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CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO INDUSTRIAL Y SERVICIOS NO. 50
CURSO
CÁLCULO INTEGRAL
PERIODO 2013-2
AUTOR
JULIO MELÉNDEZ PULIDO
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
2 Julio Meléndez Pulido
CONCEPTO FUNDAMENTAL:
1. INTEGRALES ELEMENTALES
CONCEPTO SUBSIDIARIO:
1.1 Antecedentes (diferenciales).
1.2 Integrales Inmediatas.
1.3 Integrales por Sustitución o cambio de variable.
1.4 Integración por partes.
CONCEPTO FUNDAMENTAL:
2. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS.
CONCEPTO SUBSIDIARIO:
2.1 Integrales de la forma: duuusen nm cos
2.2Integrales de la forma: duuctgoduutg nn
2.3 Integrales de la forma:
uduoduu nn
cscsec
2.4Integrales de la forma:
oduuutg nm sec
duuuctg nm
csc
2.5 Integrales de la forma:
2.6 Integrales de la forma:
,cos dxnxmxsen
dxnxsenmxsen
múltiplosángulos
porduuusen nm
cos
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3 Julio Meléndez Pulido
,coscos dxnxmx
Cuando m n
CONCEPTO FUNDAMENTAL:
3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ESPECIALES
CONCEPTO SUBSIDIARIO:
3.1 Integración por sustitución trigonométrica.
3.2 Integrales definidas.
3.3 Área bajo la curva.
3.4 Área entre curvas.
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CONCEPTO FUNDAMENTAL:
1. INTEGRALES ELEMENTALES
1.1 Antecedentes (diferenciales).
Definición del diferencial dy
Si y=f(x) es una función derivable en x y dx es el diferencial de x, del diferencial
dy que corresponde a la variable dependiente y se define como:
dy=f’(x)dx
Ejercicio 1: Determina la diferencial de la función y=4x2-5x+3
dy=f’(x)dx
1. Se procede a sacar la derivada de la función utilizando el software
GEOGEBRA:
Función a derivar:
Derivada de la función:
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2. Se realiza la derivada paso a paso:
3. Se aplica: dy=f’(x)dx
dy=(8x-5)dx = diferencial de la función
En los siguientes ejercicios determina la diferencial de la función (dy).
⁄
1. Se procede a sacar la derivada de la función utilizando el software
GEOGEBRA:
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6 Julio Meléndez Pulido
2. Se realiza la derivada paso a paso:
⁄
(
) ( ⁄⁄ )
⁄
⁄
3. Se aplica: dy=f’(x)dx
( ⁄ )
√
1. Se procede a sacar la derivada de la función utilizando el software
GEOGEBRA:
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2. Se realiza la derivada paso a paso:
√
⁄
⁄⁄
⁄
⁄
⁄
√
3. Se aplica: dy=f’(x)dx
√
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8 Julio Meléndez Pulido
⁄
1. Se procede a sacar la derivada de la función utilizando el software
GEOGEBRA:
2. Se realiza la derivada paso a paso:
⁄
(
) ( ⁄⁄ )
⁄
⁄
3. Se aplica: dy=f’(x)dx
⁄
⁄
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1.2 Integrales Inmediatas.
Las integrales inmediatas son aquellas donde se pueden aplicar las formulas
directamente sin necesidad de agregar literales nuevas, simplemente se tienen
que acomodar mediante cambios algebraicos para que la integral sea
efectuada mediante una fórmula directa.
Integrar: 5x
Para resolver esta integral podemos notar que no tenemos que hacer ningún
movimiento algebraico así que tenemos una integral directa donde podemos
aplicar la fórmula de
1
1
nnx
x
ndx c donde en este caso n=5
5 1
5 1
xc
6
6
xc
Resolver: 25my dy
Esta es una integral directa donde aparece una constante ósea todo numero o
letra que sea diferente a y ya que en este caso nuestra integral esta con respecto
a dy. Lo que tenemos que hacer es sacar la o las constantes de la integral y
procedemos a integrar con la misma fórmula del ejercicio anterior.
25m y dy
2 1
52 1
ym c
3
53
ym c
35
3my C
http://www.youtube.com/watch?v=Awc8XyIppPE&feature=relmfu
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Integrar: 2
dx
x
Como podemos observar esta integral no tiene formula que sea directa, ahora lo
que tenemos que hacer es un movimiento algebraico para poder encontrar una
fórmula que se le asemeje para poder resolverla de manera directo
2x dx Lo que hicimos aquí fue subir a 2x al numerador pero con exponente
negativo
Ahora ya podemos aplicar una formula directa
2 1
2 1
xc
1
1
xc
1c
x
Integrar: 3 z dz
Como podemos notar no hay fórmula para la integral de una raíz cubica, así que
lo que haremos es convertir la raíz en un exponente y así resolverla por medio de
la fórmula de la integral de un exponente.
1
3 z dz
13 1
11
3
zc
43
4
3
zc
433
4
zc
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3 43
4z c
Integrar: 3 2
dx
x
2
3
dx
x
2
3x dx
2 3
3 3
2 3
3 3
xC
1
3
1
3
xC
1
33x C 33 x C
Integrar: 1 x x dx
Para poder resolver esta integral no existe ninguna fórmula pero como podemos
notar es una multiplicación asi que podemos aplicar la propiedad distributiva
para poder resolverlo.
x x xdx
12.x x x dx
32x x dx
Ahora lo que tenemos que hacer es separar cada literal para integrarlas por
separado.
312 2x dx x dx
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12 Julio Meléndez Pulido
312 21 1
312 21 1
x xc
3 52 2
3 52 2
x xc
3 52 22 2
3 5
x xc
3 52 2
2 2
3 5x x c
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=2HO5WdjERTs
Integrar: 2
3 4s ds
Para resolver esta integral lo que hay que hacer primero el binomio al cuadrado
después separar los términos para resolver por separado
29 24 16s s ds
29 24 16s ds s ds ds
93
3
s24
2
2
s16s
3 23 12 16s s s C
Integrar: 3 2
2
5 4x xdx
x
Para resolver esta integral la podemos simplificar primero para poder resolverla.
3 2
2 2 2
5 4x xdx
x x x
3x2x
25 x
2x2
4dx
x
2
45x dx
x
25 4x x dx
25 4xdx dx x dx
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13 Julio Meléndez Pulido
2 145
2 1
x xx c
2 45
2
xx c
x
Integrar: 39 4 11x x dx
13 29 4 11x dx x dx dx
34 2
9 4 1134
2
x xx c
4 39 811
4 3x x x C
Integrar:
22 3x
dxx
22 6 9x x
x
22 12 18x x
x
182 12x
x
2 12 18dx
x dxx
2 2
2
x12 18x lnx c
2 12 18lnx x x c
Integrar: 39 4 11x x dx
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1239 4 11x dx x dx dx
324
9 4 1134
2
x xx c
4 39 811
4 3x x x c
Integrar: 2
x a x dx
2x a ax x dx
312 22ax ax x dx
312 22a x dx a xdx x dx
32
23
2
xa
2
2
xa
52
5
2
xc
3 52 2
22 2
3 5
ax xax c
Integrar: 3x x dx
3 12 23x dx x dx
5 32 2
35 3
2 2
x xC
52 6
5x
3
3x c5 32
25
x x c
Integrar: 3
24 73 5x x dx
x
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32
12
4 3 7 5dx
x dx x dx dxx
3 12 24 3 7 5x dx x dx x dx
5 12 25
3 7 55 15
2 2
x x xx c
556
14 55 5
xx x x c
Completando integración
En ocasiones hay integrales las cuales no están completas y estas se deben
completar agregando un número el cual también se pondrá fuera de la integral
con su operación inversa.
Integrar: 2 3
dx
x
Lo primero que tenemos que hacer es comprobar si dx está completo esto lo
hacemos derivando a x y si nos da el mismo resultado que está en dx estará
completa si no se tendrá que agregar el número que falte con su respectivo
numero en operación inversa
1 2
2 2 3
dx
x 2 3dv
xdx
2dv
dx
2dv dx
Ahora que ya completamos la integral podemos resolverla mediante una formula
directa que nos dice lndv
v cv
1ln2 3
2x c
Integrar: 2 1
xdx
x
2
1 2
2 1
xdx
x 2 1dv
xdx
2dv
xdx
2dv xdx
21ln 1
2x c
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16 Julio Meléndez Pulido
Integrar: 2
31 2
x dx
x
2
3
1 6
6 1 2
x dx
x
31 2dv
xdx
26dv
xdx
26dv x dx
31ln1 2
6x c
Integrar: 1
sin2
xdx
1 12 sin
2 2x dx
1
2
dvx
dx
1
2
dv
dx
1
2dv dx
12cos
2x c
Integrar: cos3xdx
1cos3 3
3x dx 3
dvx
dx 3
dv
dx 3dv dx
1sin3
3x c
Integrar: tan2xdx
1tan2 2
2x dx 2
dvx
dx 2
dv
dx 2dv dx
1lnsec2
2x c
Integrar: 3cos2 sin2xe xdx
3cos21. 6sin2
6
xe xdx 3cos2dv
xdx
3sin2 .2 6sin2dv x xdx
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3cos21
6
xe c 3sin2 .2 6sin2dv x xdx
1.3 Integrales por Sustitución o cambio de variable.
En muchos casos sustituyendo en función de una nueva variable se obtiene una
diferencial que se integra más sencillo que la inicial.
