翻轉線性代數 - superyu · 翻轉線性代數 . 勘誤檔案 . 喻超凡喻超弘編著 ....

2.2 向量空間(Vector Spaces) 喻超凡、喻超弘、喻婕叢書 215

2.2 向量空間 (Vector Spaces)

定義2.7 : 設 V 為一非空集合, 且在已知的體 F 中, 具有向量加法與純量乘法的法則 , 即

∀u 、 v ∈ V 其和 u + v ∈ V , 及 ∀u ∈ V , c ∈ F 其乘積 cu ∈ V , 若下面公理成立, 則稱 V 為佈於體 F 的向量空間 (vector space over F ), 而 V 內的元素即稱

為向量。

(1)∀u 、 v 、 w ∈ V , 使得 (u + v) +w = u + (v + w) 。

(2)∀u ∈ V , ∃0 ∈ V , 使得 u + 0 = u 。

(3)∀u ∈ V , ∃y ∈ V , 使得 u + y = 0 。

(4)∀u 、 v ∈ V , 使得 u + v = v + u 。

(5)∀c ∈ F , ∀u 、 v ∈ V , 使得 c (u + v) = cu + c v 。

(6)∀ a 、 b ∈ F , ∀u ∈ V , 使得 (a + b)u = au + bu 。

(7)∀ a 、 b ∈ F , ∀u ∈ V , 使得 (a b)u = a(bu) 。

(8)1 ∈ F , ∀u ∈ V , 使得 1u = u 。

Note : 常見的向量空間

(1) 設 Fn 為體 F中的 n−序組 (n−tuple) (a1 , a2 , · · · , an) , ∀ai ∈ F所構成的集合,若其任意兩個 n−序組 u = (a1 , a2 , · · · , an) 、 v = (b1 , b2 , · · · , bn) ∈ Fn相等時 (u = v) 定義成 ai = bi (∀ i = 1 , 2 , · · · , n) , 同時分別滿足座標系加法與純量乘法的運算 , 即

u + v = (a1 + b1 , a2 + b2 , · · · , an + bn)

cu = (c a1 , c a2 , · · · , c an) ; (c ∈ F)則 Fn 稱為佈於體 F 的向量空間。

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216 喻超凡、喻超弘、喻婕叢書第 2 章向量空間

(2) 設 Mm×n(F) 或 Fm×n 為所有 m × n 且元素均屬於體 F 的矩陣構成的集合,若其任意兩個 m× n 的矩陣 A 、 B ∈ Mm×n(F) ( 一般以 Aij 或 aij 的符號,表示矩陣 A 的第 i 列第 j 行的元素 ) , 相等時 ( A = B ) 定義成

Aij = Bij ; (∀Aij , Bij ∈ F)

同時分別滿足加法及純量乘法的運算,即

(A +B)ij = Aij +Bij , (cA)ij = cAij ; (c ∈ F)

則 Mm×n(F) 或 Fm×n 稱為佈於體 F 的向量空間∗ 。

(3) 設 Pn(F) 為所有係數佈於 F 且次數不大於 n 次† , 的所有多項式所構成的集

合 , 若零向量定義為 0 多項式, 且任意兩個多項式 f(x) 、 g(x) ; ( x ∈ F ) ,分別滿足加法及純量乘法的運算,即

(f + g)(x) = f(x) + g(x) ; (∀f(x) , g(x) ∈ Pn(F))

(c f)(x) = c f(x) ; (∀f(x) ∈ Pn(F) , c ∈ F)則 Pn(F) 為佈於體 F 的向量空間。

(4) 設 C[a , b] 為閉區間 [a , b] 中, 所有連續的實數函數 (f(x) ∈ R , ∀x ∈ [a , b])所構成的函數集合, 若零向量定義為 z(x) = 0, ∀x ∈ [a , b], 且任意兩個函數f(x) 、 g(x) , 分別滿足加法及純量乘法的運算,即

(f + g)(x) = f(x) + g(x) ; ( ∀f(x) , g(x) ∈ C[a , b] )

(c f)(x) = c f(x) ; ( ∀f(x) ∈ C[a , b] , c ∈ R )則 C[a , b] 為佈於體 R 的向量空間‡ 。

∗本定義讀者可參考 Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel, Lawrence E. Spence, Linear Algebra, 4thEdition, pp.9, ISBN 13: 978-1-292-02650-3 或 Kenneth Hoffman Ray Kunze, Linear Algebra, secondEdition, pp.6, ISBN 978-986-280-081-2

†本定義讀者可參考 Stephen H. Friedberg, Arnold J.Iinsel, Lawrence E. Spence, Linear Algebra, 4thEdition, pp.18, ISBN 13: 978-1-292-02650-3 , 有些課本 Pn(F) 的定義為 ”Let Pn denote the set of allpolynomials of degree less than n” , 讀者可參考 Steven J. Leon, Linear Algebra with Applications, eighthedition pp.114, ISBN-13: 978-0-13-600929-0.

‡Cn[a , b] 定義為閉區間 [a , b] 中, 所有 n 階導數連續的實數函數, 所構成的向量空間。讀者要注意C[a , b] �= C1 [a , b] 。

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2.3 子空間(Subspaces) 喻超凡、喻超弘、喻婕叢書 237

《解》 � 不是, 因 R2 �⊆ R3 。

22. 若 α = {v1 , v2 , · · · , vm} 為佈於體 F 的向量空間 V 子集合, 若W = span (α) 則 W 為 V 的子空間 , 且 W 為 V 中包含 α 的最小子空間。

即 V 中每一個含有 α 子空間 , 一定包含 W 。《台大資工》

《解》 �(1) 由定義知 , ∀w ∈ W = span (α) 則

w = c1v1 + c2v2 + · · ·+ cmvm ; ∀ ci ∈ F (i = 1, 2, · · ·m)(a) 0 = 0 v1 + 0 v2 + · · ·+ 0 vm ∈ W

(b) 設 ∀x 、 y ∈ W 即x = a1v1 + a2v2 + · · ·+ amvm ; ∀ ai ∈ F (i = 1, 2, · · · , m)y = b1v1 + b2v2 + · · ·+ bmvm ; ∀ bi ∈ F (i = 1, 2, · · · , m)

若 c ∈ F 則c x + y = c (a1v1 + a2v2 + · · ·+ amvm) + (b1v1 + b2v2 + · · ·+ bmvm)

= (c a1 + b1)v1 + (c a2 + b2)v2 + · · ·+ (c am + bm)vm∈ W

故 W = span (α) 為 V 的子空間。

(2) 設 U 為 V 的子空間且 α ⊆ U , 令 ∀w ∈ W = span (α) , 故w = c1v1 + c2v2 + · · ·+ cmvm ; ∀ ci ∈ F (i = 1, 2, · · ·m)

又 α = {v1 , v2 , · · · , vm} ⊆ U , 且 U 為子空間 , 故w = c1v1 + c2v2 + · · ·+ cmvm ∈ U

因此 W ⊆ U 。

23. 設 U 、 W 均為佈於體 F 的向量空間 V 的子空間 , 試証 U +W 仍為 V 的子

空間。《台大、清大電機》

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2.3 子空間(Subspaces) 喻超凡、喻超弘、喻婕叢書 239

故A− AT

2∈ W2 , 因此 A ∈ W1 +W2 , 故 Mn×n(F) ⊆ W1 +W2 , 同時再

令 ∀B ∈ W1 、 ∀C ∈ W2 , 故 B + C ∈ W1 + W2 , 且 B + C ∈ Mn×n , 則W1 +W2 ⊆ Mn×n , 故 Mn×n = W1 +W2 。

(2) W1 ∩W2 = {A | AT = A = −A , ∀A ∈ Mn×n(F)} = {0}

(3) 由 (1) 、 (2) 可知 Mn×n(F) = W1 ⊕W2

25. Let V be the vector space of all functions from R into R; letW1 be the subspace

of even functions, f(−x) = f(x); let W2 be the subspace of odd functions,f(−x) = −f(x). Prove that V = W1 ⊕W2. 《台大數學、成大數學》

《解》 � 由定義知 W1 、 W2 均為 V 的子空間

(1) 設 ∀f(x) ∈ V , 則

f(x) =f(x) + f(−x)

2+

f(x)− f(−x)2

令 g(x) =f(x) + f(−x)

2、 h(x) =

f(x)− f(−x)2

, 因

g(−x) = f(−x) + f(−(−x))2

=f(−x) + f(x)

2= g(x)

故 g(x) =f(x) + f(−x)

2∈ W1, 又

h(−x) = f(−x)− f(−(−x))2

=f(−x)− f(x)

2= −f(x)− f(−x)

2= −h(x)

故 h(x) =f(x)− f(−x)

2∈ W2, 因此 f(x) ∈ W1 + W2 , 故 V ⊆ W1 + W2,

同時再令 ∀g(x) ∈ W1 、 ∀h(x) ∈ W2 , 故 g(x) + h(x) ∈ W1 + W2 , 且g(x) + h(x) ∈ V , 則 W1 +W2 ⊆ V , 故 V = W1 +W2 。

(2) W1 ∩W2 = {f(x) | f(−x) = f(x) = −f(x) , ∀f(x) ∈ V } = {0}

(3) 由 (1) 、 (2) 可知 V = W1 ⊕W2 。

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26. Let W1 , · · · , Wk be subspaces of a vector space V . the direct sum Vof W1, · · ·, Wk is defined if the following two conditions hold.

V =k∑

i=1

Wi and Wj ∩∑i�=j

Wi = {0} ; ∀j(1 ≤ j ≥ k)

If the two conditions hold, then V is denoted by V = W1⊕ · · ·⊕Wk. Prove ordisprove (by providing a counterexample) of the following statements.

(a) If V = W1⊕· · ·⊕Wk. Then, for any distinct i and j, Wi and Wj intersectat exactly the zero vector.

