固体力学特論

春AB学期 火曜日 3，4限

第2回

総和規約とマトリックス演算（復習）

理系の線形代数(p.4)

AとBの積C=A・B

一度表れる添え字をFree

index

2度表れる添え字を

Dummy index

jiTT

kjik

m

1k

kjikij

aA

ij,Aji,A

ba

bac

)(B)(A)(C

）の（）成分＝の（

を使用する）（ダミーインデックス

を使用しない）（ダミーインデックス

行列行列行列

を使用する）（ダミーインデックス

を使用しない）（ダミーインデックス

ベクトル行列ベクトル

kik

m

1k

kiki

ba

bab

)(b)(A)(b

http://www.amazon.co.jp/gp/product/images/4627060300/sr=8-3/qid=1208574432/ref=dp_image_0?ie=UTF8&n=465392&s=books&qid=1208574432&sr=8-3http://www.amazon.co.jp/gp/product/images/4627060300/sr=8-3/qid=1208574432/ref=dp_image_0?ie=UTF8&n=465392&s=books&qid=1208574432&sr=8-3

トラクションベクトルT

表面力によって変形した物体を考える

⊿Aに作用する力を⊿FとしたときAに生じる力Tは

ベクトルの微分はベクトルになる

TdA

Fd

A

F

A

Δlim

0

⊿A

n

応力の成分

直交直線座標に面が直交する単位面積を持つ立方体を考える

i軸と直交する面に生じる力（トラクションベクトル）をTi

ベクトルTiの軸方向成分を（σi1, σi2, σi3 ）

同様に以下の関係がある

kke

eeeT

1

3132121111

X1

X2

X3

T1

T2

T3

σ11

σ13

σ12

kk

kk

eT

eT

33

22

応力の成分２

トラクションベクトル

応力テンソルσの成分

333231

232221

131211

σ

kiki eT

X1

X2

X3

T1

T2

T3

σ11

σ13

σ12

任意の面に作用するトラクションベクトル（Cauchyの4面体）

任意の面の法線ベクトルをnとする

任意の面の面積をdAn

X2とX3の面に張られる面積をdA1

X1とX3の面に張られる面積をdA2

X1とX2の面に張られる面積をdA3

面積はdAi＝dAn cos（n,ei）

nもｅも長さが1

1T

ii enen),cos(

X1

X2

X3

nT

n

3T

2T

任意の面に作用するトラクションベクトル（Cauchyの4面体）

力の釣り合いを考えて、

nii

nnn

nn

dAnT

dAenTdAenTdAenT

dATdATdATdAT

332211

332211

X1

X2

X3

nT

n

1T

3T

2T

任意の面に作用するトラクションベクトル（Cauchyの4面体）

力の釣り合いを考えて、

トラクションベクトルの成分

応力がわかると任意の面に生じるトラクションベクトルが計算できる

iin

niin

nTT

0dAnTT

X1

X2

X3

nT

n

1T

3T

2T

jij

ikjkj

ijjin

n

een

eTneT

j3jj2jj1jn n,n,nT

応力の固有値

法線ベクトルnとTnの方向が一致する面を考える

ベクトルの成分を表示すると

法線ベクトルnは0ではないので、上の式が解を持つ時、

nT

n

nT Tn

σ

X1

X2

nT

n

n

0

jijij

jjijji

ijji

n

nn

nn

0 ijij

応力の固有値

行列式

λがスカラーのため、係数は座標系によらず一定になる

Q1,Q2,Q3は座標によらず不変な量になる。

0QQQ 322

1

3

X1

X2

nT

n

nT

n

0

0

333231

232221

131211

3332

2322

3331

1311

2221

12112

332211

3

333231

232221

131211

応力の固有値

行列式の係数Qは以下のとおりとなる

Q1,Q2,Q3を座標に依存しない代表的な量である不変量I1、I2、I3と呼ぶ。

X1

X2

nT

n

nT

n

kijkij3ijij2ii1

321

3

1

333231

232221

131211

3

ijij

2

1

3332

2322

3331

1311

2221

2111

2

ii3322111

P,P,P

P2PP3P2

1Q

P2

1Q

Q

応力の固有値

主応力をσ(1)、 σ(2)、 σ(3)とすると行列式の解になる。

不変量と主応力の関係が得られる。

3

)3()2()1(

2

)1()3()3()2()2()1(

1

)3()2()1(

32

2

1

3)3()2()1(

Q

Q

Q

QQQ

固有ベクトルの直交性

主応力をσ(1)、 σ(2)、 σ(3)とすると固有ベクトルｎとの間に以下の関係が生じる。

固有ベクトルnとの内積を計算する。

左項は一致しているため、

0nn

0nn

)2(

i

)2()2(

jji

)1(

i

)1()1(

jji

0nn )2(i)1(i)2()1(

0nnnn

0nnnn

)1(

i

)2(

i

)2()1(

i

)2(

jji

)2(

i

)1(

i

)1()2(

i

)1(

jji

第2回問題

応力が次のように与えられる

また、単位法線ベクトルが と与えられる。

１）この平面におけるトラクションベクトルを求めよ

2）トラクションベクトルの大きさを求めよ

3）トラクションベクトルの法線方向の大きさを求めよ

4）トラクションベクトルの接線方向の大きさを求めよ

5）トラクションベクトルの接線方向を示す単位ベクトルを求めよ

25

5,

25

4,

25

3

300750800

7501000500

800500500