Este método en muchos casos lleva a una Formula de integración ya definida
previamente. En general este método es de gran utilidad debido a que se puede
utilizar para otros métodos posteriores sin embargo es necesario considerar los
siguientes puntos:
Este método es de gran utilidad cuando la integral intervienen relaciones
algebraicas y/o trascendentes complicadas y la integral no está completa.
También se usa este artificio en aquella expresiones que tengan radicales
de incide “n” donde “n” pertenece a los números enteros.
Al realizar un cambio de variable debe ser más sencilla que la inicial en
caso que sea más complicada que la inicial se intenta otro cambio hasta
que se logre integrar.
La nueva variable se cambia por las partes más complicadas de la
expresión que involucra la variable en estudio, es decir, no conviene
cambiar toda la expresión ni cualquier parte de ella siempre hay que
analizar cuál es la más conveniente.
Los pasos a seguir son los siguientes:
Se hace el cambio de variable
Se despeja la variable
Se diferencia con respecto a la variable
Se sustituye los valores de la integral inicial.
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18 Julio Meléndez Pulido
Integrar: 21 2y ydy
El primer paso para resolver una integral por el método de sustitución o cambio
de variable es identificar quien es más convenientemente que sea “u” en este
caso tomare como u a 21 y ya que al derivarlo nos quedaría 2du
ydy
ya que
tenemos esto despejaríamos a dy y nos quedaría de la siguiente manera 2
dudy
y
ahora reconstruimos la integral en términos de la nueva letra.
21 2y ydy 21u y
2du
ydy
---------->
2
dudy
y
Sustituyendo los valores de u y de dy en la integral original nos quedaría una
integral de esta manera pero cabe mencionar ya que se está sustituyendo por la
letra u toda la expresión se debe gobernar por dicha letra así que se realiza las
operaciones debidas para que en la operación solo intervenga la letra u.
22
duU y
y
Aquí empleamos algebra para eliminar 2y.
2u y2
du
y
Y nuestra integral queda de la siguiente manera:
udu
Ahora ya tenemos una integral más sencilla que se puede resolver mediante
fórmulas inmediatas.
12u du
32
3
2
uc
Este sería nuestro resultado ahora solo lo que nos que hacer es sustituir los valores
de u
32
3u
322
13
y c
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19 Julio Meléndez Pulido
Integrar: 4 1 t dt
4 1 t dt 4 1u t
4du
dt ------------>
4
dudt
Al sustituir los valores de u y de du el 4 no lo podemos eliminar con ninguna literal
así que la sacamos de la integral.
4
duu
1 du
4u
Ahora solo nos queda la raíz que la podemos convertimos en una potencia y
resolvemos de manera directa.
12
1 du
4u
321
34
2
uc
En nuestro resultado aparece un doble cociente así que la resolvemos como si
fuese un sándwich ósea medio por medio y extremos por extremos y el exponente
de u lo podemos transformar en raíz.
32
1 2
4 3u c
31 2
4 3u c
Ahora simplemente multiplicamos las fracciones reducimos a su mínima expresión
y cambiamos los valores de u por los originales.
32
4 112
t c
31
4 16
t c
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Integrar: cos 7 5 d
cos 7 5 d 7 5u
cos u 7
d 7
du
d -------------------->
7
ddy
1cos u d
7
1
7sen u c
1
7 57
sen c
Integrar: 2 3x sen x dx
2 3x sen x dx 3u x
2
2
3
dux sen u
x 23
dux
dx ----------------->
23
dudx
x
2x2
3
dusen u
x
3
dusen u
1 du
3sen u
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21 Julio Meléndez Pulido
1
cos 3
u c
1cos
3u c
31cos x
3c
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=0BEt4jtWIPo
Integrar: 2 3 17 x x dx
2 3 17 x x dx 3 17u x
2
23
dux u
x 23
dux
dx ----------- >
23
dudx
x
2x23
duu
x
3
duu
1
3udu
12
1
3u du
321
33
2
u
=
321
23 3
u
312
3 3
u
=
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22 Julio Meléndez Pulido
31 2
3 3u
32
9u c
3
3217
9x c
Integrar: 4
23 13x xdx
4
23 13x xdx 23 13u x
4
6
duu x
x 6du
xdx
----------- >
6
dudx
x
4u x6
du
x
4
6
duu
41
6u du
51
6 5
uc
5
23 131
6 5
xc
5
23 13
30
xc
Integrar: 2 sen x dx
2 sen x dx 2u x
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
23 Julio Meléndez Pulido
2
dusen u 2
du
dx ----------- >
2
dudx
1 du
2sen u
1· cos
2u c
1cos 2x
2c
Integrar: 3 23 2x x dx
3 23 2x x dx 22u x
332
dux u
x 2du
xdx
-------------- >
2
dudx
x
3 x 3
2
duu
x
332
duu
33
2udu
13
3
2u du
433
·42
3
uc
433
·32 4
uc
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24 Julio Meléndez Pulido
3 43 3·
2 4u c
3 49
8u c
423
92
8x c
Integrar: 4 sen x dx
4 sen x dx 4u x
4
dusen u 4
du
dx --------------- >
4
dudx
1
4sen u du
1· cos
4u c
1cos 4x
4c
Integrar: 6
6x dx
6
6x dx 6u x
6u du 1du
dx ---------------- > dx du
7
7
uc
7
6
7
xc
Integrar: 7 2x dx
7 2x dx 7 2u x
7
duu 7
du
dx ----------- >
7
dudx
1
7udu
12
1
7u du
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
25 Julio Meléndez Pulido
321
·37
2
uc
321
·27 3
uc
31 2·
7 3u c
32
21u c
Integrar: 7 2xe dx
7 2xe dx
7 2u x
7
u due 7
du
dx --------------- >
7
dudx
1
7
ue du
1
7
ue c 7 21
7
xe c
Integrar: cossenxe xdx
cossenxe xdx u senx
coscos
u due x
x cosdu
xdx
------------- >
cos
dudx
x
27 2
21x c
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26 Julio Meléndez Pulido
cosue xcos
du
x
ue du ue c senxe c
Integrar: 1
5 2dx
x
1
5 2dx
x 5 2u x
1
5
du
u 5
du
dx ---------- >
5
dudx
1
5
du
u
1ln
5u c
1ln 5 2
5x c
Integrar: 25
xdx
x
25
xdx
x
25u x
2
x du
xu 2
dux
dx ----------- >
2
dudx
x
x
2
du
xu
1 1
2du
u
12
1 1
2du
u
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
27 Julio Meléndez Pulido
12
1
2u du
121
·12
2
u
1
2 2
12u u
25 x c
Integrar: ln x
dxx
ln xdx
x lnu x
1
du dxx
Si separamos los términos no se altera y así se nos es más fácil de identificar como
sustituir las variables
ln 1
1
xdx
x
Ya que la tenemos así ya es más fácil de identificar como sustituir la integral para
que predomine la nueva letra.
udu 2
2
uc
2ln
2
xc
Integrar: 2 1 xx e dx
2 1 xx e dx
2 1u x
2
u dux e
x 2du
xdx
---------------- >
2
dudx
x
x 2
u due
x
2
u due
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
28 Julio Meléndez Pulido
1
2
ue du 1
2
ue c 2 11
2
xe c
Integrar: 6
5 2cos
senxdx
x
6
5 2cos
senxdx
x 5 2cosu x
6
2
senx du
u senx 2 2du
senx senxdx
--------- > 2
dudx
senx
6 senx
2
du
u senx
6 1
2du
u
6
2
1du
u
13 du
u
3lnu c
3ln 5 2cos x c
Integrar: 21
x
x
edx
e
2 21 1
x x
xx
e edx dx
e e
xu e
21
u du
uu
xdue
dx ------------ > x
du dudx
ue
u
21
du
u u
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
29 Julio Meléndez Pulido
2
1
1du
u
En esta integral podemos aplicar la fórmula de 2 2
1dv varctg c
a av a
ya que
tenemos todas la variables que se piden en la formula tenemos a du sobre 2u + 1
a este lo tomaríamos como 2a , 1 no está al cuadrado pero como este número al
cuadrado resulta el mismo no altera la expresión y podemos aplicar la formula.