(b) If V =k∑

i=1

Wi, and Wi and Wj intersect at exactly the zero vector for any

distinct i , j(1 ≤ i , j ≤ k). Then V is the direct sum of W1 , · · · , Wk《台聯大A》

《解》 �(a) 已知 V = W1 ⊕W2 ⊕ · · · ⊕Wk , 故

Wi ∩∑m �=i

Wm = {0} ; ∀i (1 ≤ i ≤ k)

設 Wi ∩Wj = {w} , 其中 i �= j , 故 w ∈ Wi 及 w ∈ Wj , 因 w ∈ Wj , 故w ∈ ∑

m �=iWm , 因此

w ∈ Wi ∩∑m �=i

Wm = {0}

故 w = 0 , 即 Wi ∩Wj = {0} , 其中 i �= j 。

(b) 本命題是錯的。令 V = R2 , 且

W1 = span {(1 , 0)} , W2 = span {(1 , 1)} , W3 = span {(0 , 1)}

均為 V 的子空間 , 且

W1 ∩W2 = {0} , W1 ∩W3 = {0} , W2 ∩W3 = {0}

但 W1 ∩ (W2 +W3) = W1 �= {0} , 故

V �= W1 ⊕W2 ⊕W3

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經由基本列運算, 可得 A 的最簡列矩陣 (reduced row echelon matrix)

R =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 0 0 0 0 −1/4 5/40 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 1/4 −1/40 0 0 0 1 0 1 −30 0 0 0 0 1 0 −1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

由矩陣 R 可知

(−14)u1 + (

1

4)u4 + v1 = v3 ⇒ (−1

4)u1 + (

1

4)u4 = −v1 + v3 ∈ W1 ∩W2

(5

4)u1+(−1

4)u4−3v1−v2 = v4 ⇒ (5

4)u1+(−1

4)u4 = 3v1+v2+v4 ∈ W1∩W2

故 W1 ∩W2 的一組基底為

{(−1

4)u1 + (

1

4)u4 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0

−10

−20

−3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

, (5

4)u1 + (−1

4)u4 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1

3

3

6

5

9

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦}

26. Let V = {(a , b , c , d) ∈ R4}. Let W1 be the subspace of V spanned by(−1 , 1 , −3 , 2), ((1 , 2 , 3 , 4), (1 , 0 , 0 , 0) and W2 be the subspace of Vspanned by (1 , 1 , 3 , 2), (0 , 1 , 0 , 0), (0 , 0 , 1 , 0).

(a) Determine the dimension of W1 +W2.

(b) Find a basis for W1 ∩W2. 《中央電機》

《解》 � 令

A =

⎡⎢⎢⎣−1 1 1 1 0 01 2 0 1 1 0

−3 3 0 3 0 12 4 0 2 0 0

⎤⎥⎥⎦ R

(1)12 R

(−3)13 R

(2)14

GGGGGGGGGGGGGGGGA

⎡⎢⎢⎣−1 1 1 1 0 00 3 1 2 1 0

0 0 −3 0 0 10 6 2 4 0 0

⎤⎥⎥⎦

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即

−

⎡⎢⎢⎣1

2

0

0

⎤⎥⎥⎦+

⎡⎢⎢⎣1

3

1

1

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣

0

1

−10

⎤⎥⎥⎦+

⎡⎢⎢⎣0

0

2

1

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣0

1

1

1

⎤⎥⎥⎦ ∈ V1 ∩ V2

故 V1 ∩ V2 的基底為 {[0 1

1 1

]}, 且 dim (V1 ∩ V2) = 1 。

30. Let X be the linear subspace of R2×3 containing all matrices whose columns

add to 0 ∈ R2. For example,[

1 2 −3−2 −2 4

]∈ X since

[1

−2

]+

[2

−2

]+

[−34

]=

[0

0

]

Similarly let Y be the subspace of R2×3 containing all matrices whose rowsadd to 0 ∈ R3. Answer the following questions with reasons.(a) What is the dimension of X.

(b) What is the dimension of X + Y . 《台綜大線代》

《解》 �

(a) 令 ∀A =[a11 a12 a13

a21 a22 a23

]∈ X , 故

{a11 + a12 + a13 = 0

a21 + a22 + a23 = 0

因 A 中有 6 個獨立的參數, 但有 2 個線性獨立限制條件,

故 dim (X) = 6− 2 = 4 。

(b) 令 ∀B =[b11 b12 b13

b21 b22 b23

]∈ Y , 故

⎧⎪⎨⎪⎩

b11 + b21 = 0

b12 + b22 = 0

b13 + b23 = 0

因 B 中有 6 個獨立的參數, 但有 3 個線性獨立限制條件,

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2.4 向量空間的基底(Bases) 喻超凡、喻超弘、喻婕叢書 291

34. (a) Let A, B ∈ Mn×n(R). Prove that rank (A) ≥ rank (AB).(b) Let A, B ∈ Mn×n(R). Prove that rank (B) ≥ rank (AB). 《中央應數》

《解》 � (a) 設 ∀x ∈ CS (AB), 則 ∃y ∈ Rn×1 , 使得

x = ABy = A(By)

故 x ∈ CS (A) , 則 CS (AB) ⊆ CS (A) , 故

dim (CS (AB)) ≤ dim (CS (A))

即 rank (AB) ≤ rank (A)

(b) 設 u ∈ RS (AB) , 則 ∃v ∈ R1×n , 使得

u = vAB = (vA)B

故 u ∈ RS (B) , 則 RS (AB) ⊆ RS (B) , 故

dim (RS (AB)) ≤ dim (RS (B))

即 rank (AB) ≤ rank (B)

(c) 結論 rank (AB) ≤ min{rank (A) , rank (B)}

35. 設 Am×nBn×k = 0, 則 CS (B) ⊆ N (A) 。

《解》 � 設 ∀y ∈ CS (B) , 故 ∃vk×1 , 使得

y = B v

上式兩端前乘 A , 可得

A y = AB v = 0 ; (因為 AB = 0)

即 y ∈ N (A) , 故 CS (B) ⊆ N (A) 。

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342 喻超凡、喻超弘、喻婕叢書第 3 章線性變換(Transformations)

精選範例

1. 設 V 與 U 皆佈於體 F 的有限維度之向量空間 , 且其有序基底分別為

α 及 β , 同時令 T : V → U 為線性變換 , 則

[T (v)]β = [T ]βα[v]α ; (∀v ∈ V )

《証》 � 令 α = { x 1 , x 2 , · · · , xn } , β = { y1 , y2 , · · · , ym } , 且設 v ∈ V

v = c1x 1 + c2x 2 + · · ·+ cnxn =n∑

j=1

cjx j ; (∀cj ∈ F)

及 T (x j) =m∑i=1

aijy i ; (∀aij ∈ F) , 則

[v]α =

⎡⎢⎢⎣c1

c2...

cn

⎤⎥⎥⎦ , [T ]βα =

⎡⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · ·am1 am2 · · · amn

⎤⎥⎥⎦

又

T (v) = T (n∑

j=1

cjx j) =n∑

j=1

cjT (x j) =n∑

j=1

m∑i=1

cjaijy i

則

[T (v)]β =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

n∑j=1

cja1j

n∑j=1

cja2j

...n∑

j=1

cjamj

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

=

⎡⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · ·am1 am2 · · · amn

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣c1

c2...

cn

⎤⎥⎥⎦ = [T ]βα[v]α

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3.2 線性變換的矩陣表示法喻超凡、喻超弘、喻婕叢書 357

(b) 因 det(D) =1

9�= 0 , 故 rank (D) = 2 , 由維度定理可知

nullity (D) = 2− rank (D) = 2− 2 = 0

16. 設 W 為 M2×2(R) 的子空間, 且有序基底分別為

α = {[1 2

3 4

],

[5 6

7 8

]} , β = {

[4 5

6 7

],

[9 11

13 15

]}

求有序基底 α 變換到有序基底 β 的轉換矩陣。

《解》 � 令 M22 的標準基底為

γ =

{[1 0

0 0

],

[0 1

0 0

],

[0 0

1 0

],

[0 0

0 1

]}

故

[I]γα =

⎡⎢⎢⎣1 5

2 6

3 7

4 8

⎤⎥⎥⎦ = X , [I]γβ =

⎡⎢⎢⎣4 9

5 11

6 13

7 15

⎤⎥⎥⎦ = Y

則

[I]γβ[I]βα = [I]

γα ⇒ Y [I]βα = X

故 [I]βα = (YTY )−1Y TX =

[7 −1−3 1

]

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由於 rank (A) = 2 , 故 A具有二個線性獨立之行向量 , 即 y1 、 y2 、 y3 、 y4中僅有二個向量為線性獨立 , 因此 R (A) 之基底可取為

{⎡⎣ 1−11

⎤⎦ ,

⎡⎣ 012

⎤⎦}

(3) 由 (1) 可知 , rank (A) = 2 及 dim {N (A)} = 2 。

30. Let V denote the space of all 2× 2 symmetric matrices. Find an isomorphismT : P2 → V such that T (1) = I, where I is the 2 × 2 identity matrix. ( P2 isthe space of polynomials of degree at most 2; 1 or 0.) 《政大線性代數》

《解》 � 令 T (a + bx + cx2) =

[a+ c b

b a− c

], 再令 α = {1 , x , x2} 為 P2 的標準

基底,

β = {[1 0

0 0

],

[0 1

1 0

],

[0 0

0 1

]}

為 V 的有序基底, 故

[T (a+ bx+ cx2)]β =

⎡⎣ a+ cba− c

⎤⎦ =

⎡⎣ 1 0 10 1 01 0 −1

⎤⎦⎡⎣ abc

⎤⎦

令 A =

⎡⎣ 1 0 10 1 01 0 −1

⎤⎦ , 因 det(A) = −2 �= 0 , 故 A−1 存在, 則 T 為可逆的線

性變換, 即 T 為 isomorphism 變換, 且 T (1) =

[1 0

0 1

]。

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故 [T1]βα = [aij ] 、 [T2]

βα = [bij ] , 且

(T1 + T2)(x j) = T1(x j) + T2(x j) =m∑i=1

aij y i +m∑i=1

bij y i

=m∑i=1

(aij + bij) y i =m∑i=1

cij y i

其中 cij = aij + bij , 故

[T1 + T2]βα = [cij ] = [aij ] + [bij ] = [T1]

βα + [T2]

βα

故得証

3. 設 V 、 U 與 W 皆佈於體 F 的向量空間 , 且 T1 : V → U 及 T2 : U → W 均為線性變換 , 則合成之線性變換 T2T1 : V → W 亦為線性變換。

《証》 � 設 u 、 v ∈ V 且 c ∈ F , 則 cu + v ∈ V , 因

T2T1(cu + v) = T2(T1(cu + v)

)= T2

(c T1(u) + T1(v)

)= c T2

(T1(u)

)+ T2

(T1(v)

)= c T2T1(u) + T2T1(v)

故 T2T1 為線性變換。

4. 設 V 為佈於體 F 的向量空間 , 且 T1 、 T2 、 T3 ∈ L (V ) 則(1) T1(T2 + T3) = T1T2 + T1T3 且 (T2 + T3)T1 = T2T1 + T3T1 。

(2) T1(T2T3) = (T1T2)T3 。

(3) T1IV = IV T1 。 ( 其中 IV 為單位變換 )

(4) c (T1T2) = (c T1)T2 = T1(c T2) ; (c ∈ F) 。

《解》 �

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(a) Write the matrix of φ corresponding to the standard basis e1, e2, e3 and e4.

