��������A������������������������������� � �������������principal minors��� 1(i)��������������������
���� (i)����������������������������� Hessian ��H����� x� ��������������������
5 ��A�������������� � ������� � � � �����������������������������������������������
となるに対し、principal minors of Aは、k=3に対しては、
3
���� � ������� kth order principal minor of A����leading principal minor of A ������������������������� � ���������� � ��������leading principal minors of A� 3����
� � � ���� � ���� ���� � �������������� � ���� � �
���������������������������
�
�������principal minors of A��� � ������������ � ���� � �������������� � ����� � ����������� 3�����
� � � ����� � ��������������, �
�������������, �
�������������
����� � ���, ���, �������
� ��� ���������� X �� C2 ������������� � �������� ��� � ���� ��� � � ��� � ����� Hessian �������������������C2 ��
���� Hessian����������������Simon and Blume 1994� Theorem 16.1�16.2��� Theorem 21.5�Chiang 1984� p.347�����
���� (i)Hessian �� H��������negative semidefinite���������5
���������
����� � �� ����� � ��� � ���������� � �.�����������
(ii)Hessian �� H�������negative definite������������������ � � � ���� � �� ���� � ��� � ��������� � �������������
����������������������� leading principal minors����������������������� principal minors���������������������� 1(i)���������� 1(ii)������������������������
����� � �� �� ������������ � �� ���� � � � �������leading principal minors
��������A������������������������������� � �������������principal minors��� 1(i)��������������������
���� (i)����������������������������� Hessian ��H����� x� ��������������������
5 ��A�������������� � ������� � � � �����������������������������������������������
とただ1つであるが、k=2
およびk=1に対しては、それぞれ3つずつあり
――――――――――――――――――――4 関数はそれが1次同次関数の単調変換となっているとき、ホモセティック(homothetic)であるという。したがって、1次同次関数はホモセティックな関数でもあるが、逆は必ずしも真ではない。Jullien and PicardのU(.)は、容易に確かめられるように、1次同次(したがってホモセティックな)関数である。
- 169 -
3
���� � ������� kth order principal minor of A����leading principal minor of A ������������������������� � ���������� � ��������leading principal minors of A� 3����
� � � ���� � ���� ���� � �������������� � ���� � �
���������������������������
�
�������principal minors of A��� � ������������ � ���� � �������������� � ����� � ����������� 3�����
� � � ����� � ��������������, �
�������������, �
�������������
����� � ���, ���, �������
� ��� ���������� X �� C2 ������������� � �������� ��� � ���� ��� � � ��� � ����� Hessian �������������������C2 ��
���� Hessian����������������Simon and Blume 1994� Theorem 16.1�16.2��� Theorem 21.5�Chiang 1984� p.347�����
���� (i)Hessian �� H��������negative semidefinite���������5
���������
����� � �� ����� � ��� � ���������� � �.�����������
(ii)Hessian �� H�������negative definite������������������ � � � ���� � �� ���� � ��� � ��������� � �������������
����������������������� leading principal minors����������������������� principal minors���������������������� 1(i)���������� 1(ii)������������������������
����� � �� �� ������������ � �� ���� � � � �������leading principal minors
��������A������������������������������� � �������������principal minors��� 1(i)��������������������
���� (i)����������������������������� Hessian ��H����� x� ��������������������
5 ��A�������������� � ������� � � � �����������������������������������������������
となる。
いま、fをRnの凸開集合X上のC2関数としよう。このとき、
3
���� � ������� kth order principal minor of A����leading principal minor of A ������������������������� � ���������� � ��������leading principal minors of A� 3����
� � � ���� � ���� ���� � �������������� � ���� � �
���������������������������
�
�������principal minors of A��� � ������������ � ���� � �������������� � ����� � ����������� 3�����
� � � ����� � ��������������, �
�������������, �
�������������
����� � ���, ���, �������
� ��� ���������� X �� C2 ������������� � �������� ��� � ���� ��� � � ��� � ����� Hessian �������������������C2 ��
���� Hessian����������������Simon and Blume 1994� Theorem 16.1�16.2��� Theorem 21.5�Chiang 1984� p.347�����
���� (i)Hessian �� H��������negative semidefinite���������5
���������
����� � �� ����� � ��� � ���������� � �.�����������
(ii)Hessian �� H�������negative definite������������������ � � � ���� � �� ���� � ��� � ��������� � �������������
����������������������� leading principal minors����������������������� principal minors���������������������� 1(i)���������� 1(ii)������������������������
����� � �� �� ������������ � �� ���� � � � �������leading principal minors
��������A������������������������������� � �������������principal minors��� 1(i)��������������������
���� (i)����������������������������� Hessian ��H����� x� ��������������������
5 ��A�������������� � ������� � � � �����������������������������������������������
を関数 fのx=(x1, x2, ... , xn)∈X
におけるHessian 行列と呼ぶが、よく知られているように、C2関数の凹性とHessianとの間には以下の結果が成立する(Simon and Blume 1994の Theorem 16.1、16.2およびTheorem 21.5、Chiang 1984のp.347
を参照)。
定理1 (i)Hessian 行列Hが半負値定符号(negative semidefinite)であるための必要かつ十分な条件は、
3
���� � ������� kth order principal minor of A����leading principal minor of A ������������������������� � ���������� � ��������leading principal minors of A� 3����
� � � ���� � ���� ���� � �������������� � ���� � �
���������������������������
�
�������principal minors of A��� � ������������ � ���� � �������������� � ����� � ����������� 3�����
� � � ����� � ��������������, �
�������������, �
�������������
����� � ���, ���, �������
� ��� ���������� X �� C2 ������������� � �������� ��� � ���� ��� � � ��� � ����� Hessian �������������������C2 ��
���� Hessian����������������Simon and Blume 1994� Theorem 16.1�16.2��� Theorem 21.5�Chiang 1984� p.347�����
���� (i)Hessian �� H��������negative semidefinite���������5
���������
����� � �� ����� � ��� � ���������� � �.�����������
(ii)Hessian �� H�������negative definite������������������ � � � ���� � �� ���� � ��� � ��������� � �������������
����������������������� leading principal minors����������������������� principal minors���������������������� 1(i)���������� 1(ii)������������������������
����� � �� �� ������������ � �� ���� � � � �������leading principal minors
��������A������������������������������� � �������������principal minors��� 1(i)��������������������
���� (i)����������������������������� Hessian ��H����� x� ��������������������
5 ��A�������������� � ������� � � � �����������������������������������������������
が成り立つことである。(ii)Hessian 行列Hが負値定符号(negative definite)であるための必要かつ十分な条件は
3
���� � ������� kth order principal minor of A����leading principal minor of A ������������������������� � ���������� � ��������leading principal minors of A� 3����
� � � ���� � ���� ���� � �������������� � ���� � �
���������������������������
�
�������principal minors of A��� � ������������ � ���� � �������������� � ����� � ����������� 3�����
� � � ����� � ��������������, �
�������������, �
�������������
����� � ���, ���, �������
� ��� ���������� X �� C2 ������������� � �������� ��� � ���� ��� � � ��� � ����� Hessian �������������������C2 ��
���� Hessian����������������Simon and Blume 1994� Theorem 16.1�16.2��� Theorem 21.5�Chiang 1984� p.347�����
���� (i)Hessian �� H��������negative semidefinite���������5
���������
����� � �� ����� � ��� � ���������� � �.�����������
(ii)Hessian �� H�������negative definite������������������ � � � ���� � �� ���� � ��� � ��������� � �������������
����������������������� leading principal minors����������������������� principal minors���������������������� 1(i)���������� 1(ii)������������������������
����� � �� �� ������������ � �� ���� � � � �������leading principal minors
��������A������������������������������� � �������������principal minors��� 1(i)��������������������
���� (i)����������������������������� Hessian ��H����� x� ��������������������
5 ��A�������������� � ������� � � � �����������������������������������������������
が成り立つことである 5。
定理1において注意すべきことは、負値定符号には leading principal minorsだけが関係しているが、半負値定符号にはすべてのprincipal minorsがかかわっていることである。したがって、定理1(i)の
3
���� � ������� kth order principal minor of A����leading principal minor of A ������������������������� � ���������� � ��������leading principal minors of A� 3����
� � � ���� � ���� ���� � �������������� � ���� � �
���������������������������
�
�������principal minors of A��� � ������������ � ���� � �������������� � ����� � ����������� 3�����
� � � ����� � ��������������, �
�������������, �
�������������
����� � ���, ���, �������
� ��� ���������� X �� C2 ������������� � �������� ��� � ���� ��� � � ��� � ����� Hessian �������������������C2 ��
���� Hessian����������������Simon and Blume 1994� Theorem 16.1�16.2��� Theorem 21.5�Chiang 1984� p.347�����
���� (i)Hessian �� H��������negative semidefinite���������5
���������
����� � �� ����� � ��� � ���������� � �.�����������
(ii)Hessian �� H�������negative definite������������������ � � � ���� � �� ���� � ��� � ��������� � �������������
����������������������� leading principal minors����������������������� principal minors���������������������� 1(i)���������� 1(ii)������������������������
����� � �� �� ������������ � �� ���� � � � �������leading principal minors
��������A������������������������������� � �������������principal minors��� 1(i)��������������������
���� (i)����������������������������� Hessian ��H����� x� ��������������������
5 ��A�������������� � ������� � � � �����������������������������������������������
を(定理1(ii)のように)
3
���� � ������� kth order principal minor of A����leading principal minor of A ������������������������� � ���������� � ��������leading principal minors of A� 3����
� � � ���� � ���� ���� � �������������� � ���� � �
���������������������������
�
�������principal minors of A��� � ������������ � ���� � �������������� � ����� � ����������� 3�����
� � � ����� � ��������������, �
�������������, �
�������������
����� � ���, ���, �������
� ��� ���������� X �� C2 ������������� � �������� ��� � ���� ��� � � ��� � ����� Hessian �������������������C2 ��
���� Hessian����������������Simon and Blume 1994� Theorem 16.1�16.2��� Theorem 21.5�Chiang 1984� p.347�����
���� (i)Hessian �� H��������negative semidefinite���������5
���������
����� � �� ����� � ��� � ���������� � �.�����������
(ii)Hessian �� H�������negative definite������������������ � � � ���� � �� ���� � ��� � ��������� � �������������
����������������������� leading principal minors����������������������� principal minors���������������������� 1(i)���������� 1(ii)������������������������
����� � �� �� ������������ � �� ���� � � � �������leading principal minors
��������A������������������������������� � �������������principal minors��� 1(i)��������������������
���� (i)����������������������������� Hessian ��H����� x� ��������������������
5 ��A�������������� � ������� � � � �����������������������������������������������
で置き換えることはできない。たとえば、
3