1
1 1
uarc tg c
arc tg u c
xarc tg e c
Integrar: 3
8
4
1
xdx
x
Para resolver esta integral no nos conviene elegir alguna de las literales que
tenemos ya que la derivarlas obtendríamos un resultado que no se asemeja a
ninguna de la integral para completarla o resolverla directamente así que aremos
lo siguiente.
3
8
4
1
xdx
x
3
2 3
4
1 4
x du
u x
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
30 Julio Meléndez Pulido
34x
2 31 4
du
u x
2
1
1du
u
21
du
u
arc tg u c
4 xarc tg c
Integrar: 21 cos
senxdx
x
2·
1
senx du
senxu
cosu x
senx
2·
1
du
u senx
1 =-du du
senx senxdx dx
2
1·
1du
u
dudx
senx
21
du
u
arc tg u c cosarc tg x c
Integrar:
2
1
x
x
edx
e
Para poder resolver esta integral podemos descomponer de la siguiente manera
ya que al hacerlo así no se altera la expresión y sustituimos sus valores.
.
1
x x
x
e edx
e 1xu e -------------- >
1xe du
1.x xe edx
u
xdue
dx ----------------->
xdu e dx
Ahora solo nos queda por sustituir xe y dx para que la integral quede en términos
de u pero hay que notar que xdu e dx así que sustituiremos de la siguiente
manera
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
31 Julio Meléndez Pulido
1xedu
u
Ahora lo que hacemos es separar en forma de resta con el mismo denominador
para no alterar la expresión.
1xedu
u u
Para obtener este resultado solo hicimos una simple resta de potencias1 12 21u u u y en la segunda integral solo la subimos con exponente negativo y
ahora ya podemos resolver las integrales con fórmulas inmediatas.
1 12 2u du u du
3 12 2
3 12 2 32 2
2 23 1 3 3
2 2
u uu u u u
321 2 1
3
x xe e
Integrar: 2 1x xdx
2
1u udu 1u x ------------------ >1x u
12
21u u du 1
du
dx ------------------ > dx du
122 2 1u u u du
5 3 12 2 22u du u du u du
7 5 32 2 2
27 5 3
2 2 2
u u uc
7 5 32 2 2
2 4 27 5 3
u u uc
7 5 32 4 2
7 5 3u u u c
7 5 32 4 2
1 1 17 5 3
x x x c
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
32 Julio Meléndez Pulido
1.4 Integración por partes.
La integración mediante el método de por partes se necesita considerar el
integrando como el producto de un función “u” y la diferencial de una segunda
función en “v” esta hace que su integración dependa de la integral de “v” “du”
que puede ser fácil de integrar
Algunas reglas generales:
dx es siempre una parte del dv
Siempre deberá ser posible que dv se pueda integrar.
Es mejor elegir a dv como la parte de apariencia más complicada con tal
de que esta se pueda integrar.
Si la integral resultante es más difícil que la inicial entonces se ha elegido
mal o incorrectamente las partes de u y dv por lo que se debe hacer una
vuelva elección hasta que se logre integrar.
Lo anterior se debe de aplicar en la fórmula que se muestra a continuación:
udv uv vdu
Integrar: cosx xdx
Para resolver esto lo primero que hay que hacer es identificar quien es u y quien
dv, para escoger u existe un truco bastante útil que se llama ILATE que consiste en
clasificar las funciones dadas en la integral en las siguientes categorías “I” cuando
la función es Inversa, más exactamente las trigonométricas inversas, “L”
logarítmica, “A” Algebraica, “T” Trigonométrica, “E” Exponencial.
Clasificamos nuestras funciones en alguna de estas 5 categorías y luego
identificamos cual nos aparece primero al decir la palabra ILATE la primera letra
que nos encontremos esa va a ser la función que hace en papel de la “u” y lo
que sobra con su dx hará el papel de dv.
Cabe mencionar que hay situaciones en la que no funciona pero en su mayoría
sirve.
Cuando ya tengamos bien identificado quien es “u” habrá que derivarlo
con respecto a x y ya obteniendo nuestro resultado despejamos lo que
sería a du.
Con respecto a dv este lo tendremos que integrar a los dos lados es decir
de la parte de dv y la parte que esta después del igual para así obtener v
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
33 Julio Meléndez Pulido
cosx dx
u x ----------Derivamos---------- > 1du
dx ---------Despejamos------ > du dx
cosdv xdx --------Integramos-------- > cosdv xdx -------------- > v senx
Ya que identificamos todos los datos que viene en la fórmula:
udv uv vdu
Solo tenemos que sustituir los valores y resolverlo:
cosx xdx xsenx senxdx
cosx xdx xsenx senxdx
cosx xdx cosxsenx x
cosx xdx cos x sen x x c
INTEGRAR: 5xxe dx
u x --------------- > 1 du
dx --------------- > du dx
5xdv e dx --------------- >5xdv e dx --------------- >
5
5
xev (Para resolver esta
integral aplicamos la siguiente formula
mxmx e
em
)
Reconstruimos nuestra integral usando la fórmula de por partes.
udv uv vdu
5 55
5 5
x xxxe dx
e ex dx
555 1
5 5
xx xxe d
ex x e dx
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34 Julio Meléndez Pulido
5 55 1
5 5 5
xx
x
xe d cxe e
x
5 55
5 25
x xx e e
xe xdx c
5 55
5 25
x xx xe e
xe dx c Nuestro resultado lo podríamos dejar de esta manera
pero se puede reducir aún más resolviendo la resta de fracciones.
5 55 5
25
x xx xe
xe dxe
c
Y para darle mayor presentación la podemos
factorizar.
5xxe dx 5 5 1
25
xe xc
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=NwvoSwywN6s
Integrar: 2xxe dx
u x --------------- > 1du
dx --------------> du dx
2xdv e ---------------> 2xdv e -------------- >
2
2
xev
udv uv vdu
2 22 .
2 2
xx x
xe e
xd dxe x
222 1
2 2
xx xxe d
xee dxx
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35 Julio Meléndez Pulido
2 22 1
.2 2 2
xx
x
xe dx
xe e
c
2 22
2 4
xx
x
xxe e
e dx c
2 22 2
4
x xx xe
xe dxe
c
2xxe dx 2 2 1
4
xe xc
Integrar: 7 lnx xdx
lnu x ------------------- >1du
dx x --------------------- >
1du dx
x
7dv x dx ------------------ >7dv x dx ------------------- >
8
8
xv
udv uv vdu
8 87 1
8 nl
8n l
x xxx x ddx x
x
78
81 1ln
8 8ln
xx xx x dd x
xx
78
81lnn
8 8l
xxx dx xx
1
x dx
78
71
8l
8n ln
xxx x x xd dx
87
81ln
8 8l
8n
x xxx x dx c
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36 Julio Meléndez Pulido
87
8lnn
8 64l
x xx x cd
xx
78 8
6
ln8 ln
4
x x xx x d cx
7ln x x dx 8 8ln 1
64
x xc
Integrar: cosx xdx
u x --------------------- > 1 du
dx ----------------------- > du dx
cosdv xdx ------------------------- > cosdv xdx -------------------------- > v senx
udv uv vdu
cos xsenx senxdxx xdx
ccos osxsenxx cx xdx
cosx xdx cosxsenx x c
Integrar: 2secx xdx
u x --------------------- > 1 du
dx ----------------------- > du dx
2secdv xdx ----------------------- >2secdv xdx ------------------- > tanv x
udv uv vdu
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37 Julio Meléndez Pulido
2 tansec tanx xd x dx x x x
2 tan lncossec x xx xdx x c
2secx xdx tan lncosx x x c
Integrar: cos3x xdx
u x --------------------- > 1 du
dx ----------------------- > du dx
cos3dv xdx -------------------> cos3dv xdx ------------------------ >1
33
v sen x
udv uv vdu
1 13 3
3 3cos3 x sen x senx xd xx dx
1 13 3
3 3cos3 x sen x senx xd xx dx
cos31 1
33 3
x senx xdx x 3 3sen x dx --- >Se le agrego el 3 ya que es una
integral indirecta y lo tendremos que sacar de la integral con su forma inversa.
1 1 1co 3
3 3 3s 33 x sen x sen xd xx dx x
1 1 1
3 cos33 3 3
cos3 x senx xd x cx x
1 1
3 coc ss3 39
o3
x sex xdx n x x c
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1 13 coc ss3 3
9o
3x sex xd x cx n x
3 coscos3
3
3 9
xsenx xd
xx
xc
cos3x xdx 3 3 cos3
9
xsen x xc
Integrar: 3
lnxdx
x
lnu x ----------------- > 1
du
dx x --------------------- >
1du dx
x
3
dxdv
x ----------------- >
3
3
dxdv x dx
x
------------ >
2
2
1
2 2
xv
x
udv uv vdu
3 2 2
1 1 1ln . .
2
ln
2
xdx
xx dx
xx x
2 23
ln 1 1.