(b) Let v1 = e1+ e2, v2 = e2− e3, v3 = e3− e4 and v4 = e4. Write the matrixof φ corresponding to the basis v1, v2, v3 and v4. 《台大數學》

《解》 � 令 α = {e1 , e2 , e3 , e4} 、 β = {v1 , v2 , v3 , v4} , 故

[φ]α =

⎡⎢⎢⎣1 1 1 −11 −1 2 00 0 1 −11 3 −1 1

⎤⎥⎥⎦ , [φ]β =

⎡⎢⎢⎣

2 0 2 −1−2 −3 0 1−2 −4 2 02 0 0 1

⎤⎥⎥⎦

8. Let v1 = (4 , 6 , 7)T , v2 = (0 , 1 , 1)

T , v3 = (0 , 1 , 2)T , and let u1 = (1 , 1 , 1)

T ,

u2 = (1 , 2 , 2)T , u3 = (2 , 3 , 4)

T

(a) Find the transition matrix from {v1 , v2 , v3} to {u1 , u2 , u3}.(b) If x = 2v1 + 3v2 − 4v3, determine the coordinates of x with respect to

{u1 , u2 , u3}. 《台科大電機》

《解》 � (a) P =

⎡⎣ 1 −1 −21 1 01 0 1

⎤⎦ (b)

⎡⎣ 75−2

⎤⎦

9. Let P3 be the set of all polynomials with degree less than 3.

(a) Find the transition matrix S from the ordered basis {1 , x , x2} to the orderedbasis {1 , 2x , 4x2 − 2}.

(b) Let D be the differentiation operator on P3. Find the matrix A representing

D with respect to the basis {1 , 2x , 4x2 − 2}. 《清大電機》

《解》 � (a) S =

⎡⎢⎢⎣1 0

1

2

01

20

0 01

4

⎤⎥⎥⎦ (b) A =

⎡⎣ 0 2 00 0 40 0 0

⎤⎦

10. Let the linear transform T : R2 → R3 is given by T (u1) = v1 + v2 + v3 andT (u2) = v1 − v2, where

u1 =

[1

1

], u2 =

[1

−1

]and v1 =

⎡⎣ 111

⎤⎦ , v2 =

⎡⎣ 110

⎤⎦ , v3 =

⎡⎣ 100

⎤⎦

yyd矩形

yyd矩形


即 f(x) = a3x3+a1x,故 N (T ) = span {x3 , x} ,則 N (T )的基底為 {x3 , x}

(b)

{R (T )}β = CS ([T ]β) = span {

⎡⎢⎢⎣0

1

0

0

⎤⎥⎥⎦ ,

⎡⎢⎢⎣0

0

0

1

⎤⎥⎥⎦}

故 R (T ) = span {x2 , 1} , 則 R (T ) 的基底為 {x2 , 1} 。

(c) ∀g(x) = b3x3 + b1x , 由

T(g(x)

)=

g(x) + g(−x)2

= 0 = 0 · g(x)

故 λ = 0 (重根 2 次 ) , 對應的特徵向量為 g(x) = b3x3 + b1x ; ( b3 , b1 為不

全為 0 的實數 ) 。 ∀h(x) = c2x2 + c0 , 由

T(h(x)

)=

h(x) + h(−x)2

= c2x2 + c0 = 1 · h(x)

故 λ = 1 (重根 2 次 ) , 對應的特徵向量為 h(x) = c2x2 + c0 ; ( c2 , c0 為不

全為 0 的實數 ) 。

Note : 本題的線性變換 T , 為將有限維的函數向量空間 V 中的函數 f(x) , 正交投

影到偶函數 ( f(x) = f(−x) ) 的向量空間 , 的正交投影變換 , 設

W1 = {f(x) | f(x) = −f(−x) , ∀f(x) ∈ V }

W2 = {f(x) | f(x) = f(−x) , ∀f(x) ∈ V }

(1) 因 ∀g(x) ∈ W1 , 故 g(x) = −g(−x) , 由

T(g(x)

)=

g(x) + g(−x)2

=g(x)− g(x)

2= 0 = 0 · g(x)

故 λ = 0 為 T 重根 dim (W1) 次的特徵值 , 且對應的特徵空間為 W1 。

(2) 因 ∀h(x) ∈ W2 , 故 h(x) = h(−x) , 由

T(h(x)

)=

h(x) + h(−x)2

=h(x) + h(x)

2= h(x) = 1 · h(x)

故 λ = 1 為 T 重根 dim (W1) 次的特徵值 , 且對應的特徵空間為 W2 。

YYD矩形


《解》 �(1) 設 rank (B) = k , 且設 {b1 , b2 , · · · , bk} 為 CS (B) 的一組基底 , 令

e1 =

⎡⎢⎢⎣1

0...

0

⎤⎥⎥⎦n×1

, e2 =

⎡⎢⎢⎣0

1...

0

⎤⎥⎥⎦n×1

, · · · , en =

⎡⎢⎢⎣0

0...

1

⎤⎥⎥⎦n×1

故 β = {e1 , e2 , · · · , en} 為 Fn 的標準基底, 令∀A = [a1 a2 · · · an] ∈ Mm×n(F) , 故

T (A) = BA = B[a1 a2 · · · an

]=

[Ba1 Ba2 · · · Ban

] ∈ R (T )其中 Ba1 、 Ba2 、 · · · 、 Ban ∈ CS (B) , 即

[b1 0 · · · 0]m×n = b1eT1 ∈ R (T )

故

R (T ) = span{b ie

Tj ; (i = 1 , 2 , · · · , k , j = 1 , 2 , · · · , n)

}(2) 設 γ = {u1 , u2 , · · · , um−k} , 為 N (B) 的一組基底, 設

∀A = [a1 a2 · · · an] ∈ N (T ) , 故

T (A) = BA = B[a1 a2 · · · an

]=

[Ba1 Ba2 · · · Ban

]= 0

則 Ba1 = 0 、 Ba2 = 0 、 · · · 、 Ban = 0 , 即 a1 、 a2 、 · · · 、 an ∈ N (B) , 故

A = [u1 0 · · · 0]m×n = u1 eT1 ∈ N (T )

因此

N (T ) = span{u ie

Tj ; (i = 1 , 2 , · · · , m− k , j = 1 , 2 , · · · , n)

}(3) 設 λi 為 B 的特徵值 , 對應的特徵向量為 vi , 則

Bvi = λi vi ; (i = 1 , 2 , · · · , m)令 A = vie

Tj ; ( i = 1 , · · · , m 、 j = 1 , · · · , n ) , 因

T (A) = BA = B vieTj = λivie

Tj = λiA ; (j = 1 , · · · , n)

故 λi ; ( i = 1 , · · · , m ) , 為 T 的特徵值 (重根 n 次) , 對應的特徵空間為

span {vieTj ; (j = 1 , · · · , n)}

yyd矩形


(2) 設 γ = {u1 , u2 , · · · , un−k} , 為 N (CT ) 的一組基底, 設

∀A =

⎡⎢⎢⎣

a1

a2...

am

⎤⎥⎥⎦ ∈ N (T ) , 故

T (A) = AC =

⎡⎢⎢⎣

a1

a2...

am

⎤⎥⎥⎦C =

⎡⎢⎢⎣

a1C

a2C...

amC

⎤⎥⎥⎦ = 0

則 a1C = 0 、 a2C = 0 、 · · · 、 amC = 0 , 即 aT1 、 aT2 、 · · · 、 aTm ∈ N (CT ) ,故

A =

⎡⎢⎢⎣uT10...

0

⎤⎥⎥⎦ = e1uT1 ∈ N (T )

則

N (T ) = span{eju

Ti ; (i = 1 , 2 , · · · , n− k , j = 1 , 2 , · · · , m)

}(3) 設 λi 為 C

T 的特徵值 , 對應的特徵向量為 vi , 則

vTi C = λi vTi ; (i = 1 , 2 , · · · , n)

令 A = ejvTi ; ( i = 1 , · · · , n 、 j = 1 , · · · , m ) , 因

T (A) = AC = ejvTi C = ej (λiv

Ti ) = λi ej v

Ti = λiA ; (j = 1 , · · · , m)

故 λi ; ( i = 1 , · · · , n ) , 為 T 的特徵值 (重根 m 次) , 對應的特徵空間為

span {ejvTi ; (j = 1 , · · · , m)}

5. 設線性變換 T : Mm×n(F) → Mm×n(F) , 為

T (Am×n) = Bm×mAm×nCn×n

請推導 T 的特徵值及對應的特徵向量。

yyd矩形


可解得線性獨立的特徵向量為

u2 =

⎡⎣ 110

⎤⎦ , u3 =

⎡⎣ 10−1

⎤⎦

故 Au2 = λ2u2 、 Au3 = λ3u3 , 令 X = u1eTi ; (i = 1 , 2 , 3) , 則

T (X) = AX = Au1eTi = λ1u1e

Ti = λ1X ; (i = 1 , 2 , 3)

故 T 的特徵值為 λ1 = 0 , 對應的特徵空間為

span {u1eT1 , u1eT2 , u1eT3 }

同理令 X = ujeTi ; (j = 2 , 3 ; i = 1 , 2 , 3) , 故

T (X) = AX = AujeTi = λjuje

Ti = λjX ; (j = 2 , 3 ; i = 1 , 2 , 3)

故 T 的特徵值為 λ2 = λ3 = 3 , 對應的特徵空間為

span {u2eT1 , u2eT2 , u2eT3 , u3eT1 , u3eT2 , u3eT3 }

8. If B =

[1 −1−4 4

]. Define a linear operator on the space M2×3(R) by

T (A) = BA ; ∀A ∈ M2×3(R)

(1) Evaluate the nullity of T and a basis for the range space of T .

(2) Evaluate the eigenvalues of T and the corresponding eigenspace.