���� � ������� kth order principal minor of A����leading principal minor of A ������������������������� � ���������� � ��������leading principal minors of A� 3����
� � � ���� � ���� ���� � �������������� � ���� � �
���������������������������
�
�������principal minors of A��� � ������������ � ���� � �������������� � ����� � ����������� 3�����
� � � ����� � ��������������, �
�������������, �
�������������
����� � ���, ���, �������
� ��� ���������� X �� C2 ������������� � �������� ��� � ���� ��� � � ��� � ����� Hessian �������������������C2 ��
���� Hessian����������������Simon and Blume 1994� Theorem 16.1�16.2��� Theorem 21.5�Chiang 1984� p.347�����
���� (i)Hessian �� H��������negative semidefinite���������5
���������
����� � �� ����� � ��� � ���������� � �.�����������
(ii)Hessian �� H�������negative definite������������������ � � � ���� � �� ���� � ��� � ��������� � �������������
����������������������� leading principal minors����������������������� principal minors���������������������� 1(i)���������� 1(ii)������������������������
����� � �� �� ������������ � �� ���� � � � �������leading principal minors
��������A������������������������������� � �������������principal minors��� 1(i)��������������������
���� (i)����������������������������� Hessian ��H����� x� ��������������������
5 ��A�������������� � ������� � � � �����������������������������������������������
を考えよう。
3
���� � ������� kth order principal minor of A����leading principal minor of A ������������������������� � ���������� � ��������leading principal minors of A� 3����
� � � ���� � ���� ���� � �������������� � ���� � �
���������������������������
�
�������principal minors of A��� � ������������ � ���� � �������������� � ����� � ����������� 3�����
� � � ����� � ��������������, �
�������������, �
�������������
����� � ���, ���, �������
� ��� ���������� X �� C2 ������������� � �������� ��� � ���� ��� � � ��� � ����� Hessian �������������������C2 ��
���� Hessian����������������Simon and Blume 1994� Theorem 16.1�16.2��� Theorem 21.5�Chiang 1984� p.347�����
���� (i)Hessian �� H��������negative semidefinite���������5
���������
����� � �� ����� � ��� � ���������� � �.�����������
(ii)Hessian �� H�������negative definite������������������ � � � ���� � �� ���� � ��� � ��������� � �������������
����������������������� leading principal minors����������������������� principal minors���������������������� 1(i)���������� 1(ii)������������������������
����� � �� �� ������������ � �� ���� � � � �������leading principal minors
��������A������������������������������� � �������������principal minors��� 1(i)��������������������
���� (i)����������������������������� Hessian ��H����� x� ��������������������
5 ��A�������������� � ������� � � � �����������������������������������������������
であるから、leading principal minorsだけで考えると、Aは半負値定符号と両立するようにみえるかもしれないが、
3
���� � ������� kth order principal minor of A����leading principal minor of A ������������������������� � ���������� � ��������leading principal minors of A� 3����
� � � ���� � ���� ���� � �������������� � ���� � �
���������������������������
�
�������principal minors of A��� � ������������ � ���� � �������������� � ����� � ����������� 3�����
� � � ����� � ��������������, �
�������������, �
�������������
����� � ���, ���, �������
� ��� ���������� X �� C2 ������������� � �������� ��� � ���� ��� � � ��� � ����� Hessian �������������������C2 ��
���� Hessian����������������Simon and Blume 1994� Theorem 16.1�16.2��� Theorem 21.5�Chiang 1984� p.347�����
���� (i)Hessian �� H��������negative semidefinite���������5
���������
����� � �� ����� � ��� � ���������� � �.�����������
(ii)Hessian �� H�������negative definite������������������ � � � ���� � �� ���� � ��� � ��������� � �������������
����������������������� leading principal minors����������������������� principal minors���������������������� 1(i)���������� 1(ii)������������������������
����� � �� �� ������������ � �� ���� � � � �������leading principal minors
��������A������������������������������� � �������������principal minors��� 1(i)��������������������
���� (i)����������������������������� Hessian ��H����� x� ��������������������
5 ��A�������������� � ������� � � � �����������������������������������������������
であるから、principal minorsは定理1(i)の条件を満たさず、半負値定符号ではない。
定理2 (i)関数 fがX上において凹関数であるための必要かつ十分な条件はHessian 行列Hがすべてのx∈Xに対して半負値定符号であることである。(ii)関数 fがX上において厳密な凹関数であるための十分条件はHessian行列Hがすべてのx∈Xに対して負値定符号であることである。
定理2において、Hが(すべてのx∈Xに対して)負値定符号であることは fが厳密に凹であるための十分条件であって、必要条件ではないことに注意する必要がある。よく知られた例は、f(x)=-x4
である。この関数はR上において厳密な凹関数であるにもかかわらず、
4
(ii)��� ������������������������ Hessian �� H ������ � �������������������
�� 2�����H������� � ���������������������������������������������������������������
��������� � ������������ R���������������������������� � ����� � ��� ����� � ��� � ����� 0������ Hessian������������������������
������� f: X� ����������6
� � ������ � �� � ����� �� ������ � �� � �������� ��� � ������ ���� �� � � (1) ���������������������������� � ����� � �� � ����� � ������ � �� � �������� �� � ������ ��� � �� � � (2) �����������(1)���(2)��������������������������������������������������������� 2�(2���)��������������������
� ���������������������� ��������������������� � � ����������� ���� 2����������� � �� �� � �� ��� � �� ��� � ����������������������������������� ������������������������������������ Hessian ���
� � � � � � � � � � � � � � ���� ������ ���
�
�������principal minors of H��� � � ����� � ����������������������
��������� � ��� � ����������������������������
����� � ������ � ������ � ������ �������
�������
� � ������ ���� �
��� � �
��������������
� ������
� � ���������������������� ���������
������������� ���������� ������� 0���������������������������������7��������Hessian H��� 1(i)������
6 ������(��)����������������������
7 ��������Euler’s Theorem�������Simon and Blume� Theorem 20.4���� Chiang, p.413-417����
(f"(0)=0
とx=0において0値をとる)とHessianの半負値定符号が成立し、負値定符号は成立しない。 もちろん、関数 f: X→Rが凹関数であるとは 6
4
(ii)��� ������������������������ Hessian �� H ������ � �������������������
�� 2�����H������� � ���������������������������������������������������������������
��������� � ������������ R���������������������������� � ����� � ��� ����� � ��� � ����� 0������ Hessian������������������������
������� f: X� ����������6
� � ������ � �� � ����� �� ������ � �� � �������� ��� � ������ ���� �� � � (1) ���������������������������� � ����� � �� � ����� � ������ � �� � �������� �� � ������ ��� � �� � � (2) �����������(1)���(2)��������������������������������������������������������� 2�(2���)��������������������
� ���������������������� ��������������������� � � ����������� ���� 2����������� � �� �� � �� ��� � �� ��� � ����������������������������������� ������������������������������������ Hessian ���
� � � � � � � � � � � � � � ���� ������ ���
�
�������principal minors of H��� � � ����� � ����������������������
��������� � ��� � ����������������������������
����� � ������ � ������ � ������ �������
�������
� � ������ ���� �
��� � �
��������������
� ������
� � ���������������������� ���������
������������� ���������� ������� 0���������������������������������7��������Hessian H��� 1(i)������
6 ������(��)����������������������
7 ��������Euler’s Theorem�������Simon and Blume� Theorem 20.4���� Chiang, p.413-417����
(1)
――――――――――――――――――――5 行列Aが半負値定符号とは、
3
���� � ������� kth order principal minor of A����leading principal minor of A ������������������������� � ���������� � ��������leading principal minors of A� 3����
� � � ���� � ���� ���� � �������������� � ���� � �
���������������������������
�
�������principal minors of A��� � ������������ � ���� � �������������� � ����� � ����������� 3�����
� � � ����� � ��������������, �
�������������, �
�������������
����� � ���, ���, �������
� ��� ���������� X �� C2 ������������� � �������� ��� � ���� ��� � � ��� � ����� Hessian �������������������C2 ��
���� Hessian����������������Simon and Blume 1994� Theorem 16.1�16.2��� Theorem 21.5�Chiang 1984� p.347�����
���� (i)Hessian �� H��������negative semidefinite���������5
���������
����� � �� ����� � ��� � ���������� � �.�����������
(ii)Hessian �� H�������negative definite������������������ � � � ���� � �� ���� � ��� � ��������� � �������������
����������������������� leading principal minors����������������������� principal minors���������������������� 1(i)���������� 1(ii)������������������������
����� � �� �� ������������ � �� ���� � � � �������leading principal minors
��������A������������������������������� � �������������principal minors��� 1(i)��������������������
���� (i)����������������������������� Hessian ��H����� x� ��������������������
5 ��A�������������� � ������� � � � �����������������������������������������������
がすべての
3
���� � ������� kth order principal minor of A����leading principal minor of A ������������������������� � ���������� � ��������leading principal minors of A� 3����
� � � ���� � ���� ���� � �������������� � ���� � �
���������������������������
�
�������principal minors of A��� � ������������ � ���� � �������������� � ����� � ����������� 3�����
� � � ����� � ��������������, �
�������������, �
�������������
����� � ���, ���, �������
� ��� ���������� X �� C2 ������������� � �������� ��� � ���� ��� � � ��� � ����� Hessian �������������������C2 ��
���� Hessian����������������Simon and Blume 1994� Theorem 16.1�16.2��� Theorem 21.5�Chiang 1984� p.347�����
���� (i)Hessian �� H��������negative semidefinite���������5
���������
����� � �� ����� � ��� � ���������� � �.�����������
(ii)Hessian �� H�������negative definite������������������ � � � ���� � �� ���� � ��� � ��������� � �������������
����������������������� leading principal minors����������������������� principal minors���������������������� 1(i)���������� 1(ii)������������������������
����� � �� �� ������������ � �� ���� � � � �������leading principal minors
��������A������������������������������� � �������������principal minors��� 1(i)��������������������
���� (i)����������������������������� Hessian ��H����� x� ��������������������
5 ��A�������������� � ������� � � � �����������������������������������������������
について成り立つことであり、負値定符号とは、
3
���� � ������� kth order principal minor of A����leading principal minor of A ������������������������� � ���������� � ��������leading principal minors of A� 3����
� � � ���� � ���� ���� � �������������� � ���� � �
���������������������������
�
�������principal minors of A��� � ������������ � ���� � �������������� � ����� � ����������� 3�����
� � � ����� � ��������������, �
�������������, �
�������������
����� � ���, ���, �������
� ��� ���������� X �� C2 ������������� � �������� ��� � ���� ��� � � ��� � ����� Hessian �������������������C2 ��
���� Hessian����������������Simon and Blume 1994� Theorem 16.1�16.2��� Theorem 21.5�Chiang 1984� p.347�����
���� (i)Hessian �� H��������negative semidefinite���������5
���������
����� � �� ����� � ��� � ���������� � �.�����������
(ii)Hessian �� H�������negative definite������������������ � � � ���� � �� ���� � ��� � ��������� � �������������
����������������������� leading principal minors����������������������� principal minors���������������������� 1(i)���������� 1(ii)������������������������
����� � �� �� ������������ � �� ���� � � � �������leading principal minors
��������A������������������������������� � �������������principal minors��� 1(i)��������������������
���� (i)����������������������������� Hessian ��H����� x� ��������������������
5 ��A�������������� � ������� � � � �����������������������������������������������に代えて厳密な不等号<が成り立つことである。
6 XはRnの凸(部分)集合。ここでは、Xは開集合である必要はない。
- 170 -
が成り立つことであり、関数 fが厳密な凹関数であるとは、
4
(ii)��� ������������������������ Hessian �� H ������ � �������������������
�� 2�����H������� � ���������������������������������������������������������������
��������� � ������������ R���������������������������� � ����� � ��� ����� � ��� � ����� 0������ Hessian������������������������
������� f: X� ����������6
� � ������ � �� � ����� �� ������ � �� � �������� ��� � ������ ���� �� � � (1) ���������������������������� � ����� � �� � ����� � ������ � �� � �������� �� � ������ ��� � �� � � (2) �����������(1)���(2)��������������������������������������������������������� 2�(2���)��������������������
� ���������������������� ��������������������� � � ����������� ���� 2����������� � �� �� � �� ��� � �� ��� � ����������������������������������� ������������������������������������ Hessian ���
� � � � � � � � � � � � � � ���� ������ ���
�
�������principal minors of H��� � � ����� � ����������������������
��������� � ��� � ����������������������������
����� � ������ � ������ � ������ �������
�������
� � ������ ���� �
��� � �
��������������
� ������
� � ���������������������� ���������
������������� ���������� ������� 0���������������������������������7��������Hessian H��� 1(i)������
6 ������(��)����������������������
7 ��������Euler’s Theorem�������Simon and Blume� Theorem 20.4���� Chiang, p.413-417����
(2)が成り立つことである。(1)および(2)はそれぞれ凹関数、厳密な凹関数の定義であり、関数が微分可能であるかどうかにかかわらず適用できる。それに対して定理2は(2階連続)微分可能関数だけに適用できる結果である。
それでは、上記の「新古典派の生産関数F(K, L)は凹関数であるかどうか検討せよ。F(. , .)は1次同次、R2
++において2階連続微分可能で、F1>0, F2>0, F11<0, F22<0に従うとする」という設問に以上の結果を適用してみよう。また、F(K, L)は厳密な凹関数であるかどうかについても調べてみることにする。関数FのHessian 行列は
4
(ii)��� ������������������������ Hessian �� H ������ � �������������������
�� 2�����H������� � ���������������������������������������������������������������
��������� � ������������ R���������������������������� � ����� � ��� ����� � ��� � ����� 0������ Hessian������������������������
������� f: X� ����������6
� � ������ � �� � ����� �� ������ � �� � �������� ��� � ������ ���� �� � � (1) ���������������������������� � ����� � �� � ����� � ������ � �� � �������� �� � ������ ��� � �� � � (2) �����������(1)���(2)��������������������������������������������������������� 2�(2���)��������������������
� ���������������������� ��������������������� � � ����������� ���� 2����������� � �� �� � �� ��� � �� ��� � ����������������������������������� ������������������������������������ Hessian ���
� � � � � � � � � � � � � � ���� ������ ���
�
�������principal minors of H��� � � ����� � ����������������������
��������� � ��� � ����������������������������
����� � ������ � ������ � ������ �������
�������
� � ������ ���� �
��� � �
��������������
� ������
� � ���������������������� ���������
������������� ���������� ������� 0���������������������������������7��������Hessian H��� 1(i)������
6 ������(��)����������������������
7 ��������Euler’s Theorem�������Simon and Blume� Theorem 20.4���� Chiang, p.413-417����
で与えられる。principal minors of Hは、
4
(ii)��� ������������������������ Hessian �� H ������ � �������������������
�� 2�����H������� � ���������������������������������������������������������������
��������� � ������������ R���������������������������� � ����� � ��� ����� � ��� � ����� 0������ Hessian������������������������
������� f: X� ����������6
� � ������ � �� � ����� �� ������ � �� � �������� ��� � ������ ���� �� � � (1) ���������������������������� � ����� � �� � ����� � ������ � �� � �������� �� � ������ ��� � �� � � (2) �����������(1)���(2)��������������������������������������������������������� 2�(2���)��������������������
� ���������������������� ��������������������� � � ����������� ���� 2����������� � �� �� � �� ��� � �� ��� � ����������������������������������� ������������������������������������ Hessian ���
� � � � � � � � � � � � � � ���� ������ ���
�
�������principal minors of H��� � � ����� � ����������������������
��������� � ��� � ����������������������������
����� � ������ � ������ � ������ �������
�������
� � ������ ���� �
��� � �
��������������
� ������
� � ���������������������� ���������
������������� ���������� ������� 0���������������������������������7��������Hessian H��� 1(i)������
6 ������(��)����������������������
7 ��������Euler’s Theorem�������Simon and Blume� Theorem 20.4���� Chiang, p.413-417����
はいずれも仮定により負
つぎに、
4
(ii)��� ������������������������ Hessian �� H ������ � �������������������
�� 2�����H������� � ���������������������������������������������������������������
��������� � ������������ R���������������������������� � ����� � ��� ����� � ��� � ����� 0������ Hessian������������������������
������� f: X� ����������6
� � ������ � �� � ����� �� ������ � �� � �������� ��� � ������ ���� �� � � (1) ���������������������������� � ����� � �� � ����� � ������ � �� � �������� �� � ������ ��� � �� � � (2) �����������(1)���(2)��������������������������������������������������������� 2�(2���)��������������������
� ���������������������� ��������������������� � � ����������� ���� 2����������� � �� �� � �� ��� � �� ��� � ����������������������������������� ������������������������������������ Hessian ���
� � � � � � � � � � � � � � ���� ������ ���
�
�������principal minors of H��� � � ����� � ����������������������
��������� � ��� � ����������������������������
����� � ������ � ������ � ������ �������
�������
� � ������ ���� �
��� � �
��������������
� ������
� � ���������������������� ���������
������������� ���������� ������� 0���������������������������������7��������Hessian H��� 1(i)������
6 ������(��)����������������������
7 ��������Euler’s Theorem�������Simon and Blume� Theorem 20.4���� Chiang, p.413-417����
であるが、これを展開すると、
4
(ii)��� ������������������������ Hessian �� H ������ � �������������������
�� 2�����H������� � ���������������������������������������������������������������
��������� � ������������ R���������������������������� � ����� � ��� ����� � ��� � ����� 0������ Hessian������������������������
������� f: X� ����������6
� � ������ � �� � ����� �� ������ � �� � �������� ��� � ������ ���� �� � � (1) ���������������������������� � ����� � �� � ����� � ������ � �� � �������� �� � ������ ��� � �� � � (2) �����������(1)���(2)��������������������������������������������������������� 2�(2���)��������������������
� ���������������������� ��������������������� � � ����������� ���� 2����������� � �� �� � �� ��� � �� ��� � ����������������������������������� ������������������������������������ Hessian ���
� � � � � � � � � � � � � � ���� ������ ���
�
�������principal minors of H��� � � ����� � ����������������������
��������� � ��� � ����������������������������
����� � ������ � ������ � ������ �������
�������
� � ������ ���� �
��� � �
��������������
� ������
� � ���������������������� ���������
������������� ���������� ������� 0���������������������������������7��������Hessian H��� 1(i)������
6 ������(��)����������������������
7 ��������Euler’s Theorem�������Simon and Blume� Theorem 20.4���� Chiang, p.413-417����
となる。ここで、
4
(ii)��� ������������������������ Hessian �� H ������ � �������������������
�� 2�����H������� � ���������������������������������������������������������������
��������� � ������������ R���������������������������� � ����� � ��� ����� � ��� � ����� 0������ Hessian������������������������
������� f: X� ����������6
� � ������ � �� � ����� �� ������ � �� � �������� ��� � ������ ���� �� � � (1) ���������������������������� � ����� � �� � ����� � ������ � �� � �������� �� � ������ ��� � �� � � (2) �����������(1)���(2)��������������������������������������������������������� 2�(2���)��������������������
� ���������������������� ��������������������� � � ����������� ���� 2����������� � �� �� � �� ��� � �� ��� � ����������������������������������� ������������������������������������ Hessian ���
� � � � � � � � � � � � � � ���� ������ ���
�
�������principal minors of H��� � � ����� � ����������������������
��������� � ��� � ����������������������������
����� � ������ � ������ � ������ �������
�������
� � ������ ���� �
��� � �
��������������
� ������
� � ���������������������� ���������
������������� ���������� ������� 0���������������������������������7��������Hessian H��� 1(i)������
6 ������(��)����������������������
7 ��������Euler’s Theorem�������Simon and Blume� Theorem 20.4���� Chiang, p.413-417����
はオイラー定理による。すなわち、F(K, L)は1次同次だから、1階の
導関数F1(K, L)およびF2(K, L)はいずれも0次同次であり、これらにオイラーの定理を適用すると、求める結果を得る 7。以上のように、Hessian Hは定理1(i)を満たしているので半負値定符号、よって定理2(i)により関数Fは凹関数ということになる。問題は、Fは厳密な凹関数かどうか、である。定理2(ii)は満たしてはいないけれど、直ちに「Fは厳密な凹関数ではない」と結論する―以下にみるようにこの結論は正しいが―ことはできない。定理2(ii)は、関数が厳密に凹であるための十分条件は与えているけれど、必要条件は与えていないからだ。 これを見るために、F(K, L)が、上で述べた厳密な凹関数の定義―不等式(2)―を満たしているかどうか、調べてみよう。いま、R2
++上の任意の点 (K0, L0)を選び、(K1, L1)をK1=αK0, L1=αL0となるようにとる。ただし、αは任意の正数である。このとき、
不等式(2)の左辺
5
��������������� 2(i)������������������������������������������ 2(ii)�����������������������������������������������������—���������� 2(ii)��������������������������������������������
������������� ����������������������(2)��������������������������� ���������� ����������� ������ � ���� �� ���������������������������������
���(2)���� ����� � �� � ����� ��� � �� � ����� � ���� � �� � ������� �� � �� � �������� � � � � � � �� � �� � ��������� ���� � � �
�������
���(2)���� ������ ��� � �� � ������� ��� � ������ ��� � �� � �������� ����� � � � � � ������ ��� � �� � �������� ���� � � � � � �� � �� � ��������� �������������������(2)��������������(1)�������������������������� �������������������������������������������������1�����������������������1 ������������������������ � ������������������������������������������������������
����������������������������������������
�����������
� ���������������������������������������
���Day���� �� Jullien and Picard���� �������������������������������������������������������������
�����Day������ “It is assumed that ��� � is increasing, concave, C2, and homogeneous of the first degree, that is,…”��������������������strictly concave� concave������������increasing�����������
that is ����������� �����
���� � �������������F� concave���
���������������������������������Jullien and Picard������Assumption A0����������������. “��� � is homothetic, C2,increasing, and strictly quasiconcave: ����� ��� � ������ ���� , such that ���� � �� ��� � �� ���� � �� �������� ����� � ������ ������ ����� � ��” (����������
となる。一方、
――――――――――――――――――――7 オイラーの定理(Euler's Theorem)については、Simon and BlumeのTheorem 20.4あるいはChiang, p.413-417を見よ。
- 171 -
不等式(2)の右辺
5
��������������� 2(i)������������������������������������������ 2(ii)�����������������������������������������������������—���������� 2(ii)��������������������������������������������
������������� ����������������������(2)��������������������������� ���������� ����������� ������ � ���� �� ���������������������������������
���(2)���� ����� � �� � ����� ��� � �� � ����� � ���� � �� � ������� �� � �� � �������� � � � � � � �� � �� � ��������� ���� � � �
�������
���(2)���� ������ ��� � �� � ������� ��� � ������ ��� � �� � �������� ����� � � � � � ������ ��� � �� � �������� ���� � � � � � �� � �� � ��������� �������������������(2)��������������(1)�������������������������� �������������������������������������������������1�����������������������1 ������������������������ � ������������������������������������������������������
����������������������������������������
�����������
� ���������������������������������������
���Day���� �� Jullien and Picard���� �������������������������������������������������������������
�����Day������ “It is assumed that ��� � is increasing, concave, C2, and homogeneous of the first degree, that is,…”��������������������strictly concave� concave������������increasing�����������
that is ����������� �����
���� � �������������F� concave���
���������������������������������Jullien and Picard������Assumption A0����������������. “��� � is homothetic, C2,increasing, and strictly quasiconcave: ����� ��� � ������ ���� , such that ���� � �� ��� � �� ���� � �� �������� ����� � ������ ������ ����� � ��” (����������
となって、両辺は相等しく、不等式(2)を満たさない(ただし、不等式(1)は満たす)ことがわかる。以上の導出過程では、F(K, L)の一次同次性を用いた。このように、一次同次の関数は厳密に凹とはなり得ないのである。このことは、1変数の関数の場合を考えてみるとよく理解できる。1変数の場合、一次同次の関数は線形であり、f(x)=axと書くことができる。線形の関数は凹関数である(凸関数でもある)が、厳密な凹関数ではない。したがって、「新古典派の生産関数は凹関数であるが、厳密な凹関数ではない」というのが、上記の演習問題に対する解答である。
最後に、上で引用した2つの文章にコメントを加えることで小論を締めくくることにしよう。DayのF(.)も Jullien and PicardのU(.)も、1次同次関数と仮定されているにもかかわらず、厳密な凹関数としている点で正しくない。ではどのように修正したらよいだろうか。まず、Dayについては、 “It
is assumed that F(.) is increasing, concave, C2, and homogeneous of the first degree, that is,…”とする(イタリック体の部分が修正部分)。strictly concaveをconcaveに代えるのはむろんだが、increasingという言葉
を加えたのは that is 以下に示される
5
��������������� 2(i)������������������������������������������ 2(ii)�����������������������������������������������������—���������� 2(ii)��������������������������������������������
������������� ����������������������(2)��������������������������� ���������� ����������� ������ � ���� �� ���������������������������������
���(2)���� ����� � �� � ����� ��� � �� � ����� � ���� � �� � ������� �� � �� � �������� � � � � � � �� � �� � ��������� ���� � � �
�������
���(2)���� ������ ��� � �� � ������� ��� � ������ ��� � �� � �������� ����� � � � � � ������ ��� � �� � �������� ���� � � � � � �� � �� � ��������� �������������������(2)��������������(1)�������������������������� �������������������������������������������������1�����������������������1 ������������������������ � ������������������������������������������������������
����������������������������������������
�����������
� ���������������������������������������
���Day���� �� Jullien and Picard���� �������������������������������������������������������������
�����Day������ “It is assumed that ��� � is increasing, concave, C2, and homogeneous of the first degree, that is,…”��������������������strictly concave� concave������������increasing�����������
that is ����������� �����
���� � �������������F� concave���
���������������������������������Jullien and Picard������Assumption A0����������������. “��� � is homothetic, C2,increasing, and strictly quasiconcave: ����� ��� � ������ ���� , such that ���� � �� ��� � �� ���� � �� �������� ����� � ������ ������ ����� � ��” (����������
0および
5
��������������� 2(i)������������������������������������������ 2(ii)�����������������������������������������������������—���������� 2(ii)��������������������������������������������
������������� ����������������������(2)��������������������������� ���������� ����������� ������ � ���� �� ���������������������������������
���(2)���� ����� � �� � ����� ��� � �� � ����� � ���� � �� � ������� �� � �� � �������� � � � � � � �� � �� � ��������� ���� � � �
�������
���(2)���� ������ ��� � �� � ������� ��� � ������ ��� � �� � �������� ����� � � � � � ������ ��� � �� � �������� ���� � � � � � �� � �� � ��������� �������������������(2)��������������(1)�������������������������� �������������������������������������������������1�����������������������1 ������������������������ � ������������������������������������������������������
����������������������������������������
�����������
� ���������������������������������������
���Day���� �� Jullien and Picard���� �������������������������������������������������������������
�����Day������ “It is assumed that ��� � is increasing, concave, C2, and homogeneous of the first degree, that is,…”��������������������strictly concave� concave������������increasing�����������
that is ����������� �����
���� � �������������F� concave���
���������������������������������Jullien and Picard������Assumption A0����������������. “��� � is homothetic, C2,increasing, and strictly quasiconcave: ����� ��� � ������ ���� , such that ���� � �� ��� � �� ���� � �� �������� ����� � ������ ������ ����� � ��” (����������
0に対応させるためである。Fがconcaveであ
るだけでは資本と労働の限界生産性が正であることは導かれない。つぎに、Jullien and Picardについては、Assumption A0をつぎのように修正する。すなわち、“U(.) is homothetic, C2, increasing, and strictly quasiconcave:
U ( c 1, c 2) = c 2u ( c 1/ c 2) , s u c h t h a t
5
��������������� 2(i)������������������������������������������ 2(ii)�����������������������������������������������������—���������� 2(ii)��������������������������������������������
������������� ����������������������(2)��������������������������� ���������� ����������� ������ � ���� �� ���������������������������������
���(2)���� ����� � �� � ����� ��� � �� � ����� � ���� � �� � ������� �� � �� � �������� � � � � � � �� � �� � ��������� ���� � � �
�������
���(2)���� ������ ��� � �� � ������� ��� � ������ ��� � �� � �������� ����� � � � � � ������ ��� � �� � �������� ���� � � � � � �� � �� � ��������� �������������������(2)��������������(1)�������������������������� �������������������������������������������������1�����������������������1 ������������������������ � ������������������������������������������������������
����������������������������������������
�����������
� ���������������������������������������
���Day���� �� Jullien and Picard���� �������������������������������������������������������������
�����Day������ “It is assumed that ��� � is increasing, concave, C2, and homogeneous of the first degree, that is,…”��������������������strictly concave� concave������������increasing�����������
that is ����������� �����
���� � �������������F� concave���
���������������������������������Jullien and Picard������Assumption A0����������������. “��� � is homothetic, C2,increasing, and strictly quasiconcave: ����� ��� � ������ ���� , such that ���� � �� ��� � �� ���� � �� �������� ����� � ������ ������ ����� � ��” (����������
(イタリック体の部分とu'>0およびu"<0を付け加えたことが修正部分である。)容易に確かめられるように、
6
�� � ������� � ������������������)�������������,�� � �� ��� � � � �� � �� ��� � �� � � ������������������� �� increasing���������� ����������������������� ����������������quasiconcave������������� ���������������(strictly quasiconcave)�������Simon and Blume� Theorem 21.20����� 542��������������������8�
� � � � � � � � � � � � � �
� ����
Robert J. Barro and Xavier Sala-i-Martin. 2004. Economic Growth, 2nd ed. Cambridge: The MIT Press.
Alpha C. Chiang. 1984. Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd ed. New York: McGraw-Hill.
Richard H. Day. 1995. Complex Economic Dynamics Volume II: An Introduction to Economic Dynamics. Cambridge: The MIT Press.
David de la Croix and Philippe Michel. 2002. A Theory of Economic Growth: Dynamicsand Policy in Overlapping Generations. Cambridge: Cambridge University Press.
Bruno Jullien and Pierre Picard. 1998. “A Classical Model of Involuntary Unemployment: Efficiency Wages and Macroeconomic Policy.” Journal of EconomicTheory, 78(2): 263-285.
Carl P. Simon and Lawrence Blume. 1994. Mathematics for Economists. New York: W. W. Norton& Company.
Hal R. Varian, 1992. Microeconomic Analysis, 3rd ed. New York: W.W. Norton & Company. ������������������� 1990�
8 �������� ���������� � �� ��� � �� � � ���������������������������. “increasing, C2, concave, and homogeneous of the first degree”������������������������������������(���)�������������������������������������1�����������������������������������������������
����������������������������������������
������������������������������������
という関係が成り立つから、U(.)は increasingであり、さらにU(.)が一次同次であるという事実と相まって、U(.)は凹関数、したがって準凹関数(quasiconcave)である。このとき、U(.)が単に準凹でなく、厳密に準凹(strictly quasiconcave)であることは、Simon and BlumeのTheorem 21.20および同書542ページの同定理の証明があきらかにしている 8, 9。
――――――――――――――――――――8 修正されたU(.)は一次同次で、Ui>0, Uii<0, i=1,2であるから、新古典派生産関数と同じ性質を持つので、“increasing, C2, concave, and homogeneous of the first degree”と新古典派生産関数と同様に特徴づけることもできたが、効用関数については、(厳密に)準凹であるかどうか、ホモセティックであるどうかのほうが(凹であるかどうか、1次同次であるかどうかよりも)意味のある特徴づけであろう。とくに、効用関数が厳密に準凹であることは無差別曲線が原点に対して強く凸であることと同等であり、ホモセティックであることは価格・消費曲線が原点を通る直線であることと同等である点に注意されたい。
9 この研究ノートを印刷に回してから、新古典派生産関数に関してもう1つDayと同様の(間違った)ステートメントに出会った。John H. Boyd and Bruce D. Smith. 1998. “Capital Market Imperfections in a Monetary Growth Model. ”Economic Theory, 11: 241-273のp.246を参照せよ。
- 172 -
参考文献Robert J. Barro and Xavier Sala-i-Martin. 2004. Economic Growth, 2nd ed. Cambridge: The MIT Press.
Alpha C. Chiang. 1984. Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd ed. New York: McGraw-Hill.
Richard H. Day. 1995. Complex Economic Dynamics Volume II: An Introduction to Economic Dynamics.
Cambridge: The MIT Press.
David de la Croix and Philippe Michel. 2002. A Theory of Economic Growth: Dynamics and Policy in
Overlapping Generations. Cambridge: Cambridge University Press.
Bruno Jullien and Pierre Picard. 1998. “A Classical Model of Involuntary Unemployment: Efficiency Wages and
Macroeconomic Policy.” Journal of Economic Theory, 78(2): 263-285.
Carl P. Simon and Lawrence Blume. 1994. Mathematics for Economists. New York: W. W. Norton& Company.
Hal R. Varian, 1992. Microeconomic Analysis, 3rd ed. New York: W.W. Norton & Company.
西村和雄『ミクロ経済学』東洋経済新報社1990年