2 2
ln xd
xx xd
x xx x
2 23
ln 1 1 1
22
ln.
xdx
xxx
x x
xd
23 3
ln 1 1
22
ln xxdx
xdx
x x
23 2
ln 1 1
2
l
2 2
n xxdx c
x xx
23 2
ln 1 1
2
l
2 2
n xxdx
xc
x x
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39 Julio Meléndez Pulido
3
lnxdx
x 2 2
ln 1
2 4
xc
x x
Integrar: x arc tg x dx
u arc tg x --------------- > 2
1
1
du
dx x
------------------- > 2
1
1du dx
x
dv x ------------------ > dv x ------------------- >
2
2
xv
2 2
2
1 . .
2 2 1
x xarc tg xarc tg x xdx dx
x
2 2
2
1 .
2
2 1
x xarc tgarc tg x
xx x x dd x
2
2
1 1 . 1
2 2 1 arc tg x xdx
xarc tg x dx
x
2
2
1 1 . 1
2
2 1arc tg x xdx
xarc tg x dx dx
x
2 1
.2
2
xarc tg xar xc tg x xdx arctgx c
arc tg x xdx 21 1 1
2 2 2x arc tg x x arctg x c
Integrar: 2lnx dx
2lnu x --------------------- >1
2du
dx x -------------------- >
12du dx
x
dv dx ---------------------- > dv x ---------------------- > v x
22 1ln .l . 2n x xd x dxx x
x
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40 Julio Meléndez Pulido
22ln ln 2xx xx xd 1
.x
dx
2 2lnl 2n x x dx d xx 2lnx dx
2ln 2x x x c
Integrar: 2x senxdx
2u x ------------------- > 2 du
xdx
--------------------- > 2du xdx
dv senxdx -------------------- > dv senxdx ---------------------- > cosv x
udv uv vdu
22 cos cos 2x x x xdxx senxdx
22 cos 2x senxdx x x cos .x xdx ----- > En esta integral la tenemos que volver
a realizar por el método de por partes volviendo a identificar a u y dv
u x ------------ > du dx
cosdv xdx ---------- > cosdv xdx ------------ > v senx
22 cos 2x senxdx x x .x senx senxdx ------- >En esta parte de nuestra
integral se volvió a sustituir los valores de la fórmula de por partes con los datos
antes encontrados si modificar la demás expresión.
22 cos 2 . 2x x x x ssen enx senxdxxdx
22 cos 2 . 2 cosx x x sex sen cxd nx xx
22 cos 2 . 2cosx x x senx se d cn x xx x
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41 Julio Meléndez Pulido
Integrar: xe senxdx
u senx --------------- > cos du
xdx
------------------ > cosdu xdx
xdv e ----------------- > xdv e -------------------- >
xv e
udv uv vdu
cosx xx senxee senxdx e xdx
cosu x ----------- > du
senxdx
--------- > du sendx
xdv e ------------ > xdv e ---------- > xv e
cosx x xx senxe xe s e e senxen dx dxx
cosx x x xe senxd senxe xe e senxdxx
cosx xx senxe sen e xx edx xe senxdx ------->si nos damos cuenta esta
integral es la misma que al principio teníamos, como es la misma expresión la
pasaremos al principio o la colocaremos como el doble de la integral.
co2 sx x xsene senxdx xe xe ----- > Ahora el numero 2 lo pasamos del otro lado
del igual con su expresión inversa.
1 1cos
2 2
x x xsene senx xed ex x
xe senxdx cos
2
xe senx xc
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42 Julio Meléndez Pulido
Integrar: 2cos xdx
cos .cosx xdx
cosu x ----------------- > du
senxdx
----------------- > du senxdx
cosdv x ------------------> cosdv x --------------- > v senx
udv uv vdu
2c co s .s o .x senx senx sx x nxdxd e
2 coscos .x sxdx enx 2sen x dx --------- > Aplicamos identidad
trigonométrica
22 cos . 1 cc osos x sxdx enx x dx
22 cos . cco oss x sexdx nx dx xdx
2 coo .s sc x senxdx x x 2cos xdx ------- >Como es la mismas expresión que
la original la pasamos al principio como el doble
2 coco .s s2 x senxxd xx c
2cos xdx 1 1
cos .2 2
x senx x c
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43 Julio Meléndez Pulido
Integrar: 2sec 3x xdx
u x ----------------- > 1du
dx ----------------> du dx
2sec 3dv xdx ---------------- >2sec 3dv xdx -------------------- >
1tan3
3v x
udv uv vdu
2 1 1tan3sec a3 t n3
3 3x x xx xd dxx
2 1tan3sec tan3
3 33
xxx xdx xdx
2 1tansec 3 3 tan3 3
3 3
xxx xd dx x x
2 1 1tan3 tan3
3ec 3
3 3s
xxx dx x xdx
2sec 3x xdx 1
tan3 ln sec33 9
xx x c
Integrar: xsenxdx
u x ----------------- > 1du
dx ----------------> du dx
dv senxdx ------- > dv senxdx ----------- > cosv x
udv uv vdu
. cos cosxsen x x xdx x xd
cos cosxs x xn xe x xdxd
xsenxdx cosx x senx c
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44 Julio Meléndez Pulido
Integrar: 2 lnx xdx
lnu x------------------- >
1du
dx x
---------------------->
1du dx
x
2dv x------------------ >
2dv x -------------------- >
3
3
xv
udv uv vdu
3 32 1
ln . .3 3
ln .x
x xx
x dxx
32 31 1
lnln .3 3
xx xx x dx
x
32 31
ln3
.3
lnx
xx xx 1
xdx
23
21lnn
3l .
3
xx x dx xx
23 31
lln . n3 3 3
x xxx cx
2ln .x x
3 3
ln3 9
x xx c
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45 Julio Meléndez Pulido
Integrar: 2
lnxdx
x
2 lnx xdx
lnu x -------------------- >1du
dx x ------------------- >
1du dx
x
2dv x --------------- >
2dv x ----------------->
1 1
1
xv
x
udv uv vdu
1 1 1ln
l.
nxdx x x
xd
x x x
1 1 1l
lnnx
xd
xx dx
xx x
2
lnln 1xdx
x
xd
x xx
2lnln xxdx
xx dx
x
1lnln
1
x xc
x
xdx
x
ll nn 1x xc
x xdx
x
lnxdx
x ln 1x
cx
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46 Julio Meléndez Pulido
Integrar: ln xx dx
lnx xdx --------- > Quedo de esta manera porque aplicamos la siguiente
propiedad de logaritmos: ln lnna n a
lnu x -------------------------- > 1du
dx x ----------------------->
1du dx
x
dv x --------------------------- > dv x ---------------------->
2
2
xv
udv uv vdu
2 2 1lnln .
2 2
x x xxx dx d x
x
221 1
lnln .2 2
xxx
xx
x xd dx
221
ln2
ln2
xx dx
x xx 1
.x
dx
2 1ln
2l
2n x x
x xx x xdd
2 21ll
2n n
2 2
x x xxx dx c
ln xx dx2 2
ln2 4
x xx c
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47 Julio Meléndez Pulido
Integrar: cosxsenx xdx
u x --------------------- > 1du
dx ----------------------- > du dx
cosdv senx x ------------------ > cosdv senx x
2
2
sen xv ---------->Para llegar a este resultado integramos mediante el método
de sustitución.
cossenx xdx u senx
udu cosdu
xdx
2
2
uc =
2
2
sen xc cosdu xdx
udv uv vdu
2 2
.2 2
coss
xsenen x sen
dx x dx xxx
22c
1
2 2os
xsexsen
n xsenx xxdx dx
2
s1
2 2cox
xsensenx x x
xd
11 cos2
2x dx ------------- >Aquí aplicamos la
identidad trigonométrica de 2 11 cos2
2sen
2 1 1
. 1 cos2os2 2
c2
xsen xx dxxsenx xdx
2 1
cos22 4
cosxsen x
dxxse dx xdxnx x
2
cos1
cos22 4
xsenxsenx x x xdxdx
x
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48 Julio Meléndez Pulido
2
cos1
cos2 22 4
xxsen x
xsenx x x ddx x
2 1 1cos2
2 4 2cos
xsenxsenx xd x x xx
xd
cosxsenx xdx2 1 1
22 4 8
xsen xx sen x c
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49 Julio Meléndez Pulido
CONCEPTO FUNDAMENTAL:
2. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS.