《解》 �(1)

(a) 因 rank (B) = 1 , 且 y =

[1

1

]∈ N (B) , 令

{e1 =⎡⎣ 100

⎤⎦ , e2 =

⎡⎣ 010

⎤⎦ , e3 =

⎡⎣ 001

⎤⎦}

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第 4 章內積空間

4.1 概論

4.1.1 內積

1. 定義

定義4.1 : 設 V 是佈於體 F 的向量空間 , 若 ∀u 、 v ∈ V 使得有序對 , 都有一個純量 c ∈ F 對應 , 即 c = 。同時此種映射滿足下面公理時,則稱 為 V 中的內積。 ∗

(1)< cu1 + u2 , v >= c < u1 , v > + < u2 , v >

∀u1 , u2 , v ∈ V , c ∈ F

(2)= < v , u > , ∀u , v ∈ V 。

(3)若 u �= 0 , 則 > 0 ; ( ∀u ∈ V ) 。

Note : 常見的內積的定義 :

(1)若 u 、 v ∈ Fn ( F 為 C 或 R ) 時 , 一般內積定義成 †

= vTu = v∗u

∗內積的定義讀者可參考 Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel, Lawrence E. Spence, Linear Algebra,4th Edition, pp.330, ISBN 13: 978-1-292-02650-3 或 Kenneth Hoffman Ray Kunze, Linear Algebra,second Edition, pp.271, ISBN 978-986-280-081-2

†本內積的定義讀者可參考 Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel, Lawrence E. Spence, Linear Algebra,4th Edition, pp.330, ISBN 13: 978-1-292-02650-3 或 Kenneth Hoffman Ray Kunze, Linear Algebra,second Edition, pp.271, ISBN 978-986-280-081-2 。若 u 、 v ∈ Cn , 內積定義成 = u∗v , 會不滿足公理的第1項, 即

< cu1 + u2 , v > = (cu1 + u2)∗ v = cu∗1 v + u

∗2 v

= c < u1 , v > + < u2 , v >

�= c < u1 , v > + < u2 , v > ; (∀u , v ∈ Cn ; c ∈ C)

451

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456 喻超凡、喻超弘、喻婕叢書第 4 章內積空間

4.1.4 QR 分解 (QR - Decompositions or QR - Factorization)

定理4.9 : QR 分解 (QR - Decompositions or QR - Factorization) ∗ :

設 A ∈ Mm×n(F) ( 即 A 為 m× n 的矩陣 )

(1)若 m ≥ n , 則存在一個 m× n 行向量為一組正規化正交 ( orthonormalcolumns )的矩陣 Qm×n ,及一個 n× n 主對角線元素為非負 (nonnegative)的上三角矩陣 Rn×n (upper triangular matrix) , 使得

Am×n = Qm×nRn×n

(2)若 rank (A) = n (矩陣 A 行向量線性獨立), 則 A = QR 分解中的 Qm×n矩陣及 Rn×n 矩陣為唯一 ( 其中 Q 的行向量為 A 的行空間一組正規化正交基底 (orthonormal basis for CS (A)), 且矩陣 R 的主對角線元素為正值

(positive) 的上三角矩陣。†

(3)若 m = n 時 , 則 A = QR 分解中的 Q 矩陣為 unitary 矩陣。

(4)QR 分解亦可定義成‡ : 存在一個 m×m 的 unitary 矩陣 Qm×m , 及一個m× n 主對角線元素為非負 (nonnegative) 的上三角矩陣 Rm×n, 使得

Am×n = Qm×mRm×n

Note : 一般 QR分解的實際計算有很多方法 ,常用的方法有 (1) Gram-Schmidt

正交化法 (2) Householder 變換法 (3) Givens 旋轉 (Givens rotations) 變換

法等等 , 每一種方法都有其優點和缺點 , 詳細的計算的過程 , 讀者可參考

第 469 頁的例子。

∗本定理讀者可參考 Roger A. Horn, Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Second Edition, pp.89, ISBN978-0-521-83940-2. 或 Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel, Lawrence E. Spence, Linear Algebra, 4thEdition, pp.396, ISBN 13: 978-1-292-02650-3.

†讀者可參考 Steven J. Leon, Linear Algebra with Application, Eighth Edition, pp.263, ISBN 13:978-0-13-600929-0.

‡Any real or complex matrix A can be written in the form A = QR where Q is unitary (orthogonal)and R is upper triangular. Moreover, if A is nonsingular then the diagonal entries of R may be takento be positive, in which case the factorization is unique. 讀者可參考 Steven Roman ”Advanced LinearAlgebra”, pp. 427, Srping-Verlag New York, Inc.. ISBN 0-387-97837-2.

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4.1 概論喻超凡、喻超弘、喻婕叢書 457

定理4.10 : Normalized QR 分解 (Normalized QR - decompositions) ∗ :

設 A ∈ Mm×n(F) ( 即 A 為 m× n 的矩陣 ) , 且 rank (A) = k , 其中 k < n ,即 A 沒有行滿秩 (does not have full column rank) 。

(1)Unnormalized QR - decompositions : A = Q0R0

(a)Q0 為 m× n 行向量為一組正交 ( orthogonal columns ) 的矩陣 ( 具有 k個非零行向量, 及 n− k 個零行向量 ) , 且 Q0 的行向量生成 A 的行空間 , 即 CS (Q0) = CS (A) 。

(b)R0 為 n× n主對角線元素為 1 的非奇異上三角矩陣 (nonsingular uppertriangular matrix)

(2)Normalized QR - decompositions : A = QR

(a)Q 為 m× k 行向量為一組正規化正交 ( orthonormal columns ) 的矩陣 ,且 Q 的行向量為 A 的行空間一組正規化正交基底 (orthonormal basis

for CS (A)) 。

(b)R 為 k × n 為上三角矩陣 , 且 rank (R) = k.

∗本定理讀者可參考 Ben Noble, James W. Daniel, Applied Linear Algebra, Third Edition, pp.237ISBN-981-3026-05-7. 有關 unnormalized QR - decompositions 及 normalized QR - decompositions 的解題方法, 讀者可參考第 478 頁的題目。

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精選範例

1. Let’s consider the set of n × m matrices with all entries being real, denotedby Rn×m. Define < A , B >:= Tr(ATB), where Tr(·) stands for the trace of amatrix and AT means the transpose of A. Then, ( Rn×m, < ·, · > ) is an innerproduct space. 《中山電機乙》

《解》 � 設 A , B , C ∈ Rn×m 且 k ∈ R , 滿足

(1) < kA +B , C >= Tr{(k A+B)TC} = Tr(k ATC +BTC)

= kTr(ATC) + Tr(BTC) = k < A , C > + 

(2) < A , B >= Tr(ATB) = Tr(ATB) = Tr(ATB) = Tr(BTA) =

(3) < A , A >= Tr(ATA) ≥ 0

故 (Rn×m , < ·, · >) 為內積空間

2. Provide reasons for those of which who are not inner product on the given

vector spaces.

(1) < x , y >= xAy∗ on C2 where A =[1 0

0 −1

].

(2) < x , y >= xAy∗ on C2 where A =[

2 i

−i 1

].

(3) < A , B >= tr(A + B) on M2×2(R), where tr denotes the conventionaltrace operation tr(A) =

∑i

Aii. 《中山電機》

《解》 �(1) 因 A 的特徵值為 λ = −1 、 1 , 則 A 不為正定矩陣, 故

< x , y >= xAy∗

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《解》 � 設 Z 為隨機變數, c ∈ R

(a)

< cX + Z , Y > = E[(cX + Z) Y ] = E[cX Y + Z Y ]

= cE[XY ] + E[ZY ]

= c < X , Y > + < Z , Y >

(b) < X , Y >= E[XY ] = E[Y X ] = E[Y X] = < Y , X >

(c) X �= 0 , 則 < X , X >= E[X2] > 0

(d) 由 (a) 、 (b) 、 (c) 可知 < X , Y >= E[XY ] , 滿足 (1) 、 (2) 、 (3) 公設, 故

< X , Y >= E[XY ] 為內積運算。

9. 設 V 是佈於體 F 的內積空間 , 若 u 、 v 、 w ∈ V , c ∈ F , 試証(a) = c + 。

(b) ||cu || = |c| ||u|| 。

《解》 �(a) 由定義 < cu +w , v >= c + < w , v > 及 = < v , u >

知

 = < c v +w , u >

= c < v , u >+< w , u >

= c + 

(b) 因 ||cu ||2 =< cu , cu >= c c = |c|2 ||u ||2 , 故 ||cu|| = |c| ||u|| 。

10. Let Q be an orthogonal n× n matrix. Prove that 《中山電機》(a) ||Qx ||2 = ||x ||2, where x ∈ Rn×1.(b) ||Q||2 = 1.(c) If A ∈ Rn×n, then ||QA||2 = ||A||2.(d) ||QTQ||2 = ||QT ||2 ||Q||2.(e) If A ∈ Rn×n and B = QTAQ, then ||B||2 = ||A||2.(f) det (Q) = ±1.