2.1 Integrales de la forma: duuusen nm cos
CASO #1
cosm nsen u udu
Cuando m y/o n sea un número entero positivo impar, Si m es impar factorizamos
el sen u du y expresamos la restante potencia par sen en potencia del cos y si es n
impar hacemos lo mismo pero ahora con el cos, utilizando la siguiente identidad
trigonométrica:
2 2cos 1sen u u
Identidades trigonométricas despejadas:
2 2
2 2
1 cos
cos 1
sen u u
u sen u
2.2 Integrales de la forma: duuctgoduutg nn
CASO #2
tann udu cotn udu
n=un numero entero par o impar
Cuando n sea un número entero impar factorizaremos para que esta quede al
cuadrado y se puedan utilizar las siguientes identidades trigonométricas:
2 2tan sec 1 2 2cot csc 1
Identidades trigonométricas despejadas:
2 2sec tan 1
2 2csc cot 1
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
50 Julio Meléndez Pulido
2.3 Integrales de la forma:
uduoduu nn
cscsec
CASO #3
secn udu cscn udu
Cuando n sea un número entero impar factorizaremos para que esta quede al
cuadrado y se puedan utilizar las siguientes identidades trigonométricas:
2 2sec tan 1 2 2csc cot 1
Identidades trigonométricas despejadas:
2 2
2 2
tan sec 1
cot csc 1
O también podemos aplicar las siguientes fórmulas de reducción:
1 21 2sec sec tan sec
1 1
n n nnudu u u udu
n n
1 21 2csc csc cot csc
1 1
n n nnudu u u udu
n n
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51 Julio Meléndez Pulido
Integrar: 3 5cossen x xdx
Notemos que esta integral es del Caso #1, como en la integral tenemos 3sen
donde n es un número par positivo lo factorizamos para poder utilizar la identidad
trigonométrica de 2 21 cossen
3 5cossen x xdx
2 5cossen x xsendx
Ya que hemos factorizado de esta manera, la podemos desarrollar por el método
de sustitución o cambio de variable
2 51 cos cosx xsen dx cosu x ------> du senxdx
2 51 u u du du senxdx
5 3u u du
4 2
4 2
u uc
4 2
1 1
4 2c
u u
4 2
1 1
4 2c
u u
4 2
1 1
4cos 2cosc
x x
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52 Julio Meléndez Pulido
Integrar: 4 52 cos 2sen x xdx
Factorizamos.
4 42 cos 2 cos 2sen x x x xdx
2
4 22 cos 2 cos 2sen x x x xdx
Aplicamos identidad trigonométrica 2 2cos 1 sen
2
4 21 22 cos 2sen x x xsen x xd
Ahora lo resolvemos por el método de cambio de variable o sustitución.
2
4 211
2u u du 2u sen x ------- > 2cos2
dux
dx
4 2 411 2
2u u u du 2cos2du xdx
4 6 812
2u u u du
5 7 91 2
2 5 7 9
u u uc
5 7 92
10 14 18
u u uc
5 2
10
u
7
14
u 9
18
uc
5 7 9
10 7 18
u u uc
5 7 92 2 2
10 7 18
sen x sen x sen xc
Integrar: 3cos xdx
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53 Julio Meléndez Pulido
Factorizamos. 2cos cosx xdx
Aplicamos identidad trigonométrica de 2 2cos 1 sen
21 cossen x xdx
2 2cos cossen x x dx
Resolvemos por el método de sustitución o cambio de variable. 2
du u du su enx ----------- > cosdu
xdx
3
3
uu c cosdu xdx
3
3
sen xsenx c
Integrar: 3sen xdx
Factorizamos.
2sen xsenxdx
Aplicamos identidad trigonométrica de 2 21 cossen .
21 cos x senxdx
2cossenx xsenx dx
Resolvemos por el método de sustitución. cosu x
2du u du du senxdx
3
3
uu c
31
cos cos3
x x c
Integrar: 2 35 cos 5sen x xdx
Factorizamos.
2 25 cos 5 cos5sen x x xdx
Aplicamos identidad trigonométrica de 2 2cos 1 sen
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
54 Julio Meléndez Pulido
2 25 1 5 cos5sen x sen x xdx
Resolvemos por el método de sustitución.
2 25 1 5 cos5 5sen x sen x x dx 5u sen x ------------ > cos5 5du
xdx
2 215 1 5 cos5
5sen x sen x xdx cos5 5du x dx
2 211
5u u du
2 41
5u u du
3 51
5 3 5
u uc
3 5
15 25
u uc
3 55 5
15 25
sen x sen xc
3 51 15 5
15 25sen x sen x c
Integrar: 2
4cos
sen xdx
x
Factorizamos.
2
2 2cos cos
sen xdx
x x
Aplicamos la identidades trigonométricas de tancos
sen
y 21
seccos
2
2 2
1
cos cos
sen xdx
x x
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
55 Julio Meléndez Pulido
2.4Integrales de la forma:
oduuutg nm sec
duuuctg nm
csc
2 2tan secx xdx
Resolvemos por el método de sustitución o cambio de variable
2u du tanu x ------------------- > 2sec
dux
dx
3
3
uc
2secdu xdx
31tan
3x c
Integrar: 3
4
cos xdx
sen x
Factorizamos.
3
3
cos 1xdx
senxsen x
Aplicamos la identidad trigonométrica de cos
cotsen
y
1csc
sen
3cot cscx xdx
2cot csc cotx x xdx
Sustituimos con la identidad trigonométrica de 2 2cot csc 1
2csc 1 csc cotx xdx
Resolvemos por el método de integración por cambio de variable o sustitución.
2 1u du cscu x -------------- > csc cot du x xdx
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
56 Julio Meléndez Pulido
2u du du csc cot du x xdx
3
3
uu c
3csccsc
3
xx c
Integrar: 3tan xdx
Aquí observamos que tenemos una integral del Caso # 2 tann du así que
tendremos que factorizar para poder aplicar las identidades correspondientes.
2tan tanx xdx
Aplicamos identidad trigonométrica de 2 2tan sec 1
2sec 1 tanx xdx = 2sec tan tanx x x dx
Resolvemos por el método de sustitución o cambio e variable.
2sec tan tanx x xdx tanu x ----------------- > 2secdu
xdx
tanudu xdx 2secdu xdx
2
lncos2
ux c
2tanlncos
2
xx c
21tan lncos
2x x c
Integrar: 2 4tan secx xdx
2 2 2tan sec secx x xdx
Aplicamos identidad trigonométrica de 2 2sec tan 1
2 2 2tan tan 1 secx x xdx
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
57 Julio Meléndez Pulido
4 2 2tan tan secx x xdx
Resolvemos por el método de sustitución.
4 2u du u du tanu x ----------- >2secdu xdx
5 3
5 3
u uc
5 3tan tan
5 3
x xc
Integrar: 3cot xdx
Aquí observamos que tenemos una integral del Caso # 2 cotn du así que
tendremos que factorizar para poder aplicar las identidades correspondientes.
2cot cotx xdx
Aplicamos la identidad trigonométrica de 2 2cot csc 1
2csc 1 cotx xdx
2csc cot cotx x x dx
Resolvemos por el método de sustitución o cambio de variable.
2csc cot cotx xdx xdx cotu x --------------- > 2csc du
xdx
cotudu xdx 2cscdu xdx
2cotln
2
xsenx c
21cot ln
2x senx c
Integrar: 4sec xdx
En este integral nos encontramos con una integral del Caso #3 secn udu y si
observamos podemos aplicar una de las fórmulas de reducción que no dice lo
siguiente:
2 21 2
sec sec tan sec1 1
n n nnudu u u udu
n n
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
58 Julio Meléndez Pulido
Resolvemos:
4 2 21 2
sec sec tan sec3 3
xdx x x xdx
4sec xdx 21 2
sec tan tan3 3
x x x c
Integrar: 5 3tan secx xdx
2
2 2tan sec tan secx x x xdx `
Aplicamos identidad trigonométrica de 2 2tan sec 1 y resolvemos por el
método de sustitución o cambio de variable
2
2 2sec 1 sec tan secx x x xdx secu x
2
2 21u u du sec tandu x xdx
4 2 22 1u u u du
6 4 22u u u du
7 5 3
27 5 3
u u uc
7 5 3sec sec sec2
7 5 3
x x xc
Integrar: 4sec xdx
2 2sec secx xdx
Aplicamos identidad trigonométrica 2 2sec tan 1 y resolvemos por el
método de sustitución o cambio de variable
tanu x
4 2tan sec tan secx x x xdx
2 2tan 1 secx xdx
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
59 Julio Meléndez Pulido
2 1u du 2secdu xdx
2u du du
3
3
uu c
3tantan
3
xx c
CONCEPTO FUNDAMENTAL:
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
60 Julio Meléndez Pulido
3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ESPECIALES
CONCEPTO SUBSIDIARIO:
3.1 Integración por sustitución trigonométrica.
Parta resolver este tipo de integrales existen 3 casos los cuales los resolveremos por
medio de un triángulo rectángulo.
Caso #1
Integrales de la forma 2 2a u
2 2 cosa u a
u a sen
cos du a d
u
arcsena
Caso#2
Integrales de la forma 2 2a u
2 2 sec a u a
tanu a
2 sec du a d
arctanu
a
Caso #3
Integrales de la forma 2 2a u
2 2 tan u a a
secu a
sec tan du a d
arcsecu
a
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
61 Julio Meléndez Pulido
Integrar: 2
29
x dx
x
Lo primero que tenemos que hacer para poder darle solución a esta integral es
identificar que caso es esta integral.