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因此

u2 =

[0

1

]− 1

2

[1

0

]=

⎡⎣ −12

1

⎤⎦

且

< u2 , u2 >= [−12

1]

[2 1

1 2

]⎡⎣ −121

⎤⎦ = 3

2

因此 v1 = u1 、 v2 =1

2u1 + u2 , 則

I2 = [v1 v2] = [u11

2u1 + u2]

= [u1||u1||

u2||u2|| ]

⎡⎣ ||u1|| 12 ||u1||

0 ||u2||

⎤⎦

=

⎡⎢⎢⎢⎣

1√2

−√

1

6

0

√2

3

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣

√2

1

2

√2

0

√3

2

⎤⎥⎥⎦ = QR

(A) False ; columns 才對。若內積的定義 HA(x , y) = yTAx , 中的 A 矩陣為單

位矩陣 I 時, 列向量就為一組 orthonormal basis for V 。

(B) True ;

(C) False ; tr(RTR) = 2 +1

2+

3

2= 4

(D) False ; [√2 0 ]

[2 1

1 2

][√2

0

]= 4

[1

2

√2

√3

2]

[2 1

1 2

]⎡⎢⎢⎣1

2

√2√3

2

⎤⎥⎥⎦ = 4 +√3

第2行的 norm 比較第1行大

YYD矩形

其中 λ1 =< v3 , u1 >

< u1 , u1 >=

9

4、 λ2 =

< v3 , u2 >

< u2 , u2 >= −1, 故

u3 = v3 − λ1u1 − λ2u2 =

⎡⎢⎢⎣

0

3

3

−3

⎤⎥⎥⎦− 94

⎡⎢⎢⎣

1

1

1

−1

⎤⎥⎥⎦+ (14

⎡⎢⎢⎣

9

−3−33

⎤⎥⎥⎦) =

⎡⎢⎢⎣0

0

0

0

⎤⎥⎥⎦

再令

u4 = v4 − λ3u1 − λ4u2其中 λ3 =

< v4 , u1 >

< u1 , u1 >= 1 、 λ4 =

< v4 , u2 >

< u2 , u2 >= 0 , 故

u4 = v4 − λ3u1 =

⎡⎢⎢⎣1

2

2

1

⎤⎥⎥⎦−

⎡⎢⎢⎣

1

1

1

−1

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣0

1

1

2

⎤⎥⎥⎦

且 ||u4|| =√6, 因⎧⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

u1 = v1

u2 = v2 +1

4u1

u3 = v3 − 94u1 + u2

u4 = v4 − u1

⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

v1 = u1

v2 = −14u1 + u2

v3 =9

4u1 − u2 + u3

v4 = u1 + u4

(1) Unnormalized QR - decompositions : A = Q0R0

A = [v1 v2 v3 v4] = [u1 u2 u3 u4]

⎡⎢⎢⎣1 −1/4 9/4 10 1 −1 00 0 1 0

0 0 0 1

⎤⎥⎥⎦ = Q0R0

其中

Q0 = [u1 u2 u3 u4] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

19

40 0

1 −34

0 1

1 −34

0 1

−1 34

0 2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

, R0 =

⎡⎢⎢⎣1 −1/4 9/4 10 1 −1 00 0 1 0

0 0 0 1

⎤⎥⎥⎦

(2) Normalized QR - decompositions : A = QR

A = [v1 v2 v3 v4]

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4.2 正交投影與最小二乘方喻超凡、喻超弘、喻婕叢書 503

若令 ∀v ∈ V 則有

v = c1u1 + c2u2 + · · ·+ crur + cr+1ur+1 + cr+2ur+2 + · · ·+ cnun= w 1 +w 2

其中

w 1 = c1u1 + c2u2 + · · ·+ crur , w2 = cr+1ur+1 + cr+2ur+2 + · · ·+ cnun

故 w 1 ∈ W 、 w2 ∈ W⊥ , 即 V = W + W⊥ , 又令 w ∈ W ∩ W⊥ , 則有< w , w >= 0 即 w = 0 , 因此 W ∩ W⊥ = {0} , 由 V = W + W⊥ 及W ∩W⊥ = {0} 二條件可知 V = W ⊕W⊥ 。

3. 設 W 是內積空間 V 的子空間 , 試証 W ⊂ (W⊥)⊥ , 若當 V 是有限維度時 ,W = (W⊥)⊥ 。

《解》 � 設 ∀w ∈ W 且 ∀v ∈ W⊥ 由定義可知

< v , w >=< w , v >= 0

即 w ∈ (W⊥)⊥ 則 W ⊂ (W⊥)⊥

若 V 為有限維度時 , 由定理可知 V = W ⊕W⊥ 且 V = W⊥ ⊕ (W⊥)⊥ , 故

dim(V ) = dim(W ) + dim(W⊥) , dim(V ) = dim(W⊥) + dim((W⊥)⊥) (1)

由 (1) 式可知 dim(W ) = dim((W⊥)⊥) , 又因 W ⊂ (W⊥)⊥ 故 W = (W⊥)⊥

4. 設 A ∈ Mm×n(F) 令 W = N (A) 則 W⊥ = R (A∗) 。

《証》 � 令 ∀w 1 ∈ W = N (A) , 則 Aw1 = 0 , 且令 ∀w 2 ∈ R (A∗) , 則 w 2 = A∗y ,∀y ∈ Fm , 又

< w 1 , w2 >= w∗2w 1 = (A

∗y)∗w 1 = y∗Aw 1 = 0

故 R (A∗) = W⊥

yyd矩形

《証》 � 由投影定理可知 u = w1 +w 2 , w 1 ∈ W 且 w2 ∈ W⊥ , 令

ProjWu = w1 =

m∑i=1

ci e i

即

u = w 1 +w2 =m∑i=1

ci e i +w 2

對上式取 ej 的內積可得

=m∑i=1

ci < e i , ej > + < w2 , ej >= cj < ej , ej >

故 cj =

< ej , ej >, 則

ProjWu =

m∑i=1

ci e i =m∑i=1



< e i , e i >e i

11. 設 W 為內積空間 V 的一個有限維子空間 , 若 u ∈ V 則 ProjWu 為 u 在 W

空間中最佳近似的向量 , 即

||u − ProjWu || < ||u −w || ; (∀w ∈ W , w �= Proj

Wu)

W

W⊥

u

ProjWu

w

u −w

ProjWu −w

u − ProjWu

《証》 � 由畢氏定理可知

||u − ProjWu ||2 + ||Proj

Wu −w ||2 = ||u −w ||2

故 ||u − ProjWu ||2 < ||u −w ||2 ; (w �= Proj

Wu) , 即 ||u − Proj

Wu || < ||u −w ||

yyd矩形

《解》 �(1) 設 g(−x) = −g(x) , 即 g(x) 為奇函數, 因

< g(x) , f(x) >=

∫ 1−1

f(x)g(x) dx = 0

故

W⊥ = {g(x) | g(−x) = −g(x) , ∀ g ∈ C[−1 , 1]}

(2) 線性變換 T 的幾何意義, 為向量空間 C[−1 , 1] 中的函數 f(x) , 正交投影到子空間 W 上的變換

W

W⊥

f

T (f) = f(x)+f(−x)2

f(x)−f(−x)2

令 f(x) ∈ W , 即 f(−x) = f(x) , 則

T (f(x)) =f(x) + f(−x)

2=

f(x) + f(x)

2= f(x)

故 λ = 1 為 T 的特徵值, 對應的特徵空間為 W , 同理, 令 g(x) ∈ W⊥ , 即g(−x) = −g(x) , 則

T (g(x)) =g(x) + g(−x)

2=

g(x)− g(x)2

= 0 = 0 · g(x)

故 λ = 0 為 T 的特徵值, 對應的特徵空間為 W⊥ 。

(3) 函數 f(x) 到 W 的距離, 為 f(x) 投影到 W⊥ 的向量的長度 (norm) , 即為

||ProjW⊥ f(x)|| = ||x3 + x|| =√∫ 1

−1(x3 + x)2 dx

=

√2

∫ 10

(x6 + 2x4 + x2) dx =

√184

105

yyd矩形

32. 設 {u1 , u2} 為 Rn (n ≥ 2) 中的一組正規化正交集合 (orthonormal set) ,即 ||u1|| = ||u2|| = 1 , 且 < u1 , u2 >= uT2 u1 = 0 , 令 W⊥ = span {u1 , u2} ,且矩陣 U = [u1 u2] 及

Hn×n = In×n − UUT

其中 In×n 為 n× n 的單位矩陣 , 求矩陣 H 對應的特徵值及特徵空間。

《解》 � 因 W⊥ = span {u1 , u2} , 令 W 一組正規化正交基底為

{v1 , v2 , · · · , vn−2}

則 W = span {v1 , v2 , · · · , vn−2} , 且

< vj , u1 >= uT1 vj = 0 , < vj , u2 >= u

T2 vj = 0 , (j = 1 , 2 · · · , n− 2)

且

H = I − UUT = I − [u1 u2][uT1uT2

]= I − (u1uT1 + u2uT2 )

故

Hv1 =[I − (u1uT1 + u2uT2 )

]v1

= v1 − (u1uT1 v1 + u2uT2 v1) = v1

故 λ = 1 (重根 n− 2 次) 為矩陣 H 的特徵值, 對應的特徵空間為 W 。又

Hu1 =[I − (u1uT1 + u2uT2 )

]u1

= u1 −[u1(u

T1 u1) + u2(u

T2 u1)

]= u1 − u1 = 0 = 0 · u1

故 λ = 0 (重根 2 次) 為矩陣 H 的特徵值, 對應的特徵空間為 W⊥ 。

結論 : {u1 , u2} 為 Rn (n ≥ 2) 中的一組正規化正交集合 (orthonormal set) ,令 W⊥ = span {u1 u2} , 再令矩陣 U = [u1 u2] , 則

Hn×n = I − UUT = I − (u1uT1 + u2uT2 )

為 Rn 映到 W 的正交投影矩陣 (如下圖) 。

yyd矩形

yyd矩形


定理4.28 : 設 T 為有限維度內積空間 V 上的線性運算子 , 若 T 為么正 (正交)運算

子時 , 則 V 中存在一組 T 的正規化正交特徵向量基底 , 使其對應的特徵

值的絕對值為 1 。

Note: 常見的各種運算子, 其特徵值在複數平面上的示意圖

Skew-Hermitian Matrix

Unitary Matrix or Orthogonal MatrixHermitian Matrix

1

Complex Plane

real axis

imaginary axis

定理4.29 : 設 A ∈ Mn×n(C) 或 Mn×n(R) , 當 A 為么正 (正規) 方陣時 , 若且唯若存在一個么正 (正交) 方陣 Q 及對角矩陣 D , 使得 D = Q−1AQ = Q∗AQ

YYD矩形

故 A 為正定矩陣。

2. Consider an m× n real matrix A with linearly independent columns(rank (A) = n), and m > n. Show that

(a) ATA is positive definite.

(b) AAT is positive semi-definite.

《解》 �(a) 因 A 為行獨立的矩陣, 即 rank (Am×n) = n , 故 nullity (A) = 0 ,則 N (A) = {0} , 即 x �= 0 時 Ax �= 0 , 故

||Ax ||2 =< Ax , Ax >= (Ax )T (Ax ) = xTATAx > 0 ; (∀x �= 0)即 ATA 為正定矩陣。

(b) 因 rank (ATn×m) = rank (A) = n < m , 故 nullity (AT ) = m− n > 0 ,

即 N (AT ) �= {0} , 因此||ATx ||2 =< ATx , ATx >= (ATx )T (ATx ) = xTAATx ≥ 0 ; ∀x ∈ Rm

故 AAT 為半正定矩陣。

3. Given a matrix C satisfying vTCv ≥ 0 for vector v in Rn, answer true or falseto the following statements.

(a) C = CT

(b) C = C−1

(c) vTCCTv ≥ 0(d) The eigenvalues of C are nonnegative.