Como podemos observar tenemos una integral del caso 1
Lo siguiente para resolver esta integral es identificar cada uno de los datos en el
triángulo rectángulo
2
2 2
9
3
a
u x
a
u x
2 2 cosa u a ---- >
29 3cosx
u a sen ------ > 3x sen u
arcsena
--------- >3
xarcsen
Como podemos visualizar ya tenemos todos los datos identificados para poder
sustituir los nuevos valores en la integral original pero debemos notar que no
tenemos a dx está la encontramos derivando a x con respecto a d y listo.
3x sen --------- > 3dx
send
------------- > 3cosdx d
Ahora ya tenemos todos los datos necesarios ahora solo sustituimos estos datos en
los datos originales
Si tenemos que 3x sen si lo elevamos al cuadrado obtendremos 2 29x sen y
he aquí el último dato, ahora solo la sustitución.
2
29
x dx
x
29 .3cos
3cos
sen d
La integral nos queda de la siguiente manera ahora
solo reducimos términos semejantes para poder
resolverla.
29 . 3cossen
3cos
d
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
62 Julio Meléndez Pulido
29sen d
29 sen d
1
9 1 cos22
d
(Para resolver el 2sen aplicamos la identidad
trigonométrica de 2 11 cos2
2sen o podemos
aplicar la fórmula que nos dice2 1
22 4
xsen xdx sen x en
este caso con cualquiera de los métodos llegaremos al
mismo resultado.)
1 19 cos2
2 2d
1 1 29
2 2 2
senc
Al integrar 1
cos22
como está completa con su
respectivo un medio afuera se utiliza la fórmula de seno
pero la cuestión aquí es porque se pone el 2 abajo, el
dos se pone abajo del seno para "compensar" que el
ángulo del seno no es únicamente "teta", sino
"2teta",que sale de la regla de la cadena.
9 9 2
2 2 2
senc
9 92
2 4sen c
9 92 cos
2 4sen c
9 18cos
2 4sen c
Ahora para terminar nuestra integral solo nos queda
sustituir los valores por lo originales pero como nos
podemos dar cuenta en nuestro datos que ya antes
habíamos encontrado no tenemos el valor del seno del
doble de teta( 2sen ) así que aplicaremos la
identidad trigonométrica de 2 2 cossen sen para
poder sustituir los valores de seno y coseno pero en
este caso tampoco tenemos coseno pero sabemos
que .
cosc a
h que seria
29cos
3
x
y solo
sustituimos con todos los datos anteriores
29 18 9
2 3 4 3 3
x x xarcsen c
9 18
2 3
xarcsen
4
29
3 3
x xc
Sustituimos el valor de teta y el valor de seno se
obtiene despejando 3x sen ------ >3
xsen
Ahora solo reducimos hasta su mínima expresión
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
63 Julio Meléndez Pulido
9 9
2 3
xarcsen
29
2 9
x xc
29 19
2 3 2
xarcsen x x c
Integrar: 24
dx
x
Aquí tenemos una integral del caso 2 ahora identifiquemos sus datos en el
triángulo rectángulo
2
2 2
4
2
a
u x
a
u x
2 2 seca u a ----- >24 2secx
tanu a ------- > 2tanx
2tandx
d
------- >
22secdx d
arctanu
a ------- > arctan
3
x
Sustituimos los valores en la integral original y resolvemos
24
dx
x
22sec
2sec
d
2 2sec
2
d
sec
sec d
ln sec tan c
Para sustituir los valores sec y tan no tenemos los valores
en los datos encontrados en el rectángulo pero
sabemos que sec.
h
c o y
.tan
.
c o
c a por lo tanto
tenemos que 24
sec2
x
y tan
2
x
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
64 Julio Meléndez Pulido
24ln
2 2
x xc
Integrar: 225 4
dx
x
2
2 2
4
25
2
5
a
u x
a
u x
2 2 tanu a a ---- >
225 4 2tanx
secu a ------- > 2
sec5
x
2sec
5
dx
d
------- >
2sec tan
5dx d
arcsecu
a --------- >
5arcsec
2
x
Sustituimos los nuevos valores e la integral original
225 4
dx
x
2sec tan
5
2 tan
d
25 sec
2d
2
10sec d
1sec
5d
1ln sec tan
5c
Para poder sustituir estos valores utilizamos
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
65 Julio Meléndez Pulido
2. 25 4tan
. 2
c o x
c a
y
5sec
. 2
h x
c a
21 25 4 5ln
5 2 2
x xc
Integrar: 21
x
x
edx
e
Para poder resolver esta integral podemos hacer un cambio de variable para que
sea más sencillo resolverlo.
2
1
x
x
edx
e
xu e xdu e dx
21
du
u
De esta manera es más sencillo resolverlo mediante el
método de sustitución trigonométrica.
1a
u u
21 secu
tandu
d
---- >
2secdu d
Sustituimos los nuevos valores
21
du
u
sec d
ln sec tan c 21sec
. 1
h u
c a
y
.tan
. 1
c o u
c a
2sec
sec
d
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
66 Julio Meléndez Pulido
2ln 1 u u c Pero sabemos que xu e así que sustituimos este valor
2ln 1 x xe e c
Integrar:
2
4
4
xdx
x
24 2secx
2tanx
22secdx d
Sustituimos Valores
24
4
xdx
x
24
tan 2 2sec
2
d
secdx
4 tan sec d dx
4lnsec .ln sec tan c 24
sec. 2
h x
c a
y
.tan
. 2
c o x
c a
2 24 44ln ln
2 2 2
x x xc
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
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Integrar:
3
24
dx
x
24 2cosx
2sinx
2cosdx d
Sustituimos Valores
3
2cos
2cos
d
EL 2 cos se eleva al cubo por que las literales que encerraba
la raíz estaban elevadas a la un cubo
2cos
3
2cos
d
2
2cos
d
24cos
d
2
1
4 cos
d
Identidad Trigonométrica 2
2
1sec
cos
21sec
4d
1tan
4c
2
.tan
. 4
c o x
c a x
2
1
4 4
xc
x
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
68 Julio Meléndez Pulido
Integrar: 225 x
dxx
225 2cosx
5sinx
5cosdx d
Sustituimos Valores:
5cos 5cos
5sin
d
10 2cos
5
d
sin
25cos
sin
d
Identidad Trigonométrica 2 2cos 1 sen
25 1
sin
sen d
25 5sin
sin
d
2sin5 5
sin
d
sin
d
Identidad Trigonométrica
1csc
sin
5 csc 5 sind d
5ln csc cot 5cos c 5
csc.
h
c o x ;
2. 25cot
.
c a x
c o x
25 255ln 5
x
x x
225
5
xc
2. 25cos
5
c o x
h
225 25
5ln 25x
x cx
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
69 Julio Meléndez Pulido
Integrar: 2 4x dx
2 4 2secx
2tanx
22secdx d
Sustituimos Valores:
22sec 2sec d
34 sec d Fórmula:
2 21 2sec sec tan sec
1 1
n n nnudu u u udu
n n
41
2
1sec tan
2 sec d
2sec tan 2 sec d
2sec tan 2ln sec tan c 2 4
sec. 2
h x
c a
;
.tan
. 2
c o x
c a
22 4
2
x 2 42ln
2 2 2
x x xc
22 4
4 2ln2 2
x x xx c
2 214 2ln . 4
2 2
xx x x c
2 2 14 2ln 4 ln
2 2
xx x x c
Aplicamos Propiedad de Logaritmos
ln ln lnab a b
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
70 Julio Meléndez Pulido
2 24 2ln 42
xx x x c
Integrar: 2 2 2
dx
x a x
2 2 cosa x a
sinx a
cosdx a d
2 2 2sinx a
Sustituimos Valores:
cosa 2 2sin cos
d
a a
2 2
1
sin
d
a
Identidad Trigonométrica 2
2
1csc
sin
2
2
1csc d
a
2
1cot c
a
2 2.cot
.
c a a x
c o x
2 2
2
1 a xc
xa
2 2
2
a xc
a x
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
71 Julio Meléndez Pulido
Integrar:
5
2
2
24
x dx
x =
2
524
x dx
x
24 2cosx
2sinx
2cosdx d
2 24sinx
Sustituimos:
2
5
4sin 2cos
2cos
d
24sin 2cos
5
2cos
d
2
4
sin4
2cos
d
2
4
4 sin
16 cos
d
2
2 2
4 sin 1
16 cos cosd
Identidades Trigonométricassin
tancos
;
1sec
cos
2 24tan sec
16d --->
Para Resolver utilizamos el método de sustitución o
cambio de variable
24
16v dv tanv
2secdv d
34
16 3
vc
34 tan
16 3c
2
.tan
. 4
c o x
c a x
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
72 Julio Meléndez Pulido
3
24 4
16 3
x
xc
3
2
3
244
16 3
x
xc
3
2
3
2
4
16 3 4
xc
x
4
3
48
x
3
224c
x
3
2
3
212 4
xc
x
Integrar: 29 4
dy
y y
29 4 3cosy
3siny
3cosdy d
3cos
3sin 3cos
d
3sin
d
Identidad Trigonométrica 1
cscsin
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
73 Julio Meléndez Pulido
1csc
3d
1
ln csc cot3
c
2
csc9 4
2.