(e) The column of C form a basis for a nonzero subspace of Rn. 《台大電機C》

《解》 �(a) False ; 半正定的二次式 vTCv ≥ 0 , 矩陣 C 不一定為對稱矩陣, 例如

C =

[2 4

0 2

], v =

[v1

v2

]∈ R2

YYD矩形

628 喻超凡、喻超弘、喻婕叢書第 A 章廣義反矩陣(pseudoinverse)

由 det(A∗A− λI) = 0 , 可得其特徵值為 25 、 0 , 且 λ = 25 對應的特徵向量為

v1 =1√5

[2

−1

]

λ = 0 對應的特徵向量為

v2 =1√5

[1

2

]

故令

V = [v1 v2] =

⎡⎢⎣

2√5

1√5

− 1√5

2√5

⎤⎥⎦

且 A 的奇異值為 σ1 =√25 = 5, 同時

u1 =1

σ1Av1 =

1

5

⎡⎣ 4 −22 −10 0

⎤⎦ 1√

5

[2

−1

]=

1√5

⎡⎣ 210

⎤⎦

再由

A∗u =[

4 2 0

−2 −1 0

]u =

[0

0

]

可得

u2 =1√5

⎡⎣ 1−2

0

⎤⎦ , u3 =

⎡⎣ 001

⎤⎦

故令

U = [u1 u2 u3] =

⎡⎢⎢⎢⎣

2√5

1√5

0

1√5

− 2√5

0

0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎦ 且 Σ =

⎡⎣ 5 00 00 0

⎤⎦

因此 A = UΣV ∗ 。

YYD矩形

第 F 章嚴選是非題題庫喻超凡、喻超弘、喻婕叢書 689

(g) True ; det(A100) = {det(A)}100 > 0 。

(h) False ; 設 λ 為 A 之特徵值, 則 λ2 + 9λ 為 A2 + 9A 之特徵值, 已知 λ �= 0,故當 λ = −9 時, A2 + 9A 不可逆。

(i) True ;

(j) False ; det(A2 + 4A) = det(A + 4I) det(A), 設 A 之特徵值為 λ, 若 λ �= −4(已知 λ �= 0), 則 det(A2 + 4A) �= 0 。

(k) False ; 不一定。

(l) False ; 因 A 未必可對角化。

(m) True ;

(n) True ; 轉換矩陣均為非奇異矩陣。

(o) False ; 非奇異矩陣沒有 0 的特徵值。

7. Pick up true statement(s) ?

(1) If an n× n matrix has n distinct eigenvalues, it can be diagonalized.(2) If the 5 × 5 matrix A has three distinct eigenvalues, then A cannot be

similar to a diagonal matrix.

(3) If A is similar to the matrix

⎡⎣ 1 2 50 2 40 0 3

⎤⎦, then its eigenvalues are 1, 2 and

3.

(4) If the 3 × 3 matrix A has two distinct eigenvalues, then A has at most twolinearly independent eigenvectors.

(a) (3) only (b) (1) and (2) only (c) (1) and (3) only

(d) (1) only (e) (1), (2), and (4) 《92中正電機》

《解》 �(1) True ; 相異的特徵值對應到線性獨立的特徵向量。

(2) False ; 不一定。

(3) True ; 相似矩陣具相同的特徵值。

superyu矩形


18. Label the following statements as being true or false.

(a) Let R be the reduced row echelon form of A. Then there is a unique

invertible matrix P such that PA = R.

(b) Let {v1 , v2 , v3 , v4} be a linearly independent subset of R4 and letT : R4 → P2 be linear. Then {T (v1) , T (v2) , T (v3) , T (v4)} cannot belinearly independent.

(c) If λ is an eigenvalue of an orthogonal matrix, then |λ| = 1.(d) Let R1 and R2 be row echelon form of A1 and A2 respectively. Then

R1 +R2 is an row echelon form of A1 + A2.

(e) Let S be a nonempty subset of Rn. Then S = (S⊥)⊥.(f) If λ is an eigenvalue of A, then λk is an eigenvalue of Ak for any positive

integer k.

(g) Let A be a n × n matrix such that Ak = In for some positive integer k,them A is invertible.

(h) If an n× n matrix has n distinct eigenvector , then it is diagonalizable.(i) The range of a linear transformation needs not be a subspace.

(j) If A is an n × n skew-symmetric matrix, and n is an odd integer, themdet(A) = 0. 《94台大電機 C》

《解》 �(a) False ; R 為唯一, 但 P 不一定唯一 , 若 A 為列滿秩時 , 則 P 為唯一。

(b) True ; 因 dim (P2) = 3, 故 4 個元素的向量集合

{T (v1) , T (v2) , T (v3) , T (v4)} 一定不會線性獨立。

(c) True ; 正交矩陣的性質。

(d) False ; R1 and R2 be row echelon form of A1 and A2 respectively, R1 + R2

亦為 row echelon form 但不一定是 A1 + A2 的 row echelon form 矩陣。

(e) False ; S 為 Rn 的子集合 (subset), 則 span {S} = (S⊥)⊥ 。

(f) True ; 設 λ 為 A 的特徵值, 且對應的特徵向量為 x , 則

Ax = λx , A2x = AAx = Aλx = λ2x , · · · , Akx = λkx

YYD矩形

704 喻超凡、喻超弘、喻婕叢書第 F 章嚴選是非題題庫

《解》 �(a) True ; 2維空間中, 3個向量必線性相依。

(b) False ; 因

∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 2 0

1 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 0, 故 {(1 , 0 , 0) , (0 , 2 , 0) , (1 , 2 , 0)} 為線性相依,因此不能生成 R3 。

(c) True ; 因 (a , b , 2a− 3b) = a (1 , 0 , 2) + b (0 , 1 , −3) 。

(d) False ; 還須線性獨立。

24. Prove or disprove the following statements :

(1) Let S be the subspace of R2 spanned by e1 and let T be the subspace of

R2 spanned by e2. Then S ∪ T is a subspace of R2.(2) If A is one R2 matrices. det(A−1) = {det(A)}−1.(3) If A and B are two R2 matrices. (A+B)−1 = A−1 +B−1.(4) Similar matrices have the same eigenvalues and eigenvectors.

(5) If AT = A−1, then det(A) = 1.(6) If A is an n× n orthogonal matrix, then rank (A) < n.(7) Two vectors in R3 always span a two-dimensional subspace.

(8) Let V be an n-dimensional vector space. If a set of m vectors spans V ,

then m = n.

(9) Consider Ax = b where A is m× n. If the rank of matrix A is n, there isa solution.

(10) Consider Ax = b where A is m× n. If rank (A) = min(m, n), then thereexists a least square solution given by x = (ATA)−1ATb.

《94北科大自控》

《解》 �(a) False ; 因

S = span {e1} = {(x , 0) | ∀x ∈ R}T = span {e2} = {(0 , y) | ∀y ∈ R}

但 u1 = (1 , 0) ∈ S ∪ T 、 u2 = (0 , 1) ∈ S ∪ T , u1 + u2 = (1 , 1) �∈ S ∪ T , 故S ∪ T 不為 R2 的子空間。

superyu矩形

29. Which of the following is incorrect ?

(a) Any n+ 1 different nonzero points in Rn must be linearly dependent.

(b) In R2 any two linearly dependent vectors must be on a straight line.

(c) Let A be an m × n matrix with m > n and b be an m × 1 vector. ThenAx = b may have multiple solutions.

(d) Let A be an m × n matrix with m < n and b be an m × 1 vector. ThenAx = b must have at least one solution.

(e) Let A be any 5 × 4 matrix, and I be the 5 × 5 identity matrix. ThenI + AAT is invertible. 《94台大資工》

《解》 �(a) True ; 定理。

(b) True ; 設 x 1 、 x 2 ∈ R2 , 因 x 1 、 x 2 為線性相依, 故 x 1 = αx 2, 其中 α ∈ R,且 α �= 0, 即 x 1 ‖ x 2, 故 x 1 、 x 2 在同一條直線上。

(c) True ;

(d) False ; 可能無解。

(e) True ;因 AAT 為半正定矩陣,設 λ為 AAT 的特徵值 ,則 λ ≥ 0,故 I+AAT的特徵值為 1 + λ > 0, 則 det(I + AAT ) �= 0, 因此 I + AAT 為可逆。

選 (c) 、 (d)

30. Which of the following is incorrect ?

(a) If A, B are invertible, then (AB)−1 exists and (AB)−1 = B−1A−1.(b) trace{(A+B)C} = trace(AC) + trace(BC).(c) det(AB) = det(A) det(B).

(d) trace(AB) = trace(A) trace(B).

(e) If A, B are positive definite, then so is (A +B). 《94台大資工》

《解》 �

superyu矩形


同理可得 aii > 0, ∀i

(2) 設 λi (i = 1 , 2 , · · · , n) 為 A 的特徵值, 因 A 為正定, 則 λi > 0, 故

det(A) = λ1 · λ2 · · ·λn > 0

因此 A 為可逆。

(4) 令 y = [ 0 · · · 0 xi 0 · · · 0 xj 0 · · · 0 ]T , 故

Q(y) = yTAy = aiix2i + ajjx

2j + 2aijxixj = x

TBx > 0

其中

x =

[xi

xj

], B =

[aii aij

aij ajj

]故 B 為正定矩陣, 則

det(B) = aii ajj − a2ij > 0

(3) 由 (4) 可知 aii ajj > a2ij , 再由算幾不等式可知

aii + ajj2

≥ √aii ajj >√

a2ij = |aij | ≥ aij

即

aii + ajj > 2aij ⇒ aii + ajj − 2aij > 0選 (5)

32. Given any vectors x 1, · · ·, x i ∈ Rn. Define an �×� matrix A with Aij = xTi x j,i, j = 1 , · · · , �. Which of the following is incorrect ?(a) A is symmetric.

(b) A is positive semi-definite ( i.e., A’s eigenvalues are ≥ 0 )(c) A is invertible.

(d) A’s diagonal elements are nonnegative.