h
c o
y
y
;
. 3cot
. 2
c a
c o y
29 41 3ln
3 2 2
yc
y y
29 4 31ln
3 2
yc
y
29 4 31 1ln
3 2
yc
y
29 4 31 1ln ln
3 2
yc
y
Aplicamos Propiedad de Logaritmos
ln ln lnab a b
29 4 31ln
3
yc
y
Integrar: 3 2 9
dx
x x
2 9 3tanx
3secx
3sectandx d
sec3
xarc
3 327secx
Sustituimos Valores:
3 sec tan 327sec 3
d
tan
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
74 Julio Meléndez Pulido
1 sec
27
3sec
d
2
1
27 sec
d
Identidad Trigonométrica 1
cossec
21cos
27d Formula
2 1cos sin2
4 4
uudu x
1 1sin2
27 2 4x c
Identidad Trigonométrica sin2 2sin cos
1
54 108
2 sin cos c
1sin cos
54 54c
2
sin9.c o
h
x
x
;
.co
3s
c a
xh
1
54 54
2 9 3x
x
c
x
2
2
1 9
54 18
xc
x
2
2
1 9sec
54 3 18
x xarc c
x
3.2 Integrales definidas.
Una integral definida es aquella donde se puede visualizar perfectamente el valor
de la constante de integración, definiendo 2 límites de la propia integral lo cual
nos permitirá encontrar el área bajo la curva de la integral considerando el limite
inferior, cabe señalar que para encontrar el área bajo la curva es necesario
desarrollar dicha integral por cualquiera de los métodos ya antes vistos de
acuerdo al tipo de problema que se presente en el momento.
b
af x F b F a
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
75 Julio Meléndez Pulido
Integrar: 2
2
1x dx
Para resolver esta integral lo resolvemos por el método más adecuado que en
este caso es directo
23
13
x
Ya que hemos resuelto la integral habrá que evaluar entre Limite Superior y el
Limite Inferior y así dar cumplimiento al teorema fundamental del cálculo.
Para realizar esto realizaremos una operación que nos dice “límite superior menos
límite inferior” (Ls-Li) para llevar acabo esto remplazaremos los valores del límite
superior como del inferior en las literales y resolveremos la operación.
3 32 1
3 3
8 1
3 3
7
3 2.33333
x-10 -5 5 10
y
-10
-5
5
10
1
2
x2 dx = 2.333334
f(x) = x2
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
76 Julio Meléndez Pulido
Integrar: 4
3
02x dx
44
0
24
xx
Evaluación: Ls Li
4 44 0
2 4 2 04 4
256
8 04
64 8 56
Gráfica:
x-20 20 40
y
-40
-20
20
40
0
4
x3– 2 dx = 56.000064
Area = 59.7798
f(x) = x3– 2
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
77 Julio Meléndez Pulido
Integrar: 2
3 2
12 3 1x x x dx
24
4
x3
3
3
x2
2
12
xx
24 2
3
12 2
x xx x
Evaluación: Ls Li
4 24 2
331 12 2
2 2 1 12 2 2 2
1 1
8 8 2 2 1 12 2
0 3 3
Gráfica:
x-5 5 10
y
-10
-5
5
10
– 1
2
2x3– 3x
2+ x – 1 dx = -3
Area = 5.4864
f(x) = 2x3– 3x
2+ x – 1
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
78 Julio Meléndez Pulido
3.3 Área bajo la curva.
Calcular el área de la región del recinto limitado por la curva 24f x x x y el
eje ox .
Para poder resolver este problema lo primero que tenemos que hacer es
graficarla, para poder identificar cuando la gráfica intersecta en x para así
identificar nuestros límites para la integral.
Ahora que ya tenemos nuestros límites los aplicamos en nuestra integral,
resolvemos y evaluamos nuestra integral con sus respectivos limites
42
2
x
43
03
x
43
2
0
23
xx Evaluamos: Ls Li
3 3
2 24 0 32 322 4 2 0 0
3 3 3 3
210.667u
x-10 -5 5 10
y
-10
-5
5
10
0
4
4x – x2 dx = 10.666656
Area = 10.6666
f(x) = 4x – x2
Punto de interseccion en x
( 4 , 0 )
Este sera nuestro limite Superior
Punto de interseccion en x
( 0 , 0 )
Este sera nuestro Limite Inferior
4
2
04x x dx
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
79 Julio Meléndez Pulido
Hallar el area bajo la curva de 2 4f x x x con respecto al eje x.
4
2
04x x dx
43
2
0
23
xx
Evaluación: Ls Li
3 3
2 24 02 4 2 0
3 3
320
3
10.667
210.667u
El resultado lo ponemos positivo ya que no puede haber
áreas negativas y la 2u significa unidades cuadradas ya que
se trata de un área .
x-10 -5 5 10
y
-10
-5
5
10
0
4
x2
– 4x dx = -10.666656
Area = 10.6667
f(x) = x2
– 4x
Punto de interseccion en x
( 4 , 0 )
punto de interseccion en x
( 0 , 0 )
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
80 Julio Meléndez Pulido
Hallar el área limitada bajo la curva de cosy x entre en eje ox ; 2
y
3
2
32
2
cos xdx
32
2
sinx
Evaluamos: Ls Li
3sin sin
2 2
1 1
2
22u
x-10 -5 5 10
y
-10
-5
5
10
1.570796
4.712389
cos(x) dx = -1.999998
Area = 2
1
2 P i Rad
3
2 P i Rad
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
81 Julio Meléndez Pulido
Calcular el área limitada por la curva 22y x x y eje x. Hacer Grafica
1
2
2
2 x x dx
12 3
2
22 3
x xx
Evaluación: Ls Li
2 3 2 31 1 2 2
2 1 2 22 3 2 3
29
2u
¿?
x-10 -5 5 10
y
-10
-5
5
10
– 2
1
2 – x – x2 dx = 4.499995
Area = 4.5
f(x) = 2 – x – x2
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
82 Julio Meléndez Pulido
Encontrar el área limitada por la parábola 22y y y y eje y . Trazar la figura.
2
2
0
2y y dy
23
2
03
yy
Evaluación: Ls Li
3 3
2 2 022 0
3 3
84 0
3
24
3u
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
83 Julio Meléndez Pulido
Hallar el área limitada por la parábola 2y x y las rectas 0y ; 2x : 5x
Trazar figura e indicar el elemento de área.
5
2
2
x dx
53
23
x
Evaluación: Ls Li
3 3
5 2
3 3
125 8
3 3
117
3
239A u
x-20 -10 10 20
y
-20
-10
10
20
x = 5
x = 2
f(x) = x2
2
5
x2 dx = 39.000005
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
84 Julio Meléndez Pulido
Hallar el área de una arcada de la cosenoide, 2cosy x
32
2
2cos xdx
32
2
2senx
Evaluación: Ls Li
32sin 2sin
2 2
2 2
4
24u
x-10 -5 5 10
y
-10
-5
5
10
1.570796
4.712389
2cos(x) dx = -3.999997
Area = 4
f(x) = 2cos(x)
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
85 Julio Meléndez Pulido
3.4 Área entre curvas.
Si f y g son continúas y además f(x) mayor o igual que g(x) para todo el valor de x
en cierto intervalo cerrado entre 2 valores, entonces el área de la región acotada
por las dos graficas en el intervalo se representaría de la siguiente manera:
F y g son continuas f x g x ,a b
x-20 -10 10 20
y
-20
-10
10
20
f(x) Ya que es mayor
g(x) Ya que es menor
a
b
[f(x) ] – [g(x) ] dx = A
a b
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
86 Julio Meléndez Pulido
Calcular el área de la región acotada por 2y x ; y x
Aplicamos Formula de b
af x g x dx
4
2
0x x dx
32
4
3
0
3 3
2
x x
32
43
0
23 3
x x
Evaluación: Ls Li
3 32 22 22 2
1 1 0 03 3
2 1
03 3
21
3u
20.33u
x-4 -2 2 4
y
-4
-2
2
4
0
1
(x)0.5
– x2
dx = 0.333327
Area = 0.3333
g(x) = x2
f(x) = x0.5
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
87 Julio Meléndez Pulido
Calcular le área de la región acotada por las siguientes 2 ecuaciones:
2 6y x 2 3 0y x
Para poder graficar estas dos ecuaciones lo primero que tenemos que hacer es
despejar una de las literales en ambas ecuaciones:
26y x 3 2y x
3
2
16 3 2x x dx
33
2
1
33
xx x
Evaluación: Ls Li
3 3
2 23 13 3 3 3 1 1
3 3
5
93
59
3
32
3
210.66u
x-10 -5 5 10
y
-10
-5
5
10
– 1
3
6 – x2 – [3 – 2x] dx = 10.666656
Area = 10.6666
g(x) = 3 – 2x
f(x) = 6 – x2
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
88 Julio Meléndez Pulido
Hallar el área limitada por la parábola 25y x y la recta 1y x
Trazar la figura e indicar el elemento de área.