(e) A is a square matrix. 《94台大資工》

《解》 � 令 U = [x 1 x 2 · · · x �], 故 A = UTU , 則 Aij = xTi x j

(a) True ; 因 AT = (UTU)T = UTU = A, 故 A 為對稱矩陣。

superyu矩形


(1) True ; 因 y = T (x ) = Ax + b , 故

x = T−1(y) = A−1(y − b) = A−1y −A−1b

(2) True ; 令直線 L 為 x = x 0 + tv, 其中 x 0 為直線通過的點, v 為直線平行的

向量, 故

y = T (x ) = Ax + b = A(x 0 + tv) + b = y0 + tu

其中 y0 = Ax 0 + b 、 u = Av, 故仍為直線。

(3) True

(4) True ; 設 L1 、 L2 為兩平行線, 且平行向量 v, 由 (2) 可知轉換後兩直線均平

行向量 u = Av, 故轉換後仍為平行線。

(5) False

49. Label the following statements as being true or false. Erroneous answer would

be penalized with one point (-1)

(1) If (A|B) can be obtained from (C|D) by a finite sequence of elementarycolumn operations, then the systems AX = B and CX = D are equivalent.

(2) Any matrix can be put in row echelon form by means of a finite sequence

of elementary row operations.

(3) If A is an n× n matrix with rank n, then the row echelon form of A is In.(4) If (A|B) is in row echelon form, the the system AX = B must have a

solution.

(5) If a matrix P is transformed by elementary row operations into a matrix

Q in row echelon form, then the number of nonzero row in Q is equal to

the rank of P . 《97中正電機》

《解》 � (1) False, 列運算才保 AX = B 的解。

(2) True 。

(3) False, 最簡列梯矩陣才為 In 。

(4) False, AX = B 與 (A|B) 為列梯矩陣無關。

YYD矩形

yyd矩形


60. True and False : Suppose there are three n × n matrices A, B, and C. Showwhether the following statements are true or false.

(1) If AC = BC, then A = B.

(2) If A2 = A, then A =

⎡⎢⎢⎣1 0 0 0

0 1 0 0

0 0. . . 0

0 0 0 1

⎤⎥⎥⎦ or

⎡⎢⎢⎣0 0 0 0

0 0 0 0

0 0. . . 0

0 0 0 0

⎤⎥⎥⎦

(3) If both A and B are non-singular matrices, then A+B is also non-singular.

(4) If both A and B are non-singular matrices, then AB is also non-singular.

(5) If AB is an invertible matrix, then both A and B are invertible.

《98北科大電通甲》

《解》 � (1) False ; 如 A =

[1 0

1 0

]、 B =

[1 2

1 2

]、 C =

[1 2

0 0

], 則 AC = BC ,

但 A �= B , 若 C 為可逆矩陣 , 則命題成立。

(2) False ; 取 A =

[Ir 0

0 0n−r

], 則 A2 = A 。

(3) False ; 如 A = I 、 B = −I , 則 A+B = 0 為 singular 。

(4) True ; (AB)−1 = B−1A−1

(5) True ; det(AB) = det(A) det(B) �= 0, 故 det(A) �= 0 且 det(B) �= 0 。

61. Suppose all vectors are in Rn with the standard inner product space. Which

of the following statements is false ?

(a) The set of all vectors in Rn orthogonal to one fixed vector is a subspace of

Rn.

(b) If W is a subspace of Rn, then W and W⊥ have no vectors in common.(c) If {v1 , v2 , v3} is an orthogonal set and if c1, c2, c3 are scalars,

then {c1v1 , c2v2 , c3v3} is an orthogonal set.(d) If a square matrix has orthonormal columns, then it also has orthonormal

rows.

(e) If W is a subspace, then ||ProjWv||2 + ||v − Proj

Wv||2 = ||v||2. 《中正電機》

superyu矩形

《解》 �(A) False ;

(B) False ; {v1 , v2 , · · · , vn} 要 orthonormal basis 才可以。

(C) True ;

(D) True ;

(E) True ; 若 n 個向量不是線性獨立 , 正交化後會得到 0 向量 , 因 0 向量與任

何向量都正交 , 故任意 n 個向量 , 經由 Gram-Schmidt 正交化後 , 可得到 n

個正交的向量。

99. Which of the following statements are true?

(A) Let u1 , · · · , uk, k < n, be linearly independent unit vectors in Rn andU = [u1 · · · uk ] ∈ Rn×k. Then, In − UUT is a projection matrix thatprojects a vector onto the column space of U , where In is an identity matrix

of size n× n

(B) Let A ∈ Rn×k, k < n and rank (A) = k. Then A(ATA)−1AT is theprojection matrix that projects a vector onto the column space of A.

(C) Let A ∈ Rn×k, n < k and rank (A) = n. Then x = AT (AAT )−1Ab is thesolution of Ax = b having minimum Euclidean norm.

(D) All the orthogonal matrices of R2×2 can be expressed either in the form of[cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)

]or

[cos(θ) sin(θ)

sin(θ) − cos(θ)

]

(E) None of the above are true 《102台聯 C》

《解》 �(A) False ; 投影到 CS (U) 的投影矩陣為 U(UTU)−1UT 。

(B) True ; 定理。

(C) True ; 定理。

(D) True ; 定義。

superyu矩形


《解》 �(A) T ; 正交投影矩陣必為對稱矩陣。

(B) F ; 不在 W 空間中的向量 , 投影二次不會等於原來的向量 , 故 P 2 = I 不成

立。

(C) F ; 不一定。

(D) T ; 定理。

(E) F ; 投影矩陣 P 一定不可逆。

119. A is an m by n matrix and Q = [ q1 · · · qn ], suppose Q has orthonormalcolumns, i.e. q i(i = 1 n) are orthonormal vectors, and A = QR, which of the

following statements are true?

(A) QT = Q−1.(B) The orthogonal projection matrix onto C(Q) is Identity Matrix.

(C) qTi q j = 0 if i �= j.(D) det(QTQ) = 1

(E) If m = n, det(A) = det(R). 《104台聯大 C》

《解》 �(A) F ; 若 m = n , 則 QT = Q−1 。

(B) F ; 要 m = n 才成立 , 例

Q =

⎡⎣ 1 00 −10 0

⎤⎦

C(Q) 的正交投影矩陣為

P = Q(QTQ)−1QT =

⎡⎣ 1 0 00 1 00 0 0

⎤⎦

(C) T ; Q 的行向量為一組正規化正交集合。

(D) T ; det(QTQ) = det(I) = 1 。

YYD矩形


121. Suppose that y1(x) , · · · , yn(x) are n− 1 times differentiable functions over(−∞ , ∞) and W (x) denotes the Wronskian of y1(x) , · · · , yn(x) at x. Whichof the following statements are true ?

(A) W (x) vanished at every x if y1(x) , · · · , yn(x) are linearly dependent.(B) If y1(x) , · · · , yn(x) are linearly independent, then there is x such that

W (x) �= 0.(C) If y1(x) , · · · , yn(x) are linearly independent, then W (x) �= 0 for all x.(D) If y1(x) , · · · , yn(x) are also solutions of an nth-order linear homogeneous

ordinary differential equation with constant coefficients. Then either

W (x) �= 0 for all x or W (x) = 0 for all x.(E) None of the above statements are true. 《104台聯大 C》

《解》 �(A) T ; 定理 (B) F ; ∃x ∈ R , 使得 W (x) �= 0 , 則線性獨立, 逆定不恆真 ;

(C) F ; (D) T ; 定理

122. For each of the following statements, if your think the statement is correct,

then give a proof to prove that the statement is correct, otherwise give a

counterexample to show that the statement is incorrect

(1) n×n matrix A has n distinct eigenvalues if and only if A is diagonalizable.(2) Assume the matrix inverse exist, (A−1 +B−1)−1 = A(A+B)−1B.(3) If any three vectors v1, v2, v3 in R

n are linearly independent, then the

vectors w 1 = v1 + v2, w 2 = v1 + v3, w3 = v2 + v3 are also linear

independent.

(4) If A and B are two n× n matrices, (AB)T = ATBT .(5) A =

[1 1

1 1

], B =

[1 0

0 1

], C =

[1 1

0 0

]are linear independent.

《104北科大自動甲》

《解》 �

superyu矩形


126. Please pick the statements below that are true. 《106台大電機 C》

(a) The rank of the coefficient matrix of a consistent system of linear equations

is equation the number of basic variables in the general solution of the

system.

(b) The matrix-vector product of an m × n matrix A and a vector in Rn is alinear combination of the columns of A.

(c) A subset of Rn containing fewer than n vectors must be linearly indepen-

dent.

(d) If S1 and S2 are finite subsets of Rn having equal spans , then S1 and S2

contain the same number of vectors.

(e) If the columns of an n × n matrix A for a generating set of Rn, then thereduced row echelon form of A is In

《解》 � (a) True ; basic variables為方程式中可以解的變數,方程式其他的變數稱為

free variable,故 basic variables的數目為方程式係數矩陣的 rank , free variable

的數目為方程式係數矩陣的 nullity 。

(b) True ; 定義。

(c) False ; 不一定。

(d) False ;不一定。例如 S1 = { #—i , 2 #—i } 、 S2 = {3 #—i } ,故 span (S1) = span (S2),但 S1 、 S2 內的向量的數目不一樣。

(e) True ; n× n 矩陣 A , CS (A) = Rn , 故 rank (A) = n , 則 A 為可逆 , 故 A的 reduced row echelon form 為 In 。

127. Please pick the statements below that are true 《106台大電機 C》

(a) If A and B are m× n matrices and C is an n× p matrix , then(A+B)C = AC +BC.

(b) For any matrices A and B, if A is the inverse of BT , then A is the transpose

of B−1.(c) An n×n matrix is invertible if and only if its rows are linearly independent.(d) The codomain of any function is contained in its range.

(e) If f : Rn → Rm and g : Rn → Rm are functions such that f(e i) = g(e i)for every standard vector e i, then f(v) = g(v) for every v in R

n.

YYD矩形


130. Which of the following statements are correct? 《106台大電機 C》

(a) If λ is an eigenvalue of an n× n matrix A, then for any v ∈ Rn, Av = λv.(b) If there exists some v ∈ Rn such that Av = λv, then λ is an eigenvalue of

A.

(c) If two matrices have the same characteristic polynomial, then they have

the same eigenvalues.

(d) A diagonal matrix is always diagonalizable.

(e) Let A and P be n×n matrices. If the columns of P form a set of n linearlyindependent eigenvectors of A, then P−1AP is a diagonal matrix.