2
2
35 1x x dx
22 3
3
62 3
x xx
Evaluación: Ls Li
2 3 2 33 3
6 2 6 3 32 3
2 2
2 3
22 27
3 2
125
6
520
6
220.833u
x-10 -5 5 10
y
-10
-5
5
10
– 3
2
5 – x2 – [x – 1] dx = 20.833312
Area = 20.8333
f(x) 5 – x2
y = x – 1
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
89 Julio Meléndez Pulido
Hallar el área limitada por las siguientes curvas:
2 4y x 2 6x y
Despeje
4y x 2
6
xy
2
5.241483
04
6
xx dx
32
5.2414833
0
4
6 18
x x
Evaluación: Ls Li
3 3
2 23 34 5.241483 5.241483 4 0 0
6 18 6 18
7.999 0
7.999
28u
x-10 -5 5 10
y
-10
-5
5
10
f(x) = (4x)0.5
g(x) =x
2
6
0
5.241483
(4x)0.5
– x
2
6 dx = 7.999839
Area = 7.9996
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
90 Julio Meléndez Pulido
Calculara el área limitada por la curva 2y x , el eje x y la recta 4y x .
8
02 4x x dx
32
82
0
24
2 3
x xx
Evaluación: Ls Li
3 32 22 2
8 2 8 0 2 04 8 4 0
2 3 2 3
15.085 0
215.085u
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
91 Julio Meléndez Pulido
Hallar el área de la superficie limitada por las parábolas: 2y x 2y x
Despeje:
y x 2y x
1
2
0x x dx
32
13
0
2
3 3
x x
Evaluación: Ls Li
3 3
2 23 32 1 1 2 0 0
3 3 3 3
10
3
1
3
x-4 -2 2 4 6
y
-6
-4
-2
2
4
6
0
1
(x)0.5
– x2
dx = 0.333327
Area = 0.3333
g(x) = x2
f(x) = (x)0.5
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
92 Julio Meléndez Pulido
20.333u
Hallase el área acotada por la parábola 22y x y la recta y x
2
2
12x x x
22 3
1
22 3
x xx
Evaluación: Ls Li
2 3 2 32 2 1 1
2 2 2 12 3 2 3
10 7
3 6
10 7
3 6
9
2
x-10 -5 5 10
y
-10
-5
5
10
– 1
2
2 – x2 – [ – x] dx = 4.499995
Area = 4.5
g(x) = – x
f(x) = 2 – x2
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
93 Julio Meléndez Pulido
24.5u
Determine el área que limita la gráfica de la función 3 6f x x x con las rectas
0y ; 0x ; 4x .
4
3
06x xdx
44 2
0
64 2
x x
Evaluación: Ls Li
4 2 4 2
4 4 0 06 6
4 2 4 2
256
48 04
64 48 0
16 0
16 ------- >
Este sería el resultado de la evaluación de la integral mas no es
el resultado que buscamos, ya que lo que estamos buscando
aquí es el área y al evaluar esta integral no encontramos el área
ya que en la gráfica podemos observar que tenemos un área
x-30 -20 -10 10 20 30
y
-30
-20
-10
10
20
30
40
0
4
x3
– 6x dx = 16.000064
Area = 34
x = 4f(x) = x3
– 6x
y=0
x=0
Interseccion en x
( 2.44949 , 0 )
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
94 Julio Meléndez Pulido
negativa y una positiva.
Para encontrar el área de una gráfica en la que se encuentran 2 o más áreas en
ambos signos (-a, a) se tendrán que evaluar con la misma integral todas las áreas
de cada intervalo, después se sumaran las áreas obtenidas aun si en estas se
obtienen resultados negativos; recordemos que un área nunca puede ser
negativa así que la tomaremos como positiva y las sumaremos todas.
En este caso tenemos dos áreas en los siguientes intervalos en x
0,2.44949 2.44949,4
Tomaremos estos intervalos quienes serán los límites de nuestra integral
2.44949
3
0
2.449494 2
0
6
64 2
x xdx
x x
Evaluación: Ls Li
4 2 4 22.44949 2.44949 0 0
6 64 2 4 2
3618 0
4
9 18 0
9
29u
43
2.44949
44 2
2.44949
6
64 2
x xdx
x x
Evaluación: Ls Li
4 2 4 2
4 2 4 2
4 4 2.44949 2.449496 6
4 2 4 2
4 4 2.44949 2.449496 6
4 2 4 2
256 3648 18 0
4 4
3664 48 18 0
4
16 9
225u
Ahora que ya tenemos nuestras 2 Áreas las sumamos y obtenemos nuestro
resultado
2 225 9a u u
234a u
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
95 Julio Meléndez Pulido
Determine el área de la región limitada por la curva 3 2 2y x x x y el eje x en
el intervalo 1,1
1
3 2
1
14 3
2
1
2
2 2
x x x
x xx
Evaluación: Ls Li
4 3 4 3
2 21 1 1 11 1
2 2 2 2
5 13
2 12
2
3
20.66u -------- > Evaluación de la integral con los limites [-1,1]
x-6 -4 -2 2 4
y
-4
-2
2
4
6
– 1
1
x3
+ x2– 2x dx = 0.666668
Area = 1.5
f(x) = x3
+ x2– 2x
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
96 Julio Meléndez Pulido
Evaluación de áreas entre los intervalos [-1,0] y [0,1] en el eje x 0
3 2
1
04 3
2
1
2
2 2
x x x
x xx
Evaluación: Ls Li
4 3 4 3
2 20 0 1 10 1
2 2 2 2
130
12
13
12
21.083u
13 2
0
14 3
2
0
2
2 2
x x x
x xx
Evaluación: Ls Li
4 3 4 3
2 21 1 0 01 0
2 2 2 2
50
12
5
12
20.417u
Área total 2 21.083 0.417a u u
1.5a
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
97 Julio Meléndez Pulido
Determine el área de la región limitada por la gráfica de: 37 6f x x x y el eje
x en el intervalo 4,3 .Haga Grafico
3
3
4
32 4
4
7 6
7 62 4
x x dx
x xx
Evaluación: Ls Li
2 4 2 43 3 4 4
7 6 7 6 42 4 2 4
2716
4
91-
4
x
22.75 --------- > Evaluación la integral
x-20 -10 10 20
y
-20
-10
10
20
– 4
3
7x – x3– 6 dx = -22.749914
Area = 50.75
f(x) = 7x – x3– 6
Interseccion en x
( -3 , 0 )
Interseccion en x
( 1 , 0 )
Interseccion en x
( 2 , 0 )
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
98 Julio Meléndez Pulido
Evaluación de áreas entre los intervalos [-4,-3] , [-3,1], [1,2] y [2,3] 3
3
4
32 4
4
7 6
7 62 4
x x
x xx
Evaluación: Ls Li
2 4 2 43 3 4 4
7 6 3 7 6 42 4 2 4
11716
4
53
4
213.25u
33
4
12 4
3
7 6
7 62 4
x x
x xx
Evaluación: Ls Li
2 4 2 41 1 3 3
7 6 1 7 6 32 4 2 4
11 117
4 4
32
232u
2
3
1
22 4
1
7 6
7 62 4
x x
x xx
Evaluación: Ls Li
2 4 2 42 2 1 1
7 6 2 7 6 12 4 2 4
112
4
3
4
20.75u
3
3
2
32 4
2
7 6
7 62 4
x x
x xx
Evaluación: Ls Li
2 4 2 43 3 2 2
7 6 3 7 6 22 4 2 4
272
4
19
4
24.75u
Área Total 2 2 2 213.25 32. 0.75 4.75u u u u
250.75u
Cálculo Integral 2013-2 CBTIS No. 50
99 Julio Meléndez Pulido
Bibliografía
AYRES J.R, Frank. Cálculo diferencial e integral Serie Schaum. Mc Graw Hill.
CUELLAR, Juan Antonio. Matemáticas VI Calculo Integral. Mc Graw Hill.
GRANVILLE, William Anthony. Calculo diferencial e integral. Limusa.
LEITHOLD, Louis. El Cálculo. Oxford.
SWOKOWSKI, Earl. Cálculo con geometría analítica. Grupo editorial
Iberoamericano.
http://julmelcbtis50.wordpress.com/