《解》 � (a) False ; 特徵向量 v , 才滿足 Av = λv 。

(b) False ; 必須 v �= 0 。

(c) True ; 定義。

(d) True ; 設 D 為 diagonal matrix , 故 D = I−1DI 。

(e) True ; 性質。

131. For matrices A, B, C, D, which of the following statements are true?

(A) AB �= BA(B) AB = 0 imlies that A = 0 or B = 0 or BA = 0.

(C) AC = AD implies C = D

(D) AI = IA, where I is identity matrix 《107台大電機 C》

《解》 � (A) False ; 有時候 AB = BA , 例如 A 、 I 均為 n×n的方陣 ,則 AI = IA

(B) False ; 不一定 , 例如 A = [1 − 1] 、 B =[1

1

], 則

AB = [1 − 1][1

1

]= 0

但 A �= 0 、 B �= 0 、 BA �= 0 。

superyu矩形


133. Which of the following are correct ?

(A) Below vector set S is dependent.

S =

⎛⎝

⎡⎣ 312

⎤⎦ ,

⎡⎣ 011

⎤⎦ ,

⎡⎣ 215

⎤⎦ ,

⎡⎣ 101

⎤⎦⎞⎠

(B) Invertible matrix must be square matrix.

(C) Square matrix must be invertible.

(D) The inverse of

[1 1

1 2

]is

[2 1

−1 1

](E) A n× n matrix is invertible if its columns span Rn. 《108台大電機 C》

《解》 �(A) True : R3 中4個向量元素的集合 , 必為線性相依。

(B) True : 請參考 Stephen H. Friedberg, Elementary Linear Algebra A Matrix

Approach, Second Edition, pp. 131, pp. 587, ISBN 0-13-158034-5.

(C) False : 滿秩的方陣才可逆。

(D) False :

[1 1

1 2

]−1=

[2 −1−1 1

]

(E) True : n× n 方陣的行空間為 Rn , 則方陣為滿秩 , 故可逆。

134. Which of the following are correct ? 《108台大電機 C》

(A) An eigenvalue of a matrix has infinite number of eigenvectors.

(B) If det(A− λI) = 0 , λ is the eigenvalue of n× n matrix A.(C) If λ is the eigenvalue of matrix A , the columns of (A−λIn) are independent.(D) If λ is the eigenvalue of matrix A , there exist a non-zero vector v such

that Av = λv.

(E) The number of the eigenvalue of n× n matrix A may larger than n.

《解》 � (A) True : 特徵值對應的特徵空間, 具有無窮多個特徵向量。

superyu矩形

(A) False ; 因 wzT ⊥ xyT , 故

< wzT , xyT > = Trace((wzT )T (xyT )) = Trace(zwT x yT )

= Trace(z (wT x yT )) = Trace(wT x yT z)

= Trace((wT x ) (yT z)) = (wT x ) (yT z)

= 0

可得 (wT x ) = 0 , 或 (yT z) = 0 , 即 w ⊥ x , 或 y ⊥ z 。

(B) True ; 令 Bij = u iuTj , 故 Bij ∈ β1 , 且

< Bij , Bmn > = Trace((u iuTj )

T (umuTn ))

= Trace((ujuTi )(umu

Tn ))

=

{1 ; i = m, j = n

0 ; 其他

且 β1 有 n2 個元素 , 故由 Steinitz 定理可知 , β1 為 R

n×n 的 orthonormalbasis

(C) False ; 令

Cij = u iuTi +

u iuTj + uju

Ti√

2

故 Cij ∈ β2 , 因

< C12 , C12 >

= Trace((u1uT1 +

u1uT2 + u2u

T1√

2)T (u1u

T1 +

u1uT2 + u2u

T1√

2))

= Trace((u1uT1 +

u2uT1 + u1u

T2√

2)(u1u

T1 +

u1uT2 + u2u

T1√

2))

= 2 �= 1

且 β2 有n(n− 1)

2個元素 ,故由 Steinitz定理可知 , β2 不為 S1 的 orthonor-

mal basis.

(D) True ; 令

Dij =u iu

Tj − ujuTi√

2

故 Dij ∈ β3 , 且

DTij = (u iu

Tj − ujuTi√

2)T =

u juTi − u iuTj√

2= −Dij

superyu矩形


(C) False ; 因 rank (A) = 2 , 故 nullity (A) = 3− rank (A) = 3− 2 = 1 。

(D) False ; 因 rank (A) = 2 , 故 rank (ATA) ≤ 2 , 則 (ATA) 不可對角化。

(E) True ; 因

A =

[1 2 3

4 5 6

] R(−4)12GGGGGGGGA

[1 2 3

0 −3 −6

] R(−1/3)2GGGGGGGGGGA

[1 2 3

0 1 2

]

R(−1)21

GGGGGGGGA

[1 1 1

0 1 2

]

列運算保列空間。

(F) False ; rank (A) = 2 , 故 rank (AAT ) = 2 , 則 det(AAT ) �= 0 。

(G) True ; 因 rank (A) = 2 , 故 b ∈ CS (A) , 則 p = b , 因此 p 與 b 之間的距離為 0 。

(H) False ; rank (CA) ≤ 2 。

143. Given the matrices M1 =

[1 0

0 0

], M2 =

[0 0

0 1

], M3 =

[0 1

1 0

]which of the following statements is/are true?

(A) M1, M2 and M3 are linearly independent over R in R2×2.

(B) The span of {M1 , M2 , M3} is the set of all (2× 2) real matrices.(C) The set of all Hermitian (2 × 2) complex-valued matrices is a subspace of

the span of {M1 , M2 , M3} over C.(D) Any linear combination of M1, M2 and M3 can be diagonalized over C.

(E) None of the above. 《106台聯 CD》

《解》 �

(A) True ; 令 A =

⎡⎣ 1 0 0 00 0 0 10 1 1 0

⎤⎦ , 因 rank (A) = 3 , 故 {M1 , M2 , M3} 為線

性獨立。

(B) False ; {M1 , M2 , M3} 為 (2× 2) 對稱矩陣的基底。

YYD矩形

YYD矩形


(D) False ; A 為 non-negative definite 。

157. Continued from the previous question, which of the following statements is/are

true?

(A) The real vector space R4 together with the bilinear function

Q : R4 ×R4 → R4 given by Q(x , y) = yTAx is an inner product space.(B) Let V be the vector space (over field C) consisting of all (4× 4) complex-

valued circulant matrices that are orthogonal to A with respect to the inner

product (C , D) = tr(D∗C) for C, D ∈ C4×4. Then the vector space Vhas dimension 3 over field C.

(C) Let b̂ the orthogonal projection of the vector b = [1 , 0 , 0 , −1]T on thecolumn space of A. Then ||b̂|| = 1.

(D) Continued from part (C), Ab = Ab̂.

(E) None of the above. 《107台聯大 C》

《解》 � (A) False ; A 要為正定矩陣才可以, 即若 x =

⎡⎢⎢⎣−11

−11

⎤⎥⎥⎦ ∈ N (A) , x �= 0 , 但

Q(x , x ) = xTAx = 0

(B) True ; 因 ∀C ∈ V 即 C 為 circulant matrices , 故令

C =

⎡⎢⎢⎣a b c d

d a b c

c d a b

b c d a

⎤⎥⎥⎦

且 (C , A) = tr(A∗C) = 0 , 故 dim (V ) = 3 。

(C) True ; 令 B =

⎡⎢⎢⎣

3 1 −11 3 1

−1 1 31 −1 1

⎤⎥⎥⎦ , 故 b̂ = B(BTB)−1BTb =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1

21

2

−12

−12

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

,

故 ||b̂|| = 1 。另解 (比較快) : 因 R (A)⊥ = N (AT ) , 且 A 為對稱矩陣 , 故x ∈ N (A) = N (AT ) , 則 b̂ = Proj

R(A)b = b − x (xT x )−1 xT b

YYD矩形


(D) True ; Ab̂ = A(b − x (xT x )−1 xT b) = Ab −Ax (xT x )−1 xT b = Ab

158. Let C be the cofactor matrix of the following matrix A =

⎡⎣ 1 4 72 3 92 2 8

⎤⎦

Which of the following statements is/are true?

(A) Every column vector of CT is in the right null space of A.

(B) The dimension of the null space of A is 2.

(C) If rank (A) = r, then there exists an (r × r) submatrix of A is invertible.(D) C is invertible. (E) None of the above. 《107台聯大 C》

《解》 �(A) True ; 因 det(A) = 0 , 且 A · adj(A) = |A| I , 故 A · adj(A) = A · CT = 0 。

(B) False ; 因 rank (A) = 2 , 故 nullity (A) = 3− rank (A) = 3− 2 = 1 。

(C) True ; 定義。

(D) False ; 因 A · CT = 0 , 故 CT 不可逆。

159. Let A and B be real-valued matrices. Which of the following statement is/are

true ?

(A) (AB)2 = A2B2. (B) If AB = B then A = In.

(C) A−1 can be asymmetric if A is symmetric.(D) If A and B are invertible, then A +B is invertible.

(E) None of the above is true. 《108台聯 C》

《解》 �(A) False : (AB)2 = (AB)(AB) = ABAB

(B) False : 令 A =

[1 0

1 0

]、 B =

[0 1

0 1

], 故

AB =

[1 0

1 0

] [0 1

0 1

]=

[0 1

0 1

]= B

YYD矩形

2020-11線代-704頁2020-11線代-708頁2020-11線代-710頁2020-11線代-726頁2020-11線代-735頁2020-11線代-762頁2020-11線代-777頁2020-11線代-779頁2020-11線代-786頁2020-11線代-796頁2020-11線代-813頁2020-11線代-814頁組合linearbk2020-215linearbk2020-216linearbk2020-221linearbk2020-222linearbk2020-237linearbk2020-239linearbk2020-240linearbk2020-253linearbk2020-280linearbk2020-286linearbk2020-291linearbk2020-302linearbk2020-304linearbk2020-307linearbk2020-340linearbk2020-342linearbk2020-357linearbk2020-369linearbk2020-370linearbk2020-375linearbk2020-377linearbk2020-384linearbk2020-390linearbk2020-412linearbk2020-414linearbk2020-418linearbk2020-451linearbk2020-456linearbk2020-457linearbk2020-458linearbk2020-463linearbk2020-479linearbk2020-486linearbk2020-497linearbk2020-503linearbk2020-509linearbk2020-516linearbk2020-537linearbk2020-568linearbk2020-589linearbk2020-592linearbk2020-612linearbk2020-726

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